Решение задачи восстановления волнового фронта с помощью модифицированного метода фазовых шагов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ "СТАНКИН"

с

ОД

На правах рукописи УДК 535.853.4:519.711.3:681.3.068(043.3)

САЖЙН Антон Владимирович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВОЛНОВОГО ФРОНТА С ПОМОШЬЮ МОДИФИЦИРОВАННОГО МЕТОДА ФАЗОВЫХ ШАГОВ

Специальность 01.04.04. - Физическая электроника

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996

Работа выполнена в Московском Государственном Технологическом Университете "Станкин"

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, профессор Каленков С.Г. Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор Локшин Г.Р.

кандидат технических наук Немытко В.Е.

Ведущая организация: НПО "Астрофизика"

Защита состоится "14 " 14 ¡гОИЛ_19э/ г. в

// час. ВО мин, на заседании специализированного Совета К 063.42.05. в Московском государственном технологическом университете "Станкин" по адресу: Москва, Вадковский пер.,ЗА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ "Станкин".

Автореферат разослан ¡1" /у/? 9_\m6_v.

Учёный секретарь специализированного Совета Поляков Ю.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. За последние двадцать пять лет очень большое количество работ было посвящено проблеме восстановления фазы волнового фронта. Тем не менее эта тема остается актуальной и по сей день. Эта актуальность обусловлена важностью решения этой задачи для таких областей науки и техники как получение мощных лазерных пучков высокой направленности, наведение лазерного излучения на малые и удаленные объекты, эффективная передача изучения на эти объекты через реальные неоднородные трассы, динамическая коррекция волновых фронтов, управление диаграммой направленности излучения, восстановления изображений, томография и др. Информация, заключенная в восстановленной фазе волны, имеет достаточно важное значение для успешного решения задач распознавания образов. Такие проблемы встают при разработке систем наведения для высокоточного оружия и при создании приборов для проверки подлинности денежных знаков.

Современные методы исследований в оптики требуют наличия современных методов обработки электромагнитных полей на приемном оптическом устройстве. Восстановление фазы оптического волнового фронта по известным амплитудным распределениям позволяет использовать всю информацию, заключенную в поле волны, и таким образом более эффективно решать поставленные задачи.

Бурное развитие вычислительной техники и средств ввода оптических изображений дало новый импульс исследованиям в области восстановления фазы волнового фронта. Резкое повышение быстродействия и ресурсов памяти компьютеров позволяют произ-

водить сложные преобразования зарегистрированных распределений интенсивности практически в режиме реального времени. Кроме того, значительное снижение веса, энергопотребления и стоимости современных вычислительных систем и одновременный рост их отказоустойчивости привели к их широкому внедрению во все отрасли науки и техники. Это обстоятельство также значительно повысило интерес и расширило область практического применения компьютерных алгоритмов восстановления фазовой информации по известным распределениям интенсивности.

На практике, чрезвычайный интерес представляет вопрос о том, как работает тот или иной метод при наличии различных шумов и искажений, без которых невозможно себе представить ни один реально работающий прибор. Поэтому исследования, направленные на получение информации об ошибках и степени достоверности восстановления фазы волнового фронта при наложении посторонних шумов и искажений, являются на сегодня особенно важными и актуальными.

Цель работы заключается в разработке достаточно простого неиттерационного алгоритма восстановления фазы волнового фронта по нескольким распределениям интенсивности, полученным после пространственной фильтрации поля в Фурье плоскости и проверке устойчивости этого алгоритма при наличии ошибок регистрации амплитудых распределений и транспорантов для пространственной фильтрации.

Была поставлена задача численного моделирования оптической схемы и программной реализации предложенного алгоритма и с его помощью оценить влияние различного вида ошибок на точность восстановления фазы волнового фронта.

Методы исследования. При выводе уравнений использовались скалярная теория дифракции Френеля, методы Фурье-анализа. Математические модели оптической счемы представлены в безразмерной форме. Расчеты выполнены на ЭВМ АТ386. Программы написаны на алгоритмическом языке "Fortran-90". В программах использовалась стандартная подпрограмма быстрого дискретного Фурье-преобразования ( N.E.Brenner, MIT Lincoln Lab., for Math. Library R.E.Jones ).

