Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

#3 А ' « :

московский ГОСУДАРСТВЕННЫ» УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

На правах рукописи

СДПЧИК Владимир Михайлович

УДК 531

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МЕХАНИКИ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ НЕПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

(01.02.01 — теоретическая механика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва —

1992

Работа выполнена в Российском университете дружбы пародов.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, с. и. с. Акуленко Л. Д.,

доктор физико-математических наук, профессор Павленко Ю. Г.,

доктор физико-математических паук, профессор Шестаков А. А.

Ведущая организация — Вычислительный центр РАН.

Защита диссертации состоится 11 декабря 1992 г. н 10 часов на заседании специализированного совета Д 053.05.01 в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, ауд. 16—10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан «.'^ .» .^Р^М^ . 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических наук

ТРЕЩЕВ Д. В.

ОБШЯЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Пк I уамиость темы. Движения многочисленных распределенных систем описываются" дифференциальными и интегро-диф-ференциалькыми уравнениями с частными производными с непо-тенциадьными операторами. Возникагошие при этом задачи обычно не могут быть решены с помощью известных классических методой исследования потенциальных систем, основанных на существовании интегральных вариационных принципов для заданных уравнений. В "го же время в аналитической механике известны различные способы, изучения движений конечномерных непотенциальных систем. Их разработкой занимались Румян -цеп В.В., Яржаных И.С., Новоселов B.C. и др. За последние годы полумили дальнейшее развитие методы, основанные на решениях обратной задачи вариационно по исчисления (ОЗВГО. В случав конечномерных систем большие исследования в этом направлении проведены Santilll R.M.1*

В этой связи актуальной задачей стало распространение математических методов исследования движений конечномерных непотенциальных систем на бесконечномерные непотенциальные системы.

Для разработки способов исследования движений таких систем также представляет значительный интерес ряд результатов, связанных с вариационными методами решения уравнений с непотенциальными операторами, в рамках которых обоснована необходимость использования классов функционалов, отличных от функционалов Эйлера - Лагранжа . В этой связи предстояло разработать новые конструктивные методы построения таких функционалов по заданным уравнениям движения бесконечномерных непотенциальных систем с произвольной структурой сил и установить их значения для развития гамилътоновай механики бесконечномерных систем.

^Santtili R. M. Foundations of theoretical mechanics. - N.Y. : Springer -Verlag. - V. I, 1978. - 266 p. ; V. 2. 1933. - 370 p.

^Филиппов B.M. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. - М., 1985. - 206 с.

Цель работы: развитие вариационных принципов механики ессконечнси-<ерных непотенциальных систем на основе разработки общих методов решения ОЗВИ с использованием эйлеровых и неэйлеравых классов функционалов; распространение математических методов классической динамики на механику бесконечномерных непотенциалъных систем; установление взаимосвязи уравнений движения таких систем с различными скобками Пуассона и Пи-допустимыми алгебрами; распространение теоретико-групповых методов на механику бесконечномерных непотен-ииальных систем.

Методы иссдедсвадия. В работе используются математические методы классической механики, методы нелинейного функционального анализа и теории групп скмметрий, а также методы решения обратной задачи вариационного исчисления в различных постановках для уравнений с непотенциальными операторами с использованием эйлеровых и неэйлеровых классов функционалов.

Научная новизна. В работе получен общий критерий существования интегральных вариационных принципов для произвольных уравнений движения бесконечномерных систем и формула для построения соответствующего функционала - аналога классического действия по Гамильтону. На гтой основе разработаны, новые конструктивные методы построения таких принципов для уравнений движения непотенциальных систем с использованием различных классов функционалов. При этом показано, что искомые функционалы могут быть построены так, чтобы они являлись полуограниченными снизу и принимали минимальное значение только на решениях поставленной задачи. В случае уравнений движения с дифференциальными операторами их подин -тегральные выражения могут содержать производные от неизвестных функций меньшего порядка, чем исходные уравнения.

Получены аналоги условий потенциальности Гельмгольца для различных классов уравнений движения бесконечномерных систем

Дано развитие теории скобок Пуассона для бесконечномерный систем, включающей неэйлеровы классы функционалов, и на этой основе расширена область применения методов классической Гамильтона вой механики.

В механике бесконечномерных систем выделен класс систем Биркгофа и установлен ряд ет-э свойств. Найдены необходимые и достаточные условия представимости заданных уравнений движения в виде уравнений Биркгофа и получены формулы для построения соответствуют!IX операторов Биркгофа. Выявлена взаимосвязь между системами Биркгофа и системами Гамильтона.

Получены необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяют преобразования симметрии обобщенного действия по Пфаффу, знание которых позволяет строить интегралы уравнений Биркгофа. Исследован вопрос о возможности построения нового преобразования симметрии по дзум известным таким преобразованиям.

Дано применение теории преобразований симметрии для отыскания интегралов уравнений движения Лагранжа с непотенциальными плотностями сил.

Получили распространение методы исследования канонических уравнений ранга большего нуля на механику бесконечномерных непотенциальных систем.

Разработан операторный подход, позволяющий по единой методике исследовать ряд свойств уравнений движения как бесконечномерных, так и конечномерных систем. ,

Практическая ценность. Разработанные методы позволяют по лучать косвенные вариационные формулировки уравнений движения бесконечномерных непотенциальных систем, удовлетворяющих заданным условиям. Оки расширяют область применения математических методов механики конечномерных систем, прямых вариационных методов исследования уравнений и теоретико-групповых методов отыскания интегралов уравнений движения. При определенных условиях предложеннные методы позволяют выявлять вполне интегрируемость бесконечномерных систем. Полученные результаты могут найти применения при решении уравнений движения непотенциальных систем как аналитическими, так приближенными и численными методами.

