Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Шеметова Вероника Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА НА ГРАФАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ИРКУТСК - 2005

Работа выполнена на кафедре математического анализа Магнитогорского государственного университета.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Свиридюк Георгий Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Прилепко Алексей Иванович

Защита состоится 27 декабря 2005 года в 15 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в Институте динамики систем и теории управления СО РАН по адресу: 664033. г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института динамики систем и теории управления СО РАН.

кандидат физико-математических наук, доцент Фалалеев Михаил Валентинович

Ведущая организация:

Воронежский государственный университет

Автореферат разослан " ^ " 2005

и

г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н.

Г.А. Опарин

ПШ/7

Общая характеристика работы

Цель работы. Рассмотрим - уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной

(А - А)щ = аАи,

моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещинновато-пористой среде; - уравнение Хоффа

моделирующее течение вязкоупругой несжимаемой жидюсти по трубе;

уравнение КорпусовагПлетнера-Свешникова

моделирующее квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии.

Во всех приведенных выше ситуациях многомерное, вообще говоря, уравнение может быть сведено к одномерному уравнению, определенному на ориентированном графе. Не задерживаясь на деталях, мы сразу будем считать, что соответствующие одномерные уравнения определены на подходящих графах. Иными словами, пусть в = <£) - конечный связный оризнтиро-панный граф, где 53 = {Т^} - множество вершин, а £ — {Е^} -множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину I] > 0 и толщину д,3 > 0. На графе в нас будут интересовать задачи с краевыми

\щ + иХХ1 = аи + /?и3,

моделирующее выпучивание двутавровой балки; - уравнение Осколкова

щ - агих^ = м.хх - иих,

(А - Д)щ = аАи + 0<Иу{иУи),

и3(0, = ик(1к, *), Е„Ек€ Еа(Ъ) и &"(¥,); (1) 2 = 0; (2)

и начальными

txj(®,0) = uj0(®). xe(o,fj) (3) условиями для уравнений

АUji Ujxxt ~ OL'U'jxxi

Xujt + ujxxt = au, + ßu*, (5)

Ujt ~~ aeUjXXt = viijxx ~ M-jUjx, (6)

Xujt - ujxxt = aujxx + ßiujU^x. (7)

Здесь через Ea^\Vx) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине Vt. Условие (1) требует, чтобы все решения были непрерывными на вершинах графа; а (2) - аналог условия Кирхгоффа - в случае, когда граф состоит из единственной дуги с двумя вершинами, превращается в условие Неймана.

Целью диссертации является изучение однозначной разрешимости задачи (1)-(3) для уравнений (4)-(7). Как легко видеть, все уравнения имеют прикладной характер и относятся к уравнениям соболевского типа, составляющим обширную область неклассических уравнений математической физики. Основная трудность при изучении начально-краевых задач для таких уравнений заключается в их принципиальной неразрешимости в случае, когда дифференциальный оператор "по пространственным переменным" при производной "по времени" необратим. Отметим еще, что задача (1)-(3) для уравнений (4)-(7) рассматривается впервые.

Актуальность темы. Данная диссертация находится на стыке двух новых областей математики. С одной стороны, это недавно возникшая теория уравнений (эллиптических и параболических) на графах, с другой стороны, теория уравнений соболевского тина.

Уравнения, не разрешенные относительно выделенной производной, впервые появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Однако начало систематических исследований таких уравнений было положено C.JI. Соболевым в 1954 году. Результаты его работ открыли новое направление, которое первоначально развивали ученики С.Л. Соболева - P.A. Александрии, С.А. Гальперн, А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин, Т.И. Зеленяк и многие другие.

Немного позже и независимо от этих работ С.Г. Крейч и его ученики начали изучать абстрактные дифференциально-операторные уравнения в банаховых пространствах с фредгольмовым оператором при выделенной производной. Для работ представителей этого направления характерно отсутствие приложений. К работам этого направления относятся работы И.В. Мельниковой и ее учеников. Первыми, кто абстрактные результаты начал иллюстрировать конкретными прикладными задачами, были R.E. Showalter и H.A. Сидоров с учениками. К этому же направлению можно отнести работы М.И. Вишика, A. Favini, A. Yagi и многих других.

К настоящему моменту в этой обширной области математического знания сложилось несколько направлений, зачастую имеющих пересечения только по объекту исследований. Здесь нужно отметить работы Г.В. Демиденко, C.B. Успенского: X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса; A. Favini, A. Yagi; С.Г. Пяткова; H.A. Сидорова, В.И. Логинова, A.B. Синицина, М.В. Фалалеева; Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова.

Данная диссертация лежит в русле научного направления, развиваемого Г. А. Свиридюком и его учениками. В работах этого направления изучается задача Коши

для линейных и полулинейных

и{ 0) = но

Lit = Ми Lû — Ми + N (и)

(8)

(9) (Ю)

уравнений соболевского типа. Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнений (9), (10).

В последнее время теория графов привлекает все более пристальное внимание специалистов различных областей знания. Давно известны тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. За последние годы тематика теории графов стала еще более разнообразной. Однако

ни в одной из современных монографий по теории графов нет даже намека на задачи для уравнений в частных производных, определенных на графе.

Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. Здесь следует отметить работы S. Kosugi, С. Cattaneo, G. Medolla, A.G. Setti, F. Barra, P. Gaspard, E. Yanagida, J. von Below.

Независимо от этих работ и впервые в России краевыми и начально-краевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю.В. Покорный со своими учениками. Первые итоги исследований школы Ю.В. Покорного подведены в монографии, где изучаются качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, изучаются функция Грина, дифференциальные неравенства, осцилляционные спектральные свойства, излагается теория эллиптических уравнений на стратифицированных (ветвящихся) многообразиях. Работы этой школы инициировали результаты А.И. Шафаревича.

Г.А. Свиридюк в своей работе рассмотрел задачу на графе G с краевыми условиями (1), (2) и начальными (3) условиями для уравнений соболевского типа

Xujt - Ujxxt = uJXX + f(u3), (11)

где параметр A € M одинаков для всех уравнений. Данная диссертация является непосредственным продолжением и развитием результатов этой работы.

Таким образом, изучение разрешимости начально-краевых задач для уравнений соболевского типа на графах является актуальным как с точки зрения теории уравнений на графах, так и с точки зрения теории уравнений соболевского типа.

Методы исследования. Основным методом наших исследований является метод фазового пространства. Суть его заключается в следующем: сначала начально-краевая задача (1)-(3) для конкретных уравнений (4)-(7) без потери общности сводится к задаче Коши (8) для либо линейного (9), либо полулинейного (10) уравнения соболевского типа.

Второй шаг применения метода заключается в редукции урав-

нений (9) и (10) к стандартным уравнениям

й = и й = Би + ^(и),

соответственно, определенных, возможно, не на всем пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом нами как фазовое пространство исходного (т.е. (9), (10)) уравнения.

Последний шаг заключается в изучении фазового пространства. Здесь мы используем классические методы нелинейного анализа. Основной результат - заключение о морфологии (т.е. структуре, форме, строении, устройстве) фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения (4)- (7).

Новизна полученных результатов. Построено фазовое пространство и изучена его морфология для уравнений Барен-блатта-Желтова-Кочиной, уравнений Хоффа, уравнений Оскол-кова, уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова на графах. Все задачи рассматриваются впервые. Полученные результаты являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Теорэтическая значимость диссертации заключается в том, что впервые описаны фазовые пространства начально-краевых згм:ач для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной, Хоффа, Осколкова и Корпусова-Плетнера-Свешникова, определенных на графах. Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, носящих прикладной характер. Практическая значимость заключается в том, что полученные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XIII межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара. 2003), Воронежской зимней математической школе (Воронеж 2004), Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва., 2005),

VI Международной конференции, посвященной памяти академика М.А. Лаврентьева, "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), Международной конференции "Нелинейные уравнения в частных производных" (Алушта, 2005), на семинаре кафедры математического анализа Магнитогорского государственного университета и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, список которых приводится в конце автореферата. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задач и общее руководство. Получение конкретных результатов принадлежит автору диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 109 страниц. Библиография содержит 114 наименований работ отечественных и зарубежных авторов, включая работы автора.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулирована цель работы, дан обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко изложены основные результаты диссертации. В заключение введения автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. Г.А. Свиридюку, заведующей кафедрой математического анализа МаГУ Т.К. Плышев-ской, коллективам кафедр математического анализа МаГУ и Чел-ГУ.

