Математическое моделирование оптических систем анализа и коррекции волнового фронта тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ
|
Каленков, Сергей Геннадьевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
РГ6 ОД На правах рукописи
УДК 535.853.4: 519.711.
КАЛЕНКОВ Сергей Геннадьевич
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ АНАЛИЗА И КОРРЕКЦИИ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
Специальность 01.04.04-Физическая электроника
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва-1998
Работа выполнена в Московском государственном технологическом университете
"СТАНКИН"
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Бельдюгин И.М.
доктор физико-математических наук, профессор Клименко И.С.
доктор физико-математических наук, профессор Локшин Г.Р.
Ведущая организация- Институт математического моделирования РАН
Защита состоится " " 1998 в /Гчас._мин.
на заседании диссертационного Совета Д 063.91.03 в Московском физико -техническом институте по адресу: 141700, г. Долгопрудный, Московской обл., Институтский пер., д.9
С диссертацией можно ознакомится в библиотеке МФТИ
Автореферат разослан
1998г.
Ученый секретарь диссертационного Сов
I -^корик В.А.
Общая характеристика работы
Актуальность
В когерентной оптике пространственное распределение амплитуды изображения или модуляция интенсивности-лишь одна из форм кодирования информации. Фаза светового поля, поляризация и функция когерентности являются также ценными информативными параметрами. С внедрением в современную оптику персональных компьютеров, которые, по-существу, стали частью самой оптической системы, появились новые возможности использовать эти параметры для целого ряда практических применений.
В настоящее время определился круг задач, связанных с необходимостью пространственной модуляцией фазы. Прежде всего -это задачи компенсации фазовых искажений, возникающих в когерентных оптических системах. Так, например, при распространении лазерного излучения в неоднородной среде волновой фронт испытывает заметные искажения. При этом, в одних случаях источником искажений является активная среда самого лазера (например, в мощных газодинамических лазерах), а в других - оптический промежуток между излучателем и приемником. Исправить подобного рода искажения можно лишь путем коррекции фазы светового поля с помощью соответствующей адаптивной оптической системы. Типичный пример такого рода коррекции фазы линейной адаптивной системой состоит в следующем. Плоская волна проходит через неоднородную атмосферу и попадает на точечную мишень, которая является источником сферических волн. После двухкратного прохождения через атмосферу исходная волна заметно искажается. Искажения волнового фронта измеряются гетеродинным приемником. С помощью оптической системы с обратной связью сигнал с детекторов, пропорциональный фазе искаженной волны, подается на фазовращатели, выполненные на ячейках Брэгга. Фазовращатели формируют волну, сопряженную искаженной волне. После очередного прохождения через атмосферу переизлученная волна будет сферически сходящейся на точечной мишени. Это справедливо только в том случае, когда характерные времена атмосферных аберраций много больше времени прохождения излучения через атмосферу до мишени и обратно, а также времени обработки информации о фазе волны. В силу этого быстродействие анализатора волнового
фронта и его точность, решающим образом влияет на работу адаптивной системы.
Другой круг задач, связанный с анализом и коррекцией фазового фронта электромагнитного излучения, связан с лазерной техникой. Хорошо известно, что неоднородность активной среды внутри лазерного резонатора приводит к существенному снижению мощности выходного излучения. Одновременно происходит и резкое снижение направленности генерируемого лазерного излучения. В результате его угловая расходимость на порядок и более превышает дифракционный предел. В последние годы интенсивно разрабатываются методы активного влияния на процессы лазерной генерации,связанные, в частности, с обращением волнового фронта (ОВФ) на глухом зеркале резонатора. Развивающиеся на неод-нородностях активной среды искажения волнового фронта в условиях ОВФ компенсируются при обратном проходе резонатора. Следует особо отметить важное преимущество использования ОВФ для формирования лазерных пучков по сравнению с вышеупомянутыми линейными адаптивными системами. При использовании ОВФ в системе отсутствуют такие элементы, как корректор и анализатор волнового фронта. В силу этого такие системы обладают высоким разрешением и малым временем реакции, недостижимым с помощью адаптивных устройств линейного типа. Вместе с тем операция ОВФ зачастую не оптимальна с точки зрения необходимой компенсации весднородностей и, кроме того, что самое главное, соответствующие устройства сложны в реализации и в некоторых случаях не обеспечивают возможность необходимой коррекции искажений. В силу этого, развитие техники ОВФ не исключает применение традиционных управляемых оптических элементов в системах коррекции лазерного излучения.
Внедрение современных компьютеров в адаптивную оптику, привело к тому, что сам компьютер, работающий в режиме реального времени, стал неотъемлемой частью адаптивной системы. Это накладывает определенные требования на аппаратурную реализацию методов и средств анализа волнового фронта: она должна быть совместимой с соответствующими вычислительными методами. В следствие этого разработка методов анализа волнового фронта и математическое моделирование соответствующих им анализаторов волнового фронта несомненно является важной и актуальной задачей.
Прямая задача в оптике заключается, как известно, в исследовании процесса распространения электромагнитного излучения по заданным источникам или рассеивателям. Сответственно, обратная задача в самой общей постановке состоит в нахождении характеристик источников или рассеивателей по данным регистрируемого излучения. Решение обратной задачи означает нахождение таких функций источников, которые бы соответствовали полученным исходным данным и согласовались с так называемой априорной информацией, исходящей, например, из общих физических законов, или из экспериментальных данных. В сущности, физическая основа самой возможности восстановления волнового фронта (пространственного распределения фазы) связана с тем, что величины объектного и дифракционного полей связаны преобразованием Фурье, поэтому комплексная амплитуда волнового поля в фурье-штоскости является аналитической функцией. При этом объектное поле можно рассматривать как некоторое граничное условие, влияющее на характер распространения комплексной амплитуды волнового поля. Как правило, относительно объектного поля можно указать некоторую априорную информацию, которая оказывается достаточной, для того чтобы установить класс функций,описывающих дифракционное волновое поле с однозначно взаимозависимыми амплитудой и фазой. В разное время были предложены некоторые алгоритмы восстановления комплексной амплитуды и фазы объектного поля по его дифракционной картине. Это итерационные, рекурсивные, алгоритмы использующие амплитудно- фазовую связь и другие. Актуальность исследований связанных с этой проблемой, несомненна, так как во многих областях науки и техники таких как рентгеноструктурный анализ, теория рассеяния, астрономия, оптическая локация и целый класс интерферометрических задач возникает проблема извлечения информации об объекте по его дифракционной картине, зарегистрированной в некоторой плоскости регистрации. Благодаря новым возможностям, появившимся в настоящее время в связи с развитием когерентной и вычислительной оптики в этой области достигнут значительный прогресс.
Основными параметрами, определяющими характеристики волновых полей, являются длина волны, амплитуда, фаза, поляризация и когерентность. Различные разделы физической оптики и многочисленные ее научно-технические приложения, например, такие как спектроскопия, фотомет-
рия и интерферометрия основаны на использовании информации, связанной с каждым из вышеперечисленных параметров. Однако до настоящего времени когерентность как информативный физический параметр активно использовалась только в Фурье-спектроскопии и астрономических наблюдениях (звездная интерферометрия). Функция когерентности подчиняется волновому уравнению, что в принципе, позволяет рассчитывать на построение аналогов тех разделов физической оптики и оптико-физических измерений, в которых проявляется волновая природа света, а информативными параметрами являются модуль и фаза комплексной функции временной и пространственной когерентности. Анализ литературных данных показывает, что в последнее время появляются хотя и немногочисленные публикации, в которых предлагаются новые, нетрадиционные методы физической оптики и оптико-физических измерений и соответственно новые области их применения, где когерентность света (или комплексная функция когерентности светового поля) используется как основной информативный параметр. Исследование фазовых объектов в частично когерентном свете позволяет избежать многие трудности характерные для когерентного света, такие как, например, образование спекл шума . Вследствие этого частично когерентное освещение объекта во многих случаях значительно удобнее, поэтому разработка и исследование соответствующих алгоритмов и методов, использующие когерентность как информативный параметр представляет собой актуальную как в практическом, так и в теоретическом отношении задачу.
Цель диссертационной работы состояла в разработке и численном моделировании совокупности методов анализа и коррекции волнового фронта, которые позволили бы расширить функциональные возможности когерентных оптических систем регистрации и обработки информации. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:
• разработка и исследование метода анализа и синтеза волновых полей, основанного на разложении комплексной амплитуды поля по системе ортогональных Уолш-транспарантов;
• численное моделирование модифицированного метода фазовых шагов для исследования фазовых объектов;
• разработка и исследование модифицированного итерационного алгоритма восстановления фазы по известному амплитудному распределению, оценка влияния шумов различной природы на точность восстановления;
• разработка модифицированного метода фазовых шагов для исследования фазовых объектов в частично когерентном свете;
• разработка и исследование метода восстановления фазы, в котором роль информативного параметра играет функция временной и пространственной когерентности;
• разработка и исследование оптически управляемых элементов коррекции волнового фронта для адаптивных оптических систем с оптической обратной связью.
