Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации

Калинина, Анастасия Борисовна

Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Калинина, Анастасия Борисовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.07 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации»

Автореферат диссертации на тему "Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации"

УДК 519.6 На правах рукописи

Калинина Анастасия Борисовна

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ

01.01.07 — вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 9 АПР 2009

Москва - 2009

003466417

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, доцент Корнев Андрей Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор Фурсиков Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, доцент Клиншпонт Наталья Эдуардовна. Научно-исследовательский институт математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Защита состоится « 28 » апреля 2009г. в Ц:00 часов на заседании диссертационного совета Д 002.045.01 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики РАН, расположенном по адресу: 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан « 26 » марта 2009г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^о

доктор физико-математических наук Бочаров Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Задачи стабилизации занимают особое место среди задач управления движением. В задачах управления движением обычно рассматривается некоторая физическая система. Ее математическая модель задается при помощи эволюционных уравнений, которые могут иметь неустойчивые решения. В этом случае внесение сколь угодно малых возмущений в начальные данные может привести к конечному возмущению решения. Цель стабилизации — создание специальных алгоритмов, позволяющих подавлять такие возмущения.

Задача стабилизации к заданному решению при помощи замены переменных обычно сводится задаче стабилизации к нулю. Задачу асимптотической стабилизации к нулю можно сформулировать следующим образом. Необходимо внести в систему такие изменения в пределах заданных ограничений, чтобы норма рассматриваемого решения стремилась к нулю при t —* оо.

Методы стабилизации по способу воздействия на систему разделяют на стабилизацию по начальным данным (изменение начальных условий), стабилизацию по граничным условиям (сводится к решению задачи стабилизации по начальным данным на расширенной области), стабилизацию по правой части (внесение поправки в правую часть уравнений в течение некоторого интервала времени). Теория асимптотической стабилизации к неустойчивым решениям различных дифференциальных уравнений посредством управления с границы области активно развивается в работах A.B. Фурсикова. Первые расчеты проведены Е.В. Чижонковым. Задача асимптотической стабилизации по правой части для нелинейных эволюционных систем рассмотрена в работе A.A. Корнева.

Решение многих задач стабилизации можно свести к проецированию на устойчивое многообразие УУ_, состоящее из решений данного уравнения, стремящихся к нулю. В достаточно малой окрестности нуля множество W_ может быть задано в виде графика некоторого отображения. Таким образом, численное построение этого отображения — основа решения задач стабилизации.

Свойства устойчивых многообразий и различные методы их построения рассматривались в работах Д.В. Аносова, Я.Б. Лесина, O.A. Ладыженской, В.И. Юдовича, A.A. Корнева.

Объектом исследования первой части диссертации является численная реализация метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразия для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа и обыкновенных дифференциальных уравнений седлового типа. Суть метода рядов заключается в построении отображения, задающего устойчивое многообразие, в виде ряда. До настоящего момента этот метод не применялся для практических расчетов. Существенное отличие данного подхода от других заключается том, что метод рядов позволяет получить искомое отображение в целом, а не образы отдельных точек.

Объектом исследования второй части диссертации является разработка алгоритмов стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. До настоящего момента при решении задач стабилизации по правой части либо учитывалась только линейная часть рассматриваемых уравнений, либо решение дифференциальной задачи предлагалось в терминах ее конечно-разностной аппроксимации. Алгоритмы решения исходной дифференциальной задачи, учитывающие нелинейность, могут существенно повысить точность стабилизации.

Из всего вышесказанного следует, что проблемы, решению которых посвящена настоящая работа, являются важными и трудными задачами современной вычислительной математики.

Цели диссертационной работы

Первой целью настоящей работы является исследование применимости метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие для расчетов при численном решении задач стабилизации по начальным данным для уравнений в частных производных параболического типа и систем обыкновенных дифференциальных уравнений седлового типа.

Второй целью работы является разработка алгоритма решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем.

1. Впервые метод функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие применен для практических расчетов для квазилинейного параболического уравнения в частных производных.

2. Разработаны, реализованы и успешно применены алгоритмы решения задачи стабилизации по правой части для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающие их нелинейность. Впервые доказано существование искомого вектора управления для нелинейной дифференциальной задачи и обоснована сходимость предложенных алгоритмов.

