Эффективные вычислительные алгоритмы решения задач асимптотической стабилизации и управления тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

На правах рукописи

ООЗОБ9725

Озерицкий Алексей Владимирович

ЭФФЕКТИВНЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ

01 01 07 — вычислительная математика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2007

003069725

Работа выполнена в Московском Государственном Университете

им М В Ломоносова

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент Корнев А А

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук

Нечепуренко Ю М

кандидат физико-математических наук Кукаркин А Б

Ведущая организация Институт математического моделирования

РАН

Защита состоится " I ~> МяЗ,_ 2007 г в /Г ч ОО мин на заседании Диссертационного совета Д 002 45 01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу 119991, г Москва, ГСП-1, ул Губкина, 8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН

Автореферат разослан " 16 " акрелА 2007 г

Ученый секретарь Диссертационного совета /7/' у/?

доктор физико-математических наук Бочаров Г А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В задаче стабилизации и управления рассматривается некоторая физическая система Ее математическая интерпретация (модель) задается с помощью понятия полудинамической системы и описывается с помощью оператора эволюции ) Рассматривается по крайней мере два варианта поведения системы, называемых в дальнейшем траекториями, одно из которых является для нас идеальным, а второе - наблюдаемым Необходимо как-то повлиять на систему извне, чтобы наблюдаемое поведение стало "похожим" на идеальное Критерий и степень "похожести", а также временной промежуток, на котором эта "похожесть" достигается, могут определяться по-разному и в общем случае это зависит от конкретной формулировки задачи В данной работе за основу брался размер отрезка времени на котором траектории сближаются, а также расстояние между траекториями в начальный и конечный моменты времени Также могут различаться способы воздействия на систему, с помощью которых достигается требуемое поведение Так как многие задачи стабилизации и управления для уравнений математической физики сводятся к задачам, в которых изменяют только начальные данные, то в качестве способа управления системой брался метод управления по начальным данным В работе построены и обоснованы эффективные прикладные алгоритмы решения данной задачи, которые могут применяться для сложно-заданных полудинамических систем С помощью построенных методов исследована возможность стабилизации решений для уравнения баротропного вихря на сфере

Актуальность темы. Решение задачи стабилизации и управления для уравнений математической физики является привлекательными как с теоретической точки зрения, так и в силу многочисленных приложений Алгоритмы численного решения данной задачи, основанные на теории инвариантных многообразий, активно начали развиваться с шестидесятых годов прошлого века Наиболее известны работы Гукхеймера, Владимирского, Шилышкова, Фурсикова, Чижонкова Тем не менее, численные аспекты решения данной задачи далеки от завершения Например, многие разработанные ранее методы либо применимы к полудипамическим систе-

мам частного вида, то есть используются те или иные допущения о виде системы и ее внутреннем устройстве, либо обладают невысокой точностью или неприменимы для задач высокой размерности Цели работы.

-математическая переформулировка алгоритма проектирования на устойчивое мно1 ообразие на основе метода сжимающих отображений с асимптотикой полиномиального, а не экспоненциального характера, -приближенное вычисление инвариантных подпространств оператора Ь, доказательство вычислительной устойчивости алгоритма проектирования на устойчивое многообразие,

-разработка и реализация параллельной версии алгоритма

Методика исследования. В ходе исследования применяются следующие математические методы Решение задачи строится на основании известных результатов теории устойчивых многообразий, развитой в работах Аносова Д В , Ладыженской О А и Лесина Я М , применимой в случае динамических систем гиперболического типа С помощью обобщенной теоремы Адамара-Перрона рассматриваемая задача стабилизации сводилась к приближенному проектированию на устойчивое многообразие, задаваемое некоторой функцией / Функция / строилась с помощью метода сжимающих отображений на основе алгоритмов, предложенных в работах Кор-нева А А При нахождении инвариантных подпространств, необходимых для построения функции /, применялся метод Арнольди Построенные алгоритмы проверялись на задачах Лоренца, Чафе-Инфанта, Чафе-Инфанта на сфере и баротропного вихря на сфере

Научная новизна работы. Построены и обоснованы два прикладных численных алгоритма проектирования на устойчивое многообразие, обладающие нолимиальной сложностью Построена параллельная версия алгоритма проектирования на устойчивое многообразие Обоснована сходимость предложенных алгоритмов Обоснована устойчивость алгоритмов относительно ошибок округления при вычислении инвариантных подпространств оператора Ь Впервые исследована возможность управления по начальным данным решениями уравнения баротропного вихря на сфере

Достоверность, теоретическая и практическая значимость

Достоверность проведенного исследования основана на практическом подтверждении теоретических фактов для широкого класса полудинамических систем Теоретическая значимость заключается в развитии методов стабилизации для сложно-заданных полудинамических систем

Практическая ценность работы состоит в том, что на основе известных алгоритмов решения задачи стабилизации построены новые, которые могут применяться для широкого класса задач математической физики Построенные алгоритмы не зависят от специфики конкретной задачи, а также могут применяться для задач со сложно-заданным разрешающим оператором Использованные методы решения задач стабилизации и управления могут быть применены для управления динамикой различных физических систем

Апробация работы. Основные результаты докладывались автором на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2002 г), конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006 г), конференции ''Математическая Гидродинамика" (Москва, 2006 г), всероссийском научно-исследовательском семинаре "Нелинейная динамика и управление" под рук ак С В Емельянова, ак С К Коровина (Москва, 2006 г), научно-исследовательском семинаре при НИВЦ МГУ под рук проф Я М Жилейкина (Москва, 2007 г), семинаре 'Вычислительные и информационные технологии в математике" под рук проф В И Лебедева и чл -корр Е Е Тыртышникова (Москва, 2007

г)