Ппробация полученных результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на Пятой Всесоюзной Четаев-сксй конференции " Аналитическая механика, устойчивость и

управление движением" (Казань, сентябрь 1987г.), в Институте проблем механики РЯН на семинаре под руководством академика Черноусько Ф.Л. (1990г., 1992г.); в МГУ на семинарах под руководством: академика Румянцева В.В. (май, ноябрь 19 91г.) проф. Козлова В.В. (1989г., 1991г.), проф. Демина В.Г. (1992г.), проф.: Вильке В.Г. и Самсонова В.Я. (1991г.).

Автор неоднократно выступал на научных конференциях факультета физико-математических наук Российского университета дружбы народов (1984 - 1992 г.г.).

Автор выступил с докладом на семинаре по нелинейным задачам в Калифорнийском университете г. Санта-Барбара (СШЯ) (26 февраля 1988г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе монографии СП, 12].

Структура м объем диссертации. Диссертация состоит из предисловия, списка обозначений и терминологии, введения, четырех глав, разбитых на 20 параграфов, комментариев к каждой главе, заключения, списка литературы, содержащего 226 наименований, и изложена на 273. страницах машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РОБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, дается краткий обзор работ, относящихся к рассматриваемым в диссерта -ции вопросам, формулируется цель работы. Здесь также излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава "Прямые и косвенные подходы к вариационным формулировкам уравнений движения бесконечномерных систем" посвящена разработке конструктивных методов построения интегральных вариационных формулировок уравнений движения бесконечномерных непотенциальных систем. Они основаны на способах решения 03ВИ для уравнений с непотенциальными операторами.

В § 1 приводятся необходимые сведения об основах вариационного исчисления в операторной форме.

4

Рассматриваемые уравнения движения представляются в операторном виде

и. сЪМ &и, л> (1)

где и. V - линейные нормированные пространства нал полем действительных чисел К; ОСМ - область определегат?! оператора N.

В зависимости от конкретного вида N это могут Сыть уравнения или системы ОДУ, ДУЧП, ИДУЧП и т.д. Используемый а диссертации операторный подход к исследотганиго движений различных систем позволяет избегать громоздкости записей, характерных для координатного подхода.

Определение 1.1. Отображение Ф (...) -<•.->: V х II—Ж называется нелокальной билинейной формой, если оно линейно по каждому аргументу.

Определение 1.2. Нелокальная билинейная форма Ф (...) : V х х V—>П называется симметрической (кососимметрической), если Ф (v, д) - Ф <д, у) V-д. v С- V (Ф (у, д) - - Ф Сд, у) V" д, v «• V ).

Определение 1.3. Локальней билинейной формой называется отображения Ф Си; .,.) " <• -; Ух11—которое каждой совокупности элеьаентоа V < V, Ь, и 11 сгагят в соответствие элемент из поля П и является билинейным по V, (1.

Обозначим через и Оу нулевые элементы соответственно

в и и V.

Определение 1.4. Локальная билинейная форма Ф (и; .,.) : Ух х и—называется; невырожденной, если: 1) из условия ФСи; v, Ю » 0 V" у Ч V, V" и с- и следует, что = ; 2) из условия Ф (и; V, Ю « О V" 1-1, и С и следует, что V - 0-^у.

При фиксированных элементах ч ч У, У-> I) выражение Ф (. ; V, Ю определяет оператор, значение которого зависит от и <3 и. Производная Гато такого оператора в точке и ч и определяется формулой

Приводятся примеры локальных и нелокальных бллинезЧтхх форм. В диссертации они используются для исследования

сгаойств потенциальности и гамильтоновости операторов, определяемых уравнениями движения.

В $ 2 сводится понятие В ^-потенциальных операторов и на этой основе обобщается классическое понятие действия по Гамильтону.

Пусть Ви : ОШ^) $ V—- некоторый линейный оператор, в общем случае, зависящий от и 6 и 5 V. Его производная Гато

В^, определяется формулой В'^Сд; Л) » й/йе СВ ^ ^ ь ^ д)|

1 Ь -= о

Определение 2.1. Оператор N : йСМ $ I)—>У называется В^-потенцмальккм на выпуклом множестве ОШ) относительно локальной билинейной формы : V х V—, если существует линейный оператор В и дифференцируемый по Гато функционал

Р , так что N

Б^и.М -= ¿^Си + ьЦ^ -- <Ы(а),Ва1г>и_

При этом оператор N называется Вц_- градиентом функционала ^К ' а ~ В ^-потенциалом олратора N. Будем записывать N - В^- дгаа^ ^ .

Если г I - единичный оператор и <•.»<•••> - нелокальная билинейная: форма, то из определения 2.1 следует классическое определение потенциальных операторов.

Д ля уравнения Ми) ■ Оу с В ^-потенциальным оператором N функционал является аналогом классического действия по Гамильтону.

Обозначим иСА.) • и0+ Л.(и - ис ) С Л- с- СО. 1]). Предполагая, что БСЮ - выпуклое множество, (и - ис ) С-Ви) V" и. ис С- доказываются:

Лемма 2.1. Пусть N : 0<Ю £ и—- В ^-потенциальный оператор на Еыпуклом множестве РСЮ и функция Л. —< И(иСХ-);, Вц^(аи(х.)/ах.)>и^ непрерывна на отрезке СО, П. Тогда формула

определяет В^ -потенциал оператора N.

Теорема 2.1. Пусть дифференцируемый по Гато оператор N : : ОСГО $ II—и локальная билинейная форма <--->и, : V х V — такие, что для любых фиксированных элементов и е- ОСИ), д, Ь <■ £ 0(Н'и, В^) функция с —=»- < Н(и+сМ, В^,.^ д"> ц_ + является непрерывно дифференцируемой на отрезке СО, П. Тогда для Ви-потенциальности опера-горка N на ОСГО относительно рассматриваемой билинейной формы необходимо и достаточно,' чтобы выполнялось условие

- Вик>и - <2; н(и), Ьик>и - (к-, $)>и <3)

При этом функционал ^ определяется формулой (2).

