Локальная аналитическая классификация уравнений соболевского типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Трансверсально сингулярные системы соболевского типа

1.1 Основные определения

1.2 Теорема о предварительной нормальной форме

1.3 Сильная эквивалентность.

1.4 Нормальная форма трансверсально сингулярных систем индекса 1.

1.5 Вторая теорема о предварительной нормальной форме

1.6 Системы индекса к, 2 < к < п.

1.7 Системы индекса к, к > п.

2 Невырожденные нетрансверсальные системы соболевского типа

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Определение невырожденной нетрансверсальной системы

2.3 Двумерные системы

2.3.1 Теорема о предварительной нормальной форме

2.3.2 Нормальная форма невырожденных нетранс-версальных систем.

2.4 Многомерные системы.

3 Трансверсально сингулярные системы соболевского типа в бесконечномерных банаховых пространствах

3.1 Определения и предварительные результаты

3.2 Предварительная нормализация сингулярных систем

3.3 Простая сингулярная система соболевского типа

3.4 Нормальные формы трансверсально сингулярных систем различных индексов

4 Системы постоянного ранга

4.1 Системы с ограничениями.

4.1.1 Невырожденный случай.

4.1.2 Индекс трансверсальной системы с ограничениями

4.1.3 Системы с ограничениями индекса

4.1.4 Системы с ограничениями индекса к >

4.1.5 Нетрансверсальные системы с ограничениями

4.2 Нормальные формы систем постоянного ранга

4.2.1 Невырожденный случай.

4.2.2 Системы с постоянной матрицей.

4.3 Примеры.

Постановка задачи. Основным объектом исследования диссертации являются дифференциальные уравнения в банаховых пространствах, неразрешенные относительно производной и линейно зависящие от производной. Два таких уравнения называются эквивалентными, если некоторая замена координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между решениями первого и второго уравнений, переводя их друг в друга. Требуется получить классификацию уравнений указанного вида.

Дифференциальное уравнение, неразрешенное относительно производной и линейно от нее зависящее, имеет вид

Цх)х = у{х), (0.0.1) где Ь{х) — семейство операторов, зависящее от точки пространства, у{х) — векторное поле. В данной работе решается локальный аналитический вариант задачи о классификации уравнений (0.0.1). Для локальной классификации случай, когда оператор Ь(х) является обратимым в каждой точке пространства, не представляет исследовательского интереса, поскольку тогда уравнение (0.0.1) (локально) редуцируется к уравнению х = и)(х), где ги(х) = Ь~1(х)у(х). (0.0.2)

Локальная же классификация этих уравнений полностью изучена. Поэтому нас будут интересовать уравнения вида (0.0.1) с необратимым (в некоторых точках) оператором Ь(х). Согласно устоявшейся терминологии, будем называть такие уравнения уравнениями соболевского типа.

Уравнения соболевского типа (0.0.1) естественным образом возникают в задачах математики, механики и физики. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Вариационное исчисление и механика [4]. Задача об отыскании экстремалей функционала Ф = ^ Ь(х, х, I) сИ приводит к так называемому уравнению Эйлера-Лагранжа

Полагая р = х, получим систему дифференциальных уравнений

В случае, когда функция £) не во всех точках отлична от нуля, полученная система является системой соболевского типа. Аналогичным образом системы соболевского типа возникают и лагранжиана Ь — Ь(х,р), р = х, определенного в области V С М.2п, обращается в ноль в некоторых точках II, то соответствующая ется системой соболевского типа.

2. Геодезические на почти римановом многообразии. Назовем многообразие с заданной на его касательном расслоении неотрицательно определенной квадратичной формой (метрикой) почти римановым. Как известно [22], уравнение для геодезических на таком многообразии совпадает с уравнением Эйлера-Лагранжа для функционала, лагранжианом которого является квадратичная форма, задающая метрику. Следовательно, дифференциальное х = р

1хрХ + Ь'!>рР = ь'хфункционалу Ф — Ь(х) х) (й система Эйлера-Лагранжа являуравнение для геодезических является уравнением соболевского типа, если метрика не является римановой, то есть вырождается в некоторых точках многообразия.

3. Быстр о-мед ленные системы [5]. Быстро-медленная система х = f(x,y,e) У = ед(х,у,е), отнесенная к медленному времени г = et, является системой соболевского типа: dx . еТт = у, е) - д{х,у,е) (0.0.3) i = 0ат

4. Системы с ограничениями [5]. Предельный переход при е —> 0 в быстро-медленной системе (0.0.3) приводит к так называемой системе с ограничениями [5]:

0 = /(я, У)

У = 9(х,у) в работе [69] такие системы называют алгебро-дифференциальными). Система с ограничениями — частный случай системы соболевского типа.

