Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

РАВНОСХОДИМОСТЬ РАЗЛОЖЕНИЙ В КРАТНЫЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

Специальность 01.01.01 - вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 517.518.4+517.518.5

Графов Денис Александрович

2 7 МАП

Москва - 2015

005569492

Работа выполнена на кафедре математического анализа и геометрии физико-математического факультета Московского государственного областного университета.

Научный руководитель: Блошанский Игорь Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор

Официальные оппоненты: Голубов Борис Иванович

доктор физико-математических наук, профессор ("Московский физико-технический институт (государственный университет)", профессор кафедры высшей математики)

Гольдман Михаил Львович доктор физико-математических наук, профессор ("Российский университет дружбы народов" , профессор кафедры нелинейного анализа и оптимизации)

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

университет "СПбГУ"

Защита диссертации состоится 24 июня 2015 г. в 16:45 на заседании диссертационного совета Д 501.001.85 на базе Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские Горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М. В. Ломоносова (Ломоносовский пр-т, 27, сектор А, 8 этаж) и на сайте механико-математического факультета http://mech.math.msu.su

Автореферат разослан 15 мая 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.001.85 на базе МГУ, доктор физико - математических наук, профессор

Власов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Работа относится к важной и бурно развивающейся области многомерного гармонического анализа, имеющей широкое применение в различных отраслях современной науки и техники, - к теории кратных тригонометрических рядов и интегралов Фурье. Наиболее значительные исследования в области многомерного гармонического анализа проводятся с середины 60-х годов прошлого столетия. Здесь был обнаружен ряд новых закономерностей, резко отличающих кратные ряды и интегралы от одномерных.

Исследования в этой области дают обоснования решений методом Фурье эволюционных уравнений математической физики и позволяют исследовать граничные свойства аналитических функций многих переменных.

1. Рассмотрим ДГ-мерное евклидово пространство 3.Л', элементы которого будем обозначать х" = ..., х^), и положим (пх) — п\Х\ + • ■ • + п^-хн,

Введем множество М^ = {(гь ... , жлг) е ^ : Xj > а, .7 = 1,..., Щ, а е К1, и множество Xм С З.л' всех векторов с целочисленными координатами. Положим = К^ П

Пусть Ф: [0, оо) —» [0,оо) — неубывающая функция. Через Ф(Ь)(ТЛ) обозначим множество суммируемых на Тл' = (х € Йл': — ж < х^ < ж,] = 1,..., Щ функций / таких, что

а через Ф(£)(К^) — множество суммируемых на К.^ функций д таких, что

Если Ф(и) = ир, р> 1, то обозначим Ф(L) = Lp; если Ф(и) = «log+ и, где log+u = logmax{l,u}, то Ф(L) = £log+ L.

Пусть 27г-периодическая (по каждому аргументу) функция / G Ф(^)(ТЛГ) разложена в кратный тригонометрический ряд Фурье:

fix) ~ J2 c^i{kx)-

keZN

Для любого вектора п = (щ,... 6 рассмотрим прямоугольную частичную сумму этого ряда

$„(*;/) = Е ■•• Е с^{кх)>

частным случаем которой является кубическая частичная сумма 5По(а;; /), когда П\ = ■ ■ ■ — пм — щ.

Пусть функция д е Ф(£)(КЛ') разложена в кратный интеграл Фурье:

д(х) ~ I ШУ^М-а"

Для любого вектора а = (ед,...,адг) 6 К^ рассмотрим собственный интеграл Фурье

«1 ан

^(х; д) = I... I ■ ■ (2)

-»1 -ац

Частным случаем "прямоугольной частичной суммы" (2) является "кубическая частичная сумма" Ja0(x', д), когда а! = • • ■ = а^ = ао-

Предположим, что д(х) = /(:г) при х 6 ТЛГ. Обозначим через Яа(х; /, д) следующую разность:

Яа{х\ /, д) = Яа<п{х\ /, д) = ЗЦя; /) - д), (3)

и символом Яа{х\ /) разность

Да(х; /) = Яа,п(х] /) = 5„(а:; /) - $), если д(х) = 0 вне (4)

В диссертации изучается поведение разностей (3) и (4) при а —> оо (т.е. ^шш^а^ оо) в зависимости от гладкости функций и д(х), а также от ограничений, накладываемых на компоненты щ,..., пд и ..., а^ векторов п и а, в частности, изучается случай, когда некоторые из компонент этих векторов являются элементами (однократных) "лакунарных последовательностей" .

