Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений с мягким лапласианом на стратифицированном множестве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

РГ о ОД

Кашкаров Юрий Михайлович 1 § ?ЛПЗ

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МЯГКИМ ЛАПЛАСИАНОМ НА СТРАТИФИЦИРОВАННОМ МНОЖЕСТВЕ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

ВОРОНЕЖ - 2000

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Ростовский

государственный университет

Защита состоится 26 декабря 2000 г. в 15:30 на заседании диссертационного совета К063.48.09 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Воронежском государственном университете по адресу: 394693 г. Воронеж, Университетская пл. 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "2Л" ноября 2000 года.

профессор

Покорный Юлий Витальевич, кандидат физико-математических наук, доцент

Пенкин Олег Михайлович

профессор

Мешков Виктор Захарович,

кандидат физико-математических наук,

доцент

Зачепа Валерий Ростиславович

6Л-У03

Ученый секретарь

диссертационного совета

Задорожиий В.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В течении последних 20 лет довольно интенсивно развивается исследование физических систем, составленных из разнородных элементов. Примерами таких систем являются, например, конструкции, составленные из стержней и пластин или из струн и мембран. В основном интересуются колебаниями таких систем или их статическими деформациями. Рассматриваются также задачи о распространении тепла в них.

В качестве математической модели получается дифференциальное уравнение (одно из трех стандартных типов: эллиптическое, параболическое или гиперболическое) на стратифицированном множестве - множестве, составленном из многообразий различных размерностей, достаточно регулярно примыкающих друг к другу.

Коротко остановимся на истории вопроса. Как уже говорилось, наиболее заметные продвижения в этой тематике произошли в последние десятилетия (хотя отдельные работы появлялись еще в довоенное время); отметим здесь работу Р. Куранта и работы Л. Коллатца. В числе первых попыток систематического изучения подобных задач отметим работы Ю.В. Покорного и его учеников, относящиеся к задаче о статических перемещениях системы струн, связанных в виде графа. Перемещения системы струн описывались следующим набором уравнений:

(1)

во внутренних точках струн (ребер графа) и

(2)

в точках а.] их соединения (вершинах графа).

Кроме этого, в части вершин система закрепляется:

и — О,

(3)

где дГ - набор вершин, которые закрепляются.

Иметь дело с довольно сложным набором уравнений (1), (2) весьма не просто, поэтому делались попытки провести аналоги и с уравнениями па отрезке. Как это делать? Один из возможных подходов состоит в общей параметризации всех ребер одним отрезком [0, i], так что набор уравнений (1) превращается в систему уравнений на отрезке [0,/]. Соотношения (2) превращаются в весьма необычные краевые условия (в некоторых из них оказываются перемешанными производные функции и в левом и правом концах). Этот подход использовался в большинстве работ по данной тематике. Однако он оказался неприемлемым при изучении качественных свойств решений. Вплоть до последнего момента близкий подход продолжают использовать во Франции (см., например, Lumer G., Nicaise S., Ali Mehmeti F., J. von Below).

Позднее стало ясно,что соотношения (1), (2) следует интерпретировать как одно уравнение для скалярнозначной функции, определенной на графе. В отчетливой форме этот подход представлен в работе Ю.В. Покорного и О.М. Пенкина, посвященных аналогам классических теорем Штурма для уравнений на графах. Недавно, последний подход был применен ими и к изучению перемещений системы, составленной из струн и мембран. В итоге в рассмотрение был введен так называемый жесткий Лапласиан Ари. В точке х из Ar-мерного страта а& он записывается так:

(Дри)(аО = (Äpu)(x)+ Y1 (PVub (4)

где Др - классический эллиптический оператор типа Лапласа-Бельтрами

, а ^Г^ (pVu),, - сумма проекций градиента на направления нормалей "i + lj^fii

к (Jki в точке х, направленных в (Тк+ij-

Хотя оператор (4) при р = 1 является аналогом классического Лапласиана, аналогия эта не полна. К примеру, до сих пор неясно обладает ли гармоническая в смысле этого Лапласиана функция свойством среднего. В ходе изучения оператора (4) возникло подозрение, что препятствием

