Модельное представление и функциональное исчисление некоторых классов операторов в пространствах с идефинитной метрикой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

!

I

I

I

I

ШТРАУС Владимир Абрамович

I

I

МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ I ИСЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОПЕРАТОРОВ

] В ПРОСТРАНСТВАХ С ИНДЕФИНИТНОЙ МЕТРИКОЙ

! Специальность 01.01.01 - математический анализ

I

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена в Челябинском государственном техническом университете (Россия) и университете Симон Боливар (Венесуэла).

]

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук И. Ю. ПОПОВ доктор физико-математических наук С. Г. ПЯТКОВ доктор физико-математических наук А. А. ШКАЛИКОВ

Ведущая организация

Московский государственный технический университет имени Н. Э- Баумана.

Защита диссертации состоится 2003 г. в ^"^часов

на заседании диссертационного совета Д 002.202.01 в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В. А. Стеклова.

Автореферат разослан " 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук

А. Ю. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

1.1. Актуальность темы.

Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой лишь ненамного моложе общей спектральной теории операторов в банаховых и гильбертовых пространствах, частным случаем которой она, очевидно, является. Первоначально индефинитная метрика в явном виде встретилась в работах физиков-теоретиков в связи с задачами квантовой теории поля (К. L. Nagy) и с тех пор методы геометрии и теории операторов в таких пространствах систематически используются при исследовании различных проблем теоретической физики (Ф.А. Березин, Т. D. Lee, G. С. Wiek, F. Strocchi, A. S. Wightman, В. И. Горбачук, М. JI. Горбачук, Ю. Г.Шондин, С. С.Хоружий и др.)- Первый существенный результат в области спектральной теории самосопряженных операторов в пространстве с индефинитной метрикой, во многом определивший ее дальнейшее развитие, был получен JI. С. Понтрягиным, постановка же задачи, решенной в его работе, принадлежит С. JI. Соболеву и порождена некоторыми задачами гидромеханики.

К настоящему времени сформировались многие направления, связанные как с внутренней логикой развития теории операторов (М. Г. Крейн, И. С. Иохвидов, Ю. П. Гинзбург, Ю.Л. Шмульян, Н. Langer (Г. Лангер), Л. 3. Аров, J. Bognar, Т. Я. Азизов, Т. Ando и операторных алгебр (М. А. Наймарк, Philips, В. С. Шульман, М. Tomita, Y. Nakagami, В. И. Чилин, С. Н. Литвинов), так и с ее приложениями к различным проблемам механики (М. Г. Крейн, Н. Langer, С. Г. Крейн, Н. Н. Моисеев, Н. Д. Копачевский), примыкающим к ней разделам общей теории систем (R.W. Brockett), теории полиномиальных операторных пучков (М. Г. Крейн, Н. Langer, И. С. Иохвидов, А. Г. Костюченко, М. Б. Оразов, А. С. Маркус, Т. Я. Азизов, А. А. Шкаликов, С. Н. Набоко, С. Г. Пятков), теории рассеяния (П. Лаке, Р. Филлипс, R. Агосепа, А. А. Киселев, И. Ю. Попов) и т.д., которые допускают естественную трактовку в терминах индефинитной метрики. Так как в нашу задачу не входит их систематический обзор, то мы обозначим только некоторые из указанных направлений. Используемую нами без дополнительных разъяснений терминологию можно найти в обзоре ВИНИТИ, написанном Т. Я. Азизовым и И. С. Иохви-

довым и в принадлежащей этим же авторам

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА 1 С Петербург й Л/* J OB 104p ияС.7/» \

теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой", остальные определения можно найти в разделе настоящего реферата, посвященном изложению основных результатов диссертации.

Как хорошо известно, исследование физических систем со многими степенями свободы требует развития спектральной теории семейств операторов. Эта проблема даже для коммутативных семейств обычных самосопряженных операторов представляет собой трудную задачу, систематическим и плодотворным изучением которой занимались многие математики (А. И. Плеснер, В. А. Рохлин, Ю. М. Березанский, Ю. С. Самойленко, Г. Ф. Ус). Вместе с тем одним из существенных объектов, возникающих в рамках аксиоматического подхода в квантовой теории поля, являются пространства с индефинитной метрикой и действующие в них самосопряженные операторные алгебры (И^7*-алгебры). Одним из первых возможных шагов в развитии спектральной теории наборов коммутирующих самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой могли бы быть исле-дования по модельному представлению таких наборов, связанному с минимальным множеством порождающих это семейство элементов и их модельным представлением (в случае обычных самосопряженных операторов соответствующая проблема решается известной теоремой Дж. фон Неймана). К числу вопросов, нуждающихся здесь в дальнейшем исследовании, относится также проблема описания бикоммутанта Ж./*-алгебры (К. Ю. Да-дашян, С. С.Хоружий).

Далее, редукция ряда задач к спектральным задачам для операторов, действующих в индефинитных пространствах, достаточно часто связана с тем, что спектральную теорию самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой можно рассматривать как своеобразный раздел теории возмущений обычных самосопряженных операторов, где возмущенный оператор имеет вид (I + S)A, А и 5" самосопряжены в гильбертовом смысле и точка —1 не является собственным значением оператора S. Если оператор S вполне непрерывен, то этот случай сводится к пространствам Пл, если оператор (I + S) ограниченно обратим - то к J-пространствам (Н. Langer), в самой же общей ситуации - к так называемым (f), (^-пространствам (G-пространствам). В этом круге вопросов обычно играет суще-

ственную роль проблема о спектральном разложении соответствующего оператора и сходимости его интегрального представления (Е. Pesonen, М. Г. Крейн, Н. Langer, V. Jalava, R. Кипе, Р. Jonas, J. Bognar) или его регуляризации при отсутствии сходимости. К подобной же проблеме приводят и задачи о регуляризации интегрального представления для тех или иных функций или последовательностей, порождающих соответствующие индефинитные проблемы моментов (М. Г. Крейн, Г. Лангер, В. И. Горбачук).

Интерес к изучению J-изометрических и J-унитарных операторов, начатому в работах И. С. Иохвидова, позже был дополнительно инициирован Ch. Davis'oM, в работе которого было введено понятие J-унитарной дилатации фактически любого оператора в гильбертовом пространстве (напомним, что обычная унитарная дилатация имеет место только для сжимающих операторов), к этому же направлению относятся работы JI. А. Сах-новича и А. В. Кужеля. Ясно, однако, что последовательное использование этой идеи невозможно без развитой теории J-изометрических и J-унитарных операторов, сравнимой с теорией обычных изометрических и унитарных операторов.

Исследование ряда нерешенных задач в указанных трех направлениях и явилось основным мотивом для написания настоящей работы. Первая задача - на основе спектрального разложения коммутативной И^*-алгебры построить отвечающее ей функциональное представление и исследовать для нее проблему бикоммутанта. Вторая задача - сравнительное изучение вопросов модельного представления и функционального исчисления для 7г-полуунитарных и 7Г-унитарных операторов. Наконец, третья задача - исследование особенностей модельного представления и функционального исчисления для дефинизируемых J-с.с.операторов со спектральной по Данфорду итерацией.

1.2. Методика исследования.

Основным аппаратом в исследовании свойств операторов и операторных алгебр являются метод их спектрального разложения и метод модельного представления операторов с помощью операторов умножения на скалярные функции, действующих в подходящем функциональном пространстве измеримых векторно-значных функций.

1.3. Научная новизна и практическая значимость.

Основные научные результаты, изложенные в настоящей работе, заключаются в следующем:

1°. Для описания семейства класса £)+ предложено модельное пространство, на котором операторы семейства изображаются операторами умножения на скалярные функции, и дано полное описание таких функций в случае, когда семейство является Ж/*-алгеброй.

2°. Установлена связь между спектральным разложением коммутативной Ж/*-алгебры 21 класса и ее бикоммутанта. Показана нетривиальность проблемы бикоммутанта (задачи о равенстве 21 = 21") для указанной алгебры.

3°. Предложено полное описание коммутативной алге-

бры 21 класса Б* и на его основе получен критерий равенства 21 = 21" для такой алгебры. Доказана теорема о равенстве 21 = 21' для коммутативной циклической 1^7*-алгебры 21 класса К(Н).

4°. Исследована структура спектра тг-полуунитарных операторов, получено их спектральное разложение, а на основе такого разложения - соответствующее им модельное представление и функциональное исчисление. Показана связь между модельным представлением 7г-полуунитарных операторов и их регулярных 7г-унитарных дилатаций.

5°. Для /-положительного оператора со спектральной итерацией полностью исследована функциональная структура порождаемой им слабо замкнутой алгебры и предложена функциональная модель для описания такого оператора.

Результаты диссертации могут быть применены в дальнейших исследованиях по теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, в частности, в общей теории несамосопряженных операторов, в математических моделях квантовой теории поля и т.п., а также могут быть положены в основу спецкурсов для аспирантов и студентов.

1.4. Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающего свыше 140 наименований.

1.5. Апробация работы.

Основные результаты работы содержатся в статьях, заметках и сообщениях [1-22]. Они систематически докладывались на Воронежских зимних математических школах, школах по теории операторов в функциональных пространствах, на 12-ой Международной конференции по теории операторов в г. Тимишоара (Румыния, 1988 г.), на 20-ом Международном семинаре по функциональному анализу в г. Липтовски Ян (Чехословакия, 1989 г.), на Крымских осенних математических школах (КРОМШ-1 -5, 11), на конференции памяти М. Г. Крейна (г.Одесса) в 1990 г. и на 2-ой конференции, посвященной анализу Шура (г. Лейпциг, Германия) в 1992 г., Международной конференции по теории операторов и интерполяционным проблемам в честь 80-летнего юбилея М. Котляра (Каракас, Венесуэла) в 1994 г., на летних Санкт-Петербургских конференциях по математическому анализу (Summer St. Petersburg Meetings in Mathematical Analysis) в 1999 и 2001 гг., на Международном семинаре по теории операторов и ее приложениям (IWOTA-2000, Фару, Португалия) в 2000 г., на семинаре А. Г. Костюченко А. А. Шкаликова (МГУ) в 1986 и 1990 гг., семинарах Ю. М. Березанского и М. Л. Горбачука (Институт математики АН УССР, г. Киев) в 1987 и 1990 гг., семинаре Н. К. Никольского и В. И. Васюнина (ЛОМИ) в 1989 г., в отделе функционального анализа Института математики СО АН СССР (г. Новосибирск) и Институте математики им. К. Вей-ерштрасса (г. Берлин, Германия) в 1990 г., семинарах профессора Лоухивара (Свободный берлинский университет, г. Берлин, Германия) и профессора X. Лангера (Венский технический университет, г. Вена, Австрия) в 1992 г., семинаре профессора Р. Кашука (Амстердамский свободный университет, Голландия) в 1994 г. и т.д.

1.6. В работе принята обычная символика. Начало доказательства помечается символом □ , его окончание - ■, само слово "доказательство" при этом обычно не указывается. Предложения, определения, леммы и т.п. в пределах одного параграфа нумеруются подряд.

Перечень цитированной литературы приведен в алфавитном порядке двумя отдельными списками для статей и монографий, опубликованных на русском или иностранных языках соответственно, при библиографических ссылках сначала указывается

Фамилия автора (авторов) на языке оригинала, затем - номер работы этого автора.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Перейдем к краткому описанию содержания предлагаемой работы по главам.

Глава 1 включает три параграфа и посвящена, в основном, описанию тех понятий, терминов и известных результатов, относящихся к геометрии пространств с индефинитной метрикой и теории действующих в них операторов, которые используются в последующих главах. Для гильбертова J-пространства S) символом J всегда обозначается оператор Грама (его называют также фундаментальной симметрией) индефинитной формы [•,•], удовлетворяющий условию J = J-1 = J*. Термин оператор у нас всегда означает линейный оператор, который, если не оговорено противное, является ограниченным и определенным на всем пространстве. В этой главе даются, в частности, определения регулярных (т.е. проекционно полных) и псевдорегулярных (т.е. представимых в виде прямой суммы регулярного и нейтрального подпространств) подпространств, Q-самосопряженных (Q-с.с.) и т.п. операторов, J-ортогональной спектральной функции (J-орт.сп.ф.) с конечным числом спектральных особенностей и стандартного J-пространства J-Lg(<£). Под последним пространством понимается прямой интеграл гильбертовых пространств, вложенных в общее пространство <£, трактуемый так же, как и в монографии М. С. Бирмана и М. 3. Соломяка "Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве" (Изд-во Ленингр. ун-та, 1980), на котором дополнительно введена структура J-пространства с помощью оператора J, перестановочного со всеми действующими в L|(<S) операторами умножения на ограниченные измеримые скалярные функции. Для J-орт.сп.ф. Е\ (А € 1) с единственной спектральной особенностью в нуле (последнее условие не является принципиальным и наложено только для упрощения изложения) вводится пространство функций Abs (Е\) - совокупность измеримых в естественном смысле скалярных функций, для которых несобственный интеграл с особенностью в нуле JR ip(\)dE\ безусловно сходится в слабой операторной топологии. Вводится понятие операторного семейства класса DJ - такого семейства, которое обладает

по крайней мере одним общим максимальными неотрицательным псевдорегулярным инвариантным подпространством с конечномерной нейтральной частью. Заметим, что любое коммутативное семейство тг-с.с. операторов в силу известной теоремы М.А.Наймарка относится к классу Библиографические указания сосредоточены в основном в §3.

