Обобщенная локализация и равносходимость разложений в двойной ряд и интеграл Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

О

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Ой ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 517.5

РОСЛОВА Татьяна Юрьевна

ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ И РАВНОСХОДИМОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ В ДВОЙНОЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1998

Диссертация выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического университета.

Научный руководитель

- доктор физико-математических наук, профессор И.Л. Блошанский

Официальные оппоненты

■ доктор физико-математических наук, профессор Б.И.Голубов (МФТИ)

■ доктор физико-математических наук, В.С.Серов (ВМиК МГУ)

Ведущая организация

Московский государственный университет, механико-математический факультет

Защита состоится " f " ijtKgSpj 1998 г.в часов на заседании

Диссертационного Совета К.113.11.08 при Московском Педагогическом университете по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук по адресу: 107005, Москва, ул.Радио, дЛОа.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан "ек/паЗря 1998 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук, доцент

А.В.Нелаев

Актуальность темы и прикладное значение. Тема диссертации относится к теоретическим исследованиям в области теории кратных тригонометрических рядов и интегралов Фурье, которая бурно развивается в настоящее время. Наиболее значительные исследования в области многомерного гармонического анализа проводятся с середины 60-х гг. Здесь был обнаружен ряд новых закономерностей, резко отличающих кратные ряды от одномерных. Упомянем лишь наиболее крупные обзорные работы, посвященные теории кратных рядов : В.Шапиро (1964 г.), В.А.Ильин (1968,1972), Л.В.Жижиашвили (1973, 1983, 1993), Ш.А.Алимов, В.А.Ильин, Е.М.Никишин (1976,1977), Л.В.Жижиашвили, С.Б.Топурия (1977 г.), Е.Стейн (1978), Б.И.Голубов (1982), Ш.А.Алимов, Р.Р.Ашуров, А.К.Пулатов (1989), М.И.Дьяченко (1992).

Различные проблемы, в той пли иной степени относящиеся к вопросам, рассматриваемым в настоящей диссертации, исследовались в работах [1-19].

Что касается прикладного значения исследований в этой области, то отметим здесь, по крайней мере, два направления: обоснования решений методом Фурье эволюпионных уравнений математической физики и исследование граничных свойств аналитических функций многих переменных.

Научная новизна и публикации. Все доказанные в диссертации теоремы являются новыми. Основные результаты опубликованы в 14 работах. Результаты совместных работ в равной степени принадлежат всем авторам.

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты докладывались на научно-исследовательском семинаре чл.-корр.РАН, проф. Ульянова П.Л- и чл.-корр.РАН, проф. Кашина Б.С.(Мехмат МГУ), на Международной конференции по теории приближения функций, посвященной памяти проф. Коровкина Г1.II. (Калуга, 1996 г.), на Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 75-летию чл.-корр.РАН, проф. Кудрявцева Л.Д.(Москва, 1998 г.), на Международной конференции "Теория приближений и гармонический анализ" (Тула, 1998 г.), на 8-й и 9-й Саратовской зимпей школе (Саратов, 1996 и 1998 гг.), на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 1997 г.).

Содержание работы

1. Рассмотрим iV-мерное евклидово пространство элементы которого будем обозначать х = (¡cj,...,х^), и положим ух — у\Х\ +.. .+унхjy. \X\ = (xi + ... + x%y/2.

Рассмотрим множество С всех векторов с целочисленными координатами и для любого Л € ZN положим = {«6 R^ : aj > A, j = = 1,... ,N}. Положим также — %N ПМд .

Пусть Ф : [0, с») —> [0, оо) - неубывающая функция. Через Ф(L)(TN) обозначим множество суммируемых на TN — {х € —ж < Xj < я", J — = 1,... , N} функций / таких, что

J Ф(|/(®)|)еЬ;< оо,

TN

а через — множество суммируемых на M.N функций д таких, что

J Ф(|5(:с)|)<£Е < оо.

RN

Если Ф(м) — ир, то обозначим Ф(Ь) = Lp, р> 1; если Ф(ы) — и log+ и, где log"1" и — log max{l, и}, то Ф(£) = L log+ X.

Пусть 27г-периодическая по каждому аргументу функция f(x) 6 € $(L)(TN), N > 1 разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье

f(x) ~ ]Г с^(кХ)-

Для любого вектора п = (ni,... , пдг) 6 рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда:

Sn{x-,f)= ■■■ Е (2)

fcl=—ri| — —tin

частным случаем которой является квадратная частичная сумма Sno(x\f), когда щ — п-2 — ... — njv = щ. При этом под сходимостью ряда (1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных

сумм 5„(а;; /) — (2) при я, —> оо (т.е.^ min^'/tj —> оо), а под сходимостью ряда (1) по квадратам — существование предела 5„0 (х; /) при п0 оо.

Пусть функция з е $(L)(RJV), jV > 1 разложена в кратный интеграл Фурье:

Для любого вектора а = (ai,... , адг) £ КдТ рассмотрим собственный интеграл Фурье:

til ац

9) = j—ir / •'" / dfi • • • dfr. (3)

—a l —aw

Частным случаем "прямоугольной частичной суммы" — (3) является "квадратная частичная сумма" Jao, когда aj — aj = ... = ajv = «о-

Пусть д(х) — /(х) при х € TN. Обозначим через Ra(х\ /) следующую разность

Ra(x;f) ~Ra{x-,f',g) = S[a](x;f) ~ Ja(x;g), (4)

где [a] = ([oti], • • • , [ajv]) £ , [«.7] — целая часть a, € R1. Будем предполагать при этом, что

<?(ж) = 0 вне TN. (5)

Пусть ft - произвольное измеримое множество, ft С TN, ¡iil > 0 (/х — = ¡J.N ~ iV-мерная мера Лебега), и пусть f(x) = 0 на ft.

В диссертации изучается поведение частичных сумм (2) при п сю и интегралов (3) при a -4 00 функций из классов Ф(£), равных нулю на некотором множестве ft положительной меры, а также исследуется поведение разности (4) при а оо в зависимости от условий, накладываемых на функции /(ж) и д(х).

