Теоремы плотности и функциональные представления для симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрягина типа П1 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМЕНИ В.И.РОМАНОВСКОГО АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

Р Г Б —=

? Г На правах рукописи

МАШАРИПОВА Софья Шариловна .:

ТЕОГЛй ШЮТШст И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ДЛЯ СШЛЕТРИЧНЬК АЛГЕБР ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВЕ' ПОНТРЯГИНА ТИПА fli

0I.0i.0I 7 Математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

.диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент - 1УУ5

Работа выполнена в Ташкентском Государственном Университете. ¿ ^

Научный руководитель- : * . ;

доктор физико-математических ваук В;И.ЧИДИН.

Официальные аппойентн :••■ .

■ член-коррбсповдент АН УУ» .доктор физвко-матвмвтаческих -наук,рро$ессор ДиДЩИЕВ . ■

кандидат физико-математических наук А.М.ЩШТСВ. ■

Ведущая оргвнивация - Университет Дружбы народов ; ■ •

'. • имени П.Лунумй».-

Зацйта диорертации состоится " д*,,*,. ы^ол^ 1995 года •. Ч "-¿¿."¿80., аа заседании специализированного'Совета Д.0Х5.17.21 при Инотитуте математики имени В.И.Романовсаого АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, Т8шкент-143, уя.ФДсдавева, 23. •'•.;..

' С диссертацией моано ознакомиться в библиотеке Института Математики .юлений В.И.Ромавовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан "3 " Сслф//^ 1У95 гада.

. Учевыа секретарь ' • • : ¡кёШвляаарфвюарр совета Доктор {из.-мат.наук,проф. (/¿ . :; Щ.А.&ШШОЗ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Линейные операторы, действующие в конечномерных пространствах с индефинитной метрикой, рассматривались еще а коаце прошлого века Фробёниусом. Бесконечномерные пространства с индефинитной метрикой впервые появились в- работах Дирака и Паули, Аксиоматическое описание этих пространств дано А.С.Понт-рягпннм. Впоследствии теория пространств с индефинитной метрикой и операторов в них раззивалась в работах Л.Г.Крейна, Г.К.Лангера, Ю.П.Гинзбурга я других а к настоящему времени разпяЛл?о»<?

ТОЧНО упплюл. , .

Ораня^тсльЕо ¿олвв ыо-годсй а менее изученной областью исследований является теория операторных алгебр в пространствах о индефинитной метрикой, напало которой было полонено в работах Р.С.Исыагилова и М.А.Наймарка. Исследования М.А.Наймарка, А.И.Логинова, О.Я.Бендерского, С.Н.Литванова, В.Й.Чшшна дали полное описание равномерно замкнутых коммутативных симметричных алгебр операторов, действующих в пространства Донтрягана П. Значительный прогресс в изучении произвольных симметричных алгебр операторов в П1 связан с работами В.С.Шульмана, который построил систему моделей для таких алгебр. Следующий ¡лаг в развитии теории этих алгебр сделан в работах С.С.Хоруаего и К.Ю.Дадатяна, С.Н.Яитва-нова, в которых строятся элементы модулярной теории для слабо замкнутых сишетричннх алгебр операторов в П & • Уивкем танке на исследования В.А.Штрауса, которым предложен вариант функционального описания симметричных алгебр, порожденных £} - семосо-пряженным оператором в пространстве Пк; •

Несмотря на значительное продвияение в изучений спмлетричных алгебр операторов в П^ , до сих пор не существует математического иппарата, который, кок, например, в случае С * и И^-ал-гебр операторов в гильбертовом пространстве, позволил бы эффек- • тивно исследовать операторные алгебры в пространствах с индефинитной метрикой.

В связи с этим представляется актуальным дальнейшее детальное изучение топологических и алгебраических свойств смшотрич-. тх алгебр операторов п пространство П 1 < п .тьим построение

функционального исчисления для - самосопряженных операторов, . действующих в П1.

.Цель работа.

а) Полное описание слабых замыканий симметричных алгебр операторов, действующих в пространстве П1» в рамках моделей В.С.Шульмаяа.

