Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики

Рябенко, Александр Сергеевич

Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Рябенко, Александр Сергеевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Воронеж МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики»

Автореферат диссертации на тему "Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики"

на правах рукописи

РЯБЕНКО АЛЕКСАНДР СЕРГЕЕВИЧ

Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики

01.01.02 - дифференциальные уравнения Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж - 2008

003460105

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Глушко Андрей Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Репников Валентин Дмитриевич;

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита состоится «24» февраля 2009 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан _ декабря 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22, доктор физико-математических наук,

доктор физико-математических наук, профессор Пенкин Олег Михайлович

профессор

Е. Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Одним из важных направлений качественной теории дифференциальных уравнений является определение поведения решений начальных и начально-краевых задач математической физики при / -> оо. Этому аспекту посвящено большое количество работ.

Определению условий стабилизации и построению асимптотик решений параболических задач в цилиндрических областях были посвящены работы Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева, О. А. Олейник и др.

Вопросы стабилизации при / —>■ оо решений уравнений математической физики параболического типа изучены в работах С. Д. Эдельмана, В. Д. Репникова, В. П. Михайлова.

Одним из классов задач математической физики, для которых изучают поведение решений при / -»<» являются задачи гидродинамики, см., например, работы следующих авторов: С. Л. Соболев, В. П. Маслов, О. А. Ладыженская ,

B. Н. Масленикова, С. А. Габов, Ф. X. Мукминов, С. Г. Крейн и др.

В настоящее время в связи с проблемами океанологии, физики атмосферы, а также охраны окружающей среды возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности стратифицированных вязких, жидкостей.

При изучении таких задач авторы (см., например, Г. В. Демиденко,

C. В. Успенский, В. Н. Масленикова, А. В. Глушко, А. В. Перова, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников, Л. М. Бреховских, В. В. Гончаров и др.) часто используют дополнительные гипотезы, такие как предположение Буссинеска и предположение об определенном виде стратификации.

В диссертации предложен подход, разработанный на основе принципа локализации, который в некоторой степени позволяет отказаться от этих предположений. Методика была разработана на основе исследования модельных задач, которыми стали начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности в полосе и полупространстве. Далее разработанный подход применен к исследованию задачи, описывающей малые колебания вязкой стратифицированной жидкости без использования предположений о виде стратификации и предположения Буссинеска.

Целью работы является разработка методов, позволяющих получать асимптотические оценки решений задач, описывающих поведение стратифицированной жидкости и других задач математической физики. Основным техническим приемом, позволяющим сделать это, является принцип локализации. Поэтому еще одной целью работы является развитие принципа локализации.

Методика исследований. Используются идеи и методы современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, теории функций комплексного переменного. В частности, используются теоремы о вложении функциональных пространств, принцип локализации для исследования задач гидродинамики, развитый А. В. Глушко и его учениками.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Доказаны теоремы существования и выделены классы единственности решений рассмотренных задач для дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными;

2. Для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, являющихся образами Фурье-Лапласа исходных задач, на основе априорных оценок выявлены области аналитичности и, как следствие, проведена локализация, позволяющая установить связь между асимптотическим поведением решений исходных задач и поведением в окрестностях точек поворота решений задач в образах Фурье-Лапласа. Точность проведенных оценок подтверждена рассмотрением частного случая задач с постоянными коэффициентами;

3. Показано качественное изменение скорости стабилизации решений начально-краевых задач, описывающих распределение тепла, в зависимости от того в каких областях они исследуются;

4. Разработана и реализована методика, позволяющая при исследовании скорости стабилизации решений задач гидродинамики отказаться от предположений о конкретном виде стратификации и от предположения Буссинеска.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Белгородском, Самарском государственных университетах, РУДН, в институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской весенней математической школе (2006), семинаре под руководством д.ф-м.н. А. В. Глушко (Воронеж 2006, 2008), научной сессии ВГУ (2006), Воронежской зимней математической школе (2007), международной молодежной научной конференции «XXXIII гагаринские чтения» (Москва, 2007), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007), семинаре под руководством профессора А. Г. Баскакова (Воронеж, 2008), семинаре под руководством профессора В. Д. Репникова (Воронеж 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных работ [9], [10] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 52 источника. Общий объем диссертации 133 страницы.

Краткое содержание работы

Нумерация приводимых ниже лемм и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.

Первая, вторая и четвертая главы имеют общую структуру исследования. Для изучения поведения рассматриваемых задач при / -»со применен принцип локализации, который сводится к изучению контуров потери аналитичности образов Фурье-Лапласа решения задач из глав 1, 2 и образа Лапласа решения задач из глав 3, 4. В отличие от главы 3 в главах 1, 2 и 4 нельзя получить явное представление образа решения. Исследование задач в образах осуществляется при помощи априорных оценок. На их основе выделены области аналитичности образа решения и доказано существование решения задач в образах. Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.

