Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах

Пенкин, Олег Михайлович

Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Пенкин, Олег Михайлович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

2003 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах»

Автореферат диссертации на тему "Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах"

На правах рукописи

Пенкин Олег Михайлович

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ НА СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ МНОЖЕСТВАХ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт - Петербург - 2003

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор Покорный Юлий Витальевич, Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Санкт - Петербургский государственный

университет

сертационного совета Д 002.202.01 в Санкт - Петербургском отделении Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук по адресу: 19102Й Санкт - Петербург, Фонтанка 27, к. 311.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт - Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова.

Белишев Михаил Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор Жиков Василий Васильевич доктор физико-математических наук, профессор Назаров Сергей Александрович

Защита состоится

2003 г. в/Г на заседании дис-

Автореферат разослан

2003 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета доктор физ.-матем. наук

Зайцев А.Ю.

I ба^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Имеется по меньшей мере три причины для изучения дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах (связных подмножествах эвклидова пространства, составленных из конечного числа его гладких подмногообразий, специальным образом примыкающих друг к другу).

Во-первых, к ним приходят при моделировании статических и динамических явлений в сложных физических системах. Примером является задача о малых перемещениях механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел. Другой пример - диффузия в слоистой среде, слои которой могут иметь разный коэффициент диффузии и могут даже отличаться размерностью (жидкость, перегороженная проницаемыми пленками, которые могут иметь собственную проводимость в направлении, касательном к ним).

Во-вторых, уравнение на стратифицированном множестве позволяет по новому взглянуть на результаты и методы классической теории дифференциальных уравнений. Например, в рамках теории уравнений на стратифицированных множествах, краевые задачи Неймана и Вентцеля для уравнения Лапласа, а также уравнение Лапласа на сфере формально неразличимы. Кроме этой формальной схожести имеется сильное сходство в качественных свойствах решений этих задач. Тем самым мы получаем возможность вместо нескольких теорем, описывающих одно и то же качественное свойство, относящееся, на первый взгляд,, к различным задачам, получить одну теорему.

г-.-.гляя р в каждом таком фрагменте константой, мы получим уравнение > стратифицированном множестве (при этом рассматриваемое уравнение /(у7и) = 0 в местах стыка элементов триангуляция трактуется специальным образом, основанным Ни, дифференцировании по мере). В данной расоте вопрос о классической разрешимости задачи Дирихле для подобного уравнения решается достаточно просто на основе модификации метода Пуанкаре - Перрона. Очевидно, задача рассматриваемого типа может слу-: ть аппроксимацией классической задачи Дирихле.

Эпизодические работы по уравнениям ка стратифицированных множествах появлялись давно. Первая, известная нам работа, о колебаниях мем-;:.?,ды, перегоро-,кенноЯ струной, была опубликована в 1228 году Р.Курантом . >т:олъко позже Л.Коллатц применил разностный метод к решению по-дсбны-; задач. В конце 50-х годов М.Шахтзр рассмотрел так назыг -змую судачу о трансмиссии, состоящую в следующем. Рассматриваются два эллиптических оператора в областях, имеющих сбщ;:~ кусок границы. Тре-бузтся согласовать операторы в месте стыка так, чтобы составной оператор в объединении областей и стыка обладал эллиптическими свойствами. Систематическое же изучение уравнений на стратифицированных множества/ началось в 70-х годах. Отметив, вс-дерзых уравнения ка так ь азы-гг-омых геометрических гргфах или топологических сетях (Г.Люмер, B.C. Павлов, М.Д.Оаддеев, Ю.В. Покорный, М.З.Соломяк и др.). Собственно теория уравнения на стратифицированных множеств&х (без ограничений на размерности стратов) стала развиваться в 90-х годах. С одной стороны к ней вели работы по уравнениям в областях со стратифицированной гранипзй (типа граненого конуса) (С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский, В.А. Кондратьез), а с другой - работы по уравнениям в перфорированных областях и областях с сильными неоднородгостями (В.В. Жиков, С.М. Козлов, O.A. Олейник, С.А. Назаров, A.C. Шамаев и др.). Последнее направление привело, в конечном итоге к уравнениям на так называемых сингулярных структурах (фактически, на стратифицированных множествах).

В упомянутых работах рассмотрен широкий круг вопросов: разрешимость краевых задач, асимптотики спектра и т.п. Вместе с тем обращает на себя внимание отсутствие систематически развитой качественной теории эллиптических уравнений на стратифицированных множествах, включающей традиционный набор свойств типа принципа максимума, теорем о среднем, неравенства Харнака и т.п. В связи с этим данная работа, посвященная как раз этим вопросам, представляется нам актуальной.

Работа поддержана грантами РФФИ 01-01-00417 и 01-01-00418.

Цель работы. Цель данной работы - решение следующих задач:

- разработка элементов математического анализа на стратифицированном множестве на уровне физических операторов типа дивергенции и лапласиана;

- постановка эллиптических краевых задач второго и четвертого порядка на стратифицированном множестве в терминах производных по мере;

- получение результатов о разрешимости таких задач в различных пространствах;

- описание качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств на упомянутых множествах;

- распространение классического метода Перрона - Пуанкаре на эллиптические уравнения на стратифицированных множествах.

Методика исследований. Методика исследований основана, главным образом, на аналогах теоретико-функциональных конструкций классического математического анализа:

- в постановочной части используется определение дифференциальных операций типа дивергенции и градиента в терминах дифференцирования по специальной стратифицированной мере;

- при доказательстве разрешимости краевых задач используются аналоги пространств Соболева по указанной мере и простейшие аналоги теорем вложения, связанные с ними (типа неравенства Пуанкаре -Стеклова);

- описание качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств основывается на аналогах классических интегральных тождеств, аналогах теоремы о среднем, аналоге теоремы Штурма о сравнении.

Применяются также методы функционального анализа, группирующиеся, в основном, вокруг понятия оператора, действующего в пространстве с конусом. В части, относящейся к описанию спектра частот собственных колебаний сеток из струн применяются также некоторые факты из теории разностных схем.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В их числе отметим следующие:

- аналоги классических интегральных тождеств (формулы Остроградского - Гаусса, Грина);

- аналог неравенства Пуанкаре - Стеклова;

- теоремы существования и единственности решения задачи Дирихле на так называемых прочных стратифицированных множествах в пространствах типа Соболева, а также в пространствах классического типа;

- аналоги классической теоремы о среднем для гармонических функций и доказанные на их основе принципы максимума;

- аналог леммы о нормальной производной;

- оценки кратностей собственных значений задачи Штурма - Лиувилля на одномерных стратифицированных множествах.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории эллиптических уравнений (в том числе и в классической постановке). Кроме того, разработанная методика может быть использована при моделировании систем составного типа и исследовании статических и динамических явлений в них.

Апробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: «Понтрягинские чтения» в Воронеже в 1996-2002 гг.; в Воронежской (1999, 2001) и Саратовской (2002) школах по теории функций; на международных конференциях им. И.Г. Петровского (1994, 1998, 2001); на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале (2002); на международной конференции «Partial Differential Equations on Multistructures» (Prance, Marceille, 1999); на конференции по динамическим системам в С.Петербурге (2000); на международной конференции «Колмогоров и современная математика» в Москве (2003).

на семинарах: Ю.В. Покорного (ВорГУ); А.Д. Мышкиса(МИЙТ); В.А. Кондратьева - Е.М. Ландиса(МГУ); В.А. Кондратьева - Н.Х. Розова -В.М. Миллионщикова (МГУ), O.A. Олейник (МГУ), A.A. Дезина - В.А. Ильина - Е.И. Моисеева (МГУ), В.В. Жикова - A.C. Шамаева - Т.А. Шапошниковой (МГУ), А.И. Перова (ВорГУ), Ю.Г. Борисовича (ВорГУ), O.A. Ладыженской (семинар им. В.И. Смирнова, Петербургское отделение МИ-РАН ), S. Nicaise (Univ. Valenciennes, France), И.А. Шишмарева (МГУ).

Публикации. Результаты данной работы опубликованы в статьях [1]-[21], список которых приведен в конце автореферата. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 191 страниц состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 64 наименования.

Основное содержание работы

Первая глава имеет постановочный характер. Здесь приводятся примеры задач из механики, математическая постановка которых наиболее естественно описывается в терминах уравнений на стратифицированных множествах. Это задача о малых перемещениях системы, составленной из струн и мембран (см. рис.) и задача о диффузии в слоистой среде, слои которой могут иметь разную размерность и помимо проводимости в транс-версальном к слою направлении, могут обладать и собственной проводимостью в тангенциальном направлении.

Рис. 1: Простейший механический пример.

К примеру, малые перемещения системы изображенной на следующем рисунке описываются набором уравнений вида:

-рпАи = /21,

-Pnît" = /и-

~(pi2«TT +Р21«1/) = /12- = foi

на двумерных (мембранах), одномерных (струнах) и нульмерных (места стыка струн) элементах системы. Этот набор уравнений нужно еще дополнить краевыми условиями.

