Оптимальное мультипликативное управление гармоническими волновыми процессами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи^^^_

Савенкова Анастасия Сергеевна

ОПТИМАЛЬНОЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ВОЛНОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

003473147

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Владивосток — 2009

003479147

Работа выполнена в Дальневосточном государственном университете и Институте прикладной математики ДВО РАН.

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Чеботарев А.Ю. Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Институт математики СО РАН им. С.Л. Соболева (г. Новосибирск)

Защита состоится 22 октября 2009 года в 10:00 на заседании диссертационного совета ДМ 212.056.11 при Дальневосточном государственном университете по адресу: г. Владивосток, ул. Октябрьская, 27, к. 343.

С диссертацией можно озн .комиться в библиотеке Дальневосточного государственного университета.

доктор физ.-мат. наук, профессор Намм Р.В. кандидат физ.-мат. наук, Илларионов A.A.

Автореферат разослан сентября 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи рассеяния акустических и электромагнитных волн играют важную роль во многих областях прикладных наук. Акустические и электромагнитные волны используются и исследуются в таких разных областях, как медицина, ультразвуковая томография, оптика, материаловедение, неразрушающее тестирование, удаленное обследование, радиолокация, аэронавтика, сейсмические исследования.

К 50-м годам XX века основные вопросы, касающиеся линейных эллиптических уравнений второго порядка в ограниченной области с гладкими коэффициентами и границами области были изучены практически полностью. Далее вопросы решения таких задач стали рассматриваться с позиции функционального анализа в работах Г. Вейля, К.О. Фридрихса, С.Г. Михлина, М.И. Вишика, O.A. Ладыженской, Д. Гилбарга, Н. Тру-дингера.

Дальнейшие исследования были направлены в сторону изучения нелинейных задач, обратных задач и позднее задач оптимального управления для эллиптических уравнений. Одной из первых монографий по математической тореии оптимального управления уравнениями и системами уравнений в частных производных была монография Ж.-Л. Лионса. Среди других авторов по этой тематике следует отметить V. Barbu, А.Г. Бут-ковского, А.И. Егорова, J. Zabczyk, В.Г. Литвинова, A.B. Фурсикова.

Краевые задачи для уравнения Гельмгольца и Максвелла наиболее полно исследовались начиная с 60-ых годов XX века. Наиболее полная теория классических краевых задач, а затем обратных задач и задач управления для уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла изложена в монографиях Д. Колтона, Р. Кресса, а также Angell T.S., Kirsch А. В дальнейшем это направление развивали многие авторы: Г.В. Алексеев, Ж.-Л. Лионе, О.И. Панич, С.И. Смагин, H. Ammari, A. Buffa, F. Cakoni, S.N. Chandler-Wilde, D. Colton, M. Costabel,F. Hettlich, A. Kirsch, R. Kress, Kriegsman, C. Latiri-grouz, P. Monk, J.-C. Nédélec, T. Senior, D. Sheen, Bo Zhang.

Наряду с прямыми краевыми задачами важную роль в ряде прикладных наук играют задачи управления волновыми полями. Разработке методов и численных алгоритмов решения указанных задач посвящено большое количество работ (см. выше). В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с анализом разрешимости и других качественных свойств решений задач управления.

Задачи управления для уравнения Гельмгольца в случае гладких областей и постоянного волнового числа изучались, с использованием теории потенциалов, начиная с 80-ых годов прошлого столетия. Отметим основных авторов, работающих в этом направлении: Т. Angell, R. Kleinman, A. Kirsch, F. Criado, G. Meladze, N. Odisehlidze, A. Habbal, Cao Yanzhao, D. Stanescu, G. Feijóo, A. Obérai, P. Pinsky, E. Divo, A. Kassab, M. Ingber. Большинство работ посвящено изучению задач управления источниками излучения или оптимизации формы и свойств материала рассеивающего объекта.

Говоря о задачах оптимизации и управления для уравнений Маквел-ла, молено отметить работы J. E. Lagnese, К. А. Kirne, V. Komornik , S.S. Krigman, C.E. Wayne по граничной управляемости для нестационарных уравнений Максвелла, работы A. Jiischke, J. Jahn, A. Kirsch, С. Wagner о многоцелевой оптимизации для уравнений Максвелла с постоянными коэффициентами.

Задачи оптимального управления для уравнений в частных производных, в случае когда отображение управление—»состояние является линейным или афинным, изучены достаточно полно и являются классическими задачами в этой области, тогда как нелинейность отображения приводит к возникновению трудностей, не решаемых стандартными методами. В данной работе изучается задача граничного мультипликативного управления для двух математических моделей — уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла (соответственно, распространение акустических и электромагнитных волн в гармоническом режиме), то есть функции состояния и управления входят в основную постановку задачи как множители, что и приводит к возникновению нелинейных эффектов в зада-

че, другими словами, отображение отображение управление—»состояние не является линейным.

Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка задач управления для скалярного и векторного уравнения Гельмгольца, анализ разрешимости задач мультипликативного граничного управления для уравнений Гельмгольца и Максвелла в гармоническом режиме, изучение свойств решений этих задач, разработка асимптотических алгоритмов для решения задач мультипликативного управления.

Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием следующих основных методов: теория функциональных пространств Соболева и теоремы вложения, методы исследования разрешимости краевых задач в пространствах Соболева, методы регуляризации, метод априорных оценок и метод компактности, методы теории оптимального управления уравнениями в частных производных (теория разрешимости экстремальных задач, принцип множителей Лагранжа).

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.

1. Исследована задача оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области. Доказаны теоремы о разрешимости, на основании принципа множителей Лагранжа выведена система оптимальности (необходимые условия экстремума) , получены достаточные условия единственности решения системы оптимальности.

2. Исследована задача оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области. Доказана разрешимость, выведена система оптимальности и достаточные условия единственности ее решения. Изучены свойства множества решений, получен результат типа принципа bang-bang для оптимального

управления, построена асимптотика решения по параметру регуляризации.

3. Исследована задача оптимального мультипликативного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в ограниченной области. Доказаны существование и единственность слабого решения краевой задачи, выведены условия, обеспечивающие регулярность решения. На основании принципа неопределенных множителей Лагранжа построена и исследована система оптимальности для задачи управления, установлены достаточные условия локальной единственности и устойчивости ее решения.

Теоретическая и практическая ценность работы. Все результаты работы носят теоретический характер. Использованные в диссертации подходы к доказательству разрешимости и выводу свойств задач оптимального управления могут быть успешно распространены на другие задачи оптимального (мультипликативного) управления эллиптическими уравнениями и системами. Практическая ценность работы следует из возможных приложений результатов диссертации для построения и теоретического обоснования численных алгоритмов решения задач оптимизации гармонических волновых полей (акустических, электромагнитных). Работа была поддержана следующими грантами: ¡проект РФФИ-«Дальний Восток» №06-01-96003 р_восток_а; грант Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ, проекты НШ-9004.2006.1 и НШ-2810.2008.1; гранты ДВО РАН 09-Ш-В-01-018, 09-1-ОМН-08, 09-П-СО-01-002; грант ректора ДВГУ, 2008; интеграционный грант СО РАН+ДВО РАН+УрО РАН (проект N116); грант АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» №2.1.1/1502/.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Открытой молодежной конференции ДВГУ (Владивосток, 2004), на Дальневосточной конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2004), на Дальневосточ-

ных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток/Хабаровск, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009), на международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006), на семинарах в Институте прикладной математики ДВО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. Статьи [1], [2], [3], [5] опубликованы в журналах, входящих в список ВАК. Из результатов статей, опубликованных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, полученные лично автором.

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 97 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 94 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение включает в себя обзор литераторы по теме диссертации, краткое описание рассматриваемых в работе задач и полученных результатов.

В первой главе исследуется задача оптимального управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области.

В параграфе 1.1 приводится краткий вывод математической модели для распространения акустических волн в гармоническом по времени режиме, выводится уравнение Гельмгольца, обсуждаются возможные краевые условия и условия излучения на бесконечности. В параграфе 1.2 приводится постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца со смешанными граничными условиями (на части границы Гдг задается граничное условие третьего рода) в ограниченной области П. Волновое число имеет вид я — к2(х) + Не', х € П (комплексная добавка 1к' характеризует

поглощение звука в области Г2, к(х) е К), г — мнимая единица. Волновой процесс описывается комплексной амплитудой и(х), которая удовлетворяет соотношениям:

Аи + яи = —/ в П, (1)

и — ф на Гд, (2)

ди

— +аи = дшТм. (3)

Здесь / — плотность объемных источников, д,ф — плотности поверхностных источников (/, д, ф — комплекснозначные функции). Поверхность Гд называется абсолютно мягкой при ф = 0. Комплекснозначная функция а характеризует импедансные (отражающие) свойства поверхности Гдг. Через п обозначена внешняя единичная нормаль к границе П.

Предполагается, что выполняются следующие условия:

Г = Г£>иГ]у, ГеС0'1, теаэ Гд > 0, ГоПГлг = 0. (г)

а 6 Ь2(Глг), 1та < 0, Иел > 0 на Г^, (")

^еЯ1/2(Г0),д€Ь2(Гм))/еЬ2(П), (иг)

к' е К, к' > 0, к2 е Ь2{П). ' (™)

Для исследования задачи вводится пространство комплекснозначных функций V = {у 6 Я:(П) : у = 0 на Гд}, которое является гильбертовым со скалярным произведением

[и, у] — V« • Уи <1х, Уп

и нормой |]и|]у = [и, и]1/2, эквивалентной норме в Яг(П). Также вводится множество вещественнозначных функций = {</?€ Ь2(0) : (р > 0 в

О}.