В первой главе содержатся все известные на данный момент факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации.

В п. 1.1 вводятся и изучаются относительно сг-ограниченные операторы.

Определение 1. Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора Ь (короче, (Ь, ^-ограниченным), если

За € Е+ Ум € С (И > а) (ц £ /(М)).

Теорема 1 (о расщеплении). Пусть оператор М (I, а)-ограничен. Тогда

(г) операторы Ьк 6 £(11*;3*), к — 0,1; (и) М\ € £(НХ¡У1), М0е

(Ш) существуют операторы Ь11 £ Д^1;!!1), М0 1 € В п. 1.2 рассмотрены вырожденные разрешающие аналитические группы операторов.

Чтобы найти решения уравнения (9), его удобно представить в одном из следующих видов:

Д£(М)й = (аЬ - М)~1Ми, (12)

Ь^(М)/ = М(аЬ-М)-1/, (13)

где и = {аЬ - М)_1/>а € Р1{Щ-

Теорема 2. Пусть оператор М (Ь, о)-ограничен. Тогда существуют аналитические разрешающие группы {[/* : Ь £ Е} и {Р1 : Ь € К} уравнений соответственно (12) и (13), примем

иь = ¿т I (14)

г

^ = ¿Т I(15) г

гдеТ = Е С :\(л\-г > о}.

Теорема 3. Пусть оператор М (Ь,р)-ограничен. Тогоа фазовое пространство уравнения (12) (уравнения (13)) совпадает с образом разрешающей группы (14) (разрешающей группы (15),).

В п. 1.3 изложены основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Основным результатом этого параграфа следует считать классическую теорему Коши в обобщенной формулировке.

В п. 1.4 приведены результаты по задаче Штурма-Лиувилля на графах, взятые из монографии

П. 1.5. Вектор-функцию и е С°°((-Т, Т);11), удовлетворяющую уравнению (10) при некотором Т € М+, назовем решением

1 Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев [и др.].- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 272 с.

этого уравнения. Решение и = м(£) уравнения (10) называется решением задачи (8), (10), если оно удовлетворяет условию (8) при некотором щ 6 11.

Определение 2. Квазистационарными траекториями называются те решения уравнения (10), которые лежат во множестве

Ш = {и € и : (I - Я){Ми + Л») = 0}.

Теорема 4. Пусть оператор М (Ь, 0)-ограничен, а оператор Лг 6 С°° (И; 5). Пусть в точке щ множество Ш является банаховым С*' -многообразием. Тогда для некоторого Т 6 М+ существует единственное решение и е С°°((-Т,Т);Ш) задачи (8), (Ю).

В п. 1.6 находятся некоторые результаты нелинейного функционального анализа: основные сведения из теории монотонных операторов и теорема о неявной функции.

Во второй главе содержатся основные результаты диссертации. В ней описаны фазовые пространства начально-краевых задач (1)-(3) для уравнений (4)-(7). Вторая глава состоит из четырех параграфов, каждый из которых построен следующим образом: постановка задачи на графе для соответствующего уравнения, редукция этой задачи к абстрактной задаче Коши для линейного, либо полулинейного уравнения соболевского типа, описание фазового пространства рассматриваемой задачи. В конце каждого параграфа приведено схематическое изображение фазового пространства.

Определение 3. Множество ^ С Я называется фазовым пространством уравнения (10), если

(I) любое решение и = и{Ь) уравнения (10) лежит в ф, т.е. и{$) е при каждом £ £ (-Т, Т);

(II) для любого Но € ф существует единственное решение задачи (8), (10).

Для проведения редукции задач (1)-(3) для уравнений (4)-(7) к задаче Коши (8), (9), либо (8), (10) через £Р(С) обозначим множества

4

= {9= (01.32, •• -9] 6 ы 0,^)}, р- 3-2,4.

Множество ¿2 (С) является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Ч

{9,Ь) =]£<*>/ 93{х)Ь,}{х)<1х.

Е,ее {

Через Н обозначим множество

И^в) = {« = («ьиз,...,^,...) £ причем выполнено (1)}.

Банахово пространство IX плотно и компактно вложено в ¿2 (С?) • Отождествим Ьг (С) со своим сопряженным, и через 5 обозначим сопряженное относительно двойственности {•) пространство к и. Очевидно, $ - банахово пространство, причем вложение И <-> 5 компактно.

П. 2.1 посвящен изучению фазового пространства начачьно-краевой задачи для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной. В п. 2.1.1 ставится начально-краевая задача (1)-(3) на грг.фс для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной (4). В п. 2.1.2 проводится редукция задачи (1)-(3), (4) к задаче (8), (9). Вводятся в рассмотрение операторы

Е3ее {

Ь = (А - в)1 + А, М = а (а! - А).

Доказано, что операторы Ь,М € £(И; £), причем оператор Ь фредгольмов. При а, А 6 К \ {0} оператор М(Ь, 0)-ограничен.

П. 2.1.3 содержит основной результат п. 2.1 - доказана

Теорема 5. Пусть А, а € К \ {0} и

(г) 0 ^ <У{!■>). Тогда фазовым пространством уравнение, (9) является все пространство 11, т. е. для любого щ € И суще гтвует единственное решение и € С°°(1&;11) задачи (8), (9), которое к тому же имеет вид и(£) = и1щ.

(гг) 0 € сг(Ь). Тогда фазовым пространством уравнения (9) является подпространство И1 = {и € 11: (и, = 0, А;. = А —

а}, т.е. для любого щ € И1 существует единственное решение и £ С00(К;IX1) задачи (8), (9), которое к тому оке имеет вид

Через \ifik} обозначены ортонормированные в смысле Ь2(в) собственные функции оператора Л, занумерованные по неубыванию собственных значений {Ад } с учетом их кратности.

В п. 2.2 исследуется фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Хоффа. В п. 2.2.1 ставится начально-краевая задача (1)-(3) на графе для уравнений Хоффа (5). В п. 2.2.2 проводится редукция задачи (1)-(3), (5) к задаче (10), (8). Вводятся в рассмотрение операторы

Доказано,чю при всех А, а С К операторы Ь,М 6 ДИ; 5), причем оператор Ь - фредгольмов, кроме того, оператор М(Ь. 0)-ограничен, а оператор N € С,00(И; 5").

В п. 2.2.3 доказана

Теорема 6. (г) Пусть 0 € ст(£). Тогда фазовым пространством задачи (1)-(3), (5) является простое банахово С°°-мно-гообразие

моделируемое подпространством и1.

(и) Пусть 0 ^ о(Ь). Тогда фазовым пространством задачи (1)-(3), (5) является пространство П.

Через {<рк} обозначены ортонормированные в смысле Ьч(С) собственные функции оператора Ь, занумерованные по невозрастанию собственных значений {А*} с учетом их кратности.

иЦ) - 1/*ио.

13

{Ьи,о) = / —и}хузх)бх, (Ми,у) = (аи,г),

в,ее{

В п. 2.3 изучается фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Осколкова. В п. 2.3.1 ставится на'-ально-краевая задача (1)-(3) на графе для уравнений Осколкова (6). В п. 2.3.2 проводится редукция задачи (1)-(3), (6) к задаче (10), (8). Вводятся в рассмотрение операторы

(Ьи, у) (и}уз + зeujxVjx)dx,

Е,ее {

(Ми, V) = -V <1} / и]хУ}х йX,

Я, ее о

(ЛГ(и),г>) = — ^ ¿з / и^и^хУ^йх Уи,и Е П. {

Доказано, что при всех аз, и е ®/{0} операторы Ь.М £ £(11; и фредгольмовы, кроме того, оператор М{Ь, 0)-ограничен, а оператор N е С°°(11; £). В п. 2.3.3 доказана

Теорема 7. (¡) При любых ае € {А^1}, и £ К\{0} <разовое пространство

Ш =

и е Я : ^¡Г ¿з / (»Щхфкэх + и^зх'Ркз) Лх = 0, ае-1 = А*

С г-Л

Я, 6« ^

задачи (1)-(3), (6) является объединением двух простых банаховых С°° -многообразий, моделируемых пространством 11'.