Глава 2 посвящена вопросам спектрального анализа ,7-симмет-ричного операторного множества 2) (в частности, И^^-алгебры 21, т.е. слабо замкнутой /-симметричной алгебры с единицей) класса £>+, действующего в сепарабельном пространстве Крей-на ¥). Семейство 2) в рамках этой главы всегда предполагаются коммутативными. Символом А^2) обозначается минимальная Ил/+-алгебра, которая содержит 2). Как хорошо известно из теоремы Лж. фон Неймана, любое коммутативное семейство обычных самосопряженных операторов, действующих в сепарабельном гильбертовом пространстве, моногенно в том смысле, что существует РУ-алгебра, порождаемая ровно одним оператором, подмножеством которой является исходное семейство. В отличие от И/*-алгебры 1У</*-алгебра уже не является моногенной (об этом несколько подробнее сказано ниже в описании содержания §4), однако частичным аналогом теоремы Неймана является следующий основной результат, приведенный в §1.

Теорема 1.23. Пусть 2) - коммутативное семейство 3-е.с. операторов с вещественным спектром, 2) £ . Тогда существует такая ¡-орт. сп. ф. Е\ с конечным множеством спектральных особенностей А (возможно, что А = 0), носитель которой включается в интервал (-1;1), что выполняются следующие условия

a) Е\ £ А1§ф для любого А е М\А, Е-\ = 0, Е^ = I ;

b) существует такое инвариантное относительно 2} максимальное неотрицательное псевдорегулярное подпространство £+ с конечномерной изотропной частью, что для любого отрезка А С 1, Д П Л = 0 справедливо представление Е(Д)Д =

2?(Д)£+№(Д)£[+1];

c) для произвольного оператора А £ 2) найдется такал (равномерно) ограниченная функция ф(Х), что для любого отрезка А С К, АПЛ = 0 справедливо представление

ЛЕ(Д) = /д^(А)Я(<*А),:

с1) подпространство # = С1лпдпл=»{-£'(Д)'Ф} (А - отрезок, С1лп = замкнутая линейная оболочка!) псевдорегулярно и имеет

конечномерную изотропную часть;

е) для произвольной точки До € Л подпространство $л0 = Е(Д)5э является либо корневым подпространством или его ча-

АобД

стью для любого оператора А 6 ?);

^ если Ао 6 Л, то либо Иш ||^а|| = °°> либо по крайней мере для

А—»Ао

одного А € 2) оператор А\%Ха отличен от скалярного спектрального оператора.

Указанная J-opT.cn.ф. дальше называется собственной спектральной функцией (с.с.ф.) семейства ф, при этом условие вещественности спектра всех операторов из 2) не является существенным, поскольку отказ от его выполнения приводит лишь к тому, что для Е\, возможно, Е\ф I к, если это так, в А^^ найдется /-с.с. оператор, сужение которого на конечномерное подпространство (/ — не имеет вещественного спектра.

§2 главы 2 носит вспомогательный характер. В нем по спектральной функции (разложению единицы) вводятся связанные с этой оператор-функцией неограниченные элементы банахова пространства, доказываются некоторые предложения, описывающие действия с неограниченными элементами, показывается, что эти предложения применимы к конкретным функциональным пространствам. Ниже неограниченные элементы - это, например, измеримые векторно-значные функции, заданные на отрезке [—1; 1] и принимающие значения в гильбертовом пространстве <£, но не принадлежащие к £|(<£) из-за особенностей их поведения в окрестности нуля. Из других функциональных пространств отметим пространство скалярных функций Ь™Г\Ь1, где непрерывная в нуле неубывающая функция с(<) определяет на [—1; 1] ограниченную, а неубывающая на [—1; 0) и (0; 1] и разрывная в нуле функция - неограниченную меры Лебега-Стильтьеса, и пространство Ь^+Ь2, где /х(<) - непрерывная и "гладкая" в нуле неубывающая функция, причем оба эти пространства согласованы в том смысле, что форма < /, д >= ¿<т(*) осуществляет их спаривание так, как это понимается в книге Ю. М. Березанского, Г. Ф. Уса, 3. Г. Шефтеля "Функциональный анализ"(гл. XIV). Здесь пространство Ь2„ состоит из функций, получающихся в результате замыкания в естественной топологии множества непрерывных на [-1;1] функций, носители которых не содержат нуля. Нормиро-

ванная топология в пространствах Ь^Г\Ь1 и Lg+L2 вводится так же, как это обычно принято (см., напр., монографию С. Г. Крей-на, Ю. И. Петунина, Е. М. Семенова "Интерполяция линейных операторов").

В §3 главы 2 строится так называемое основное модельное пространство «7-орт.сп.ф. Е\, которая предполагается неограниченной. Лелается это так. Пусть множество спектральных особенностей оператор-функции Е\ состоит только из нуля. Положим Sj = CLin_{E(A)S}}, Е\ = E\\-z- Тогда возможны два случая. о«гд=д 4

В первом из них подпространство f> является семидефинитным, и его без ограничения общности можно считать неотрицательным. Тогда в качестве основного модельного пространства для Е\ берется пространство ¿|(<£), получающееся присоединением к некоторому пространству £§(<£) конечной системы линейно независимых по модулю ¿|(<£) неограниченных элементов {<7j'(0}i > которые по определению предполагаются попарно ортогональными, ортогональными к L2(<£) и нормированными, а связь между Е\ и Ь|(<£) описывается теоремой 3.5, в которой, в частности, говорится, что найдется такой называемый оператором подобия изометрический оператор W: Ь23{<£) —>■ Д, что Е\ — WX^W~x, где Х\ - действующий в £|(<£) опеРатоР умножения на функцию, равную единице на полуинтервале [—1; А) и нулю вне его, X£ - сопряженный к Х\ оператор. Во втором случае подпространство Sj индефинитно и в качестве основного модельного пространства для Е\ берется пространство J-Lg(<£) (теорема 3.17), получающиеся присоединением к некоторому стандартному J-пространству J-Lg(<£) аналогичной системы неограниченных элементов {</)(*)}", а связь между Е\ и J-L~(<$) (она аналогична приведенной выше, а именно Е\ = WXf W~x, где "# " - символ /-сопряжения) описывается теоремой 3.17. Далее в этом параграфе обсуждается проблема произвола в выборе основного модельного пространства для Е\, итог которому подведен в теореме 3.24. Добавим, что основным модельным пространством для J-симметричного семейства 2) называется основное модельное пространство для его с.с.ф. Из приведенных выше результатов (теорема 1.23) следует (теорема 3.25), что каждому оператору A G ф отвечает действующий в £|(<£) или J-L2S(<$) оператор умножения на некото-

рую скалярную функцию <p(t), которая называется изображением оператора А. В заключение параграфа обсуждается вопрос об описании множества изображений для операторов из 2) как по основному модельному пространству, так и непосредственно по £"а.

Заметим, что попытки построения модельного представления 7г-с.с. операторов (преимущественно в Их) на основе модельного представления для обычных самосопряженных операторов предпринимались и раньше (М. А. Наймарк, А. Логинов, В. С. Шуль-ман, R. Jonas и N. Langer, N. Langer и Textorius), последняя из таких публикаций этого направления (О. Я. Бендерский, С. Н. Литвинов, В.И. Чилин), развивающая модель Шульмана, появилась сравнительно недавно. Модель Шульмана описывает операторные алгебры, действующие в пространстве Щ и только в этом пространстве и ориентирована преимущественно на некоммутативные алгебры, работа же Бендерского, Литвинова, Чилина адаптирует ее для коммутативного случая, ограничиваясь при этом опять-таки пространством П1. Существенное отличие предложенного здесь модельного представления состоит не только в рассмотрении при этом намного более широкого класса пространств и действующих в них семейств операторов, чисто функциональной природе модельного пространства, но и в прямой связи между модельным пространством и с.с.ф. операторного семейства. Этот подход аналогичен подходу, систематически применяемому к исследованию коммутирующих наборов обычных самосопряженных операторов (А. И. Плеснер, В. А. Рохлин, Ю. М. Березанский, Ю. С. Самойленко, Г. Ф. Ус), поэтому он позволяет применять к исследованию операторов в пространствах с индефинитной метрикой методы, уже апробированные на самосопряженных операторах. Укажем, наконец, на статью R. Jonas'а, N. Langer'a и V. Textorius'a, в которой приведено модельное представление циклического J-с.с. оператора в произвольном сепара-бельном пространстве Понтрягина. Эта модель строится по той же схеме, что и модель обычного циклического самосопряженного оператора: рассматривается линейная оболочка множества векторов вида Акхо, где хо - произвольный фиксированный циклический вектор, затем это множество отождествляется с множеством полиномов, на котором с помощью квазиинтегрального представления для (индефинитной) последовательности момен-

тов определяется аналогичное представление для эрмитовой индефинитной формы. Наиболее существенной проблемой при построении указанной модели является задача описания в терминах теории функций перехода от исходного многообразия полиномов к его пополнению до пространства Понтрягина. К очевидным преимуществам этой модели относится то, что она полностью описывает моделируемый оператор. Вместе с тем переход от циклического оператора к оператору со спектром произвольной кратности в рамках этой схемы явно нетривиален (в случае конечной кратности для этого, по-видимому, может быть использовано представление для индефинитной матричной последовательности моментов, предложенное В. И. Горбачук) и пока не реализован, описание же в тех же терминах немоногенной коммутативной 1У7*-алгебры тем более проблематично. Предложенная указанными авторами модель применяется ими к исследованию проблемы подобия тг-с.с.операторов, причем полученный ими критерий подобия операторов относится опять-таки только к пространствам Пь а критерий подобия спектральных функций двух циклических ж-с.с. операторов является фактически частным случаем уже упомянутой теоремы 3.24.

В §4 главы 2 детально исследуется связь между функциональным пространством описанного выше вида L^TlLl и принадлежащей к £)+ (коммутативной) VFJ'-алгеброй 21. Опишем ее в общих чертах, отсылая за деталями к тексту диссертации. Пусть, как и выше, множество спектральных особенностей оператор-функции Е\ состоит только из нуля. Обозначим 21о подалгебру 21, образованную в результате замыкания множества операторов вида J^j <j>(\)E(d\), где ф(А) - непрерывная функция, носитель которой не содержит нуля. Пусть J-L\{С) - основное модельное пространство для 21, {gj (f)}" - соответствующая система неограниченных элементов, (т(<) - неубывающая скалярная функция, соответствующая в некотором естественном смысле вектор-функции <?(<). Положим

"(0 =

Д С(*)Жг(0. *€[-1;0),

А

Тогда функции из Ь™С\Ь1 и только они являются изображениями операторов из 21о (см. приведенную ниже теорему 4.5). Заметим, что задача восстановления оператора из 21о по его изображению является некорректной по Адамару и, в частности,два различных оператора из 21о могут, вообще говоря, иметь одно и то же изображение, при этом ясно, что иследование указанной неоднозначности сводится к описанию строения полного (в 21о) прообраза нуль-функции из ЬП 1%. Характер возникающей здесь неопределенности имеет ту же природу, что и при суммировании расходящихся интегралов: как хорошо известно, для любого расходящегося интеграла найдется регулярный метод, суммирующий этот интеграл к произвольному наперед заданному значению. Поскольку исследование указанного вопроса весьма существенно опирается на предложенную автором модель, опишем его результат относительно подробно.

Рассмотрим наряду с пространством ЬП 1*1 пространство Ь), + Ь^, где »?(£) находится по формуле = /^(1/^(0)^(0, ^ € [—1; 1]. Укажем, что между пространствами Г\Ь1 и Ь^+Ь^, имеется простая связь: {Ь\ + Ь^)* — ЬП . Введем теперь еще некоторые обозначения. Пусть = И^¡{Ь), Н] = ¿у(<) = [1Й(0>5/;№]> ¡>3 — 1>2, ...,к. Тогда для упомянутого выше оператора Вф — ф(\)Е(с1\) (носитель ф(*) не содержит нуля!) имеет место равенство

Отметим, что функции из системы могут быть как огра-

ниченными, так и неограниченными элементами пространства

Обозначим 5}о и £)1 линейные оболочки систем и {е;} соответственно (заметим, что 551 ~ изотропная часть пространства 55

1

-1

и в действительности не зависит от выбора основного модельного пространства), Ро и Р\ ортопроекторы (в гильбертовом смысле) на 5)о и йь а &(Е\) -- совокупность операторов {5}, действующих в 55 и удовлетворяющих следующим условиям

a) 5 = ЛЯРо;

b) если аЧЧз(г) б ^ + ^, то ау(5А|,= 0.

