Элементы теории дифференциальных уравнений эллиптического типа на прочных стратифицированных множествах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

* РГ6 од

Гаврилов Алексей Анатольевич 2 5 ДЕК 2000

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА НА ПРОЧНЫХ СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ МНОЖЕСТВАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2000

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Самарский государственный

технический университет

Защита состоится 27 декабря 2000 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета К063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693 г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " 2/\11 ноября 2000 года.

Ученый секретарь

профессор

Покорный Юлий Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцеит

Пенкин Олег Михайлович

профессор

Орлов Владимир Петрович,

доктор физико-математических наук,

профессор

Репников Валентин Дмитриевич

диссертационного совета

Задорожний В.Г.

¿--л оз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К уравнениям на стратифицированных множествах приходят в результате изучения физических систем составного типа; стратифицированное множество является геометрической моделью такой системы. Особенно интенсивно эта тематика разрабатывается последние два десятилетия. Однако, на наш взгляд, пока нельзя сказать, что она оформилась в самостоятельную теорию. Имеется несколько конкурирующих подходов к ее построению, но до последнего момента преобладал - на наш взгляд, не самый лучший из них - подход, условно называемый нами "векторным". Прежде чем говорить об этом подробно коснемся немного истории вопроса.

Вплоть до конца, 70-х годов появлялись лишь отдельные, немногочисленные математические работы по системам составного типа. Первой из известных нам работ является работа Р. Куранта, датированная 1926 годом, посвященная изучению колебаний мембраны, к внутренней части которой прикреплена натянутая струна. Отметим также довоенные работы Л. Коллатца, в которых затрагивается в основном численный метод решения подобного рода задач. Более или менее систематическое исследование упомянутых систем начинается в конце 70-х годов в работах сразу нескольких авторов; как наиболее близкие нам, отметим здесь работы G. Lumer'a; для него отправной физической задачей явилась задача о диффузии в системе каналов, соединенных в виде геометрического графа. Возникающее при этом эволюционное уравнение изучалось им в рамках теории полугрупп операторов, действующих в "ветвящихся" ("ramified") пространствах функций. Позднее это направление развивалось S. Nicaise'oM и J. von Below. Одновременно с Lumer'oM Ю.В. Покорный начал изучение колебаний упругих систем, составленных из конечного числа струн, связанных в виде геометрического графа. С самого начала оба указанных автора придерживались разных технологий. Первый из них придерживался упомянутого выше "векторного" подхода,

который неплохо зарекомендовал себя в вопросах разрешимости краевых задач, асимптотики спектра и других (количественных) вопросах. Второй же, в основном, интересовался качественными вопросами, где "векторный" подход, к сожалению, в основном, затемнял суть дела. В рамках "векторного" подхода были, в итоге, получены результаты, когда Г2 - многообразие, "перегороженное" конечным числом подмногообразий меньшей размерности. Общий случай стратифицированного множества (множества, составленного из многообразий, достаточно регулярно примыкающих друг к другу, объединение которых не обязано быть многообразием) изучен не был.

Попытка преодоления трудностей, обусловленных применением "векторного" подхода, привела к разработке так называемого "синтетического" подхода, предварительные контуры которого просматривались уже в работах Ю.В. Покорного и его учеников.

Коротко остановимся на характеристике упомянутых выше подходов. В качестве иллюстрации будем использовать задачу о малых деформациях системы, составленной из струн, связанных в виде геометрического графа, отдельные ячейки которого затянуты мембранами. Функция и, описывающая перемещение этой системы под действием /, описывается следующим набором уравнений:

где (1) относится к точкам мембран, (2) - к точкам струн, не примыкающих к мембране, (3) - к точкам струн, окаймляющих мембрану, уравнение (4) описывает перемещение точек, в которых струны примыкают друг к другу.

-Д« = /

-<г = /.

(1) (2)

(3)

(4)

Заметим, во-первых, что уравнения (1)-(2) относятся к элементам системы, не примыкающим своими внутренностями к другим элементам (такие элементы будем называть свободными), эти уравнения совпадают с классическим уравнением Пуассона. Остальные соотношения относятся к элементам (будем называть их перегородками), располагающимся между свободными элементами. В связи с этим естественно рассмотреть оператор Д, условно называемый лапласианом, действующий в пространстве C2(fi) — П C2(ahi), где произведение берется по всем свободным <?ы {к - размерность элемента). При рассмотрении уравнения — Au — f соотношения (3)-(4) естественно включить в определение решения, что эквивалентно выделению в пространстве С2(П) некого линейного многообразия М. Тем самым набор уравнений (1)-(4) оказывается формально эквивалентным уравнению Пуассона

-Ди = / на М. (5)

Это и есть упомянутый "векторный" подход. Добавим еще, что, как правило, рассматривался случай, когда правые части в соотношениях (3)-(4) равны нулю. В этом случае они назывались условиями трансмиссии.

Суть "синтетического" подхода состоит в том, что все соотношения (1)-(4) считаются "равноправными"; между прочим, с физической точки зрения, они выражают одно и то же - локальное равновесие системы. Различие же в их записи обусловлено неполным соответствием применяемого математического аппарата физической постановке. В недавних работах Ю.В. Покорного, О.М. Пенкина и A.A. Гаврилова показано, что набор соотношений (1)-(4) не только формально эквивалентен уравнению (5), но и что оператор Д допускает классическую трактовку; он может быть представлен в виде div(grad и), где дивергенция может быть определена как плотность потока касательного векторного поля на П по специальной (стратифицированной) мере. Преимущество "синтетического" подхода видно уже на примере принципа максимума. В самом деле, пусть и - решение уравнения Ди = 0. Аналогия с классическим случа-

ем подсказывает, что функция и (и ^ const) не должна иметь внутри А локальных максимумов. Однако, при "векторном" подходе это утверждение может относиться только лишь к свободным элементам. Условия трансмиссии на перегородках фактически приобретают статус "внутренних" краевых условий, хотя из физических соображений ясно, что максимум не может быть и в них. "Синтетический" же подход позволил не только обнаружить правильную формулировку принципа максимума, но и привести доказательство, близкое к классическому.

Имеется еще один класс задач, близкий к рассматриваемым нами. Он связан с так называемыми сильно неоднородными средами. Примером является мембрана с перфорацией. Наиболее подходящим методом изучения таких систем, как показали работы В.В. Жикова, O.A. Олей-ник, Г.А. Иосифьян, A.C. Шамаева и др., является метод усреднения в предположении, что перфорации распределены периодическим или почти периодическим образом. Отметим, однако, что в целом мембрана с перфорацией с геометрической точки зрения все же является многообразием. Стратифицированное же множество не предполагает наличие структуры многообразия.

Наконец, отметим здесь работы C.JI. Соболева и Б.Ю. Стернина. В этих работах стратифицированную структуру имеет граница области; на разных участках границы задаются различные граничные значения. В настоящее время эта тематика имеет продолжение в работах С.А. Назарова и Б.А. Пламеневского. В их работе область может, например, иметь вид бесконечного ребристого конуса, на внутренности которого задан эллиптический оператор. Как и в предыдущем случае, та часть множества, на которой рассматривается эллиптический оператор, является многообразием. .

На наш взгляд, "синтетический" подход может стать базой для построения общей теории уравнений на стратифицированных множествах. По крайней мере, часть полученных на его основе результатов имеет по-

чти окончательный вид.

Данная работа посвящена, главным образом, изложению результатов о качественных свойствах решений эллиптических неравенств. Однако, часть работы уточняет и обобщает полученные ранее результаты других авторов о разрешимости краевых задач на стратифицированных множествах.

Цель работы. Исследовать разрешимость задачи Дирихле для эллиптических уравнений дивергентного типа с переменными коэффициентами на прочных стратифицированных множествах П в пространствах

о

соболевского типа р, д). Изучить некоторые качественные свойства

решений эллиптических неравенств Ьчи > 0 такие, как слабый и сильный принцип максимума, лемма Бохнера и пр.

Методика исследований. Методика исследований основана на интерпретации сложных наборов дифференциальных уравнений в виде единого дифференциального уравнения. При этом применяется схема из абстрактной теории меры. Применяются методы классической теории дифференциальных уравнений в частных производных. При доказательстве слабой разрешимости задачи Дирихле используется стандартная вариационная схема, основанная на теореме Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Ключевые моменты этой работы, отличающие ее от работ, близких по тематике:

1. выделен, на наш взгляд, важнейший класс прочных стратифицированных множеств, для которого постановки краевых задач выглядят наиболее естественным образом;

2. получены результаты о разрешимости задачи Дирихле в пространствах соболевского типа, существенно уточняющие полученные ранее другими авторами;

3. доказан слабый принцип максимума в общем случае для эллиптического оператора на прочном стратифицированном множестве;

4. для двумерных стратифицированных множеств получен аналог леммы о нормальной производной и на его основе доказан сильный принцип максимума.

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Результаты могут быть применены в теории уравнений с частными производными.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [1]-[5] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач"в 1997-2000 гг, на научной сессии ВГУ в 1999 гг, на XXII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 2000 г, на семинаре по качественной теории краевых задач при Воронежском госуниверситете (руководитель - проф. Ю.В. Покорный) в 1998-2000 гг, на семинаре проф. Ю.И. Сапронова при Воронежском госуниверситете в 2000 г.

Структура и объем работы. Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих в общей сложности 20 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 91 стр. Библиография содержит 40 наименований. Текст иллюстрируют 16 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В целом, глава 1 посвящена обсуждению основных понятий и определений - их оказывается довольно много ввиду отсутствия установившейся терминологии. Наиболее важными являются понятия стратифицированного множества и аналога оператора Лапласа-Бельтрами на таких множествах, введенные О.М. Пенкиным, а также понятие прочного стратифицированного множества.

В пункте 1.1 в качестве примера задачи, приводящей к дифференциальным уравнениям второго порядка на стратифицированных множествах, рассмотрена задача о перемещениях струнно-мембранной конструкции под воздействием поперечной нагрузки /, с различной (в том. числе и по размерности) плотностью распределения на разных элементах конструкции. На не граничных элементах рассматриваемой системы из условия равновесия получаются дифференциальные уравнения, которых получается четыре типа в зависимости от характера соединения с другими элементами.

В пункте 1.2 напоминаются некоторые понятия из римаповой геометрии, центральным из которых является определение римаповой метрики (точнее, метрического или фундаментального тензора). Эти определения оказывается существенно необходимыми при определении дивергенции касательного векторного поля и дифференциального эллиптического оператора на стратифицированных множествах (пункты 1.8.2 и 1.9).

В следующем пункте дается определение стратифицированного множества. Множество Q С R" называется стратифицированным, если существует стратификация, т. е. набор замкнутых множеств

С П*1 С • • • С Пк' = П (0 < к0 < fci < ■ ■ • < fc„)

такой, что:

1. fi** \ - гладкая поверхность в R" размерности её связные компоненты называются стратами размерности fcj.

2. Граница дан — \ любого страта ненулевой размерности является объединением стратов меньшей (чем к) размерности. Запись oij -< ami далее означает примыкание страта сту к crmi, т.е. <7у С

3. Если страт примыкает к Cfc+i j и х 6 сгп, а у £ cjfc+ij приближается к х по некоторой непрерывной кривой, расположенной в ark+ij, то касательная плоскость Ту(епы-и) (обычная (к + 1)-мерная плос-

кость в R", касающаяся o¿+1¿ в точке у) имеет предельное положение lim Т!.(о*+1 Л, содержащее Тх(сгкд-

у->х

Предполагается, что П связное и состоит из конечного числа стратов, которые имеют компактные замыкания и допускают введение глобальных координат. Вместе с множеством П фиксируется связное, открытое, состоящее из стратов подмножество По С ÍÍ такое, что По =? П. Граница сЮо множества По определяется как <?По = П \ По- На множестве По будут задаваться уравнения, а на ЗПо - условия Дирихле.

Пункт 1.5 посвящен введению координат на стратифицированном множестве. Координаты на П задаются локально для каждой пары стратов {<Tk-i,i,<Tkj) таких, что <7¡fc_i,¿ -< crkj, следующим образом: сначала задаются у1,... на Ок-i,i, а затем ук таким образом, чтобы ук — 0 на ak-i,i и ук > 0 на иkj- Везде далее используется именно такой способ введения координат на П. Этот способ был заимствован нами из теории многообразий с краем.

Мера на стратифицированном множестве обсуждается в пункте 1.6. Подмножество шсА называется измеримым по мере ¡i, если все пересечения вида u)C\crki являются измеримыми по соответствующей fc-мерной мере Лебега. В этом случае мера подмножества и> полагается равной

Функциональные пространства, используемые в работе, приведены в пункте 1.7. С™(По) - пространство таких функций и, что их сужение на страт сг*; имеет непрерывные частные производные в локальных координатах до порядка т включительно; кроме того, мы предпо лагаем, что производные первого порядка допускают продолжение ш непрерывности на каждый страт Ок-1,7 -< Ок\ для всех сгк-\,] С По С"'(По) = С™(П0)ПС(П0). Пространства С™{П) и Ст(П) определяются аналогично.

Одно из основных понятий - понятие дивергенции касательного век

fftiCfi

торного поля на стратифицированном множестве - рассматривается в пункте 1.8. Векторное поле Ё на О будем называть касательным, если для х € выполняется включение Р(х) 6 ТхаОпределяя дивергенцию касательного векторного поля как плотность потока поля по мере. ¡л, в подпункте 1.8.2 приходим к определению дивергенции касательного векторного поля на Ось Если Ё € (т. е. сужение Р на любой страт

имеет непрерывные частные производные первого порядка в локальных координатах, допускающие продолжение по непрерывности на все примыкающие страты из По), то дивергенцией Р в точке х € <Ук-\,г будет называться

сц >-"4-1,1

здесь и - единичная нормаль в точке х, внутренняя по отношению к а обозначает продолжение по непрерывности на ак] сужения / на (Ты (такое продолжение существует ввиду того, что Р 6 С^(По), и страты примыкают друг к другу регулярно). Суммирование в выражении (6) происходит по всем стратам к которым примыкает Ок-\,г -если таковых не имеется, то сумма считается нулевой; вообще в работе пустые суммы считаются нулевыми. Первое слагаемое в правой части (6) представляет собой классический к — 1-мерный оператор дивергенции на многообразии о"*-!,,- (в нульмерных стратах значение дивергенции полагается равным нулю).

Градиент функции и 6 С2(По) определяется на По постратно и обозначается тем же символом, что и дивергенция (мы следуем обозначениям, принятым в физике - V, примененный к функции есть градиент, а к векторному полю - дивергенция): V«; сужение V« на любой страт совпадает с обычным градиентом. В нульмерных стратах Vu полагается равным нулю. Определенная соотношением (6) дивергенция касательного векторного поля на П позволяет определить в пункте 1.9 оператор Ар, являющийся аналогом оператора Лапласа-Бельтрами для стратифицированного множества. На функции и € С2{0,о) оператор Др действует по

правилу Ари = V(pVu). Особенный интерес для нас будет представлять

оператор Lq = Ар — ql. Везде далее предполагается, что р 6 Qo),

q 6 o), inf p > a > 0 (сто - множество точек 0-мерных стратов). ПоУо

Глава 2 посвящена доказательству слабой разрешимости задачи Дирихле для оператора Lq на прочном стратифицированном множестве.

В пункте 2.1 приводится аналог классической теоремы Гаусса - Остроградского на стратифицированном множестве.

Теорема 1 Пусть F £ тогда

J \7Fdn = - J Fv d(i,

fio Silo

где Fv определяется следующим образом:

суммирование производится по всем <Jkj > Ok-\¿, не входящим в 3í)q.

Следующая теорема является аналогом первой формулы Грина для оператора Др :

Теорема 2 Пусть и 6 v € C^fi), тогда

J vApu dfi = — j pVuVu d¡x— J u(pVu)„ dfi. (7)

n0 «о ап0

Из теоремы 2 немедленно следует аналог второй формулы Грина:

Теорема 3 Если и, v £ C2(fi), то

J (vApU - uApv) dfi—J (ti(p\/v)u - v(pVu)v) dp,.

П0 dfl0

Вспоминая, что Lqu — Apu — qu, в силу равенства vLqи — uLqv = vApU — uApv в условиях теоремы 3 имеем

J(vLqu — uLqv) dfi= j (u(pVv)¡, — v(p4u)v) dfx.

По дПа

В пункте 2.4 обсуждается вопрос о слабой разрешимости задачи Дирихле. Требования, накладываемые на р, q и /, существенно ослаблены -предполагается, что p,q,f & (пространство квадратично сумми-

руемых по Лебегу на каждом страте функций). Решение и определяется в. смысле интегрального тождества, которое, как обычно, получается умножением равенства Ари — qu — f на произвольную функцию р € Cq (П) (функцию из С!(П), обращающуюся в нуль на границе), затем интегрированием получившегося равенства и применением формулы (7):

У (pVuVy + qwp)dn = — J ftp dp, (ре C^fi).

По По

На основе левой части последнего тождества определим скалярное произведение в пространстве Cq(Qo)

< u, v >= У Vu • Vv dfi. n

Пополнение C}} (П0) по норме, определяемой этим скалярным произведением, является гильбертовым пространством, мы будем обозначать его

Достаточным условием разрешимости задачи Дирихле является прочность стратифицированного множества - мы называем стратифицированное множество Q прочным, если для любых двух стратов ац и сосуществует прочная цепочка, т.е. связная последовательность стратов (Tfcim,, сгкзт2 • • • > &кртрi обладающая следующими свойствами:

• с*,nt! = аН и СГкрТПр = crmf

С П0 для любого q : 1 < q. < р ;

• для любого q : 1 < q < р либо о*,;, -< <?k,+1iq+l, либо akqiq У a,t,+1,-,+1;

• = 1 для любого q : 1 < q < p.

В доказательстве слабой разрешимости задачи Дирихле основную роль играет аналог неравенства Пуанкаре для прочного стратифицированного множества, рассматриваемый в пункте 2.3.

Теорема 4 Пусть О, - прочное стратифицированное мноо/сество. Тогда существует такая независящая от и константа С, что

J и2 dii< С J {Vufd^i.

П П0

для любой функции и € Яц(Г2).

Доказательство этой теоремы основывается на локальных неравенствах типа Пуанкаре для стратов. Эти вспомогательные неравенства приводятся в следующих трех леммах:

о

Лемма 1 Пусть и б ff*(í2), о*; С По ^ Ujt-ij -< Тогда существует такая независящая от и константа С, что

( \ J u2dn < С J u2dfi + J (Vu)2d/i

Он \Vk-lJ Cki J

Лемма 2 В условиях предыдущей леммы пусть аы С fio и <?k-i,j ~< <?k-i,i Cki- Тогда существует независящая от и константа С такая, что

/ \

J u2d^ < С I J u2d¡j. + J(Vtt)2^ <?k-l,j \"k~ "li j Лемма 3 В условиях леммы 1 существует такая независящая от и константа С, что

J u2dn <СП u2dfj, + I ('vu)2^ .

°k-1.) \<7ki fkt /

С использованием неравенства Пуанкаре в пункте 2.4 была доказана слабая разрешимость задачи Дирихле для прочного стратифицированного множества:

Теорема 5 Пусть Q - прочное стратифицированное множество. Для любого / 6 задача

Lqu(x) = Apw(i) — qu(x) = f(x) x £ Г20, и =0.

an0

«

имеет единственное слабое решение и 6

Оказывается, что оператор —Ьд является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы на В пункте 2.5 была доказана

следующая теорема:

о

Теорема 6 Оператор -Ьч : порождает сильно

непрерывную полугруппу в

В доказательстве этой теоремы были использованы следующие вспомогательные утверждения:

Лемма 4 Пусть иы : ан —> И. - непрерывная функция и ег > 0. Для любой непрерывной функции фм ■ даи -> И такой, что \ф{х)~ггд-,(а:)| < е для х € дяул существует С2-функция Уы, обладающая следующими свойствами:

• — «и(х)| < Зе для любого х &

• \фи{х) — = 0 на границе ой-

Лемма 5 Пусть гг : П н> И - непрерывная функция. Для любого е > 0 существует функция V б С2(Г2) такая, что неравенство

|и(х) — и(х)| < е

верно для любого х £ Q. Следствие 1 Сд(П) плотно в 1^(0).

Теорема 7 Оператор Ьч симметричен и отрицательно определен.

Следствие 2 Оператор Ья допускает самосопряженное расширение по Фридрихсу.

В качестве еще одного приложения неравенства Пуанкаре на прочном стратифицированном множестве в пункте 2.6 приведено доказательство так называемого неравенства Опяля для прочного стратифицированного множества:

Теорема 8 Пусть Q - прочное стратифицированное множество и и : Со(П) —>• R. Тогда существует конечная константа С такая, что

J |u||Vu¡d/x< С J |Vu|2d/i.

По «о

(Здесь значок | имеет разное значение для и и для Vi¿ - для и он обозначает абсолютное значение, для S7u - норму.)

Значительную часть работы занимает обсуждение качественных cboíicti решений неравенства Lqu > 0.

В пункте 3.1 доказывается аналог формулы Грина для случая функции, которая, являясь дважды непрерывно дифференцируемой внутри каждого страта, может не быть непрерывной на всем ÍI. Обозначая "скачки" функции tp на границе страта через j(<p):

j(tp){x) = <р {x)-tp (x) для x £ ai-ij У ery, (-1,1 ij

получаем следующее утверждение

Лемма 6 Для любой функции и £ Cv(O), V £ C^(ßo) ^Ateem место формула

J ipApudfi — - JpVuVipdß- J </?(pVu)„ d/j. + J {j(ip),(pVu)u} dp.

П0 По Silo íl\ak

На основе аналога формулы Грина для разрывной функции на стратифицированном множестве, в пункте 3.2 доказывается слабый принцип максимума для решения неравенства Lqи > 0 на стратифицированном множестве.

Теорема 9 Пусть q £ Ca(Qо) неотрицательна, множество Í2 ориентируемо, тогда для решения неравенства Lqu > 0, и € С2(Г20) П С(й) имеет место соотношение

и(у) < шахи+(г), и+(х) = max{0, и(х)}

для любого у € О,.

Сильный принцип максимума для решения неравенства Lqu > 0 на стратифицированном множестве был доказывается для двумерного стратифицированного множества в пункте 3.4. Точку £ экстремума функции и мы называем точкой нетривиального экстремума, если и const ни в. какой окрестности

Теорема 10 Решение и неравенства Lqu > 0 при q > 0 не может иметь в По точек локального нетривиального неотрицательного максимума.

Доказательство сильного принципа максимума проводилось с использованием леммы о нормальной производной, доказываемой в пункте 3.3.

Теорема 11 Пусть и 6 С2(По)ПС71(П) - решение неравенства Lqu > О, тогда, если хо £ С ЭПо - точка нетривиального максимума, то

в каждом из следующих случаев:

1. q = 0;

2. q > 0, и{х0) > 0,-имеет место неравенство

(pVu)v(x0) < 0.

Это утверждение является точным аналогом классической леммы о нормальной производной. В иных терминах аналогичное утверждение без доказательства приведено в работе О.М- Пенкина1.

Для решений строгого неравенства Lqu > 0 имеет место более сильное, чем сильный принцип максимума, утверждение. Для его формулировки требуется определение точки спуска. Точка £ 6 crki называется точкой спуска, если > и(х) для близких к £ точек из <7/ti и из всех сг*+1 j >- Cki- Точка максимума, очевидно, является точкой спуска; обратное, вообще говоря, неверно - можно лишь говорить о том, что точка

1Пенкип О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе // Докл. РАН. 1997. Т.352, № 4. С. 462-465.

спуска является точкой максимума сужения и на объединение упомянутых стратоз, т.е. точкой относительного максимума. Будем говорить также, что £ - точка спуска неотрицательной высоты, если > 0.

Теорема 12 Пусть q > 0 и Lqu > 0 на Тогда в оы функция и не имеет точек спуска неотрицательной высоты.

Сильный принцип максимума позволяет легко получить аналог так называемой леммы Бохнера, утверждающей, что неравенство Аи > О на компактном римановом многообразии может иметь лишь постоянные решения. В нашем случае аналогом ситуации, рассмотренной Бохнером, является случай = fig. т.е. öfio = 0- В этом случае имеет место

Теорема 13 Пусть Q = ии £ (^(Qq) - решение неравенства Ари > О, тогда и = const и следовательно Ари = 0.

В заключение, автор хотел бы выразить глубокую признательность своим научным руководителям Ю.В. Покорному и О.М. Пенкину за поддержку и помощь в работе. За полезные комментарии и обсуждение результатов работы автор благодарит A.B. Боровских.

Автор выражает благодарность всем участникам семинара по качественной теории краевых задач под руководством Ю.В. Покорного за полезные обсуждения результатов данной работы.

Список литературы

[1] Гаврилов A.A. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве // Тез. докл. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 1997. С. 46.

[2] Гаврилов A.A., Пенкин О.М. Об аналоге леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном мно-

жестве // Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения - VIII". Воронеж, 1997. С. 33.

[3] Гаврилов A.A., Пенкин О.М. О неравенстве Пуанкаре на стратифицированном множестве // Тез. докл. школы "Понтрягинские чте-' ния - XI". Воронеж, 2000. С. 36.

[4] Гаврилов A.A., Пенкин О.М. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, №2. С. 226-232.

[5] Гаврилов A.A., Пенкин О.М. Слабый принцип максимума для эллиптического оператора на стратифицированном множестве. Сборник трудов школы "Понтрягинские чтения - XI". Часть I. Воронеж, ВГУ, 2000. С. 48-56.

Заказ от 16.11 ,2000 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