Условие (3) является критерием существования интегральных. вариационных принггипов для уравнений движения, определяющих оператор N.

Теоретические результаты иллюстрируются на примере построения интегрального вариационное принципа в форме Гамильтона для уравнения, описывающего колебания стержня с внутренним трением (материал Фойхта) в среде с сопротивлением. Построенное при этом действие не принадлежит классам функционалов Эйлера - Лагранжа.

Из результатов этого параграфа следует важный вывод: для построения аналогов классического действия по Гамильтону для уравнений движения непотенциальных систем необходимо привлекать неэйлеровы классы функционалов. Конкретный вид соответствующего действия для уравнений движения с оператором N зависит от некоторого вспомогательного оператора В,^ и выбора, в общем случае, локальной билинейной формы, относительно которой оператор N является В ^-потенциальным.

В следующих параграфах первой главы по сути разрзЕати-кштся различные методы построения таких форм по заданным уравнениям движения.

Исследование проблемы построения искомого функционала -действия всегда начинается с выяснения того, не является ли оператор заданных уравнений движения потенциальным.

В £ 3 находится аналог условий потенциальности Гельмголь-ца - ксординатно-полевая форма критерия существования интегральных вариационных принципов - для заданной системы ИД.УЧЛ при исследовании на потенциальность относительно локальной билинейной формы. Для нелинейной системы ДУЧП общего вида такие условия получены при исследовании на потенциальность относительно заданных локальной билинейной формы и нелокальной Силю^еЛнсй фермы со свертками.

Отметим, что построение действия в форме Гамильтона для уравнений движения бесконечномерных непотенииальных систем в ряде случаев основывается на использовании аналогов условий потенциальности Гельмгольца.

Б 5 4 излагается ряд методов построения интегральных вариационных формулировок уравнений движения, представленных ' в операторном гиде

^аТЯ. (4)

Здесь и ■ и(х) - п-мерная вектор-функция из I), определяющая положение системы; ( ь * "I, к. ) - составляющие нулевого

элемента Оуу из V; СК Ь "¿2 .С .

Предполагается, что на систему наложены внешние связи, аналитически выраженные в виде

• Ь£ЧсО\э<5 = ч=а, ¿-П. (5)

где ^^ - заданные операторы, (. ^ •« 4, £.- краевые

значения; 30 - граница области 0.

Соотношения <4), <5> определяют оператор N • ( Г^..... М""):

: ООО С и —> V

Определение 4.1. Задача <4), (5) допускает прямую вариационную формулировку относительно локальной билинейной фермы <■ : V х и—если оператор N является потенциальным на 0(14) относительно этой формы.

Теорема 4.1. Для прямой вариационной Формулировки задачи <4), <5) относительно локальной билинейной формы : V х х U—>Г? необходимо и достаточно, чтобы оператор N удовлетворяя условию (3) при « I.

Этот результат применяется для получения двух различных интегральных вариационных формулировок задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости с учетом сжимаемости.

Определение 4.2. Задача <4), (5) с непотенциальным оператором N ; D(N) С U—>V допускает косвенную вариационную форму -лировку« если существует функционал, множество стационарных точек которого эквивалентно множеству решений задачи <4), <5).

Для построения косвенной вариационной формулировки задачи <4), (5) ищется обратимый линейный оператор М^ : D(M^ )

5- R<fO—>V, такой, чтобы оператор N » М^- N был потенциальным на DCN) относительно заданной билинейной формы. Искомый оператор М^ называется вариационным интегрирующим оператором для N. Обозначим LM h. - м'^СыСи)-, h.).

Теорема 4.3. Пусть:

1) задана локальная билинейная форма <-. ->^ : V х U—»R, удовлетворяющая условию

2> оператор N : DCfO С U—»V такой, что N'u - Р-Q, где Р : D(P)-5-г R(CD —>V - линейный обратимый оператор;

3) С : D(C) R(Q) —>V - произвольный линейный обратимый оператор, так что

<(CQ *Lcp.>, * CCQ *LCp-<Vu.

V- u tDOO, t"HN'u\

где к - 0 (к ■ I), если билинейная форма симметрическая (косо-симмэтрическая). Тогда формула

н^ер"

определяет вариационный интегрирующий оператор для N .

Следует отметить, что условие (б) заведомо выполняется, если заданная билинейная форма является нелокальной.

Теорема 4.3. дает один из возможных подходов к построе-тоо косвенной вариационной формулировки уравнений движения непсгтенциальных систем.

Отметим, что способ отыскания вариационного интегрирующего оператора, основанный на представлении (7), в дальнейшем (см. £ 15) используется для приведения уравнений движения бесконечномерных непотенциальных систем к виду уравнений Гамильтона.

Вариационный интегрирующий оператор может иметь вид обычного множителя (для системы уравнений это будет матричный множитель). Для его отыскания используются аналоги условий потенциальности Гельмгольца для соответствующих уравнений движения.

Для непотенциальных систем, движения которых описываются ДЭТП, доказано, что задача нахождения обычных вариационных интегрирующих множителей эквивалентна построению некоторой невырожденной, в общем случае, локальной билинейной формы, относительно которой исходная задача допускает прямую вариационную формулировку.

Построенные косвенные вариационные формулировки задач позволяют, в частности, расширить область применения анали-ческих методов классической динамики. Так, применяя аналог теоремы Гамильтона - Якоби, находится классическое решение уравнения, описывающего движения прямоугольной мембраны с закрепленным краем в сопротивляющейся среде. Найденный при этом обобщенный лагранжиан не содержит функцию и, определяющую положение системы, и это, дополнительно, позволяет получить интеграл заданного уравнения движения.

На примере уравнения Еюргерса показывается, что обычный вариационный множитель не всегда существует.

В этом параграфе излагается также способ построения вспомогательного оператора В по заданным уравнениям движения непотенциальных систем.