В главе 1 рассматривается начально-краевая задача для уравнение теплопроводности

,)ДуОС,/) = *(?,/),/> О, хеЛ2х(0;бО (1)

а/

с начальными и граничными условиями

Ч3с,/)Ц=0, (2)

(3)

где х = (х,,х2,х3), х' = (х,,х,)еЛ2, х, е[0,£/], я(х,)еС([0;^]) и существуют такие ¿Г| и е2, что при х3 е [0;с?] О < г1 < |а(х, )| < е2.

Сформулируем условия, которые будут использованы в диссертации. Условие 1. Будем говорить, что функция g(x,t) удовлетворяет условию 1,

если:

1. g(x,¡) непрерывна по совокупности переменных при х' = (х,,х2)е К2, х} е[0;с/],/>0;

2. При некотором ¿>>0 функция g(x,t)eí" принадлежит пространству .

Условие 2. Будем говорить, что функция g(x,t) удовлетворяет условию 2,

если:

д '*'*к я(х <)

1. Для функций- . '. , где 0 < / < 1, 0 < ),к< 2 выполнено условие 1;

2. =о.

Условие 3. Будем говорить, что функция g(x,t) удовлетворяет условию 3,

если:

1. Функция g(x,t) удовлетворяет условию 2;

2. Функции Л

дх'дх;д1'

' Ж с!х' принадлежат пространству /,2([0;с/]), где

0 < / < 1, 0 < у < 2, 0 < к < 2, норма вычисляется по переменной х3.

Условие 4. Будем говорить, что функция g{x,t) удовлетворяет условию 4,

если:

д'*'*к е(х t)

1. Для функций вида к '. , где 0<;<2, 0< у < 4, 0 < £ < 4 выполнено

dx'dx'.dt'

условие 1; 2. g(*,/)|fm0=OH

dg(x,t)

3. Функции вида J j

di+J+ig(x,t)

dxk2dxldt'

' dt dx' принадлежат пространству L2([0;d]),

где 0 < г < 2, 0 < у < 4,0 < к < 4, норма вычисляется по переменной х3.

Определение. Будем говорить, что непрерывная функция у,(х,/) принадлежит классу Та(0), если справедливы следующие оценки:

8tk

<се°", где А: = 0,1;

Э* V, (je,/)

дх)

<сеа1, где ¿ = 1,2, у' = 1,2,3, постоян-

ная п>0 не зависит от * >0,хе()с:1{}.

После применения к задаче (1)-(3) преобразования Лапласа по переменной г и преобразования Фурье л ь по касательным переменным х задача (1 )-(3) примет следующий вид

---~(УЬ: (*,) + И ЩХз,Г,5) = /{хз,г,5), (4)

(5)

а\х3)

где Ь1 (х3) = —-,|«|2 = + , уеС, /(х3,/,«) = — я (*э)

Приведем основные результаты, полученные в главе 1.

Теорема 1.2. Если функция и(хг,у,5) является решением задачи (4)-(5) и

дки(хг,у,з)

функции /(х} ,у,я),

дх\

-, ¿ = 0,1,2 принадлежат пространству ¿2([0; d\)

по переменной х3 при -г, > 0 ивсех е Я~, то найдутся е > 0, дх > 0, такие что при Яеу>-е и любом ^ е К2 будет справедлива оценка

дх,2

"Л

,2 , _ \\du(x„y,s)\

+ Ы +8,

дх.

з II II з ||

с постоянной с > 0, не зависящей от у, 5.

На основе априорной оценки, полученной в теореме 1.2, при помощи метода продолжения по параметру доказывается следующая теорема.

Теорема 2.1. Пусть функция g{x,í) удовлетворяет условию 3. Тогда существует £->0, такое что при Яс^ > -г и любом .у е Л2 задача (4)-(5) имеет

решение и(х,,у,з), при этом функции ^ и(хз>У'5)^ = 0,1,2 принадлежат про-

дх}

странствуй ([0; сф по переменной х3.

При помощи априорной оценки из теоремы 1.2 и теорем вложения доказана следующая лемма.

Лемма 2.5. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 3, тогда при

некотором е = £($)> 0 Яе/ >-е и всех ле Я2 для функции г;(х3,у,5), являющейся решением задачи (4)-(5), будет справедлива оценка

|«(лг,,у,5)|< —--'—-— с постоянной с > 0, равномерной по .т, еГО; с/1.

" (И+И +А)5/4

На основе априорной оценки, полученной в теореме 1.2, доказывается, что решение задачи (4)-(5) является функцией аналитической по параметру у, а его производные являются решением краевой задачи, которая получается из задачи (4)-(5) в результате формального дифференцирования по параметру у. Эти результаты сформулированы в следующем утверждении.

Теорема 3.1. Пусть функция ^(Зс,?) удовлетворяет условию 3. Тогда существует б > 0, такое что при Кеу>-£ и всех з е Л1 и х3 е [0; с/] решение и(Х),узадачи (4)-(5) будет аналитической по переменной у функцией. Из анализа решения задачи (4)-(5) следует теорема 4.2. Теорема 4.2. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 4, тогда задача (1)-(3) имеет решение непрерывно дифференцируемое по />0 и дважды непрерывно дифференцируемое по х'еЯ2, 0<хг<с1, причем е Та (Я2 х (0;с/)) при а > 0 и у(х,1) - единственное решение задачи (1)-(3) в классе Та (Я1 х (0\с1)). Кроме того, найдется такое £->0, что равномерно по х = (х1,х2,х3) е Я2 х (0;с/) при ? —>оо будет выполнена оценка v(x,е) = 0(е~с'). Результаты главы 1 опубликованы в работах [3], [6], [8], [9]. В главе 2 рассматривается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности

= (6)

с начальными и граничными условиями

у(!?4=0=0, (7)

где ?>0,3с = {х^,х2,хъ), х' = (х1,х2)еЯ2, х, е[0,со), а2(х3)еС([0,со)), Зг,,£2:0<г1<|а(х3)|<е2.

