Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах

Ощепкова, Софья Николаевна

Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ощепкова, Софья Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Белгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах»

Автореферат диссертации на тему "Принцип максимума для эллиптических неравенств на стратифицированных множествах"

На правах рукописи

005059640

Ощепкова Софья Николаевна

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ НА СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ МНОЖЕСТВАХ

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2013

005059640

Работа выполнена в Белгородском государственном национальном исследовательском университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович Белгородский государственный

национальный исследовательский университет, профессор кафедры математического анализа

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Глушко Андрей Владимирович Воронежский государственный университет заведующий кафедрой уравнений в частных производных и теории вероятностей доктор физико-математических наук, профессор Юрко Вячеслав Анатольевич Саратовский государственный университет заведующий кафедрой математической физики и вычислительной математики Ведущая организация: Новосибирский национальный исследовательский государственный университет

Защита состоится 28 мая 2013 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет, ауд. 333.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан ¿"¿-^""апреля 2013 г. Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

доктор ф.-м. наук, профессор Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Впервые принцип максимума для оператора Лапласа был доказан в начале 19-го века Гауссом на основе полученной им теоремы о среднем. Дальнейшие продвижения, уже в контексте произвольного эллиптического оператора, связаны с именами Жиро, Хопфа, которые в начале 20-го века предложили подход к доказательству принципа максимума, основанный на лемме о нормальной производной. Поздние обобщения принципа максимума и леммы о нормальной производной связаны с именами Олейник, Хопфа и Миранды. Такое внимание к принципу максимума связано с тем, что он лежит в основе некоторых методов оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений, их разрешимости и единственности соответствующих решений. В связи с этим он занимает центральное положение в качественной теории эллиптических дифференциальных уравнений (в более общем контексте - неравенств).

Последние два десятилетия стало развиваться новое направление в теории дифференциальных уравнений - теория эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. На таких множествах был определен оператор Лапласа и более общие эллиптические операторы, но реализация классических схем доказательства сильного принципа максимума в новых условиях оказалась не простой. Поскольку теорема о среднем для лапласиана на стратифицированном множестве имеет довольно необычный вид, было даже не ясно окажется ли она полезной при доказательстве сильного принципа максимума.

Возникающие трудности связаны в основном со сложным геометрическим устройством стратифицированных множеств. Как следствие, сильный принцип максимума для эллиптических уравнений на стратифицированном множестве был доказан (Гаврилов, Пеикин) лишь на двумерном стратифицированном множестве (т.е. когда размерности стратов не превосходят двух). В данной диссертации доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа и более общих эллиптических операторов дается без ограничения на размерность стратифицированных множеств, что подтверждает актуальность темы данного исследования.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы - доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа на страти-

фицированном множестве и для более общих эллиптических операторов.

Методика исследования. Для решения основной задачи использовались как классические методы качественной теории уравнений с частными производными, так и специально разработанные автором методы. К примеру, для доказательства сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве было получено специальное необходимое условие экстремума гладкой функции на таком множестве в терминах интегралов от нормальной производной по стратифицированным сферам.

Научная новизна. Все результаты, приведенные в диссертации являются новыми, за исключением вспомогательных теорем, формулировки которых приведены для полноты изложения. В числе основных результатов отметим следующие:

• необходимое условие экстремума гладкой функции на стратифицированном множестве,

• сильный принцип максимума для лапласиана на стратифицированном множестве, а также для более общего эллиптического оператора,

• лемма о нормальной производной для эллиптического оператора на стратифицированном множестве, составленном из выпуклых стра-тов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейшей разработки теории эллиптических операторов, определенных как в обычных областях эвклидова пространства, так и на стратифицированных множествах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), в Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XVI" (Воронеж, 2005), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007 г.), в Воронежской зимней математической

школе (Воронеж, 2007), на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова - академика В.А. Садовни-чего (Москва, 2009 г.), в Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XXIII" (Воронеж, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9], список которых приведен в конце автореферата. Работы [6,7,9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [6,7,8,9] в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем диссертации. Объем диссертации составляет 85 страниц. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 44 наименования.

Краткое содержание работы

Во введении дается схематичное описание постановки задачи и методики ее решения на примере классического лапласиана в области эвклидова пространства.