В параграфе 1.3 ставится задача граничного мультипликативного управления: требуется определить функцию а, характеризующую импедансные свойства поверхности Гдг, а также отвечающее этой функции решение и задачи (1)-(3) (при ф = 0, д = 0) в области Г2 по дополнительному

экстремальному условию

J{u,a) = ^\\и-и41чп) + ^\\а\\1ц (и,а)&иа(1, (4)

где иа(1 = {(и, а) € V х К : Р(и,а) = 0} — множество допустимых пар состояние-управление, F(г¿, се) — запись слабой формулировки задачи (1)-(3). Управляющей функцией в задаче является функция а, характеризующая импедансные свойства поверхности Гд-.

С использованием стандартной техники доказывается теорема о существовании решений задачи управления:

Теорема 1.3.Пусть выполняются условия 5 > 0 либо 5 > 0 и множество К ограничено. Тогда задача оптимального управления (4) имеет по крайней мере одно решение.

Параграф 1.4 посвящен выводу системы оптимальности на основе принципа неопределенных множителей Лагранжа для задачи оптимального управления (4). Определим функцию Лагранжа С : УхКхМ.+ х V —> К по формуле:

С{и, а, А0, У) = А0*/(и, а) + [^(и, а), У],

где (До, У) = (Ао, 2/1,2/2) — множитель Лагранжа, Ао £ Е+, 2/1,2/2 € , У =У1+ гу2 € V.

Теорема 1.4. Пусть выполняются условия (г) — (гг>), К1, К2 — непустые выпуклые множества, (й, а) £ V х К — точка локального минимума в задаче (4). Тогда существует ненулевой регулярный множитель Лагранжа (Ао,У) = (1,У) такой, что справедливо уравнение Эйлера-Лагранжа

<£'и,/г>=А0< ^(й,а),/г>+[<^(и,а),/1>,У]=0, МеУГ, (5) и выполняется принцип минимума

< С'а(й,а,Х0,У),Р — а > > 0, 4(3 € К. (6)

Система оптимальности для задачи управления (1)-(3) может быть записана в следующем виде:

В параграфе 1.5 выводятся условия, обеспечивающие единственность решения задачи оптимального управления. Ниже С\, С2 — некоторые

Тогда при выполнении условий (1)-(гь) задача оптимального управления имеет ровно одно решение.

Во второй главе исследуется задача оптимального управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области. В параграфе 2.1 рассмотрена краевая задача для уравнения Гельмгольца с граничными условиями третьего рода в неограниченной области £7 = К3 \ О. Здесь О с Ш3 — ограниченная область с достаточно гладкой границей Г, моделирующая препятствие, Г2— среда, в которой распространяются гармонические волны.

ДУ + яУ = и - ив, в П,

Ди 4- яи = —/ в П, дУ

У = 0наГс, — + аУ = 0 на Глг-оп

ди

и = 0 на Гд, ——I- аи = 0 на Гдг. оп

константы, зависящие от я и конфигурации области О. Теорема 1.5. Пусть 5 > 0 и выполняется следующее условие:

^11/11™ (СМщп) + Ыу) < 1-

Аи + яи = 0 в П,

(7)

ди

дщ

аи — — —--ащ на

оп

(8)

оо.

(9)

Здесь и/ = щ 4- и — комплексная амплитуда полного звукового поля в области П, щ — заданная падающая волна, и — рассеянная препятствием В волна, я = к2 + гк' — волновое число с ненулевой мнимой частью, характеризующей эффект поглощения гармонических волн в среде (к, к' £ (0;+оо)), функция а характеризует импедансные свойства поверхности Г.

Предполагается, что выполняются условия

а е Ь2(Г), 11еа > 0, 1та < 0, (7)

щ€Н10С(П), Дгц + ящ = 0 в П. {33)

В параграфе приводится результат о разрешимости прямой задачи и исследуются свойства отображения Ф : ¿2(Г) —> V (непрерывность, дифференцируемость), которое управлению а ставит в соответствие состояние и — слабое решение задачи (7)-(9).

В параграфе 2.2 ставится' следующая задача оптимального управления. Пусть Гд — сфера радиуса К, целиком содержащая область В. Даны функция щ, волновое число я, некоторое желаемое распределение звукового поля ид на сфере Гд и параметр регуляризации <5 > 0. Требуется найти такое значение импеданса а б Уаа (иаа — множество допустимых управлений) на границе Г, которое доставляет минимальное значение функционалу 3{а):

1 /* <5

= о / Ка)-иоГ^ + -М£2(г)-+ , J(a)<oo. (10)

г п

Доказывается теорема существования:

Теорема 2.2. Пусть иас1 — замкнутое выпуклое множество в Ь2(Т), которое является ограниченным, если о = 0. Тогда задача оптимального управления (10) имеет по крайней мере одно решение.

С использованием свойств функционала J{a). получена теорема об изолированности решений (ниже С^ — некоторые константы, зависящие от х, й и конфигурации области П):

Теорема 2.3. Если 5 > К\, где

Кг = С! (С2|МкгР + С3 + \\и0\\Гп) (С4 + ||и,||4,г),

то функционал 7 строго выпуклый на ир(а), то есть решения задачи оптимального управления изолированы.

