Исследование структурных свойств операторов прикладного гармонического анализа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

11-4 2664

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

БЕСПАЛОВ Михаил Сергеевич

ИССЛЕДОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СВОЙСТВ ОПЕРАТОРОВ ПРИКЛАДНОГО ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

01-01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2011

l:,¿U>u> i<i .uijiiii.väjj]'4i:>; hü кяф^до tфунк-щктлаMtortvапвянэд..-м ес\>Ьрифж<яш||:4>г1-kv,ii/i!-.га ;>ptii;.:i;o.;ieiJi *.;hi«ím&iiii;ii и физики Цлм.чммшх-Баю г1уудлрг.твешк1гп vtuihftpcuïtvM им. А.Г. и

Офиий1й]ь11ы1^(пшои(;итм: i ki i фи иы-mtif iaj i г с 11 v и \ к п) юферсу.

Мяястиов knetaiife Нпквдаонвч (On.uKT-lI<:TCp6v[)ii.'Kirh токударгги-шшН

Водунта оргашпаиия. Московский it< v, iapcvueßuwft

третной '.техники Шлипоигиппыи исо^дака'Нда vi4ii.a!¡i-.-iuc/'}

■ísn íii'iri eofriiVimái Q/£ttíJifflJt 2Ш ■>-. -o ..-: .MUI!.

..na: :«№.n.!WHia-№tww Д 2Î2.232.-1!) uii дацто^^кп** ;i клцд'.-дан ких цне-

c.i!¡!:rannft при Caimr- .«ageey*

l.!¡fei).4; Ся1,1к г-Пс1(!рбу|.1г, fWpa'iuotX'ii, yiiim<']iriín.-'iT.!<i).ft un , vKWVMaj iikii-mc<:)iih'II'':ki:Ií фахулып:, ay.unotma -Щ">.

С .,01сх<!1г|г1ци0й И1'1Ж1(Г> аШЛКОМИХЬйЯ В .lIRVHUOi'l ÓHÓiWOTClá'ir.vl; M. .{Зф|»К£>-vo C¿uiici>Vl(rrt/pfiyp[CKOi.u пн.-ударелиттио .yhiiiu!|kii-i<.«t» но адргсу: !&)():{ !. <..';u;iu-ll.'ir.[ifivpi. Умнисрои^тк-кля mf>.. ï 9

АпторчИмп pwotenuJ " ■ U,U>UA..... 20'1'ï i>

Учопмй «iiipoTapi, íwevBp-l'aiuuiiiHnfó г'йта.

y шш'^п.п íuj i

доктор ф>йн№мат0мп'гл?№екх« даун ирофап'ор • ск«орц(ж hii-îmitiii! ;\iiax\i.ii¿efei'4

им. МЛ Ломоиипьп;

.ilÓKlnp фтНК^метЙИП'И'ЙСК!!^ !!,Н'К. П|юф«т.-р

Пшшь.« A,i<.w«¡.vip 1«>рнЧ:сжпч. ■ -•'Сыкгьшкарскш"! i>«:y..,.;i|M;iBeiiiii.iii \unn^|«ii ici)

iúKJOp <|>i^.»iiu;bAi¡iT«--in.i.ii'se.f:Ki!X наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В работе рассматриваются и решаются задачи прикладного гармонического анализа. Основную часть прикладного гармонического анализа составляет дискретный гармонический анализ, в котором выделяются следующие разделы: дискретное преобразование Фурье (ДПФ), дискретное преобразование Уолша (ДПУ), дискретное преобразование Крестеисона (ДПК) и дискретное мультипликативное преобразование Фурье (ДМПФ). Последние два вида преобразований служат обобщением дискретного преобразования Уолша. Дискретное преобразование Фурье составляет основу учебных курсов по цифровой обработке информации. Рассмотренные дискретные преобразования используются для решения одинаковых или аналогичных задач. В последнее время в прикладных исследованиях чаще стали использовать ДПУ или ДПК вместо ДПФ и анализировать преимущества этой замены.

В классическом гармоническом анализе, который к прикладному гармоническому анализу не относим, выделяются два раздела: тригонометрические ряды Фурье и преобразование Фурье. Хотя дискретное преобразование Фурье имеет внешнее сходство с этими разделами, оно более тесно связано с ДПК или ДМПФ, так как совпадает о последними на некотором классе финитных ступе-чатых функций.

Современным разделом гармонического анализа служит двоичный гармонический анализ, изложению которого посвящены работы 1. Двоичный гармонический анализ составляет главную часть прикладного гармонического анализа, представляя собой основную модель прикладного гармонического анализа. Он также подразделяется на три части: ряды Уолша, преобразования Уолша и дискретные преобразования Уолша. Следующим обобщением двоичного служит р-ичный гармонический анализ также состоящий из трех разделов: ряд Крестенсона-Леви, преобразование Крестенсона-Леви и дискретные преобразования Крестеисона. Аналогично осуществляется дальнейшее обобщение двоичного гармонического анализа на случай мультипликативных систем функций.

При решении прикладных задач с применением ДПФ не столь часто обращаются к классическому гармоническому анализу. В двоичном гармоническом анализе, наоборот, наблюдается тесная взаимосвязь между непрерывным и дискретным случаем, обусловленная видом функций Уолша. В технической литературе, посвященной ДПУ, изложение обычно начинают с функций Уолша, введенных в статье 2. Основной нумерацией функций Уолша считается нуме-

1 Schipp F., Wade YV.R., Simon P., Pal J. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic, analysis. - Budapest: Acad. Kiado, 1990;

Голубов Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: Теория и применения. - М: Наука, 1987;

Голубов Б.И. Элементы двоичного анализа. - М.: URSS/ЛКИ, 2007.

-Walsh J.L. A closed set of normal orthogonal functions // Amer. J. Math. 1923. V. 45. 5-24.

рация предложенная Пэли 3. Третьей традиционной нумерацией функций Уол-ша служит нумерация Качыажа, изученим которой занимались А.А.Шнейдер, Л.А.Балашов, В.А.Скворцов, Н.В.Гуличев, Ф. Шипп. Отмененные свойства этой системы обусловлены видом её ядра Дирихле. Другим фундаментальным понятием в теории рядов Фурье служат константы Лебега, формулы для которых в случае нумерации Пэли получил Файн 4. Дня случая других нумераций отмечались 5 лишь оценки Шнейдера, записанные относительно непривычного представления двоичных чисел.

Преобразование Уолша, введенное Файном 6, составляет раздел, для которого отмечается структурная близость с рядом Уолша и решаются проблемы, возникающие для дискретных преобразований Уолша. Одной из таких проблем является спектральное разложение соответствующего оператора. Базис из собственных функций преобразования Уолша нашел Ж. Пал ', а Ф. Шипп высказал заинтересованность в решении аналогичной задачи для дискретных преобразований Уолша. Размерность собственных подпространств для дискретного преобразования Фурье вычислена в статье 8, а дня дискретных преобразований Уолша традиционных нумераций Пэли, Уолша и Адамара найдена в статье3.

Обзор сфер применения дискретных преобразований Уолша трех традиционных нумераций, который приведен в монографии 10, обширен В книге 11 высказано сожаление, что "среди возможных систем изучены с точки зрения быстроты сходимости спектров при разложении сигналов и удобства практического применения только системы Пэли, Адамара и Уолша". Там же поставлена задача вычисления числа возможных симметричных матриц ДПУ, так как только этот класс дискретных преобразований Уолша позволяет вычислять спектральные характеристики и восстанавливать сигнал с помощью той же матрицы.

Повышенный интерес к дискретным преобразованием вызван развитием вычислительной техники и появлением быстрых алгоритмов их реализации. Нача-

3Paley R.E.A.C. A Remarkable Series of Orthogonal Functions. I, II // Proc. Lond. Math. Soc. 1932. V. 34. 241-279.

4Fine N.J. On the Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V.G5:3. 372-414.

^Балашов Л.А., Рубинштейн А.И. Ряды по системе Уолша и их обобщения // Итоги науки. Математический анализ. 1970. - М.: ВИНИТИ, 1971. 147-202.

"Fine N.J. The generalized Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V. 69. 66-77.

7Pal J. The eigenfunctions of the Walsh-Fourier transform // Proc. Int. Conf. Approximation and Functions Spaces. Gdansk, 1979(1981), 553-557.

8McClellan J.H., Parks T.W. Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation. IEEE Trans. Audio Ehctroacoust, 20:1 (1972), 66-74.

eBois P. Determination des valeurs propres des matrices de Walsh, Hadamard et Walsh-Fourier // Rev. CETHEDEC. 1973. V. 37. 65-71.

1иЗалмаиэон Л.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара н их применения ь управлении, связи и других областях. - М.: Наука, 1989.

пТрахтман A.M., Трахтман В. А. Основы Tcopim дискретных сигналов на конечных интервалах. - М.: Советское радио, 1975.

ло исследованиям положила статья Гуда 12, в которой предложен метод факторизации матрицы кронекеровой степени. Наиболее популярным стал быстрый алгоритм реализации ДПФ, предложенный Кули а Тьгоки 13. Однако при практической реализации быстрых алгоритмов ДПУ в нумерации Пэли и Уолша часто прибегают к процедуре перестановки координат при переходе от нумерации Адамара, что увеличивает число операций в алгоритме.

Аналогичные проблемы возникают и при исследовании дискретных преобразований Крестенсоиа, а также дискретных мультипликативных преобразований Фурье. Последние, в силу сложности конструкции, менее востребованы в прикладных задачах.

Цель работы следующая.

1. Исследование ядер Дирихле и констант Лебега для систем Уолша различных нумераций и их обобщений.

2. Выделение класса перестановок дискретных преобразований Уолша и Крестенсоиа, удобных для применения при цифровой обработав информации. Спектральное разложение операторов прикладного гармонического анализа.

3. Разработка новых подходов к построению быстрых алгоритмов дискретных преобразований.

4. Решение конкретных задач вычислительной математики методами прикладного гармонического анализа.

Научная новизна. Основные теоремы и большинство предложений, приведенных в работе, являются новыми. Разработаны новые конструкции и методы исследований. Введен новый вариант тензорного произведения матриц, для которого дана сравнительная характеристика с известным вариантом тепзор-ного произведения патриц в виде кронекерова произведения. Введено понятие W-матриц, применение операторов анализа и синтеза с любой из которых позволяет обработать и точно восстановить сигнал в классе дискретных функций Уолша. Предложено определение дискретных функций Уолша, не привязанное к нумерации элементов системы, что позволяет три традиционных определения для нумераций Пэли, Уолша и Адамара заменить одним. Предложенные понятия можно оценить как элементы нового математического языка для изложения основ теории дискретных преобразований на конечных интервалах.

Методы исследования. В работе использованы методы вычислительной математики, теории функций и функционального анализа, алгебры, теории разностных уравнений, дискретной математики и другие. Активно применялся метод компьютерного моделирования.

12Good I.J. The interaction algorithm and practical Fourier analysis// J. Royal Stat. Soc. (London), Scr.B. 1958. V. 20. 361-372.

13Coolev J.W., Tukey J.W. An algorithm for the machine calculation of complex Fourier scries // Math, fcomput. April 1965. V. 19. 297-301.

Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят как теоретический, так и практический характер. Онн могут найти применение в вычислительной математике, теории ортогональных рядов и преобразований, дискретном гармоническом анализе, в теории цифровой обработке информации. Некоторые затруднения при изложении результатов исследований вызвано еще и тем, что до сих пор не выработана единая терминология в этой сфере среди математиков и прикладников. В последний годы преподаватели прикладных дисциплин вузов чаще стали высказывать заинтересованность з ознакомлении студентов с азами прикладного гармонического анализа. Поэтому есть потребность в появлении учебного пособия по данной дисциплине, написанного простым и правильным математическим языком. Результаты проведенных исследований положены в основу нового учебного курса "Введение в прикладной гармонический анализ", первоначальный вариант изложения которого дан в учебном пособии [14|, рекомендованном учебно-методическим Советом по математике и механике УМО по классическому университетскому образованию РФ в качестве учебного пособия для студентов. В диссертации приводятся практические рекомендации по различным вариантам реализации дискретного преобразования Уолша. Разработаны быстрые алгоритмы реализации дискретных преобразований Уолша и Крестеисона. Детальная разработка метода двоичного интегрирования может быть использована в качестве нового способа табличного задания функций в ЭВМ. Полученные тригонометрические формулы могут быть включены в справочники формул сумм и рядов.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на зимних математических школах в Саратове (1982, 1984, 1936, 139(5, 1398. 2000, 2004, 2000 гг.) п в Воронеже (1997. 1999, 2003, 2007 гг.). на симпозиумах "Ряды Фурье и пх приложение" в Новороссийске (2002, 2005 гг.), на конференциях в Москве (2007. 2008 гг.), Воронеже (2004, 2005 гг.), Суздале (2002, 2004, 2006 гг.), Казани (1997, 2009 гг.), Владимире (2004, 2010 гг.), на семинаре "Дискретный гармонический анализ и геометрическое моделирование'^ Санкт-Петербурге (2010 г.), на научно-исследовательском семинаре в МГУ (2007, 2009, 2010 гг.) и на научных семинарах в МИЭТ, ВлГГУ и ВлГУ. Доклад "Reanergement on the Walsh system", сделан на международной конференции "Workshop on Walsh and Dyadic Analysis'^ 2007 г. в гор. Ниш в Сербии.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах |1-14|, из которых ¡1-11] в математических журналах из перечня ВАК. Остальные работы из приведенного списка публикаций автора в основном являются докладами или тезисами докладов на конференциях по теме диссертации.

Структура и объем диссертации. Диссертация, изложенная на 257 страницах, состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 203 наименования, включая работы автора.

Содержание работы

Во введении выделены разделы прикладного гармонического анализа, обсуждаются объекты исследований к ранее полученные результаты. Сформулированы дели работы. Проведен краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена системе функций Уолша. Сначала приведены определения и свойства основных нумераций функций Уолша, а также групповые свойства функций Уолша. Для сравнения здесь же рассмотрены дискретные функции Уолша, для которых предложено следующее не зависящее от нумерации

Определение 1.2. Дискретной функцией Уолша уровня п назовем любое кронекерово произведение матриц (векторов) S -— (1 1) и А (1 — 1) в количестве Ii сомножителей.

Предложение 1.2. Любая дискретная функция Уолша уровня п (обозначим ее для определенности а = (аи П[ а2... a^.-i)/ однозначно определяется свошли п координатам,и (в naumx обозначениях a2», a-ji, ... , ) с по-лшрами 2k.

Предложение 1.3. Число перемен знака у разных дискретных функций Уолша одинакового уровня различно.

Это предложение позволяет ввести более короткое определение дискретных функций Уолиш в нумерации Уолша: номер функции равен числу перемен знака. Доказаны рекуррентные формулы (леммы 1.5, 1.7, 1.8) вычисления дискретных функций Уолша очередной пачки через предыдущие функция в случае нумераций Пэли, Адамара и Уолша.