Сильный принцип максимума для оператора Лапласа принято, вслед за Гауссом, доказывать с помощью теоремы о среднем, принадлежащей ему же. В начале двадцатого века благодаря Жиро и Хопфу были разработаны новые подходы, благодаря которым сильный принцип максимума удалось доказать для широкого класса эллиптических операторов второго порядка. Лапласиан на стратифицированном множестве хотя и является точным аналогом классического, но формулы, связанные с ним, как правило, оказываются более сложными, чем это имеет место в классическом случае.

Так, например, теорема о среднем по стратифицированной сфере для субгармонической функции (будем по традиции называть так решения неравенства Аи > 0, в котором теперь речь идет о стратифицированном лапласиане) включает сумму средних по ее фрагментам различной размерности, что делает ее применение к доказательству сильного принципа максимума для субгармонических функций весьма проблематичным. Попытки действовать с помощью аналога леммы о нормальной производной

позволили продвинуть решение вопроса о сильном принципе максимума лишь для случая лапласиана (а также более общих эллиптических операторов второго порядка) на двумерном стратифицированном множестве (Гаврилов A.A., Пенкин О.М. - 2000); сложность геометрии стратифицированного множества не позволили получить доказательство леммы о нормальной производной в больших размерностях даже для лапласиана на полиэдральных стратифицированных множествах (в данной работе это сделано).

После ряда неудачных попыток была реализована идея использовать не теорему о среднем (для субгармонических функций она формулируется в виде неравенства, связывающего среднее такой функции по сфере со значением ее в центре), а аналог известной формулы для гладких субгармонических функций (далее и - внешняя нормаль к S):

Г du ,

/^>0. (1)

верной для гладких поверхностей S, ограничивающих объемы, расположенные в области (эта формула на стратифицированных множествах выглядит так же). В самом деле, в обычной ситуации (стандартный лапласиан в области) из формулы дифференцирования средних:

Tr(\hJuda)=mIP»dc7'

где |5Vj - площадь сферы радиуса г, нетрудно вывести следующее утверждение интегральное необходимое условие экстремума гладкой функции в области.

Утверждение. Пусть f - точка локального нетривиального максимума гладкой в области G функции, тогда найдутся такие сферы Sr(£) сколь угодно малого радиуса, что

Г du ,

(2)

Мы называем £ точкой локального нетривильного максимума функции и, если это такая точка максимума, что ни в какой ее окрестности

функция не является постоянной. Теперь уже очевидно, что формулы (1) и (2) не могут выполняться одновременно для субгармонической функции, т.е. (поскольку первая формула все же верна) она не может иметь локальных нетривиальных максимумов в области.

Реализация этой идеи, так просто приводящей к сильному принципу максимума для классических субгармонических функций, посвящена вся первая глава. Остановимся на кратком описании содержания этой главы.

Первая глава

Значительная часть главы посвящена описанию основных понятий и вспомогательных результатов. Решению основной задачи - доказательству сильного принципа максимума для лапласиана на стратифицированном множестве - посвящен последний раздел главы. Большая часть используемых понятий была определена О.М. Пенкиным (с ними можно познакомиться в последней главе книги1), однако некоторые понятия уточнялись для целей нашей работы.

Для формулировки полученных в главе результатов нам потребуется несколько определений. В диссертации определения даны для произвольного стратифицированного множества, здесь же для простоты мы ограничиваемся случаем, когда страты являются не произвольными многообразиями, а многогранниками.

Под стратифицированным множеством мы понимаем связное подмножество О пространства представленное в виде объединения

<г(П) п(к)

п=и(Ск-)

к=0 ]=1

открытых многогранников2 разных размерностей (стратов) сг/у (к - размерность страта, & з - номер страта), расположенных в пространстве так, что выполняются следующие требования:

'Покорный Ю.В., Пенкин О.М. и др. Дифференциальные уравнения на геометрических графах. М.-.Физматлит, 2004

2Многогранник открыт, как подмножество содержащего его линейного многообразия минимальной размерности, наделенного индуцированной из топологией.

a) замыкания двух произвольных стратов либо не пересекаются, либо их пересечение состоит из некоторых стратов объединения (3),

b) граница страта ощ - множество даjy - является объединением стратов меньшей чем к размерности.