Из теоремы 2.3 следует, что при достаточно больших 5 > К решение задачи оптимального управления единственно. Действительно, можно получить оценку на управление вида ||а||р < р0(6,щ). Тогда, если 5 удовлетворяет оценке в теореме 2.3 при р = ро, функционал 3 является строго выпуклым на 11а^ П {||а|| < ро}.

Параграф 2.3 посвящен выводу системы оптимальности для задачи управления, которая состоит из прямой задачи, системы для сопряженного состояния р и вариационного неравенства:

Ар + яр = 0 в П1 ий2,

др _ „ „

——|- ар = 0 на Г, < дп

[др/дп] = (и - щ) на Гд,

Ие I(6а 4- (и + щ)р)(а - /?) йз < О, V (3 € иаЛ. г

Здесь О1 — часть области П, лежащая внутри сферы Гд, 0.2 — часть области Г2, лежащая вне сферы Гд, = П1 и и Гд, [др/дп] — скачок нормальной производной на границе, р £.М(П) означает, что р удовлетворяет условиям излучения на бесконечности.

В параграфе 2.4 выводятся свойства множества решений задачи оптимального управления. Пусть V. — множество пар (а,и(а)} € Ъ = Ь2(Г) х V, а — оптимальное управление, и(а) — соответствующее состояние. Доказаны следующие теоремы:

Теорема 2.4. Мноэ/сество 71 компактно в 2.

Теорема 2.5. Если 5 > К\ (Кi определено в теореме 2.3.), то число решений задачи оптимального управления конечно.

В параграфе 2.5 рассмотрен принцип bang-bang для оптимального управления. Пусть К с С — ограниченное замкнутое выпуклое множество в комплексной плоскости, причем Vz б К: Imz < 0, Rez > 0.

Uad = {/3 е Ь2(Г), 0{х) € К для п.в. х е Г}.

Теорема 2.6. Пусть 5 — 0 и минимальное значение функционала J* > 0. Тогда для почти всех а; £ Г оптимальное управление а(х) 6 дК.

В параграфе 2.6 получена априорная оценка для сопряженного состояния, которая используется в следующем параграфе 2.7 при выводе асимптотики оптимального решения по параметру регуляризации S. На основе системы оптимальности вводится система рекуррентных уравнений для функций Uk,Pk, Q-k, k= 1,... следующего вида:

ui=v, pi=g, (11)

/ Vuk^hdx — н / Ukhdx+ ak~\Uk-\hds

Jn J Г2 J г

(j^+ak-xu^hds, heV, (12)

/ Vpfc Vh dx — я / pkhdx-f- / otk-\Pk-\hds

In Jn JT

= — {uk—uo)hds, К € V, (13)

= к> 1. (14)

Здесь функции V и д — слабые решениями систем для состояния и и сопряженного состояния р соответственно при а = 0, Р : Ь2(Г) —> иал — оператор проектирования на множество допустимых управлений 1}аа-Основной результат параграфа сформулирован в виде теоремы:

Теорема 2.7. Пусть 0 £ иав., а, и — оптимальные управление и состояние, р — сопряженное состояние; а^ £ иь £ V, р^ £ V — решение системы соответствующих рекуррентных уравнений. Если 5 > К2 > V, тогда решение задачи оптимального управления единственно и при всех к > 1 справедливо

Ь-ик\\у + \\р-рк\\у + \\а-ак\\Г<

где постоянные <3, V зависят только от исходных данных задачи (х,щ,ио).

Таким образом, решение нелинейной системы оптимальности при относительно больших значениях 6 можно свести к решению системы рекуррентных уравнений (11)—(14), которые не содержат нелинейностей и могут быть решены известными численными методами.

В третьей главе исследуется разрешимость краевой задачи и задачи управления для уравнений Максвелла в ограниченной области. В параграфе 3.1 кратко описывается вывод уравнений Максвелла в гармоническом режиме и возможные краевые условия. В параграфе 3.2. ставится краевая задача в ограниченной области О с граничными условиями третьего рода на границе Г:

Здесь Е — вектор напряженности электрического поля, п — вектор единичной внешней нормали, к > О — волновое число, а > 0 — поверхностный импеданс. Вводятся вспомогательные пространства:

го1п^Е-к2Е = 0вП,

(15)

п х гсЛ Е + га(п х Е) х п = Ь на Г.

(16)

ЩкЛ, П) = {ц : и е Ь2(П), кЛ и € Ь2(П)>,

Н((Цу,П) = {и : и € Ь2(П), сЦуи 6 Ь2(П)}, Щ,(Г) = {и : и е Н5(Г), и • п = 0 на Г}. V = {и е Щго^ П) П Н(<Ку, П):ихпе^(Г)}

IMIv = l|u||2 + II rot u|j2 + ||u X n||p.