б) Доказательство варианта теоремы плотности Капланского дай симметричных алгебр операторов", действующих в пространстве П*-

в) Построение функционального исчисления для С/ - самосопряженных операторов в пространстве П1 •

г) Доказательство варианта спектральной теоремы для С/ - самосопряженных операторов, действующих в пространстве Па .

Методика исследования. При исследовании топологических и алгебраических cвoflotв симметричных алгебр операторов, действующих в Ги » постоянно используются система моделей алгебр, предложенная В.С.Шульыаном.в развитая им теория квазивекторов. Кроме того, используются метода теории операторных алгебр, действующих в гильбертовых пространствах, в частности, метода теории Щ* - алгебр.

Научная новизна. В диссертации подучены следующие основные результаты:

- дано полное описание слабых замыканий симметричных алгебр операторов, действуадих в пространстве П1 « в рамках моделей В.С.Щульмана;

- доказан вариант теоремы плотности Капланского для симметричных алгебр операторов, действуадих в пространстве П4 !

- построено функциональное исчисление для $ - самосопряженных операторов в пространстве П*.«

- получен вариант спектральной теоремы для - самосопря^енны* операторов, действующих в пространстве Г1 -х •

Теоретическая п практическая ценность. Диссертация носят теоретический характор а ее результаты могут служить для дальнейшего развития теории операторных алгебр в пространствах Цпчгряги-но и её приложений п квлнтопрЯ теории полд.

Апробация работы. Результата работа сообщалась в шкодах цо теория операторов в функциональных пространствах (Ульяновск, 1990 г.} Н.Новгород, 1991 г.), на городском семинара по функци-. • ональному анализу под руководствоы академика All РУз, профессора Т.А.Сарымсакова (I99I-I994 гг.).

Публикации. Основное содераание диссертации'отражено в рз-ботах ГХ - ел .

Схрукгуоя я оийеч рциат. Диссертация состоит из введения, двух глав общий объемом 117 страниц машинописного текста и списка литературы из 41 наименования.

Перейдем к краткому излокекию основных.результатов диссертации.

СОДЕШШЕ РАБОТЫ

В § I главы I приведены сведения по геометрии пространств с индефинитной метрикой и по теории операторов в этих пространствах, постоянно использующиеся при,дальнейшем изложении.

Пусть (Д, (•>•)) - пространство Ионтрягдиа типа ill , где (•..) индефинитная билинейная форма в Л • В (Л) ~ алгебра всех непрерывных линейных операторов в . Дяя любого нейтрального подпространства L С JH, положи,..

1^= lie 5(A); £Ur L . Ale и, фи= (йеЬ(Л); ALc L}.

Так «эк L то оно является собственным подпрост-

ранством дда кандого оператора Д из ; соответствующее собственной значение будем обозначать через . Выберем некоторое кососвязное с L подпространство с Л, » тогда

Н = \JT\ ~ гильбертово пространство относительно походного скалярного произведения. Для всякого Де: Tl определим :

Ai^ ВСН; формулой Ai £ = J^'Ax праЗСеЙ', где JJT ортогональный проектор на' Н в Ji . ¡зафиксируем векторы £0r L - М ТШШ0« что = , и дл*

всякого A- I L положим Aу , fa-C'»h

' J'^'A ' 11Рт!?волы!0!'!У'НЗЙору, состоящему, из

оператора Дё В(Н) • векторов Н » Н , комплексных чисел , Л{, г У <г (С » поставим в соответствие оператор < А , £, В (А) . переводящий в , §. -в }110+Х + , и любой вектор Н в Ап + (п,уУ§0 . Очевидно, что < А , Ж, у, Л , /1 , Р > <= ![_, .где Ь одаомерноз пространство, порояденное • Ясно такие, что любой оператор из Хь имовт вид < Д , х, у , Д , ^ >.

Общей алгеброй операторов в А называется замкнутая по норме, симметричная подалгебра в £)(Л) , не являющаяся неш- " ровденной, т.о. вмещая нейтральное инвариантное подпрострзнсгво

Пусть 5 • общая алгебра.^Пологам = {^ =Мг = о} и обозначим = {А^; А« 5в} чедез^4 .