Научная новизна заключается в методе и алгоритме восстановления фазы оптического поля, основанного на компьютерной обработке, нескольких зарегистрированных распределений интенсивности, полученным после пространственной фильтрации поля в Фурье плоскости. Этот метод является обобщением метода Церни-ке на гораздо более широкий класс волновых полей и широко использует идеологию метода фазовых шагов, активно применяемого для обработки и анализа интерферограмм.

Разработано прикладное алгоритмическое и программное обеспечение для математического моделирования и практического использования предложенного метода.

На основании большого количества численных экспериментов, сделаны выводы о высокой устойчивости данного метода к различным шумам, возникающим при регистрации распределений интенсивности и различным искажениям, которые возникают из-за неидеальности оптической схемы.

Даны численные оценки для точности восстановления фазы волнового фронта в зависимости от соотношения между сигналом и шумом при регистрации интенсивности волнового поля и типа регистрируемого волнового поля.

Практическая ценность работы заключается в построении крайне надежного и простого неиттерационного алгоритма восстановления фазы волнового фронта по нескольким распределениям интенсивности зафиксированным в одной плоскости после осуществления пространственной фильтрации в Фурье-плоскости. При решении фазовой проблемы вопрос устойчивости решения при наличии ошибок регистрации интенсивности является одним и самых основных. К настоящему времени разработано большое количество алгоритмов, которые используют более простые оптические схемы и требуют меньшего количества зарегистрированных распределений интенсивности. Однако для успешной реализации большинства из них требуется чрезвычайно высокая точность регистрации интенсивности световой волны и почти полное отсутствие собственных шумов регистрирующих приборов. Это обстоятельство накладывает существенные технические и экономические ограничения на область применения таких алгоритмов. Предложенный метод позволяет обойти эти трудности и существенно снижает требования к регистрирующей аппаратуре, при этом точность и скорость восстановления фазы световой волны существенно повышаются .

Создан работоспособный программный продукт, реализующий предложенный алгоритм и полностью готовый к практическому использованию.

Проведено большое количество численных экспериментов для различных видов волновых полей, возникающих в условиях реальных физических измерений. При этом моделировались различные искажения регистрируемого сигнала с целью проверки работоспособности предложенного метода.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. С помощью уравнений, выведенных в диссертационной работе, для волнового поля, значительная часть энергии которого сосредоточена на нулевой пространственной частоте, восстановление пространственного распределения его фазы может быть осуществлено по четырем пространственным распределения интенсивности, отличающихся друг от друга тем, что перед их регистрацией изменялась фаза нулевой пространственной частоты.

2. Квазигетеродинный метод позволяет понизить требования на точность изготовления фазовых транспорантов.

3. Точность предложенного метода восстановления пространственного распределения фазы волнового воля по четырем пространственным распределениям интенсивности при наличии различного вида шумов находится в пределах, определенных в диссертационной работе.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях :

1. 4-th International Workshop on Laser Phisics (LPHYS-95), Augest 4-9, 1995

2. XXV Школа по голографии, январь 1996г., г.Долгопрудный.

Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 4 работы, из них 3 - статьи в научных журналах и 1 -тезисы докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 53 страницах машинописного текста, иллюстрируется рисунками на 22 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения, приложения на 35 страницах, списка литературы из

34 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Поставленные задачи и способы их решения, кратко обсуждённые выше, обусловили следующее построение диссертационной работы.

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются ее цели и задачи, определяется структура её построения.

В первой главе дается обзор научных публикаций по теме диссертационной работы. Одним из самых изящных и красивых решений фазовой проблемы, правда, к сожалению, только для достаточно узкого класса волновых полей с постоянной по всей ап-пертуре амплитудой и мало отличающейся от нуля фазой .является метод фазового контраста, предложенный Цернике в 1935 году. Преимущество этого метода заключается в том, что распределение интенсивности в регистрируемом после фильтрации поле прямо пропорционально фазе в волновом поле, которое подвергается исследованию.