Достоверность, теоретическая и практическая ценность работы

Работа носит теоретический характер. Достоверность полученных результатов обеспечивается строгими доказательствами сформулированных утверждений и подтверждается численными экспериментами. Теоретическая ценность диссертации состоит в разработке нового семейства алгоритмов решения задач асимптотической стабилизации. Практическая ценность работы заключается в обширном наборе формул и алгоритмов, которые могут быть использованы при решении различных прикладных задач.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и семинарах: международная научная конференция "Математическая гидродинамика" (Москва, июнь 2006г.); ежегодные научные конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, апрель 2007г., апрель 2008г.); научно-исследовательский семинар кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством

проф. Г.М. Кобслькова; научно-исследовательский семинар кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством проф. A.B. Гулина (Москва, октябрь 2008г.); научно-исследовательский семинар "Нелинейная динамика и управление" кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством акад. C.B. Емельянова и акад. С.К. Коровина (Москва, ноябрь 2008г.); научно-исследовательский семинар ИВМ РАН "Вычислительная математика, математическая физика, управление" под руководством проф. Г.М. Кобелькова, проф. В.И. Лебедева, проф. A.B. Фурси-кова (Москва, октябрь 2006г., ноябрь 2008г.).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ: 4 работы — [1], [2], [3], [4] — в рецензируемых журналах, из них [2] и [4] — в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов кандидатских диссертаций; [5] — в материалах конференций.

Личный вклад автора

Результаты диссертации получены автором самостоятельно. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы из 48 наименований и одного приложения. Она изложена на 98 страницах, содержит 13 таблиц и 3 рисунка.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отражается место диссертации среди других исследований в этой области и дается общая характеристика работы.

В главе 1 метод рядов проецирования на устойчивое многообразие применяется к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца.

В разделе 1.1 формулируется постановка задачи проецирования данного вектора 2 6 М3 на устойчивое многообразие >У_ системы обыкновенных дифференциальных уравнений

. и2+ щ

и 1 = щщ - -——и3, к2 + к\

< . , и2 + Щ

По = —Ц2Щ + 1-Г~и 3)

А:2 + к 1

_ щ = -ЦзЩ + («2 + щ){-к2щ + к1щ), где /х, > 0, при г = 1,2,3, значения параметров [ц,^ фиксированы.

В некоторой окрестности нуля устойчивое многообразие имеет вид

= {(/(и2, из), 1X2, Из)} •

Отображение /(и2,из) будем искать в виде ряда с неизвестными коэффициентами

с» /;

/(гх2, «з) = X] аЫи2из~1-

к=2 г=0

В разделе 1.2 выводятся рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять коэффициенты ад^ разложения искомого отображения в ряд последовательно по

Доказано следующее утверждение, позволяющее существенно снизить объем необходимых вычислений.

Утверждение. Если в четное (0 ^ з ^ к), то а^., = 0 при любом к ^ 2.

Далее приведены формулы для вычисления некоторых ненулевых коэффициентов (раздел 1.3), результаты численных экспериментов (раздел 1.4) и краткие выводы (раздел 1.5): отмечены основные достоинства и недостатки рассмотренного метода.

Идея решения задачи стабилизации по правой части параболических уравнений в частных производных в терминах проецирования на устойчивое многообразие принадлежит A.B. Фурсикову. Им обоснована аналитичность отображения, задающего это многообразие. Для доказательства аналитичности выведены рекуррентные соотношения, связывающие коэффициенты разложения отображения в ряд и позволяющие вычислять их по порядку: от младших к старшим. В главе 2 исследуется применимость предложенных формул для практических расчетов.

В разделе 2.1 формулируется постановка задачи нахождения проекции данной функции z0(x) на устойчивое многообразие W- следующего квазилинейного параболического уравнения

dtz(t,x) = dxxz{t,x) +az{t,x) + ßz2{t,x), z(i,0) = z(i,7r)=0, z(0,x) = zo(x),

где x G [0, ir], t 6 [0, +оо), а > 0, ß € Ш.

В некоторой окрестности нуля устойчивое многообразие имеет вид

W_ = {z_ + F(z_)| z_ G Я_, F(z_) G #+},

где H- — бесконечномерное устойчивое подпространство системы, Н+ — конечномерное неустойчивое подпространство. Отображение F будем искать в виде ряда с неизвестными коэффициентами

F(z.) = J2Fj(z-)ej, з=1

00 Оо ОС

^-) = Е Е ••• Е чь

к=2 7H=N+1 jft=JV+l

где ек{х) = yfsin кх.

Вывод вычислительных формул для коэффициентов FJk{r]\,... ,г]к) описывается в разделе 2.2. Для практических вычислений по предложенным формулам, требуется их адаптация (раздел 2.3). Доказано следующее утверждение, позволяющее существенно повысить скорость вычислений.

Утверждение. Если сумма [j + к + г/,;) четна, тогда F3k{r) 1,...,щ) = О (j 2).

Раздел 2.4 посвящен практической реализации итерационного процесса построения последовательных приближений устойчивого многообразия при помощи метода рядов. Далее приводятся результаты численных расчетов (раздел 2.5) и краткие выводы (раздел 2.6): отмечены основные достоинства и недостатки рассмотренного метода.

