Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Китаева Ольга Геннадьевна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВЫХ И НЕУСТОЙЧИВЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.02 - дифференциальные уравнения

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

АВТОРЕФЕРАТ

ИРКУТСК - 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Магнитогорский государственный университет".

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Сапронов Юрий Иванович.

Ведущая организация:

Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого.

Защита состоится 9 июня 2006 года в 14 ч.ОО мин. на заседании диссертационного совета Д 003.021^01 в Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу:

664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления СО РАН.

Автореферат разослан " ^ " 2006 г.

кандидат физико-математических наук, доцент Шароглазов Владимир Семенович.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н.

Г.А. Опарин

37 м

Общая характеристика работы

Цель работы. Пусть Я и $ ~ банаховы пространства, операторы Ь,М € Сг(Я;#), а оператор N € С^И;^, & € Ми {оо}. Рассмотрим полулинейное уравнение соболевского типа

Ьй = Ми + М{и). (1)

Нашей целью является изучение устойчивости решений уравнения (1) в терминах локальных инвариантных многообразий в случае необратимости оператора Ь, в частности, когда его ядро кетЬ Ф {0}. На важность этой задачи указывает широкий класс уравнений в частных производных неразрешенных относительно старшей производной по времени. К ним относятся

- уравнение Осколкова нелинейной фильтрации

(I — эеД)<?г = и Ад — \д\р~1д, (2)

моделирующее давление фильтрующейся вязкоупругой несжимаемой жидкости;

- уравнение Осколкова

моделирующее плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости;

- уравнение Бенжамина-Бона-Махони

М - игхх - ггх, (4)

моделирующее длинные волны в нелинейных дисперсных средах с диссипацией;

- уравнение Хоффа

(А + А^ ~ ау + 0у3, (5)

РОС. НАЦИОНиЬНАЯ

ВИБЛНО!ГКА

С.-Петербург

_ ОЭ

моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки. Все уравнения (2) - (4) в подходящих функциональных пространствах могут быть представлены уравнением (1).

Актуальность темы. Понятие инвариантного многообразия ввел А. Пуанкаре в 1899 году, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти исследования были продолжены в работах Ж. Адамара, Д. Льюиса, О. Перрона, выполненными в конце позапрошлого и в начале прошлого веков. Некоторые вопросы, относящиеся к этой тематике, были рассмотрены A.M. Ляпуновым, хотя само понятие инвариантного многообразия им не вводилось. Его исследования легли в основу работ H.H. Красовского, В.М. Матросова, В.И. Зубова и других. Дальнейшее развитие теория инвариантных многообразий (существование, гладкость, устойчивость и т.д.) систем дифференциальных уравнений в окрестности стационарной точки в конечномерном пространстве получила в работах Д.В. Аносова, А. Келли, С. Стенберга, В.А. Плисса, Е. Коддинктона, Н. Левинсона, Ф. Хартмана, Дж. К. Хейла и других. В монографии Д. Хенри1 сделан перенос конечномерной теории инвариантных многообразий на банаховы пространства. Работа Д. Хенри является одной из отправных точек данной диссертации.

Другая отправная точка лежит в области уравнений соболевского типа. Систематическое изучение таких уравнений началось со знаменитой работы С.Л. Соболева, которая ознаменовала собой открытие нового научного направления, развиваемого первоначально учениками С.Л. Соболева - P.A. Александряном, Т.И. Зеленяком, С.А. Гальперном и многими другими. Одновременно с этим направлением в работах С.Г. Крейна с учениками и независимо в работах

1 Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. - М.: Мир, 1985.

М.И. Вишика появились результаты о разрешимости задачи Коши для вырожденного линейного (т.е. N = О) уравнения вида (1). Эти работы имели теоретический характер и потому не содержали приложений. Впервые абстрактные уравнения вида (1) в связи с их конкретными интерпретациями появились в работах H.A. Сидорова с учениками и в работах P.E. Шоуолтера. О прогрессе в этой области можно судить по количеству монографий, опубликованных в последние годы. Именно, работы Ю.Е. Бояринцева и В.Ф. Чистякова; X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса; Г.В. Демиденко и С.В. Успенского; С.Г. Пяткова; H.A. Мельниковой; H.A. Сидорова, В.И. Логинова, A.B. Синицина и М.В. Фалалеева; А. Фавини и А. Яги в основном имеют пересечения лишь по объекту исследований.

Данная диссертация выполнена в рамках направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. Наиболее близко данное исследование примыкает к диссертации A.B. Келлер2 в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (1); диссертации М.М. Якупова3 в той ее части, где рассматривается фазовое пространство уравнения Осколкова; и диссертации В.О. Казака4, в той ее части, где рассматриваются фазовые пространства уравнений Хоффа и Осколкова нелинейной фильтрации.

2Келлер, A.B. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / A.B. Келлер. - Челябинск' Челяб. гос. ун-т, 1997.

3Якупов, М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.М. Яку-пов. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999.

4Казак, В.О. Исследование фазовых пространтсв одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: Дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.О. Казак. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2005.

Методы исследования. Основным методом исследования для нас является теорема Адамара-Перрона в приложении к уравнениям вида (1). Для ее получения мы редуцируем сингулярное (т.е. kerb ф {0}) уравнение (1) к регулярному

й = Su + F(u), (6)

определенному однако не на всем пространстве Я, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (1). При редукции используется метод фазового пространства, основы которого заложили Г.А. Сви-ридюк и Т.Г. Сукачева5, и который базируется на теории относительно р-ограниченных операторов и порождаемых ими вырожденных групп операторов6. Считая фазовое пространство уравнения (1) гладким банаховым многообразием, мы распространяем теорему Адамара-Перрона на уравнение (6), определенное на таком многообразии. При доказательстве теоремы используются методы нелинейного функционального анализа, такие как теорема о сжимающих операторах. При редукции абстрактных результатов к конкретным уравнениям (5)—(4) мы используем стандартную технику, возникшую на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных, основы которой заложены С.Л. Соболевым, К.О. Фридрихсом и Ж. Лере. Заметим еще, что функциональные пространства подбираются таким образом, чтобы можно было удовлетворить достаточным требованиям теоремы Адамара-Перрона для уравнения (1).

5Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболев / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. - 1990. - Т 26. N9. - С.250-258.

eSviridyuk, G.A. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht - Boston - Tokyo: VSP, 2003.

Новизна полученных результатов. Впервые доказана теорема Адамара-Перрона для уравнения соболевского типа вида (1) и впервые описаны устойчивые и/или неустойчивые инвариантные многообразия для уравнений Венжа-мина-Бона-Махони, Хоффа, Осколкова.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертации заключается в доказательстве теоремы Адамара-Перрона для полулинейного уравнения соболевского типа вида (1) с необратимым оператором Ь, определенного в банаховых пространствах. Теорема содержит достаточные условия существования устойчивого и неустойчивого инвариантных могообразий уравнения (1) в окрестности точки нуль. Практическая значимость диссертации заключается в адекватности полученных абстрактных результатов широкому диапазону прикладных задач. В частности, на качественном уровне объяснена неустойчивость нулевого решения уравнений Бенжа-мина-Бона-Махони, Хоффа и Осколкова.

Апробация полученных результатов. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2003), Международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), семинаре профессора А.И. Прилепко кафедры математического анализа Московского государственного университа (Москва, 2005), на Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), на ХЫП внутриву-

зовской научной конференции преподавателей МаГУ "Современные проблемы науки и образования" (Магнитогорск, 2005), на IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2005); на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета и семинаре профессора Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ, список которых приводится в конце автореферата. В совместных публикациях научному руководителю принадлежат лишь постановки задач.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, двух глав и Списка литературы. Объем диссертации составляет 111 страниц. Библиография содержит 89 наименований работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации. В заключении введения автор выражает призательность своему научному руководителю профессору Г.А. Свиридюку, ректорату, кафедре математического анализа, кафедре прикладной математики и вычислительной техники МаГУ, кафедре математического анализа ЧелГУ, а также родителям автора Геннадию Павловичу, Любови Степановне.

В первой главе главе приводятся сведения об инвариантных пространствах и экспоненциальных дихотомиях ' линейных уравнений соболевского типа

?

Lu = Ми. (7) '

В ней обобщаются некоторые результаты диссертации A.B. Келлер, на случай, когда оба оператора L и М являются замкнутыми.

В п. 1.1 приводятся определения ¿-резольвентного множества pL{M) = {р € С : (цЬ-М)'1 € £(£; 11)} и ¿-спектра oL{M) = C\pL(M) оператора М, их свойства и определение понятий, связанных с указанными множествами. Теорема 1. Пусть выполнены условия

(»L - M)-lL е £(£), L(ßL - М)-1 е £($), , . где £ = domL Q domM, u£ = tt, [ )

тогда правая и левая L-резолъвенты оператора М голоморфны по ß в pL(M).

В п. 1.2 формулируются условия, при которых существуют относительно спектральные проекторы, а также рассматриваются относительно присоединенные векторы. Теорема 2. Пусть выполнены условия (8) и

aL(M) = 4(М) LM(М), erf (М) ф 0, причем существует замкнутый контур 7 € С, ограничивающий область,

содержащую а\ (М), а Стц (М) лежит вне этой области,

7{>oW = 0,

(9)

тогда операторы

(i)Lk :£Г\йк —¿ = 0,1;

В п. 1.3 доказывается обобщение теоремы об относительном спектре и строятся аналитические группы операторов в случае, когда относительный спектр представим в виде двух непересекающихся частей.

Теорема 3. Пусть выполнены условия (8) и (9), тогда относительный спектр оператора М распадается следующим образом: а £ (М) = <7Ьк(Мк), к = 0,1.

В п. 1.4 обобщаются результаты для (¿^-ограниченных операторов.

Теорема 4. Пусть оператор М (Ь, а) -ограничен и выполнены условия (8), тогда

(1) операторы Ьк <Е а(Я*;3*), Мк е а(Я*;5*), к = 0,1;

(И) существуют операторы Ь~[1 Е £(Зг1;1Х1) и М^1 €

В п. 1.5 рассматриваются фазовые пространства в случае, когда Х-спектр оператора М ограничен.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (8), оператор М (£,р)-ограничен, р Е {0} 11К и операторы

Н = М^Ьо 6 £(Я°), 5 = е ¿(Я1). (10)

Тогда фазовое пространство уравнения (9) совпадает с образом группы разрешающих операторов.

П. 1.6 является естественным продолжением п. 1.3. Здесь обобщаются результаты о существовании инвариантных пространств и дихотомий однородных уравнений соболевского типа. Показано, что фазовое пространство уравнения (7) распадается на прямую сумму инвариантных пространств, причем решения, начинающиеся в Я12, экспоненциально убывают (оставаясь в Я12), а решения, начинающиеся в Я11, экспоненциально растут (оставаясь в Я11). Другими словами, решения из Я12 экспоненциально убывают, а решения из Я11 экспоненциально растут при t —> +оо.

Во второй главе содержится один из основных результатов - доказательство теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа вида (1) с необратимым оператором при производной по времени, определяемых в банаховых пространствах.

П. 2.1 носит пропедевтический характер. В нем собраны факты теории гладких многообразий, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. Доказательства этих фактов можно найти в фундаментальной монографии С. Ленга7.

В п. 2.2 определяются квазистационарные траектории уравнения (1) и описываются множества, в которых лежат эти траектории. Оказывается, что во всех рассматриваемых здесь моделях решения являются в точности квазистационарными траекториями, а множества, на которых они лежат, оказываются фазовыми пространствами.

В п. 2.3 содержится доказательство теоремы Адамара-Перрона для уравнения вида

« = Ли+ <?(«), (11)

взятое из монографии Д. Хенри и адаптированное к нашей ситуации.

П. 2.4 содержит обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай уравнения (1). Пусть оператор М (£,р)-ограничен, р 6 {0}иМ, и выполнены условия (8), (10). Пусть множество Ш = {и £ и : (I-0){Ми-\-Н(и)) = 0} является простым банаховым (^-многообразием, к € Ни{оо}. Пусть выполнено условие

оь(М) П {Ш} = 0. (12)

Тогда можно построить проекторы

Р«г) = ¿11 д1(г) = ~ I

7/(г) 7»(г)

где контур (г) лежит в левой (правой) полуплоскости и ограничивает область, содержащую ту часть ¿-спектра оператора М, которая расположена в данной полуплоскости.

7Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Лент. - Волгоград: Платон, 1996.

Определение 1. Множество ШТ3^={ио€и: ||-Рг(г)г«о||.ц< Дх, < -^2, * £ такое, что

диффеоморфно замкнутому шару в (п) касается в начале координат;

(ш) при любом «о 6 ЯЯ'М ||лх 0 при

£ +(—)оо, называется устойчивым (неустойчивым) инвариантным многообразием уравнения (1).

Теорема 6. Пусть выполнены условия (8), (10), (12) и множество = {и € И : (I - 0){Ми + N{4)) — 0} является простым банаховым Ск-многообразием, к Е Ми{оо}. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен, р £ {0} и М, а оператор N таков, что N(0) = 0, Л^ = О. Тогда при некоторых Щ, ] = 1,2 существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения (1). Причем если для некоторого щ Е Ш имеет место ||-Р/(г)^о||и < -Й1 и ||и(<, гло)||и < В-2 при t ->• +(-)оо, то щ € .

В третьей главе рассматриваются приложения полученных абстрактных результатов к конкретным уравнениям математической физики.

В п. 3.1 представлены основные результаты по теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. В основном все результаты взяты из монографии X. Трибеля.8

П. 3.2 посвящен исследованию инвариантных многообразий уравнения Осколкова нелинейной фильтрации.

Теорема 7. (г) При любых эе,V £ К+, п > 3, 2 < р < 4/(п—2)+2 фазовое пространство уравнения (2) совпадает с устойчивым инвариантным многообразием.

(и) При любых ээ е и € К+, п > 3, 2 < р < 4/(п — 2) + 2 уравнение (2) в окрестности точки нуль имеет конечномерное устойчивое инвариантное многообразие

8Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель - М.: Мир, 1980.

сИтЯЛ4 = тах{/ : Аг-1 < ае} и бесконечномерное неустойчивое инвариантное многообразие ЯЛ", 00(11111971" = сИтЯЯ® + сИт кег Ь.

В п. 3.3 изучаются устойчивое и неустойчивое многообразия уравнения Осколкова плоскопараллельной динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости.

Теорема 8. При любых А £ 1, и 6 К+ уравнение (3) в окрестности точки нуль имеет конечномерное неустойчивое инвариантное многообразие ЯЛ", (НтЯЯ" = тах{1 : А; > Л}, и бесконечномерное устойчивое инвариантное многообразие Ш", сосПт Ш" = сПтЭДТ" + сИткег Ь,

В п. 3.4 рассмотрено приложение теоремы Адамара-Перрона к уравнению Бенжамина-Бона-Махони для описания инвариантных многообразий в окрестности нулевого решения.

Теорема 9. При любых А Е Е \ {0}, V € уравнение (4) в окрестности точки нуль имеет конечномерное неустойчивое ЯЯ4 и бесконечномерное устойчивое ЯЛ" инвариантные многообразия, моделируемые пространствами Д8 и Ыи, соответственно.

В п. 3.5 доказывается существование конечномерного неустойчивого многообразий уравнения Хоффа.

Теорема 10. Пусть п < 4, а, /9, А € Тогда если

(г) А < —Х\, то уравнение (5) в окрестности точки не имеет неустойчивого инвариантного многообразия;

(И) —Х\ < А, то уравнение (5) в окрестности точки нуль имеет конечномерное неустойчивое инвариантное многообразие Я7Г", сЦтЯЛ" = тах{А; : —Аг < А}.

Результаты диссертации, выносимые на защиту.

1. Докательство теоремы Адамара-Перрона для полулинейного уравнения соболевского типа с необратимым оператором при производной по времени, определенного в банаховых пространствах в случае, когда оператор М (Ь,р)~

ограничен.

2. Приложения теоремы Адамара-Перрона к

- уравнению Осколкова плоскопараллельной динамики вязкоупругой несжимающей жидкости;

- уравнению Осколкова нелинейной фильтрации;

- уравнению Бенжамина-Бона-Махони, моделирующему длинные волны в нелинейных дисперсных средах с диссипацией;

- уравнению Хоффа, моделирующему динамику выпучивания двутавровой балки с целью описания устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий в окрестности нулевого решения.

Публикации автора по теме диссертации

1. Свиридюк, Г.А. Инвариантные многообразия одного класса полулинейных уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, О.Г. Китаева // Тезисы докладов Воронежкой зимней математической школы. 26 января - 2 февраля 2003. - Воронеж, 2003. - С.122.

2. Китаева, О.Г. О локально инвариантных многообразиях уравнения Хоффа / О.Г. Китаева, Г.А. Свиридюк // Вестник Тамбовского университета. Сер. естеств. и техн. науки. - Тамбов, 2003. - Т.8 - вып.З. - С.395.

3. Китаева, О.Г. Об относительно спектральных проекторах / О.Г. Китаева, Г.А. Свиридюк // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII межвуз. конф. 29-31 мая 2003 - Самара, 2003. - С.88-89.

4. Свиридюк, Г.А. Обобщение относительно спектральной теоремы / Г.А. Свиридюк, О.Г. Китаева // Вестник МаГУ. Математика.- Вып.4.- Магнитогорск: МаГУ, 2003. -С.121-128.

5. Kitaeva, О.Н. On local invariant manifolds of the semilinear sobolev-type equations / O.H. Kitaeva // International

conference "Nonlinear partial differential equations", Alushta, September 15-21, 2003. - Alushta, 2003. - P.103.

6. Китаева, О.Г. Существование локального инвариантного многообразия уравнения Хоффа / О.Г. Китаева // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова, Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета "Лиманчик", 5-11 сентября 2004,- Ростов-на-Дону: Изд-во ООО "ЦВВР", 2004.- С.281-282.

7. Китаева, О.Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / О.Г. Китаева // Тезисы докладов XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых " Ломоносов-2005".- Москва: МГУ, 2005. - С.26-27.

8. Китаева, О.Г. Об инвариантных многообразиях одного неклассичесского уравнения / О.Г. Китаева // Лаврен-тьевские чтения по математике, механике и физике. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева. 27 -31 мая 2005 г., Новосибирск. - Новосибирск, 2005. - С.57-58.

9. Китаева, О.Г. Существование инвариантных многообразий уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / О.Г. Китаева // Современные проблемы науки и образования: Тезисы докладов XLIII внутривузовской научной конференции преподавателей МаГУ. - Магнитогорск: МаГУ, 2005. С. 287-288.

10. Свиридюк, Г.А. Ивариантные многообразия уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, О.Г. Китаева // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2005. - № 6. - С.13-17.

11. Kitaeva, O.G. On invariant manifolds of the semilinear Sobolev-type equation / O.G. Kitaeva // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Alushta, Ukraine, September 17-23, 2005. - Donetsk, 2005. - P.54.

р - 97 1*

12. Китаева, О.Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Хоффа/ О.Г. Китаева // Вестник МаГУ. Математика.- Вып.8.- Магнитогорск: МаГУ, 2005. - С.96-112.

13. Китаева, О.Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Осколкова / О.Г. Китаева, Г.А. Свиридюк // Неклассические уравнения математической физики: Труды семинара, посвященного 60-летию профессора Н.В. Врагова / Под ред. А.И. Кожанова. - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2005. - С.160-166.

Редакционно-издательский отдел Магнитогорского государственнного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Подписало к печати 26.04.06 г. Формат 60 х 84^г. Объем 1 п. л. Заказ 240. Тираж 100 экз. Типография МаГУ

Обозначения и соглашения

Введение

1 ИНВАРИАНТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ДИХОТОМИИ

1.1 Относительные резольвенты.

1.2 Относительно спектральные проекторы.

1.3 Относительный спектр и аналитические группы операторов.

1.4 Относительно сг-ограниченные операторы

1.5 Фазовые пространства.

1.6 Инвариантные пространства и экспоненциальные дихотомии.

2 ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

2.1 Банаховы многообразия и векторные поля

2.2 Квазистационарные траектории

2.3 Теорема Адамара-Перрона.

2.4 Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия

Постановка задачи

Пусть It и банаховы пространства, операторы L,M € Cl(it; 5), а оператор iV € A; G NU{oo}. Рассмотрим полулинейное операторно-дифференциальное уравнение

Lu = Ми + N(u). (0.1)

Пусть оператор L-1 £ £(#;Н), тогда уравнение (0.1) можно редуцировать к одному из эквивалентных ему уравнений u = Su + F(u), /=Т/ + Р(/), (0.2) где операторы S = L~lM, Т = ML'1, F = L1iV, Р = iVL1. Введем в рассмотрение банахово пространство ЯЗ. Уравнения (0.2) можно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения v = Rv + G(v), (0.3) где операторы R 6 С1(Ю), G е Cfc(QJ), А; е N U {оо}. Пусть спектр cr(R) оператора R таков, что a(R) = ar{R) LM#), (jr{R) С {А £ С : Re А > 0}, (0.4) ai{R) С {Л е С : Re Л < 0}, ^ тогда при довольно широких предположениях (см. например, [13]) л и ней мое ура hi юн ие v = Rv

0.5) имеет 53' устойчивое и ЗДГ неустойчивое инвариантные пространства (рис. 1). п}>ичем 03 = Ю1 фШ''. Если же оператор G таков, что

3(0) = 0, G'0 = О,

0.С) где через G'{] обозначена производная Фреше оператора G в точке нуль, то и окрестности точки нуль существуют устойчивое ОТ* и неустойчивое 07" многообразия уравнения (0.3) (рис. 2). касающиеся в точке нуль подпространств Ю1 и W соответственно (см. например, [G4]). Первые результаты в этом направлении были получены Ж. Адам аром и О. Перроном (см. [4]), и потому результаты такого вида по традиции называются теоремой Адамара-Перрона.

Рис. 1. Устойчивое и неустойчивое инвариантные пространства уравнения (0.5).

Рис. 2. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения (0.3).

Нашей задачей является распространение теоремы Адамара-Перрона на уравнение (0.1) в случае необратимости оператора L, в частности, когда его ядро kerL = {0}. На важность этой задачи указывает широкий класс уравнений в частных производных неразрешенных относительно старшей производной по времени, которые появились в последнее время в приложениях. К ним относятся

- уравнение Осколкова [41] нелинейной фильтрации

I - азД)gt = i/Дд - \gf~lg, (0.7) моделирующее давление фильтрующейся вязкоупругой несжимаемой жидкости;

- уравнение Осколкова [38] моделирующее плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости;

- уравнение Бенжамина-Бона-Махони [66]

A^f — zxxt = pzxx — zzx, (0-9) моделирующее длинные волны в нелинейных дисперсных средах с диссипацией;

- уравнение Хоффа [73]

Л + Д)^ = ш/ + /Зт/3, (0.10) моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки. Все уравнения (0.7) - (0.9) в подходящих функциональных пространствах могут быть представлены уравнением (0.1).

Но прежде чем приступить к решению этой задачи, необходимо распространить результаты [23] линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.1) в случае, когда оба оператора L и М линейны и замкнуты. (В [23] рассмотрен случай, когда замкнут и линеен только оператор М, а оператор L линеен и непрерывен). Описание инвариантных устойчивого и неустойчивого пространств линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.1) - первый шаг к изучению инвариантных устойчивого и неустойчивого многообразий полулинейного уравнения (0.1).

Терминология

Впервые уравнения в частных производных неразрешенные относительно старшей производной по времени начал изучать А. Пуанкаре в 1885 году. Затем такие уравнения появились в работах Дж. Буссинеска, С. Дж. Россби, С.В. Озена, Ф.К. Дж. Одквиста и многих других (см. прекрасный обзор в [70]). Однако систематическое изучение таких уравнений началось со знаменитой работы C.JI. Соболева [57], которая ознаменовала собой открытие нового научного направления, развиваемого первоначально учениками C.JI. Соболева - Р.А. Александряном [1], Т.И. Зеленяком [19], С.А. Гальперном [12] и многими другими. На важность создания общей теории уравнений вида (0.1) указывали И.Г. Петровский [43] и Ж.-Л. Лионе [33].

Одновременно с этим направлением в работах С.Г. Крейна [28] с учениками [29], [21] и независимо в работах М.И. Вишика [9] появились результаты о разрешимости задачи Коши для вырожденного (т.е. ker L = {0}) линейного (т.е. N = О) уравнения вида (0.1). Эти работы имели теоретический характер и потому не содержали приложений. Впервые абстрактные уравнения вида (0.1) в связи с их конкретными интерпретациями появились в работах Н.А. Сидорова с учениками [55], [56] и в работах Р.Е. Шоуолтера [84] - [86]. Начиная с работ Р.Е. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.1), так и их конкретные интерпретации (0.6) - (0.10) называть уравнениями соболевского типа. Мы будем использовать этот термин, предпочитая его терминам "вырожденные дифференциальные уравнния" [71], "неклассические дифференциальные уравнения" [15], "псевдопараболические уравнения" [71], или "псевдогиперболические уравнения" [70], и "уравнения не типа Коши-Ковалевской" [32], [41], [33], [43].

Актуальность темы диссертации

Понятие инвариантного многообразия ввел А. Пуанкаре в 1899 году, изучая отображения, порождаемые решениями обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти исследования были продолжены в работах Ж. Адамара, Д. Льюиса, О. Перрона выполненными в конце позапрошлого и в начале прошлого веков. Некоторые вопросы относящиеся к этой тематике, были рассмотрены A.M. Ляпуновым [33], хотя само понятие инвариантного многообразия им не вводилось. Его исследования легли в основу работ Н.Н. Красовского, В.М. Матросова, В.И. Зубова и других. Так в монографии [27] при исследовании поведения решений нелинейных динамических систем применяется метод функций Ляпунова, позволяющий установить асимптотическую устойчивость в большом нулевого положения равновесия и получить оценки его области асимптотической устойчивости - области притяжения. Работа [20] содержит методы для решения проблемы устойчивости многообразий, проблемы управления вращательным движением и задачи динамики встречи. Эти методы основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем. В монографии [36] рассматриваются вопросы притяжения для автономных механических систем. Исследования основаны на принципе инвариантности с использованием функций Ляпунова. Дальнейшее развитие теория инвариантных многообразий (существование, гладкость, устойчивость и т.д.) систем дифференциальных уравнений в окрестности стационарной точки получила в работах Д.В. Аносова [3], А. Келли [75], С. Стенберга [88], В.А. Плисса [42] и других. С большей степенью полноты эти вопросы были рассмотрены в монографиях Е. Коддинктона и Н.

Левинсона [78], Ф. Хартмана [63] и Дж. К. Хейла [72], в которых уравнение (0.3) рассматривалось в конечномерном пространстве при условиях (0.4) и (0.6). Эти монографии легли в основу фундаментального труда Д. Хенри [64], в котором сделан тщательный перенос конечномерной теории инвариантных многообразий на банаховы пространства. Монография Д. Хенри является одной из отправных точек данной диссертации.

Другая отправная точка лежит в области уравнений соболевского типа. О прогрессе в этой области можно судить по колли-честву монографий, опубликованных в последний годы. Так в монографии В.Н. Врагова [10] рассматриваются начально-краевые задачи для линейных (т.е. N — О) уравнений вида (0.1) и выделяется класс неклассических уравнений математической физики. В работах А.И. Кожанова [25], [26] изучаются уравнения составного типа, которые имеют вид (0.1).

В монографии А. Фавини и А. Яги [71] основным объектом исследования является задача с начальными условиями

4-Mv = Lv + f(t), 0 <t<T, Mv( 0) = v0 (0.11) dt в банаховом пространстве X, где М и L замкнутые линейные операторы в X, /(•) - непрерывная на [О, Т] функция со значениями в X, a vq - заданный элемент из X. В общем случае оператор М-1 не является непрерывным, поэтому авторы используют два основных метода исследования уравнения вида (0.11) - метод полугрупп и операционный метод. Этод подход заключается в редукции исходной задачи к многозначному дифференциальному уравнению /(*), о <t<T, и(0) = и0, где А = LM~\ a u{t) = Mv(t). В работе А. Фавини и А. Яги абстрактная теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к уравнениям с частными производными.

В монографии И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова и С.В. Попова [15] описан математический аппарат, который использован при постановке и исследовании краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений и приведен ряд результатов о разрешимости краевых задач для таких уравнений. Здесь изучались уравнения, в которых оператор при старшей производной не знакоопределен, т.е. его спектр, в случае вещественности, содержит неограниченные подмножества положительной и отрицательной полуосей одновременно, или оператор необратим. Рассматривались уравнения вида

Вщ + Lu = f, где L, В - самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Е (оператор В может быть необратимым, например, он может иметь ненулевое ядро). В этой монографии исследуются спектральные задачи для линейных пучков вида Lu = ХВи, где

L, В - самосопряженные операторы. Были рассмотрены вопросы базисности собственных и присоединенных элементов этой задачи в пространстве с нормой ||и||о = ЩВ^иЦ, где || • || - норма в исходном гильбертовом пространстве Е. Здесь же рассмотрены аналогичные вопросы для эллиптических спектральных задач с незна-коопределенной весовой функцией, приведены также результаты по интерполяции весовых пространств Соболева. Все результаты получены на основе теории интерполяции.

Задача

B(t)x^N\t)=A(t,x) + f(t), х®(0) = х{, г = 0,1,., JV — 1, где операторы B(t): A(t,x) определены в некоторой окрестности Q = {£,ж| \t\ < р, ||ж|| < R} и действуют из Е\ в Е2, Е\,Е2 -банаховы пространства, В(0) - фредгольмов оператор, f(t) £ Е2, была рассмотрена в монографии Н.А. Сидорова, В.И. Логинова, А.А. Синицина, М.В. Фалалеева [80]. В ней были получены результаты, связанные с построением непрерывных и обобщенных решений таких задач на основе метода Некрасова-Назарова неопределенных коэффициентов и топологических методов.

Монография Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [70] посвящена изучению линейных уравнений соболевского типа вида г-i

AqD\u + Ai-kDktu = /, к=0 где Ao,Ai,. ,Ai - линейные дифференциальные операторы относительно х = (xi,., хп), причем Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Используя метод, основанный на построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах, изучаются краевые задачи для такого вида уравнений.

Изложению основных фактов теории монотонных операторов и ее применению к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными посвящена монография X. Гаевского, К. Грегера и К. Захариаса [11]. В ней дается функционально-аналитическая формулировка различных краевых задач для эллиптических и параболических дифференциальных уравнений, а именно они формулируются в виде операторных уравнений

Au = U и Е V, fe v\ с оператором А, действующим из рефлексивного банахова пространства V в сопряженное пространство V*. Здесь подробно описывается связь между эллиптическими и параболическими краевыми задачами и операторными уравнениями в рефлексивных банаховых пространствах. Рассматриваются уравнения соболевского типа, названные здесь псевдопараболическими уравнениями. В монографии речь идет о теоремах существования, обосновываются различные методы, например метод Галеркина.

Предметом изучения в монографии Ю.Е. Бояринцева и В.Ф.

Чистякова [6] являются алгебро-дифференциальные системы (АДС), т.е. системы вида B{t)x(t) + т о < г < т, с прямоугольной или вырожденной при всех t £ [О, Т] матрицей A(t). Авторы вводят классификацию АДС, выясняют структуру решения АДС определенного вида, изучают локальные свойства АДС с конечномерным пространством решений и доказывают утверждение о достаточном условии бесконечномерности. В монографии дается определение особой точки АДС, обобщающее определение особой точки, известное из стандартных курсов дифференциальных уравнений, вводится их классификация, получены критерии наличия или отсутствия на отрезке [О, Т] особых точек. Здесь получен результат о том, что размерность пространства решений суперпозиции двух операторов АДС равна сумме размерностей пространств исходных операторов. В своей моногорафии Ю.Е. Бояринцев и В.Ф. Чистяков изучают возможность применения метода наименьших квадратов и модифицированного метода Ньютона для решения АДС.

Данная диссертация выполнена в рамках направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. Основы этого направления заложены в докторской диссертации [45], которая легла в основу многих исследований как линейных, так и нелинейных. К линейным относится диссертация Т.А. Бокаревой [5], в которой развита теория (L, ^-ограниченных и L-секториальных операторов. В диссертации JI.JI. Дудко [14] сделано обобщение на случай (L, р)-секториального оператора и рассмотрены L-радиаль-ные операторы. В.Е. Федоров [62] обобщил приведенные раненее исследования, введя понятие (£,р)-радиального оператора, и доказал аналог теоремы Хилле-Иосиды-Филлипса-Феллера-Мия-деры для уравнений соболевского типа. В диссертации А.А. Ефремова [16] на решениях задачи Коши для уравнений соболевского типа с относитено р-ограниченными и р-секториальными операторами исследуются задачи оптимального управления. Г.А. Кузнецов [30] продолжил нахождение достаточных условий (L,p)~ограниченности и (L, р)-секториальности оператора М. Инвариантные многообразия и экспоненциальные дихотомии линейного уравнения соболевского типа, в случае L-секториальности оператора М, были изучеиы в диссертации А.В. Келлер [23]. Исследованию задачи Веригина посвящена работа С.А. Загребиной [17]. В своей диссертации С.В. Брычев [7] построил численный алгоритм решения задачи Коши для линейного операторного уравнения соболевского типа, который был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска. В диссертации А.А. Замышляевой [18] получены достаточные условия однозначной разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа высокого порядка. В диссертации О.А. Рузаковой [44] исследуется управляемость линейного уравнения соболевского тина, то есть возможность приведения траекторий его решения в наперед заданную точку или в е-окрестность заданной точки в случае, когда существует сильно непрерывная полугруппа этого уравнения.

Исторически первой диссертацией, защищенной под руководством Г.А. Свиридюка, была диссертация Т.Г. Сукачевой [58], в которой линейный метод С.В. Зубовой и К.И. Чернышева [21] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В дальнейшем Т.Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений соболевского типа [51], [53], [59], [60]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Якупова [65], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова (0.8) и различных его модификации. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В.О. Казака [23].

Из всего списка работ необходимо выделить диссертацию А.В. Келлер [23] в той ее части, где рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии решений линейного (т.е. оператор N = О) уравнения (0.1) (см. также [49]); диссертацию М.М. Якупова [65] в той ее части, где рассматривается фазовое пространство уравнения Осколкова (см. также [54]); и диссертацию В.О. Казака [23], в той ее части, где рассматриваются фазовые пространства уравнений Хоффа и Осколкова нелинейной фильтрации. Работы [49], [54] вместе с работами [47] - [50] составляют базу данной диссертации в области уравнений соболевского типа. На основании сказанного следует сказать, что тема диссертации является актуальной как с точки зрения теории инвариантных многообразий, так и точки зрения уравнений соболевского типа.

Методы исследования

Основным методом исследования для нас является теорема Ада-мара-Перрона в приложении к уравнениям вида (0.1). Для ее получения мы редуцируем сингулярное (т.е. kerL = {0}) уравнение (0.1) к регулярному u=Su + F{u), (0.12) определенному однако не на всем пространстве И, а на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.1). При редукции используется метод фазового пространства, основы которого заложили Г.А. Свиридюк и Т.Г. Сукачева [53], [52], и который базируется на теории относительно р-ограни-ченных операторов и порождаемых ими вырожденных групп операторов. Считая фазовое пространство уравнения (0.1) гладким банаховым многообразием, мы распространяем теорему Адамара-Перрона на уравнение (0.12), определенное на таком многообразии. При доказательстве теоремы используются методы нелинейного функционального анализа, такие как, теорема о сжимающих операторах.

При редукции абстрактных результатов к конкретным уравнениям (0.10) - (0.9) мы используем стандартную технику, возникшую на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных, основы которой заложены C.JI. Соболевым, К.О. Фридрихсом и Ж. Лере. Заметим еще, функциональные пространства подбираются таким образом, чтобы можно было удовлетворить достаточным требованиям теоремы Адамара-Перрона для уравнения (0.12).

Теоретическая и практическая значимость Теоретическая значимость диссертации заключается в доказательстве теоремы Адамара-Перрона для полулинейного уравнения соболевского типа вида (0.1) с необратимым оператором L, определенного в банаховых пространствах. Теорема содержит достаточные условия существования устойчивого и неустойчивого инвариантных могообразий уравнения (0.1) в окрестности точки нуль Практическая значимость диссертации заключается в адекватности полученных абстрактных результатов широкому диапазону прикладных задач. В частности, на качественном уровне объяснена неустойчивость нулевого решения уравнений Хоффа, Бенжа-мина-Бона-Махони и Осколкова. Данная неустойчивость обязательно проявится при численных расчетах. Результаты выдвигаемы на защиту

На защиту выдвигаются следующие результаты:

- докательство теоремы Адам ара-Перрон а для полулинейного уравнения соболевского типа с необратимым оператором при производной по времени, определенного в банаховых пространствах;

- приложения теоремы Адамара-Перрона с целью описания устойчивого и/или неустойчивого инвариантных многообразий в окрестности нулевого решения к

- уравнению Осколкова плоскопараллельиой динамики вязкоупругой несжимающей жидкости;

- уравнению Осколкова нелинейной фильтрации;

- уравнению Бенжамина-Бона-Махони, моделирующему длинные волны в нелинейных дисперсных средах;

- уравнению Хоффа, моделирующему динамику выпучивания двутавровой балки.

Новизна полученных результатов

Все результаты, выдвигаемые на защиту, являются новыми. Они снабжены полными доказательствами, удовлетворяющими современному уровню математической строгости. Впервые доказана теорема Адамара-Перрона для уравнения соболевского типа вида (0.1), и впервые описаны устойчивые и/или неустойчивые инвариантные многообразия для уравнений Бенжамина-Бона-Махони, Хоффа и Осколкова.

Апробация полученных результатов

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2003), Международной конференции "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), Тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), семинаре профессора А.И. Прилепко кафедры математического анализа в Московском государственном уни-версите (Москва, 2005), на международной конференции посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева "Лаврентьевские чтения но математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), наХЫП внутривузовской научной конференции преподавателей МаГУ "Современные проблемы науки и образования" (Магнитогорск, 2005), на IV Всероссийской конференции "Математика, информатика, управление" (Иркутск, 2005); на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета и семинаре профессора Г.А. Свиридюка в Челябинском государственном университете.

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме Введения и Списка литературы, содержит три главы. Список литературы не претендует на полноту, в нем содержатся 89 наименований отечественных и зарубежных авторов, отражающих положение дел в узкой области на стыке теории уравнений соболевского типа и теории инвариантных многообразий.

В первой главе приводятся сведения об инвариантных пространствах и экспоненциальных дихотомиях линейных уравнений соболевского типа. В ней обобщаются некоторые результаты [23], на случай, когда оба оператора L и М являются замкнутыми. В первом параграфе приводятся определения L-резольвептного множества и L-спектра оператора М, их свойства и определение понятий, связанных с указанными множествами. Во втором формулируются условия, при которых существуют относительно спектральные проекторы, а также рассматриваются относительно присоединенные векторы. В третьем параграфе доказывается обобщение теоремы об относительном спектре и строятся аналитические группы операторов в случае, когда относительный спектр представим в виде двух непересекающихся частей. В четвертом параграфе обобщаются результаты для (L, сг)-ограниченных операторов. В пятом рассматриваются фазовые пространства в случае, когда Х-спектр оператора М ограничен. Шестой параграф является естественным продолжением третьего. Здесь рассматриваются инвариантные пространства и дихотомии однородных уравнений соболевского типа.

Вторая глава содержит один из основных результатов - доказательство теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа вида (0.1) с необратимым оператором при производной по времени, определяемых в банаховых пространствах. Первый параграф носит пропедевтический характер. В нем собраны факты теории гладких многообразий, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. Доказательства этих фактов можно найти в фундаментальной монографии С. Ленга [31]. Во втором параграфе определяются квазистационарные траектории уравнения (0.1) и описываются множества, в которых лежат эти траектории. Эти понятия были впервые введены Г.А. Свиридюком [46], а затем развиты в совместных работах с его учениками [47], [48], [50], [54]. Оказывается, что во всех рассматриваемых здесь моделях решения являются в точности квазистационарными траекториями, а множества, на которых они лежат, оказываются фазовыми пространствами. В третьем параграфе содержится доказательство теоремы Адамара-Перрона для уравнения (0.4), взятое из [64] и адаптированное к нашей ситуации. Четвертый параграф содержит обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай уравнения (0.1).

Третья глава посвящена приложениям полученных абстрактных результатов к конкретным уравнениям математической физики. В первом параграфе представлены основные результаты по теории функциональных пространств и дифференциальных операторов. В основном все результаты взяты из монографии X. Три-беля [61]. Во втором параграфе проводится редукция уравнения (0.7) к уравнению (0.1) и доказывается сущетвование бесконечномерного неустойчивого и конечномерного устойчивого многообразий уравнения Осколкова нелинейной фильтрации. Исследованию инвариантных многообразий уравнения Осколкова плоскопараллельной динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости посвящен третий параграф. В четвертом параграфе изучаются устойчивое и неустойчивое многообразия уравнения Бенжамина-Бона-Махони. В пятом параграфе рассмотрено приложение теоремы Адамара-Перрона к уравнению Хоффа для описания инвариантных неустойчивого инвариантного многообразия в окрестности нулевого решения.

Благодарности

Автор диссертации выражает искреннюю благодарность научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постановку задачи, конструктивные замечания в процессе работы над диссертацией, заинтересованное обсуждение научных результатов. Особая признательность автора своим родителям Геннадию Павловичу и Любови Степановне за терпение и понимание. Глубокая благодарность ректорату, кафедре математического анализа, кафедре прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и доброе отношение к диссертанту; кафедре математического анализа Челябинского государственного университета за плодотворные дискуссии.

1. Александрян, Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденные системами дифференциальных уравнений тина C.J1. Соболева / Р.А. Александрян // Тр. ММО. - I960. -Т.9. - С.455-505.

2. Амфилохиев, В.Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Войт-кунский, Н.П. Мазаева, Я.И. Ходорковский // Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та. 1975. - Т.96. - С.3-9.

3. Аносов, Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара / Д.В. Аносов // Науч. докл. высшей школы (физ.-мат. н.). 1959. - N1. - С.3-12.

4. Арнольд, В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения / В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко // Итоги науки и техн. Совр. проблем матем. Фундам. направл. Т.1. - М.: ВИНИТИ, 1985. - С.7-149.

5. Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т.А. Бокарева. Л.: ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1993.

6. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1998.

7. Брычев, С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.В. Брычев. Челябинск, 2002.

8. Васильев, С.Н. К теории редукции в качественном анализе и управлении динамическими системами /С.Н. Васильев // Тр. Ин-та матем. и мех. УрО РАН. 2004. - Т. 10, N2. - С.20-34.

9. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Вишик // Матем. сб. 1956. - Т.39, N1. - С.51-148.

10. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. Новосибирск: НГУ, 1988.

11. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Гре-гер, К. Захариас. М.: Мир, 1978.

12. Гальперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперн // Тр. ММО.- I960,- Т.9.- С.401-403.

13. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970.

14. Дудко, Л.Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.10.02 / Л.Л. Дудко. Новгород: Новгород, гос. ун-т, 1996.

15. Егоров, И.Е. Неклассические операторно-дифференциаль-ные уравнения / Е.И. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов. -Новосибирск: Наука, 2000.

16. Ефремов, А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.А. Ефремов. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1996.

17. Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / С.А. Загребина. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002.

18. Замышляева, А.А. Исследование одного класса уравнений соболевского типа высокого порядка: Дис. . канд. физ.-мат.наук: 01.01.02 / А.А. Замышляева. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003.

19. Зелеияк, Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными /Т.И. Зеленяк. Новосибирск, 1970.

20. Зубов, В.И. Проблема устойчивости процессов управления / В.И. Зубов. СПб: НИИХ СПбГУ, 2001, 353 с.

21. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их примен. -1976. N14. - С.21-39.

22. Казак, В.О. Исследование фазовых пространтсв одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.О. Казак. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2005.

23. Келлер, А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.В. Келлер. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1997.

24. Коддингтон, Э. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. Коддингтон, Н. Левинсон. М.: ИЛ, 1958.

25. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. Новосибирск: НГУ, 1990.

26. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН.-1992,- Т.326, N5.- С.781-786.

27. Красовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н.Н. Красовкий. М.: Физматгиз, 1959.

28. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн. М.: Наука, 1967.

29. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышев // Препринт. Ин-т матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1979.

30. Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Г.А. Кузнецов. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999.

31. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг. Волгоград: Платон, 1996.

32. Лионе, Ж.-JI. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.-Л. Лионе, Э. Мадженес. М.: Мир, 1971.

33. Лионе, Ж.-Л. Некотрые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972.

34. Ляпунов, A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений / A.M. Ляпунов. Т.2. М.: Изд. АН СССР, 1956.

35. Массера, Ж.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Ж.Л. Массера, Х.Х. Шеф-фер. М.: Мир, 1970.

36. Матросов, В.М. О притяжении для автономных механических систем с трением скольжения / В.М. Матросов, И.А. Финогенко // Прикл. матем. и мех. 1998. - Т.62, N 1. -С.100-109.

37. Наймарк, М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. М.: Наука, 1969.

38. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1991. Т.198. - С.31-48.

39. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для уравнений фильтрации неньютоновых жидкостей в пористых средах / А.П. Осколков, М.М. Ахматов, Р.Д. Щадиев // Записки научн. семинаров ЛОМИ. 1991. - Т.198. - С.82-100.

40. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков, А.А. Котсиолис, Р.Д. Щадиев // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1992. - Т.199. - С.91-113.

41. Осколков, А.П. К теории устойчивости решений полулинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева / А.П. Осколков // Записки науч. семинаров ЛОМИ. 1992. -Т.200. - С.139-148.

42. Плисс, В.А. Принцип сведения в теории устойчивости движения / В.А. Плисс // Изв. АН СССР, сер. матем. 1964. -Т.28, N6. - С.1297-1324.

43. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский. М.: Физматгиз, 1961.

44. Рузакова, О.А. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О. А. Рузакова. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2004.

45. Свиридюк, Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах: Дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Г.А. Свиридюк. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1992.

46. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем. 1993. - Т.57, N3. - С.192-202.

47. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одного неклассического уравнения /Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференц. уравнения. 2003. -Т.39, N11. - С.1556-1561.

48. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Матем. заметки. 2002. - Т.71, N2. - С.292-297.

49. Свиридюк, Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.В. Келлер // Изв. ВУЗ. Матем. 1997.- N5. С.60-68.

50. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Изв. ВУЗ. Матем. 2003.- N9. С.36-41.

51. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. матем. журн. 1990. - Т.31, N5. - С.109-119.

52. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболев / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 1990. -Т.26, N9. - С.250-258.

53. Свиридюк, Г.А. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Матем. заметки. 1998. - Т.63, N5. - С.442-450.

54. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференц. уравнения. -1996. Т.32, N11. - С.1538-1543.

55. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения.- 1983. Т.19, N9. - С.1516-1526.

56. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.- 1987. Т.23, N4. - С.726-728.

57. Соболев, С.JI. Об одной новой задаче математической физики / C.JI. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. -Т.18. - С.3-50.

58. Сукачева, Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т.Г. Сукачева. Новгород: НГПИ, 1990.

59. Сукачева, Т.Г. Об одной модели движения несжимаемой вяз-коупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 1997. - Т.ЗЗ, N4. - С.552-557.

60. Сукачева, Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т.Г. Сукачева // Изв. ВУЗ. Матем. 1998. - N1. - С.47-54.

61. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. -М.: Мир, 1980.

62. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.Е. Федоров. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1996.

63. Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970.

64. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри. М.: Мир, 1985.

65. Якупов, М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.М. Якупов. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999.

66. Benjamin, T.V. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems / T.V. Benjamin, Y.L. Bona, Y.Y. Mahony // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1972. - V.272. - A.1220. - P.47-78.

67. Chefee, N. A bifurcation problem for a nonlinear parabolic equations / N. Chefee, E. Infante //J. Appl. Anal 1974-N4.- P. 17-37.

68. Coffman, C.V. Asymptotic behavior of solution of ordinary differential equations / C.V. Coffman // Trans. Amer. Math. Soc.- 1965.- N110.- P.22-51.

69. Coleman, B.D. Instability, uniqueness and nonexistence theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip / B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal-1965,- V.19.- P.100-116.

70. Demidenko, G.V. On differential equations and systems not solvabble with respect to the highest-order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii.- New York Hong Kong - Basel: Marcel Dekker Inc., 2003.

71. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- New York Hong Kong - Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999.

72. Hale, J.K. Ordinary differetial equations. / J.K. Hale. New York: Wiley interscience, 1969.

73. Hoff, N.A. Greep buckling / N.A. Hoff // Aeron.- 1965,- V.7, N1. P.1-20.

74. Gorban, A.N. The construction of the invariant manifolds for Boltzmann equation / A.N. Gorban, I.V. Karlin // Adv. Model, and Analysis.- 1992.- V.33, N3. P.39-54.

75. Kelley, A. The stable, center-stable, center-instable, instable manifolds / A. Kelley // J. Diff. Equat.- 1967,- V.3. P.546-570.

76. Lagnuese, J.E. Singular differential equation in Hilbert space / J.E. Lagnuese // SIAM J. Math. Anal.- 1973.- V.4, N3.-P.623-637.

77. Levine, H.A. Some nonexistence and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au + F(u) / H.A. Levine // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973.- V.99, N2. P.328-337.

78. Levinson, N. Transformation theory of nonlinear differential equation of the second order / N. Levinson // Ann. Math. -1944. N45. P.723-737.

79. Lewis, D.C. Invariant manifolds near an invariant point of instable type / D.C. Lewis // Amer. J. Math.- 1938. V.60.- P.577-587.

80. Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev.- Dordrecht-Harbound: Kluwer Academic publishers, 2002.

81. Melnikova, I.V. Abstract Cauchy problems: three approaches / I.V. Melnikova, A. Filinkov. Chapman and Hall /CRC, Boca Rator, FL, 2001.

82. Peter, B.W. Existence and persistence of invariant manifolds for semiflows in Banach space / B.W. Peter, L. Kening, Z. Chonghun // Met. Amer. Math. Soc 1998.- V.135, N645. -P.1-129.

83. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov. Utrecht - Boston - Tokyo: VSP, 2002.

84. Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R.E. Showalter // Pacific. J. Math 1963-V.31, N3. - P.787-793.

85. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I (II) / R.E. Showalter // Appl. Anal.- 1975.- V.5, N1,- P.15 22 (N2. -P.81-99).

86. Showalter, R.E. Hilbert space metods for partial differential equation / R.E. Showalter. Pitman: London San Francisco - Melbourne, 1977.

87. Sternberg, S. On the behavior of invariant curves near a hiperbolic point of a surface transfotmation / S. Sternberg // Amer. J. Math. 1955. - V.77. - P.526-534.

88. Sternberg, S. Local constructions and a theorem of Poincare / S. Sternberg // Amer. J. Math. 1957. - V.79. P.809-824.

89. Sviridyuk, G.A. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht Boston - Tokyo: VSP, 2003.

90. Свиридюк, Г.А. Инвариантные многообразия одного класса полулинейных уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, О.Г. Китаева // Тезисы докладов Воронежкой зимней математической школы. 26 января 2 февраля 2003. - Воронеж, 2003. - С.122.

91. Китаева, О.Г. О локально инвариантных многообразиях уравнения Хоффа / О.Г. Китаева, Г.А. Свиридюк // Вестник Тамбовского университета. Сер. естеств. и техн. науки. Тамбов, 2003. - Т.8 - Вып.З. - С.395.

92. Китаева, О.Г. Об относительно спектральных проекторах / О.Г. Китаева, Г.А. Свиридюк // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII межвуз. конф. 29-31 мая 2003.- Самара, 2003. С.88-89.

93. Свиридюк, Г.А. Обобщение относительно спектральной теоремы / Г.А. Свиридюк, О.Г. Китаева // Вестник МаГУ. Математика Вып.4 - Магнитогорск: МаГУ, 2003. - С. 121128.

94. Kitaeva, О.Н. On local invariant manifolds of the sernilinear sobolev-type equations / O.H. Kitaeva // International conference "Nonlinear partial differential equations", Alushta, September 15-21, 2003. Alushta, 2003. - P.103.

95. Свиридюк, Г. А. Ивариантные многообразия уравнения Хоф-фа / Г.А. Свиридюк, О.Г. Китаева // Электромагнитные волны и электронные системы. 2005. - № 6. - С. 13-17.

96. Kitaeva, O.G. On invariant manifolds of the semilinear Sobolev-type equation / O.G. Kitaeva // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Alushta, Ukraine, September 17-23, 2005. Donetsk, 2005. - P.54.

97. Китаева, О.Г. Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия уравнения Хоффа/ О.Г. Китаева // Вестник МаГУ. Математика.- Вып.8.- Магнитогорск: МаГУ, 2005. -С.96-112.