О разрешимости уравнений на стратифицированных множествах с жестким оператором Лапласа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Семенов Сергей Леонидович

О разрешимости уравнений на стратифицированных множествах с жестким оператором Лапласа

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 4 МАЙ 2012

/

ВОРОНЕЖ - 2012

005044637

005044637

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой функционального анализа и операторных уравнений Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович, Белгородский государственный университет профессор кафедры математического анализа

доктор физико-математических наук, профессор Костин Владимир Алексеевич, Воронежский государственный университет зав. кафедры математического моделирования

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Защита состоится 19 июня 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д.212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл.1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " мая 2012 г Ученый секретарь

диссертационного совета Д.212.038.22 доктор физ.-мат. наук, профессор

Гликлнх Ю.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Моделирование статических и динамических провесов в сложных физических системах часто сводится к исследованию урав-еннй на стратифицированных множествах (связных объединениях многооб->азий — стратов различной размерности). Например, задача о малых перемещениях механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел ли задача о диффузии в слоистой среде. С другой стороны теория диффе-іенцнальньїх уравнений на стратифицированных множествах позволяет пригонять общие методы к различным задачам классической теории дифферен-;иальных уравнений. В частности классические краевые задачи Неймана и іеитцедя для уравнения Лапласа не различимы с точки зрения теории урав-[сний на стратифицированных множествах.

Теория дифференциальных уравнений иа стратифицированных множествах ; настоящий момент активно разрабатывается. Для частных случаев одно-горных стратифицированных множеств - графов, построение такой теории едется с начала 80-х годов прошлого столетия. Задача о диффузии в систе-іе каналов исследована Люмером Г. Уравнения Пуассона для лапласиана на еометрических графах изучались Покорным Ю.В., а также Никсзом С., епек-ральные н полугрупновые свойства лапласиана на графе исследовались Ка-іенскнм М.И. Волновые процессы и уравнения четвертого порядка на графах ізучались Боровских А.В. В настоящее время исследования дифференциаль-[ых уравнений на стратифицированных множествах в общем виде активно іроводятся Пенкиным О.М., Никезом С.

Существенной особенностью теории дифференциальных уравнений на стра-'ифицироваиных множествах является то, что для существования решений 'равнений, помимо наложения ограничений на гладкость коэффициентов, вхо-(ящих в уравнение, необходимо вводить ограничения иа структуру стратифи-щрованного множества. Доказано, что для существования слабого решения адачн Пуассона для лапласиана нужно накладывать на множество стратов 'словие прочности, которое означает, что для каждого страта существует цепочка из стратов соединяющая его с границей стратифицированного множества, причем размерности соседних стратов цепочки отличаются не больше чем на 1, и сама цепочка содержит только один страт принадлежащий границе стратифицированного множества. При выполнении условия прочности еще одним важным результатом является то, что расширение по Фридрих-су лапласиана (понимаемого в слабом смысле) является сильно позитивным

производящим оператором сильно непрерывной полугруппы операторов в L2 Прямым следствием последнего является разрешимость уравнения теплоцрс водности на прочных стратифицированных множествах в слабом смысле.

Роль условий типа условия прочности в задачах диффузии на множества: со сложной геометрией (вплоть до фрактальной), по-видимому, впервые был отмечена Жнковым В.В. В то же время условие прочности является недоста точным для существования классического решения. В связи с задачей о разре шимости в классическом смысле были введены понятия «жесткого»и «мягке го »лапласиана. «Мягкий»лапласпан представляет собой несколько упрощен ный оператор в том смысле, что обнуляются дифференциальные соотношепи: содержащие производные на стратах размерности меньшей, чем размерност: самого множества (иод размерностью множества понимается максимальна: размерность входящих в него стратов). В настоящий момент доказано суще ствовапие классического решения для «мягкого»лапласиана, при выполненш более строгого ограничения на структуру множества. А именно, классическая разрешимость обеспечивается на стратифицированном множестве, у котороп достаточно малая окрестность любого страта, размерность которого меньше н; 2 или более максимальной размерности стратов множества, остается связной, если из этой окрестности изъять сам этот страт.