В главе 3 исследуется квадратичное приближение устойчивого многообразия. Приводятся вычислительные формулы для квазилинейного параболического уравнения с аналитичной нелинейностью вида f(z), системы обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца. Выводятся формулы для дискретной полудинамической системы, заданной в общем виде: й = Ьи + В,(и).

Приведены результаты численных расчетов, в том числе пример повышения скорости сходимости наиболее эффективного метода сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие при использовании в качестве начального приближения квадратичного приближения устойчивого многообразия вместо линейного.

В главе 4 рассматривается задача стабилизации по правой части для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений при отсутствии ограничений на подпространство допустимых смещений.

В разделе 4.1 формулируется следующая задача. Задана система обыкновенных дифференциальных уравнений

й = А~и + h(u, v), v — A+v + g{u, v),

где и G U = Ш1, v G V = Rm, I + т = п, spec А- лежит слева от мнимой оси, spec А+ — справа от мнимой оси, функции g и h непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности нуля и равны нулю вместе со своими первыми производными в нуле. Заданы и0 £ U, v0, v\ G V и Т G R. Требуется найти такой не зависящий от времени вектор управления /+ = f+(u0, v0, i>i, Т) G V,

чтобы для системы

й = А~и + Н(и, и), и( 0) = и0,

V = А+и + д(и, и) + /+, ?;(0) = ио

в фиксированный момент времени Т выполнялось условие

ь{Т) = уь (2)

В разделе 4.2 предлагается алгоритм решения поставленной задачи. Для построения вектора поправки правой части линеаризованной системы требуется решить систему линейных алгебраических уравнений. Затем решение линейной задачи используется в качестве начального приближения для следующего итерационного процесса. Пусть известно некоторое приближение искомого управления /дг+, N ^ 0. 1. Найдем решение краевой задачи

й = А и + h(u, v), и(0) = и„,

v = A+v + д{и, v) + /ЛЧ, v{T) = ы

(3)

2. Значение /(л'+1)+ определим из условия

т т

v0 = г;Л'(0) + J е~A+sfN+ds - j e~A+sf^+ds. о о

В разделе 4.3 доказывается следующая теорема.

Теорема 4.1. Пусть spec А~ лежит слева от мнимой оси, spec А+ — справа от мнимой оси, функции д uh непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности нуля и равны пулю вместе со своими первыми производными в нуле. Тогда для любого Т > 0 найдется такое £ > 0, что при произвольных и0 € U, у0,ы Е V: |[м0|| ^ е, ||г>]|| < ||и0|| ^ е, существует вектор /+ = f+(u0,v0,vuT) £ V, обеспечивающей выполнение условия (2) для системы уравнений (1).

При доказательстве теоремы обосновывается сходимость предложенного вычислительного алгоритма.

В главе 5 рассматривается задача стабилизации по правой части для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.

В разделе 5.1 формулируется следующая задача. Задана система обыкновенных дифференциальных уравнений

й = А'и + h(u, v), v = А+v + д(щ v),

где и £ U = Ш.1, v Е V = Е"1, I + т = n, spec Л- лежит слева от мнимой оси, specyl"1" — справа от мнимой оси, функции дик непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности нуля и равны нулю вместе со своими первыми производными в нуле. Заданы u0 £ U, v0, vi £ V, Т £ Ж и такое подпространство Т С R", что PyjF = V, где Ру — ортогональный проектор на V. Требуется найти такой не зависящий от времени вектор управления (/~i/+) = f{uo,v„,vuT) G Т, f~ G U, /+ G V, чтобы для системы

u = A~u +h(u,v) + f~, и(0) = и0,

(4)

v = A+v + д(и, v) + /+, и(0) = v0 в фиксированный момент времени Т выполнялось условие

v(T) = V\. (5)

В разделе 5.2 предлагается алгоритм решения поставленной задачи.

Если известен вектор /+, то соответствующий вектор определяется структурой подпространства Т.

Для построения вектора поправки правой части линеаризованной системы требуется решить систему линейных алгебраических уравнений. Затем решение линейной задачи используется в качестве начального приближения для следующего итерационного процесса. Пусть известно некоторое приближение искомого управления /л, N ^ 0. 1. Найдем решение uN(t),vN(t) краевой задачи

и = А'и + h(u, v) + fN~, и(0) = и0, v = A+v + д(и, v) + fN+, v{T) = vi 11

2. Значение /(лг+1)+ определим из условия

т т

v0 = „"(0) + J e~A+sfN+ds - J e-A+°f{N+l]+ds. о о

3. Для найденного вектора f(N+1)+ g V строим соответствующий вектор f{N+1)- € цш

В разделе 5.3 доказывается следующая теорема. Теорема 4.1. Пусть spec А" леэ/сит слева от мнимой оси, spec — справа от, мнимой оси, функции д uh непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности нуля и равны нулю вместе со своими первыми производными в нуле, и задано такое подпространство Т С R", что РуТ — V. Тогда для любого Т > 0 найдется такое е > 0, что при произвольных и0 € U, v0,vi 6 V: ||u0|| ^ е, ||ui|| ^ ||г>0|| ^ е, существует вектор f = f(u0,v0,vi,T) G Т, обеспечивающий выполнение условия (5) для системы уравнений (4).