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в пяти работах

Личный вклад автора Вклад автора в совместные работы заключался в совместной постановке и анализе численных экспериментов [2,3,5], технической реализации [3], совместном теоретическом обосновании [3]

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы из 32 названий, содержит 10 иллюстраций и 17 таблиц Текст работы изложен на 122 страницах

Основное содержание работы

Во введении обсуждается постановка рассматриваемой задачи, приводится обзор работ по данной тематике, кратко сформулированы основные полученные результаты В первой главе, состоящей из трех параграфов, приводятся основные результаты методов стабилизации, основанные на проектирование на устойчивое многообразие в окрестности неподвижной точки или траектории Также рассмотрены вопросы об устойчивости приведенных алгоритмов относительно вычислительных ошибок в промежуточных задачах

Параграф 1.1 содержит математическую формулировку задачи стабилизации, а также описание итерационных процессов проектирования на устойчивое многообразие в случае стационарной точки и нестационарной точки, изложенное на основе результатов работ Корнева А А

Пусть 5 Н —» Н непрерывное отображение Банахова пространства Н с нормой || || и го,ао € Я Будем предполагать, что а о принадлежит некоторой окрестности О2о точки го, и задано конечномерное подпространство £ =< е\, ,его > Нас интересует метод построения такого вектора и, что

для заданного п

В параграфах 1.1.1 и 1.1.2 приводятся алгоритмы, основанные на работах Корнева, решения данной задачи с помощью теории устойчивых многообразий В параграфе 111 приводится алгоритм для стационарного случая, в параграфе 1 1 2 - для нестационарного

Предположим, что отображение S достаточно гладкое, и в окрестности 0Zt каждой точки гг = >!зг(.го) можно построить линеаризацию оператора S S(zt + и) = S(zt) + Lftu + R^(u) Также предположим, что для ограниченного линейного оператора LW Н —> Н и непрерывного отображения = S(zt + и) — S(zt) — L^u найдутся операторы проектирования и числа ц®, г^ > 0 такие, что в окрестности

(1)

i=i

||£"(гг) - 5г0о)|] < 2ql\\u - ¿оЦ, 0 < г < п, 2qn < 1

02г = {и \\Р±{%г — и)|| < г^} выполнены следующие условия гиперболичности (Л)

Л!) р|1) + Р« = I, ||Р[г)|| < Си ||р[8)|| < С2)

А2) Ь«(р[г)Я) = Р|г+1)Я, £Ы(Р®Н) СР1г+1)Я

Аз) ||Ь(г)И1 Г^Н!* Угу € Р^Н, ^ <1,

А.о ||£М„ц >$ы, Уу е р(+]н,

А5) ||РМ(Ы1) -Д«(«2)|| <в®(тах{\\щ1 |М|})||щ-«2||

¿г + «1,2 €

с непрерывной положительной неубывающей функцией ), 0^(0) = 0 (данные условия для неподвижной точки го назовем условиями (а))

Для каждого г = 0, ,п рассмотрим класс _В7м (О^) всех непрерывных отображений таких, что

/(и) ^ Р^О{г\гр,еО^ = {и ||Р1г)(и)|| <г«},

ДО) = 0, Ц/М - /(«*)|| < 7(г)|к1 - шгН, 0 < 7(,) < 1

Пусть фиксирована некоторая функция /("'(го) € В7н зада-

ющая в окрестности точки Огп локальное многообразие

/<">) = {т = 2п + ь + ги те Огп,ы = Р!п)(т - гп), у = /^И}

Рассматриваемая задача стабилизации эквивалентна нахождению такой функции е (О^), что для всякой точки вида го + ги + /^(ы), ги е Р[о)0(°), выполняется вложение 5п(г0 + ги + /(0)И) С И>-(>„, /М) Будем называть задачу нахождения по заданному задачей (//)

Для фиксированной функции будем строить /С) последовательно за п шагов На каждом шаге по найдем функцию задающую многообразие [гг, Из условия вложения >/У_ (гг+1,с учетом условий (Л) можно выписать следующее уравнение и итерационный процесс нахождения функции

/«И = Ь(г), Р]0) = (¿М)"1 (>+1)(Р11+1)£(,)(™ + /МИ))- Р^&'Ны + /«И)) + /«(г,), /&(„,) = Л/1г),

где (и) = + и)- ЗД

В параграфе 113 приводится формулировка задачи, называемой далее задачей (//), проектирования на устойчивое многообразия вдоль подпространства £, а также описан соответствующий итерационный процесс, основанный на результатах работ Корнева А А Суть задачи состоит в построении такого и = ао + I, I Е С, что и 6 /И) Точка и = а0 + I может быть найдена из условия Б{и) 6

Р? [5(ао + +1) - 5Ы] = /(1) (Р!Х) [5(а0 + У - ЗД]) (3)

Данная задача сводится к последовательному решению задач (//) и (7/) В параграфе 1 2 рассмотрены вопросы об устойчивости итерационного процесса (2) относительно ошибок вычисления операторов Во-первых, отметим, что вывод соотношений (2) существенно опирается на инвариантность подпространств Р±Н относительно операторов Ь^ Во-вторых, условия (Л) гарантируют обратимость и сжимаемость оператора I/1) только на подпространствах Р^Н, что также принципиально при построении доказательства На всем пространстве Я операторы могут быть плохо обусловлен либо вырождены, поэтому формально даже малые ошибки в построении Р± недопустимы При численной реализации итерационного процесса (2) операторы проектирования Р± вычисляются с некоторой погрешностью (например, с машинной точностью), влияние которой на окончательный результат может оказаться катастрофическим

Пусть Р«Я =< ,е1:}+ >, Р^Н =< е^, ,е£ь > (со-

пряженное подпространство к Р^Н) Сформулируем метод проектирования на многообразие УУ~(го) в случае приближенно вычисленных векторов е^, г = 0, , го Пусть операторы Ь^ не вырождены и известны такие операторы проектирования Р±\ что выполнены следующие условия {А)