2. Согласно классической теореме Римана о локализации при N = 1, р = 1 сходимость или расходимость ряда Фурье функции f(x) в точке х зависит от значения функции /(ж) в окрестности этой точки, т.е. если /(х) = О на интервале I С Г1, то ряд Фурье этой функции сходится к нулю равномерно на любом интервале, целиком содержащемся в I.

В отличие от одномерного случая, при N > 2 принцип локализации справедлив только для крестообразных окрестностей. Для сферических окрестностей такая локализация неверна даже для непрерывных функций. Этот факт был установлен Л.Тонелли [1].

Указанные выше обстоятельства определяют дальнейшие направления исследований по проблемам локализации в кратном случае. С одной стороны, сохраняя принцип локализации в его классическом понимании, можно перейти к классам более гладких функций. С другой стороны, оставаясь в терминах классов £р, р> 1, ввести более широкое понятие локализации.

В рамках последнего направления в работах [2] и [3] И.Л.Блошаыскпм было введено следующее понятие обобщенной локализации почти всюду.

Определение 1. Пусть С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из классов Ф(L) (из класса Loo) справедлива на множестве ÍÍ обобщенная локализация почти всюду, если из условия / 6 Ф(L)(TN) (/ G LaD(TN)), f(x) = 0 мо SI следует, что почти всюду на SI существует предел

lim Sn(x-,f) = 0.

n-foo

При N = 1 обобщенная локализация справедлива на любых измеримых множествах ÍÍ С Т1 в классах Lp, р > 1. Это следует из работ JI. Карлесона [4] и Р. Ханта [5]. Если р — 1, то обобщенней локализация в одномерном случае справедлива на измеримом множестве Ct С Tl, ¡iQ > 0 тогда и только тогда, когда это множество является открытым п.в.1 В части достаточности этот результат следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И. JI. Блошанским (см.[6, теорема 2 для N — 1]).

Для кратного случая исследования обобщенной локализации были проведены И. JI. Блошанским в работах [2, 3, 6-10]. Так, в случае N — 2 в работе [3] был доказан обобщенный принцип локализации п.в., заключающийся в том, что для функций / € LP(TN), р > 1 сходимость или расходимость двойного ряда Фурье (функции /) п.в. в некотором круге не зависит от поведения / вне этого круга.

1Множество ÍI будем называть (см.[6],[7]) открытым почти всюду, если существует открытое множество íli такое, что /¡(íiAfíi) = 0.

Необходимо отметить, что усилить последний результат, доказав его в случае N = 2, р > 1 для произвольного измеримого множества, оказалось невозможным. В работе [8] были построены измеримое множество i2 С Т2 с мерой, сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата Г2, и функция / £ LaotT2), такие, что f(x) = 0 на fi, но lim |5п(я:;/)|= -foo п.в. на Т2.

П-4001 1

Таким образом, для двойных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, обобщенная локализация справедлива в классах Lp, р > 1 на открытых п.в. множествах.

Исследования, проведенные в [9], показали, что для пространств размерности Лг > 3 обобщенный принцип локализадии п.в. уже не справедлив в классах LP(TN). В этой работе было установлено, что для любого измеримого множества Л С TN, N > 3, pil > 0, не являющегося плотным в tn (И 2 ü - замыкание множества S2), обобщенная локализация почти всюду уже неверна в классе <C(TN) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам.

Для того, чтобы обобщенная локализация была справедлива и при N > 3 необходимо потребовать большей гладкости рассматриваемых функций. Достаточные и близкие к ним необходимые условия справедливости обобщенной локализации на любых открытых множествах Q С Т3 в классе С(Т3) в терминах модулей непрерывности найдены в [10]. В частности, в этой работе установлено, что обобщенная локализация справедлива на 12, если модуль непрерывности функции / ui(S. f) — o(pog | logloglog |]-1), +0.

Если же рассматривать класс Li(Tn), то обобщенная локализация несправедлива при всех N > 2. Более того, в [9] показано, что OJI неверна ни на каком множестве И С TN, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам.

Таким образом, справедливость обобщенной локализации п.в. на тех или иных множествах SI С TN существенно зависит от степени суммируемости разлагаемых функций и размерности пространства N. Наряду с этим было выяснено, что обобщенная локализация зависит от структуры множества П.

Перейдем теперь к результатам, полученным в настоящей работе.

Как было отмечено выше, обобщенная локализация, различая в вопросах сходимости кратных рядов Фурье случаи размерности пространств N = 2 и N > 2, справедлива для N = 2, р > 1, на открытых почти всюду множествах при суммировании двойного ряда Фурье по прямоугольникам. Уже при р = 1 такая локализация не справедлива ни на каких измеримых множествах ft, ft С Т2.

Оставался нерешенным вопрос о справедливости обобщенной локализации на открытых п.в. множествах в классах, "лежащих между" L\(TN) и LP(TN), р > 1 при N = 2.

Некоторый ответ на поставленный вопрос может быть дан, опираясь на результаты, касающиеся сходимости двойных тригонометрических рядов Фурье. Так, из недавно анонсированной работы [11] Н.Ю.Антонова следует, что для функций из класса L (log+ L)2 log+ log+ log+ ¿(Г2) квадратные частичные суммы двойного тригонометрического ряда Фурье сходятся почти всюду на Г2. Следовательно, в этом классе обобщенная локализация справедлива на любом измеримом подмножестве Т2 при суммировании двойного ряда Фурье по квадратам. Ранее "таким ответом" в течение 27 лет был результат П.Щелина [12,13] о сходимости двойных рядов Фурье, суммируемых по квадратам, в классе L (log+ L)2 log+ log+ ¿(Г2). Заметим, что некоторые оценки этих "уже классических работ" используются и в настоящей диссертации.2

В I главе диссертации получены следующие результаты о справедливости обобщенной локализации почти всюду для двойных тригонометрических рядов Фурье в "промежуточных" между Lp, р > 1 и Li классах 3>(L).

Теорема I.I. Пусть ft — произвольное (непустое) открытое множество, ft С Т2, и пусть f £ L log+ L log+ log+ LiT2), f(x) = 0 на ft. Тогда

lim S'nia:; /) = О для почти всех ж € ft.

