Исследование устойчивости решений линейных уравнений соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

УДК 517.9

На правах рукописи

Сагадеева Минзиля Алмасовна

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

СТЕРЛИТАМАК — 2006

Работа выполнена в Челябинском государственном университете на кафедре математического анализа.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, доцент Федоров Владимир Евгеньевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кожанов Александр Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент Келлер Алевтина Викторовна

Ведущая организация:

Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Защита состоится "26" мая 2006 года в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета К 212.315.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Стерлитамакской государственной педагогической академии по адресу:

453103, Башкортостан, г. Стерлитамак, пр. Ленина, 37, а. 312 физико-математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Стерлитамакской государственной педагогической академии.

Автореферат разослан " 90 " апреля 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета ^тгг—^

д.ф.-м.н., профессор —Д-/ В.Н. Кризский

¿006(1

Цель работы. Пусть Д и £ банаховы пространства. Рассмотрим на промежутке 3 СIR нестационарное оператор-но-дифференциальное уравнение

Lü(t) = Mtu{t) + g{t) (1)

и задачу Коши для него при ¿о £ 3

«(¿о) = «о- (2)

Здесь оператор L € £(11;^), ker L ф {0}, оператор-функция Mt € Cl(11; 3) для всех t € 3, а функция <? : 3 —» Одной из целей работы является исследование разрешимости некоторых классов уравнений вида (1) и задачи Коши (2) дня них. В частности, речь идет о задаче Коши

и(0) = щ, uq € dorn М (3)

при 0 £ 3 для класса уравнений

L ü(t) = a(t)Mu(t) + g(t) (4)

с сильно (Ь,р)-радиальным1 оператором М, то есть в случае, когда уравнение

Lü{i) = Mu(t) (5)

обладает сильно непрерывной разрешающей полугруппой и существуют пары инвариантных подпространств операторов L и М. Здесь функция а : 3 —» .

Одной из основных целей работы будет нахождение условий существования экспоненциальных дихотомий уравнения

L ü(t) = a(t)Mu(t) (6)

'Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G A Sviridyuk, V E Fedorov.- Utrecht, Boston: VSP, 2003 - 216 c. ______

ifOC. НАЦИОНАЛЬНАЯ J БИБЛИОТЕКА I С. Петербург

< оэ

в случае (Ь,р)-радиальности оператора M и связанных с ними условий существования ограниченных решений уравнения (4) с сильно (L. р)-радиальным оператором М.

Кроме того, рассматривается вопрос существования периодических решений уравнения

L ù(t.) = Mu(t) + g(t) (7)

с сильно (¿,р)-секториальным оператором М, то есть в случае существования аналитической разрешающей полугруппы уравнения (5).

Актуальность темы. Уравнениями соболевского типа часто называют уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной. Такие уравнения возникают при моделировании различных реальных процессов. К настоящему времени методы исследования уравнений соболевского типа можно условно разделить на две группы. К первой группе следует отнести работы C.JI. Соболева, С.А. Гальперна, А.Г. Костюченко, R.E. Showalter, В.H. Врагова, А.И. Кожанова, Г.В. Деми-денко, C.B. Успенского и многих других авторов, в работах которых проводится непосредственное исследование начально-краевых задач для уравнений или систем уравнений в частных производных. Другой подход, у истоков которого стояли работы М.И. Вишика, С.Г. Крейна, подразумевает изучение дифференциально-операторных уравнений в линейных топологических пространствах с дальнейшими приложениями к конкретным начально-краевым задачам. В настоящее время в этой области активно и плодотворно работают H.A. Сидоров, A. Favini, A. Yagi, С.Г.Пятков, И.В. Мельникова, Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров и многие другие.

В теории устойчивости динамических и эволюционных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие экспоненциальной дихотомии уравнения как одной из моделей асимптотического поведения его решений С этим

понятием тесно связан вопрос существования ограниченных решений соответствующего неоднородного дифференциального уравнения2. С точки зрения приложений именно такое поведение решения считается наиболее "физичным".

Условия существования экспоненциальных дихотомий решений стационарного уравнения (5) и ограниченных решений уравнения (7) исследовались ранее Г.А. Свиридюком и A.B. Келлер при более жестких условия на операторы L и М, а именно, в случаях (L, сг)-ограниченного и сильно (L,p)-секториального оператора М.

Разрешимость алгебро-дифференциальных систем уравнений, которые можно рассматривать как уравнения соболевского типа в конечномерных пространствах, и, в частности, качественные свойства их решений исследуются в работах Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова, М.В. Булатова.

Методы исследования. Основные методы исследования, применяемые в данной работе, - методы функционального анализа и, в частности, теории полугрупп операторов.

Специфика рассматриваемых задач учитывается лежащим в основе используемого подхода методом фазового пространства,. Суть метода заключается в редукции сингулярного уравнения (1) к эквивалентной ему системе двух уравнений, определенных на взаимно дополнительных подпространствах. Одно из полученных уравнений разрешено относительно производной и исследуется классическими методами, другое - имеет нильпотентный оператор при производной, что существенно используется при построении ре-

2Далецкий, Ю Л Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю Л Далецкий, М.Г Крейн. - М,-Наука, 1970. - 536 с.

Массера, Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X Л Массера, X X Шеффер М • Мир, 1970. - 456 с.

шения.

Новизна полученных результатов. Получены теоремы о существовании инвариантных подпространств и экспоненциальных дихотомий решений дифференциально-операторного уравнения (6) с вырожденным оператором L и с сильно (£,р)-радиальным оператором М. Такой класс уравнений даже в случае а = 1 является более широким, чем исследованные Г.А. Свиридюком и A.B. Келлер на предмет существования инвариантных подпространств и экспоненциальных дихотомий классы уравнений (5).

Кроме того, в терминах L-сгхектра оператора М найдены необходимые и достаточные условия существования ограниченных на всей числовой оси решений уравнения (4) с сильно (L, р)-радиальным оператором. В работах Г.А. Сви-ридюка и A.B. Келлер подобный результат для частного случая сильно (L, р)-секториального оператора М, а = 1, был получен только для решений, заданных на положительной полуоси.

Также в данной работе получены условия существования периодических решений уравнения (7) с сильно (L,p)-секториальным оператором М. Сами периодические решения найдены в явном виде.

В работе введен в рассмотрение класс нестационарных уравнений (1) с (L, 0)-ограниченной оператор-функцией Mt и получены условия разрешимости уравнений этого класса.

Все полученные результаты использованы при исследовании некоторых задач для уравнений математической физики. Все результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести найденные достаточные условия существования экспоненциальных дихотомий, ограниченных и пери-

одических решений дифференциально-операторных уравнений еоболевского типа в банаховых пространствах.

Полученные результаты затем используются при исследовании свойств решений начально-краевых задач для линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающей фазовые переходы первого рода, уравнения эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости и некоторых других неклассических уравнений и систем уравнений математической физики.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийских научных конференциях "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004), Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2001). студенческих научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2000 2002), Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002), "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002), "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004), на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (Новосибирск, 2005), семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета, кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии, лаборатории алгебро-дифференциальных систем Института динамики систем и тео-

рии управления СО РАН.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ, список которых приводится в конце автореферата. Из совместных с научным руководителем работ в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 120 страниц. Библиография содержит 123 наименований работ российских и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяется цель работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике.

Первая глава содержит результаты, касающиеся разрешимости уравнений соболевского типа. Первые пять параграфов содержат предварительные сведения, в них собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй, третий и пятый параграфы содержат соответственно основные факты о сильно (£,р)-радиальных, сильно (L, р)-секториалъных и (L, ^-ограниченных операторах и соответствующих им сильно непрерывных полугруппах, аналитических полугруппах и группах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова. В четвертом параграфе приведена относительно спектральная теорема, полученная независимо друг от друга А.Г. Руткасом и A.B. Келлер.

В шестом параграфе первой главы понятие (/^.^-ограниченного оператора М обобщено на случай оператор-функции Mt, t б 3- Седьмой параграф содержит результаты о разрешимости задачи Коши (2) для однородного и не-

однородного нестационарных уравнений вида (1) с (Ь, 0)-ограниченной оператор-функцией М*.