Прогресс в решении фазовой проблемы, достигнутый в последние годы, связан, вероятно, со все большим пониманием того факта, что перед регистрацией интенсивности, уничтожающей фазовую информацию целесообразно произвести сначала некоторое предварительное преобразование волнового поля, позволяющее при переходе к интенсивности облегчить решение задачи. Таким преобразованием может быть в частности, сам процесс распространения волнового поля и регистрация интенсивности не в одной, а в нескольких плоскостях, например в плоскости изобра-

жения и в Фурье-плоскости. Другой способ состоит в том чтобы фиксировать распределение интенсивности только в одной плоскости, но несколько раз. При зтом каждый раз волновое поле предварительно подвергается некоторому наперед заданному преобразованию. В результате регистрируется несколько распределений интенсивности и затем с помощью математических преобразований вычисляется искомая фаза волнового фронта.

Во второй главе выводятся основные соотношения, составляющие основу предложенного метода восстановления фазы волнового фронта. Фазовая задача в оптике заключается,как известно, в восстановлении пространственного распределения фазы Ф(х,у) волнового поля по распределениям его интенсивности, зарегистрированным в одной или нескольких плоскостях. В настоящей работе названная задача решается с помощью оптической фильтрации - методов фазового контраста Цернике и преобразования Гильберта, а также на основе метода фазовых шагов, разработанного в интерферометрии для повышения чувствительности, автоматизации эксперимента и обработки полученных данных.

Следуя каноническому выводу выражения, описывающего метод Цернике, исследуемое волновое поле и(х,у)=а(х,у)* *ехр[1<р(х,у)] представим в виде двух слагаемых:

и(х,у)={а(х,у)ехрС1ф(х,у)]-ЬСх,у)ехр[14'(х,у)]>+

+Ь(х,у)ехрЩ(х,у) ]. (1)

где У(х,у)=Ь(х,у)ехр[1ф(х,у)]- часть и(х,у), которая проходит в процессе оптической фильтрации через фильтр пространственных частот Е((л))ехр[1а(а)х,«у)] , а Шх,«у - координаты этой

плоскости. В процессе оптической фильтрации волновое поле U(x,y) подвергается двойному преобразованию Фурье, а его часть - V(x,y) после первого преобразования проходит через фильтр пространственных частот, в результате действия которого ее Фурье образ умножается на комплексную функцию пропускания фильтра. После этого преобразования распределение интенсивности в плоскости изображения имеет следующий вид :

Дх,у,«) = |а(х,у)ехр[1ф(х,у)]-Ь(х,у)ехрЩ(х,у)]+Ь(х,у)х xsexp[H(x,y)+ic((x,y)] |2=a2+b2+b2£2+2abC£cos(cp-(t-a)- (2) -cos(ф-Ф)]-2b2ecosa.

где £ < 1 - коэффициент ослабления фильтра и для краткости опущены обозначения координат. Как известно, метод Цернике предназначен для визуализации прозрачных фазовых объектов, комплексная функция амплитудного пропускания которых имеет вид exp[iq>(x,y)], где описывающая пространственное распределение фазы функция ч»(х,у) << 1 . Визуализация достигается за счет двойного преобразования Фурье объектного волнового поля с фильтром пространственных частот, изменяющим фазу пространственной частоты <1>=0 .либо на + тс/2,либо на - тс/2. Соответственно, визуализированное изображение объекта наблюдается на светлом, либо на темном поле, причем пространственное распределение интенсивности в плоскости изображения прямо пропорционально ф(х,у). В этом случае а(х,у)=Ь(х,у)=1, <Кх,у)=0, так как нулевая пространственная частота не несет информацию о распределении фаз волнового поля, а комплексная функция пропускания фильтра t=t(wx,Wy) имеет вид

1=Е5(«х.Шу)ехр[1о(], где 5(их,Юу) - дельта функция, шх,«у -координаты плоскости пространственных частот. Подстановка этих условий в (2) приводит его к выражению, описывающему метод Цернике.

С современной точки зрения метод Цернике представляет собой, хотя и для очень ограниченного частного случая, идеальное решение фазовой проблемы. Действительно, пространственное распределение интенсивности на выходе оптической системы прямо пропорционально распределению фазы. Отметим также, что в перекрестных членах выражения (2) модуль нормированной функции взаимной когерентности игСхьхглО предполагается равным единице. Действительно, в силу таутахронных свойств линзы 1=0 , а для волновых полей, достаточно удаленных от источника, область пространственной когерентности разрешается оптической системой и построение изображения происходит также, как и в случае полностью когерентного излучения. Рассмотрим теперь существенно более общий случай: комплексная амплитуда исследуемого волнового поля произвольна, а ограничения накладываются только на соотношение интенсивностей волнового поля и его нулевой пространственной частоты, обсуждаемое ниже.