\\ь^и\\ < с^м, ИС^Г^И < с1г)||«11, V« € я,

= ||е|'*||<б«||е<П г = 1, г0

назовем эти условия в случае неподвижной точки го условиями (а)

В параграфе 1.2.1 рассмотрен случай неподвижной точки го Рассмотрим класс В1 (О) всех непрерывных отображений f(w) Р-О —> Р+О

таких, чго

/(0) = 0, Wfim) - f(w2)W <"f\\ivi-w2\\, 7 = const <00 Доказаны следующие теоремы

Теорема 1 Пусть выполнены условия (а), (а) Тогда найдутся такие е, 7, г > 0, что в окрестности О = {и ||P_u|| < г, ||P+it|| < 7г} итерационный процесс fk+i(w) = T{fk, L, Р±) сходится в пространстве В7 (О) со скоростью геометрической прогрессии с любого начального приближения /о € ¿?7 (О) Предельная функция / является решением уравнения (2) Для каждого w £ О выполняется условие ||5г(г1;+/(и>))|| с О, г = 0,1, , и верна оценка

||5г(гг; + /Н)|| < C?\\w + f{w)\\, С = const <oo,q<l

Теорема 2 Пусть на каждом шаге итерационного процесса (2) добавляется некоторая погрешность, такая что Д £ Ву (О) Тогда имеет место оценка

max |! f(w) - Л+iHH < q max || f(w) - fk(w)\\, q < 1

wep-o w€i-0

В параграфе 1.2.2 рассмотрен вопрос об устойчивости алгоритма (2) в нестационарном случае По сути в эгом параграфе формулируются и доказываются аналоги теорем о сходимости, сформулированные в параграфе 1.1.2

Рассмотрим класс J37м (0W) всех непрерывных отображений /(го)

рЬ)0(г) _ рЬ)0уг) такиХ; чт0

/(0) = 0, 11/Ю-/Ы11 <7(i)H-4l, 7W = const < 00 Доказаны следующие теоремы

Теорема 3 Пусть выполнены условия (А), (Л) Тогда найдутся такие е^,7 M,rW > 0, что итерационный процесс /¿^(ги) = Fifl'K Р±) сходится в пространстве В^,) (ОW) со скоростью геометрической прогрессии с любого начального приближения /о G В^м (О^)

Теорема 4 Пусть выполнены условия теоремы 3 и функции /(!+1) удовлетворяют уравнению и>) = Р±) Пусть

е(«+1)(С(0 + 0«(г«)(1 + 7(0)) =

рМ + б«(г(0)(1 + 7(»)) =рЬ) < 1

Тогда выполнены оценки

\\Р{1+1)(3^г + !{1\ш) + гю)-3{г1))\\ < (р« + /3^+1))|М1, \\3(2г + ^(ш)+ш)-3(гг)\\ < (рМ + /3^))(1 + 7(г+1))1к||

Теорема 5 Пусть для г = 0, , п — 1 выполнены условия теорем 3 и 4 Тогда для произвольного е найдется такое г^ > 0, что

существует функция € В7(<ч(0®) такая, что

+ /(0)м + ш) - 5ПЫ)|| < «ЛН1,

||5п(20 + /(0)И + п) - (г0)|| < СЯпМ,д < 1

Теорема 3 гарантирует разрешимость метода на каждом шаге, теоремы 4 и 5 гарантируют сближения траекторий Отметим, что найденная таким образом функция может находиться сколь угодно близко к многообразию о), однако может и не лежать на нем Теорема 5 гарантирует сближение точки и) + /®(и>) с траекторией го за тг шагов, что удовлетворяет решению задачи (1) в случае С = Р+Н

Теорема 6 Пусть на каждом шаге итерационного процесса (2) добавляется некоторая погрешность, такая что € Тогда имеет место следующая оценка

шах ¡/(''М-^^ц^ ||/МИ-/«И||, 9 < 1

ше РГО юеР^о

Теоремы 1-6 позволяют обосновать сходимость методов, предложенных во второй главе

Вторая глава, состоящая из шести параграфов, посвящена практической реализации алгоритмов Также здесь предложены и обоснованы модификации изложенных алгоритмов с вычислительной сложностью 0(п2) на п итераций, отметим, что исходный алгоритм имеет вычислительную сложность 0(2") Данные усовершенствования алгоритма проектирования

позволяют его использовать для сложно-заданных полудинамических систем Также разработана версия алгоритма, которая может применяться для вычислений на слабосвязанных вычислительных машинах

Базовый алгоритм (2) вычисления устойчивого многообразия может быть схематически представлен как последовательность вычислений

Данную схему вычислений можно изобразить в виде дерева Склеим соседние вершины в дереве, находящиеся на одном уровне Несложно видеть, что эта склейка приводит к тому, что количество арифметических операций на п итераций сократилось с 0(2п) до 0(п2)

В параграфе 2.1.2 изложена модификация базового алгоритма, которая может быть легко распараллелена Суть метода состоит в том, что устойчивое многообразие ищется не в одной точке, а в виде кривой х = /(у), при этом значение функции находится в группе точек {уг}, данное множество точек строится как {ук = Ьк(уо)},к = 0, ,п, промежуточные значения на кривой х = /(у) находятся с помощью линейной интерполяции Распараллеливание осуществляется путем передачи каждому процессу своей группы точек {у,}

В параграфе 2.1.3 описаны варианты распредепения точек по процессам и алгоритм пересылки данных между процессами Представлен псевдокод алгоритмов Дана оценка времени работы алгоритма в оптимальном случае (когда время пересылки данных равно нулю)

В параграфе 2.2 приведено обобщение алгоритмов метода склейки и параллельного алгоритма проектирования на устойчивое многообразие на случай нестационарной точки

Алгоритм метода склейки в нестационарном случае аналогичен стационарному случаю с изменениями — шаги 3,4,5 алгоритма заменяются на цикл итераций для нахождения каждого /М, операторы Р±,Б,Ь заменяются на соответствующие им операторы с индексами (г) или (г + 1) В качестве начального приближения к функции /М берется = /(!+1)

1 при п < 0 /»(у) = 0,

2 при п > 0 Х1 = Г-Чу),

3 г/1 = Р-в(х 1 + у),х2 = ВДХ1 + у)

4 х3 = /"-1Ы-^2.