При доказательстве теоремы обосновывается сходимость предложенного вычислительного алгоритма.

В главе 6 приведены примеры использования алгоритмов, предложенных в главах 4 и 5, для практических расчетов.

Для уравнения в частных производных

wt(t,x) = wxx(t,x) + aw(t,x) + Pw3(t,x), u>(0, x) = w0{x), w(t, 0) = w(t, 7r) = 0,

где x € [0,7г], t ^ 0, а > 0, запишем n-е приближение по методу Галерки-на. Получим систему из п обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой можно применить предложенные алгоритмы.

При численных расчетах будем учитывать свойства конкретной задачи, что существенно ускорит вычисления.

Результаты численных экспериментов показывают, что алгоритмы, предложенные в главах 4 и 5, позволяют решать задачи асимптотической стабилизации к неустойчивым решениям систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности.

В заключении подводятся итоги работы, обсуждаются основные достоинства и недостатки разработанных и исследованных методов.

Достоинства и недостатки использования метода рядов для численного проецирования на устойчивое многообразие.

• Метод рядов, в отличие от других методов, формально позволяет получать сколь угодно точные приближения отображения, задающего устойчивое многообразие, в целом в некоторой окрестности нуля, а не образы отдельных точек. Это важно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие.

• Если рассматривать метод рядов как итерационный процесс получения последовательных приближений устойчивого многообразия, то следует отметить его быструю сходимость: уже первые приближения позволяют получить хорошую точность. Однако с повышением точности вычислительные затраты возрастают экспоненциально.

• Методы сжимающих отображений используют некоторую конечно-разностную аппроксимацию исходной дифференциальной задачи, тогда как вычислительные формулы метода рядов выведены именно для дифференциальной задачи. Однако на практике нам приходится ограничиваться лишь конечным числом членов ряда.

• Использование квадратичного приближения устойчивого многообразия вместо линейного в качестве начального приближения для итерационных методов стабилизации существенно повышает скорость их сходимости.

• В отличие от других методов, метод рядов жестко ориентирован на конкретную задачу. При изменении дифференциальных уравнений, неустойчивые решения которых необходимо стабилизировать, требуется выводить новые вычислительные формулы. Однако стоит, например, отметить, что для уравнения

д^ = д.гхг + аг + д(г), 13

где д(г) = +Рзг2 +..., квадратичное приближение устойчивого многообразия совпадает с квадратичным приближением устойчивого многообразия уравнения

д{г = дххг + аг + Д>22, для которого вычислительные формулы уже выведены.

Предложенный в настоящей работе алгоритм построения решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений послужил для теоретического обоснования существования искомого вектора управления.

Приведем его основные достоинства и недостатки.

• В отличие от большинства известных методов стабилизации по правой части, предложенный алгоритм позволяет учитывать влияние нелинейности. Однако из-за этого метод обладает большей трудоемкостью.

• Отметим, что предложенный алгоритм устойчив к вычислительным погрешностям, поскольку интегрирование на устойчивом подпространстве ведется по возрастающему времени, на неустойчивом подпространстве — по убывающему. Однако именно это существенно повышает необходимые вычислительные затраты.

• Алгоритм применим для решения задач большой размерности. Возможно его использование при решении задач стабилизации по правой части для уравнений в частных производных.

• Сходимость предложенного алгоритма теоретически обоснована при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Метод рядов проецирования на устойчивое многообразие адаптирован для численного решения задач асимптотической стабилизации. Проведены расчеты для квазилинейного параболического уравнения и системы обыкновенных дифференциальных уравнений Лоренца.

2. Разработаны, реализованы и успешно применены алгоритмы решения задач стабилизации по правой части для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы позволяют учитывать нелинейность задачи и ограничения па подпространство допустимых смещений.

3. Обоснована сходимость предложенных алгоритмов и доказаны теоремы существования искомых векторов управления.

Публикации по теме диссертации

[1] Калинина А.Б. Численная реализация метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. №1. С. 65-72.

[2] Калинина А.Б. Метод стабилизации по правой части для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. Уни-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2008. №4. С. 57-59.

[3] Калинина А.Б. Об одном методе стабилизации по правой части // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9. №2. С. 200-206.

[4] Калинина А.Б. Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. №2. С. 284-285.

[5] Kalinina А.Б. Numerical realization of the method of functional-analytic series for projecting on a stable manifold // International Conference "Mathematical Hydrodynamics". Abstracts. 2006. p. 43.