(И) При любых ае ^ {А^1; 0}, и € ®\{0} фазовым пространством задачи (1)-(3), (6) является пространство И.

Через {(рк} обозначены ортонормированные в смысле 1г(С) собственные функции оператора Лапласа для данной задачи, занумерованные по невозрастанию собственных значений {Х^} с учетом их кратности.

В п. 2.4 проводится исследование начально-краевой задачи для уравнений Корпусова-Плетнера-Свеганикова. В п. 2.4.1 ставится начально-краевая задача (1)-(3) на графе для уравнений

Корпусова-Плетнера-Свешникова (7). В п. 2.4.2 проводится редукция задачи (1)-(3), (7) к задаче (10), (8). Вводятся в рассмотрение операторы

I,

я, ее {

(Ми,у) — аизху]хс1х,

в3ее {

(<\(и),у) = - (I] / ¡Зи0и]ху]Х йх Уи,ь £ 11.

Е,€в {

Доказано, что при любых а, А е К операторы Ь, М е С(И; 5) и фредгогьмовы, кроме того, оператор М(Ь, 0)-ограничен, а оператор N С- С°°(И;$). В п. 2.4.3 доказана Теорема 8. Для любых о, в 6 К \ {0} и ({) А ^ {А*;} фазовым пространством задачи (1)-(3), (7) является пространство П.

(гг)\ € {\к} фазовое пространство

9Л

ь € 11: / (аиз* + РщЩх)ч>к]Х <1х = 0, А е {А*,}

С /- Л *

"0

задачи (1)-(3), (7) содержит объединение двух компонент Ш\ и С ОЛ.

Через {*рк} обозначены ортонормированные в смысле 1/2 (С) собственные фу нкции оператора Лапласа для данной задачи, занумерованные по невозрастанию собственных значений {А&} с учетом их кратности.

Замечание 1. Морфология этого фазового пространства отличается от морфологии фазового пространства в теореме 7. В теореме 8 (и) фазовое пространство лежит на 1-сборке Уитни, и "сингулярное множество" этой сборки (т.е. множество, где Ш1

касается ядра кег Ь) нами пока не исследовано, а в теореме 7 морфология фазового пространства описана полностью.

Результаты диссертации, выносимые на защиту.

Построено фазовое пространство и изучена его морфология для

- уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе;

- уравнений Хоффа на графе;

- уравнений Осколкова на графе;

- уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова на графе.

Публикации автора по теме диссертации

1. Свиридюк, Г.А. Об уравнениях Хоффа на графах / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII межвуз. конф. 29-31 мая 2003. Самара, 2003.- С.149-151.

2. Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Математика - Вып.4. Магнитогорск: МаГУ, 2003 - С.129-139.

3. Шеметова, В.В. Фазовое пространство уравнений Хоффа на графе /В.В. Шеметова // Воронежская зимняя математическая школа-2004 - Воронеж: ВорГУ, 2004.- С.112-114.

4. Шеметова, В.В. Об уравнениях Баренблатта-Желтова-Ко-чиной на графе /В.В. Шеметова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов Всерос. конф.- Екатеринбург, 2004.- С.240-241.

5. Шеметова, В.В. О фазовом пространстве уравнений Хоффа на графе / В.В. Шеметова // Межд. школа-семинар по геометрии и анализу.- Ростов-на-Дону, 2004.- С.281-282.

6. Шеметова, В.В. О фазовом пространстве одной неклассической модели / В.В. Шеметова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции.- Воронеж: ВГУ, 2005.- С.251.

7. Шеметова, В.В. Об одной i Шеметова / / Тезисы докладов XII студентов, аспирантов и молодых Москва: МГУ, 2005.- С.75-76.

8. Шеметова, В.В. Уравнения кова на графе / В.В. Шеметова математике, механике и физике. 1 Новосибирск, 2005 - С.91-92.

9. Шеметова, В.В. Фазовые пространства одного класса уравнений соболевского типа на графах /В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Математика.- Вып.8.- Магнитогорск: МаГУ, 2005-С. 149164.

10. Shemetova, V.V. The phase space of Oskolkov equations on the graph /V.V. Shemetova 11 International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Alushta, Ukraine, September 17-23, 2005 - Donetsk, 2005.- P.92.

11. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика - 2005 - №11. С.47-52.

№24 8 03

РНБ Русский фонд

2006-4 25302

Редакционно-издательский отдел Магнитогорского государственного университета 455038, Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Подписано к печати 22.11.05 г. Формат 60x84 1/16. Объем 1 п. л. Заказ 600. Тираж 100 экз. Типография МаГУ

Обозначения и соглашения

Введение

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Относительно сг-ограниченные операторы.

1.2 Аналитические группы уравнений соболевского типа

1.3 Банаховы многообразия и векторные поля.

1.4 Задача Штурма-Лиувилля на графе.

1.5 Квазистационарные траектории

1.6 Некоторые методы нелинейного функционального анализа.

1.6.1 Монотонные операторы.

1.6.2 Теорема о неявной функции.

2 ФАЗОВЫЕ ПРОСТРАНСТВА

2.1 Уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе.

2.1.1 Постановка задачи.

2.1.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.1.3 Морфология фазового пространства.

2.2 Уравнения Хоффа на графе.

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.2.3 Морфология фазового пространства.

2.3 Уравнения Осколкова на графе.

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.3.3 Морфология фазового пространства.

2.4 Уравнения Корпусова-Плетнера-Свешникова на графе.

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Редукция к абстрактной задаче.

2.4.3 Морфология фазового пространства.

Постановка задач. Уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной

Л - А)щ = аАи моделирует динамику давления жидкости, фильтрующейся в тре-щинновато-пористой среде [3], где параметры А 6 1, a G характеризуют среду. Нас интересует давление жидкости в случае, когда среда представляет собой связный пласт, имеющий слоистую структуру. Уравнение Хоффа

A ut + uxxt = аи + /Зи? моделирует выпучивание двутавровой балки [94]. Здесь параметр Л Е К+ соответствует нагрузке, а параметры a,j3 Е Ш характеризуют свойства материала, причем а(3 > 0. Искомая функция и = u(x,t) показывает отклонение балки от вертикали. Нас будет интересовать поведение конструкции из двутавровых балок, находящихся под постоянной нагрузкой. 0 Уравнение щ — seuxxt = vuxx — иих моделирует течение вязкоупругой несжимаемой жидкости по трубе. Это уравнение является одномерным аналогом системы Оскол-кова [42]

1 - аеу2Н = v у2 и - (и • V)и ~ VP + /, V ■ и = 0, описывающей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кель-вина-Фойгта, и представляет собой гибрид уравнений Бенджами-на-Бона-Махони и Бюргерса [84]. Наше внимание будет занимать случай, когда жидкость течет по трубопроводам.

Уравнение

Л - A)ut = аАи + fidiv(uVu) моделирует квазистационарные процессы в токопроводящих средах без дисперсии [29]. В центре нашего внимания будет случай, когда среда представляет собой несколько цилиндрических полупроводников, соединенных между собой в произвольном порядке.

Во всех приведенных выше ситуациях многомерное, вообще говоря, уравнение может быть сведено к одномерному уравнению, определенному на ориентированном графе. Процедура такой редукции описана в [95]. Не задерживаясь на деталях, мы сразу будем считать, что соответствующие одномерные уравнения определены на подходящих графах. Иными словами, пусть G = G(Q3; (£)-конечный связный ориентированный граф, где Я? = {Vi} - множество вершин, а (£ = {Ej} - множество дуг. Мы предполагаем,что каждая дуга имеет длину lj > 0 и толщину dj > 0. На графе G нас будут интересовать задачи с краевыми

Uj(0,t) = uk(lk,t), Ej, Ек € Еа(Ц) U E"{Vi)- (0.1) djUjX(0,t) — dkukx{lk,t) = 0; (0.2) Ej£E«{Vi) EkeE«(Vi) и начальными

Uj(a;,0) = Ujo(x), x e (0,lj) (0.3) условиями для уравнений

A Ujt — Ujxxt = OCUjxx, (0.4)

A Ujt + UjXXt = o>Uj + /Зир (0.5)

Ujt 3QUjxxt — VUjxx ItjUjx? (0-6)

Л Ujt - Ujxxt = OLUjxx + (3(UjUjx)x- (0.7)

Здесь через Ea^(Vi) обозначено множество дуг с началом (концом) в вершине V^. Условие (0.1) требует, чтобы все решения были непрерывными на вершинах графа; а (0.2) - аналог условия Кирхгоффа - в случае, когда граф состоит из единственной дуги с двумя вершинами, превращается в условие Неймана.

