Стабилизация семейства программных движений в линейных и билинейных системах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

^/ШКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ <ч. ^ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Смирнова Татьяна Евгеньевна

СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ И БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Специальности:

01.01.09 - математическая кибернетика;

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (в области физико-математических наук)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1998

Работа выполнена б Санкт-Петербургском государственном университете на факультете прикладной математики - процессов управления.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

чл.-корр. РАН, доктор физико-математических наук,

профессор Зубов В.И.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

доктор физико-математических наук, профессор Камачкин А.М. кандидат физико-математических наук, доцент Рожков Ю.С.

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ:

Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций.

Защита состоится 1998 года в часов на заседа-

нии диссертационного copera К-063.57.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, 10-я линия В.О., д. 33, ауд. 66.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. А.М.Горького СПбГУ но адресу: г.Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан 1998 года.

Ученый секретарь диссертационного

совета К-063.57.16, доктор , /

физ.-мат. наук, профессор В.Ф.Горьковой

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Анализ различных нелинейных управляемых процессов, как правило, опирается па исследование соответствующего линейного приближения. Для линейных моделей практически решены асе основные задачи такие, как программное управление, наблюдаемость, идентификация, стабилизация и оптимальная стабилизация программных движений. Решение задачи стабилизации по линейному приближению является классическим примером такого подхода, а ее актуальность определяется тем, что проблема устойчивости возникает фактически во всех областях современной техники. В.И.Зубовым было показано, что и задача синтеза управления, реализующего заданное множество программных движений и обеспечивающего их асимптотическую устойчивость, может быть решена на базе линейного приближения.

С другой стороны, существует масса примеров, когда линейные системы в неприемлемой степени упрощают исследуемые нелинейные системы. Это обстоятельство определяет существенный интерес специалистов по теории управления к классу билинейных систем вида

являющемуся более гибким инструментом аппроксимации. Все это позволяет утверждать, что задача многопрограммной стабилизации системы (1), как в случае полной обратной связи, так и с неполной информацией о фазовом состоянии, имеет не только прикладное, но и теоретическое значение. По сути речь идет о синтезе системы управления, позволяющей в зависимости от начальных данных выполнять один из заданных программных режимов и, одновременно, обеспечивать его асимптотическую устойчивость.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей работы является:

- поиск условий, при выполнении которых возможен синтез управлений, обеспечивающих существование и асимптотическую

г

(1)

¿=1

устойчивость заданного множества программных движений в билинейных системах вида (1) для случая полной обратной связи;

- разработка конструктивных алгоритмов синтеза таких управлений;

- исследование возможности использования системы билинейного приближения для стабилизации соответствующей нелинейной системы;

- развитие метода стабилизации по линейному приближению на случай неполной обратной связи, то есть с применением стационарных и нестационарных асимптотических идентификаторов;

- применение полученных результатов для решения задачи многопрограммной стабилизации в линейных и билинейных системах в случае неполной обратной связи.

Научная новизна. В работе предложен достаточно общий метод построения управлений, решающих задачу стабилизации заданного семейства программных движений в стационарных и нестационарных билинейных системах как со скалярным управлением, так и с несколькими входами. Найдены необходимые и достаточные условия существования таких управлений в случае полной обратной связи, суть которых сводится к проверке ста-билизируемости некоторых вспомогательных линейных систем. При этом доказательства теорем конструктивны, то есть содержат алгоритмы построения соответствующих управлений.

Для нелинейных систем, не имеющих полного линейного приближения, введено понятие билинейного приближения и доказана теорема о стабилизации по билинейному приближению.

Для линейной нестационарной системы на базе первого метода А.М.Ляпунова получены условия существования полного нестационарного асимптотического идентификатора и нестационарного идентификатора Люенбергера. Показана возможность стабилизации нелинейной системы по линейному приближению с применением этих идентификаторов.

Далее в работе изложена модификация метода синтеза многопрограммных стабилизирующих управлений для линейных и билинейных систем в случае неполной обратной связи. Суть ее состоит в построении асимптотических идентификаторов для вспомогательных линейных систем и использовании их выходов для формирования искомого управления.