Заказ № 39-а/03/09 Подписано в печать 17.03.2009 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 0,75

4?- л\ ООО "Цифровичок", тел. (495) 649-83-30; (495) 778-22-20 www.cfr.ru; е-таИ:info@cfr.ru

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Калинина, Анастасия Борисовна

Введение

Глава

Метод рядов в применении к системе ОДУ

1.1 Введение.

1.2 Вывод вычислительных формул.

1.3 Первые коэффициенты разложения.

1.4 Результаты численных экспериментов.

1.5 Выводы.

Глава

Метод рядов в применении к УРЧП

2.1 Введение.

2.2 Вывод вычислительных формул.

2.3 Адаптация вычислительных формул.

2.3.1 Вычисление G(i,j, к).

2.3.2 Модифицированный оператор симметризации

2.3.3 Суммирование членов ряда.

2.3.4 Коэффициенты, равные нулю.

2.4 Практическая реализация.

2.5 Численные эксперименты.

2.6 Выводы.

Глава

Квадратичное приближение устойчивого многообразия

3.1 Вычислительные формулы.

3.2 Практическое применение.

3.3 Выводы.

Глава

Стабилизация вдоль неустойчивого подпространства

4.1 Постановка задачи.

4.2 Алгоритм решения.

4.3 Обоснование сходимости метода.

4.4 Выводы.

Глава

Стабилизация вдоль заданного подпространства

5.1 Постановка задачи.

5.2 Алгоритм решения.

5.3 Обоснование сходимости метода.

5.4 Выводы.

Глава

Численные эксперименты

6.1 Расчетные задачи.

6.2 Реализация вычислений.

6.2.1 Базис подпространства Т.

6.2.2 Вычисление нелинейности.

6.2.3 Вычисление интегралов.

6.3 Результаты расчетов.

6.4 Выводы.

Введение диссертация по математике, на тему "Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации"

Методы стабилизации

Задачу стабилизации к заданному решению обычно можно свести к задаче стабилизации к нулю. Для этого записывают соответствующее уравнение в отклонениях. Ноль является стационарным решением этого уравнения. Задачу асимптотической стабилизации к нулю можно сформулировать следующим образом. Необходимо внести в систему такие изменения в пределах заданных ограничений, чтобы норма рассматриваемого решения стремилась к нулю при t —> оо. Зачастую при постановке задачи стабилизации задается желаемая скорость убывания нормы.

Далее будем рассматривать задачи асимптотической стабилизации к нулю. При решении таких задач применяются различные способы воздействия на систему.

Многие задачи стабилизации для уравнений математической физики сводятся к изменению начальных данных: влияние на систему оказывается только в начальный момент времени. Предположим, что задано некоторое начальное условие. Известно, что траектория исследуемой системы с такими начальными данными не стремится к нулю при t —> оо. Необходимо так изменить начальное условие в пределах заданных ограничений (например, выбрав поправку из фиксированного подпространства допустимых смещений), чтобы добиться требуемой динамики рассматриваемой траектории. Различные аспекты стабилизации по начальным данным отражены в работах Е.В. Чижонкова [30] (для уравнений Чафе-Инфанта, Навье-Стокса), А. А. Корнева [12, 16] (для уравнений Чафе-Инфанта, Навье-Стокса, Бюргерса, Лоренца и дискретных полудинамических систем общего вида), А.В. Озерицкого [17] (для уравнения баротропного вихря на сфере).

Можно воздействовать на систему посредством изменения краевых условий. Задачу стабилизации по краевым условиям можно свести к решению задачи стабилизации по начальным данным на расширенной области. Решению задач стабилизации с помощью граничного управления для различных эволюционных уравнений посвящены работы, например, таких авторов как D.L. Russell [48], J.-L. Lions [45], J. Lagnese [44], V. Komornik [41], J.-M. Coron [29], A. Balogh, M. Krstic [28], а также А.В. Фурсиков [23, 22, 32, 33, 34], Е.В. Чижоиков и А.А. Иванчиков [25, 31, 39].

Третий способ заключается во внесении управления в правую часть уравнения в течение некоторого промежутка времени — стабилизация по правой части. Исходя из предположения о малости отклонений рассматриваемое дифференциальное уравнение зачастую считают линейным. Решению задач стабилизации по правой части для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений уделено внимание в книге [20]. Работа А.А. Корнева [42] посвящена решению задачи стабилизации по правой части для нелинейных дискретных полудинамических систем; для дифференциальных уравнений задача решается в терминах конечно-разностных схем.

Метод рядов проецирования на устойчивое многообразие

Если данное положение равновесия (стационарное решение) является гиперболическим (седловым), то траектории почти всех точек в его окрестности от него локально удаляются. Однако согласно теореме Адамара-Перроиа [2, 1, 19, 21] в окрестности гиперболической неподвижной точки существует устойчивое инвариантное многообразие. Траектория каждой точки устойчивого многообразия экспоненциально стремится к данному положению равновесия при t —» со.