В £ 5 разрабатывается метод построения интегральных ва -

риационных формулировок уравнений, основанный на специальном выборе, в общем случае, локальных билинейных форм, относительна которых оператор N заданных уравнений движения является потенциальным.

Рассматривается уравнение

МЫ - ом , и.0)00 & V С\/ , <8)

где оператор В общем случае, не является потенциальным на относительно фиксированной локальной билинейной формы Ф(.

Теорема 5.1. Пусть :

а) N : ОСИ) 5 и—- дважды дифференцируемый по Гато оператор на выпуклом множестве ОСМ, причем Ь) - Ь, д) V- и ь ОСМ, V- д, Ь «= 0(Ыи);

б> Ф^ (и; • <-.-5 : V х V—- локальная билинейная форма;

в) С^: О(С^) Ч- ЯСН^) - произвольный линейный обратимый симметрический относительно Ф, оператор, так что:

1) для любых фиксированных элементов и * ОСМ, д, Ь <с функция "^(е) - <*>.,< и ♦ ; Ми^еЮ. } * С0'

Тогда оператор N является потенциальным на О(ГМ) относительно локальной билинейной формы

Ф(и = ^ Си ; и-, •

При этом

р Си], р [и 1 4 <?>;Ми\С М - 1

где и СА.) ■ о0 ♦ Х.Си - ис ис - фиксированный элемент из ОМ).

Следует отметить, что в частном случае, когда С^ - С -постоянный оператор (т.е. не зависит явно от и) и Ф, (и; .е * (. , .) - нелокальная билинейная форма, из (9) получается

Этот функционал известен как решение одной из постановок обратной задачи вариационного исчисления

Лается конструктивный метод построения вспомогательного оператора С, такого, что искомый функционал ^ полуограничен снизу и принимает минимальное значение только на решении и задачи <8).

Этот результат применяется для построения полуограниченного снизу функционала, принимающего минимальное значение на решениях краевой задачи для уравнений Навье - Стокса, описывающих движения вязкой несжимаемой жидкости. При этом его подынтегральное выражение содержит производные от неизвестных функций меньшего порядка, чем исходная система уравнений.

Глава 2 - "Уравнения движения бесконечномерных непотенциальных систем и связанные с ними алгебраические структуры**.

В 5 6 приводятся краткие сведения об использующихся в дальнейшем алгебраических структурах.

Под алгеброй понимается линейная, в общем случае, неассоциативная алгебра над полем действительных чисел К.

Алгебра <А, *]> называется Ли-допустимой, если линейное пространство А, наделенное билинейной операцией (присоединенным произведением)

^ТопН Е. //Нааготс А - 1982. - У.5. - Р. 1404 - 1450.

[а, 6]. - а *6 - 6*а V" а, 6 А является алгеброй Ли.

Устанавливается, что классическая скобка Пуассона для бесконечномерных систем является присоединенной скобкой некоторой Ли-допустимой алгебры.

Пусть 5а: I) —>и, Т^ : 11 —>11. I) —>11 - заданные линей-

ные операторы, в общем случае, зависящие от и.

В § 7 вводятся две билинейные операции в линейном прост-р-=нсл?« АШ) дифференцируемых по Гато операторов. Первая -СЭЛ")-произведение, определяемое формулой

(.Р,СПСлО = Р^СКи) - V и й и.

а зторая - С-комммутатор

[р,аз&Си)= а^роо ч/и^а.

Последняя операция является естественным обобщением скобки Ли и в дальнейшем неоднократно используется при введении скобок Пуассона.

Теорема 7.1. Если линейные операторы I)—>1) и Т^ : и—>

—=-1! такие, ,что выполняется условие

С^Су; Э^Ю - В^СИ; в^у) и, V С- и,

гдо Т^ , то алгебра < А(Ш; СБ, Т)> является Ли-допу-

спмсй, а < АШХ - алгеброй Ли.

Отметим, что этот результат используется , в частности, в 5 20.

В 5 8 устпншзг.игзаются сзойсттза Б-г.оммутатора В-потенци-■пг.ыгых операторов.

В £ 3 в линейном пространстве функционалов о'ф ^ , состоящем из В -потенциалов операторов, еводи-гся билинейная операция

V ^а№ - <в&иО(и)>и

"станавлиЕзютсч услсста, при кот:?р:.сх она определяет сксб-

Пуасссна в пространстве Функционалов ^, заданных на и.

Следует стм'ггнть, что применяемый операторный подход по-с^гллзт спр-5делить схсСгл Пу?.сс:т:п о пространствах эйле-

ровых, тазе и кеэйлерочых фунэтцлоналсв.

13

Теоретические результаты применяются для приведения заданного эволюционного уравнения к виду уравнения Гамильтона с гамильтонианом из неэйлеровых классов функционалов.

Б £ 10 рассматриваются некоторые способы построения скобок Пуассона. Пусть

^ЛН«!-^ <10>

г О-Би1- а '

где

С -^с^«мЛш>

С уЛ р ___г т

(>»,)-л»л; ©•'Ь ) - постоянные; 2 + - множест-

во т-мерных векторов а. - (а., . а. ^ ) с неотрицательными целыми числами »1 (Ь" I, т); О - ограниченная область в Я" с кусочно гладкой границей а Л; I) » <и (т) - (и'1 (х), иа(х)1:

и1 е- и1 - С~(Л> (с- .7Ь)>; Эр -

Обозначим через А кольцо гладких функций от I, иы . Через А"" обозначим пространство п-мерных векторов Ь » <Ь1 ,..., где А < I « Сл ). Пусть

Через «^р обозначим действительное линейное пространство функционалов вида

Г Си}, * ^ (12>

о.

а через < Эф;•,•}> - алгебру, определяемую в З^р скобкой (10).

В пространстве А11" вводится билинейная операция С.,.] : а""х х А"- —формулой

Здесь ~ биномиальный коэффициент.