Методы исследования основывались на уравнениях скалярной теории дифракции Френеля. Широко использовались методы Фурье -анализа (разложение комплексной амплитуды волнового поля по гармоническим функциям), а также разложение комплексных амплитуд по ортогональной системе бинарных функций Уолша. Математические модели оптической схемы восстановления фазы методом фазовых шагов представлены в безразмерной форме и выполнены на ЭВМ АТ386. Программы написаны на алгоритмическом языке "Fortran-90". В программах использовалась стандартная подпрограмма быстрого дискретного Фурье-преобразования (N.E. Brenner, MIT Linkoln Lab., for Math. Library R.E. Jones). Для модифицированного алгоритма Гершбера-Сэкстона итерационная процедура восстановления фазы исследовалась на ЭВМ " Сименс7.536-20" производительностью 1 MIPS.
Научная новизна работы состоит в разработке ряда новых и модифицированных алгоритмов и методов анализа и коррекции волнового фронта для когерентных оптических систем. Конкретно новые результаты состоят в следующем:
• предложен и численно исследован Уолш-анализ волновых полей, позволяющий с помощью набора амплитудно-фазовых транспарантов представить комплексную амплитуда волнового поля в виде ряда по функциям Уолша и допускающий удобную аппаратурную ре-
ализацию в линейных адаптивных оптических системах, задачах распознавания образов, а также для синтеза голограмм;
• разработан модифицированный итерационный алгоритм восстановления фазы по известному амплитудному распределению, исследована возможность применения алгоритма в оптическом анализаторе волнового фронта;
• предложен модифицированный метод фазовых шагов, для которого исследована точность восстановления фазы, разрешающая способность, а также разработано прикладное программное обеспечение для математического моделирования и его практического использования в интерферометрии;
• разработан метод исследования фазовых объектов, в котором информативным параметром является функция временной и пространственной когерентности.
Практическая ценность работы состоит в том, что развитая совокупность методов и алгоритмов анализа и коррекции волнового фронта существенно расширяет функциональные возможности линейных адаптивных оптических систем, а также систем для обработки оптической информации. Так, в частности, одним из важных преимуществ предложенного метода Уолш-анализа волновых полей является его удобная аппаратурная реализация в адаптивных системах коррекции волнового фронта.
Важную прикладную направленность имеет численное моделирование адаптивной системы, в которой датчик и корректор волнового фронта однотипны и управляются от одного генератора функций Уолша. Это обстоятельство существенно повышает как точность коррекции системы, так и ее быстродействие. Кроме того, предложенный и разработанный в работе способ Уолш-анализа волновых полей, в известной мере, представляет собой альтернативный способ регистрации и последующего синтеза голограмм. При этом качество записи голограммы таким способом определяется уже не регистрирующей средой (например, фото слой, как в обычной голограмме), а качеством транспарантов. Способ может найти практическое применение в тех случаях, когда для записи голограммы нет достаточно чувствительных сред в данном частотном
диапазоне. Так, например, анализируемое волновое поле может быть в ИК или СВЧ диапазоне, а синтез голограммы осуществляется в видимой области. Немаловажно также, что записанная информация о предметном поле (это массив комплексных коэффициентов разложения по функциям Уолта) может легко передаваться по обычным каналам связи.
Результаты исследований по модифицированному итерационному алгоритму восстановления фазы также могут найти практическое применение для оптических систем коррекции фазы , а также в оптических системах обработки информации.
Важным практическим результатом является также разработка модифицированного метода фазовых шагов для исследования фазовых объектов. Данный метод особенно перспективен в различного рода интерферомет-рических задачах.
Исследования фазовых объектов в частично когерентном свете, когда функция когерентности является информативным параметром, несомненно имеют как прикладное так и теоретическое значение. Особенно перспективно применение данного метода в некоторых задачах томографии и распознавания образов, поскольку в данном методе увеличение размеров источника приводит к уменьшению области пространственной когерентности и соответственно к увеличению чувствительности. Кроме того, существенно снижаются требования к оптическим элементам, входящим в схему измерения.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Предложен метод анализа волновых полей ортогональными Уолш-транспарантами. Проведено численное моделирование предложенного метода, исследована зависимость качества восстановленного изображения от числа транспарантов.
2. Предложена адаптивная оптическая схема с обратной связью. В схеме корректор и анализатор фазы представляет собой зеркала поршневого типа, с помощью которых осуществляется модуляция и коррекция волнового фронта. Численными экспериментами исследована точность восстановления в зависимости от шумов различной природы.
3. Исследован адаптивный контур с оптическим управлением, в котором в модулятором излучения является оптически совершенный слой полупроводника с выраженным спектром экситонных состояний.
4. Предложен и разработан численный итерационный алгоритм восстановления волнового фронта, использующий эффект обращения волнового фронта. Для предложенного алгоритма получены оценки качества восстановления фазы, исследована сходимость алгоритма в зависимости от уровня шумов.
5. Численным моделированием исследован модифицированный метод фазовых шагов, позволяющий восстанавливать фазу но нескольким амплитудным распределениям, зарегистрированным после фильтрации волнового поля в Фурье плоскости.
6. Разработан метод исследования амшштудно-фазовых объектов частично когерентным излучением, в котором роль информативного параметра играет функция временной и пространственной когерентности. Численными методами исследовано разрешение метода в зависимости от типа объекта.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на
• Всесоюзных школах по когерентной оптике и голографии;
• научных семинарах ИРЭ РАН, МГУ (Радиофизический семинар A.C. Ахманова), ВНИИОФИ, а также на научных конференциях Казанского физико-технического института и МФТИ;
• международных конференциях:
— 7-th International conference on infrared and millimeter waves. Marseille, 14-18 Fev, 1983,
- 4-th International Workshop on Laser Physics (LPHYS'95). Moscow-Jaroslavl, Augest 4-9, 1995.
Публикации
По материалам диссертационной работы опубликовано 20 работ, из них три авторских свидетельства на изобретения.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения, списка цитируемой литературы и Приложения. Диссертация содержит/ЭД страниц машинописного текста,рисунков, таблиц и список литературы из/сЗ наименований, включая научные труды автора-20 наименований.
Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются задачи исследования и основные научные положения, а также приводится краткий обзор известных результатов.
В первой главе рассматривается способ спектрального анализа и го-лографической записи волновых полей, который заключается в том, что предметное поле (см. Рис.1) модулируют амплитудно-фазовыми транспарантами во входной плоскости оптической системы, причем пропускание транспарантов соответствует ортогональным функциям, например, функциям Уолша. Для каждого Уолш транспаранта детектором измеряют сигналы равные интенсивности дифрагированной волны в фиксированной точке выходной плоскости оптической системы. При этом оказывается, что сигналы, регистрируемые детектором, пропорциональны пространственному спектру Уолша предметного поля.
Чтобы пояснить суть предложенного способа обратимся к оптической схеме, изображенной на Рис.1. Линза с фокусным расстоянием /, размеры которой ограничены квадратной апертурой О х £> преобразует предметное поле Е(х)|г=0 так, что интенсивность волны в плоскости г = / есть:
Детектор излучения с апертурой ¿х </, установленный в начале координат
Содержание работы
2
I Я(х)ехрНу^]Лс
(СхС)
линза
Рис. 1: Оптическая система
плоскости г = /, измеряет сигнал
J = I /(х/^Х/.
(<1х<г)
В безразмерных переменных X = х/£> и X/ = ХуО/А/ последнее выражение выглядит следующим образом:
17 = ) / /(Х/)<ЛС> = / ^ / Я(х)ехР(-г'2?гХХ,)ЙХ
(ехе)
(«X«)
(1X1)
где € = ¿О/А/. Если еС1, т.е. размер апертуры детектора достаточно мал: с1< А//Д то для величины сигнала получаем:
У £(Х)<£Х
(1X1)
Поместим в плоскости г = 0 т.е. непосредственно перед линзой, транспарант с функцией пропускания ¿(X). В этом случае сигнал, измеряемый детектором, будет равен
1X1)
У ^(Х)^ = I £(Х)Б(Х)с1Х
1x1)
Очевидно, что если пропускание транспаранта ¿(X) совпадает с одной из функций Фт(Х) принадлежащей некоторому полному набору {Фт(Х)}, то величина сигнала Ь с точностью до множителя совпадает с квадратом модуля коэффициента разложения |сш|2 поля .Е(Х) по данной системе ортогональных функций ФШ(Х). Поскольку пространственный спектр волны Е(Х) представляет собой некоторый массив чисел {с т}, то для его измерения будет необходим набор транспарантов {Ь т(Х)}. Однако следует заметить, что набор {¿Ш(Х)} 5 {Фт(Х)} не решает поставленной задачи, так как при измерениях с такими транспарантами теряется информация о фазе комплексных величин Сщ. Эта проблема разрешается с помощью набора транспарантов вида:
¿«(X)} = {5±(Х),т£(Х)},
¿¿(X) ~ 1 ± Фт(Х),Т£(Х) ~ 1 ± ¿ФШ(Х).