5 х = 1>^}(хз) + хг

Параллельный алгоритм для нестационарной точки реализуется аналогично стационарному случаю с естественными модификациями Начальное множество точек {ук} инициализируется как ук = Ь^п\{уо) Ал-

к

горитм нахождения точек х™ аналогичен стационарному случаю, добавляются только внутренние итерации В параграфе 2.3 описаны проблемы практической реализации алгоритма проектирования вдоль £ В частности описаны модификации параллельного алгоритма для использования его совместно с алгоритмом решения задачи (lf)

Параграф 2.4 посвящен применению алгоритмов в случае неизвестного оператора S Оператор L и базис Р+Н ищутся приближенно с помощью оператора S Требуемый в алгоритмах оператор (P+L)_1 задается в виде квадратной матрицы размерности пх, где пх = dimP+Я

Параграф 2 5 посвящен проблемам нахождения инвариантных подпространств оператора L и операторов проектирования Р± Задача проектирования на подпространство Р+Н может быть сведена к частичной проблеме на собственные значения операторов L и сопряженного к нему Для решения этой проблемы используется метод Арнольди

В третьей главе подробно описаны используемые модели, для которых проводился расчет Здесь содержится информация о применяемых разностных схемах, выписана линеаризация S и сопряженная задача Рассматривались следующие задачи Модель Лоренца

< ^ = x(t)(r - z(t)) - y(t), CT = 10, b = | r = 28 = x (t)y(t)-bz(t) Решение строилось методом Рунге-Кутта 4-го порядка Задача Чафе-Инфанта

dU^ = Au(x,t) - bu(x,t) - u3(x,t), u(x,t) € [0,1], u(0,t) = u(l,t) =0

Решение строилось методом Фурье

Задача Чафе-Инфанта на сфере

= -аи(ф, А, t) + ^Аи(ф, А, 0 - и\ф, А, t), 12

где ф € [0,7г/2] - широта, Л 6 [0,27т] - долгота, Аи - оператор Лапласа на единичной сфере Задача рассматривалась на сдвинутой на полшага относительно полюсов сетке Решение искалось методом разделения переменных По циклической координате (А) делалось разложение Фурье, по координате ф проводился метод прогонки Для аппроксимации но времени использовалась схема Кранка-Николсон

Основное внимание в главе уделено уравнению баротропного вихря на сфере, которое описывает динамику вязкой несжимаемой баротропной жидкости на сфере с учетом орографических неоднородностей постилающей поверхности

^ + А-ф) + I + К) + аАф - = /(ф, А),

где ф е [0,7г/2] - широта, А £ [0,2тг] - долгота, тр = ?р(ф, А, £) - функция тока, Д - оператор Лапласа на единичной сфере, 3 - якобиан, I - параметр Кориолиса I = 2^вгпф, О, = 7 27 х 10~5с-1 - угловая скорость вращения Земли, к - орографические неоднородности постилающей поверхности, / -внешний форсинг, ц — 8х Ю-5, и = 1 6 х 10~2

По пространству задача аппроксимировалась с помощью схемы Ара-кавы Данная схема применялась, так как обладает законом сохранения энергии и квадрата вихря, что позволяет ее использовать для счета на отрезках времени большой протяженности Для аппроксимации по времени использоватась схема Кранка-Николсон На основе свойства антисимметричности оператора ,/, вычисленного по схеме Аракавы, выписана сопряженная задача

В четвертой главе, состоящей и пяти параграфов, приводятся результаты расчетов по аппроксимации устойчивых многообразий В параграфе 4.1 сравнивается скорость работы трех алгоритмов (базового, склейки, параллельного) на задачах Чафе-Инфанта и Лоренца

В параграфе 4.2 приведен расчет задачи проектирования на устойчивое многообразие с операторами проектирования Р±, найденными точно и с погрешностями, проведено сравнение полученных результатов Отметим, что аппроксимация подпространств Р±Н не сказалась па результатах стабилизации Данный расчет выполнен в стационарном случае (го = 0)

для уравнения баротропного вихря на сфере с параметром а = — 20 В параграфе 4.3 приведены расчеты данной задачи на сетках до 512 х 384 Показана пригодность разработанного комплекса программ для вычислений данной сложности

Параграф 4.4 посвящен исследованию возможности управления по начальным данным решениями уравнения баротропного вихря на сфере с параметрами, являющиеся физически осмысленными I = 2Пвгпф, а = 0 016, ¡л = 8 5 х Ю-05 На следующих рисунках изображены функции го (слева) и ао (справа)

При данных параметрах траектории с начальными условиями ао и го сразу расходятся Цель задачи — изменить функцию ао в области К так, чтобы траектории с начальными условиями ао и го сходились, где К - области вида \фг < ф < §, 0 < Л < 2тг|, где ф% — Задача решалась на

сегке 24 х 32 (Л^ х Я\) Для г = 3 время сближения траекторий составило 4 124, расстояние между точками траекторий в конечный момент времени составило 8 4 х Ю-02, в начальный момент и до стабилизации оно было порядка 0 2