5. Уравнения с малым параметром [9]. Уравнение с малым параметром ex = f(x,eг), дополненное уравнением ё = 0, превращается в систему соболевского типа.

Обширная литература посвящена исследованию систем соболевского типа в банаховых пространствах.

Исследование задачи Коши

Lx — Мх + /, ж(0) = я0, (0.0.4) в конечномерном случае проведено К. Вейерштрассом и JI. Кро-некером (этот результат изложен в монографии Ф.Р. Гантмахера [18]); дальнейшее развитие использованные ими методы получили в монографии Ю.Е. Бояринцева [10].

Однородную задачу (0.0.4) (/ = 0) с ограниченными операторами L, М : U —» Ы в произвольном банаховом пространстве U изучали С.Г. Крейн и В.Б. Осипов [27]. В работе А.Г. Рут-каса [38] задача (0.0.4) исследовалась для ограниченных операторов L, М : U —> Т, U, Т — банаховы пространства; там же полученные результаты использовались в задаче рассеяния и в задаче о прохождении сигналов в дискретных средах.

Для фредгольмовых операторов L, М : U -ь Т задача (0.0.4) исследовалась в работе Г.А. Свиридюка [41] так называемым "методом фазового пространства". Приложения соответствующих абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам математической физики можно найти в [34, 39, 42, 43, 44].

Задача (0.0.4) с неограниченными операторами L, М исследовалась в работах C.JI. Соболева [51], P.A. Александряна [1], С.А. Галь-перна [16], М.И. Вишика [13], С.Г. Крейна и его учеников [24, 25, 28, 27, 32], Н.А.Сидорова и его учеников [50, 49], J.E. Lagmiese [61], R.E. Showalter [68, 58, 57], И.В. Мельниковой и ее учеников [29, 30, 31], Г.А. Свиридюка и его учеников [39]—[48], [53]. Полулинейная задача (0.0.4) (L — линейный, М — нелинейный операторы) исследовались в работах Г.А. Свиридюка [40, 46].

Разнообразные сингулярные системы соболевского типа возникают в прикладных задачах. Примерами являются краевые задачи:

- для уравнения Баренблатта-Желтова-Кочиной [8], моделирующего динамику свободной поверхности жидкости, фильтрующейся в трещиновато-пористой среде;

- для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска [21];

- для уравнениия Хоффа, моделирующего динамику выпучивания двутавровой балки [14];

- для системы уравнений Осколкова, моделирующей динамику вязкоупругой несжимаемой жидкости [33]; и другие.

Сингулярные системы соболевского типа исследовались во многих работах по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Отметим здесь работы, [71, 2, 52, 23, 59, 60], посвященные быстро-медленным системам. Обширная библиография и многочисленные приложения приведены в монографии В.Н. Богаевского и А.Я. По-взнера [9], посвященной уравнениям с малым параметром.

Одним из основных методов современной качественной теории дифференциальных уравнений является метод нормальных форм, восходящий к Пуанкаре. Впоследствии значительный вклад в это научное направление внесли Н. Dulac, C.L. Siegel, В.И. Арнольд, Ю.С. Ильяшенко, А.Д. Брюно, J. Martinet, J.Р. Ramis, F. Takens и многие другие. Метод состоит в том, что исследуемый объект подходящей заменой координат приводится к простому виду (нормальной форме). Как правило, нормальная форма допускает полное описание своего поведения, в результате чего можно получить значительную информацию об исходном объекте. Разбиение пространства всех исследуемых объектов на классы с одинаковыми нормальными формами (классификация) позволяет, тем самым, описать качественное поведение всех объектов.

Метод нормальных форм так или иначе используется в настоящее время практически во всех работах по динамическим системам. Он составляет основу таких современных теорий, как, например, теория особенностей (см. книгу [6]) и теория бифуркаций, как локальных, так и нелокальных (см. [3, 7]). Значительное число работ посвящено применению метода нормальных форм для исследования особых точек обыкновенного дифференциального уравнения [12, 26, 35, 36, 56]. Отметим здесь также работы [62, 63, 64, 15], в которых показано, что аналитическая классификация особых точек дифференциальных уравнений на плоскости в некоторых случаях имеет функциональные модули.

Нормальная форма дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной, в простейшем случае была получена Ю.А. Бродским (см. [3]) (частный результат был получен ранее Р. Томом). В дальнейшем теория нормальных форм общих уравнений, неразрешенных относительно производной, была развита в работе А.А. Давыдова [19] и совместной работе А.А. Давыдова и L. Ortiz-Bobadilla [20].