:;ля свойства среднего (если перейти к механической модели) является наличие струн в местах стыковки мембран. Снятие струн эквивалентно тому, тор — О на одномерных стратах. В этом случае, мы называем Лапласиан Др - мягким. Набор получаемых свойств решений уравнения Др = 0 в случае мягкого Лапласиана значительно богаче, чем это имеет место для жесткого Лапласиана (когда р > 0 на всех стратах). Это и послужило основным мотивом для изучения мягкого Лапласиана.

Обратим внимание, что, например, в двумерном случае (то есть когда размерности стратов не превосходят двух) уравнение —Ари = / в двумерных стратах ац в нашем случае совпадает с классическим уравнением Лапласа (при р = 1)

-Д ри = /, (5)

-ЕЁ-/- m

а на стратах а и единичной размерности имеем:

ди дv

Оказалось, что выражение (4) не просто формальная запись для набора (1),(2). А именно, ему можно придать классическую дивергентную форму:

Ари = div (р grad и),

если определить дивергенцию как плотность потока касательного векторного по специальной "стратифицированной" мере. Это позволило отслеживать глубокие аналоги с классическим Лапласианом и явилось мощным эвристическим средством изучения качественных свойств решений.

Следует заметить, что весьма близкой к рассматриваемой нами тематике является теория сильно неоднородных механических сред, в которой изучаются, например, мембраны или пластины с периодически или почти периодически расположенными перфорациями. Эту теорию развивали в своих работах, например, Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А.,Иосифьян Г.А., Шамаев A.C. и" др. Здесь традиционным и более

плодотворным является метод усреднений. Кроме того, рассматривались также области, границы которых предполагались стратифицированными. В самой области рассматривался эллиптических оператор, а на различных стратах границы задаются краевые условия (Дирихле, Неймана и др.).

Еще отметим, что основным отличием рассматриваемых нами задач от большинства работ этого направления состоит в том, что в них рассматривается стратифицированное множество в целом являющееся многообразием. К примеру, Н.Д. Копачевский, С.Г. Крейн, Каи Нго Зуй. рассматривали колебания жидкости в резервуаре, перегороженном внутри упругими пленками. В целом резервуар с геометрической точки зрения является многообразием, а стратификация возникает в связи с тем, что на пленках и в межпленочных камерах "работают" различные законы физики.

Цель работы. Построение наиболее подходящей математической модели для механических систем, составленных их однотипных элементов типа мембран. Изучение разрешимости и некоторых качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств эллиптического типа на стратифицированных множествах.

Методика исследований. Методика исследований основана на использовании абстрактной теории меры для интерпретации сложных наборов дифференциальных уравнений в виде единого дифференциального уравнения. Применяются методы классической теории дифференциальных уравнений в частных производных. При доказательстве слабой разрешимости задачи Дирихле с мягким лапласианом используется метод гильбертова пространства.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. В числе основных результатов данной работы отметим следующие:

• Выделен подходящий для рассмотрения задач класс стратифицированных множеств. Этот способ оказался иным, чем тот, который

был введен в связи с рассмотрением жесткого лапласиана.

• Доказана разрешимость задачи Дирихле с мягким лапласианом.

• Получен аналог классической теоремы о среднем для гармонических в смысле мягкого Лапласиана функций. Как следствие - сильный принцип максимума для решения эллиптических неравенств типа

Ари > 0.

• Получен точный аналог классического неравенства Харнака.

• Для стратифицированных множеств с пустой границей имеет место аналог Леммы Бохнера, утверждающий в классическом случае, что неравенство Дри > 0 допускает на компактном римановом многообразии только постоянные решения.

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Результаты могут быть применены в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа.