Большая часть первой главы посвящена описанию подхода, при которым подобные наборы уравнений удается интерпретировать как единое

уравнение эллиптического типа на стратифицированном множестве. Остановимся на ключевых моментах этого подхода.

В пункте 1.2 дается определение стратифицированного множества и эллиптического оператора на нем.

Мы называем связное множество Й С Rn стратифицированным, если задана последовательность замкнутых множеств (стратификация)

0 = О*"1 С с ■ • • С = Í2

такая, что \ П*"-1 (р > 0) - гладкое подмногообразие в Жп размерности кр. Его связные компоненты - cr^i - называются стратами. Предполагаются выполненными следующие два условия:

• Граница до^ страта а и (к > 0) является объединением стратов меньшей размерности.

• Если <7i_i, примыкает к akj (что означает о>_-н С dakj и символически записывается в виде ffk-u -< <?kj) и Ys Okj стремится вдоль некоторой непрерывной кривой (лежащей в cr¡y) к точке X € crk-ii, то касательное пространство Ту<т/у стремится к некоторому предельному положению lim TrOkj, содержащему Тх<*к-и-

Множество П разбивается на два подмножества:

• fío - открытое, связное подмножество П (в топологии, индуцированной на Í2 из R"), составленное из его стратов и такое, что П0 = Й.

• 9По = ü \ По ~ граница По- В большей части этой работы предполагается Шо Ф 0.

На первом из них рассматривается уравнение, а второе служит для задания краевых условий. На касательных векторных полях на О.0 формулой

VF(X) = Vk-iF(X) + Т P-F\(X) f—' líj

задается дивергенция. Здесь X е о к-u, a Vk-\F(X) - классическая (£—Замерная дивергенция на сгкг- Обозначение вида F _(Х) используется для

I к]

продолжения по непрерывности в точку X сужения Р на ащ- Показывается, что такое определение дивергенции аналогично классическому ее определению как плотности потока векторного поля по специальной «стратифицированной» мере ¡л на П. Эта мера определяется на ¿¿-измеримых подмножествах ш формулой:

/'И = П <г*')'

с к,

где ць{ш П оы) - ^-мерная мера Лебега пересечения ш П ан-Далее дается выражение дивергенции через риманову метрику:

_ 1 Я __ пка

и определяется эллиптический оператор дивергентного типа:

Ари = V (рЧи).

В конце главы доказываются аналоги классических интегральных тождеств. А именно, имеет место следующее утверждение (аналог классической теоремы Гаусса - Остроградского).

Теорема 1 Пусть Р € тогда

= - J Рийц,

По ФЛо

где при X 6 (?к-\г определяется так:

суммирование производится по всем <7/у >- не лежащим в ЗПо-

Здесь СЦП) определяется как множество функций, имеющих равномерно непрерывные производные первого порядка в пределах каждого страта. Нормаль и в точке X 6 сг^-и всегда предполагается направленной внутрь Як] >- СГк-и-

Как следствие, получаются аналоги формул Грина. К примеру, вторая формула Грина содержится в следующем утверждении.

Теорема 2 Если и, v € C^fi), то

J(vApU - uApv) dpi = j (■u(pVv)¡, — v(pVu)v) dfi. (1)

fio dCla

Здесь C2(fi) = Cl(Q) П

Вторая глава посвящена обсуждению качественных свойств решений уравнений и неравенств с оператором Др. Здесь существенно разнятся два случая. В первом предполагается р > 0 всюду на fio > а во втором р > О только на стратах старшей размерности (на остальных стратах р = 0). В соответствии с этим в первом случае Др называется жестким, а во втором - мягким. Если при этом р - стратифицированная константа (т.е. р постоянна на каждом страте), то в первом случае Др называется жестким лапласианом, а во втором мягким лапласианом. Свойства мягкого лапласиана очень близки к свойствам классического лапласиана. В пункте 2.1.1 доказывается аналог теоремы о среднем для р-гармонических в смысле мягкого лапласиана функций.

Теорема 3 Пусть и £ С'2(По) - р-гармоническая функция, тогда

W<Br{X)(u) = ШтЛх)(и) = и(Х),

где 0Л<вг(х)(и) - среднее по шарам достаточно малого радиуса (стратифицированным шарам):

f pud¡i

m> i \ *-<*>

= / рф'

SJX)

В случае жесткого лапласиана теорема о среднем выглядит значительно сложнее. А именно, в пункте 2.1.2 доказывается такое утверждение:

Теорема 4 Пусть и - р-гармоническая функция, тогда для любого X € По и любой стратифицированной сферы имеем d d

Оставшаяся часть главы, в основном, посвящена различным вариантам принципа максимума. Слабый принцип максимума для решений неравенства Lu = Ари — qu > 0 доказан в пункте 2.2.1. Его формулировка имеет классический вид.

Теорема 5 Пусть q € СЦПо) неотрицательна, а множество П ориентируемо. Тогда для решения неравенства Lqu = Ари — qu > 0, и е С2(По) ПС(П) имеет место соотношение

u(Y) < max u+pf), ~ хеЭОо

для любого Y ей, где и+(Х) = max{O,up0}.

Сильный принцип максимума в его классической формулировке на стратифицированных множествах не выполняется. Однако, в пункте 2.2.2 доказан такой его вариант.

Теорема 6 Пусть и £ С2 (По) - решение неравенства Lu > 0. Если q> 0, то функция и не может иметь в По точек неотрицательного локального нетривиального максимума.

Под нетривиальным экстремумом здесь понимается такая точка экстремума, ни в какой окрестности которой функция не является постоянной. Доказательство этого принципа максимума основывается на аналоге леммы о нормальной производной. Для случая, когда q = 0, а р - стратифицированная константа, простое доказательство сильного принципа максимума получается на основе упомянутых выше теорем о среднем. В пункте 2.3.1 доказывается теорема о несовместных неравенствах.

Теорема 7 Пусть и, v € С2(П), и - положительное в По решение неравенства Lqu > 0, обращающееся в нуль на ЗПо и удовлетворяющее на dQo неравенству (pVw)y > 0, a v - положительное на По решение неравенства Lqv < 0. Тогда и и v являются решениями задачи Дирихле

Lqw - 0, 12

= 0.

дОо

Условий на знак q здесь не накладывается. Это утверждение является довольно сильным обобщением леммы Бохнера (даже в классическом случае), утверждающей, что на компактном римановом многообразии неравенство Д?х > 0 допускает только постоянные решения. В несколько более общей формулировке аналог этого утверждения приведен в пункте 2.3.2 для случая стратифицированного множества. А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 8 Пусть g > 0 и dQo — 0, т.е. По = П. Тогда, если неравенство Lqu > 0 имеет решение, положительное на П, той = const на О, и q = 0.

Третья глава посвящена разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве в пространствах типа Соболева. Оказывается, что без дополнительных ограничений на геометрической устройство множества такой разрешимости может не быть даже при гладких коэффициентах и правой части. Найденное нами условие (названное условием прочности стратифицированного множества) состоит в том, что любой страт из сг^ С По можно соединить с каким-нибудь граничным стратом amj цепочкой стратов er^, о>2;2. ■ ■, akpip ~ назовем ее прочной цепочкой - со следующими свойствами:

• "Sill = акг, "kptp — arnj]

• для любого l<q<p-l либо ак„{„ ■< либо <т*,+1,,+1;

• \kq+i — = 1 для любого 1 < q < р — 1;

• все кроме 0*р;р, лежат в П0.

Сформулированное условие позволяет в пункте 3.1.1 доказать аналог неравенства Пуанкаре - Стеклова.

Теорема 9 Пусть П - прочное стратифицированное множество. Тогда существует такая независящая от и константа С, что

I и2 ¿ц< СI (Уи)2ф.

для любой функции и 6 Яд(П).

Здесь обозначает пополнение пространства Сц(П) по норме, по-

рожденной скалярным произведением

< и, V >= J Уи • Уи ф. п

Доказательство неравенства Пуанкаре - Стеклова опирается на следующие три утверждения, представляющие самостоятельный интерес.

Лемма 1 Пусть и е Пусть далее С0,о и а*-у -Ч -<

сг^г- Тогда существует независящая от и константа С такая, что

J и2ё,1± <С I иЧц + J

'к-Ц \ft-li "Ы

ф .

Лемма 2 Пусть и £ С По и X о^. Тогда существует

такая независящая от и константа С, что

<*к\ "И )

Лемма 3 В условиях леммы 1 существует такая независящая от и константа С, что

цил иш и ъипсшитпш чпш

! иЧц < С Уи2<1ц + у (Уи)2

"кх \"к-1з

У иЧц < С [ I + У (Уи)2ф ) .

\Clfc. /

Первая из этих лемм формально не требуется при доказательстве неравенства Пуанкаре - Стеклова. Тем не менее она позволяет избежать построения разбиения единицы в доказательствах остальных лемм. Сама же она доказывается без такого построения.

В пункте 3.1.2 доказывается разрешимость задачи Дирихле. А именно, доказано такое утверждение.