Из определения ясно, что &(Ед) - слабо замкнутый линеал с нильпотентными элементами и для любых ■?!, Б? £ &(Ех) верно 51= 0. В дальнейшем существенным является вопрос о линейной размерности &(Е\). В диссертации приводятся примеры, показывающие, что по отношению к естественной оценке 0< (Шпб(#л) <к2 реализуются все случаи.Вместе с тем отмечено (Предложение 4.4.), что если 21 6 Я, то с1пп6(.Еа) >1.

Введем еще одно обозначение. Пусть О^Ех) - это совокупность тех операторов из 2(о, по отношению к которым функция ¥?(<) является изображением.

Теорема 4.5. Оператор А £ ?) принадлежит 21о в том и только том случае, когда, во-первых, для него выполняются условия А\%1 = 0, АТ) С во-вторых, найдется такая функция (р{1) £ П Ь^, что А = У/ ■ Ф* • ЪУ-1, где Ф - оператор умножения на действующий в пространстве J-L\(£), и, наконец, в третьих, выполнено условие,

если ф{1) = а'11ч(*) € Ь1 + Ь1,

то ац{АЪ,ие,) - Д у>(*Ж*)<М<).

Следствие 4.6. Для любой функции 1р(Ь) £ + имеем 0,р(Е\) ф 0, при этом если В £ Я<р(Е\) - некоторый фиксированный оператор, то в^Ех) = {в + 3}3£в(Ех] и, в частности, 00(ЕХ) = &(Ех).

Одной из основных в этом разделе является следующая теорема (подпространство 55 то же, что и выше).

Теорема 4.9. Для рассматриваемой алгебры % найдется такой конечный набор операторов А\, А?, ...Л; £ 21, что любой оператор В £ 21 допускает представление вида

Вгв+0(А1,А2,...,А,) + С,

где 5 £ 21 - нильпотентный оператор, = О, ;•••></) ~ мно-

гочлен от л переменных, С £ 21о-

В связи с последней теоремой обсуждается вопрос о минимальном числе переменных в многочлене Q. Показано, что оно, вообще говоря, не сводится к единице. Заметим, что минимальное число порождающих элементов для нильпотентной части алгебры 21 может быть сколь угодно большим и, в частности, бесконечным.

Далее рассматривается вопрос о структуре АЬв(£'л) для J-орт. сп.ф. Е\, являющейся с.с.ф. алгебры 21 (или семейства ф). По-прежнему предполагается, что функция Е\ неограничена и множество ее спектральных особенностей состоит только из нуля, и используются введенные ранее обозначения. Тогда справедливо следующее предложение.

Предложение 4.14. Пусть <p(t) - ца-измеримая функция. Для того, чтобы интеграл

1

J f(t)dE\

wn-сходился как несобственный интеграл с особенностью в нуле, необходимо и достаточно, чтобы функция <p(t) удовлетворяла следующим условиям

a) е L? П Ll;

b)/^M<)IEiJ=1 Ы01АФ) < °о.

Заметим, что квази-интегральные представления, связанные с вычислением функций (обычно - регулярных) от х-с.с. оператора, в том числе и представления, относящиеся к различным вариантам индефинитной проблемы моментов, рассмотренные Г. Лангером, М. Г. Крейном, В. И. Горбачук и другими авторами, могут, как правило, быть сведены к разложению вида f(A) = Q(A) + f^<p(t)dEA, где f(t) = Q(t) + <p(t), Q(t) - некоторый многочлен, a tp(t) - быстро убывающая в окрестности нуля функция. Предложение 4.14 описывает тот максимально возможный класс функций, для которых допустимо представление такого типа применительно к J-c.c. операторам класса (в том числе - к тг-с.с. операторам). Укажем, однако, что здесь мы совсем не затрагиваем тонкие вопросы, относящиеся к проблеме единственности разложения /(<) = Q(t) + <p(t), играющие важную роль в решении проблемы моментов.

В этом же параграфе рассматривается случай моногенной алгебры.

Теорема 4.21. Пусть В € Щ= А^Л). Тогда В = С}(А)+С, где <2(<) - некоторый многочлен, С £ 21о- Обратно, если оператор В имеет указанный вид, то В £ 21.

В §5 дается приложение некоторых из приведенных ранее конструкций к проблеме корректного определения дифференциального оператора с сингулярным потенциалом вида ^ + как >1 оператора, действующего в некотором пространстве Понтряги-на.

В §6 той же главы приведен некоторый библиографический и * исторический комментарий, затрагивающий проблему авторства

приводимых результатов.

Глава 3 посвящена, как это следует из ее названия, проблеме описания бикоммутанта для действующей в сепарабельном пространстве Крейна Р77*-алгебры 21 класса В §1 доказывается лемма 1.9 о спектральном разложении бикоммутанта для коммутативной алгебры 21. Оказывается, что с.с.ф. исходной алгебры является таковой и для ее бикоммутанта 21", что, однако, не означает, что 21 = 21". Приводятся примеры, когда 21 ф 21". В §2 исследуется структура коммутанта и бикоммутанта для И^/*-алгебры 21 класса Б*, при этом рассматривается как коммутативный, так и некоммутативный случаи. Для алгебры, нильпотентная часть которой имеет относительно 21 линейную коразмерность, равную единице, приводится полное описание 21 и 21', а для коммутативной алгебры общего вида доказывается

Теорема 2.39. Пусть £ - максимальное неотрицательное инвариантное относительной подпространство вида £ = £++£1, где £+ - равномерно положительное, а £1 - одномерное нейтральное подпространства, но для 21 не существует максимального равномерно положительного инвариантного подпространства, е\ £ £1 - некоторый фиксированный единичный вектор, со = /ех, а оператор 5 задается на всем пространстве равенством = [г, е\]е1, х £ Положим также 5/1(21) = {Аео — [Аео,ео]е1}, где А пробегает множество всех 1-с.с. нильпотентных операторов из 21. Равенство 21 = 21" имеет место тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий

а) 5 £ 21; Ь) х, 1х £ «Л(21) х = 0.

В качестве следствия (следствие 2.41) этого критерия имеем, что моногенная ^/"-алгебра класса Df всегда совпадает со своим бикоммутантом. Другим следствием указанного критерия является теорема Вендерского-Литвинова-Чилина, говорящая о том, что в случае сепарабельного пространства П1 коммутативная Ж7*-алгебра всегда совпадает со своим бикоммутантом. В §3 этой же главы проблема бикоммутанта анализируется для би-циклических WV-алгебр 21 класса . Приводится пример коммутативной алгебры такого типа, для которой 2( ф 21' и доказывается, что для коммутативной циклической WJ*- алгебры 21 введенного Т.Я.Азизовым класса К(Н), входящего в объединение классов D+ по всем конечным к, но не тождественного ему, всегда 21 = 21'. Наконец, §4 содержит библиографичесую справку по основным вопросам, затронутым в главе 3.

Глава 4 посвящена спектральному анализу и модельному представлению действующих в сепарабельном пространстве Понтрягина $) тг-полуунитарных и ж-унитарных операторов. §1 носит вводный характер. В нем определяется ряд инвариантных подпространств для 7г-полуунитарного оператора U, в частности, дефектное подпространство £ = (t/fl)'1', подпространство сдвига й» = CLink-oiii.„{Uk&} и остаточное подпространство $)г = описывается матричное представление такого оператора, вводятся понятия вполне тг-неунитарного оператора (определение 1.6) и класса таких тг-полуунитарных операторов, для которых f)» С fjj1' (определение 1.7). Показывается, что операторы класса S+ имеют точечный спектр, не пересекающийся с внутренностью единичного круга.

Определение 1.6. Действующий в пространстве Понтрягина оператор В называется вполне тг-неунитарным, если для него не существует такого инвариантного проекционно полного подпространства ?)', что оператор U\s}> является х-унитарным (S)' может быть дефинитным подпространством)

§2 посвящен кругу вопросов, относящихся к разложению Вольда для ж-полуунитарных операторов. Известно (В. МсЕп-nis), что не для всякого тг-полуунитарного оператора U существует непосредственный аналог разложения Вольда, т.е. разложение пространства Понтрягина в 7г-ортогональную сумму инвариантных относительно U подпространств, на одном из которых U со-

впадает с обычным оператором сдвига, а на втором действует как т-унитарный оператор. Вместе с тем в приведенном Мак-Еннисом примере неразложимый по Вольду 7г-полуунитарный оператор является вполне 7г-неунитарным в смысле упомянутого выше определения 1.6. Здесь мы указываем примеры такого 7г-по-луунитарного оператора, для которого не существует разложения пространства на два инвариантных 7г-ортогональных подпространства, на одном из которых этот оператор является вполне 7г-неунитарным, а на втором - 7г-унитарным, обсуждается вопрос о единственности такого разложения в случае его существования. Частичным аналогом разложения Вольда для тг-полуунита-рного оператора U является следующая теорема.

Теорема 2.8. Для данного оператора U найдутся две конечные непересекающиеся системы комплексных чисел {Aj}, {¿tm} С IT (каждая из этих систем может быть пустым множеством, Т -единичная окружность с центром в нуле) и гомоморфизм решетки С подмножеств из Т, порожденной дугами вида

Дг{£: f = exp (it ), t £ (а;0), а, /3 £ М, 0 < (3 - а < 2ж} exp (ia), exp (i/3) g {Aj} U {fJ.m}, А П {цт}г%,

а также, быть может, некоторыми подмножествами из {/im}, на коммутативную решетку 7г-ортогональных проекторов так, что при этом для любого X £ С

a) E(X)U = UE(X);

b) если Е(Х) ф 0, то оператор U\Е(х)ъ ""-^читарен и

<и\Е(х)*) с х;

c)Е(Х)ЯсЪг;

d) ) ПТ С &(U\f)Tr\Si,Яг ~ замыкание линейной оболочки подпространств вида E(X)f);

e) коразмерность относительно Sjr конечна.

Эта теорема используется в §6 для построения модельного пространства произвольного 7г-полуунитарного оператора.

§3 посвящен модельному представлению оператора U £ S+ в случае, когда точечный спектр этого оператора принадлежит Т, и описанию функциональной структуры Alg U - слабо замкнутой алгебры, порожденной оператором U. В частности (теорема 3.8)

доказывается существование такой конечной системы регулярных в единичном круге ГО> вектор-функций {</;(£)}>=i 00 значениями в £, что действующий на линейной оболочке этой системы и класса Харди Я2(£) (эта оболочка обозначается Я2(£)) one-ратор 1/Е : (1/Н/)(£) = (/(О - ДО))/*, /(0 6 Я2(£)), подобен оператору (i/)*,,)* . Введенное таким образом пространство #2(£) называется основным модельным пространством. С его помощью далее вычисляется скалярная регулярная в Ю> функция G(£):

2тг . к

G(0 = exР / +

о J-1

вводится пространство Я?(С) регулярных в D скалярных функций ¥>(£), для которых <p(£)G(£) € Я2(£) и устанавливается естественное соответствие между Alg U и функциональным пространством Я?(С) ПЯ~(р (теоремы 3.12, 3.21 и 3.24).

Основное содержание §4 аналогично содержанию предыдущего параграфа, т.е. он посвящен модельному представлению оператора U 6 но в случае, когда точечный спектр этого оператора лежит вне Т, и описанию функциональной структуры Alg (7. Вместе с тем наложенные на U условия резко упрощают его свойства, делая их в целом аналогичными свойствам обычного оператора сдвига. Укажем, в частности (см. теорему 4.9 и следствие 4.11), что все пространство распадается в прямую сумму двух инвариантных относительно U подпространств, одно из которых конечномерно, а сужение U на второе подобно оператору сдвига.

В §5 строится основное модельное представление х-унитарного оператора U и исследуется функциональная структура Alg С/. В силу свойств преобразования Кэли ясно, что относящиеся к этому кругу вопросов результаты должны быть во многом аналогичны соответствующим результатам для ж-с.с. операторов, которые изложены в §3 и §4 главы 2. В связи с этим мы ограничимся указанием на два возможных варианта в описании Alg С/ в зависимости от расположения абсолютно непрерывной части оператора U. Итак, если абсолютно непрерывный спектр U не является множеством полной лебеговой меры, то основным функциональным пространством, связанным с Alg С/, будет пространство flL2 (см. выше описание §4 гл. 2), состоящее теперь из

функций, определенных на отрезке [0; 27г], в противном случае та-I ким пространством будет уже введенное в главе 4 пространство

Я?(С)ПЯ°°(д.