Апробация работы и публикации. Основные результаты работы являются новыми и опубликованы в [1]-[7] . Некоторые результаты обсуждались на Воронежских математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 1998-2000 гг., на семинаре по качественной теории краевых задач при Воронежском госуниверситете (руководитель - проф. Ю.В. Покорный) в 1998-2000 гг., на семинаре кафедры Дифференциальных уравнений факультета ПММ Воронежского госуниверситета. (руководитель - проф. Мешков В.З.).

Структура и объем работы. Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 8 параграфов или 13 пунктов, и списка литературы. Общий объем диссертации 71 страница. Библиография содержит 32 наименования. Текст иллюстрируют 17 рисунков. Нумерация формул, теорем, замечаний и рисунков в каждом параграфе автономна.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава первая посвящена в основном изложению основных понятий и некоторых вспомогательных утверждений. Центральным из вводимых понятий является понятие стратифицированного множества. Определение, данное нами, приспособлено специально к изучению мягкого лапласиана на стратифицированном множестве.

Под стратифицированным множеством понимается связное множество Г2 С R", составленное из его подмногообразий, "правильно" примыкающих друг к другу. Точнее, если существует набор (стратификация) а замкнутых множеств

С Qkl С ... С Пкр = fi (ko<ki<...< кр) такой, что выполняются следующие условия:

1. Qkt \ Г2*-1 состоит из конечного числа связных ¿¿-мерных гладких многообразий, которые будем называть стратами и обозначать далее через Cki (г _ номер страта, к - размерность страта; страты разных размерностей нумеруются автономно).

2. граница дам — он \любого страта ненулевой размерности - есть объединение стратов меньшей размерности, примыкающих к нему.

3. замыкание стратов высшей размерности совпадает со всем множеством, т.е. Í2t = Í3.

р

4. если страт o>¡ примыкает к страту оmj- (то есть тп > А: и С 0ат]; будем записывать это в виде а^ -< crmj), и точка х € ат], то касательное пространство Tx(amj) при приближении х к у & он имеет предельное положение limTI(crm,), содержащее Tx(akl).

Х-+У

5. два страта одинаковой размерности a>¿, Okj можно соединить цепочкой стратов

У CTfc—l,ii ■< аЫг >-■■■< 1,¡„ ^ Ukj

либо

Cjfci ^ O'fc+l.i, >- ffcij -<•••>- CTfc-I.ip -к CTkj, размерности соседних стратов различаются на единицу.

В пункте 1.2 приведены примеры допустимых стратифицированных множеств.

В пункте 1.3 вводятся координаты на стратифицированных множествах. Здесь следует заметить, что стратифицированное множество в целом не обязано быть многообразием, а потому может не допускать введение даже локальных координат. Поэтому приходится вводить координаты отдельно для каждой пары стратов (Тк-ij » такой, что cr¡t-i¿ -< &ki- Делается это как на многообразии с краем: сначала определяются координаты í/1, у2, • • • , ук~1 на c/t-ij, а затем они дополняются еще одной координатой ук, которая положительна внутри оы и равна нулю на Здесь могут возникать трудности, связанные с возможным кратным примыканием страта ан к (Тк-ij- В этом случае о>,- приходится искусственно разбивать на вспомогательные страты. В определенных таким образом координатах вводимый далее мягкий лапласиан имеет наиболее простую координатную форму; он выглядит подобно классическому оператору Лапласа-Бельтрами.

В пункте 1.4 вводится так называемая стратифицированная мера. Эта мера порождается обычными /с-мерными мерами Лебега, которые имеются на А;-мерных стратах как на гладких подмнообразиях R".

Множество G С Г2о будем называть измеримым, если измеримы по Лебегу все пересечения G П <т>,, С fio- При этом мерой /i(G) будем считать сумму мер Лебега fi(G П о>,). Мера данного множества вычис-

ляется следующим образом:

£ МСПа«).

СПац

Эту меру естественно назвать мерой Лебега-Стилтьеса ввиду того, что она имеет разную размерность на различных элементах множества.