Теорема 10 Пусть Г2 - прочное стратифицированное множество. Для любого / € ¿^(Л) задача

Ари - ди = /, и| = 0

имеет единственное слабое решение и € д).

Пункт 3.2 посвящен приложению неравенства Пуанкаре - Стеклова к доказательству разрешимости задачи с препятствием. Рассматривается задача

J(р|Уи|2 + ди2 - 2/и)<111 = тш J (р|У-у|2 + д^2 -

По По

где # - выпуклое замкнутое подмножество пространства #¿(£2о) определяемое следующим образом

К = {и(= НЦПо) : и{х) > ф(х) (х е По)}-

Стандартным образом данная задача может быть сведена к вариационному неравенству, т.е. к решению задачи, в которой требуется найти такую функцию и, что

а(и, V - и) - (/, V - и)ц > 0, V« б К, (2)

где форма а(и, у) определяется соотношением

а(и, ь) = J{рЧи ■ Уь + дии)ф. «о

Имеет место следующее утверждение

Теорема 11 Пусть П является прочным множеством. Тогда задача (2) имеет единственное решение в К.

Оставшаяся часть главы посвящена уточнению неравенства Пуанкаре -Стеклова с целью сделать его применимым к случаю, когда коэффициент р в операторе Др может обращаться в нуль на некоторых стратах. Предполагается, что на каждом страте этот коэффициент либо строго положителен, либо обращается в нуль тождественно.

Назовем страт жестким, если коэффициент р положителен на нем. Если же р = 0 на некотором страте, то назовем такой страт мягким. Граничные страты будут считаться жесткими по определению, хотя коэффициент р на них не определен.

Рассматриваемый теперь случай требует определения прочности стратифицированного множества, несколько отличающегося от приведенного выше. А именно, назовем множество Ù прочным, если любой страт из С fio можно соединить с каким-нибудь граничным стратом am¡ цепочкой стра-тов (Xfcjj^CTjtji,... ,сгкРъ ~ назовем ее прочной цепочкой - со следующими свойствами:

• CJMi = aki, &kpip = Vrnj',

• для любого 1 < g < р - 1 либо ak,i, < либо akqiq >- аа,+1,,+1;

• |fcg+1 — кч\ = 1 для любого 1 < q < р — 1;

• все akqiq, кроме akpip, лежат в fi0-

• Рлгти Р lfVOr>í>imATÍ TTûnntTVO МИООФЛО ilOrVTlft ЛФПОФ ФЛ QTV4 ЛАРОПИ п тто_

■■ uwin i3 J V/ liw fliUUUl VM1 Í.VX44X uipuij X ЧУ Kj4 yj UWWjiU,!! ja

почке имеют на единицу большую размерность и являются жесткими стратами.

В рассматриваемой ситуации в пункте 3.3.1 доказывается такой вариант неравенства Пуанкаре - Стеклова.

Теорема 12 Пусть Cl - прочное стратифицированное множество. Тогда существует такая независящая от и константа С, что

для любой функции и е

Здесь через Е((1о) обозначено множество жестких стратов.

В пункте 3.3.2 приводится простое следствие неравенство Пуанкаре -Стеклова - неравенство Опяля.

Теорема 13 Существует такая константа С, что для любой функции

и Е Яд(По) выполняется неравенство.

в стратифицированных шарах. Свойства субгармонических функций на стратифицированных множествах также оказываются близкими к свойствам классических субгармонических функций. Далее вводится класс £(, (д - функция, фигурирующая в граничных условиях) субгармонических функций и, удовлетворяющих неравенству и(Х) < д(Х) на ¿Ю0.

Основным результатом этого пункта является следующее утверждение.

Теорема 14 Пусть {По, 9По} ~ прочная пара, а д непрерывна. Тогда функция и, определяемая соотношением

и(Х) < Ш^ЛХ)(и)

и(Х) = в ирирГ).

является классическим решением задачи Дирихле.

Под классическим решением здесь понимается функция из пространства П С(П), удовлетворяющая уравнению и краевым условиям в обычном смысле.

Мы называем {Оо, Шо} прочной парой, если сЮо содержится в замыкании (с1 — 1)-мерных стратов, лежащих в д£1о и если для каждого а¡у с к < в, — 1 множество П \ связно вблизи ощ.

Доказательство этой теоремы довольно сложно. Оно распадается на три этапа. В отличие от классического случая, функцию Грина удается найти только в стратифицированных шарах с центрами в стратах максимальной и на единицу меньше размерности. Для шаров с центрами в [д. — 1)-мерных стратах она описывается следующим образом.

Пусть ,..., Ощт - все страты множества П, примыкающие к аа-ц. Для удобства предположим, что номера этих стратов идут подряд, начиная с единицы, т.е. ^ = 1,... ,]т — т. Введем на множестве 93Г(Х) координаты так следующим образом. Иными словами сначала определяем координаты ж1,..., ха~х на страте сг¿-и и для каждого <у,ц >- <74-и дополняем их еще одной координатой х/. Мы предполагаем также, что добавленная координата обращается в нуль на а^-н и положительна на каждом страте Стф <у¿-и- Кроме того будем считать, что точка X является началом этих координат, т.е. все ее координаты равны нулю.

Пусть далее У £ сгд Л ШГ(Х). Мы определим функцию У) с помощью следующих соотношений:

где z = (z1,..., zd), у — (у1,. ■ ■ ,yd) - координаты точки Z и, соответственно У, a z* — (г1,... ,zd~l, — zd). Через P¡ мы обозначили сумму всех рг (г < т) за исключением p¡, а Р — р\ + P¡ - сумма всех р,. Напомним еще раз, что р - стратифицированная константа, ap¿ - ее сужение на страт ст^,. Все р,, как обычно, предполагаются положительными числами. Доказывав

—K{z*,y), zecTdl

K(z*,y),

Z e adj (j ф l),

ется следующее утверждение.

Теорема 15 Функция б^У) является функцией Грина оператора Др в стратифицированном шаре *&Г(Х).

Явное выражение для ядра Пуассона выглядит следующим образом:

Р(г,¥) =

о, 2 + ^

2(г2 - 1г|2) I т т

Р^Г |

( \г* — 2/|-<г,

Далее доказывается такое утверждение.

Теорема 16 Пусть д : Ъ<ВТ(Х) -» К - непрерывная на ЗПо функция. Тогда функция и, определенная следующим образом

и{г) = <

дает решение задачи Дирихле

9(г), г €

/ Р(г,У)д(У)с1(1, ге<вг(Х)

Ари - О, и — д

ШГ{Х)

Помимо аналога формулы Пуассона для реализации метода Пуанкаре - Перрона требуется неравенство Харнака. Хотя выше было доказано, что решения уравнения Ари — 0 обладают свойством среднего, этого оказывается недостаточно для доказательства неравенства Харнака на стратифицированном множестве. Для этого приходится применять ядро Пуассона. Сферический вариант неравенства Харнака содержится в следующем утверждении.

Лемма 4 Пусть и - неотрицательная на По р-гармоническая функция и ^ВГ(Х) С fio- Тогда при р < г и некоторых, не зависящих от и констант С\ и С% (в доказательстве они выписаны явно), имеем

(г _ 0)d-2 е- + o)d'2

- u{z) - C2<F^U{X)

для любого Z 6 *Зр(Х), удаленного от X на расстояние р.

Приведенных фактов оказывается достаточно для реализации первого этапа метода Пуанкаре - Перрона - проверки равенства Ари ~ 0. Поскольку рассматривается случай мягкого Лапласиана, это уравнение дает дифференциальные соотношения лишь в стратах размерности не меньшей d — 1. В маломерных стратах из По нужно еще проверить, что функция и непрерывна. Делается это на основе следующей леммы.

Лемма 5 Пусть {П0, ЗПо} - прочная пара. Тогда для каждого а,ц иан Ч сгф- существует предел

lim Я(У).

Y-+X 4 '

Здесь точка X е сгн фиксирована, а У принадлежит crdj

В четвертой главе рассматривается одномерный вариант рассматриваемый выше теории. Здесь мы имеем аналог обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка - так называемое уравнение на геометрическом графе. Вопрос о разрешимости задачи Дирихле для такого уравнения решается довольно просто. В разделе 4.1.1 доказывается такое утверждение.

Теорема 17 В предположении, что p>a>0uq>0 задача

Lu = Ари — qu = f,

и =0 дГа

однозначно разрешима б C'^(Fq) П Со (Г) при любой f € Сст(То).

Теперь вместо По мы пишем Го придерживаясь традиции, принятой в теории уравнений на графах. Одномерные страты называем ребрами, а нульмерные - вершинами.

Далее в этом разделе показывается, что решение упомянутой задачи может быть представлено в интегральном виде и приводятся некоторые свойства этого представления, которые содержатся в следующих утверждениях. В них Ь~1 - оператор, обращающий оператор Ь порожденный упомянутой краевой задачей.

Лемма 6 Оператор Ь~1 вполне непрерывен, как действующий из С (Г) в С( Г).

