Глобальный численный анализ полудинамических систем седлового типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ



На правах рукописи

Корнев Андрей Алексеевич

Глобальный численный анализ полудинамических систем седлового типа

Специальность 01.01.07- вычислительная математика

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой, степени доктора физико - математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова и Институте вычислительной математики Российской Академии Наук

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Агошков В.И. доктор физико-математических наук, доцент Даутов Р.З. доктор физико-математических наук, профессор Сатаев Е.А.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

им. A.A. Дородницына.

Защита состоится 2006г. в /5" часов

на заседании диссертационного совета Д 002.45.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 119991, г. Москва,

ГСП-1, ул. Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан . 2006г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

доктор физико-математических наук

Г.А. Бочаров

Актуальность темы. Глобальное численное исследование нелинейного нестационарного процесса (полудинамической системы, ПДС) предполагает изучение эволюции системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также описание качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Эффективное решение данных задач имеет важное теоретическое и прикладное значение, так как позволяет не только анализировать и предсказывать динамику конкретной траектории, но и управлять динамикой, а также моделировать качественные глобальные изменения динамики в случае возмущения оператора эволюции. Работа направлена на разработку теоретических и прикладных методов решения данных задач.

Изучение системы с известным оператором эволюции S(t, •) для конкретного начального условия zq заключается в построении в окрестности Ozo устойчивого W~(zo) и неустойчивого W+(zo) многообразий, определяющих качественную локальную картину динамики близких к S(ty zq) траекторий: каждая траектория S(t,m~), т~ € W~~(zq) сближается с течением времени с траекторией S(t, го); все траектории S(t, оо), ао € 0Za локально притягиваются с течением времени к множеству S(t, W+(2o))- Построение многообразий W^ позволяет не только предсказывать эволюцию конкретной траектории, но и управлять динамикой.

Задача описания динамики близких траекторий более ста лет привлекает внимание исследователей. Основополагающие результаты для конечномерных пространств были получены A.M. Ляпуновым, Н. Poincare, в работах G. Darboux, J. Hadamard'a, О. Perron'a. В нашей стране данной тематикой занимались A.A. Андронов, В.В. Немыцкий, И.Г. Петровский, А.Н. Колмогоров, Д.В. Аносов, Я.Б. Песин, Л.П. Шильников, Б.Ф. Былов, Р.Э. Виноград, Д.М. Гробман, за рубежом - S. Smale, J.K. Hale, М. Hirsch, С. Pugh, М. Shub. Для банаховых пространств соответствующие результаты были получены в работах В.И. Юдовича, O.A. Ладыженской и В.А. Солонни-кова. Построенная к настоящему моменту теория охватывает класс траекторий {S(t, zq)} полно либо частично гиперболического типа. Вопрос об устойчивости движений в негиперболическом случае рассматривался в диссертации и последующих работах A.M. Ляпунова, позднее нетривиальные результаты получены в работах Я.Б. Песина,

А.И. Рейзиня, С. Coleman'a, С.Ю. Пилюгина, И.Н. Костина. Однако, рассматриваемые схемы доказательств существенно опирались либо на свойство частичной гиперболичности, либо на особенности конкретной задачи, либо на одномерность негиперболического подпространства разрешающего оператора, и возможность обобщения имеющихся результатов на существенно негиперболический случай до конца не изучена.

Алгоритмы численного построения многообразий начали разрабатываться начиная с шестидесятых годов. Отметим работы Г. Гу-кенхемера, А. Владимирского, Л.П. Шильникова, M.L. Brodzik'a, М. Dellnitz'a, A. Hohmann'a, L. Dieci'a, J. Lorenz'a, R.D. Russell'a. Однако, численные аспекты решения соответствующих задач (даже в пространствах малой размерности) весьма далеки от завершения. При этом методы проектирования на многообразия в окрестности нестационарной (непериодической) точки zq, а так же для уравнений в частных производных, видимо, ранее не рассматривались.

Если данные вопросы по сути сводятся к исследованию устойчивости отдельных траекторий, то задача качественного глобального анализа полудинамической системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий Ва С Н заключается в исследовании глобального аттрактора «М - предельного (по времени) множества всех траекторий.

Дело в том, что при численном моделировании исходный оператор S(t, •) и начальные данные ао заменяются на приближенные S\(t, •) и где параметр Л отвечает за точность приближения. В связи с этим моделируемая а* = S\(t,а£) и истинная at = S(t,ао) траектории начинают с течением времени расходиться. Это приводит к тому, что точность моделирования — < £ можно гарантировать на некотором конечном отрезке времени [0, Т(е)]. Для многих реальных процессов суммарная погрешность модели, аппроксимации начальных данных, форсинга имеет практически неустранимый характер. В итоге время моделирования Т(е) с гарантированной точностью оказывается много меньше интересующего. Это верно, например, при расчете неустойчивых течений жидкости, газа, в общей теории климата. Однако, для подобных задач наибольший интерес обычно представляет не поведение конкретной траектории, а некоторое типичное состояние, которое может наблюдаться в си-

стеме. Строгое определение типичности зависит от задачи. В связи с этим возникает проблема описания всех возможных предельных состояний Л4 исходной системы, которые реализуются при больших временах. Данной тематикой занимались G.D. Birkhoff, B.B. Немыц-кий, J. Lorenz, O.A. Ладыженская, A.B. Бабин, М.И. Вишик, В.В. Чепыжов, С. В. Зелик, Л.В. Капитанский, И.Н. Костин, В.П. Дым-ников, A.C. Грицун, А.Н. Филатов, J.K. Hale, R. Тешат. Полный список исследователей весьма обширен.

Теория глобального аттрактора эффективно применяется при исследовании широкого класса уравнений в частных производных. В том числе, на ее основе строятся глобально устойчивые разностные схемы, формально пригодные для численных расчетов решений нестационарных уравнений на сколь угодно больших временных отрезках. Сходимость в этом случае понимается в смысле близости аттракторов дифференциальной A4 и разностной ЛЛ\ задач. Всвя-зи с этим представляет существенный интерес проблема численного построения множества Л4\, оценка близости /А и метод ис-

следования полной непрерывности Л4\ по параметру возмущения Л, проверка условий полунепрерывности Л4\ для конкретных задач.

Цель работы. Главной целью диссертационной работы является разработка и обоснование методов глобального численного исследования динамики нестационарной системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также методов изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Главными требованиями к полученным результатам являются: строгая обоснованность каждого алгоритма, эффективность для многомерных нестационарных уравнений в частных производных, независимость от специфики конкретной задачи. Также важным является исследование различных теоретических вопросов данной тематики - получение конструктивных доказательств теорем существования и асимптотически неулучшаемых условий существования многообразий, обобщение известных результатов на ранее нерешенные классы задач, представляющих как отдельный научный интерес, так и необходимых для построения и обоснования соответствующих численных алгоритмов.

Методика исследования основывается на классических результатах: методе сжимающий отображений, обобщенной теореме Ада-

мара - Перрона, У-условиях гиперболичности, общей теории глобального аттрактора, дополненных и расширенных с учетом специфики решаемых задач.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

1. Построение, математическое обоснование и практическая реализация эффективных численных алгоритмов проектирования на устойчивые и неустойчивые многообразия в окрестности точки и траектории седлового типа для широкого класса задач.

2. Обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай существенно негиперболической точки и траектории, получение асимптотически неулучшаемых условий существования локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, методика построения доказательства.

3. Сведение проблемы непрерывности глобального аттрактора и его аппроксимации к исследованию функции времени притяжения к аттрактору, получение критерия полной непрерывности аттрактора.

В прикладном аспекте новыми являются: получение априорных оценок, позволяющих доказать глобальную устойчивость широкого семейства разностных аппроксимаций для модифицированных (в смысле Ладыженской) уравнений Навье— Стокса в трехмерных областях,

численное решение задачи проектирования на устойчивое и неустойчивое многообразия для системы Лоренца, многомерных уравнений типа Чафе-Инфанта, Бюргерса, Навье-Стокса, аппроксимация нетривиальных траекторий глобального аттрактора сложных многомерных полудинамических систем, решение задачи асимптотической стабилизации по начальным данным в окрестности неподвижной точки и в окрестности траекторий седлового типа, численное исследование скорости притяжения к глобальному аттрактору для различных полудинамических систем.

Достоверность, теоретическая и практическая значимость. Достоверность проведенного исследования основана на изложении всего материала в виде последовательности лемм и теорем, тщательном анализе численных экспериментов для широкого класса полудинамических систем, замыкании результатов диссертации на результаты других авторов, полученные другими методами. Теоретическая ценность заключается в развитии метода сжимающих отображений и его адаптации для рассматриваемых задач, в получении конструк-

тивного метода исследования глобального аттрактора и структуры устойчивых и неустойчивых многообразий для полудинамических систем седлового типа. Практическая ценность содержится в новом подходе к решению задач проектирования на инвариантные многообразия, позволившем не только сравнить известные алгоритмы, применимые в окрестности гиперболической неподвижной точки, но и предложить новые, эффективно решающие соответствующие задачи, в том числе, в окрестности траектории седлового типа. Построенные алгоритмы не зависят от специфики конкретной полудинамической системы, что позволяет применять разработанный подход для решения задач численной стабилизации и аппроксимации глобального аттрактора для широкого класса нестационарных уравнений математической физики.

Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались и докладывались на:

-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством академика РАН Н.С. Бахвалова;

-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством академика РАН Д.В. Аносова и проф. A.M. Степина;

-научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН под руководством академика РАН В.П. Дымнико-ва;

-научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. A.B. Фурсикова, проф. В.И. Лебедева;

-научно-исследовательском семинаре института им. Стеклова под руководством академика РАН Д.В. Аносова и проф. Ю.С. Ильяшен-ко;

-научно-исследовательском семинаре мех.-мат. ф-та МГУ под руководством проф. М.И. Вишика;

-научно-исследовательском семинаре ф-та прикладной математики МЭИ под руководством проф. Ю.А. Дубинского и проф. A.A. Амосова;

-международной конференции И.Г. Петровского (Москва, 2001, 2004)

-Российско-Голландском семинаре "Численные методы и их приложения" (Наймеген, 1997, 1999, 2001; Москва, 2003, 2005);

-международной конференции В.М. Алексеева (Москва, 2002) -ежегодной конференции "Ломоносовские чтения"(Москва, 20002005)

-ежегодной отчетной конференции ИВМ РАН (Москва, 2002-2005) Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 15 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 105 названий и заключения, содержит 51 иллюстрацию и три таблицы. Текст работы изложен на 228 страницах.

Содержание работы

Во введении обсуждаются постановки рассматриваемых задач, приводится обзор работ по данной тематике, кратко формулируются основные полученные результаты.

В первой главе, состоящей из трех параграфов, рассматривается вопрос о качественном поведении при больших временах близких траекторий. В работе почти всюду рассматриваются дискретные ПДС. Время задается полугруппой 7+ = {г = 0,1,...}. Переход от оператора задачи S(t,u) с непрерывным временем формально осуществляется следующей заменой S*(и) := 5(гг, и) с некоторым, не обязательно малым, т > 0.

Параграф 1.1 содержит терминологию и основные понятия первой главы. Пусть S(-) : Н Н непрерывное отображение, определенное на банаховом пространстве Н с нормой || • ||, и пусть 0 является неподвижной точкой отображения, т.е. 5(0) = 0. Далее будем считать выполненными следующие условия (а):

ао) определены два оператора проектирования Р+, Р_ : Н —► Н, ограниченный линейный оператор L : Н —* Н, непрерывное отображение R(u) = S(u) — Lu такие, что имеют место следующие неравенства:

ai) Р++Р-=/, ||Р+|| = [|Р_|| = 1; а2) L(P+H) = Р+Н, L(P-H) С Р-Н; аз) IM^/i+IMI, Vvep+Я, АЧ- = 1 + > 1; а4) ||Lio|| < /i-IH, Vw€P_#, = 1 — <5_ < 1;

as) ||fl(ui)-Д(и2)|| <0(max{||ui||,|M})||ui -u2||, Vw¿ € H

с непрерывной положительной неубывающей функцией #(•):

0(0) = 0, тах0(|М|) = в < 1/2. ыбО

В данных неравенствах v, го, щ — произвольные элементы некоторой окрестности нуля О С Н, внутри которой ведутся все последующие рассуждения. Запишем оператор Б {и) = Ьи + Щи) для и = V + и), V е Р+О, V) Е Р_0, в виде 5(и) = 5+(и)+5-(и), где 5±(и) = Р±5(и),

£±- = Р±£-, Я±(-) = Р±Л(.).

Основными объектами исследования в первой главе являются устойчивое многообразие УУ- = >У-(5, С>) , т. н. "входящий ус Ада-мара", подмножества О:

= (т0 € О : Зт*+1 е 0,т<+1 = 5(т4), г = 0,1,2,..}, и неустойчивое многообразие УУ+ = Н,+ (5|, О), или "исходящий ус Адамара":

УУ+ф0) = {т0 € О : 3т<+х еО,гтц = 5(т,+1), г = 0,1,2,..}.