Задача о существовании классического решения дифференциальных урав нений с «жестким»лапласианом на стратифицированных множествах в настоящий момент не решена. Пепкнным О.М. формулировались в качестве гипотезы дополнительные ограничения накладываемые на стратифицированное множество, достаточные для обеспечения существования классического решения для эллиптических уравнений: каждый страт можно соединить с любым другим прочной цепочкой. Предложенный подход при доказательстве классической разрешимости для «мягкого»лапласиана основан на модификации классического метода Перрона и, для переноса его на случай «жесткого»лапласиана, требуется существование классического решения в стратифицированном шаре для «жесткого» лапласиана. Последнее для произвольного стратифицированного шара является нетривиальной задачей, которая в настоящий момент не решена. Частным случаем довольно тривиального стратифицированного множества, состоящего из области и его границы, является задача Вентцеля для оператора Лапласа, классическая разрешимость которой установлена В. В. Лукьяновым и А. И. Назаровым, причем граница множества предполагается гладкой, что является существенным ограничением, поскольку в случае стратифицированных множеств граница страта в виде ломанной линии возникает естественным образом, например, в случае моделирования системы струн

и мембран.

Таким образом дифференциальные уравнения на стратнфнцированныхмио-кествах образуют новый развивающийся раздел уравнений математической физики п задачи о доказательстве существования решений в классическом смысле для дифференциальных уравнений содержащих «жесткнй»лаиласиан являются безусловно актуальными.

Цель работы: найти достаточные условия па структуру стратифицированного множества обеспечивающие существование и единственность решепня в классическом смысле задачи Пуассона на двумерных стратифицированных множествах для уравнений Лапласа и теплопроводности.

Методы исследования. При исследовании применялись теория потенциалов, общие методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и методы функционального анализа в пространствах с топологией заданной системой полунорм.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

• Теорема о существовании и единственности решения в классическом смысле задачи Пуассона для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.

• Неравенства коэрцитивности для задачи Пуассона для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами.

• Теорема о существовании и единственности решения в классическом смысле задачи Пуассона для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множестве с плоскими стратами .

• Неравенства коэрцитивности для задачи Пуассона для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множество с плоскими стратами.

Практическая ценность работы.Работа носит теоретический характер. Полученные в данной работе результаты могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах. Так же они могут быть использованы в задачах качественного описания процессов в системах составленных из струн и мембран при малых механических перемещениях пли процессов теплообмена.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на

• Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы», Воронеж, 2011.

• Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач», Воронеж, 2011.

• IV Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования», Воронеж 2011.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научных работы, в том числе одна опубликована в журнале из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Все публикации выполнены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 7 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащим 40 источников. Общий объем диссертации - 103 страницы.

Содержание работы

Первая глава состоит из 3 параграфов. В первом параграфе даны общие обозначения и определения. Во втором параграфе сформулированы необходимые известные факты и определения теории дифференциальных уравнений на стратифицированных множествах.

Пусть Q С Rn nflcil и даны E(Q) и F(D) - банаховы пространства функций, действующих из Q в R1 п из D в R1 соответственно. Тогда пересечением пространств E(Q) и F{D) назовем E(ii)i)F(D) = {ф:ф£ Е(П), ф\в е F(D)} с топологией, образованной конечными пересечениями шаров из F(D) и из E(Q) соответственно.

Пусть Г - компактное множество в Rn. Пространство Со(Г) определяется как пространство непрерывных на Г функций, обращающихся в ноль на ОГ -границе множества Г.

Пространство СА(Г) определяется как пространство непрерывных по Гель-деру функций, с нормой ||Л |о(г) = niax/(x) + sup 1У>|.