[ В §6 основные результаты предшествующих трех параграфов

обобщены для произвольных тг-полуунитарных операторов. Модельное представление произвольного 7г-полуунитарного оператора строится на основе синтеза изложенных выше модельного представления 7г-унитармого оператора и модельного пред-^ ставления 7г-полунитарных операторов класса . Ниже симво-

лами Мз(<£) и Л(£) обозначаются соответственно пространство принимающих значения в гильбертовом пространстве € вектор-V функций, заданных, измеримых (по отношению к мере, зада-

ваемой вектор-функцией <?(<)) и почти всюду конечных на отрезке [—тг, 7г], и пространство регулярных в единичном круге Ю> вектор-функций /(£) со значениями в гильбертовом пространстве £, обладающих почти всюду (по отношению к стандартной мере Лебега) на Т естественными граничными значениями /(е1*). Ясно, что пространство Мз{<£)+А{£) можно рассматривать как пространство вектор-функций с общей областью определения [— 7г, тг]. Модельное пространство для оператора V строится следующим образом: берутся гильбертово пространство Ь|(<Е) С Мз(<£) и класс Харди Я2(£) С Л(£) и к их ортогональной сумме £!(<£) фЯ2(£) как к функциональному пространству добавляется специальным образом подобранный конечный набор функций С Мз(<£) -ЬА(£). На полученном функциональном

пространстве, которое обозначается Ь|(<£) ©#2(£)> рассматривается оператор умножения на скалярную функцию е'*, который и является оператором, подобным некоторой компрессии оператора и, в существенном характеризующей весь оператор и (теоремы б.З и 6.10). Указанное выше пространство £|(<£) ©Я2(£) при этом называется основным модельным пространством для опера-« тора и.

Для более полного изложения других результатов этого параграфа приведем также следующее определение.

Определение 6.2. Пространство Ь|(Й)ф.£/2(£) называется стандартным расширением пространства £|(4)фЯ2(£), если оно получается присоединением к пространству £|(<£)фХ,2(£) т°й же 1 самой системы функций (<)}"_ 1( которая порождает простран-

ство ¿|(4)фЯ2(£), с сохранением соглашения об ортонормирован-

ности указанной системы и ее ортогональности теперь уже к пространству Ь1(<£) ф Ь2{£).

Заметим, что на Ь|(<£) ©¿2(£) можно корректным образом определить как оператор умножения на функцию е-", так и сопряженный к нему оператор, причем для последнего подпространство £.|(<£)ф#2(£) будет инвариантным. Если пространство £|(<£)ф#2(£) является для V основным модельным пространством, то сужение оператора II на некоторое специальное инвариантное подпространство (линейную оболочку пространств Й, и йг - см. выше теорему 2.8), имеющее конечную коразмерность относительно всего пространства, будет подобно сужению на подпространство .£.|(<£)ф#2(£) оператора, сопряженного к оператору умножения на е-,< (теоремы 6.3 и 6.10).

В этом же параграфе установлена связь между основными модельными пространствами 7г-полуунитарного оператора ¿7 и его регулярной х-унитарной дилатации [Д**'1) (существование и единственность такой дилатации была установлена С.А.Кужелем), показано, в частности, что основным модельным пространством для I/ будет стандартное расширение основного модельного пространства для II (теорема 6.14). Доказано также, что всякий оператор из А^и является сужением одного и только одного оператора из А1£(следствие 6.20).

Заключительный §7 содержит, как и обычно, библиографическую справку по результатам, вошедшим в главу 4.

Глава 5 посвящена дефинизируемым (деф.) ф-с.с.операторам. В первой части §1 изложены без доказательства некоторые результаты, основным из которых является теорема о существовании с.с.ф. у <3-с.с. дефинизируемого оператора (теорема 1.8), вошедшие в кандидатскую диссертацию автора. Во второй части того же параграфа решается обратная задача о дефинизиру-емости <3-с.с. оператора, обладающего с.с.ф. с конечным множеством критических точек.

Теорема 1.13. Пусть Е\ - с.с.ф.оператора А с конечным множеством критических точек А = {Л;}]"- Оператор А дефинизируем тогда и только тогда, когда найдется такие интервал (а;Ь) Э А, положительные константы М, М\, е, неотрицательные целые числа «1, П2,..., пт и натуральное число к, что имеют место следующие оценки

a) при А G (а;Ъ) ||ЯА|| < М ■ |А-А,|"">;

b) при 0< \1т£\ < е ||ЯС(А)|| < М1\1т^\-к.

В §2 исследуется структура введенного ранее функционального пространства Abs (Е\) для случая, когда Е\ - с.с.ф. деф. J-c.c. оператора А. Исследуется, в частности, специальный случай, когда некоторая степень (итерация) /-неотрицательного оператора А оказывается оператором, спектральным по Данфорду. По отношению к такому оператору показывается (теоремы 2.8 и 2.9), что найдется такая положительная и, вообще говоря, неограниченная скалярная скалярная функция р(А), что ip(t) £ Ahs(E\) тогда и только тогда, когда функция p(t)ip(t) ограничена. Этот результат интересно сравнить с предложением 2.4.14 и замечанием 2.4.16, где также описывается структура Abs(.E\), но для класса D+. Указанное сопоставление показывает, что хотя в обоих случаях Abs (Е\) является по отношению к подходящим образом выбранной норме банаховым идеальным пространством, но строение этого пространства в каждом из рассматриваемых случаев оказывается существенно различной. В этом же параграфе описывается функциональная структура Alg А, где А - указанный выше оператор со спектральной итерацией, и для этой алгебры доказывается теорема о бикоммутанте.

Далее рассматривается вопрос о приведении рассматриваемого типа оператора к некоторому стандартному виду.

Теорема 2.13. Для того, чтобы квадрат J-c.c. оператора А был спектрален, а некоторая его натуральная степень J-неот-рицательна, необходимо и достаточно, чтобы в S) нашлось такое каноническое скалярное произведение, при котором f) можно было представить в виде одновременно ортогональной и J-ортогональной суммы трех инвариантных относительно А подпространств S) = f),a ф S),r Ф Ял, некоторые из которых, возможно, сводятся к {0}, так что оператор одновременно J-положителен и самосопряжен, операторы /|д,г и А\%,Г имеют относительно некоторого разложения пространства Sj,r — матричные представления

Т_{ о w-*\ ,, _( о

J-\W 0 )' 0 )'

где W - изометрический оператор, и А^ ) - действующие

в перестановочные положительные самосопряженные операторы, а оператор А\%п - нильпотентен.

Замечание 2.14. Как нетрудно видеть, ограниченность или не-ограниченость спектральной функции оператора А связана с указанным матричным представлением оператора А\%1Г. Пусть Е^ и - спектральные функции операторов и А^-) соот-

ветственно. Тогда произведение

задает в первой четверти координатной плоскости £ОС операторно-значную меру. Тогда спектральная функция оператора А будет неограниченной в том и только том случае, когда ни при каких значениях 0< а < Р < 7г/2 мнжество всех тех пар {£,С} положительных чисел, для которых 1да < (С/0 < не образует множество полной меры по отношению к

Определение 2.15. Назовем /-с.с. оператор А уравновешенным, если при некотором выборе канонического скалярного произведения он принимает вместе с канонической симметрией 3 вид

0 )' А-\уГАЮ 0 )'

где # = + оператор [V: —»■ изометричен, опера-

торы

в А^ ' действуют в -йо перестановочны и самосопряжены.

Далее показывается (замечание 2.16), что максимальности связанных с ./-положительным оператором А дефинитных подпространства и и "антиподобия" операторов и А|

((Л|й_ = -У-^А^У, V: Л+ — 5-, [Ух, Ух] = -[х,х]) недостаточно для его уравновешенности.

Перейдем теперь к функциональной модели уравновешенного /-положительного оператора со спектральным квадратом. Введем некоторые обозначения. Пусть сф,т) - заданная на прямоугольнике [0;а]х[0;1] скалярная функция, которая удовлетворяет стандартным условиям, предъявляемым к функции, определяющей на указанном множестве меру Лебега-Стильтьеса и такая, что <т(0,г) =0 и существует такое >0, что (т(^,г) = 0 при t > тq. Носитель меры ца обозначим Бирр^^). Пусть ¿|(4) - гильбертово пространство вектор-функций со значениями в

гильбертовом пространстве <£, областью определения [0;а]х[0;1] (или, точнее, 8ирр(^<7)) и плоской векторной мерой, порожденной скалярной функцией двух переменных <т(^,г) и определяемой так же, как и векторная мера для используемого в предыдущих главах пространства £|(<£) в случае функции одной переменной <т(7). Пусть, далее, ¿|<£) - это пространство вектор-функций с областью определения [—а; 0] х [— 1; 0] и [0;а] х [0;1], гильбертова и функциональная структуры которого являются симметричным продолжением соответствующей структуры пространства ¿|((£), т.е. (/, 9) = /о /¿{(Ж г), д{1, г))е + (/(-*,-т),д(~г, -г))в}Аг(*, г). Далее, введем на пространстве дополнительную норму, по-

лагая для любого f(t,т) Е.

11/11

О 1 j

- = {/ /^H/íí.rJHld^i.r)} \

о о

Пополнение множества Ь|(<£) по этой норме мы обозначим LS'K (<£). Такие пространства в теории оснащенных гильбертовых пространств обычно называют (по отношению к исходному пространству) пространствами с негативной нормой (см. книгу Ю. М. Березанского, Г. Ф. Уса, 3. Г. Шефтеля "Функциональ-

~ 2 ( —)

ный анализ"). Введем, наконец, пространство Ls (4) вектор-функций {/(<, г)}, заданных на объединении [—а; 0] X [—1; 0]U[0; а] X [0; 1], принимающих значения в <£ и подчиненных следующим двум условиям:

a) при сужение областей определения функций f(t, т) и /(— t, —т)

2 (—^

на множество [0;а] х [0; 1] они принадлежит к Ь~к (<£);

b) при сужение области определения функции f{t,r) + f(—t,—r) на множество [0;а] х [0; 1] она принадлежит к Lg(<£).

- 2 с_^

Предложение 2.17. Пространство Lg ;(í) становится J-пространством, если ввести на нем индефинитную форму и гильбертово скалярное произведение с помощью следующих формул

а i

[f'9] = // - (Л-í, -^»с}^,г),

0 0 >'

а 1

(/,</) = j J {(/(*, r), g(t, т))е + (f(-t, -T),g(-t, -r))e + y/l - r2 x о 0

X {(/(-<, </(<> r))e + (/(«, T),g(-t, -г))е} } , r), т.е. (J/)(t,r) = !{/(*,r) + VT^/H,-r)}.

Предложение 2.18. Оператор T умножения на независимую переменную t действует в пространстве Lg (<£) как заданный всюду непрерывный линейный оператор.

Следующая теорема является основной в этом разделе.

Теорема 2.19. Пусть А - уравновешенный J-положительный оператор с неограниченной спектральной функцией и спектральным

Л 2 ( — ^

квадратом. Тогда найдется такое пространство ¿-Л '(<£) и J -изометрический оператор W: S) что А = W-1TW.

Одно из возможных применений теоремы 2.19 заключается в оценке с ее помощью норм операторов, принадлежащих к Alg А

Предложение 2.20. Пусть оператор А удовлетворяет условиям

А 2 \

теоремы 2.19, пространство '(<£) является модельным пространством для оператора А, В € Algфункция ip(t) нечетна и служит изображением оператора В. Тогда

\\в\\ = sup тн1

В заключение этого раздела рассматривается (пример 2.21) уравнение Jx = гСх. Пусть оператор А = J С является J-положительным уравновешенным оператором со спектральным квадратом и неограниченной спектральной функцией. Тогда (см. книгу Ю. Л. Далецкого, М. Г. Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве") его решения будут неустойчивы. Представляет, однако, интерес вопрос о мере неустойчивости, которую можно охарактеризовать с помощью оценки роста нормы ||е,и,л|| при ш —+ -foo. Поскольку ешА = cosuM-fi'sin шА, то, в силу четности функции coswt, величина || coswj4|| ограничена и нам необходимо оценить только величину ||sinwj4||. Для этой оценки можно воспользоваться предложением 2.18. Она зависит от оператора А и связанного с ним множества Supp (//<,). Например, если Supp(pCT) = {(<,т): 0 <t < т < 1},

то |j sinojу1|| = 0(u)), w —> +00, а если Supp^) = {(t,r) : 0 < t < 1-2 < 1}> то |[sintdA|| = ö(y/w), причем в обоих случаях оценка является точной.

§3 содержит библиографические замечания к гл. 5.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах

1. О спектральном разложении неотрицательных операторов в правильных (^-пространствах //Изв. АН ЭССР. Т. 24, No. 4. (1972), 360-363.

2. О непрерывных эрмитово-индефинитных функциях // Мат. заметки. Т. 13, вып. 2 (1973), 303-310.

3. G-ортонормированные системы и базисы в гильбертовом пространстве // Изв. ВУЗов. Математика. No. 9. (1973), 108-117.

4. К теории самосопряженных операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой // Сиб. мат. ж., Т. XIX, No. 3 (1978), 685-692.