Если в условиях (аз)» (04) норма оператора Ь отделена от единицы (т.е. ф 1), то точка 0 называется гиперболической, иначе — негиперболической. Согласно теореме Адамара-Перрона в некоторой окрестности гиперболической точки существуют устойчивое и неустойчивое УУ+ многообразия. Точку го будем называть седло-вой, если в некоторой окрестности О существуют многообразия т.е. качественная картина динамики близких к го траекторий напоминает движение в окрестности седла.

В параграфе 1.2 получены достаточные условия существования устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности существенно негиперболической неподвижной точки. Соответствующие результаты получены на основе метода слабо сжимающих отображений.

Отображение Р метрического пространства и в себя будем называть слабо сжимающим отображением (отображением полиномиального сжатия), если существуют такие числа а > 0, р > 1, что для любых двух точек и\, 112 € С/ выполняется неравенство:

+ (1.1)

Теорема 1.1. Всякое слабо сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве, имеет единственную непо-

движную точку: Р(и) — и. Итерационный процесс «„+1 = Р(ип) сходится к неподвижной точке с любого начального приближения ио, при этом выполняется следующая оценка: р(и,Рп{ио)) < р(ц,ц0)_

(1 +парр(и,и0))1/р'

В разделах 1.2.1, 1.2.2 приводятся известные результаты (теорема Адамара-Перрона) о существовании устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности гиперболической точки.

В разделе 1.2.3 получено обобщение теоремы Адамара-Перрона о существовании устойчивого многообразия в окрестности седловой точки. Выберем 0<г<оо,0<7<оои определим окрестность О = {и — V + ги : |М| ^ гч 1М1 ^ 7Г}- Устойчивое многообразие будем строить в классе Ву (О) всех непрерывных отображений /(го) : Р-О —* Р+О, удовлетворяющих условиям: /(0) = 0, ||/(«л) - Д™2)|| < 711^1 ~

Далее будем также считать, что

а6) Операторы 5_(гу + /(гу)) : Р-О Р-О, V/ € В7 (О) и 8+1{%о + г>) : Р+О —► Р+О, Vги € Р-О являются вполне непрерывными.

Данное требование является естественным и выполняется для всех рассматриваемых далее задач. Имеет место следующая теорема существования в классе Ву (О) устойчивого многообразия в окрестности негиперболической точки.

Теорема 1.2. Пусть отображение в О удовлетворяет условиям (а). Пусть 0 < г < оо, 0 < 7 < оо такие, что #(2г(7 4-1)) < 1/2. При этом для \/ги,гй 6 Р-О, Уи, г> € Р+О и произвольных функций /, / € В^{0) имеют место следующие оценки (с):

а) ||Б-(/(ю) + ю)~ Б-(/(го) +и;)|| + -115+0; + гу) - в+(ь + ш)||

7

< ||ги -г5||,

с2) ||5+(и + гу) - 5+(г) + гу)|| > ||и - Ц. Тогда

1. Существует многообразие УУ- = {/(гу) + гу, гу € Р-О} задаваемое функцией / : Р-О —> Р+О из Ву(0).

2. Многообразие является инвариантным множеством S(W~) = W~, при этом Sn(m) С О, п=1,2,... для Ут € W".

Если снсе дополнительно имеют место оценки

c3l) \\S-(f(w) + Ш)|| < \\w\\(l - /?МР), 0>О,р>1, с32) \\S+(f(w)+w)-S+(f(w) + w)\\-

7||S_(/(u>) +ti>) - S-{f(w)+w)|| > ||/(ш) - f(w)У,

тогда

3. Многообразие W- определяется однозначно.

Следствие 1.1. Пусть в предположениях теоремы 1.2 для оператора S(-) выполняется следующее неравенство

с4) ||5-(/(ад)+и»)||<|И|(1-/?||и;Г)э ß>0,p>l. Тогда для любого т £ W траектория Sn(m) —► 0 при п —► оо.

В разделе 1.2.4 получено обобщение теоремы Адамара-Перрона о существовании неустойчивого многообразия в окрестности седловой точки. Выберем 0 < г < оо, 0 < 7 < оо, определим О = {и — v + w : ||v|| < г, ||и;|[ < 7г}. Искомое многообразие будем искать в классе Ау (О) всех непрерывных отображений g(v) : Р+О —* удовлетворяющих условиям: д{0) = 0, ||ff(vi) — < 7ll^i —

V21|• В случае и = v + g(v) оператор S±(u) далее будем обозначать следующим образом: S±(v + g(v)) = S±!g(v).

Имеет место следующая теорема о существовании в классе Ау (О) неустойчивого многообразия в окрестности негиперболической точки и слабого притяжения к нему произвольной траектории.

Теорема 1.3. Пусть отображение S{-) в окрестности О' удовлетворяет условиям (а). Пусть для 0 < г < оо, 0 < 7 < оо найдутся числа а > 0,р > 1 такие, что для \/v,v € Р+О' и произвольных функций g,g € Ay(ö') выполнены следующие оценки: Ъх) \\S-M - 5_>s(v)|| +t\\S+,g(v) - S+iS(„)|| <

Ьз) ||S+>^)-S+,^)||>C||v-"D||, С>1. Тогда

1. В некоторой окрестности Ö существует неустойчивое многообразие W+, задаваемое функцией g : Р+Н Р-Н, принадлежа-

щей классу Ау(0), т.е. W+ = {d + g(v),v е Р+Н}.

2. Данное многообразие локально инвариантно относительно оператора S. На многообразии определены обратные степени оператора S~x, т.е. для произвольного т € W+ существует S~l(m),i = 1,2,при этом S~*(m) С О.

3. В окрестности О произвольная точка и притягивается к многообразию W+ с полиномиальной скоростью:

dist(S*(u), W+) < {1+j£n)p)l/p> ec«,S*(u) eO,Q<k< i.

Прямым следствием теоремы является

Лемма 1.1. Пусть в условиях теоремы 1.3 оператор S+i9(v) является слабо растягивающим для Vu € О:

М ||5+1,(|;)|| > (i + /«)lMI /3>0,q>l.

Тогда найдется такая подокрестность О С. О и такое ¡3 > 0, что для произвольного тп € VV+ имеют место оценки:

HSU"»)11> Jii^i/«' еслиЗк(т) О, 0 < к < i,

||57*(m)II <-=-г = 1,2,...,

||5~*(т)|| —* 0 при i —* оо.

В параграфе 1.3 получено обобщение теории устойчивых и неустойчивых многообразий на случай траектории седлово-го типа. Отметим, что A.M. Ляпунов в своей диссертации впервые разработал метод исследования подобного рода задач. Рассматриваемый далее метод ориентирован на построение численных алгоритмов, однако позволяет доказать существование устойчивого и неустойчивого многообразий не только для частично неравномерно гиперболических траекторий, но и для траекторий седлового типа.

Пусть S(-) : Н Н отображение банахова пространства Н с нормой || • || и го, ао G Н. Будем считать, что имеется либо полная траектория для точки zq: Г(^о) = = г = 0, ±1,..., ±п,...}, либо некоторый отрезок положительной полутраектории: Г+(го) = {zi — S*(z), i = 0,1,..., п}, либо отрицательной: Г~(го) = {z, = ^(-гг), г — О, —1,..., —п}. Предположим, что отображение S достаточно глад-

кое, и в окрестности öZi каждой точки z» можно построить линеаризацию оператора S: S(zi -f и) = S(z{) + L^u + R^(u). При этом для ограниченного линейного оператора L^ : Я —► Я и непрерывного отображения = S(zi и найдутся операторы

проектирования Р^ и числа r^ > 0 такие, что в окрестно-

сти öZi = {и : ||Р£°(г,- — и) || < г^*)} выполнены следующие условия гиперболичности

Аг) P« + РУ = /, ||PW|| = ||Р1°|| = 1, А2) LW (Р^Н) = р£+1)Я, LW (Р<°Я) С Pii+1)Я, Аз) ||L«ti;|| < д<?|М1. Vw € Р1°Я, < 1, А4) ||L«t;||> VüGP^tf,

As) ||ÄW(tii)-Ä«(tia)|| <ew(max{||ui||l||ii2||})||ui-u2||, Vui,2 : zt + ui,2 € 0Zi, 0^>(О) = 0, с непрерывной положительной неубывающей функцией

Пусть условия (Л) выполняются для всех точек Г„_i(zo), п > 1, а условие (А\) верно также и для точки zn. Пусть ао принадлежит некоторой окрестности 0ZQ точки zq, и задано конечномерное подпространство С =< в1,...,е»0 >. Рассмотрим метод построения такого вектора и, что

to

u = ao + ^Tciei, u€Öz0, с» G R, (1.2)

i=1

HS*(и) - 5*(го)|| < Cq*\\u - z01|, 0 < i < n, q < 1. (1.3)

Заметим, что рассмотренный далее метод допускает естественное замыкание на случай бесконечного п, и по сути является конструктивным доказательством существования устойчивого многообразия W-(zoJ).

Для каждого i = 0,..., п рассмотрим класс Я7«) (О^) всех непрерывных отображений /(го) : Р^О^ —► где ö(i) = {и : \\Pg(u)\\ < г^}, удовлетворяющих условиям /(0) = 0, ||/(iüi) — /(гУг)Ц < 7^1!«;!— ги2||, 0 < 7W < 1. Для элементов ¿?7(¿> определим норму |/| = supl06p_O(i)|/(t£;)|. Пусть фиксирована некоторая функция f^(w) € Ву(п)

, задающая в окрестности точки 0Zn

локальное многообразие

т = Р[п\т-гп),ь = /(п)(^)}-Рассмотрим задачу, называемую далее задачей (//), нахождения такой функции Е о) что для всякой точки вида го Ч- ги +

/(°)(ги), ги Е выполняется вложение

+ ™ + С (1.4)

В работе показано, что при некоторых условиях задача (//) однозначно разрешима, а точки соответствующего многообразия УУ~(го, удовлетворяют неравенству (1.3). Более того, для произвольного начального приближения Е Д^«) (0(п)) при увеличении п последовательность соответствующих функций — сходится к функции /, задающей устойчивое многообразие У\?~(го, /).

Для фиксированной функции будем строить последовательно за п шагов. На первом шаге по найдем функцию /(п-1), задающую многообразие УУ (-гп_1,

/(п из условия вложения

/«)) С У1Г(*+ь/(<+1)) (1.5)

при г = п — 1. На следующем шаге по определим из

условия (1.5) при г = п — 2. И так далее до функции Запишем соответствующее условие (1.5) в операторной форме:

¿«/(0(и,) + р£+1) + ги)] =

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.4. Пусть выполнены условия (А). Тогда для произвольной функции Е В7(<+1) найдется такое г^ > 0, что в окрестности решение е В7(о (0^) уравнения (1.6) существует и единственно. Величина г^ может быть найдена из следующих неравенств

7(<+1)(^) + 0<«>(г<О)(1 +7(0)) +^0(Г(0)(1 +7(0) ^

— 7 > V-1'«Л

(7(^) + у)(г(0)=^)<1 (18)

№

Теорема 1.5. Пусть выполнены условия теоремы 1.4 и функции f(^)г f(^+1) удовлетворяют уравнению (1.6). Пусть

+^)(г(0)(1+7(0) =р(<) < 1. (1.9)

Тогда выполняются оценки

||р!*+1) + /«(„,) +и>)- БЫ)] || < рЩи>\\,

+ /«(«,) 4- го) - 5(^)|| < р«( 1 + 7(^+1))||ги||.

Теорема 1.6. Пусть для г = 0,..., п — 1 выполнены условия теоремы 1.4• Тогда для произвольной функции е («> (О^) найдется такое г> 0, что существует единственная функция € В7(о, (ОМ), удовлетворяющая условию 5й(го»С

Теорема 1.7. Пусть выполнены утверждения теорем 1.4, 1.5, 1.6. Тогда имеют место следующие оценки:

||Р1п)[5"(го + /(°)(ш) + и;) -$»(«,)]|| < ЦЧ ПГ=~оР(<).

||5-(г0 + /<°)(«|) + и») - 5"(г0)|| < (1 + 7(п))1М ПГ=оР(0-

Теорема 1.8. Пусть выполнены утверждения теорем 1.4-1.7. Пусть функции е о) (С?(°)), з = 1,2 являются решениями задачи

(1.4) для заданных функций € (О^) соответственно при ^ = 1,2. Пусть

<¿<0 = _ (1 + 7«+1))0(О(Г«))^-1 < 1. (1.Ю)

Тогда выполняется оценка

1Л(0) -/П < \Лп)-Лп)\Па^ < 2г(") П

г=0 »=0

где |/(0| = 8иРи|€Р(.,0(0 ||/«(ш)||, г = 0,гг.

Предложенный подход может применяться для доказательства существования локально устойчивого многообразия УУ-(го, /), в том числе для седлового случая.