Нормальные формы отображений в банаховых пространствах (и их приложения к нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных) были получены в [55].

Системы соболевского типа вида (0.0.1) (под названием generalized vector fields) и их классификация с точностью до младших членов третьего порядка рассматривались в работе Н. Ока и Н. Kokubu [65]. Здесь же классифицировались с точностью до младших членов третьего порядка системы с ограничениями. Полученные результаты использовались затем для построения странных аттракторов. С той же целью в работах [66, 67, 70] рассматривались системы с ограничениями.

Нормализация струй конечного порядка широко используется в [9] применительно к уравнениям с малым параметром. Здесь же полученнные абстрактные результаты иллюстрируются многочисленными прикладными задачами (маятник переменной длины, маятник с колеблющейся точкой подвеса, осцилляторы Ван-дер-Поля и Дюффинга, и многими другими).

Системы с ограничениями (под названием алгебро-дифферен-циалъные уравнения) и их грубая классификация — "по степени вырождения" — рассматривались также в работе [69]; предлагаемая здесь схема исследования таких систем применялась затем для изучения поведения решений сингулярной системы соболевского типа, описывающей движение колесной пары по рельсам.

Научная новизна. Получена локальная аналитическая классификация сингулярных систем соболевского типа (0.0.1) в случаях общего положения. Результаты являются новыми.

Краткое содержание диссертации

Первая глава посвящена исследованию класса систем (0.0.1) в пространстве для которого автором введен термин "транс-версально сингулярных систем". Здесь все отображения (в том числе матрицезначные) и векторные поля предполагаются вещественно аналитическими в окрестности нуля.

В параграфе 1.1 даются основные определения, используемые в первой главе, обосновывается их корректность. Приводится геометрическая интерпретация понятия индекса трансверсально сингулярной системы.

Определение 0.0.1. Решением уравнения (0.0.1) будем называть непрерывно дифференцируемую функцию ж(£), при подстановке которой в уравнение (0.0.1) мы получаем тождество.

Определение 0.0.2. Две системы соболевского типа, определенные в окрестности точки О G Мп, называются локально аналитически эквивалентными в этой точке, если существует локальный диффеоморфизм Я, Н(0) = 0, переводящий решения этих систем друг в друга.

В окрестности нуля пространства Rn рассматриваются уравнения (0.0.1), в которых матрица L(0) необратима, а векторное поле v ненулевое в нуле.

Определение 0.0.3. Назовем поверхностью вырождения матрицы L (и системы (0.0.1)) множество точек, в которых L(x) необратима:

Г = {х е (Кп,0) | а{х) = 0}, где а(ж) = detL(a).

Потребуем выполнения условия Va(0) ф 0, обеспечивающего гладкость поверхности вырождения.

Пусть в начале координат выполнено условие трансверсальности ImL(0) rh (f(0)), где (г>(0)) — линейная оболочка вектора v(0). Это влечет за собой одномерность ядра матрицы L(0).

В этом же параграфе показано, что существует ненулевое аналитическое векторное поле е(х), определенное в некоторой полной окрестности нуля таким образом, что на поверхности вырождения системы е(х) Е KerL(x).

Положим а°(ж) = а(х), где а(х) = detL(x); ak(x) = к >

1.

Определение 0.0.4. Порядком касания поля ядер матрицы L(x) с поверхностью вырождения матрицы L{x) (или индексом системы (0.0.1)) называется число indL = min{& | afc(0) ф 0}.

Системы бесконечного индекса не рассматриваются.

Определение 0.0.5. Сингулярная система (0.0.1) называется трансе ер сально сингулярной индекса ш, если:

1. ImL(0) rh МО));

2. indL = m;

3. в случае p = min{m, n} — 2 > 0, векторы Va°(0),. , Vap(0) линейно независимы.

В параграфе 1.2 сформулирована и доказана вспомогательная теорема о предварительной нормальной форме.

В параграфе 1.3 вводится понятие сильной эквивалентности систем, приведены простейшие ее свойства. Доказывается ряд вспомогательных лемм, большинство из которых посвящено инвариантности введенных в параграфе 1.1 понятий относительно сильнои эквивалентности.

Параграф 1.4 содержит один из основных результатов этой главы: здесь получена нормальная форма трансверсально сингулярной системы индекса 1.

1. Александрян P.A. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнеий типа Соболева //Тр. ММО, 1960. Т. 9. С. 455-505.

2. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 926 с.

3. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.

4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 432 с.

5. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С, Шильни-ков Л.П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. матем. Фундаментальные направления, 1986, 5. С. 5-218.

6. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982. 304 с.

7. Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр.пробл. матем. Фундаментальные направления, 1985, I. С. 7149.

8. Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах //ПММ, 1960. Т. 24. №5. С. 58-73.

9. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987. 256 с.

10. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск.: Наука, 1988. 158 с.

11. Брюно А.Д. Аналитическая форма дифференциальных уравнений. Труды Моск. мат. общества. Т. 25, 1971. С. 119-262.

12. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979. 256 с.

13. БишикМ.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения //Матем. сб., 1956. Т. 38, вып. 1. С. 51-148.

14. Болъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.

15. Воронин С.М. Аналитическая классификация ростков конформных отображений (С, 0) —(С, 0) с тождественной лине-ной частью //Функц. анализ и его прил., 1981. Т. 15, вып. 1, 1-17.

16. Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными //Тр. ММО, 1960. Т. 9. С. 401-403.

17. Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1969. 395 с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

19. Давыдов A.A. Нормальная форма дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной, в окрестности особой точки // Функц. анализ и его приложения, 1985. Т. 19, №2. С. 1-10.

20. Давыдов A.A., Ортиз-Бобадилъя JI. Нормальные формы сложенных особых точек // Успехи мат. наук, 1995. Т. 50, №6. С. 175-176.

21. Дзецкер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // ДАН СССР, 1972. Т. 202, №5. С. 1031-1033.

22. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: Методы и приложения. М.: Наука, 1979. 760 с.

23. Звонкин А.К., Шубин М.А. Нестандартный анализ и сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений //Успехи мат. наук, 1984. Т. 39, вып. 2. С. 77-127.

24. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной //Дифференц. уравнения и их примен., 1976. Т. 14. С. 2139.

25. Зубова С.П., Чернышов К.И. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, не разрешенных относительно производной //В сб. Методы решения операторных уравнений. Воронеж, 1978. С. 62-65.

26. Илъяшенко Ю.С. Расходимость рядов, приводящих аналитическое дифференциальное уравнение к линейной нормальной форме в особой точке //Функц. анализ и его прил., 1979. Т. 13, вып. 3. С. 87-88.

27. Крейн С.Г., Осипов В. Б. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных //Дифференц. уравн., 1970. Т. 6. №11. С. 2053-2061.

28. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве //Препринт Ин-та матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1979. 18 с.

29. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // ДАН,1994. Т. 336, №1. С. 17-20.

30. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Обобщенная корректность задачи Коши и интегрированные полугруппы // ДАН,1995. Т. 343, №4. С. 448-451.

31. Мельникова И.В., Филинков А.И. Интегрированные полугруппы и С-полугруппы. Корректность и регуляризация дифференциально-операторных задач // Успехи матем. наук, 1994. Т. 49, №6. С. 111-150.

32. Осипов В.Б. Об одном уравнении в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной //Сб. работ асп. по мат. и мех. Воронеж, ун-та, 1968. С. 42-47.

33. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1988. Т. 179. С. 126-164.

34. Поволоцкий А.И., Свиридюк Г.А. О дихотомии решений одного класса уравнений типа С.Л.Соболева //В межвуз. сб. на-учн. тр. Операторы и их приложения. Ленинград, 1988. С. 7175.

35. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. M.-JL: ГИТЛ, 1947. 392 с.

36. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1974. Т. 3. 772 с.

37. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.

38. РуткасА.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t)-\-Bx(t) = f(t) //Дифференц. уравн., 1975. Т. И, №11. С. 1996-2010.

39. Свиридюк Г.А. Линейные соболевские уравнения //Рук. деп. в ВИНИТИ, 1985. Деп. №4265-85. 40 с.

40. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, N12. С.2169-2171.

41. Свиридюк Г.А. Некоторые математические задачи фильтрации и движения жидкостей. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Ленинград: ЛГПИ им. А.И.Герцена, 1986.- 104 с.

42. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, N 10. С.1823-1825.

43. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного уравнения типа Соболева //Дифференц. уравнения. 1987. Т.23, №12. С.2169-2171.

44. Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева // Дифференц.уравн. 1987. Т.23, №12. С.2168-2171.

45. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, №4. С.47-74.

46. Свиридюк Г.А., Семенова И.Н. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного фильтрационного уравнения Бусси-неска // Дифференц. уравн., 1988. Т. 24, №9. С. 1607-1611.

47. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн., 1995. Т. 36, №5. С. 1130-1145.

48. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп операторов с ядрами // Сиб. матем. журн., 1998. Т. 39, №3. С. 604-612.

49. Сидоров H.A., Романова O.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн., 1983. Т. 19, №9. С. 15161526.

