О параболическом уравнении на стратифицированном множестве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Постановка задачи

§1.1 Пример задачи, приводящей к параболическому оператору на стратифицированном множестве.

§1.2 Используемые понятия римановой геометрии и основные обозначения.

§1.3 Стратифицированные множества.

§1.4 Координаты на стратифицированных множествах.

§1.5 Стратифицированная мера.

§1.6 Функциональные пространства на стратифицированных множествах.

§1.7 Дивергенция векторного поля на стратифицированном множестве.

§1.7.1 Физическая интерпретация дивергенции.

§1.7.2 Определение дивергенции.

§1.8 Параболический оператор на стратифицированном множестве.

§1.9 Прочные стратифицированные множества

§1.10Аналоги классических интегральных тождеств.

Глава 2. Неравенство Пуанкаре

§2.1 Неравенство Пуанкаре как следствие прочности стратифицированного множества.

§2.2 Прочность стратифицированного множества как следствие неравенства Пуанкаре.

§2.3 Связь прочности и 2-связности стратифицированного множества.

§2.4 Слабая разрешимость задачи Дирихле.

§2.5 Слабая разрешимость задачи теплопроводности.

Глава 3. Принцип максимума

§3.1 Слабый принцип максимума для обобщенных решений

§3.2 Слабый принцип максимума для классических решений

§3.3 Лемма о нормальной производной.

§3.4 Сильный принцип максимума для классических решений

Дифференциальные уравнения на стратифицированных множествах возникают как математическая модель систем, составленных из элементов различной размерности (точечных, линейных, плоских и т.д.). Для нас отправной явилась задача о распространении тепла в системе, составленной из стержней и пластин. Первая же известная нам работа, относящаяся к обсуждаемой нами теме, принадлежит Р. Куранту (см. [35]). В ней изучаются колебания мембраны с прикрепленной к ней струной. Отметим также довоенные работы Л. Коллатца, посвященные вычислительным аспектам проблемы, рассмотренной Р. Курантом (подробно об этом см. [11]).

Новый всплеск интереса к задачам подобного типа относится к началу 80-х годов. Из зарубежных ученых отметим G. Lumer'a (см. [37], [38]), S. Nicaise'a (см. [39], [40], [41]), J. von Below (см. [33], [34]). Результаты этих ученых получены в основном в связи с изучением процесса диффузии в топологических сетях (графах). В основу их подхода положено естественное соображение о том, что каждому элементу системы должно соответствовать одно уравнение классического типа, а учет взаимодействий элементов между собой приводит к дополнительным дифференциальным соотношениям, играющим роль условий согласования (трансмиссии) упомянутых дифференциальных уравнений.

Формализация этого подхода привела к операторной трактовке задачи диффузии с оператором, действующим в так называемых ветвящихся пространствах (ramified spaces). К сожалению, такой подход оказался почти не пригодным для изучения качественных свойств решений.

В нашей стране в работах Ю.В. Покорного и его учеников (см. [27], [28], [29]), В.В. Жикова и его учеников (см. [7], [8], [9]) и работах О.М. Пенкина (см. [24], [43]) был предложен иной подход, основанный на другом естественном предположении, а именно, что все дифференциальные соотношения, в том числе и условия согласования, являются отражением одного и того же физического закона (например, закона Фурье и сохранения тепла в задаче о распространении тепла; закон Гука в задаче о деформациях в системе, составленной из упругих элементов). Поэтому должен существовать специальный формализм, в рамках которого упомянутый набор дифференциальных уравнений можно интерпретировать в виде одного дифференциального уравнения.

Этим формализмом оказалось дифференцирование по "стратифицированной" мере. В терминах этой меры было введено понятие дивергенции, а вместе с ней и лапласиан на стратифицированном множестве. В.В. Жикову использование такой идеологии позволило существенно продвинуться в развитии методов усреднения. Теперь этот подход работает и в случае, когда усредняемый оператор действует на множестве, не являющимся многообразием (на сингулярной структуре).

О.М. Пенкину этот формализм позволил продвинуться в изучении качественных свойств эллиптических краевых задач и эллиптических неравенств на стратифицированных множествах.

Кроме того, в теории уравнений на стратифицированных множествах иногда удается интегрировать разрозненные на первый взгляд результаты. Оказывается, например, что классическая задача Неймана может быть интерпретирована как уравнение (без краевых условий) на стратифицированном множестве; задача Зарембы в области может быть интерпретирована как задача Дирихле на стратифицированном множестве. То же самое относится и к задаче Вентцеля, ее тоже удается интерпретировать как уравнение (без краевых условий) на стратифицированном множестве. И эта интерпретация не является чисто формальной.

Рассмотрим, например, неравенство

Ли > О на сфере; пару неравенств а также Аи>0, д2и ди ^ дт2 ди ~~ в круге и на границе круга.

Во всех трех случаях решениями этих неравенств оказываются только константы. В первом случае соответствующее утверждение является леммой Бохнера. В действительности все эти утверждения удается собрать в одно неравенство А и > 0, где оператор Д - оператор Лапласа-Бельтрами на стратифицированном множестве О с пустой границей. Аналог леммы Бохнера на стратифицированном множестве содержит все предыдущие утверждения (см. [26], [25]).

Данная работа посвящена, главным образом, изложению результатов о слабой разрешимости задачи теплопроводности на прочных стратифицированных множествах, усилению полученных ранее результатов других авторов о разрешимости эллиптических краевых задач, изложению качественных свойств слабых и классических решений параболических неравенств.

Ключевые моменты этой работы выделим в следующие несколько пунктов:

• выделен важный класс прочных стратифицированных множеств, для которого постановки краевых задач выглядят наиболее корректным образом;

• доказано, что прочность стратифицированного множества является необходимым и достаточным условием для выполнения неравенства Пуанкаре на стратифицированном множестве;

• получены результаты о разрешимости задачи теплопроводности и задачи Дирихле в пространствах соболевского типа;

• доказан слабый принцип максимума в общем случае для обобщенных и классических решений параболических неравенств на прочных стратифицированных множествах;

• для двумерных стратифицированных множеств получен аналог леммы о нормальной производной и на его основе доказан сильный принцип максимума для классических решений параболических неравенств.

Теперь перейдем к краткому описанию полученных результатов по главам этой работы.

В первой главе, имеющей вводный характер, обсуждаются основные понятия и определения, используемые в диссертации. Наиболее важными являются понятия стратифицированного множества и аналога оператора Лапласа-Бельтрами на таких множествах, введенные О.М. Пенкиным (см. [25], [26]), а также понятие прочного стратифицированного множества.

В §1.1 в качестве примера задачи, приводящей к параболическому уравнению на стратифицированных множествах, рассмотрена задача о распространении тепла в системе, составленной из стержней и пластин. На элементах рассматриваемой системы в силу закона сохранения тепла получаются дифференциальные уравнения различного типа в зависимости от характера соединения с другими элементами.

В §1.2 напоминаются некоторые понятия из римановой геометрии, центральным из которых является определение римановой метрики (точнее, метрического или фундаментального тензора). Эти определения оказываются существенно необходимыми при определении дивергенции касательного векторного поля и эллиптического и параболического операторов на стратифицированных множествах (§1.7.2 и §1.8).

В §1.3 дается определение стратифицированного множества. Множество С Кп называется стратифицированным, если существует стратификация} т.е. набор замкнутых множеств

Пк° с С • • • С Пкр = П (0 < ко < ki <■■■ < кр), удовлетворяющий следующим условиям:

1. Qhi \ Q^-1 - гладкая поверхность в Rn размерности kf, её связные компоненты называются стратами размерности kf;

2. граница дам — \ °ы любого страта ненулевой размерности является объединением стратов меньшей (чем к) размерности. Запись

-< ami далее означает примыкание страта а¡j к ami, т.е. оц С ami\

3. если страт ам примыкает к ak+ij и X Е ам, а Y Е сгк+ij приближается к X по некоторой непрерывной кривой, расположенной в cr^+ij, то касательное пространство Tyak+ij имеет предельное положение lim TYak+ij, содержащее Txcrki.

Y—уХ

Предполагается, что Q - связное и состоит из конечного числа стратов, которые имеют компактные замыкания, допускают введение глобальных координат и являются ориентируемыми многообразиями. Вместе с множеством Q фиксируется связное, открытое, состоящее из стратов подмножество Qo С Г2 такое, что = О. Граница сЮо множества определяется как д&о = £1\Qq. На множестве Qq будут задаваться уравнения, а на д&о - краевые условия.

§1.4 посвящен введению координат на стратифицированном множестве. Координаты на П задаются локально для каждой пары стратов (<jjtij,<jfcj) таких, что o-fc-ii -< (Jkj5 следующим образом: сначала задаются х1,., хк~г на а^-И) а затем хк таким образом, чтобы хк = 0 на аk—и и хк > 0 на akj. В случае, когда к страту at-u не примыкает ни одного fc-мерного страта, но примыкают страты размерности большей к, для каждого страта ak+mi, примыкающего к а^-и, дополнительно вводятся координаты хк, хк+1, . хк+т, которые обращаются в нуль на а^-ч и положительны на ak+mi

Мера на стратифицированном множестве обсуждается в §1.5. Подмножество со С ^ называется измеримым по мере /¿, если все пересечения вида со П ст/и являются измеримыми по соответствующей ^-мерной мере

Лебега. В этом случае мера подмножества со полагается равной П

СГкгС П

Функциональные пространства, используемые в работе, приведены в §1.6. Для функций и(Х^), определенных на Г2 х [О, Т], принадлежность классу (А, В) означает принадлежность А по переменной X С при фиксированной второй переменной и множеству В по переменной I при фиксированном X.

Основную роль в работе играет пространство С™(По) - пространство таких функций что их сужение на страт а и имеет непрерывные частные производные в локальных координатах до порядка т включительно; кроме того, мы предполагаем, что производные первого порядка допускают продолжение по непрерывности на каждый страт (Т}^-!] Для всех стк-у С О0- Ст(П0) = СЛЗД П С(ЗД

С™ (По) ~ класс функций и € Ст(По), обращающихся в нуль на сЮо-Пространства С™(О,), Ст(П) и Сд^П) определяются аналогично. Помимо этого рассматриваются пространства о) - пополнение С(По) по норме, порожденной скалярным произведением (и,ь) =

П0 о

Яд(^о) - пополнение Сд(По) по норме, порожденной скалярным произведением < и, V >= f иу + / \7uVv ¿¡л.

По По

Одно из основных понятий - понятие дивергенции касательного векторного поля на стратифицированном множестве - рассматривается в

§1.7. Векторное поле F на О будем называть касательным, если для X Е сгкъ выполняется включение Р{Х) б Тх&ы- Определяя дивергенцию касательного векторного поля как плотность потока поля по мере /¿, в §1.7.2 приходим к определению дивергенции касательного вектор 1 —* ного поля на Г2о- Если F £ С^(Оо) (т- е- сужение ^ на любой страт имеет непрерывные частные производные первого порядка в локальных координатах, допускающие продолжение по непрерывности на все приа мыкающие страты из Г2о)> то дивергенцией ^ в точке X € сгк-и будет называться уР)(Х) = (Чк-1Р)(Х)+ £ (Р.^ху, (1)

0'kj>■0'k-li здесь Р - единичная нормаль в точке ж, внутренняя по отношению к сг^, а / ^ обозначает продолжение по непрерывности на а^ сужения / на <7^- (такое продолжение существует ввиду того, что Ё Е С*(Г2о), и страты примыкают друг к другу регулярно). Суммирование в выражении (1) происходит по всем стратам ок которым примыкает сгк-и ~ если таковых не имеется, то сумма считается нулевой; вообще в работе пустые суммы считаются нулевыми. Первое слагаемое в правой части (1) представляет собой классический (к — 1)-мерный оператор дивергенции на многообразии сгк-и (в нульмерных стратах значение дивергенции полагается равным нулю).

Градиент функции и Е С2(О,о) определяется на Г2о постратно и обозначается тем же символом, что и дивергенция (мы следуем обозначениям, принятым в физике - V, примененный к функции есть градиент, а к векторному полю - дивергенция): Vи; сужение Х7и на любой страт совпадает с обычным градиентом. В нульмерных стратах Чи полагается равным нулю.

Определенная соотношением (1) дивергенция касательного векторного поля на П позволяет определить в §1.8 оператор Др, являющийся аналогом оператора Лапласа-Бельтрами для стратифицированного множества. На функции и е С2(П0) оператор Ар действует по правилу Ари = \7(рЧи). Определим также оператор Ьч = Др — д/. Везде далее предполагается, что р £ С£(Г£о)> Я. £ СЛ^о), кроме того либо р > Ро > О, либо = 0 на каждом страте. Далее везде также предполагается, что коэффициент д тождественно равен нулю одновременно с коэффициентом р.

Основной интерес для нас будет представлять параболический оператор, который определяется с помощью введенного выше эллиптического д оператора как Ач = Ьч — — на функциях и(Х,£) £ (С2(0,о),С1(0]Т}) и

С/6 является аналогом обычного оператора теплопроводности.

В §1.9 вводится ключевое для данной работы понятие прочного стратифицированного множества. Для этого нам удобно разбить множество всех стратов на два класса:

• собственные: страты для которых р > ро > 0;

• несобственные: страты сг^, для которых р = 0.

Хотя коэффициент р не определен на дО*о, граничные страты считаются собственными. Множество собственных стратов, входящих в будем обозначать 7-Шо

Определение 1 Пару примыкающих стратов сг^, <тт^ £ О, будем называть прочно примыкающей, если сгы £ 7Шо и выполняется:

• размерности стратов отличаются на единицу, т.е. \к — т\ = 1;

• если су ту - несобственный, то к — т = 1.

Определение 2 Для двух стратов £ О соединяющую их связную цепочку стратов а^ = сг^ь, ®к2%<1-> ■■■■>сгк11 = где либо

-< окр+х1р+1, либо акр1р У Окр+1гр+1, назовем прочной, если любые два соседние страта в цепочке прочно примыкают друг к другу.

Определение 3 Стратифицированное множество О, будем называть прочным, если любой страт а^ £ ^о можно соединить с каким-либо стратом <гт^ £ прочной цепочкой стратов.

В противном случае будем называть множество непрочным. В §1.10 приводятся аналоги формулы Гаусса-Остроградского и формул Грина на стратифицированном множестве (см. [25], [26]).

Глава 2 посвящена неравенству Пуанкаре, доказательству слабой разрешимости задачи Дирихле и слабой разрешимости задачи теплопроводности на прочном стратифицированном множестве.

В §2.1 показывается, что прочность стратифицированного множества является достаточным условием для выполнения неравенства Пуанкаре.

Теорема 1 Пусть П - прочное множество. Тогда для любой функции и ЕН ¿(По) существует константа С, зависящая только от По тпакая, что выполняется неравенство Пуанкаре

В §2.2 показывается, что прочность стратифицированного множества является также и необходимым условием для выполнения неравенства Пуанкаре. Для доказательства этого факта для любого непрочного стратифицированного множества показывается существование такой последовательности функций (рп £ Ср (По), что

Таким образом, доказывается следующая теорема: о

Теорема 2 Для любой функции и Е.Н ¿(По) неравенство Пуанкаре (2) выполняется тогда и только тогда, когда П - прочное множество.

В §2.3 устанавливается связь прочности стратифицированного множества и его 2-связности. Понятие р-связности было введено В.В. Жиковым в работе [8]. Для р-связных множеств при р = 2 также выполняется неравенство Пуанкаре.

Определение 4 Стратифицированное множество будем называть 2-связным, если для любой функции и £ Я^(По) из равенства Vu = О п.в. на 'НПо следует, что и = const п. в. на По

Связь между этими понятиями устанавливает следующая о

Теорема 3 Пусть стратифицированное множество П - 2-связно, тогда оно является прочным.

В этом пункте также приведен пример, показывающий, что обратное утверждение не верно.

В §2.4 обсуждается вопрос о слабой разрешимости задачи Дирихле. Требования, накладываемые на р) д и /, существенно ослаблены - предполагается, что р, д, / (Е (пространство квадратично суммируемых по Лебегу на каждом страте функций) и обращаются в нуль на несобственных стратах. Решение и определяется в смысле интегрального тождества, которое, как обычно, получается умножением равенства Ари — ди = / на произвольную функцию (р 6 Со(^) (функцию из С1^), обращающуюся в нуль на границе), затем интегрированием получившегося равенства и применением первой формулы Грина:

На основе левой части последнего тождества определим скалярное произведение в пространстве Сд(По)

Пополнение Сд(По) по норме, определяемой этим скалярным произведением, является гильбертовым пространством, мы будем обозначать его

С использованием неравенства Пуанкаре в §2.4 была доказана слабая разрешимость задачи Дирихле для прочного стратифицированного множества:

Теорема 4 Пусть П - прочное стратифицированное множество. Для любой функции / 6 задача и, у] = J (рЧиУи 4- диу) с?//. П0

Ьчи(Х) = Ьри{Х) - ди(Х) = ¡(X) X е По, и = О

ЭПо и имеет единственное слабое решение и £ q).

В §2.5 доказывается существование обобщенного решения задачи теплопроводности

Lqu-^)(X,t) = f(X,t), и(Х, 0) = ф(Х), u(X,t)\xedn0 - О, о при / £ (L2(Qо), L2(0,T)), ф £ Hl(&o,P,q)- Здесь предполагается, как и выше относительно q, что / = 0 на несобственных стратах.

Слабым решением будем называть функцию u(X,t) £ Т)), удовлетворяющую следующему интегральному тождеству:

Т т j J (p^uSJv + quv — dtdfj, — J фидц = — j J fvdtd/j,, fio 0 í)0 fio 0 для любой неотрицательной функции v £ (Cq(Q,o), C^jO, T]), кроме того, v — 0 на верхней крышке параболической области Qq х {t = Т}.

Для доказательства существования слабого решения были доказаны следующие вспомогательные утверждения:

Теорема 5 Пространство Cq(í2q) плотно в L2(Q,о) по норме последнего.

Теорема 6 Оператор Lq является симметрическим в о).

Теорема 7 Для q £ L2{üо), q(x) > 0 оператор Lq является отрицательно-определенным. о

Теорема 8 Оператор —Lq : (?) 1^(0), при тех же предположениях на р и q, что и выше, порождает сильно непрерывную полугруппу в L2 {Q).

Слабая разрешимость задачи теплопроводности является стандартным следствием теоремы 8.

Значительную часть работы (глава 3) занимает обсуждение качественr dv ных свойств решений неравенства L„u —— > 0. at

В §3.1 доказывается слабый принцип максимума для обобщенных решений параболических неравенств на стратифицированных множествах. о

Теорема 9 Пусть функция и Е (Н^, L2(0,T)) в обобщенном смысле ди ди удовлетворяет неравенству LQu —— > 0 (Lqu —— < 0) в Q. Тогда at at sup и < sup u+

Qox(0 ,T] d%x{0,T}unox{t=0} inf U > inf U+). nox(0,T] <9nox[0,T]unox{£=0}

В §3.2 доказывается слабый принцип максимума для классического решения неравенства L„u — — > 0 на стратифицированном множестве, at т. е. для решения неравенства из (С2 (По), С1^» Т]).

Теорема 10 Пусть функция и Е (С2(По), Сг(0, Т]) - решение неравен-д cmea Lq — — > 0 и q(X, t) > 0 на По х (0, Т). Тогда

СJ ь и(Р) < max u+(Q)

Sn0x[0,T]ur20x{i=0} для любого Р = (X,t) Е П0 х (0,Т]. Здесь u+(Q) = max{0,w(Q)}.

Для доказательства сильного принципа максимума в §3.3 доказывается аналог леммы о нормальной производной. В точке X Е &к-и С DQq аналогом нормальной производной по пространственной переменной следует считать выражение (pVu)v(X, t).

Лемма 1 Пусть функция и Е (С2(Г20),С1(0,Т]) - решение неравен-ди ства Lqu — — > 0 при q > 0 в По х (0, Т] и q > 0. Пусть точка Pq = (Xo,to), принадлежащая боковой поверхности дП0 х [0 ,Т), является точкой нетривиального неотрицательного максимума. Тогда (pVu)v(Xо, ¿о) < 0; если это выражение существует.

Сильный принцип максимума для решения неравенства Lqu > 0 на стратифицированном множестве доказывается для двумерного стратифицированного множества в §3.4. Будем называть X точкой нетривиального максимума функции и, если, во-первых, X - точка максимума, а во-вторых, и не является константой ни в какой окрестности этой точки.

Теорема 11 Пусть функция и Е (С2(Qo), C1^'^1]) - решение неравен-ди ства Lqu — — > 0 при q > 0. Тогда и не может иметь в По х (0,Т] точек локального нетривиального неотрицательного максимума.

Основные результаты диссертации опубликованы в [14] - [20] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 2000 - 2002 гг, на научной сессии ВГУ в 2000 - 2002 гг, на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством профессора Ю.В. Покорного в Воронежском госуниверситете в 1999-2001 гг, на XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 2001 г, на XXIV конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 2002 г, на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством профессора В.В. Жикова во Владимирском государственном педагогическом университете в 2002 г, на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале в 2002.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 19 параграфов, и списка литературы из 44 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 93 страницы машинописного текста. Текст иллюстрируют 16 рисунков.

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. - М.: Наука, 1966. 544 с.

2. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М., Наука, 1966. 352 с.

3. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физико-математическая литература, 2000. 400 с.

4. Гаврилов A.A., Пенкин О.М. Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, №2. - С. 226-232.

5. Гилбарг Д., Трудингер Н. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка. М.: Наука, 1989. 464 с.

6. Данфорд Н., Шварц Д. Линейные операторы. Спектральная теория. М., Мир, 1966. 1064 с.

7. Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник O.A. Усреднения дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993. 464 с.

8. Жиков В.В. Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости // Математический сборник. 1996. - Т.187, № 8. - С. 3-40.

9. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмас-штабной сходимости // Математический сборник. 2000. - Т.191, №7. - С.31-72

10. Иосида К. Функциональный анализ. М.:Мир, 1967. 624 с.

11. Коллатц Л. Задачи на собственные значения- М.: Наука, 1968. 504 с.

12. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Кан Нго Зуй. Операторные методы в линейной гидродинамике. М.: Наука, 1989. 416 с.

13. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустылъник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. 500 с.

14. Куляба В.В., Пенкин О.М. О принципе максимума для параболических неравенств на стратифицированных множествах // Тезисы докладов XI школы "Понтрягинские чтения: Современные методы в теории краевых задач" Воронеж: Изд-во ВГУ, 2000. - С. 96.

15. Куляба В. В. Неравенство Пуанкаре на прочном стратифицированном множестве // Современные методы в теории краевых задач. "Понтрягинские чтения XII". Тезисы докладов (дополнительный выпуск). - Воронеж, 2001. С. 189.

16. Куляба В. В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах // Современные проблемы теории функций и их приложения. Тезисы докладов 11-й Саратовской зимней школы. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2002. - С. 114-115.

17. Куляба В. В. Принцип максимума для обобщенных решений параболических неравенств на стратифицированных множествах // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Тезисы докладов. Владимир: ВлГУ, 2002. -С. 94-95.

18. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971. 288 с.

19. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.

20. Очап Ю.С. Методы математической физики. М.: Высшая школа, 1965. 384 с.

21. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе // Доклады РАН. 1997. -Т.352, № 4. - С. 462-465.

22. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О дифференциальных неравенствах для эллиптических уравнений на сложных многообразиях // Доклады РАН. 1998. - Т.360, № 4. - С. 456-458.

23. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О несовместных неравенствах для эллиптических уравнений на стратифицированных множествах // Дифференц. уравнения. 1998. - Т.34, № 8. - С. 1107-1113.

24. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах // Успехи матем. наук. 1987. - Т.42, № 4. - С. 128-129.

25. Покорный Ю.В. О краевых задачах на графах // Численные методы и оптимизация. Материалы IV симпозиума АН ЭССР. Таллин, 1988. С. 158-161.

26. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения для уравнений на графах // Дифференц. уравнения. 1989. - Т.25, № 7. - С. 11411150.

27. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976. 319 с.

28. Фам Ф. Введение в топологическое исследование особенностей Ландау. М.: Мир, 1970. 184 с.

29. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. Т.4. 262 с.

30. J. von Belovo. Classical solvability of linear parabolic équations on networks // J. Diff. Eq. 72. 1988. - P. 316-337.

31. J. von Below. Kirchhof! laws and diffusion on networks // Lin. Alg. Appl. 121. 1989. - P. 692-697.

32. Courant R. Über die Anwendung der Variationrechnung in der Theorie der Eigenschwingungen und über neue Klassen von Funktionalgleichungen // Acta math. 40. 1926. - P. 1-68.

33. A.Gavrilov, S.Nicaise, 0.Penkin. Poincaré's inequality on stratified sets and applications. Rapport de recherche 01.2, Université de Valenciennes, Février 2001. P. 1-20.

34. Lumer G. Espaces ramifés et diffusion sur les réseaux topologiques // C.R. Acad. Se. Pans, Série A, 291. 1980. - P. 219-234.

35. G. Lumer Connecting of local operators and évolution équation on network // L. N. in Math., 787, Springer Verlag. 1980. - P. 219-234.

36. Mercier D., Nicaise S. Existence results for general systems of differential equations on one-dimensional networks and prewavelets approximation // Discrete and Continious Dynamical Systems. 1998. - Vol. 4, m 2. - P. 273-300.

37. Nicaise S. Estimées du spectre du laplasien sur un réseau topologique fini // C.R. Acad. Sci. 1986. - V. 303. - P. 343-346.

38. Nicaise S. Le Laplasien sur les réseaux deux-dimensionels polygonaux topologiques // J. de Math. Pures et Appl. 67. 1988. - P. 93-113.

39. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations. Springer-Verlag, 1983. 279 P.

40. O.M. Penkin. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions // Partial differential equations on multistructures, F. Ali Mehmeti, J. von Below and S. Nicase eds. -Marcel Dekker, 2001. P. 183-191.

41. I. Rubinstein, L. Rubinstein Partial differential equations in classical mathematical physics. Cambridge University press, 1998. 677p.