Симметричный идеал с/г. о = 5 П Фь алгебры 5 называ-втся её Ь - характеристикой.

Если для некоторого подцрострапотва ^.с: (_, -. характеристика алгебрц равна пули, то (5 называется: алгеброй класса О,

УТВЕРЖДЕНИЕ I. (В.С.Шульман). Для вспкоЗ общей алгебры £ класса О существуйт гильбертово пространство Н и С* - алгебр;

Ц, операторов в Н » 1!е содерхеиая единицы, такие, что алгебра М"( Н,И) - {<А+л, о,о,а,л, о >; А^и, €}

операторов в ^ унитарно эквивалентна ^ .

Линейное отобрашгае р из Ц в [| называется квази-воххором алгебры Ц , если р (АВ )=? Ар( В) я®1 любых А>Ве и • Лля квазивектора р определим отображение

р': Н © Н • рШ = р(А)Ф р(А*>

при У- • Квазпвактор р назовем 'С полузамкнутым; Т( СС - равномерная, ¿¿5 - ультрасильная топология, V/ - слабая топология в 6(И) ), если р замкнутое отображение из (В(Н),Т) г. Н г • Совокупность - полузамкнутых квазиаекторов алгебры 'И обозначил через ]{Т(У.) .

Если алгебра 5 по принадлежит классу 0 п при некотором выборе пространства Ь её - характеристика содержится в $ » но § называется аягебро* клпссч

УТВЖЩЫНЕ 2. (З.С.Шульмап). Для всякой алгебр',' 5

?ассп I су!цо(;':г.уе- х-ильбеутопо пространство Н , - олгИ.м 'И спсрйчсрг,« з |-| , 12к.г,;:*«йК>у ре Ки (Ц) , аамкну-ое подпространство ¡-¡р , инвариантное относительно ¿1 н ртогонзльпоа к р( К) аапкпутоз подшрост^8йство (-{с с '¿С рхогонэдыюе к {-|Р , замкнута® антилкн?51,тЛ пгаолшкт'Й опера-ор \/ в ¡-\с с г'Ьэстыо определения , такие, н

М\'Н,НР, Нс.У. и . Р) =/<А+.я*.

^ VV : р ',Г;, ^ > , > А^ II, х 1, х^ е Н ,

унитарно ¡эквивалентна

Есчз алгебра 3 не принадлежит классам 0 и I л при неко-орогл внборе нейтрального подпространства Ь функционал

1—вещественен, причем С^^П^о-О ( О ).

0 алгебра $ прпнэдлэхит классу 2а (соответственно - классу

Е^ля елгебг.п о не арапакде»«* ялсссю» О, I, 2а и 26,

гячем длч нс-ко'х-о^сго подпространства (_, с}[ 5 П ог> -

01 8 Г!-.5'» Ф О ), 70 ь-.^еора ^ прикадлет.?? юоиу За

■!ООтьо?сгБгпно 35})

1В. С.Щ^лисн). Воли елгейрп н^иад*.«--;т плассу 2г. (осститстзеино - 26), то существует гальбортопо Н а еод8г»-.зд од-гану С*- влгвг'рг« Ц ои • зроз ь И С ' ~ алгоцрч сп.-раторов в |-| н // ¿105« ¡ах.^иоо ьаипп,у-1'ии подпространство Цр с Ц ) такие, что юте б' , Г л>; Д и,, и /:/

) унитарно эквивалентна о < 2ШШШ. (В.С.Шульшн). Если алгебр С г

' /ЧОчПОчИО (1; .г. О'^-.и'адО'С ГИЛ;. '

' И '•• Гс,;•■•;•.„о-;;:);;;;С * - -лге^а 'Ц опори-

ЗРОВ Н (и 1.! ■■■ чгтъяг^тг.г») «г-.» •'{"•,'.'Я! ■:■!•,'.;,.ост;::, А '■■ '-< > ^ , /IV

- 8 - ' ' (соответственно М^ Н, Нр, У) >)*>$>>

унитарно эквивалентна 5' •

В § 1.2 дается описание слабых замыканий симметричных • алгебр операторов, действующих в пространстве Понтрягина типа Р]^ , в рамках моделей В.С.Шульмана (см.утверждения 1-4).