Пространство Cx+l'(PxQ) определяется как пространство непрерывных по Гельдеру функций, с нормой \\f{x, 2/)||с*(Г) = max/(ж) +

I „„„ Щхьу)-/(х2,у)\ |/(x-.yi)-/(x.i/2)l

+ S Р Ь-хЛ* ^ Р 11/,-1/И"

Пространство (_p

xQ) определяется как пространство непрерывных ПО Гельдеру функций, С нормой ||/|| = Е \\ЩА\C(PxQ) +

+ Е mf\\c^(PxQ)+ Е ПОД C(P,Q)+ Е WmfWc^iP.QY

|а|=п |а|<т |а|=т

Пространство //(Г) - пространство суммируемых со стенеиью р на Г функций с нормой ^/ \}{х)\1'(1х

Под Сг и 6'г понимаются соответственно операторы порожденные функциями Грнна для задач Пуассона н Дирихле на множестве Г.

Стратифицированным множеством называется подмножество пространно) п(к)

ства Л.'', представленное в виде объединения ^ = и ( 0 ~ конечного чпс-

*=о з=1

ла многообразий без края (стратов) а^ - подмногообразий пространства К4*. В обозначении сг/0 первый индекс показывает размерность страта, а второй - его номер при автономной нумерации стратов данной размерности к. Будем писать и у >- ац, если к > I и и и С Зсгу. Здесь <9ст;у означает границу страта су в упомянутой выше топологии, легко видеть, что она равна разности а^ \ оц. Черта над буквой, как всегда, означает замыкание.

Границей дП стратифицированного множества будем называть некоторое фиксированное множество стратов а^, что У Стц = и а^.

г; у'

Внутренностью гпііі стратифицированного множества будем называть множество О \ дії.

Лапласиан на стратифицированном множестве 0 определяется подобно тому, как н в классическом случае - дивергенция градиента скалярной функции: ¿\ри{х)=У{рЧи){х) = ^^{х)- £ х Є где Д„,(„_і)

является классическим (п — 1)-мерным лапласианом, и р Є С„(0). Причем р может терпеть разрывы при переходе со страта на страт.

В случае р > 0 на всем стратифицированном множестве оператор называется жестким оператором Лапласа. В случае р > 0 на стратах старшей размерности и р = 0 на всех остальных оператор Др называется мягким оператором Лапласа. Если р = 1, оператор Лапласа обозначается Д.

В третьем параграфе приведена постановка задачи о существовании решения в классическом смысле для задачи Пуассона на стратифицированном множестве для жесткого оператора Лапласа и начально-краевой задачи для оператора теплопроводности, содержащего жесткий оператор Лапласа.

Пусть П - стратифицированное множество, все страты которого плоские и их размерности не превосходят двух, граница дО. непуста и 0 < А < 1.

Задача Пуассона для оператора Лапласа: для любых функций і7, и 'ф, что Р Є СА(Г2), ір Є С (дії), доказать существование функции II, непрерывной на

fi, удовлетворяющей поточечно равенствам

AU{x) = F{x), х е int Q, U\xe0n = ф. (1)

Здесь все производные понимаются в обычном смысле.

Уравнение для оператора теплопроводности: для любых функций F, ф и ф, что F € СА(П) х (0,Т], ф е С(дП х [О,Т}), ф е C(Si), ф(х,0) = ф(х), при х € dQ, доказать существование функции U, непрерывной на Г2 х [0, Т], удовлетворяющей поточечно равенствам

t) - AU(x, t) = F(x, t), x € intQ, t e (0, T], £/|i=0 = ^ =

В обеих задачах иод А понимается «жесткий»оператор Лапласа по пространственным переменным с р = 1.

Вторая глава посвящена задаче Пуассона па стратифицированном множестве для жесткого оператора Лапласа. В первом параграфе излагаются необходимые факты теории потенциалов. Приводятся обобщения потенциалов двойного слоя на случай кусочно плоской поверхности Г и теоремы о скачках прямого значения потенциала двойного слоя, определенного па кусочно плоской поверхности и теоремы об обратимости операторов

———+ Wp — /, при п > 2, Wp = —7гр + Wp, при п = 2,

где W - потенциал двойного слоя, а черта сверху W обозначает, что взято прямое значение в точке поверхности Г, шп - площадь поверхности п-мерной сферы единичного радиуса.

Далее вводятся специальные пространства Ек+х(Г) и £,д+А(Г), топология которых определяется системой норм.

