Достаточные условия разрешимости задач оптимизации, обобщающих некоторые задачи построения оптимальной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Общая характеристика работы.

Глава 1. Задачи оптимизации с линейными уравнениями состояний

1.1. Достаточные условия разрешимости задач оптимизации с линейными функциональными уравнениями состояний.

1.1.1. Задача оптимизации с линейными функциональными уравнениями состояний общего вида.

1.1.2. Задача оптимизации с линейными функциональными уравнениями состояний в подпространствах фиксированного пространства.

1.2. Разрешимость задач оптимизации с линейными операторными уравнениями состояний.

1.2.1. Достаточные условия разрешимости задачи оптимизации с линейными операторными уравнениями состояний с Вс-симметричными, Вс-положительно определенными операторами

1.2.2. Существование оптимальной области для локальной краевой задачи для волнового уравнения.

Г л а в а 2. Задачи оптимизации с линейными вариационными неравенствами и нелинейными уравнениями состояний.

2.1. Достаточные условия разрешимости задач оптимизации с линейными вариационными неравенствами состояний.

2.1.1. Задача оптимизации с линейными вариационными неравенствами состояний.

2.1.2. Задача оптимизации с линейными вариационными неравенствами состояний с Вс-симметричными, Вс-положительно определенными операторами.

2.2. Достаточные условия разрешимости задач оптимизации с нелинейными уравнениями состояний.

2.2.1. Задача оптимизации с нелинейными функциональными уравнениями состояний.

2.2.2. Задача оптимизации с нелинейными операторными уравнениями состояний с непотенциальными операторами.

Выводы.

Задачи построения оптимальной области — относительно новое1 и довольно интенсивно и успешно развиваемое направление современной теории оптимизации, представляющее значительный интерес, в первую очередь с точки зрения многочисленных приложений2.

Достаточно широкий класс таких задач3 можно описать следующим образом.

Пусть {Q} ad - некоторое множество ограниченных областей в пространстве R" {множество допустимых областей)4. На множестве ad рассматривается функционал где функция ua° = un°(x), х eQ является решением (как правило обобщенным в некотором смысле) краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных5 в области Q.

Область Q* e{Q}ad считается оптимальном, если j(Q*)= mm j(n).

Требуется найти оптимальную область Q *.

В большинстве случаев множество {)□} ad удобно индексировать элементами некоторого функционального множества Cad допустимых -6 управлении : Л с еС„

Рассматриваемая задача оптимизации состоит в нахождении допустимого управления с *, минимизирующего на множестве Cad функционал

1 Целенаправленное и систематическое изучение таких задач осуществляется лишь на протяжении трех последних десятилетий.

2 Укажем в этой связи обзорную работу [36], в которой приводится достаточно обширный список книг и статей, содержащих, в частности, десятки примеров задач прикладного характера, приводящих к некоторым задачам построения оптимальной области.

3 По поводу других классов задач построения оптимальной области см., например, работу[26]; кроме того, рассматриваемые здесь задачи также допускают некоторые очевидные обобщения.

4 Set of admissible domains.

5 Данные краевые задачи при этом часто называют уравнениями состояний {state equations).

6 Set of admissible controls. о оптимального управления).

Вопрос о разрешимости различных задач описанного класса хорошо изучен в случае, когда un° - обобщенное решение некоторой линейной краевой задачи Anun =fn (1) с симметричным, положительно определенным оператором Ап,

An:D(An)—> Hn, D(An) = Hn, здесь Нп - некоторое гильбертово функциональное пространство; скалярное произведение в Нп обозначим через

В этом случае уравнение (1) допускает естественную вариационную формулировку: пространство Fn определяется как пополнение D(An) в некоторой гильбертовой ' норме, эквивалентной норме (Aav,v)H 1/2 энергетического" пространства оператора Аа; обобщенное решение уравнения (1) понимается как решение вариационного функционального уравнения uQ eFn, an(Un>V) = (fQ>V)Hn WeFn> ffl бНП> где an(u,v) - расширение по непрерывности формы (Anu,v)H на все пространство Fn.

Вариационная формулировка вида (2) уравнения (1) играет при этом довольно существенную роль в доказательстве существования решений рассматриваемых задач оптимизации.