71—ЮО

3Ирн А' = 1 обобщенная локализация справедлива на любых измеримых множествах в классе L log+ L log+ log+ L (это следует из работы Н.Ю.Автонова [14].

Теорема I.II. Пусть S2 — произвольное (непустое) открытое множество, ft с Т2, и пусть / 6 L(log+ L)2(T2), f(x) = 0 на ft. Тогда для любого е > 0 существуют открытое множество íle С ft, pifte > l1^ — £ и константа Се > 0 такие, что

II sop |Sn(x; /)|||il(n.) < Ce Í|/(*)|(log+ \f(x)\)2 dx + «eze J2

Таким образом, сформулированный в теореме I.I результат показывает, нто для двойных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, обобщенная локализация справедлива на любом открытом п.в. множестве ft С Т2 в классе L log+ Z< log+ log+

Сопоставляя полученные результаты с результатом Н.Ю.Антонова о сходимости почти всюду на Т2 при суммировании по квадратам двойным рядом Фурье в классе L (Iog+ L)2 log+ log+ log+ L, мы видим, что требование равенства нулю функции на открытых подмножествах 11! С Г2 расширяет класс функций, двойной тригонометрический ряд которых сходится почти всюду на этих подмножествах ft, причем не только при суммировании по квадратам, но и по прямоугольникам.

Далее, естественно встает вопрос о справедливости обобщенной локализации (на открытых п.в. множествах) в "более широких", чем L log+ L log+ log+ L классах.

Некоторый ответ на поставленный вопрос дает следующая

Теорема I.III. Пусть ft-произвольное измеримое множество, Я С Т2, /jft > 0 (fj,-Mepa Лебега), не желающееся плотным в Т2 (ft 2 Т®)-Тогда для любой неубывающей функции Ф(и) — о(иlog+ log+ и) при и —> оо существуют подмножество Í20 С ft, pfto > 0 и функция f € Ф(i)(Г2) такие,что

1. /(ж) = 0 при а; € ft;

2. lim |£>п(:е;/)|= +оо для почти всех х £ fto-

П-+001 '

Для доказательства этой теоремы используется конструкция контрпримеров, предложенная И.Л.Блошанским в [9](см. также [6, теоремы 2 и 3]) для функций из ¿i('I'iV) при N = 2 и С(TN) при N > 3. Отсутствие

обобщенной локализации в указанных классах устанавливается с помощью функций из классов Ф(Ь)(Г1), Ф(и) = о(и log+ log+ и) при иоо, построенных Т.Кернером в [15] или С.В.Конягшшм в [16], одномерный тригонометрический ряд Фурье которых неограниченно расходится всюду на Т1.

3. Во II главе диссертации рассматриваются две взаимосвязанные задачи (представляющие, впрочем, и самостоятельный интерес). Первая заключается в изучении обобщенной локализации почти всюду в классах 'l'(L) для двойных интегралов Фурье.

Определение 2. Пусть Í2, £1 С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных интегралов Фурье функций из классов Ф(Ь) (из класса Loo) справедлива на множестве £1 обобщенная локализация почти всюду, если из условия g Е Ф(Ь)(КЛГ) (9 € Loo(Rw)), g(x) = 0 на íi следует, что почти всюду на fI существует предел

lim Ja(x;g) = 0.

n-кхз

Можно указать два подхода к изучению обобщенной локализации для интегралов Фурье. Первый заключается в непосредственном исследовании поведения интеграла Фурье функций, равных нулю на некотором множестве положительной меры. Вторым не менее эффективным подходом является использование теорем равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье. Тогда, если результат, полученный для ряда Фурье, находится в предположениях теорем равносходимости, то мы можем свести изучение кратного интеграла Фурье к исследованию кратного ряда Фурье. Поэтому закономерно, что второй задачей, рассматриваемой в диссертации, является исследование поведения на TN разности (4) (при а —> оо). На основании этих исследований в диссертации были получены результаты, касающиеся обобщенной локализации для двойных интегралов Фурье (см. теоремы II.IV и II.V).

Перейдем к подробному описанию результатов, связанных с вопросами равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье функций из классов Ф (L), известных на данный момент.

При N = 1 для функций / € £х(Тг) на любом сегменте, целиком

лежащем внутри интервала (—тг,7г), разность (4) — Ra{x\f\g) равномерно стремятся к нулю при а —» оо (при этом условие финитности (5) для функций д(х) несущественно) (см.[ 17, с.362-363]).

Для кратного случая исследование вопроса о поведении разности /?„(.%■;/) было проведено И.Л.Блошанским в работах [2,18,19]. Так, в случае N — 2 и р > Í в работе [2] доказано, что Ra(x; f;g) 0 при a -i оо (т.е. ттк,<л' a.j н> оо) для п.в. гёГ2 (условие (5) в данном случае также оказалось несущественно). Таким образом, при N ~ 2 и р > 1 двойной тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье в смысле сходимости почти всюду на Г2 ведут себя одинаково (при суммировании по прямоугольникам), что в данном случае позволяет получить "аналог" теоремы об обобщенной локализации для двойных интегралов Фурье.

Однако, дальнейшие исследования показали принципиальные различия в поведении кратного ряда и интеграла Фурье в случае N > 2, р = 1, а при N > 3 даже в классе С(TN). В работе [2] была выяснена существенность вида сходимости J?a(a;;/) и условий N — 2, р > 1. Были построены непрерывные функции: f\ € С(Т2) такая, что lim |-Ra(0;/i)l= +со, и функ-

а—юо' 1

ция /2 € ОТ*), N > 2, такая, что lim Iii,,(ж; /г)|= +оо всюду внутри TN.

a-loo1 '

В свою очередь, для р = 1 приведен пример функции /з 6 L\(TN) такой, что lim |7?Г1,(а;; /з)|= +оо в каждой точке х <£ TN.

а—>сс' 1

При построении указанных контрпримеров существенным являлось использование прямоугольного метода суммирования, что позволяло варьировать переменные аг Поэтому в работах [18] и [19] было продолжено исследование равносходимости разложений в кратный ряд и кратный интеграл Фурье в случае р — 1 (N > 2), но уже при суммировании по квадратам.