Пусть дано замкнутое множество Г G R" п > 0 , причем дТ - кусочно гладкая поверхность, Л С дГ и даны последовательности открытых множеств {A}£i 11 {А'Шт- где OD; - гладкая поверхность, Д С Ö2 С ft... С Г

ос

и (J Di = Г, 0 < Л < 1, к € N, dBj - гладкая п — 1-мерная поверхность, Biс В2 С Дз ■ • ■ С Г, дД-ПЛ = 0, dBiildV ф 0, дВхПдГ С В2 ПдГ С... С дГ

_ ос

и ЭГ \ Л = \J(dBi П ЗГ). Тогда определим пространство £,Г+Л(Г) = {ф : ф е i

С(Г), ф 6 Ck+x(Di) i = 1,2,3...} с топологией заданной системой норм ро{ф) = 11011с(г). рлф) = 1|с(+А(£>,) i = 1,2,3... ,

н пространство Ек+Х'т+Х'(Г, Л) = {ф : ф є Е2+х(Г),ф є С1+Х'{В{) і = 1,2,3...} с топологией, заданной системой норм:

Ро(ф) = \\Ф\\с(Г), Рі(Ф) = + II011 <;"»+*'№) ¿ = 1,2,3... .

Пространства Е^+Х(Г) н я£+А'га+А'(Г,Л) определяется как Е^Л(Г) = {ф : ф є Со(Г),0 є £*+А(Г)} и ^+А'т+л'(Г,Л) = {ф:фе С0(Г),ф є Ек+х(Г, Л)}'.

Доказывается основная теорема о непрерывности нормальных производных оператора, порождаемым функцией Грина задачи Дирихле, для классического оператора Лапласа.

Теорема 1. Пусть О область в Я? с кусочно плоской границей, Г — отрезок, Г С дії, V — нормаль к Г, Сц — функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Тогда оператор ^Сп действует непрерывно из £о+л(Г) в ЦГ). Пусть О С Г, тогда оператор ¡^Сп действует непрерывно ■аз £^+л(Г) в Сх'(0), где 0 < А' < А < 1.

Во втором параграфе рассматривается уравнение с жестким оператором Лапласа па стратифицированном множестве. Все утверждения главы доказываются для двумерных стратифицированных множеств О с плоскими стратами, удовлетворяют следующим требованиям:

• любые два страта могут быть соеденеиы прочной цепочкой стратов;

• для каждого страта аг] выполняется условие: если найдется страт <7,+1т, что Су -< і,т> то д&і+іі)П является замкнутой поверхностью ограничивающей сгг+і.т, в то время, как <9<Х;+іт \ оц замкнутой поверхностью не является. Данную поверхность, ограничивающую стг-+і,„і, будем обозначать Р(а^,аі+ігт).

Для описания решений уравнений на стратифицированных множествах вводятся специальные функциональные пространства. Пусть О - стратифицированное множество, 0<А< 1, 0 < А' < 1, /с Є N. Тогда определим пространства дЩ = {ф:фе С(П), ф Є £2+А(сгц), Ф Є С\оц) ф є Е2+х'1+х'(а2і,дПпдау)}, Ек+х(П) = {ф : ф Є С(П),фЄ С\а1})ф Є Ек+х{Щ)} и С,А(П) = {ф : ф Є С(оц)}. Доказывается теорема, позволяющая строить продолжение функции, определенной только на одном страте, на все стратифицированное множество. Доопределенная таким образом функция будет обозначаться чертой сверху.