Таким образом многие задачи стабилизации можно свести к проецированию на устойчивое многообразие.

Для параболических уравнений в частных производных идея решеиия задачи стабилизации по краевым условиям в терминах проецирования на устойчивое многообразие предложена и обоснована А.В. Фурсиковым в работе [22]. Первые расчеты проведены Е.В. Чижонковым [30] для уравнения Чафе-Инфанта на основе проецирования на линейное приближение устойчивого многообразия.

Классификация различных методов проецирования на устойчивое многообразие приведена в работе [14]. К числу методов, позволяющих получить сколь угодно точное приближение устойчивого многообразия, относятся различные методы сжимающих отображений и метод функционально-аналитических рядов.

Исторически первым был метод рядов, ему посвящены работы Пуанкаре, Ляпунова, Адамара, Перрона. Метод рядов можно формально интерпретировать как итерационный процесс, то есть как метод сжимающих отображений [14]. Скорость его сходимости может быть высокой, но теоретически это пока не доказано. В настоящее время метод функционально-аналитических рядов в применении к решению задач стабилизации активно развивается в работах А.В. Фурсикова [35, 36]. Методы сжимающих отображений отражены в работах Д.В. Аносова [2, 1], Я.Б. Лесина [21], О.А. Ладыженской и В.А. Солонникова [18], В.И. Юдовича [27], А.А. Кор-нева и А.В. Озерицкого [13, 15, 47] .

До настоящего момента метод рядов использовался только для теоретических исследований: обоснования существования и аналитичности устойчивого многообразия. Для практических расчетов оп не применялся по причине большой трудоемкости и возможной неустойчивости к вычислительным погрешностям.

Однако стоит отметить главное преимущество метода рядов по сравнению с другими подходами. Методы сжимающих отображений позволяют построить аппроксимацию устойчивого многообразия вдоль одной траектории, а применяя метод рядов, мы получаем приближение всего многообразия в некоторой окрестности неподвижной точки.

Стоит отмстить, что эффективность методов сжимающих отображений существенно зависит от качества начального приближения. Получение хороших приближений посредством невысоких вычислительных затрат — еще одно применение метода рядов.

Вкратце суть метода рядов можно описать следующим образом. Устойчивое многообразие инвариантно относительно действия системы, то есть траектории его точек тоже лежат на устойчивом многообразии. В окрестности неподвижной точки оно может быть задано в виде графика некоторого отображения. Метод рядов заключается в том, что искомое отображение записывают в виде ряда с неизвестными коэффициентами, это разложение подставляют в условие инвариантности. Из полученного равенства, приравнивая множители при подобных членах левой и правой частей, получают рекуррентные соотношения, связывающие искомые коэффициенты — от младших к старшим. То есть для вычисления коэффициентов при членах некоторой степени достаточно знать только коэффициенты при более низких степенях.

Метод рядов позволяет последовательно вычислять коэффициенты, получая все более точные приближения устойчивого многообразия. Трудоемкость при переходе к следующему приближению возрастает экспоненциально, что является основным недостатком метода. Однако метод дает возможность один раз вычислить коэффициенты и получить представление всего многообразия, что полезно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие. Такая потребность возникает, например, при решении задачи стабилизации по граничным условиям.

Стоит отметить, что для уравнений в частных производных функционально-аналитическое разложение дает простое описание бесконечномерного многообразия, позволяющее построить его в произвольной точке.

Практические реализации различных методов сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие динамических систем базируются на конечно-разностной аппроксимации соответствующих дифференциальных уравнений. В результате строится проекция на устойчивое многообразие некоторого приближения исходной системы. Метод рядов формально позволяет построить устойчивое многообразие исходного дифференциального уравнения.

Стабилизация по правой части

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть она имеет в начале координат неустойчивое положение равновесия. Предположим, что траектория с заданным начальным условием будет отклоняться от нуля. Возникает задача отыскания управления для "удержания" рассматриваемого решения в достаточно малой окрестности нуля.

Методы стабилизации по граничным и начальным условиям, используют импульсное управление системой. Метод стабилизации по правой части позволяет распределить влияние во времени, однако это требует суммарно большего энергетического вклада.

Стоит отметить, что в большом количестве работ, посвященных решению задач оптимального управления под стабилизацией понимают внесение в систему управления, которое меняет ее общую динамику, система из локально неустойчивой становится локально устойчивой. В настоящей работе мы будем рассматривать задачу стабилизации к нулю заданного решения с фиксированными начальными данными.

В работе [20] рассматриваются задачи стабилизации для линейных дифференциальных уравнений. Алгоритмы стабилизации, учитывающие нелинейность задачи, имеют большое значение, поскольку могут быть применены к существенно более широкому классу уравнений.