В самом деле, пусть в плоскости 2 = 0 установлен транспарант с пропусканием
^(Х)~1 + ФШ(Х). Тогда точечный детектор излучения зарегистрирует сигнал
5£~(«Л)а| / Я(хИх)+ / Я(Х)Фт(Х)<ОС|\
1x1 1x1
который в спектральном представлении можно представить как
5£~(еО)2 |со + сш|2.
Соответственно,для транспаранта 5щ(Х) ~ 1 — ФШ(Х) детектор измеряет сигнал
Разность этих сигналов
^т - ~ (сО)-(\с0 + Ст|2 - |Со - ст|2) = (е£>)2Яе[Л;т]. Наконец, поскольку величина со ~ \fjoj(¿О) находим, что
й-Я;
Jo{eD)
■ Re[cn
Аналогичную процедуру можно проделать для каждой пары транспарантов ¿'¿(Х) и ¿'¿(Х) из набора {¿¿(X)} и, соответственно, найти действительную часть спектра {йе[сше~*1''0]}. По этой же схеме набором транспарантов {^¿¡(Х)} измеряется также и мнимая часть спектра {1т[с техр(—г'^о)]} и таким образом извлекается полная информация о комплексном спектре {сш} волнового поля К(Х). Обработку полученной информации ( синтез действительной и мнимой части волнового поля) можно провести как с помощью ЭВМ, так и с помощью соответствующей оптической схемы.
Выбор той или иной базисной системы функций определяется прежде всего тем, что она должна быть "технологичной" в смысле изготовления на ее основе набора ортогональных транспарантов. Поэтому, например,
система синусоидальных функций, широко используемых в анализаторах электрических сигналов, для этих целей слишком сложна и не может иметь практического применения. Не маловажно также, чтобы такая система была адекватна ЭВМ, где возможна обработка полученной информации и моделирующий эксперимент. В полной мере всем этим требованиям отвечает полная ортогональная система функций Уолша
{шагш(х)}.
Как известно, функции гоа1т(х) являются бинарными, т.е. принимают два лишь значения ±1. Параметр ], называемый секвентой, интерпретируется как половина среднего числа перемены знака функций са!^(х) и заЦ{х) на интервале —1/2 < х < 1/2. Функции пропускания ортогональных транспарантов и Т*(Х), построенных на функциях Уолша, имеют вид:
£(Х) = ^ [1'± - (X) = ~ [1 ± гтаМх)] •
Поскольку функция walr„(x) принимает лишь два значения ±1, то транспаранты Уолша являются бинарными фильтрами . Такие фильтры легко изготовляются, например, методами фотолитографии или на основе оптических бистабильных устройств. Кроме того, отметим, что транспаранты вида 5^(Х) - чисто амплитудные, а транспаранты Т^(Х) - чисто фазовые с пропусканием ехр(±г7г/4). Фазовые транспаранты Уолша могут быть реализованы на основе поршневого зеркала, содержащего 2" субапертур.( В третьей главе диссертационной работы приведены исследования адаптивной системы с анализатором и корректором волнового фронта на основе такого транспаранта.)
В диссертационной работе исследована возможность синтеза волнового поля по найденному спектру {ст} чисто оптическим способом. Рассмотрим для простоты среду для записи с линейным откликом по экспозиции, например, идеальная фотопластинка, почернение которой пропорционально интенсивности света во всем необходимом диапазоне экспозиций. С помощью соответствующей оптики спроецируем уменьшенное или увеличенное геометрическое изображение транспаранта на фотопластинку, так , чтобы распределение интенсивности на ней было пропорционально ¿¿(х), где теперь х- координата в плоскости фотопластинки. Тогда почернение £(х) фотопластинки и, соответственно, ее функция
пропускания ¿(х) будет:
<(х) = Р5+(г)
где Р — 1т -величина экспозиции, I- интенсивность записывающего света,г - время экспозиции. Мы учли, что бинарные Уолш транспаранты обладают очевидным свойством:
¡гиа!т(х)12 = гиа^х),
поэтому их функции пропускания по амплитуде совпадают с функцией пропускания по интенсивности. Будем брагь величину экспозиции равной величине измеренного сигнала если пластинка экспонируется с транспарантом ¿"¿(х). Соответственно, при экспонировании с транспарантом ¿'¿(х) величина экспозиции Р выбирается равной В результате двух таких экспозиций пропускание фотопластинки есть
Учитывая что 5+ ~ (еО)2|со + сш|2 и 5~ ~ (еО)2\со — ст|2, получаем:
¿(х) ~ [|со|2 + |сш|2 + с2ст-ига1т(х) + к.с.]
(к.с.- комплексно сопряженные слагаемые) Если на пластинку экспонировать указанным образом весь массив транспарантов, то функция пропускания станет равной
м
=ь + с*0 Ст«а11п(х) + к.с.
т=(0,0)
М
Сумма 2 ст№а1т(х) -есть приближенное выражение функции Е(х).
т=(0,0)
В пределе при достаточно большом М , т.е. при достаточно большом числе экспозиций с транспарантами 5+(х),5щ(х) функция пропускания будет равной
£ = I -+ с0Е(х) + к.с.
Очевидно, что пластинку с функцией пропускания можно рассматривать как обычную голограмму, записанную с опорной волной Яд = с^ и предметной волной £(х).
Один из распространенных критериев точности восстановленного поля состоит в сравнении с единицей величины проекции ,7 восстановленного поля Е на правильное (исходное) поле Е = а ехр(г'(ур)
} (Е'Ё) _ (Ёаехр(-»у)>
[(¿¿•>(а^)]1/2 [(¿¿-Ха')]1'2'
Здесь угловые скобки означают усреднение по пространственной координате. Ясно, что чем ближе величина 7 к единице,тем меньше отличие восстановленного поля от исходного.
В работе был проведен численный эксперимент по восстановлению методом Уолш- анализа комплексной амплитуды поля. Точность восстановления исследовалась в зависимости от величины апертуры Уолш транспарантов и от их числа М. В качестве модельного было выбрано поле,формируемое плоской волной (в приближении Френеля), проходящей через две параллельные щели. Аналитический вид этого поля хорошо известен и достаточно прост,тем не менее это поле имеет достаточно сложную структуру, что делает его удобным как объект исследования. Для оценки результатов применялись также следующие интегральные критерии:
1. не содержащий фазовой информации "энергетический" критерий .Д
^ 1\Ё(х)\2Лх
1 !\Е0(х)\их'
2. зависящий от фазы нормировочный интеграл перекрытия ./2
3 \1ЕоЁ'(х)<1х\
{¡\Е0(х)\^х5\Е0(х)их]иГ
(Здесь Ео(х) -точное модельное поле и ¿(^-восстановленное поле.) При слишком малой апертуре рост числа М транспарантов практически не влияет на точность восстановления. Она остается низкой и по характеру распределения поля по апертуре и по критериям ./ь^г- Критерий малости апертуры в данном случае соответствует критерию разрешения
Аббе. При правильном выборе апертуры Уолш транспарантов высокая точность восстановления достигается достаточно малым их числом:Л/ 11 —100, при этом их число определяется, в основном, геометрией задачи.
Как показали данные численные эксперименты, метод Уолш-анализа и восстановления волновых полей достаточно эффективен и может быть полезен для построения соответствующих оптоэлектронных систем. При этом, конечно, целесообразно использовать априорную информацию о качественной структуре поля.
Во второй главе рассматриваются ряд методов решения фазовой проблемы: восстановление фазы волнового поля по его известным амплитудным распределениям.
Одним из первых компьютерных алгоритмов, предложенных для решения задачи восстановления волнового фронта по известным амплитудным распределениям является алгоритм разработанный Гершбергом и Сэкстоном. Суть метода состоит в следующем.