Множество fi разбивается на два подмножества - fio и <9fio- В качестве fi0 можно взять произвольное связное и открытое3 подмножество составленное из стратов последнего и такое, что fio = fi- В диссертации предполагается, что fio ^ fi, т.е.,что граница c>fio = fi \ fio Ф 0- На fio далее определяется лапласиан Д. Если бы граница fi0 оказалась пустой, то неравенство Аи > 0 допускало бы только постоянные решения, а потому вопрос о сильном принципе максимума перестал бы быть актуальным. Для определения дивергенции и лапласиана требуется ввести так называемую стратифицированную меру.

Пусть означает ^-мерную меру Лебега на страте <7¡y. Из этих мер мы можем сконструировать меру на всем стратифицированном множестве, полагая для произвольного множества wcí!

Очевидно, что это имеет смысл только для множеств, пересечение которых с каждым стратом измеримо по Лебегу на этом страте. Интеграл Лебега измеримой функции по введенной мере сводится к сумме интегралов Лебега по отдельным стратам.

Далее определяется оператор дивергенции на касательных векторных полях. Векторное поле F на fio называется касательным, если для каждого страта akj С fi0 и каждого X е akj вектор F(X) лежит в касательном пространстве к аjy. Дивергенция VF поля F в точке X определяется как плотность потока векторного поля относительно введенной выше стратифицированной меры.

При некоторых естественных предположениях о гладкости поля можно дать выражение для дивергенции в привычных терминах. А именно,

3Мможество Í2 рассматривается как топологическое пространство, наделенной топологией, индуцированной из R'1

(4)

предположим, что поле Ё имеет дифференцируемые сужения на страты из По . Пусть, кроме того, его сужение на каждый страт допускает продолжение по непрерывности на любой страт сгу -< ^ (запись вида &кз ^ с/с+1,г означает примыкание страта ак]- к страту ак+1,г). Обозначим значение этого продолжения в точке X е через ^(Х+О-щ)', оно никак не связано со значением Ё(Х) поля Р в этой же точке. В обозначении Р{Х + 0 • й) вектор щ - единичный вектор в точке X, направленный в (?к+ 1,г- Здесь он нужен лишь для того, чтобы указать с какого страта берется продолжение.

Обозначим через проекцию вектора Р(Х + 0 ■ щ) на направление щ. Тогда выражение для дивергенции представляется в виде:

Ч-Р{Х) = Ък-Р(Х)+ £ АРО- (5)

где через V* обозначен обычный оператор дивергенции на страте действующий на сужение Г на этот страт.

Множество векторных полей, для которых дивергенция существует и является интегрируемой функцией обозначается через С1 (По)- Пусть теперь на По задана скалярная функция, дифференцируемая на каждом страте. Обозначим через - градиент этой функции в том смысле, что на каждом страте Уи определяется как градиент сужения функции и на этот страт. Если поле Уи принадлежит классу С1 (По), то мы можем определить лапласиан Аи функции и, как дивергенцию ее градиента. Соответствующая формула имеет вид:

Аи(Х) = Чк-(Чи)(Х)+ £ (7<(А') = (Дк« + {У«и(1), '(6)

где через Ак обозначен обычный лапласиан, действующий на сужение и на страт оХотя формально непрерывность функции и здесь не требуется (функция может претерпевать разрывы при переходе со страта на страт), она нужна для доказательства сильного принципа максимума. Поэтому непрерывность включена в определение класса С2(По), на котором и рассматривается лапласиан. В этот класс включаются непрерывные функции, градиент которых принадлежит С1 (По).

Основной результат главы - сильный принцип максимума - формулируется следующим образом:

Теорема 1.2.1 Пусть и е С2(П0) - решение неравенства Аи > 0. Тогда и не может иметь в По точек локального нетривиального максимума.