Теорема 2. Пусть стратифицированное множество, Г - его некоторый страт иф Є Со(Г). Тогда существует продолжение ф на все П представшее

на каждом страте сгіт в виде GabnAim<p, где Gaim - функция Грина для задачи Пуассона на страте а\т и А[т такова, что

• нулевой оператор, если <т/„, <т.у

• действует непрерывно из Со(Г) в С{даі,п) и из £'^1+Аі(Г) в Еп+Хі(доіт), п Є N и 0 < Л'х < Ai < 1, если cry -< сп„,

Далее производится замена дифференциального уравнения

ЛВД = F{x), х Є int Ü, U\iem = ф (3)

на операторное уравнение. Обозначив функцию из 2?ц+Л(<7у-) при г < 1 и £02+АЛ+А (jj2j,dQ), решение задачи (3) ищется в виде суммы продолжений Uj.j на Q. Подстановка U = ^2 Uij в (3) даст следующие операторные уравнения:

«л

Ui.m +

у] / —U¡j{y)dy = F(x),x 6 aim, aim € дП,

k-o¡m-«yl+i,k i-J a¡m ^

Ulm + UiÁX) = ФЬп{х),Х € alm, Olm G Ш,

ГДе Фит G C0(álm) н сумма всех продолжений на страт a¡m равна ф\хеа1т-Установлена непрерывность и корректность осуществленных преобразований и доказаны теоремы о корректности замены задачи (3) на (4) и о существовании только тривиального решения однородной задачи (4). Кроме того доказана вспомогательная лемма об разрешимости операторных уравнений вида (I + A)f = cj в пространствах с счетной системой норм.

Теорема 3. Пусть дано замкнутое множество Q с R" и замкнутые мно-

эс

жества Di такие что Di С Д> С ... С Í2 и (J D¡ = íi. Пусть Е(П) и

г=i

Í' (D¡) — банаховы пространства функций, действующих из Í1 в R1 и из Di

оо

в R1 соответственно, пространство E(íl) Р| ("| F(Di) - полное и его топо-

¿=1

логия задана такой системой норм, что выполнены следующие неравенства: II ■ llí'(Q) > М\| • ||Е(П), || • ||F(0i) < Д/2|| • < ... < МП • ||т) < ..., где нормы ¡| • ¡|f(Dí) применяются к сужениям функций на Di- Если опера-

ос ОС

тор А действует из Е(й) П П F(D¡) в E(Q) Q f| F(D.¿) непрерывно, опе-

г=1 г=1

раторное уравнение (I + А)гр — 0 имеет только тривиальное решение и

для всякого і существуют такие числа ki > і, Ni < l, Ni < и операторы Li и Ві, что Ах = Ьгх + В,х, \\Ьгх\\Е(П)пР)1,{1)^ ^ ^IMI^nF,.^),

00

Н-^Ня^тд^) Оля всякого х Є E(iî)f\ f| F{Di) и onepa-

г=1

ос

тор Ві компактно действует из пополнения пространства E(Q) f~] Р) F(Di)

г= 1

по норме II • ||£(n)nFi(£V) в пространство E(Q) р| F(Di), тогда оператор I+ А

ос

непрерывно обратим в E(Q.) р| f~| F(Di)

і=і

В конце параграфа доказывается основное утверждение этой главы о классической разрешимости задачи Пуассона для жесткого оператора Лапласа и оценки коэрцитивности.

Теорема 4. Пусть дано стратифицированное множество ÇI с непустой границей, удовлетворяющее следующим условиям:

• все страты плоские и размерность каждого не превосходит 2;

• любые два страта могут быть соединены прочной цепочкой стратов;

• если страт а\т такой, что <тц -< a^mi тогда да^п является замкнутой кривой содержащей aij, а доъп \o\j замкнутой кривой не является.

Тогда задача Пуассона для жесткого оператора Лапласа

AU(x) = /(г), х є intQ, U\xeKl = ф, (5)

где 0 < A < 1, / Є СЛ(П), у; Є С {(Kl) разрешима единственньш образом в классе функций Е2+Х'1+Х QQ) ц решение представляется в виде U =

Y^Uij, где Uij Є Cl{âij) П E%+x(Wij) для і < і и Е1+хл+х(ац,дП) для і =

i-j

2. если (Tij # дії и Uj,j Є Co{âij), если aij Є дії. Функции U,.j являются решением следующего операторного уравнения

k-.<juk«jlm i.j aim

Ul,m{x) + Uij(x) = Ф(х)>х Є °lm, Vim Є дії,

и для решения U имеет место оценка норм

\\и\\С(п) ^ М\\ф\\ст) + iV||/||C(fi), ||î/||c2+a(d^) < Мк\\Ф\\с(Ш) + Nbïïfïïcw,

\\и\\с^(в^) < Мк\\ф\\ст + ^||/||сл(п),

где множества О]'^ с <Ту и В^ С ощ взяты из определений пространств и Е2+х++х(Щ,дП).