Сформулируем условия, которые будут использованы в диссертации.

Условие 5. Будем говорить, что функция /(*,/) удовлетворяет условию 5,

если:

1. /(.?,/) непрерывна по совокупности переменных при х' = (х1,х2)еЯ2, х3 > 0, ? > 0;

2. При некотором д> 0 функция /¡(х,1)ед1 принадлежит пространству ЩД1).

Условие 6. Будем говорить, что функция /,(3с,() удовлетворяет условию 6,

если:

1. Для функций вие 5;

2. №4,^=0:

га

3. Функции Л

d'*j+k fix t)

-. ■/lV •/ , где 0 < i < 1; 0< j < 2; 0 < к < 2 выполнено усло-

's'dtdx' принадлежат L2(R+) п , где

дхк2дх{д1* i

О < i < 1; 0 < j<2;0<k<2,a норма вычисляется по переменной х,

Условие 7. Будем говорить, что функция /¡(х,1) удовлетворяет условию 7, если:

1. Для функций вие 5;

й г А

= 0;

дхкг дх(дГ

(X I)

. '. , где 0 < г < 2: 0 < / < 4; 0 < к < 4 выполнено усло-

2.у;(*-С0=оиММ

3. Функции J j

Rr 0

1=0

di4+kmt)

dx2dx(dt'

е5'Лек' принадлежат где

0 < г < 2; 0 < у<4;0<&<4,а норма вычисляется по переменной хъ.

После применения к задаче (6)-(8) преобразования Лапласа по / и преобразования Фурье по касательным переменным х' задача (6)-(8) примет следующий вид:

д и(х ^) _ 2 )+^ ^^ = ^ и^з'Г,^^ = = 0, (Ю)

где Ь2(х3)= 1 , .у = (.?, ,.у2), Ы2 =5,2 + уеС, а (х3)

a f(xJ,r,s) = -

«2(*з)

V 3 '

Приведем основные результаты, полученные в главе 2.

Теорема 5.1. Пусть уеС, при 0 <\<р\< 7Т - е" и seRг (<р = ищу) - г, ч , ч д2и(х3,у^)

функции и(х3,у,я),---,-—- принадлежат пространст-

йх, дх3

ву ¿2([0,оо)) по переменной х, при всех / и .?, функция г/(х3,/,,5) является решением задачи (9)-(10). Тогда справедлива оценка

"Л

8 + ^qypifiWdl

II II II 5 ЛГj

(|у| + <с||/(х„Г^)|, с по-

стоянной с > 0, не зависящей от у, s, причем е" > 0 может быть сколь угодно малым.

Обозначим 6, = sup |b(x,)|. Тогда верна теорема 5.2.

И2

Теорема 5.2. Пусть |/|<(1-£)Ц- при с> е(0;1), seR2 функции /(х3,/,.?),

du(x„y,s) d2u(x„y,s) . ,Гп ч.

u(x,,y,s), ---, -V- принадлежат пространству LM0,со)) по пе-

дх3 8х3

ременной х} при всех у и s, а функция u{x3,y,s) является решением (9)-( 10).

_ ||52й(х,,7,5) /П пг]|йг/(х,,у,5)|| , , . ,2. Тогда справедлива оценка --- + \И + И - - +мЛ + п )'

II ^ II ^ Xj II

Теорема 6.1. Пусть функция g(x,i) удовлетворяет условию 6, е" > 0

сколь угодно мало. Тогда существует а = е{5) > 0, такое что при у eD, где

D=(y еС, у* 0 при 0 < < /г - £°)n(Re/ > -е) и всех seR1 задача (9)-(10)

Зи(х ,у .s) д2и(х y,s) имеет решение, при этом функции г<(х-,,у,s),-—1—,-— принад-

дх3 дх3

лежат пространству Z,2([0,oo)) попеременной х3.

Теорема 6.2. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 6, тогда при

Ы2

любом де (0,1) и при Ы<(1-£)Ц- задача (9)-(10) имеет решение и{х3,у,s).

ди(х y s) 32и(х у 5) При этом функции u(x3,y,s), -—,-— принадлежат простран-

дх3 дхз

ству Z,2([0,oo)) попеременной х3.

Теорема 7.1. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 6, тогда в области D= (уеС,у*0 при 0<|^|</г-£°)n(Reу>-е) решение u(x3,y,s) задачи (9)-(10) будет аналитической функцией переменной у при всех х3 >0 и всех seR2.