Лемма 7 Ядро оператора Ь~1 отрицательно.

Лемма 8 Ядро оператора Ь~1 симметрично.

Эти факты позволяют получить стандартный набор свойств спектра оператора —Ь (положительность и простота первого собственного значения, дискретность и т.п.). В разделе 4.2.2 эта информация (в особенности информация о кратностях собственных значений) уточняется на основе следующего аналога теоремы Штурма.

Теорема 18 Пусть и и V - решения дифференциальных уравнений

Дри + qu — О, Дрщ + = 0.

Если при этом (¿(х) > д(ж), а и и V линейно независимы в некоторой Б-зоне С функции и, то в <3 имеется перемена знака функции V. Здесь предполагается, что д, ф £ Сст(Го).

Приведем несколько следствий этого утверждения.

Теорема 19 Пусть задача —Ьи = \и допускает при некотором X решение и, не обращающееся в нуль во внутренних вершинах и циклах графа Г. Тогда А - простое собственное значение.

Теорема 20 Пусть задача —Ьи = Хи допускает при некотором А решение щ, не обращающееся в нуль во внутренних вершинах графа Г. Тогда кратность А не превосходит N +1, где N - число циклов в графе Г.

Теорема 21 Кратность собственных значений задачи —Ьи + Хи не превосходит числа М + 2И — 1, где N, как и выше - количество циклов в

Приведены примеры, в которых все перечисленные оценки достигаются.

В оставшейся части главы показывается, что начальные части спектров частот собственных колебаний периодической сетки из струн, заполняющей область и мембраны, заполняющей ту же область, близки при некоторых условиях на физические характеристики рассматриваемых систем.

В пятой главе рассматриваются эллиптические уравнения четвертого порядка на стратифицированных множествах. Главным образом, речь идет о слабой разрешимости краевых задач для таких уравнений.

В пункте 5.1.1 показывается, что квадрат оператора Др при определенных условиях описывает (рассматривается случай двумерного стратифицированного множества) малые перемещения в системе стержней и пластин, шарнирно сочлененных между собой. Таким образом, при р = 1 мы имеем точный аналог бигармонического оператора на стратифицированном множестве.

В пункте 5.1.2 доказывается аналог неравенства Пуанкаре с производными второго порядка.

Теорема 22 Пусть [2 является прочным множеством. Тогда существует такая положительная постоянная С, что для всех функций и €

о) П #¿(0) выполняется неравенство

Здесь, как и во всей главе страты предполагаются плоскими. Через Н(и) обозначена матрица Гессе в некоторой фиксированной системе координат

Г.

на каждом страте. Доказательство этой теоремы проходит по схеме описанной выше с заменой лемм 2,3 на следующие две леммы.

Лемма 9 Пусть &к-ъ ~< вку Тогда существует такая постоянная С, что для всех и € Я2(о*;) выполняется неравенство

! {и2 + |Уи|2)ф < С +1 \\Н(и)\\Ч/л I .

"к-и \а>=1 ' Ок1 /

Лемма 10 В условиях предыдущей леммы выполняется следующее неравенство

I(и2 + |Уи|2У/х < С I иЧ» + I ||Я(и)||2 а к] &к1

Далее эти результаты применяются к разрешимости краевой задачи (уравнение теперь задаем на каждом страте по отдельности)

Ркг + XI +

Ед ( ди \

= /н на аки

Оку

Мы^ы = 0 на доки и — 0 на 9По.

в пространстве Я2(По) П Я^(П).

Здесь граничные операторы Мы и на каждом страте определяются следующим образом:

/л / \д2и\

Мыи = ры{^нАи + (1 -

,д&и . , . ди Мкги = Ркг{-д— + (1 - ик1)АТ — .

Далее приводится результат о разрешимости краевой задачи для системы теории упругости. Это делается на основе неравенства Корна, доказанного в пункте 5.2.1.

Теорема 23 Пусть - прочное стратифицированное множество с плоскими стратами. Тогда существует такая константа С, что выполняется неравенство

для всех и € Н^(По).

Здесь б (и) - тензор деформаций (при механической интерпретации этого неравенства). Фактически - это набор тензоров деформаций отдельных стратов.

И здесь доказательство получается комбинированием специальных неравенств типа Корна на отдельных стратах. А именно, имеют место следующие две леммы.

Лемма 11 Пусть сгк-и ~< с*?- Тогда существует такая константа, что для всех функций и 6 Н1(ок3)к имеет место неравенство

Лемма 12 В условиях предыдущей леммы имеет место неравенство

где щ - проекция и на а к-и, т.е.

щ — и — (и • т)^ на сГк-1,-

Б заключительной части изучается начальная часть спектра частот собственных колебаний периодической сетки из струн при специальных условиях их сочленения. Показывается, что при достаточно малых размерах ячейки периодичности указанная часть спектра близка к спектру пластины.

Список основных публикаций по теме диссертации

[1 ] Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве. Дифференц. уравн. 1998. Т.34, №10.С.1433-1434

[2 ] Penkin О.М. About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker. 2001. V.219. P. 183-191

[3 ] Пенкин О.М. О принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе. Доклады РАН. 1997. Т.352, №4. С.462-465

[4 ] Пенкин О.М. О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе. Дифференц. уравн. 1997. Т.ЗЗ, №10. С.1404-1409

[5 ] Пенкин О.М. Качественные свойства решений эллиптических неравенств на стратифицированных множествах. Дифференц. уравн. 1999. Т.35, №11. С.1573-1574

[6 ] Пенкин О.М. Метод Перрона для задачи Дирихле на клеточном комплексе. Дифференц. уравн. 2001. Т.37, №11. С.1580

[7 ] Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О дифференциальных неравенствах для эллиптических операторов на сложных многообразиях. ДАН, 1998, Т.360, №4. С.456-458

[8 ] Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах. Дифференц. уравн. 1998. Т.34, №8. С.1107-1113

[9 ] Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О ■краевой задаче на графе. Дифференц. уравн. 1988. Т.24, №4. С.701-703

[10 ] Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе. Известия ВУЗов. 1996. Математика. №11. С.57-64

[11 ] Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О дифференциальных неравенствах на многообразиях гибридного типа. Успехи матем. наук. 1998. Т.53, вып.4(322). С.135

[12 ] Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных Свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе. Матем. заметки. 1996. Т.64, №5. С.777-780

[13 ] Пенкин О.М., Вогатов Е.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах. Матем. заметки. 2000. Т.68, №6. С.874-886

[14 ] Пенкин О.М., Вогатов Е.М., Кашкаров Ю.М. О разрешимости эллиптических краевых задач на стратифицированных множествах. Дифференц. уравн. 1998. Т.34, №9. С.1289-1290

[15 ] Каменский М.И., Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О полугруппе в задаче диффузии на пространственной сети. Доклады РАН. 1999. Т.368, №2. С.157-159

[16 ] Комаров A.B., Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О спектре равномерной сетки из струн. Известия ВУЗов. Математика. 2000. №4. С.23-27

[17 ] Покорный Ю.В., Пенкин О.М. Теоремы Штурма для уравнений на графах. ДАН СССР. 1989. Т.309, №6. С. 1306-1308

[18 ] Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения для уравнений на графах. Дифференц. уравнения. 1989. Т.25, №7. С.1141-1150

[19 ] Гаврилов А.А., Пенкин О.М. Аналог леммы, о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве. Дифференц. уравн. 2000. Т.36, №2. С.22&-232

[20 ] Куляба В.В., Пенкин О.М. Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах. Доклады РАН. 2002. Т.386, №4. С.453-456

[21 ] Nicaise S., Penkin О. Relationship between the lower frequence spectrum of plates and networks of beams. Math. Meth. Appl. Sci. 2000. V.23. P. 1389-1399

Заказ № 436 от 04.07.2003 г. Тираж 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

V t

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Пенкин, Олег Михайлович

Введение

1 Эллиптический оператор на стратифицированном мно жестве

1.1 Математические и физические задачи, приводящие к уравнениям на стратифицированном множестве.

1.1.1 Математическая мотивировка.

1.1.2 Механическая мотивировка.

1.2 Элементарный математический анализ на стратифицированных множествах

1.2.1 Стратифицированные множества.

1.2.2 Необходимые понятия римановой геометрии

1.2.3 Локальные координаты на П.

1.2.4 Стратифицированная мера.

1.2.5 Функциональные пространства на Q,.

1.2.6 Дивергенция касательных векторных полей на Г^о •

1.2.7 Формулы Грина.

2 Некоторые качественные свойства решений уравнений и неравенств эллиптического типа

2.1 Теоремы о среднем.

2.1.1 Теорема о среднем для мягкого лапласиана.

2.1.2 Теорема о среднем для жесткого лапласиана

2.2 Принципы максимума.

2.2.1 Слабый принцип максимума.

2.2.2 Сильный принцип максимума.

2.2.3 Сильный принцип максимума для р-гармонических функций.

2.3 Несовместные неравенства и лемма Бохнера.

2.3.1 Теорема о несовместных неравенствах.