Третья глава посвящена задаче Пуассона на стратифицированном множестве для оператора теплопроводности, содержащим жесткий оператор Лапласа. В этой главе рассуждения примененные к уравнению с жестким оператором Лапласа переносятся на уравнение теплопроводности. В нервом параграфе излагаются необходимые факты теории тепловых потенциалов. Приводятся обобщения потенциалов двойного слоя на случай кусочно плоской поверхности Г, теоремы о скачках прямого значения потенциала двойного слоя, определенного на кусочно плоской поверхности и теоремы об обратимости оператора IV/> = — \р + XV р, где IV обозначает тепловой потенциал двойного слоя и черта сверху И' означает, что взято прямое значение в точке поверхности Г.

Далее вводится ряд функциональных пространств, имеющих, однако, более сложную топологию, чем их аналоги для уравнения Лапласа. Пусть даны множества: отрезок [0,Т] £ Я1, Г 6 й" а > О , причем 9Г - кусочно гладкая поверхность. Для Г дана последовательность открытых множеств что

ос

<9Д, - гладкая поверхность, П\ С В> С Д>... С Г и и Д = Г , 0 < А < 1,

(=1

О < Л' < 1, к € N. И дана числовая положительная монотонно убывающая последовательность {а«}.^, сходящаяся к нулю, а,- < Т. Тогда определяется пространство Ек+х*+^т+х*+11'{Т х [О,Т]) = {ф : ф е С(Г х [0,Т]),ф 6 СН-Ах+^.т+л^+^д х [аг,Т]) г = 1,2,3...} с топологией, заданной системой норм: ро(ф) = |\Ф\|с(Гх[0,!Г])5 Рг(Ф) = ||^||с»+А1+„„т+^+д4(Ах(аьТ|).

В случае, когда Г является одноточечным множеством, будем считать, что

Ек+х^+^т+Кч-,^ х [0;Г]) = (-)ст+11'[сц,Т]С\С[0,Т}.

г

Функциональное пространство [О, Т]) определяется еле-

дующим образом: х [о т]) = {ф . ^^^ = 0)(^=о =

О,фе Ек+X [О,Г])}.

Вводится пространство функций, имеющих непрерывные производные в каждой точке Г, за исключением заранее определенного подмножества <ЭГ. Пусть дано замкнутое множество Г € Л", п > 0, причем <9Г - кусочно гладкая замкнутая (п — 1)-мерпая поверхность, кусочно гладкая поверхность Л С дГ и дана последовательность замкнутых множеств {А}^, что - гладкая (п - 1)-мериая поверхность, В1 С В2 С В3 ... с Г,дВг П Л = 0, дВ; ПдГ 0,

дВг П <ЭГ с Во П дГ С ... С с?Г и <9Г\Л = 0(^1 П дГ), 0 < Л < 1, 0 < Л' < 1,

О < А" < 1. И дана числовая положительная монотонно убывающая последовательность {а,}^, сходящаяся к нулю последовательность, а, < Т. Тогда определяется пространство Ек+Ьх+м^+Хм+К+р" (г х [0,Т],Л) = {ф : ф е х [О,Т]),0 е х [т,Т]) г = 1,2,3...} с тополо-

гией, заданной системой норм

Ро(Ф) = ||<А||с(Гх[0,Г1),Рг(^) = ||^Нс*+*х+"<-'»+*2+<'1'(/)|х[а,.Т1) + И^Ис,+*1-°(В1х[а,.Т1)-

Пространство {г х [0>Т])Л) = {ф . ¿|№9Гх[0Г) =

О,ф\ь=о = 0,£*+А*+'''<п+А>1+А"+'1"(Г х [0,Т],Л)}.