2. Хорошо известно, что в классах Ьр, р > 1, некоторые подпоследовательности частичных сумм рядов Фурье обладают лучшими свойствами сходимости почти всюду (п.в.) по сравнению со всей последовательностью £„(а:;/),

например, те подпоследовательности, у которых компоненты вектора п являются элементами (однократных) лакунарных1 последовательностей.

Так, в одномерном случае, А.Н.Колмогоровым2 ещё в 1922 г. было установлено: для любой функции / g L2(T1) lim SnW(x; f) = f(x) п.в. на T1, где

А->оо

{n<A>}, G Zg, Л = 1,2,..., — лакунарная последовательность. Указанный результат А.Н.Колмогорова был распространен в 1931 г. Дж. Литтлвудом и Р.Пэли3 на классы LP{Tl),p > 1. Позже Р. Госселином4 и В. Тотиком5 было установлено, что в Li(Tl) этот результат неверен. Далее, в 2005 г. С. В. Конягин6, во-первых, показал, что положительный результат справедлив для любой функции / G L(log+ L)(Tl). А во-вторых, он доказал, что для любой функции Ф(и) = о(и log+ log+ и) при м со, и для любой последовательности {n^}, пM € Z¿, пM оо при v ->■ оо, существует функция / G Ф(Ь)(Т1), для которой lim IS^mÍíe;/)| = +оо всюду на Т1. Затем в 2012 г. В. Ли7 было доказано, что для любой функции / G L(log+log+i)(log+log+log+L)(T1) и для любой лакунарной последовательности {п(А)}, п<л) G Z¿, А = 1,2,..., lim 5„(л) (я; /) = f(x) п.в. на Т1.

А-+30

Первый результат для кратных рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" был получен в 1971 г. П.Шёлиным8. Он доказал, что для любой лакунарной последовательности {rcj*1'}, G Zq,Ai = 1,2,..., и для любой функции / G Lp(T2), р > 1,

lim S m (x; f) — fix) п.в. на T2.

В 1977 г. М.Кожима9 обобщил результат П. Шёлина, доказав, что если функция / 6 р > 1, N > 2, и {nf^}, nf] G Z¿, \j = 1,2,..., j =

последовательность {n^}, n^ € называется лакунарной, если nf1' = 1 и > g > 1, s —

1,2.....

3 A. N. Kolrnogoroff. Une contribution à l'étude de la convergence des séries de Fourier // Fund. Math. 1924. V. 5. P. 96-97.

3 J. Littlewood, R. Paley. Theorems on Fourier series and power series // J. Lond. Math. Soc. 1931. V. 6. P. 230-233.

4 R. P. Gosselin. On the divergence of Fourier series // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. V. 9. P. 278-282.

6 V. Totik. On the divergence of Fourier series // Publ. math., Debrecen. 1982. V. 29. № 3-4. P. 251-264.

8 C.B. Коняган. О расходимости всюду подпоследовательностей частных сумм тригонометрических рядов Фурье // Теория функций. Сборник научных трудов.

Тр. ИММ УрО РАН. 2005. Т. 11. № 2. С. 112119.

7 V. Lie. On the point-wise convergence of the sequence of partial Fourier Sums along lacunary subsequences // J. Funct. Anal. 2012. V.263. P. 3391-3411.

8 P. Sjölin. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V. 9. № 1. P. 65-90.

9 M. Kojima. On the almost everywhere convergence of rectangular partial sums of multiple Fourier series // Sei. Repts. Kanazava Univ. 1977. V. 22. № 2. P. 163-177.

1,..., N — 1, — лакунарные последовательности, то

lim 5 (м) (x;f) = f(x) п.в. на TN.

Ai,.... Ajv-l.nw-K» ."к

В том же 1977 г. Д. К. Санадзе, Ш. В. Хеладзе10 обобщили результат М.Кожимы на классы L(log+ L)3'^2^). И в 2014 г. Н.Ю.Антонов11 доказал, что если / е £(log+ L)A'-1(log+ log+ L)(log+ log+ log+ log+ L)(TN), то последовательность Snw(x;f) сходится п.в. на (здесь n'A) = {öin[X^ + 0( 1), ..., + 0(1)) € Zq, öi, ...,6h - положительные вещественные

числа, a n^1' - произвольная лакунарная последовательность).

Далее, аналогичная тенденция (т.е. улучшение свойств сходимости п.в. "лакунарной последовательности частичных сумм" по сравнению со всей последовательностью Sn(x; /)) была обнаружена при исследовании обобщенной локализации почти всюду и слабой обобщенной локализации почти всюду кратных тригонометрических рядов Фурье функций из Lp(TN), р > 1, N > 3.

3. Далее, перейдем к вопросам равносходимости разложений в ряд и интеграл Фурье.