Подробнее дискретные функции Уолша рассматриваются в третьей главе.

Фундаментальным понятием в теории рядов Фурье является ядро Дирихле, которое в работе изучается для системы Уолша сначала в нумерации Пэли:

А.М = Eüüi'^fcC*)-

Введены для числа п = п* • 2*"1 понятая срезки числа !4 = П1-2° + Я2-21 + ... + П<-2,'-\

и отклонения числа

< п >,= min ( [л],- , 2' — [п],- ).

Теорема 1.1 ( явный вид модуля ядра Дпрпхле). Для всех х е (0.1) верно

|Л„(.т)| =< п >ь где натуральное к определяется из условия х £ ¿J = [jr,

Следующую функцию назовем мажорантой ядра Дирихле

h(x) = 2m при х е Д',+1: т е

Вывод о поведение модуля ядра Дирихле.

В любой фиксированной точке х €: (0,1) значение модуля ядра Дирихле | Д,(г)| кок функция целочисленного аргумента п совершает периодические колебания (сначала растет, а потом убывает) с постоянной скоростью равной 1 от исходного положения (от функции е(х) = 0) до своей мажоранты (до функции h(x)) и обратно.

Лемма 1.14 (рекуррентная формула для норм ядра Дирихле).

Есл и k < 2"\ р > 1, то

Далее для функций

2

g(x)=g{x:p) = (l + xy-1-xp-\

которые рассмотрим при фиксированном р 6 (1,2) U (2, оо), поставлена Задача на экстремум. Найти величины

■A(p)=inf{C| f(x) < С ■ g(x) для всех .т е [О, I1,} при 1 < р < 2,

а(р) = sup{ С \ f(x) > С ■ д(х) для всех х € [0,1]} при р > 2.

В работе приведены основные результаты в виде табличной функции решения этой задачи, полученные с помощью составленной компьютерной программы. Теорема 1.2. Верны следующие оценки норм ядер Дирихле. 1. Если 1 < р < 2 , то п7 < ||D„!|p < А(р) ■ п7 , причем левое неравенство обращается в равенство только при п = 2т.

2- ||D„||2 = ^-

3. Если р>2, то: а) 0.9 ■ п? < о(р) ■ «У < ||D„!|P < п?, причем правое неравенство обращается в равенство только при п = 2т; Ъ) ||Д,||Р < ||Dn+i||p для всех п.

При 1 < р < 2 точность верхней границы подтверждает следующий результат, полученный с привлечением метода компьютерного моделирования -Л(р) и С(р) различаются менее, чем на 0,1%, где

ПР _ i

Л»

tm - левая точка максимума константы Лебега в пачке. С помощью той же компьютерной программы устанавливается, что и нижняя граница а(р) при р > 2 вычислена с 0,1% точностью.

Далее более подробно рассмотрены константы Лебега системы Уолша-Пэли, основные результаты о которых принадлежат Файну (сноска 4). Их дополняет Лемма 1.18 (симметрии). Константы Лебего, симметричны внутри пачки: = для всех 0 < k < 2"-1.

Следуя Файну введем: ein) = L„ — f(n) отклонение констант Лебега от своей почти-мажоранты f(n) = g + jlog23n и

шах Ln = Lt - константы Лебега в точке максимума пачки.

2"'<л<2*"+1

Теорема 1.3. Во всех точках, кроме левых точек максимума с четным номером, константы Лебега меньше f(n), то есть е(п) < 0 при п ф 12т- В отмеченных точках (отклонение от функции f(n} мало:

О < e(t2m) < 1 • 4— < (t2m)-\ Это улучшение теоремы Радемахера-Файна: lim е(п) = 0, при доказа-

п—оо

тельстве которой Файн допустил (сноска 4) неаккуратность.

Теорема Радемахера-Файна и формулы Файна для констант Лебега были установлены только в случае нумерация Пэли системы Уолша. В случае других нумераций задача получения оценок констант Лебега была не решенной, а система Уолша-Качмажа выделялась как система с существенно отличным ядром Дирихле.

Ф. Шипи предложил 11 понятие линейной перестановки системы Уолша, которое вводится через линейно независимую систему функций Уолша {R„ )%LU в качестве образуюь^их. В докладе C.B. Бочкарева 15 данная система названа диадической с образующими {Я„}. Примером линейной перестановки служит система Уолша в нумерации Уолша, а система Уолша-Качмажа в терминологии Шиппа является кусочно-линейной перестановкой.

Теорема 1.4. Для линейных и кусочно-линейных перестановок системы Уолша нормы ядер Дирихле (следовательно и константы Лебега) совпадают.

Предложение 1.9, Существует регулярная, то есть внутри пачки, перестановка системы Уолша, константы Лебега которой больше (для многих номеров) констант Лебега системы Уолша-Пэли.

Если константы Лебега линейных и кусочно-линейных перестановок системы Уолша дают минимум констант Лебега по всем возможным перестановкам системы Уолша, то максимум констант Лебега по всем возможным перестановкам системы Уолша достигается для системы Радемахера.

Предложение 1.10. Константы Лебега системы. Радемахера вычисляются по формулам R-ih+i — Rih+2 — *2(ацм" ■

14Шипп Ф. О некоторых перестановках рядов по системе Уолша. Ц Мат. заметки. 1975. Т.16:2. 193-201.

15Бочкарев C.B. О некоторых свойствах матриц Уолша // Докл. расш. зас. семинара нн-та прик. мат. им. И.Н.Векуа. Тбилиси. 1988. Т. 3: 2. 15-18.

В последнем параграфе первой главы рассмотрены конкретные случаи системы Уолша-Пэли относительно произвольной меры (обобщающей системы Уолша), которые могут быть полезны при задачах обработки изображений.

Во второй главе рассмотрено преобразование Уолша, введенное в 1950 г. Файпом (сноска 6). Сначала отмечены основные свойства, которые позволяют переносить отдельные результаты, полученные для преобразований Уолша, на ряды Уолша и на дискретные преобразования Уолша.

В дополнение к известному понятию обобщенное ядро Дирихле (или ядро Дирихле для преобразования Уолша ) вводятся обобщенные константы Лебега. Понятие срезки и отклонения числа, введенное в предыдущей главе для натуральных чисел, распространено на двоичные дроби. Основные результаты для ядер Дирихле и констант Лебега рядов Уолша перенесены на случай преобразований Уолша с теми же величинами а[р) и А(р).

Теорема 2.1 (явный вид модуля обобщенного ядра Дирихле). Для всех х, t € [0, оо) верно

\D(x\ t)| =< t >,„,

где m € Z находится из условия х € Д*„ .

Вывод о поведении модуля обобщенного ядра Дирихле. В любой фиксированной точке х 6 [0, оо) значение модуля обобщенного ядра Дирихле |£>(х; t)| как функция аргумента t. с постоянной скоростью равной 1 совершает периодические изменения (колебания) от функции е(х) = 0 до функции k(x) и обратно.

Теорема 2.2 (оценка нормы обобщенного ядра Дирихле).

1. Если 1 < р < 2, то t? < ||D(- ;OIIl»>[odo) < А(р) ■ t7.

g.fia{D(x-,t))>dx = t.

3. Если p> 2, то: a) a{p) ■ t? < j|d(- ;î)||lp|o,oc) < b) величина ||D(- ; î)||lp[o,oo) монотонно возрастает с ростом t.

Третий параграф, который уместно было бы разместить как в первой, так и в третьей главе, посвящен интегрированию в двоичном анализе.

В анализе Фурье-Уолша широкое распространение получили двоичное дифференцирование, введенное Джозефом Гиббсом, и разные виды двоичного интегрирования, которым занимались П.Л. Бутцер, Й.Х. Вагнер, Б.И. Голубов и другие. В работе предлагается более простая конструкция, позволяющая вычислять обычные интегралы от элементарных функций.

Предложение 2.3. Если t Ç [0,1), то верна формула интегрирования

f Si.г) dx = f>[/] Jo i=0

где f - последовательность коэффициентов Фурье-Уолша функции / £ Ь(0,1), Dt = (ö(0; i), D(l; t),..., D(j; <),...) - последовательность значений обобщенного ядра Дирихле на целочисленных интервалах.

D(x;t)dx = (f,Dt).

Разработан матричный вариант реализации данной конструкции. После детальной разработки данный метод можно рекомендовать как метод табличного задания функций в ЭВМ, при котором в памяти ЭВМ хранятся коэффициенты Фурье-Уолша.

Сначала в параграфе "Преобразование Уолша в ¿^"приводится результат, ранее полученный автором для мультипликативных преобразований Фурье.

Теорема 2.3. Следующие три способа опреде.\ения оператора преобразования Уолша, действующего из ¿2 [О, со) в ¿г[0,оо), эквивалентны. Л- S[/](y) = lim (2) tf f{x)W{x,y)<b. Б. Почти всюду J¡/](y) = /0°° f{x)D{x\y)dx.

В- ?[/]Ы =

где

rk+l гас

акп - / f({x})wn({x})dx = /(a)®fc,„(ï)rte = (/,»*,„) Jk Ju

коэффициенты Фурье функции f(x) по системе {Ф*,п(я)}2°п_0,- сходимость ряда. рассматривается по норме пространства ¿2(0,00), в силу него ne зависит от порядка слагаемых.

Далее приведена конструкция спектрального разложения, повторяющаяся в следующих главах (указанный базис, как отмечеао выше, нашел Ж. Пап).

Теорема 2.4. Пространство ¿2 [0, оо) можно представить в виде прямой сумл1ы двух ортогональных дополнений

¿г [0, ос) = ¿2 [0,00) ® ¿¡"[0,оо)

инвариантных относительно оператора S преобразования Уолша, действующего из пространства ¿2[0, со) е ¿2[0, оо) :

5[/] = / для любой f 6 Lj [0,00) и î[/] = —/ для любой f е ¿/J[0,00).

Пространство [0. ос) есть образ операторе (/ + 5), действующего из ¿2 [0, оо) в ¿2(0,00), а пространство L^ [0,00) есть образ оператора (I — Î) : L2[0,oo) —► ¿2(0,oo), где I — тождественный оператор.

Система функций + ^n.t)}^„=o(fc<n) лв.гяется ортонормиро-

ванным базисом в ¿J[0,оо), а система {^(Фц.п - ^n,k)}Tn=o[k<n) является ор-тонормированным базисом в ¿2 [0, оо).

В третьей главе рассмотрены дискретные преобразования Уолша (ДПУ) разных нумераций. Традиционно рассматривают ДПУ в трех нумерациях: Пэ-ли, Адамара и Уолша Но уже для ДПУ второго уровня (т.е. порядка 4) возможны 4 симметричные матрицы ДПУ. В работе предлагается новая (четвертая) нумерация ДПУ произвольного уровня. Основные результаты работы получены или для двух главных нумераций Пэли и Адамара, или для четырех основных нумераций. Кроме этого рассмотрены возможные (заданные как симметричными матрицами, так и несимметричными) нумерации ДПУ.

Повышенный интерес к нумерации Адамара матрицы ДПУ вызван просто-

_я(п_1' ) в Еиде

кронекеровой степени матрицы ДПУ первого уровня (т.е. второго порядка), впервые рассмотренных в статье 16.

В диссертации вводится (определение 3.1) новое, тензорное произведение матриц как блочной матрицы С = А 0 В с блоками су = А> ■ ßj, где нижним индексом обозначаем Ai - строки матрицы А, а верхним А' - столбцы матрицы А. Проведено (предложения 3.1 - 3.11) сравнение свойств нового тензорного произведения со свойствами (утверждения 3.2 - 3.11) кронекерова призведения.

Теорема 3.1. Матрица И'",! дискретного преобразования Уолша в нумерации Пэли есть степень относительно нового тензорного произведения матрицы H: Wn = Я<"> = H 0 Яi"-1}.

Далее понятие линейной перестановки, предложенное Ф. Шиппом для систем функций Уолша, перенесено на матрицы ДПУ. Для четырех выбранных основных нумераций указаны их образующие.

Из всех возможных перестановок матриц ДПУ при цифровой обработке сигналов выделяют только симметричные матрицы потому, что после применения оператора анализа с выбранной матрицей ДПУ, исходный сигнал восстанавливается оператором синтеза, задаваемого транспонированной к этой матрице ДПУ. В работе существенно расширен набор возможных матриц ДПУ, удобных при цифровой обработке сигналов, введением следующего понятия.

Определение 3.3. И'-матрицей уровня п назовем невырожденную матрицу порядка 2", все строки и столбцы которой есть дискретные функции Уолша.

Переобозначением (перекодировкой) 1 —» 0, —1 —> 1 дискретные функции Уолша уровня п переходят в булевы векторы специального вида, которые назовем п-Л/-векторы, что позволяет от мультипликативной формы записи перейти к аддитивной и ввести

Определение 3.4. Л-матрицей уровня п назовем такую невырожденную над полем Ъч булеву матрицу порядка 2", все строки и столбцы которой есть n-dii-векторы.

Теорема 3.2. Множество матриц линейных перстановок ДПУ уровня п совпадает с множеством W-матриц уровня п.

О возможности подобной конструкции говорилось в упомянутой выше (сноска 15) заметке C.B. Бочкарева. Однако ни доказательства, ни соответствующих определений там не приводится. В основе доказательства теоремы 3.2 лежит следующая конструкция генерирования И'-матриц.

"Sylvester J.J. Thoughts on inverse orthogonal matrices, simultaneous simg-successions, and tesaalated pavements in two or more colours, with applications to Newton's rule, ornamental tile-work, and the theory of numbers // Phil. Mag., 1867. V. 34. 461-475.

Зададим матрицы С„ размера п х 2" рекуррентными соотношениями

с, = (01), =

где блоки 0„_1 =(0 0 ... 0), 1„_1 = (11 ... 1) есть векторы длины 2П~'.

Предложение 3.13. Произвольная невырожденная булева матрица К порядка п задает: А-матрицу уровня п билинейной формы а(г,})

А —С^ • К • Сп, (1)

и соответствующую IV-матрицу уровня п с элементами о= (—

Подматрица К произвольной \У-матрицы У„, строки и столбцы которой выборкой {2°, 21,2г,... ,2П_1} выделены из соответствующей А-матрицы А, служит для УЛ кодирующей матрицей, восстанавливающей А-матрицу формулой (1).

На основе формулы (1) составлена, не включенная в диссертацию, компьютерная программа генерирования всех возможных М'-матриц. С помощью этой программы проводится классификация И'-матриц. Например, в случае уровня 2 возможны б матриц ДПУ. Две из них несимметричные, получаются друг из друга транспонированием. Обозначим любую из этих несимметричных матриц после операции нормировки (деление всех элементов матрицы на 2) символом ./. Обе несимметричные нормированные матрицы оказались порядка 6, то есть •7® = Е. В частности, = 75 = Матрица 73 оказалась нормированной матрицей ДПУ в нумерации Пэли. Матрицы ./, У5 составляют цепочку корней шестой степени из единичной матрицы четвертого порядка в виде нормированных матриц ДПУ. Другие три симметричные матрицы ДПУ составляют три разные цепочки второй степени (квадратных корней) из единичной матрицы четвертого порядка.