Приведем несколько конкретных примеров задач построения оптимальной области, разрешимость которых установлена в указываемых работах7.

Пример 1 [20]. Пусть

Qc={(x,y)eR2|0<x<c(y), 0<y<l},

7 Приводимых условий достаточно для разрешимости соответствующих задач. Из работ, в которых рассматривались различные вопросы, связанные с разрешимостью некоторых задач построения оптимштьной области, отметим еще, кроме указанных ниже, работы [8], [19], [28], [29], [30], [33]. где с eCad = с eLe(0Д)| с eLipL[0,l], 0<к, <с(у) <к2, dc dy

У) i L Vy е[0,l], Jc(y)dy = I

L, к,, к2, I - заданные постоянные. dQc = Гс иГс- граница области Qc, rc = {(x,y)GR2|x = c(y), 0 < у < l|.

С0теЮс,Гс)= veC™[Qcj|v(x,y) = 0 в окрестности Гс}; и , пространство Wz^Q^Tj определяется как замыкание множества С0°° Q< в норме пространства Соболева W21 (Qc). Пусть а \ ff( ^ 5й dxdy на W21(Qc,rc) x Wil(Qctrc).

Требуется минимизировать на множестве С ad функционал j(Q>j(Qc,u„ ua ~ud

Ь2(ПС) на Cad, где ud - заданная постоянная, a un - решение вариационного уравнения иПс EW2'(Qc,rc), \ 0 1 anc (unc >v) = l2(«c) Vv£W2 (Qc,rc), f = const; обобщенное решение краевой задачи

-AuQc = f, (x,y) eQc, no - направление нормали к Гс ). Пример 2 [27]. Множество п открытый шар в R" с центром в точке х радиуса г. Ограниченное открытое множество QcR" удовлетворяет условию конуса, если для всякой точки х границы SQ множества Q

Vy е В(х, г) о Q у + С(ДХ ,9,h) с Q.

Пусть Q0 - ограниченное открытое множество в Rn (n>2), {^}ad -множество открытых подмножеств множества Q0, содержащих некоторое непустое открытое множество со czQ0 с достаточно гладкой границей ссо и удовлетворяющих условию конуса при фиксированных значениях 9, h, г.

Требуется минимизировать на множестве {Qj ad функционал где ud - заданная функция из L2(co), a un° - решение вариационного уравнения найдется конус С(с,х ,9,h) такой, что j(£2)Sj(uQ°)S uQ°| -ud обобщенное решение краевой задачи

-Aun + un = f(x)| xgQ, dug (Зпо эп no - направление нормали к 8Q) . □

Пример 3 [10, с. 167 - 170]9. Пусть С

- компактное метрическое пространство (пространство управлений), Q0 - ограниченная область в R2.

Каждому элементу с еС ставится в соответствие область QcczR2 и диффеоморфизм

Фс =(ф1с(х>У)>Ф2с(х>У))> (Х>У) класса С1 множества Qc на Qo.

Рассматриваются замкнутые подпространства пространств W2'(Qc) и W2'(Q0) соответственно отображение

V —> V°(pc является изоморфизмом V(Q0) на V(QC)10.

На каждом из пространств V(Q0) задается билинейная непрерывная симметричная коэрцитивная (ограниченная снизу) форма ac(u, v); обозначим

Фсас(и>у) = ас (и°Фс v»9c) на V(Q0) х Y(Q0).

На пространстве V(Q0) Vc еС задается линейный непрерывный функционал lc(v), при этом предполагается, что отображения с^фсас(и,у), c->le(v) являются непрерывными отображениями пространства С в пространство билинейных непрерывных форм на V(Q0) и в пространство V*(Q0), сопряженное V(Q0) соответственно.

8 В связи с приведенной здесь задачей отметим еще работу [31], в которой установлена разрешимость некоторых задач в похожих постановках с минимизируемыми функционалами довольно общего вида.

9 В [10] рассматривается несколько более общая задача управления решением граничной задачи для эллиптической системы посредством варьирования области и оператора этой граничной задачи.

10 Обобщение относящихся к исследованию данной задачи результатов монографии [10] на случай, когда пространство V(QC) отображается на некоторое пространство, также зависящее от управления, можно найти в работе [11].