. Рассмотрим влгебру класса I } У, 1/, РЛ

Поскольку р^<= Ки(^) > 10 Р № - замыкаемое отобраке-^ ние. Через обозначим мнокество всех тех Те В Г И) » для которых существует сеть4 {Та} сг V, , такая, что

.и сети {рП*)}, {р(Т<?)} сходятся

слабо в Н • Для таких Т положим

р(Т) = [¿т р(Т*>-

Тогда 1Л- К—подалгебра в Е>(Н). р - квазивектор на Й в

—-_ц/

Т Е О Р Е Ц А_ 5. I) М (И,К) = 1<А + 1 > О,О,

2) М4(Н, Нр, Нс М^Н.Нр.НсУ, й,Р);

3) ¡ГШо^М^И,^ ;

| Основные результаты первой главы изложены в 5 1.3. Здесь сформулировав в доказан вариант теоремы плотности Капланского для симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрягина П±.

Т Е О Р Е М А 6. Пусть 5 произвольная симметричная алгебра операторов с единицей, действующая в пространстве Понтрягина А ■ типа_ П1 • Тогда для любого № - ограниченного множества Л^с ^ * существует такое и - ограниченное множество VI/ с § • что V с М

Доказательство этой теорода существенно использует теорему 5.

Глава П посвящена построению функционального исчисления дай Й - самосопряженных операторов в пространстве П1.

В § 2.1 описываются коммутативные симметричные алгебры операторов в , порожденные У - самосопряаепннм

I д О 1' К М А 7. Пусть Т ^ самосопряженный оператор из В(Д) • Тогда для алгебры 5(Т, Ц) (к.с.алгебры, пород-

>ч»

денной Т и -3) ) возможен один из следующих пяти вариантов:

, является невырожденной,либо принадлежит одному из

классов О, I, 2а, За,

В § 2.2 дается функциональное представление коммутативных

симметричных алгебр, имеющих положительный инвариантный вектор. II таким алгебрам относятся как невырожденные алгебра, так и алгебры классов 0 й '¿а. Показано, что всякая такая алгебра топологически -К - изоморфна алгебре всех непрерывных комплексных функций, заданных на некотором компакте Ус .

В § 2.3 рассматривается функциональное представление коммутативной сию/етричной алгебры класса За. Пусть .Т самосопряженный оператор пз 1ц , такой, что алгебра 5СТ, 5) - к.^.о. класса За, тогда оиератор Т = <Т,0,0,^,3, 0 >.

' Алгебре о (Т. 'Л) реализуется в виде

5(т,-я --- (А=<А,о,о, мА) > уиЬ.о>, А ей , , . ^ .

где 'И - коммутативная С*- алгебра с отйтшщеЗ, действуем в М л п'>г еденная оперетт>ом Т . Всякий характер на Ц

про,)'Т!''оп'!"-я до характера п на 5 .

Положим I (< А, 0, 0 , Л , £ > О » = ?1 (А)

для любых Ае СКроме того,

такке непрерывные характеры ва 5 . Оказывается, что всяка^непрерывный хрпактер & : $->■ (С ' таков, что либо а) Ь\ц

ненулевой характер на и. ; либо б) если $ = % ^ О, ТО = Л иди п. — .

Пусть (%0,Х0 ) спектр С * - алгебры 11 . Половим

Ш и Iр) . Рассмотрим в Л топологию. X , считая ^ тогда и только тогда, когда выполняется одно из'следующих условий:

в^ёи ЦП , & = &'и {Ъ,^} .гдебеП.

Рассмотрим коммутативную алгебру С ( $ . Т ) всех непрерывных комплексных функций на компакте ( X , Т ) и зададим в

л . уи. —. . ......