В приложениях содержится описание структуры написанных программных модулей Описан программный интерфейс В заключении кратко формулируются основные результаты диссертационной работы

Основные результаты диссертационной работы

- Построены и реализованы прикладные численные алгоритмы решения задачи асимптотической стабилизации по начальным данным Обоснована сходимость предложенных алгоритмов,

- Обоснована устойчивость алгоритмов относительно ошибок округления при вычислении промежуточных задач,

- Для модельной траектории уравнения баротропного вихря на сфере найдены начальные условия, позволяющие проводить стабилизацию,

- Предложенные алгоритмы реализованы в виде пакета программ на языке Си/Си-Ы- Реализована параллельная версии алгоритма

Публикации по теме диссертации

1 Ozeritsky А V, Efficient algorithms for stable manifolds// Rusb J Numer Anal Math Modelling 2005 V 20, N 2 P 209-224

2 Корпев A A , Озерицкий А В , О приближенном проектировании на устойчивое многообразие//ЖВМиМФ 2005 Т 45, N 9 С 1580-1586

3 Корнев А А , Озерицкий А В , О вычислительной устойчивости одного метода стабилизации// Вестник МГУ 2007 NIC 33-36

4 Ozeritsky А V, Efficient Algorithms for Solutions of Asymptotic Stabilization on the Origin// International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics" Moscow 2006 P 94-95

5 Kornev A A , Ozeritsky A V, On the problem of approximate projection onto the invariant manifolds of the Navier-Stokes equations// International Conference "Mathematical Hydrodynamics" Moscow 2006 P 47-48

Подписано в печать 16 04 2007 г Исполнено 17 04 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 369 Тираж 120 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш , 36 (495) 975-78-56 www autoreferat ru

Введение

Глава 1. Математические основы методов стабилизации

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Окрестность стационарной точки.

1.1.2 Окрестность нестационарной точки

1.1.3 Проектирование вдоль подпространства С

1.2 Вычислительная устойчивость алгоритмов.

1.2.1 Окрестность стационарной точки.

1.2.2 Окрестность нестационарной точки

1.3 Выводы по Главе 1.

Глава 2. Практическая реализация численных алгоритмов

2.1 Стационарный случай, проектирование вдоль Р+Н.

2.1.1 Базовый алгоритм.

2.1.2 Алгоритм со склейкой.

2.1.3 Параллельная модификация алгоритма.

2.2 Нестационарный случай.

2.2.1 Метод склейки.

2.2.2 Параллельная реализация.

2.3 Проектирование вдоль подпространства С

2.4 Решение задачи стабилизации в случае неизвестного оператора линейной части.

2.5 Вычисление инвариантных подпространств оператора L

2.6 Выводы по Главе 2.

Глава 3. Расчетные задачи

3.1 Модель Лоренца.

3.2 Задача Чафе-Инфанта.

3.3 Модель баротропного вихря на сфере.

3.4 Выводы по Главе 3.

Глава 4. Результаты расчета

4.1 Сравнение скорости работы различных алгоритмов.

4.2 Стабилизация с приближенно-вычисленными операторами проектирования.

4.3 Стабилизация на мелких сетках.

4.4 Модель баротропного вихря на сфере.

4.5 Выводы по Главе 4.

В задаче стабилизации и управления рассматривается некоторая физическая система. Её математическая интерпретация (модель) задается с помощью понятия полудинамической системы и описывается с помощью оператора эволюции S(t, •). Рассматривается по крайней мере два варианта поведения системы, называемых в дальнейшем траекториями, одно из которых является для нас идеальным, а второе - наблюдаемым. Необходимо как-то повлиять на систему извне, чтобы наблюдаемое поведение стало "похожим" на идеальное. Критерий и степень "похожести", а также временной промежуток, на котором эта "похожесть" достигается, могут определяться по-разному и в общем случае это зависит от конкретной формулировки задачи. В данной работе за основу брался размер отрезка времени на котором траектории сближаются, а также расстояние между траекториями в начальный и конечный моменты времени. Также могут различаться способы воздействия на систему, с помощью которых достигается требуемое поведение. Так как многие задачи стабилизации и управления для уравнений математической физики сводятся к задачам, в которых изменяют только начальные данные, то в качестве способа управления системой брался метод управления по начальным данным. В работе построены и обоснованы эффективные прикладные алгоритмы решения данной задачи, которые могут применяться для сложно-заданных полудинамических систем. С помощью построенных методов исследована возможность стабилизации решений для уравнения баротропного вихря на сфере.

Постановка задачи

Изучение нелинейного нестационарного процесса или полудинамической системы сводится к исследованию оператора эволюции (или разрешающего оператора) S(t, •). По разрешающему оператору и начальным данным do строится траектория системы a* = S(t, ао) на требуемом отрезке времени [О, Т]. Будем считать, что траектория полностью определяется начальными условиями. При этом допущении можно влиять на динамику системы за счет изменения начального условия ао, то есть можно "заставить" траекторию двигаться в нужном направлении. Формально это означает, что траектория с некоторым начальным условием Zq € Н устраивает нас больше чем с начальным условием ао и требуется найти такой вектор I из конечномерного подпространства С С Н, что траектории с начальными условиями zq и ао + I сходятся на требуемом временном отрезке [0,Т]. Подпространство С называется подпространством допустимых смещений. Отметим, что наличие такого подпространства означает, что ао можно изменять только в некоторых пределах. Действительно, если бы пространства С не было и вектор поправки брался из Н, то задача не имела бы смысла, можно было бы сразу положить i = ао — zq. Если zq £ то I = ао — zo 6 С , поэтому будем считать, что zq не лежит в С. Однако, если zq лежит в С и норма разности ао — zq недопустимо велика, то можно добиться сходимости траекторий существенно меньшей по норме поправкой I. Действительно, неустойчивость оператора S обычно сосредоточена на некотором конечномерном подпространстве Н. Поэтому, можно проектировать разность ао — zq на подпространство Я, на котором оператор S устойчив. При этом убывание погрешности в устойчивом подпространстве будет гарантироваться разрешающим оператором S задачи. Отметим, что несмотря на то, что пространство С является конечномерным, в нем содержится бесконечное число элементов, поэтому решить данную задачу методом перебора не представляется возможным даже теоретически.