Далее доказывается ряд лемм и промежуточных теорем о непрерывности операторов Ш и (~\р + И7/?) , главным следствием которых является теорема:

Теорема 5. Пусть П - кусочно плоская кривая в В?; ограничивающая; область Ф и дан Г - отрезок Г С Я, | обозначает производную взятую по нормали к Г. Пусть {а;} последовательность монотонно сходящаяся к нулю, О < аг- < Т. Тогда оператор йг^Сар действует непрерывно из пространства

ПСЫ(Г х [аиТ]) Л £02+а"1+а*(Г х [0,Т]) в д+^1+А'(Г х [О,Т\), и из

г

ПС1Д(Г X [аит\) П £2+л,д+л^г х в х [0)Т|); где 0 < А < 1,

г

0< А' < 1, и для всякого р е ПС1Д(Гх[аг,Т])пЕо+Аа:'1+А1(Гх[0,Г]) выполнена

г

оценка ||сг|;Спр||с1,у1(С(Гх[о:г]) < |И|с(Пх[од]) " оператор вт^в^р имеет продолжение до оператора, непрерывно действующего из х [О, Т])

вС^'(Гх [О,Т]).

Во втором параграфе рассматривается начально-краевая задача для оператора теплопроводности с жестким оператором Лапласа па стратифицированном множестве. Все утверждения главы доказываются для двумерных стратифицированных множеств О с плоскими стратами, удовлетворяющим следующим требованиям:

• любые два страта могут быть соедеиены прочной цепочкой стратов;

• для каждого страта а^ выполняется условие: если найдется страт

что «ту -< <Уг+1,т, то дггц1,т является замкнутой поверхностью, ограничивающей сгг+11ТП, в то время как 5сгг+1 т \ ау замкнутой поверхностью не является.

Пусть il - стратифицированное множество и 0 < Л < 1. Тогда определяются следующие функциональные пространства:

FXV-"(Q х [0,Tj,öfi) = {ф : ф Є С(П х [0,Т}),ф_Є х

[О,Т]),0 е Е2+Ъ+шл+хл+ъ+^щ. х [0,Г],и<тци(аПП0<7у)),

фЄ П Cl<l{akj х [аьТ])};

= : 0 Є FA'A''''(fix[0,Г], да)<$|(х,г)Єагх[о.т] = O,0|t=o = 0}; Ca(Q x [0,T]) = {ф : ф Є СЛ(<т« х [0,Т])}; C0(Q х [О, Т]) = {</>: ф є С(П х [О,Т]),0|хєОП = 0}.

Далее строится специальная процедура продолжения функции, определенной на a-ij х [0, Г], на множество Q х [0, Т].

Теорема 6. Пусть дано двумерное стратифицированное множество fi, некоторый страт Г и ф Є Со(Г х [0,Т]). Тогда существует продление ф на все S7 х [0,Т], представимое на каждом множестве оіт х [0,Т] в виде СаітАі,тф, где Аі,ш:

• нулевой оператор, если dimT > I или Г П oim = 0;

• оператор, продолжающий нулем функцию на дсцт, если aim >- Г;

• оператор, действующий непрерывно из пространства f~) С1 Л(Гх[а,-,Т])Л

£2+а,+/і„і+Ах+м1(Г х [0, Т]) в nC^-^ff/m х [а«,Т]) Г\ E2+x*+»l'1+x*+^(alm х

_ І

[0,Т]) , если Г П <7;,„ + 0 и aim / Г.