Зачастую мы ограничены в возможности выбора силы и направления воздействия — вводится подпространство допустимых смещений.

В работе [42] задача стабилизации по правой части рассматривается для дискретных нелинейных полудинамических систем при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений. Задача асимптотической стабилизации для дифференциальных уравнений решается в терминах их конечно-разностных аппроксимаций.

В настоящей работе задача стабилизации по правой части решена с учетом нелинейности для исходной дифференциальной задачи при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.

Цели диссертационной работы

Второй целыо работы является разработка алгоритма решения задачи стабилизации по правой части для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Структура работы

Заключение диссертации по теме "Вычислительная математика"

Основные результаты работы

2. Разработаны, реализованы и успешно применены алгоритмы решения задач стабилизации по правой части для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгоритмы позволяют учитывать нелинейность задачи и ограничения на подпространство допустимых смещений.

Метод функционально-аналитических рядов

Приведем основные достоинства и недостатки использования метода рядов для численного проецирования на устойчивое многообразие.

В отличие от других подходов, метод рядов формально позволяет получать сколь угодно точные приближения отображения, задающего устойчивое многообразие, в целом в некоторой окрестности нуля, а не образы отдельных точек. Это важно при необходимости многочисленного проецирования на устойчивое многообразие. Когда все необходимые коэффициенты вычислены, можно получить проекции на устойчивое многообразие любых начальных функций (векторов) с малыми временными затратами (посредством суммирования).

Если рассматривать метод рядов как итерационный процесс получения последовательных приближений устойчивого многообразия, то следует отметить его быструю сходимость: уже первые приближения позволяют получить хорошую точность. Однако с повышением точности вычислительные затраты возрастают экспоненциально.

Методы сжимающих отображений проецирования на устойчивое многообразие используют некоторую конечно-разностную аппроксимацию исходной дифференциальной задачи, тогда как вычислительные формулы метода рядов выведены именно для дифференциальной задачи. В настоящей работе метод рядов теоретически реализован для случая, когда неустойчивое подпространство имеет произвольную конечную размерность, а устойчивое подпространство системы бесконечномерно. Однако на практике нам приходится ограничиваться лишь конечным числом членов ряда.

Использование квадратичного приближения устойчивого многообразия вместо линейного в качестве начального приближения для итерационных методов стабилизации существенно повышает скорость их сходимости.

В отличие от других подходов, метод рядов жестко ориентирован на конкретную задачу. При изменении дифференциальных уравнений требуется выводить новые вычислительные формулы. Для многих типов уравнений, вывод вычислительных формул может оказаться сложной задачей. Однако отметим, что формулы для построения квадратичного приближения устойчивого .многообразия достаточно просты, а вычисления по ним позволяют получать удовлетворительные результаты.

Стабилизация по правой части

В отличие от большинства известных методов стабилизации по правой части, предложенный алгоритм позволяет учитывать влияние нелинейности. Однако из-за этого метод обладает большей трудоемкостью.

Отметим, что предложенный алгоритм устойчив к вычислительным погрешностям, поскольку интегрирование на устойчивом подпространстве ведется по возрастающему времени, на неустойчивом подпространстве — по убывающему. Однако именно это существенно повышает необходимые вычислительные затраты.

Алгоритм применим для решения задач большой размерности. Возможно его использование при решении задач стабилизации по правой части для уравнений в частных производных.

Сходимость предложенного алгоритма теоретически обоснована при наличии ограничений на подпространство допустимых смещений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Калинина, Анастасия Борисовна, Москва

1. Аносов Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара // Научн. докл. высш. шк., физ.-матем. пауки. 1959. №1. С. 3-12.

2. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды матем. ин-та им. В.А. Стек-лова РАН. Т. 90, 1967.

3. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. — М.: Наука, 1989. 294 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. — 632 с.

5. Ващенко И.Н. О задаче типа наименьших квадратов // Вести. Моск. уни-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2008. №4. С. 51-53.

6. Ильяшенко Ю.С., Ли Вейгу. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦН-МО: ЧеРо, 1999. 416 с.

7. Калинина А.Б. Численная реализация метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчивое многообразие // Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7. №1. С. 65-72.

8. Калинина А.Б. Метод стабилизации по правой части для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестн. Моск. уни-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2008. №4. С. 57-59.

9. Калинина А.Б. Об одном методе стабилизации по правой части // Вычислительные методы и программирование. 2008. Т. 9. №2. С. 200206.

10. Калинина А. Б. Численно-аналитические методы решения задач асимптотической стабилизации // Дифференциальные уравнения. 2009. Т. 45. №. С. 284-285.

11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функциии и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. — 624 с.

12. Корнев А.А. К общей теории устойчивости полудинамических систем // Докл. РАН. 2002. Т. 387. №1. С. 13-15.