Теорема 10.1. Для того чтобы формула (10) определяла скобку Пуассона в пространстве функционалов вида (12), необходимо и достаточно, чтобы билинейная операция (13) определяла алгебру Ли в пространстве А^" .

Эта теорема обобщает на случай m -пространственных переменных соответствующий результат И.М. Гельфанда и И.Я. Дор-фмака4^ , относящийся к случаю одной пространственной переменной.

Теорема 10.1 означает, что любому гаммльтоновому оператору вида (11) соответствует алгебра Ли на А"" . Она позволяет по заданной структуре (13) алгебры Ли на А"" построить скобку Пуассона.

Обозначим через А<р (U) действительное линейное пространство операторов потенциальных на U относительно заданной нелокальной билинейной формы Ф , а через (...>* - оператор, сопряженный к оператору <...).

Определим билинейную операцию : формулой

{Fp;FQ}NCu].<N(«d,tP,QK«i)> (14>

где N - ненулевой оператор. С.,.] - заданный коммутатор нъ АфОЛ

Теорема 10.2. Для того чтобы формула (14) определяла скобку Пуассона, необходимо и достаточно выполнения условия

- [ Р, [Q,Rlla*N] - * °

v utU, VP.Q.R t .

В 5 11 исследуются свойства G-антикоммутатора, заданного формулой

[ Р, Q]+ {.и) - (и) + .

Определяются симметрические скобки для бесконечномерных

-ч)

Гельфанд И.М., Дорфман И.Я. // Функц. анализ и его прил.-1979. - Т. 13, вып. 4. - С. 13-20.

систем и устанавливается их связь с задачей исследования устойчивости движений и с задачей о геодезических линиях.

В главе 3 " Методы гамильтоновой механики бесконечномерных непотенциальных систем" разрабатываются методы исследования движении бесконечномерных непотенцмальных систем, основанные на идеях классической гамильтоновой механики и способах решения ОЗВИ, изложенных в главе 1.

В £ 12 излагается операторный подход к классификации сил.

Пусть Л - ограниченная" область в К™", ■ Л х СО, ТХ Точки области 0Т обозначим через (х, О.

Пусть положение бесконечномерной системы определяется вектор-функцией и(х,0 » (и^ (х.О; ...., и"-(хЛ)) II, а уравнения движения с заданными краевыми условиями определяют оператор N с областью определения 0(Ю, являющейся выпуклым множеством.

Предположим, что действующие на рассматриваемую систему силы аналитически представлены оператором I ■ ((,, .... : ОС*) С и—Выражение 1(и) называется плотностью сия. Будем считать, что 0Ш ■ О(1\0.

Пусть задана, в общем случае, локальная билинейная форма Ф (и; .,.) » С---^ : V х и—

Определение 12,1. Силы с плотностью Ки) называются потенциальными (непотенциальными) на выпуклом множестве относительно заданной локальной билинейной формы Ф, если существует (не существует> функционал VI^ , такой, что имеет место равенство

5\>С СиЛЗ - Уие-Ъед.МК^С^^-

7

Теорема 12.1. Пусть дифференцируемый по Гато оператор f : ОС Г) с и—и локальная билинейная форма Ф (и; .,.) » :

: V >; и—>1Я такие, что для произвольных элементов и < 0(0 , д, Ь € О(^) функция Ч" : с—> < Ки+еЮ, д является непре-

рывно дифференцируемой на отрезке СО,П. Тогда для потенциальности сил с плотностью Ки) на выпуклом множестве 0(0 относительно заданной локальной билинейной формы необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

V-ucDCf), Vg.k&X-fV).

При этом

где uQ - произвольный фиксированный злемен-г ira D(f).

Подчеркнем, что согласно определению 12.1 потенциальность или непотенциальность сил с заданной плотностью fСи) зависит как от области определения D(f), так и от выбора билинейной формы. В этой связи отметим, что классическое определение потенциальных сил неявно предполагает использование лишь нелокальной билинейной формы вида

Теорема 12.1 применяется для анализа структуры сил, действующих на мембрану, движущуюся в среде с сопротивлением.

Продолжая классификацию сил, рассмотрим локальную билинейную форму Ф, значения которой зависят от t « [0,Т] с IR.

Определение 12.2. Силы с плотостью f(u) называются гирсско-пичеснми на множества DCf) относительно заданной локальной билинейной формы С-.^ц. : V х V —>R, если <-$("),Vu£~t>(f).

Определение 12.3. Силы с плотностью fCu) называются дисси-пативными на множестве DCf) относительно заданной локальной билинейной формы <-.->u. : V.x V—>R, если < f(u), ù ф 0 на DCf).

Определение 12.4. Силы с плотностью f(u) называются циркуляционными на DCf) относительно локальной билинейной формы Ф, если оператор f кз содержит операцию дифференцирования по t и выполняется равенство < f(u), и =0 Y-ut DCf).

Рассматривается задача о представлении плотностей сил в заданном виде.

Пусть плотность сил «и) определена следующими равенствами: .

■JL(iO - = oTs , a5)

где "ЦТ (^С- п.) - известные функции класса ^" Раз-

мерность вектора \ио1] (Ы1« 671 ).

Пусть билинейная форма Ф задана равенством

Положим

^ии.Ъ): иЧ и1= С.",0(<ЗА - О Ойе ; и».0^(16)

ч

Здесь Гт - ап * <0, Т).

Теорема 12.2. Всякая плотность сил гида (15) может быть представлена на множестве (16) следующим образом:

где "Ц, СиЗ - $ = ) - искомый силовой

О.

функционал, Г^и^Я (.и ^ - плотность циркуляционных сил.

В § 13 устанавливается взаимосвязь между интегралами уравнений движения бесконечномерных систем и их абсолютными интегральными инвариантами первого порядка. Пусть уравнения движения представлены в виде

1 = Са ; =■ О-. 5 ,

где и(х, I) - (и (х, I) , ..., и"" (х, 1)) - неизвестная вектор-функция, определяющая положение системы.