Аналогичная классификация по цепочкам корней из единичной матрицы восьмого порядка (то есть в случае уровня 3) приводит к 28 цепочкам корней шестой степени и 21 цепочки корней восьмой степени. В этих цепочках представлены все 168 матриц ДПУ уровня 3, ровно 28 из которых симметричны.

Очевидно следующее Утверждение 3.12. Собственными числами любого оператора дискретного преобразования Уолша уровня п, заданного симметричной IV-матрицей, служат = \/2" и А2 = —\/2".

Размерности собственных подпространств К- (соответствует числу А2) и Д+ (соответствует числу А1) дискрятного преобразования Уолша вычислил Буа (сноска 9). В случае нумераций Адамара, Уолша, а также в случае нумерации Пэли нечетного уровня они совпадают и равны 2"-1. Для дискретного преобразования Уолша в нумерации Пэли четного уровня: <ИтН+ = |(2" + л/2"), <йтЯ. = ±(2П — >/2"). Обобщает этот результат следующая

Теорема 3.3. Если на главной диагонали невырожденной симметричной булевой матрицы К, генерирующей с помощью формулы (1) и перекодировки

данную W-матрицу, встречается элемент 1, то кратность собственный; чисел Ai u А2 одинаковая и равная 2""1; если же на главной диагонали матрицы К только нули, то кратность числа Ai равна ¿(2" +\/2"), а . кратность числа А2 равна |(2" - v/2").

Далее в диссертации получены результаты о выделении из столбцов каждой из матриц Vn-Xi E (i = 1,2) базиса из собственных векторов для случая матриц ДПУ различных нумераций.

Продуктивным при новых видах описания быстрых алгоритмов реализации ДПУ оказался другой подход по выделению базиса ДПУ из собственных векторов, который приведем.

Обозначаем: u>j{m} дискретную функцию Уолша уровня т (то есть длины 2т) с номером j в нумерации Пэлн; = 1 {hMJ) - вектор стандарт-

Jt 2"'-<t-l

ного базиса в R2™.

Теорема 3,4. Для матрицы дискретного преобразования Уолша в нумерации Пэли четного уровня п = 2т набор векторов

{efc{m} ® ш;{т} - е,{т} <8 адМ}0<ь<,<2т

составляет ортогональный базис собственного подпространства R_ (для собственного числа А2 = —2т), а набор

{efc{m} ® 1 U {ej..{m} ® u;i{m} + ej{m} <й }0<t<J<2.^

есть ортогональный базис подпространства Ä+ (для числа Ai = 2т).

В статье 17 приведен следующий вариант быстрого алгоритма Гуда (сноска 12).

Утверждение 3.16. Матрица дискретного преобразования Уолгиа в нумерации Адамара представима в виде

Нп = Т1-Т,-...-Тп,

где Tk = E^k~v> ® Н\ ® Е*" Е - единичная матрица второго порядка. Матрицы-сомножители перестановочны 7} • Т, — Т3 ■ TJ. В работе получен аналог этого алгоритма.

Предложение 3.16. Матрица дискретного преобразования Уолша в нумерации Пэли представима в виде

Wn = Si-Si-...- Sn,

где Е - единичная матрица второго порядка, Е^ = (1) и возможны 8 основных вариантов расстановки сомножителей:

''Малозсмов В.Н., Третьяков A.A. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестн. С.-Петербург, ун-та, Сер. 1, 1999. В. 1. 16-21.

1 - 5* = ® (Я г. £<""*>);

2 - 5* = £(л-*> ® (Ь'С-1' 0 Я)...

В работе приведены еще 6 вариантов расстановки сомножителей. Далее в работе получен другой матричный вариант быстрого алгоритма.

Теорема 3.5. Быстрый алгоритм дискретного преобразования Уолща в нумерациях Адамара и Пэли можно задать в матричном виде одной из формул:

Я„ = (Нт 0 £<-'">) • (Е™ ® Я„_т) = (Д'"'' ® Я„_т) • (Ят 0

= {Ъгт 0 £<-т>) • (£(т) в 1Уп_т), = (£;(п~т) ® . (£<-) 0 №п_т), Шп = (£<»> 0 ■ (\¥т ® £("-'">), И^ = (И'г71_„, ® £("•>) • (М"т 0 £(П-'Т1)).

Этот алгоритм при п - 2®, т = 2'-1 рассматривается коте каскадный быстрый алгоритм, в котором каждое Нт (или \¥т соответственно) вычисляется по этой же формуле и так далее.

Входной сигнал х и выходной сигнал у длины 2П, где п = 2т, более наглядно представлять в виде квадратной матрицы X или У (для х или у соответственно) порядка 2т, располагая сигнал по столбцам.

Предложение 3.17. В приведенных обозначениях вычисление выходного сигнала в случае нумерации Адамара у — Н„ ■ х по формуле теоремы 3.5 представляется в виде

У = Нп-т ■ X ■ Нт.

В случае нумерации Пэли аналогичная формула для вычисление выходного сигнала у = Шп-х по первой формуле теоремы 3.5 имеет вид

У = ■ ХТ - И^.,,,,

то есть исходный сигнал помещается в матрицу по строчкам, а выдается по столбцам (или наоборот, что получаем транспонированием формулы).

Напомним, что в фигурных скобках указывается уровень сигнала: х{т } есть сигнал длины 2". В двух следующих предложениях речь идет о подсигвалах уровня 1, выделяемых из сигналов г{п) н у{п}. Второй индекс в фигурных скобках £¿{1; г} указывает уровень прореживания при выборе подсигнала уровня 1, то есть координаты выбираются с шагом 2*. Последовательная нумерация всех таких подсигналов осуществляется индексом

Предложение 3.18. Алгоритм записи быстрого алгоритма реализации дискретного преобразования Уолиш в нумерации Адамара вида у{п} = Я„-х{п) следующий.

ДЛЯ г ОТ О ДО те - 1 ВЫПОЛНЯЕМ

(для j от О до 2"-' - 1 выполняем := Я ■ sj{l;t}}. у := :с.

В приведенной формуле алгоритма запись Ь{1} ■= Я ■ «{1} расшифровывается как дискретное преобразование Хаара: Ьц = оо -г а\, bj ■— оц — ûj.

Предложение 3.19. Алгоритм записи быстрого алгоритма реализации сдекретного преобразования Уолгаа в нумерации Пэли вида y{n\ — ti'n • д:{п}, примененного к входному сигналу х{п}, один из следующих.

Вариант 1. Для i от 0 до п - 1 выполняем

(для J от О до 2n_1 - 1 делать %{1;0} := Я • a'j{l;i}. X := у).

В работе приведено еще 3 варианта. В предложениях 3.20 и 3.21 получены аналогичные алгоритмические формы записи быстрого алгоритма реализации дискретного преобразования Уолша в нумерациях Уолша и новой.

Предложение 3.22. Нормированное дискретное преобразование Уолша И „ = -J~.Wn есть оператор кручения второго порядка (И^)2 = Е, действующий на произвольный х = х+ Н- х_, где х+ £ R¥ и .х_ € по правилу Й'Цач + = х+ - ,т_.

В следующем параграфе рассмотрены фреймы Парсеваля для собственных подпространств дискретного преобразования Уолша. Понятие фрейма одно из основных в теории всплесков 18. Метод проектирования ортонормированного базиса легко позволяет получать матрицы фреймов Парсеваля. Если в качестве оператора анализа взять оператор с матрицей фрейма Парсеваля, а в качестве оператора синтеза оператор заданный транспонированной матрицей, то происходит точное восстанавлекие входного сигнала. Причем из всех фреймов только фреймы Парсеваля (и их вырожденный случай в виде ортонормиро-ванной системы) обладают этим свойством точного восстановления. Интерес представляют те фреймы Парсеваля, которые связаны с какими-либо инвариантными подпространствами. В качестве такозых в диссертации рассмотрены собственные подпространства дискретного преобразования Уолша.

Ортонормированный базис собственных векторов ДПУ-Пэли уровня 4 состоит из строк следующих матриц Л_ п А+, умноженных на

/1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 \

1 -1 1 -1 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 0 0 0 0

1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1

0 0 0 0 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 -1 -1 1 0 0 0 0 — 1 -1 1 1

\0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 -1 1 -1 ч

'"Новиков И.Я., Протасов В. Ю., Скипина М.А. Теория всплесков. - М: ФМЛИТ, 2005; Добешн И. Десять лекцнП по веПвлетам. - М. - Ижевск: НИЦ РХД. 2004.

/1 1 -1 -1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 \

1 -1 1 -1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 -1 -1 1 0 0 0 0 1 1 -1 -1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1

1 1 1 1 1 1 -1 -] 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1

0 0 0 0 0 0 0 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1)

Столбцы этих матриц составляют взаимно дополняющие фреймы Парсеваля собственных подпространств ДПУ-Пэли. На примере этих дополняющих фреймов Парсеваля в работе показано как можно организовать контроль и исправление ошибок при передаче информации по каналу связи с возможными отдельными ошг&ками.

В последнем параграфе главы рассмотрены несимметричные И'-матрицы.

Теорема 3.6. Любая несимметричная нормированная IV-матрица вида J = х^п (где X = ^2"), удовлетворяющая условию У2"1 = Е, порождает операторы ортопроектирования Як = Чк!^> па собственные подпространства Я.к (где к = 0,1,2,..., 2т - 1, <? = ) пространства С2": Яь! = Причем. Як = 02т-к-

При этом имеет место разложение степеней оператора

„/<•- = д0 + д, + + ... + (д)Рт-,)*<гат_1.

Четвертая глава посвящена дискретному преобразованию Фурье (ДПФ).

Показывается, что унитарный оператор дискретного преобразования Фурье с матрицей Р = ^-^п = (где д = } является периодическим, а точнее

есть оператор кручения четвертого порядка.

Лемма 4.2. Пусть Р : X —> X есть унитарный оператор кручения четвертого порядка. Тогда операторы Як = | (/+11^+(г1:^)2-(-(гк:Р)3), к = 0,1,2, 3, являются ортопроекторалт па собственные подпространства Я/;, та'.те, что

х = Рц, ® я1 © я2 е /г3, при г ф

Имеет место спектральное разложение оператора.

а

^ = Р • (<3„ + дн- Яч + Ял) = (2о - *Я1 - Яг + гОз = £

к=0

Размерности собственных подпространств совпадающих с кратностью собственных чисел, установили Макклпллан и Парк (сноска 8): "о = ["/4] + 1 (применен знак целой части чпела) , щ = Г2^], п? = [т^]. "з = Если

обозначим a(Fn) набор с учетом кратности всех собственных чисел унитарного оператора ДПФ и заметим, что ет(Р2) = {1, — 1}, то этот результат формулируется более красиво как

Утверждение 4.1. Спектр унитарной матрицы дискретного преобразования Фурье вычисляется присоединением очередного собственного числа по рекуррентной формуле a(Fim+k) = a{Fim+k-i) U h , k = 0,1,2,3.

Приведено доказательство этого утверждения со ссылкой на классические суммы Гаусса, изучаемые в теории чисел.

Далее дано описание метода построения ортогональных матриц U специального вида, где применяется новая нумерация матриц ДПУ. Ортогональное преобразование с этими матрицами позволяет отделить базис действительного инвариантного подпространства R+ = Яц 0} R? от базиса мнимого инвариантного подпространства /?_ = /?!©

Во втором параграфе рассматривается быстрый алгоритм реализации ДПФ, предложенный Кули и Тьюки (сноска 13). Показано, что лемму о факторизации ДПФ составного порядка удобнее записать с использованием, введенного в данной работе, символа нового тензорного произведения матриц. Матричная форма быстрого алгоритма Кули и Тьюки в работе переписана в более коротком, чем в статьях 19, виде с использованием символа нового тензорного произведения.

В последнем параграфе главы решается задача вычисления точных тригонометрических сумм специального вида с помощью ДПФ.

Если последовательно брать входные сигналы s(l) = {0,1,2,...,Л' — 1}, i(2) = {0,12,22,...,(N - I)2}, ... , z(n) = {0, ln,2n,...,(N- 1)"}, и применять к ним ДПФ Fn, то по формуле Парсеваля получим формулы

у,1 1 = ЛГ2-1 у,1 1 = (Af2-1)(A^+11)

и так далее. Однако вычислительные трудности здесь столь велики, что этот прямой путь не рационален. Поэтому набор входных сигналов заменен на другой набор.

Получено (предложение 4.2.) для фиксированного N решение бесконечной, так как п е N, системы простейших уравнений в конечных разностях по дискретной переменной к вида (здесь Ду* = г/^-ы — у к)

Ахк(п) = хк{п-1), где к =0,1,...,N - 1, (2)

19Johnson J., Johnson R.W., Rodriguez D., Tolimieri R. A methodology for designing, modifying and implementing Fourier transform algorithms on various architectures // Circuits, Systems and Signal Processing. 1990. V. 9, № 4. 449-500;

Малоземов B.H., Просеков O.B. Факторизация Кули-Тьюкв матрицы Фурье // Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. СПб.: СПбГУ. 2009. 20-29.

удовлетворяющей начальному условию хц(0) = 1 и условиям нормировки

М-1

У^ ЯцДп) = 0 при п > 1.

к=0

Теорема 4.2. Следующие суммы четных отрицательных степеней синусов в равноотстоящих узлах окружности выражаются через решения системы (&) простейших разностных уравнений с начальным условием £¿(0) = 1 и условиями нормировки по формуле

Ы~1 \ 4"

тг£(**(п»2- (з)

¿—i _:_2n xk у *=1 5Ш N к=0

Выражение Sn(N) = Xlkli1 sin-271 ^ при фиксированном п является четным многочленом степени 2п, делящимся на (N2 — 1).

Суммы в (3) допускают вычисление на компьютере и представляют собой многочлены четной степени, некоторые из которых приведем:

N~x 1 (iV2 — 1)(2JV4 + 23ЛГ2+191)

Г —=

-¡„б я*

Ы-1

У 1

¿-1 cm8 Sk

945

1

(Лг2 - 1)(3N6 + 437V4 + 337jV2 + 2497),

14175v *=1 i»

W- 1

У2 . io „k = ——(N2 - 1)(2^й + 35N6 + 32Ш4 + 2125Л'2 + 14797).

, ,J sin "T7" 93555

fc=l N

Основное достоинство этих формул в том, что они точные. Написана, не включенная в диссертацию, компьютерная программа вычисления точного значения этих сумм в виде рационального числа для произвольных пи N. Ограничения для п и ЛГ обусловлено только длиной записи результата.

Последняя (пятая) глава посвящена системе Крестенсона-Левн. Она состоит из трех параграфов, в которых решаются проблемы, рассмотренные в первых трех главах диссертации в случае системы Уолша.

Соответственно первый параграф главы назван "Ряд Фурье по системе Крестенсона-Леви".

