Эффективные методы решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА.

§ I. Решение некоторых функциональных уравнений в классе аналитических функций

§ 2. Задача Вицадзе-Самарского в плоских односвязных областях.

§ 3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости с круговым отверстием

§ 4. Смешанная краевая задача, для уравнения Лапласа в полуплоскостикруговым отверстием

§ 5. Задача Неймана для уравнения Лапласа в полуплоскости с круговым отверстием

ГЛАВА П. ЭФФЕКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПУАНКАРЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО

ПОРЯДКА.

§ I. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями внутри области в классе аналитических функций

§ 2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями на границе области в классе аналитических функций

§ 3. Задача Пуанкаре для уравнения Лапласа в единичном круге

§ 4. Задача Пуанкаре для эллиптических уравнений второго порядка с комплексными постоянными коэффициентами вне круга и эллипса

§ 5. Задача Пуанкаре для уравнения Бицадзе в единичном круге

1°. Теория краевых задач для эллиптических уравнений является важной составной частью теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеет многочисленные применения в задачах механики, газовой динамики, электродинамики, теории приливов и других отраслях науки.

Основополагающие результаты в теории эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными принадлежат И.Н.Векуа [9]-[12]. Он получил формулы, выражающие все регулярные решения уравнения

AU + aux + ßity + cu = О (I) с аналитическими коэффициентами через аналитические функции одного комплексного переменного в односвязных и многосвязных областях и провел исчерпывающее исследование общих граничных задач для этого уравнения с данными из гельдеровского (Н) класса и непрерывных (С). Эти задачи были сведены к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям с помощью найденных им интегральных представлений для аналитических функций и получены условия нетеровости.

Фундаментальным вкладом в теорию граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений являются работы A.B. Бицадзе [I] - [7]. Им построено [2], [7] общее решение эллиптических систем вида (I) и общая краевая задача для таких систем редуцирована к системе одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Коши. Отсюда, в частности, следует фредгольмовость задачи Дирихле с гельдеровскими данными.

В работе А.В.Бицадзе [2] показано, что в отличие от одного уравнения, в случае систем требование равномерной эллиптичности, вообще говоря, не гарантирует ни фредгольмовости, ни нетеровости задачи Дирихле.

В работе [3], а также в монографии [7] А.В.Бицадзе найдено общее решение эллиптической системы

Auxx + 2Buxy + CUyy = 0 С2) с постоянными коэффициентами, в односвязных и многосвязных областях. На основе полученного представления введены условия слабой связанности системы (2), выполнение которых обеспечивает фредгольмовость задачи Дирихле в классе H .

Разрабатывая математическую теорию приливов, А.Пуанкаре [43] пришел к постановке задачи, которую называют задачей Пуанкаре. Она состоит в следующем: найти гармоническую функцию, по условию на границе Г области

ACS) +B(S)|^ +C(s)u = f(s), (3) dix oS где A(S) 9 B(â) , С(й) » f(S) - заданные на Г действительные функции, S - дуговая абсцисса, п. - нормаль к Г .

Пуанкаре дал (неполное) решение задачи в случае, когда ACS) = 1 , C(S) = 0 , считая, что контур Г и функции B(S) и i(S) -аналитические.

Первое законченное решение задачи Пуанкаре для уравнения CI) было дано Б.В.Хведелидзе [38], [39].

Решение задачи Пуанкаре при весьма общих предположениях, относительно коэффициентов уравнения (I) и граничного условия (3), дано И.Н.Векуа [9], а для системы вида (I), когда граничная функция имеет разрыв первого рода - Н.П.Векуа [13].

Общая граничная задача для эллиптической системы

Аихх + 2Buxy + Cuyy + aux + 6ua + си = f (4) впервые была рассмотрена Я.Б.Лопатинским [23]. Им было получено условие (условие Лопатинского) согласования коэффициентов А, В , С системы с коэффициентами оС, £ - граничного условия

0Сил + Ри а + (5) достаточное для приведения указанной задачи к регулярной системе интегральных уравнений фредгольмовского типа.

Далее А.И.Вольпертом [14] было доказано, что это условие ре-гуляризуемости граничной задачи в ряде функциональных пространств является и необходимым для того, чтобы рассматриваемая задача была нетеровой. Условие Лопатинского зависит только от коэффициентов главной части эллиптической системы и граничного оператора. Но, как показывают примеры, коэффициенты при младших производных могут играть существенную роль при решении вопроса нетеровости граничных задач.

Эффект влияния коэффициентов при младших производных на характер граничной задачи был изучен Н.Е.Товмасяном [33], [34].

Им указаны более общие условия на коэффициенты системы (4) и граничного условия (5), обеспечивающие нетеровость рассматриваемой задачи.

Исследованию задачи Дирихле, Неймана и Пуанкаре (с данными и С и Н) для эллиптических уравнений второго порядка посвящены также работы Б.В.Боярского [8], А.И.Вольперта [15], М.И.Вишика [16], Л.Гординга [40], А.Джураева [20], Н.Е.Товмасяна [29,30,35], Е.В.Золотарева [21], С.Кампи [41], М.Шехтера [42], Э.П.Меликсетя-на [26] и других, с разрывными граничными данными изучены в работах Б.В.Хведелидзе [38], Н.Е.Товмасяна [32], [37], Г.А.Мартиросяна [25] и других.

2°. Актуальность темы и цель работы. Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой.

Цель работы: дать эффективные методы решения следующих задач, когда граничные данные принадлежат классу Гельдера I) задачи Дирихле, Неймана и смешанной задачи для уравнения Лапласа в полуплоскости с круговым отверстием, в классе ограниченных функций, 2) задачи Бицадзе-Самарского для уравнения Лапласа в конечной односвязной области с гладкой границей, 3) задачи Пуанкаре для уравнений Лапласа и Бицадзе в единичном круге, 4) задачи Пуанкаре для правильного эллиптического уравнения (2) с постоянными комплексными коэффициентами вне единичного круга и эллипса.

3°. О практической и теоретической ценности результатов. Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес, поскольку получены явные формулы решения поставленных задач и указаны эффективные методы построения этих решений. Результаты настоящей работы могут быть использованы при исследовании граничных задач, возникающих в математической физике, теории упругостей в электродинамике и в других отраслях.

4°. Перейдем теперь к изложению основных результатов диссертации.

Работа состоит из введения и двух глав.

В первой главе исследуется один класс функциональных уравнений. Полученные результаты в дальнейшем используются при решении краевых задач Бицадзе-Самарского, Дирихле, Неймана и смешанной задачи для уравнения Лапласа в плоских многосвязных областях.

§ I посвящен решению функционального уравнения

ЧЧг) - оси) 4>{р(г)) = ¡(2) (г= х+1у), (6) где сС(Х) , {>(2) и К*) заданные, непрерывные в вЬ = 3) + Г, аналитические функции в односвязной конечной области с гладкой границей Г, причем при £е£) + Г , а ^(2) искомая аналитическая функция в области 2) . В работе Н.Е.Товмасяна [35] краевые задачи первого, второго и третьего типов для эллиптических систем второго порядка в конечных областях приведены к уравнению вида (6), где o£(z) = const , a J4z) конкретная функция. Полученное уравнение было решено Н.Е.Товмасяном разложением аналитической функции ^(z) в ряд Тейлора и для определения коэффициентов получена бесконечная система, при этом существенно используется вид функции f>(z) .

Для функционального уравнения (6) получено условие существования и единственности решения в виде оа*0) [jbWf * 1 (r = 0,1,2,.), (7) где г0еЗЬ неподвижная точка функции .

Если же условие (7) нарушено при некотором к=1г, то однородное уравнение (i(z) = 0) имеет одно линейно независимое решение, а для разрешимости неоднородного уравнения необходимо и достаточно выполнения условия

• • • + dj(zo) = О лемма I.I, теорема I.I).

В § 2 решается задача Бицадзе-Самарского для уравнения Лапласа uxx+ иуу = 0 (8) в плоской односвязной области & с гладкой границей Г в следующей постановке: найти действительное решение уравнения (8), и е Н(£+Г) , удовлетворяющее граничному условию u(z) - ос u( JHz)) = f(z) (z = x+ly) геГ, (9) где через u(z) обозначено значение u(x,y) в точке Z , jb(z) заданная аналитическая в области ft функция из класса Н(£> + Г) и £(z)e£ при ге£ + Г , f(z)e Н(Г) , оС - действительное число.

Задача (8)-(9) приводится к эквивалентному функциональному уравнению вида (6), для которого доказывается теорема (1.2), аналогичная теореме 1.1.

Обозначим область & - верхняя полуплоскость 1т. г >0 с круговым отверстием \г- 1у01 < 1 (у0 > 1) , 30. = II Г2 , где - действительная ось, Гг - окружность |2-1у0| = 1 (у0>1).

В § 3 рассматривается следующая задача Дирихле: найти непрерывное и ограниченное в области 0. решение уравнения (8), удовлетворяющее граничным условиям и =^(2) , где ^СО е НСГО , ^(2)е Н(Г2) , причем на Г4 , ^(2) удовлетворяет еще условию $4(х) = о(|хГ*) (о1>0) при 1x1— оо. (Ю)

Эта задача приводится к функциональному уравнению вида (6) в единичном круге 1*1 <1 , где

СО = 1, £(2) =-Ц-

Доказана (теорема 1.3), что для разрешимости полученного функционального уравнения необходимо и достаточно выполнения равенства

Р(42) = 0, где 4Д - неподвижная точка функции £(2) , лежащая в круге

2|<1 , Р(2) - правая часть функционального уравнения, аналитическая в круге 1x1 <=1 .

§ 4 посвящен изучению следующей смешанной задачи для уравнения Лапласа: найти непрерывное и ограниченное в области 01 решение уравнения (8) при граничных условиях

XI = К(2) ' 26 Т1! , оп где И- внутренняя нормаль к Г2 , НСГ^ Н(Г2) , кроме того ^(2) удовлетворяет условию (10). Задача редуцирована к уравнению вида (6) в круге |2|«1 при о£(2) = -1 , £(2) = ^ и доказана (теорема 1.4) однозначная разрешимость этого уравнения.

В § 5 первой главы рассматривается следующая задача Неймана для уравнения (8): найти в области 0. непрерывное и ограниченное решение уравнения (8) с краевыми условиями где П.- внутренняя нормаль к Гг, 91(2)еН(Г1) , дг(2)еН(Гг) ,, причем 1^(301« г4 гг

Последнее условие является необходимым и достаточным для разрешимости этой задачи.

Поставленная задача Неймана, также, редуцируется к функциональному уравнению вида (6) в круге |2|«=1 , где об(г) = - , £СО = • Доказывается (теорема 1.5) однозначная разрешимость этого уравнения.

Во второй главе рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с особенностями в классе аналитических функций. Полученные результаты применяются при решении краевой задачи Пуанкаре для некоторых уравнений эллиптического типа второго порядка в определенных областях.

В § I главы П рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение

А(г) V'(г) + ВСО ЧЧг) = Кг) (г = х+ 1у) (II) в классе аналитических функций в конечной многосвязной области с гладкими границами, где АСг) , В(г) и £(2) - заданные аналитические функции в , функция А(2) имеет нули лишь внутри области . Не нарушая общности, можно предполагать, что Л(2) и Б (г) в общих нулей не имеют. ЧЧг) - искомая аналитическая функция.

В работе Н.Е.Товмасяна [29} показано, что решение некоторых плоских краевых задач для системы эллиптических уравнений второго порядка редуцируется к уравнению вида (II). Поэтому исследование уравнения вида (II) представляет отдельный интерес.

В § I главы второй полностью исследовано уравнение (II). Получены необходимые и достаточные условия для разрешимости в классе аналитических в и непрерывных в замкнутой области 3++Г функций. В конце параграфа рассмотрено частное уравнение вида (II). Полученные результаты применяются при решении третьей краевой задачи для уравнения (2) и к задаче Пуанкаре для уравнения Бицадзё в единичном круге.

В § 2 уравнение (II) исследуется в полуплоскости 1пг2 > 0 , с предположением, что функция А(г) имеет нули только на действительной оси. Получены необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения (II) (теорема 2.4) и вычислен индекс задачи.

В § 3 рассматривается задача Пуанкаре для уравнения Лапласа в круге 12И 1 , а в § 4 эта задача- рассматривается для правильного эллиптического уравнения (2) с постоянными комплексными коэффициентами для внешности круга. Эти задачи приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям вида (II).

Результаты проиллюстрированы в конце § 4 при решении задачи Пуанкаре с граничным условием

Зп. где п. - внешняя нормаль, оС - комплекснал постоянная.

§ 5 посвящен рассмотрению задачи Пуанкаре для уравнения Би-цадзе [7] 0 (V/« и + шО (12) в-единичном круге : найти в круге 12|<1 функцию, удовлетворяющую уравнению (12) и граничному условию + = геГ (1x1 = 1), о I где I - направление, составляющее острый угол ос с внутренней нормалью к Г в точке 26Г , £ и у - постоянные,

СОеНСГ).

Доказывается (теоремы 2.6, 2.7), что если , то однородная задача имеет четыре линейно независимых решения, а неоднородная задача всегда разрешима. Если же у=0 , то однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо и достаточно, чтобы функция удовлетворяла бесконечному числу условий ортогональности. Получены явные формулы для решения этих задач.

5°. Новизна полученных результатов. Новизна результатов,полученных в диссертации, заключается в следующем.

В отличие от авторов, которые в основном краевые задачи приводили к сингулярным интегральным уравнениям или, используя методы функционального анализа, доказывали нетеровость и фред-гольмовость, в настоящей работе рассмотренные задачи приводятся к функциональному уравнению (гл.1) и доказывается, что это уравнение можно решить методом последовательных приближений, или к обыкновенному дифференциальному уравнению в классе аналитических функций (гл.П). Найдено число линейно независимых решений соответствующих однородных задач, необходимые и достаточные условия для разрешимости неоднородных задач и получены явные формулы решения указанных задач в соответствующих классах.

6°. Применяемая методика. При исследовании поставленных задач использованы: общее представление решений эллиптических уравнений через аналитические функции, задачи сопряжения со сдвигом, функциональные и обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями в классе аналитических функций, различные свойства аналитических функций.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [44]-[50]. Эти результаты докладывались на научно-технических конференциях Ереванского политехнического института им.К.Маркса, на республиканской научно-практической конференции преподавателей вузов по математике (декабрь 1981г., Ереван), на республиканской научно-технической конференции "Применение математических методов в технике" (июнь 1982 г., Ереван, Дом техники) и на научном семинаре под руководством профессора Н.Е.Товмасяна.

1. Бицадзе A.B. Общее представление решений эллиптических систем дифференциальных уравнений и некоторые их применения. - Канд. диссертация, АН Груз.ССР, 1944, 1-62.

2. Бицадзе A.B. О единственности решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производными. УМН, 1948, т.З, № 6 (28), с.211-212.

3. Бицадзе A.B. Об эллиптических системах дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. ДАН СССР, 1957, т.112, № 6, с.983-986.

4. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. М.: изд. АН СССР, 1959.

5. Бицадзе A.B. Об однородной задаче наклонной производной для гармонических функций в трехмерных областях. ДАН СССР,1963, 148, Р 4, с.749-752.

6. Бицадзе A.B. Задача наклонной производной с полиномиальными коэффициентами. ДАН СССР, 1964, 157, № 6, с.1273-1276.

7. Бицадзе A.B. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

8. Боярский Б.В. О первой краевой задаче для систем уравнений эллиптического типа второго порядка. Bull. Acad. Polau. Sdi. Math. Astr. Phys. 1959, 7, 565 - 570.

9. Векуа И.Н. Граничные задачи теории линейных эллиптических дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными. -Сообщ. АН Груз.ССР, 1940, № I, 29-34, I8I-I86, 497-500.

10. Векуа И.Н. Замечания об общем представлении решений дифференциальных уравнений эллиптического типа. Сообщ. АН Груз.ССР,1943, № 4, с.385-392.

11. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. -М.-Л.: Гостехиздат, 1948.

12. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.; Физмат-гиз, 1959.

13. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970.

14. Вольперт А.И. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач эллиптических дифференциальных уравнений на плоскости. Труды Моск. мат. общества, 1961, 10, с.41-87.

15. Вольперт А.И. Общее представление решений эллиптических систем уравнений с постоянными коэффициентами. Сб. научных трудов. Львов: мат.ин-т, 1954, № 4, с.Ш-122.

16. Вишик М.И. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений. Мат. сб., 1951, т.29, № 3, с.615-676.

17. Вишик М.И., Ладыженская О.А. Краевые задачи для уравненийв частных производных и некоторых классов операторных уравнений. УМН, 1956, II, № 6 (72), с.41-97.

18. Власов В.И. Об одном методе решения некоторых плоских смешанных задач для уравнения Лапласа. ДАН СССР, 1977, т.237, № 5, с.1012-1015.

19. Данилюк И.И. Исследование одной задачи с коссой производной. ДАН СССР, 1958, 122, № 2, с.175-178.

20. Джураев А.Д. К вопросу об индексе и нормальной разрешимости задач Дирихле и Пуанкаре для общей эллиптической системы второго порядка с двумя независимыми переменными. ДАН СССР, 1964, т.7, с.3-6.

21. Золотарева Е.В. О единственности задачи Дирихле для некоторых эллиптических систем. Сибирский мат. журн., 1967, т.8, № 3, с.565-572.

22. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

23. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям. Укр. мат. журн., 1953, т.5, № 2, с.123-151.

24. Мартиросян Г.А. Смешанные краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка на плоскости. -Изв. АН Арм.ССР, 1976, т.II, № 2, с.158-182.

25. Мартиросян Г.А. Задача Пуанкаре для эллиптических систем на плоскости. Изв. АН Арм.ССР, 1977, т.12, № 4, с.310-324.

26. Меликсетян Э.П. Задачи Дирихле для слабо связанных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в ограниченных областях. Изв. АН Арм.ССР, 1981, т.16, № 4, с.253-273.

27. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

28. Мухлисов §.Г. Решение некоторых краевых задач для уравнения Лапласа методом теории потенциалов. Сб. асп. работ Казанского ун-та, Матем., 1969, с.81-90.

29. Товмасян Н.Е. Об одном методе решения краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. Мат. сб., 1972, т.89 (131), № 4, с.599-615.

30. Товмасян Н.Е. Новая постановка и исследование первой, второй и третьей краевых задач для сильно связанных эллиптических систем двух дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Изв. АН Арм.ССР, 1968, т.З, № 6, с.497-521.

31. Товмасян Н.Е., Агасян Л.А. Решение смешанной задачи для уравнения Лапласа методом последовательных приближений в многосвязных неограниченных областях. ДАН Арм.ССР, 1983, т.77, № 4, с.162-166.

32. Товмасян Н.Е. Некоторые краевые задачи для уравнения Лапласа с разрывными граничными данными. АН СССР, Сиб. мат. журн., 1964, т.5, № I, с.174-185.

33. Товмасян Н.Е. Общая краевая задача для эллиптических систем второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференц. уравн., 1966, т.2, № I, с.3-23; № 2, с.163-171.

34. Товмасян Н.Е. Некоторые граничные задачи для систем эллиптических уравнений второго порядка, не удовлетворяющих условию Лопатинского. ДАН СССР, 1965, т.160, с.1028-1031.

35. Товмасян Н.Е. Эффективные методы решения задачи Дирихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в областях, ограниченным эллипсом. Дифференц. уравн., 1969, т.5, № I, с. 6071.

36. Товмасян Н.Е. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с особенностями в классе аналитических функций . -Дифференц. уравн., 1976, т.12, № 9, с.1596-1604.

37. Товмасян Н.Е. О существовании и единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в классах функций, имеющих особенности на границе области. АН СССР, Сибирск.мат.журн., 1961, т.2, № 2, с.290-312.

38. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные граничные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их