Перейдем к решению задачи, называемой далее задачей (¿/), проектирования начальных условий ао на многообразие У\?~(г вдоль подпространства С. По определению это означает построение такого и — ао +1, I £ С, что и е У\?~{го,/^). Уравнение, соответствующее данному условию, имеет вид

Р10)[Ьо + 1] =/(0)(Р!0)[бо + /]), ¿ = Х>е<, 60 = а0-^0. (1.11)

<=1

Для решения полученного уравнения относительно неизвестных коэффициентов с* применим следующий итерационный процесс:

Р10)[Ьо + 1к+г] =/(0)(Р10)[Ьо+**]), (1Л2)

»=1

Теорема 1.9. Пусть функция € касается подпро-

странства Р^Н. Пусть С =< е!,...,е,0 >, система векторов линейно независима, и [е*]},1° образует базис в подпространстве Р+^Н. Тогда найдется такое г^ > 0, что для &о £ задача (1-11) имеет единственное решение и € У\?~{хо,/^). Для произвольного начального приближения ио = ао + 1о, ио € Ого метод (1.12) сходится к и со скорость геометрической прогрессии.

Рассмотренный итерационный процесс (1.12) позволяет находить решение задачи (¿/). Однако, если известна такая функция 6

В-а^С?^), что С УУ («1,/^), то можно рассмот-

реть задачу о построении и = ао + / из условия 5(и) 6 Соответствующее уравнение имеет вид

Р^ [5(а0 + 0 - ^Ы] =/(1)(^-1)№о + 0-5Ы]). (1.13) Для решения данной задачи рассмотрим следующий итерационный процесс

[£(0)(6о + Ь+1) + Л(°)(60 + /*)] = /(1) (р!1) [ь(°)(6о 4- ¿*) + ЛС°)(Ьо + ¿0]), ;

где 1к = с*е» , Ьо = а0 - -го-

Теорема 1.10. Пусть функция € касается под-

пространства Р^Н, система векторов {е<}5° линейно независи-

ма и {-Р+^е*]}!0 образует базис в Р+^Н. Тогда найдется такое И0) > 0, что для Ьо € Озадача (1.13) имеет единственное решение и € \У~(го,/^). Для произвольного начального приближения Щ = ао + 1о, ио € Ого, метод (1.14) сходится к и со скоростью геометрической прогрессии.

Полученные результаты позволяют сформулировать решение задачи (1.2), (1.3) как решение следующего уравнения

Р|п)[5п(ао+/)-5пЫ]=0, / = £>е< (1.15)

»=1

относительно неизвестных коэффициентов с». Отметим, что данное уравнение соответствует решению задач (//) и (//) при = 0. Предложенные итерационные методы решения отдельных задач составляют основу соответствующего численного алгоритма для уравнения (1.15). Следствием теорем 1.6,1.10 является следующее утверждение:

Теорема 1.11. Пусть для г = 0,..., п—1 выполнены условия теоремы 1.4, система векторов {е»}|° линейно независима и

образует базис в Р+^Н. Тогда найдется такое г> 0, что для произвольного ао € Охо решение I задачи (1.15) существует и единственно. Если же дополнительно для каждого г = 0, ...»п — 1 выполнены условия теоремы 1.5, тогда ао 4-1 является решением задачи (1.2), (1.3).

Рассмотрим задачу проектирования на локально неустойчивое многообразие УУ+^о^^) = {га = го + и + и>: т € ОХ0Уу = Р+\т — го),гу = Е^Н^)} в окрестности седловой траектории. Пусть известны операторы из условия (Л) для точек полутраектории Г~(го). Нас интересует метод приближенного проектирования начального условия ао € Охо на многообразие вдоль подпространства £ =< ¿1,..., /¿0 >. Отметим, что здесь и далее устойчивое подпространство Р^Н может быть бесконечномерным, но подпространство Р^Н конечномерно. Выберем некоторое начальное многообразие (т.е. отображение и

построим такое многообразие w+(zq, д^), что

Sn(z_n + p(_n)(u) + v) С W+(z0,2(0)), Vu G p|-n>e>(-n). (1.16) Покажем, что при выполнении некоторых условий задача (1.16) разрешима, и все точки окрестности и G öz_n притягиваются к многообразию:

dist(sn(u), W+(zo,0(o>)) < Cqn, 9 < 1.

Для каждого i = 0,-1, ..., —п рассмотрим класс Ау(»> (О^) всех непрерьшных отображений g(w) : Р^О^ —* где О^ = {и :

||Р1г)(и)|| < г^}, удовлетворяющих условиям д{0) = 0, il<?(t>i) — 5(v2)|| < — v2||> 0 < 7W < 1. Для элементов >Ц(о (О^) опре-

делим норму =supw€p+0(i)|p(v)|.

Пусть фиксирована некоторая функция д(~п) (v) € Ау(-П) задающая в окрестности точки Ог_п локальное многообразие

W+(z_n,0(~n)) = {т = zq + v + w :т€ oz_n,

v = Pj"n) (m - z_„), w = (t>)}. Рассмотрим задачу, называемую далее задачей (gg), нахождения такой функции € (О^), что для всякой точки вида z_n +

v + g(~n)(v), v G выполняется вложение

Sn(z-n + v + g^(v)) С W+(Äö,pW). (1.17)

В работе показано, что при некоторых условиях задача (дд) однозначно разрешима и предложен метод вычисления ff^(v), Vi? € р|0)О(°). Для фиксированной функции будем строить д^ по-

следовательно за п шагов. На первом шаге по найдем функ-

цию задающую многообразие W4'(z_n+i,5^-n+1^), из усло-

вия вложения

s(w+(W°)) С W+(zi+1,5<i+1>) (1.18)

при г = —п. На следующем шаге по определим из

условия (1.18) при i — —п + 1. И так далее до функции

Запишем соответствующее условие (1.18) в операторной форме:

+ P-i+1) [flW + «)] =

+ Р+ [RW(9(i)(v) + «)])•

Отсюда имеем искомое соотношение

<7«+1>(г;) = Ь<Ц>д<*\д) + €)] *

где у : v = ь^у + р£+1) + у)]. к '

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.12. Пусть выполнены условия {А). Тогда для произвольной функции € А7<о (0^), г = —п, —п + 1,...,—1 найдется такое г^*"1"1) > О, что в окрестности С?(г+1) решение е уравнения (1.19) существует и единственно. Величина г(г+1) может быть найдена из следующего неравенства

(¿¿У0 + *10((7(0 + + 1)) < (4+1)

- + 1)г(0)(7(0 + 1)) " 7

Теорема 1.13. Пусть для г = —п,..., —1 выполнены условия теоремы 1.12. Тогда для произвольной функции € А^-«) найдется такое > 0, что существует единственная функция д(о) е А^(о) (О^), удовлетворяющая условию Б*1 С

П>+(го,<?(0)).

Теорема 1.14. Пусть выполнены утверждения теоремы 1.13. Пусть функции д$0) € Ау(о) (0<°>), з = 1,2 являются решениями задачи

(1.17) для заданных функций £ А^~п) соответствен-

но при з — Пусть

Тогда выполняется оценка

< -<^П>| П«** < 2т<-> П ¿О,

г—0 ¿=0

где = 8ирщеР(о0(1) * =

Теорема 1.15. Пусть для г = —п,... ,0 выполнены условия теорем 1.13, 1.14- Тогда для произвольной точки и €

©с-»)

выполняется

оценка

Я*< П ЙЛ Д- = М!?+^)((1+7(0)Г(<))+7«5?((1+7(0)Г(0) < 1} = -П

Предложенный подход может применяться для доказательства существования локально неустойчивого многообразия УУ+(го, Е^20^), в том числе для случая седловой траектории.

Рассмотрим решение задачи, называемой далее задачей (1д), проектирования начальных условий ао на многообразие УУ+ (го, д^) вдоль подпространства £. По определению это означает построение такого и = ао +1, I € £, что и € УУ+^о,^0)). Уравнение, соответствующее данному условию, имеет вид

Р10)[бо + г] =р(0)(Р|0)[60 + ф, ¿ = Ьо = ао-го. (1.21)

»=1

Для решения полученного уравнения относительно неизвестных коэффициентов Сх применим следующий итерационный процесс:

Р10) [6О + Ь+1] = Р(0)(4°} [Ьо + **]), Ь = ¿с?*- (1.22)

¿=1

Если подпространство Р^Н бесконечномерно, то будем считать, что £ = Р-Н (иначе построение очередного вектора 1к+\ нереализуемо). В этом случае задачи (1д) и (дд) совпадают. Пусть ¿о конечно (это соответствует случаю конечномерного подпространства Р^Н).

Теорема 1.16. Пусть функция е Л7<о)(С>^) касается подпространства Р+^Н. Пусть £ — {в1,..., вг0}, система векторов {е<}1° линейно независима, и {-Р1°^[е»]}1° образует базис в подпространстве Р^Н. Тогда найдется такое г^ > 0, что для Ь0 € О^ задача (1.21) имеет единственное решение и € Для произвольного начального приближения ио = ао + 1о, ио € Ого метод (1.22) сходится к и со скорость геометрической прогрессии.

Полученные в первой главе методы далее применяются для построения и обоснования численных алгоритмов решения рассматриваемых задач.

Во второй главе, состоящей из двух параграфов, рассматривается задача о качественном поведении траекторий полудинамиче-

ской системы при больших временах. Исследуется вопрос об устойчивости (непрерывности сверху и снизу) глобального аттрактора при возмущении разрешающего оператора задачи. Полученные утверждения далее применяются при численной аппроксимации глобального аттрактора различных систем.

В параграфе 2.1 формулируются необходимые понятия и известные утверждения, необходимые в данной главе.

Множество Во С Н называется В-притягивающим множеством ПДС, если оно замкнуто и притягивает каждое ограниченное множество В, т.е. Шз1(54(В),Во) —► 0 при £ —► оо для любого ограниченного множества В С В". Здесь <Ш{;(В,Во) = Бир {сНб^у, Во)},

У

сНв^у, Во) = т£ |[х—у||. Далее нам также потребуется понятие хаус-

х€Во

дорфова расстояния: сНз1я(В, Во) = тах^э^В, Во^сНв^Во, В)} .

Минимальное В-притягивающее множество, если такое существует, будем называть глобальным аттрактором (минимальным глобальным В-аттрактором, коротко — аттрактором) и обозначать «М. В работе рассматриваются ПДС с компактным аттрактором.

В параграфе 2.2 рассматривается вопрос о непрерывности (сверху и снизу) глобального аттрактора при возмущении оператора задачи.

Пусть разрешающий оператор исходной задачи зависит от некоторого параметра Л € Л. При этом = 5д0, и выполнены условия (а):

Л — некоторый метрический компакт с метрикой /?(•, •), и Ао является неизолированной точкой Л. Для каждого Л € Л соответствующая ПДС {¿а, имеет поглощающее множество В\ и непустой аттрактор Л^д. Существует ограниченное поглощающее множество Ва, содержащее все Вд.

Будем говорить, что семейство операторов Л € А является асимптотически слабо сходящимся в точке До на поглощающем множестве Ва, если для Уе > 0 и УТ > 0 существует 6 такое, что в некоторой конечной точке Т >Т имеет место следующая оценка

ИЗ?(и) - 5£(|1)Ц < е VХе06 (Ао), Уи € В*. Значение Ао соответствует исходной (точной) задаче, а случай А Ф Ао представляет собой некоторое приближение. Будем считать, что из-

вестна функция (возрастающая) 0(А,е, Ва), значение которой есть время притяжения поглощающего множества Ва к е-окрестности аттрактора А4\, а также обратная к ней функция Ф(А, ¿, Ва) скорости притяжения к аттрактору.

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (а). Тогда

1. Если для \/е > 0 35 > 0 такое, что существует точка Т\0 > 0(Ло,£,Ва), в которой выполняется соотношение

(Л) - (Л)|| < с У/г € Ва, УА € 05{\о), тогда аттрактор семейства ПДС полунепрерывен сверху по параметру А в точке Ао, и имеет место оценка

дхак{М\,Мхо) ^ 2е-

2. Если для Уе > 0 35 > О такое, что для любого А 6 Ог(Ао) существует точка Т\ = Т(А) > ©(А,е,Ва), в которой выполняется соотношение

тогда аттрактор ПДС непрерывно зависит от параметра А в точке Ао, и имеет место оценка

<^#(Л1а0,Л4а) = тах{сШ^-М а0> -Ма),с11з1(Л/1л) -Мао)} < 2е.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (а). Пусть последовательность операторов 5аО) асимптотически слабо сходится в точке Ао на множестве Ва. Тогда аттрактор Л4\ непрерывно зависит от А в точке Ао тогда и только тогда, когда функция 0(Л,£,Ва) равномерно ограничена по А для каждого фиксированного е > 0: Уе >*0 35е > 0 : вир ©(А, е, Ва) < Те < оо.