2.3.2 Лемма Бохнера.

Разрешимость задачи Дирихле

3.1 Разрешимость задачи с жестким Лапласианом.

3.1.1 Неравенство Пуанкаре - Стеклова.

3.1.2 Слабая разрешимость задачи Дирихле на стратифицированном множестве.

3.1.3 Самосопряженное расширение оператора L.

3.2 Задача с препятствием.

3.3 Некоторые обобщения.

3.3.1 Общее неравенство Пуанкаре - Стеклова.

3.3.2 Неравенство Опяля.

3.4 Разрешимость задачи Дирихле с мягким лапласианом

3.4.1 Свойства субгармонических функций.

3.4.2 Фундаментальное решение оператора Ар.

3.4.3 Формула Пуассона в стратифицированном шаре

3.4.4 Неравенство Харнака.

3.4.5 Реализация метода Перрона.

Уравнения на геометрических графах

4.1 Разрешимость краевых задач на графах.

4.1.1 Линейная эллиптическая краевая задача на графе

4.1.2 Функция Грина краевой задачи на графе.

4.1.3 Свойства оператора L~l.

4.2 Спектр оператора —L-1.

4.2.1 Теоремы Штурма.

4.2.2 Некоторые оценки кратности собственных значений 135 4.3 Спектр сетки из струн.'

Об уравнениях четвертого порядка на стратифицированных множествах

5.1 Скалярные уравнения четвертого порядка

5.1.1 Бигармонический оператор.

5.1.2 Неравенство Пуанкаре для уравнений четвертого порядка.

5.1.3 Слабая разрешимость краевых задач четвертого порядка на стратифицированном множестве.

5.2 Векторные уравнения четвертого порядка.

5.2.1 Неравенство Корна.

5.2.2 Спектр сетки из стержней.

Введение диссертация по математике, на тему "Эллиптические уравнения на стратифицированных множествах"

Во-вторых, уравнение на стратифицированном множестве позволяет ио новому взглянуть на результаты и методы классической теории дифференциальных уравнений. Например, в рамках теории уравнений на стратифицированных множествах, краевые задачи Неймана и Вентцеля для уравнения Лапласа, а также уравнение Лапласа на сфере формально неразличимы. Кроме этой формальной схожести имеется сильное сходство в качественных свойствах решений этих задач. Тем самым мы получаем возможность вместо нескольких теорем, описывающих одно и то же качественное свойство, относящееся, на первый взгляд, к различным задачам, получить одну теорему.

В третьих, как нам кажется, теория уравнений на стратифицированных множествах, окажется поставщиком новых идей, реализация которых в применении к классическому случаю может привести к упрощению некоторых хорошо известных построений. К примеру, пусть в области G эвклидова пространства рассматривается уравнение V(pVu) = 0 с достаточно гладким коэффициентом р. Триангулируя область G на фрагменты <7fcj и заменяя р в каждом таком фрагменте константой, мы получим уравнение на стратифицированном множестве (при этом рассматриваемое уравнение V(pVu) = 0 в местах стыка элементов триангуляции трактуется специальным образом, основанным на дифференцировании по мере). В данной работе вопрос о классической разрешимости задачи Дирихле для подобного уравнения решается достаточно просто на основе модификации метода Пуанкаре - Перрона. Очевидно, задача рассматриваемого типа может служить аппроксимацией классической задачи Дирихле.

Данная работа как раз посвящена систематическому изложению и развитию наметившегося в последнее время подхода к построению теории эллиптических уравнений на стратифицированных множествах.

Работа поддержана грантами РФФИ 01-01-00417 и 01-01-00418.

Цель работы. Цель данной работы - решение следующих задач:

- разработка элементов математического анализа на стратифицированном множестве;

- постановка эллиптических краевых задач второго и четвертого порядка на стратифицированном множестве;

- получение результатов о разрешимости таких задач в различных пространствах;

- описание качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств на упомянутых множествах;

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. В их числе отметим следующие:

- аналоги классических интегральных тождеств (формулы Остроградского - Гаусса, Грина);

- аналог неравенства Пуанкаре - Стеклова;

- аналог леммы о нормальной производной;

- оценки кратностей собственных значений задачи Штурма - Лиувил-ля на одномерных стратифицированных множествах.

Аппробация работы. Результаты данной работы докладывались на конференциях: «Понтрягинские чтения» в Воронеже в 1996-2002 гг.; в Воронежской (1999, 2001) и Саратовской (2002) школах по теории функций; на международных конференциях им. И.Г. Петровского (1994, 1998, 2001); на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале (2002); на международной конференции «Partial Differential Equations on Multistructures» (France, Marceille, 1999); на конференции по динамическим системам в С.Петербурге (2000). на семинарах: Ю.В. Покорного (ВорГУ); А.Д. Мышкиса(МИИТ); В.А. Кондратьева - Е.М. Ландиса(МГУ); В.А. Кондратьева - Н.Х. Розова -В.М. Миллионщикова (МГУ), О.А. Олейник (МГУ), А.А. Дезина- В.А. Ильина - Е.И. Моисеева (МГУ), В.В. Жикова - А.С. Шамаева - Т.А. Шапошниковой (МГУ), А.И. Перова (ВорГУ), Ю.Г. Борисовича (Вор-ГУ), О.А. Ладыженской (семинар им. В.И. Смирнова, Петербургское отделение МИРАН ), S. Nicaise (Univ. Valenciennes, France).

Публикации. Результаты данной работы опубликованы в статьях [40, 63, 38, 39, 41, 42, 19, 15, 16, 7, 12, 14, 13, 9, 8, 58, 4, 3, 17, 2, 18]. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты автора.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 191 страниц состоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 64 наименований.

Основное содержание работы

Первая глава имеет постановочный характер. Здесь приводятся примеры задач из механики, математическая постановка которых наиболее естественно описывается в терминах уравнений на стратифицированных множествах. Это задача о малых перемещениях системы, составленной из струн и мембран (см. рис.) и задача о диффузии в слоистой среде, слои которой могут иметь разную размерность и помимо проводимости в трансверсальном к слою направлении, могут обладать и собственной проводимостью в тангенциальном направлении.

К примеру, малые перемещения системы изображенной на следующем рисунке описываются набором уравнений вида: на двумерных (мембранах), одномерных (струнах) и нульмерных (места стыка струн) элементах системы. Этот набор уравнений нужно еще дополнить краевыми условиями.

Большая часть первой главы посвящена описанию подхода, при которым подобные наборы уравнений удается интерпретировать как еди

Рис. 1: Простейший механический пример.

-Р21Д и = /21

-Рпи" = /11 • ~(P12UTT + p2lUl/) = /12. ное уравнение эллиптического типа на стратифицированном множестве. Остановимся на ключевых моментах этого подхода.

В пункте 1.2 дается определение стратифицированного множества и эллиптического оператора на нем.

Мы называем связное множество Q С Мп стратифицированным, если задана последовательность замкнутых множеств (стратификация)

0 = П*-1 С Пк° С • • • С Пкт = П такая, что 1 (р > 0) - гладкое подмногообразие в Мп размерности кр. Его связные компоненты - сг& г- - называются стратами. Предполагаются выполненными следующие два условия:

• Граница да^% страта аы (к > 0) является объединением стратов меньшей размерности.

• Если ak—\i примыкает к ащ (что означает ak-u С da^j и символически записывается в виде ak-u -< &kj) и У G ащ стремится вдоль некоторой непрерывной кривой (лежащей в о^у) к точке X € ak-u> то касательное пространство Туащ стремится к некоторому предельному положению lim Tyakj, содержащему Txak-u•

У—

Множество Q, разбивается на два подмножества:

• Qq - открытое, связное подмножество Q (в топологии, индуцированной на О, из Rn), составленное из его стратов и такое, что Qo =

• dQo = Q\Qq - граница Qo. В большей части этой работы предполагается dQo ф 0

На первом из них рассматривается уравнение, а второе служит для задания краевых условий. На касательных векторных полях на П0 формулой

VF(X) = Vjfc-iF(X) + V Z-F(X) kj задается дивергенция. Здесь X G ak-u, a \F(X) - классическая к — 1)-мерная дивергенция на aki- Обозначение вида F {Х) используkj ется для продолжения по непрерывности в точку X сужения F на 07^. Показывается, что такое определение дивергенции аналогично классическому ее определению как плотности потока векторного поля по специальной «стратифицированной» мере fi на Q. Эта мера определяется на /i-измеримых подмножествах и формулой: ц(ш) = ^^(wnafei), где П <7ki) А;-мерная мера Лебега пересечения и) П сгы

Далее дается выражение дивергенции через риманову метрику: и определяется эллиптический оператор дивергентного типа:

Ари = V(pV«).