V(QC) и V(Q0) такие, что Vc еС

Для каждого управления с на пространстве V(Q0) определяются функционалы ^(v), Jc(v), непрерывные как отображения С х V(Q0) в R.

В качестве множества допустимых управлений рассматривается множество

Cad= сеС|^с и/ 0 где ис - решение вариационного уравнения u„ G cpcac(uc,v) = lc(v) VveV(Q0); множество Cad предполагается непустым.

Требуется минимизировать на множестве С ad функционал j(c) = Jc(uc°) на Cad.

Пример 4 [24]. Пусть Q0 - ограниченное открытое множество в R" (n>2), B(Q0) - а-алгебра борелевских подмножеств множестваО0.

VB s B(Q0) сар(В) = inf|v|w^R„|2, где

VB = jv е W2'(Rn)|u(x) > 1 в окрестности В} , указанная окрестность предполагается зависящей от v).

Рассматривается множество Mad(Q0) мер на В(О0) (не обязательно конечных или а-конечных), абсолютно непрерывных относительно сар(В). eMad(Q0) вводится гильбертово пространство ХЦ(<Л0) - линейное о множество W2 (Q0) n L2(Q0 со скалярным произведением u'v]x(t(n0) = [U'v]w2'(n0) + (U'V)l2(Q0,h) • Задается функция j(x,s), j:Q0 х R-> R,

Неизмеримая по х на Г20 VseR (здесь Ln - n-мерная мера Лебега), непрерывная по s на R для почти всех х е Q 0 и удовлетворяющая следующему условию: найдутся функция а0 eL,(Q0) и число с0 gR такие, что j(x,s)| < а0(х) + c0|s|2 для почти всех х eQ0, Vs eR.

Требуется минимизировать на множестве Mad(Q0) функционал jj(x,u/(x))dx на Mad(O0), о где ид° - решение уравнения \ еХц(Яо)>

Н^Г^М*) VvEX,(Q0),fEL2(Q0); ослабленной задачи Дирихле для уравнения Пуассона в области Q0).

К рассмотрению данной задачи привело изучение задачи минимизации на множестве O(Q0) всех открытых подмножеств множества Q0 функционала j|un°j, где un° - обобщенное решение задачи Дирихле для 0 уравнения Пуассона в Q gO(Q0), un0eW2'(O).

В 1992 году А. Э. Авакяном и В. М. Филипповым в работе [1] впервые установлены достаточные условия разрешимости задачи построения оптимальной области довольно общего вида в случае линейного уравнения (1) с В ^-симметричным, В ^-положительно определенным оператором Ап.

Дистрибутивный оператор Ап, называется В п-симметричным, Вп -положительно определенным, если при некотором вспомогательном дистрибутивном замыкаемом в HQ операторе Ва,

D(An) cz D(Bn), RAn(Bn) = Hn, форма (Anu,Bav)H является симметричной, ограниченной снизу на D(Aa) и Vv eD(Aa) выполняется условие

Afiv,Bnv)Ha >kABn||Bnv||Ha2 , где положительная постоянная kABn не зависит от v; ||v||H = (v, v) н 1/2.

Энергетическое" пространство НАШ В п -симметричного, Вп-положительно определенного оператора Аа определяется как пополнение D(An) в норме (Afiv,Bnv)H 1/2. Пусть гильбертово пространство Fn -множество Н АВО с некоторой нормой, эквивалентной норме "энергетического" пространства. Обобщенное решение un° уравнения (1) понимается как решение вариационного функционального уравнения

3) an(un>v) = (^а'®оау)нп VveFn> fn где aa(u,v) и Воа - расширения по непрерывности формы (AQu,Bnv)H^ и оператора Вп на все Fn. При выполнении всех указанных выше условий уравнение (3) корректно Vfn eHa.

О разнообразии рассматриваемых в этом случае уравнений свидетельствует тот факт [17, с. 20], что всякое плотно и корректно разрешимое линейное уравнение (1) при выполнении условий D(An) = Hn,

RAn *j = Ha допускает корректную обобщенную вариационную формулировку вида (3) при Воа =(ап1)о *, где |Аа1)о * - расширение по непрерывности оператора (aq1) *, сопряженного оператору Ап~1 на все пространство На.