Л€0«„(Ло)

Функцию скорости притяжения к аттрактору удается построить для ПДС градиентного типа. Для удобства будем считать, что оператор задачи 5"(-) нормирован так, что сНат.£?а < ¿о-

Сформулируем необходимые далее условия (/?):

¡3\) Дискретная полугруппа {й*(*)>& € .ЛГ+} на замкнутом подмножестве Ва банахова пространства обладает компактным глобальным аттрактором ЛА.

/3г) Оператор 5(*) непрерывен, и константа Липшица на Ва не превосходит Ь.

Рз) Имеется конечный набор замкнутых окрестностей C?¿ С Ва, 1 < i < N таких, что S(Oi) П Oj — Cd при i ф j. При этом известна убывающая функция %¡)(t, •) скорости локального притяжения к аттрактору М. в каждой окрестности, т.е.

dist^u), М) < i¡>(t, Cdist(u, М)), (2.23)

если ST(u) G Oí при 0 < г < t.

Функция ip(t,d) определена при t х d— [0, оо[х [0, cío]> монотонно возрастает при увеличении d, монотонно убывает к нулю при увеличении í. А также выполняются следующие полугрупповые свойства

ip(h,iP(t2,d)) = ф{Ьг +í2,d), MtuCiP(t2,d)) < Сф(11 +í2,d).

N

Обозначим Оо = Ва \ (J Oí.

i= 1

/З4) Каждая полная траектория {Sk(u)}k=0 содержит в области Оо не более по точек, по конечно и не зависит от и € Ва, т.е.

mes{{Sfc(u)}~ 0 П С>0} < по, Vu € Ва.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2.3. Пусть для ПДС выполнены условия (ß). Тогда для произвольного t > О имеет место следующая оценка глобальной скорости притяжения к аттрактору: dist(S2no+1+t{Ba),M) <Cno+1L2noiP(t,r0), То — max diamOi.

В работе рассмотрена задача построения глобально устойчивых разностных аппроксимаций для модифицированных в смысле O.A. Ладыженской уравнений Навье-Стокса в 3D: djjf

— + rot ((1/ + £ rot 2и) rot и) + и • Vu = -Vp + /; (2.24)

div u = 0;

w|díí = 0; u(t = 0,x) = w0(a;); ÜCR3, (2.25)

где x = (х1,х2,хз), u = (wi, W2,W3), = const > 0.

Будем говорить, что функция g(t,x) G F(T, П), если g(t,x) € Н-i(í2)

т

при почти всех í 6 [0,Т] и J H^Hijdí = ||5|If(t,í2) < 00 •

о

Имеет место

Теорема 2.4. Пусть /^/ь € -Р(Т, Г2). Тогда для любой ио € Но(П) для решения задачи (2.24),(2.25) справедливы следующие оценки: г г

А^ Jt21| rot Midt+lf t\\ut\fdt + ^|Ы|2 -f |i|| rot u\

о

<Ф2(и,/,г,1/,е,0), (2.26)

*2|M|2 < Ф4(и,/,<,1(2.27)

t t

2e Ji2|| rot ut||\dt + A2u Jt2\\utx\\2dt < Фб(и,/,*,1/,е,Г2) (2.28)

о 0

с некоторыми функциями Ф» it абсолютными константами А\,А2 > 0. Если, в частности, f не зависит от t, то полугруппа {Sb{f),t > 0, До} разрешающих операторов задачи (2.24),(2.25) имеет минимальный глобальный В-аттрактор ЛЛ, являющийся компактным связным инвариантным подмножеством Hq(Q,) и ограниченным подмножеством Hi(£l). Для него справедливы неравенства:

sup ||К||,-|| rot u\\i] < Ф2(м,/,!>,*,«). (2.29)

UC1KA К U J

sup sup <

uSM t>0

uGM

t+1 t+1

Ml, J \Wxt\\2dt, J II rot ut\\\dt, I < Ф5(u,/,i/,£,Q).

t t

(2.30)

Множество ЛА имеет конечную размерность и конечное число определяющих мод.

Полученная теорема переносится на разностные аппроксимации системы уравнений (2.24),(2.25), что позволяет доказать глобальную устойчивость соответствующих конечномерных задач.

Пусть произвольная фундаментальная система в Нх(П),

m

и um(t,x) — с™(t)cpk(x) - определяемые по ней приближения: i=0

(иГ, 4>h) + ((v + e rot 2ит) rot um, rot <рк) + (um • Vum, <рк) = (/, <рк),

(2.31)

пт(0,ж) = uq*(:e), и™^) сходятся к но (ж) в норме Но(П) при т —» оо. Пусть А = h — m-1, Ао = 0.

Теорема 2.5. Для любого е > 0 существует h(e) > 0 такое, что при О < h < h(e) аттракторы Л4ь задачи (2.31) располагаются в е-окрестности аттрактора A4 задачи (2.24)• Для элементов аттрактора ЛЛн имеют место аналоги оценок (2.29),(2.30).

В третьей главе, состоящей из трех параграфов, рассматриваются методы численного построения устойчивого и неустойчивого многообразий, а также методы аппроксимации глобального аттрактора. Данный раздел основывается на теоретических конструкциях и доказанных ранее результатах. Отметим, что разнообразие рассматриваемых далее численных алгоритмов обусловлено разнообразием возможных математических постановок задач. Специфика конкретной задачи определяет выбор метода.

В параграфе 3.1 строится классификация известных методов проектирования на устойчивое многообразие в окрестности неподвижной точки, и формулируются новые алгоритмы. Пусть О является окрестностью неподвижной точки zq — 0, и выполнены условия (а). Рассмотрим задачу приближенного проектирования заданного элемента а € О на устойчивое инвариантное многообразие W~ при условии, что допустимое смещение берется из подпространства P+Ö. Это соответствует построению такого и = v + ги, что w = Р_а, v € P+Ö и и близко к многообразию W~. Будем искать многообразие W~ в виде v = /(tu), где функция / из класса £?7 (О). Выпишем условие (I) инвариантности устойчивого многообразия W~ относительно оператора S:

(f(w) + ш) = / (5- (/(w) + w)), (/)

это эквивалентно L+/(w) 4- R+(/(w) + w) = /(jL-W 4- R-(/(w) +

го)^. Рассматриваемые далее алгоритмы являются приближенными методами решения данного нелинейного уравнения.

(1). Метод нулевого приближения. Заменим исходный оператор S на его линеаризацию L в нулевой точке и построим проекцию элемента а на устойчивое многообразие полученной линейной задачи. Устойчивое многообразие оператора L совпадает с подпространством следовательно и — Р-а. В этом случае имеем lim ||Lnu|| = 0.

(2). Метод линеаризации. Выделим линейное приближение оператора 5* в заданной точке а, тогда 5(п) = Ьи + Ьаи + Яа(и). Построим проекцию элемента а на устойчивое многообразие данной линеаризации, т.е. на устойчивое подпространство оператора Ь + Ьа. В этом случае для найденной точки и = Р-а + и имеем Нт II (Ь +

п—юо

£<0*41 = 0.

(3). Линейный метод сжимающих отображений. Для решения нелинейного уравнения (/) относительно функции /(го) Е Ву(0), задающей устойчивое многообразие, рассмотрим следующий итерационный процесс:

Ь+/к+1(т) + Н+(/к(у))+т) = У* (£_г//+Д_ (/*(«;)+«>)), /0(ш) = 0.

Построим проекцию элемента а на найденное приближение Д(ги) в виде и = ги + Д(ги), где ги = Р_а.

Сходимость метода в некоторой окрестности О в гиперболическом случае следует из теоремы 1.2.

(4). Метод функционально—аналитических рядов. Пусть Н = V = [их,... ,г;л/], ги = [гиь •.. ,гиту], и нелинейные члены оператора Б имеют полиномиальный вид Я±(у + ги) — ^ г^г^гу-7,

и> о

где г = ¿1... гл/,3 ~ 31 • • •jN представляют собой мультииндексы. Будем искать /(го) в виде следующего функционально-аналитического ряда /(ги) = /о + Д(ги) + /г(ги, ги) + /з(ги, ги, ги) + ... по степеням ги с неизвестными полилинейными функциями /». Пусть Щ [/(ги)] = /о + Л(ги) + /г(ги, ги) Ч-----1-Д (ги,..., ги). Построим проекцию элемента а на приближение Щ [/(ги)] в виде и = ги + Щ [/(ги)], где ги =

(5). Нелинейный метод сжимающих отображений. Для решения нелинейного уравнения (/) рассмотрим следующий неявный итерационный процесс

£+Д+1(и7)+^Л+1 (*»)+«») = Д (£-«;+Д_(Л(ш)+и;)), /0(ш) = 0, являющийся обобщением метода (3). Построим проекцию элемента а на найденное приближение Д(ги) в виде и = ги +Д(ги), где ги =

Сходимость метода в некоторой окрестности О в гиперболическом случае следует из теоремы 1.2.

(6). Метод нелинейного уравнения. Перепишем условие инвариантности (I) для п-ой степени оператора Б. Для решения полученного уравнения относительно /(ги) рассмотрим неявный метод

типа (5): (Д+1(ги) +ги) = Д(52(Д(гу) + ги). Построим проекцию элемента а на найденное приближение Д(ги) в виде и — ги + Д(го), где ги = Р_а. Верна

Теорема 3.1. Пусть нулевая точка является гиперболической неподвижной точкой оператора Б. Тогда в некоторой окрестности О метод нелинейного уравнения разрешим для всех п > 0. Последовательность функций /1)П сходится в пространстве Ву(0) со скоростью геометрической прогрессии к функции /, определяющей устойчивое многообразие.

(7). Метод обратной итерации. Запишем условие инвариантности для п-ой степени оператора Для решения полученной задачи применим следующий неявный метод:

5+ (Л+1 (го) + ги) = /к (Я2(Л+1И + ги)), к = 0,1,2,...

с начальной функцией /о € В^(0). Построим проекцию а на найденное приближение Д(ги) в виде и — и) + /л(гу), где ги = Р_а. Верна

Теорема 3.2. Пусть нулевая точка является гиперболической. Тогда в некоторой окрестности О метод обратной итерации разрешим при всех к. Последовательность функций Д сходится в пространстве В^(0) со скоростью геометрической прогрессии к функции /, определяющей устойчивое многообразие.

В работе также рассматривается задача приближенного проектирования элемента а € О на устойчивое инвариантное многообразие И>~ при условии, что допустимое смещение берется из заданного подпространства С, =< ех,..., его >. Это соответствует построению последовательности элементов ип С О таких, что ип = а + и ип близки к множеству УУ~. Предлагаются итера-

ционные алгоритмы для решения данной задачи, на основе результатов первой главы доказывается разрешимость и сходимость.

Далее, в терминах решения задач (//), (I/) соответствующие алгоритмы проектирования на многообразие И'-^о) обобщаются на случай седловой траектории {5*(го)}. Условия разрешимости и сходимости получены и доказаны в теоремах 1.4-1.11 первой главы.

В параграфе 3.2 рассмотрена задача приближенного проектирования на неустойчивое инвариантное многообразие подмножества

О. Выпишем условие (II) инвариантности устойчивого многообразия УУ+ относительно оператора 5:

Ь-д(у) + Я-(д(у) +у)= д(ь+у + Л+(д(ь) + г;)). (II)

Для решения уравнения (II) относительно д(у) выпишем следующий итерационный процесс:

дп+1 (£+.($„(«) + V)) = (дп(ь) + ь). (3.32)

В этом случае для нахождения <7п-ц(и) при заданном г> и построенном приближении дп(и) требуется решить относительно ип+1 следующее нелинейное уравнение

Ь+ьп+1 + Д+(г;п+1 + р„(г;п+1)) = V (3.33)

и определить = .5- (£«(^«+1) + г>п+1).

Теорема 3.3. Пусть нулевая тонка является гиперболической. Тогда в некоторой окрестности для произвольного V € Р+О и произвольной функции до(ь) € Ау(Ог) итерационный процесс (3.32) сходится к неустойчивому многообразию со скоростью геометрической прогрессии с показателем # < I, не зависящем от у:

||Р_[д(и) - «*(«)]|! < - ио(гО]||, = + и.

Далее, в терминах решения задач (дд), (1д) соответствующие алгоритмы проектирования на многообразие УУ+(го) обобщаются на случай седловой траектории 5* (20). Условия разрешимости и сходимости соответствующих итерационных процессов получены и обоснованы в теоремах 1.12-1.16 первой главы.

В параграфе 3.3 рассматривается метод полной аппроксимации глобального аттрактора. Суть метода заключается в нахождении образа некоторой £-сети для поглощающего множества Ва. В терминах функции скорости притяжения формулируются оценки точности аппроксимации.

В четвертой главе, состоящей из четырех параграфов, приводятся результаты расчетов по аппроксимации устойчивых и неустойчивых многообразий и полной аппроксимации глобального аттрактора для различных полудинамических систем.