5. Об интегральном представлении J-самосопряженного оператора в ПЛ // Сб. Иссл. опер, ур-ий в функ-ых пр-вах. Свердловск: Изд-во УрГУ (1983), 110-115.

6. Некоторые особенности спектральной функции 7г-самосопря-женного оператора // Сб. Функц. анализ. Теория операторов. Ульяновск: Изд-во УГПИ (1983), 135-146.

7. Модельное представление простейшего 7Г-самосопряженного оператора // Сб. Функциональный анализ. Спектральная теория. - Ульяновск: Изд-во УГПИ (1984), 123-133.

г 8. О некоторых свойствах 7г-изометрического оператора, поро-

жденного сдвигом // Сб. Функц. анализ. Спектральная теория. Ульяновск: Изд-во УГПИ (1985), 137-147.

s 9. Функциональное представление алгебры, порожденной са-

мосопряженным оператором в пространстве Понтрягина // Функ. анализ и его прил., т. 20, вып. 1 (1986), 91-92.

10. О модели 7г-полуунитарного оператора, порожденного сдвигом в максимальном неотрицательном подпространстве // Сб. Функ. анализ. Линейные пространства. Ульяновск: Изд-во УГПИ (1986), 147-157.

11. Интегро-полиномиальное представление регулярных функций от оператора, спектральная функция которого имеет

I

критические точки // Локл. АН УССР. Серия A., No. 8 (1986), 26-29.

12. О структуре операторов, дважды перестановочных с операторами класса К(Н) // Укр. матем. ж. Т. 38, No. 6 (1986), с. 805.

13. Элементы функционального исчисления для /-самосопряженных дефинизируемых операторов// Изв. ВУЗов. Математика, No. 1 (1987), 83-85.

14. О дефинизируемом аналоге проблемы моментов Хаусдорфа // ЛАН Арм. ССР. Т. LHHH1V, No. 1 (1987), 9-12.

15. Об аналоге разложения Вольда для ir-полуунитарных операторов // УМН, Т. 43, No. 1 (1988), 185-186.

16. О бициклической самосопряженной алгебре в пространстве Крейна, неизоморфной своему коммутанту//УМН. Т. 43, No. 4 (1988), 233-234.

17. Функциональное представление операторов, дважды перестановочных с самосопряженным оператором в пространстве Понтрягина // СМЖ. Т. XXIX, No. 6 (1988), 176-184.

18. О структуре семейства коммутирующих «/-самосопряженных операторов // УМЖ, Т. 41, No. 10 (1989), 1431-1433.

19. О структуре тг-унитарного оператора и порождаемой им алгебры // Сб. Спектр, и эвол. задачи, УМК ВО, Киев (1991), 4-6.

20. On an analog of the Wold decomposition for a 7r-semi-unitary operator and its model representation // Collection: Harmonic analysis and operator theory (Caracas, 1994), Contemporary Mathematics (USA: Amer. Math. Soc., Providence, EI), V. 189 (1995), 473-484.

21. On definitizable operator with spectral square in Krein space // Spectral and evolutional problems. Vol. 4. Proceedings of the Forth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, Simferopol State University, Simferopol, Crimea, Ukraine (1995), 127-132.

22. On simultaneously definitizable and spectralizable operators in Krein space // Math. Nachr., V. 245 (2002), 167-184.

и

I

ЛР № 040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 20.01.2003 г. Формат бумаги 60X84 ¡/16. Бумага офсетная. Печать ризографическая. Объем 1,75 п.л. Тираж 100 экз. Заказ 2914. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ с оригинал-макета заказчика. 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26.

7 3 9 4

Введение

1 Основные определения и вспомогательные результаты

§ 1.1. Геометрия пространств с индефинитной метрикой.

§1.2. Классы операторы, действующих в пространствах с индефинитной метрикой.

§ 1.3. Комментарий к главе 1'.

2 Симметричные коммутативные алгебры класса

§2.1. Простейшие свойства операторов класса £)+.

2.1.1. Спектральное разложение ,7с. оператора кла

2.1.2. Спектральное разложение коммутативного семейст

Ф ва класса £)+.

§2.2. Неограниченные элементы в банаховом пространстве.

2.2.1. Основные понятия.

2.2.2. Случай гильбертова пространства.

§2.3. Функциональная модель ./-симметричного семейства класса £>+.'.

2.3.1. Предварительные замечания.

2.3.2. Функциональная модель Е\ (частный случай).

2.3.3. Функциональная модель Е\ (общий случай).

§2.4. Функциональное представление коммутативных И/./*алгебр класса

2.4.1. Предварительные результаты.

2.4.2. Моногенные алгебры.

2.4.3. Алгебры общего вида.

§2.5.0 модели дифференциального оператора с сингулярным потенциалом

2.Гт 1 Оирпятор Л — ^"(t): исходные положения

2.5.2. Оператор (/ + Л)-1 и его расширения.

§2.6. Комментарий к главе

3 Структура бикоммутанта некоторых специальных WJ*— алгебр

§ 3.1. Функциональное представление бикоммутанта.

3.1.1. Предварительные результаты.

3.1.2. Спектральное разложение бикоммутанта.

§3.2.WJ* — алгебры класса D/".

3.2.1. Нильпотентные алгебры.

3.2.2. Коммутативные алгебры общего вида.

§3.3. Циклические ИЛ/*-алгебры класса К{Н).

3.3.1. Нильпотентные алгебры.

3.3.2. Коммутативные И^,/*-алгебры.

§ 3.4. Комментарий к главе

4 Полуунитарные операторы в пространстве Понтрягина

§4.1.Определения и вспомогательные предложения.

4.1.1. Матричное представление 7г-полуунитарного опера* тора.

4.1.2. Связь 7г-полуунитарного оператора с оператором сдвига.

§4.2. Разложение Вольда и смежные вопросы.

4.2.1. Спектральное разложение 7Г-полуунитарного оператора.

4.2.2. Проблема единственности разложения Вольда.

§ 4.3. Модельное представление и функциональное исчисление для операторов класса S+ с точечным спектром на единичной окружности 4.3.1. Функциональная модель 7Г-полуунитарного оператора.

4.3.2. Функциональное исчисление.

§4.4. Модельное представление и функциональное исчисление для операторов класса с точечным спектром вне единичной окружности

4.4.1. Инвариантные подпространства.

4.4.2. Модельное представление оператора II.

§ 4.5.7г-унитарные операторы.

4.5.1. Предварительные результаты.

4.5.2. Функциональное исчисление.

§ 4.6.7Г-полуунитарные операторы общего вида.

4.6.1. Функциональная модель.

4.6.2. 7г-унитарная дилатация и ее модель. Функциональное исчисление.

§ 4.7. Комментарий к главе 4.

5 Дефинизируемые операторы

§ 5.1. фс. дефинизируемые операторы.

5.1.1. Некоторые определения и общие положения.

5.1.2. Операторы, обладающиес.ф.: даточные овия дефинизируеми.

§ 5.2.3с. деф. операторы: элементы функционального ения

5.2.1. Общие результаты.

5.2.2. Случай полурегулярной спектральной функции

§ 5.3. Операторы со спектральной итерацией.

5.3.1. Функциональная структура А^ А.

5.3.2. Матричное представление оператора.

5.3.3. Функциональная модель уравновешенного «/-положительного оператора.

§ 5.4. Коментарий к главе 5.

1. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой лишь ненамного моложе общей спектраль ной теории операторов в банаховых и гильбертовых пространствах, частным случаем которой она, очевидно, является. Впервые индефинитная метрика возникла в явном виде в работах физиков-теоретиков в связи с задачами квантовой теории поля (Надь[1]) и с тех пор методы геометрии и теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой регулярно используются при исследовании различных проблем теоретической физики. Первый важный результат в области спектральной теории самосопряженных операторов в таких пространствах, во многом определивший ее дальнейшее развитие, получил Л.С.Понтрягин (Понтрягин [1]), постановка же задачи, решенной в его работе, принадлежит C.JI. Соболеву и порождена некоторыми задачами гидромеханики (см. Соболев [1]). К настоящему времени сформировались многие направления, связанные как с внутренней логикой развития теории операторов и операторных алгебр в пространствах с индефинитной метрикой (см. Азизов, Иохви-дов [1-3], Наймарк, Исмагилов [1], Ando [1], Bognar [1], Iohvidov, Krein, Langer [1] - здесь и далее мы ссылаемся преимущественно не на оригинальные статьи, а на имеющиеся по данному кругу вопросов обзорные статьи и монографии) , так и с ее приложениями к ряду проблем операторных уравнений (Далецкий, Крейн [1]), механики (Копачевский, Крейн, Нго Зуй Кан [1]) и примыкающим к ней разделам общей теории систем (R.W. Brockett [1]), теории дифференциальных операторов и полиномиальных операторных пучков (Маркус [1], Шкаликов [1], На-боко [1], Пятков [1]), теории рассеяния (Лакс,Филлипс [1], Агосепа [1], Киселев, Попов [1]), аналитической теории матриц-функций и задачам электротехники (Ефимов ,Потапов [1], Аров [1], Helton [2]), теории управления (Francis, Helton and Zames [1]), теории характеристических функций (А.Кужель [1]), теории функций (de Branges [1]) и т.д. Остановимся на некоторых из перечисленных направлений чуть подробнее. Как хорошо известно, исследование физических систем со многими степенями свободы требует развития спектральной теории наборов операторов. Эта задача даже для коммутативных семейств обычных самосопряженных операторов достаточно трудна (см.,напр., Березанский [2],

Самойленко [1]), исследования же в рамках аксиоматического подхода в квантовой теории поля дополнительно требуют рассмотрения пространства с индефинитной мртпикой и пойствующих в них самосопряженных операторных алгебр (И'7*-алгсбр) (Боголюбов, Логунов, Оксак, Тодо-ров [1], Зюбер, Ициксон [1]). Одним из первых возможных шагов в развитии спектральной теории наборов коммутирующих самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой могли бы быть иследования по модельному представлению таких наборов, связанному с минимальным множеством порождающих это семейство элементов и их модельным представлением (в случае обычных самосопряженных операторов соответствующая проблема решается известной теоремой Дж.фон Неймана). К числу вопросов, нуждающихся здесь в дальнейшем исследовании, относится также проблема описания бикоммутанта IV,/*- алгебры (Дадашян, Хоружий[1]).

Далее, редукция ряда задач к спектральным задачам для операторов, действующих в индефинитных пространствах (см., напр., Агранович [1]), часто обусловлена тем, что спектральную теорию самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой можно рассматривать как своеобразный раздел теории возмущений обычных самосопряженных операторов, где возмущенный оператор имеет вид (I 4- Б) А, А и Я самосопряжены в гильбертовом смысле и точка —1 не является собственным значением оператора 5. Если оператор 5 вполне непрерывен, то этот случай сводится к пространствам Пк, если оператор (1 + 3) ограниченно обратим - то к «/-пространствах, в общей же ситуации - к так называемым (^,(?)-пространствам или, короче, (7-пространствам (о сведении произвольного гильбертова пространства с индефинитной метрикой к некоторому стандартному пространству см. Лангер [1] и Штраус [1]). В этом круге вопросов обычно играет существенную роль проблема о спектральном разложении соответствующего оператора и сходимости его интегрального представления (о первом результате такого типа см. Крейн, Лангер [1]). К подобной же проблеме приводят и задачи о регуляризации интегрального представления для тех или иных функций или последовательностей, порождающих соответствующие индефинитные проблемы моментов (М.Г.Крейн, Г.Лангер [2], В.И.Горбачук [1,2]). Интерес к изучению »/-изометрических и «/-унитарных операторов, начатому в работе И. С. Иохвидова (Иохвидов [2]), позже был усилен работой Ч.Дэвиса (Davis [1]), в которой было введено понятие J- унитарной дилатации фактически любого оператора в гильбертовом пространство (напомним, что обычная унитарная дилатация имеет место только для сжимающих операторов), к этому же направлению относятся работы А.Кужсль [2] и Сахнович [1]. Ясно, однако, что последовательное использование этой идеи невозможно без теории J-изометрических и J-унитарных операторов, сравнимой в своем развитии с теорией обычных изометрических и унитарных операторов.

Исследование ряда нерешенных задач в указанных трех направлениях и явилось основным мотивом для написания настоящей работы. Первая задача - это построение функциональной модели для коммутативного семейства J- самосопряженных (J-c.c.) операторов, действующих в пространстве Понтрягина или, при дополнительных условиях, в пространстве Крейна, и приложение этой модели к исследованию проблемы би ком мутанта. Вторая задача - сравнительное изучение вопросов модельного представления и функционального исчисления для 7г-полууни-тарных и 7г-унитарных операторов. Наконец, третья задача - исследование особенностей модельного представления и функционального исчисления для дефинизируемых J-с.с.операторов со спектральной по Дан-форду итерацией.