Теорема 7.2. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 6. Тогда при любом £е(0;1) и всех ,ч е К2 решение и(х3,/,5) задачи (9)-( 10) будет аналитической функцией переменной у в области £>, = (|/|<(1-<5)Ц-)п

> -с) при всех х, > 0.

Теорема 8.3. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 7, тогда задача (6)-(8) имеет решение у(х,/), непрерывно дифференцируемое по / > 0 и дважды непрерывно дифференцируемое по —оо < х1 < со, - да < хг < сю, 0 < .г, < со, при а> 0 и у(х,Г) является единственным решением в классе Та(Я1). Кроме этого, для функции у(х,/) при /-»оо будут справедливы следующие оценки, с константами, не зависящими от хей': |у(х,?)|<сГ5'4, I у(х, /)| < с(ее' + х3Г7'4 + (х3 + х] )Г2).

Результаты главы 2 опубликованы в работах [2], [4], [7], [9].

В главе 3 рассматривается система дифференциальных уравнений

dV(t,x) dt

Я + 2р

дх р0 дх р0 dt v 7 дх

(И)

dt dt Система дополнена начальными условиями

pML=°; />ML=°; *>0 <12>

и граничным условием

y(t,x)\x__o=iV(t). (13)

Начально-краевая задача (11)-(13) описывает в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости. Колебания считаются одномерными (в направлении однородного поля тяготения).

Использованы следующие обозначения: V(t,x), p{t,x), P(t,x) - скорость, отклонение от стационарной плотности, отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент t> 0 в точке х > 0; ц , к -первый и второй коэффициенты вязкости среды; с - скорость распространения звуковых колебаний в среде; р0 - среднее значение стационарной плотности;

g - ускорение свободного падения; Nyjg - частота Вяйсяля-Брента.

Система уравнений (11) выписана для экспоненциально стратифицированной жидкости (JV = const) в приближении Буссинеска (р0 = const).

Пусть функция IV(t) из (13), удовлетворяет следующим условиям. Условие 8.

1. Существует £■> 0, такое что справедлива оценка

|(F (i)| < се'1", / e [0,co). 2. W(/)eC([0,®)). Условие 9.

1. ^(OeC2([0;oo)); (F(0) = 0.

2. Существует s > 0, такое что справедливы оценки

\lVil) (i)| < се1", t g [О,со), к = 0,1,2.

Приведем основные результаты, доказанные в главе 3. Теорема 9.1. Пусть функция )V(t) удовлетворяет условию 8. Тогда существует и представляется в явном виде (9.6)-(9.8) решение системы уравнений (11), компоненты которого являются бесконечно дифференцируемыми функциями аргументов / > 0 > 0, равномерно ограниченными на множестве /е[0;оо), хе[х0, °о), для любого х(1 > 0. Если выполнено условие 9, данное решение системы уравнений (11) является непрерывным, равномерно по хе[0;со),/е[0;оо) и для него выполнены условия (12)-( 13).

Замечание. Явный вид (9.6)-(9.8) решений системы (11) приведен в тексте диссертации.

Теорема 9.2. Пусть выполнено условие 9. Тогда при каждом t> 0 компоненты построенного в теореме 9.1 решения, а также их производные 8V(t,x) d2V(t,x) dV(t,x) dP(t,x) 8P{t,x) dp(t,x)

-,-5—,-,-,-,- принадлежат по переменах 8x dt dx at dt

ной x e [0;co) пространству L2 (r*), их нормы в L2) непрерывны и ограничены равномерно на любом компакте /е[0;г/]. Это решение единственно в классе функций, принадлежащих вместе со своими производными

дщ (t,x) д2 ;<,(/, х) дщ (t,x) du2(t,x) d »,(/,*) 8u3(t,x)

—a-' —a~2—' —r:—' —^—' —5-' —г;—при каждом t >0

ox ox dt dt dx dt

пространству L2 нормы которых в L2 ) локально интегрируемы по

/>0.

Теорема 9.4. Пусть выполнено условие 9. Тогда справедливы следующие асимптотические представления при t—>°о компонент F(t,x), p(t,x), P(t,x) решения задачи (11)-(13):

V{t,x) = —- f(cos(Var - sfat + Ъ(р) л-С •

-da 2 sin(Vor - -Jat + 3<p))W(j)dr

4 4 a

2+0(Г2);

р(х,1) = еГ"с + 7^') ¡¡У(1)сИ + Ра^а 2 (I - х^'-'а) ■

о ж

" -I

• |(с/а 2 со$(\[ат - 4а1 + 3<р) + вт{4ат - 4а1 + Ъф))\¥{т)(1т ■

А <*\\

4 4а

+ о(г2у,

I _1_

Р(х,1) = е'Г""с 'с2р0(¿'с"2 + + 2 (1 - х£сГ2)

«о

• 2 со^(4аг - л/а? + 3<э) + $\п(4ат - 4сЧ + 3(р))1У(т)с!т ■

4 4а

+ 0(Г2),

где d = ■^—-,a = g(N2+gc'2),<p = arctg-^=. 2/1 +Л Vд

Результаты главы 3 опубликованы в работах [1], [5], [10].