Доказательство этой теоремы проводится по схеме, приведенной выше для случая классического оператора Лапласа. А именно сначала доказывается необходимое условие экстремума в форме неравенств для интегралов ио некоторым сферам достаточно маленького радиуса от нормальной производной рассматриваемой функции. Речь идет о следующем утверждении:

Теорема 1.3.3 Пусть X € fio - точка нетривиального локального максимума функции и £ С^По)- Тогда найдутся сколь угодно малые допустимые г > 0 такие, что

Здесь 3Г{Х) - так называемая стратифицированная сфера с центром в точке X. Под этим мы понимаем пересечение со стратифицированным множеством обычной сферы в Ж^ (достаточно малого радиуса) с центром в рассматриваемой точке. Доказательство основывается на том, что неравенство (7) может быть переписано в виде:

которое, в свою очередь, легко вытекает (рассуждение от противного) из следующего утверждения, представляющего самостоятельный интерес:

Лемма 1.3.2 Пусть /0,..., /„ - непрерывные на [0; а] и непрерывно дифференцируемые на (0; а] функции такие, что /¿(0) = 0 (г = 0,... ,п). Тогда из неположительности функций и неравенства

(7)

SAX)

rnfñ(r) + + •' • + fó(r) > О

(9)

следует /¿(г) = 0 при всех г.

В неравенстве (8) через 37тп(Х) обозначено объединение пересечений сферы 3Т(Х) с (ш + 1)-мерными стратами.

Из формулы Грина на стратифицированном множестве получаем, что неравенство Аи > 0 влечет

Но тогда, наличие локального нетривильного максимума у решения неравенства Аи > 0 приводило бы к одновременному выполнению (8) и (10), что очевидно невозможно.

Вторая глава.

Вторая глава посвящена обобщению сильного принципа максимума на эллиптические операторы с переменными коэффициентами. А именно, вместо оператора Лапласа рассматривается оператор Ари = V • (pVu) (требования, предъявляемые к р, описаны ниже). Вместо неравенства Аи > 0 теперь рассматривается неравенство Ари — qu > 0, в котором q предполагается неотрицательной и непрерывной в каждом страте (вновь не предполагается, что q непрерывна в целом на По).

Кроме того, в этой главе получено существенное продвижение в доказательстве леммы о нормальной производной. Она доказана для неравенств только что указанного вида в предположении, что страты являются выпуклыми многогранниками. Напомним, что ранее подобный результат был доказан (Гаврилов A.A., Пенкин О.М.) лишь для двумерных стратифицированных множеств (правда, страты при этом были произвольными многообразиями).

Сильный принцип максимума для рассматриваемого случая сначала доказывается для случая q = 0, т.е. доказывается, что решение неравенства Ари не имеет в Г2о точек локального нетривиального максимума, а затем получается такое следствие для общего оператора:

Следствие 2.2.1 Пусть q е Са(П0) - неотрицательная функция, а и & С2(По) ~ решение неравенства Apu — qu>0. Тогда и не может иметь в По точек положительного локального нетривиального максимума.

(10)

Sr(X)

Здесь через Ссг(^о) обозначен класс функций, непрерывных в каждом страте (не обязательно в целом на По)-

Это утверждение доказано в предположении, что функция р регулярна. Будем говорить, что р регулярна в точке X, если найдется функция р, зависящая только от расстояния до X, определенная и положительная в некоторой окрестности и такая, что рр в этой окрестности убывает по любому направлению, выходящему из X. Доказательство проводится по схеме, разработанной в первой главе. Однако, вместо леммы ?? приходится использовать следующее необходимое условие локального максимума.

Теорема 2.1.1 Пусть X е По - точка локального нетривиального максимума функции и е С2 (По). Пусть далее р е Сст(По) - регулярна в X и строго положительна. Тогда найдутся такие сколь угодно малые г > 0, что

где V - внешняя нормаль к стратифицированной сфере 5Г(Х).

В заключительной части главы доказывается аналог леммы Хопфа о нормальной производной. Здесь предполагается, что страты являются выпуклыми многогранниками. Теорема 2.3.2 Пусть функция

Пусть она достигает своего максимума в точке Хо б сгы С dflo, u(Xо) > u(X) при всех X е По, и существует производная по нормали к <?kj, направленной внутрь симплскса <7k+i,i С Hg, примыкающего к cr^j- Тогда эта нормальная производная меньше нуля.

В конце главы дается обобщение этой леммы на эллиптические операторы с переменными коэффициентами.