Целью диссертации является изучение однозначной разрешимости задачи (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7). Как легко видеть, все уравнения имеют прикладной характер и относятся к уравнениям соболевского типа, составляющим обширную область неклассических уравнений математической физики [14]. Основная трудность при изучении начально-краевых задач для таких уравнений заключается в их принципиальной неразрешимости в случае, когда дифференциальный оператор "по пространственным переменным" при производной "по времени" необратим [87]. Отметим еще, что задача (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7) рассматривается впервые.

Актуальность темы диссертации. Уравнения, не разрешенные относительно выделенной производной, впервые появились в работе А. Пуанкаре в 1885 году. Затем время от времени интерес к таким уравнениям возникал в работах Ф.К.Г. Одквиста, С.В. Осеена, С.Г. Россби и многих других. Однако начало систематических исследований таких уравнений было положено в работе C.J1. Соболева [72], опубликованной в 1954 году. Результаты этой работы открыли новое направление, которое первоначально развивали ученики C.J1. Соболева - Р.А. Александрян [1], С.А. Галь-перн [16], А.Г. Костюченко и Г.И. Эскин [30], Т.Н. Зеленяк [21] и многие другие.

Немного позже и независимо от этих работ С.Г. Крейн и его ученики [32], [22] начали изучать абстрактные дифференциально-операторные уравнения в банаховых пространствах с вырожденным оператором при выделенной производной. Для работ представителей этого направления характерно отсутствие приложений. В настоящее время в этом направлении активно и плодотворно работает И.В. Мельникова и ее ученики [36], [37], [38]. Первыми, кто абстрактные результаты начал иллюстрировать конкретными прикладными задачами, были R.E. Showalter [98], [99] и Н.А. Сидоров с учениками [69], [70], [71]. К этому же направлению можно отнести работы М.И. Вишика [13], A. Favini [90], [91], A. Yagi [92] и многих других.

К настоящему моменту в этой обширной области математического знания сложилось несколько направлений, зачастую имеющих пересечения только по объекту исследований. Исторически первая в этом жанре монография R.E. Showalter [100] посвящена изучению различных начальных задач для линейных

Ьй = Ми (0.8) и полулинейных

Ьй = Ми + N(u) (0.9) дифференциально-операторных уравнений, определенных в полугильбертовых (т.е. нехаусдорфовых) пространствах (см. по этому поводу [54]). Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами. В монографии В.Н. Врагова [14] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для уравнений вида (0.8), где L и М - дифференциальные операторы по пространственным переменным. В монографии А.И. Кожанова [26] вводятся в рассмотрение и изучаются уравнения составного типа, которые имеют вид (0.9).

В монографии Г.В. Демиденко, С.В. Успенского [89] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны так:

1-1

AoDltu + ]Г Ai-kDktu = /, jfc=0 где Ло, Ai,. • •, Ai - линейные дифференциальные операторы относительно х = (#1,., жп), Ао не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [15] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах.

В монографии A. Favini, A. Yagi [92] исследуется задача с начальными условиями

Mv = Lv + f(t), 0 <t<T, Mv( 0) = v0, в банаховом пространстве X, где М и L - замкнутые операторы в X, /(•) - непрерывная на [0, Т] функция со значениями в X, а г?о - заданный элемент из X. Для исследования этой задачи используются два метода - метод полугрупп и операционный метод.

Монография И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, С.В. Попова [97] посвящена исследованию краевых задач для неклассических дифференциально-операторных уравнений. Рассматривается вопрос о разрешимости уравнений вида

But + Lu = /, где L, В - самосопряженные (или диссипативные)' операторы в гильбертовом пространстве Е. Оператор В не знакоопределен или не обратим.

В монографии Н.А. Сидорова, В.И. Логинова, А.В. Синици-на, М.В. Фалалеева [101] рассматриваются как дифференциальное уравнение

B(t)xW(t) = A(t,x) + f(t), с начальными условиями x®(0) = xi, г = 0, l,.,iV- 1, где операторы B(t), A(t, х) определены в некоторой окрестности Q = {£, х\ |t| < р, ||z|| < R} и действуют из Е\ в Е2, Е^Еъ -банаховы пространства, В(0) - фредгольмов оператор, /(£) € Е2, так и сингулярные дифференциальные уравнения в частных производных в банаховых пространствах. Используя аппарат обобщенных жордановых цепей , фундаментальных операторов сингулярных интегро-дифференциальных выражений, теорию обобщенных функций, метод Некрасова-Назарова неопределенных коэффициентов, топологические методы, а ткаже методы полугрупп и групп операторов с ядрами, получены результаты, связанные с построением непрерывных и обобщенных решений таких задач для различных типов операторов B(t) и A(t,x).

Если пополнить этот впечатляющий список монографией Ю.Е. Бояринцева, В.Ф. Чистякова [9], в которой изучаются уравнения (0.8), (0.9) (и даже более общие) в конечномерных пространствах, то получится яркая картина разнообразия методов и результатов в этой новой области математики.

Разнообразие подходов определило разнообразие результатов и, к сожалению, разнообразие терминологии. Так в некоторых работах уравнения вида (0.8), (0.9) называются "псевдопараболичес-кими"[15], [89], [97], [27], "псевдогиперболическими"[89], [97], "вырожденными "[69], [92], [101] и даже "уравнениями не типа Коши-Ковалевской"[45], [35], [89]. Мы же будем придерживаться термина "уравнения соболевского типа" ("Sobolev type equations"), который в последнее время получает все большее распространение [1], [30], [41], [42], [56], [66], [98], [99]. Этим термином мы будем обозначать как абстрактные уравнения вида (0.8), (0.9), так и их конкретные интерпретации вида (0.4)-(0.7).

Данная диссертация лежит в русле научного направления, развиваемого Г.А. Свиридюком и его учениками. В работах этого направления изучается задача Коши гг(0) = щ (0.10) для линейных (0.8) и полулинейных (0.9) уравнений соболевского типа. Отметим, что хотя линейные результаты в этом направлении представлены лучше, оно началось с нелинейных работ [51], [52], [53]. Основной особенностью этих результатов, решительно отличающей от всех цитированных выше работ, является выделение и изучение фазового пространства уравнений (0.8), (0.9). Впервые термин "фазовое пространство" в данном контексте появился в работах [66], [65], где заменил собой ранее употреблявшийся термин "многообразие решений" [51], [52].

Перечислим сначала работы, в которых изучены фазовые пространства уравнений вида (0.8). Здесь прежде всего следует отметить работу Г.А. Свиридюка, в которой заложены основы теории относительно <т-ограниченных и относительно р-секториальных операторов и соответствующих им вырожденных разрешающих (полу)групп уравнения (0.8) [57]. Эта работа стала основой для многих глубоких исследований. Перечислим результаты учеников Г.А. Свиридюка в линейной ситуации.

Диссертация Т.А. Бокаревой [6] посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Коши (0.10) для операторного уравнения соболевского типа (0.9). В ее диссертации определены условия, необходимые и достаточные для существования фазовых пространств этого уравнения в случае, когда М - линейный, замкнутый, но L - ограниченный оператор, определены условия, достаточные для существования фазовых пространств этого уравнения в случае (£,р)-секториальности оператора М, изучены квазистационарные полутраектории и описаны фазовые пространства этого уравнения в случае, когда М - сильно (£,р)-секториален. Полученные результаты позволили исследовать начально-краевые задачи для линеаризованной системы типа реакции-диффузии и для модели движения несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка с термоконвекцией в приближении Обербека-Бус-синеска.