Теорема 1. Пусть оператор-функция М* € С(3;£(И; 5)) сильно дифференцируема по Ь € 3, (Ь,0)-ограничена и вектор-функция д € С^З, У). Тогда для любого начального значения и0 € {«еН: (1-Р{о)и= - су-

ществует единственное решение и € С1 (3,11) задачи (2) для уравнения (1), причем t

«(*) = <0)«о +1 ит)Ь~\<1г9{т)<1т - Мг~01(/ -¿0

В восьмом параграфе результаты предыдущего параграфа реализованы на примере начально-краевой задачи для одного нестационарного уравнения теории фильтрации

^ д ( д \ (Л — &)щ(х,{) — — (тпгз(х,1)— J и(х,г) + д(х,г).

1,]=1 1 3'

Вторая глава посвящена уравнениям соболевского типа с относительно р-радиальными операторами. В первом параграфе получены достаточные условия существования экспоненциальных дихотомий решений уравнения (5) с (Ь. р)-радиальным оператором М.

Второй параграф содержит сведения об аппроксимациях функции Грина для уравнения (7), с помощью которых в третьем параграфе построена функция Грина и исследованы ее свойства. Четвертый параграф содержит необходимые и достаточные условия существования ограниченных на прямой решений уравнения (7) с сильно (Ь, ^-радиальным и сильно (Ь,р)-секториальным оператором М.

В пятом параграфе получен результат о разрешимости неоднородного уравнения (4) и задачи (3) (4) в случае сильно (L, р)-радиального оператора М. Здесь же при условии (L, р)-радиальности оператора М получены достаточные условия существования экспоненциальных дихотомий решений уравнения (6) и достаточные условия существования ограниченных решений уравнения (4).

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь,р)-радиален, существует и > 0 такое, что aL(M) П {р, € С : — и < Re/i < w} = 0 и множество а+ = aL(M) П {/i € С : Re/i > 0} ограничено, а для функции а 6 С(К;М+) выполняется inf a(z) > 0. Тогда уравнение (6) имеет экспоненциальную дихотомию.

Пусть оператор А е С1($). Через С(3; donxA), где 3 С Е, обозначим класс непрерывных в норме || • \\gr — ¡| • ¡|y-(- \\А- ¡[g-графика оператора А функций. Функцию .<? : 3 —> £ будем

называть ограниченной, если sup ||.9(í)||g < 00. Пусть к €

¿63

N0, Q € £($) - проектор. Через Ск'9Г(3, У; Q, dorn Л) обозначим класс функций д, таких, что д° = (I - Q)g € Ck(Z, 5), 'J1 = Qg € C(3; dorn Л). Символом BCk(3,5") обозначим множество функций g €E Ck{2: J); для которых g, g^,.... g(k-1) : 3 _> g- _ ограниченные функции. И наконец, через Q, dorn А) обозначим множество таких функций д, что (7 - Q)g <= ВСк{3,5") и Qg € С{2\ dorn А) - ограниченная функция.

Теорема 3. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиалеп, существует и > 0 такое, что aL(M) П {ц € С : — ш < Re/i <ui} = 0 и множестпво а+ = aL{M) П {/i € С : Re/i > 0} ограничено, а для функции а б ВСР+1(Ш: К+) выполняется inf a(z) > 0.

г€й

Тогда для любой g € ВСрН'17 (К, J; Q, dorn ML, 1), такой нт,о g : R —> imL_ уравнение (4) имеет единственное решение и £ .6(7'{К,Я). Причем это решение и = u(t) имеет вид

+оо t р

u(t) = ! G- a{z)dzg{s)ds - £ HkMö\l ~ Q){AD)kAg(t).

-со *=0

Здесь Q - проектор, определяемый разрешающей полугруппой уравнения (5), (Ah)(t) = a~l(t)h{t), (Dh)(t) = a G1 - функция Грина уравнения (7). В шестом параграфе, результаты Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна о периодических решениях операторно-дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной, распространены на случай неограниченного секто-риального оператора. В седьмом параграфе результаты о существовании периодических решений обобщены на случай вырожденного уравнения (7) с сильно (£,р)-секториаль-ным оператором М.

Теорема 4. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-се.кториален, Щр ^ aL(M), к 6 Z, Т-периодическая вектпор-функция g е Cp+1'9r(R, Q, dorn M\L~[l). Тогда уравнение (7) имеет одно и только одно Т-периодическое решение и £ C1(R,it), которое имеет вид

/хч 1 f (2kmr

u(t) = fj [-Y~Li~Mi) e T 9Л*)<Ь-

q k=—oo

Третья глава содержит результаты, касающиеся начально-краевых задач для уравнений в частных производных, и иллюстрирует результаты второй главы. В первом параграфе представлены необходимые результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах.

Во втором параграфе краевая задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля редуцирована к уравнению (7) с сильно (£■, 0)-секториальным оператором М. В терминах данной задачи сформулированы условия существования экспоненциальных дихотомий, ограниченных и периодических решений рассматриваемой задачи.

В третьем параграфе рассмотрены начально-краевые задачи для класса уравнений с многочленами от эллиптического оператора высокого порядка, содержащего в частности модифицированное уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости. Показано, что это уравнение является уравнением соболевского типа с относительно О-радиальным оператором, также найдены его инвариантные подпространства, условия существования экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений.

Основные результаты диссертации.

1. Теорема о разрешимости задачи Коши для нестационарного уравнения (1) в случае (Ь. (З)-ограниченной оператор-функции

2. Теоремы о существовании экспоненциальных дихотомий уравнений (5) и (б) в случае (£,р)-радиального оператора М.

3. Теоремы о необходимых и достаточных условиях существования ограниченных на всей числовой оси решений уравнений (4) и (7) в случае сильно (¿^-радиального оператора М.

4. Теоремы о существовании периодических решений уравнения (7) при условии сильной (Ь. р)-секториаль-ности оператора М.

Данное исследование поддержано стипендией Правительства РФ (2003) и грантом Минобразования РФ и Правительства Челябинской области № 04-01-6 (2004).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Сагадеева, М.А. Об ограниченности на прямой решений неоднородного уравнения соболевского типа с (Ь,р)-секториальным оператором / М.А. Сагадеева // Студент и научно-техн. прогресс: Тез. научн. студ. докл.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2001.- С. 7-9.

2. Сагадеева, М.А. Об ограниченных на прямой решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальным оператором / М.А. Сагадеева // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всеросс. научн. конф.- Екатеринбург, 2001. -С. 180-181.

3. Сагадеева, М.А. Об ограниченных на прямой решениях уравнения соболевского типа с относительно секториальным оператором / М.А. Сагадеева // Студент и научно-техн. прогресс: Тез. Междунар. научн. студ. конф.- Новосибирск, 2001 - С. 129-130.

4. Сагадеева, М А 06 ограниченности на прямой решений неоднородного уравнения собо невского типа с (Л, /;)-радиальным оператором / М.А. Сагадеева // Студент и научно-техн. прогресс: Тез. научн. студ. докл. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2001.- С. 4-5.

5. Сагадеева, М.А. Об ограниченных решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно радиальными операторами / М.А. Сагадеева // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002.- С. 219-226.

6. Сагадеева, М.А. Функции Грина для одного класса уравнений соболевского типа /М.А. Сагадеева // Обратные задачи: теория и приложения: Тез. докл. меж-дунар. науч. школы-конф. Часть 2. Ханты-Мансийск. 2002.- С. 32-33.

7. Сагадеева, М.А. Ограниченные решения одного класса начально-краевых задач / М.А. Сагадеева // Студент и научно-техн. прогресс: Тез. научн. студ. докл. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2003 - С. 7-8.

8. Сагадеева, М.А. Об экспоненциальных дихотомиях решений уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева // Вестник Тамбовск. ун-та. Сер. Естеств. и техн. науки,- 2003.- Т. 8, вып. 3 - С. 447-448.

9. Сагадеева, М.А. Экспоненциальные дихотомии решений одного класса уравнений соболевского типа /М.А. Сагадеева // Вестник Челяб. ун-та. Сер. 3. Математика. Механика. Информатика - 2003 - № 1- С. 136-145.

Ю Сагадеева, М.А. Конфигурационное пространство нестационарного уравнения соболевского типа / М.А. Сагадеева // Тез. докл. Междунар. шк.-сем. по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова.- Ростов-на-Дону, 2004. - С. 278-279.

11. Сагадеева, М.А. Исследование нестационарных уравнений соболевского типа и их дихотомий / М.А. Сагадеева // Конкурс грантов студентов, аспирантов и молодых ученых вузов Челябинской области: Сб. рефератов НИР аспирантов.- Челябинск, 2004 - С. 16.