Предположим, что рассматриваемая система подчинена внешним связям, аналитически выраженным соотношениями вида "V

где М3^ - заданные функции; п^ - единичный вектор внешней нормали к Ъ Л.

Пусть и " и (А.; х, О С Л. < /\ с СО, 13) - однапараметрическоа семейство решений системы уравнений (17), где /\ - интервал.

Пусть ка О(N5 задан оператор А : 0(Ю—и, вообще говоря, локальная билинейная форма <- • ->ц_: V х I)—значения которой зависят от г < 10, ТЗ.

Определение 13.1. Выражение

¡<Ыи),5и>ц , 5<ЛСи>), ЛХ

называется абсолютным интегральным инвариантом первого порядка системы уравнений (17), если для любого интервала Д с 10, 13 его значения не гависят от I. Пусть

где О.^ - заданные функции.

Теорема 13.1. Интеграл

5 5 си-Бц^Лх сх с

является абсолютным интегральным инвариантом системы (17) тогда и только тогда, когда выполняются условия

Определение 13.2. Функционал

= <19>

о.

называется интегралом уравнений (17) при условиях (18), если Е Ц, и(х, 1)3 не зависит от ^ когда и (х, г) есть решение задачи (17), (18).

Теорема 13.2. Если функционал (19) является интегралом уравнений (17) при условиях (18), то

5 5

есть абсолютный интегральный инвариант этих уравнений, где бР/йи1- ' ^(й^/Эи^) - функциональная производная Р по и1,

Имеет также место обратное утверждение, а именно:

19

Тзсрс:»:а 13.4. Если jS ~ абсолютный интегра-

льный юазариант системы уравнений <17), то интегралом задачи <17), (18) является функционал

РДЬиЗ .-RU] - SS^Lo-fc-lxd-b (^„ЯДД

где < t ■ 1 . 3) - некоторые функции от х, t, ua.

В S 14, следуя R. Пуанкаре , устанавливается взаимосвязь между каноничссга сми уравнениями Гамильтона для бесконечномерных систем, их уравнениями в вариациях и интегралами этих уравнений.

В S 15 излагается метод приведения эволюционных уравнений к виду уравнений Гамильтона. Он основан на способе решения ОЗВИ, которой разработан d S 4.

Пусть уравнения движения бесконечномерной системы представлены в виде•

ОЛН^т = П-хСО.Т), <20>

где все операторы fiL не содержат операцию дифференцирования по t; uCcc, t) - неизвестная n-мерная вектор-фунз;ция, определяющая положение системы.

Уравнения (20) вместе с заданными краевыми условиями определяют оператор N » ( Н1 , .... N"") : DCN) < U—>V формулой

NNCuV

Определение 15.1. Система уравнений <20) называется пред-стасимал на множество D(fJ) в епде уравнений Гамильтона, если существуют:

1) билинейная форма Ф (.,.) = <-.-> : V х V—;

2) гамиштонов оператор G " (Б^ е ^—

3) функционал Н = Н [и], и £ DCN), талона, что

I^^MHu-VG^C^raJ^HM) VutKtf), . (21)

'Пуанларо П. Ноиыо методы Mexaiuv^xt // Избранные

труды . - И.: Наука, 1972.- Т.2. - С. 9 - 452.

При этом функционал Н называется гамильтонианом.

Напомним, что линейный оператор : DCGС V—>V называется гамильтоновым (относительно заданной билинейной формы <Р), если V" g, h, v < DCG^ ) выполняются условия

^ G-L ty ^ W + Wfr &ц + ^ (»4

Теорема 15.1. Пусть дифференцируемый по Гато оператор N : DCN) с U—»V и обратимый гамильтонов оператор G такие, чгго R CG^) тз, RCN), и при любых фиксированных элементах u € DCN), g. h € D(N'UJ функция Ч (е) -<G^t,,NCu + eh), д> t-C1C0. 11 Тогда для представимости уравнений <20) в виде уравнений Гамильтона (21) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

< - < nVuк • 9> v ufel)CNi)'v hd>Сы'иУ

При этом гамильтониан Н находится по формуле

НСиЗ« 5 < G~* N(u(»),a4£4 , dN + HCu^.

Теорема 15. 1 означает, что если существует указанный ойЕ-ратор Gj', то он является вариационным интегрирующим оперЗ -тором для N. Следовательно, методы нахождения вариационных интегрирующих операторов могут быть применены для отыскания гамияьтоновых операторов.

Основываясь на теореме 4.3, излагается способ приведения системы уравнений <20) к виду уравнений Гамильтона <21). Приводятся иллюстрирующие примеры.

Затем устанавливается структура, в общем случае, матричных операторов Р,^ (линейный) и Q, при которой эволюционное уравнение

21

IX,-первых, допускает прямую вариационную формулировку на выпуклом множестве ОСИ) относительно заданной нелокальной билинейной формы

Т Т <23)

и, во-вторых, представимо в виде гамильтоноэой системы. Для этого вводится обобщенное действие по Пфаффу

' Л [из Л^ЗСиХи^ иеЛ>00 (2 4)

где I? : йСЯ) Ч/ 0Си> - дифференцируемый по Га-го оператор, а В -функционал, такой, что

■ БЬСи.М = <-9гас1<р1ВМЛ,> че-иеЮ), МЬОУ'^.

Теорема 15.2. Уравнение (22) является условием стационарности функционала (2 4) тогда и только тогда, когда V" и < 0(М -■ имеют место равенства

О Р1* О1 "и = Кц ~Ки '

© Си) - В - ^Г М '

Это означает, что

Полученное операторное уравнение, как весьма частный случай, может иметь вид

эй1 ' ^

б)

Эти уравнения были получены Дж. Биркгофом из равенства нулю первой вариации действия по Пфаффу

и Сиз =

о

6^Биркгоф Дж. Динамичесхие системы. - М.-Л., 1941. - 320 с.

