Построение сопряженных уравнений в нелинейных задачах параболического типа и их приложения в оптимальном управлении тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Российская Академия Наук Институт вычислительной математики

На правах рукописи

Ипатова Валентина Михайловна Ь'ШиХлЖ&^С-,

УДК 618.30

ПОСТРОЕНИЕ СОПРЯЖЁННЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ

01.01.07 - Вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учбной'степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН. Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты: член-корреспондент Уз.АН, доктор.физико-математических наук ФИЛАТОВ А.Н., кандидат физико-математических неук МАТВЕЕВ A.C.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН

на заседании специализированного Совета К 003.47.01 в Институте вычислительной математики РАН по адресу: 117334, г.Москва, Ленинский проспект 32-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики РАН.

Автореферат разослан »¿С» Шк^ЬЛ 1993 г.

АГОШКОВ Валерий Иванович

Защита состоится

Учбный секретарь специализированного Совета к.ф.-м.н.

С.А.Оиногенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В последние годы возникли ноеыэ постановки проблем, требующие глубокого анализа сложных систем с применением теории сопряжённых уравнений. К числу таких проблем прежде всего можно отнести проблемы глобального изменения климата нашей планеты, состояния и защиты окружающей среды, сохранение биосферы в условиях резкого увеличения народонаселения и интенсивного развития промышленного прои: зодства. Именно эти сложные системы и их исследование на основе теории чувствительности и метода возмущений дают новый импульс развитию теории сопряжённых уравнений. 'К этому можно также добавить проблему анализа данных наблюдений, применение сопряжённых уравнений для ретроспективного изучения процессов, описываемых имитационными моделями, и для исследования самих моделей, реализуемых с помощью современной вычислительной техники.

Из всего сказанного становится ясной актуальность работы, направленной на развитие теории сопряжённых уравнений и на изучение ей приложений ч нелинейных задачах математической физики.

Целью диссертационной работы является изучение свойств сопряженного оператора, соответствующего нелинейному, и свойств разрешимости основных и сопряжённых уравнений в нелинейных задачах; исследование задачи нечуво1вительного управления для системы со слабо нелинейным параболическим уравнением состояния; изучение задачи усвоения данных в квазигеострофической модели дима-мики океана и разработка алгоритма для е5 численного решения.

Научная новизна и практическая ценность работы. Установлены факты связи между сопряжённым оператором и производной основного нелинейного оператора, обоснованы алгоритмы возмущений для задачи нечувствительного управления в двух различных постановках, изучено применение сопряжённых уравнений и исследована разрешимость задачи усвоения данных в квазигеострофической модели общей циркуляции океана и в линеаризованной модели. Эти результаты являются новыми и представляют теоретический интерес.

Практическую ценность имеют конструктивные методы, предложенные для отыскания нечувствительного управления, а также явные формулы для нечувствительных управлений, полученные длг задач,

допускающих применение метода Фурье. Кроме того, разработан комплекс программ для расчётов по усвоению данных в квазигеострофи-часкоЯ модели океана.

Публикации и апробация -работы. Результаты, изложенние в диссертации, докладывались на XXXVI Научной конференции МФТИ (декабрь 1990, Москва), на семинарах в Вычислительном центре РАН, в Институте вычислительной математики РАН и опубликованы в пяти работах.

Структура и объбм работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключе: ля, списка литература и приложения. Диссертация изложена-на 148 страницах машинописного текста, содержит 28 рисунков и 83 наименования литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дабтся обзор литературы, общее опигание струк-'¿■уры и краткое содержание диссертации. Сформулированы цели, задачи и основные результаты работы.

Первая глава диссертации посвящ на исследованию свойств сопрякЗнного оператора, соответствующего нелинейному, и сеойств разрешимости основных и сопряжбнных уравнений. В начале первого параграфа даётся определение сопряжённого оператора А*(и), соответствующего нелинейному оператору Р:Х-»У, Р(0)=0 (Х,У- гильбертовы пространства). Для этого рассматривается представление

Р(и)=А(и)и Уией(Г), (1)

где А(и>:Х-»У есть некоторый зависящий от и линейный оператор с ооластью определения Б(А)=ЩР), сопрякйнный оператор задаётся тождеством Тагранжа <А(и)у,ет>у=<у,А*(и)я>х.