12. Сагадеева, М.А. Об ограниченных решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно радиальными операторами / М.А. Сагадеева, В.Е. Федоров // Дифференц. и интегральные уравнения. Мат. модели: Тез. докл. междунар. науч. конф- Челябинск, 2002,- С. 87.

13. Сагадеева, М.А. Об инвариантныхпространствах уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева, В.Е. Федоров // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тез. докл. Воронежск. зимн. мат. шк. - Воронеж: Воронежский гос. ун-т, 2003 - С. 220-221.

14. Сагадеева, М.А. Периодические решения эволюционного уравнения с секториальным оператором / М.А. Сагадеева, В.Е. Федоров // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всеросс. научн. конф.-Екатеринбург, 2004.- С. 217-218.

15 Федоров, В.Е. Периодические решения линейных урав-

Р- 88

нений соболевского типа /' u.E. Федоров, М.А Сагадеева // Вестник МаГУ. Математика.- Вып. 4.- Магнитогорск. МаГУ, 2003 С. 22.3-236.

16. Федоров, В.Е. Об ограниченных на прямой решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальными операторами /' В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Изв. вузов. Математика.- 2005-№ 4.- С. 81-84.

17. Федоров, В.Е. Ограниченные решения линеаризованной системы уравнений фазового поля / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Неклассические уравнения математической физики: Тр. семинара.- Новосибирск: Изд-во Ип-та математики СО РАН, 2005.- С. 275-284.

18 Sagadeyeva, М.А. On bounded solutions of Sobolev type equations / M.A. Sagadeyeva // Ill-posed and inverse problems: Abstracts Sei. Int. Conf.- Novosibirsk, 2002-P. 145

Подписано в печать 15.04.06. Формат 60 х 84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. неч. л. 1,0.

Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № . Бесплатно.

Челябинский государственный университет 454021 Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129

Полиграфический участок Издательского центра Челябинского государственного университета 454021 Челябинск, ул. Молодогвардейцев, 576

Обозначения и соглашения

Введение

1 Разрешимость линейных уравнений соболевского типа

1.1 Относительные резольвенты

1.2 Относительно р-радиальный оператор.

1.3 Относительно р-секториальный оператор.

1.4 Относительно спектральная теорема.

1.5 Относительно спектрально ограниченный оператор

1.6 Относительно спектрально ограниченная оператор-функция.

1.7 Существование решений нестационарных уравнений соболевского типа

1.8 Нестационарная задача теории фильтрации.

2 Экспоненциальные дихотомии и ограниченные решения уравнений соболевского типа

2.1 Экспоненциальные дихотомии решений.

2.2 Аппроксимации функции Грина.

2.3 Функция Грина

2.4 Условия существования ограниченных решений

2.5 Один класс нестационарных уравнений.

2.6 Периодические решения уравнений с секторильным оператором.

2.7 Периодические решения уравнений соболевского типа с относительно секториальным оператором.

3 Исследование устойчивости решений некоторых систем уравнений в частных производных

3.1 Функциональные пространства и дифференциальные операторы.

3.2 Линеаризованная система уравнений фазового поля

3.3 Уравнение с эллиптическим оператором высокого порядка.

Постановка задачи

Пусть Я и $ - банаховы пространства. Рассмотрим на промежутке ЗсК нестационарное операторно-дифференциальное уравнение

Lu{t) = Mtu(t) + g(t) (0.1) и задачу Коши для него при to £ 3 ti(t0) = и0. (0.2)

Здесь оператор L € kerb ф {0}, оператор-функция Mt £ Cl( Н; для всех f 6 3, а функция д : 3 —> В настоящее время существует широкий диапазон прикладных задач, которые можно редуцировать к абстрактной задаче (0.1), (0.2). В данной работе исследуется разрешимость некоторых классов уравнений вида (0.1) и задачи Коши (0.2) для них. В частности, введено в рассмотрение так называемое условие (L, 0)-ограниченности оператор-функции Mt, достаточное для разрешимости задачи (0.1), (0.2). Кроме того, исследована разрешимость задачи Коши и(0) = и0, Щ £ dom М (0.3) при 0 Е 3 для уравнения

L u(t) = a(t)Mu(t) + g(t) (0.4) при условии сильной (1/,р)-радиалыюсти оператора М, то есть в случае, когда уравнение

Lu(t) = Mu(t) (0.5) обладает сильно непрерывной разрешающей полугруппой и существуют пары инвариантных подпространств операторов L и М [70, 104]. Здесь L G £(Д; и Me Cl{ И; £), а функции а : 3 -> R+, д : 3

В теории устойчивости динамических и эволюционных дифференциальных уравнений важную роль играет понятие экспоненциальной дихотомии уравнения как одной из моделей асимптотического поведения его решений ([14], [41], [80]). В данной работе будет исследован вопрос существования экспоненциальных дихотомий уравнения (0.5) и нестационарного уравнения в случае (1/,р)-радиальности оператора М, а : 3 —> К+

С вопросом существования экспоненциальных дихотомий однородного уравнения тесно связан вопрос существования ограниченных решений соответствующего неоднородного дифференциального уравнения (см., например, [14]). С точки зрения приложений именно такое поведение решения считается наиболее "физичным". Одним из объектов нашего интереса в данной работе являются условия существования ограниченных решений уравнения или соответствующей задачи Коши (0.3), (0.7) при условии сильной (L,p)~ радиальности оператора М.

Наконец, в работе получены условия существования периодических решений уравнения (0.7) с сильно (£,р)-секториальным оператором М. Сами решения представлены в явном виде.

Все абстрактные результаты использованы при исследовании разрешимости и свойств решений граничных задач для систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени, таких, как уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, линеаризованная система уравнений фазового поля, описывающих фазовые переходы первого рода, и др.

Историография вопроса

Исследования уравнений, не разрешенных относительно старшей производной, впервые встречаются, по-видимому, в работе А. Пуанкаре [96] в 1885 году, позднее - в работах C.W. Oseen [94], J. Leray [37] и других в связи с исследованиями системы Навье - Стокса (vt — vAv + Vp = 0,

L u(t) = a(t)Mu(t)

0-6)

L u(t) = Mu(t) + g{t)

0.7) div v = 0). Работы С. JI. Соболева, касающиеся уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени [G3, 64, 65], заложили фундамент нового направления в теории дифференциальных уравнений, поэтому уравнения, не разрешенные относительно старшей производной по выделенной переменной, в частности уравнения вида (0.1) и конкретные его интерпретации, часто называют уравнениями соболевского типа. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [16], "псевдопараболические уравнения" [26], "уравнения типа Соболева" [58], "уравнения типа Соболева - Гальперна" [32]. Уравнения соболевского типа являются частью обширной области неклассических уравнений математической физики. В настоящее время такие уравнения по-прежнему привлекают внимание исследователей, о чем свидетельствует большое количество вышедших в последнее время монографий [17], [20], [102], [104].

Выделим два направления исследований уравнений соболевского типа: решение задач для конкретных уравнений и систем уравнений в частных производных и изучение абстрактных уравнений типа (0.1) с приложением к задачам математической физики.

К первому направлению следует отнести работы, в которых результаты о разрешимости начально-краевых задач для таких уравнений и систем получены посредством использования свойств дифференциальных операторов, входящих в уравнение. Это работы С.А. Гальперпа [12], А.Г. Костюченко, Г.И. Эскина [32], R.E. Showalter [99], А.П. Осколкова [44], В.Н. Врагова [10], А.И. Кожанова [25], Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [17] и многих других. Здесь "прикладная" задача выступает как объект исследования, а методом исследования служат результаты "чистой" математики.

А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [32] установили разрешимость задачи Коши для уравнений "типа Соболева - Гальперна" в классе экспоненциально растущих функций.

R.E. Showalter и T.W. Ting в работе [101] рассматривают уравнение (0.7) с дифференциальными операторами L и М, где L эллиптичен: г—1 j=1 J

71 71 ^ q 71 г^ г=1 j=l г J г=1 г w = u(x,t) - скалярная функция, х 6 Q С Mn, Q - ограниченная область, domL и domM плотны в гильбертовом пространстве L2(Q) = Я = Решается обобщенная смешанная краевая задача, доказывается теорема существования и единственности решения. Обсуждается асимптотическое поведение решений.