В диссертации J1.J1. Дудко [17] получены следующие новые результаты: доказаны достаточные условия (L, ^-ограниченности оператора М, доказан критерий (L, сг)-ограниченности оператора М в случае фредгольмовости оператора L, упрощено определение понятия (L, р)-секториального оператора, что привело к упроще нию теории операторов данного типа, установлена структура фазового пространства задачи Коши для линейного уравнения соболевского типа в случае относительно радиального оператора М, а также найдены необходимые и достаточные условия L-радиаль-ности оператора М.

В диссертации В.Е. Федорова [76] доказана достаточность некоторых из необходимых условий относительной сг-ограниченности в терминах аналитических групп операторов с ядрами, достаточность некоторых из необходимых условий относительной р-сек-ториальности в терминах аналитических полугрупп операторов с ядрами, найдены необходимые и достаточные условия относительной р-радиальности в терминах сильно непрерывных полугрупп операторов с ядрами. Полученные результаты приложены к исследованию фазового пространства уравнения в частных производных, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости.

В диссертации А.А. Ефремова [18] исследована задача минимизации квадратичного функционала на решениях задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве, не разрешенного относительно производной. Рассмотрены случаи существования аналитической группы и аналитической полугруппы соответствующего однородного уравнения. Для выбранных пространства управлений и множества допустимых значений задачи Коши получены теоремы о существовании и единственности решения задачи минимизации. Абстрактные результаты использованы при исследовании аналогичных задач для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и уравнения Дзекце-ра.

В диссертации А.В. Келлер [25] исследованы ограниченные решения линейного нестационарного неоднородного уравнения соболевского типа

Ьй — Ми + N(t)u + / и однозначной разрешимости задачи Коши (0.10) для этого уравнения. Выделен класс уравнений, для которых получены достаточные условия существования и единственности этой задачи, получены необходимые и достаточные условия ограниченности решения однородного (неоднородного стационарного) уравнения на полуоси (на всей оси). Абстрактные результаты применены к конкретным задачам математической физики для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной и эволюции свободной поверхности фильтрующейся жидкости, а также к сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

В диссертации Г.А. Кузнецова [33] найдены достаточные условия относительной сильной р-секториальности линейных операторов, доказан критерий сг-ограниченности относительно бирасщеп-ляющего и фредгольмова оператора, найдены достаточные условия относительной сильной р-радиальности линейных операторов. Эти результаты позволили исследовать разрешимость конкретных прикладных задач, сводящихся к абстрактной задаче Коши для линейного уравнения соболевского типа.

В диссертации С.А. Загребиной [19] найдены достаточные условия разрешимости задачи Веригина для линейных уравнений соболевского типа с относительно ^-ограниченными и относительно р-секториальными операторами. Получены точные решения задачи Дирихле-Веригина для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной и линейного уравнения фильтрации жидкости со свободной границей, а также исследована задача Дирихле-Веригина для обобщенного уравнения Буссинеска.

Основным результатом диссертации С.В. Брычева [10] является построение численного алгоритма решения задачи Коши для линейного операторного уравнения соболевского типа, основанного на теории относительно сг-ограниченных и относительно р-радиальных операторов и вырожденных аналитических групп операторов. Полученный алгоритм был применен к расчету экономики коммунального хозяйства г. Еманжелинска Челябинской области.

В диссертации А.А. Замышляевой [20] найдены достаточные условия разрешимости задачи Коши для линейных уравнений соболевского типа высокого порядка с относительно полиномиально ограниченными пучками операторов. Получены точные решения начально-краевых задач для уравнений Буссинеска-Лява и de Gennes звуковых волн в смектиках.

Основным результатом диссертации В.О. Казака [24] являются достаточные условия существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа. Полученные абстрактные результаты реализованы в конкретных начально-краевых задачах для уравнений Хоффа и обобщенного фильтрационного уравнения Осколкова.

Линейные результаты были подытожены в монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102], которая инициировала дальнейшие исследования [49].

Успех линейной теории, обеспечившей многочисленные приложения, был обусловлен тем обстоятельством, что в случае линейного уравнения (0.8) фазовым пространством служит образ разрешающей (полу)группы, который в свою очередь является банаховым пространством. Поэтому в [56], [58] Г.А. Свиридюком был поставлен вопрос о поиске таких уравнений вида (0.9), фазовое пространство которых является простым банаховым многообразием, моделируемым образом разрешающей (полу)группы линеаризации уравнения (0.9). До сих пор удавалось получать лишь локальную информацию о фазовом пространстве (см. диссертацию Т. Г. Сукачевой [74], в которой приведен оригинальный метод получения такого сорта результатов, основанный на обобщении линейных результатов С.Г. Крейна и его учеников [32], [22]).

Первый ответ на этот вопрос был дан в диссертации М.М. Яку-пова [82], в которой установлены простота фазового пространства начально-краевых задач для уравнения Осколкова моделирующего плоскопараллельную динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости, и различных его модификаций таких, как например, гибрид уравнения Осколкова и уравнения теплопроводности в приближении Обербека-Буссинеска, моделирующий термоконвекцию вязкоупругой несжимаемой жидкости (см. по этому поводу [55]). Основываясь на этих результатах, Г.А. Свири-дюк и В.О. Казак установили простоту фазового пространства начально-краевой задачи для уравнения Хоффа [61] и для обобщенной фильтрационной модели Осколкова [62], частный случай которой рассмотрен в [63]. Наработанная техника позволила рассмотреть случай [68], когда фазовое пространство не является простым, но состоит из двух простых компонент. Кроме того, результаты Г.А. Свиридюка и М.М. Якупова [67] уже нашли применение в теории оптимального управления [64]. Данная диссертация основывается на результатах цитированных работ и использует их методы.

Начало теории графов как математической дисциплины было положено J1. Эйлером в его знаменитом рассуждении о ке-нигсбергских мостах. Однако эта статья JI. Эйлера (1736 г.) на протяжении почти ста лет была единственной. В середине XIX века интерес к проблемам теории графов возродился. Этому способствовало развитие естественных наук (исследование электрических сетей, моделей кристаллов, структур молекул, развитие формальной логики). В XX веке теория графов неуклонно развивалась. Это связано с развитием теории игр, программирования, теории передачи сообщений, а также биологии и психологии. Вследствие этого развития предмет теории графов является очень обширным. Так в монографии [77] отмечены тесные контакты теории графов с топологией, теорией групп и теорией вероятностей. В

4] изложены применения теории графов при решении различных задач в области техники, экономики, социологии. В монографии

5] выделяются топологические, комбинаторные и прикладные аспекты теории графов, большое внимание уделяется алгоритмам решения задач теории графов. В монографии [40] затрагиваются вопросы, связанные с теорией потоков, играми, электрическими сетями.

Однако ни в одной из современных монографий по теории графов нет даже намека на задачи для уравнений в частных производных, определенных на графе. Краевые и начально-краевые задачи для уравнений в частных производных на графах начали изучать в конце прошлого века практически одновременно в разных регионах нашей планеты. S. Kosugi [95] рассмотрел задачу для полулинейного элиптического уравнения Au + f(u) = 0 inft(C), £ = оье(0, и = ас тГ(С) в тонкой сетевой области, которая вырождается в граф, исследовал предельное уравнение на графе.

С. Cattaneo [86] нашла явное решение уравнения теплопроводности дУ д2У dt ~ д2х2 на однородном дереве с ребрами положительной индуктивности, отождествленными с [0,1] и удовлетворяющими условию типа Кирх-гоффа.

G. Medolla, A.G. Setti [96] рассмотрели волновое уравнение df + £-Ъ)и = О опХ, где X - однородное дерево, £ - оператор Лапласа и Ъ - дно его L2 спектра.

F. Barra, P. Gaspard [83] рассмотрели классическую эволюцию частиц на графе с использованием непрерывного по времени оператора Фробениуса-Перрона

P'Flb, x] = J2 Рр& хШФ-% х]) {р}

Независимо от этих работ и впервые в России краевыми и начально-краевыми задачами для уравнений на графах начал заниматься Ю.В. Покорный со своими учениками. Так в [47] производится детальный анализ функции Грина для обыкновенного дифференциального уравнения на связном геометрическом графе Г с краевыми условиями, аналогичными условиям Дирихле: и\ат = 0.

В [44] определяется класс функций Г). И на графе Г рассматривается задача Дирихле

Lqu = f(feCa(T), 21 и\дт = о, решение которой ищется в С2(Г).