Класс рассматриваемых в [1] допустимых областей и вид

Q \ минимизируемого функционала J(Q,uq близки к рассмотренным в задаче примера 1.

На основе результатов, полученных для общего случая, в той же работе [1] установлена разрешимость некоторых конкретных задач построения оптимальной области с краевыми задачами (1) для уравнений эллиптического и гиперболического типов.

Используя общие результаты работы [1], А. В. Кагал и В. М. Филиппов в работе [6] доказали существование решения задачи оптимизации в близкой постановке с некоторой граничной задачей (1) для линейного уравнения параболического типа.

Автором и В. М. Филипповым проводились успешные исследования, имевшие целью распространение известных подходов к задачам построения оптимальной области в различных постановках на случай, когда uQ° -обобщенное решение нелинейного уравнения

Nnua = fa (4) И с непотенциальным в общем случае оператором Na, получение для этого случая эффективных достаточных условий разрешимости рассматриваемых задач оптимизации, а также обобщение получаемых результатов на задачи с минимизируемыми функционалами различного общего вида.

В данной диссертации, содержащей основные результаты последних исследований автора в этом направлении, предлагается абстрактная формулировка ряда задач построения оптимальной области рассматриваемого здесь класса для случаев линейных и нелинейных функциональных и операторных уравнений состояний общего вида, в том числе для уравнений с непотенциальными операторами, а также для важного в приложениях случая линейных вариационных неравенств, к рассмотрению которых приводит изучение различных краевых задач с граничными условиями типа неравенств.

Для рассматриваемых задач изучается ряд вопросов, связанных с существованием их решений. В частности устанавливаются реально проверяемые в различных задачах построения оптимальной области достаточные условия разрешимости этих задач.

Применение некоторых из полученных результатов иллюстрируется примером исследования разрешимости задачи построения оптимальной области для локальной краевой задачи для линейного волнового уравнения. При минимизируемом функционале классического вида, в диссертации проводится доказательство существования оптимальной области для данной краевой задачи в новом, не рассматривавшемся для нее ранее, классе допустимых областей.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В качестве довольно естественного обобщения ряда задач построения оптимальной области рассмотренного во Введении класса с линейными вариационными уравнениями состояний вида (2) и (3) может быть предложена следующая общая оптимизационная задача, которую мы станем рассматривать как абстрактную формулировку обобщаемых задач.

Пусть Cad - некоторое множество допустимых управлений, {Fc}ceC семейство гильбертовых пространств. На множестве Cad рассматривается функционал здесь ac(u,v) - билинейная непрерывная коэрцитивная форма на пространстве Fc, lc(v) - линейный непрерывный функционал на Fc.

Требуется найти допустимое управление с*, минимизирующее на множестве Cad функционал j(c) (оптимальное управление).

Изучению ряда вопросов, связанных с разрешимостью этой задачи посвящен раздел 1.1 данной диссертации.

При доказательстве существования решений различных задач построения оптимальной области множество допустимых управлений, как правило, снабжается некоторой топологией. Мы будем предполагать довольно общий случай метрического пространства С ad допустимых управлений.

Поскольку при разных управлениях с решения ис° уравнений состояний являются в общем случае элементами разных функциональных пространств Fc, во всех наших рассуждениях будет существенно использовано некоторое линейное непрерывное инъективное отображение 1с пространства Fc в гильбертово пространство F, не зависящее от управления. Следует отметить, что подобный подход используется при изучении многих задач построения оптимальной области, где указанная инъекция часто реализуется либо посредством некоторого продолжения функций из Fn в более обширную фиксированную область Q0; такой подход был использован, скажем, в задачах примеров 1 и 2 и в изначальной задаче примера 4 Введения, либо с помощью некоторого отображения области Q на фиксированную область Q0, как это было, по сути, проделано в задаче примера 3. 4 где ис° - решение линейного функционального уравнения

В подразделе 1.1.1 устанавливаются достаточные условия разрешимости предлагаемой общей задачи оптимизации, а также изучается возможность сведения ее к некоторой более простой и удобной для исследований эквивалентной задаче с уравнениями состояний в подпространствах фиксированного пространства F.

Более детальному изучению этой последней задачи посвящен подраздел 1.1.2. В этом же подразделе описывается широкий класс минимизируемых функционалов достаточно общего вида, для которых можно относительно просто проверить ряд требуемых для существования оптимального управления условий (лемма 1.4).