В главе 4 рассматривается система дифференциальных уравнений

дУ(1,х) у д2Ур,х) , 1 , §

а/ А,(-г) ах1 ра(х) дх рп{х)

(——+ 2С2)р0(х)К(/,х) + р0(х)-4^ = 0,

г-2дР(1,х) 1\2(х) С 81

дх

р0(х)У(/,х) = 0, х>0,/>0

(14)

д! СИ g

с начальными условиями

Г(/,*)и=Д',*)и = 5Мы,=0 (15)

и граничными условиями

= (16)

Начально-краевая задача (14)-(16) описывает в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости. Колебания считаются одномерными (в направлении однородного поля тяготения).

Использованы следующие обозначения: У{(,х), , - ско-

рость, отклонение от стационарной плотности, отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент 7 > 0 в точке х > 0; V -коэффициент вязкости среды; с - скорость распространения звуковых колеба-

ний в среде; р„(х) - стационарная плотность; g - ускорение свободного падения; N - частота Вяйсяля-Брента, N2(x) = + gc"2)g.

A, M

Сформулируем условия используемые в диссертации.

Условие 10. Существуют е1,£2>0 такие, что при хе[0,оо) выполнено

неравенство 0 < < р0(х) < ег, р0(х) е С2 [0,<ю). Существует такая константа с, что \р[{х)\<с при д:е[0,со).

Условие 11. Будем говорить, что функция f{t,x) удовлетворяет условию 11, если она непрерывна по совокупности переменных хе[0,со), (>0 и при некотором ¿> > 0 функция f(t,x)e0' принадлежит пространству

Условие 12. Будем говорить, что функция f(t,x) удовлетворяет условию 12,

если:

dkf(t,x)

1. Для функции ■

2- /М-о =0;

ос

3. Функции j

dtk

-, где к = 0,1 выполнено условие 11;

dkf{t,x)

dtk

(1 + х)е5' dt принадлежат пространству £2([0,œ)), где

¿ = 0,1.

Условие 13. Будем говорить, что функция /(¡,х) удовлетворяет условию 13,

если:

дкД1,х)

1. Для функции

ôtk df(t,x)

3. Функции j

dkf{t,x)

ôtk

, где к = 0,1,2 выполнено условие 11 ; = 0;

(1 + х)еы dt принадлежат пространству Z.2([0,œ)), где

¿ = 0,1,2.

Определение. Будем говорить, что набор функций К//,*),(г,л), Р:(1,х) принадлежит множеству Qa, если справедливы следующие оценки:

dkVs(t,x)

Ôtk ¿ = 0,1;

<се"', где ¿ = 0,1;

dk Vx(t,x)

dkW,x)

dxk

<ce"\ где ¿ = 0,1;

<ce"', где ¿ = 1,2; dPt(t,x)

Ôtk

<ce , где

ôx

<ce", где ¿ = 0,1, постоянная

с > 0 не зависит от t > 0, х > 0.

Определение. Пусть 8> 0. Через Гаф обозначим контур /„ и/и /,, где Ы-^а + ^Р при £е [-<?,£], 10 =-62а-¡{3 + ¿;)р при #е[0,оо), /0 = -32а +1(3 + при £ е [0,оо).

Далее в работе будем придерживаться следующих обозначений: V (у,х) = Ь,^[УЦ,х)}, р(у,х)=Ц^[Р«,х)}, = ДГ,х) =

= £,_>у . Функция у(у,х) является решением задачи

(17)

ох у ох

(18)

где /,(^,х) = р0(х)/(/,х). Функции р(у,х),р(у,х) выражаются через V(у,х) следующим образом:

+ (19)

Г ё У ох

р(у,х) = с2р(у,х) - гМг{Х)Р»{Х) у(Г,х) . (20)

ёУ

Сформулируем основные результаты доказанные, в главе 4.

д\(у л") \{у л')

Лемма 10.3. Пусть функции /,(у,х),м(у,х),--—,-^— принадле-

дх дх

жат пространству ¿2([0,<ю)) по переменной х при каждом фиксированном у, лежащем правее некоторого контура тогда существует контур такой, что правее контура будет выполнена следующая оценка:

||^||2+- И2 1Иг,*)||2 * СМ1/.МГ.

Теорема 11.1. Пусть функция /,(у,х) принадлежит пространству ¿2([0,оо)) по переменной х при Кеу>-£, для функции р0(х) выполнено условие 10. Тогда существует контур такой, что при каждом фиксированном у лежащем, правее контура л, у задачи (17)-(18) существует единственное решение из пространства Я2([0,=с)).

Теорема 12.1. Пусть при каждом фиксированном у, лежащем правее

,а. в , ,, ч , ду(у,х) 52у(у,х) контура I/ ', функции /(у,х),\(у,х),-,--— принадлежат про-

3 дх дх

странству £2([0,оо)) попеременной х, для функции р„(х) выполнено условие 10, функция \(у,х) является решением задачи (17)-( 18), функция /(у,х) является аналитической функцией переменной у при любом хе[0,со). Тогда при

|«,А Д. ^ Ч ду(у,х) д2\(у,х) у, лежащем правее контура /, , функции \'(/,х), -, --;— будут

'' дх дх

аналитическими функциями переменной у при любом х е [0,оо).