2. Перейдем к краткому описанию содержания диссертации, состоящей из настоящего введения, пяти глав и списка литературы, включающего свыше 140 наименований.

Гл.1 включает три параграфа и посвящена в основном описанию тех понятий, терминов и известных результатов, относящихся к геометрии пространств с индефинитной метрикой и теории действующих в них операторов, которые используются в последующих главах. Здесь даются, в частности, определения регулярных и псевдорегулярных подпространств, Q-самосопряженных (Q-c.c.) и т.п. операторов, ./-ортогональной спектральной функции (J-орт.сп.ф.) с конечным числом спектральных особенностей и стандартного ./-пространства J-l?3{&). Под последним пространством понимается обычное гильбертово функциональное пространство вектор-функций L|(C;), заданных на отрезке [—1; 1] и принимающих значения в гильбертовом пространстве <£, на котором дополнительно введена структура J-пространства с помощью оператора J, перестановочного со всеми действующими в Lf (<£) операторами умножения на ограниченные измеримые скалярные функции. Термин оператор у нас всегда означает линейный оператор, который, если не оговорено противное, является ограниченным и определенным на всем пространстве. Вводится понятие операторного семейства класса - такого семейства, которое обладает по крайней мере одним максимальными неотрицательным инвариантным подпространством, разлагающимся в прямую сумму равномерно положительного и конечномерного нейтрального подпространств. Заметим, что любое коммутативное семейство 7Г-с.с. операторов в силу известной теоремы М.А.Наймарка (Наймарк [1]) относится к классу Основные библиографические ссылки приведены в §3. Гл. 2 посвящена вопросам модельного описания ./-симметричного операторного множества 2) (в частности, И^У-алгебры 21, т.е. слабо замкнутой 3- симметричной алгебры с единицей) класса Д*", действующего в сепарабельном пространстве Крейна, которое в рамках этой главы всегда предполагаются коммутативными. Основным фактом, приведенным в §1 (он необходим для изложения последующих результатов), является теорема 2.1.23 о существовании у указанного выше множества 2) •/-орт.сп.ф. Е\ с конечным множеством спектральных особенностей Л, общей в некотором естественном смысле для всех операторов из 2), в частности, такой, что для любого оператора А 6 2) найдется функция ср(А), связанная с А интегральным представлением АЕ(А) = /А(р(Л)(1Е\ для всякого отрезка Д С К\Л. Указанная ./-орт.сп.ф. дальше называется собственной спектральной функцией (с.с.ф.) семейства 2). §2 носит вспомогательный характер. В нем по спектральной функции (разложению единицы) вводятся связанные с этой оператор-функцией неограниченные элементы банахова пространства, доказываются некоторые предложения, описывающие действия с неограниченными элементами, показывается, что эти предложения применимы к конкретным функциональным пространствам.

В §3 строится так называемое основное модельное пространство ./-орт. сп. ф. Е\, которая предполагается неограниченной. Делается это следующим образом. Пусть множество спектральных особенностей оператор-функции Е\ состоит только из нуля. Положим (С1лп=замкнутая линейная оболочка) = СЬщ{Е(Д)^}, Е\ = Тогда возможны два

0£Д=Д 3 случая. В первом из них подпространство является семидефинитным, которое без ограничения общности можно считать неотрицательным. Тогда в качестве основного модельного пространства для Е\ берется пространство ¿£(<Е), получающееся присоединением к пространству !/£(<£) конечной системы неограниченных элементов {<7j(£)}?> которые по определению предполагаются попарно ортогональными, ортогональными к L|((S) и нормированными, а связь между Е\ и ¿|(<£) описывается теоремой 2.3.5, в которой, в частности, говорится, что найдется такой называемый оператором подобия изометрический оператор W: ¿|(<£) —► S5, что Е\ = WX^W~l, где Х\ - действующий в ¿|(<£) оператор умножения на функцию, равную единице на полуинтервале [— 1; А) и нулю вне его, XI - сопряженный к Х\ оператор. Во втором случае подпространство индефинитно и в качестве основного модельного пространства для Е\ берется пространство ^-¿£(<5) (теорема 2.3.17), получающиеся присоединением к пространству аналогичной системы неограниченных элементов {#(£)}а связь между Е\ и ^-¿£(<5) (она того же типа, что и приведенная выше) описывается теоремой 2.3.17. Далее в этом параграфе обсуждается проблема произвола в выборе основного модельного пространства для Е\, итог которому подведен в теореме 2.3.24. Добавим, что основным модельным пространством для ./-симметричного семейства 2) называется основное модельное пространство для его с.с.ф. Из приведенных выше результатов следует (см.теорему 2.3.25), что каждому оператору А € 2) отвечает действующий в ¿|(<£) или J-l?d{<£) оператор умножения на некоторую скалярную функцию <p(t), которая называется изображением оператора А. В заключение параграфа обсуждается вопрос об описании множества изображений для операторов из 2) как с помощью основного модельного пространства, так и непосредственно по Е\. Заметим, что попытки модельного представления операторов в Пк, особенно в Iii, на основе модельного представления для обычных самосопряженных операторов предпринимались и раньше (см. Наймарк [1], Логинов [1], Шульман [1], Jonas, Langer [1], Langer, Textorius [1]), последняя из таких публикаций (Бендерский, Литвинов, Чилин [1]), развивающая модель В.С.Шульмана, появилась сравнительно недавно. Существенное отличие предложенного здесь модельного представления состоит не только в рассмотрении при этом более широкого семейства операторов, чисто функциональной природе модельного пространства, но и в прямой связи между модельным пространством и с.с.ф. операторного семейства.

В §4 детально исследуется связь между функциональным пространством вида Ц?Г\Ь2и , где неубывающая функция <т(£) определяет ограниченную, а кусочно-неубывающая функция - неограниченную меры Лебега-Стильтьеса, и принадлежащей к (коммутативной) И7./"-алгеброй 21. Исследуется также вопрос о минимальном числе порождающих элементов алгебры 21.

В §5 дается приложение некоторых из приведенных ранее конструкций к проблеме корректного определения дифференциального оператора с сингулярным потенциалом вида А = ^ + £(£)• как оператора, действующего в некотором пространстве Понтрягина.

В §6 той же главы приведены библиографические и исторические ссылки, затрагивающие проблему авторства приводимых результатов. Гл. 3 посвящена, как это следует из ее названия, проблеме описания бикоммутанта для действующей в сепарабельном пространстве Крейна ./"-алгебры 31 класса £>+. В §1 доказывается лемма 3.1.9 о спектральном разложении бикоммутанта для коммутативной алгебры 21. Оказывается, что с.с.ф. исходной алгебры является таковой и для ее бикоммутанта 21", что, однако, не означает, что 21 = 21" . Приводятся примеры, когда 31 ф 21". В §2 исследуется структура коммутанта и бикоммутанта для IV./"-алгебры 21 класса при этом рассматривается как коммутативный, так и некоммутативный случаи. Для алгебры, нильпотентная часть которой имеет относительно 21 линейную коразмерность, равную единице, приводится полное описание 21 и 21', а для коммутативной алгебры общего вида доказывается (теорема 3.2.41) критерий равенства 21 = 21". В качестве следствия (следствие 2.41) этого критерия имеем, что моногенная И^./*- алгебра класса И* всегда совпадает со своим бикоммутантом. В §3 этой же главы проблема бикоммутанта анализируется для бициклических И7"./"-алгебр 21 класса Приводится пример коммутативной алгебры такого типа, для которой 21 ф ЗМ и доказывается, что для коммутативной циклической И7^-алгебры 21 введенного Т.Я.Азизовым класса К(Н), входящего в объединение классов по всем конечным /с, но не тождественного ему, всегда 21 = 21'. Наконец, §4 содержит библиографическую справку по основным вопросам, затронутым в гл. 3.

Гл. 4 посвящена спектральному анализу и модельному представлению действующих в сепарабельном пространстве Понтрягина 7г-полуунитарных и 7г-унитарных операторов. §1 носит вводный характер. В нем определяется ряд инвариантных подпространств для 7г-полуунитарного опера-гора U, в частности, дефектное подпространство £=(£/5э)Ш и подпространство сдвига $j8= ^CLin {£/*£}, описывается матричное представление такого оператора, вводятся понятия вполне 7г-неунитарного оператора (определение 4.1.6) и класса таких 7г-полуунитарных операторов, для которых Sja С (определение 4.1.7). Показывается, что операторы класса S+ имеют точечный спектр, не пересекающийся с внутренностью единичного круга.

§2 посвящен кругу вопросов, относящихся к разложению Вольда для 7Г-полуунитарных операторов. Известно ( McEnnis [1], [2]), что не для всякого 7Г-полуунитарного оператора U существует непосредственный аналог разложения Вольда, т.е. разложение пространства Понтрягина в 7Г-ортогональную сумму инвариантных относительно U подпространств, на одном из которых U совпадает с обычным оператором сдвига, а на втором действует как 7г-унитарный оператор. Частичным аналогом разложения Вольда для 7г-полуунитарного оператора U является установленная в этом параграфе теорема 4.2.8, в которой, в частности, утверждается, что на единичной окружности Т найдутся две конечные системы точек {Aj} и {/¿т} и такая коммутативная система 7г-ортопроекторов {£"(Д)}, где ACT- любая дуга, граничные точки которой не могут принадлежать множеству {A,} U {цт} и Д П {A,} = 0,что E(A)U = UE(A), оператор U\e(A)Sj 7г-унитарен и ct{U\e(^)sj) С Д. Эта теорема используется в §6 для построения модельного пространства произвольного 7г-полууни-тарного оператора.

§3 посвящен модельному представлению оператора U € S+ в случае, когда точечный спектр этого оператора принадлежит Т, и описанию функциональной структуры Alg U - слабо замкнутой алгебры, порожденной оператором U. В частности (теорема 4.3.8) доказывается существование такой конечной системы регулярных в единичном круге Ю> вектор-функций со значениями в что действующий на линейной оболочке этой системы и класса Харди Я2(£) (эта оболочка обозначается Я2(£)) оператор 1/~: (1/Е/)(0 = (/(£) - /(0))/£, ДО € Н2(£)), подобен оператору (i/|$j,)*. Введенное таким образом пространство Н2(£1) называется основным модельным пространством. С его помощью далее вычисляется скалярная регулярная в D функция £?(£)> вводится пространство Щ(С) регулярных в Ю> скалярных функций Для которых ^(О^О € #2(£) устанавливается естественное соответствие между А^С/ и функциональным пространством П Н°°(С) (теоремы 4.3.12, 4.3.21 и 4.3.25).

Содержание §4 близко к содержанию предыдущего параграфа, но он посвящен модельному представлению оператора II € в случае, когда точечный спектр этого оператора лежит вне Т, и описанию функциональной структуры АНаложенные на и условия резко упрощают его свойства, делая их в целом аналогичными свойствам обычного оператора сдвига. Укажем, в частности (см. теорему 4.4.9 и следствие 4.4.11), что все пространство распадается в прямую сумму двух инвариантных относительно £/ подпространств, одно из которых конечномерно, а сужение и на второе подобно оператору сдвига.

В §5 строится основное модельное представление 7г-унитарного оператора II и исследуется функциональная структура А^ и. В силу очевидной связи между свойствами 7г-с.с. и 7г-унитарных операторов мы ограничимся указанием на два возможных варианта в описании в зависимости от расположения абсолютно непрерывной части оператора С/. Итак, если абсолютно непрерывный спектр £7 не является множеством полной лебеговой меры, то основным функциональным пространством, связанным с будет пространство П (см.выше описание §4 гл.2), состоящее теперь из функций, определенных на отрезке [0:27т], в противном случае таким пространством будет уже введенное в гл. 4 пространство Щ{ С) П Я°°( С).

В §6 для произвольных 7г-полуунитарных операторов обобщены основные результаты предшествующих трех параграфов, установлена связь между основными модельными пространствами 7г-полуунитарного оператора II и его регулярной 7г-унитарной дилатации (теорема 4.6.14), между алгебрами А^ I/ и А^ (следствие 4.6.20).

Заключительный §7 содержит, как и обычно, библиографическую справку по результатам, вошедшим в гл.4.