Так, в [18] была построена суммируемая функция / € ^(Т2) такая, что lim |/fCI0(.'c; /)!= +оо для п.в. х 6 Т2. И так как последняя оценка

ао—foo

выполняется за счет "разной скорости расходимости" двойного ряда Фурье функции j(x) и двойного интеграла Фурье функции д(т), д(х) — /(ж) при х £ Т2 (д(х) = О вне Г2) по одним и тем же подпоследовательностям {aq(k,x)}, а$(к,х) € R1, к — 1,2,..., то уже в работе [19] были построены две суммируемые функции / и д: f € Li(TN), д € Z.i(EN), N > 2,

совпадающие на TN, кратный ряд Фурье одной из которых (функции /) неограниченно расходится п.в. (по некоторым подпоследовательностям), в то время как кратный интеграл другой (функции д) сходится п.в. (по тем же самым подпоследовательностям).

Сформулированные выше результаты ставят вопрос о равносходимости разложений в двойной ряд и интеграл Фурье так же, как и для исследуемой в I главе диссертации обобщенной локализации, в классах, лежащих между L-S, и Lp,p> 1.

Используя результат теоремы I.I о справедливости обобщенной локализации для двойных рядов Фурье функций из класса L log+ L log+ log+ L, нами доказывается один из основных результатов второй главы.

Теорема II.I. Пусть функции / е L log+ L Iog+ log+ L(T2) и g(x) 6 L log+ L log+ log+ £(R2) такие, что g(x) = f(x) при x € T2 и g(x) = 0 при x € К2 \ T2. Тогда

lim Ra(x-,f;g) = 0 для почти всех xGT2.

а—>оо

Теорема II.II, Пусть J € L(log+ L)2(Г2) и g(x) € £(log+ Lf{R2) такие, что g(x) = f(x) при x £ 2f2 и g{x) — 0 при ж e R2 \ Т2. Тогда для любого е > 0 существует константа Се > 0 такая, что

II sup |Яа(х;/;0)|||Ы1?) < СЕ / b(x)|(log+ b(®)|)a<fc + Cs, i*l,a2>0 J

R2

ъде Т2 ~ {х € R2 : -тг + е < xj < тг - е, j- 1,2}.

Таким образом, из теоремы II.I следует, что для функций из класса L log+ L log+ Iog+ L двойной ряд и интеграл Фурье ведут себя одинаково в смысле сходимости п.в. на Г2, если g(x) — /(as), а; € Г3 и д(х) = 0 вне Т2.

Далее, естественно возникает вопрос о поведении разности Да(ж;/) в "более широких", чем L log+ L log+ log+ L классах. Некоторым ответом на поставленный вопрос является следующая теорема.

Теорема II.III. Для любой функции Ф(и) = о(и log+ log+ и) при и —)■ оо существует функция f £ Ф(Ь)(Та) такая, что

lim \Ra(x: f) = +00 в каждой точке х£Т2. (6)

а-+оо' 1

Для доказательства этой теоремы приводится контрпример, построение которого основано на использовании функций из классов Ф(£)(Т1) для любой функции Ф(«) = o(ulog+log+м) при а 4 оо с неограниченно расходящимся всюду па Т1 рядом Фурье, существование которых было доказано Т.Кернером [15] и С.В.Конягиным [16]. Заметим, что конструкция контрпримера, приведенная в теореме II.II, позволяет построить функцию /(ж) = д(х) при х £ Т2, обеспечивающую выполнение оценки (б) только за счет "разной скорости расходимости" ,?[„](?:; /) и Ja(x;g), д(х) — 0 вне Т2 (см. теоремы ИЛИ и II.VI). При этом, как и при доказательстве теоремы I.II, существенным является использование прямоугольного метода суммирования.

Исследования, проведенные в настоящей главе, показали, что для теорем I.I и LII об обобщенной локализации для рядов Фурье, можно получить их "аналоги" для интегралов Фурье.

Например, положительное решение вопроса о равносходимости разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из L log+ L log+ log+ L (см. теорему II.I) позволяет перенести на случай интегралов Фурье теорему I.I.

Теорема II.IV. Пусть Г2 — произвольное (непустое) открытое

множество, il С Т2, и пусть д £ L log+ L log+ log+ Ь(Ш2), д(х) — 0 на П. Тогда

lim. Ja(x;5) = 0 для почти всех гбй.

а-+оо

Следовательно, для двойных интегралов Фурье функций из класса L log+ L log+ log+ L (также, как и для двойных рядов Фурье) обобщенная локализация справедлива на открытых почти всюду множествах.

В свою очередь, теоремы I.I1 и II.II позволяют доказать следующий результат.

Теорема U.V. Пусть il — произвольное (непустое) открытое множество, 12 С Т2, и пусть д € L(log+ L)2(E?) такая, что д{х) = О на il (J (R2 \ Г2). Тогда для любого е > 0 существует открытое множество С П, > pii — en для любого S > 0 существует константа

> 0 такие, что

^ E2

где Tf = {ж 6 К2 : -тг -f <5 < х,- < тт - 6, j - 1,2}.

Далее, как следует из теоремы II.III, в классах Ф(£), определенных для любой функции Ф(и) = о(иlog+ log+ и), и —> оо, отсутствует равносходимость разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье, и, следовательно, теорема I.1II не находится в рамках теоремы равносходимости. Однако непосредственное исследование интеграла Фурье для функций из указанных классов позволяет получить интегральный "аналог" теоремы I.III.

Теорема II.VI. Пусть И-произвольное измеримое множество, fX С 212, /iß > 0 {ß~мера Лебега), не являющееся плотным в Г2 (И 2 Т2)-Тогда для любой неубывающей функции Ф(и) о(иlog+ log+ и) при и -ь оо существует подмножество Но С £2, ßQo > 0 и функция g е Ф(£)(Е2) такая,что

1. д(х) = 0 при х 6 О;

2. lim |J«(x;g)|=: +оо для почти всех х € Йо-

п—юо1 1

В заключение мне хотелось бы выразить глубокую благодарность моему научному руководителю, доктору физико-математических паук, профессору Блошанскому И.Л.

Литература

1. Tonelli L. Serie trigoaometriche. Bologna, 1928.

2. Блошанский И.Л. Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем.заметки. 1975. Т.18.2. С.153-168.