Рассмотрим разности (3) и (4) при условии, что компоненты "номеров" п е Zq и ö £ 1JV "частичных сумм" Sn(x;f) и Ja(x\ g) связаны соотношениями:

nj = [Qj]> гДе Iaj] _ целая часть aj е Kq, j == 1,..., N. (5)

При N = 1 для функции / € L^T1) на любом отрезке;, целиком лежащем внутри интервала (-7Г, тг), разность Ra(:г; /, д) равномерно стремится к нулю при а —>■ оо12. Таким образом, в одномерном случае имеет место равномерная равносходимость разложений в тригонометрический ряд и интеграл Фурье.

Для кратного случая исследование вопроса о поведении разностей Ra(x;f,g) и Ra(x-,f) при суммировании как по прямоугольникам, так и по квадратам, было проведено И. J1. Блошанским.

Равносуммируемость сферических и интегральных сферических Вохнера-Рисса была исследована И.Стейном13 (см. также обзорные статьи

10 Д. К. Санадзе, Ш. В. Хеладзе. О сходимости и расходимости кратных ]>ядов Фурье-Уолша // Тр. Тбилисск. мат. ин-та АН Груз. ССР. 1977. Т. 55. С. 93-106.

11 Н.Ю. Антонов. О сходимости почти всюду лакунарных последовательностей кратных прямоугольных сумм Фурье И XXII Меяедународная конференция "Математика. Экономика. Образование". VIII международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладэв. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. 2014. С. 7.

12 А. Зигмунд. Тригонометрические ряды. Т. 2. М.: Мир, 1965.

13 Е. Stein. On certain exponential sums arising in multiple Fourier series // Ann. Math. 1961. T. 73. № 1. C. 87-109.

Б. И. Голубова14 и Ш. А. Алимова, Р. Р. Ашурова, А. К. Пулатова15).

Опираясь на результаты 1966 г. JI. Карлесона16 и 1967 г. Р.Ханта17, в 1975 г. И. JI. Блошанский18 доказал, что для N = 2 и р > 1 Ra(x\f,g) ->■ 0 при а —»• оо п.в. на Т2. Точнее была доказана следующая

Теорема А. Для любых функций д(х) и f(x) таких, что д 6 LP(R2), / е LP(T2), р>1,и д(х) = f(x) при X е Т2,

lim Rai,a2(x'i fi в) = 0 почти всюду на Т2;

>0О '

более того,

sup \Rc1>a2{x]f,g)\

a\,a¡>0

Lp( TP)

где константа С(р) не зависит от функций fug.

Таким образом, при N = 2 и р > 1 тригонометрический ряд и интеграл Фурье в смысле сходимости п.в. на Т2 при суммировании по прямоугольникам ведут себя одинаково. В той же работе И. JI. Блошанским была выяснена существенность вида сходимости Ra(x\ /, g) и условий N = 2, р > 1. А именно, были построены непрерывные функции f\ е С(Т2), такая, что Пт |Да(0; /i)| = +оо, и /2 е С(Т^), N > 2, такая, что Шп \Ra(x-, /2)| = +оо

а—>оо а^оо

всюду внутри T*v. В классе же L\ приведен пример функции /з такой, что lim \Ra(x\ /3)| = +оо в каждой точке х G Т^, N > 2.

а—уоо

Дальнейшее исследование вопросов равносходимости пошло по двум направлениям. В первом случае возник вопрос о возможности построения контрпримеров (при р = 1, N > 2) для суммирования по квадратам (из работ Н. Р. Тевзадзе19 и П. Шёлина8 следует, что для N > 3 и р > 1 Rao(х; f,g)—> О при ао ~► оо п.в. на T'v). Это было связано с тем, что при построении контр-

14 Б. И. Голубов. Кратные ряды и интегралы Фурье //В сб. Итоги науки и техники. Серия Матем. анализ. М.: ВИНИТИ, 1982. Т. 19. С. 3-54.

15Ш. А. Алимов, P.P. Ашуров, А.К. Пулатов. Кратные ряды и интегралы Фурье // В сб. Итоги науки и техники. Соврем, пробл. матем. М.: ВИНИТИ, 1989. Т. 42. С. 7-104.

18 L. Caxleson. On convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta Math. 1966. V. 116. P. 135-157.

17 R. Hunt. On the convergence of Fourier series // Proc. Conf. Edwardsville 111. 1967, Southern Illinouis Univ. Press. Carbondale Ш. 1968. P. 235-255.

18 И. Л. Блошанский. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 153-168.