Теорема 13.3. Пусть функция удовлетворяет условию 13, для

функции ра(х) выполнено условие 10. Тогда у задачи (14)-(16) существует классическое решение, принадлежащее классу (2а при а > 0 и единственное в нем, а для функции У(1,х) равномерно по х е [0, со) при ?-»<х> справедлива следующая оценка )у(1,х)\<с{ГХ1*.

Результаты главы 4 опубликованы в работе [11].

В заключение автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук А. В. Глушко за научное руководство и постоянный интерес к работе.

Публикации по теме диссертации

[1] Рябенко А. С. Изучение разрешимости и построение асимптотики решения одной начально-краевой задачи гидродинамики / А. С. Рябенко. - 2006. -Деп. в ВИНИТИ 28.02.06, № 202-В.-С. 31.

[2] Рябенко А. С. Аналитичность решения одной краевой задачи для дифференциального уравнения с параметрами / А. С. Рябенко. - 2006. - Деп. в ВИНИТИ 08.06.06, № 776-В. - С. 11.

[3] Рябенко А. С. Оценка асимптотики при I —> со решения начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в полосе / А. С. Рябенко // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы. - Воронеж, 2006.-С. 157-158.

[4] Рябенко А. С. Изучение поведения решения уравнения теплопроводности в полупространстве при Г —со / А. С. Рябенко // Современные методы теории функции и смежные проблемы: материалы Воронежской весенней математической школы. - Воронеж, 2007. - С. 200-201.

[5] Рябенко А. С. Построение точных асимптотических оценок решения при / -> со и изучение разрешимости задачи о малых колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве / А. С. Рябенко // Механика и моделирование материалов и технологий: тез. докладов международной молодежной науч. конф. «XXXIII ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ», - М., 2007, - С. 91-93.

[6] Рябенко А. С. Оценки решений начально-краевых задач для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности при / -> оо / А. С. Рябенко // Механика и моделирование материалов и технологий: тез. докладов, международной молодежной науч. конф. «XXXIII ГАГАРИНСКИЕ ЧТЕНИЯ», - М„ 2007, - С. 93-95.

[7] Рябенко А. С. Оценка при / —»со решения задачи о распределении тепла в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности / А. С. Рябенко // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2007. - №1. - С. 95-99.

[8] Рябенко А. С. Оценка при t -»• со решения задачи о распределении тепла в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности / А. С. Рябенко // Труды математического факультета ВГУ. - 2007. - Выпуски. - С. 175-185.

[9] Глушко А. В. О скорости стабилизации при / -»со решений начально-краевых задач для уравнений теплопроводности / А. В. Глушко, А. С. Рябенко // Материалы междунар. конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И.Г.Петровского, Москва, май 21-26, -2007.-С.-101-102.

[10] Глушко А. В. О малых одномерных акустических колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве / А. В. Глушко, А. С. Рябенко // Вестник воронежского государственного университета. Серия : Физика. Математика, - 2008. - №1.-С. 226-231.

[11] Рябенко А. С. Оценка компонентов решения задачи, описывающей колебания в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А. С. Рябенко // Вестник СамГУ- Естественнонаучная серия. - 2008. - №6. - С. 185-192.

Работы [7] и [11] соответствуют списку ВАК РФ.

Подписано в печать 24.12.08. Формат 60*84 '/|6. Усл. печ. л. 0,93. Тираж 140 экз. Заказ 2476

Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Рябенко, Александр Сергеевич

Введение.

Краткое содержание работы.

Глава 1. Уравнение теплопроводности в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности.

§ 1. Априорные оценки решения задачи (6)-(7).

§ 2. Существование решения задачи (4)-(5).

§3. Аналитичность решения задачи (4)-(5).

§4. Асимптотика решения задачи (1)-(3).

Глава 2. Уравнение теплопроводности в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности.

§ 5. Априорные оценки решения задачи (9)-(10).

§ 6. Существование решения задачи (9)-(10).

§7. Аналитичность решения задачи (9)-(10).

§8. Асимптотика решения задачи (6)-(8).

Глава 3. Малые колебания экспоненциально стратифицированной жидкости в предположении Буссинеска.

§ 9. Доказательство существования, единственности и построение точных асимптотик решения задачи (11)-(13).

Построение формального решения задачи (11)-(13).

Существование решения задачи (11)-(13).

Единственность решения задачи (11)-(13).

Принцип локализации.

Построение асимптотики при t —> оо компонентов решения.

Глава 4. Малые колебания стратифицированной жидкости.

§ 10. Априорные оценки решения задачи (17)-(18).

§11. Доказательство существования решения задачи (17)-(18).

§12. Аналитичность решения задачи (17)-(18).

§13. Построение оценки асимптотики по времени решений задачи (14)-(16).

Введение диссертация по математике, на тему "Принцип локализации и изучение скорости стабилизации решений некоторых задач математической физики"

Актуальность работы. Одним из важных направлений качественной теории дифференциальных уравнений является определение поведения решений начальных и начально-краевых задач математической физики при t со. Решению этой задачи посвящено большое количество работ.