Предложение 5.1. Если р простое, то точной мажорантой ядра Дирихле по системе Крестенсона-Леви служит функция

pm_1 cos —

М®) =-гт"^ . «ми 1 € дт. 1 < * < Р-

sin —

J»

В частности, если р = 3, то h(x) = Зт, если х € [3_(т+1), 3_т).

Аналогично конструкции, построенной в случае системы Уолша, строится более сложная конструкция и формулируется вывод о поведении модуля ядра Дирихле по системе Крестенсона-Леви. Основу этой более сложной конструкции составляет новое понятие маршрута, которое введем.

Сначала полагаем, что р простое. Символом Мг(к; 1) обозначим маршрут в виде правильного р-уголъника со стороной а = 1 и углом при вершине ¡р = (р-^* . Геометрически его представляем в виде помеченного ориентированного графа с р узлами в вершинах р-угольника, расположенного на (комплексной) плоскости. Помечаются узлы графа числами от 0 до р, которые назовем метками маршрута. Начало маршрута с меткой 0 располагается в начале координат, а начальная дуга графа проводится по горизонтальной (действительной) оси от начала координат к точке 1. Так как маршрут циклический, то конец маршрута с меткой р тоже в точке начала координат. Считаем, что при фиксированном р различных маршрутов первого уровня ровно так как будем отождествлять маршруты Мр{к\ 1) и Мр(р — к; 1), различающиеся лишь знаком угла у? и формально получающиеся друг из друга симметричным отражением относительно начального ребра графа. Маршрут следующего уровня Мр(к\ т) получаем из маршрута Мр(к\т — 1) гомотетией (растяжением в р раз) относительно начала координат. При этом метка с номером п перейдет в метку с номером рп. Каждый отрезок между точками с метками рп и р(п+1) разбиваем на р равных частей длины 1 и помечаем точки деления метками в порядке их следования по новому маршруту.

Теперь положим, что р составное. Если рак взаимно-просты ((р, к) = 1), то маршрут Мр(к\ 1) определяется также. Если же (р: к) = г (то есть р — г ■ ри к = г ки (р 1, к]) = 1), то маршрут Мр(к; 1) есть циклический маршрут Мр, (&1,1) пройденный г раз с последовательной нумерацией меток. В частности отметим, что маршрут М2(1; 1) есть цикл 0 — 1 — 0 на комплексной плоскости.

Введем дискретную (периодическую с периодом рт) функцию фь,т(п) равную расстоянию от начала координат до метки п маршрута М?(к; т.).

Теорема 5.1. Для модуля ядра Дирихле по системе Крестенсона-Леви

если х € Д^ или х е Д&"*, где т е N. к 6 {1,2,...}, к <

Лемма 5.11. Если в качестве основания системы Крестенсона-Леви выбрано 3, то для норм ядра Дирихле имеет место рекуррентное соотношение

|А,(Х)| = ¥>*.т(п),

(к < Уп):

(3™ 4- Аг1р К/32'" - 3тк + № ■ 2 к"

В частности, для констант Лебега

1 ___4

Ly+k = -(1 - 2х + 2VI-X + х2) + Lk, L23.«+k = -(1 - я) 4- Lk, где х = ± < 1.

Теорема 5.2. Существуют 0 < а(р) < 1 < А(р) такие, что верны оценки норм ядер Дирихле по системе Крестенсона-Леви с основанием 3.

1. Если 1 < р < 2 , то пУ < ПД.Цр < А(р) • п? , причем левое неравенство обращается в равенство только при п = Зт.

]|Д||Ь = v/n.

S. Если р > 2, то а(р) ■ п7 < ||Д,||Р < п?, причем правое неравенство обращается в равенство только при п = Зт.

Величины а(р) и А(р) в теореме 5.2 не связаны с аналогично обозначенным решением экстремальной задачи из первой главы и могут быть оценены методом компьютерного моделирования с использованием разработанной программы. Аналогичный результат верен и для других оснований системы, но вычисление величин о(р) и А(р) представляется очень сложной проблемой.

Теорема 5.3. Для всех линейных и кусочно-линейных перестановок системы Крестенсона-Леви нормы ядер Дирихле (следовательно и константы Лебега) совпадают.

Во втором параграфе рассмотрено преобразование Крестенсона-Леви, которое для / € L[0, оо) определяется

т(у) = Г m-Kfäfidx, Ju

где ядро преобразования выражается через функции Крестенсона-Леви

у) = хи({у}км({х}).

Ядром Дирихле для преобразования Крестенсона-Леви (обобщенным ядром Дирихле) назовем интеграл от ядра преобразования Крестенсона-Леви с переменным верхним пределом

D(.г; i) = f К(х, y)dy, J о

Теорема 5.5. Для модуля ядра Дирихле преобразования Крестенсона-Леви \D(x-,t)\ = ipk,m(t),

если х 6 или х е где m е Z, k е {1,2,...}, к < где непрерывная

функция v?it,m(i) соответствует дискретной функции ^it,m(n) из предыдущего параграфа.

Теорема 5.6. Для преобразования Крестенсона-Леви некоторого фиксированного основания системы (например, 3) с теми же величинами а(р) и А(р), что и в теореме 5.2 (или в замечании к теореме 5.2) повторяется оценка и для обобщенного ядра Дирихле

1. Ec.nu I < р < 2, то < ||D(- ;i)||LP(0l«) < А{р) • t7.

2. j~(D(x-,t))4x = i.

3. Если р > 2, то: а(р) ■ t? < ||D(-; i)IU"|«,oo) < .

Последний параграф посвящен дискретному преобразованию Крестенсона двух основных нумераций. В технической литературе часто по аналогии с дискретным преобразованием Уолша их называют нумерациями Пэли и Адамара. В диссертации используется другая терминология, согласно которой нумерации называются Леви и Кронекера соответственно. Название дискретное преобразование Крестенсона-Кронекера (ДПКК) полагаю более правильным, так как его матрица есть кронекерова степень матрицы ДПФ. А название дискретное преобразование Крестенсона-Леви (ДПКЛ) указывет на соответствие этой нумерации дискретного преобразования тому упорядочению, которое принято для системы функций и для непрерывного (интегрального) преобразования.

Определение 5.2. Кронекерово произведение строк матрицы ДПФ фиксированного порядка в количестве п сомножителей назовем дискретной функцией Крестенсона уровня п.

Дискретные функции Крестенсона можно упорядочить в соответствии с выбранной нумерацией Леви или Крестенсона.

Будем использовать обозначения: Тп = Т„{р} для матрицы дискретного преобразования Крестенсона-Кронекера (ДПКК), Кп = Кп{р] для матрицы дискретного преобразования Крестенсона-Леви (ДПКЛ). Указываем р при необходимости сделать ссылку на основание системы. Матрицы Тп и К„ порядка р", где л назовем уровнем матрицы. Строки каждой матрицы Тп и Кп составляют полный набор всех различных дискретных функций Крестенсона уровня п. Строки матрицы Г„, упорядоченные по Кронекеру, обозначим tj (или t,{n} при необходимости уточнить уровень), а строки матрицы К„, упорядоченные по Леви, обозначим к} (или £,{п}).

Предложение 5.3. Кронекерово произведение дискретных функций Крестенсона вычисляется по правилам

fci{m} ® = kjpm+i{m + 0, fi{m} ® i>{/} = V+jim + '}>

где 0 < г < рт, 0 < j < р1.

Теорема 5.8. Матрица Кп определяется как степень относительно нового тензорного произведения матрицы ДПФ

Кп{р} =

Утверждение 5.6. 20 Любая матрица уровня п дискретного преобразования Крестенсона-Кронекера представима в виде

Tn{p} = S}S2-...Sn,

где Sk = ® Fp © E(n~k\ Е - единичная матрица порядка р, = (1).

Матрицы-сомножители перестановочны S; • Sj = S} • S,. Предложение 5.6. Произвольная матрица дискретного преобразования Крестенсона-Леви представима в виде

Кп{р\ = 5, ■ St ■... ■ Sni

где Sk = ® (Fp 0 Е'"-*1), Е - единичная матрица порядка р, Е(0) = (1).

Теорема 5.9. Если п = 2га, то ДПКЛ вида у — Кп ■ х можно вычислить по формуле

где Е - единичная матрица порядка р.

Построчная запись выходного сигнала у дается формулой YT = К,„Х-К,„, а запись сигнала у по столбцам - формулой Y = КтХТКт = Кт-(Кт-Х)Т.

Для ДПКК вида у = Т„-х аналогичные формулы (где X, Y есть записанные по столбцам сигналы х, у) имеют форму

у = (Тт®Е(т))-(Е!т>®Тт)-х,

Y — Тт ■ Л ■ Тт. YT = Тт ■ X3* ■ Тт -- Тт ■ (Тт ■ Х)Т.

Теорема 5.10. Для оператора ДПКЛ, где р нечетное, четного уровня п = 2m следующий набор векторов составляет ортогональный базис из собственных■ векторов: вектор eo{ni} @ fco{m} и набор

е}{т) ® kt{m} + i*e,-{m} ® /¡¿{m} + (-l)'ej{m} ® kj{m} + (-¿)*e({m} S k-{m],

где индексы пробегают мноокества j i U {0}, I € u>i, s £ {0.1.2.3}, uii есть множество номеров, значение старшего разряда которых от 1 до Щг-

Причем для каждого s — 0,1, 2,3 соответствующий вектор отвечает собственному числу As = (—()s нормированного оператора ДПКЛ: Кп = ^цКп.

Теорема 5.11. Нормированные операторы ДПКЛ К„ и ДПККТ„ являются периодическими операторами четвертого порядка (Кп)4 = (Т„)4 = где Е - единичная матрица порядка р.

30Малоземов В.Н., МашарсюД С М. Обобщенные веЯвлегпые базисы, связанные с дискретными преобразованиями Вилсикпла-Крестексоиа // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, № 1. 111-157.

Для любого периодического оператора А четвертого порядка ортопроекто-ры на собственные подпространства Я^ (если х 6 Ят, то А ■ х = (—г)т • х) вычисляются через степени матрицы по следующей формуле ДПФ

1 3

О™ = т=0,1,2,3.

1=0

Обратное ДПФ включает при I = 1 спектральное разложение оператора, а при I = 0 неполное разложение единицы: А1 - Лт=о( —0т,<2т.

В теоремах 5.12 и 5.13 вычислены размерности собственных подпространств дисретного преобразования Крестенсона двух основных нумераций.

Определение 5.3. Назовем /(-матрицей уровня п (строится для фиксированного основания системы р) невырожденную матрицу, все строки и столбцы которой есть дискретные функции Крестенсопа уровня п (основания р).

Определение 5.4. Назовем В-матрицей уровня л невырожденную над полем Ър матрицу, при замене каждого элемента з е {0,1,2,... , р — 1} = которой на (Д где д = ехр(2тп/р), получается А'-матрица уровня п.

Каждую строку (илп столбец) В-матрицн уровня п назовем п-адй-вектором. Будем применять обозначение 6,{п} для п-а(М-вектора, полученного заменой всех координат дискретной функции Крестенсона-Леви £„{тг} иа показатель степени з-

Предложение 5.10. Если вектор а = (оо ... ар»_1) есть дискретная функция Крестенсона уровня п, то по следующим его п координатам с индексами р°, р1, ... , рп~' восстанавливается: номер з вектора а среди набора дискретных функций Крестенсона-Леви уровня п

а = А;5{п}, где з = Ьрор"-1 + ¡ур"~2 + ... +

и номер э среди набора дискретных функций Крестенсона-Кронекера уровня п

а = ^{п}, где з = Ъ^р" + Ь^р1 + ... +

переходом (то есть а1 = дь') от дискретной функции Крестенсона а к соответствующему п-сиМ-вектору Ь = (Ьи Ь\... £),,»_ 1) и выбором из него координат Ьро, 6р1,.... Ьрп-1 с указанными индексами (то есть Ь = Ь,{п}).

Введем матрицы Сп порядка п х рп следующей рекуррентной формулой

= (о 1...р — 1), а„ = (0{^1} ;;;

где 1{п — 1} — (II.. .1) строки длины р"'1 с фиксированиой координатой.

Теорема 5.14. Любая невырожденная над полем Хр матрица (3 порядка п посредством формулы

В = с1-ссп

задает В-матрицу, которая при мультипликативной форме записи (то есть при замене j € Zp на cf) переходит в К-матрицу.

И наоборот, для любой К-матрицы уровня п найдется невырожденная над полем Zp матрица G порядка п такая, что Cj[-G-C„ есть соответствующая В-матрица.

Теорема 5.15. Любая нормированная К-матрица J уровня п задает периодический оператор (Jm = Е) с четным показателем периода т. Этот оператор имеет р" (с учетом кратности) собственных чисел из множества {qk , к = 0,1,..., т - 1}, где q = Матрицы Q* = — Silo' <TklJl служат проекторами на собственные подпространства Ek (Jx = qkx для х 6 Е^) пространства С , через которые задается спектральное разложение степеней оператора Jk = <IfciQr

В кояде диссертации приведено заключение, в котором кратко проанализирована возможность перенесения результатов работы на три объекта гармонического анализа в смешанных кодах, которые принято называть система Вилевкина, мультипликативное преобразование Фурье и дискретное мультипликативное преобразование Фурье соответственно.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Теорема 2.2 об оценке нормы обобщенного ядра Дирихле и ее следствие в виде теоремы 1.2 для ядра Дирихле. Вывод о поведении модуля обобщенного ядра Дирихле и ядра Дирихле.

2. Теорема 1.4 о совпадении норм ядер Дхгрихле для линейных и кусочно-линейных перестановок системы Уолша и её Следствие. Константы Лебега с одинаковым номером систем Уолша-Пэли, Уолша-Уолша и Уолша-Качмажа совпадают.

Утверждение о том, что результаты Файна о константах Лебега системы Уолша-Пэли и мои результаты в виде теоремы 1.2 и леммы симметрии (1.18) ¿2"+(г = ¿2"+' (к < 2") верны для класса обобщающих систем Уолша.

3. Определение 3.3 iV-матриц, метод их генерирования и обратная процедура восстановления кодирующей матрицы (теорема 3.2, предложения 1.2 и 3.13).

Перенос данной конструкции из двоичного дискретного гармонического анализа в р-ичный дискретный гармонический анализ (определения 5.3, 5.4, 5.5, предложение 5.10 и теорема 5.14).

4. Новый вариант тензорного произведения матриц (определение 3.1) и теоремы 3.1 и 5.8 о представлении матрицы дискретного преобразования Уолша и Крестенона основной нумерации (-Пэли в случае Уолша и -Леей в случае Крестенсона) в виде степени относительно нового тензорного произведения матрицы дискретного преобразования Фурье.

5. Новые формы записи быстрых алгоритмов дискретных перобразований Уолша в нумерации Пэли и Адамара (предложения 3.16, 3.17, 3.18, 3.19 и теорема 3.5). Перенос данных результатов в р-нчный дискретный гармонический

анализ (предложения 5.С, 5.7, 5.8, 5.9 и теорема 5.9).