Рассмотрим, как может выбираться подпространство С в реальных задачах. Пусть ао, Zq являются функциями, заданными в некоторой области £1. Тогда можно рассмотреть некоторую подобласть К е ^ и в качестве подпространства С рассмотреть пространство финитных функций, отличных от нуля в области К. Это означает, что обеспечить требуемую динамику в системе можно, изменяя начальные условия ао в некоторой подобласти К.

Решение задачи строится на основании известных результатов /12, 13, 14, 16/ теории устойчивых многообразий, применимой в случае динамических систем гиперболического типа. Согласно обобщенной теореме Адамара-Перрона /2/, если выполнены условия частичной гиперболичности в окрестности Ozo, то существует устойчивое многообразие W~(zo,f). Это многообразие можно задать некоторой функцией /. Устойчивое многообразие характеризуется тем, что траектория каждой его точки сближается с траекторией точки zq, поэтому рассматриваемая задача сводится к приближенному проектированию на многообразие W~(zo, /). Время сближения траекторий для точек устойчивого многообразия является сколь угодно большим, поэтому критерием точности проектирования является величина Т гарантированного времени сближения траекторий.

Развитие методов стабилизации

Наиболее распространённый класс методов нахождения инвариантного многообразия использует следующую технику. Многообразие размерности к находится как последовательность топологических сфер Mi размерности к — 1 в Я. /10, 11/ При этом в качестве Mq берется сфера в неустойчивом инвариантном подпространстве (Eu(zq)) оператора L линеаризации S в стационарной точке zq. При этом Mi находится по найденной ранее Mi-1 тем или иным способом с помощью оператора S. Недостатком метода является неоднородное расстояние между Mi и Mi-1, в результате, даже если Mi найдены с высокой точностью, аппроксимация многообразия получается неточной. Отметим также вычислительную сложность данного подхода. Обычно Mj аппроксимируется с помощью N точек, поэтому сложность вычисления Mj+i будет пропорциональна N, при этом N зависит от требуемой точности аппроксимации.

В работе /10/ Дж. Гукенхеймер и А. Владимирский предложили идейно похожий метод нахождения устойчивого многообразия, лишенный этих недостатков. Метод сводит задачу проектирования на инвариантное многообразие размерности к к системе дифференциальных уравнений порядка к. При составлении дифференциальных уравнений рассматривается полудинамическая система, задаваемая системой дифференциальных уравнений у' = F{y). Используется факт, что векторное поле, задаваемое этой системой должно касаться графика функции /, задающей инвариантное многообразие. Начальный "граничный" набор точек задается с помощью дискретизации сферы в инвариантном подпространстве Eu(zq). Далее граница уточняется, и с помощью решения дифференциального уравнения порядка к к ней добавляются новые точки. Недостатком данного метода является невозможность его применимости к пространствам высокой размерности. Также остается открытым вопрос о строгом обосновании сходимости полученных алгоритмов.

Другой распространенной техникой нахождения инвариантных многообразий является метод функционально-аналитических рядов /31, 20/. Метод состоит в выписывании инвариантного многообразия аналитически в виде ряда. В качестве приближения к многообразию можно взять несколько членов ряда. Главным достоинством метода является эффективность при решении задач, требующих многочисленного проецирования на многообразие. Вычислив один раз необходимые коэффициенты можно использовать их для проецирования для любых начальных данных. Недостаток метода - быстрый рост числа вычислений с увеличением точности. Также данная техника применима к ограниченному классу полудинамических систем, задаваемых аналитически.

Отметим, что все использованные ранее методы применялись к полудинамическим системам частного вида, то есть использовались те или иные допущения о виде системы и её внутреннем устройстве. В данной работе никаких требований к полудинамической системе, кроме как удовлетворения условий гиперболичности в окрестности точки zo не требуется. Заметим также, что условие гиперболичности можно ослабить. Корнев А. А. в работе /18/ показал, что для существования устойчивого многообразия в окрестности точки Zq достаточно, существования разложения подпространства Н в этой точке в прямую сумму подпространств таких, что одно подпространство является слабо растягивающим, а другое не растягивающим.

Формулировка и теоретическое обоснование корректности задачи о проектировании на устойчивое многообразие в терминах подпространства С принадлежит А. В. Фурсикову /30, 32/. Алгоритм асимптотической стабилизации по краевым условиям на основании работ Фурсикова был впервые разработан и применен для уравнений Чафе-Инфанта Е. В. Чижон-ковым в работе /33/. Позже алгоритм был обобщен на случай уравнений Навье-Стокса в /34/. Метод, применяемый в работах /33, 34/, сводился к проецированию не на само устойчивое многообразие, а на его линейную часть, что фактически является частным случаем рассматриваемых в данной работе итерационных процессов с максимальным числом итераций равным единице.

В данной работе функция /, задающая устойчивое многообразие, строится с помощью метода сжимающих отображений /12, 13, 14, 16/. На основании инвариантных свойств W~(zo,f) выписывается итерационный процесс в пространстве функций, сходящихся к искомому многообразию. Данный метод был выбран благодаря своей универсальности, позволяющей использовать его для расчетов в случае банаховых пространств. Сходимость метода для стационарного и нестационарного случаев доказана Корневым А. А. в работах /12, 13, 14, 16/. Несмотря на универсальность метода, он имеет ряд проблем:

• количество арифметических операций на п итераций 0(2П);

• необходимо уметь выделять линейную часть L оператора 5;

• необходимо вычислять инвариантные подпространства оператора L.