Допустим, что исходное монохроматическое поле, несущее информацию о заданном объекте,было зарегистрировано в двух плоскостях: Е(х) = а(х) ехр[гр(х)]- в плоскости изображения и в(х) = А(х)ехр[гФ(х)]-в Фурье плоскости, х и х обозначают двумерные координаты точек во входной плоскости и плоскости Фурье соответственно. При регистрации получена информация о функциях а(х) и Л(х),а информация о фазовых множителях потеряна. Задача состоит в том, чтобы построить комплексную функцию Е(х) по ее заданному модулю а(х) и модулю фурье образа А(х). В качестве пробной функции бралась функция, модуль которой совпадал с заданным в плоскости изображения модулем а(х), а фазовый множитель ехр(г^) брался произвольным, например, он строился с помощью генератора случайных чисел. Для первой итерации строилось преобразование Фурье Руо = Ао(х)ехр[гФо(£)], затем у полученной функции модуль Ао(£) заменялся на правильный т.е. на А(х). а фаза сохранялась. Таким образом на первой итерации получают функцию в Фурье плоскости
Уо(£) = А(х) ехр(гФо(г)), что можно представить также в операторном виде
Затем выполнялось обратное преобразование Фурье и снова исправлялся модуль функции, при этом получалась функция в плоскости изображения в первом приближении
На следующем шаге выполнялись такие же преобразования. Всю итерационную процедуру можно представить следующими рекуррентными соотношениями:
Уп+1 = а • (|#-1Уп|)-1Р"1уп. Если процесс оказывается сходящимся, то функция у, получающаяся в качестве предела итераций, есть у = Ьшп-,» у„ . Во многих случаях процесс действительно сходился, и функция с хорошей точностью совпадала с исходным комплексным полем. Однако, ни существования решения ни его единственность не гарантируется. Тем не менее, многочисленные удачи в численном эксперименте привели к тому, что алгоритм стали широко использовать другие авторы. Более того, алгоритм Гершберга-Сзкстона стали применять к несколько иным задачам, возникли его многочисленные модификации, обусловленные как измененной постановкой задачи так я стремлением ускорить численную процедуру. Здесь прежде всего следует упомянуть задачу восстановления неотрицательной функции по заданному модулю ее Фурье -спектра и задачу для двумерных нефакторизуемых функций.
Следует отметить, что алгоритм Гершберга -Сэкстона, несмотря на его простоту и удивительную устойчивость, требует знания все же двух распределений интенсивности. Причем точность восстановления фазы разумеется определяется и точностью измерений интенсивности светового доля в предметной и Фурье плоскостях. При реальных измерениях этих функций возникает необходимость учитывать еще и искажения, вносимые самой оптической системой, осуществляющей Фурье преобразование.
Предложенный и развитый нами в работе алгоритм основан на использовании только одного распределения- пространственного распределения амплитуды волнового поля в Фурье плоскости, т.е. знания только одной функции А(х). Основная идея алгоритма основана на эффекте обращения волнового фронта. Алгоритм состоит из следующих шагов:
1. Вычисляется Фурье-преобразование некоторого исходного приближения объекта. В качестве такового приближения выбирается произвольная затравочная функция с комплексной амплитудой
У1 = а^х) ехр[г<р(х)],
над которой, как и в методе Гершберга-Сзкстона выполняется преобразование Фурье
У-! = Р У1 = А1(х)ехр[г'Ф(г)].
2. Модуль функции умножается на /0 = А2, а ее фаза обращается, т.е. умножается на —1. Символически эту операцию можно записать в виде:
¿У! = ¿Л^г^ехр(г'Ф) = /оЛ1(г)ехр[-гф1(г)],
так что действие оператора Ь на произвольную функцию сводится к умножению модуля функции на 1о и обращению ее фазы.
3. Над полученной функцией вновь выполняется Фурье преобразование, в результате чего получаем функцию У2(£) для создания следующего приближения.
Таким образом, функция уп на п шаге связана с функцией ¡/„_1 следующим соотношением:
у„ = рр'ьру^,
где Р -коэффициент усиления. (Следует отметить,что поскольку /о = .Ад < 1, то в итерационный процесс следует включить усиление.) В соответствии с изложенным алгоритмом проводились численные расчеты на ЭВМ. Значение /3 подбиралось экспериментально, исходя из конкретного вида затравочного и исходного полей, после анализа результатов счета на 1-й и 2-й итерациях. Разумеется величина ¡3 зависит от вида объектного поля (от функции /0(а;)), а также и от затравочной функции.
Как показали результаты численного счета, последовательность функций у„, построенная по предложенному алгоритму, сходится. Как обычно, мерой или критерием близости функций уп к правильному или исходному объектному полю уо бралась абсолютная величина ее проекции
на правильное поле, т.е. величина
т =
скорость сходимости последовательности функций у„ определялась величиной
Как показали численные эксперименты, предложенный алгоритм обеспечивает достаточно быструю сходимость и достаточную точность восстановления фазы, приемлемую для широкого класса задач адаптивной коррекции лазерного излучения с заданным волновым фронтом.
В диссертационной работе был выполнен численный эксперимент на устойчивость алгоритма к шумам. Поскольку единственная информация об исходном поле есть измеренная интенсивность волнового поля в фурье плоскости, то наиболее критичным моментом алгоритма есть сама точность измерения величины /о. Для испытания алгоритма на устойчивость проводились эксперименты по восстановлению полей с зашумлен-ными транспарантами и, для сравнения с точными транспарантами. При расчетах фазовые функции ограничивались в интервалах [ — тг/2, т/2]. Для получения эффекта аддитивного шума значение амплитуды в каждой рассматриваемой точке транспаранта изменялись на основе равномерного случайного распределения с максимальным уровнем помех до 20%,(т.е. отношение сигнал/шум не превышало 20%). Все остальные параметры при восстановлении волнового фронта с использованием зашум-ленного транспаранта оставались такими же, как и для точного транспаранта. При моделировании использовалось разбиение интервала определения волновой функции на 128 точек. Проводились так же эксперименты по увеличению числа точек вплоть до 2048 и зависимость качества восстановления от числа точек. Разумеется с ростом числа точек точность восстановления возрастает, хотя это и приводит к резкому увеличению времени счета и усложнению обработки результатов. В результате многочисленных численных экспериментов было установлено , что для всех
практически интересных случаев число точек разбиения равное 128 является наиболее оптимальным. Кроме того, были проведены численные эксперименты по исследованию влияния различных затравочных функций на качество восстановления.Как показали такие эксперименты существенного влияния на качество восстановления и скорость сходимость вид затравочных функций не оказывает.
Предложенный алгоритм исследовался на порог устойчивости к шумам. Именно, при каком отношении сигнал/шум последовательность функций расходится. В результате численных экспериментов с различного рода затравочными и исходными функциями было установлено, что алгоритм теряет устойчивость при превышении 20% отношения сигнал/шум. При численном моделировании использовался пакет программ Фурье-РАБТ и программы, моделирующие случайные процессы-1ШЕ31М. Все прикладное обеспечение написано на языке ФОРТРАН77.
Метод фазовых шагов или квазигетеродинный метод является достаточно важным открытием в области автоматического анализа интерферо-грамм. В этом методе с помощью телекамеры, соединенной с компьютером, регистрируется ряд пространственных распределений интенсивности, а затем компьютер вычисляет пространственное распределение фазы
Оптическая схема, реализующая этот метод может быть собрана на базе интерферометра Тваймана-Грина. Этот интерферометр адаптирован для метода фазовых шагов установкой отражающего зеркала на контролируемый компьютером пьеза-электрический держатель, который позволяет осуществлять сдвиг зеркала на точно заданное расстояние. В другом плече интерферометра установлен исследуемый образец, поверхность которого обладает достаточным коэффициентом отражения. На вход подается расширенный параллельный лазерный пучок, обладающий достаточной степенью когерентности. В ходе измерения первая ин-терферограмма регистрируются телевизионной камерой, оцифровывается и вводится в память компьютера. Затем фаза, отраженного от зеркала пучка, изменяется на 2тг/к (здесь к- число шагов) в результате того, что подвижное зеркало смещается на расстояние равное А/2к. Затем уже вторая интерферограмма регистрируется, оцифровывается и вводится в память компьютера. Этот процесс повторяется пока подвижное зеркало не совершит (к-1) одинаковых перемещений и к пространственных рас-
пределений интенсивности не будут зафиксированы и введены в компьютер. Таким образом для каждой точки плоскости регистрации мы имеем к значений интенсивности. Для вычисления фазы <р(х, у) в каждой точке (х,у) должны быть вычислены коэффициенты ряда Фурье сц(х.у) и
<*Л*,У)= Е 1м{х,у)со*(*¥) ,/31(х,у) = Е 1ф,у)*т№!), Ы=0 4 ' N-0 у '
где /лг(г, у) интенсивность в точке (х, у) иитерферограммы с номером N. Тогда фаза в этой точке вычисляется следующим образом:
<р(х,у) = агЫд{(31(х,у)/а1(х,у)}.
К достоинствам этого метода следует отнести однозначное разрешение вогнутых и выпуклых особенностей поверхности и очень высокую точность измерения фазы. В настоящее время существуют различные модификации этого метода, в частности, разработан метод вычисления фазы для случая неодинаковых фазовых шагов. Следует отметить, что существенным недостатком метода фазовых шагов является то обстоятельство, что он применим только для исследования отражающих поверхностей.