3. Блошанский И.JI. Обобщенная локализация почти всюду и сходимость двойных рядов Фурье // Докл.АН СССР. 1978. Т.242.1. С.11-13.

4. Carleson L. On convergence and growth of partial sums of Fourier scries // Acta math. 1966. V.116. P.135-137.

5. Hunt R.A. On the convergence of Fourier series //Proc.Conf.Edwards-ville, 1967. 111.: SIU Press.Carbondale, 1968. P.235-255.

6. Блошанский И.Л. Структура и геометрия максимальных множеств сходимости и неограниченной расходимости почти всюду кратных рядов Фурье функций из Li, равных нулю на задалном множестве //Изв. АН СССР. Сер. матем. 1989. Т.53.4. С.675-707.

7. Блошанский И.Л. Два критерия слабой обощенной локализации для кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp, р > 1 //Изв.АН СССР. Сер.матем. 1985. ТЛ9.2. С.243 282.

8. Bloshanskii I.L. Generalized localization and convergence tests for double trigonometric Fourier series of functions from Lp, p > 1 ,// Analysis Math. 1981. V.7.1. P.3-36.

9. Блошанский И.Л. Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Дисс.... докт. физ.-матем.наук. М., МИЛН, 1991.

10. Блошанский И.Л. О сходимости и локализации кратных рядов и ин-тегралдов Фурье. Дисе. ...канд. физ.-матем. наук. М., 1978.

11. Антонов Н.Ю. Сходимость почти всюду кратных рядов Фурье // Деп. в ВИНИТИ 24.11.97. 3444 - В97.

12. Sjolin.P. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V.9.1. P.65-90.

13. Sjolin P. An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh-Fourier series //Arkiv Matem. 1969. V.7.6. P.551-570.

14. Antonov N. Yu. Convergence of Fourier series //East J. Approx, 1996. V.2.2 P.187-196.

15. Korner T.W. Everywhere divergent Fourier series // Colloq.matli. 1981. V.45.1. P.103-118.

16. Konyagin S.V. On divergence of trigonometric Fourier series over cubes

//Acta Sci.Math.(Szeged). 1995. V.61. P.305-329.

17. Зигмупд А. Тригонометрические рады. T.2, M., "Мир". 1965.

18. Блошанский И.Л. О равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье при суммировании по квадратам // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. Т.40.3. С.685-705.

19. Блошанский Й.Л. Кратный интеграл и кратный ряд Фурье при суммировании по квадратам // Сиб. матем. ж. 1990. Т.31.1. С.39-52.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1. Рослова Т.Ю., Блошанский И.Л., Иванова O.K. Обобщенная локализация и равносходимость разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из £(1п+ L)2// Матем. заметки. 1996. С.437-441.

2. Рослова Т.Ю., Иванова O.K. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из класса L(ln+ X)2// Тезисы докл. 8-й Саратовской зимней школы. 1996. С.52-53.

3. Рослова Т.Ю. Равносходимость разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из класса L(ln+£)2// Тезисы докл. 8-й Саратовской зимней школы. 1996. С.93-94.

4. Рослова Т.Ю., Иванова O.K. Об обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из класса L(ln+ L)2 // Тезисы докл. Межд.конф. по теории приближений функций. Калуга. 1996. Т.1. С.106-107.

5. Рослова Т.Ю. О равносходимости разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций из класса L(ln+ L)2 // Тезисы докл. Межд.конф. по теории приближений функций. Калуга. 1996. Т.2. С.186-187.

6. Рослова Т.Ю. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье функция из L ln+ L lu+ ln+ L// Тезисы докл. Воронежской зимней матем. шк. Воронеж. 1997. С.145.

7. Рослова Т.Ю., Влогпанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная ло-

кализапия в классах Орлича// Тезисы докл. 9-й Саратовской зимней шк. 1998. С.26.

8. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский ИЛ. Обобщенная локализация для двойных рядов Фурье по тригонометрической системе и системе Уолша-Пэли// Тезисы докл. Межд. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва. 1998. С.12.

9. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для двойных рядов Фурье по тригонометрической системе и системе Уолша-Пэли// Труды Межд. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва. Изд. РУДН. 1998. Т.1.С. 33-35..

10. Рослова. Т.Ю. О равносходимости двойных рядов и интегралов Фурье// Труды Межд. конф. "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования." Москва. Изд. РУДН. 1998. Т.1. П, 134-137,

11. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для двойных рядов Фурье// Тезисы Межд. конф. "Теория приближений и гармонический анализ". Тула. 1998. С.48-50.

12. Рослова Т.Ю. О равносходимости двойных рядов и интегралов Фурье// Тезисы Межд. конф. "Теория приближений п гармонический анализ". Тула. 1998. С.223-224.

13. Рослова Т.Ю. О справедливости обобщенной локализации для двойных тригонометрических рядов Фурье функций из

И Докл.АН России. 1998. Т.359.6. С.744-745.

14. Рослова Т.Ю., Блошанская С.К., Блошанский И.Л. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических рядов Фурье и радов Фурье-Уолша функций из L log+ L log+ log+ L// Матем. сборник. 1998. Т.189.5. С.21-46.



МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РФ МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Физико-математический факультет Кафедра математического анализа

На правах рукописи

РОСЛОВА Татьяна Юрьевна

ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ И РАВНОСХОДИМОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ В ДВОЙНОЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель-

доктор физико-математических наук

профессор Блошанский И.Л.

Москва — 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.......................................................3

Глава I. ОБОБЩЕННАЯ ЛОКАЛИЗАЦИЯ ПОЧТИ ВСЮДУ ДЛЯ

ДВОЙНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ............16

Введение

§1 Обобщенная локализация почти всюду...........................19

1°. Вспомогательные утверждения...........................19

2°. Представление частичной суммы двойного тригонометрического

ряда Фурье ...................................25

3°. Обобщенная локализация для двойных тригонометрических

рядов Фурье функций из L log+ Llog+log+L.....................35

§2. Отсутствие обобщенной локализации на множествах, не

являющихся плотными в Г2...................................36

Глава II. РАВНОСХОДИМОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ В ДВОЙНОЙ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ

ФУРЬЕ........................................39

Введение

§1. Равносходимость разложений в двойной тригонометрический

ряд Фурье и интеграл Фурье функций из Llog+ Llog+log+L ...____43

1°. Вспомогательные утверждения.......................43

2°. Равносходимость при суммировании по прямоугольникам........53

§2. Отрицательные результаты...............................66

§3. Обобщенная локализация почти всюду для двойных интегралов

Фурье ......................................68

ЛИТЕРАТУРА..................................71

ВВЕДЕНИЕ

I

1. Рассмотрим N—мерное евклидово пространство M.N, элементы которого будем обозначать х — [х\,... , xjv), и положим ух = у\х\ +... 4- Vn%n , |х| = (х? + ... + х^/2.