Теорема 0.0.1 Пусть F € тогда

J VFdn=- J Fv dp,

По dQo где Fv при X £ <?к-и определяется так: £(?•■/?) (X);

KJ суммирование производится по всем Okj >- сгк-и не лежащим в dQo. Здесь Cl(Q) определяется как мнооюество функций, имеющих равномерно непрерывные производные первого порядка в пределах каждого страта. Нормаль и в точке X £ &к-и всегда предполагается направленной внутрь Okj >- сгк-и

Теорема 0.0.2 Если u,v G С2(П); то

J(vApu — uApv) dfi= J (•u(pVv)v — v(pVu)u) dp. (0.0.1)

По дП0

Здесь C2{Q) = Cj(fi) П C(Q).

Вторая глава посвящена обсуждению качественных свойств решений уравнений и неравенств с оператором Лр. Здесь существенно разнятся два случая. В первом предполагается р > 0 всюду на По, а во втором р > 0 только на стратах старшей размерности (на остальных стратах р = 0). В соответствии с этим в первом случае Др называется жестким, а во втром - мягким. Если при этом р - стратифицированиая константа (т.е. р постоянна на каждом страте), то в первом случае Ар называется жестким лапласианом, а во втором мягким лапласианом. Свойства мягкого лапласиана очень близки к свойствам классического лапласиана. В пункте 2.1.1 доказывается аналог теоремы о среднем для р-гармонических в смысле мягкого лапласиана функций.

Теорема 0.0.3 Пусть и G С2(Г2о) -р-гармоническая функция, тогда Шюг(Х){и) = и(Х), где 9Л<вг(х)(и) ~ среднее по шарам достаточно малого радиуса (стратифицированным шарам): f ри dp, = f pdn'

BrPO

Теорема 0.0.4 Пусть и - р-гармоническая функция, тогда для любого X € Qq и любой стратифицированной сферы имеем d d k=1

Теорема 0.0.5 Пусть q 6 СДГ^о) неотрицательна, а множество ориентируемо. Тогда для решения неравенства Lqu = Ари — qu > О, и £ С2(17о) П C(Q) имеет место соотношение u(Y) < max и+(Х),

Xedfto для любого Y е Q,, где и+(Х) = max{0,

Теорема 0.0.6 Пусть и Е C2(Qо) - решение неравенства Lu > 0. Если q > 0, то функция и не может иметь в По точек неотрицательного локального нетривиального максимума.

Теорема 0.0.7 Пусть u,v 6 С2(П), и - положительное в решение неравенства Lqu > 0, обращающееся в нуль на dQo и удовлетворяющее на dflo неравенству {рЧи)и > 0, a v - положительное на Qq решение неравенства Lqv < 0. Тогда и uv являются решениями задачи Дирихле

Lqw — 0, w =0.

8По

Условий на знак q здесь не накладывается. Это утверждение является довольно сильным обобщением леммы Бохнера (даже в классическом случае), утверждающей, что на компактном римановом многообразии неравенство Аи > 0 допускает только постоянные решения. В несколько более общей формулировке аналог этого утверждения приведен в пункте 2.3.2 для случая стратифицированного множества. А именно, имеет место следующее утверждение.

Теорема 0.0.8 Пусть q > 0 и д£1 о = 0, т.е. По = П. Тогда, если неравенство Lqu > 0 имеет решение, пололсительное на ГI, то и = const на Г2 и q = 0.

Третья глава посвящена разрешимости задачи Дирихле для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве в пространствах типа Соболева. Оказывается, что без дополнительных ограничений на геометрической устройство множества такой разрешимости может не быть даже при гладких коэффициентах и правой части. Найденное нами условие (названное условием прочности стратифицированного множества) состоит в том, что любой страт из о и С По можно соединить с каким-нибудь граничным стратом ornj цепочкой стратов aklil, &k2i2 ., akpip - назовем ее прочной цепочкой - со следующими свойствами:

• для любого l<q<p-l либо akqiq -< (Jkq+liq+1, либо okqiq X akq+liq+1]

• \kq+i ~ kq\ = l для любого 1 < q < р — 1;

• все akqiq, кроме akpip, лежат в Несформулированное условие позволяет в пункте 3.1.1 доказать аналог неравенства Пуанкаре - Стеклова.

Теорема 0.0.9 Пусть £1 - прочное стратифицированное множество. Тогда существует такая независящая от и константа С, что

J и2 df!< С J (Vu)2 d/LL. о для любой функции и G H Jtyо

Здесь Hjtity обозначает пополнение пространства Cq(Q) по норме, порожденной скалярным произведением и, v >= J Vu ■ Wv dji. Q

Доказательство неравенства Пуанкаре - Стеклова опирается на следующие три утверждения, представляющие самостоятельный интерес. о

Лемма 0.0.1 Пусть и 6 Пусть далее С ^о и (Jk-\j -<

Jk-\i -< Тогда существует независящая от и константа С такая, J и2дц + J(Vu):

7k-ll &ki что

J u2dfi < С | I иЧц + I (Vu)zdfi | . ak-\j О

Лемма 0.0.2 Пусть и G Я* (£2), сгы С fio и &k-\j ~< Тогда существует такая независящая от и константа С, что

J u2dfj, < С J u2dji + J (Vufdfj,

Gki \&k-lj &ki

Лемма 0.0.3 В условиях леммы 3.1.2 существует такая независящая от и константа С, что J u2dfi + J(Vw)5

Wfci CTfci u'dli<C\ / и dfi + / (Vuydii

В пункте 3.1.2 доказывается разрешимость задачи Дирихле. А именно, доказано такое утверждение.

Теорема 0.0.10 Пусть Q - прочное стратифицированное множество. Для любого / Е задача

Ари -qu = /, хр и 0 дП0 о имеет единственное слабое решение и £ q).

J(р| Vu|2 + qu2 - 2fu)dfi = mm J(p\Vv\2 + qv2 - 2fv)dfi,

По По о где К - выпуклое замкнутое подмножество пространства Н^По) определяемое следующим образом

К = {и е НЦПо) : и(х) > ф(х) (х € ЗД}

Стандартным образом данная задача может быть сведена к вариационному неравенству, т.е. к решению задачи, в которой требуется найти такую функцию и, что а(и, v — и) — (/, v — и)ц >0, Vi> Е К, где форма а(и, v) определяется соотношением а(и, v) — J(pVu • S7v + quv)d/i. По

Имеет место следующее утверждение

Теорема 0.0.11 Пусть является прочным множеством. Тогда задача (3.2.3) имеет единственное решение в К.

Оставшаяся часть главы посвящена уточнению неравенства Пуанкаре - Стеклова с целью сделать его применимым к случаю, когда коэффициент р в операторе Др может обращаться в нуль на некоторых стратах. Предполагается, что на каждом страте этот коэффициент либо строго положителен, либо обращается в нуль тождественно.

Рассматриваемый теперь случай требует определения прочности стратифицированного множества, несколько отличающегося от приведенного выше. А именно, назовем множество Г2 прочным, если любой страт из Oki С По можно соединить с каким-нибудь граничным стратом omj цепочкой стратов (Tfain &k2i2 • ■ • i°kpip ~ назовем ее прочной цепочкой - со следующими свойствами:

• для любого 1 < q < р - 1 либо akqiq -< (?kq+1iq+1, либо akqiq >- <Jkq+xiq+i]

• \kq+i — kq\ = 1 для любого 1 < q < p — 1;

• все akgiq, кроме akpip, лежат в Q0.

• Если в указанной цепочке имеется мягкий страт, то его соседи в цепочке имеют на единицу большую размерность и являются жесткими стратами.

В рассматриваемой ситуации в пункте 3.3.1 доказывается такой вариант неравенства Пуанкаре - Стеклова.

Теорема 0.0.12 Пусть О, - прочное стратифицированное миоэ/сество. Тогда существует такая независящая от и константа С, что для любой функции и €

Здесь через E(Qо) обозначено множество жестких стратов.

В пункте 3.3.2 приводится простое следствие неравенство Пуанкаре -Стеклова - неравенство Опяля. «

Теорема 0.0.13 Существует такая константа С, что для любой функо ции и G H^itiо) выполняется неравенство.

J \u\\Vu\dp<C J |Vu|2 dp.

Г2о По

Пункт 3.4 посвящен изучению вопроса о классической разрешимости задачи Дирихле для уравнения Ари = 0 с мягким лапласианом. Здесь предполагается, что все страты являются плоскими, а р- стратифицированная константа. Определение субгармонической функции и в рассматриваемом случае аналогично классическому ее определению; требуется непрерывность и и выполнение неравенства и{Х) < Шъг{х)(и) в стратифицированных шарах. Свойства субгармонических функций на стратифицированных множествах также оказываются близкими к свойствам классических субгармонических функций. Далее вводится класс Sg (g - функция, фигурирующая в граничных условиях) субгармонических функций и, удовлетворяющих неравенству и{Х) < д{Х) на сЮо

Основным результатом этого пункта является следующее утверждение.

Теорема 0.0.14 Пусть ~ прочная пара, ад непрерывна. Тогда функция и, определяемая соотношением и{Х) = sup v(X).

VGSg является классическим решением задачи Дирихле.

Под классическим решением здесь понимается функция из пространства С2(£7о) П C(fi), удовлетворяющая уравнению и краевым условиям в обычном смысле.