В параграфах 4.1, 4.2 решается задача приближенного проектирования на устойчивое многообразие в окрестности стационарной либо нестационарной точки для разностных аппроксимаций следующих задач: системы уравнений Лоренца, уравнения Чафе-Инфанта

(Ш, 2Б, окрестность стационарной и нестационарной точки), уравнения типа Бюргерса (Ш, 2Р, система двух уравнений в 2Э, окрестность стационарной и нестационарной точки), системы уравнений типа Навье-Стокса 20. Отметим, что проектирование на устойчивое многообразие по сути означает решение задачи асимптотической стабилизации по начальным условиям.

В параграфе 4.3 приводятся результаты расчетов по проектированию на неустойчивое многообразие в окрестности неподвижной точки для конечно-разностного аналога системы Лоренца и уравнений типа Навье-Стокса 2Б. Напомним, что решение данной задачи позволяет аппроксимировать с гарантированной точностью отрезки нетривиальных траекторий глобального аттрактора (если аттрактор существует) соответствующих полудинамических систем.

В параграфе 4.4 приводятся результаты расчетов (без оценки точности) полной аппроксимации глобального аттрактора для системы Лоренца и уравнения Чафе-Инфанта 1Б.

В заключении кратко формулируются основные результаты диссертационной работы.

Выделим главный результат диссертационной работы.

Предложен и строго обоснован метод глобального численного исследования динамики нестационарной системы с близкими начальными условиями и метод изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Основу разработанного метода составляют теоремы существования инвариантных многообразий в окрестности траектории сед-лового типа и теоремы о непрерывности глобального аттрактора, а также методика доказательства соответствующих теорем, позволяющая построить и обосновать эффективные численные алгоритмы.

Публикации по теме диссертации

1. Komev A.A. On New a priori Estimates for One Mathematical Model for Turbulence Flow and Their Applications in Numerical Simulation. Department of mathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 1997. Report 9727. P. 1-13.

2. Komev A.A. On the continuity property for an attractor of a semidynamical system with a parameter. Department of mathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 1999. Report 9917. P. 1-9.

3. Корнев А. А. Об одном критерии полной непрерывности аттрактора по параметру для некоторого класса полудинамических систем // ДАН. 1999. Т. 369, N.5. С. 597-599.

4. Корнев А.А. К вопросу об аппроксимации аттракторов полудинамических систем // Вестник МГУ. сер. матем. механика. 2000. N.3. С. 24-28.

5. Корнев А.А. О новых оценках для модифицированных уравнений Навье-Стокса в областях с негладкой границей в трехмерном пространстве // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6, вып.4. С. 1121-1129.

6. Корнев А.А. Об аппроксимации аттракторов полудинамических систем // Матем. сборник. 2001. Т. 192, N.10. С. 19-32.

7. Kornev A.A., Roganof V.A., Slepuhin A.F. On an unstable manifold and approximation attractor of a semidynamical system on a parallel computer under a T-system. Department of mathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 2001. Report 0104. P. 1-14.

8. Корнев А.А. О неустойчивых многообразиях в окрестности существенно негиперболической точки // ДАН. 2001. Т. 377, N.6. С. 743-745.

9. Корнев А.А. К общей теории устойчивости полудинамических систем// Доклады РАН. 2002. Т. 387, N.1. С. 13-15.

10. Kornev A.A. On globally stable dynamical process // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17, N.5. P. 427-436.

11. Корнев А.А. Об устойчивости полудинамических систем // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского, N.20, Численные методы решения линейных и нелинейных сеточных задач. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. С. 3-36.

12. Корпев A.A. Об итерационном методе построения "усов Ада-мара"// ЖВМиМФ. 2004. Т. 44, N.8. С. 1346-1355.

13. Корпев A.A. Классификация методов приближенного проектирования на устойчивое многообразие // Доклады РАН. 2005. Т. 400, N.6, С. 736-738.

14. Корпев A.A., Озерицкий A.B. О приближенном проектировании на устойчивое многообразие // ЖВМиМФ. 2005. Т. 45, N.9. С. 1580-1586.

15. Корпев A.A. Метод асимптотической стабилизации по начальным данным к заданной траектории // ЖВМиМФ. 2006. Т. 46, N.1. С. 37-51.

Подписано в печать 17.01.2006 г. Формат 60x90 1/16. Объем 2 п.л. Заказ 7 Тираж 100 экз.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ г. Москва, Воробьевы горы.

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059 от 20.02.2001 г.

Отпечатано на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

Глава 1 Траекторный аналйз

1.1 Инвариантные многообразия

1.2 Окрестность стационарной точки.

1.2.1 Устойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки.

1.2.2 Неустойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки.

1.2.3 Устойчивое многообразие в окрестности седловой точки.

1.2.4 Неустойчивое многообразие в окрестности сед-ловой точки.

1.3 Окрестность нестационарной точки.

1.3.1 Устойчивое многообразие

1.3.2 Неустойчивое многообразие.

Глава 2 Глобальный анализ

2.1 Аттрактор

2.1.1 Полугруппы АК-класса.

2.2 Устойчивость.

2.2.1 Полу непрерывность сверху

2.2.2 Критерий полной непрерывности.

2.2.3 Полунепрерывность аттрактора для модифицированных уравнений Навье-Стокса.

2.2.4 Время притяжения.

Глава 3 Численные алгоритмы

3.1 Проектирование на устойчивое многообразие.

3.1.1 Классификация методов для неподвижной точки

3.1.2 Общий случай допустимых смещений.

3.1.3 Методы проектирования для нестационарной точки

3.1.4 Реализация для неподвижной точки.

3.1.5 Реализация для нестационарной точки.

3.2 Проектирование на неустойчивое многообразие.

3.2.1 Методы для неподвижной точки.

3.2.2 Методы для нестационарной точки.

3.2.3 Практическая реализация.

3.3 Аппроксимация глобального аттрактора.

Глава 4 Результаты расчетов

4.1 Устойчивое многообразие. Неподвижная точка

4.2 Нестационарная точка.

4.3 Неустойчивое многообразие. Неподвижная точка

4.4 Аппроксимация аттрактора.

Глобальное численное исследование нелинейного нестационарного процесса (полудинамической системы) предполагает изучение эволюции системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также описание качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Эффективное решение данных задач имеет важное теоретическое и прикладное значение, так как позволяет не только анализировать и предсказывать динамику конкретной траектории, но и управлять динамикой, а также моделировать качественные глобальные изменения в случае возмущения оператора эволюции. Работа направлена на разработку теоретических и прикладных методов решения данных задач.

Изучение системы с известным оператором эволюции •) для конкретных начальных данных ао заключается в построении траектории ^ = 5(;£,ао) требуемой длины I Е [О,Г]. Будем считать, что рассматриваемый процесс точно определяется оператором •), т.е. найденное значение с^ точно соответствует состоянию системы в момент времени Ь. В этом случае появляется возможность не только предсказывать эволюцию системы для имеющегося начального условия ао, но и пытаться за счет некоторого изменения ао обеспечить требуемую динамику. Формально это означает, что для оператора 5, действующего в пространстве Н и задающего некоторый эволюционный процесс, требуется построить по заданным начальным условиям а о и такую поправку I 6 £ С Я, что траектория ао+1) сближается с траекторией 5(£, 2о) при 0 < £ < Т. По сути постановка задачи означает, что эволюционный процесс с начальным условием предпочтительнее, чем с имеющимся условием ао- Мы хотим изменить ао и обеспечить требуемую динамику. Конечномерное подпространство С задает вид допустимых смещений при изменении начальной точки ао- Если (^о — ао) £ А т0 можно выбрать и = ао + / = ^о- В этом случае — ¿>(£,го) = 0. Будем считать, что (^о — ао) ^ С. Наличие подпространства допустимых смещений С означает, что изменять начальные данные разрешается только в определенных пределах. Например, если ао является функцией, определенной в области Г2, то подпространство С может состоять из финитных функций, отличных от нуля в некоторой подобласти О' С О. В этом случае исходные данные ао будут изменяться только в О'. Если же (^о — ао) £ А но норма (го—ао) недопустимо велика, то, возможно, существенно меньшими по норме изменениями I можно достичь требуемой сходимости траекторий за счет внутренней устойчивости оператора задачи. Дело в том, что обычно неустойчивость оператора в сосредоточена на некотором конечномерном подпространстве пространства Н. Поэтому в имеющейся погрешности (^о — ао) достаточно исключить только неустойчивую составляющую. Убывание погрешности в устойчивом подпространстве обеспечивается разрешающим оператором 5 задачи. В некотором смысле, мы хотим достичь требуемого сближения траекторий, выбрав подходящие начальные данные с учетом внутренней структуры близких траекторий. Отметим, что метод асимптотической стабилизации по краевым условиям для нестационарных уравнений математической физики требует решения подобного рода задач. К такого рода задачам также относится инженерная проблема скорейшего вывода системы на требуемый режим (например, предварительный прогрев точного прибора), а также удержание механической системы в окрестности точки условно устойчивого равновесия. Конечномерность подпространства С не означает конечности числа его элементов, поэтому значение I даже теоретически невозможно найти полным перебором.

В работе (см. [55]-[58]) решение задачи строится на основе известных результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий, разработанных для динамических систем гиперболического типа. Если траектория ¿>(£,2о) является гиперболической (т.е. близкие к траектории качественно ведут себя как в окрестности седловой точки), то го) и ао) для почти всех ао локально расходятся. Однако, согласно обобщенной теореме Адамара-Перрона [1, 79, 88], при выполнении условий частичной гиперболичности в окрестности Ого существует так называемое локальное устойчивое многообразие задаваемое некоторой функцией /. Траектория каждой точки устойчивого многообразия сближается с траекторией точки ZQ при всех £ > 0. Поэтому решение рассматриваемой задачи можно сформулировать как приближенное проектирование на многообразие /)• Точность проектирования будет определять гарантированное время [0, Т] сближения траекторий. При этом для точек многообразия У\>~(го, /) значение Т может быть выбрано сколь угодно большим.

Теорема Адамара-Перрона также утверждает, что в окрестности 0Яо существует локальное неустойчивое многообразие УУ+(го,д). Все точки и из окрестности Ого притягиваются под действием оператора и) к Н;+(го, д)). Таким образом данное множество определяет качественную картину динамики на больших временах для близких к 5(£, го) траекторий. Более того, в терминах неустойчивых многообразий удается определить глобальный аттрактор М полудинамической системы ■), Н}. Множество М равномерно притягивает с течением времени все траектории с начальными данными из произвольного ограниченного подмножества Ва С Я.

Устойчивые и неустойчивые многообразия называют [68] "усами Адамара". Множества УУ^ локально определяют [79, 1, 64, 85] качественную картину динамики, то есть поведение траекторий вида {¿>(£,14)} для £ > 0 пока С Ог%, гг = Б (к, г о). Многообразие УУ-^,/) играет существенную роль в теории устойчивости Ляпунова [79], общей теории динамических систем [1], задачах асимптотической стабилизации неустойчивого [98] решения, в том числе для уравнений математической физики. Так как устойчивое многообразие составляют те точки и окрестности Ого, для которых и) С Ог1. при всех £ > 0, то процесс стабилизации по своей сути заключается в некотором проектировании начальных данных на о,/).

В терминах многообразия IV- (0, /) и "правильности по Ляпунову" [79] решается, например, вопрос об условной устойчивости тривиального решения х(£) = 0 системы дифференциальных уравнений ¿[х

- = А(£)ж + .Р(£, х), где ж, ^ - векторы, а А(1) - матрица, равномерно ограниченная и равномерно непрерывная. Отметим также, что многообразие УУ~ играет существенную роль в классической теории У-систем [1] и различных к ней дополнениях [86, 87, 88].

В терминах многообразия УУ+ строятся так называемые [68] глобально устойчивые аппроксимации - позволяющие получать обоснованные численные результаты при расчетах на формально бесконечном интервале времени. Сходимость в этом случае понимается в смысле близости аттракторов дифференциальной М и разностной Мн задач. Напомним, что глобальный аттрактор по сути представляет собой (см. [61]-[76], [3]-[6], [95]) некоторое предельное множество решений, реализуемых в системе при £ —> оос начальными данными из достаточно большого шара Ва. В рамках такого подхода основное внимание уделяется изучению структуры глобального аттрактора задачи, в том числе (см. [3]) его аппроксимации (см. [36], [37, 38, 39]) с требуемой точностью. Известно [4], что глобальный аттрактор представляет собой неустойчивое многообразие для окрестности Ва. Поэтому возможность нахождения с известной точностью точек W+ позволяет решить задачу аппроксимации нетривиальных траекторий глобального аттрактора с требуемой точностью. Это имеет важное практическое значение для обоснования (см. [45, 46, 50]) численных расчетов сильно неустойчивых нестационарных задач на больших интервалах времени. Например, при численном моделировании [14]-[18] климатической изменчивости.