и условия:

fí — ограниченная область в R3 с границей Г G С1,1. (г')

h G 1£(Г), a G 1~(Г). («')

Слабым решением задачи (15)—(16) называется функция Е, удовлетворяющая тождеству

(rotЕ,rotU) - fc2(E,U) -И(аЕт,ит)г = -(h,UT)r VUeV.

Теорема 3.1. При выполнении условий (г') — (и') существует единственное решение задачи (V) и справедлива априорная оценка

||E||v < C||h||L2(r).

В параграфе 3.3 рассматривается задача граничного мультипликативного управления для уравнений Максвелла в ограниченной области, которая заключается в минимизации функционала:

J(E,a) = ^HE-Erfl\l4Q) + ^|И|^1/2(Г) - inf, a G К, (17)

на решениях краевой задачи (15)—(16). Управляющей функцией является функция а, характеризующая импедансные свойства поверхности. Цель оптимизации состоит нахождении такого значения управления а, чтобы соответствующее электромагнитное поле было как можно ближе к заданному Ed в некоторой подобласти Q области П. Доказывается теорема о существовании решений задачи управления при выполнении дополнительного условия

К С Я1/2(Г) П (Г) — непустое выпуклое замкнутое множество, (j')

Теорема 3.2. Пусть выполняются условия fi0 > 0, /¿i > 0 либо цо > О, fix > 0 и множество К ограничено. Тогда зада^ш оптимального управления имеет по крайней мере одно решение.

В параграфе 3.4 с использованием метода множителей Лагранжа теории гладко-выпуклых экстремальных задач получена система оптимальности (Ф — сопряженное состояние) и доказана ее регулярность:

(rotÉ.rotU) -fc2(É,U) +¿(áÉT,Ur)r = -(h,Ur)r VUeV. (roffc, rot77) - /с2(Ф, r¡) + г(аФт, Vr)r = Ё - Ed)Q УФ € V.

а — а)я1/2(г) + Re[i((a - а) Ет, rjT)r] > О Va g К.

В параграфе 3.5 получены достаточные условия локальной единственности и устойчивости решения задачи оптимального управления при выполнении дополнительного условия:

К с Я2(Г) — непустое выпуклое замкнутое множество. (j")

Теорема 3.6. Пусть в дополнение к условиям (г'), (и') и (j"), цо > 0, /хi > 0, выполняется

wA(C2 + ||Ed||¿2(Q)) <Ml.

Тогда задача оптимального управления имеет единственное решение.

Теорема 3.7. Пусть при выполнении условий (i'), («') и (j") (E¿,a¿) является решением задачи управления, отвечающим заданной функции € L2(Q), г = 1,2, причем > 0> Mi > 0 и выполняется условие

С^С2 + maxfllE^UQ, ЦЕ^Цд)) < Мг(1 - е).

Тогда справедливы оценки устойчивости

у (¿1С

ЦЕ! -E2||v <см° -EÍ2)||q.

V Mi£

Параграф З.б посвящен выводу условий, обеспечивающих регулярность решения краевой задачи.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору А.Ю. Чеботареву за постановку задачи и внимание к работе.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Мультипликативное управление в задаче рассеяния для уравнения Гельмгольца // Сибирский журнал индустриальной математики. 2007. Т. 10. № 1. С. 128-139.

2. Асимптотика оптимального управления в задаче рассеяния гармонических волн на препятствии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2007. Т. 47. № 9. С. 1635-1641.

3. Вариационные неравенства в магнитной гидродинамике // Математические заметки. 2007. Т. 82. Вып. 1. С. 135-149. (Соавтор Чеботарев А.Ю.)

4. Оптимальное мультипликативное управление для уравнения Гельмгольца // Дальневосточный математический журнал. 2008. Т. 8. № 2. С. 206-217.

5. Асимптотика решений задач мультипликативного управления для эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 9. С. 1607-1618. (Соавтор Бризицкий Р.В.)

6. О регулярности решения одной краевой задачи для уравнений Максвелла // Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9. № 12. С. 24-28. (Соавтор Бризицкий Р.В.)

7. Задача управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // ИПМ ДВО РАН. Препринт. 2009. №3. 20 с. (Соавтор Бризицкий Р.В.)

Анастасия Сергеевна Савенкова

ОПТИМАЛЬНОЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ ВОЛНОВЫМИ ПРОЦЕССАМИ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Изд. лиц. ИД №05497 от 01.08.2001 г. Подписано к печати 14.09.2009 г. Формат 60x90/16. Печать офсетная. Усл.п.л. 1,13. Уч.-изд.л. 0,94. Тираж 100 экз. Заказ 75.

Отпечатано в типографии ФГУП Издательство «Дальнаука» ДВО РАН 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7

Введение

Обозначения и символы

1 Задача управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области

1.1 Рассеяние акустических волн, гармонически зависящих от времени. Уравнение Гельмгольца.

1.2 Постановка и разрешимость прямой задачи.

1.2.1 Физический смысл ограничений. Выбор условий на волновое число и импеданс.

1.2.2 Функциональные пространства. Определение слабого решения.