Гл. 5 посвящена дефинизируемым (деф.) ф-с.с.операторам. В первой части §1 изложены без доказательства некоторые результаты, основным из которых является теорема о существовании с.с.ф. у ф-с.с. дефини-зируемого оператора (теорема 5.1.8), вошедшие в кандидатскую диссертацию автора. Во второй части того же параграфа решается обратная задача о дефинизируемости Q-c.c. оператора, обладающего с.с.ф. с конечным множеством критических точек. В §2 исследуется функциональная структура обозначаемого Ahs(E\) множества операторов, допускающих слабо безусловно сходящееся представление (см. определение 1.2.13) В = /я <p(X)dE\, где Е\ - с.с.ф. деф. J- с.с. оператора А. В случае, когда некоторая степень оператора А оказывается оператором, спектральным по Данфорду, показывается (теоремы 5.2.8 и 5.3.9), что найдется такая положительная и, вообще говоря, неограниченная скалярная функция /?(Л), что ip(t) 6 Abs(Ex) тогда и только тогда, когда функция p{t)(p{t) ограничена. Этот результат интересно сравнить с предложением 2.4.14 и замечанием 2.4.16, где также описывается структура Ahs(E\), но для класса D+. Указанное сопоставление показывает, что хотя в обоих случаях АЬэ(Ед) является по отношению к подходящим образом выбранной норме банаховым идеальным пространством, но структура этого пространства в каждом из рассматриваемых случаев оказывается существенно различной. В этом же параграфе описывается функциональная структура Alg А, где А - указанный выше оператор со спектральной итерацией. Далее рассматривается вопрос о приведении рассматриваемого типа оператора к некоторому стандартному виду. Показано (теорема 5.3.13), что при должном выборе канонической симметрии этот оператор в существенном описывается вместе с канонической симметрией J следующими матричными представлениями

О W'1 \ . ( О A^W-1 \ о )>a-\wam О J' где Sy = © оператор W: ~~1к * изометричен, операторы Л(+) и А^ действуют в перестановочны и самосопряжены. Допускающий такое представление J-с.с. оператор А назван в работе (определение 5.3.15) уравновешенным оператором.

В заключение этого параграфа строится функциональная модель уравновешенного «/-положительного оператора со спектральным квадратом. Для этого используется L| (<£) - гильбертово пространство вектор-функций со значениями в гильбертовом пространстве <5, областью определения [0; а] х [0; 1] (или, точнее, Supp([¿о)) и плоской векторной мерой, порожденной скалярной функцией двух переменных cr(f,r), и гильбер

2 (-) тово функциональное пространство L~ (<£), норма в котором вводится по формуле и которое является по отношению к (<£) пространством с негативной нормой (см.Березанский, Ус, Шефтель [1]). Далее по (<£) и а 2 л \ вводится пространство (<£) вектор-функций, образованное как линейная оболочка четным (одновременно по £ и г) образом продолженных функций из и нечетным - из Показывается (теорема

5.3.19), что уравновешенный <7- положительный оператор А с неограниченной спектральной функцией и спектральным квадратом подобен

А 2 (—) действующему в пространстве (<£) оператору умножения на независимую переменную £.

Эта функциональная модель используется затем для вычисления норм операторов из А^А (предложение 5.3.20 и пример 5.3.21). §3 содержит библиографические замечания к гл. 5. 3. Основные научные результаты, изложенные в настоящей работе, заключаются в следующем:

1°. Для описания семейства класса И* предложено модельное пространство, на котором операторы семейства изображаются операторами умножения на скалярные функции, и дано полное описание таких функций в случае, когда семейство является ./"-алгеброй.

2°. Установлена связь между спектральным разложением коммутативной ./"-алгебры 21 класса Д*". и ее бикоммутанта. Показана нетривиальность проблемы бикоммутанта (задачи о равенстве 21 = 21") для указанной алгебры.

3°. Предложено полное описание коммутативной IV3*- алгебры 21 класса .О]1" и на его основе получен критерий равенства 21 = 21" для такой алгебры. Доказана теорема о равенстве 21 = 21' для коммутативной циклической IV./"-алгебры 21 класса К(Н).

4°. Исследована структура спектра 7г-полуунитарных операторов, получено их спектральное разложение, а на основе такого разложения - соответствующее им модельное представление и функциональное исчисление. Показана связь между модельным представлением 7г-полуунитар-ных операторов и их регулярных 7Г-унитарных дилатаций. 5°. Для ./-положительного оператора со спектральной итерацией полностью исследована функциональная структура порождаемой им слабо замкнутой алгебры и предложена функциональная модель для описания такого оператора.

4. Основные результаты работы были опубликованы в статьях, заметках и сообщениях Штраус [6-30], Strauss [2, 3, 5]. Они систематически докладывались на Воронежских зимних математических школах, школах по теории операторов в функциональных пространствах, на 12°" Международной конференции по теории операторов в г. Тимишоара (Румыния, 1988 г.), на 20ом Международном семинаре по функциональному анализу в г. Липтовски Ян (Чехословакия, 1989 г.), на Крымских осенних математических школах (КРОМШ-1 - 5, 11), на конференции памяти М.Г. Крейна (г. Одесса) в 1990 г. и на 2°** конференции, посвященной анализу Шура (г.Лейпциг, Германия) в 1992 г., Международной конференции по теории операторов и интерполяционным проблемам в честь 80-летнего юбилея М.Котляра (Каракас, Венесуэла) в 1994 г., на летних Санкт-Петербургских конференциях по математическому анализу (Summer St. Petersburg Meetings in Mathematical Analysis) в 1999 и 2001 гг., на Международном семинаре по теории операторов и ее приложениям (IWOTA-2000, Фару, Португалия) в 2000 г., на семинаре А.Г.Косгюченко А.А.Шкаликова (МГУ) в 1986 и 1990 гг., семинарах Ю.М.Березанского и М.Л. Горбачука (Институт математики АН УССР, г.Киев) в 1987 и 1990 гг., семинаре Н.К.Никольского и В.И.Васюнина (ЛОМИ) в 1989 г., в отделе функционального анализа института математики СО АН СССР (г.Новосибирск) и институте математики им. К.Вейерштрасса (г.Берлин, Германия) в 1990 г., семинарах профессора Лоухивара (Свободный берлинский университет, г.Берлин, Германия) и профессора Х.Лангера (Венский технический университет, г.Вена, Австрия) в 1992 г. и т.д.

5. В работе принята обычная символика. Начало доказательства помечается символом □, его окончание - ■ , само слово "доказательство" обычно не указывается. Предложения, определения, леммы и т.п. в пределах одного параграфа нумеруются подряд, при этом на первой позиции ставится номер главы, затем - номер параграфа. Перечень цитированной литературы приведен в алфавитном порядке двумя отдельными списками для статей и монографий, опубликованных на русском или иностранных языках соответственно, при библиографических ссылках сначала указывается Фамилия автора (авторов) на языке оригинала, затем - номер работы этого автора.

1. Спектральная теория и теория расширений операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Дисс. на соискание уч. степени д-ра физ.-мат.наук.- Воронеж, 1985.- 275 с. А з и з о в Т. Я., И о х в и д о в И.

2. Линейные операторы в гильбертовом пространстве с С?-метрикой / / УМН. - 1971. - Т. 26 No 4. - 43-92.

3. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой / / Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ/ВИНИТИ.-1979.- Т. 17.- 113-206.

4. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1985.- 352 с. А з и з о в Т. Я., У с в я ц о в а Е. Н.

5. О полноте и базисности собственных и присоединенных векторов операторов класса К{Н) // Укр. матем. ж.- 1978.- Т.ЗО, No 1. - 86-88. А л ь б е в е р и о С, Г е с т е з и Ф., Х ё э г - К р о н Р . , Х о л ь -д е и X.

6. Решаемые модели в квантовой механике. - М.: Мир, 1991. - 567 с. А р о в Д. 3.

7. Гамма-производящие матрицы, J-внутренние матрицы функции и связанные с ними задачи экстраполяции//Функ.анализ и его прил.- 1988.-Т.22, вып.1.- 57-59. А р о н ш а й н Н.

8. Квадратичные формы на векторных пространствах / / Математика (сб.переводов).-1964.- Т.8, No 5.- 105-158. А х и е з е р Н. И. и Г л а з м а н И. М.

9. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. T.L- Харьков: Вища шк,, 1977.- 316 с. Б с л л м а н Р.

10. Введение в теорию матриц.- М.: Наука.- 1969.- 368 с. Б е н д е р с к и й О. Я., Л и т в и н о в Н., Ч и л и н В. И.

11. Описание коммутативных симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрягина П1//Деп.рукопись Ташкент, 1989.- 44 с. Б е р г Й., Л е ф с т р е м Й.

12. Интерполяционные пространства. Введение.- М.: Мир, 1980.- 264 с. Б с р е з а н с к и й Ю. М.

13. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов.- Киев: Наукова Думка, 1965.- 800 с.

14. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных.- Киев: Наукова Думка, 1978.- 360 с. Б е р е 3 а н с к и й Ю. М., У с Г. Ф., Ш е ф т е л ь Я. 3.

15. Функциональный анализ.- Киев: Выща Школа, 1990. - 600 с. Б и р м а н М. Ш, С о л о м я к М. 3.

16. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.- Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. - 264 с. Б о г о л ю б о в Н. Н., Л о г у н о в А. А., О к с а к А. И., Т о д о -р о в И. Т.

17. Общие принципы квантовой теории поля.- М.: Наука, 1987.- 616 с. Б р а т т е л и У., Р о б и н с о н Д.

18. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика.- М.: Мир, 1982.- 512 с. Г а р н е т т Дж.

19. Ограниченные аналитические функции.-М.: Мир, 1984.- 469 с. Г е р и ш А., Г е р и ш В.

20. Пространство Понтрягина и сходимость метода Бубнова- Галеркина / / ДАН СССР.- 1970.- Т.193, No 6.- 1218-1221. Г и н з б у р г Ю. П.

21. О J-нерастягивающих операторах в гильбертовом пространстве / / Научи, зап. физ.-мат.фак. Одесского гос.пед. ин-та, 1958.- Т.22, No 1.- 13-20. Г и н з б у р г Ю. п., И о х в и д о в И.

22. Исследования по геометрии бесконечномерных пространств с билинейной метрикой / / УМН.- 1962.- Т.17, No 4.- 3-56. Г л а з м а н И. М., Л ю б и ч Ю. И.

23. Конечномерный линейный анализ.- М.: Наука, 1969.- 476 с. Г о р б а ч у к В. И. ( П л ю щ е в а В. И.)

24. Об интегральном представлении непрерывных эрмитово-индефинитных ядер// ДАН СССР.- 1962.- 145, No 3.- 534-537.

25. Об интегральном представлении эрмитово-индефинитных матриц с /с отрицательными квадратами// Укр.мат.журнал.- 1962.- T.14,No 1.- 30-39.

26. О единственности представления эрмитово-индефинитных функций и последовательностей.- Укр.мат.журнал.- 1966.- T.18,No 2.- 107-113. Г о р б а ч у к В. И., Г о р б а ч у к М. Л.

27. О представлении вакуумного среднего полевых операторов в пространстве с индефинитной метрикой.- Укр.мат.журнал.- 1966.- T-18,No 6.- 108-111. Г о ф м а н К.

28. Банаховы пространства аналитических функций.- М,: ИЛ, 1963.- 312 с. Д а д а ш я н К. Ю., Х о р у ж и й С . С .

29. О полевых алгебрах в квантовой теории поля с индефинитной метрикой. 11. Формулировка модулярной теории в пространстве Понтрягина / / ТМФ,-1985.- Т.62, No 1.- 30-44. Д а л е ц к и й Ю. Л., К р е й н М. Г.

30. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.- М.: Наука, 1970.- 534 с. Д а н ф о р д Н., Ш в а р ц Дж. Т.

31. Линейные операторы. Общая теория.- М.: ИЛ, 1962.- 896 с.

32. Квантовая теория поля. Т.1.- М.: Мир,1984.- 448 с. и о X в и д о в Е. и .

33. Об одном обобщении понятия J-унитарного оператора //Сб. XV Всесоюзная школа по теории операторов в фунциональных пространствах. Тезисы докладов. 4.1 - Ульяновск: УГПИ,1990.- 101. И о х в и д о в И.

34. К теории неопределенных теплицевых форм / / ДАН СССР.- 1955,- ТЛ01, е 2.- 213-216.

35. Об операторах с вполне непрерывными итерациями / / ДАН СССР.- 1963.- Т.153, No 2.- 258-261.

36. G-изометрические и J-полуунитарные операторы в гильбертовом пространстве / / УМН.- 1965.- Т.20, е 3.- 175-181. И о х в и д о в И. С , К р е й н М. Г.

37. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой.1.- Труды ММО, 1956.- Т.5.- 367-432.

38. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой.11.- Труды ММО,1959.- Т.5.- 413-496. К а н т о р о в и ч Л, В., А к и л о в Г. П.

39. Функциональный анализ. 2-е изд.- М.: Наука, 1977.- 741 с. К а т о Т.

40. Теория возмущения линейных операторов.- М: Мир, 1972.- 740 с. К и с е л е в А. А., П о п о в И. Ю.

41. Индефинитная метрика и рассеяние на области с малым отверстием / / Мат. заметки.- 1995.- Т.58, вып.6.- 837-850. К о п а ч е в с к и й Н. Д., К р е й н Г., Н г о З у й К а н .

42. Операторные методы в линейной гидродинамике.- М.: Наука.- 1989.- 416 с. К р е й н М. Г., Л а н г е р Г. К.