Метода исследования. Для решения поставленных задач в работе используются методы теории устойчивости, современной математической теории управления, а также элементы математического анализа и высшей алгебры.

Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для решения задач стабилизации в различных нелинейных системах как в случае полной обратной связи, так и с неполной информацией о фазовом состоянии. Разработанные алгоритмы многопрограммной стабилизации позволяют для билинейных объектов создавать системы автоматического управления с несколькими устойчивыми программными режимами.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры теории управления, на 28 и 29 научных конференциях "Процессы управления и устойчивость" факультета ПМ-ПУ СПбГУ (1997 и 98 гг.), а также на международных научных конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем", Киев, 1997 г.; "Управление колебаниями и хаос", Санкт-Петербург, 1997 г.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1-5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех основных глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 103 страницы. Библиография содержит 64 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, ставятся задачи исследования, дается обзор соответствующей научной литературы и проводится краткая аннотация всех разделов диссертации.

В первой главе рассмотрена задача синтеза многопрограммных устойчивых управлений в линейных и билинейных стационарных и нестационарных системах в случае полной обратной

связи. Пусть для системы (1) построены программные управления ... , ид'(^) и соответствующие им программные движения XI(4), ... , хл(0- Требуется построить управление

и=и(х,*), (2)

реализующее заданное семейство программных движений и обеспечивающее их асимптотическую устойчивость.

В §1 изложены известные результаты В.И.Зубова, позволяющие решать данную задачу для линейной стационарной системы. В §2 применение предложенной им методики позволило доказать следующее утверждение для стационарной билинейной системы (1) при г = 1.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) программные движенияхх(£), ... , системы, (1) при

управлениях и\{1), ... , ин(Ь) различимы, то есть

|п£ ||х; > 0, г фу,

2)

системы.

У(ь = (А + В«*(0)у*+Вх*(0«к, = 1,ЛГ (3)

стабилизируем и управлением уд. — СьУк- Здесь ул -- х — ьь = и — - отклонения от программных движений и программных управлений соответственно. Тогда существуют строки Сх, ... , Сдг такие, что управление вида

А * ( - )

(4)

где

реализует программные движения Хх^), ..., при этом

каждое из них будет асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Следует отметить, что доказательство этой теоремы проведено конструктивно, то есть а нем не только обосновап вид управления (4),(5), но и приводится алгоритм его построения, опирающейся на возможность стабилизации нестационарных линейных систем (3). Кроме того, для каждого программного движения ^ = 1, Лг выписана система в отклонениях, необходимая при доказательстве его асимптотической устойчивости. Найденные при этом явные выражения для нелинейностей позволяют решать задачу оценки области асимптотической устойчивости для каждого программного режима в системе (1), замкнутой управлением

(4),(5).

В §3 задача стабилизации семейства программных движений решается для линейных и билинейных нестационарных систем. Доказанные теоремы содержат условия разрешимости этой задачи, а в их доказательствах отмечены особенности алгоритмов построения управлений, связанные с нестационарностью.

В §4 рассмотрена билинейная система (1) с несколькими входами (г > 1). При решении задачи в этом случае возникают дополнительные технические трудности, которые учитываются при доказательстве соответствующих утверждений.

Вторая глава посвящена развитию метода стабилизации по линейному приближению на случай неполной обратной связи, а также на нелинейные системы, не имеющие полного линейного приближения.

Для таких систем в §1 предложено ввести понятие билинейного приближения, выделяя соответствующий член в разложении правой части по переменным х и и. Пусть нелинейная управляемая система имеет вид

п

= итВ,г(г)х+ х, и), й=1~п, (6)

¿=1

где и - г-мерный вектор управлений. Особенность системы (6) состоит в том, что в ней отсутствуют линейные члены по управлению.

Определение 1. Система

71

V» = +- 3 = М (7)

¿=1

называется системой билинейного приближения для (6).

Теорема 2. Если при управлении и = й нулевое решение системы (7) асимптотически устойчиво и выполнены неравенства

^ИУоИе-^-^ < Цу(Мо,Уо)Ц < МУоНе-^-'0', (8)

то нулевое решение системы (6) также асимптотически устойчиво при и = и и любое ее движение, начинающееся в достаточно малой окрестности нуля, удовлетворяет оценкам типа (8).