1.2.3 Разрешимость прямой задачи.

1.3 Постановка и разрешимость задачи управления.

1.4 Вывод системы оптимальности.

1.5 Условия единственности решения системы оптимальности

2 Задача управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области

2.1 Постановка и разрешимость краевой задачи

2.1.1 Априорная оценка слабого решения.

2.1.2 Связь между условиями излучения и принадлежностью решения пространству V.

2.1.3 Свойства отображения Ф : а и.

2.2 Постановка и разрешимость задачи управления.

2.2.1 Существование решений задачи управления.

2.2.2 Изолированность решений.

2.3 Вывод системы оптимальности.

2.4 Свойства множества решений задачи оптимального управления

2.5 Принцип bang-bang для оптимального управления.

2.6 Вывод априорной оценки для сопряженного состояния

2.7 Асимптотика оптимального решения по параметру регуляризации

3 Задача управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме

3.1 Распространение электромагнитных волн, гармонически зависящих от времени. Уравнения Максвелла.

3.2 Постановка и разрешимость краевой задачи

3.3 Постановка и разрешимость задачи управления.

3.4 Вывод системы оптимальности.

3.5 Вывод условий единственности и устойчивости решения задачи оптимального управления.

3.6 Регулярность решения краевой задачи.

1. Задачи рассеяния акустических и электромагнитных волн играют важную роль во многих областях прикладных наук. Акустические и электромагнитные волны используются и исследуются в таких разных областях, как медицина, ультразвуковая томография, оптика, материаловедение, неразрушающее тестирование, удаленное обследование, радиолокация, аэронавтика, сейсмические исследования [55], [93].

Существует два основных подхода для рассмотрения задач данного класса. Первый рассматривает задачу в четырехмерном пространстве (включая время), второй — в области только пространственных переменными за счет перехода к гармоническим по времени функциям. В работе будет использоваться второй подход, связанный с изучением стационарных волновых полей акустической или электромагнитной природы в гармоническом режиме.

К 50-м годам XX века основные вопросы, касающиеся линейных эллиптических уравнений второго порядка в ограниченной области с гладкими коэффициентами и границами области были изучены практически полностью. Далее вопросы решения таких задач стали рассматриваться с позиции функционального анализа в работах Г. Вейля, М.И. Витпика, O.A. Ладыженской [22], [23], С.Г. Михлина, Д. Гилбарг, Н. Трудингер [14], К.О. Фридрихса и других авторов. Задача сводилась к исследованию уравнения х + Ах = f с вполне непрерывным оператором А в некоторых гильбертовых пространствах, были получены результаты о существовании обобщенных решений.

Дальнейшие исследования были направлены в сторону изучения нелинейных задач, обратных задач и позднее задач оптимального управления для эллиптических уравнений. Одной из первых монографий по математической тореии оптимального управления уравнениями и системами уравнений в частных производных была монография Ж.-Л. Лиопса [25]. Среди других книг, посвященных теории оптимального управления распределенными системами, можно отметить книги следующих авторов: А.Г. Бутковский [131, А-и- Егоров [15], В.Г. Литвинов [26], А.В. Фурси-ков [36], V. Barbu [44]-[45], J. Zabczyk [94].

2. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца наиболее полно исследовались начиная с 60-ых годов XX века. В работе L. Levin [84j была доказана классическая теорема единственности для уравнения Гельмгольца в простейшей форме для гладких функций класса С2. Работа С. Liu [85] посвящена изучению внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца (Д + к2)и = 0 для липшицевой области и постоянного волнового числа к € С, Im к > 0. Наиболее полная теория классических краевых задач для уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла изложена в монографии Д. Колтона, Р. Кресса [20]. Более поздняя монография этих же авторов [55] содержит также исследования по обратным задачам для данных моделей. Также отметим следующие работы в этом направлении: Г.В. Алексеев [1],[2], Ж.-Л. Лионе [24], О.И. Панич [27], С.И. Смагин [34], S.N. Chandler-Wilde [53], S.N. Chandler-Wilde, Bo Zhang [52], D. Colton [54], D. Colton, F. Cakoni. [47], A. Kirsch [75], Kriegsman, Morawetz [76], T. Senior [89].

Большая часть работ по изучению обратных задач для уравнения Гельмгольца посвящена задачам восстановления формы препятствия и характера границы из информации о диаграмме рассеяния (о поле в дальней зоне). Первоначально рассматривалась только задача определения формы препятствия, F. Gylys-Colwell [64], M. Lassas, M. Chaney, G. Uhlmann [86], затем стали добавляться требования определения импеданса, R. Kress, W. Rimdell[81], уменьшения количества данных (измерения на части границы, ограниченное число падающих волн), изучались задачи для полупространства, G. Karamyan [70], G. Yan [92] и множества рассеивателей H. Ammari, A. Ramm [40]. Следует упомянуть работы по обратным задачам для стационарных моделей акустики, переноса тепла и масс: Г.В. Алексеев, А.Ю. Чеботарев [7], Г.В. Алексеев [3]-[4], Г.В. Алексеев, О.В. Соболева, Д.А. Терешко [5], D. Colton, A. Kirsch [61], A. Kirsch, R. Kress [74], Е. Sincich [90].