Теория локальных устойчивых и неустойчивых многообразий для систем гиперболического типа активно развивается с 1960-х годов и на данный момент считается построенной. Имеется цикл работ отечественных и зарубежных авторов, где получены законченные результаты о существовании многообразий, выяснены их свойства, описана общая картина динамики отдельных траекторий. Основы данной теории в конечномерных пространствах были заложены в работах А.М. Ляпунова, А. Пуанкаре, Г. Дарбу, Ж. Адамара, О. Перрона (см. §4 и библиографию в [1]). Ключевое место принадлежит работам Д.В. Аносова [1]. Несколько позже соответствующие результаты были получены для банаховых пространств. Так в работах Юдовича обоснован (см. [104]) принцип линеаризации для уравнений Навье-Стокса. Отметим работу [64] O.A. Ладыженской и В.А. Солонникова, где соответствующая задача была решена для уравнений магнитной гидродинамики (предложенная в [64] техника активно применялась в данной работе.)

Далее, в цикле работ Я.Б. Лесина (см. [85]-[89]) результаты теории гиперболических систем были обобщены на частично неравномерно гиперболические системы (случай нестационарной траектории нами исследовался (см. [55]-[58]) на основе результатов Я.Б. Лесина).

В данной работе получено обобщение соответствующих результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий на траектории седлового типа. В окрестности седловой траектории локальное поведение качественно напоминает динамику гиперболической системы, но формально траектория не является ни гиперболической, ни частично гиперболической. Показано, что условие гиперболичности можно ослабить. Для существования достаточно, чтобы в окрестности стационарной точки (траектории) исходное пространство разлагалось в прямую сумму двух подпространств таких, что на одном подпространстве оператор задачи является слабо растягивающим, а на другом не растягивающим. При этом соответствующие условия проверяются для точек специального вида.

Отметим, что вопрос об устойчивости движений в негиперболическом случае рассматривался в диссертации и последующих работах A.M. Ляпунова [79], где были, в том числе, предложены методы решения данной задачи для некоторых систем подобного типа. Однако, применяемая техника функционально-аналитических рядов в этом случае требует исключительно кропотливого исследования. Дальнейшие ■исследования, проводимые различными авторами [94, 28, 36, 97, 5, 26], значительно расширили круг решенных задач, в том числе о существовании УУ^ для уравнений в частных производных. Нетривиальные результаты получены в работах А.И. Рей-зинь, С. Coleman, С.Ю. Пилюгина, И.Н. Костина (см. [92, 20, 91, 40]). Однако, рассматриваемые схемы доказательства существенно опирались либо на особенности конкретной задачи, либо на одномерность негиперболического подпространства разрешающего оператора.

В данной работе предложен общий метод исследования в окрестности седловой траектории. При этом сформулированные условия позволяют рассматривать задачи, для которых строго гиперболические подпространства отсутствуют, а главные члены оператора динамической системы имеют, например, следующий вид S±(to,u) =

Р±(и ± Ски2к+1 + .). Соответствующие результаты получены на основе известного метода сжимающих (экспоненциально) отображений, и его обобщении на случай слабо сжимающих (полиномиально) отображений. Отметим, что полиномиальный закон сжатия является известным, однако возможность его применения для решения данной задачи не является очевидной. Существование многообразий в седловом случае заложено в определении, поэтому проблема состояла в конструктивном описании соответствующего типа отображений. Полученные результаты асимптотически неулучшаемы, однако проверка требуемых условий для конкретных задач может оказаться отдельной проблемой.

Теоретические результаты о существовании локального устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности Ого изолированной неподвижной негиперболической точки ^о, а также в окрестности траектории седлового типа изложены в первом разделе работы. Предварительно приводятся известные результаты для гиперболической точки. На основе изложенных методов в третьем разделе строятся численные алгоритмы.

Теоретические результаты и практические алгоритмы для неустойчивого многообразия УУ+ не являются переформулировкой соответствующих теорем, полученных для многообразия >У~, хотя известно, что при формальном обращении времени устойчивое и неустойчивое многообразие меняются местами. Данный прием неприменим в случае полудинамических систем, т.к. оператор Я не имеет обратного, а также для седловых систем. Отметим, что эффективность численных алгоритмов также существенно зависит от реализации, так как практическое обращение оператора 5 может оказаться исключительно трудоемкой, либо некорректной вычислительной задачей. Полученные результаты для локально неустойчивых многообразий применяются во втором разделе, а также при построении численных алгоритмов.

Если основная задача первого раздела по сути сводится к исследованию устойчивости отдельной траектории, то во втором разделе рассматривается вопрос об устойчивости предельного (по времени) множества всех траекторий. Дело в том, что при решении практических задач исходный оператор S(t, •) и начальные данные üq заменяются на приближенные S\(t, ■) и a,Q. Параметр Л отвечает за точность приближения. Более того, обычно приходится рассматривать и новое приближенное пространство состояний Н\. В результате моделируемая = S\ (t, <2q) и истинная at — S(t, ao) траектории начинают с течением времени расходиться. При этом стандартная оценка локальной скорости расхождения имеет экспоненциальный вид: W^t—at1l ^ C\eat,a > 0, а коэффициент С\ стремится к нулю при повышении точности аппроксимаций оператора и начальных данных. Это приводит к тому, что точность моделирования \\at—< е можно гарантировать на некотором конечном отрезке времени [0,Т(е)].

Для многих реальных процессов суммарная погрешность модели, аппроксимации начальных данных, форсинга имеет практически неустранимый характер. В итоге время моделирования Т(е) с гарантированной точностью оказывается много меньше интересующего. Это верно, например, при моделировании неустойчивых течений жидкости, газа, в общей теории климата. Однако, для подобных задач наибольший интерес представляет не поведение конкретной траектории, а некоторое типичное состояние, которое может наблюдаться в системе. Строгое определение типичности зависит от задачи. В связи с этим возникает проблема описания всех возможных предельных состояний М, которые реализуются в системе при больших временах. Отметим, что данная постановка разумна только для систем с компактным множеством М. Для задач математической физики, описывающих различные физические процессы и действующих в некомпактных пространствах, существование М и, тем более, его компактность неочевидны.

За последние три десятилетия в теории динамических систем и дифференциальных уравнений были получены многочисленные факты, показывающие, что многие физические (химические, биологические, социальные) процессы являются диссипативными - все множество возможных событий (начальных данных) с течением времени сжимается к множеству реализуемых событий, которое составляет крохотную часть всего пространства событий. При этом предельное множество реализуемых событий компактно и, как следствие, может быть аппроксимировано с любой требуемой точностью конечным числом элементов. Такое предельное множество получило название глобальный аттрактор. Также стоит отметить цикл монографий И. Пригожина, где строится концепция физического понятия "стрелы времени". В данной теории показывается, что каждый нестационарный физический процесс эволюционирует к некоторому множеству предельных состояний.

К концу 40-х годов в основном была построена общая теория предельных множеств для полудинамических систем (ПДС) в локально компактных пространствах. Суть данной теории заключается в изучении минимальных множеств, притягивающих с течением времени ту или иную часть фазового пространства задачи. Первые результаты для ПДС, действующих в нелокально компактных пространствах, были получены в работах Дж. Хейла и его коллег [24, 25] при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Приблизительно в это же время O.A. Ладыженская (см. [63]) для двумерных уравнений Навье-Стокса построила множество М, равномерно притягивающее произвольное ограниченное подмножество В исходного пространства Я. Была доказана минимальность данного множества среди всех, обладающих этим свойством, строгая инвариантность относительно разрешающего оператора задачи. Среди всех строго инвариантных подмножеств пространства множество М является максимальным. Само М компактно и связно. На нем исходная полугруппа S(t,-) продолжается до непрерывной группы. Каждая полная траектория из М определяется ее ортопроекцией на некоторое фиксированное конечномерное подпространство. Построенное множество было названо минимальным глобальным ß-аттрактором ПДС. В настоящий момент Л4 обычно называют [95] глобальным аттрактором.

Значение работы [63] стало понятно, когда в рамках предложенного подхода удалось исследовать класс компактных (/С-класс) полудинамических систем и обобщить его на асимптотически компактные (Л/С-класс) задачи. По рассмотренной схеме подробно исследованы уравнения Навье-Стокса, полулинейные параболические уравнения, уравнение Шредингера, волновое уравнение. При этом выяснилось, что Д/С-класс охватывает, в некотором смысле, все задачи с компактным глобальным аттрактором. Теория аттракторов эволюционных уравнений (теория глобальной устойчивости) формировалась в работах A.B. Бабина, М.И. Вишика [4], O.A. Ладыженской [68],[72], Р. Темама [95], Дж. Хейла [26] и других исследователей. Полученные к настоящему моменту результаты охватывают весьма широкий класс задач математической физики. Несколько иной подход [5] к решению данной задачи позволяет также построить общую теорию для уравнений с неединственными решениями и правой частью, зависящей от времени.

Таким образом, с течением времени остаются только точки глобального аттрактора (и близкие к ним). Так как динамика на аттракторе в общем случае продолжает оставаться сильно хаотичной, и мы не можем достаточно долго отслеживать отдельную траекторию движения, то естественно ограничиться изучением общего поведения динамической системы на аттракторе. В рамках данного подхода при моделировании нестационарных процессов выделяются несколько отдельных задач.

Существование М позволяет сформулировать условие близости исходной и возмущенной задач на бесконечном интервале времени в терминах близости аттракторов соответствующих задач. Если при малых возмущениях аттрактор Л4\ приближенной задачи находится в малой окрестности Л4, то множество М полунепрерывно сверху зависит от параметра Л. Такого рода аппроксимации O.A. Ладыженская предложила называть [68] глобально устойчивыми. В данном случае приближенная траектория всегда будет оставаться в некоторой малой окрестности предельного множества Л4. При этом, возможно, не существует точной траектории которая близка к моделируемой при всех t > 0. При этом считается, что разрешающий оператор возмущенной задачи аппроксимирует исходный оператор в стандартном смысле.

Проблема сходимости М\ к М. исследовалась, начиная с работ [35, 3, 68], многими авторами. Были получены условия, при выполнении которых аттрактор исходной задачи полунепрерывно сверху зависит от возмущающего параметра в разрешающем операторе задачи. То есть аттракторы М.\ семейства задач, аппроксимирующих данную, содержатся в е-окрестности исходного аттрактора М. Основные результаты подытожены в монографии [4]. Позднее вопрос о близости аттракторов двух полудинамических систем при условии близости в некотором смысле их разрешающих операторов рассматривался в работах [71, 27, 8, 33, 36, 96, 97, 105]. При достаточно общих предположениях для асимптотически компактных полугрупп доказана полунепрерывность сверху (глобальная устойчивость). Полная непрерывность доказана [4, 36] для полугрупп, аттракторы которых компактны и представляют собой объединение неустойчивых многообразий конечного числа гиперболических стационарных точек полупотоков. При этом необходимо, чтобы полудинамическая система принадлежала указанному классу равномерно по параметру. В работе [71] проведен детальный анализ некоторых конечно-разностных аппроксимаций для полулинейных параболических уравнений. В работах [73, 74, 75] аналогичные результаты получены для двумерных уравнений Навье-Стокса. Следует отметить, что в [75] были найдены новые априорные оценки, и дан принципиально новый метод их вывода. Дело в том, что существование компактного Л4 (Л4д) обусловлено двумя свойствами задачи: наличием ограниченного поглощающего множества в фазовом пространстве Н и компактностью в Н разрешающих операторов задачи ■) при t > 0. Первое свойство без особого труда выводится из уравнения баланса энергии, второе же обычно получают из некоторого интегрального соотношения с помощью неравенства Солонникова-Каттабрига, которое справедливо для областей с достаточно гладкой границей, например дС1 С С2. В работах [73, 74] для уравнений Навье-Стокса свойство компактности разрешающего оператора получено для ограниченных областей О С Л2 с негладкой границей. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что он непосредственно переносится не только на аппроксимации типа Ротэ и Фаэдо-Галеркина [73], использующие в качестве базисных функций собственные функции оператора Сток-са и представляющие интерес с теоретической точки зрения, но и на метод конечных элементов и на большинство конечно-разностных схем. Аналогичные оценки [49] имеют место также и для модифицированных уравнений Навье-Стокса в смысле Ладыженской для трехмерного случая. Таким образом, в общем случае вопрос о полунепрерывности глобального аттрактора сверху подробно исследован.

Более сложной оказывается проблема описания всей динамики на аттракторе. Данная задача соответствует построению аппроксимаций, для которых имеет место полная непрерывность (непрерывность сверху и снизу) аттрактора Л4 по параметру аппроксимации, и нахождению е-сети для множества Л4. Отметим, что в общем случае данные задачи не эквивалентны.

Свойство компактности глобального аттрактора позволяет аппроксимировать его конечной е-сетью с любой интересующей точностью. Имеется по крайней мере два подхода к построению такой аппроксимации. Первый подход [38] основан на свойстве равномерного притяжения к аттрактору поглощающего множества Ва, т.е. на формуле М. — р|£>0[5(£, Ва)]#, второй — на возможности продолжить [97] на М исходную ПДС до непрерывной группы, т.е. на формуле М = УУ+{Ва).