Вопросы стабилизации при t —» оо решений уравнений математической физики параболического типа изучены в работах С. Д. Эдельмана [2], [3], В. Д. Репникова [2], [4], В. П. Михайлова [5], Ф. О. Порпер [6].

Одним из классов задач математической физики, для которых изучают поведение решений при t —> оо, являются задачи гидродинамики, см., например работы следующих авторов: С. JL Соболева [7], [8], В. П. Маслова [9], О.А.Ладыженской [10], В.Н.Маслениковой [11], [12], С.А. Габова [13], Ф. X. Мукминова [14], С. Г. Крейна [15] и др.

При изучении таких задач авторы часто используют дополнительные гипотезы, такие как предположение Буссинеска и предположение об определенном виде стратификации, см., например работы Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [16], В. Н. Маслениковой, А. В. Глушко, А. В. Перовой, Ю. Д. Плетнера, А. Г. Свешникова [17], JI. М. Бреховских, В. В. Гончарова [39] и др.

Целью работы является разработка методов, позволяющих получать асимптотические оценки решений задач, описывающих поведение стратифицированной жидкости. Основным техническим приемом, позволяющим сделать это, является принцип локализации. Поэтому еще одной целью работы является развитие принципа локализации.

3. Показано качественное изменение скорости стабилизации решений начально-краевых задач, описывающих распределение тепла, в зависимости от того, в каких областях они исследуются;

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Белгородском, Самарском государственных университетах, РУДН, в Институте математики им. С. JI. Соболева СО РАН и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в рамках работы Воронежской весенней математической школы (2006), Воронежской зимней математической школы (2007), на семинаре под руководством д. ф-м. н. А. В. Глушко (Воронеж 2006, 2008), научной сессии ВГУ (2006), международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 2007), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007), семинаре под руководством профессора А. Г. Баскакова (Воронеж, 2008), семинаре под руководством профессора В. Д. Репникова (Воронеж, 2008).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных работ [9],[10] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Рябенко, Александр Сергеевич, Воронеж

1. Егоров Ю. В. Асимптотическое поведение решений нелинейных эллиптических и параболических систем в цилиндрических областях / Ю. В. Егоров, В. А. Кондратьев, О. А. Олейник // Математический сборник. -1998. - Т. 189. -№3.-С. 45-68.

2. Репников В. Д. Необходимые и достаточные условия установления решений задач Коши / В. Д. Репников, С. Д. Эдельман // Док. Акад. наук СССР. 1966. - Т. 167. - № 2. - С. 298-301.

3. Валицкий Ю. Н. Необходимое и достаточное условия стабилизации положительных решений уравнения теплопроводности / Ю. Н. Валицкий, С. Д. Эдельман // Сибирск. мат. жур. 1976. - Т. 17. - № 4. - С. 744-756.

4. Денисов В. Н. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В. Н. Денисов, В. Д. Репников // Диф. ур. -1984.-Т. 20.-№ 1.-С. 20-41.

5. Гущин А. К. О равномерной стабилизации решений второй смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка / А. К. Гущин,B. П. Михайлов, Ю. А. Михайлов //Матем. сб. 1985. - Т. 128 (170). - С. 147-168.

6. Порпер Ф. О. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / Ф. О. Порпер // Док. Акад. наук СССР. 1963. - Т. 153.C. 273-275.

7. Соболев С. JI. Об одной задаче математической физики / С. JI. Соболев // Изв. Акад. наук. Серия: Матем. 1954. - Т. 18. - № 1. - С. 3-50.

8. Соболев С. JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / С. JI. Соболев // Прикл. мех. и техн. физ. 1960. - № 3. -С. 20-55.

9. Маслов В. П. О существовании убывающего при t —»со решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области /В. П. Маслов // СМЖ. 1968. - Т. IX. - № 6. - С. 1351-1360.

10. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О. А. Ладыженская. М.: Наука, 1970. - 288 С.

11. Масленикова В. Н. Оценка в Lp я асимптотика при ?->со решениязадачи Коши для систем С. Л. Соболева / В. Н. Масленикова // Тр. Ми. Акад. наук СССР. 1968. - Т. 103. - С. 117-141.

12. Масленикова В. Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для системы Соболева / В. Н. Масленикова // Сиб. мат. жур.- 1968.-Т. 9.-№5.-С. 1182-1198.

13. Габов С. А. О задаче Коши для одного класса движений вязкой стратифицированной жидкости / С. А. Габов, Г. О. Малышева // Журн. выч. матем. и мат. физ.- 1984.-Т. 24.-№3.-С. 467-471.

14. Мукминов Ф. X. Об убывании решения первой смешанной задачи для линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса в области с некомпактной границей / Ф. X. Мукминов // Матем. сб. 1992. - Т. 183. - С. 143-144.

15. Копачевский Н. Д. Операторные методы в линейной гидродинамике / Н. Д. Копачевский, С. Г. Крейн, Нго Зуй Кан. М.: Наука, 1989. - 416 С.

16. Демиденко Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. Новосибирск: Научная книга, 1998. - 436 С.