В подразделе 1.2.1 рассматривается общая задача оптимизации с линейными операторными уравнениями состояний. Все рассуждения при этом проводятся для невариационных в классическом смысле уравнений с Вс-симметричными, Вс-положительно определенными операторами. Уравнения такого вида допускают корректную обобщенную вариационную формулировку, которая существенно используется при доказательстве разрешимости исследуемой оптимизационной задачи. Основные положения вариационного метода решения линейных уравнений с В-симметричными, В-положительно определенными операторами излагаются по монографии [16].

Разрешимость задачи построения оптимальной области для краевой задачи для волнового уравнения исследуется в подразделе 1.2.2.

В приложениях довольно часто возникают задачи, приводящие к некоторым задачам построения оптимальной области с вариационными неравенствами состояний11. В подразделе 2.1.1 рассматривается общая задача оптимизации с вариационными неравенствами состояний здесь S с - некоторое выпуклое замкнутое множество в пространстве Fc. Для рассматриваемой задачи устанавливаются достаточные условия ее разрешимости.

В подразделе 2.1.2 полученные в предыдущем подразделе результаты конкретизируются для операторного случая.

В подразделе 2.2.1 устанавливаются достаточные условия существования оптимального управления в случае задачи оптимизации с нелинейными функциональными уравнениями состояний

11 Различные такие задачи были рассмотрены, например, в работах [19], [23], [32], [36]. Укажем здесь также посвященную исследованию вариационных неравенств книгу [3]. Следует отметить, что некоторые идеи из этой книги послужили основой для предлагаемых в данной диссертации обобщений и ряда проводимых доказательств.

Uc gFC> с(ие),у]с=1с(у) Vv eFc; здесь Wc - слабо непрерывный, строго монотонный в некотором усиленном смысле нелинейный оператор в пространстве Fc, [u,v]c - скалярное произведение в Fc.

На основе полученных в этом подразделе результатов, используя обобщенную вариационную формулировку нелинейных операторных уравнений с непотенциальными операторами, в подразделе 2.2.2 мы исследуем разрешимость довольно сложной общей задачи оптимизации с нелинейными операторными уравнениями состояний. Основные положения вариационного метода решения нелинейных уравнений с непотенциальными операторами

12 излагаются по монографии [16] .

В данной диссертации изучаются исключительно вопросы разрешимости поставленных задач.

Весьма актуальной и пока нерешенной для содержательных задач построения оптимальной области является проблема получения каких-либо условий единственности их решений.

В связи с рассматриваемыми в диссертации общими оптимизационными задачами, довольно важными с прикладной и теоретической точек зрения представляются вопросы, связанные с численными методами решения таких задач. Многие из этих вопросов хорошо изучены в различных задачах построения оптимальной области: укажем в этой связи работы [20], [23], [26], [32], [36], [37].

Большой интерес, особенно в последние годы, проявляется к получению разного рода условий оптимальности в задачах построения оптимальной области и к решению ряда связанных с этим проблем. Различные исследования по этим вопросам проводились, например, в работах [2], [21], [22], [25], [34], [35], а также в указанных выше работах [8], [19], [24], [29], [30], [37]. Было бы важным распространить полученные в данном направлении результаты на рассматриваемый здесь общий абстрактный случай.

Особую актуальность при изучении различных задач оптимизации рассматриваемого в диссертации вида приобретает поставленная в книгах [16], [17] проблема конструктивных вариационных формулировок многих содержательных краевых задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с непотенциальными операторами. Корректная вариационная формулировка уравнений состояний и изучение свойств соответствующих "энергетических" пространств с точки зрения развиваемой ниже теории позволят применять полученные в диссертации результаты к

12 В связи с вариационным методом решения линейных и нелинейных уравнений с непотенциальными операторами укажем еще книгу [17] и монографию [14].

15 исследованию разрешимости различных сложных задач построения оптимальной области и, возможно, не только таких задач.

Все эти сложные вопросы требуют серьезных дополнительных исследований.

При использовании в проводимых рассуждениях различных классических результатов общего характера, в основном тексте диссертации, как правило, не делается ссылок на соответствующие источники. Все используемые общие факты можно найти в книгах [7], [9], [12], [18].