Первые итоги исследований школы Ю.В. Покорного подведены в монографии [48], где изучаются качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети, изучаются функция Грина, дифференциальные неравенства, осцилляци-онные спектральные свойства, излагается теория эллиптических уравнений на стратифицированных (ветвящихся) многообразиях.

Работы этой школы инициировали результаты А.И. Шафаре-вича [80], [81] по изучению обобщенных уравнений Прандтля-Мас-лова, заданных на графах, описывающих растянутые вихри в несжимаемой жидкости.

В [85] J. von Below на конечном связном ориентированном графе G рассмотрел уравнения реакции-диффузии

Ujt = Ujxx + f(uj), х е (0, lj),t € М+, (0-И) где /-гладкая функция общая для всех дуг Ej. Для уравнений (0.11) заданы условия (0.1), (0.2). J. von Below доказал однозначную разрешимость этой задачи в специально построенном функциональном пространстве.

В последнее время задача (0.1)-(0.2) для уравнений (0.11) привлекает внимание многих исследователей. Например, Е. Yanagida [103] исследовал устойчивость пространственно неоднородных установившихся состояний в системах реакции-диффузии на графе. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные параболические уравнения вида (0.11). Поэтому в [59] Г.А. Свиридюк рассмотрел задачу на графе G с краевыми условиями (0.1), (0.2) и начальными условиями (0.3) для уравнений соболевского типа

Xujt - Ujxxt = Ujxx + f(uj), (0.12) где параметр A G 1 одинаков для всех уравнений. Данная диссертация является непосредственным продолжением и развитием результатов этой работы.

Таким образом, изучение разрешимости начально-краевых задач для уравнений соболевского типа на графах является актуальным как с точки зрения теории уравнений на графах, так и с точки зрения теории уравнений соболевского типа.

Методы исследования. Основным методом наших исследований является метод фазового пространства, обоснованный в работах [66], [65]. Суть его заключается в следующем: сначала начально-краевая задача (0.1)-(0.3) для конкретных уравнений (0.4)-(0.7) без потери общности сводится к задаче Коши (0.10) для либо линейного (0.8), либо полулинейного (0.9) уравнения соболевского типа. Техника такой редукции вполне стандартна, основы ее заложены в классической монографии C.JI. Соболева [73]. Основная трудность здесь - правильный подбор подходящих функциональных пространств.

Второй шаг применения метода заключается в редукции уравнений (0.8) и (0.9) к стандартным уравнениям и = Su 23 и й = Su + F(u)} соответственно, определенных, возможно, не на всем пространстве, а на некотором его подмножестве, понимаемом нами как фазовое пространство исходного (т.е. (0.8), (0.9)) уравнения. Возможность такой редукции обоснована в монографии Г.А. Свири-дюка и В.Е. Федорова [102]. Основная трудность - доказательства (L, а)-ограниченности оператора М и гладкости оператора N.

Последний шаг заключается в изучении фазового пространства. Здесь мы используем классические методы нелинейного анализа такие, как теорема о неявной функции и теорема Коши (см., например, [11], [34]) и теорию монотонных операторов (см., например, [15]). Основной результат - заключение о морфологии (т.е. структуре, форме, строении, устройстве) фазового пространства начально-краевой задачи для конкретного уравнения (0.4)-(0.7). Как правило, морфологию удается описать в терминах нелинейных фредгольмовых отображений (см. Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов [8]).

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертации заключается в том, что впервые описаны фазовые пространства начально-краевых задач для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной, Хоффа, Осколкова и Корпу-сова-Плетнера-Свешникова, определенных на графах. Полученные результаты носят окончательный характер, т.е. содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, носящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г.А. Свиридюком

7].

Практическая значимость заключается в том, что полученные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [60], [12].

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на XIII межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004), Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" (Екатеринбург, 2004), Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2005), XII Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов" (Москва, 2005), VI Международной конференции, посвященной памяти академика М.А. Лаврентьева, "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 2005), Международной конференции "Нелинейные уравнения в частных производных" (Алушта, 2005), на семинаре кафедры математического анализа Магнитогорского государственного университета и на семинаре проф. Г.А. Свиридюка.

Краткое содержание диссертации. Диссертация кроме Введения состоит из двух глав и Списка литературы. Сразу отметим, что Список литературы полностью отражает положение дел лишь в узкой пограничной области, непосредственно примыкающей к теме диссертации и находящейся на стыке теории уравнений соболевского типа и теории уравнений в частных производных на графах. В остальном Список отнюдь не претендует на полноту, а отражает лишь личные вкусы и пристрастия автора.

Первая глава носит пропедевтический характер. В ней содержатся все известные на данный момент факты, которые так или иначе используются при доказательстве основных результатов диссертации. В первых двух параграфах представлены основные факты теории относительно сг-ограниченных операторов, а также соответствующих вырожденных аналитических группах операторов. Все факты почерпнуты из монографии Г.А. Свиридюка и В.Е. Федорова [102].

В третьем параграфе изложены основные факты теории гладких банаховых многообразий и векторных полей на них. Основным результатом этого параграфа следует считать классическую теорему Коши в обобщенной формулировке. Доказательства этих результатов можно найти в фундаментальной монографии С. Лен-га [34].

В четвертом параграфе приведены результаты по задаче Штурма-Лиувилля на графе. В основном все результаты почерпнуты из монографии Ю.В. Покорного и др. [48].

Пятый параграф первой главы содержит результаты, почерпнутые из работ Г.А. Свиридюка и В.О. Казака [61], [62]. Здесь сформулировано определение квазистационарной траектории, приведен пример, показывающий необходимость рассмотрения квазистационарных траекторий уравнения соболевского типа, изложен результат о разрешимости задачи (0.9), (0.10) в случае kerL ф {0}.

В шестом параграфе первой главы находятся некоторые результаты нелинейного функционального анализа: основные сведения из теории монотонных операторов, взятые из монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [15], и теорема о неявной функции [39].

Во второй главе содержатся основные результаты диссертации. В ней описаны фазовые пространства начально-краевых задач (0.1)-(0.3) для уравнений (0.4)-(0.7). Вторая глава состоит из четырех параграфов, каждый из которых построен следующим образом: постановка задачи на графе для соответствующего уравнения, редукция этой задачи к абстрактной задаче Коши для линейного, либо полулинейного уравнения соболевского типа, описание фазового пространства рассматриваемой задачи. В конце каждого параграфа приведено схематическое изображение фазового пространства.

Параграф 2.1 посвящен изучению фазового пространства начально-краевой задачи для уравнений Баренблатта-Желтова-Ко-чиной. В п. 2.1.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Баренблатта-Желтова-Кочиной (0.4). В п.

2.1.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.4) к задаче (0.8), (0.10). П. 2.1.3 содержит основной результат параграфа 2.1 - доказательство теоремы о существовании и единственности решения задачи (0.1)-(0.3), (0.4).

В параграфе 2.2 исследуется фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Хоффа. В п. 2.2.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Хоффа (0.5). В п. 2.2.2 проводится редукция задачи (ОЛ)-(О.З), (0.5) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.2.3 доказано, что фазовым пространством рассматриваемой задачи на графе является простое банахово С°°-многообразие.

В параграфе 2.3 изучается фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнений Осколкова. В п. 2.3.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Осколкова (0.6). В п. 2.3.2 проводится редукция задачи (0.1)-(0.3), (0.6) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.3.3 доказано, что фазовое пространство этой задачи состоит из двух связных компонент, каждая из которых является простым банаховым С°°-многообразием.

В параграфе 2.4 проводится исследование начально-краевой задачи для уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова. В п. 2.4.1 ставится начально-краевая задача (0.1)-(0.3) на графе для уравнений Корпусова-Плетнера-Свешникова (0.7). В п. 2.4.2 проводится редукция задачи (ОЛ)-(О.З), (0.7) к задаче (0.9), (0.10). В п. 2.4.3 доказано, что фазовое пространство этой задачи содержит объединение двух компонент, каждая из которых является гладким банаховым С°°-многообразием.