С учетом последней теоремы начально-краевая задача д

t) - AxU(x, t) = F(x, t), х є int Q x (0, T],

^1хЄШх(0,Г] = U\t=0,xSQ — V

может быть заменена на операторное уравнение. Пусть Uij функции из пространства Е~+Кл+х'(<Уц х [0,Т]) при і и Eo+A"1+Ä''1+Al(ä2j х [0,T],5Q). Решение задачи (6) ищется в виде суммы Ui.j на П. Подстановка их в (6) дает следующие соотношения:

Ui.m+ Y. = GaimF{x,t), х є <т(т> <rlm <£ 8fi; k'.trim^ai+i.k i-j

Ulm + — фцп{х), X Є äim, CTIm Є Ш;

(І.ШЬп)

ZUij(x, 0) = 0, ij

где £ Co(aim) и сумма всех продолжений фу на страт сг;т равна ф\хеа1т. Далее доказывается, что замена дифференциальных уравнений на задачу (7) корректна, и, что однородная задача (7) имеет только тривиальное решение. В конце главы формулируется теорема, в которой доказываются разрешимость уравнения (б) в классическом смысле и оценки коэрцитивности.

Теорема 7. Пусть дано ст]мтпифицированное множество П с непустой границей удовлетворяющее следующим условиям:

• все страты плоские и размерность каждого не превосходит 2;

• любые два страта могут быть соеденены прочной цепочкой стратов;

• если страт 0\т такой, что а у -< <y<im> тогда до2т является замкнутой кривой, содержащей a\j, а кривая до2т \ cfij замкнутой не является.

Даны функции / € х [О, Г]), ф е С(дП х [0,Т]), ф е С(дQ), ф(х, 0) = ф(х), х е dil.

Тогда первая краевая задача для, уравнения теплопроводности с жестким оператором Лапласа

ftU(x, t) - AxU{x, t) = f{x, t), (x, t) e intO. x (0, T],

^l(x,t)eo«x[0,r] = 'Фу (8)

U l(x

имеет единственное решение в х [0,T],dfi х [0, Г]), 0 < А' < А < 1

и решение представляется в виде U = ^ U¿ j + V, где

ij

• V е О х [0,Т],еЮ х [0,Г]), V\t=a = ф,

• Uij € С1Л(аг] х (0,T])n£,o+Al+^"1+^'+Al(^j * [0,Т]), если г ^ 1, ст0 £ дП,

• Uij е Gl'l{pij х {0,Т]) х [0,Т],5П), если i = 2,

0-у ^ да,

• Ui:j е C'oiffy х [О, Т]), если <7,;j € 9П,

• ^¿j|(=o = 0.

Фг/нкции Uij являются решением следующего операторного уравнения Uitm(x,t) + Е Е (Gbno^Uij) (x,t) = (x,t) € <J\m x [0,T],

k--<ri,k<ai<n

= (Gl,mf){x,t), CTlm^d fi,

i) + ^ ^«¿fo 0 = *)> x 6 alm, <?lm € ¿Ю,

и для решения U задачи (8) ■имеет место оценка норм

||^||с(Пх[О.Т]) < М||^||с(ЗПх[0.Г]) +ЛГ||/11с(Пх[0.Т]) + -К"|М|с;(П),

где a¡ и множества D¡I3 С <7¿j и Bff С cr-yj взяты из определений пространств Е2+х*>1+х*(сТу) о Е2+1 "+А*(alln,U<71mU^)■

i

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Семенов С.Л. Разрешимость задачи Дирихле для уравнения Лапласа на двумерном стратифицированном множестве в классическом смысле./

С.Л. Семенов // Материалы конференции Воронежской зимней математической школы, Воронеж: ВГУ, 2011. — С.308.

2. Семенов С.Л. О свойствах решений начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности заданной на области с негладкой граннцей./С.Л. Семенов // Материалы конференции Воронежской весенней математической школы, Воронеж: ВГУ, 2011. -- С.165.

3. Семенов С.Л. Разрешимость первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на двумерном стратифицированном множестве в классическом смысле./С.Л. Семенов // Материалы IV международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования Воронеж: ВГУ, 2011. - С.266.

4. Семенов С.Л. Разрешимость в классическом смысле задачи Пуассона для оператора Лапласа на двумерных стратифицированных множествах./

С.Л. Семенов // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2012. Т. 12 Вып. 1. - С. 38-52.

Работа [4] опубликована в журнале из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Подписано в печать 11.05.12. Формат 60*84 '/|6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 120 экз. Заказ 485.

Отпечатано с готового оригинал-макета в тшю1рафш1 Издательско-полнграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3