Интеграл в работе понимается как интеграл Лебега по описанной мере. Для достаточно "хороших" функций (например, интегрируемых по Риману внутри каждого страта) он сводится к сумме обычных римано-вых интегралов:

и ёр =^2

В пункте 1.5 вводятся основные функциональные пространства, используемые в работе. В силу специфики задач свойства непрерывности на стратифицированном множестве, а так же дифференцируемости на нем определяются отдельно для каждого страта. Основную роль играет пространство С™(0.о) функций, сужения которых на каждый страт а^ непрерывны вместе с частными производными до порядка т включительно.

Помимо этого, рассматривается аналог пространства квадратично-суммируемых функций, обозначаемый через с нормой ||и|| =

¿11

Основным понятием параграфа 2 является дивергенция векторного поля на стратифицированном множестве. Векторное поле Р(х) на Г2 будем называть касательным, если для каждого а^ и каждого х Е а^и вектор Р(х) £ ТхСкх- Если обозначить через Ра ковариантные компоненты векторного поля Р, то есть числа Ра = Р •гУа, где гУа - производная вектора (г1 (у1, ■ • -ук),- ■ ■ {г"(у1, • • • у*)), задающего параметризацию страта по переменной уа в локальных координатах вблизи некоторой фиксированной точки, то формально дивергенцию векторного поля Р можно определить следующим соотношением:

[ и (1(1.

У V У

Здесь:

д°'в - элементы матрицы обратной к (с данной матрицей мы стал-

кивались в предыдущих параграфах), элементы которой в координатном виде имеют представление

Едх1 дхг

обозначение Га |]у (х) есть сужения функций Ра на а^, продолженных по непрерывности на о^у.

В компактной форме это можно записать так:

с1\хР = \7Р+ £

Имея понятие дивергенции и полагая и € С^(П0), в пункте 2.1 вводится понятие лапласиана

Ари = с!^ (р gгad и) =Ари+ ^ )

Последняя формула на стратах при р = 0 даст левую часть в (6).

В отличие от более ранних работ, посвященных уравнениям на стратифицированных множествах, р = О предполагается всюду, кроме стратов высшей размерности. Физически это означает отсутствие струн в местах стыковки мембран, если иметь ввиду механическую задачу, приводящую к данному лапласиану.

В пункте 3.1 доказана следующая теорема:

Теорема 1 Пусть Е 6 С]:(По)> а каждый аесть ориентируемое многообразие. Тогда верно

I Рийр = - У <1ц, 11

к]

где F¡,(x) = (F• ¿7)Это является точным аналогом теоремы

Olj>-Ok-lj

о дивергенции или теоремы Гаусса-Остроградского.

В пункте 3.2 приводятся аналоги классических интегральных тождеств Грина.

Теорема 2 (Первая формула Грина) Пусть и 6 С^(По), v е C¿(fi0) П C'(Q), тогда

j vApu dp, = — J pVv\7u d¡i — J v(pVit)„ dfi.

S)0 По 5fl0

Как следствие получается вторая формула Грина:

Теорема 3 Пусть и, v Е С2(По) П С(Q), тогда

j (и Apv — vApU dfi — — J (v(pVu)„ — u(pVt))„) dp..

fio dílo

Вторая глава полностью посвящена доказательству некоторых качественных свойств решений эллиптических уравнений и неравенств с мягким лапласианом на стратифицированных множествах, а так же доказательству разрешимости соответствующей задачи Дирихле.

В первую очередь в параграфе 4 рассматривается слабая разрешимость задачи Дирихле.

= (7)

w|on„ = о,

где / 6 С „(Vio), р € C*(fio)i причем р строго положительна на стратах высшей размерности и равна нулю на остальных стратах, а / - равна нулю на стратах размерности меньше к — 1.

о

Теорема 4 Задача (7) слабо разрешима в Н¿ (fio,р).

о

Пространство Н¿ (Slo, р) аналогично пространству Соболева. Доказательство данной теоремы основывается на неравенстве Пуанкаре.