В диссертационной работе на основе фазово-коятрастного метода Церни-ке развит модифицированный метод фазовых шагов, в котором сочетаются достоинства того и другого метода. Предлагаемый метод применим для фазовых объектов произвольного вида. В отличие от классического метода фазовых шагов в данном методе внешнее дополнительное волновое поле отсутствует, а распределение интенсивности на выходе оптической системы обусловлено интерференцией нулевой пространственной частоты (как в методе Цернике) и остального волнового поля. Изменяя фазу нулевой пространственной частоты с помощью управляемого фильтра в Фурье плоскости, на выходе оптической системы получают несколько распределений интенсивности, по которым вычисляется пространственное распределение фазы. Пусть,например, измерено четыре распределения интенсивности: 1о = |а(г, у)\г.11 = Ь2,
/2 = \а(х,у)\7 + 2Ь2 + 2а(х,у)Ъ[йпч>(х,у) -со8(г,у)],
/3 = \а(х,у)\2 + 262 - 2а(х,у)Ь[51П<р(х,у) + соз(г,у)],
где 10(х.у) - интенсивность нефильтрованного изображения, 1у интенсивность нулевой пространственной частоты, 1г(ху) и 1з(х, у) - интенсивности соответствующие сдвигу фазы на 7г/2 и на -тг/2 соответственно. Все пространственные распределения /¡(ж,у) вводятся в ЭВМ для последующей обработки, после чего можно записать явное выражение для фазы <р(х, у) :
< ч , Ых'у)-Ых,у)
<р{х,у) = аг^д-
210(х, у) + 4/, - 12(х, у) - Цх,у)'
С практической точки зрения представляется интересным случай, когда величина а « 1. В этом случае соз(<р — ф — а) — соз(<р — ф) = a sin(y — ф) и выражение для интенсивности принимает вид:
1(х,у,ос) = а2 + 2abasiv.(<p — ф).
Так как 1(х, у, а= 0) = I0(x,y) = а2, б2 = Л и при малых а [/(ж, у, а) — 1(х,у,а = 0)]/а = (d/da)I(x,y,a), то последнее выражение принимает вид:
sm р(а,у) = - , г-
В этом случае фаза в каждой точке (х, у) определяется только величиной производной интенсивности по а и от величины а не зависит. Это обстоятельство может быть использовано для упрощения вычислений функции if(x, у) так как в этом случае нет необходимости точно контролировать величину а (достаточно лишь только чтобы величина «была достаточно мала). Как легко видеть из выражения функция 1(х,у,а) описывает голограмму Габора, для которой аехр[г<р(х, у)] - предметное поле и )х:хр[гф}~ опорная волна. Это вполне естественно, так как разность двух интенсив-ностей содержит информацию о пространственном распределении фазы и является своеобразной полной записью волнового фронта т.е. голограммой.
В работе исследована устойчивость предлагаемого метода, а так же точность восстановления фазы в зависимости от вида и уровня шумов.
Во второй главе также рассматривается и развивается сравнительно новое направление в физической оптике и оптико-физических измерениях, в
которой комплексная функция когерентности используется как основной информативный параметр для исследования в основном, фазовых объектов.
Как известно, функция когерентности подчиняется волновому уравнению, что в принципе позволяет рассчитывать на построение аналогов тех разделов физической оптики и оптико-физических измерений, в которых проявляется волновая природа света, а информативными параметрами являются модуль и фаза комплексной функции временной и пространственной когерентности. Использование свойств распространения частично когерентного излучения позволяет разработать методы, которые также как и классические шлирен-методы и теневые методы, дают возможность определять пространственные характеристики показателя преломления прозрачной среды, в частности, величины первой и второй производной показателя преломления .
В основе данного метода лежит регистрация на голограмму области суперпозиции двух пучков, полученных, например, делением по амплитуде частично когерентного излучения . Принципиальная оптическая схема регистрации голограммы оптической неоднородности показана на Рис.2. Протяженный квазимонохроматический источник 1 диаметром 2р (например, вращающееся матовое стекло, освещенное лазерным излучением ) освещает дифракционную решетку 2 и непрозрачный экран 3, отсекающий прошедшее мимо излучение. Дифракционная решетка обьективом 4 отображается в положение 3' таким образом, что используются только плюс-минус первые порядки дифракции, а остальные задерживаются непрозрачным экраном 5. Прозрачный фазовый объект 6 вводится в один из первых порядков дифракции, а образованная ими интерференционная картина регистрируется на фотопластинку 7 как голограмма этого объекта.
В работе рассматривался случай как монохроматического так и немонохроматическое освещения обьекта. Известно,что глубина модуляции ин-тенсивности(видность полос) в интерференционной картине, образованной двумя пучками равной интенсивности, равна модулю их когерентности. С другой стороны, чем больше глубина модуляции, тем больше амплитуда дифрагированной на голограмме волаы на стадии ее восстановления. Таким образом, интенсивность волнового поля, восстановленного записанной в плоскости регистрации голограммой, будет пропорциональ-
Рис. 2: Оптическая схема регистрации голограммы оптической неоднородности в частично-когерентном излучении
,2 _ |2Л ¡2
на квадрату нормированной функции пространственной когерентности Цг) = |712(*)|2 = 1о■
Так для однородного монохроматического источника в виде круга радиусом р имеем:
7»М1' = !* . .
V
где V = —-^-,.¡¡(1))- функция Бесселя первого рода, Л- длина волны излучения. Величина \2JlJv\1 монотонно убывает от значения, равного 1 при V = 0 до нуля при V = 3.83 тем самым определяя область когерентности, характеризуемую радиусом:
3.83 \Ь „ „ А£
= ---= 0.61—р.
2 -к р
Таким образом, если плоскости регистрации микроструктуры обоих пучков полностью совмещены, то степень когерентности |71г(г)|2 = 1. Введение в один из пучков объекта, в котором имеются области с градиентами показателя преломления, приводит к угловому смещению лучей, прошедших через данные области, на величину
дп\ „ А
2тггео
где а - набег фазы. Соответственно линейное смещение с плоскости регистратора будет:
г га /а,
где /-расстояние от объекта до плоскости голограммы равное 2/. Пусть максимальный угол рефракции будет таким, чтобы максимальное смещение было равно радиусу области когерентности т.е. Это всегда можно сделать, имея априорную информацию о максимальных градиентах показателя преломления исследуемого объекта и подбирая угловые размеры источника , которые, соответственно, и определяют величину максимального угла а. Тогда интенсивность восстановленного изображения, то есть реально измеряемая в экспериментах величина, является функцией углового отклонения (и соответственно градиента показателя преломления):
Ы^й-Ьа) 2
а _ _1_ Г Зп\ л__А_ &Л
п0' \дх ду) 2яп0 \дх ду )
/(а) =
•/о,
или поскольку а = (О, 61А\/)£) , то последнее равенство принимает вид:
7(а) =
•/о-
2Л(3.83а/апиц[) (З.ВЗа/а^)
В этом выражении величина (2тгр/\Ь) описывает полный диапазон углов, даваемых источником в пределах области когерентности на расстоянии £ от него, т.е.полный диапазон пространственных частот. В работе исследовано также освещение фазового обьекта квазимонохроматическим светом точечного источника. В этом случае роль информативного параметра играет временная функция когерентности. Получены соотношения, определяющие разрешающую способность и точность восстановления профиля фазового обьекта.
Третья глава посвящена методам адаптивной коррекции фазы. Рассмотрена адаптивная оптическая система с датчиком волнового фронта, работа которого основана на способе Уолш-анализа волнового поля. Анализатор и корректор представляют собой однотипные поршневые зеркала, которые управляются от одного генератора функций Уолша. По- существу, анализатор фазы представляет собой, рассмотренный в первой главе, фазовый транспарант с функциями пропускания соответствующими Функциям Уолша.
Процесс коррекции фазы состоит в следующем. Пусть на корректор и модулятор фазы поступает оптический сигнал вида:= Лехргро(я), где <ро(х) - некоторое возмущение фазы, которое необходимо устранить. Если на модуляторе сформирована функция Уолша номера п - 1№а1„(г) , то после отражения от модулятора комплексная амплитуда сигнала будет: Ёг — ^-[1 ± шг[{х)\Е\. Поскольку фазовыми транспарантами измеряется мнимая часть поля, то в запоминающее устройство системы управления корректора записывается массив коэффициентов разложения {?*„} м
функции 1гпЕ1 = ¡т<р(х) й £ Г„ ига1п(х), где М - максимальное число о
функций Уолша, которое может быть создано на модуляторе. Теперь с
помощью ЭВМ, входящей в систему управления корректора, вычисляет-
м
ся приближенное значение фазы <р = агсгт £ Тп ша]„(г) и коэффициенты
о
разложения функции по функциям Уолша:
с' = У №а1„(х)^1(х)<гх.