Для сложных задач математической физики и моделирования климата вычислительная сложность алгоритма порядка 2П на п итераций является накладной. Линейную часть оператора L не всегда возможно найти точно (выделить аналитически). Целями данной работы являются:

• математическая переформулировка алгоритма на основе метода сжимающих отображений с асимптотикой полиномиального, а не экспоненциального характера;

• приближенное вычисление инвариантных подпространств оператора L, доказательство вычислительной устойчивости алгоритма;

• разработка и реализация параллельной версии алгоритма.

Структура и основные результаты работы

В первой главе описана общая постановка задачи, известные теоретические сведения и результаты из теории устойчивых многообразий. Сформулированы и доказаны теоремы о влиянии погрешности при вычислении инвариантных подпространств в стационарном и нестационарном случаях. Отметим, что данный результат имеет не только теоретическое значение, но также позволяет гарантировать, что в случае приближенного вычисления операторов проектирования алгоритм будет сходиться. Это особенно важно когда разрешающий оператор задачи S дан в виде "черного ящика" и понять его структуру для выделения линейной части L и операторов проектирования не представляется возможным.

Вторая глава посвящена практической реализации алгоритмов. Также здесь предложены и обоснованы модификации изложенных алгоритмов с вычислительной сложностью 0(п2) на п итераций. Данные усовершенствования алгоритма проектирования позволяют его использовать для сложно-заданных полудинамических систем. Также разработана версия алгоритма, которая может применяться для вычислений на слабосвязанных вычислительных машинах.

Снижение числа итераций в исходном алгоритме было достигнуто путем внесения на некоторых шагах итерационного процесса погрешности в п'е приближение к проекции на устойчивое многообразие. Метод преобразования алгоритма основан на представлении зависимости п'го приближения от п — 1,., 0 приближений в виде дерева и склейки близких узлов дерева. Отметим, что так как исходный алгоритм имел сложность 0(2"), данное дерево не вырождается в цепочку. Преобразованный алгоритм был назван "методом склейки".

Параллельная версия основана на рассмотрении некоторого множества в неустойчивом подпространстве Н. Множество делится на подобласти в каждой подобласти выбирается множество точек, которые будут проектироваться на устойчивое многообразие. Далее устойчивое многообразие строится целиком путем линейной интерполяции. Данный алгоритм может работать на слабосвязанной системе путем передачи каждой подобласти отдельному процессу. Отметим, что параллельный алгоритм никак не использует внутреннюю структуру оператора S, распараллеливается именно сам алгоритм проектирования, а не вычисление оператора S. Это важно для класса задач где реализовать параллельное вычисление оператора S не представляется возможным или это очень сложно, например, для задач с оператором S типа "черный ящик".

Строгие условия сходимости параллельного алгоритма и метода склейки не сформулированы, так как носят неконструктивный характер, однако, если найденная функция на каждой итерации не будет выходить из требуемого класса функций, то на основании доказательств, используемых в работах /12, 13, 14, 16/ разработанные алгоритмы будут сходиться. Вполне возможно, есть случаи, при которых внесенная погрешность будет слишком большой и метод склейки или параллельный алгоритм не сойдутся, однако, во всех проводимых расчетах алгоритмы сходились. При этом результаты усовершенствованных методов совпадали с результатом исходного алгоритма.

В третьей главе подробно описаны используемые модели, для которых проводился расчет. Здесь содержится информация о применяемых разностных схемах, выписана линеаризация S и сопряженная задача.

Четвертая глава содержит результаты расчета. Проведены расчеты для задаче Лоренца, Чафе-Инфанта, уравнения баротропного вихря на полусфере. Расчеты показали сходимость разработанных алгоритмов к тому же значению, что и базовый алгоритм проектирования. Показана эффективность метода склейки и параллельного алгоритма. С помощью параллельного алгоритма удалось провести расчеты на мелких сетках (до 512 х 384) для баротропного вихря на сфере. Исследована возможность стабилизации для модели климата, описываемой уравнением баротропного вихря на сфере с физически разумными начальными данными. Установлены области на полусфере, изменения в которых начальной функции дает наиболее эффективные результаты по стабилизации. Отметим, что для уравнения баротропного вихря на полусфере, которое является математической моделью климата, возможность асимптотической стабилизации по начальным данным исследована впервые.

Написана объектно-ориентированная библиотека с реализацией алгоритмов стабилизации. Библиотека написана таким образом, что к ней легко подключать новые модельные примеры, при этом поддерживаются максимально обобщенные модели, в которых оператор S задан в виде "черного ящика", однако пользователь библиотеки при желании может сам уточнить внутреннюю структуру задачи, задав оператор линеаризации L, сопряженный оператор линеаризации L* и базисы устойчивого подпространства L и L*. Соответствующие уточнения повышают скорость и расширяют область сходимости алгоритмов. Отметим, что недостающие данные будут вычислены приближенно, используя те или иные методы, изложенные в работе.

Архитектура библиотеки, а также использованные средства описаны в приложении.

Основные результаты работы изложены в статьях /16, 17, 19, 25, 26/.

Основные результаты диссертационной работы

• Построены и реализованы прикладные численные алгоритмы решения задачи асимптотической стабилизации по начальным данным. Обоснована сходимость предложенных алгоритмов;

• Обоснована устойчивость алгоритмов относительно ошибок округления при вычислении промежуточных задач;

• Для модельной траектории уравнения баротропного вихря на сфере найдены начальные условия, позволяющие проводить стабилизацию;

• Предложенные алгоритмы реализованы в виде пакета программ на языке Си/Си++. Реализована параллельная версии алгоритма.