Рассмотрим множество С всех векторов с целочисленными координатами и для любого X Е Z1 положим — {а € : otj > Л, j = = 1,... ,N}. Положим также Zf = П Rf.

Пусть Ф : [0,оо) [0, оо) - неубывающая функция. Через $(L)(T'JV) обозначим множество суммируемых на TN = {х € M.N: —ж < Xj < тг, j = = 1,... , N} функций / таких, что

У Ф(|/(аг)|)<йг<оо,

TN

а через Ф(Ь)(Ш.М) — множество суммируемых на R.N функций д таких, что

j Ф(|р(ж)|)«&гг < оо.

RN

Если Ф(и) = ир, то обозначим Ф(L) = Lp, р > 1; если Ф(г^) = и log+ и, где log+ и = log тах{1,«}, то Ф(L) — L log+ L.

Пусть 27г-периодическая по каждому аргументу функция f(x) € € Ф(L)(Tn), N > 1 разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье

rix) ~ Y1 • (°л)

feez*

Для любого вектора n = (ni,... ,njv) € рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда:

П\ TCJV

5п(®;/)= X] ... £ (0.2)

fci =—»j fcjv =—TCJV

частным случаем которой является квадратная частичная сумма 5По(ж;/), когда щ = 712 = ... = п^ = по. При этом под сходимостью ряда (0.1) по прямоугольникам будем понимать существование предела частичных сумм 5п(ж;/) — (0.2) при п -4 оо (т.е.^тт^п^ —¥ оо), а под сходимостью ряда (0.1) по квадратам — существование предела 5тео(а:;/) при По оо.

Пусть функция д € Ф(Ь)(Ш.М)У N > 1 разложена в кратный интеграл Фурье:

д(х) ~ I

Для любого вектора а — («1,... ,ск.лг) € М^ рассмотрим собственный интеграл Фурье:

«1 "л?

= /•'• / (0.3)

—ах -ал/

Частным случаем "прямоугольной частичной суммы" — (0.3) является "квадратная частичная сумма" «7ао, когда «1 = а2 — ... = «лг = <*()•

Пусть д{х) = /(х) при х € Т^. Обозначим через Иа{х] /) следующую разность

Да(®;/) = Яа(ж;/;р) = 5[а](ж;/) - Ла{х\д), (0.4)

где [а] = ([ац],... , [ск^]) € [а7] — целая часть а^ € М1. Будем предполагать при этом, что

д(х) = 0 вне Т*. (0.5)

Пусть О - произвольное измеримое множество, О С Т^, fj.il > 0 (¡л — = - ^-мерная мера Лебега), и пусть /(ж) = 0 на О.

В диссертации изучается поведение частичных сумм (0.2) при п оо и интегралов (0.3) при а оо функций из классов Ф(£), равных нулю на

некотором множестве fI положительной меры, а также исследуется поведение разности (0.4) при а -4 оо в зависимости от условий, накладываемых на функции f(x) и д{х).

2. Согласно классической теореме Римана о локализации при N = 1, р = 1 сходимость или расходимость ряда Фурье функции f(x) в точке х зависит от значения функции f(x) в окрестности этой точки, т.е. если f(x) = 0 на интервале I С Г1, то ряд Фурье этой функции сходится к нулю равномерно на любом интервале, целиком содержащемся в /.

В отличие от одномерного случая, при N > 2 принцип локализации справедлив только для крестообразных окрестностей. Для сферических окрестностей такая локализация неверна даже для непрерывных функций. Этот факт был установлен Л.Тонелли [1].

Указанные выше обстоятельства определяют дальнейшие направления исследований по проблемам локализации в кратном случае. С одной стороны, сохраняя принцип локализации в его классическом понимании, можно перейти к классам более гладких функций. С другой стороны, оставаясь в терминах классов Lp, р > 1, ввести более широкое понятие локализации.

В рамках последнего направления в работах [2] и [3] И.Л.Блошанским было введено следующее понятие обобщенной локализации почти всюду.

Определение 1. Пусть О, ÍI С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных рядов Фурье функций из классов Ф(L) (из класса L^) справедлива на множестве О обобщенная локализация почти всюду, если из условия f € $(L)(TN) (/ G Loo(TN)), f(x) = 0 на Í2 следует, что почти всюду на П существует предел

lim Sn(x\f) — 0.

п—>оо

При N — 1 обобщенная локализация справедлива на любых измеримых множествах Ü С Т1 в классаxlp, р > 1. Это следует из работ JI. Карлесона

[4] и Р. Ханта [5]. Если р = 1, то обобщенная локализация в одномерном случае справедлива на измеримом множестве О С Т1, цО, > 0 тогда и только тогда, когда это множество является открытым п.в.1 В части достаточности этот результат следует из классического принципа локализации Римана, необходимость доказана И. Л. Блошанским (см.[6, теорема 2 для N = 1]).

Для кратного случая исследования обобщенной локализации были проведены И. Л. Блошанским в работах [2, 3, 6-10]. Так, в случае N = 2 в работе [3] был доказан обобщенный принцип локализации п.в., заключающийся в том, что для функций / € ЬР(ТМ), р > 1 сходимость или расходимость двойного ряда Фурье (функции /) п.в. в некотором круге не зависит от поведения / вне этого крута.

Необходимо отметить, что усилить последний результат, доказав его в случае N = 2, р > 1 для произвольного измеримого множества, оказалось невозможным. В работе [8] были построены измеримое множество О С Т2 с мерой, сколь угодно мало отличающейся от меры квадрата Т2, и функция / € Ьоо(Г2), такие, что /(х) = 0 на 12, но Кт |£«(ж; /)|= +оо п.в. на Г2.