Затем на корректоре формируется профиль компенсирующий пер-
вое приближение коррекции:
Л м
=1»>а1п(*)
Описанная процедура является первым циклом коррекции. На втором цикле поле Е2 = Лехр(г^0 — ¥>1) вновь подается на анализатор и затем формируется аналогичным образом новое приближение фазы. Для оценки качества коррекции фазы рассматривались следующие критерии:
3„ = J |^>„(г))2(У |^„(2)|2)_1-интегральный критерий
и
^ м
Ап = — ^ <Рп(х{) - поточечный критерий, ™ ¡=1
где п- номер итерации, М- число субапертур, 1 - точки деления на субапертуры. Признаком сходимости считалось равенство нулю разностного интегрального критерия
_ 1(<Рп -у„-1)11<1х
I
Бели процесс сходился на некоторой N0- ой итерации (Зп = 0), то порядок малости интегрального критерия всего процесса коррекции определялся величиной /¿: = Ю-''0. Численный эксперимент показал, что скорость сходимости итерационного процесса составляет 3-6 итераций, причем эта скорость мало зависит от числа субапертур. Р азу моется увеличение числа субапертур существенно повышает качество коррекции фазы. Для широкого класса функций оптимальным представляется выбор 16 субапертур. Также исследовалось влияние случайных искажений в определении коэффициентов разложения в ряд по функциям Уолша, вызванных неточностью
Существенное повышение быстродействия адаптивной системы может быть достигнуто путем применения адаптивного зеркала с оптическим управлением, рассмотренным также в третьей главе . Принцип действия такого зеркала состоит в следующем. Пусть на поверхности зеркала
имеется тонкии слой вещества с переменным показателем преломления п(х, у) = п-о + Ап(х,у). Здесь п0 и Дп - соответственно постоянная и переменная (управляемая внешней подсветкой) составляющие показателя преломления. Тогда, меняя нужным образом в плоскости зеркала (х, у) величину Ап, можно управлять фазой,а значит и волновым фронтом отраженной от зеркала волны. После двукратного прохождения волны через такой слой в нее вносится дополнительная неоднородная фазовая задержка А<р{х,у) = 2(ш/с)/Дгг,(х, у). Здесь ¿-толщина слоя частота излучения. В качестве покрытия с управляемым показателем преломления используется полупроводниковый кристалл с хорошо выраженной экситонной структурой, например, кристалл СЛТ. Дело в том, что размер свободного экситона в десятки раз превышает постоянную решетки, в силу этого вклад экситонного механизма в показатель преломления весьма значителен, особенно вблизи резонанса. При этом, конечно, показатель преломления такого кристалла существенно зависит от концентрации экситонов. В свою очередь концентрацией экситонов можно управлять внешней управляющей засветкой травспаранта, создавая таким образом заданный профиль показателя преломления по поверхности зеркала-транспаранта.
Качественно вклад экситонов в изменение диэлектрической восприимчивости х на частоте и> можно описать выражением:
* ~~ Ни '
где <1 ~ егех- дипольный момент экситонов, ге1 — радиус экситона, определяемый энергией связи е^ = е2/етгех , ег - статическая диэлектрическая проницаемость решетки. Если О - темп генерации экситонов, а их время жизни, то N = СТг и последнее выражение принимает вид:
-я (ЕгСтЛ 1
е° / см3с
Пусть для определенности экситоны создаются фотогенерацией. В этом
случае последнее выражение можно записать в более удобном виде
X =1,1 = О/а,
где а -коэффициент межзонного поглощения света. (Если принять а = 10 см-1, то величина I ~ 1023 квант/см2с.) Тогда для коэффициента преломления п имеем:
+ 4*1/1 «п, +
При пг ~ 2 -г 3 и величине / ~ 1022 кв/см2с (такой поток квантов дает нефокусированный луч от азотного лазера, излучение которого вызывает фотогонерацию экситонов), получаем:
Дге 2тг I
-— = — =~0.1
пг пг 1
Следует отметить, что последняя формула имеет ограниченную область применимости. Именно: величина С ~1028 соответствует концентрации экситонов N ~ (ЗГ1 = 1017см~3. При концентрации экситонов много большей N происходит генерация электромагнитного излучения на Р-линии. При этом время Т\ определяется более сложными процессами: столкновениями между экситонами. В силу изложенного, плотность потока управляющего излучения нецелесообразно брать больше и поэтому относительное изменение не может быть больше Ю-1 (за счет указанного механизма). Таким образом, экситонный механизм преломления света в кристаллах может быть положен в основу работы целого ряда оптических устройств таких, например, как адаптивные зеркала, линзы, дефлекторы, и т.п. Эго связано прежде всего с тем, что дипольный момент экситона на два или три порядка больше характерных атомных дипольных моментов. Поэтому вклад эхситонного механизма в коэффициент преломления света с длиной волны порядка 10 мкм может быть достаточно велик. В работе проведен анализ волнового фронта формируемого таким оптически управляемым корректором.
В заключении подведены итоги диссертационной работы и проанализированы основные ее результаты.
Основные результаты и выводы
Подводя итоги диссертационной работы, можно кратко сформулировать полученные результаты следующим образом:
1. Предложен и исследован Уолш- анализ и синтез волновых полей, основанный на разложении поля по системе ортогональных Уолш-транспарантов. Предложенный метод может найти применение для построения адаптивных оптических систем, а также в системах оптической обработки информации.
2. Проведено численное моделирование адаптивной оптической системы, основанной на данном способе анализа волнового фронта. Исследована точность коррекции фазы в зависимости от числа циклов коррекции и точности позиционирования поршневых зеркал корректора и модулятора.
3. Предложен итерационный алгоритм восстановления фазы по известному амплитудному распределению. Для данного алгоритма численным моделированием исследовано в влияние шумов различной природы на точность восстановления фазы, а также пороговое значение шума, при котором алгоритм теряет устойчивость.
4. Разработан модифицированный алгоритм фазовых шагов для анализа волнового фронта. Алгоритм основан на обработке нескольких распределений интенсивности оптического сигнала, полученных после фильтрации волнового поля в Фурье плоскости. Проведенные численные эксперименты по проверке устойчивости данного алгоритма при наличии шумов различной природы показали, что алгоритм обладает достаточной для практического применения устойчивостью.
5. Метод фазовых шагов исследован для случая частично когерентного света, что позволяет избежать образование спекл шума и соответственно значительно точность восстановления фазы.
6. Предложен и разработан метод исследования фазовых обьектов, в котором информативным параметром является функция пространственной и временной когерентности, значительлно расширяющий
возможности интерференционных измерений в видимом участке оптического спектра.
7. Предложен оптически управляемый корректор волнового фронта, позволяющий повысить быстродействие адаптивной оптической системы.
Представленный цикл исследований лежит в русле одного из перспективных направлений современной оптики- анализ и коррекция волнового фронта. Полученные в работе результаты, на наш взгляд, могут найти применение для построения быстродействующих адаптивных оптических систем, систем оптической обработки информации, а также для исследования фазовых обьектов.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах:
1. Н.Н.Дмитриев, С.Г.Каленков, Г.И. Соломахо. Способ спектрального анализа и голографической регистрации волновых полей.-Авт.свид. 1202425 от 1.09.1985г.