Мы называем {fio, dfio} прочной парой, если dfio содержится в замыкании (d— 1)-мериых стратов, лежащих в с^о и если для каждого akj с к < d — 1 множество Q, \ crkj связно вблизи Okj

Доказательство этой теоремы довольно сложно. Оно распадается на три этапа. В отличие от классического случая, функцию Грина удается иайти только в стратифицированных шарах с центрами в стратах максимальной и на единицу меньше размерности. Для шаров с центрами в id — 1)-мерных стратах она описывается следующим образом.

Пусть сгф-j,. ,(Tdjm - все страты множества Q, примыкающие к Для удобства предположим, что номера этих стратов идут подряд, начиная с единицы, т.е. j\ = l,.,jm = т. Введем на множестве координаты так следующим образом. Иными словами сначала определяем координаты х1,. ,xd~l на страте Od-n и для каждого сгф- >- (Jd-\i дополняем их еще одной координатой xd. Мы предполагаем также, что добавленная координата обращается в нуль на сга-и и положительна на каждом страте Odj >~ <Jd-u• Кроме того будем считать, что точка X является началом этих координат, т.е. все ее координаты равны нулю.

Пусть далее Y 6 Gdi П 93Г(Х). Мы определим функцию G(Z,Y) с помощью следующих соотношений: Pl + Pl f . Pi- Pi ( * .

Kiz, у) + —о-K(z>2/)> . z G

2pi v 2Pl где £ = (z1,. ,zd), у = (у1,. ,yd) - координаты точки Z и, соответственно У, a z* = (zl,., 2;d1, — zd). Через Pi мы обозначили сумму всех pi (i < m) за исключением р/, а Р = pi + Pi - сумма всех pi. Напомним еще раз, что р - стратифицированная константа, a pi - ее сужение на страт сг^-. Все как обычно, предполагаются положительными числами. Доказывается следующее утверждение.

Теорема 0.0.15 Функция G(Z,Y) является функцией Грина оператора Ар в стратифицированном шаре 53Г{Х).

Явное выражение для ядра Пуассона выглядит следующим образом: P(Z,Y) =

Г Pi + Pi 2pi z - y\~d +

2(r2 ~ N2)

Pudr z* — y\~di

Далее доказывается такое утверждение.

2pi z E adj {j Ф /),

Теорема 0.0.16 Пусть g : ЭЯЗГ(Х) M - непрерывная на dClo функция. Тогда функция и, определенная следующим образом g(Z), Z Е Э»Р(Х), u(Z) = <

J P(Z,Y)g(Y)d^ Ze%r(X) к г>«вгр0 дает решение задачи Дирихле

Ари = О, и д<Вг{Х) 9

Помимо аналога формулы Пуассона для реализации метода Пуанкаре - Перрона требуется неравенство Харнака. Хотя выше было доказано, что решения уравнения Ари = 0 обладают свойством среднего, этого оказывается недостаточно для доказательства неравенства Харнака на стратифицированном множестве. Для этого приходится применять ядро Пуассона. Сферический вариант неравенства Харнака содержится в следующем утверждении.

Лемма 0.0.4 Пусть и - неотрицательная на Qq р-гармоническая функция и Q3r(X) С По- Тогда при р < г и некоторых, не зависящих от и констант С\ и С2 (в доказательстве они выписаны явно), имеем г p)d-2 (г + p)d-2

Ci-,- \ТТи(Х) < u{Z) < С2 MX) для любого Z Е У$Р(Х), удаленного от X на расстояние р.

Приведенных фактов оказывается достаточно для реализации первого этапа метода Пуанкаре - Перрона - проверки равенства Ари = 0. Поскольку рассматривается случай мягкого Лапласиана, это уравнение дает дифференциальные соотношения лишь в стратах размерности не меньшей d — 1. В маломерных стратах из Г2о нужно еще проверить, что функция и непрерывна. Делается это на основе следующей леммы.

Лемма 0.0.5 Пусть {f^o, <9Qo} ~ прочная пара. Тогда для каждого а$ и Uki -< cfdj существует предел lim Tl(Y).

Здесь точка X £ стм фиксирована, а У принадлежит cr<#

В четвертой главе рассматривается одномерный вариант рассматриваемый выше теории. Здесь мы имеем аналог обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка - так называемое уравнение на геометрическом графе. Вопрос о разрешимости задачи Дирихле для такого уравнения решается довольно просто. В разделе 4.1 доказывается такое утверждение.

Теорема 0.0.17 В предположении, что p>a>0uq>0 задача

Lu = А ри — qu = /, и =0 дГ0 однозначно разрешима в С2 (Го) П Со (Г) при любой f € Сст(Го).

Теперь вместо Qo мы пишем Го придерживаясь традиции, принятой в теории уравнений на графах. Одномерные страты называем ребрами, а нульмерные - вершинами.

Далее в этом разделе показывается, что решение упомянутой задачи может быть представлено в интегральном виде и приводятся некоторые свойства этого представления, которые содержатся в следующих утверждениях. В них L"1 - оператор, обращающий оператор L порожденный упомянутой краевой задачей.

Лемма 0.0.6 Оператор L 1 вполне непрерывен, как действующий из С(Г)вС(Г).

Лемма 0.0.7 Ядро оператора L~l отрицательно.

Лемма 0.0.8 Ядро оператора L~l симметрично.

Эти факты позволяют получить стандартный набор свойств спектра оператора — L (положительность и простота первого собственного значения, дискретность и т.п.). В разделе 4.2 эта информация (в особенности информация о кратностях собственных значений) уточняется на основе следующего аналога теоремы Штурма.

Теорема 0.0.18 Пусть и и v - решения дифференциальных уравнений

Ари + qu = О, Apv + Qv = 0.

Если при этом Q(x) > q(x), а и и v линейно независимы в некоторой S-зоне G функции и, то в G имеется перемена знака функции v. Здесь предполагается, что q,Q £ Сст(Го).

Приведем несколько следствий этого утверждения.

Теорема 0.0.19 Пусть задача —Ьи = \и допускает при некотором А решение и, не обращающееся в нуль во внутренних вершинах и циклах графа Г. Тогда Л - простое собственное значение.

Теорема 0.0.20 Пусть задача —Ьи = Хи допускает при некотором Л решение щ, не обраш^ющееся в нуль во внутренних вершинах графа Г. Тогда кратность Л не превосходит N + 1, где N - число циклов в графе Г.

Теорема 0.0.21 Кратность собственных значений задачи —Ьи+\и не превосходит числа M + 2iV— 1, где N, как и выше - количество циклов в Г.

Приведены примеры, в которых все перечисленные оценки достигаются.

В пункте 5.1.1 показывается, что квадрат оператора Ар при определенных условиях описывает (рассматривается случай двумерного стратифицированного множества) малые перемещения в системе стержней и иластии, шарнирно сочлененных между собой. Таким образом, при р = 1 мы имеем точный аналог бигармонического оператора на стратифицированном множестве.

В пункте 5.1.2 доказывается аналог неравенства Пуанкаре с производными второго порядка.

Теорема 0.0.22 Пусть Q является прочным множеством. Тогда существует такая положительная постоянная С, что для всех функций о и (Е H2(Qо) П выполняется неравенство

J (и2 + \Vu\2)dfi < С J \\H(u)\\2dfi.

По Я(П0)

Здесь, как и во всей главе страты предполагаются плоскими. Через Н(и) обозначена матрица Гессе в некоторой фиксированной системе координат на каждом страте. Доказательство этой теоремы проходит по схеме описанной выше с заменой лемм 0.0.2,0.0.3 на следующие две леммы.

Лемма 0.0.9 Пусть (Jk-u -< &kj- Тогда существует такая постоянная

С, что для всех и 6 Н2(аkj) выполняется неравенство \ J (и2 + \Vu\2)dfi < С J u2dpi + J \\H(u)\\2dp, о к-li \°kj СГк] У

Лемма 0.0.10 В условиях предыдущей леммы выполняется следующее неравенство

J (и2 + \Vu\2)dpi <С J U2dpi + J \\Н(и)\\

Pkj y^fc-li Okj

Далее эти результаты применяются к разрешимости краевой задачи (уравнение теперь задаем на каждом страте по отдельности) pkiA2uki + Wjfe+ijtfjfc+ij+

Pk+2l{l-vk+2,)-7fo ( i 1 ■ ^/Ti . л» ' du

Gki<<yk+\j^<Jk+2l

Oki fki Ha

MkiUki = 0 Ha d(7ki, и = 0 на dQo. о в пространстве H2(Qо) П (П).

Здесь граничные операторы Мк( и Nki на каждом страте определяются следующим образом:

Mkiu = pki(vkiAu + (l - Vki)*^),

ЛТ . ,дАи . . ди

NkiU = Pki{-j^~ + (l - vki)AT-r^.