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему начному руководителю профессору Г.А. Свиридюку за неоценимую помощь в работе над диссертацией. Кроме того, автор считает своим приятным долгом поблагодарить заведующую кафедрой математического анализа профессора Т.К. Плышевскую за ценные советы и моральную поддержку, а также коллективы кафедр математического анализа МаГУ и ЧелГУ за ряд полезных пожеланий, способствовавших усовершенствованию работы. Особую благодарность автор выражает своим родным: маме Лидии Федоровне и мужу Андрею Викторовичу за веру в успех.

1. Александрян, Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа Соболева / Р.А. Александрян // Тр. ММО- 1.60,- Т.9.-С.455-505.

2. Амфилохиев, В.Б. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений / В.Б. Амфилохиев, Я.И. Вайт-кунский, Н.П. Мазаева, Я.С. Хозорковский // Тр. Ленингр. кораблестр. ин-та,- 1975.- Т.96.- С.3-9.

3. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // ПММ I960.- Т.24, № 5,- С.58-73.

4. Басакер, Р. Конечные сети и графы / Р. Басакер, Т. Саати.-М.: Наука, 1974 368 с.

5. Белов, В.В. Теория графов / В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов.- М.: Высшая школа, 1976.- 392 с.

6. Бокарева, Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Т.А. Бокарева; РГПИ им. А.И.Герцена.- СПб, 1993.- 107 с.

7. Бокарева, Т.А. Сборки Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева / Т.А. Бокарева, Г.А. Свиридюк // Мат. заметки 1994 - Т.55, № 3-С.3-10.

8. Борисович, Ю.Г. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера / Ю.Г. Борисович, В.Г. Звягин, Ю.И. Сапронов // Успехи мат. наук 1977.- Т.32, № 4 - С.3-54.

9. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков.- Новосибирск: Наука, 1998.- 224 с.

10. Брычев, С.В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.В. Брычев; ЧелГУ,- Челябинск, 2002.- 124 с.

11. Бурбаки, Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. Сводка результатов / Н. Бурбаки.- М.: Мир, 1975.

12. Бурлачко, И.В. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / И.В. Бурлачко, Г.А. Свиридюк // ЖВМиМФ.-2003.- Т.43, № 11,- С.1677-1688.

13. Вишик, М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод ихрешения / М.И. Вишик // Мат. сб.- 1956.- Т.38, № 1 С.51-148.

14. Врагов, В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В.Н. Врагов Новосибирск: НГУ, 1983.- 179 с.

15. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Гре-гер, К. Захариас М.: Мир, 1978 - 336 с.

16. Гальперн, С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперин // Тр. ММО.- I960.- Т.9.- С.401-403.

17. Дудко, JI.JT. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / JI.J1. Дудко; Новгород, гос. ун-т.- Новгород, 1996.- 88 с.

18. Ефремов, А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.А. Ефремов; ЧелГУ.- Челябинск, 1998110 с.

19. Загребина, С.А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис. канд. физ.-мат. наук: 05.13.18 / С.А. Загребина; ЧелГУ.- Челябинск, 2002.- 100 с.

20. Замышляева, А.А. Исследование одного класса уравнений соболевского типа высокого порядка: дис. канд. физ.-мат.наук: 01.01.02 / А.А. Замышляева; ЧелГУ.- Челябинск, 2003.- 101 с.

21. Зеленяк, Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными /Т.И. Зеленяк.- Новосибирск: НГУ, 1965,- 183 с.

22. Зубова, С.П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С.П. Зубова, К.И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их примен,-1976.- № 14.- С.21-39.

23. Иосида, К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.

24. Казак, В.О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис,. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.О. Казак; ЧелГУ.- Челябинск, 2005.- 99 с.

25. Келлер, А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / А.В. Келлер; ЧелГУ,- Челябинск, 1997.- 115 с.

26. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов.- Новосибирск: НГУ, 1990,- 132 с.

27. Кожанов, А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических уравнений / А.И. Кожанов // ДАН.-1992.- Т.326, № 5.- С.781-786.

28. Копытин, А.В. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами / А.В. Копытин, B.J1. Прядиев // Вестник ВГУ, Серия физика, математика,- 2001.- №1.- С.106-109.

29. Корпусов, М.О. Квазистационарные процессы в проводящих средах без дисперсии / М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер, А.Г. Свешников // ЖВМиМФ.- 2000.- Т.4, № 8.- С.1237-1249.

30. Костюченко, А.Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А.Г. Костюченко, Г.И. Эскин // Тр. ММО.- 1961.- Т. 10.- С.273-285.

31. Крейн, С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1971,- 275 с.

32. Крейн, С.Г. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн, К.И. Чернышев.- Новосибирск, 1979.- (Препринт Ин-та матем. СО АН СССР).

33. Кузнецов, Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Г.А. Кузнецов; ЧелГУ.- Челябинск, 1999.- 105 с.

34. Ленг, С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий / С. Ленг.- Волгоград: Платон, 1997.- 203 с.

35. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе М.: Мир, 1972.

36. Мельникова, И.В. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве / И.В. Мельникова, М.А. Алынан-ский // ДАН,- 1994,- Т.36, № 1.- С. 17-20.

37. Мельникова, И.В. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы / И.В. Мельникова, М.А. Аль-шанский // ДАН,- 1995.- Т.343, № 4.- С.448-451.

38. Мельникова, И.В. Интегрированные полугруппы и С-полу группы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач / И. В. Мельникова, А.И. Филинков // Успехи матем. наук.- 1994.- Т.49, № 6.- С.111-150.

39. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг М.: Мир, 1965.- 232 с.

40. Оре, О. Теория графов / О. Ope.- М.: Наука, 1980.- 336 с.

41. Осколков, А.П. К теории жидкостей Фойгта / А.П. Осколков // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.- 1980.- Т.96.- С.233-236.

42. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теорииуравнений типа С.Л.Соболева / А.П. Осколков // Зап. науч. семинаров ЛОМИ,- 1991.- Т.198 С.31-48.

43. Осколков, А.П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных диссипативных уравнений типа С.Л. Соболева /А.П. Осколков, А.А. Котсиолис, Р.Д. Щадиев // Зап. науч. семинаров ЛОМИ,- 1992,- Т. 199.- С.91-113.

44. Пенкин, О.М. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе / О.М. Пенкин, Ю.В. Покорный // Мат. заметки.- 1996.- Т.59, № 5.- С.777-780.

45. Петровский, И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И.Г. Петровский.- М.: Физматгиз, 1961.

46. Покорный, Ю.В. О нелинейной краевой задаче на графе / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев // Дифференц. уравнения,- 1998.- Т.34, № 5.- С.629-637.

47. Покорный, Ю.В. О функции Грина задачи Дирихле на графе / Ю.В. Покорный, И.Г. Карелина // Докл. АН СССР.-1991,- Т.318, № 3.- С.542-544.

48. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю.В. Покорный, О.М. Пенкин, В.Л. Прядиев и др.].- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 272 с.

49. Рузакова, О.А. Исследование управляемости линейных уравнений соболевского типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / О.А. Рузакова; ЧелГУ.- Челябинск, 2004.- 110 с.

50. Свиридюк, Г.А. Линейные соболевские уравнения / Г.А. Свиридюк; ЧелГУ.- Челябинск, 1985.- 49 е.- Библиогр.: назв. Деп. в ВИНИТИ 1985, № 4265.

51. Свиридюк, Г.А. Многообразие решений одного нелинейного псевдопараболического уравнения / Г.А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1986.- Т.289, № 6.- С.1315-1318.

52. Свиридюк, Г.А. Многообразия решений одного класса эволюционных и динамических уравнений /Г.А. Свиридюк // ДАН СССР.- 1989,- Т.304, № 2.- С.301-304.

53. Свиридюк, Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска /Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1989 - № 2 - С.55-61.

54. Свиридюк, Г.А. Об одной задаче Showalter / Г.А. Свиридюк // Дифференц. уравнения 1989- Т.25, № 2 - С.338-339.

55. Свиридюк, Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вяз-коупругой несжимаемой жидкости / Г.А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика 1990,- № 12.- С.65-70.

56. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем,- 1993.- Т.57, № 3.- С. 192-207.

57. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Усп. мат. наук.- 1994.- Т.49, № 4 С.47-74.

58. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно секториальным оператором / Г.А. Свиридюк // Алгебра и анализ.- 1994.- Т.6, № 2.- С.216-237.