Показано, что если А(и) непрерывен в нуле в смысле:

Ил ¡А(1;и)и-А(0)и( =0 УибБСР), , ■ь-о

то справедливо равенство А(0)=1"(0). а значит и А"(0)=Р' (0).

Для дифференцируемых в нуле операторов А(и), удовлетворяющих (1), получено также равенство А* (0;д)11+А* (0;Ь.)е=Р'' (0)е11 и соотношения для старших производных. Во втором и третьем параграфах рассматриваются линейные уравнения А(и)у=у и А*(и)и=р, в которых элемент иеБ(У) считается заданным. Получены теоремы о корректной разрешимости, везде разрешимости, п-нормвльной и ¿-нормальной разрешимости, нётеровости этих уравнений в шаре

щ5г(0) при наличии аналогичных свойств разрешмости у уравнения Р'(0)у=1. В четвЗртом параграфа приводится пример использования сопряжЭнных уравнений и свойств их разрешимости ь итерационном алгоритме'для вычисления функционала от ретекия нелинейной задачи. Более подробно приложения сопряжённых уравнений изучаются в последующих главах.

Во второй главе диссертационной работы изучается применение сопряжённых уравнений в задаче нечувствительного управления для системы, которая в ограниченной области 0=СЬ(0,Т), МЕ", описывается уравнением состояния

[ у + А у * еру2 =1 , у€У,

4 0 (Я)

[ у(х.о )=У0(х ) ,

где еЮ - малый параметр; реЬт(0), У0еЬ2(П), к=А(Ъ) - равномерно

эклиптический оператор второго порядка, У=Ь2( О.Т^ДО)).

Уравнение (2) погашается в смысле выполнения интегрального тождества

-(У.Ф1;)+(Ау1ф)+е(ру2,ф)=(уо,ф(х,0))п+(Го,ф) УфеХ,ф(х,Т)-0,

где Х={ср(хД): среУ,ср1. еУ*>, У*=Ь2( О.Т;?/"1 (П)) - двойственное с У пространство. Кэвдое решение уравнения состояния характеризуется значением функционала Б(у)= 2|У|у+(8.У).

Требуется найти аналитическое по е управление у такое, что:

[ у + Ау + 80У2 =Г +у , УСУ ,

1) система •( х и

1 У(х,0)=уо(х)+туо(х),

нечувствительна (по отношение к Б(у)) к малым вариациям начальных данных, т.е. ^(У)] _о=0 V у0е12(П), £€Ю,б0];

2)управление минимально при е-»0 по норме сопрякЗшгого с X пространства X*.

В первом параграфе формулируется основной результат главы -теорема о существовании при шобых ^Х*, geY* и У0е12(П) аналс тического но малому параметру е нечувствительного управления

со .

уеХ*, 7= 2 а у (х,г), минимального по норме X* в следувшем сшс-1=0 1

ле: если у(х,г,в) -другое нечувствительное управление, причём |у(х,г,е)||х» -[у(хд,0)|х. при е-0 и 70(хЛ,0)&0, то |?|х, >

- б -

|7|х* при достаточно малых е.

Доказательство этого утверждения начинается с изучения линейного случая (е=0). Во втором параграфе применяется разработанный К.-Л. Лионсом общий подход, известный /.ак HUM (Hubert Uniqueness Method), т-оторый основан на привлечении аппарата сопря-жЗшшх уравнений и позволяв" доказывать существование нечувствительного управления б линейных системах путЗм конструктивного построения. В третьем параграфе рассматривается метод последовательных приближений для построения управления в нелинейной задаче и устанавливается его сходимость при достаточно малых е.

В третьей главе продолжается изучение задачи нечувствительного управления. Рассматривается система с уравнением состояния

| yt + Ay + £P(y)=f,yeW(0,T;,

[ y(x,0)=yoU), где W(0,T)={y(x,t): yt ebz(Q), у eL,<0,T;W|>o(0))>, P: W(0,T)-L2(Q) -аналитический оператор. В первом параграфе главы формулируется постановка задачи. Нечувствительное управление разыскивается как пара функций {v0;v), у0-управление в начальном условии, у-управление в правой части. Требуется найти аналитические по малому параметру е функции vQ и у, доставляющие системе нечувствительность к малым вариациям начальных данных относительно функционала

S(y) = а/2 (у|и + (g,y), g(x,t)€W*(0,T), a=conat>0 и минимальные при е-0 по норме

lv0'Y«u = < aolvolJi(n)+ W^.Q) )1/г • %^Q=oon^t>0.

Во втором параграфе изучается линейный случай (с е=0), существование минимального по норме V нечувствительного управления устанавливается путём конструктивного построения, основанного на использовании решений сопряжЭнных задач, получены априорные оценки. Исоледуется поведение управления в зависимости от соотношения a0/f>0: показана сильная сходимость при ао/ро-»0 к управлению только в начальном- условии (у=0) и сильная сходимость при 0о/ао-<О к управлению тпько в правой части, минимальному по норме Ь2(Q), если задача нечувствительного управления с vqeO разрешила при данных Г, у0 и g. Б третьем паррграфе доказывается основной результат глэеы - теорема существования при любых

ао,0о>О, (п), ГеЬ2 (0), (0,Т) аналитического по е не-

чувствительного управления, минимального при £-<0 по норме У. В четвертом параграфе главы сопряжённые уравнения используются для того, чтобы получить в явном Екде формулы для нечувствительных управлений в линейных системах с симметричным, не зависящим от Бремени оператором А. Изучение приложений сопряжЭнных уравнений продолжается в четвёртой и пятой главах, где рассматривается их применение для теоретического и экспериментального исследования задачи вариационного усвоения данных.

Четвёртая глава .диссертационной работы посвящена теоретическому изучению задачи усвоения данных з квазигеострофической модели общей циркуляции океана

^(Дф-1/Н2 <р) + .Г(ср.Дф) - цДгф=Г в С=П«(0,Т)

Ф, =Дф, =0, ф. =ф (х.у), 'Г 'Г Ч=о °

где ф(х,уД) - фушсгая тока. Данные наблюдений считаются заданными в виде конечного дискретного набора вещественных констант , каждая из которых представляет собой измеренное значение ф е точке (х1,у1,г1)€П«СО,Т], т<+ю, то есть

С"оЬа(Х1'У1'1:1)=М1» 1=1.....(4)

В первых двух параграфах главы изучается динамическая модель (3): рассматривается еЗ обобщенная постановка, устанавливается существование и единственность решения в пространстве

где 7=Си(х,у): и, =0, ДиеТС^П)}, исследуются дифференциальные 'во

свойства разрешающего оператора задачи, ееодитсл и исследуется сопряжённое уравнение.

В третьем параграфе формулируются задачи оптимального управления, связанные с усвоением данных, и исследуется разрешимость этих задач. Расхождение между наблюдаемыми величинами и модельным решением характеризуется значением футадаи стоимос-ч 10(Ф)=Т*^ к1(Ф(х1,у1Д1)-М1)-, где к±>0 -Еесовые коэффициенты,

или значениями функций стоимости со сглаживанием

1л(ф) = * 10(ф), 1л(ф) - Х|Т0Ф'4 + 10(ф), \>0,

где ¡¡и!||={Дц-1/Н2 и,ДиЦ(П).

Рассматриваются следующие задачи оптимизации, в которых АХ)

о

и £(П)) считаются заданными:

I. найти начальное условие о(0) такое, что на решении (3)

' г/

один из функционалов 10 (при \=0), или 1Л принимает наименьшее возможное значение;

II. найти начальное условие о(0) и управление в правой части V, принадлежащее слабо замкнутому множеству УрсУ*, для которых 10 или принимают наименьшее возможное значение.и

Показано, что для любого набора данных (4):

— задачи оптимального управления имеют решение при \>0;

— если А=0, то для разрешимости достаточно существования ограниченной минимизирующей последовательности управлений;

— если задача с ,\=0 разрешима, то оптимальные управления сильно сходятся при А.->0 к решению задачи усвоения данных, реализующему глобальный минимум 10.

В четвЭртом параграфе главы получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядка, выраженные через решения прямой и сопряжённой задач. Разрешимость этих систем при Л.>0 доказывается Р" основе результатов параграфов 2 и 3 данной главы. Для условий оптимальности первого порядка рассматривается итерационный алгоритм и доказывается его сходимость при.достато-зю хорошем начальном приближении. Изучается также вопрос о гладкости решений вариационной задачи I с функцией стоимости I,.

о Л

Показано, что вихрь Лср0 является элементом Я^П) если и только если выполнено одно из двух условий:

1) набор данных (4) не содержит наблюдений, относящихся к моменту времени г=0, то есть тЛп г =г*>0;

2)в наборе данных (4) имеется наолдцений в момент г=0, ^=0., К1<Н , т1п г_,=г*>0, но решение (р. таково, что

Н1

В пятом параграфе изучается усвоение данных в линеаризованной модели. Доказана разрешимость на любом наборе данных задач оптимального упраьления с XX), получены априорные оценки. Доказательства проводятся путём конструктивного построения, показано, что управление можно найти в виде линейной комбинации из N

решений сопряжённых задач. Установлено, что при А.-0 оптимальные управления сильно сходятся с линейной скоростью с\ к решению, реализующему инфинум 10.

В пятой главе диссертации изучается применение техники сопряжённых уравнений для численного решения задачи усвоения данных в модели (3). В первом параграфе главы описаны конечно-разностная аппроксимация и дискретная задача оптимального управления об отыскании начального условия, доставляющего глобальный

минимум аналогам функционалов 10 или 1Л. Во втором параграфе рассматривается сопряжённая, разностная модель, получены необходимые условия оптимальности, а также приводится реализованный на ЭВМ вычислительный алгоритм, основанный на использовании сопряжённой модели для эффективной иценки градиента минимизируемого функционала. Третий параграф содержит описание результатов численных экспериментов по усво;нию данных при различном выборе точек наблюдения (х1,у1,г1) и при различных значениях ЛХ). Необходимые для расчётов наборы данных генерировал:" :ь путём решения прямой задачи (3). Изучено поведение оптимальных управлений в случае, когда данные усваиваются в модели с ошибочно заданным коэффициентом вязкосш ц, и в случае, когда набор данных содержит информацию о двух различных решениях и поэтому не совместим с моделью. В четвёртом параграфе главы исследуется вопрос о связи между дискретной и непрерывной "адачами оптимального управления. Показано, что если параметры дискретизации стремятся к нулю и вгаолняется условие устойчивости,.то численные решения сходятся к точному решению задачи усвоения данных.

В приложении к тексту диссертационной работы содержатся рисунки, иллюстрирующие результаты численных экспериментов по усвоению данных, описанные в §3 главы 5. На рисунках представлены карты изолиний полученных шлей и их разрезы при фиксированном у, а такжо графики зависимости от числа итераций минимизируемого функционала стоимости и нормы его градиента.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертации исследованы свойства сопряжённых уравнений и их применение в задачах оптимального управления с парабо-чческим

- т0 -

и квазияараболическим уравнением состояния, что включает следующие результаты:

1. Изучены общие свойства сопряжения операторов, соответствующих нелинейному, установлено равенство А(0)*=Г'*(0) для непрерывны*. в нуле операторов. Исследована разрешимость основных и соп-ряжЗнных уравнений в зависимости от свойсте оператора производной I" (и).

2. Исследована в двух различных постановках задача нечувствительного управления для системы, описываемой параболическим уравнением с малым параметром е при нелинейности. Путбм конструктивных построений доказаны теоремы о существовании аналитического по 8 управления, минимального при е-0. Для задач, допускающих применение метода Фурье, получены явные формулы.

3. Проведено теоретическое исследование задачи усвоения данных для квазигеострофической модели общей циркуляции океана: изучены свойства разрешающего оператора модели и сопряженного оператора; доказана разрешимость задач оптимального управления; получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядка; доказаны теоремы о сходимости итерационных процессов и о гладкости решения. Для линеаризованной модели доказано существование оптимального управления в виде линейной комбинации из N решений сопряжбнных задач, получены априорные оценки.

4. Разработан и реализован на ЭВМ численный алгоритм для решения задачи усвоения данных, основанный :а использовании сопряжённых уравнений. Проведено экспериментальное исследование дискретной задачи оптимального управления. Доказана теорема о связи между непрерывной и дискретной задачами усвоения данных.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1.Агошков В.И., Платова В.М. О разрешимости основных и сопряженных урпнений в нелинейных задачах// СопряжЗнные уравнения в задачах математической физики.-М.: ОВМ АН СССР, 1990, с.3-46

2.Платова В.М. О законах сохранения для уравнения ик+ш2=0. //Дифференциальные уравнения, 1992, .№5, с.903-905.

3.Агошков В.И., Платова В.М. О рэзт-эшимости одной задачи нечувствительного управления.//СопряжЭнные уравнения, алгоритмы еоз-мущений и оптимальное управление.- М.: ВИНИТИ, 1993, Деп. .№453-В93, с.¡4-26