Доказательство леммы о нормальной производной основывается на традиционной барьерной технике, однако построение барьеров в случае

и € С*(П0) п С(П) : П -* R

удовлетворяет на По неравенству

Аи > 0.

стратифицированного множества долгое время вызывало большие затруднения из-за сложной его геометрии. Нам удалось преодолеть эти трудности сначала в случае, когда все страты являются симплексами. Такое сужение класса стратифицированных множеств позволило воспользоваться барицентрическими координатами, что в свою очередь дало возможность геометрические построения заменить построениями аналитическими.

Лемма о нормальной производной позволила получить еще один вариант сильного принципа максимума для одного достаточно широкого класса недивергентных эллиптических операторов.

В конце главы дается историческая справка, в которой приводится хронологическое развитие рассматриваемой в диссертации тематики. Публикации автора по теме диссертации

[1] Ощепкова С.Н. Об одном необходимом условии экстремума /С.Н.Ощеп-кова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы.- Воронеж: ВГУ, 2005,- С.173-174.

[2] Ощепкова С.Н. О принципе максимума для гармонической функции на стратифицированном множестве /С.Н.Ощепкова // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы „Понтрягинские чтения XVI". - Воронеж: ВГУ, 2005,-С.119-120.

[3] Ощепкова С.Н. О принципе максимума на стратифицированном множестве /С.Н.Ощепкова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы.-Воронеж: ВГУ, 2007-'С. 174.

[4] Ощепкова С.Н. Сильный принцип максимума для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве /С.Н.Ощепкова // Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского: Тезисы докладов. - М.: Изд-во МГУ, 2007.- С.223.

[5] Ощеикова С.Н. Строгий принцип максимума для субгармонических функций на стратифицированных множествах /С.Н.Ощепкова // Международная конференция „Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященная 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова - академика В.А. Садовничего: Материалы конференции. -М.: Изд-во „Университетская книга", 2009 - С.187-188.

[6] Ошепкова С.Н. Об одном необходимом условии экстремума на стратифицированном множестве/С.Н. Ощепкова, О.М. Пенкин// ДАН - 2007, Т.416, №1.- С.22-25

[7] Ощепкова С.Н. Теорема о среднем для эллиптического оператора на стратифицированном множестве/ С.Н. Ощепкова, О.М. Пенкин// Ма-тем. заметки.- 2007, Т.81, вып.З,- С.417-426

[8] Oshchepkova S.N. Maximum principle for subharmonic functions on stratified set/ S.N. Oshchepkova, O.M. Penkin// Journal of Mathematical Sciences-Vol. 175, No.l, May.- 2011.- p. 33-38

[9] Ощепкова С.Н. Сильный принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множестве/ С.Н. Ощепкова, О.М. Пенкин, Д.В. Савастеев// Матем. заметки - 2012, Т.92, вып.2 - С.276-290

Работы [6,7,9] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 23.04.13. Формат 60x84 '/16. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 398.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ощепкова, Софья Николаевна, Белгород

БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

042 01357474 Ощепкова Софья Николаевич

ПРИНЦИП МАКСИМУМА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ НА СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ

МНОЖЕСТВАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор Пенкин Олег Михайлович

БЕЛГОРОД - 2013

Оглавление

Введение 3

0.1 Введение..........................................................4

1 Сильный принцип максимума для лапласиана на стратифицированном множестве. 15

1.1 Основные понятия................................................15

1.1.1 Стратифицированные множества......................16

1.1.2 Стратифицированная мера..............................19

1.1.3 Определение дивергенции и эллиптического оператора на стратифицированном множестве..............21

1.2 Эллиптический оператор на стратифицированном множестве................................................................26

1.2.1 Координаты, риманова метрика, оператор Лапласа

- Бельтрами..............................................27

1.2.2 Формулировка сильного принципа максимума. ... 31

1.3 Некоторые вспомогательные результаты......................33

1.3.1 Теорема о дивергенции..................................33

1.3.2 Теорема о среднем........................................34

1.3.3 Необходимое условие экстремума гладкой функции

на стратифицированном множестве....................36

1.4 Доказательство основного утверждения и некоторые следствия..............................................................40