6. Теорема 3.4 о базисе собственных подпространств дискретного преобразования Уолша-Пэли и ее аналог (теорема 5.10) для дискретного преобразования Крестенсона-Леви.

Теорема 3.6 о спектральном разложении несимметричной матрицы дискретного преобразования Уолгиа, ее аналог (теорема 5.15) для дискретного преобразования Крестенсона н теорема 5.11 о спектральном разложении матрицы дискретного преобразования Крестенсона-Леви или Крестенсона-Кронекера.

7. Алгоритм (теорема 4.2) вычисления точного значения сумм четных отрицательных степеней синусов в равноотстоящих узлах и отдельные точные тригонометрические формулы параграфа 4.3.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:

[1| Беспалов М.С. О коэффициентах Фурье и приближении функций рядами по периодической мультипликативной системе // Матем. заметки. 1984. Т. 36, .V 3. 329-340.

[2| Беспалов М.С. Представление для сумм четных отрицательных степеней синусов в равноотстоящих узлах // Известия ВУЗов. Сер. Матем. 1996. Т. 8(441). 6-12.

[3| Беспалов М.С. Перестановки систем Уолша, сохраняющие константы Лебега // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 1. 36-48.

[4] Беспалов М.С. Явный вид ядра Дирихле для рядов и преобразований Уолша ,//' Матем. сборник. 2005. Т. 196, 7. 3-26.

[5[ Беспалов М.С. Операторы мультипликативного преобразования Фурье // Известия ВУЗов. Сер. Матем. 2006. Т. 526, № 3. 9-23.

[6] Беспалов М.С. Новая нумерация матриц Уолша // Проблемы передачи информации. 2009. Т. 45, X« 4. 43-53.

[7] Беспалов М.С. Собственные подпространства дискретного преобразования Уолша // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, № 3. 60-79.

[8] Беспалов М.С. Дискретное преобразование Крестенсона // Проблемы передачи информации. 2010. Т.46, № 4. 91-115.

[9] Bespalov M.S. On Fine's results for Lebesque constants on the Walsh system // Journal of Mathematical sciences. 2004. V. 126, № 5. 1407-1418.

(перевод статьи Беспалов М.С. О результатах Файна для констант Лебега системы Уолша // Современная математика и ее приложения. Труды Межд. конф. по динамическим системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль 2002, Т. 8, Ч. 2, Тбилиси: Академия наук Грузии, 2003. 49-59.)

[10] Bespalov M.S. Computational algorithms based on the Shur representation // Journal of Mathematical sciences. 2007. V. 147, № 1. 6416-6424.

(перевод статьи Беспалов М.С. Алгоритмы вычислений, основанные на представлении Шура // Современная математика и ее приложения. Труды Межд. конф. по дпнамич. системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль 2004, Т. 38, Ч. 3, Тбилиси: Ин-т кибернетики Академии наук Грузии, 2006. 28-36. )

[11] Bespalov M.S. Generalizing the Walsh-Paley system and binary integration // Journal of Mathematical sciences. 2009. V. 157, №3. 442-449. (перевод статьи Беспалов М.С. Обобщающая система Уолша-Пэлн и двоичное интегрирование // Современная математика и ее приложения. Труды Межд. конф. по дифференциальным уравнениям и динамич. системам, Суздаль 2006, Т. 53, Ч. 2, Тбилиси: Ин-т кибернетики Академии наук Грузии, 2008. 57-64. )

Другие публикации:

|12] Bespalov M.S. Construction and properties of discrete Walsh transform matrices // Walsh and Dyadic Analysis/ Proceedings of the Workshop Dedicated to the Memory of J.Edmund Gibbs, October 18-19, 2007, Nis, Serbia, edited by Radomir S. Stancovic. Nis, Elektronski fakultet, 2008. 195-208.

[13] Беспалов М.С. Спектральное разложение оператора дискретного преобразования Фурье // Семинар по дискретному гармоническому анализу н геометрическому моделированию "DHA & CAGD". Иэбр. докл. 2 октября 2010 г. 10 с. http://www.dha.spb.ru/

[14] Беспалов М.С. Математические методы в информатике и вычислительной технике. В 2-х ч. Ч. 2. Введение в прикладной гармонический анализ. -Владимир: ВлГУ, 2007. - 244 с.

[15] Беспалов М.С. Математические методы в информатике и вычислительной технике. В 2-х ч. Ч. 1. Элементы функционального анализа и алгебры. -Владимир: ВлГУ, 2006. - 92 с.

[16] Bespalov M.S. Tight frame of co-rank one // Сб. Wavelets and Splines, St.Petersburg Univ.Press, St.Petersburg, 2003. 12-14.

[17] Беспалов М.С. Оценка пачек ряда Фурье по мультипликативной системе // Первая Всероссийская школа по основаниям математики и теории функций. Саратов: СГПИ. 1989. 102.

[18] Беспапов М.С. Мультипликативные преобразования Фурье в V // Рук. деп. в ВИНИТИ, № 100-82. 21 с.

[19] Беспалов М.С. Об операторах мультипликативных преобразований Фурье // Рук. деп. в ВИНИТИ, К'- 5826-83. 27 с.

[20| Беспалов М.С. Мультипликативные преобразования Фурье // Теория функций и приближений. - Тр. Саратовск. зимней шк., ч. 2. Саратов: СГУ. 1983. 39-42.

[21] Беспалов М.С. О некоторых применениях мультипликативных систем функций // Теория функций и приближений. - Тр. 2-й Саратовск. зимней шк. 24янв.-5февр. 1984г., ч. 2. Саратов: СГУ. 1986. 42-45.

[22) Беспалов М.С. О свойствах оператора мультипликативного преобразо-

вания Фурье // Теория функций и приближений. - Тр. 3-й Саратовск. зимней шк. 27янв.-7февр. 1986г., ч.2. Саратов: СГУ. 1988. 3-6.

)23] Беспалов М.С. Ядра Дирихле и константы Лебега для системы Крестен-сона-Леви // Современные проблемы теории функций и их приближения. -Тезисы докл. 8-й Саратовск. зимней шк. ЗОянв.-бфевр. 1996г. Саратов: СГУ. 1996. 17-18.

[23] Беспалов М.С. Константы Лебега для перестановок системы Уолта // Алгебра и анализ. Матер, конф. поев. 100-летию Б.М. Гагаева. Казань. 1997. 33-34.

[24] Беспалов М.С. Мажоранта ядра Дирихле для системы Прайса // Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 1997. 18.

[25] Беспалов М.С. О сходимости рядов по системе Крестенсона // Современные проблемы теории функций и их приложения. - Тезисы докл. 9-й Саратовск. зимней шк. 26 янв.-1 февр. 1998г. Саратов: СГУ. 1997. 24.

]26] Беспалов М.С. Константы Лебега двойных рядов Уолша // Теория функций и ее приложения. Смежные вопросы. Матер, шк.-конф. поев. 130-летию Д.Ф. Егорова. Казань: КМО. 1999. 41-42.

[26| Беспалов М.С., Беспалова А.Г. Двойственность пространств последовательностей над конечным полем // Современные проблемы теории функций и их приложения. - Тезисы докл. 10-й Саратовск. зимней шк. Саратов: СГУ. 2000. 18-19.

[27] Беспалов М.С. Преобразование Фурье с ядром в виде скрещенного произведения // X Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование". II междунар. симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тез. докл. Ростов н/Д., 2002. 14.

[28] Беспалов М.С. Ядро Дирихле для системы Крестенсона-Леви как динамическая система // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 1-6 июля 2002. Тез. докл. Владимир. 2002. 35-36.

[29] Беспалов М.С. Анализ простейшего разностного уравнения // Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 2003. 35-36.

[30] Беспалов М.С. Ядра Дирихле-Уолша // Современные проблемы теории функций и их приложения. - Тезисы докл. 12-й Саратовск. зимней шк. Саратов: Изд. гос.УНЦ "Колледж". 2004. 22-23.

[31] Беспалов М.С. Применение спектрального разложения оператора кручения // Современные методы теории краевых задач. Матер. Воронежской весенней матем. школы "Понтрягннские чтения - XV". Воронеж. ВГУ. 2004. 31-32.

[32| Беспалов М.С. Обработка и кодирование сигналов с помощью функций Уолша // Междун. научно-техн. конф. "Новые методологии проектирования изделий микроэлектроники: Владимир. 10-11 декабря 2004. Владимир: ВлГУ.

2004. 195-197.

[33] Беспалов М.С. Применение обобщений функций Уолта для обработки визуальной информации // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Матер, конф. - Воронеж, Воронежская гос. академия. 2005. 23.

[34] Беспалов М.С. Базис собственных векторов ДПУ // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 10. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань, УНИПРЕСС. 2005. 20-21.

[35] Беспалов М.С. Интегрирование в двоичном анализе // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 10-15 июля 2006. Тез.докл. Владимир. ВлГУ. 2006. 41-42.

[35] Беспалов М.С. Матричное представление двоичного анализа Фурье // XIII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование". III междунар. симпоз. "Ряды Фурье и их приложения". Тез.докл. Ростов н/Д., ООО "ЦВВР",

2005. 10-11.

[36] Беспалов М.С. Фреймы Парсеваля и дискретное преобразование Уолша //' International conference "Differential Equations and Related Topics'Medic. to Ivan G. Petrovskii. Book of abstracts. Moscow, May 21-26, 2007. 34-35.

[37] Беспалов М.С. Дискретное преобразование Уолша как степень для нового произведения матриц // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 14-й Саратовск. зимней школы поев, памяти П.Л. Ульянова. Саратов. 2008. 13.

[38] Беспалов М.С. Спектр оператора дискретного преобразования Фурье // Тез. докл. 3-й междунар. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образова-ния."посв. 85-летию Л.Д. Кудрявцева. М.: МФТИ. 2008. 122-123.

[39] Беспалов М.С. Новая нумерация матриц Уолша // Современные методы теории функций и смежные проблемы. - Матер, конф. Воронежской зимн. матем. шк. Воронеж: ВГУ. 2009. 22-23.

[40] Беспалов М.С. Собственные подпространства дискретного преобразования Уолша // Труды Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 38. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы: Матер. Девятой междунар. Казанской летней научной школы-конф. Казань: КМО-КГУ. 2009. 43-44.

[41] Беспалов М.С. Спектр унитарных операторов гармонического анализа // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 26 июня-2 июля 2008. Тез.докл. Владимир. ВлГУ. 2008. 41-43.

[42| Беспалов М.С. Бесконечные матрицы с финитными столбцами // Труды Владимирского государственного ун-та. Вып. 7. Физико-математические основы индустрии наносистем и материалов. Владимир: ВлГУ. 2010. 26-31.

Подписано в печать 14.06.11 Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,86. Тираж 100 экз. Заказ Издательство Владимирского государственного университета. 600000, Владимир, ул. Горького, 87.

11-^ 6 7 0 0

2010291673

2010291673

Введение

1 Система Уолша

1.1 Функции Радемахера и Уолша.

1.2 Групповое свойство функций Уолша.

1.3 Дискретные функции Уолша.

1.4 Ядро Дирихле.

1.5 Константы Лебега.

1.6 Перестановки системы Уолша.

1.7 Обобщение систем Уолша.

2 Преобразование Уолша

2.1 Преобразование Уолша в Ь.

2.2 Обобщенное ядро Дирихле.

2.3 Интегрирование в двоичном анализе.

2.4 Преобразование Уолша в Ь2.

3 Дискретное преобразование Уолша

3.1 Основные виды ДПУ.

3.2 Новое тензорное произведение матриц.

3.3 Линейные перестановки матриц ДПУ.

3.4 Генерирование матриц ДПУ.

3.5 Базис собственных подпространств.

3.6 Быстрый алгоритм дискретного преобразования Уолша.

3.7 Фрейм Парсеваля для дискретного преобразования Уолша.

3.8 Спектральное разложение несимметричных И^-матриц.

4 Дискретное преобразование Фурье

4.1 Спектральное разложение оператора ДПФ.

4.2 Быстрое преобразование Фурье.

4.3 Вычисление точных тригонометрических сумм с помощью ДПФ

5 Система Крестенсона-Леви

5.1 Ряд Фурье по системе Крестенсона-Леви.

5.2 Преобразование Крестенсона-Леви

5.3 Дискретное преобразование Крестенсона.

Совершенствование вычислительной техники и разработка новых методов цифровой обработки информации в качестве приоритетного направления прикладных математических исследований выделяет прикладной гармонический анализ. Уточним разделы математики, относящиеся к прикладному гармоническому анализу.

Одним из основных разделов теории функций служит классический гармонический анализ, включающий тригонометрические ряды Фурье в действительной и комплексной форме и преобразование Фурье. Наиболее полное изложение теории рядов Фурье приведено в книгах Бари [9] и Зигмунда [41], а преобразований Фурье в книге Титчмарша [98].

В последнее время широкое распространение получил двоичный гармонический анализ [24, 141], в рамках которого изучаются ряды Фурье по системе Уолша (введенной в [149]) и преобразования Уолша (введенные в [123]). Естественным обощением двоичного служит р-ичный гармонический анализ, где изучают ряды Фурье по системе, которую одни авторы [28] называют системой Крестенсона-Леви, а другие [40, 97] Виленкина-Крестенсона. Следующим обобщением системы Крестенсона-Леви служат мультипликативные системы функций, предложенные Виленкиным [15] как система характеров на группе и введенные Прайсом [138] в виде системы функций. Более подробно Виленкин описал этот класс функций в "Дополнении" к книге [44]. Континуальный аналог этой системы (введенный в терминах групп Виленкиным [16]) принято называть [28] мультипликативное преобразование Фурье. Отдельными авторами рассматривались дальнейшие обобщения как рядов (о чем подробнее в [1]), так и интегральных преобразований (в [37] рассмотрены А-мультипликативные преобразования). В рамках гармонического анализа на абелевых группах [140] и абстрактного гармонического анализа [107] все эти системы и преобразования могут быть рассмотрены как основные частные случаи. Свойство мультипликативности как множества аргументов, так и множества функций, позволяет рассматривать их в виде взаимно двойственных систем характеров в рамках теории двойственности Понтрягина [82], более просто изложенной в [76]. Данные объекты можно отнести к непрерывной составляющей прикладного гармонического анализа.

В технических приложениях широкое распространение нашло [40, 42] друroe направление исследований, оформившееся в виде дискретного гармонического анализа. Дискретным аналогом аппарата классического анализа Фурье служит дискретное преобразование Фурье (ДПФ), которое составляет основу учебных курсов по цифровой обработке сигналов [6, 29, 86, 91]. Оно также широко применяется в комбинаторике [104] и теории кодирования [80]. В двоичном гармоническом анализе аналогом ДПФ служит [6, 97] дискретное преобразование Уолша (ДПУ), а в р-ичном гармоническом анализе - дискретное преобразование Крестенсона-Леви (ДПКЛ). Аналогично строится дискретное мультипликативное преобразование [28, 38], не нашедшее широкого практического применения. Все перечисленные объекты исследований разместим в следующей таблице.