59. Свиридюк, Г.А. Уравнения соболевского типа на графах / Г.А. Свиридюк // Некласс, уравн. матем. физики.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002,- С.221-225.

60. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Изв. вузов. Математика 2003.- № 8.- С.46-52.

61. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Мат. заметки.- 2002.- Т.71, № 2.- С.292-297.

62. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одной обобщенной модели Осколкова / Г.А. Свиридюк, В.О. Казак // Сиб. мат. журн 2003 - Т.44, № 5.- С.1124-1131.

63. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для уравнения Осколкова нелинейной фильтрации / Г.А. Свиридюк, Н.А. Манакова // Изв. вузов. Математика.- 2003.- № 9,- С.36-41.

64. Свиридюк, Г.А. Задача оптимального управления для уравнения Осколкова /Г.А. Свиридюк, М.В. Плеханова // Дифферент уравнения,- 2002,- Т.38, № 7 С.997-998.

65. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Дифферент уравнения.- 1990,- Т.26, № 2.- С.250-258.

66. Свиридюк, Г.А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк, Т.Г. Сукачева // Сиб. мат. журн.- 1990.- Т.31, № 5.- С.109-119.

67. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г.А. Свиридюк, М.М. Якупов // Дифференц. уравнения.- 1996.- Т.32, № 11.- С.1538-1543.

68. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство задачи Коши-Дирихле для одного неклассического уравнения /Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференц. уравнения,- 2003.-Т.39, № П.- С.1556-1561.

69. Сидоров, Н.А. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / Н.А. Сидоров // Мат. заметки.- 1984,- Т.25, № 4.- С.569-578.

70. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференц. уравнения.-1983.- Т.19, № 9.- С.1516-1526.

71. Сидоров, Н.А. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференц. уравнения.-1987,- Т.23, № 4.- С.726-728.

72. Соболев, C.JI. Об одной новой задаче математической физики / C.JI. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем 1954-Т.18 - С.3-50.

73. Соболев, C.J1. Применение функционального анализа к математической физике / C.JI. Соболев.- JL: Наука, 1961.

74. Сукачева, Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Т.Г. Сукачева; НГПИ Новгород, 1990.- 112 с.

75. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель.-М.: Мир, 1980.- 664 с.

76. Федоров, В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / В.Е. Федоров; ЧелГУ.- Челябинск, 1996,- 116 с.

77. Харари, Ф. Теория графов / Ф. Харари.- М.: Мир, 1973304 с.

78. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим М.: Мир, 1983.

79. Хэссард, Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн.- М.: Мир, 1985.280 с.

80. Шафаревич, А.И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой / А.И. Шафаревич // Дифференц. уравнения.- 1998.- Т.34, № 8.- С.1119-1130.

81. Шафаревич, А.И. Обощенные уравнения Прандтля-Маслова на графах, описывающие растянутые вихри в несжимаемой жидкости / А.И. Шафаревич // Докл. РАН.- 1998.- Т.358, № 6.- С.752-755.

82. Якупов, М.М. Исследование фазовых пространств некоторых задач гидродинамики: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / М.М. Якупов; ЧелГУ.- Челябинск, 1999.- 87 с.

83. Barra, F. Classical dynamics on graphs / F. Barra, P. Gaspard // Phys. Rev. E 2001.- 63.- № 6, p.2 - P.066215/1-066215/22.

84. Cattaneo, C. The spread of the potential on a homogeneous tree / C.Cattaneo // Ann. mat. pura ed appl.- 1998.- № 175.-P.29-57.

85. Coleman, B.D. Instability, uniqness and nonexistence theorems for the equation щ = uxx — uxxt on a strip / B.D. Coleman, R.J. Duffin, V.J. Mizel // Arch. Rat. Mech. Anal.- 1965.- Vol.19-P.100-116.

86. Cowling, M. Estimates for functions of the Laplace operator on homogeneous trees / M. Cowling, S. Meda, A.G. Setti // Trans. Amer. Math. Soc- 2000,- Vol.352, № 9.- P.4271-4293.

87. Demidenko, G.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii.- New York-Basel: Marcel Dekker, Inc., 2003 490 c.

88. Favini, A. Laplace transform method for a class of degenerate evolution problems / A. Favini // Rend. Mat 1979- Vol. 12.-P.511-536.

89. Favini, A. Degenerate and singular evolution equations in Banach spaces / A. Favini // Math. Ann 1985 - Vol.273-P. 17-44.

90. Favini, A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi.- New York-Basel: Marcel Dekker, Inc., 1999.- 283 c.

91. Hale, J.K. Reaction-diffusion equations on thin domains / J.K. Hale, G. Raugel // J. Math. Pures Appl 1991.- Vol.71.- P.33-95.

92. Hoff, N.J. Creep buckling / N.J. Hoff // Aeron.- Quarterly 7.1956.- № 1 P.l-20.

93. Kosugi, S. A semilinear elliptic equation in a thin network-shaped domain / S. Kosugi // J. Math. Soc. Jap.- 2000.-Vol.52, № 3,- P.672-697.

94. Medolla, G. The wave equation on homogeneous trees / G. Medolla, A.G. Setti // Ann. mat. pura ed appl 1999.- № 176-P.l-27.

95. Pyatkov, S.G. Operator theory. Nonclassical problems / S.G. Pyatkov.- Utrecht-Boston: VSP, 2002.

96. Showalter, R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R.E. Showalter // Pacific. J. Math.- 1963-Vol.31, № 3.- P.787-793.

97. Showalter, R.E. The Sobolev type equations. I (II) / R.E. Showalter // Appl. Anal.- 1975.- Vol.5, № 1,- P. 15-22 (№ 2,-P.81-99).

98. Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential equations / R.E. Showalter.- Pitman: London-San Francisco-Melbourne, 1977.- 238 c.

99. Lyapunov-Schmidt method in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev- Dordrecht Harbour: Kluwer Academic publishers, 2002,- 548 c.

100. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov.-Utrecht-Boston: VSP, 2003.- 216 c.

101. Yanagida, E. Stability of nonconstant steady states in reaction-diffusion systems on graphs / E. Yanagida // Japan J. Induct. Appl. Math.- 2001.- Vol.18.- P.25-42.

102. Свиридюк, Г. А. Об уравнениях Хоффа на графах / Г. А. Сви-ридюк, В.В. Шеметова // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды XIII межвуз. конф. 29-31 мая 2003.-Самара, 2003.- С.149-151.

103. Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Математика Вып.4 - Магнитогорск: МаГУ, 2003 - С. 129139.

104. Шеметова, В.В. Фазовое пространство уравнений Хоффа на графе / В.В. Шеметова // Воронежская зимняя математическая школа-2004 Воронеж: ВорГУ, 2004.- С. 112-114.

105. Шеметова, В.В. Об уравнениях Баренблатта-Желтова-Кочиной на графе / В.В. Шеметова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тезисы докладов Всерос. конф,-Екатеринбург, 2004.- С.240-241.

106. Шеметова, В.В. О фазовом пространстве уравнений Хоффа на графе / В.В. Шеметова // Международная школа-семинар по геометрии и анализу.- Ростов-на-Дону, 2004.-С.281-282.

107. Шеметова, В.В. О фазовом пространстве одной неклассической модели / В.В. Шеметова // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы конференции Воронеж: ВГУ, 2005.- С.251.

108. Шеметова, В.В. Об одной неклассической модели / В.В. Шеметова // Тезисы докладов XII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2005".- Москва: МГУ, 2005.- С.75-76.

109. Шеметова, В.В. Уравнения Корпусова-Плетнера-Свешнико-ва на графе / В.В. Шеметова // Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике. Тезисы докладов Межд. конф.- Новосибирск, 2005 С.91-92.

110. Шеметова, В.В. Фазовые пространства одного класса уравнений соболевского типа на графах / В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Математика Вып.8.- Магнитогорск: МаГУ, 2005,- С.149-164.

111. Shemetova, V.V. The phase space of Oskolkov equations on the graph / V.V. Shemetova // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Alushta, Ukraine, September 17-23, 2005.- Donetsk, 2005.- P.92.

112. Свиридюк, Г.А. Фазовое пространство одной неклассической модели / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Изв. вузов. Математика.- 2005.- №11- С.47-52.