п—+оо'

Таким образом, для двойных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, обобщенная локализация справедлива в классах Ьр, р > 1 на открытых п.в. множествах.

Исследования, проведенные в [9], показали, что для пространств размерности N > 3 обобщенный принцип локализации п.в. уже не справедлив в классах ЬР(ТМ). В этой работе было установлено, что для любого измеримого множества С Ты, N > 3, //12 > 0, не являющегося плотным в Тн (12 2 ^ ~~ замыкание множества 12), обобщенная локализация почти всюду уже неверна в классе С(Тн) при суммировании кратного ряда Фурье по прямоугольникам.

Для того, чтобы обобщенная локализация была справедлива и при

1Множество 12 будем называть (см.[6],[7]) открытым почти всюду, если сущест-

вует открытое множество такое, что 1) = 0.

N > 3 необходимо потребовать большей гладкости рассматриваемых функций. Достаточные и близкие к ним необходимые условия справедливости обобщенной локализации на любых открытых множествах Q, С Т3 в классе С(Т3) в терминах модулей непрерывности найдены в [10]. В частности, в этой работе установлено, что обобщенная локализация справедлива на Q, если модуль непрерывности функции / ш(6, /) = o([log | log log log

S-* +0.

Если же рассматривать класс L%(TN), то обобщенная локализация несправедлива при всех N > 2. Более того, в [9] показано, что OJI неверна ни на каком множестве Ü С TN, даже при суммировании кратного ряда Фурье по кубам.

Таким образом, справедливость обобщенной локализации п.в. на тех или иных множествах fí С TN существенно зависит от степени суммируемости разлагаемых функций и размерности пространства N. Наряду с этим было выяснено, что обобщенная локализация зависит от структуры множества О.

3. Определение обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, рассмотренное выше, может быть аналогичным образом сформулировано и для кратных интегралов Фурье.

Определение 2. Пусть Í2, О С TN - произвольное множество положительной меры. Будем говорить, что для кратных интегралов Фурье функций из классов Ф(Ь) (из класса -Loo) справедлива на множестве Q1 обобщенная локализация почти всюду, если из условия g € Ф(Ь)(Ш.М) (.9 € Loo(M.N)), g(x) = 0 на Q. следует, что почти всюду на ft существует предел

lim Ja(x; g) = 0.

a—too

Можно указать два подхода к изучению обобщенной локализации для

интегралов Фурье. Первый заключается в непосредственном исследовании поведения интеграла Фурье функций, равных нулю на некотором множестве положительной меры. Вторым не менее эффективным подходом является использование теорем равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье. Тогда, если результат, полученный для ряда Фурье, находится в предположениях теорем равносходимости, то мы можем свести изучение кратного интеграла Фурье к исследованию кратного ряда Фурье. Поэтому закономерно, что второй задачей, рассматриваемой в диссертации, является исследование поведения на Тм разности (0.4) (при а оо). На основании этих исследований в диссертации были получены результаты, касающиеся обобщенной локализации для двойных интегралов Фурье (см. теоремы II.IV и II.V).

Перейдем к подробному описанию результатов, связанных с вопросами равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье функций из классов Ф(£), известных на данный момент.

При N — 1 для функций / € Ь^Т1) на любом сегменте, целиком лежащем внутри интервала (—тг, 7г), разность (0.4) — Ва(х; /; д) равномерно стремится к нулю при а —> оо (при этом условие финитности (0.5) для функций д{х) несущественно) (см.[ 11, с.362-363]).

Для кратного случая исследование вопроса о поведении разности 2?а(ж; /) было проведено И.Л.Блошанским в работах [2,12,13]. Так, в случае Ж = 2ир>1в работе [2] доказано, что /;д) 0 при а ->• оо (т.е.

пипк5<^а5 -»• оо) для п.в. х £ Т2 (условие (0.5) в данном случае также оказалось несущественно). Таким образом, при N = 2 ш р > 1 двойной тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье в смысле сходимости почти всюду на Т2 ведут себя одинаково (при суммировании по прямоугольникам), что в данном случае позволяет получить "аналог" теоремы об обобщенной локализации для двойных интегралов Фурье.

Однако, дальнейшие исследования показали принципиальные различия в поведении кратного ряда и интеграла Фурье в случае N > 2, р = 1, а при N > 3 даже в классе C(TN). В работе [2] была выяснена существенность вида сходимости Яа{щ /) и условий N = 2, р > 1. Были построены непрерывные функции: fi € С(Т2) такая, что lim |Ла(0; Л)|= +оо, и функ-

а—»оо1 1

ция /2 € C(TN), N > 2, такая, что lim |Яа(ж;/2)|= +оо всюду внутри TN.

а—>оо' 1

В свою очередь, для р = 1 приведен пример функции /3 € Li(TN) такой, что lim |i?a(rc: /з)|= +оо в каждой точке х € Т*^.

ск—Юо 1

При построении указанных контрпримеров существенным являлось использование прямоугольного метода суммирования, что позволяло варьировать переменные ctj. Поэтому в работах [12] и [13] было продолжено исследование равносходимости разложений в кратный ряд и кратный интеграл Фурье в случае р = 1 (N > 2), но уже при суммировании по квадратам.

Так, в [12] была построена суммируемая функция / € Li (Г2) такая, что lim |Да0(ам/)|= +оо для п.в. х € Г2. И так как последняя оценка

«о-ЮО1 1

выполняется за счет "разной скорости расходимости" двойного ряда Фурье функции f(x) и двойного интеграла Фурье функции д(х), д(х) = f(x) при х € Т2 (д(х) = 0 вне Г2) по одним и тем же подпоследовательностям {ао(к,х)}, ао(к,х) € К1, к — 1,2,..., то уже в работе [13] были построены две суммируемые функции fug: f € Li(TN), д £ L\{ RN), N > 2, совпадающие на TN, кратный ряд Фурье одной из которых (функции /) неограниченно расходится п.в. (по некоторым подпоследовательностям), в то время как кратный интеграл другой (функции д) сходится п.в. (по тем же самым подпоследовательностям).