Исследуемое волновое поле, как и в методе Цернике, делится на две части,одна из которых соответствует нулевой пространственной частоте, для которой (Кх,у)=0 , и для большей общности удобно считать сначала е=1.

Воспользуемся несколько адаптированным для наших целей методом фазовых шагов. В этом методе, известном также под названием "квазигетеродинный" получают не одну, а несколько

интерферограмм (Ы + 1), отличающихся тем, что фаза опорного волнового поля смещена, как единое целое, на величину па ,где

п=0,1.....N. Полученные интерферограммы вводятся в ЭВМ и их

совместная цифровая обработка позволяет получить искомое пространственное распределение фазы объектного волнового поля.

В данном случае, когда внешнее, дополнительное волновое поле отсутствует, с помощью фильтра пространственных частот фаза нулевой пространственной частоты необходимым образом меняется. При этом распределение интенсивности на выходе оптической системы обусловлено интерференцией нулевой пространственной частоты и остального волнового поля. Пусть, например, получено четыре распределения интенсивности:

Мх.у) = |а(х,у)|2, (3)

Н = Ь2 , (4)

^2(х«У) = !а(Ху) |2+2Ь2+2а(х,у)х

хЬз1П(р(х,у)-2а(х,у)Ьсозср(х,у), (5)

^(х,у) = |а(х,у) |2+2Ь2-2а(х,у)х

хЬз1пФ(х,у)-2а(х,у)Ьсозф(х,у), (6)

где ^(х,у) - интенсивность нефильтрованного изображения, -Я- интенсивность нулевой пространственной частоты, и

Лз(х,у) - интенсивности,соответствующие сдвигу фазы на + я/2 и на - к/2 соответственно. Все пространственные распределения

Ji(x,y) вводятся в ЭВМ для последующей обработки и численного моделирования. Таким образом получается следующее уравнение, определяющее пространственное распределение фазы:

Ф(х,у)=агсЬе{ [Л2(х,уЫз(х,у)]/[2.1о(х,у)+ +4^(х,уЫ2(х,уЫз(х,У)Ь (V)

Полученный результат и есть восстановленная фаза, но в предположении, что. измерения интенсивности проводились с помощью идеального фотоприемника, измеряющего интенсивность идеально точно.

Возможно несколько вариантов оптических схем, реализующих рассматриваемый метод. Первый из них является усложненным экспериментом Цернике, заключающийся в последовательном помещении в фокальную плоскость оптической системы необходимых фильтров пространственных частот (рис.1). Другой - в установке между плоскостями предметов и изображений равноплечного интерферометра Майкельсона.одна ветвь которого, как и в методе фазовых шагов, содержит пьезозеркало для сдвига фаз и пропускает только нулевой порядок, а другая - весь остальной спектр пространственных частот (рис.2). Общим недостатком этих вариантов является достаточно трудоемкая юстировка оптической схемы. Если спектр пространственных частот достаточно узок, его можно мультиплицировать с помощью дифракционной решетки, помещенной вблизи плоскости предметов и получать по одному из значений ^(х.у) в каждой из мультиплицированных (N+1) копий.

Допустимые соотношения между интенсивностями нулевого

Рис.1

1 - предметная плоскость,

2 и 5 - линзы,

3 - Фурье-плоскость,

4 - фазовая пластинка, фильтр пространственных частот, 6 - плоскость регистрации.

1 - предметная плоскость,

гиб- линзы,

3 - полупрозрачное зеркало, делитель,

4 - неподвижное зеркало,

5 - подвижное зеркало,

7 - плоскость регистрации.

порядка и остального спектра пространственных частот выведены из следующих соображений. Практика показывает, что метод фазовых шагов надежно работает вплоть до контраста к изображения ( интерференционных полос ) равного 0.1. Как известно , к - Таким образом, названное соотношение интенсив-

ностей может изменяться в 102 раз в любую сторону. Дальнейшего увеличения диапазона можно добиться, поставив в плоскость пространственных частот фильтр, ослабляющий нужную часть спектра в е раз. Так в уравнении (2) показано ослабление интенсивности нулевой частоты.