Первая проблема, возникающая при этом, отмечалась еще в работе [63], где на простейшем примере было показано, что аттрактор конечного подмножества исходного пространства может существенно отличаться от глобального аттрактора задачи. Это означает, что полная непрерывность не достаточна для построения е-аппроксимации аттрактора. Далее, в большинстве случаев мы вынуждены заменять исходный оператор •) задачи на приближенный. Это приводит к тому, что в лучшем случае удается аппроксимировать аттрактор М\ возмущенной задачи.

В работе [38] И.Н. Костина предлагалось аппроксимировать исходный аттрактор специально построенными множествами, сходящимися к исходному аттрактору в хаусдорфовой метрике. Однако в рамках предложенного подхода неясно как именно оценивать скорость сходимости и, следовательно, получаемую точность аппроксимации. В данной работе показано, что полная непрерывность аттрактора и задача построения е-аппроксимации, в некотором смысле [47] , равносильны нахождению функции скорости притяжения к аттрактору. Это позволяет описать класс возмущений, для которых имеет место полная непрерывность аттрактора исходных ПДС, предложить конструктивный алгоритм аппроксимации аттрактора с произвольной точностью и оценить (в терминах Ф(£)) его сходимость.

Существование Ф (¿) следует из определения глобального аттрактора [68]. В терминах функции естественно формулируются [68, 4, 14, 8] и доказываются базовые утверждения общей теории глобальных аттракторов. Особое внимание развитию данного вопроса уделял в своих работах А.Н. Филатов [14].

Априорные оценки для Ф(£) удается построить [4, 40] на основе общей теории неустойчивых многообразий >У+ только для задач с хорошей функцией Ляпунова и конечным числом негиперболических точек. Отметим, что конструктивные оценки для и случай существенно негиперболических отображений рассматриваются впервые. При этом результаты о полной непрерывности аттрактора для такого типа задач в случае гиперболических точек, а также для задачи Чафе-Инфанта с одномерным негиперболическим подпространством, хорошо известны.

Однако, хорошая функция Ляпунова известна только для отдельного класса задач (хотя, формально, Ф(£) можно считать хорошей функцией Ляпунова), поэтому представляет интерес конструктивный алгоритм определения скорости притяжения к аттрактору. В работе (см. [54]) для двумерных уравнений Навье-Стокса, задача о каверне, рассматривается вопрос о численном нахождении оценки для функции Ф(£). В рассмотренном диапазоне параметров, как показывают результаты численных экспериментов, разрешающий оператор задачи является сжимающим. В этом случае несложно доказать, что аттрактор представляет собой единственную неподвижную точку в пространстве решений, соответствующую стационарному решению, которая притягивает равномерно любое ограниченное подмножество начальных данных. Скорость притяжения к аттрактору определяется параметром сжатия отдельных траекторий.

В общем случае в окрестности точек аттрактора существуют как устойчивые так и неустойчивые слои. Это приводит к тому, что близкие траектории с течением времени начинают расходиться. В этом случае асимптотическая скорость притяжения малой окрестности вдоль произвольной траектории аттрактора определяется скоростью притяжения к неустойчивому слою, построенному вдоль рассматриваемой траектории, т.е. глобальными показателями Ляпунова. Определяющее значение сходимости глобальных показателей Ляпунова по параметру дискретизации для глобальной устойчивости задач математической физики подчеркивалось в работах В.П. Дымникова, А. С. Грицуна [15, 16]. Сходимость глобальных показателей Ляпунова в общем случае является необходимым условием глобальной устойчивости полудинамических систем.

Общая теория глобальной устойчивости полудинамических систем в локально некомпактных пространствах является одним из основных методов обоснования результатов численного моделирования нестационарных неустойчивых диссипативных процессов. Изложенная в цикле работ [90] точка зрения на физическую основу реальных динамических процессов позволяет надеяться на универсальность теории глобальных аттракторов и теории глобальной устойчивости.

Третий раздел содержит численные алгоритмы аппроксимации локальных инвариантных многообразий, а также метод аппроксимации глобального аттрактора и его нетривиальных траекторий. Наличие формальных теорем существования многообразий УУ^ не обеспечивает решение задачи построения искомых множеств. Основное внимание в работе уделено разработке прикладных алгоритмов аппроксимации многообразий. При этом рассмотренные в работе методы, в том числе, могут применяться для конструктивного доказательства существования многообразий УУ^ в окрестности траектории гиперболического типа.

Отметим, что теоремы существования многообразий обычно доказываются именно конструктивным образом. Так в методе функционально - аналитических рядов формулируется правило построения коэффициентов ряда, задающего искомое многообразие; в методе сжимающих отображений - выписывается итерационный процесс в пространстве функций, сходящийся к искомому многообразию. Структура доказательства состовляет основу численных алгоритмов.

При численном решении задачи построения многообразий наибольшее развитие получил метод функционально-аналитических рядов, а также его некоторое обобщение [23]. Однако, реализация данных подходов для задач высокой размерности и, как следствие, для банаховых пространств затруднительна.

В данной работе за основу выбран метод сжимающих отображений. Показано, что многие известные методы решения данной задачи, в том числе и метод рядов, можно сформулировать как различные модификации итерационного процесса решения функционального уравнения, задающего многообразие. В рамках данного подхода удалось не только теоретически сравнить эффективность имеющихся алгоритмов, но также предложить новые методы решения рассмотренной задачи. Отметим, что наиболее универсальный и эффективный численный алгоритм построен на основе предложенного метода доказательства существования многообразий в седловом случае. Соответствующие алгоритмы могут быть реализованы в общем виде, в том числе [84] на слабо связанных вычислительных комплексах.

Если в случае неподвижной точки го = ¿о) имеются [21, 81, 23] прикладные алгоритмы аппроксимации многообразий, то для траекторий данная задача рассматривается и решается, видимо, впервые. Дело в том, что соответствующий переход не является формальным техническим обобщением, хотя имеется [88] аккуратное конструктивное доказательство существования устойчивого многообразия методом рядов. Дело в том, что, как известно [1, 79, 88], устойчивое многообразие зависит от свойств оператора 5 вдоль всей полутраектории ^о), Ь > 0. Это затрудняет применение имеющихся теоретических результатов о существовании устойчивого многообразия при практических расчетах. Отметим, однако, что рассматриваемый в данной работе подход для решения задачи проектирования в окрестности траектории весьма идейно близок к известному методу преобразования графика, изложенному, например, в работе [2].

Формулировка задачи проектирования на устойчивое многообразие вдоль подпространства Д а также теоретическое обоснование ее корректности имеется в работах A.B. Фурсикова [98], [99]. Численное решение соответствующей задачи для нестационарных уравнений математической физики методом "нулевого приближения" (а также численное решение задачи асимптотической стабилизации по краевым условиям) подробно исследовано и изложено в работах Е.В. Чижонкова [101, 102, 103].

Численные алгоритмы аппроксимации устойчивых многообразий рассматривались в работах Гукенхемера и Владимирского [23]. Однако, применение данных результатов для пространств высокой размерности и, в том числе, для уравнений математической физики, весьма проблематично. Также, видимо, остается открытым вопрос о строгом обосновании сходимости соответствующих алгоритмов.

В работе предлагается итерационный метод построения искомой проекции и = üq + обосновывается сходимость, проверяется эффективность для системы Лоренца, одно- и двумерного уравнения Чафе-Инфанта, одного уравнения и системы двух уравнений типа Бюргерса в одно- и двумерном случае, системы уравнений типа Навье-Стокса в двумерном случае. Широкий спектр рассматриваемых задач показал эффективность предложенных алгоритмов, а также позволил оценить область применимости разработанного подхода.

Отдельно рассматривается задача численного проектирования на неустойчивое многообразие. Предложенные алгоритмы позволяют построить искомую проекцию в том числе для уравнений в частных производных, что позволяет аппроксимировать с гарантированной точностью нетривиальные траектории глобального аттрактора уравнений типа Навье-Стокса, Бюргерса, Чафе-Инфанта. Численные расчеты по аппроксимации глобального аттрактора (либо его части) для задач большой размерности на данный момент практически отсутствуют. Отметим цикл работ В.П. Дымникова, A.C. Гри-цуна, Е.В. Казанцева (см. [15]-[18]) по аппроксимации аттракторов различных климатических моделей.

В работе далее также рассматривается метод полной аппроксимации глобального аттрактора, основанный на функции Ф(£) скорости притяжения к аттрактору. В общем случае данный подход требует решения очень большого числа нестационарных задач на единичном интервале времени с различными начальными данными и, как следствие, требует очень больших вычислительных ресурсов. Однако стоит отметить возможность его эффективной реализации на слабо связанных вычислительных комплексах, так как каждая из отдельных траекторий может вычисляться полностью автономно, а возможность обмена информацией требуется только в момент формирования начальных данных и в конечный момент построения аттрактора. Данный метод применялся (без строгого обоснования) для аппроксимации аттрактора уравнений Навье-Стокса в задаче о каверне, для уравнения Чафе-Инфанта, системы Лоренца.

Выделим главный результат диссертационной работы.

Предложен и строго обоснован метод глобального численного исследования динамики нестационарной системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также метод изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий.

Основу разработанного метода составляют следующие результаты: построение и математическое обоснование эффективных численных алгоритмов проектирования на устойчивые и неустойчивые многообразия в окрестности точки и траектории седлового типа для широкого класса задач, численное решение задачи асимптотической стабилизации по начальным данным и аппроксимации нетривиальных траекторий глобального аттрактора для нестационарных уравнений математической физики; обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай существенно негиперболической точки и траектории, получение асимптотически неулуч-шаемых условий существования локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, методика построения доказательства; сведение проблемы непрерывности глобального аттрактора и его аппроксимации к исследованию функции времени притяжения к аттрактору, критерий полной непрерывности аттрактора.

Получению результатов способствовало личное общение с большим количеством научных исследователей. Я искренне признателен каждому. Особо хочется поблагодарить Евгения Владимировича Чи-жонкова и Андрея Владимировича Фурсикова. Я глубоко благодарен Ольге Александровне Ладыженской за ее замечательные научные труды, руководителям семинара "Динамические процессы и системы" Дмитрию Викторовичу Аносову и Анатолию Михайловичу Степину за научное общение,

Валентину Павловичу Дымникову за конструктивное отношение к работе.

Я глубоко благодарен Николаю Сергеевичу Бахвалову за его удивительные человеческие качества.

Заключение

В диссертационной работе предложен и строго обоснован метод глобального численного исследования динамики нестационарной системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также метод изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

1. Построение, математическое обоснование и практическая реализация на языке С/С++ эффективных численных алгоритмов проектирования на устойчивые и неустойчивые многообразия в окрестности точки и траектории седлового типа для широкого класса задач.

2. Обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай существенно негиперболической точки и траектории, получение асимптотически неулучшаемых условий существования локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, методика построения доказательства.

3. Сведение проблемы непрерывности глобального аттрактора и его аппроксимации к исследованию функции времени притяжения к аттрактору, критерий полной непрерывности аттрактора.

В прикладном аспекте новыми являются: получение априорных оценок, позволяющих доказать глобальную устойчивость широкого семейства разностных аппроксимаций для модифицированных (в смысле Ладыженской) уравнений Навье-Стокса в трехмерных областях, численное решение задачи проектирования на устойчивое и неустойчивое многообразия для системы Лоренца, многомерных уравнений типа Чафе-Инфанта, Бюргерса, Навье-Стокса, аппроксимация нетривиальных траекторий глобального аттрактора сложных многомерных ПДС, решение задачи асимптотической стабилизации по начальным данным в окрестности неподвижной точки и в окрестности траекторий седлового типа, численное исследование скорости притяжения к глобальному аттрактору для различных полудинамических систем.

1. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова, Т. 90, 1967.

2. Аносов Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара // Научн. докл. высш. шк., физ.-матем. науки. 1959. N.1. С. 3-12.

3. Бабин A.B. , Вишик М.И. Неустойчивые инвариантные множества полугрупп нелинейных операторов и их возмущение // Усп. Матем. Наук. 1986. Т. 41, N.4. С. 3-34.

4. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

5. Вишик М.И., Чепыжое В. В. Траекторный и глобальный аттрактор 3D системы Навье-Стокса // Матем. заметки. 2002. Т. 71, вып.2. С. 194-213.

6. Бабин A.B., Вишик М.И. Максимальные аттракторы полугрупп, соответствующих эволюционным дифференциальным уравнениям // Матем. сборник. 1985. Т. 126, N.3. С. 397-419.217

7. Вишик М.И., Фурсикое А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980.

8. Бабин А.В., Пилюгин С.Ю. Непрерывность аттракторов от формы границы // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1995. Т. 26, N.221. С. 58-66.

9. Бахвалов П.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988

11. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

12. Годунов С. К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 2002.