Г ) инводщию " # ", полоашв

зс

Ь = Л

Тогда ( С(%. I ).# ) - 6 алгебра относительно нормы II ¡11 = $ЦР . При этом справедливо следующее

УТВЕРКДЕНИЕ 8. Алгебра О ( Т Л ) топологически Х- -изоморфна В ^ - ьлгебро ( С ( СТС ,£),#).

В § 2.4 построено фушщаонвльное исчисление для сгшосопрякен-шх операторов класса I.

-V.

Пусть Т самосопряиешшй оператор класса I, т.е. такой, чю Э СТ »2.) - к.с.ь. класса I, тогда он представай в виде

,рт+у.лл,^}, та

Т = Bi И) у Л из спектра (Г (Т ) оператора Т

iprr ^ , (} <= \Z&2 Т > Р - кекоториЯ ктзпвсктпр, заданный на * - влгебре 11 , порожденной Т •

Коммутативная алгебра класса I fj ( Т , & ) икеет пил

S(T, Л) = / S = < В+JBл , P(B-: Sy, +

tz а и ч * ¿2 41 п СУ и

7 •>_/-✓/■! ' Г I«/ — ОТ- •» » I/ » Л " '

Ддя многочлена ~ (hi + Q.¿-Ьг + • • • + ¿¿,,-£к

через у (~Ь ) обозначим многочлен - (2 ± .

Рассмотрим мноаоство <?-" всех тех .Де Сш ( б" (Т ) Д-®1 которых существует последовательность многочленов { (~Ь)} такая, что ^ ^ —». 4. . f последовательности гР'^'П (Т))} ~ фундаментальны н Н , (0) О

J- -л . * >

п последовательность 1 ( р (0,п (|) , Р \ Т))} .

сходится. Обозначим &/?? р Г"®« П"/) - Р (-1'(Т)) ,

ft

lan p(Q/tJT>) = р(1ГГ}} , ¿fa (p(fr (T))> PO')) -4(7).

jj/Ш Т'П-ДОГО ИП ¿Г ПОЛОГИМ Ц Ц (7- —

^ и f 'тгР1., ;; pi'lrrnl. + a Qflmju., ¡/rni.

! ; И I ' И ' ! И

1 иг Да <. сг , п'Пут/ ~ £> - вотебра.

Всякой функции / яз 3- сопоставим оператор

- - /ТО- р(-(('П, р(1(Т)), О, С, /гть

S ,'•: 'K!.iLiL&__Сооп'<г:"1кйо ф : .1 —->.- £( I )

из сг в В ( ji ) обладает олодупгщми свойствами:

1) Для веяной функции / из сГ, Ф(£) лежит В S (То) коммутативной симметричной алгебре, порожденной оператором

То = <т> р гт;, р(Т), о,о,о >.

2) Отобракение Ф есть иньективный * - гомоморфизм.

3) III Ф Г/;III = К /// д: для всякого /е У , где II-III одна из эквивалентных норм на Х.ь

4) = .где =

5) Для всякого оператора А из S (То) существует единственная функция £ . из ¡F такая, что £(Т0) = А •

ТЕОРЕМА 10. Оператор принадлеаит алгебре S(T, И) гогда и только тогда, когда К представим в виде

К = £(То) +¿1 + В , где 5 принадленит дву-

мерному идеалу нильпотентных операторов порядка не более трех, причем такое представление оператора единственно.

В § 2.5 доказаны варианты спектральной теоремы для -самосопряженного оператора в пространстве f]± •

ТЕОРЕМА II. Если Т самосопряженный оператор из

В ( Л) с полокцтелышы инвариантным вектором, то существует споктральное семейство {рд} проекторов из В (Л) , что

_ -оо

Для операторов масса За верна следующая ТЕОРЕМА 12. Всякий самосопряженный оператор Т класса За из В (Л) представим в виде Т=А + В • А А - доуиершЗ оператор из В ( Л) , имеющий два собственных нейтральных кососвязных вектора, отвечающих комплексно еопрякен-щс» ссбствсшш зноченняы, s ^ - саиосоиряшншй оператор из В (А) » которого существует такое спектральное семейство