Системами Биркгсфа называются материальные системы, уравнения движения которых пред ставимы -в виде (25).

Теорема 15.3. Если Э* на ОСМц), то для существова-

ния прямой вариационной формулировки задачи (22) относительно нелокальной билинейной формы (23) необходимо и доста -точно выполнения V- и < следующих условий на ОС^) :

(26)

(27)

(28)

Теорема 15.4. Если 0* »-0^ на ОСМ^,), то условия (26) - (28) выполняются тогда и только тогда, когда уравнение (22) пре-дставимо в виде операторного уравнения Биркгофа (25). При этом операторы Я и В могут быть определены соответственно формулами

Ц^) Л <29) •

А р

ВСи} , и-и^скУ,

Q д! и)

где и(Л-) " и0 ♦ А.(и - ие ); и0 -' произвольный фиксированньтй элемент из 0(Н).

Теорема 15.5. Линейный обратимый оператор Р^ удовлетворяет на йСМ^) условиям (26), (28) тогда и только тогда, когда оператор Би а Р^' является гамильтоновым относительно билинейной формы Ф,(.,.) - <-.->.

Теорема 15.6. Если Рц_ - линейный обратимый оператор на зависящий явно от I, то задача (22) допускает прямую вариационную формулировку относительно нелокальной билинейной фермы (23) тогда и только тогда, когда полуавтономное уравнение (22) представкмо в виде уравнения Гамильтона.

Эта теорема означает, что гамильтонова система с обрати-

мым оператором допускает косвенную вариационную формулировку.

В £ 16 рассматривается обобщение канонических уравнений Гамильтона для бесконечномерных систем - аналог канонических уравнений ранга большего нудя"^ .

Доказано, что подход, использующий г гамильтонианов для описания движения, позволяет обобщить канонический гамиль-тонов формализм на бесконечномерные непотекциалъные системы. Теоретические результаты иллюстрируются ка примере уравнения Буссинеска.

Глава 4 - " Симметрии в механике бесконечномерных непотенциальных систем ". В ней разрабатываются методы отыскания интегралов уравнений движения бесконечномерных непотенциаль-•, них систем. Они основаны на исследовании инвариантности различных функционалов, связанных с уравнениями движения.

В £ 17 получаются условия дивергентной инвариантности интегральных функционалов вида

РЕиз = 5 ЗЧэс.и.,,, ,

V

относительно заданной группы преобразований Бр . Здесь I <0x0,^) - некоторые операторы, определенные на 0(Ю; 0о С Кт.

В £ 18 излагается способ отыскания интегралов г-лагранже-вых уравнений

1 С-О^УС^4 О , ; <31>

""'О

где , ш и„.) ( » ¡77; |а.| - 0,5 ) - заданные функции; и(х) » (и * (ж), ..... иа (зс)) - неизвестная вектор-функ-

ции, определяющая положение системы; ил ■ О^и, х » («', —, ®т); 0о - ограниченная область в Ш"*; .

Рассмотрим функционалы вида

Са.О^*. <32>.

э)

'Яржаных И.С. Канонические уравнения ранга большего куля. - Ташкент: Фан, 1962. - 148 с.

Теорема 18.2. Если функционалы (32) являются абсолютными инвариантами относительно у -параметр>гческой т-руппы преобразований

^ - ос* , к ГГт. , У , 1 и* - ^ а - ,

то для решений г-лагранжевых уравнений (31) выполняются следующие законы сохранения в дифференциальной форме

Б § 19 излагается способ отыскания интегралов уравнений Лагранжа с непотенциальными плотностями

где I " и»' " лагранжиан; I, и4, ил)

Л

- Сп) - составляющие плотности непотенциальных обобщенных сил; = "Эи-^/Э-Ь ,

Предполагается, что на систему наложены внешние связи, аналитически выраженные соотношениями

■¿V \ . _ _ <34)

«о, V. — 4, VI, ^«О, Б-Ч,

где Ц. ЭП. * СО,Т).

Пусть задана ^ -параметрическая группа бесконечно малых преобразований вида

6с.к = -х * , к - -ГГз , ^ " { * " ^ + ^ <35>

Теорема 19.1. Если у -параметрические бесконечно малые

преобразования (35) и функции -^(ргД.и^и. (худовлетворяют равенствам

5 г + — Съ м-1 -и^Ъч- V ^ Ъ ч> -

+ ^ - ^ ч^) ^^эс = о V и <аЧы), г - Су,

то интегралами задачи (33), (34) являются следующие выражения:

Т. 'чм

Б 5 20 исследуется взаимосвязь между дивергентными сим-метриями обобщенного действия по Пфаффу и интегралами операторного уравнения Биркгофа.

Рассматривается эволюционное уравнение (22). Предполагал, что оператор N является потенциальным на заданном выпуклом множестве находится обобщенное действие по Пфаффу вида

г-Т Т Т

Ь^ [а] = - ВСи])^ - <36)

где оператор Й и функционал В заданы соответственно формулами (29), (30).

Предположим, что функционал (3 6) может быть определен на выпуклом множестве V» таког-., что V* д, Ь. и € V/

Расо.ютрим бесконечно малое преобразование на V/, опреде -ленное формулой

где 8 - генератор преобразования.

Определение 20.1. Преобразование (37) называется дивергентной симметрией обобщенного действия по Пфаффу (36) на V/, если существует функционал 1, такой, что

FCu *tS(u)3 » FTl tu] v Л* \> - ou) \/ u tVC,

N N о "t

VT, :0sT,*T.

Теорема 20.1. Преобразование (37) является дивергентной симметрией функционала Об) на W тогда и только тогда, когда

<NJCu),SCu)>+"Dt<Rtu),SCu)> -\-$Cu>o VutW,

Oí-tsT,

где 4

<R(u), S(u)> =

u0 - произвольный фиксированный элемент из 0(Г0.

