Метод Пуанкаре-Перрона для эллиптического уравнения на стратифицирвоанном множестве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Беседина. Светлана Владимировна

МИОД ПУАНКАРЕ-ПЕРРОНА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО > РАВНЕНИЯ НА СТРАТИФИЦИРОВАННОМ МНОЖЕСТВЕ

0] 01 02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2007

003071703

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель доктор физико-математических наук

профессор Пенкин Олег Михайлович-

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Сапронов Юрий Иванович

доктор физико-математических нэух, доцент Ляхов Лев Николаевич

Ведущая организация Саратовский государственный университет

Защита состоится 29 мая 2007 г в 15 40 на заседании диссертацио'шою совета К 212 038 05 при Воронежском государственном университете по адресу 394006, г Воронеж, Университетская плошадь, 1, В ГУ, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского госу/дэ-ственного университета

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета К 212 038 05, доктор физико-математических наук,

профессор

Гликлих Ю Е

Акт}ачьность работы

К уравнениям на стратифицированных множествах приходят в результате изучения физических систем составного типа, имеющих разные размерности и различные физические характеристики, в частности разные элементы могут иметь разную плотность Стратифицированное множество является геометрической моделью такой системы Примером является задача о малых перемещениях системы, составленной из струн и мем-Срап, другой пример - диффузия в слоистой среде, слои которой могут имогь разные коэффициенты диффузии и разные размерности

Урагненпя на стратифицированных множествах позволяют по-новому взглянуть на результаты классической теории дифференциальных уравнений Например, в рамках теории уравнений на стратифицированных множествах задачи Дирихле и Зарембы оказываются одинаковыми по методу hi следования Тем самым, вместо нескольких теорем, описывающих одно и то же качественное свойство, которое относится на первый взгляд разным задачам, можно получить одну теорему Кроме того, в некоторых случаях рассмотрение задачи как задачи на стратифицированном множестве позволяет упростить некоторые построения

Но конца 70-х годов исследованию поведения систем составного типа посвящены лишь отдельные работы Одной из первых была работа Куранта (1926 г J посвященная изучению колебаний мембраны, ко внутренней части которой прикреплена натянутая струна В 70-е годы появляются работы Lumei 'а а позднее работы S Nicase и J Von Bellow ЮВ Покорным и его учениками изучаются упругие системы, составленные из конечного числа струн О М Пенкиным и его учениками изучаются структуры, состав ченные из струн и мембран В какой-то степени к рассмотренной тематике можно отнести работы В В Жикова, О А Олейника, А С Шамаева по методу усреднения Некоторые работы С JI Соболева и Б Ю Стернина посвящены задачам, где стратифицированную структуру имеет граница Эти работы продолжены С А Назаровым и Б А Пламеневским

Данная тематика особенно интенсивно развивается в последнее время Цепь раооты

Целью данной работы является постановка краевых задач на страти-

фицированном множестве для случая, так называемого, мягкого Лапласиана, получение результатов о разрешимости этих задач и распространение метода Пуанкаре-Перрона на эллиптические уравнения на стратифицированном множестве Изучение свойств гармонических и субгармонических функций на стратифицированном множестве Научная новизна

В работе исследованы свойства гармонических и субгармонических функций для систем составного типа Получено фундаментальное оеше-ние для стратифицированного шара и аналог формулы Пуассона Доказан аналог классической теоремы о среднем, неравенство Харнака и ст>,,дст»ия из него Доказано существование классического решения на етрагьфиш:-рованном множестве

Основные результаты работы являются новыми Теоретическая и практическая значимость

Работа носит теоретический характер Полученные в ней р^-ачыагг' могут быть использованы в математической физике, теории ^иффер-и-циальных уравнений с частными производными Разработанная мето щкл может быть использована при изучении систем составного типа Апробация работы

Основные результаты опубликованы в [1-10] Они докладывались и об суждались на Воронежских зимних и весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач", международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале, конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова, конференции И Г Петровского (МГУ) Из совместных работ [1], [2], [4] в диссертационную работу вошли только результаты, полученные диссертантом Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, объединяющих в общей сложности 17 пунктов, и списка цитируемой литературы из 53 наименований Общий объем диссертации - 91 стр

Первая глава работы посвящена постановке задачи, определению стратифицированного множества и необходимых для дальнейшего исс ледова-

ния понятий Вводится ряд ограничений на геометрию множества, главным из которых является то, что страты должны быть плоскими и "прочно" примыкать друг к другу

Во второй главе определяются понятия р-гармонических и р-субгармо-нических функций Исследуются свойства данных функций на рассматриваемом множестве Приводится формула для фундаментального решения и формула Пуассона Исходя из них удается доказать свойства р-гармонических и р-субгармонических функций на стратифицированных множествах, необходимых для реализации метода Пуанкаре-Перрона

В третьей главе приводится реализация метода Пуанкаре-Перрона сначала для случая, когда множество состоит из прямоугольных ячеек в К2, а затем для специального класса стратифицированных множеств

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, формулируется цель работы, описана ее структура, изложены основные научные результаты

Первая глава посвящена постановке задачи и определению основных понятий, которые используются в дальнейшем Вводится понятие стратифицированного множества и оговариваются ограничения, которые накладываются на его структуру

Можно дать следующее определение стратифицированного множества Будем называть стратифицированным множеством тройку гДе

Г2 - связное подмножество К", набор его подмножеств (стратов ит;, где ж- размерность страта, ] - его порядковый номер), а <р - отображение, описывающее "способ связки" Г2 из элементов системы Размерность стратифицированного множества П будем обозначать (I - это максимальная размерность стратов, из которых состоит множество

Считается, что замыкание страта компактно В главе вводится понятие стратифицированной меры, как сумма мер по стратам, и интеграла на стратифицированном множестве

Далее обсуждаются ограничения, накладываемые на структур стратифицированного множества, обеспечивающие классичекую разреши-

мость задачи Дирихле Во первых, мы считаем, что множество fi сото-ит из "плоских" стратов, то есть рассматривается множество, состоящее из многогранников Требуется, чтобы рассматриваемое множество было усиленно прочным, то есть, чтобы для любого страта размерноси к, где к < d — 2, существовала сколь угодно малая окрестность U страта сть, такая что множество U \ crkt является связным Рассматриваемый нами Лапласиан имеет вид

Ари = V(pVu),

где Vu - поле градиента непрерывной на fi функции, непрерывно дифференцируемой в каждом страте, а внешний значок означает взятие дивергенции по упомянутой стратифицированной мере Во всей работе предполагается, что р - так называемая "стратифицированная константа", то есть ее сужение на каждый страт является постоянной функцией При этом р отлична от нуля (точнее положительна) только на стратах старшей размерности Такой Лапласиан Др называется в работе мягким

Геометрия стратифицированного множества может быть достаточно сложной При этом в целом, как правило, оно не является многообразием даже локально Поэтому нет возможности ввести координаты на всем множестве В результате этого в работе вводятся координаты автономно на каждом страте, специальным образом согласованные в местах примыкания Отметим, что в дальнейшем используется следующие обозначения заглавными буквами обозначаются точки стратов (X точка страта сть), ей соответствуют локальные координаты а;1, ,хк

Для постановки краевых задач удобно разбить множество fi на части А именно, через ñjCfi обозначим любое связное открытое подмножество fi (топология на fi индуцирована из R"), составленное из стратов и такое что fio — Разность Q\Í20 обозначим 8Q это граница fio Мы будем предполагать, что сЮо Ф 0

На fi0 задается оператор Лапласа, на 3fi0 - краевые условия Заметим, что при наложенных на рассматриваемое множество ограничениях оператор Лапласа на стратах максимальной и на единицу меньшей размерности будет иметь соответственно следующий вид

ргАи = 0,X G <Тф,

(1) (2)

Cáj^d-u

где I- нормаль к сг^-и в точке X направленная внутрь <тф, <1- размерность множества, на котором задается оператор

На стратах меньшей размерности дифференциальных соотношений нет, имеется лишь условия непрерывности На задается задача Дирихле

В дтлнои работе исследуется вопрос о существовании классического решения поставленной задачи Решение ищется в классе функций С^(П) - непрерывных на П функций, имеющих непрерывные вторые производные внутри стратов, причем первые производные существуют вплоть до граничных стратов страта o>j, лежащих в fio

Во второй главе формулируются и доказываются теоремы, которые позво пят в дальнейшем применить метод Пуанкаре-Перрона Даются определения р-гармонической и р-субгармонической функций и исследуются их свойства на множестве П

Определение 2 2 1 Функция и 6 С^(П) заданная на По называется р гармонической, если она удовлетворяет уравнению

на ílot где оператор Ар определяется исходя из формулы (1), (2)

В связи с достаточно сложной структурой рассматриваемого множества приходится ввести ограничение на радиус рассматриваемых шаров, поэтому вводится понятие допустимого шара Пусть X € <?k-h и г > О нр превосходит расстояния от X до всех стратов crk] >- не содер-

жащих. X в своих замыканиях (такие г назовем допустимыми, шары с 1аким радиусом так же будем называть допустимыми) Тогда пересечение

Ари = О, X б П0, и !an0~ V

(3)

(4)

А „и = О

шара В(Х,г) С Ж." с Г2 будем называть стратифицированным шаром и обозначать В{Х,г) Аналогично определяется стратифицированная сф^ ра S(X, г) Сферу S(X, г) так же можно рассматривать как стратифицированное множество, считая ее (<i — 1)-мерными стратами пересечение S(X, г) Г) Od3 — Sf~l Меру ц на S(X, г) определяем так же как и выше Многие результаты для р-гармонических функций, в частности теорема о среднем и фундаментальное решение, получены в шаре

Определение 2 2 2 Непрерывная функция и(Х) заданная на Г2о >а-зываетпся р-субгармонической, если она удовлетворяет условию

и(Е)<-^=-,ддг ^ i pu(X)d&r, ic>)

Л Рг^(дВг(=.,г)) J В,(В,г) дБ(Е,т)

где р — ри если X е Вг(е, г) = В(Б, г) п сгл

Теорема 2.3.1(Теорема о среднем) Пусть В(Е, r)~ простс 'J стратифицированный шар, и{Х)- р-гармоническая функция, тогда cnpautd-ливо следующее равенство

U{E)= Е PJoBl(E,r)) / Pu{X)dS-

B,(Z,r) 0B(E,r)

где р = рг, если X £ adl, Вг(Е, г) = В(Е, г) П сгЛ

На основании теоремы о среднем доказывается ряд важных свойсгв для р-гармонических и р-субгармонических функций

Например, следующая теорема представляет строгий принции максимума

Теорема 2 4.1 Если и - р-гармоническая в По функция, то она н< может иметь нетривиальных локальных экстремумов в fio

При этом X называют точкой нетривиального локального экстремума функции и, если, во-первых, это точка локального экстремума, а во-вторых, и не постоянна ни в какой окрестности точки X Сразу, как следствие, получаем следующую теорему Теорема 2.4.2 Задачи Дирихле (3)(4) имеет не более одного решетя в классе C%(Q)

Кроме этого удается доказать следующие свойства р-гармоническил и р-субгармонических функций

Теорема 2.4.3 Если и р-субгармоническая функция, то она не имеет внутри этого множества точек нетривиального максимума

Теорема 2.4 4 Если Vi, г>2, vn- р-субгармонические функции в области Q, то функция v = max(vi,i>2, ,vn) так оке р-субгармоническая

Определение 2.4 1 Пусть и непрерывна на Q и В = В(Х,г) - допустимый шар (X £ Г2) Через МвТ[и] обозначим функцию, которая совпадает с и вне шара, а в шаре является решением задачи Дирихле

Та^ая функция называется "р-гармонической срезкой " функции и

Теорема 2 4 5 Пусть и р-субгармоническая функция, тогда Мвг[и] также р-субгарионическая, причем для любого X £ О. будет выполнено

Теорема 2.4.6 Если последовательность непрерывных в некоторой ю мкнутой ограниченной области К и р-гармонических в этой области функций равномерно сходится на границе области, то она так же равномерно сходится на всей рассматриваемой области

Важную роль в реализации метода Пуакаре-Перрона играет фундаментальное решение для допустимого шара, центр которого лежит в страте максимальной или на единицу меньшей размерности Функцию С(Х, У) определим следующим образом

где х получается из х заменой хй на — ха, то есть х является отражением та Р; - сумма всех р: (у ф соответствующих всем <Тф >- аа-и Мы полагаем Р; = 0, если к <тсг_1г примыкает только один ¿-мерный страт Положим также Р — Р1+Р1 Через К (х, у) обозначена классическая функция Грина задачи Дирихле в обычном ¿-мерном шаре В(Е, г) С М".

Apv = О v \дв— и

МБг[и}{Х) > и(х)

К{х, у)

xeBj {3 £ Ви

К сожалению, для шаров с центрами в стратах размерности й — 2 и меньше найти формулу не удалось

В случае <1 = 2 проблему представляют лишь сферы с центрами р нуль-мерных стратах Имеются некоторые случаи, когда мы все равно жем предъявить формулу для фундаментального решения Например, или шар состоит из секторов кр}га с углами 90° и центр шара не явтяо'.ся внутренним стратом формула имеет вид

С(Х,Г)

, Р1 + ТУI **-\Р1 ~ Р1 ТУ"I -- V V - П + -К(х,у**)-~---К(х,у),Х,У П В[

2р1 2рг

К(х,у*)+К(х,у),Х ЕВ] ЬФ1),УеВи

где £ = (уьуг), У** = (—2/1» Уг), У* = (Уъ -Уг), У={~У\ ~Уг) В результате имеем следующую теорем}'

Теорема 2.6.1 0(Х,У) — -рС(Х,У) является фундаментальным решением оператора Др в шаре В(Е,г)

Заметим, что если отправляться от функции Грика опергтора Лагыо-са, то (3 так же будет функцией Грина В этом случае получаем аналог формулы Пуассона для решения задачи Дирихле (3),(4) в таре

1(Х) = - I р <р(У)

дО(Х,У) ,

--5-а(' >

01'

где р = рг на сг¿г

На основании сформулированных выше теорем удается доказать сферический аналог неравенства Харнака для допустимых шаров, на основании которого доказывается теорема о равномерной сходимости р-субгарм > нических функций

Теорема 2.7.1 Пусть и - неотрицательная на По р-гармоническая функция и В(Е, К) С По - допустимый шар Е 6 ат1 или Б £ егт_1; Максимальная размерность стратов равна т Тогда при р < Л и нечоториз независящих от и констант Сг и С2, имеем

для любого X € R), удаленного от X на расстояние р В случае, когда d= 2 отсюда получается неравенство Харнака для произвольных подмножеств fio (компактно вложенных в fio)

Теорема 2.7 2 Пусть oj - компактное подмножество fio, d(fio) = 2 Тогда существует такая константа С, что для любой неотрицательной р-гармонической функции и выполняется неравенство

maxu(X) < Cmmu(I) (9)

Следует заметить, что мы не можем доказать это неравенство на основе только неравенств Харнака (поскольку они получены не для всех сфер) Не можем мы его получить и на основе теоремы о среднем (в отличие от классического случая), поэтому доказательство получается комбинированием того и другого

Теорема 2.7.3 Если неубывающая или невозрастающая последовательность р-гармонических функций в области fio сходится в некоторой точке множества fio, то она сходится во всех точках fi и сходимость будет равномерной в любой замкнутой внутренней подобласти к функции гармоничной в fio

В случае, когда имеется плоский стратифицированный шар, где центром шара является нуль-мерный внутренний страт, а двумерные страты - сектора с углами по 90° удается получить аналог формулы Пуассона, где фундаментальное решение представлено в виде ряда

—7г n=1 (1и;

+ -Дс sin 2п<р sm 2па) {^fn)d<p ЪтР R

Третья глава посвящена реализации метода Пуанаре-Перрона для стратифицированного множества специального вида

Для доказательства разрешимости вводится так называемый класс нижних функций

Определение 3 1.1 Определим множество crv(Q,) - множество нижних функций, как множество р-субгармонических функций, tie превосходящих на границе заданной непрерывной функции

сТр(Г2) = {и и е С°{П) Л ст(По), «РО < <Р{Х),Х € (И)

где сг(Г2о) - множество р-субгармонических на Г2о функций

Определение 3.1.2 Функцию Wf(X) определим следующим образом

WV(X) = sup и(Х), X е П (12)

u£<rv(П)

и будем называть ее верхней огибающей семейства <т^(Г2)

При определенных требования на геометрическое устройство Í2 имеет место следующая теорема

Теорема 3.1 1 Пусть граница множества Г2о является регулярной Тогда верхняя огибающая семейства функций о\ДГ2) является искомым решением задачи Дирихле (3)Д4)

Под регулярностью границы понимается выполнение следующего свойства в каждой точке из дПо

Определение 3.1 3 Граница называется регулярной, если для любой тЬчки X Е сЮо существует барьер То есть существует некоторая р-су пер гармоническая функция ш, такая, что ш{Х) = 0 и w(Y) > 0 для любого Y £ С1\Х

Как и в классическом случае доказательство этой теоремы состоит из двух независимых частей Сначала доказывается что, W^ - гармоническая функция (в случае стратифицированого множества р-гармоническая функция), а затем, что Wv удовлетворяет граничным условиям, то есть Wplen = f

Теорема применима, например, к случаю, когда на плоскости имеется область, удовлетворяющая условиям внутренней сферы, и разбитая на конечное число частей вертикальными и горизонтальными линиями Граница области причисляется к 3fi0 Другой случай - цилиндрический слой в пространстве К3, разбитый на конечное число частей плоскостями, параллельными оси OZ, предполагается, что образующая цилиндра так же

параллельна оси OZ При этом, например, нижнее основание предполагается удовлетворяющим условию внутренней сферы Требование выполнения условия внутренней сферы может быть ослаблено

Для случая пространства большей размерности удается доказать разрешимость задачи Дирихле в случае, когда маломерные страты, то есть с граты, размерность которых меньше d и d— 1 не являются внутренними

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00299-а)

Основные результаты изложены в следующих печатных работах Статьи по теме диссертации

1 Беседина С В Метод Перрона для задачи Дирихле на стратифицированом множестве / С В Беседина, О М Пенкин // Современные методы в гг-ории краевых задач "Понтрягинские чтения - XII" тез докл материалов ВВМШ - Воронеж, 2001 - С 22

2 Беседина С В Метод Перрона на стратифицированом множестве / С В Беседина , О М Пенкин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам тез докл - Суздаль, 2002 - С 33-34

3 Беседина С В Неравенство Харнака для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / С В Беседина // Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова - М , 2004 - С 31-33

4 Беседина С В Об одной нелокальной краевой задаче / С В Беседина, О М Печкин, Л А Самойлова // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" тез докл - М , 2004 - С 27

5 Беседина С В О сферическом аналоге неравенства Харнака на стратифицированном множестве / С В Беседина // Материалы V Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Молодежь и наука XXI века" тез докл - Красноярск, 2004 -С. 5-6

6 Беседина С В Некоторые особенности метода Пуанкаре-Перрона на стратифицированом множестве / С В Беседина // Современные методы

в теории краевых задач "Понтрягинские чтения - XV" гез докл Maie риалов ВВМШ - Воронеж, 2004 - С 30-31

7 Беседина С В Неравенство Харнака для эллиптического уравнение на стратифицированном множестве / С В Беседина // Вестн Воронеж гос ун-та Сер Физика Математика - 2004 - №1 - С 77-81

8 Беседина С В Разрешимость задачи Дирихле на стратифицирова: о11 множестве / С В Беседина // Современные методы в теории кррерьх задач "Понтрягинские чтения - XVII" тез докл материалов ВВлТШ Воронеж, 2006 - С 23-24

9 Беседина С В Метод субгармонических функций для задачи Д^ри хле на стратифицированном множестве / С В Бесе^ича, Воронеж гос ун-т - Воронеж, 2006 - 11 с - Деп в ВИНИТИ 20 03 0Г, „V 'jSÔ-BJOOb

10 Беседина С В Метод Пуанкаре-Перрона на стратифицировании множестве / С В Беседина // Труды Математического Факульч эга Воронежского гос ун-та - Воронеж, 2006 - Вып 10 - С 18-30

Работа [7] опубликована в издании, соответствующему списку ВлК РФ

Подписано в печать 25 04 2007 Формат 60x84/16 Уел тчл Издательско-полиграфический центр чолпп* °анел«кого государственного > шверситета 394006^Воронеж, Университетская площадь, 1, ком 43, тет 208-853 Отпечатано в лаборатории оперативной печати НИЦ ВГУ

Введение

1 Постановка задачи.

1.1 Определение стратифицированного множества.

1.2 Физическая интерпретация.

1.3 Координаты на стратифицированном множестве.

1.4 Стратифицированная мера.

1.5 Функциональные пространства.

1.6 Прочность.

1.7 Оператор Лапласа-Бельтрами.

1.8 Задача Дирихле

2 р-гармонические функции

2.1 Понятие шара на стратифицированном множестве.

2.2 р-гармонические функции.

2.3 Теорема о среднем на стратифицированном множестве

2.4 Свойства р-гармонических и р-субгармонических функций

2.5 Гармоническая функция в окрестноти нуль-мерных стратов в случае R2.

2.6 Фундаментальное решение и функция Грина.

2.6.1 Фундаментальное решение

2.6.2 Формула Пуассона.

2.7 Неравенство Харнака.

2.7.1 Сферический аналог неравенства Харнака.

2.7.2 Неравенство Харнака

2.7.3 О равномерной сходимости р-гармонической функции

3 Метод Пуанкаре-Перрона.

3.1 Метод Пуанкаре-Перрона для классической задачи Дирихле.

3.2 Разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве

К уравнениям на стратифицированных множествах приходят в результате изучения физических систем составного типа, имеющих разные размерности и различные физические характеристики, в частности разные элементы могут иметь разную плотность. Стратифицированное множество является геометрической моделью такой системы. Примером является задача о малых перемещениях системы, составленной из струн и мембран, другой пример - диффузия в слоистой среде, слои которой могут иметь разные коэффициенты диффузии и разные размерности.

Уравнения на стратифицированных множествах позволяют по новому взглянуть на результаты классической теории дифференциальных уравнений. Например, в рамках теории уравнений на стратифицированных множествах задачи Дирихле и Зарембы оказываются одинаковыми по методу исследования. Таким образом, вместо нескольких теорем, описывающих одно и то же качественное свойство, которое относится на первый взгляд к разным задачам, можно получить одну теорему. Кроме того, в некоторых случаях рассмотрение задачи как задачи на стратифицированном множестве позволяет упростить некоторые построения.

До конца 70-х годов исследованию поведения систем составного типа посвящены лишь отдельные работы. Одной из первых была работа Куранта (1926 г.) посвященная изучению колебаний мембраны, ко внутренней части которой прикреплена натянутая струна. В 70-е годы появляются работы Lumer'a [51], а позднее работы S.Nicase [48],[49] и J. Von Bellow [52],[53]. Ю.В. Покорным и его учениками изучаются упругие системы, составленные из конечного числа струн [37]-[39]. О.М. Пенкиным и его учениками изучаются структуры, составленные из струн и мембран[19], [23]-[34]. В какой-то степени к рассмотренной тематике можно отнести работы В.В. Жикова, О. А. Олейника, А.С. Шамаева по методу усреднения. Некоторые работы C.JL Соболева и Б.Ю. Стернина [42] посвящены задачам, где стратифицированную структуру имеет граница. Эти работы продолжены С.А. Назаровым [22] и Б.А. Пламеневским.

Особенно интенсивно данная тематика развивается в последнее время.

Целью данной работы является постановка краевых задач на стратифицированном множестве для случая так называемого мягкого Лапласиана, получение результатов о разрешимости этих задач и распространение метода Пуанкаре-Перрона на эллиптические уравнения на стратифицированном множестве, изучение свойств гармонических и субгармонических функций на стратифицированном можестве.

В работе исследованы свойства гармонических и субгармонических функций для систем составного типа. Получено фундаментальное решение для стратифицированного шара и аналог формулы Пуассона. Доказан аналог классической теоремы о среднем, неравенство Харнака и следствия из него. Доказано существование классического решения на стратифицированном множестве.

Основные результаты работы являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений с частными производными. Разработанная методика может быть использована при изучении систем составного типа.

Основные результаты опубликованы в [1]-[10]. Они докладывались и обсуждались на Воронежских зимних и весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач", международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в Суздале, конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, конференции И.Г. Петровского (МГУ). Из совместных работ [1],[2],[4] в диссертационную работу вошли только результаты, принадлежащие диссертанту. Работа [7] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.

Работа состоит из введения и трех глав. Первая глава работы посвящена постановке задачи, определению стратифицированного множества и необходимых для дальнейшего исследования понятий. Вводится ряд ограничений на геометрию множества, главным из которых является то, что страты должны быть плоскими и усиленно прочно примыкать друг к другу.

Можно дать следующее определение стратифицированного множества. Будем называть стратифицированным множеством тройку <р), где fi - связное подмножество Rn, J] набор его подмножеств (стратов umj, где т- размерность страта, j - его порядковый номер), а (р- отображение, описывающее "способ связки" О, из элементов системы . Размерность стратифицированного множества будем обозначать d - это максимальпая размерность стратов, из которых состоит множество.

Считается, что замыкание страта компактно. В главе вводится понятие стратифицированной меры, как сумма мер по стратам fi(Q) = aki) 1.4.1 и интеграла на стратифицированном множестве для функции из Са(Г2)

J udfi = Y^ J 1А-2 ft °ki akj

Далее обсуждаются ограничения, накладываемые на структуру стратифицированного множества, обеспечивающие классическую разрешимость задачи Дирихле. Во-первых, мы считаем, что множество О, сотоит из "плоских" стратов, то есть рассматривается множество, состоящее из многогранников. Требуется чтобы рассматриваемое множество было усиленно прочным, то есть чтобы для любого страта размерноси к, где к < d — 2, существовала сколь угодно малая окрестность U страта сг/.г-, такая что множество U \ аы является связным.

Дивергенция поля градиента в точке X определяется по формуле: |jy РО + 1.7.1

Ук]Х?к-Н где crfcj >- (Tk-u означает примыкание страта ау к (Тк-и (иными словами Vk-ij С (Jki )> единичная нормаль к а^-и, направленная внутрь страта, по которому в данный момент идет суммирование, V&-1 i^X) - обычная к — 1 мерная дивергенция. Запись |kj РО означает продолжение по непрерывности поля с а^ в точку X, то есть предел ~P(Y), когда

Y G okj стремится к X e crk-ij

Геометрия стратифицированного множества может быть достаточно сложной. При этом в целом, как правило, оно не является многообразием даже локально. Поэтому нет возможности ввести координаты на всем множестве. В результате этого в работе вводятся коордиаты автономно на каждом страте, специальным образом согласованные в местах примыкания. Отметим, что в дальнейшем используется следующие обозначения: заглавными буквами обозначаются точки стратов (X точка страта (Tki), ей соответствуют локальные координаты х1, .,хк.

Для постановки краевых задач удобно разбить множество Q на части. А именно, через Qo С & обозначим любое связное открытое подмножество Q, (каждый страт является многообразием с топологией, индуцированной из Еп), составленное из стратов и такое, что Qq = Г1. Разность Q\Qo обозначим - это граница fio- Мы будем предполагать, что д(20 Ф 0

На fio задается оператор Лапласа, на Шо - краевые условия.

Рассматриваемый нами Лапласиан имеет вид

А ри = V(pVu), 1.7.4 где Vw - поле градиента непрерывной на О, функции, непрерывно дифференцируемой в каждом страте, а внешний значок означает взятие дивергенции по упомянутой стратифицированной мере. Во всей работе предполагается, что р - так называемая "стратифицированная константа", то есть ее сужение на каждый страт является постоянной функцией. При этом р отлична от нуля (точнее положительна) только на стратах старшей размерности. Такой Лапласиан Ар называется в работе мягким.

Заметим, что при наложенных на рассматриваемое множество ограничениях оператор Лапласа на стратах максимальной и на единицу меньшей размерности будет иметь соответственно следующий вид:

PiAu = 0,Х € adj, 1-7.6 ри(Х)= £ Pj(^Vu)\kj(X),Xead-lh 1.7.7 а сцУсга-и где i/j - нормаль к crd-il в точке X направленная внутрь <7ф-, d - размерность множества, на котором задается оператор.

На стратах меньшей размерности дифференциальных соотношений нет, имеется лишь условие непрерывности.

На О, задается задача Дирихле.

Дри = 0, 1-8.1 и |ш0= Ч> 1-8-2

В данной работе исследуется вопрос о существовании классического решения поставленной задачи. Решение ищется в классе функций - непрерывных на Q функций, имеющих непрерывные вторые производные внутри стратов, причем первые производные существуют вплоть до граничных стратов страта akj, лежащих в Qo

Во второй главе формулируются и доказываются теоремы, которые позволят в дальнейшем применить метод Пуанкаре-Перрона. Даются определения р-гармонической и р-субгармонической функций и доказываются их свойства на множестве £1 Приводятся формула фундаментального решения и формула Пуассона.

Определение 2.2.1. Функция и G Cj(fi) заданная на Г^о называется р-гармонической если на По опа удовлетворяет уравнению где оператор Ар определяется исходя из формулы (1.7.6),(1.7.7).

В связи с достаточно сложной структурой рассматриваемого множества приходится ввести ограничение на радиус рассматриваемых шаров, поэтому вводится понятие допустимого шара. Пусть S Е (Тк-и и г > О не превосходит расстояния от S до всех стратов оkj >- Ck-u, не содержащих Б в своих замыканиях (такие г назовем допустимыми, шары с таким радиусом так же будем называть допустимыми). Тогда пересечение шара В(Е,г) С Жп с Q будем называть стратифицированным шаром и обозначать В(Е,г). Аналогично определяется стратифицированная сфера S(E, г). Сферу S(E,r) так же можно рассматривать как стратифицированное множество, считая ее d-1 мериыми стратами пересечение S(E,r) П adj = Sf'1. Меру fi иа S(E, г) определяем так же как и выше. Многие результаты для р-гармонических функций, в частности теорема о среднем и фундаментальное решение получены в шаре.

Определение 2.2.2.Непрерывная функция и{Х) заданная на fio называется р-субгармонической если она удовлетворяет условию где р = р^ если X 6 crdb г) = В(Е, г) Г) adi.

Теорема 2.3.1.(Теорема о среднем) Пусть В(Е, г)- простой стратифицированный шар, и(Х)-р-гармоническая функция, тогда справед

Ари = О

2.2.2 ливо следующее равенство pifi{dBi(E,r)) 1

J pu(X)ds.

2.3.1 дВ(Е,г) где р = р{, если X 6 яй, r) = г) П

На основании теоремы о среднем доказывается ряд важных свойств для р-гармонических и р-субгармонических функций.

Например, следующая теорема представляет строгий принцип максимума.

Теорема 2.4.1. Если и - р-гармоническая в fio функция, то она не может иметь нетривиальных локальных экстремумов в

При этом X называют точкой нетривиального локального экстремума функции и, если, во-первых, это точка локального экстремума, а, во-вторых, и не постянна ни в какой окрестности точки X. Сразу, как следствие, получаем следующую теорему: Теорема 2.4.2. Задачи Дирихле (1.8.1)(1.8.2) имеет не более одного решения в классе Cl{Q).

Кроме этого удается доказать следующие свойства р-гармонических и р-субгармонических функций.

Теорема 2.4.3.Если и р-субгармоническая функция, то она не имеет внутри этого мноэюества точек нетривиального максимума.

Теорема 2АА.Если V\,V2, .,vn- р-субгармонические функции в области fio, шо функция v = max(v\,v2,vn) так же р-субгармоническая в доопределение 2.4.1 Пусть и{Х) непрерывна на О, и Вг = В(Е,г) - допустимый шар (5 Е О). Через Мвг[и](Х) обозначим функцию, которая совпадает с и(Х) вне шара, а в шаре является решением задачи

Дирихле

Apv = О, X G B(E,r) v |ов= и

Такая функция называется "р-гармонической срезкой" функции и(Х).

Теорема 2.4.5.Пусть и(Х) р-субгармоническая функция, тогда функция Мв[и](Х) такоюе является р-субгармонической, причем для любого X eQ выполнено Мв[и](Х) > и(Х).

Теорема 2.4.6. Если последовательность непрерывных в некоторой замкнутой ограниченной области К и р-гармонических в этой области функций равномерно сходится на границе области, то она так же равномерно сходится на всей рассматриваемой области.

Важную роль в реализации метода Пуакаре-Перрона играет фундаментальное решение для допустимого шара, центр которого лежит в страте максимальной или на единицу меньшей размерности. Функцию

•4

G(X, Y) определим следующим образом:

Г тЛАк(х, у) + ^^т у), X,Y G Bi, т 2pi б(Х,У) = <

К(х,у), X е Bj £ Б/,

2.6.4 где х получается из х заменой xd на — xd, то есть х является отражением х, a Pi - сумма всех pj (j ф I), соответствующих всем сг<# >- (Jd-n- Мы полагаем Pi = 0, если к <Jd-u примыкает только один d-мерный страт. Положим также Р = Pi + pi. Через К(х,у) обозначена классическая функция Грина задачи Дирихле в обычном d-мерном шаре В(г) С Ш1 К сожалению для шаров с центрами в стратах размерности d — 2 и меньше найти формулу не удалось.

В случае d = 2 проблему представляют лишь сферы с центрами в нуль-мерных стратах. В некоторых случаях мы можем предъявить формулу для фундаментального решения. Например, если шар состоит из секторов круга с углами 90° и внутри шара нет угловых особенностей, то формула имеет вид

G(X, Y) =

Y £ Bi т 2pi

К(х,у*) + К(х,у),хе Bj (j^i),Ye Bh

2.6.5 где у = (yh у2), у** = {-уи у2), У* = (Уи -2/2), У - (-2/1, -ife). В результате имеем следующую теорему. о ^

Теорема 2.6.1. G(X,Y) = fG{X,Y) является фундаментальным решением оператора Ар.

-Ч

Заметим, что если строить функцию G(X, Y) отправляясь от функции Грина оператора Лапласа, то G так же будет функцией Грина. В этом случае получаем аналог формулы Пуассона для решения задачи Дирихле (1.8.1) (1.8.2) в шаре и(Х) = - J pv(Y)dGf'Y)d^, (2.6.6) дв( 5,г) где р = Pi на adi.

На основании сформулированных выше теорем удается доказать сферический аналог неравенства Харнака для допустимых шаров, на основании которого доказывается теорема о равномерной сходимости р-субгармонических функций.

Теорема 2.7.1. Пусть и - неотрицательная на fio Р~гармоническая функция и В(Е, R) С Qo - допустимый шар. Н € <ттг- или Е £ оm-ij-Максимальная размерность стратов равна т. Тогда при р < R и некоторых независящих от и констант С\ и С2, имеем

С^-^Г'ф) < «(*) < 2.7.1

R + p)m~l к v (Д-р)™"1 v J для любого X 6 В(Е, R), удаленного от X на расстояние р.

В случае, когда d=2, получается неравенство Харнка для произвольных подмножеств Qq (компактно вложенных в fio)

Теорема 2.7.2. Пусть и - компактное подмножество fio ^(^0) = 2. Тогда существует такая константа С, что для любой неотрицательной р-гармопической функции и выполняется неравенство шах и(Х) < С min «(X). 2.7.2

Хеш хеш

Следует заметить, что мы не можем доказать это неравенство на основе только неравенств Харнака (поскольку они получены не для всех сфер). Не можем мы его получить и на основе теоремы о среднем (в отличие от классического случая), поэтому доказательство получается комбинированием того и другого.

Теорема 2.7.3. Если неубывающая или невозрастающая последовательность р-гармонических функций в области сходится в некоторой точке множества Q, то она сходится во всех точках Q и сходимость равномерна в любой замкнутой внутренней подобласти к функции гармоничной в £2.

В случае, когда имеется плоский стратифицированный шар, где центром шара является нуль-мерный внутренний страт, а двумерные страты - сектора с углами по 90° удается получить аналог формулы Пуассона.

If 00 и(а>р) = ^ J + ]T(^cos2n^cos2naH1

7Г

Pi ( sin 1тир sin Inot} J )dip

2trP

В третьей главе приводится реализация метода Пуанкаре-Перрона сначала для случая, когда множество состоит из прямоугольных ячеек в Ж2, а затем для специального класса стратифицированных множеств в случае W1.

Определение 3.1.1. Определим мноэ/сество сг^(П) - мпооюество ниоюних функций, как множество р-субгармонических функций, не превосходящих на границе заданной непрерывной функции (р. cr^(fi) = {и : и е С°(П)П<т(П0), и(Х) < <р(Х),Х Е ЗЗД 3.1.1

Определение 3.1.2. Функцию W^X) определим следующим образом

WV{X) = sup и(Х), ХеП 3.1.2 ueav(fl) и будем называть ее верхней огибающей семейства стДО).

При определенных требования на геометрическое устройство Q имеет место следующая теорема

Теорема 3.1.1. Пусть граница множества ^о является регулярной. Тогда верхняя огибающая семейства функций cr^Q) является искомым решением задачи Дирихле (1.8.8),(1.8.9).

Под регулярностью границы понимается выполнение следующего свойства в каждой точке из

Определение 3.1.3. Граница называется регулярной, если для любой точки X ЕЕ существует барьер. То есть существует некоторая р-супергармоническая функция ш, такая что w(X) = 0 и ш{У) > 0 для любого Y £Q\X.

Как и в классическом случае доказательство этой теоремы состоит из двух независимых частей. Сначала доказывается что W\р - гармоническая функция (в случае стратифицированого множества р-гармоническая функция), а затем, что Wv удовлетворяет граничным условиям, то есть

Теорема применима, например, к случаю, когда на плоскости имеется область, удовлетворяющая условиям внутренней сферы, и разбитая на конечное число частей вертикальными и горизонтальными линиями. Граница области причисляется к Шо- Другой случай - цилиндрический слой в пространстве R3, разбитый на конечное число частей плоскостями, параллельными оси OZ, предполагается, что образующая цилиндра так же параллельна оси OZ. При этом, например, нижнее основание предполагается удовлетворяющим условию внутренней сферы. Требование выполнения условия внутренней сферы может быть ослаблено.

Для случая пространства большей размерности удается доказать разрешимость задачи Дирихле в случае, когда маломерные страты (страты, размерность которых меньше d и d — 1) не являются внутренними.

1. Беседина С.В. Метод Перрона для задачи Дирихле на стратифици-рованом множестве / С.В. Беседина, О.М. Пенкин // Современные методы в теории краевых задач : "Понтрягинские чтения - X1.": тез. докл. материалов ВВМШ. - Воронеж, 2001. - С. 22.

2. Беседина С.В. Метод Перрона на стратифицированом множестве / С.В. Беседина , О.М. Пенкин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам : тез. докл. Суздаль, 2002. - С. 33-34.

3. Беседина С.В. Неравенство Харнака для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / С.В. Беседина // Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова. М., 2004. - С. 31-33.

4. Беседина С.В. Об одной нелокальной краевой задаче / С.В. Беседина, О.М. Пенкин, Л.А. Самойлова // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы": тез. докл. -М., 2004. С. 27.

5. Беседина С.В. Некоторые особенности метода Пуанкаре-Перрона на стратифицированом множестве / С.В. Беседина // Современные методы в теории краевых задач : "Понтрягинские чтения XV": тез. докл. материалов ВВМШ. - Воронеж, 2004. - С. 30-31.

6. Беседина С.В. Неравенство Харнака для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве / С.В. Беседина // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2004. - №1. - С. 77-81.

7. Беседина С.В. Разрешимость задачи Дирихле на стратифицированом множестве / С.В. Беседина // Современные методы в теории краевых задач : "Понтрягинские чтения XVII": тез. докл. материалов ВВМШ. - Воронеж, 2006. - С. 23-24.

8. Беседина С.В. Метод субгармонических функций для задачи Дирихле на стратифицированном множестве / С.В. Беседина; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2006. - И е.- Деп. в ВИНИТИ 20.03.06, № 286-В2006.

9. Гаврилов А.А. Элементы теории дифференциальнх уравнений эллиптического типа на прочных стратифицированных множествах : автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. / А.А. Гаврилов. Воронеж, 2000. - 16 с.

10. Гилбарг Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, Н. Трудингер. М.: Наука, 1989. - 463 с.

11. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный и др.]. М. : Физматлит, 2004. - 272 с.

12. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1989. - 623 с.

13. Комаров А.В. О приближении многомерных объектов одномерными : автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. / А.В. Комаров. Воронеж, 2003. - 18 с.

14. Комаров А.В. О спектре равномерной сетки из струн / А.В. Комаров, О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Изв. вузов. 2000. - Т. 463, № 4. - С. 23-27.

15. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гельдера / Н.В. Крылов. Новосибирск : Научная книга, 1998. - 176 с.

16. Куляба В.В. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах / В.В. Куляба, О.М. Пенкин // Докл. РАН. 2002. - Т. 386, № 4. - С. 453-456.

17. Курант Р. Методы математической физики. / Р. Курант, Д. Гилберт. М.: ГТТИ, 1951. - 476с.

18. Мерков А.Б. Эллиптические уравнения второго порядка на графах / А.Б. Мерков // Матем. сборник. 1985. - Т. 127, №4. - С.502-518.

19. Назаров С.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой гранией /С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский. М.: Наука, 1991. - 335с.

20. Пенкин О.М. Некоторые вопросы качественной теории краевых задач на графах : дис. . канд. физ.-мат. наук / О.М. Пенкин. Воронеж, 1988. - 89 с.

21. Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 10. - С. 1433-1434.

22. Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Диф. уравнения. 1997. - Т. 33, № 10. - С. 1404-1409.

23. Пенкин О.М. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Диф. уравнения. 1998. - Т. 34, № 8. - С. 11071113.

24. Пенкин О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Известия ВУЗов, Математика. 1996. - №11. - С.57-64.

25. Пенкин О.М. О дифференциальных уравнениях на многообразиях гибридного типа / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // УМН 1998. Т.53. вып. 4(322) С. 135.

26. Пенкин О.М. О дифференциальных неравенствах для эллиптических операторов на сложных многообразиях / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Докл. РАН. 1998. - Т. 360, №4. - С. 456-458.

27. Пенкин О.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Е.М. Богатов // Матем. заметки. 2000. - Т.68., М. - С. 874-886.

28. Пенкин О.М. О разрешимости краевых задач на стратифицированных множествах / О.М. Пенкин, Е.М. Богатов, Ю.М. Кашкаров // Дифф. уравнения. 1998. - Т.34, М. - С. 1289-1290.

29. Пекин О.М. О краевой задаче на графе. / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Дифф. уравнения. 1998. - Т.24, Ш. - С. 701-703.

30. Пенкин О.М. Качественные свойства решений эллиптических неравенств на стратифицированных множествах. / О.М. Пенкин // Дифф. уравнения. 1999. - Т.35, Ml. - С. 1537-1574.

31. Пенкин О.М. Метод Перрона для задачи Дирихле на клеточном комплексе / О.М. Пенкин // Дифф. уравнения. 2001. - Т.37, № 11. -С. 1580.

32. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений / И.Г. Петровский. М. : Изд-во Московского ун-та, 1984. - 295 с.

33. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. М.: ГТТИ, 1950. - 304 с.

34. Покорный Ю.В. О функции Грина задачи Дирихле на графе / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // ДАН СССР. 1991. - Т.318,№3.- С. 942-944.

35. Покорный Ю.В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев // Дифф. уравнения. 1998. -Т.34,№5. - С. 629-637.

36. Прядиев В.Л. Свойства фундаментального решения смешанной задачи для волнового уравнения на графе / В.Л. Прядиев // Современные методы теории функций и смежные проблемы : тез. докл. Воронеж, зимн. мат. шк. Воронеж, 2003. - С. 202-203.

37. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике / С.Л. Соболев. М.: Наука. - 1988. - 333 с.

38. Соболев С.Л. Уравнения математической физики / С.Л. Соболев. -М. : Наука, 1992. 431 с.

39. Стернин Б.Ю. Общие краевые задачи для эллиптических уравнений в области, границей которой служат многообразия различной размерности / Б.Ю. Стернин // Докл. АН СССР. 1964. - Т. 159, №5.- С. 992-994.

40. Фам Ф. Введено в топологическое исследование особенностей Лана-дау / Ф.Фам. М.: Мир, 1970. - 184 с.

41. Функция Грина разрывной задачи Дирихле на графе / Ю.В Покорный и др.]; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1992. - 8 с. - Деп. В ВИНИТИ 03.06.92, № 1836-В92.

42. Хейман У. Субгармонические функции / У. Хейман, П. Кеннеди. -М. : Мир, 1980. 304 с.

43. Эванс Л.К. Теория меры и тонкие свойства функций / Л. К. Эванс, Р. Ф. Гариепи. Новосибирск : Научная книга, 2002. - 205 с.

44. Эванс Л.К. Уравнения с частными производными / Л. К. Эванс. -Новосибирск : Научная книга, 2003. 562 с.

45. Nicaise S. Relationship between the lower frequency spectrum of plates and network of beams / S. Nicaise, O.M. Penkin // Math. Meth. Appl. Sci. 2000. - V. 23. - P. 1389-1399.

46. Nicaise S. Elliptic operators on elementary ramified spaces / S. Nicaise // Integral-Equations-Theory. 1988. - V. 11, №2. - P. 230-257.

47. John F., Prtial differential equations / F.Jhon // New-York: Springer-Verlag, 1986. 249 p.

48. Lumer G. Espases ramifes et diffusion sur les reseaux topologiques / G. Lumer // C.R. Acad. Sc. Paris. 1980. - Serie A, 291. - P. 219-234.

49. Von Bellow J. Parabolic Network equations / J. Von Bellow // Habilitation Thesis, Eberhand-Karls-Universitat Tubingen. 1993. P. 120-138.

50. Von Bellow J. Classikal solvability of linear parabolic equations on networks / J. Von Bellow // J. Differential Equation. 1988. - V. 72. -P. 316-337.