Теорема 0.0.23 Пусть - прочное стратифицированное множество с плоскими стратами. Тогда существует такая константа С, что выполняется неравенство j\u\2dy.<C J \\e{u)fdi2 fto tf(fto о для всех и 6 Н*(По)

Здесь б (it) - тензор деформаций (при механической интерпретации этого неравенства). Фактически - это набор тензоров деформаций отдельных стратов.

Лемма 0.0.11 Пусть Gk-u ■< &kj- Тогда существует такая константа, что для всех функций и Е Hl{cFkj)k имеет место неравенство

J \u\2dfi < С J \u\2d{i + J ||6(u)||2d/J

Cfc-li kj CTkj

Лемма 0.0.12 В условиях предыдущей леммы имеет место неравенство N

J \u\2d[i < С J \ut\2d{i + J ||б(«)||2ф fffc-l i 17 kj J где щ - проекция и на (Jk-ii, т.е. щ = и — (w fkj)vkj на (Jk-u

В заключительной части изучается начальная часть спектра частот собственных колебаний периодической сетки из струн при специальных условиях их сочленения. Показывается, что при достаточно малых размерах ячейки периодичности указанная часть спектра близка к спектру пластины.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Пенкин, Олег Михайлович, Санкт-Петербург

1. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В.Л., О нелинейной краевой задаче на графе, Дифференц. уравн., 1998, Т.34, N«5, С.629-637

2. Пенкин О.М., Богатов Е.М., Кашкаров Ю.М., О разрешимости эллиптических краевых задач на стратифицированных множествах, Дифференц. уравн., 1998, Т.34, №9, С. 1289-1290

3. Каменский М.И., Пеикин О.М., Покорный Ю.В., О полугруппе в задаче диффузии па пространственной сети, ДАН, 1999, Т.368, №2, С.157-159

4. Комаров А.В., Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О спектре равномерной сетки из струн, Известия ВУЗов. Математика, 2000, , №4, С.23-27

5. Боровских А.В., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В., Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети, ДАН, 1995, Т.52, №2, С.433-435

6. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, М.: Мир, 1966

7. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О краевой задаче на графе, Дифференц. уравн., 1988, Т.24, №4, С.701-703

8. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Теоремы Штурма для уравнений на графах, ДАН СССР, 1989, Т.309, Ж, С. 1306-1308

9. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., О теоремах сравнения для уравнений на графах, Дифференц. уравнения, 1989, Т.25, №7, С.1141—1150

10. Завгородний М.Г., Покорный Ю.В., О спектре краевых задач второго порядка на пространственных сетях, Успехи матем. наук, 1989, 44, 4, С.220-221

11. Завгородний М.Г., Пенкин О.М., Об оценках кратностей собственных значений, школа: Современные методы в теории краевых задач, 1992, тез. докладов, Воронеж, ВГУ, С.46

12. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе, Известия ВУЗов, 1996, Математика, Ml, С.57-64

13. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе, Матем. заметки, 1996, Т.64, №5, С.777-780

14. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О дифференциальных неравенствах на многообразиях гибридного типа, УМН, 1998, Т.53, вып.4(322), С.135

15. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О дифференциальных неравенствах для эллиптических операторов на сложных многообразиях, ДАН, 1998, Т.360, №, С.456-458

16. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., О несовместных неравенствах для эллиптических операторов на стратифицированных множествах, Дифференц. уравн., 1998, Т.34, №8, С.1107-1113

17. Пенкин О.М., Богатов Е.М., О слабой разрешимости задачи Дирихле на стратифицированных множествах, Матем. заметки, 2000, Т.68, №6, С.874-886

18. Гаврилов А.А., Пенкин О.М., Аналог леммы о нормальной производной для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве, Дифференц. уравн., 2000, Т.36, №2, С.226-232

19. Куляба В.В., Пенкин О.М., Неравенство Пуанкаре на стратифицированных множествах, ДАН, 2002, Т.386, №4, С.453-456

20. Курант Р., Гильберт Д., Методы математической физики. Т.1, М.: ГТТИ, 1951

21. Яно К., Бохнер С., Кривизна и числа Бетти, М.: ИЛ, 1957

22. Ахиезер Н.И., Глазман И.М., Теория линейных операторов в Гильбертовом пространстве, М.:Наука, 1966

23. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Теория упругости (Теоретическая физика. Т. VII), М.:Наука, 1973

24. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Геометрические методы нелинейного анализа, М.: Наука, 1975

25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Наука, 1989

26. Гилбарг Д., Трудингер Н., Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.:Наука, 1989

27. Олейник О.А., О свойствах решений некоторых краевых задач для уравнений эллиптического типа, Матем. сб. (н. сер.), 1952, 30, 3, 695-702

28. Трикоми Ф., Дифференциальные уравнения, М.: ИЛ, 1962

29. Красносельский М.А., Полоэ/сительные решения операторных уравнений, М.: Гостехиздат, 1962

30. Наймарк М.А., Линейные дифференциальные операторы, М.:Наука, 1969

31. Фикера Г., Теоремы существования в теории упругости, М.: Мир, 1974

32. Михлин С.Г., Линейные уравнения в частных производных, М.: Высшая школа, 1977

33. Доннелл JI.Г., Балки, пластины, оболочки, М.: Наука, 1982

34. Фридман А., Вариационные принципы и задачи со свободными границами, М.: Наука, 1990

35. Биргер И.А., Стерэ/сни, пластинки, оболочки., М.гФизматлит, 1992

36. Сьярле, Ф., Математическая теория упругости, М.: Мир, 1992

37. Жиков В.В., Связность и усреднение. Примеры фрактальной проводимости, Матем. сб., 1996, Т.187, №8, С.3-40

38. Пенкин О.М., О принципе максимума для эллиптического уравнения па двумерном клеточном комплексе, ДАН, 1997, Т.352, №4, С.462-465

39. Пенкин О.М., О слабом принципе максимума для эллиптического уравнения на двумерном клеточном комплексе, Дифференц. уравн.,1997, Т.ЗЗ, №10, С.1404-1409

40. Пенкин О.М., О принципе максимума для эллиптического уравнения на стратифицированном множестве, Дифференц. уравн.,1998, Т.34, №10, С.1433-1434

41. Пенкин О.М., Качественные свойства решений эллиптических неравенств на стратифицированных множествах, Дифференц. уравн., 1999, Т.35, №11, С.1573-1574

42. Пенкин О.М., Метод Перрона для задачи Дирихле на клеточном комплексе, Дифференц. уравн., 2001, Т.37, №11, С.1580

43. Жиков В.В., Усреднение задач теории упругости на сингулярных структурах, Известия РАН., 2002, Т.66, №2, С.81-148

44. Agarval R.P., Pang P.Y.H., Opial inequalities with applications in differential and difference equations, Kluwer Academic Publishers, 1995

45. Below J. von, A characteristic equation associated to an eigenvalue problem on c2-networks, Linear Algebra and appl., 1985, 71, 309-325

46. Dekoninck В., Nicaise S., The eigenvalue problem for networks of beams, Linear Algebra and its Applications, 2000, T.314, C. 165-189

47. F Ali Mehmeti, Nonlinear waves in networks, Mathematical Research, 80, Academie Verlag, Berlin, 1994

48. Friedman A., Partial differential equations, Holt, Rinehart and Winston, Inc., 1969

49. Gobert J., Une inegalite fondamentale de la theorie de I'elasticite, Bull. Soc. Royale des Sciences de Liege, 3-4

50. Grisvard P., Elliptic Problems in Nonsrnooth Domains, Pitman, Boston-London-Melbourne, 1985

51. J. von Below, Sturm-liouville eigenvalue problems on networks, Math. Meth. Appl. Sci., 1988, 10, 383-395

52. John F., Partial differential equations, Springer-Verlag, 1986

53. Kuttler JR, Finite difference approximations for eigenvalues of uniformly elliptic operators, SIAM J. Numer. Anal., 1970, 7, 206-232

54. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G., Modeling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures, Birkh

55. Lubary J.A., On the geometric and algebraic multiplicities for eigenvalue problems on graphs, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, 2001, 219, 135-146

56. Nicaise, S., Polygonal interface problems for the biharmonic operator, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 1994, 17, 21-39

57. Nicaise S., Polygonal interface problems, Peter Lang Verlag, 1993

58. Nicaise S., Penkin O., Relationship between the lower frequence spectrum of plates and networks of beams, Math. Meth. Appl. Sci., 2000, 23, 13891399

59. Nicaise S., Sandig A.M., General interface problems i-ii, Mathematical Methods in the Applied Sciences, 1994, 17, 394-429, 431-450

60. Nicaise S., Sandig A.M., Transmission problems for the laplace and elasticity operators: Regularity and boundary integral formulation, Mathematical Model and Methods in Applied Sciences, 1999, 9, 855898

61. Opial Z., Sur une inegalite, Ann. Polon. Math, 1960, , 8, 61-63

62. Pazy A., Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, 1983

63. Penkin O.M., About a geometrical approach to multistructures and some qualitative properties of solutions, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, 2001, 219, 183-191

64. Pham F., Introduction a I'etude topologique des singularites de Landau, Gauthier-Villars Editeur, Paris, 1967