В третьей главе предлагается численная модель оптической схемы, реализующей предложенный метод восстановления информации о фазе волнового фронта по известным амплитудным распре-делниям. С ее помощью анализируется влияние различных искажений и ошибок, возникающих в ходе пространственной фильтрации поля и регистрации распределения интенсивности на точность воссталовление фазы.

В силу того, что предложенный метод по своей природе совпадает с методом фазовых шагов, есть все основания полагать, что точность восстановления фазы рассматриваемым методом тоже совпадает с точностью, достигаемой в методе фазовых шагов, положенного вместе с методом Цернике в его основу.

Из (7) следует, что при использовании данного метода восстановления фазы волнового фронта могут быть использованы не абсолютные, а относительные значения интенсивностей световой волны, и как следствие, нет необходимости калибровки фотоприемника для получения абсолютных значений.

Проведенные численные эксперименты показали, что для

различных классов волновых функций, таких как гес1 или функция Гаусса, при уровне сигнал/шум в 1% предложенный метод обеспечивает точность восстановления фазовой информации порядка 1СГ3 - 1СГ2 рад., а при уровне сигнал/шум в 10% - порядка Ю-2 - Ю-1 рад.

В заключении подведены итоги диссертационной работы,проанализированы основные ее результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Подводя итоги диссертационной работы, кратко сформулировать полученные результаты можно следующим образом.

Разработанный неиттерационный алгоритм восстановления фазы волнового фронта по нескольким распределениям интенсивности, полученным после пространственной фильтрации поля в Фурье плоскости, позволяет восстанавливать утраченную в процессе регистрации электромагнитного поля фазовую информацию.

Проведенные численные эксперименты по проверке устойчивости этого алгоритма при наличии шумов при регистрации амп-литудых распределений и изготовлении транспорантов для пространственной фильтрации показали, что представленный в работе алгоритм обладает достаточной для практического применения устойчивостью к различного вида шумам. При этом получающиеся результаты обладают очень высокой степенью достоверности.

Создание на алгоритмическом языке "Рог1гап-90" программного продукта, реализующего данный алгоритм и полностью готового для практического использования, дает возможность использовать полученные в данной работе результаты для практического анализа электромагнитных полей. При этом могут приме-

няться вычислительные комплексы работающие под любой операционной системой, а быстродействие и следовательно стоимость вычислительного комплекса будут определяться исходя из поставленной задачи.

Проведенное численное моделирование оптической схемы реализующей этот алгоритм позволило оценить влияние погрешностей регистрации интенсивности световой волны на точность восстановления ее фазы для различных типов волновых полей. Это дает возможность, обладая априорной информацией о типах исследуемых волновых полей и необходимой точности восстановления пространственного распределения фазы, заранее указать необходимый тип регистрирующей аппаратуры, что позволяет сэкономить значительные денежные средства и время.

По теме диссертационной работы были опубликованы следующие материалы:

1. Н.Г.Власов, С.Г.Каленков, А.В.Сажин "О фотографировании фазовых объектов", Журнал научной и прикладной фотографии, г. Москва, Том 40, N2, 1995г., стр. 47-48.

2. Н.Г.Власов, С.Г.Каленков, А.В.Сажин "Решение фазовой проблемы на основе модифицированного метода фазовых шагов", Труды XXIV Школы-симпозиума по когерентной оптике и голографии, г.Долгопрудный, 1994г., стр 13-16.

3. Н.Г.Власов, С.Г.Каленков, А.В.Сажин "0 решении фазовой задачи", Препринт N1, ВННИОФИ, МГТУ "Станкин", Москва, 1995г.

4. N.G.Vlasov, S.G.Kalenkov, A.V.Sazhin "Solution of the phase problem by means of the modified method of the phase steps", Laser Physics, 1996, V6, N2, p401-403

Подписано в печать 08.05.96г. Формат 60x84/16

Бумага ZOOM 80 гр/м2 Гарнитура "Обычная"

Объем 1.25 печ.л. Тираж 100 Заказ 59

Отпечатано в Издательстве "Станкин" Лицензия на полиграфическую деятельность ПЛД № 53-227 от09.02.96г.