17. Перова А. В. О колебаниях в стратифицированной и вращающейся жидкости, возбуждаемых плоской бегущей по дну волной / Л. В. Перова, Ю. Д. Плетнер, А. Г. Свешников // Журн. выч. матем. и мат. физ. 2000. — Т.40. -№ 1.-С. 136-143.

18. Репников В. Д. О равномерной стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений / В. Д. Репников // Док. Акад. наук СССР. — 1964. — Т. 157.-С. 532-535.

19. Рябенко А. С. Изучение разрешимости и построение асимптотики решения одной начально-краевой задачи гидродинамики / А. С. Рябенко. Воронеж, 2006. - 31 с. - Деп. в ВИНИТИ 28.02.06; № 202-В.

20. Рябенко А. С. Аналитичность решения-одной краевой^ задачи'для дифференциального уравнения с параметрами / А. С. Рябенко. Воронеж, 2006. -11 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.06:06, № 776-В'.

21. Рябенко А. С. Оценка при t —> оо решения задачи о распределении тепла в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности / А. С. Рябенко // Труды математического факультета ВРУ. 2007. - Выпуск 11. - С. 175-185.

22. Глушко А. В. О малых одномерных акустических колебаниях стратифицированной жидкости в полупространстве / А. В. Глушко, А. С. Рябенко // Вестник воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2008. - № 1. - С. 226-231.

23. Рябенко А. С. Оценка компонентов решения задачи, описывающей колебания в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А. С. Рябенко // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. - № 6. - С. 185-192.

24. Глушко А. В. Асимптотические колебания и интрузия в вязкой сжимаемой стратифицированной жидкости / А. В. Глушко // Доклады РАН. 1999. — Т. 365.-№ 1 - С. 26-30.

25. Глушко А. В. Асимптотические методы в задачах гидродинамики / А. В. Глушко. Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003. -300 С.

26. Успенский С. В. Теоремы вложения для Соболевских функциональных пространств. Приложения к дифференциальным уравнениям / С. В. Успенский, Е. Н. Васильева. М.: МГУП, 2006. - 118 С.

27. Фадеев Д. К. Избранные главы анализа и высшей алгебры / Д. К. Фадеев, Б. 3. Вулих, Н. Н. Уральцева. JT: изд-во. Ленингр. ун-та, 1981. - 199 С.

28. Олейник О. А. Лекции об уравнениях с частными производными / О. А. Олейник. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 260 С.

29. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа / Л. Г. Лойцянский. — М.: Дрофа, 2003.-840 С.

30. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Владимиров, В. В. Жаринов. М. Физматлит, 2000. - 398 С.

31. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения / М. В. Федорюк. -М.: Наука, 1985.-450 С.

32. Федорюк М. В. Метод перевала / М. В. Федорюк. М.: Наука, 1977.368 С.

33. Бреховских JI. М. Введение в механику сплошной среды / JI. М. Бре-ховских, В. В. Гончаров. М.:Наука, 1982. - 335 С.

34. Рыбаков С. О. Принцип локализации и точные асимптотики по времени решения начально-краевой задачи для линеаризованной системы уравнений движения вращающейся вязкой жидкости: дис. . канд. физ.-мат. наук / С. О. Рыбаков. Воронеж: ВГУ, 1988.- 156 С.

35. Канторович JI. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / JI. В. Кантрович, Г. П. Акилов. М.: Наука, 1984. - 752 С.

36. Глушко А. В. Теорема о локализации для задачи динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А. В. Глушко, С. О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. -1992. Т. 33. - № 1. - С. 32-43.

37. Глушко А. В. Асимптотика по времени решения начально-краевой задачи в полупространстве для уравнений динамики вращающейся вязкой сжимаемой жидкости / А. В. Глушко, С. О. Рыбаков // Сибирский математический журнал. 1992. - Т. 33. - № 4. - С. 43-58.

38. Треногин В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин // М.: Физ-матлит., 2002.-448 С.

39. Глушко В. П. Неравенства для норм производных в пространствах L с весом / В. П. Глушко, С. Г. Крейн // Сибирский математический журнал.1960.-Т. 1. -№ 3. С. 342-382.

40. Харди Г. Г. Неравенства / Г. Г. Харди, Дж. Е. Литтльвуд, Г. Полиа; пер. с англ. В. И. Левина. М.: Гос. изд-во иностран. лит., 1948. - 456 с.

41. Сидоров Ю. В. Лекции по теории функции комплексного переменного / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Шабунин. М.: Наука; Гл. ред. физмат. лит., 1989.-480 С.

42. Будак Б. М. Кратные интегралы и ряды / Б. М. Будак, С. В. Фомин. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 511 с.

43. Агранович М. С. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида / М. С. Агронович, М. И. Вишик // Успехи математических наук. -1964.- Т. XIX. Вып. 3.-53-161 С.

44. Тер-Крикоров А. М. Курс математического анализа / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. М.: МФТИ, 1997. - 716 С.

45. Соболев С. JL Уравнения математической физики / С. JI. Соболев -М.: Наука, 1966. 443 С.

46. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции / Ф. Олвер. М.: Наука, 1990. - 528 С.