Ряд Фурье (по тригонометрической системе в экспоненциальном виде) Преобразование Фурье Дискретное преобразование Фурье

Система Уолша (в нумерации Пэли, Уолша, Ка-чмажа и др.) Преобразование Уолша Дискретное преобразование Уолша (в нумерациях Пэли, Адамара, Уолша и ДР-)

Система Крестенсона-Леви Преобразование Крестенсона-Леви Дискретное преобразование Крестенсона (Крестенсона-Леви, Крестенсона-Кронекера)

Система Виленкина (мультипликативная система функций или система Прайса) Мультипликативное преобразование Фурье Дискретное мультипликативное преобразование Фурье

Предложенную классификацию рассмотрим в другом порядке. В анализе Фурье на основе тригонометрических функций есть три объекта исследования: ряд Фурье, преобразование Фурье и ДПФ. В двоичном анализе Фурье существуют три объекта исследования: ряд Фурье по системе Уолша, преобразование Уолша и ДПУ; в р-ичном анализе Фурье следующие три объекта исследования: ряд Фурье по системе Крестенсона-Леви, преобразование Крестенсона-Леви (которое как отдельный объект пока не изучалось) и ДПКЛ; а относительно переменного основания систем счисления следующие три объекта исследования: ряд Фурье по мультипликативной системе функций (системе Прайса [1] или Виленкина [141]), мультипликативное преобразование Фурье и дискретное мультипликативное преобразование Фурье (ДМПФ).

Классический гармонический анализ, включающий ряды и преобразования Фурье, занимает особое место в математике. Остальные клетки приведенной таблицы составляют основные разделы прикладного гармонического анализа.

При внешнем сходстве (интегрального) преобразования Фурье и дискретного преобразования Фурье, эти объекты существенно различаются. Другая ситуация наблюдается в двоичном гармоническом анализе. Преобразование Уолша финитной (двоично-) ступенчатой функции совпадает с ДПУ (в нумерации Пэли) от вектора с тем же набором значений. Аналогично преобразование Крестенсона-Леви финитной ступенчатой функции совпадает с ДПКЛ, а мультипликативное преобразование Фурье финитной ступенчатой функции совпадает с ДМПФ. Более того, ДПФ есть простейший частный случай ДПКЛ и ДМПФ, и поэтому может быть представлено как мультипликативное преобразование Фурье финитной ступенчатой функции (но отнюдь не как преобразование Фурье функции какого-либо класса). Есть много подобных примеров тесной связи трех разделов двоичного (и соответственно р-ичного) гармонического анализа.

В рамках прикладного гармонического анализа ряд по системе Уолша (а также по системе Крестенсона-Леви и по мультипликативной системе) изучается не как объект теории функций, а как объект близкий ДПУ (соответственно ДПКЛ или ДМПФ) или аппарат теории приближений. То есть рассматриваются задачи прикладного характера, ориентированные на прикладников и понятные им.

В последнее время проявляется заинтересованность представителей прикладных дисциплин в появлениии учебного пособия по прикладному гармоническому анализу. Разделы дискретного гармонического анализа представлены в учебной литературе [30, 65, 85, 90, 91, 93]. К ним можно добавить и книгу [97], где дан более общий подход к разделам дискретного гармонического анализа. В [171] сделана попытка представить все разделы прикладного гармонического анализа в одном учебном пособии.

Здесь уместно сделать замечание по поводу принятой в технической литературе [6, 40, 97, 102] терминологии. В технической литературе преобразование Уолша, введенное [123] в 1950 г. Файном, и мультипликативное преобразование Фурье не встречаются (согласно ссылке на обзоры [40, 61] прикладных результатов).

Поэтому слово "дискретное "для следующих операторов дискретного гармонического анализа - дискретное преобразование Уолша, дискретное преобразование Крестенсона-Леви (или Виленкина-Крестенсона), дискретное преобразование Ха-ара - в технической литературе опускают. Для дискретного преобразования Фурье подобной вольности не позволяется, так как соответствующее интегральное преобразование хорошо известно. При этом пропадает указание на общность структуры и сфер применения этих операторов дискретного анализа. Кроме этого основного примера неточной терминологии в технической литературе есть множество других, как отмеченных в [40, с. 260], так и не указанных, терминологических расхождений.

Центральное место в прикладном гармоническом анализе занимает двоичный гармонический анализ и система Уолша. Система функций Уолша рассматривалась в трех традиционных нумерациях: Пэли, Уолша и Качмажа. Нумерация, предложенная в 1932г. Пэли, [135] через систему функций Радемахера [139], считается основной. Большинство математических результатов для системы Уолша, приведенных в обзорах [1, 7, 28, 141], относится к нумерации Пэли. Функции Уолша вводились [149], по-видимому, как упрощенный аналог тригонометрической системы. Хотя в энциклопедии [73] указано, что Баррет применял функции Уолша еще в 1900 г. Нумерация Качмажа, которую можно рассматривать как попытку найти нумерацию системы функций Уолша наиболее близкую к нумерации Ада-мара для дискретных функций Уолша, появилась в работе [110]. Качмаж получил [130] систему функций Уолша (в нумерации Пэли) в виде линейных комбинаций функций Хаара. Системы Уолша в нумерациях Уолша и Качмажа являются главными перестановками системы Уолша-Пэли. Систему Уолша-Качмажа изучали JI.A. Балашов, В.А. Скворцов, A.A. Шнейдер и другие [8, 142, 111]. Системе Уолша в нумерации Уолша после [149] посвящены лишь [116, 54], в которых рассматривалась единственность системы с указанными свойствами. Классификация перестановок систем Уолша предложена Ф. Шиппом [109], где доказано, что системы Уолша трех традиционных нумераций являются системами сходимости. Глобальные перестановки системы Уолша, обеспечивающие расходимость ряда Фурье, рассматривал C.B. Бочкарев [12, 13]. Но такие перестановки не допускают реализацию на ЭВМ и потому не рассматриваются в прикладном гармоническом анализе. В данной работе существенное место отводится линейным перестановкам, предложенным [109] Ф. Шиппом, применение которых позволяет очень широкий класс конструкций рассматривать как обобщение системы Уолша-Пэли.

Часто аппарат функционального анализа используется для решения задач вычислительной математики, что отмечается даже в названиях учебников [47, 53]. В данной работе наоборот, методы вычислительной математики применены для получения оценок для фундаментальных понятий теории функций, таких как константы Лебега и нормы ядер Дирихле.

Для системы Уолша-Пэли формулы и точные оценки для констант Лебега предложил [122] Файн. В случае других нумераций системы Уолша упоминались [7] лишь оценки Шнейдера [111] для констант Лебега системы Уолша-Качмажа, записанные в непривычных символах. В книге [141] приведена оценка констант Лебега в терминах вариации числа.

Многие результаты теории рядов Уолша в нумерации Пэли обобщаются [1, 28, 141] на мультипликативные системы, преобразования Уолша и мультипликативные преобразования Фурье. В книгах [1, 28] приводятся результаты для мультипликативных преобразований Фурье, не выделяя преобразование Уолша. Изложение основ преобразований Уолша приведено в книгах [24, 141, 171].

Для дискретных преобразований Уолша также имеется три традиционных нумерации: Пэли, Уолша и Адамара. Дискретное преобразование Уолша есть линейное преобразование, заданное соответствующей матрицей, в 2п-мерном пространстве. Строки этих матриц и есть дискретные функции Уолша. В математике принято дискретные функции Уолша в нумерациях Пэли или Уолша определять в виде вектора, координаты которого получены как значения соответствующей функции Уолша на очередных интервалах длины 2~п. В технической литературе [6, 40, 97, 102] для дискретных функций Уолша применяются много различных названий, хотя это один и тот же набор векторов (дискретных функций) в разных нумерациях. В данной работе приведено, не зависящее от соответствующих матриц и нумераций, определение основного объекта исследования, каким являются дискретные функции Уолша.

Библиография, частично приведенная в монографии [40], о применениях дискретных преобразований Уолша этих трех нумераций обширна. В книге [97] поставлена задача построения и описания других дискретных преобразований Уолша, обладающих столь же хорошими (как и три традиционные) свойствами, и общая классификация всех возможных дискретных преобразований Уолша.

Повышенный интерес к дискретным преобразованиям Фурье и Уолша обусловлен также наличием [11] быстрых алгоритмов их реализации. Быстрые алгоритмы основаны на методе факторизации матриц, который предложил Гуд [126] для кро-некеровой степени. Кули и Тьюки [121] перестроили этот алгоритм для дискретных преобразований Фурье порядка 2". Структурные особенности соответствующих матриц позволили [11, 63, 79] построить много других быстрых алгоритмов реализации.

Приведенные в таблице разделы прикладного гармонического анализа можно дополнить интегральными и дискретными операторами, составляющими основу теории всплесков [32, 77].

В теории всплесков в качестве основного наглядного примера системы функций, иллюстрирующей кратно-масштабный анализ, предлагается [4, 78] система Хаара. В свою очередь система Хаара непосредственно связана [28, 141] с системой Уолша. Дискретные преобразования Хаара являются одним из основных операторов в прикладной математике. Однако система Хаара не является мультипликативной системой и поэтому не вкладывается в приведенную в таблице схему.

Результаты относящиеся к последней строчке приведенной таблицы менее востребованы в прикладных исследованиях, а потому лишь кратко рассмотрены в заключении.

Целью диссертационной работы является:

1. Детальная разработка элементов теории и фундаментальных понятий прикладного гармонического анализа, которая позволит подготовить учебное пособие по прикладному гармоническому анализу.

2. Исследование ядер Дирихле и констант Лебега для рядов по системе Уолша различных нумераций, для их обобщений и для преобразований Уолша.

3. Изучение возможностей применения двоичного гармонического анализа в вычислительной математике; в частности, при вычислении интегралов.

4- Разработка новых подходов к построению и описанию дискретных преобразований Уолша и дискретных функций Уолша.

5. Исследование возможных нумераций дискретных преобразований Уолша, методов их генерирования и их структуры.

6. Спектральный анализ операторов дискретного гармонического анализа.

7. Анализ применения дискретного преобразования Фурье для вычисления точных тригонометрических сумм.

8. Перенос результатов, полученных в двоичном гармоническом анализе, на систему Крестенсона-Леви.

9. Анализ и разработка быстрых алгоритмов реализации преобразований дискретного гармонического анализа.

Приведем краткий обзор содержания диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Ссылки на формулы и формулировки, к которым относятся определения, утверждения, предложения, леммы, следствия и теоремы, нумераются по каждому виду формулировки отдельно и по главам двойным номером. Первая цифра номера указывает главу, а вторая - номер формулировки в указанной главе.

Заключение

Во введении было отмечено, что к разделам прикладного гармонического анализа относятся также разделы последней строки приведенной во введении таблицы. Условно три клетки последней строки этой таблицы можно объединить названием гармонический анализ в смешанных кодах.

В случае р-ичного гармонического анализа фиксировалось число р, которое определяет основание рассматриваемой системы счисления. Это основание одно и то же для каждого разряда р-ичного кода рассматриваемых чисел. В случае мультипликативных систем функций в непрерывном и дискретном случае вместо фиксированного р берется последовательность {рп} натуральных чисел и рассматриваются смешанные коды чисел, где каждое рп отвечает за свой разряд числа. Подробнее рассмотрено в [28, 36, 38, 138, 141, 154, 166, 158, 171].

Вместо еще одной главы, в которую по аналогии с главой пять можно было бы собрать обобщение результатов первых трех глав, приведем еще раз краткий обзор результатов. При этом будем указывать возможность переноса результата на случай, гармонического анализа в смешанных кодах, что для случая дискретных преобразований проделано также в статье [161].

Теорема о явном виде модуля ядра Дирихле (теоремы 1.1 и 5.1) переносится на случай системы Виленкина. Если в теореме 5.1 было фиксированное понятие маршрута, зависящее от выбранного основания р, то здесь отличие в формулировке соответствующей теоремы лишь в том, что для каждого уровня (или разряда системы счисления) выбирается свой вид маршрута. Теорема об оценке норм ядер Дирихле (теоремы 1.2 и 5.2) в аналогичном виде могут быть сформулированы и для системы Виленкина. Встречающиеся в формулировке величины а и А в случае системы Уолша почти оптимальны, а в различных конкретных случаях системы Крестенсона-Леви возможно получение близких к оптимальному значений этих величин. Разработанный аппарат и написанные компьютерные программы позволяют продолжать исследования в данном направлении. В случае же системы Виленкина ожидать сколь либо близких к оптимальным оценок для величин а и А не приходится ввиду очевидного различия результатов для различных оснований системы р. Аналогичное замечание можно сделать и для констант Лебега.

В двоичном и р-ичном гармоническом анализе важную роль играют линейные перестановки, которые в общем случае не являются регулярными. В случае системы Виленкина линейные перстановки не могут быть столь глобальными. Поэтому теорема о перестановках (теоремы 1.4 и 5.3) для системы Виленкина справедлива лишь для регулярных линейных и регулярных кусочно-линейных перестановок (точнее для несколько более широкого класса перестановок, о чем сказано в [156]).

Основы теории мультипликативных преобразований Фурье были разработаны в [202]. В частности, теорема 5.4 есть частный случай аналогичной теоремы для мультипликативного преобразования Фурье. При переносе теорем 5.5 и 5.7 на случай мультипликативного преобразования Фурье получаются более громоздкие формулировки и доказательства, частично приведение в [158]. Аналог теоремы 5.6 также получается без уточнения величин а и А.