50. Сидоров H.A., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной //Дифференц. уравн., 1987. Т. 23. №4. С. 726728.

51. Соболев С. JI. Об одной новой задаче математической физики //Изв. АН СССР, сер. матем., 1954. Т. 18. С. 3-50.

52. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных //Мат. сб., 1952. Т. 31, вып. 3. С. 575-586.

53. Федоров В.Е. Группы и полугруппы операторов с ядрами. Учеб. пособие. Челябинск: ЧелГУ, 1998.

54. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962. 829 с.

55. Berger M.S., Church Р. Т., Timourian J. G. Folds and cusps in Banach spaces, with apllications to nonlinear partial differential equations // Indiana University Mathematics Journal, 1985. Vol. 34, m.

56. Bibikov Yu.N. Local theory of nonlinear analytic ordinary differential equations // Springer Verlag, Lect. Notes Math., 1979, 702, 147 p.

57. Böhm M., Showalter R.E. Diffusion in fissured media // SIAM J. Math. Anal., 1985. V. 16, №3. P. 500-519.

58. Di Benedetto E., Showalter R.E. Implicit degenerate evolution equations and applications // SIAM J. Math. Anal., 1981. V. 12, №5. P. 731-751.

59. Benoit E. Canards de R3. These. Paris, 1983.

60. Benoit E. Enlacements de canards. Comptes rendus Acad. Sei. Paris, sér. 1, 1985, 300, №8, 225-230.

61. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space //SIAM J. Math. Anal., 1973. V. 4, №4. P. 623-637.

62. Malgrange В. Travaux d'Ecalle et de Martinet-Ramis sur les systèmes dynamiques. Semin. Bourbaki, 1981, 582, November, 1-16.

63. Martinet J., Ramis J.P. Problèmes des modules pour des equations différentielles non lineaires du premier ordre. Publ. math. Inst. hautes étud. sei., 1982, 55, 63-164.

64. Martinet J., Ramis J.P. Classification analytique des equations differentielles non lineaires resonnantes du premier ordre. Ann. Sei. Ecole norm, super., 1983, 16, №4, 571-621.

65. Oka H,, Kokubu H. An approach to constrained equations and strange attractors //Patterns and Waves. Qual. Anal. Nonlinear Differ. Equat. Tokyo; Amsterdam, 1986. P. 607-630.

66. Rössler O.E. Chaotic behavoir in simple reaction systems //Z. Naturforsch., 31a(1976). P. 259-264.

67. Rössler O.E. Continuous chaos // New York Acad. Sei., 316(1976). P. 376-392.

68. Showalter R.E. Nonlinear degenerate evolution equations and partial differential equations of mixed type // SIAM J. Math. Anal., 1975. V. 6, №1. P. 25-42.

69. Simeon В., Führer С., Rentrop P. Differential-algebraic equation in vehicle system dynamics // Surv. Math. Ind. Springer-Verlag. 1991. Vol. 1, No. 1. P. 1-37.

70. Takens F. Implicit differential equation: some open problems //Lecture Notes in Math., 535. Springer Verlag, (1976). P. 237253.

71. Van der Pol B. On relaxation ocsillations // Phil. Mag., 1926, 2, №11, ser. 7. P. 978-992.

72. Пазий Н.Д. Нормальные формы для одного класса систем типа Соболева //"Понтрягинские чтения VII". Тез. докл. школы. Воронеж: ВГУ, 1996. С. 137.

73. Пазий Н.Д. Нормальные формы некоторых систем типа Соболева //Студент и научно- технический прогресс: Тез. докл. конф. Челяб. гос. ун-т. Челябинск, 1996. С. 8-9.

74. Пазий Н.Д. Нормальные формы трансверсально сингулярных квазилинейных систем типа Соболева //Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. №6. С. 845-846.

75. Пазий Н.Д. О нормальной форме типичных сингулярных систем типа Соболева в банаховых пространствах //Алго-ритмичекий анализ некорректных задач: Тез. докл. Всеросс. науч. конф. Екатеринбург: УрГУ, 1998. С. 198-199.

76. Пазий Н.Д. Локальная аналитическая классификация трансверсально сингулярных систем типа Соболева //Деп. ВИНИТИ №1359-В98 от 27.04.98 г. 23 с.

77. Пазий Н.Д. О нормальной форме вещественно аналитических нетрансверсальных систем соболевского типа //Совр. методы теории функций и смеж. пробл. Тез. докл. Воронеж: ВГУ, 1999. С. 155.

78. Пазий Н.Д. Нормальные формы систем с ограничениями. //Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999. С. 89.