43. О спектральной функции самосопряженного оператора в пространстве с индефинитной метрикой / / ДАН СССР.- 1963.- Т.152, No 1.- 39-42.

44. Интерполяция линейных операторов.- М.: Наука,1978.- 400 с. К у ж е л ь А. В.

45. Теория рассеяния для автоморфных функций.- М.: Мир, 1979.- 326 с. Л и т в и н о в Н.

46. Описание коммутативных симметричных алгебр в пространстве Пон- трягина П1//ДАН УзССР.- 1987.- No 1.- 9-12. Л о г и н о в А. И.

47. Полные коммутативные симметричные операторные алгебры в пространстве Понтрягина П1 / / Мат.сборник.- 1971.- 84, No 4.- 575-582. Л я н ц е В. Э.

48. Об одном обобщении понятия спектральной меры// Мат.сб.- 1983.- Т.61, No 1.- 80-120.

49. О спектральном анализе несамосопряженных операторов / / ДАН СССР. - 1977. - Т.232, No 1.- 36 - 39. Н а д ь К. ЬПространства состояний в квантовой теории поля.- М.: Мир, 1969. -136 с. Н а й м а р к М. А.

50. О перестановочных унитарных операторах в пространстве П^ II ДАН СССР.- 1963.- Т. 149,No 6.- 1261-1263.

51. О коммутативных алгебрах операторов в пространстве IIi / / ДАН СССР.- 1964.- Т. 156.- 734-737.

52. Коммутативные алгебры операторов в пространстве 111 / / Rev. roum. math, pures et appl. - 1964.- V.9,No 6.- Pp. 499-529.

53. Банаховы коммутативные симметричные алгебры операторов в про- сгранстве Hi / / Изв.АН СССР. Сер.матем.- 1965.- 29.- 689-700.

54. Нормированные кольца.- М.: Наука, 1968.- 664 с. Н а й м а р к М. А., И с м а г и л о в Р. Представления групп и алгебр в пространствах с индефинитной метрикой //Матем.анализ 1968, М: ВИНИТИ, 1969.- 73-105. Н и к о л ь с к и й Н. к.

55. Лекции об операторе сдвига.- М.: Наука, 1980.- 384 с. Н и к о л ь с к и й Н. К., Х р у щ е в С В .

56. Функциональная модель и некоторые задачи теории функций / / Тр. мат. ин-та АН СССР.- 1987.- Т.176.- 97-210. С а м о й л е н к о Ю.

57. Спектральная теория наборов самосопряженных операторов.- Киев: Наукова Думка, 1984.- 232 с. П о н т р я г и н Л.

58. Эрмитовы операторы в пространствах с индефинитной метрикой / / Изв.АН СССР. Сер.матем. - 1944. - 8.- 243-280. П я т к о в Г.

59. Индефинитные эллиптические спектральные задачи / / Сиб. мат. журнал. - 1998. - Т.39, No 2. - 409-426. Р и д М., С а й м о н .

60. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ.- М.: Мир, 1977.- 358 с. Р и с е Ф., С е к е ф а л ь в и - Н а д ь Б.

61. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979.- 590 с. С о б о л е в Л.

62. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / / ЖПМТФ.- 1960.-NO 3.- 20-55. С а х н о в и ч Л. А.

63. О ./-унитарной дилатации ограниченного оператора / / Функ. анализ и его прил.- 1974- Т.8, No З.-С. 83-84. С с к с ф а л ь в и - Н а д ь Б., Ф о я ш Ч.

64. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве.- М.: Мир, 1970. С п и т к о в с к и й и. М.

65. Факторизация эрмитовых матриц-функций и классификация сдвигов в пространстве с индефинитной метрикой //Укр.мат.журн.- 1989.- 41,No 10.- 1388-С у д а к о в Н.

66. О малых колебаниях упругой вытянутой осесимметричной оболочки, целиком заполненной вращающейся идеальной несжимаемой жидкостью. - Препринт 91.01, ИПММ АН УССР, Донецк, 1991, 64 с. С у п р у н е н к о Д. А., Т ы ш к е в и ч Р. И.

67. Перестановочные матрицы.- Минск: Наука и техника, 1966.- 104 с. Ш м у л ь я н Ю. Л.

68. Теория расширения операторов в пространствах с индефинитной мет^ рикой / / Изв.АН СССР.- 1974.- Т.38, вып.4.- 896-908. Ш к а л и к о в А. А.

69. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними / / Труды семинара им. И.Г. Петровского.-1989.- Вып. 14.- 140-224. Ш т р а у с В. А.

70. Оператор Грама и (7-ортонормированные системы в гильбертовом пространстве / / Сб.трудов аспиранстов матем. ф-та,вып.1.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1971.- 85-90.

71. О спектральном разложении неотрицательных операторов в правильных (35,д)-пространствах //Изв. АН ЭССР.-1972.- Т.24, No 4.- 360-363.

72. Некоторые вопросы геометрии и спектральной теории операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой. Дис. на соискание учен, степени канд. физ.-мат.наук, Воронеж, 1972, 126 с.

73. О непрерывных эрмитово-индефинитных функциях / / Мат. заметки.- 1973.- Т.13, вып.2.- С- 303-310.

74. G-ортонормированные системы и базисы в гильбертовом пространстве / / Изв. ВУЗов. Математика.- 1973.- No 9.- 108-117.

75. К теории самосопряженных операторов в банаховых пространствах с эрмитовой формой / / Сиб.мат.журнал.- 1978,- Т.Х1Х, No 3.- 685-692.

76. Об интегральном представлении J-самосопряженного оператора в П« / / Сб. Исследования опер.ур-ий в функ-ых пр-вах.- Свердловск: Изд-во урГУ.- 1983.- 110-115.

77. Некоторые особенности спектральной функции тг- самосопряженного оператора// Сб.Функциональный анализ. Теория операторов.- Ульяновск: Изд-во УГПИ.- 1983.- 135-146.

78. Модельное представление простейшего тг- самосопряженного оператора / / Сб. Функциональный анализ. Спектральная теория.- Ульяновск: Изд-во УГПИ.- 1984.- С - 123-133.

79. О функциональном исчислении тг-самосопряженных операторов / / Сб. IX школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов.- Тернополь: Збруч.- 1984.- 151-152.

80. О некоторых свойствах тг-изометрического оператора, порожденного сдвигом / / Сб. Функциональный анализ. Спектральная теория,- Ульяновск: Изд-во УГПИ.- 1985.- 137-147.

81. Функциональное представление алгебры, порожденной самосопряженным оператором в пространстве Понтрягина / / Функ.анализ и его прил.- 1986.- Т. 20, вып.1.- 91-92.

82. О модели 7г-полуунитарного оператора, порожденного сдвигом в максимальном неотрицательном подпространстве / / Сб. Функциональный анализ. Линейные пространства. - Ульяновск: Изд-во УГПИ. - 1986.-С.147-157.

83. О циклическом J-самосопряженном операторе// С6.Х1 Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Ч. 11, Челябинск: Изд-во ЧПИ, 1986.- 152.

84. Интегро-полиномиальное представление регулярных функций от оператора, спектральная функция которого имеет критические точки / / Докл.АН УССР. Серия А.- 1986.- No 8.- 26-29.

85. О структуре операторов, дважды перестановочных с операторами класса К{Н) Ц Укр.матем.ж.- 1986.- Т.38, No 6.- 805.

86. Элементы функционального исчисления для J- самосопряженных де- финизируемых операторов// Известия ВУЗов. Математика.- 1987.- No 1.- 83-85.

87. О дефинизируемом аналоге проблемы моментов Хаусдорфа / / ДАН арм.ССР.-1987.- T.LXXX1V, No 1. - 9 -12.

88. Самосопряженные алгебры в пространствах со знакопеременной ква- дратичной формой//Сб. XIX Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообш,ений. Ч.1.- Львов: Институт прикладных проблем механики и математики АН УССР, 1987.- 320.

89. О порождающих элементах коммутативной W J*-aягe6pы / / Сб. XII 1икола по теории операторов в функциональных пространствах: Тезисы докладов.Ч.2.- Тамбов: Изд-во ТГПИ, 1987.- 124.

90. Об аналоге разложения Вольда для тг-полуунитарных операторов / / УМН.- 1988.- Т.43, No 1.- 185-186.

91. О бициклической самосопряженной алгебре в пространстве Крейна, неизоморфной своему коммутанту//УМН.- 1988.-Т.43, No 4.- 233-234.

92. Структурные свойства тг-полуунитарного оператора / / Сб. XIII школа по теории операторов в фунциональных пространствах: Тезисы докладов. - Куйбышев: КГУ, 1988.- 214-215.

93. Функциональное представление операторов, дважды перестановочных с самосопряженным оператором в пространстве Понтрягина / / СМЖ.- 1988.- T.XXIX, No 6.- 176-184.

94. Алгебра, порождаемая унитарным оператором в пространстве Понтрягина / / Сб. XIV школа по теории операторов в фунциональных пространствах. Тезисы докладов.- Новгород: НГПИ,1989.- 96.

95. О структуре семейства коммутирующих J-самосопряженных операторов / / УМЖ.- 1989.- Т.41, No 10.- 1431-1433.

96. О бикоммутанте Vrj*-ajire6pbi / / Сб. XV Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Ч.П - Ульяновск: УГПИ,1990.- 131.

97. О структуре тг-унитарного оператора и порождаемой им алгебры / / Сб. Спектральн! i еволющйн! задач!.- К.: УМК ВО,1991.-С.4-6.

98. Функциональные модели операторов в пространствах Понтрягина и Крейна: Отчет о НИР (заключит.) / Челяб. гос. техн. ун-т (ЧГТУ)- ГР 01900051674, 1991, 29 с. (Сборник рефератов НИР и ОКР. Серия 22, 9-1991)

99. Симметричные банаховы алгебры в пространстве типа Hi / / Мат.сб.- 1972.- Т.89, No 2.- 264-279. A п d о Т.

100. Linear operators in Krein spaces. Lecture Notes. - Sapporo: Hokkaido University, 1979. A r o c e n a R.

105. On unitary dilatations and characteristic functions in indefinite inner product spaces// Operator theory: Adv. and Appl. (Birkhauser Veriag) .-1987.- V.24.- Pp. 87-102. D a v i s Ch.

106. Pseudo-regular spectral functions in Krein spaces// J. of ОТ.- 1984.- No 12.- Pp. 349-358. H e l t o n J. W.

107. Unitary operators on a space with an indefinite inner product / / J.of Funct. analysis.- 1970.- V.6, No 3.- Pp. 412- 440.

109. Introduction to the spectral theory of linear operators in spaces with an indefinite metric- Berlin: Akademie-Verlag, 1982.- 120 p. J a I a V a V.

110. On spectral decomposition of a class of bounded operators in a Banach space with a nondegenerate Hermitianform. Univ.Jyva skula, Dept.Math., 1970, Report 9, 32 p. J o n a s P.

111. Bedingung fiir die Existenz einer Eigenspektralfunction fur gewisse Auto- morphismen lokalkonvexer Raume / / Math. Nahrichten.- 1970.- No 45, H 1-6.- Pp. 143-160.

112. On the functional calculus and the spectral function for the definitizable operators in Krein space.- Prepr. Akad.Wiss. DDR, Zentralinst. Math, und Mech.,1979, No 4, 36 p.

115. Zur Spektraltheorie J-selbstadjungierter Operatoren// Math. Ann.- 1962.- V.146, No 1.- Pp. 60-85.

116. Spectraltheorie linearer Operatoren in J-raumen und enige Anwendungen auf die Shar L(A) = >?I + \B 4- C— Habilitationsschrift, Tech.Univer., Dresden, 1965.

119. Shifts on indefinite inner product spaces// Pacific J. Math.- 1979.- V.81, No 1- Pp. 113-130.

120. Shifts on indefinite inner product spaces.ll.// Pacific J. Math.- 1982.- V.IOO, No .- Pp. 177-183. S t r a u s s V. (Shtraus V.A.)

121. Functional models for operators acting in indefinite inner product spaces / / Report of the Twelfth conference on Operator Theory. Timisoara (Romania), June 6-16, 1988, Pp.103-105.

122. On an analogue of the Wold decomposition for a 7r-semi-unitary operator and its model representation.- Contemporary Mathematics (USA: AMS).-1995.- V.189.- P.473-484.

123. On definitizabie operator with spectral square in Krein space, in: Spectral and evolutional problems. Proceedings of the Forth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium 4, 127-132, Simferopol State University, Simferopol, Crimea/Ukraine, 1995.

124. Descomposici6n espectral de una algebra de operadores en espacio de Krein. Trabajo de ascenso, Universidad Sim6n Bolfvar, Caracas, 1998, 48 p.

126. Analytic functional calculus aлd spectral decompositions. Dordrecht: D. reidel Co.,1982.