{Рд} .«о

- С-0

Получена такие следующая

Т Е О Р В М А__13. Пусть Т самосопряженный оператор

класса 1 п алгебра S (Т Д ) описывается пространственным каа-зивектором. Тогда Т = А + ÍS » где А - яильпотентный оперя-тор порядка не более трех, а В - самосопряженный оператор из R ( J\ ), для которого существует такое спектральное семейство

(РЛ .что

-

В заключение автор внрядяот глуАмгоп jC»KüiíOMa¿eá«» — jíftWiHiüv -м»т<Н9*Н, njjryJ'íCftftjy 2.йЛплгзу, вссг до внимательно, терпеливо и доброжелательно помогавшему в работе, а также доц.С.Н.Литвинову за полезные обсуждения полученных результатов.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Машарипова С.Ш., Чилин В.И. Теорема Капланского для коммутативных симметричных алгебр операторов в пространстве Нонтрягпна// Сб.науч.тр.Математический анализ, алгебра и геометрия.Тзикоит. la-jo. с.4i-oi.

2. :,{8шоршюва С.Ш., Чилин В.II. Теорема Капланского для-"кошу тотпв-ных сшглэтргнных алгебр операторов в пространстве Понтрягана Докл.ХУ 1и:<олы по теория одораторов в функциональных прострп.ч-ствах. Улыновск. 11Ъ0. 4.2. С.13;

.3. Мзиериповя С.U. Описание сл; fí«c звмыканиЗ симметричных алгос$р операторов в пространство И-ч.трягина (V/ Уэ^.матш.яурнал,

IÍ.-JI, JS 3. С.36-42. ' ' ■

i

Кззчгяпсй; С.ш., *1ил;.и В.И. i ворсин плотности для спммот/. ч--ных о ",rr.'j¡- .-аераторгв в арг.г,: ¡цстве Понтг.чгича типа П а // ДАЛ УзССР. ItWI, И 4. С.8-10. ó. л1ашарипова С.Ш., Чилин В.И. Теорема Капланского для симметричных алгебр операторов в пространстве Понтрлгина типа Гц .

m.XV.l лол« по тооркп ом :>ров в .фуакнп-чтльних npwij рн-с.'хв'х. л.ь'-ггород. lo'Ol. i.l >,. "•. '^ir,íipp!ir.ps с.ш., Чил ;н В.П. •.*•;;нкштопальво-"' :ч: пеленке для ¡'-м-му i' «г:шш* сишетягшкх ялг•: ;¡ оперитор^в г> чр?стр8нствг-aouijun;«* тшш \ \ t.// ДАи ¡-»спублики *зй(»--''!стан.1994, J> -i, С.Ш-12.

Аннотация

Диссертацион иш икки бобдан иборат булиб умумий ^ахми 118 бет, адабиётлар руйхатида 41 ной келтирилган. Диссертацияда куйидиги натижалар олинган: Понтрягин П1 фазосидаги операторларнинг симметрик алгеб-расининг кучсиз тутащуви баёни берилгау;

П1 типдаги Понтрягин фазосидаги операторларнинг сишетрик алгебралари учун Капланскийнинг зичлик теоремасининг варианта исботланган;

Hj фазодаги .Cf 7 уэига цуима операторлар ууун функционал хисоблав келтирилган ва П1 фазосида таъсир этувчи \j-узига ijjnaua операторлар. учун спектрал теорема исботланган. .

. The dessertstlon cone let two otsptera Witt®. toIobs for 116 pages and .list of literature of 4?'Baaes. , /Obtained results of dissertation fallmi

- There 1b a couplete deecreptlonof wlaft elealtsj of symmetric .operator

algebras? »hlrh are elttn$ la tlie >B«trjft-

gln spoce Tl i •

• . i The-variant of kapianskl of density theorsa tar sjra-. metric operator alrabnt« nntlnp in th" P^etrJeRlii syaiwi fl • is proved.

- Per tJ . - self ^adjoined operator*

in ru fonotlonal

calculation and the, variant of spectral theorem are obtained.

>i ■