Заключение

В диссертационной работе предложены алгоритмы для эффективного решения задачи асимптотической стабилизации по начальным данным. Также показана возможность использования построенных алгоритмов для задач большой размерности и задач в условиях сложно заданного оператора.

1. Anderson Е., Bai Z., Bischof С., Demmel J., Dongarra J., Du Croz J,, greenbaum A., Hammaling S., McKenney A., Ostrouch S., Sorensen D., LAPACK users guide.// S1.M. Philadelphia. 1992.

2. Аносов Д. В., Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны.// Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова. Т. 90. 1967.

3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М., Численные методы, издание вте>рое//М.-Спб.:Физматлит Невский Диалект Лаборатория Базовых Знаний. 2001.

4. Богачев К. Ю., Практикум на ЭВМ. Методы приближения функций, 2-е изд// М.:Изд-во механико-математического факультета МГУ. 1999.

5. Годунов С. К., Современные аспекты линейной алгебры.// Новосибирск: Научная книга. 1997.

6. Годунов С. К., Лекции по современным аспектам линейной алгебры./ / Новосибирск: Научная книга. 2002.

7. Дымников В. П., Вычислительные методы в геофизической гидродинамике./ / М.: Отдел вычислительной математики АН СССР. 1984.

8. Дымников В. П., Филатов А.Н., Основы математической теории климата.// М.: ВИНИТИ. 1994.

9. Деммель Дж., Вычислительная линейная алгебра.// М.: Мир. 2001.

10. Guckenheimer J., Vladimirsky A., A fast method for approximating invariant manifolds// SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2004. V. 3, N. 3. P. 232-260.

11. Johnson M. E., Jolly M. S.,Kevrekidis I. G., Two-dimensional invariant manifolds and global bifurcations: Some approximation and visualization studies// Numer. Algorithms. 14 (1997). P. 125-140.

12. Корпев А. А., Об итерационном методе построения "усов Адама-ра"// ЖВМиМФ. 2004. Т. 44, N. 8. С. 1346-1355.

13. Корнев А. А,, Об аппроксимации аттракторов полудинамических систем// Матем. сборник. 2001. Т. 192, N. 10. С. 19-32.

14. Корнев А. А., Методы ассимптотической стабилизации по начальным данным к заданной траектории// ЖВМиМФ. 2006. Т. 46, N.1. С. 37-51.

15. Корнев А. А., Классификация методов проектирования на устойчивое многообразие// Докл. РАН. 2005. Т. 400, N. 5, С. 736-738.

16. Корнев А. А., Озерицкий А. В., О приближенном проектировании на устойчивое многообразие// ЖВМиМФ, 2005. Т. 45, N. 9. С. 1580-1586.

17. Корнев А. А., Озерицкий А. В., О вычислительной устойчивости одного метода стабилизации, Вестник МГУ. 2007. N 1. С. 33-36.

18. Корнев А. А., К общей теории устойчивости полудинамических систем// Докл. РАН. 2002. Т. 387, N. 1. С. 13-15.

19. Kornev A. A., Ozeritsky А. V., On the problem of approximate projection onto the invariant manifolds of the Navier-Stokes equations//1.ternational Conference "Mathematical Hydrodynamics". Moscow. 2006. P. 47-48.

20. Калинина А. Б., Численная реализация метода функционально-аналитических рядов проецирования на устойчовое многообразие// Вычислительные методы и программирование. 2006. Т. 7, С. 61-68.

21. Ладыженская О. А., Солонников В. А., О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики// Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1973. Т. 38. С. 46-93.

22. Lehoucq R. В., Sorensen D. С., Yang С., ARPACK Users' Guide: Solution of Large Scale Eigenvalue Problems with Implicitly Restarted Arnoldi Methods.// http://www.caam.rice.edu/software/ARPACK/. 1997. P. 4456.

23. Малышев A.H., Введение в вычислительную линейную алгебру// Но-восибирск:Наука, 1991.

24. Нечепуренко Ю. М., Спектральные разложения// Труды математического центра им. Н.И.Лобачевского. Том 26. Материалы Всероссийской молодежной научной школы-конференции. Издательство Казанского математического общества. Казань, июнь 2004, 44 стр.

25. Ozeritsky А. V., Efficient algorithms for stable manifolds// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2005. V. 20, N. 2. P. 209-224.

26. Ozeritsky A. V., Efficient Algorithms for Solutions of Asymptotic Stabilization on the Origin// International Conference "Tikhonov and Contemporary Mathematics". Moscow. 2006. P. 94-95.

27. Песин Я. M., Характеристические показатели Ляпунова и гладкаяэргодическая теория// Успехи матем. наук. 1977. Т. 32. Вып. 4(196). С. 55-112.

28. Самарский А. А., Николаев Е. С., Методы решения сеточных уравнений.// М.: Наука, 1978.

29. Самарский А. А., Теория разностных схем.// М.: Наука, 1989.

30. Фурсиков А. В., Стабилизируемость квазилинейного параболического уравнения с помощью граничного управления с обратной связью// Матем. сборник. 2001. 192, N. 4. С. 115-160.

31. Fursikov А. V., Stabilizability of Two-Dimensional Navier-Stokes equations with help of a boundary feedback control.// J. of Math. Fluid Mech. V. 3, (2001), pp. 259-301.

32. Chizhonkov E. V., Numerical aspects of one stabilization method// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2003. V. 18, N. 5. P. 363-376.

33. Chizhonkov E. V. Ivanchikov A. A., On numerical stabilization of solutions of Stokes and Navier-Stokes equations by the boundary conditions.// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2004, V. 19, N. 6, P. 477-494.

34. Шильников JI. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории нелинейных систем. Ч. 1// М.-Ижевск: Ин-т Компьютерных иссл., 2004.