II

Перейдем теперь к результатам, полученным в настоящей работе.

Как было отмечено выше, обобщенная локализация, различая в вопросах сходимости кратных рядов Фурье случаи размерности пространств

N = 2 и N > 2, справедлива для N = 2, р > 1, на открытых почти всюду множествах при суммировании двойного ряда Фурье по прямоугольникам. Уже при р = 1 такая локализация не справедлива ни на каких измеримых множествах О, it С Т2.

Оставался нерешенным вопрос о справедливости обобщенной локализации на открытых п.в. множествах в классах, "лежащих между" Li(TN) и LP(TN), р > 1 при N = 2.

Некоторый ответ на поставленный вопрос может быть дан, опираясь на результаты, касающиеся сходимости двойных тригонометрических рядов Фурье. Так, из недавно анонсированной работы [14] Н.Ю.Антонова следует, что для функций из класса L (log+ L)2 log+ log+ log+ L(T2) квадратные частичные суммы двойного тригонометрического ряда Фурье сходятся почти всюду на Г2. Следовательно, в этом классе обобщенная локализация справедлива на любом измеримом подмножестве Т2 при суммировании двойного ряда Фурье по квадратам. Ранее "таким ответом" в течение 27 лет был результат П.Шелина [15, 16] о сходимости двойных рядов Фурье, суммируемых по квадратам, в классе L (log+ L)2 log+ log+ ДТ2). Заметим, что некоторые оценки этих "уже классических работ" используются и в настоящей диссертации (см. доказательство теоремы I.I.).2

В I главе диссертации получены следующие результаты о справедливости обобщенной локализации почти всюду для двойных тригонометрических рядов Фурье в "промежуточных" между Lp, р > 1 и L\ классах Ф(L).

Теорема I.I. Пусть Q — произвольное (непустое) открытое множество, О С Т2, и пусть f € L log4" L log+ log+ L(T2), f(x) = 0 на Q. Тогда

lim Sn(x; f) = 0 для почти всех x £ ft.

n—too

2При N = 1 обобщенная локализация справедлива на любых измеримых множест-

вах в классе L log* Llog+ log"'" L (это следует из работы Н.Ю.Антонова [17]).

Теорема I.II. Пусть fi — произвольное (непустое) открытое множество, О С Т2, и пусть f е L(\og+ L)2^), f(x) = 0 на Ü. Тогда для любого е > 0 существуют открытое множество íl£ С fJ>£le > — ей константа С£ > О такие, что

II sup I Sn(x;f)W\Lline) < С£ [ \f(x)\(log+\f(x)\)2 dx + С£.

Таким образом, сформулированный в теореме I.I результат показывает, что для двойных рядов Фурье, суммируемых по прямоугольникам, обобщенная локализация справедлива на любом открытом п.в. множестве О С Г2 в классе L log+ L log+ log+ L.

Сопоставляя полученные результаты с результатом Н.Ю.Антонова о сходимости почти всюду на Т2 при суммировании по квадратам двойным рядом Фурье в классе L (log+ L)2 log+ log+ log+ L, мы видим, что требование равенства нулю функции на открытых подмножествах ÍI С Т2 расширяет

4 W W U U

класс функции, двойной тригонометрическим ряд которых сходится почти всюду на этих подмножествах О, причем не только при суммировании по квадратам, но и по прямоугольникам.

Далее, естественно встает вопрос о справедливости обобщенной локализации (на открытых п.в. множествах) в "более широких", чем L log+ L log+ log+ L классах.

Некоторый ответ на поставленный вопрос дает следующая

Теорема I.III. Пусть íl-произвольное измеримое множество, О С Г2, fiíl > 0 (/л-мера Лебега), не являющееся плотным в Т2 (Í2 2 Т2). Тогда для любой неубывающей функции Ф(и) = о(и log+ log+ и) при и -ь оо существуют подмножество fio С ß&o > 0 и функция f € Ф(Ь)(Г2) такие,что

1. f(x) = 0 при xGÍÍ;

2. lim |.í>n(ín; /)|= +оо для почти всех х

п-»оо'

Замечание. Результаты, полученные в теоремах I.I и I.III интересно сопоставить с результатом работы С. В. Конягина [18], доказавшим, что для любой функции Ф(и) = о(и log+ и log+ log+ и) при и —> оо существует функция / € Ф(£)(Г2), двойной тригонометрический ряд Фурье которой, суммируемый по квадратам, неограниченно расходится в каждой точке Т2.

Во II главе диссертации рассматриваются две взаимосвязанные задачи (представляющие, впрочем, и самостоятельный интерес). Первая заключается в изучении обобщенной локализации почти всюду в "промежуточных" между Lp, р > 1 и Li классах для двойных интегралов Фурье функций, равных нулю на произвольных открытых множествах О. Поскольку одним из способов решения поставленной задачи является использование теорем равносходимости, то второй задачей, рассматриваемой во II главе, является изучение вопроса о равносходимости разложений в двойной тригонометрический ряд и интеграл Фурье (при суммировании по прямоугольникам) в указанных классах.

Используя результат теоремы I.I о справедливости обобщенной локализации для двойных рядов Фурье функций из класса L log+ L log+ log+ L, нами доказывается один из основных результатов второй главы.

Теорема II.I. Пусть функции / G L log+ L log+ log+ L(T2) и g(x) 6 L log+ L log+ log+ L(R2) такие, что g(x) = f(x) при x £ T2 и g(x) = 0 при x € R2 \ T2. Тогда

lim Ra(x; /;g) = 0 для почти всех x € Г2.

a—¥oo

Теорема II.II. Пусть f £ £(log+ L)2^) и g{x) € i(log+i:)2( такие, что g(x) = f(x) при x € T2 и g(x) = 0 при x € К2 \ T2. Тогда для любого e > 0 существует константа С£ > 0 такая, что

|| sup \Ra(x;fig)\\\Lim <Се [ \g(x)\(log+\g(x)\)2dx + С£, «1,аг>0 J

где Т2 = {ж G К2 : -п + е < xj < тг - е, j = 1,2}.

Таким образом, из теоремы II.I следует, что для фун