1.4.1 Доказательство сильного принципа максимума. . . 40

1.4.2 Приложение к задаче Дирихле..........................41

1.4.3 Сильный принцип максимума для вырожденного лапласиана..................................................42

2 Сильный принцип максимума для эллиптического оператора с переменными коэффициентами. 45

2.1 Вспомогательные утверждения..................................47

2.1.1 Теорема об интегро-дифференциальном неравенстве. 47

2.1.2 Необходимое условие экстремума гладкой функции

на стратифицированном множестве....................49

2.2 Доказательство основного утверждения и комментарии. . . 54

2.2.1 Формулировка и доказательство сильного принципа максимума................................................54

2.2.2 Заключительные замечания............................55

2.3 Лемма о нормальной производной..............................57

2.3.1 Формулировка леммы о нормальной производной. . 57

2.3.2 Доказательство леммы о нормальной производной

в трехмерном случае....................................59

2.3.3 Доказательство леммы о нормальной производной

в общем случае............................................66

2.4 Краткая историческая справка..................................79

3 Библиографический список. 81

0.1 Введение

Актуальность темы. Впервые принцип максимума был доказан в начале 19-го века Гауссом для оператора Лапласа на основе полученной им теоремы о среднем. Дальнейшие продвижения уже в контексте произвольного эллиптического оператора связаны с именами Жиро, Хопфа, которые в начале 20-го века предложили подход к доказательству принципа максимума, основанный на лемме о нормальной производной. Поздние обобщения принципа максимума и леммы о нормальной производной связаны с именами Олейник, Хопфа и Миранды. Такое внимание к принципу максимума связано с тем, что он лежит в основе некоторых методов оценки решений краевых задач для эллиптических уравнений, их разрешимости и единственности соответствующих решений.

Последние два десятилетия стало развиваться новое направление в теории дифференциальных уравнений - теория эллиптических уравнений на стратифицированных множествах. На таких множествах был определен оператор Лапласа и более общие эллиптические операторы. Реализация классических схем доказательства сильного принципа максимума даже для уравнения Лапласа оказалась не простой. Поскольку теорема о среднем для лапласиана на стратифицированном множестве имеет довольно необычный вид, было даже не ясно окажется ли она полезной при доказательстве сильного принципа максимума.

Возникающие трудности связаны в основном со сложным геометрическим устройством стратифицированных множеств. Как следствие, сильный принцип максимума для эллиптических уравнений на стратифицированном множестве был доказан (Гаврилов, Пенкин [2]) лишь на двумерном стратифицированном множестве (т.е., когда размерности стратов не превосходят двух). В данной диссертации доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа и более общих эллиптических операторов дается без ограничения на размерность стратифицированных множеств, что подтверждает актуальность темы данного иссле-

дования.

Цель работы. Основная цель диссертационной работы - доказательство сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве и для более общих эллиптических операторов.

Методика исследования. Для решения основной задачи использовались как классические методы качественной теории уравнений с частными производными, так и специально разработанные автором методы. К примеру, для доказательства сильного принципа максимума для оператора Лапласа на стратифицированном множестве доказано необходимое условие экстремума гладкой функции на нем в терминах интегралов от нормальной производной по стратифицированным сферам.

• необходимое условие экстремума гладкой функции на стратифицированном множестве,

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), в Воронеж-

ской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XVI" (Воронеж, 2005), на международной конференции, посвященной памяти И.Г. Петровского (Москва, 2007 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2007), на международной конференции, посвященной 70-летию ректора МГУ им. М.В. Ломоносова - академика В.А. Садовни-чего (Москва, 2009 г.), в Воронежской весенней математической школе „Понтрягинские чтения XXIII" (Воронеж, 2012).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 9 работах; их список приведен в автореферате. Работы [11],[10],[17] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Краткое содержание работы

лапласиане) включает сумму средних по ее фрагментам различной размерности, что делает ее применение к доказательству сильного принципа максимума для субгармонических функций весьма проблематичным. Попытки действовать с помощью аналога леммы о нормальной производной позволили продвинуть решение вопроса о сильном принципе максимума лишь для случая лапласиана (а также более общих эллиптических операторов второго порядка) на двумерном стратифицированном множестве (Гаврилов A.A., Пенкин О.М. - [2]); сложность геометрии стратифицированного множества не позволили получить доказательство леммы о нормальной производной в больших размерностях даже для лапласиана на полиэдральных стратифицированных множествах (в данной работе это удалось).

После ряда неудачных попыток была реализована идея использовать не теорему о среднем (для субгармонических функций она формулируется в виде неравенства, связывающего среднее такой функции по сфере со значением ее в центре), а известную формулу для гладких субгармонических функций (далее V - внешняя нормаль к S):

(0-1-1)

верную для гладких поверхностей S, ограничивающих объемы расположенные в области (эта формула на стратифицированных множествах выглядит так же).

Покажем, как это работает в случае обычного лапласиана в области. Из формулы дифференцирования средних:

\ Sr / Sr

где |SV| - площадь сферы радиуса г, нетрудно вывести следующее утверждение - интегральное необходимое условие экстремума гладкой функции в области.

Теорема 0.1.1 Пусть £ - точка локального нетривиального максиму-

ма гладкой в области (7 функции, тогда найдутся такие сферы 5Г(£) сколь угодно малого радиуса, что

Мы называем £ точкой локального нетривильного максимума функции и, если это такая точка максимума, что ни в какой ее окрестности функция не является постоянной. Поскольку формулы (0.1.1) и (0.1.2) не могут выполняться одновременно, то субгармоническая функция не может иметь локальных нетривиальных максимумов в области.

Реализации этой идеи, так просто приводящей к сильному принципу максимума для классических субгармонических функций, посвящена вся первая глава. Остановимся на кратком описании содержания этой главы.

Первая глава

Значительная часть главы посвящена описанию основных понятий и вспомогательных результатов. Решению основной задачи - доказательству сильного принципа максимума для лапласиана на стратифицированном множестве - посвящен последний раздел главы. Большая часть используемых понятий была определена О.М. Пенкиным (с ними можно познакомиться в последней главе книги [24]), однако некоторые понятия уточнялись для целей нашей работы.

Для формулировки полученных в главе результатов нам потребуется несколько определений. Ограничимся пока частным случаем для простоты изложения. Общее определение, например, стратифицированного множества можно найти в самой главе.

Под стратифицированным множеством мы понимаем связное подмножество пространства представленное в виде объединения

(0.1.2)

<1(П) п(к)

(0.1.3)

к=0 з=1

открытых многогранников1 разных размерностей (стратов) ащ {к - размерность страта, a j - номер страта), расположенных в пространстве W1 так, что выполняются следующие требования:

a) замыкания двух произвольных стратов либо не пересекаются, либо их пересечение состоит из некоторых стратов объединения (1.1.1),

b) граница страта ащ - множество дищ ~ является объединением стратов меньшей чем к размерности.

Множество fi разбивается на два подмножества - fio и В качестве fio можно взять произвольное связное и открытое2 подмножество fi, составленное из стратов последнего и такое, что fio = fi. В диссертации предполагается, что fio fi, т.е.,что граница <9fio = fi \ fio 0- На fio далее определяется лапласиан А. Если бы граница fio оказалась пустой, то неравенство А и > 0 допускало бы только постоянные решения, а потому вопрос о сильном принципе максимума перестал бы быть актуальным. Для определения дивергенции и лапласиана требуется ввести так называемую стратифицированную меру.

Пусть /Zfc означает к-мерную меру Лебега на страте <7^. Из этих мер мы можем сконструировать меру на всем стратифицированном множестве, полагая для произвольного множества о; С fi

= П akj) (0.1.4)

Очевидно, что это имеет смысл только для множества, пересечение которого с каждым стратом измеримо по Лебегу на этом страте. Интеграл Лебега измеримой функции по введенной мере сводится к сумме интегралов Лебега по отдельным стратам.

Далее определяется оператор дивергенции на касательных векторных полях. Векторное поле F на fio называется касательным, если для каждого страта <Jkj С fio и каждого X 6 а^ вектор F(X) лежит в касатель-

1 Многогранник открыт, как подмножество содержащего его линейного многообразия минимальной размерности, наделенного индуцированной из Rd топологией.

2Множество ÍÍ рассматривается как топологическое пространство, наделенной топологией, индуцированной из Rd.

ном пространстве к а^- Дивергенция V • Р поля ^ в точке X определяется как плотность потока векторного поля относительно введенной выше стратифицированной меры.

—*

предположим, что поле ^ имеет дифференцируемые сужения на страты из По . Пусть, кроме того, его сужение на каждый страт <7к+1,{ допускает продолжение по непрерывности на любой страт а^ -< сгк+1,г (запись вида &кз -< 07с+1,г означает примыкание страта а^ к страту Ой+гД Обозначим значение этого продолжения в точке X Е ащ через ^(Х+О-Д); оно никак не связано со значением Р(Х) поля F в этой же точке. В обозначении Р(Х + 0 • щ) вектор щ - единичный вектор в точке X, направленный в Здесь он нужен лишь для того, чтобы указать с какого страта

берется продолжение.

Обозначим через проекцию вектора Р(Х + 0 • й) на направление щ. Тогда выражение для дивергенции представляется в виде:

Ч-Р(Х) = Чк'Р(Х)+ ]Г РЩ{Х\ (0.1.5)

где через Vк обозначен обычный оператор дивергенции на страте а^,

действующий на сужение Р на этот страт.

Множество векторных полей, для которых дивергенция существует

и является интегрируемой функцией, обозначается через С1 (По)- Пусть

теперь на задана скалярная функция, дифференцируемая на каждом

страте. Обозначим через Уи - градиент этой функции в том смысле, что

на каждом страте Х7и определяется как градиент сужения функции и

_ —».

на этот страт. Если поле Уи принадлежит классу С (Г2о), то мы можем

определить лапласиан А и функции и, как дивергенцию ее градиента.

Соответствующая формула имеет вид:

Аи(Х) = Чк-(Чи)(Х)+ (^МХ) = (0-1-6)

<■Тк+г^УРкэ

где через Д/с обозначен обычный лапласиан, действующий на сужение и на страт а^- Хотя формально непрерывность функции и здесь не требуется (она может претерпевать разрывы при переходе со страта на страт), она нужна для доказательства сильного принципа максимума. Поэтому она включена в определение класса С2(По)> на котором и рассматривается лапласиан. В этот класс включаются непрерывные функции, градиент которых принадлежит С1 (По)-

Основной результат главы - сильный принцип максимума - формулируется следующим образом:

Теорема 0.1.2 Пусть и € С2(По) - решение неравенства Аи > 0. Тогда и не может иметь в По точек локального нетривиального максимума.

Доказательство этой теоремы проводится по схеме, приведенной выше для случая классического оператора Лапласа. А именно сначала доказывается необходимое условие экстремума в форме неравенств для интегралов по некоторым сферам достаточно маленького радиуса от нормальной производной рассматриваемой функции. Речь идет о следующем утверждении:

Теорема 0.1.3 Пусть X е По - точка нетривиального локального максимума функции и € С1 (По). Тогда найдутся сколь угодно малые допустимые г > 0 такие, что

Здесь 5Г(Х) - так называемая стратифицированная сфера с центром в точке X. Под этим мы понимаем пересечение обычной сферы с центром в рассматриваемой точке со стратифицированным множеством. Доказательство основывается на том, что неравенство (0.1.2) может быть переписано в виде:

(0.1.7)

¿у

< 0, (0.1.8)

(через Б™(Х) обозначено объединение пересечений сферы 3Г(Х) с (т + 1)-мерными стратами) которое, в свою очередь, легко вытекает (рассуждение от противного) из следующего утверждения, представляющего самостоятельный интерес:

Лемма 0.1.1 Пусть /о,..., /п - непрерывные на [0; а] и непрерывно дифференцируемые на (0;а] функции такие, что /¿(0) = 0 (г — 0, ...,п). Тогда из неположительности функций и'неравенства

следует /¿(г) = 0 при всех г.

Из формулы Грина на стратифицированном множестве получаем, что неравенство А и > 0 влечет

Но тогда, наличие локального нетривильного максимума у решения неравенства Аи > 0 приводило бы к одновременному выполнению (0.1.8) и (1.3.2), что очевидно невозможно.

Вторая глава.

Вторая глава посвящена обобщению сильно