2. Н.Н.Дмитриев, С.Г.Каленков, Г.И. Соломахо. Уолш анализ волновых полей.- В сб. Физические и прикладные вопросы голографии.-Ленивград,изд. ФТИД984, с. 19-26
3. Н.Н.Дмитриев, С.Г.Каленков, Г.И. Соломахо. Регистрация и синтез голограмм ортогональными транспарантами.- Автометрия, 1987, 2,с. 24-28
4. С.Г.Каленков, А.М.Смолович, Г.И.Соломахо. О точности записи и восстановления волновых полей ортогональными транспарантами.-В сб.Голография: теоретические и прикладные вопросы, Л.,1988г, с. 4-14
5. Н.Н.Дмитриев, С.Г.Каленков, Г.И. Соломахо. О возможности регистрации волновых полей с помощью ортогональных транспарантов.-Лазерная интерферометрия. Междуведомственный сборник научных трудов, МФТИ, М.,1989
6. С.Г.Каленков, Е.А.Чинаева. Коррекция фазы адаптивной оптической системой.- Оптические поля и оптические методы обработки
информации. Междуведомственный сборник научных трудов, МФТИ, М.,1991,с.45-66
7. С.Г.Каленков, И.А.Сидоров. Об алгоритме восстановление комплексного светового поля по единственному распределению интенсивности.-Лазерная интерферометрия. Междуведомственный сборник научных трудов. МФТИ, М., 1989, с.19-25
8. С.Г.Каленков, И.А.Сидоров. Алгоритм восстановления комплексного светового поля по единственному распределению интенсивности.-Голография: проблемы теории и практики.Сб. научных статей АН СССР, Л., 1990, с. 41-47
9. С.Г.Каленков, И.А.Сидоров. Об алгоритме восстановления комплексного светового поля по единственному распределению интенсивности в условиях аддитивных шумов.-Голография:проблемы теории и практики. Сб. научных статей АН СССР, Л.,1991 с.123-130
10. С.Г.Каленков, И.А.Сидоров. Применение алгоритма восстановления комплексного светового поля по единственному распределению интенсивности в условиях аддитивных шумов.-В сб. научных статей ВНИИПТУГ, М.,1991 с. 21-29
11. В.П.Андреев, В.В.Давыдов, С.Г.Каленков, М.Н.Крымский, Т.В.Мосина. Адаптивная оптическая система,- Авт. свид. 191545 от 02.08.1983
12. Г.К.Власов, С.Г.Каленков. Источники когерентного излучения на горячих экситонах в кристаллах CdS.-Internation Jemal of Infrared and millimeter waves. vol4, part 6, 1983
13. Г.К.Власов, С.Г.Каленков, Л.Д.Сагинов. Спектры длинноволнового инфракрасного излучения кристаллов CdS при оптическом возбуждении.-В кн. Спектроскопия молекул и кристаллов. 6 Республиканская школа- семинар.Киев, Наука. 1980
14. Г.К.Власов, С.Г.Каленков, А.А.Фомичев, М.А. Якшин. Способ возбуждения стимулированного субмиллиметрового излучения.- Авт. св. 1077098 от 08.11.1983
15. И.А.Горн, С.Г.Каленков, Э.Н. Муравьев, В.Ф.Харсика. Природа субмиллиметрового излучения кристаллов CdS при возбуждении их пучком электронов,- Неорганические материалы, РАН, т.32,9, 1996, с.1061-1065
16. Н.Г.Власов, С.Г.Каленков, А.В.Сажин. О фотографировании фазовых объектов.-Журнал научной и прикладной фотографии, М.,т.40, 2,1995, с.47-48
17. Н.Г.Власов, С.Г.Каленков, А.В.Сажин. Решение фазовой проблемы на основе модифицированного метода фазовых шагов.- Голография: теоретические и прикладные вопросы. МФТИ, Физический институт им П.Н.Лебедева РАН, М., 1995
18. Н.Г.Власов, С.Г.Каленков, А.В.Сажин.О решении фазовой задачи. Препринт 1 ВНИИОФИ, МГТУ "Станкин", Москва, 1995
19. N.G.Vlasov, S.G. Kalenkov, A.V.Sazhin. Solution of the phase problem by means of the modified method of the phase steps.- Laser Physics, 1996,v 6, 2, p 401-403
20. Н.Г.Власов, С.Г.Каленков. Исследования фазовых объектов в частично когерентном свете.-Препринт 1, ВНИИОФИ, Москва, 1998
Ъ/<Г9<Г?>
МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИИ ИНСТИТУТ
правах рукописи 353.4:519.711
КАЛЕНКОВ Сергей Геннадьевич
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ АНАЛИЗА И КОРРЕКЦИИ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
Специальность 01.04.04-Физическая электроника
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва -1998
Содержание
Введение 3
1 Уолш анализ волновых полей 26
1.1 Метод спектрального анализа волновых полей .... 26
1.2 Функции Уолша..........................................34
1.3 Ортогональные транспаранты Уолша..................43
1.4 О точности восстановления волнового фронта ортогональными транспарантами............................46
2 Восстановление волнового фронта по распределениям интенсивности 66
2.1 Итерационный алгоритм восстановления фазы .... 66
2.2 Модифицированный метод фазовых шагов............77
2.3 Функция когерентности как информативный параметр при исследовании фазовых объектов ......100
3 Адаптивная коррекция фазы 122
3.1 Адаптивная система...................122
3.2 Оптически управляемый корректор волнового фронта 140 Библиография
Введение
В когерентной оптике пространственное распределение амплитуды изображения (или модуляция интенсивности)-лишь одна из форм кодирования информации. Фаза светового поля, поляризация и функция когерентности являются также ценными информативными параметрами. С внедрением в современную оптику персональных компьютеров, которые, по-существу, стали частью самой оптической системы, появились новые возможности использовать эти параметры для целого ряда практических применений.
В настоящее время определился круг задач, связанных с необходимостью пространственной модуляцией фазы. Прежде всего -это задачи компенсации фазовых искажении, возникающих в когерентных оптических системах. Так, например, при распространении лазерного излучения в неоднородной среде волновой фронт испытывает заметные искажения. При этом, в одних случаях источником искажений является активная среда самого лазера (например, в мощных газодинамических лазерах), а в других - оптический промежуток между излучателем и приемником. Исправить подобного рода искажения можно лишь путем коррекции фазы светового
поля с помощью соответствующей адаптивной оптической системы.
По-видимому, наиболее ранние исследования по практическим применениям адаптивных систем такого рода приведены в обзорах [1, 2]. Так, в [1] рассмотрена адаптивная система, в которой первоначально плоская волна проходит через неоднородную атмосферу и попадает на точечную мишень, которая является источником сферических волн. После двухкратного прохождения через атмосферу исходная волна заметно искажается. Искажения волнового фронта измеряются гетеродинным приемником. С помощью оптической системы с обратной связью сигнал с детекторов, пропорциональный фазе искаженной волны, подается на фазовращатели, выполненные на ячейках Брэгга. Эти фазовращатели формируют волну, сопряженную искаженной волне. В этом случае после очередного прохождения через атмосферу переизлученная волна будет сферически сходящейся на точечной мишени. Это справедливо только в том случае, когда характерные времена атмосферных аберраций много больше времени прохождения излучения через атмосферу до мишени и обратно, а также времени обработки информации о фазе волны.
В силу этого быстродействие анализатора волнового фронта и его точность решающим образом влияет на работу адаптивной системы. Разумеется, не менее важным элементом в системах управления волновым фронтом является сам корректор волнового фронта.
В настоящее время известны системы коррекции волнового фронта, в которых деформируемое зеркало изготавливают в виде единой непрерывной листовой охлаждаемой поверхности, что чрезвычайно важно при работе на высоких уровнях мощности лазерного излучения. Для таких систем характерны плавные изменения геометрии поверхности корректора, адекватные искажениям волнового фронта. При этом, они могут работать с одновременной синусоидальной модуляцией несущих частот всех приводов зеркала. Для любой корректирующей волновой фронт системы с деформируемыми зеркалами представляет интерес следующие три величины:
1. Ма -число приводов,
2. максимальное смещение фазы- Ду?тах>
3. ширина полосы- Д/.
Значения всех этих трех величин определяются природой фазовых аберраций подлежащих коррекции. Другой круг задач, связанный
с анализом и коррекцией фазового фронта электромагнитного излучения, связан с лазерной техникой. Хорошо известно, что неоднородность активной среды внутри лазерного резонатора приводит к существенному снижению мощности выходного излучения. Одновременно происходит и резкое снижение направленности генерируемого лазерного излучения. В результате его угловая расходимость на порядок и более превышает дифракционный предел. В последние годы интенсивно разрабатываются методы активного
влияния на процессы лазерной генерации,связанные, в частности, с обращением волнового фронта (ОВФ) на глухом зеркале резонатора. Развивающиеся на неоднородностях активной среды искажения волнового фронта в условиях ОВФ компенсируются при обратном проходе резонатора. Применение вместо обычного зеркала рефлектора типа "кошачий глаз" не дает, как правило, компенсации фазовых искажений. В этом смысле такая система, разумеется, не может конкурировать с методом ОВФ.
В последние годы было обнаружено, что ОВФ возникает в целом ряде нелинейных процессов, например, при вынужденном рассеянии Манделыптама-Бриллюэна, трехволновом взаимодействии в средах без центра симметрии , а также при вырожденном четырех-волновом взаимодействии. Свойства резонаторов лазеров с ОВФ зеркалами обсуждались в целом ряде работ. Так, о первом эксперименте с лазером, имеющим ОВФ-зеркало, сообщалось в работе [3]. Теория ОВФ-резонаторов была впервые рассмотрена в работах отечественных [4, 5, 6], а также зарубежных [7, 8, 9, 10, 11] авторов. Следует особо отметить важное преимущество использования ОВФ для формирования лазерных пучков по сравнению с вышеупомянутыми линейными адаптивными системами. При использовании ОВФ в системе отсутствуют такие элементы, как корректор и анализатор волнового фронта. В силу этого такие системы обладают высоким разрешением и малым временем реакции, недостижимым с помощью адаптивных устройств линейного типа.
Вместе с тем операция ОВФ зачастую не оптимальна с точки зрения необходимой компенсации неоднородностей и, кроме того, что самое главное, соответствующие устройства сложны в реализации и в некоторых случаях не обеспечивают возможность необходимой коррекции искажений. В силу этого, развитие техники ОВФ не исключает применение традиционных управляемых оптических элементов в системах коррекции лазерного излучения.