Теорема 20.2. Если преобразование (37) является дивергентной симметрией функционала (3 6) на W, то выражение

I tul - < R(u), Stu) > - f(u)

определяет интеграл операторного уравнения Биркгофа (25).

Теорема 20.3. Если S^ , S^ - генераторы дивергентных сим- • матрий функционала (36) на W, то коммутатор

tSA,S2î = (38)

также является генератором дивергентной симметрии функционала (36) на W.

Следствие 20.1. Генераторы дивергентных симметрий обобщенного действия по Пфаффу (36) образуют алгебру Ли относительно операции (38).

Таким образом, в определенных случаях теорема 20.3 может быть использована для построения новых дивергентных симметрий функционала (3 6) по известным двум таким симметриам.

В качестве иллюстрации изложенных выше результатов рассматривается уравнение Кортевега-де Фриза, для которого переоткрываются интегралы на основе инвариантных свойств построенного обобщенного действия по Пфаффу.

V зш>.™чс1!ии приселены основные результаты диссертационной р о Соты;

1.Получен общий критерий существования интегральных вариационных принципов для произвольных уравнений движения бесконечномерных систем.

2. Разработаны конструктивные методы построения интегральных вариационных принципов для уравнений движения бесконечномерных непстенциальных систем с использованием эйлеровых и неэйлероеых классов функционалов.

3. Проведен анализ взаимосвязи между уравнениями движения бесконечномерных непотеггциальных систем с различными скобками Пуассона и Ли-допустимыми алгебрами, и на этой основе расширена область применения методов классической г-а-мильтоновой механики.

4. Получено операторное уравнение Биркгофа и установлено его значение в механике бесконечномерных систем.

5. Найдены услозия представимости заданных уравнений движения бесконечномерных систем в виде уравнений Биркгофа и получены формулы для построения соответствующих операторов Биркгофа.

6. Установлена взаимосвязь между неканоническими гамиль-тоновыми системами и операторным уравнением Биркгофа.

7. Распространены методы исследования канонических уравнений ранга большего нуля на бесконечномерные непотенциальные системы.

8. Получили дальнейшее развитие и применение в механике бесконечномерных непотепциальных систем теоретико-групповые методы отыскания интегралов уравнений движения.

3. РазраСотан операторный подход, позволяющий по единой методике исследовать ряд свойств уравнений движения как конечномерных, та»; и Бесконечномерных систем.

По теме диссертации ооублмхоыши следующие работы;

1. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных келотыгаиалышх систем. - М.: Изд-во УДН, 13 91. -237 с.

2. Филиппов В.М., Савчин В.М., Шорохов С.Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Новейшие достижения. - М.: ВИНИТИ, 1992. - Т.40. - С.З - 178.

3. Sovchfn V.M. A possible generalization of the field theoretical Hamilton's equations // Hadronic Journal, I9B8. - V.11, N6. - P.279 - 286.

4. Fllippov V.M., Savchln V.M. On the nonexistence of semibounded solutions of inverse problems of the calculus of variations // in: Variational principles for ncnpotenttal operators. - Rhode Island: Amer. Math. Soc. Providence, 1989. - P.203 - 214.

5. Савчин В.М. Канонические преобразования и решение обратных задач динамики // В кн.: Галиуллин R.C. Методы решения обратных задач динамики. - M.s Наука, 1986. - С.171 - 175.

6. Савчин В.М. 0 принципе Лагранжа в динамике распределенных систем // Вариационные принципы в математической и теоретической физике. - М., 1989. - С.57 - 62.

7. Савчин В.М. Операторный подход к потенциальности сил// Вариационные методы а современной геометрии. - М., 1990. -С.69 - 74.

8. Савчин В.М. Определение силового функционала по заданным интегралам Н Вариационные принципы в математической и теоретической физике. - М., 1989. - С.63 - 70.

9. Савчин В.М., Филиппов В.М. Квазиклассические инвариантные вариационные задачи // Общая теория относительности и ее приложения . - M.s Изд-во ЭДН, 1986. - С. 91 - 98.

10. Салчин В.М. Представление уравнений движения распределенных систем в квазиканонической форме // Материалы 8-ой конференции молодых ученых 2ШН. - М.,1985.- 4.1.- C.2Q-25. Дет. ВИНИТИ, N 3713-85.

11. Савчин В.М. Обратная задача Ньютона и ее обобщения П Всемирное тяготение и теория пространства и времени. - М., 1987. - С. 139 - 144.

12. Салчин В.М. Обратные задачи динамики распределенных систем // Пятая всесоюзная Четаевская конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением", 2224 сентября 1987г.: Тезисы докладов.- Казань: КЯИ, 1987.-C.S1.

13. Савчин В.М. Пуассоновы структуры в динамике распре де-

ленных, систем //Тезисы докладов 25-ой научной конференции факультета физико-математических и естественных наук.- М., Изд-во УДН, 19 89.- С.53.

14. Филиппов В.М., Савчин В.М. О несуществовании полуограниченных решений обратных задач вариационного исчисления.-Дел. в ВИНИТИ, N 736-87. 21с.

15. Савчин В.М. О взаимосвязи потенциальных и гамильтоно-вых операторов //Тезисы 27-ой научной конференции факультета физико-математических и естественных наук,- М.: Изд-во УДН, 1991. - С. 128.

Дальнейшее развитие темы диссертации отражено в работах:

16. Савчин В.М. О структуре вариационных уравнений с симметрическим оператором й/й\ //Дифференц. уравнения (в печати).

17. Савчин В.М. Критерий существования обобщенных интегральных вариационных принципов для заданных уравнений // Дифференц. уравнения (в печати).

18. Савчин В.М. Построение полуогратгчеиного функционала для краевой задачи для нелинейных нестационарных уравнений Навье - Стокса // Дифференц. уравнения <в печати).

30