Некоторые результаты относительно разрешимости достаточно общих задач построения оптимальной области с нелинейными уравнениями состояний с непотенциальными операторами докладывались автором на XXIX и XXX научных конференциях факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета . дружбы народов. По теме диссертации написаны две статьи [4], [5] для журнала "Дифференциальные уравнения".

Большая помощь и поддержка при подготовке данной диссертации были оказаны автору научным руководителем профессором В. М. Филипповым, которому автор искренне благодарен и глубоко признателен.

ВЫВОДЫ

В диссертации предложена абстрактная формулировка ряда задач построения оптимальной области для случаев линейных и нелинейных функциональных и операторных уравнений состояний общего вида, в том числе для уравнений с непотенциальными операторами, а также для важного в приложениях случая линейных вариационных неравенств.

Для рассматриваемых оптимизационных задач изучен ряд вопросов, связанных с существованием их решений.

1. Установлены реально проверяемые в различных задачах построения оптимальной области достаточные условия разрешимости этих задач (теоремы 1.1,1.2,1.3,2.1,2.2,2.3,2.4).

2. Изучена возможность сведения большинства из рассматриваемых задач к более простым и удобным для исследований эквивалентным задачам с уравнениями состояний в подпространствах фиксированного пространства (п. 1.1.1.3, 1.1.1.4, 1.2.1.3, 1.2.1.4,2.1.1.3, 2.2.1.3).

3. Для задач оптимизации с линейными уравнениями состояний в подпространствах фиксированного пространства установлена связь решений уравнений состояний с решениями некоторых уравнений в рассматриваемом фиксированном пространстве (лемма 1.5), а также описан широкий класс минимизируемых функционалов достаточно общего вида, для которых можно относительно просто проверить ряд требуемых для существования оптимального управления условий (лемма 1.4).

4. Применение некоторых из полученных результатов проиллюстрировано примером исследования разрешимости задачи построения оптимальной области для локальной краевой задачи для линейного волнового уравнения. При минимизируемом функционале классического вида, в диссертации проведено доказательство существования оптимальной области для данной краевой задачи в новом, не рассматривавшемся для нее ранее, классе допустимых областей.

Существенную роль в проведенных рассуждениях играла вариационная формулировка линейных и нелинейных операторных уравнений состояний с непотенциальными в общем случае операторами.

Все полученные в диссертации результаты являются новыми и установлены здесь впервые.

Ввиду несомненной теоретической и практической важности рассматриваемых задач, тема диссертации имеет, по мнению автора, значительные перспективы для своего дальнейшего развития.

1. Авакян А. В., Филиппов В. М. Существование оптимальных областей в задачах с В-симметричными, В-положительными операторами. Дифференциальные уравнения, 1992, № 12, т. 28, с. 2123 - 2128.

2. Гловински Р., Лионе Ж. Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979.

3. Замураев В. Г. О существовании оптимальных пространств для нелинейных функциональных уравнений. Дифференциальные уравнения, 2002, № 6, т. 38, с. 849-851.

4. Замураев В. Г. О существовании оптимальных пространств для линейных функциональных уравнений. Дифференциальные уравнения, 2002, № 7, т. 38, с. 982 - 985.

5. Кагал А. В., Филиппов В. М. Об оптимальной области по (х, t) для уравнения параболического типа. Дифференциальные уравнения, 1995, № 7, т. 31, с. 1265 - 1266.

6. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

7. Керимов А. К. Достаточные условия оптимальности в одной экстремальной задаче со свободной границей. Труды Математического института АН СССР, 1988, т. 185, с. 87- 105.

8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

9. Литвинов В. Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике. М.: Наука, 1987.

10. Литвинов В. Г. Управление формой области в эллиптических системах и выбор оптимальной области в задаче Стокса. Математический сборник,1989, №6, т. 180, с. 723-732.

11. Михлин С. Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.

12. Охезин С. П. Об одной аппроксимации в задаче управления формой области для параболической системы. Прикладная математика и механика,1990, т. 54, вып. 3, с.361 365.

13. Савчин В. М. Математические методы механики бесконечномерных непотенциальных систем. М.: Изд.-во УДН, 1991.

14. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

15. Филиппов В. М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. М.: Изд.-во УДН, 1985.

16. Филиппов В. М., Савчин В. М., Шорохов С. Г. Вариационные принципы для непотенциальных операторов. Итоги науки и техники: Современные проблемы математики. Новейшие достижения. М.: ВИНИТИ, 1992, т. 40.

17. Функциональный анализ: Справочная математическая библиотека. Под редакцией С. Г. Крейна М.: Наука, 1972.

18. Barbu V., Friedman A. Optimal design of domains with free-boundary problems.- SIAM Journal on Control and Optimization, 1991, № 3, vol. 29, p. 623 637.

19. Begis D., Glowinski R. Application de la methode des elements finis a l'approxi-mation d'un probleme de domaine optimal. Methodes de resolution des proble-mes approches. Applied Mathematics and Optimization, 1975, № 2, vol. 2, p. 130- 169.

20. Bello J. A., Fernandez-Cara E., Lemoine J., Simon J. The differentiability of the drag with respect to the variations of a Lipschitz domain in a Navier-Stokes flow.- SIAM Journal on Control and Optimization, 1997, № 2, vol. 35, p. 626 640.

21. Belov S. A., Sluguin S. N. Necessary conditions for a domain optimization problem with various constraints. Journal of Optimization Theory and Applications, 1996, № 2, vol. 90, p. 243 - 255.

22. Butt R. Optimal shape design for a nozzle problem. Journal of Australian Mathematical Society, 1993, ser. В 35, p. 71 - 86.

23. Buttazzo G., Dal Maso G. Shape optimization for Dirichlet problems: relaxed formulation and optimality conditions. Applied Mathematics and Optimization, 1991, vol. 23, p. 17-49.

24. Cannarsa P., Da Prato G., Zolesio J.-P. Dynamical shape control of the heat equation. Systems and Control Letters, North-Holland, 1989, vol. 12, p. 103 -109.

25. Cea J. Quelques methodes sur la recherche d'un domaine optimal. Applied Inverse Problems: Lecture Notes in Physics, 1978, vol. 85, p. 135 - 146.

26. Chenais D. On the existence of a solution in a domain identification problem. -Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1975, vol. 52, p. 189-219.

27. Chengdian Z., Kaitai L. Semicontinuity of multiple integrals on Wkp(Q,Rm)k > 1). Acta Mathematica Sinica: New Series, 1995, № 2, vol. 11, p. 113127.

28. Dacorogna В., Fonseca I. A minimization problem involving variation of the domain. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1992, vol. XLV, p. 871 - 897.

29. Dziri R., Zolesio J.-P. Interface minimizant l'energie dans un ecoulement station-naire de Navier-Stokes. Problemes mathematique de la mecanique. C. R. Acad. Sci. Paris, 1997, serie 1, t. 324, p. 1439 - 1444.

30. Fujii N. Lower semicontinuity in domain optimization problems. Journal of Optimization Theory and Applications, 1988, № 3, vol. 59, p. 407 - 422.78

31. Hlavacek I., Necas J. Optimization of the domain in elliptic unilateral boundary value problems by finite element method. R.A.I.R.O. Analyse numerique / Numerical Analysis, 1982, № 4, vol. 16, p. 351 r 373.

32. Lions J. L. On the optimal control of distributed parameter systems. In: Techniques of Optimization. A. V. Balakrishnan Ed., Academic Press, 1972, p. 137 -158.

33. Masanao Т., Fujii N. Second-order necessary conditions for domain optimization problems in elastic structures, part 1: surface traction given as a field. Journal of Optimization Theory and Applications, 1992, № 2, vol. 72, p. 355 - 381.

34. Masanao Т., Fujii N. Second-order necessary conditions for domain optimization problems in elastic structures, part 2: surface traction dependent on the shape. -Journal of Optimization Theory and Applications, 1992, № 2, vol. 72, p. 383 -401.

35. Neittaanmaki P. On the methods for optimal shape design. J. Manley et al. (eds), Proceedings of the Third European Conference on Mathematics in Industry, 1990, p. 453-459.

36. Neittaanmaki P., Rivkind V., Seregin G. About optimal shape design in fluid dynamics. Optimal Control Applications and Methods, 1995, vol. 16, p. 143 — 148.