А.П. Осколков [44, 45] исследовал разрешимость в пространствах Соболева и в пространствах Гельдера начально-краевой задачи в цилиндре Q х (0,Т) и{х, 0) = щ(х), u{x,t) = 0, (x,t) G дП х (0,Т) для системы уравнений

Л - V2K - vV2u + Vp = g, V • и = 0.

Здесь и : Q х (0,Т) -> Rn, р : П х (0,Г) Е, v > 0, Л > -Аь Ai -наименьшее собственное число спектральной задачи

-Av + Vp = Aw, V • v = 0, г; = 0 на Ш.

Работы В.Н. Врагова и его учеников [10, 20, 27, 28] посвящены исследованию разрешимости начально-краевых задач для неклассических уравнений в частных производных, в том числе и уравнений соболевского типа. А.И. Кожанов [25], распространяя теорию уравнений в частных производных составного типа на уравнения нечетного порядка, в частности рассматривает уравнения вида

I -А)щ = Bu + g(x,t), где А,В- дифференциальные по пространственным переменным операторы четного порядка. Решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А и В.

В работе [26] А.И. Кожанов сформулировал корректную постановку начально-краевой задачи для уравнения Ащ + Ви = g(x,t), где А, В -эллиптико-параболические дифференциальные (по х) операторы второго порядка, а оператор А + В эллиптичен. Получены теоремы о разрешимости такой задачи и о поведении решений на бесконечности.

Монография Г.В. Демиденко и С.В. Успенского [17] содержит систематическое изложение результатов цикла работ авторов (см. [15, 1G, 67] и др.), касающихся уравнений и систем уравнений в частных производных, не разрешенных относительно старшей производной по времени. В [17] проведена более тонкая классификация уравнений соболевского типа в частных производных на уравнения простого соболевского типа, псевдопараболические уравнения и псевдогиперболические уравнения. Среди систем уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени, выделены системы соболевского типа и псевдо-иараболические системы. С использованием методов построения приближенных решений и получения Lp-оценок решений изучены задача Коши и смешанные краевые задачи в четверти пространства для уравнений и систем уравнений соболевского типа. Кроме того, на основе теорем вложения для функциональных пространств Соболева - Винера исследованы асимптотические свойства решений краевых задач для уравнений соболевского типа в цилиндрических областях.

Отдельное место занимают исследования задачи (0.1), (0.2) в конечномерном случае. В случае, когда 11 = $ = Rm, L,M - постоянные квадратные матрицы, она исследовалась еще К. Вейерштрассом для регулярных и JI. Кронекером для сингулярных пучков матриц. Результаты этих исследований изложены в монографии Ф.Р. Гантмахера [13]. (Пучок квадратных матриц М + fib называется регулярным, если определитель \М + fiL\ не равен тождественно нулю, иначе пучок называется сингулярным.)

Ю.Е. Бояринцевым, В.Ф. Чистяковым, М.В. Булатовым [2, 3, 4, 5, G, 7, 85, 86] продолжены исследования конечномерной задачи в случае Я = Rn, $ = Rm. Авторы используют различные обобщенные обращения особенных и прямоугольных (т ф п) матриц. В упомянутых работах рассматриваются также уравнения, не разрешенные относительно производной, с матрицами, зависящими от t, уравнения с интегро-дифференциальными операторами. Большое внимание уделяется численным методам решения.

В исследованиях по второму направлению наблюдается другой подход: "прикладные" задачи являются иллюстрациями исследования "абстрактных" задач. Отметим работы М.И. Вишика [8], С.Г. Крейна и его учеников [35, 21], Н.Д. Копачевского [29], А.Г. Руткаса [52], J.E. Lagnese [93], A. Favini [89], М. Povoas [97], Н.А. Сидорова и его учеников [60], [62], С.Г. Пяткова [51] и многих других.

М.И. Вишик [8] исследовал задачу (0.3), (0.7) для случая, когда $ - се-парабелыюе гильбертово пространство, пространство Н плотно и непрерывно вложено в операторы L и М фредгольмовы, L самосопряженный и положительно определенный. Методом Галеркина- Петрова установлены существование и единственность решения, кроме того описана сто непрерывная зависимость от g(t) и от начального значения щ.

Однородную задачу (0.3), (0.5) изучали математики из школы С.Г. Крейна. Продолжая традицию, восходящую к К. Вейерштрассу и JI. Кронекеру, для исследования разрешимости этой задачи они использовали понятие регулярности операторного пучка M+fiL. (Пучок М+цЬ называется регулярным, если

За > 0 V/iGC {\v\>a)=>{(M + nL)-1

С.Г. Крейн и В.Б. Осипов [35] изучали однородную задачу с линейными ограниченными операторами L, М в банаховом пространстве 11. При этом они использовали метод, предложенный С.Г. Крейном и С.Д. Эйдель-маном, который основан на построении функции Ляпунова. Показано, что если, в отличие от оператора L, оператор М или при некотором fi оператор М + fib обратим, то решения однородного уравнения (0.5) заполняют некоторое собственное подпространство. В этом подпространстве задача Коши однозначно разрешима.

С.П. Зубовой и К.И. Чернышовым [21] исследован случай, когда 11, $ -банаховы пространства, L - замкнутый фредгольмов, М - ограниченный оператор. Для регулярного случая доказана однозначная разрешимость однородной задачи Коши при начальных значениях из некоторого иод-пространства с конечным дефектом. Решение задачи Коши (0.3), (0.7) существует для достаточно гладких функций д, определенным образом согласованных с начальными данными.

Исходя из ряда физических задач, в работе J.E. Lagnese [93] исследована задача (0.3), (0.7) в гильбертовом пространстве. Причем оператор L - самосопряженный, kerL ф {0}, domL С domМ, domL С domM*, ker L инвариантно относительно оператора М. Условия однозначной разрешимости неоднородной задачи предполагают некоторые условия гладкости функции д и согласованности ее с начальными данными.

Используя методы классического и локального преобразования Лапласа и спектральную теорию операторных пучков, А.Г. Руткас [52] исследовал задачу (0.3), (0.7) в случае, когда 11, З'- банаховы пространства, L, М - линейные ограниченные операторы. В статье охарактеризованы нормальные решения, корректная и диссипативная задача Коши, описано начальное многообразие при различных условиях. Результаты исследования применяются к задачам рассеяния и прохождения сигналов в дискретных структурах.

A. Favini [88] вводит в рассмотрение задачу d

Lu(t) = Mu(t) + g(t), 0 < t < оо, (0.8)

ЛЬ lim Lu(t) = щ г-»о+ v ' с замкнутыми линейными операторами L, М. В [89] он рассматривает то же уравнение на конечном отрезке [0, Т] с начальным условием Ьи(0) = Ьщ, domL D domМ Э щ, ii = В терминах оператора M(/iL — М)-1 сформулированы теоремы существования и единственности решения этих задач при некоторых условиях на начальное значение «о и гладкость функции д.

В работе М. Povoas [97] также рассмотрена задача Lu{0) = Ьщ для уравнения (0.8) на конечном отрезке. При этом оператор L самосопряженный неотрицательный, М - инфинитезимальный генератор сильно непрерывной полугруппы, пространство 11 = $ - гильбертово. Установлены существование и единственность решения. Полученные результаты прилагаются к системе уравнений Максвелла в неоднородной анизотропной среде с нулевыми начальными и диссипативными граничными условиями, а также к симметричной системе вида d N д \ - Z)MiWд~. о = s(x> *)' 0 € n X (о,т], г=0 Х%)

О, - область в Rn.

Н.А. Сидоров [61] доказал существование и единственность решения однородной задачи (0.3), (0.5) с начальными значениями из некоторого подпространства для случая замкнутых, плотно определенных операторов L, М, где L фредгольмов.

Н.А. Сидоров и М.В. Фалалеев [62] исследовали задачу Коши для линейного уравнения типа Соболева (0.7) с замкнутым фредгольмовым оператором L, замкнутым оператором М, банаховыми пространствами И, domL С domМ. Кроме того, предполагается, что оператор L имеет полный М-жорданов набор, a g - достаточно гладкая функция. Обобщенное решение уравнения (0.7) построено с использованием теории обобщенных функций в банаховых пространствах, понятий псевдообратного, фундаментального операторов.