Внедрение современных компьютеров в адаптивную оптику привело к тому, что сам компьютер, работающий в режиме реального времени, стал неотъемлемой частью адаптивной системы. Это накладывает определенные требования на аппаратурную реализацию методов и средств анализа волнового фронта: она должна быть совместимой с соответствующими вычислительными методами. В--следствие этого разработка методов анализа волнового фронта и математическое моделирование соответствующих им анализаторов волнового фронта несомненно является важной и актуальной задачей. Математический аппарат современной оптики существенным образом основан на Фурье разложении комплексных волновых полей по ортогональной системе гармонических функций. Разложение по гармоническим функциям является совершенно естественным уже только потому, что Фурье преобразование комплексной амплитуды волнового поля в оптике выполняется обыкновенной линзой. Однако во многих случаях гораздо эффективнее использовать преобразования полей по ортогональной системе
функций Уолша. В отличие от непрерывных гармоник, Функции Уолша представляют собой прямоугольные волны. Такие волны в последнее время получили большое распространение в теории связи и все больше и больше применяются в современной оптике. Наряду с развитием теоретических исследований, посвященны рядам Уолша, за последние годы резко возросло число работ, связанных с применением функций Уолша в вычислительной математике, теории кодирования, и цифровой обработке сигналов. К настоящему времени теория Уолш- анализа сигналов в технике связи и оптике достаточно хорошо развита. Так, в результате использования алгоритма вычисления известного как быстрое преобразование Фурье время, необходимое для нахождения фурье образа; существенно уменьшается. Соответствующий алгоритм быстрого преобразования Уолша -Фурье был разработан Грином [12], а также в последующих работах [13, 14, 15, 16]
В первой главе работы предложен и исследован метод анализа и синтеза волновых полей по системе транспарантов, комплексные функции пропускания которых образуют набор ортогональных функций Уолша.
В разделе 1.1 рассматривается теория метода и приводятся основные формулы Уолш-анализа волновых полей. Комплексная амплитуда волнового поля представляется6 виде ряда по функциям Уолша. Функции пропускания ортогональных транспарантов
и Т^(Х), построенных на функциях Уолша, имеют вид:
<^1 1
5±(Х) = ^ [1 ± ^1т(х)], Г^(Х) = ^ [1 ± ^а1т(х)].
Разделы 1.2 и 1.3 посвящены свойствам функций Уолша и транспарантам на их основе. Поскольку функция ша1т(х) принимает лишь два значения ±1, то транспаранты Уолша являются бинарными фильтрами . Такие фильтры легко изготовляются, например, методами фотолитографии или на основе оптических биста-бильных устройств. Кроме того, отметим, что транспаранты вида - чисто амплитудные, а транспаранты Т^(Х) - чисто фазовые с пропусканием ехр(±г7г/4). Фазовые транспаранты Уолша могут быть реализованы на основе поршневого зеркала, содержащего 2Н субапертур.( В третьей главе диссертационной работы приведены исследования адаптивной системы с анализатором и корректором волнового фронта на основе такого транспаранта.)
В диссертационной работе исследована возможность синтеза волнового поля по найденному спектру {ст} чисто оптическим способом. Рассмотрим для простоты среду для записи с линейным откликом по экспозиции, например, идеальная фотопластинка, почернение которой пропорционально интенсивности света во всем необходимом диапазоне экспозиций. С помощью соответствующей оптики спроецируем уменьшенное или увеличенное геометрическое изображение транспаранта на фотопластинку так , чтобы распределение интенсивности на ней было пропорционально
где теперь х- координата в плоскости фотопластинки. Тогда почернение ¿(х) фотопластинки и, соответственно, ее функция пропускания ¿(х) будет:
¿(х) - Р5£(х)
где Р = 1т -величина экспозиции, I- интенсивность записывающего света,г - время экспозиции. Мы учли, что бинарные Уолш транспаранты обладают очевидным свойством:
\ша1т{х)\" = гиа1т(х),
поэтому их функции пропускания по амплитуде совпадают с функцией пропускания по интенсивности. Будем брать величину экспозиции равной величине измеренного сигнала 5+, если пластинка экспонируется с транспарантом 5+(х). Соответственно, при экспонировании с транспарантом 5т(х) величина экспозиции Р выбирается равной . В результате двух таких экспозиций пропускание фотопластинки есть
Учитывая что 5+ ~ (е!))2|со + ст|2 и ~ (еВ)2\со — ст|2, получаем:
*(*)- Ы +1
| + с^Сп^а!
т (х) + к.с.
(к.е.- комплексно сопряженные слагаемые) Если на пластинку экспонировать указанным образом весь массив транспарантов, то функ-
ция пропускания станет равной
м
Ьм (х) = I + с$ £ ст\уа1т(х) + к.с.
т=(0,0)
м
Сумма £ стА¥а1т(х) -есть приближенное выражение функции
т=(0,0)
Е(х). В пределе при достаточно большом М , т.е. при достаточно большом числе экспозиций с транспарантами ¿'¿(х), 5^(х) функция пропускания будет равной
£ = I + с*0Е(х) + к.с.
Очевидно, что пластинку с функцией пропускания можно рассматривать, как обычную голограмму, записанную с опорной волной Ец = Сц и предметной волной Е(х).
Один из распространенных критериев точности восстановленного поля состоит в сравнении с единицей величины проекции J восстановленного поля Е на правильное (исходное) поле Е = а ехр(г^)
_ (Е'Ё) _ (Ёа ехр(—г<£>)) " рИИ172 " [{ЁЁ-)(а*)}1/2' Здесь угловые скобки означают усреднение по пространственной координате. Ясно, что чем ближе величина «/ к единице,тем меньше отличие восстановленного поля от исходного.
В разделе!..3 приведены результаты численного эксперимента по восстановлению методом Уолш- анализа комплексной амплитуды
поля. Точность восстановления исследовалась в зависимости от величины апертуры Уолш транспарантов и от их числа М. В качестве модельного было выбрано поле, формируемое плоской волной (в приближении Френеля), проходящей через две параллельные щели. Аналитический вид этого поля хорошо известен и достаточно прост, тем не менее это поле имеет достаточно сложную структуру, что делает его удобным как объект исследования. Для оценки результатов применялись также следующие интегральные критерии:
1. не содержащий фазовой информации "энергетический" крите-
2. зависящий от фазы нормировочный интеграл перекрытия </2
(Здесь Ец(х) -точное модельное поле и ¿(^-восстановленное поле.) При слишком малой апертуре рост числа М транспарантов практически не влияет на точность восстановления. Она остается низкой и по характеру распределения поля по апертуре, и по критериям Критерий малости апертуры в данном случае соответствует критерию разрешения Аббе. При правильном выборе апертуры Уолш транспарантов высокая точность восстановления
рий 3\
* / \Е$(х)\2 ¿х
$\Ё{х)? ¿х
¡Е0Ё*(х)йх
достигается достаточно малым их числом: М = 10 — 100, при этом их число определяется, в основном, геометрией задачи.
Во второй главе рассматриваются ряд методов решения фазовой проблемы: восстановление фазы волнового поля по его известным амплитудным распределениям.
Прямая задача в оптике заключается, как известно, в исследовании процесса распространения электромагнитного излучения по заданным источникам или рассеивателям. Соответственно, обратная задача в самой общей постановке состоит в нахождении характеристик источников или рассеивателей по данным регистрируемого излучения. Решение обратной задачи означает нахождение таких функций источников, которые бы соответствовали полученным исходным данным и согласовались с ..так называемой; априорной информацией, исходящей, например, из общих физических законов или из экспериментальных данных. Классификация и обзор обратных задач в оптике с современной точки зрения приводится, например, в [18]. Актуальность исследований, связанных с этой проблемой, несомненна, так как во многих областях науки и техники;таких как рентгеноструктурный анализ, теория рассеяния, астрономия, оптическая локация и целый класс интерферо-метрических задач, возникает проблема извлечения информации об объекте по его дифракционной картине, зарегистрированной в некоторой плоскости регистрации. Благодаря новым возможностям, появившимся в настоящее время в связи с развитием когерентной
и вычислительной оптики7в этой области достигнут значительный прогресс.
В сущности, физическая основа самой возможности восстановления волнового фронта (пространственного распределения фазы) связана с тем, что величины объектного и дифракционного полей связаны преобразованием Фурье. Поэтому комплексная амплитуда волнового поля в фурье-плоскости является аналитической функцией. При этом объектное поле можно рассматривать как некоторое граничное условие, влияющее на характер распространения комплексной амплитуды волнового поля. Как правило, относительно объектного поля можно указать некоторую априорную информацию, которая оказывается достаточной, для того чтобы установить класс функций,описывающих дифракционное волновое поле с однозначно взаимнозависимыми амплитудой и фазой. В разное время были предложены некоторые алгоритмы восстановления комплексной амплитуды и фазы объектного поля по его дифракционной картине. Это итерационные, рекурсивные алгоритмы;ис-пользующие амплитудно- фазовую связь,и другие.
Одним из первых методов, предложенных для решения задачи восстановления волнового фронта по известным амплитудным рас-пределениям,является алгоритм разработанный Гершбергом и Сэкс-тоном в работах [19, 20]. Алгоритм представляет собой определенный предельный итерационный процесс, для которого необходима информация об амплитуде объектного поля в двух плоскостях. Во
многих случаях процесс сходился, и в пределе функция уп с хорошей точностью совпадала с исходным комплексным полем. Однако ни существования решениями его единственность в общем случае не гарантируется. Тем не менее, многочисленные удачи в численном эксперименте приве�
