Оптимальное управление системами, описываемыми векторными интегро-дифференциальными уравнениями с сильно эллиптическим оператором тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

ргб од

1 з дек гт

Эгамов Альберт Исмаилович

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ ВЕКТОРНЫМИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ С СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ

01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород 2000

Работа выполнена на кафедре численного и функционального анализа Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент О.А.Кузенков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Брусин В.А., доктор физико-математических наук Сумин В.И.

Ведущая организация - Вычислительный Центр РАН

Защита состоится Ж " (/З-Ь^СьОр^ 2000г. в '/-Ь на заседании диссертационного совета Д.063.77.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского в конференцзале ННГУ по адресу: 603000, г.Нижний Новгород, пр.Гагарина, д.23, ННГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского

Автореферат разослан «¡СОЛ-О^Ц 2000г.

ченыи секретарь диссертационного совета

$162. бг>1уо'1

Лукьянов В.И.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Интегро-дифференцпальные уравнения привлекают внимание большого круга исследователей п занимают видное место в исследованиях, связанных с математическими моделями в физике, химии, биологии и многих других (Ю.А.Агранович, Н.В.Азбелев. Е.А.Барбашпн, А.И.Булгаков, В.С.Владимиров, О.А.Кузенков, В.П. Максимов, Г.И.Марчук, А.П.Михайлов, С.Ф.Морозов, П.Е.Соболев-скнй. В.И.С'умин, R.C.Grimmer, J.Hale, D.Sforza, J.Warga и др.). При изучении пнтегро-дпфференциальных уравнений возникают вопросы о существовании, единственности и виде его решения, а также аналогичные вопросы для обобщенного решения подобных уравнений. В ряде случаев интегро-днфференциальные уравнения исследуются как частный случай различных классов функциональных (В.И.Сумин, J.Warga) или функционально-дифференциальных уравнений (Н.В.Азбелев, А.И.Булгаков, В.П.Максимов, J.Hale).

Важным классом являются интегро-дифференцпальные уравнения с частными производными, в которых интеграл, присутствующий в уравнении, берется по некоторой области пространственных переменных. О.А.Кузенковым было показано, что многне классы интегро-днф-ференциальных уравнений, в этом случае, можно единообразно представить посредством эволюционного уравнения в семействе вероятностных мер Радона, что позволило обосновать их разрешимость, исследовать предельные свойства решения, а в ряде случаев найти решение в явном виде на основе метода использования вспомогательной однородной задачи.

Во многих прикладных задачах приходится осуществлять целенаправленное воздействие на такие системы — управлять ими. Центральный результат теории оптимального управления — принцип мак-

«шума — был первоначально открыт Л.С'.Понтрягины.м для сосредоточенных динамических систем. Далее необходимые условия оптимальности управления в форме принципа максимума были получены в абстрактных задачах с ограничениями (Р.Гамкрелпдзе, А.А.Дмитрук.

A.Я.Дубовпцкнп, А.С.Матвеев, А.А.Милютин. Н.П.Осмоловский. В.И. Плотников, И.М.Старобннец, Г.Л.Хараташвнлп, С'.А.Чуканов. В.А. Якубович, U.Ledzewicz, L.W. Neustadt, J.P.Rayniond, H.Schatlcr п др.)

Тео])ИЯ оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами получила свое развитие как в отечественных работах (С'.А.Авдонпн, А.В.Арутюнов, В.Г.Болтянский. Ю.Г.Борисович.

B.А.Бруспн, А.Г.Бутковский, Ф.П.Васильев, Р.Габасов, А.И.Егоров. Ю.В.Егоров, М.И.Зеликпн, А.Д.Иоффе, А.З.Ишмухаметов, Ф.Л1.Кириллова, К.А.Лурье, А.С.Матвеев, Ю.В.Орлов, В.И.Плотников. М.М. Потапов, Л.И.Розоноэр, Т.К.С'иразетдинов, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин и др.), так н за рубежом (М.М.Denn, H.O.Fattoiini, A.V.Fridmau. J.L.Lions, J.P.Raymond, J.Warga, L.J.Young и др.).

Оптимальное управление системами интегро-дифференцшильных уравнений исследовалось в работах А.Н.Джорбенадзе, В.И.Сумина. А.В.Тузннкевича, А.Л.Хотеева, Т.С'.Цуцунава н др.

Одной из важнейших проблем остается численное решение задач оптимального управления. При построении численных методов решения оптимизационных задач, для которых решения соответствующих начально-краевых задач могут быть получены в виде ряда Фурье, применялись методы, основой которых являлась конечномерная аппроксимация управляемой системы, в частности, широко известный метод моментов (А.Г.Бутковский, Ф.П.Васильев, А.З.Ишмухаметов, М.М.Потапов и др.).

В G0-70 годы теория оптимального управления получила свое раз-

вптпе, в частности, б Горьковском государственном университете (В.И.Плотников, С.Н.Слугпн п др.). В.И.Плотннковым был предложен общий подход к получению необходимых и достаточных условий оптимальности для сосредоточенных II распределенных систем в форме принципа минимума. Он заключается в применении абстрактной схемы метода вариаций и является мощным средством отыскания необходимых условий оптимальности в широком классе экстремальных задач.

Методика В.И.Плотникова была впоследствии развита его учениками. В частности, М.М.Новоженовым были получены необходимые условия оптимальности для параболической системы с функциональными ограничениями, И.М.Старобннцем — необходимые условия оптимальности для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми и функциональными ограничениями типа неравенства и равенства, а О.А.Кузенковым — для линейной векторной сильно параболической системы с функциональными ограничениями типа неравенства. В.И.Плотниковым совместно с В.И.Казнмнровым и И.М.Старобннцем также была развита абстрактная схема метода вариаций. В.И.Суминым были получены необходимые условия оптимальности для широкого класса разнообразных начально-краевых задач (в том числе и для некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений), которые могут быть приведены к функциональным вольтерро-вым уравнениям.

В настоящей диссертации с помощью методики О.А.Кузенкова обоснована разрешимость широкого класса векторных эволюционных интегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором, где нелинейная часть, присутствующая в уравнении, имеет вид произведения решения системы п нелинейного однородного пнтеграль-

ного оператора. С помощью методики В.И.Плотникова получены необходимые условия оптимальности для таких уравнении при наличии фазовых II функциональных ограничении. Для частной задачи предложен метод поиска оптимального управления на случаи нелинейного уравнения, который является обобщением метода моментов.

Цель работы состоит в доказательстве теоремы существования п единственности обобщенного решения для эволюционных векторных пнтегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором с начальным и краевыми условиями; в обосновании связи между поставленной задачей и вспомогательной начально-краевой задачей для линейного сильно параболического уравнения; в получении необходимых условий оптимальности управления для систем, описываемых этими уравнениями, в виде принципа минимума; в построении метода приближенного поиска оптимального управления для частной оптимизационной задачи.

Методы исследования. В диссертации использованы методы функционального анализа и теории функции действительного переменного, функционально-дифференциальных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений п уравнений с частными производными, теории оптимального управления.

Научная новизна. В работе

- доказана теорема существования и единственности обобщенного решения для эволюционных векторных пнтегро-дифференциальных уравнений с сильно эллиптическим оператором; .

- установлена зависимость между решениями поставленной задачи и вспомогательной начально-краевой задачи для линейного сильно параболического уравнения;

- дано представление решения поставленной задачи через ряд Фу-

рье с помощью вспомогательной функции времени - решения скалярного интегрального уравнения;

- получены необходимые условия оптимальности управления в виде принципа минимума;

- рассмотрены математические модели, описываемые исследуемыми уравнениями;

- предложен метод приближенного поиска оптимального управления для частной оптимизационной задачи п обоснована его сходимость.

Степень обоснования результатов. Все научные положения и выводы диссертационной работы строго математически обоснованы.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Проведенное исследование эволюционных векторных интегро-дифференциальпых уравнений с сильно эллнпт- чеекпм оператором позволяет сводить решение поставленной задачи к исследованию известных задач. Это дает возможность построения и эффективного исследования математических моделей, которые описываются системами типа "реакции-диффузии" с наличием интегрального члена, в частности, моделей популяционной биологии; создает возможность для изучения широкого класса задач оптимального управления с функциональными и фазовыми ограничениями.

На защиту выносятся следующие результаты:

- необходимые и достаточные условия существования и единственности обобщенного решения для эволюционных векторных ннтегро-дифференцпальных уравнений с сильно эллиптическим оператором с начальным и краевыми условиями;

- соотношения, связывающие поставленную задачу и вспомогательную начально-краевую задачу для линейного сильно параболического уравнения;

- необходимые условия оптимальности управления для систем, описываемых эволюционными векторными интегро-дифференцнальнымп уравнениями с сильно эллиптическим оператором:

- построение метода приближенного поиска оптимального управления для частной оптимизационной нелинейной задачи.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на I Международной конференции "C'ontiol of Oscillations and Chaos" (St-Petersbuig, 1997); на V Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва. 1998): на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - VIII" (Воронеж, 1997), "Понтрягинские чтения - IX". (Воронеж. 1998 г), "Понтрягинскпе чтения - X" (Воронеж. 1999): на III Международной конференции из серии "Нелинейный мир". "Экология. Экологическое образование. Нелинейное мышление" (Воронеж, 1997); на Международной конференции по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященная памяти А.Ф.Леонтьева (Н.Новгород, 1997); на IV Крымской Международной математической школе "Метод функции Ляпунова н его приложения" (Крым, Алушта, 1998); на X Крымской Международной математической школе-симпозиуме "Спектральные п эволюционные задачи" (Крым, 1999); на Международной конференции "Dinamical systems modelling and stability investigation" (Киев, 1999); на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 1997); на III Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1998); на IV Российской и V Международной конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 1996, 1999); на XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики" (Нижний Новгород, 1999); на школе-конференции, посвященной 100-летпю со дня рожде-

ння Б.М.Гагаева (Казань, 1997); на Международном семинаре, посвященном 10-летию Самарского муниципального университета Наяновон (Самара, 1998).

По теме диссертации были также сделаны доклады на Всероссийском семинаре ''Динамические системы: качественный анализ и управление" в МГУ (рук. акад. С.В.Емельянов и акад. С'.К.Коровин), семинаре каф.ЧпФА факультета ВМК ННГУ (рук. проф. С.Н.Слугнн), семинаре кафедры высшей математики НГА-СУ (рук. проф. В.А.Бруспн), семинаре каф. математической физики механико-математического факультета ННГУ (рук. доц. В.И.Сумин и доц. М.И.Сумин); конференции, посвященной 35-летпю факультета ВМК ННГУ им. Н.И.Лобачевского; IV Нижегородской сессии молодых ученых.

Основные результаты опубликованы в работах [1-22]. В работах, выполненных совместно с научным руководителем О.А.Кузенковым. формулировки утверждений и их обоснование даны диссертантом. О.А.Кузенковым была предложена цель исследования и выбран метод исследования.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 175 наименований. Общий объем работы 88 страниц.

Краткий обзор содержания диссертации

Первая глава посвящена построению обобщенного решения в пространстве V™${Q) начально-краевой задачи для эволюционного векторного интегро-дифференциального уравнения и исследованию свойств его решения.

Обозначения: Q - ограниченная область в R" с кусочно-гладкой

границей S; Q = üx (О ,T) - цилиндр в /?"+'; 5 = üx (О, Г) боковая поверхность цилиндра Q; х (Е i) С Л", t G [0,Т]; D" - обобщенная частная производная порядка s, отвечающая мультинндексу а = (о |,.... n.J. |/v| = s; D" — 0S/£).(•„,,...,0.г(><; {£>'*н(:г,/)}|„|<„, совокупность всех возможных обобщенных производных функции u(x,t) до //1-го порядка включительно.

В п. 1.1 ставится начально-краевая задача для эволюционного векторного ннтегро-днфференцнального уравнения:

и, +Lu + itf[u] = w(x,t), (1)

с сильно эллиптическим оператором L, на который накладывается условие коэрцитпвностп, с начальным и краевыми условиями

(Щ +liH;)u\s = u>i{x,t), i = 0,in - 1, "|i=o = v(-i'). (2)

Краевые условия представляют собой равенства относительно линейных комбинаций граничных дифференциальных операторов, образующих систему Дирихле, и дифференциальных операторов, формально сопряженных к ним относительно формулы Грина.

Интегральный оператор /[м] = / F( и, \D" и(х, /) }|„|<ш, .г, f) (IV. : V^'xiQ) —+ L<x,,i(О,Г) является однородным порядка к относительно функций переменной <; он обладает свойством

/М = (3)

для любой измеримой неотрицательной функции со — co(t) при фиксированном к > 0, если со(<)и и и принадлежат пространству V2m^°(Q). В п.1.2 приведены различные примеры оператора /[и], удовлетворяющие свойству (3) при различных к.

В пи.1.3-1.4 устанавливается зависимость между поставленной задачей и вспомогательной начально-краевой задачей для линейного

сильно параболического уравнения

zt\i>]+Lz\i>]=pw{x,t) (4)

с начальным и краевыми условиями

(Ht + yiHi)z\p]\s=pwi(x,t), i = 0, ш — 1, ф]|(=0 (5)

где;>(/) - непрерывная функция на отрезке [О,Г].

В п.1.4 доказываются Теоремы 1, 2 о связи между решениями поставленной задачи п вспомогательной начально-краевой задачи для линейного сильно параболического уравнения:

ТЕОРЕМА 1. Для существования единственного решения u(x.t) задачи (1), (2), принадлежащего пространству V™y(Q). необходимо а достаточно чтобы существовала единственная непрерывная положительная функция p(t), являющаяся решением уравю я

I

p = (jkf[z\ji]}dr + 1)г для к > 0. (Ga)

о

t

P = cxp(j f[z\j)]](lT) для к = 0, (Gh)

и

где - решение задачи (4), (5). При этом справедливо соотношение

« = (7)

Р

ТЕОРЕМА 2. Пусть

и> = 0, Wi = 0, г = 0, т - 1. (8)

Тогда существует единственная непрерывная функция р, удовлетворяющая функциональному уравнению (6а) при к > 0 или (СЬ) при к = 0. которая имеет вид:

<

р = (1 к/^а](1т + 1)К для к > 0.

о

р = охр( J /[с0] (It) для к- = 0.

и

где = :о(х, t) - обобщенное решение задачи (4), (5) при условиях (8).

Если функция p{t) положительна, тогда существует единственное решение и £ задачи (1). причем справедливо соотношение (7).

В пп.1.5-1.6 рассматриваются задачи, в которых L - равномерно эллиптический оператор и выполнены условия (8), причем в n.l.G показано. что для решения задачи специального вида справедливо равенство f udu = 1 для любого 1 G [0, Г]. В п.1.7 приведен пример задачи типа (1), (2), не имеющей решения в пространстве l'J"/f(Q).

В п.1.8 рассмотрен линейный оператор /[и] вида /[«] : / l(:r)Aii (IE. где /(.t) S L2 .\ (i2), измеримое множество Е С 1). Отыскание функции р сводится к решению интегро-дифференциального уравнения: если найденная функция р является положительной, то решение задачи (1), (2) существует н единственно.

В п.1.9 рассмотрен пример задачи с оператором /[((] для любого фиксированного к > 0 и неоднородных уравнения и граничных условий при наложении некоторых дополнительных ограничений. Задача нахождения функции р сводится к решению известной задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Во второй главе с помощью общей методики В.И.Плотникова выводятся необходимые условия оптимальности управления системой, описываемой эволюционными векторными интегро-дифференциальнымн уравнениями с сильно эллиптическим оператором. В п.2.1 ставится следующая задача оптимального управления: рассматривается управляемый процесс

ut + Lu + Аи + «/[«] = w{x,t) (9)

с краевыми условиями и начальным условием (2). управлением является набор (к{1),Л{х)) £ и, где С' - множество допустимых управлении. Здесь Н'(.г,£) = (/',-(.г. О = /;,(*)(/,(.г), г = 0, »71 — 1, где да. а1,-. / = 0./н — 1, причем (I,„(.г) £ и г/,-(х-) 6 12,лг(Е), i = 0, т — 1,

некоторые фиксированные функции; управляющая вектор-функция /,(/) = (/,„(/).....//,„(/)) с компонентами /(,(/) £ 12,1(0,Т), г = 0"Тт. такая. что |/,,-(0| < 1 для почти всех 1 £ [О, Г]. Матрица Л удовлетворяет функциональным ограничениям

.7,°[А] = / X) <т < О, / = т(10) «

где /'л - некоторое натуральное число. Здесь I = 1,»\4. - функции, имеющие производную Гато по аргументу Л. и непрерывные по аргументу .г, причем интегралы в соотношениях (10) существуют для любой такой матрицы .4. Оператор /[«] = /,Г(м)(/П, функция F(fí) является непрерывно дифференцируемой.

Функционалы .//[/;..4]. / = 0. г. п функции [//. .1. /]. / = 1./ |. (г. г\ некоторые натуральные числа) для каждого набора (/;(/). Л{.г)) £ С определяются следующим образом: т

.//[Л, Л] = ] ¡Гп(и(х,1),{Ваи}ы<т,11а),л-.()4П(П + / Р,,(и(.,-.Т)..г)<т. о п и

ГД/г,А,<] = J (гг, г) (Ш, <€[0,Г], а

и(х,1) - решение задачи (2), (9), отвечающее управлению (Л(<). Л(.с));

^/2, I = 0,г; С] = 1,Г], - гладкие функцпп по аргументам и. {£)"и(х, <)}|„|<т и непрерывные по остальным аргументам.

Множества А/,(7) С Я1 непрерывны в хаусдорфовой метрике и выпуклы при любом Ь £ [0,Т].

Ставится следующая оптимизационная задача: найти управление (Ь*,А*) £ I/. минимизирующее функционал 7о[/г, Л] —> при до-

полнительных ограничениях ./([/¡,.4] < 0, / = 1,гц; •/([/',-4] = 0. / = /'о + 1, г; п при наличии фазовых ограничений: для любого t £ [0, Т]

В п.2.2 формулируется Теорема о необходимых условиях оптимальности в поставленной задаче. При учете ограничений применяется обобщенный метод множителей Лагранжа, полученные необходимые условия записываются в виде принципа минимума, где наряду с конечным набором множителей Лагранжа участвуют неопределенные регулярные меры Борсля. Кроме этого, выведены условия дополняющей нежесткости, условия Эйлера п условия, подобные условиям трансверсальности.

Доказательство этой теоремы приведено в пи.2.3-2.8. Приращения первых вариаций функционалов (11) находятся посредством введения многоточечной импульсной варианты.

В п.2.4 изучаются свойства функции Ду> - приращения функции р, -при этом существенную роль играют результаты, полученные в Главе 1. Особую трудность представляет собой то, что и - решение задачи (9), (2) - имеет сложную зависимость от набора управления (/¿, А).

В п.2.5 вычисляются первые вариации функционалов (11), в п.2.6 -первые вариации функций (12).

В п.2.7 доказывается, что конус первых вариаций не пересекается с ''отрицательным октантом" по внутренним точкам, при этом используется метод, предложенный В.И.Плотниковым и И.М.Старобпнцем. Наличие свойства непересекаемости выпуклых конусов позволяет применить обобщенную теорему об их отделимости. Вывод принципа минимума осуществлен в п.2.8.

В третьей главе приведены математические модели биофизики, описываемые рассматриваемыми интегро-дифференциальными уравнени-

ямп. а именно, в п.3.1 рассмотрена обобщенная модель Вольтерра системы "хищник - Аг конкурирующих жертв", где

и, = я2 А<I + Л(х )(/ - а, P(j, ||

.S'

= 0, д(х,0) = *0(х),

Г/ — —(¡¿Г + /1;\Г I <[<J il И, /'(()) = (Ц. !!

где VI - общин ареал обитания - двумерная область с кусочно-гладкой границей, .г -- G Î2, A - оператор Лапласа.

g = (gi(.с,t),...,;t)h(-i'.t)) - А'-мерный вектор плотности распределения жертв; г = P(t) - численность популяции хищника, а - постоянная. «[ коэффициент поглощения жертв хищником, а-j - коэффициент смертности хищника, гг( - коэффициент размножения хищника, а4 - число хищников в начальный момент времени («1, а-2, а,\. a.i > 0). Здесь .4(.г) диагональная матрица с компонентами </;;(.г) на главной диагонали (г/;,-(.г) > 0 коэффициент рождаемости /'-го вида). На функции ац(.г). g(.v, t). ço{x) наложены условия Теоремы 1; каждая компонента вектор-функцнп уК-1') неотрицательна, вектор с\ = (1,...,1) состоит in .V единиц. С помощью замены переменных к(.г,/) = ц(х. /)(/ rifj(.r. t) </(>)"1

fi

исходная задача преобразуется в задачу для изменения удельного веса жертв:

/// = a2Au + Ait — и [ с\Ли (lit,

к dTl

s Jfiro(J') «"

îî

Для решения этой задачи используется методика главы 1. Исследована динамика изменения удельных весов жертв, приведен критерий выживаемости вида жертв при < —► оо.

В п.3.2 приведены следующие модели:

- модель биологического процесса, протекающего в биоценозе, характеризующая временные и пространственные изменения растительной биомассы, управление в этой модели трактуется как сбор урожая:

- модель, описывающая динамику популяции диких животных (плп промысловых рыб), подверженной сезонному промыслу.

- модель, описывающая динамику популяции диких животных (или промысловых рыб), подверженной сезонному промыслу, коэффициент размножения которых зависит от численности популяции.

В п.3.3 показан метод решения оптимизационной задачи для уравнений типа "реакции-диффузии" специального вида — модели, описанной в п.3.2:

Здесь и С Л2, н(;г,£) - плотность распределения жертв; а - коэффициент перемещения животных; положительная функция (р = у (.г) € £-2,1(0); управляющая функция Ь = Ь(х) удовлетворяет условию

/1>2 (/П < с, где с - некоторая положительная константа. Задача состоит п

в минимизации функционала J(u(x,T)) = / и2(х, Т) <1Е за фпксирован-

Е

ное время Г, где £ С П - некоторое измеримое множество ненулевой меры.

Примененный метод решения оптимизационной задачи является обобщением известного метода моментов на нелинейный случай. В задаче производится локализация решения на некотором подмножестве за конечное время. Метод состоит в приближенном нахождении решения с помощью последовательности решений конечномерных редуцированных задач, которые получаются путем усечения бесконечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов Фурье вспомогательной линейной сильно параболической системы. Доказывается, что любая слабо сходящаяся последовательность управлений позволяет получить слабо сходящуюся последовательность решений редуцированных задач, которая сходится к оптимальному ре-

шению начально-краевой задачи, а критерий качества редуцированных задач при этом стремится к критерию качества поставленной задачи оптимального управления.

Автор выражает глубокую благодарность профессору С.Н.С'лугину за постоянное внимание к работе п ценные критические замечания.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Исследование предельных свойств управления с обратной связью для параболических систем с фазовыми ограничениями // IV Российская конференция "Нелинейные колебания механических систем". Тезисы докладов. Н.Новгород, 1996. C.88-S9.

2. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Теорема существования обобщенного решения одного класса функционально-дифференциальных уравнений и ее приложения // Дифференциальные уравнения. Т.ЗЗ. N 8. 1997. С'Л 143-1144.

3. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное управление для одного класса интогро-днфференцпальных уравнений // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1997. T.l. N 2. С.140-145.

4. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное управление для интегро-дпфференцпального уравнения с эллиптическим оператором // Международный семинар "Нелинейное моделирование п управление". Тезисы докладов. Самара, 1997. С.88-89.

5. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное управление для процесса, описанного нелинейным пнтегро-днфференцпальным уравнением с эллиптическим оператором // Воронежская математическая школа "Понтрягпнскне чтения - VIII". Тезисы докладов. Воронеж. 1997. С.84.

G. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Теорема существования обобщенного решения одного класса нелинейных функционально-дифференциальных уравнений п ее приложения // "Алгебра и анализ". Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 100-летпю со дня рождения Б.М.Гагаева. Казань, 1997. С.129-130.

7. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Обобщенная модель Вольтерра для системы с одним хищником и несколькими жертвами // III Международная конференция из серии "Нелинейный мир". "Экология. Экологическое образование. Нелинейное мышление". Тезисы докладов. Воронеж, 1997г. C.SG.

8. Кузенков O.A., Эгамов А.й. Теорема существования и единственности обобщенного решения для системы нелинейных интегро-диффе-ренцнальных уравнений // Международная конференция по комплексному анализу и смежным вопросам, посвященная памяти А.Ф. Леонтьева. Тезисы докладов. Н.Новгород, 1997 г. С.35-36.

9. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Принцип минимума для задачи оптимального управления сильно параболической системой с фазовыми ограничениями // Вестник ННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 1(18). Н.Новгород, 1998. С.140-156.

10. Кузенков O.A., Эгамов А.И. О слабом решении нелинейного дифференциального уравнения в семействе положительных мер и его приложениях. Саранск: Средневолжское математическое общество, 1998. Препринт N5.

11. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Необходимые условия оптимальности граничного управления сильно параболической системой с фазовыми ограничениями // V Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". Тезисы докладов. Москва, 1998. С.76.

12. Кузенков O.A.. Эгамов А.И. Оптимальное граничное управле-нпе параболической системой с фазовыми включениями // Воронежская математическая школа "Понтрягннские чтения - IX". Тезисы докладов. Воронеж. 1998. С.115.

13. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Принцип минимума для задачи оптимального граничного сосредоточенного управления линейной распределенной системой с фазовыми включениями // Труды III Международной конференции "Дифференциальные уравнения ц пх приложения". Саранск. 1998. C.14G.

14. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Слабое решение некоторого класса нелинейных дифференциальных уравнений в семействе положительных мер // Международный семинар, посвященный 10-летию Самарского муниципального университета Наяновой. Тезисы докладов. Самара, 1998. С.79-80.

15. Кузенков O.A.. Эгамов А.И. Об обобщенном решении начально-краевой задачи для квазилинейной неоднородной сильно параболической системы // Вестник ННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 2(21). Н.Новгород, 1999. С.170-176.

16. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимизационная задача для векторного пнтсгро-дпффсренцпального уравнения с обобщенным критерием терминального типа // International Conference "Dinaniical systems modelling and stability investigation". Kyiv, 1999. P.30.

17. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное граничное н внутреннее управление с обратной связью для пнтегро-дпфференцналь-ного уравнения // Тезисы докладов XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики". Москва, 1999. Часть I. С.125.

18. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное граничное управление векторным интегро-дпфференциальным уравнением с огранпченп-

см типа неравенств и равенств // Воронежская математическая школа "Понтрягинскпе чтения - X". Тезисы докладов. Воронеж, 1999. С.118.

19. Эгамов А.И. Исследование начально-краевой задачи для функ-цпонально-днфференциального уравнения с эллиптическим оператором и неоднородными граничными условиями // Вестник ННГУ. "Математическое моделирование н оптимальное управление". N 1(20). Н.Новгород, 1999. С.265.

20. Эгамов А.И. Принцип минимума для некоторого класса квазилинейных функционально-дифференциальных уравнений с частными производными // IV Нижегородская сессия молодых ученых. Математические и гуманитарные науки. Тезисы докладов. Часть 1. Саров, 1999 - Нижний Новгород, 2000. С.59-60.

21. Agamov A.I., Ivouzenkov О.A. On Solution of Initial Boundary-value Problem for Integra-Differential PDS with Nonhomogeneous Boundary Conditions // The Tenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-X). Proceedings. Simferopol, 2000. P.126-127.

22. Ivouzenkov O.A., Agamov A.I. The Optimal Control for Nonlinear Distributed System Described by Integro-Differential Equation // The First International Conference "Control of Oscillations and Chaos". Proceedings. Volume 1 of 3. St-Petersburg, 1997. P.177-178.

1. Авдонин С.А., Горшкова О.Я. Об управляемости и квазиуправляемости систем параболического типа с запаздыванием // Дифференциальные уравнения в частных производных. Л., 1986. С.53-55.

2. Авдонин С.А., Горшкова О.Я. Управляемость многомерных параболических систем с запаздыванием. Ленингр. гос. пед. инт-т. Л., 1987. 25с. Деп. в ВИНИТИ 14.08.87. N 5989.

3. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. Киев: УМК ВО, 1989. 244с.

4. Агранович Ю.Я., Соболевский П.Е. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости // ДАН СССР. 1990. N 314. С.521-525.

5. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1991. 280с.

6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.:Наука, 1979. 430с.

7. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.гФакториал, 1997. 256с.

8. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин A.A., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.:Наука, 1990. 320с.

9. Барбашин Е.А. Об условии сохранения свойства устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Серия "Математика", 1957. N 1.

10. Барбашин Е.А. Об устойчивости решений интегро-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Серия "Математика", 1963. N 3.И. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.:Наука, 1970. 240с.

11. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.:Наука, 1969. 408с.л

12. Борисович Ю .Г., Обуховский В.В. О задаче оптимизации для управляемых систем параболического типа // Тр. Матем. ин-та РАН. 1995. Т.211. С.95-101.

13. Брусин В.А. Уравнения Лурье в гильбертовом пространстве и их разрешимость // ПММ. 1976. Т.40. N 5.

14. Брусин В.А. Существование глобального функционала Ляпунова для некоторых классов нелинейных распределенных систем // ПММ. 1976. Т.40. N 6.

15. Будак Б.М., Васильев Ф.П. Некоторые вычислительные аспекты задач оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1975.

16. Булгаков А.И., Максимов В.П. Функциональные и функционально-дифференциальные включения с вольтерровыми операторами // Дифференц. уравнения. 1981. Т.17. 8. С.1362-1374.

17. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474с.

18. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. 568с.

19. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1979. N 11. С. 16-65.

20. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977. 624с.

21. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.:Изд-во МГУ, 1974. 374с.

22. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.-.Наука, 1981. 400с.

23. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.:Наука, 1988. 552с.

24. Васильев Ф.П., Воронцов М.А., Литвинова О.А. Об оптимальном управлении процессами теплового самовоздействия // Журн. вычислит, матем. и матем. физ. 1979. Т.19. N 4. С.1053-1058.

25. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: Изд. МГУ, 1989. 142с.

26. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1951. Т.29. N 3. С.615-676.

27. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. МИАН СССР. 1961. Вып.61. С.3-158.

28. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.:Наука, 1973. 256с.

29. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка (обзор). Минск. 1982. 47с. (Препринт / АН БССР. Ин-т математики, N 30).

30. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Мансимов К.Б. Необходимые условия оптимальности второго порядка для систем с распределенными параметрами. Минск. 1982. 32с. (Препринт/АН БССР. Ин-т математики, N 31)

31. Гамкрелидзе Р.В. Необходимые условия первого порядка и аксиоматика экстремальных задач // Труды МИАН СССР. 1971. Т.112. С.152-180.

32. Глаголева Р.Я. Поведение при t —> сю положительных решений первой краевой задачи для полулинейных уравнений параболического типа / / Математическиезаметки. 1991. Т.50. N 3. С.12-19.

33. Гусаренко С.А. Обобщенная вольтерровость и ее приложения к линейному функционально-дифференциальному уравнению с частными производными // Функционально-дифференц. уравнения.: Сб. науч. тр./ Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С.53-57.

34. Гусаренко С.А., Жуковский Е.С., Максимов В.П. К теории функционально-дифференциальных уравнений с локально вольтерровыми операторами // ДАНг СССР. 1986. Т.287. N 2. С.268-272.

35. Дмитрук A.B., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Теорема Люстерника и теория экстремума // УМН. 1980. Т.35. Вып.6. С.11-30.

36. Джорбенадзе А.Н., Цуцунава Т.С. Об оптимальном управлении для одной системы, описываемой интегро-дифференциальным уравнением в частных производных // Тр. Тбилисского ун-та. 1991. N 299. С. 175-181.

37. Дубовицкий А.Я. Теоретико-функциональный аппарат общей задачи оптимального управления. Препринт ИХФ АН СССР. Черноголовка. 1975. 42с.

38. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т.5. N 3. С.395-453.

39. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Теория принципа максимума. В сб. "Методы теории экстремальных задач в экономике". М.: Наука, 1981. С.6-47.

40. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.:Наука, 1979. 464с.

41. Егоров А.И. Об устойчивости и оптимизации систем с распределенными параметрами // Прикл. матем. 1984. Т.20. N 4. С.95-100.

42. Егоров А.И. Об условиях оптимальности в одной задаче управления процессами теплопередачи // Журн. Вычислит, матем. и матем. физ. 1972. N 3. С.791-799.

43. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. Т.З. N 5. С.887-904.

44. Егоров Ю.В. Необходимые условия оптимальности в банаховых пространствах Т // Матем. сб. 1964. Т.64(106). N 1. С.79-101.

45. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи М.: Наука, 1995. 176с.

46. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480с.

47. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М.: МЭИ, 1998.

48. Ишмухаметов А.З. Двойственный регуляризированный метод решения одногокласса выпуклых задач минимизации // ЖВМ и МФ. 2000. Т.40, N 7. С.1045-1060.

49. К 75-летию со дня рождения В.И.Плотникова // Вестник ННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". Н.Новгород, 1997. С. 7-16.

50. Казимиров В.И., Плотников В.И., Старобинец И.М. Необходимое условие экстремума в гладких задачах с операторными ограничениями // Изв. вузов. Математика. 1983. N 8. С.21-26.

51. Казимиров В.И., Плотников В.И., Старобинец И.М. Абстрактная схема метода вариаций и необходимые условия экстремума // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1985. Т.49. N 1. С.141-159.

52. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 742с.

53. Клоков Ю.А., Михайлов А.П. Об одной задаче Неймана для интегро-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения, 1996. Т.32.-V N 8. С.1110-1113

54. Красносельский М.А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 499с.

55. Кузенков O.A. Оптимальное граничное управление линейными сильно параболическими системами Дисс. канд. физ.-мат. наук. Горький: ГГУ. 1989.

56. Кузенков O.A. Оптимальное выделение заданной гармоники с помощью обратной связи при наличии фазовых ограничений // Алгоритмы управления и идентификации. Сб. науч. трудов. ИСА РАН. М.:Диалог-МГУ, 1997. С.77-84.

57. Кузенков O.A. Исследование динамической системы вероятностных мер Радона // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. N 4. С.591-596.

58. Кузенков O.A. Задача Коши для эволюционного уравнения с неограниченным оператором в семействе вероятностных мер Радона Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35. N И.

59. Кузенков O.A. Слабое решение задачи Коши в семействе вероятностных мер Радона // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36. N 11. (В печати).

60. Кузенков O.A., Плотников В.И. Об одном свойстве системы собственных функций на границе области и его приложениях // Украинский математическийжурнал. 1989. Т.41. N 11. С.1566-1568.

61. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Теорема существования обобщенного решения одного класса функционально-дифференциальных уравнений и ее приложения. // Дифференциальные уравнения. Т.ЗЗ. N 8. 1997. С.1143-1144.

62. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное управление для одного класса интегро-дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Серия МММИУ. 1997. Т.1. N 2. С.140-145.

63. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное управление для интегро-дифференциального уравнения с эллиптическим оператором. // Международный семинар "Нелинейное моделирование и управление". Тезисы докладов. Самара, 1997 г. С.88-89.

64. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Принцип минимума для задачи оптимального управления сильно параболической системой с фазовыми ограничениями. / Вестник ННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 1(18). Н.Новгород, 1998. С. 140-156.

65. Кузенков O.A., Эгамов А.И. О слабом решении нелинейного дифференциального уравнения в семействе положительных мер и его приложениях. Саранск: Средневолжское математическое общество, 1998. Препринт N5.

66. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное граничное управление параболической системой с фазовыми включениями. // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения IX". Тезисы докладов. Воронеж, 1998 г. С.115.

67. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Об обобщеном решении начально-краевой задачи для квазилинейной неоднородной сильно параболической системы / / ВестникННГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 2(21). Н.Новгород, 1999. С.170-176.

68. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимизационная задача для векторного интегро-дифференциального уравнения с обобщенным критерием терминального типа // International Conference "Dinamical systems modelling and stability investigation". Kyiv, 1999. P.30.

69. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное граничное и внутреннее управление с обратной связью для интегро-дифференциального уравнения // Тезисы докладов XII Международной конференции "Проблемы теоретической кибернетики". Москва, 1999. Часть I. С. 125.

70. Кузенков O.A., Эгамов А.И. Оптимальное граничное управление векторным интегро-дифференциальным уравнением с ограничением типа неравенств и равенств // Воронежская математическая школа "Понтрягинские чтения X". Тезисы докладов. Воронеж, 1999 г. С. 118.

71. Лабовская A.C. Решение уравнения теплопроводности с интегральным членом // Вестник ТГТУ. 1995. Т.1. N 1-2. С.151-154.

72. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.:Наука, 1973. 408с.

73. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилиней>ные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967. 736 с.

74. Лерей Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения. // УМН. 1946. Т.1. Вып.3-4. С.71-95.

75. Лионе Ж.-Д. Оптимальное управление системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных: Пер. с фр. М.: Мир, 1972.

76. Лионе Ж.-Д., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения: Пер. с фр. М.: Мир, 1971. 372с.

77. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М.: Наука. 1975. 480 с.

78. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1977. Т.13. N 4. С.601-606.

79. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.:Госатомиздат, 1961.

80. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.:Атомиздат, 1971.

81. Матвеев A.C. К абстрактной теории оптимального управления системами с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн. 1988. Т.29. N 1. С.94-107.

82. Матвеев A.C. Задачи оптимального управления с запаздываниями общего вида и фазовыми ограничениями // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1988. Т.52. N 6. С.1200-1229.

83. Матвеев A.C., Якубович В.А. Оптимальное управление некоторыми системами с распределенными параметрами // Сиб. матем. журн. 1978. Т.19. N 5. С.1109-1140.

84. Матвеев A.C., Якубович В.А. Абстрактная теория оптимального управления. СПб.:Изд. С.-Петербургского ун-та, 1994. 364 с.

85. Милютин A.A. Общие схемы получения необходимых условий экстремума и задачи оптимального управления // УМН. 1970. Т.25. Вып.5(155). С.110-116.

86. Милютин A.A., Илютович А.Е., Осмоловский Н.П., Чуканов С.В. Оптимальное управление в линейных системах. М.:Наука, 1993. 268с.

87. Морозов С.Ф., Калинин A.B. Свойства решений нелинейной системы интегро-дифференциальных уравнений теории переноса излучения // Вестник ИНГУ. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 1(18). Н.Новгород, 1998. С.76-88.

88. Морозов С.Ф., Сумин В.И. Нелинейные интегро-дифференциальные системы уравнений нестационарного переноса // Сиб. матем. журнал. 1978. Т.19. N 4. С.842-848. "Математическое моделирование и оптимальное управление". N 1(18). Н.Новгород, 1998. С.76-88.

89. Новоженов М.М., Плотников В.И. Обобщенное правило множителей Лагранжа для распределенных систем с фазовыми ограничениями // Дифференц. уравнеА ния. 1982. Т.18. N 4. С.584-692.

90. Нойштадт Л. Абстрактная вариационная теория с приложениями к широкому классу задач оптимизации. 1. Общая теория // Кибернетика. 1967. N 1. С.77-91.

91. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенным управлением. М.: Наука. 1988. 192с.

92. Осмоловский Н.П. Необходимые и достаточные условия высшего порядка для понтрягинского и ограниченно-сильного минимумов в задаче оптимального управления // ДАН СССР. 1988. Т.ЗОЗ. N 5. С. 1052-1056.

93. Плотников В.И. Об одной задаче оптимального управления стационарными сиЧ стемами с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1966. Т.170. N 2.С.290-293.

94. Плотников В.И. Об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1967. Т.175. N 6. С.1238-1241.

95. Плотников В.И. Необходимые условия оптимальности для управляемых систем общего вида // ДАН СССР. 1971. Т.199. N 2. С.275-278 .

96. Плотников В.И. Необходимые и достаточные условия оптимальности и условия единственности оптимизирующих функций для управляемых систем общего вида // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1972. Т.36. N 3. С.652-679.

97. Плотников В.И. Теория оптимизации управляемых систем с распределенными и сосредоточенными параметрами. Дисс. докт. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ. 1975.

98. Плотников В.И., Старобинец И.М. Об операторных включениях в гладких задачах на экстремум // Изв. вузов. Математика. 1985. N 12. С.42-48.

99. Плотников В.И., Старобинец И.М. Фазовые включения в задачах оптимального управления // Дифференциальные уравнения. 1986. Т.22. N 2. С.236-247.

100. Плотников В.И., Сумин В.И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу // Ж. вычисл. матем. и матем. фаз. 1972. Т.12. N 1. С.61-77.

101. Плотников В.И., Сумин В.И. О первой вариации и сопряженной задаче в теории оптимального управления // Функциональный анализ и его приложения. 1976. Т. 10. Выл.4. С.95-96.

102. Плотников В.И., Сумин М.И. О построении минимизирующих последователь--Ч, ностей в задачах управления системами с распределенными параметрами //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т.22. N 1. С.49-56.

103. Плотников В.И., Сумин М.И. Оптимальное управление объектами с распределенными параметрами, описываемыми негладкими системами Гурса-Дарбу с ограничениями типа неравенства // Дифференц. уравнения. 1984. Т.20. N 5. С.851-860.

104. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969.-384 с.I

105. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.:Наука, 1982. 144с.

106. Розоноэр Л.И. Принцип максимума Л.С.Понтрягина в теории оптимальных систем. 1,11,III. Автоматика и телемеханика. 1959. Т.20, NN 10,11,12. С.1320-1334,1441-1458,1561-1578.

107. Ройтберг JI.A., Шефтель З.Г. Теорема о гомеоморфизмах для эллиптических систем и ее приложения // Матем. сб. 1969. Т.78(120). N 3. С.446-472.

108. Рубин A.B. Биофизика. Книга 1. Теоретическая биофизика. М.-.Высшая школа,1987. 320с.

109. Сакс С. Теория интеграла. М.:ИЛ, 1949.