С.Г. Пятковым исследована спектральная задача Lu = АВи, где L неограниченный симметрический положительно определенный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве, В самосопряженный невырожденный оператор. В работах [49, 50] найдены достаточные условия базисности по Риссу собственных функций этой задачи в терминах интерполяционных пространств. В работе [50] показано, что эти условия близки к необходимым. Приведены различные примеры, в которых L -дифференциальный оператор, скажем, эллиптический, а В - оператор умножения на функцию. В работе [51] эти результаты обобщены на случай спектральной задачи с самосопряженными операторами L, В. Кроме того, здесь рассмотрен вопрос об ограниченности проекторов Рисса, соответствующих неограниченной компоненте спектра позитивного оператора. Результаты исследования спектральной задачи используются при изучении разрешимости некоторых классов граничных задач для уравнения (0.7).

Один из подходов к исследованию задачи Коши для уравнений, пе разрешенных относительно старшей производной, предполагает использование методов теории полугрупп операторов. Такой подход используется в работах A. Favini и A. Yagi [90], [91], [105], И.В. Мельниковой и ее учеников [42], [43].

Основой для проведенных в настоящей работе исследований послужили результаты Г.А. Свиридюка [54] - [56] и В.Е. Федорова [58], [59], [68] - [77] о вырожденных полугруппах операторов. Особенность полугрупп уравнения (0.5) заключается в том, что единицей такой полугруппы является не тождественный оператор, как в классической теории полугрупп [22, 82], а некоторый проектор. В отличие от упомянутых работ A. Favini, A. Yagi, И.В. Мельниковой в работах Г.А. Свиридюка и

В.Е. Федорова исследованы полугруппы уравнения (0.5), вырождающиеся не только на ядре оператора L, но и на его М-присоединенных векторах.

Как уже было отмечено, одними из основных объектов исследования данной работы являются вопросы существования экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений уравнений соболевского типа первого порядка в банаховых пространствах. Наиболее глубокие результаты по проблеме существования ограниченных решений лежат в области обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной. Эта теория развивалась столь интенсивно, что уже в 1959 году в известном обзоре JI. Чезари [83] список литературы составил 140 страниц. Отправной точкой здесь являются работы A.M. Ляпунова [39]. Наиболее полно результаты по устойчивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений изложены Ф. Гантмахером [13], Б. Деми-довичем [18], Э. Коддингтоном и Н. Левинсоном [24].

Экспоненциально дихотомические системы уравнений с переменными коэффициентами фактически рассматривались уже в работе О. Перрона [95], изучавшего нелинейные возмущения таких уравнений. Правда, еще раньше аналогичную задачу для нелинейного уравнения со стационарной линейной частью рассматривал П. Боль [87]. Работа О. Перрона была обобщением относящейся к двумерному дискретному случаю работы Ж. Адамара [92]. В ней не фигурировало явно условие экспоненциальной дихотомичности. Оно было заменено условием существования ограниченных решений неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка с ограниченной неоднородностью. Эквивалентность этого условия условию экспоненциальной дихотомичности системы обыкновенных дифференциальных уравнений была впервые установлена А.Д. Майзелем [40].

В случае непрерывной обратимости оператора L уравнение (0.7) можно редуцировать к уравнению u(t) = Su(t) + w(t), (0.9) где S = L~lM е Cl(ii), domS = domМ, w(t) = L~lg(t) : R -> Я. Одним из важных аспектов, в которых исследуется задача (0.3), (0.9), является поиск условий на оператор S, которые гарантируют ограниченность решения в случае ограниченности вектор-функции w.

М.Г. Крейн [33] впервые рассмотрел вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах. Подробно эти исследования изложены им в [34]. Классическими работами в области исследования ограниченных решений уравнения (0.9) и экспоненциальных дихотомий решений однородного уравнения (0.9) стали монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [14], X.JI. Массера и Х.Х. Шеффера [41], где рассматривались уравнения с ограниченным оператором S.

В монографии Ю.Л. Далецкого и М.Г. Крейна [14] рассмотрены вопросы устойчивости решений однородного и неоднородного уравнения вида (0.9). Получены достаточные условия существования ограниченных, периодических и почти-периодических решений неоднородного уравнения в терминах спектра оператора S и экспоненциальных дихотомий однородного уравнения. Также рассматривается уравнение (0.9) с оператором S зависящим от t, получен критерий существования ограниченных решений при условии дополнительности некоторого инвариантного подпространства решений.

Х.Л. Массера и Х.Х. Шеффер в монографии [41] рассматривают однородные и неоднородные уравнения вида (0.9), причем ограниченный оператор S зависит от t. Исследуются вопросы допустимости пар пространств и существования дихотомий решений. При этом речь идет не только об экспоненциальных, но и о простых дихотомиях. Также получен критерий существования ограниченного решения при более общих предположениях, чем в [14].

В работе Д. Хенри [80] изучается разрешимость задачи Коши стационарного и нестационарного линейных уравнений первого порядка1 вида (0.9), где S - векториальный, т. е. порождающий аналитическую полугруппу, оператор. Получены достаточные условия существования и единственности ограниченных решений уравнения (0.9) и его задачи Коши.

Отметим результаты В. Przeradzki [98] о существовании ограниченных решений дифференциальных уравнений вида (0.9) в гильбертовых пространствах.

Однако, следует заметить, что в перечисленных работах полный аналог результата А.Д. Майзеля в банаховых пространствах не был получен даже для уравнений (0.9) с ограниченным оператором S. В работе [14] (как, впрочем, и в [41]) такой результат был получен только при некоторых дополнительных предположениях, которые не являются необходимыми. Д. Хенри получил такой результат только для дискретных дихотомий [80].

Для банаховых пространств эквивалентность существования экспоненциальных дихотомий и существования ограниченных решений уравнений вида (0.9) была получена Б.М. Левитаном и В.В. Жиковым [38] для случая неограниченного оператора S. Рассмотрены, в числе прочих, случаи периодических и почти-периодических оператор-функций S(t).

Современное состояние

Несмотря на то, что уравнения соболевского типа часто встречаются в приложениях (см., например, [17, 44]), работ по исследованию вопросов ограниченности решений таких уравнений немного. Можно упомянуть вышедшую в 1972 году работу J. Lagnese [93], в которой исследуется вопрос существования ограниченных решений для дифференциальных уравнений соболевского типа ди

М(х, D)— - L{x, D)u = 0, (0.10) где М(х, D) и L(x, D) - линейные дифференциальные операторы в частных производных порядка 2т, и оператор М(х, D) эллиптический. Уравнение (0.10) рассматривается в Q х [0, оо), где область Q С Мп ограничена, Bj(х, D)u = 0 - граничные условия на <9Г2 х [0, оо).

Отметим работу А.И. Поволоцкого и Г.А. Свиридюка [48], в которой исследован характер поведения решений уравнений соболевского типа

А + L)ut + Ми = 0, А < 0, где L и М положительно определенные линейные операторы в гильбертовом пространстве a L имеет дискретный спектр.

Ограниченность решений уравнения (0.7) и экспоненциальные дихотомии решений уравнения (0.5) исследовались Г.А. Свиридюком и А.В. Келлер [23, 57] в случаях (L, сг)-ограниченного и сильно (£,р)-секториалыюго оператора М. Ими были получены условия существования экспоненциальных дихотомий решений уравнения (0.5) в терминах L-спектра оператора М. Кроме того, получены условия существования решений уравнения (0.7), ограниченных на прямой в случае (L, сг)-ограниченного оператора М и на положительной полуоси в случае сильно (Ь,р)-секториаль-ного оператора М.

В монографии JI.P. Волевича, С.Г. Гиндикина [9] изучена смешанная задача для строго гиперболических и параболических но Петровскому дифференциальных уравнений высокого порядка с переменными коэффициентами. В дополнении, написанном А.Р.Ширикяном и JI.P. Воле-вичем, рассматриваются гиперболические уравнения на всей оси времени. Изучается разрешимость в пространствах ограниченных, периодических и почти периодических по времени функций. Исследуются свойства асимптотической устойчивости и экспоненциальной дихотомичности некоторых классов уравнений.

Актуальность темы исследования

Уравнения соболевского типа возникают при моделировании различных процессов в естественных и технических науках [17], [104]. К виду (0.1) редуцируются уравнение Баренблатта - Желтова - Кочиной, моделирующее динамику вязко-упругой жидкости в трещинновато-пористой среде [1], уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [19], уравнение волн Россби [31], система уравнений Соболева [63], линеаризованная система уравнений Навье - Стокса [36], многие другие системы уравнений из гидродинамики [29, 44, 45]. Тем самым исследования разрешимости уравнений вида (0.1) не только представляют теоретический интерес, но и, безусловно, интересны с практической точки зрения.

Потребность не только в разрешимости таких задач, но и в решении касающихся их прикладных вопросов, ставит перед исследователями много интересных и практически значимых вопросов. Качественная теория дифференциальных уравнений дает ответы на многие вопросы, интересующие исследователя. К таковым можно отнести вопросы существования экспоненциальных дихотомий, существования ограниченных, периодических решений, практическую значимость которых трудно переоценить. Также важным является вопрос существования инвариантных подпространств решений. В приложениях знание соответствующих ответов позволяет но внешнему воздействию, а именно это воздействие и описывается неоднородной функцией во многих задачах, определить, будет ли отклик системы "велик" или "мал" в некотором смысле.

Новизна полученных результатов

В данной диссертационной работе получены теоремы о существовании инвариантных подпространств и экспоненциальных дихотомий решений дифференциальных операторных уравнений вида (0.5) в банаховом пространстве с вырожденным оператором L и с сильно (£,р)-радиальным оператором М. Такое уравнение обладает сильно непрерывной разрешающей полугруппой, поэтому, в отличие от аналогичных исследований Г.А. Свиридюка и А.В. Келлер [23, 57], касающихся тех же вопросов для уравнения (0.5) с сильно (Ь,р)-секториальным оператором, т. е. обладающего аналитической разрешающей полугруппой, в данной работе охвачен более широкий класс уравнений. Упомянутые результаты перенесены на случай нестационарного уравнения (0.4) с сильно (L,p)~ радиальным оператором М.

Кроме того, найдены необходимые и достаточные условия (в терминах L-спектра оператора М) существования ограниченных на всей числовой оси решений уравнения (0.7) с сильно (£,р)-радиальным оператором. В работах [23, 57] подобный результат даже для частного случая сильно (£,р)-секториального оператора М был получен лишь касательно решений, заданных на положительной полуоси.

Также в данной работе получены условия существования периодических решений уравнения (0.7) с сильно (Ь,р)-секториальным оператором М. Сами периодические решения найдены в явном виде.

В работе введен в рассмотрение класс нестационарных уравнений (0.1) с (L, 0)-ограниченной оператор-функцией Mt и получены условия разрешимости уравнений этого класса.

Все полученные результаты использованы при исследовании некоторых задач для уравнений математической физики. Речь идет об уравнении эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, линеаризованной системы уравнений фазового поля, описывающих фазовые переходы первого рода, уравнении Баренблатта - Желтова - Кочи-ной, моделирующем динамику вязкоупругой жидкости в трещинновато-пористой среде.

Методы исследования

В данной работе при исследовании вырожденных эволюционных уравнений за основу взят подход, суть которого заключается в построении семейства эволюционных операторов, дающих классическое решение задачи (0.1), (0.2). В случае стационарного уравнения таким семейством является разрешающая полугруппа. Особенность разрешающих операторов вырожденного уравнения (0.1) заключается в том, что они обладают нетривиальными ядрами, содержащими ядро оператора при производной.

Преодоление трудностей, связанных с наличием ядер у разрешающих операторов, осуществляется за счет того, что, скажем, в стационарном случае оба пространства, в которых действуют операторы, представимы в виде прямых сумм ядер и образов разрешающих полугрупп (точнее, их единиц). При этом действие операторов L и М распадается в соответствии с расщеплением пространств (из ядра - в ядро, из образа - в образ), на ядре полугруппы оказывается обратимым сужение оператора М, а на образе - сужение оператора L. Тем самым исходное уравнение (или задача Коши для него) редуцируется к системе двух уравнений (двух задач Коши), заданных на взаимно дополнительных подпространствах. Уравнение на образе имеет вид (0.9), при этом оператор S является инфинитезимальным генератором уже невырожденной полугруппы соответствующего класса и исследование его разрешимости и свойств его решений проводится классическими методами. Другое уравнение принимает вид

Hu{t) =u{t) + v(t), и получить его решение в явном виде и, соответственно, исследовать его свойства позволяет нильпотентность оператора Н, автоматически следующая из рассматриваемых условий на операторы L и М, скажем, из условия сильной (L, р)-радиальности оператора М.

Краткое содержание диссертации

Диссертация, кроме Введения, содержит три главы и Список литературы. Первые две главы содержат теоретические результаты, в третьей главе полученные результаты применяются к конкретным задачам для уравнений и систем уравнений математической физики. Список литературы не претендует на полноту и отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.

Первая глава содержит результаты, касающиеся разрешимости уравнений соболевского типа. Первые пять параграфов содержат предварительные сведения, в них собраны факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первом параграфе представлены сведения об относительных резольвентах. Второй и третий параграфы содержат соответственно основные факты о сильно (L, р)-радиальных и сильно (Ь,р)-секториальных операторах и соответствующих им сильно непрерывных и аналитических полугруппах операторов с ядрами, доказанные ранее в работах Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [59], [70], [104]. Четвертый параграф содержит относительно спектральную теорему, доказанную в [52] (см. также [57]). В пятом параграфе приводятся сведения о (£,р)-ограниченных операторах и соответствующих им аналитических группах операторов, доказанные ранее в [54], [55].

Шестой, седьмой и восьмой параграфы первой главы, а также вторая и третья главы диссертации (за исключением первого параграфа третьей главы и, может быть, шестого параграфа второй главы) содержат новые результаты о разрешимости, существовании инвариантных пространств, экспоненциальных дихотомий, ограниченных, периодических решений уравнений соболевского типа.

В шестом параграфе первой главы понятие (^^-ограниченного оператора М обобщено на случай оператор-функции Mt,t G 3- Седьмой параграф содержит результат о разрешимости однородного и неоднородного нестационарных уравнений вида (0.1) с (L, 0)-ограниченпой оператор-функцией Mt и соответствующих задач Коши (0.2).

В восьмом параграфе приведен пример, иллюстрирующий результаты предыдущего параграфа при исследовании разрешимости начально-краевой задачи для одного нестационарного уравнения теории фильтрации ([1], [17]).

Вторая глава диссертации посвящена уравнениям соболевского типа с относительно р-радиальными операторами. В первом параграфе получены достаточные условия существования экспоненциальных дихотомий решений уравнения (0.5) с (£,р)-радиальным оператором М. Второй параграф содержит сведения об аппроксимациях функции Грина для уравнения (0.7), используя которые в третьем параграфе построена функция Грина и исследованы ее свойства. Четвертый параграф содержит необходимые и достаточные условия существования ограниченных решений уравнения (0.7) с сильно (1/,р)-радиальным и сильно (L,p)~ секториальным оператором М. В пятом параграфе получен результат о разрешимости неоднородного уравнения (0.4) и задачи (0.3), (0.4) в случае сильно (£,р)-радиального оператора М. Здесь же при условии (1/,р)-радиальности оператора М получены достаточные условия существования экспоненциальных дихотомий решений уравнения (0.6). В шестом параграфе, результаты [14] о периодических решениях уравнения (0.9) распространены на случай неограниченного секториального оператора S. В седьмом параграфе результаты о существовании периодических решений обобщены на случай вырожденного уравнения (0.7) с сильно (1/,р)-секториальным оператором М.

Третья глава, как уже упоминалось, содержит результаты, касающиеся конкретных задач математической физики, и иллюстрирует результаты второй главы. В первом параграфе представлены необходимые результаты по теории дифференциальных операторов в банаховых пространствах [66].

Во втором параграфе краевая задача для линеаризованной системы уравнений фазового поля [46, 47] редуцирована к уравнению (0.7) с сильно (L, 0)-секториальным оператором М. Получены условия существования экспоненциальных дихотомий, ограниченных и периодических решений рассматриваемой задачи.

В третьем параграфе рассмотрен класс задач для уравнения с многочленами от эллиптического оператора высокого порядка, содержащий в частности модифицированное уравнение эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости [19]. Показано, что это уравнение является уравнением соболевского типа с относительно О-радиальным оператором, также найдены его инвариантные подпространства, условия существования экспоненциальных дихотомий и ограниченных решений.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийских научных конференциях "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2001, 2004) [113], [122], на XXXIX Международной научной студенческой конференции "Студент и паучно-тех-нический прогресс" (Новосибирск, 2001) [114], на XIV — XVI студенческих научных конференциях "Студент и научно-технический прогресс" (Челябинск, 2000 - 2002) [112], [115], [117], на Международных научных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002) [120], "Ill-posed and inverse problems" (Новосибирск, 2002) [123], "Обратные задачи: теория и приложения" (Ханты-Мансийск, 2002) [116], "Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики" (Тамбов, 2003) [107], на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003) [121], на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004) [118], на семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (Новосибирск, 2005) [111], на семинарах кафедры математического анализа Челябинского государственного университета (руководитель - проф. Г.А. Свиридюк), кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии (руководитель - проф. К.Б. Сабитов), лаборатории алгебро-дифференциальных систем Института динамики систем и теории управления СО РАН (руководитель - проф. В.Ф. Чистяков).

Данное исследование поддержано стипендией Правительства РФ (2003 г.) и грантом Правительства Челябинской области (2004 г.) [119].

Результаты диссертации опубликованы в работах [106] - [123].

Необходимо отметить, что во всех работах [109] - [111], выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и некоторые идеи доказательств.

Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Теорема о разрешимости задачи Коши для нестационарного уравнения (0.1) в случае (L, 0)-ограниченной оператор-функции Mt.

2. Теоремы о существовании экспоненциальных дихотомий уравнений (0.5) и (0.6) в случае (L, р)-радиального оператора М.

3. Теоремы о необходимых и достаточных условиях существования ограниченных на всей числовой оси решений уравнения (0.7) в случае сильно (£,р)-радиалыюго оператора М.

4. Теоремы о существовании периодических решений уравнения (0.7) при условии сильной (£,р)-секториальпости оператора М.

Благодарности

В заключение считаю своим приятным долгом выразить огромную благодарность моему научному руководителю доценту В.Е. Федорову за постановку задачи, постоянную поддержку и внимание к работе; профессору Г.А. Свиридюку и коллективу кафедры математического анализа ЧелГУ за строгую, но конструктивную критику. Хочу также поблагодарить моих родителей Таскиру Мухаметгарифовну и Алмаса Вахитовича и мужа Дмитрия Вадимовича за заботу и помощь.

1. Барепблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Барепблатт, Ю.П. Желтое, И.Н. Кочипа // ПММ. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 58-73.

2. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.

3. Бояринцев, Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 2000. - 223 с.

4. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998. - 224 с.

5. Булатов, М.В. О пробразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений / М.В. Булатов // ЖВМиМФ. 1994. - Т. 34, № 3. - С. 360-372.

6. Булатов, М.В. Об условиях сходимости разностных схем для решения систем ОДУ, не разрешенных относительно производных / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков. Методы численного анализа и оптимизации. - Новосибирск: Наука, 1987. - С. 175-187.

7. Булатов, М.В. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков. Методы оптимизации и их приложения. Тр. XI Междунар. Байкальской школы-семинара. - Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. - Т. 4. -С. 72-75.

8. Вишик, М.И. Задача коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения / М.И. Ви-шик // Мат. сб. 1956. - Т. 38, вып. 1. - С. 51-148.

9. Волевич, JI.P. Смешанная задача для дифференциальных уравнений в частных производных с квазиоднородной старшей частью / JI.P. Волевич, С.Г. Гипдикин. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 272 с.

10. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов. Новосибирск: НГУ, 1983. -179 с.

11. Рабов, С.А. Новые задачи математической теории волн / С.А. Габов- М.: Наука. Физматлит, 1998 448 с.

12. Галъперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Галъперн // Тр. Моск. мат. о-ва. 1960. - Т. 9. - С. 401-423.

13. Гаптмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гаптмахер. М.: Наука, 1967. - 576 с.

14. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. -М.: Наука, 1970. 536 с.

15. Демидеико, Г.В. Краевые задачи в четверти пространства для систем не типа Коши-Ковалевской / Г.В. Демидеико, И.И. Матвеева // Тр. ин-та математики СО РАН. 1994. - Т. 26. - С. 42-76.

16. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский.- Новосибирск: Изд-во Научная книга, 1998. 438 с.

17. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости /В.П. Демидович. М.: Наука, 1967 - 472 с.

18. Дзекцер, Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е.С. Дзекцер // ДАН СССР. 1972. -Т. 202, № 5. - С. 1031-1033.

19. Егоров, И.Е. Неклассические дифференциально-операторные уравнения / И.Е. Егоров, С.Г. Пятков, С.В. Попов. Новосибирск: Наука, 2000. - 336 с.

20. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фред-гольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чер-нышов // Дифференц. уравнения и их применение. Вильнюс. -1976. - Т. 14. - С. 21-39.

21. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида. М.: Мир, 1967.- 624 с.

22. Келлер, А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева : дисс. канд. физ.-мат. наук : 01.01.02 / А.В. Келлер; ЧелГУ. Челябинск, 1997. - 115 с.

23. Коддингтоп, Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтоп, П. Левипсон. М.: ИЛ, 1958. - 474 с.

24. Kooicauoe, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Коэюанов. Новосибирск: Но-восибир. гос. ун-т, 1990. - 132 с.•И!HillЯ !■ •

25. Коэюанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Kootcanoe // ДАН СССР. 1992. -Т. 326, № 5. - С. 781-786.

26. Корпусов, М. О. О квазистационарных процессах в проводящих средах без дисперсии / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМ и МФ. 2000. - Т. 40, № 8. - С. 1237-1249.

27. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева;; Гальперна / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. Моск. мат. о-ва.-1961.-Т. 10.-С. 273-285.г:

28. Крейн, М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости / М.Г. Крейн // УМН. 1948. - Т. 3,3. С. 166-169.

29. Крейн, М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / М.Г. Крейн. Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1964. - 186 с.Ю9

30. Крейн, С.Г. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных / С. Г. Крейн, В. Б. Осипов // Дифференц. уравнения. 1970. - Т. 6, № 11. - С. 2053-2061.

31. Ладыэ/сеиская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыо/сенская. М.: Наука, 1970. - 288 с.

32. Лере, Ж. Гиперболические дифференциальные уравнения / Ж. Лере. М.: Наука, 1984. - 208 с.

33. Левитан, Б.М. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков. М.: Изд-во Моск. гос. ун-та, 1978. - 205 с.

34. Ляпунов, A.M. Собрание сочинений. Т.2 / A.M. Ляпунов. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 473 с.

35. Майзель, А.Д. Об устойчивости решений систем дифференциальных уравнений / А.Д. Майзель // Тр. Уральск, политехи, ин-та. Сер. математика. 1954. - № 51. - С. 20-50.

36. Массера, Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер. М.: Мир, 1970.- 456 с.

37. Мельникова, И. В. Задача Коши для включения в банаховых пространствах и пространствах распределений / И.В. Мельникова // Сиб. мат. журн. 2001. - Т. 42, № 4. - С. 892-910.

38. Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Альшанский // ДАН. 1994. - Т. 336, № 1. - С. 17-20.I; I . I. ■4Й

39. Осколков, А.П. О нестационарных течениях вязкоупругих жидкостей / А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1983. - Т. 159. - С. 101-130.

40. Осколков, А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройда j А.П. Осколков // Тр. Мат. ин-та АН СССР. 1988. - Т. 179. - С. 126-164.

41. Плотников, П. И. Уравнения фазового поля и градиентные потоки маргинальных функций / П.И. Плотников, А.В. Клепачсва // Сиб. мат. журн. 2001. - Т. 42, № 3. - С. 651-669.

42. Плотников, П.И. Задача Стефана с поверхностным натяжением как предел модели фазового поля / П.И. Плотников, В.Н. Старо-войтов // Дифференц. уравнения. 1993. - Т. 29, К9- 3. - С. 461-471.

43. Поволоцкий, А.И. О дихотомии решений одного класса уравнений типа С.Л.Соболева / А.И. Поволоцкий, Г.А. Свиридюк //В межвуз. сб. научн. тр. Операторы и их приложения. Ленинград, 1988.Ufsls-j-» ■>1."' " С. 71-75.

44. Пятков, С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / С.Г. Пятков // Сиб. мат. журн. 1989. - Т. 30, № 4. -С. 111-124.

45. Руткас, А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f{t) / А.Г. Руткас // Дифференц. уравнения. 1975. - Т. И, N2 И. -С. 1996-2010.Hi -f I > I ! i- i 't. i. .,

46. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 10. - С. 1823-1825.

47. Свиридюк, Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором / Г.А. Свиридюк // ДАН. 1991.- Т. 318, № 4. С. 828-831.

48. Свиридюк, Г.А. Инвариантные пространства и дихотомии решений одного класса линейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, А.В. Келлер // Изв. вузов. Математика. 1997. - № 5. - С. G0-G8.

49. Свиридюк, Г.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. жури. 1995. - Т. 3G, № 5. - С. 1130-1145.

50. Свиридюк, Г.А. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами / Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров // Сиб. мат. жури. 1998.- Т. 39, № 3. С. 604-616.

51. Сидоров, Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н.А. Сидоров // Мат. заметки. 1980.- Т. 95, № 4. С. 569-578.

52. Сидоров Н.А. Общие вопросы регуляризации в задачах теории ветвления / Н.А. Сидоров. Иркутск: Иркут. ун-т, 1982. - 312 с.

53. Сидоров, Я. А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения. 1987. - Т. 23, № 4.- С. 726-728.

54. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче для систем уравнений частных производных / С.Л. Соболев // ДАН СССР. 1951. - Т. 81, № 6. - С. 1007-1009.

55. Соболев, С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / С.Л. Соболев // ДАН СССР. -1952. Т. 82, № 2. - С. 205-208.

56. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1954. - Т. 18.- С. 3-50.

57. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. М.: Мир, 1980. -664 с.

58. Успенский, С.В. Теоремы вложения и приложения к дифференциальным уравнениям / С.В. Успенский, Г.В. Демидеико, В.Г. Пере-пелкии. Новосибирск: Наука, 1984. - 252 с.

59. Федоров, В.Е. Линейные уравнения типа Соболева с относительно р-радиальными операторами / В.Е. Федоров // ДАН. 1996. -Т. 351, № 3. - С. 316-318.

60. Федоров, В.Е. Бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов с ядрами / В.Е. Федоров // Сиб. мат. журн. 1999. - Т. 40, № 6. - С. 1409-1421.

61. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.Е. Федоров // Алгебра и анализ. 2000. - Т. 12, вып. 3.- С. 173-200.

62. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные группы операторов / В.Е. Федоров // Изв. вузов. Математика. 2000. - № 3. -С. 54-65.

63. Федоров, В.Е. Сильно непрерывные полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров II Неклассические уравнения математической физики. Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 2000. - С. 32-40.

64. Федоров, В.Е. О гладкости решений линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров // Дифференц. уравнения. 2001. -Т. 37, № 12. - С. 1646-1649.

65. Федоров, В.Е. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы / В.Е. Федоров // Изв. РАН. Сер. Математика. 2003. - Т. 67, № 4. - С. 171-188.

66. Федоров, В.Е. Сильно голоморфные группы линейных уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров 11 Дифференц. уравнения. 2004. - Т. 40, № 5. - С. 702-712.

67. Федоров, В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров 11 Мат. сб.- 2004.- Т.195, № 8.- С.131-160.

68. Федоров, В.Е. Обобщение теоремы Хилле Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров 11 Сиб. мат. жури. - 2005. - Т. 46, № 2. - С. 426-448.

69. Федоров, В.Е. Слабые решения и проблема квадратического регулятора для вырожденного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Вычислительные технологии. 2004. - Т. 9, № 2. - С. 92-102.

70. Хартмап, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман. М.: Мир, 1970. - 720 с.1.M^.J;' ilT " it::'iii

71. Xeupu, Д. Геометрическая теория полулинейных параболическихуравнений / Д. Xeupu. М.: Мир, 1985 - 376 с.

72. Хесс, П. Периодическо-параболические граничные задачи и положительность / П. Хесс. М.: Мир, 2001. - 176 с.

73. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс. М.: ИЛ, 1962. - 826 с.. ii,Щ?1й }f.yill: (iii |.• -1 ■ • . i i | ■-i' -и.,.,.1r

74. Чезари, JI. Асимптотическое поведение и устойчивость решений-м.| i ;I.« t ■illj:, . .41;. -i ill;j*ji»r обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Чезари. М.:г?' Мир, 1964. 480 с.

75. Чистяков, В. Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем , обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Ф. Чистяков //Динамика нелинейных систем. Новосибирск. - 1983. - С. 163-173.

76. Чистяков, В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы /• I : В.Ф. Чистяков // Дифференц. уравнения и численные методы.- Новосибирск. 1986. - С. 123-128.

77. Чистяков, В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука, 1996. -278 с.

78. Bohl, P. Uber Differentialugleichimgen / P. Bold // J. f. reine unci angew, Math. 1913. - V. 144. - S. 284-318.

79. Favini, A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems / A. Favini // Rend. mat. 1979. - V. 12. - R 511-536.

80. Favini, A. Multivalued linear operators and degenerate evolution equations / A. Favini, A. Yagi // Ann. Mat. pur. ed appl. 1993. - V. CLXIII. - P. 353-384.

81. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yac Inc, 1999. 236 c.Hltjii . 'r«i; :j|u|'! A. Favini, A. Yagi. New York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker,

82. Hadamard, J. Sur l'iteration et les solutions asyrnptotiques des equations differentielles / J. Hadamard j j Bull. Soc. Math. 1901. - V. 29. - P. 224-228.

83. Lagnese, J.E. General boundary problems for differential equation of Sobolev type / J.E. Lagnese // SIAM J. Math. Ann. 1972. - V. 3, № 1. - P. 105-199.

84. Oseen, C. W. Hydrodynamik / C. W. Oseen. Leipzig: AkademischeVerlagsgesellschaft M.B.H., 1927. 353 c.

85. Perron, 0. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen / 0. Perron 11 Math. Z. 1930. - V. 32, № 5 - P. 703-728.

86. Poincare, H. Sur l'equilibre d'une masse fluide animee d'un mouvement de rotation / H. Poincare // Acta Math. 1885. - V. 7. - P. 259-380.

87. Povoas, M. On some singular hiperbolic evolution equations / M. Povoas I j J. Math. pur. et appl. 1981. - V. 60. - P. 133-192.

88. Przeradzki, B. The existance of bounded solutions for Differential equations in Hilbert spaces / B. Przeradzki // Ann. pol. math. 1992. - V. 56, № 2. - P. 103-121.

89. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I / R.E. Showalter j j Appl. Anal. 1975. - V. 5, № 1. - P. 15-22.

90. Showalter, R.E. Pseudoparabolic partial differential equations / R.E. Showalter, T. W. Ting // SIAM J. Math. Anal. 1970. - V. 1, № 1.ttr P. 1-26.

91. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn and M. Falaleev. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 c.

92. Song Guo-zhu. Mild periodic solution and the spectrum of operator semigroups / Song Guo-zhu // Acta Analysis Functionalis Applicata.tljljtt't 1999. - V. 1, № 1. - P. 51-60.• t * tfti» • 1 it::

93. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht, Boston: VSP, 2003. - 216 c.

94. Yagi, A. Generation theorems of semigroup for multivalued linear operators / A. Yagi // Osaka J. Math. 1991. - V. 28. - P. 385-410.;;: ; Основные публикации автора по теме диссертацииf 1; I ; i ■ .• ■)'».*• I. i

95. Сагадеева, М.А. Об ограниченных решениях линейных уравне•uiljjr I• ний соболевского типа с относительно радиальными операторами /Й!!! М.А. Сагадеева // Уравнения соболевского типа: Сб. науч. работ.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2002. С. 219-226.

96. Федоров, В.Е. Периодические решения линейных уравнений соболевского типа / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Вестник МаГУ. Математика. Вып. 4. - Магнитогорск: МаГУ, 2003. - С. 223236.

97. Федоров, В.Е. Об ограниченных на прямой решениях линейных уравнений соболевского типа с относительно секториальными операторами / В.Е. Федоров, М.А. Сагадеева // Изв. вузов. Математика. 2005. - № 4. - С. 81-84.

98. Сагадеева, М.А. Об ограниченных на прямой решениях уравнения соболевского типа с относительно секториальным оператором / М.А. Сагадеева // Студент и научно-техн. прогресс: Тез. Между-нар. научн. студ. конф. Новосибирск, 2001. - С. 129-130.

99. Сагадеева, М.А. Функции Грина для одного класса уравнений со1.ljij, |1 ;!болевского типа / М.А. Сагадеева // Обратные задачи: теория и