Задачи управления для уравнения Гельмгольца в случае гладких областей и постоянного волнового числа изучались с использованием классической теории потенциалов начиная с 80-ых годов прошлого столетия.

В работах Т. Angell, R. Kleinman [42] и A. Kirsch [72] рассматривались задачи оптимального управления для уравнения Гельмгольца, связанные с излучением или рассеянием волн бесконечным цилиндром. Область считается заданной, задача состоит в том, чтобы управлять граничными условиями так, чтобы поток энергии в дальней зоне в пределах заданного угла был максимальным. В качестве граничных условий выбирается условие Дирихле и импедансное граничное условие. С физической точки зрения эти задачи могут рассматриваться как задачи об излучении или задачи синтеза антенн. В статье А. Kirsch [73] дополнительно выводится специальное свойство граничного управления — принцип bang-bang.

В работе F. Criado, G. Meladze, N. Odisehlidze [59] приводится решение задачи Бицадзе-Самарского для уравнения Гельмгольца, задача сводится к минимизации квадратичного функционала. Статья A. Habbai [69] посвящена исследованию задачи оптимизации для формы части границы с целью достижения нужного акустического давления в некоторой подобласти. Интересно отметить с точки зрения физических приложений работу Cao Yanzhao, D. Stanescu [60], в которой оптимизация заключается в подборе такой формы турбины, которая уменьшает звуковой шум от двигателя самолета. Из других авторов отметим G. Fcijóo, A. Obérai, P. Pinsky [63], Е. Divo, A. Kassab, M. Ingber [62].

Упомянем также ряд работ, посвященных численным методам и алгоритмами решения задач управления и обратных задач для уравнения Гельмгольца: Г.В. Алексеев, Е.Г. Комаров [37], I. Babuska, Kang-man Liu [87], I. Harari [68], G. Oliver [88].

3. Математические постановки задач, связанные с уравнениями Максвелла в гармоническом режиме во многом близки аналогичным постановкам задач для уравнения Гельмгольца, но отличаются большей сложностью. Многие авторы исследуют последовательно задачи для уравнения Гельмгольца, векторного уравнения Гельмгольца, уравнений Максвелла. Подробная теория изложена, например, в монографиях T.S. Angelí, A. Kirsch [43] (Методы оптимизации в задачах электромагнитного излучения), D. Colton, R. Kress [55] (Обратные задачи рассеяния акустических и электромагнитных волн).

Среди исследований о разрешимости и регулярности краевых задач для уравнений Максвелла (в том числе с импедансным краевым условием) выделим следующие: О.И. Панич [27], H. Ammari, С. Latiri-grouz J.-C. Nédélec [39]-[83], T.S. Angelí, A. Kirsch [41], A. Bufia, M. Costabel, D. Sheen [46], D. Colton, R. Kress [56].

Обратные задачи для рассеивающих объектов разной формы (выпуклая область, экраны), имеющие целью восстановление формы и/или качественных свойств рассеивателя по информации о поле в дальней зоне, изучались в работах F. Cakoni, D. Colton, Е. Darrigrand [51], F. Cakoni, D. Colton [48],[50], F. Cakoni, D. Colton, P. Monk [49], F. Hettlich [67], A. Kirsch [71].

Говоря о задачах оптимизации и управления для уравнений Маквел-ла, можно отметить работы J.E. Lagnese [82], К.A. Kime [79], V. Komornik [80], S.S. Krigman, C.E. Wayne [77]-[78] по граничной управляемости для нестационарных уравнений Максвелла. Вариционные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме и уравнений гидродинамики изучались в работах Т.В. Беспаловой, А.Ю. Чеботарева [8], A.C. Савенковой, А.Ю. Чеботарева [32].

В работе A. Jüschke, J. Jahn, A. Kirsch [65] рассматривается задача многоцелевой оптимизации для уравнений Максвелла с постоянными коэффициентами. Цель оптимизации — направить поле наибольшей мощности (точнее, максимизировать интенсивность излучения — отношение мощности излучения к подводимой мощности) в заданном направлении и минимизировать мощность поля в остальных направлениях. Продолжение этих исследований опубликовано в статье J. Jahn, A. Kirsch, С. Wagner [66].

4. Наряду с прямыми краевыми задачами важную роль в ряде прикладных наук играют задачи управления волновыми полями. Разработке методов и численных алгоритмов решения указанных задач посвящено большое количество работ (см. выше). В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с анализом разрешимости и других качественных свойств решений задач управления.

Задачи оптимального управления для уравнений Гельмгольца и Максвелла, с одной стороны, представляют значительный теоретический интерес как объект применения современных математических методов, с другой стороны, важны для приложений в различных областях прикладных наук: медицина, томография, материаловедение, акустика, радиолокация и т.д.