13. Булгаков А.Я., Годунов С. К. Круговая дихотомия матричного спектра // Сибирский матем. журнал. 1988, Т. 29, N.5, С. 59-70.

14. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата. М.: ВИНИТИ, 1994.

15. Dymnikov V.P., Gritsoun A.S. Chaotic attractors of atmospheric models// Russ.J.Numer.Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17, N.3. P. 249-281.

16. Dymnikov V.P., Gritsoun A.S. On the structure of the attractors of the finite-dimensional approximations of the barotropic vorticity equation on a rotating sphere / / Russ.J.Numer.Anal.Math.Modelling. 1997. V. 12, N.l. P. 1332.

17. Dymnikov V.P., Kazantsev Ch., Kazantsev E. On the "generic memory" of chaotic attractor of the barotropic ocean model // Chaos, Solitons and Fractals. 2000. N.ll. P. 507-532.

18. Дымников В.П., Казанцев Е.В. О структуре аттрактора, порождаемого системой уравнений баротропной атмосферы // Известия РАНб ФАиО. 1993. Т. 29, N.5. С. 581-595.

19. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. М.: Мир, 2001.

20. Coleman С. Growth and decay estimates near non-elementary stationary points // Can. J. Math. 1970. V. XXII, N.6. P. 11561167.

21. Dellnitz M., Hohmann A. A subdivision algorithm for the computation of unstabel manifolds and global attractors // Numer. Math. 1997. V. 75. P. 293-317.

22. Eckmann J.-P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Reviews of Modern Physics. 1985. V. 57, N.3. P. 617655.

23. Guckenheimer JVladimirsky A. A fast method for approximating manifolds // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2004. V. 3, N.3. P. 232-260.

24. Hale J.K., La Salle J.P., Slemrod M. Theory of a general class of dissipative process // J. Math. Anal. Appl. 1972. V. 39. P. 177-191.

25. Hale J.K., La Salle J.P., Slemrod M. Theory of a general class of dissipative process // J. Math. Anal. Appl. 1972. V. 39. P. 177-191.

26. Hale J.K., Magalhaes L., Oliva W.M. An introduction to infinite dimensional Dynamical Systems Geometric theory. Appl. Math. Sci. V. 47, Springer-Verlag, 1984.

27. Hale J.К., Raugel G. Upper semicontinuity of the attractor for a singularly pertyrbed hyperbolic equation //J. Dif. Equ. 1988. V. 73. P. 197-214.

28. Hale J.K. Numerical Dynamics // Contemp. Math. 1994. V. 172. P. 1-29.

29. Hirsch M.j Pugh C. and Shub M. Invariant manifolds. Lectures notes in Math. V. 583. Springer. Berlin, 1977.

30. Humphries A.R., Stuart A.M. Runge-Kutta methods for dissipative and gradient dynamical systems // SIAM J. Numer. Anal. 1994. V. 31, N.5. P. 1452-1485.

31. Gunsburger M.D. Finite Element Method For Viscous Incompressible Flow. Academic Press, INC, London, 1989.

32. Ильяшенко Ю.С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнений Навье-Стокса // Усп. Матем. Наук. 1981. Т. 36, N.3. С.243-244.

33. Ипатова В.М. Об аттракторах аппроксимаций неавтономных эволюционных уравнений // Матем. сборник. 1997. Т. 188, N.6. С.47-56.

34. Ilyashenko Yu.S., Weigu Li Nonlocal bifurcations // Mathematical Surways and Monographs, 66, AMS, Providens, 1999.

35. Камаев Д.А. Гиперболические предельные множества эволюционных уравнений и метод Галеркина // Усп. Матем. Наук. 1980. Т. 35, вып.З. С. 188-191.

36. Капитанский Л.В., Костин И.Н. Аттракторы нелинейных эволюционных уравнений и их аппроксимации // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, вып.1. С. 114-140.

37. Костин И.Н. Об одном способе аппроксимации аттракторов // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1991. Т. 188. С. 87-104.

38. Костин И.Н. Аппроксимация аттракторов эволюционных уравнений с помощью аттракторов конечных систем / / Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 197. С. 71-86.

39. Костин И.Н. О численном построении аттрактора системы Навье-Стокса // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 19. С. 91-97.

40. Kostin I.N. Rate of attraction to a non-hyperbolic attractor // Asymptotic Analysis. 1998. N.16. P.203-222.

41. Костин И.Н., Пилюгин С.Ю. Равномерная экспоненциальная устойчивость аттракторов возмущенных уравнений // ДАН. 1999. Т. 369, N.4. С. 449-450.

42. Kostin I.N. Lower semicontinuity of non-hyperbolic attractor // J. London Math.Soc. 1995. V. 52, P. 568-582.

43. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функциии и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

44. Komech A., Spohn Н., Kunze М. Long-time asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field // Communications in Partial Differential Equations. 1997. N.22. P. 307-335.

45. Kornev A.A. On New a priori Estimates for One Mathematical Model for Turbulence Flow and Their Applications in Numerical Simulation. Department of mathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 1997. Report 9727. P. 1-13.

46. Kornev A.A. On the continuity property for an attractor of a semidynamical system with a parameter. Department ofmathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 1999. Report 9917. P. 1-9.

47. Корпев А.А. Об одном критерии полной непрерывности аттрактора по параметру для некоторого класса полудинамических систем // ДАН. 1999. Т. 369, N.5. С. 597-599.

48. Корпев А.А. К вопросу об аппроксимации аттракторов полудинамических систем // Вестник МГУ. сер. матем. механика. 2000. N.3. С. 24-28.

49. Корпев А.А. О новых оценках для модифицированных уравнений Навье-Стокса в областях с негладкой границей в трехмерном пространстве // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6, вып.4. С. 1121-1129.

50. Корпев А.А. Об аппроксимации аттракторов полудинамических систем // Матем. сборник. 2001. Т. 192, N.10. С. 19-32.

51. Kornev A.A., Roganof V.A., Slepuhin A.F. On an unstable manifold and approximation attractor of a semidynamical system on a parallel computer under a T-system Department of mathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 2001. Report 0104. R 1-14.

52. Корпев А.А. О неустойчивых многообразиях в окрестности существенно негиперболической точки // ДАН. 2001. Т. 377, N.6. С. 743-745.

53. Корпев А.А. К общей теории устойчивости полудинамических систем// Доклады РАН. 2002. Т. 387, N.1. С. 13-15.

54. Kornev A.A. On globally stable dynamical process // Russ.J.Numer.Anal.Math.Modelling. 2002. V. 17, N.5. P. 427-436.

55. Корпев A.A. Об устойчивости полудинамических систем / Труды математического центра им.Н.И. Лобачевского, N.20, Казань, 2003. С. 3-30.

56. Корпев A.A. Об итерационном методе построения "усов Ада-мара"// ЖВМиМФ. 2004. Т. 44, N.8. С. 1346-1355.

57. Корпев A.A. Классификация методов приближенного проектирования на устойчивое многообразие // Доклады РАН. 2005. Т. 400, N.6, С. 736-738.

58. Корпев A.A., Озерицкий A.B. О приближенном проектировании на устойчивое многообразие // ЖВМиМФ. 2005. Т. 45, N.9. С. 1580-1586.

59. Kuratovski К. Topology. Ac. Press, 1980.

60. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М: Постмаркет, 1999.

61. Ладыженская O.A. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 126-154.

62. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970.

63. Ладыженская O.A. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1972. Т. 27. С. 97-114.

64. Ладыженская O.A., Солонников В.А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1973. Т. 38. С. 46-93.

65. Ладыженская О.А. О предельных режимах для модифицированных уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1979. Т. 84. С. 131-146.

66. Ладыженская О.А. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье-Стокса и других диссипа-тивных систем. Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 137-155.

67. Ладыэюенская О.А. Об аттракторах нелинейных эволюционных задач с диссипацией // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1986. Т. 152. С. 72-85.

68. Ладыженская О.А. О нахождении глобальных минимальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и некоторых других уравнений в частных производных // Усп. Матем. Наук. 1987. Т. 42, N.6. С. 25-60.

69. Ладыженская О.А. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1987. Т. 163. С. 7285.

70. Ладыженская О.А. Некоторые дополнения и уточнения к моим публикациям по теории аттракторов для абстрактных полугрупп // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1990. Т. 182. С. 102-112.

71. Ладыженская О.А. Глобально устойчивые разностные схемы и их аттракторы // Препринт ЛОМИ Р-5-91. Л. 1991.

72. Ladyzhenskaya О.A. Attractors for semi-group and evolution equations. Lezioni Lincei, Cambridge University Press, 1991.

73. Ладыженская О.А., О новых оценках для уравнений Навье-Стокса и глобально устойчивых аппроксимациях // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 200. С. 98-109.

74. Ladyzhenskaya 0. A. Some globally stable approximations for the Navie-Stokes equations and some other equations for viscous incompressible fluids // C.R.Acad.Sci. Paris. 1992. V. 315, Série I, P. 387-392.

75. Ladyzhenskaya O.A. First boundary value problem for the Navier-Stokes equation in domain with non smooth boundaries // C.R.Acad.Sci. Paris. 1992. V. 314, Serie I, P. 253-258.

76. Ладыженская О.А., Серегин Г.A. , Об одном способе приближенного решения начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 197. С. 87-119.

77. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений и основных дифференциальных операторов математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т. 6, N.3,4. С. 247-254, 12471254.

78. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т. 4, N.3,4. С. 449-465, 649-659.

79. Ляпунов A.M. , Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений т. II, М.-. Изд.-во академии наук СССР, 1954.

80. Магницкий Н.А., Сидоров C.B. Новый взгляд на аттрактор Лоренца // Диф. уравн. 2001. Т. 37, N.11. С. 1494-1506.

81. Lorenz J. Numerics of Invariant Manifolds and Attractors // Contemporary Mathematics. 1994. V. 172. P. 185-202.

82. B. Mohammadi, 0. Pironneau. Analysis of the k — epsilon turbulence model. Wiley, 1994.

83. Литецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

84. Ozeritskij А. V. Efficient algorithms for stable manifolds // Russ.J.Numer.Anal. Math. Modelling. 2005. V. 20, N.2. R 209224.

85. Лесин Я. Б. О существовании инвариантных слоений для диффеоморфизма гладкого многообразия // Матем. сборник. 1973. Т. 91(133), N.2(6). С. 202-210.

86. Брин И.М., Лесин Я.Б., Частично гиперболические динамические системы // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1974. Т. 38, N.1. С. 170-212.

87. Лесин Я.Б. Семейства инвариантных многообразий, отвечающие ненулевым характеристическим показателям // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1976. Т. 40, N.6. С. 1332-1379,

88. Лесин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. УМН. 1977. Т. 32, вып.4. С. 55-112.

89. Лесин Я. Б. Общая теория гладкихгиперболических динамических систем / В кн. Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, фундаментальные направления, Динамические системы-2. 1985. С. 123-173.

90. Пригожин И. Конец определенности. РХД, 2000.

91. Пилюгин С.Ю. Отслеживание в задаче Чефи-Инфанте // Алгебра и Анализ. 2000. Т. 12, вып.4. С. 231-272.

92. Рейзинъ JI.E. Локальная топологическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений //Дифф. ур. 1968. Т. 4. С. 199-214.

93. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

94. Temam R. Une methode d'approximation de lasolution des equations de Navier-Stokes // Bull. Soc. math. France. 1968. V. 96. P. 115-152.

95. Temam R. Infinite dimensional system in mechanics and physics. New York: Springer-Verlag, 1998.

96. Филатов A.H. О близости аттракторов исходных и усредненных нелинейных диссипативных систем // ДАН. 1996. Т. 347, N.5. С. 601-603.

97. Foias С., J oily M.S., Kukavica I. Localization of attractors by their analytic properties // Nonlinearity. 1996. N.9. P. 1565-1581.

98. Fursikov А.У. Stabilizability of two-dimensional Navier-Stokes equations with help of boundary feedback control // J. of Math. Fluid Mechanics. 2001. V. 3. P. 259-301.

99. Шилъников JI.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории нелинейных систем, ч. 1// Москва-Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2004.

100. Chizhonkov Е. У. Numerical aspects of one stabilization method // Russ.J.Numer.Anal.Math.Modelling. 2003. V. 18, N.5. P. 363-376.

101. Чижонков E.B. Об операторах проектирования для численной стабилизации // Вычислительные методы и программирование. 2004. N.5. С. 161-169.

102. Чижонков Е.В. Численные аспекты одного метода стабилизации / Труды математического центра им.Н.И. Лобачевского, N.22, Казань, 2005. С. 23-53.

103. Юдоеич В. И. Математическая теория устойчивости течений жидкости. Докт. диссертация, М.: Институт проблем механики АН СССР. 1972.

104. Yin Yan. Attractors and error estimates for discretizations of incompressible Navie-Stokes equations // SIAM J.Numer.Anal. 1996. V. 33, N.4. P. 1451-1472.