Теорема 5 (Неравенство Пуанкаре) Существует такая константа С, что для любой функции и € С1 (П)

J и2 dfi<C J J и2 dn + J (Vu)2 dyt J .

otUat-x wf!o tfiUo-ц-! /

При доказательстве неравенства Пуанкаре в пункте 4.1 доказаны вспомогательные факты.

Лемма 1 Пусть ij -< <?н С По, тогда при и £ Сц(П) выполняется неравенство:

j и2 dfi<c\ J и2 dn + J (Vu)2 .

Лемма 2 Пусть Cfc-ij, <?k-\,i -< С По, а. и € Сд(П). Тогда имеет место неравенство:

j и2 dfi < С J и2 dp + J (Vu)2 dfi

ft-l ,j .! "Hi J

с независящей orn и константой С.

В параграфе 5 доказано одно из ключевых свойств гармонических функций в смысле мягкого лапласиана. А именно, теорема о среднем.

Теорема 6 Пусть и £ С2(По) удовлетворяет соотношению Дри = 0 в По, тогда для любого достаточно малого шара Вр(£) С По справедливо равенство:

в(£)вга /udM-

ОВЛ С)

Как следствие теоремы о среднем в пункте 6.2 доказан сильный принцип максимума, который имеет неклассическую формулировку.

Теорема 7 (Сильный принцип максимума) Решение неравенства Ари > 0 не моо/сст иметь нетривиальных локальных льаксимумов внутри По-

Для решения дифференциального неравенства Ари > 0 в параграфе 7 доказана так называемая лемма Бохнера.

Теорема 8 (Лемма Бохнера) Пусть д£1о = 0 (другими словами, Qq — QJ. Тогда неравенство Ари > 0 имеет в С2(£1 о) лишь постоянные решения.

В заключении приведено важнейшее следствие теоремы о среднем -точный аналог неравенства Харнака для функций, удовлетворяющих соотношению Ари = 0.

Теорема 9 Пусть и £ С2(По) такова, что Ари = 0 и и > 0 па Q. Тогда для любой ограниченной подобласти П' СС П существует такая постоянная С, зависящая только от и, П', Q, что

sup u < Cinfu. п- ~ «'

Автор благодарит своих научных руководителей Ю.В.Покор[ЮГо и О.М.Пенкина за поддержку и помощь в работе.

Автор благодарит также всех участников семинара по качественной теории краевых задач под руководством Ю.В.Покорного за полезные обсуждения результатов данной работы. Отдельная благодарность за полезную критику, советы и моральную поддержку А.А.Гаврилову.

Список литературы

[1] Кашкаров ЮМ. О качественных свойствах решений дифференциального уравнения эллиптического типа на стратифицированных множествах // Тез. докл. Коференции по функциональному анализу и уравнениям математической физики. Воронеж, 1997. С. 33.

[2] Кашкаров Ю.М., Пенкин О.М., Богатое Е.М. // Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения - VIII". Воронеж, 1997. С. 33.

[3] Пенкин О.М., Богатое Е.М,, Кашкаров Ю.М. Об одной эллиптической краевой задаче // Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения -VI". Воронеж, 1995.

[4] Пенкин О.М., Богатое Е.М., Кашкаров Ю.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на двумерном клеточном комплексе // Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения - VII". Воронеж, 1996.

[5] Пенкин О.М., Кашкаров Ю.М.Об одной эллиптической краевой задаче на двумерном стратифицированном множестве // Тез. докл. школы "Современные методы теории функции и смежные проблемы". Воронеж, 1997.

[6] Пенкин О.М., Богатое Е.М., Кашкаров Ю.М. О разрешимости эллиптических краевых задач на стратифицированных множествах // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34, № 9, С.1289-1290.

[7] Пенкин О.М., Богатое Е.М., Кашкаров Ю.М. О слабой разрешимости задачи Дирихле на двумерном клеточном комплексе / Воронеж, ун-т,- Воронеж, 1996. - 15 е.- Деп. в ВИНИТИ, 17.04.96, № 1261-В96.

/¡Jaiy^j^é/

Заказ 16.И 2000г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