Задачи оптимального управления для уравнений в частных производных, в случае когда отображение управление—»состояние является линейным или афинным, изучены достаточно полно и являются классическими задачами в этой области, тогда как нелинейность отображения приводит к возникновению трудностей, не решаемых стандартными методами. В данной работе изучается задача граничного мультипликативного управления для двух математических моделей — уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла (соответственно, распространение акустических и электромагнитных волн в гармоническом режиме), то есть функции состояния и управления входят в основную постановку задачи как множители, что и приводит к возникновению нелинейных эффектов в задаче, другими словами, отображение отображение управление—»состояние не является линейным.

Целью данной диссертационной работы является исследование вопросов корректности постановок краевых задач для скалярного и векторного уравнения Гельмгольца, анализ разрешимости задач мультипликативного граничного управления для уравнений Гельмгольца и Максвелла в гармоническом режиме, изучение свойств решений этих задач, разработка асимптотических алгоритмов для решения задач оптимизации.

Рассматриваемые постановки задач связаны с обратными задачами рассеяния. Однако, в отличие от задач, изученных в упомянутых выше работах, в данной диссертации предлагается сведение обратной задачи рассеяния к задаче управления, причем в качестве управления выбирается функция импеданса, мультипликативно входящая в граничное условие, а в целевой функционал входят желаемые значения акустического или электрического поля в некоторой области или подобласти (не в дальней зоне). Новизна заключается также в том, что во всех изучаемых задачах используется более общее (по сравнению с условиями Дирихле и Неймана) граничное условие третьего рода.

5. По своей структуре диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 94 наименований. Работа изложена на 97 страницах машинописного текста.

Заключение

1. Основная цель диссертации состояла в исследовании задач управления волновыми процессами в гармоническом режиме. Сформулируем кратко основные результаты диссертации:

1. Для задачи оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области доказана разрешимость, на основании принципа множителей Лагранжа выведена система оптимальности (необходимые условия экстремума), получены достаточные условия единственности решения системы оптимальности.

2. Для задачи оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области исследована разрешимость, выведена система оптимальности и достаточные условия единственности ее решения. Изучены свойства множества решений, получен результат типа принципа bang-bang для оптимального управления, построена асимптотика решения по параметру регуляризации.

3. Доказаны существование и единственность слабого решения краевой задачи для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в ограниченной области, выведены условия, обеспечивающие регулярность решения. На основании принципа неопределенных множителей Лагранжа построена и исследована система оптимальности, установлены достаточные условия локальной единственности и устойчивости ее решения.

2. В диссертации были применены различные методы исследования как разрешимости краевых задач для уравнений Гельмгольца и Максвелла (метод априорных оценок, теория фредгольмовых операторов), так и вывода и определения свойств системы оптимальности (метод множителей Лагранжа, прямой вывод системы оптимальности из необходимого условия экстремума выпуклого функционала, методы получение условий достаточных единственности решения системы оптимальности). Использованные подходы могут быть успешно распространены на другие задачи оптимального (мультипликативного) управления эллиптическими уравнениями и системами.

1. Алексеев Г.В. Метод нормальных волн в подводной акустике. Владивосток: Дальнаука, 2006. 360 с.

2. Алексеев Г. В. Обратные задачи излучения волн и теории сигналов. Часть 2. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 1991. 140 с.

3. Алексеев Г. В. Обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепловой конвекции // Вест. НГУ, Серия: матем., механ. и информатика. 2006. Т. 6. Вып. 2. С. 6-32.

4. Алексеев Г. В. Коэффициентные обратные экстремальные задачи для стационарных уравнений тепломассопереноса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47. № 6. С. 1055-1076.

5. Алексеев Г.В., Соболева О.В., Терешко Д.А. Задачи идентификации для стационарной модели массопереноса // Прикл. мех. техн. физ. 2008. Т. 49. № 4. С. 24-35.

6. Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 364 с.

7. Алексеев Г.В., Чеботарев А.Ю. Обратные задачи акустического потенциала // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. № 8. С. 1189-1199.

8. Беспалова Т.В., Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла вгармоническом режиме // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. № 8. С. 689-701.

9. Бреховских Л.М., Годин O.A. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.

10. Бризицкий Р.В., Савенкова A.C. Асимптотика решений задач мультипликативного управления для эллиптических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. № 9. С. 1607-1618.

11. Бризицкий Р.В., Савенкова A.C. О регулярности решения одной краевой задачи для уравнений Максвелла // Дальневосточный математический журнал. 2009. Т. 9. № 1-2. С. 24-28.

12. Бризицкий Р.В., Савенкова A.C. Задача управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме // ИПМ ДВО РАН. Препринт №. 2009. 20 с.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 476 с.

14. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 465 с.

15. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

16. Илларионов A.A. Асимптотика решений задачи оптимального управления для стационарных уравнений Навье-Стокса // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 2000. Т. 40. № 7. С. 1061-1070.1819 2021