Основной причиной краткого описания данных разделов лишь в заключении работы служит то, что в практических приложениях дискретное мультипликативное преобразование Фурье до настоящего времени оставалось не востребованным. Возможно, что это связано с более громоздким описанием конструкции и отсутствием разработанных быстрых алгоритмов ее реализации. Предложенный в работе способ определения дискретных функций Уолша (определение 1.2) и дискретных функций Крестенсона (определение 5.2) допускают обобщение в виде определения дискретных функций Виленкина (дискретных мультипликативных функций) как кронекерово произведение дискретных экспоненциальных функций с разными основаниями. Но это определение будет громоздким, так как вынуждены фиксировать порядок выбранных оснований. Аналогично можно построить два основных вида дискретных мультипликативных преобразований Фурье, одно из которых соответствует ранее изучаемому случаю [28, 36, 37, 38, 171, 178, 192]. Этот основной случай аналогичен дискретному преобразованию Уолша в нумерации Пэли и дискретному преобразованию Кронекера-Леви. По аналогии матрица дискретного мультипликативного преобразования Фурье стандартной нумерации определяется как новое (3.12) тензорное произведение матриц дискретного преобразования Фурье различных порядков. Это определение соответствует определению ДМПФ, предложенному в работах A.B. Ефимова и его учеников. Другая возможная основная нумерация, которая ранее не рассматривалась, получается по аналогии с ДПУ в нумерации Адамара и с дискретным преобразованием Крестенсона-Кронекера как кронекерово произведение матриц дискретного преобразования Фурье различных порядков. Эти две основные нумерации можно изучать параллельно. Леммы о факторизации (утверждение 3.6 и предложение 3.6) позволяют построить быстрые алгоритмы, аналогичные представленным в утверждении 5.6 и предложении 5.6. Для практических применений именно этот случай и представляет большой интерес. На практике часто размер реального сигнала отличается от выбранного порядка матрицы применяемого ортогонального преобразования. Это неудобство принято преодолевать добавлением нулевых координат на границе сигнала. Для этого проводятся теоретические исследования по анализу реальных спектральных характеристик и искаженных в результате применения данного приема. Более простой прием - замена традиционного ортогонального преобразования вида ДПФ, ДПУ или ДПК на дискретное мультипликативное преобразование Фурье с подбором набора оснований, соответствующему размеру реального сигнала - пока в прикладных расчетах, по-видимому, не применялся. Другое важное преимущество конструкции дискретного мультипликативного преобразования Фурье по сравнению с ДПФ и ДПК состоит в.том, что начальные числа набора оснований {рп} можно взять равными 2, что позволяет начальные шаги быстрого алгоритма проводить по схеме ДПУ. При этом вместо комплексных умножений на комплексный корень из единицы, приходится применять умножение на ±1, что значительно сокращает объем вычислений.4 Тем более, что, как правило, исходный сигнал является действительным, и нет большой необходимости сразу переходить в комплексную область. Подобные, несколько усложненные, но важные для практических применений, конструкции в математических журналах естественно не вызывают интереса, а в технических журналах, как правило, игнорируются при отсутствии решаемой конкретной прикладной задачи.

Продолжим анализ возможности переноса результатов на случай дискретного мультипликативного преобразования Фурье. Различие оснований для каждой позиции не позволяет сконструировать аналоги теорем 5.9 и 5.10. Аналог теоремы 5.11 формулируется и доказывается почти без изменения (см. также [158, 190]). Довольно громоздкий вид теорем 5.12 и 5.13 демонстрирует нереальность переноса их на случай ДМПФ. Существенная часть всей работы связана с перестановками функций системы. Для матриц ДМПФ глобальные перестановки просто невозможны. Одна из основных конструкций, связанная с генерированием матриц перестановок, в данном случае тоже не проходит. Изучение только регулярных перестановок матриц ДМПФ при отсутствии метода генерирования нельзя считать актуальным. Поэтому аналог теоремы 5.15 вряд ли стоит искать.

При исследовании в диссертационной работе многих проблем прикладного гармонического анализа активно использовался метод компьютерного моделирования и анализа. Составлены программы расчета значений модуля (по участкам) и норм ядер Дирихле по системе Уолша и по системе Крестенсона-Леви с основанием 3, в которых также предусмотрено построение графиков норм ядер Дирихле и огибающих кривых из теорем 1.2 и 5.2. Отдельно составлена программа решения сформулированной в параграфе 1.4 экстремальной задачи, результаты которой применены при построении огибающих кривых предыдущей программы. Составлена программа демонстрирующая возможность применения описанного метода двоичного интегрирования. Составлена программа вычисления точных тригонометрических сумм по формуле теоремы 4.2. Быстрые алгоритмы ДПУ для нумераций Адамара, Пэли и Уолша, представленные в предложениях 3.18, 3.19, 3.20, реализованы в виде программы для ЭВМ. Также реализован метод генерирования матриц ДПУ различных перестановок (ТУ-матриц) и проведена для них компьютерная классификация. Отдельные результаты этой классификации приведены в данной рукописи.

Перечисленные программы для ЭВМ не включены в данную рукопись диссертации из-за значительного объема рукописи и не теоретической направленности этих результатов.

1. Агаев Г.Н., Виленкин Н.Я., Джафарли Г.М., Рубинштейн А.И. Мультипликативные системы функций и гармонический анализ на нульмерных группах. - Баку : Элм, 1981. - 180 с.

2. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов. М.: Изд.ин.лит., 1963. - 360 с.

3. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004. - 640 с.

4. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения // УФН. 1998. Т. 166, № И. 1145-1170.

5. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с.

6. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональгые преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. - 248 с.

7. Балашов Л.А., Рубинштейн А.И. Ряды по системе Уолша и их обобщения// Итоги науки. Математический анализ. 1970. М.: ВИНИТИ, 1971. 147-202.

8. Балашов Л.А. О рядах по системе Уолша с монотонными коэффициентами // Сиб. мат. ж. 1971. Т. 12, №1. 25-30.

9. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М. : Физматгиз, 1961. - 936 с.

10. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука. 1969. - 368 с.

11. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир. 1989. - 448 с.

12. Бочкарев C.B. Перестановки рядов Фурье-Уолша // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1979. Т. 43, № 5. 1025-1041.

13. Бочкарев C.B. Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам // УМН. 2004. Т. 59 (355), № 1. 103-124.

14. Бочкарев C.B. О некоторых свойствах матриц Уолша // Докл. расш. зас. семинара ин-та прик. мат. им. И.Н.Векуа. Тбилиси. 1988. Т. 3, № 2. 15-18.

15. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1947. Т. 11. 363-400.

16. Виленкин Н.Я. К теории интегралов Фурье на топологических группах // Матем. сборник. 1952. Т.ЗО (72). 233-244.

17. Виленкин Н.Я. Дополнения. //В книге Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. 457-507.

18. Виленкин Н.Я., Зотиков C.B. О скрещенном произведении функций // Матем. заметки. 1973. Т. 13, №3. 469-480.

19. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. - 168 с.

20. Гантмахер Ф.М. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

21. Гапошкин В.Ф. Лакунарные ряды и независимые функции // УМН. 1966. Т. 21, № 6(132). 13-81.

22. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. - 322 с.

23. Глазман И.М., Любич Ю.И. Конечномерный линейный анализ. М.: Наука, 1969. - 476 с.

24. Голубов Б.И. Элементы двоичного анализа. М.: МГУП, 2005. - 204 с. (М.: URSS/ЛКИ, 2007.)

25. Голубов, Б. И. Асимптотика Х^-норм продифференцированных сумм Фурье функций ограниченной вариации // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1973. Т. 37. № 2. 399-421.

26. Голубов, Б. И. О модифицированном сильном двоичном интеграле и производной // Матем. сб. 2002. Т. 193. № 4. 37-60.

27. Голубов Б. И. Модифицированный двоичный интеграл и производная дробного порядка на R+ // Функц. анализ и его приложения. 2005. Т. 39, N2 2. 64-70.

28. Голубов Б.И., Ефимов A.B., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уол-ша: Теория и применения. М.: Наука, 1987. - 344 с. - (Изд. второе. М.: URSS/ЛКИ, 2007.)

29. Гольд В., Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М.: Сов. радио, 1973. - 322 с.

30. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Сов. радио, 1977, гл.14. - 518-550.

31. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. - 584 с.

32. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. М. - Ижевск: НИЦ РХД, 2004. -464 с.

33. Ефимов A.B. Математический анализ (специальные разделы). В 2 ч. Ч. 1. Общие функциональные ряды и их приложение. М.: Высш. шк., 1980. — 279 с.

34. Ефимов, A.B. О некоторых аппроксимативных свойствах периодических мультипликативных ортонормированных систем // Матем. сб. 1966. Т. 69, № 3. 354-370.

35. Ефимов A.B. О верхних гранях коэффициентов Фурье-Уолша // Мат. заметки. 1969. Т. 6, № 6. 725-730.

36. Ефимов A.B., Каракулин А.Ф. О континуальном аналоге периодических мультипликативных ортонормированных систем // ДАН СССР. 1974. Т. 218, № 2. 268-271.

37. Ефимов A.B., Поспелов A.C., Умняшкин C.B. Некоторые свойства мультипликативных систем, используемые в цифровой обработке сигналов // Тр. МИАН. 1997. Т. 219. 137-182.

38. Ефимов A.B., Золотарева С.Ю. Мультипликативный интеграл Фурье и его дискретные аналоги // Analysis Mathematica. 1979. V. 5. 179-199.

39. Зайцев Г.В., Зиновьев В.А., Семаков Н.В. Быстрое корреляционное декодирование блочных кодов // Кодирование и передача дискретных сообщений в системах связи. М.: Наука, 1976. 74-85.

40. Залманзон JI.A. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применения в управлении, связи и других областях. М.: Наука, 1989. - 496 с.

41. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. В 2 т. М.: Мир, 1965. - 616 с.

42. Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. Под ред. В.Н. Малоземова. СПб.: СПбГУ, 2009. 584 с.

43. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. - 294 с.

44. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958. - 508 с.

45. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999. - 550 с.

46. Кашин B.C., Куликова Т.Ю. Замечание об описании фреймов общего вида // Матем. заметки, 2002. Т. 72, № 6. 941-945.

47. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. - 448 с.

48. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1968. - 496 с.

49. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. / Под ред. К.А. Рыбникова М.: Наука, 1982. - 368 с.

50. Конягин C.B. О подпоследовательности частных сумм Фурье-Уолша // Матем. заметки. 1993. Т. 54, № 4. 69-75.

51. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М.: Физматлит, 1960. - 472 с.

52. Лабунец В.Г. Алгебраическая теория сигналов и систем (цифровая обработка сигналов). Красноярск: Изд. Красноярского ун-та. 1984. - 244 с.

53. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Фмзматлит, 2005. - 296 с.

54. Левизов C.B. Некоторые свойства системы Уолша // Матем. заметки. 1980. Т. 27, № 5. 715-720.

55. Лукашенко Т.П. Всплески на топологических группах // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 58, № 3. 88-102.

56. Лукашенко Т.П. О свойствах систем разложения, подобных ортогональным // Изв. РАН. Сер. матем. 1998. Т. 62, № 5. 187-206.

57. Лукашенко Т.П. О фреймах и жестких фреймах // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Матер. Ворон, зимней матем. школы, Воронеж: ВГУ, 2007. 138-139.

58. Лукомский С.Ф. О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к L°° //Матем. заметки. 2001. Т. 70, № 6. 882-889.

59. Лукомский С.Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. Т. 180, № 7. 937-945.

60. Лукомский С.Ф. Об абсолютной сходимости кратных рядов Уолша // Известия ВУЗов. Математика. 1988. В. 4. 34-36.

61. Логинов В.П. Функции Уолша и области их применения (обзор) // Зарубежная радиоэлектроника. 1973. Т. 4. 73-101.

62. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

63. Макклеллан Дж.Г., Рейдер Ч.М. Применение теории чисел в цифровой обработке сигналов. М.: Радио и связь, 1983. - 264 с.

64. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. - 671 с.

65. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа. В 3-х ч. СПб.: НИИММ, 2003. - 100+100+88 с.

66. Малоземов В.Н. Линейная алгебра без определителей. Квадратичная функция. СПб.: Изд. СПб. ун-та, 1997. - 80 с.

67. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с дискретными преобразованиями Виленкина-Крестенсона // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, № 1. 111-157.

68. Малоземов В.H., Певный А.Б. Равноугольные жесткие фреймы // Проблемы матем. анализа. 2009. Вып. 39. 3-25.

69. Малоземов В.Н., Просеков О.В. Перестановки и кронекерово произведение матриц // Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. СПб.: СПбГУ. 2009. 12-19.

70. Малоземов В.Н., Просеков О.В. Факторизация Кули-Тьюки матрицы Фурье // Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования. СПб.: СПбГУ. 2009. 20-29.

71. Малоземов В.Н., Третьяков А.А. Секционирование, ортогональность и перестановки // Вестн. С.-Петербург, ун-та, Сер. 1, 1999. В. 1. 16-21.

72. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

73. Математическая энциклопедия. В 5 т. М.: Советская энциклопедия, 1984.

74. Милнор Дж., Хьюзмоллер Д. Симметрические билинейные формы. М.: Наука, 1986. - 176 с.

75. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. - 570 с.

76. Моррис С. Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп. М.: Мир, 1980. - 104 с.

77. Новиков И.Я., Протасов В. Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2005. - 616 с.

78. Новиков, И.Я., Стечкин C.B. Основы теории всплесков // УМН. 1998. Т. 53, № 6. (324). 53-128.

79. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления свертки. М.: Радио и связь, 1985. - 248 с.

80. Питерсон У., Уэлдон Д. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1964. -596 с.

81. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. 4.1. М.: Наука, 1978. -392 с.

82. Понтрягин JI.С. Непрерывные группы. М.: Наука, 1973. 520 с.

83. Поспелов A.C. О собственных функциях мультипликативных преобразований Фурье // Применение функционального анализа в теории приближений.

84. Калинин: КГУ, 1987. С. 83-90.

85. Поспелов A.C. О собственных функциях р-адического и дискретного преобразования Фурье // Матем. моделир. 1990. Т. 2. 120-131.

86. Проектирование специализированных информационно-вычислительных систем. Под ред. Ю.М. Смирнова. М.: Высшая школа, 1984. - 359 с.

87. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. -М.: Мир, 1978. 848 с.

88. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональноиу анализу. М.: Мир, 1979. - 588 с.

89. Рубинштейн А.И. Равенство Парсеваля для функций, определенных на нульмерной группе // УМН. 1974. Т. 35, № 4. 207-208.

90. Рубинштейн А.И. О модулях непрерывности функций, определенных на нульмерной группе // Матем. заметки. 1978. Т. 23; № 3. 379-388.

91. Самсонов Б.Б., Плохов Е.М., Филоненков А.И. Компьютерная математика (основания информатики). Ростов-на-Д.: Феникс, 2002. - 512 с.

92. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. СПб.: Питер, 2003. - 606 с.

93. Скворцов В.А. О скорости стремления к нулю коэффициентов! нуль-рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41, № 3. 703-716.

94. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации. Л.: ЛГУ. 1986. - 272 с.

95. Соболь И.М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. - 288 с.

96. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. - 332 с.

97. Таркаев B.B. О ядрах Дирихле и константах Лебега систем Прайса // Деп. в ВИНИТИ. М.: 1988. № 2763-В88. 24 с.

98. Трахтман A.M., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

99. Титчмарш Э. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Ком. книга, 2005. - 480 с.

100. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // Матем. сб. 1964. Т. 63, № 3. 356-391.

101. Ульянов П.Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье // Матем. сб. 1967. Т. 72 (114). 193-225.

102. Харди Г.Г., Литтлвуд Дж., Полиа Г. Неравенства. М.: Иностранная литература, 1948.

103. Хармут Х.Ф. Передача информации ортогональными сигналами. М.: Связь, 1975. - 272 с.

104. Холево А. С. Введение в квантовую теорию информации. М.: МЦНМО, 2002. - 128 с.

105. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. - 424 с.

106. Холщевникова H.H. О структуре замкнутых множеств единственности для системы Уолша // Тр. МИ АН. 1997. Т. 219. 400-409.

107. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 656 с.

108. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т.1. М.: Наука, 1975; Т.2. - М.: Мир, 1975. 656+904 с.

109. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001. - 413 с.

110. Шипп Ф. О некоторых перестановках рядов по системе Уолша. // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 2. 193-201.

111. Шнейдер A.A. О рядах по функциям Валыпа с монотонными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1948. Т. 12. 179-192.

112. Шнейдер A.A. О сходимости рядов Фурье по функциям Уолша // Матем. сб. 1954. Т. 34, № 3. 441-472.

113. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении. В 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1985. - 264 с.

114. Ярославский Л.П. Введение в цифровую обработку изображений. М.: Сов. радио, 1979. - 312 с.

115. Balan R., Casazza P.G., Heil С., Landau Z. Deficits and Excesses of Frames // Adv. in Сотр. Math. 2003. V. 18. 93-116.

116. Bois P. Determination des valeurs propres des matrices de Walsh, Hadamard et Walsh-Fourier // Rev.CETHEDEC. 1973. V.37. 65-71.

117. Byrnes J.S., Swick D.A. Instant Walsh functions // SIAM Rev., 1970, V. 12, № 1, 131.

118. Casazza P.G. Modern tools for Weyl-Heisenberg (Gabor) frame theory // Adv. in Imaging and Electron Physics. 2000. V. 115. 1-127.

119. Casazza P.G., Kovacevic J. Uniform tight frames with erasures // Adv. Comput. Math. 2003. V. 18. № 2-4. 387-430.

120. Chrestenson H.E. A class of generalized Walsh functions // Pacific. J. Math., 1955, V. 5, № 1, 17-32.

121. Christensen O. Introduction to frames and Riesz bases. Cambridge: MA, Birkhauser, 2002. 468 p.

122. Cooley J.W., Tukey J.W. An Algorithm for the Machine calculation of Complex Fourier Series // Math. Comput. 1965. V. 19, № 90. 297-301.

123. Fine N.J. On the Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1949. V. 65, № 3. 372-414.

124. Fine N.J. The generalized Walsh functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. V. 69. 66-77.

125. Gibbs J.E. Walsh spectrometry a from of spectral analysis well suited to binary digital computation. Teddington: Nat. Phys. Lab., 1967. - 24 p.

126. Golubov B.I. On some properties of fractional dyadic derivative and integral // Analysis Math., 2006. V. 32, N 3. 173-205.

127. Good I.J. The interaction algorithm and practical Fourier analysis// J. Royal Stat. Soc. Ser.B. 1958. V. 20. 361-372.

128. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme // Math. Ann. 1910, V. 69, 331-371.

129. Hadamard J. Resolution d'une question relative aux determinants.// Bull. Sci. Math., Ser.2. 1893. Part 1. V. 17. 240-246.

130. Johnson J., Johnson R.W., Rodriguez D., Tolimieri R. A methodology for designing, modifying and implementing Fourier transform algorithms on various architectures // Circuits, Systems and Signal Processing. 1990. V. 9, № 4. 449500.

131. Kaczmarz S. Uber ein Orthogonalsystem // Compt. Rend, du I Congr. de math, des pays slaves. Warszava. 1929. 189-192.

132. Levy P. Sur une generalisation des fonctions orthogonales de M. Rademacher // Comment, math. helv. 1944. V. 16. 146-152.

133. Lukomskii S.F. On a U-set for multiple Walsh series // Analysis Mathematica. 1992. V. 18, № 2. 127-138.

134. McClellan J.H., Parks T.W. Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation // IEEE Trans. Audio Electroacoust. 1972. V. 20, № 1. 66-74.

135. Pal J. The eigenfunctions of the Walsh-Fourier transform // Proc. Int. Conf. Approximation and Functions Spaces. Gdansk, 1979, 553-557.

136. Paley R.E.A.C. A Remarkable Series of Orthogonal Functions. I, II // Proc. Lond. Math. Soc. 1932. V. 34. 241-279.

137. Paley R.E.A.C. On Orthogonal Matrices // J. Math. Phys. 1933. V. 12. 311-320.

138. Price J.J. Certain group of orthonormal step functions // Canada J. Math. 1957. V. 9. 413-425.

139. Rademacher H. Einige Satze über Reihen von allgemeinen Orthogonal funktionen. // Math. Annalen. 1922. V. 87. 112-138.

140. Rudin W. Fourier analysis on groups. New York: John Wiley and Sons, 1967. - 438 p.

141. Schipp F., Wade W.R., Simon P., Pal J. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Budapest: Acad. Kiado, 1990. - 560 p.

142. Skvortsov V.A. On Fourier series with respect to the Walsh Kaczmarz system // Analysis Mathematica. 1981. V. 7, № 2. 141-150.

143. Stampli G. Sums of projections // Duke Math. J. 1964. V. 31, № 3. 455-461.

144. Temperton C. Self-sorting mixed-radix Fast Fourier Transform //J. Comput. Phys. 1983. V. 52. № 1. 1-23.

145. Wagner H.J. On dyadic calculus for functions defined on R+ // Proc. Symp. Theory and applications of Walsh functions. 1975. Hatfield Polytec. 101-129.

146. Wagner H.J. Ein Difïeretial- and Integralkalkul in der Walsh-Fourer Analysis mit Anwendungen. Westdeutscher Verlag: Koln-Opladen, 1974.

147. Wagstaff S.S. Ramanujan's paper on Berneulli numbers //J. Indian Math. Soc. 1981. V. 45. 49-65.

148. Walsh J.L. A closed set of normal orthogonal functions // Amer. J. Math. 1923. V. 45. 5-24.

149. Watari C. On generalized Walsh-Fourier series // Tohoku Math.J. 1958. V. 10, № 3. 211-241.

150. Watson G.N. //Phil. Mag. (3). 1916. V. 31. 111-118.

151. Watson G.N. Ramanujan's notebooks// J.London Math.Soc. 1931. V.6. 137-153.

152. Young W.-S. Mean convergence of generalized Walsh-Fourier series // Trans. Amer. Math. Soc. 1976. V. 218. 311-320.

153. Беспалов M.С. О коэффициентах Фурье и приближении функций рядами по периодической мультипликативной системе // Матем. заметки. 1984. Т. 36, № 3. 329-340.

154. Беспалов М.С. Представление для сумм четных отрицательных степеней синусов в равноотстоящих узлах // Известия ВУЗов. Сер. Матем. 1996. Т. 8(441). 6-12.

155. Беспалов М.С. Перестановки систем Уолша, сохраняющие константы Лебега // Матем. заметки. 2000. Т. 68, № 1. 36-48.

156. Беспалов М.С. Явный вид ядра Дирихле для рядов и преобразований Уолша // Матем. сборник. 2005. Т. 196, № 7. 3-26.

157. Беспалов М.С. Операторы мультипликативного преобразования Фурье // Известия ВУЗов. Сер. Матем. 2006. Т. 526, № 3. 9-23.

158. Беспалов М.С. Новая нумерация матриц Уолша // Проблемы передачи информации. 2009. Т. 45, № 4. 43-53.

159. Беспалов М.С. Собственные подпространства дискретного преобразования Уолша // Проблемы передачи информации. 2010. Т. 46, № 3. 60-79.

160. Беспалов М.С. Дискретное преобразование Крестенсона // Проблемы передачи информации. 2010. Т.46, № 4. 91-115.

161. Bespalov M.S. On Fine's results for Lebesque constants on the Walsh system, Journal of Mathematical sciences, 126:5 (2004), 1407-1418.

162. Беспалов М.С. Алгоритмы вычислений, основанные на представлении Шура // Современная математика и ее приложения. Труды Межд. конф. по динамическим системам и дифференциальным уравнениям, Суздаль 2004, Т. 38,

163. Ч. 3, Тбилиси: Ин-т кибернетики Академии наук Грузии, 2006. 28-36. Bespalov M.S. Computational algorithms based on the Shur representation, Journal of Mathem. sciences, 147:1 (2007), 6416-6424.

164. Беспалов M.C. О верхних гранях пачек ряда Фурье-Уолша // Деп. в ВИНИТИ. № 8718-В87. 9 с.

165. Беспалов М.С. Оценка пачек ряда Фурье и коэффициентов Фурье для системы Прайса // Деп. в ВИНИТИ. № 1190-В93. 14 с.

166. Беспалов М.С. Способ построения дискретного преобразования Фурье // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 21-26 августа 2000. Тез. докл. Владимир. 2000. 113-115.

167. Беспалов М.С. Спектральное разложение оператора дискретного преобразования Фурье // Семинар по дискретному гармоническому анализу и геометрическому моделированию "DHA &; CAGD". Избр. доклады. 2 октября 2010 г. 10 с. http://www.dha.spb.ru/

168. Беспалов М.С. Бесконечные матрицы с финитными столбцами // Труды Владимирского государственного ун-та. Вып. 7. Физико-математические основы индустрии наносистем и материалов. Владимир: ВлГУ. 2010. 26-31.

169. Беспалов М.С. Математические методы в информатике и вычислительной технике. В 2-х ч. Ч. 1. Элементы функционального анализа и алгебры. -Владимир: ВлГУ, 2006. 92 с.

170. Беспалов М.С. Математические методы в информатике и вычислительной технике. В 2-х ч. Ч. 2. Введение в прикладной гармонический анализ. Владимир: ВлГУ, 2007. - 244 с.

171. Bespalov M.S. Tight frame of co-rank one // Сб. Wavelets and Splines, St.Petersburg Univ.Press, St.Petersburg, 2003. 12-14.

172. Беспалов M.C. Оценка пачек ряда Фурье по мультипликативной системе // Первая Всероссийская школа по основаниям математики и теории функций. Саратов: СГПИ. 1989. 102.

173. Беспалов М.С. Мультипликативные преобразования Фурье в LP // Рук. деп. в ВИНИТИ, № 100-82. 21 с.

174. Беспалов М.С. Об операторах мультипликативных преобразований Фурье // Рук. деп. в ВИНИТИ, № 5826-83. 27 с.

175. Беспалов М.С. Мультипликативные преобразования Фурье // Теория функций и приближений. Тр. Саратовск. зимней шк., ч. 2. Саратов: СГУ. 1983. 39-42.

176. Беспалов М.С. О некоторых применениях мультипликативных систем функций // Теория функций и приближений. Тр. 2-й Саратовск. зимней шк. 24янв.-5февр. 1984г., ч. 2. Саратов: СГУ. 1986. 42-45.

177. Беспалов М.С. О свойствах оператора мультипликативного преобразования Фурье // Теория функций и приближений. Тр. 3-й Саратовск. зимней шк. 27янв.-7февр. 1986г., ч.2. Саратов: СГУ. 1988. 3-6.г

178. Беспалов М.С. Ядра Дирихле и константы Лебега для системы Крестенсона-Леви // Современные проблемы теории функций и их приближения. Тезисыfдокл. 8-й Саратовск. зимней шк. ЗОянв.-бфевр. 1996г. Саратов: СГУ. 1996. 17-18.

179. Беспалов М.С. Константы Лебега для перестановок системы Уолша // Алгебра и анализ. Матер, конф. поев. 100-летию Б.М. Гагаева. Казань. 1997.33.34.f

180. Беспалов M.С. Мажоранта ядра Дирихле для системы Прайса // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 1997. 18.

181. Беспалов М.С. О сходимости рядов по системе Крестенсона // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 9-й Саратовск. зимней шк. 26 янв.-1 февр. 1998г. Саратов: СГУ. 1997. 24.

182. Беспалов М.С. Константы Лебега двойных рядов Уолша // Теория функций и ее приложения. Смежные вопросы. Матер, шк.-конф. поев. 130-летию Д.Ф. Егорова. Казань: КМО. 1999. 41-42.

183. Беспалов М.С., Беспалова А.Г. Двойственность пространств последовательностей над конечным полем // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 10-й Саратовск. зимней шк. Саратов: СГУ. 2000. 18-19.

184. Беспалов М.С. Преобразование Фурье с ядром в виде скрещенного произведения // X Междунар. конф. "Математика.'Экономика. Образование". II междунар. симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тез. докл. Ростов н/Д., 2002. 14.

185. Беспалов М.С. Ядро Дирихле для системы Крестенсона-Леви как динамическая система // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 1-6 июля 2002. Тез. докл. Владимир. 2002. 35-36.

186. Беспалов М.С. Анализ простейшего разностного уравнения // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 2003. 35-36.

187. Беспалов М.С. Ядра Дирихле-Уолша // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 12-й Саратовск. зимней шк. Саратов: Изд. гос.УНЦ "Колледж". 2004. 22-23.

188. Беспалов М.С. Применение спектрального разложения оператора кручения // Современные методы теории краевых задач. Матер. Воронежской весенней матем. школы "Понтрягинские чтения XV". Воронеж. ВГУ. 2004. 31-32.

189. Беспалов М.С. Обработка и кодирование сигналов с помощью функций Уол-ша // Междун. научно-техн. конф. "Новые методологии проектирования изделий микроэлектроники: Владимир. 10-11 декабря 2004. Владимир: ВлГУ. 2004. 195-197.

190. Беспалов М.С. Применение обобщений функций Уолша для обработки визуальной информации // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Матер, конф. Воронеж, Воронежская гос. академия. 2005. 28.

191. Беспалов М.С. Базис собственных векторов ДПУ // Труды матем. центра им. Н.И. Лобачевского. Т.10. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы. Казань, УНИПРЕСС. 2005. 20-21.

192. Беспалов М.С. Интегрирование в двоичном анализе // Междунар. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль 10-15 июля 2006. Тез.докл. Владимир. ВлГУ. 2006. 41-42.

193. Беспалов М.С. Матричное представление двоичного анализа Фурье // XIII Междунар. конф. "Математика. Экономика. Образование". III междунар. симпоз. "Ряды Фурье и их приложения". Тез.докл. Ростов н/Д., ООО "ЦВВР", 2005. 10-11.

194. Беспалов М.С. Фреймы Парсеваля и дискретное преобразование Уолша // International conference "Differential Equations and Related Topics"dedic. to Ivan G. Petrovskii. Book of abstracts. Moscow, May 21-26, 2007. 34-35.

195. Беспалов М.С. Дискретное преобразование Уолша как степень для нового произведения матриц // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докл. 14-й Саратовск. зимней школы поев, памяти ПЛ. Ульянова. Саратов. 2008. 13.

196. Беспалов М.С. Новая нумерация матриц Уолша // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Матер, конф. Воронежской зимн. ма-тем. шк. Воронеж: ВГУ. 2009. 22-23.

197. Беспалов М.С. Изоморфные структуры двоичного анализа // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Тезисы докл. Воронежской зимн. шк. Воронеж: ВГУ. 2007. 29-30.

198. Беспалов М.С. Исследование аппроксимативных свойств обобщенных мультипликативных систем функций в метриках 1?. // Диссерт. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук. Саратов. 1983. 94 с.

199. Беспалов М.С. Спектр унитарных операторов гармонического анализа // Тез. докл. Межд. конф. по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль 2008. Владимир: ВлГУ. 2008. 41-43.