13. Корнев А.А. Об итерационном методе построения "усов Адамара" // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 2004. Т. 44. №8. С. 1346-1355.

14. Корнев А.А. Классификация методов приближенного проектирования на устойчивое многообразие // Докл. РАН. 2005. Т. 400. №6. С. 736-738.

15. Корнев А.А.Озерицкий А.В. О приближенном проектировании на устойчивое многообразие // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. №9. С. 1580-1586.

16. Корнев А.А. Метод асимптотической стабилизации по начальным данным к заданной траектории // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. т. С. 37-51.

17. Корнев А.А.Озерицкий А.В. О вычислительной устойчивости одного метода асимптотической стабилизации // Вестн. Моск. уни-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2007. №1. С. 33-36.

18. Ладыженская О.А., Солонников В.А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1973. Т. 38. С. 46-93.

19. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений т. II. М.: Изд-во АН СССР, 1954.

20. Оптимальное управление движением / Александров В.В., Болтянский В.Г.: Лемак С. С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. — М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. 376 с.

21. Лесин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эр-годическая теория // УМН. 1977. Т. 32. Вып. 4(196). С. 55-112.

22. Фурсиков А.В. Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной связью // Матем. сборник. 2001. Т. 192. №4. С. 115-160.

23. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнеия. — М.: Мир, 1970.

24. Чижонков Е.В. Об операторах проектирования для численной стабилизации // Вычисл. методы и программ. 2004. Т. 5. С. 161-169.

25. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — 428 с.

26. Юдович В.И. Математическая теория устойчивости течений жидкости. Докт. диссертация. — М.: Институт проблем механики АН СССР, 1972.

27. Balogh А., Krstic М., Burger's equation with nonlinear boundary feedback: i^-stability, well posedness, and simulation // Math. Probl. in Engineering. 2000. V. 6. P. 189-200.

28. Coron J.-M. On the null asymptotic stabilization of the 2-D incompressible Euler equation in a simply connected domain // SIAM J. Control and Optimization. 1999. V. 37. №. P. 1874-1896.

29. Chizhonkov E. V. Numerical aspects of one stabilization method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2003. V. 18. №5. P. 363-376.

30. Chizhonkov E.V., Ivanchikov A.A. On numerical stabilization of Stokes and Navier-Stokes equations by the boundary conditions j j Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. V. 19. №6. P. 477-494.

31. Fursikov A.V. Stabilizability of two-dimensional Navier-Stokes equations with help of boundary feedback control // J. of Math. Fluid Mechanics. 2001. V. 3. P. 259-301.

32. Fursikov A. V. Stabilization for the 3D Navier-Stokes system by feedback boundary control // Discrete and Cont. Dyn. Syst. 2004. V. 10. №1 & 2. C. 289-314.

33. Fursikov A. V. Analyticity of stable invariant manifolds for Ginzburg-Landau equation // Applied Analysis and Differential Equations, Iasi, September 4-9, 2006, World Scientific. 2007. P. 93-112.

34. Guckenheimer J., Vladimirsky A. A fast method for approximating invariant manifolds // SIAM J. on Applied Dynamical Systems. 2004. V. 3. №3. P. 232-260.

35. Hirsch M., Pugh С., Shub M. Invariant manifolds. Lectures notes in Math. V. 583. — Springer. Berlin. 1977.

36. Ivanchikov A. A. On numerical stabilization of unstable Couette flow by the boundary conditions // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006. V. 21. №6. R 519-537.

37. Kalinina A.B. Numerical realization of the method of functional-analytic series for projecting on a stable manifold j j International Conference "Mathematical Hydrodynamics". Abstracts. 2006. R 43.

38. Komornik V. Rapid boundary stabilization of linear distributed systems j I SIAM J. Control and Optimization. 1997. V. 35. R 1591-1613.

39. Kornev A.A. A problem of asymptotic stabilization by the right-hand side // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. V. 23. №4. R 407-422.

40. Krauskopf В., Osinga H.M., Doedel E.J. et al. A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2005. V. 15(3). R 763-791.

41. Lagnese J.E. Boundary stabilization of thin plates.— Philadelphia: SIAM, 1989.

42. Lions J.-L. Exact controllability, stabilization and perturbations for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V. 30. P. 1-68.

43. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flows j j J. Atmosph. Sci. 1963. V. 20. P. 130-141.

44. Ozeritskij A.V. Efficient algorithms for stable manifolds // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2005. У. 20. №2. P. 209-224.

45. Russell D.L. A unified boundary value controllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations // Studies in Appl. Math. 1973. V. 52. P. 189-211.

46. M < oo, ek(x) = <\J^smkx. Найдем координаты разложения функции F2.(z-), задающей квадратичное приближение устойчивого многообразия, по базису {ек}к=1