Лалее в этом параграфе доказана теорема о достаточных условиях стабилизируемости самого билинейного приближения.

В §2 рассмотрена задача построения асимптотических идентификаторов состояния в линейных нестационарных системах

х=А(()х + В^)ц, (9)

у(0 = Вх(() (Ю)

и возможность их применения в задачах стабилизации с неполной обратной связью. При этом линейная динамическая система, выходом которой является вектор х(£), называется асимптотическим идентификатором состояния линейной системы (9),(10), если вектор оценки х(4) обладает свойством х(4) х^) при г оо. Если такой идентификатор построен, то стабилизирующее управление для (9) можно искать в виде

и=С(£)х. (И)

Теорема 3. Для того, чтобы имела решение задача стабилизации системы (9), (10) в виде стабилизирующего управления (11) необходимо и достаточно, чтобы били стабилизируемы две вспомогательные линейние системы

¿1 = А(*)Х1 +В(*)иь х2 = -Ат(£)х2 + П-Ти2,

где матрицы А(1), В(1) и К те же, что и в (9), (10).

Следующие теоремы этого параграфа дают условия разрешимости задачи стабилизации соответственно в нелинейных стационарных и нестационарных системах по линейному приближению в случае, когда для последних существуют асимптотические идентификаторы состояния.

§3 по структуре совпадает с §2, но в нем речь идет о построении и использовании в задачах стабилизации идентификаторов Лю-енбергера. Принципиальное отличие от результатов §2 состоит в том, что оценивается вектор мепыней размерности в предположении достаточной точности измерений (10).

В третьей главе рассмотрена задача стабилизации семейства программных движений в линейных и билинейных системах при неполной обратной связи. По сути в ней результаты второй главы применяются к задаче первой главы с учетом уравнения измерителя (или выхода) (10).

Так теоремы §1 определяют условия существования управлений типа (4),(5) для линейных стационарных и нестационарных систем. При этом вместо вектора фазового состояния используются соответствующие оценки, полученные с применением как простейших идентификаторов, так и идентификаторов Люенбер-гера. Доказательства этих теорем опираются на соответствующие утверждения второй главы.

В §2 та же задача решается для билинейных стационарных и нестационарных систем с одним входом. Существенным отличием здесь является то, что для стабилизации каждой вспомогательной системы строится свой асимптотический идентификатор.

Наконец, в §3 рассмотрена билинейная система (1) с несколькими входами (г > 1). В нем изложены не только утверждения, определяющие условия существования многопрограммного стабилизирующего управления, но и отмечены технические сложности его построения, связанные с размерностью вектора управлений.

Заключение содержит основные результаты, выносимые на защиту.

Автор пользуется случаем выразить глубокую признательность В.И.Зубову за постановку задачи и постоянное внимание к работе, а также А.П.Жабко и А.Ю.Александрову за ценные советы и замечания.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Смирнова Т.Е. Использование системы билинейного приближения при решении задачи стабилизации// Сборник научных трудов "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи".

- Тула, 1996. - С. 24-28.

2. Смирнова Т.Е. К вопросу о стабилизации нескольких программных движений билинейной системы// Тезисы докладов международной конференции "Моделирование и исследование устойчивости систем". - Киев, 1997. - С. 110.

3. Смирнова Т.Е. Синтез многопрограммных устойчивых управлений в билинейных однородных системах// Сборник научных трудов "Дифференциальные уравнения и прикладные задачи".

- Тула, 1997. - С. 23-27.

4. Smirnova Т.Е. The estimation of the asymptotic stability domain of the stable programmed motions using the bilinear-approximation system// Proc. of 1st International Conference "Control of Oscillations and Chaos" (COC'97). - St-Petersburg, 1997. - P. 366-367.

5. Smirnov N.V., Smirnova Т.Е. The problem of the stabilization for some programmed motions of the bilinear stationary system// Proc. of Third International Workshop Beam Dynamics & Optimization. -St.-Petersburg, 1997. - P. 210-217.