19 Н. Р. Тевзадзе. О сходимости двойного ряда Фурье функции, суммируемой с квадратом // Сообщ. АН Груз. ССР. 1970. Т. 58. № 2. С. 277-279.

8 Р. Sjölin. Convergence almost everywhere of certain singular integrals and multiple Fourier series // Arkiv Matem. 1971. V. 9. № 1. P. 65-90.

примеров учитывался прямоугольный метод суммирования, что, в свою очередь, давало возможность "варьировать переменные" aj.

Так, в 1976 г. была построена суммируемая функция / € £i(T2), такая, что lim \Raa(x; /)| = +оо для п.в. х G Т2 20. Последняя оценка выполняется

CCQ-.ЮО

за счет "разной скорости расходимости" двойного ряда Фурье функции f(x) и двойного интеграла Фурье функции д(х), д(х) = f(x) при х 6 ТГ2, д(х) = О вне Т2, по одним и тем же подпоследовательностям {ао(к, х)}, ao(k, i) е I1, к = 1,2,.... Позже, в 1990 г. были построены две суммируемые функции / и д: / G Li(TN), д G Li(Rn), N > 2, совпадающие на TjV и такие, что кратный ряд Фурье функции / неограниченно расходится п.в. на TN по некоторым подпоследовательностям, в то время как кратный интеграл Фурье функции д сходится п.в. по тем же подпоследовательностям21.

Далее, поскольку, начиная с трехмерного случая (как было доказано в работе 18) равносходимость п.в. разложений в ряд и интеграл Фурье при суммировании по прямоугольникам отсутствует даже для непрерывных функций, то вторым направлением исследования стал вопрос о нахождении "классов равносходимости" при N > 3.

Так, в 1978 г. И. JT. Блошанским22 было установлено, что для функций / б №"(Т3), где

HW(JN) = | / € С(Т") : w(6, f) = sup I/(*) - f(y)\ = 0(uj(6)) \ , I l«-y| <s. I

l. г,VET" )

u(S) = о(ш0(5)) при 6 +0, а ш0{6) = (log j log log log

/) 0 при а -)• оо п.в. на Т3.

Класс функций Нш{Т2), ш{6) = o(w0(J)) при J ->• +0, впервые появился в работе К. И. Осколкова23, где была доказана сходимость п.в. в этом классе двойных рядов Фурье (суммируемых по прямоугольникам).

20 И. Л. Блошанский. Равносходимость разложений в кратный ряд и интегр!ш Фурье при суммировании по квадратам // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. Т. 40. № 3. С. 685-705.

21 И. Л. Блошанский. Кратный интеграл и кратный ряд Фурье при суммировании по квадратам // Сиб. матем. журн. 1990. Т. 31. 1. С. 39-52.

1S И. Л. Блошанский. О равносходимости разложений в кратный тригоном(!трический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 153-168.

22 И. Л. Блошанский. О сходимости и локализации кратных рядов и интегралов Фурье. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1978.

23 К. И. Осколков. Оценка скорости приближения непрерывной функции и ее сопряженной суммами Фурье на множестве полной меры // Изв. АН СССР. Серия матем. 1974. Т. 38. №6. С. 1373—1407.

Однако, уже в классе #Ш2(Т3), определяемом модулем непрерывности ил(6) = А(<5) • где wi(5) = (log|)_1, а произвольная функция А(<5) удовлетворяет (при <5 —> +0) двум условиям: А(<5) монотонно стремится к +оо и А(<5) • (log j) стремится к +0, равносходимость п.в. не справедлива (доказательство этого факта22 опирается на оценки работы М. Бахбуха и Е. М. Никишина24, где была построена функция из класса ЯЫ1(ТГ2), прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье которой расходятся в каждой точке квадрата [—7г + е, п — е]2, е > 0).

Далее, в 1996 г. И.Л. Блошанским, O.K. Ивановой и Т. Ю. Рословой25 было доказано, что для функций / € L(log+ L)2(T2) равносходимость рассматриваемых разложений имеет место, т.е. lim Rtt(x-, /) = 0 п.в. на Т2.

а-» оо

В этой же работе они доказали, что существует функция / €

L(log+log+L)1_£(T2), 0 < е < 1, такая, что lim |iiQ(ar;/)| = +оо для пост—юо

чти всех а; е Т2.

И в 1998 г. Т. 10. Рослова26, во-первых, усилила отрицательный результат И.Л. Блошанского18, доказав, что для любой функции Ф(и) = о(и log+ log+ и) при и —> оо существует функция / 6 Ф(£)(Т2) такая, что lim |Ra(x; /)| = +оо всюду на Т2. А, во-вторых, она показала, что для лк>-

а-юо

бой функции / е L(log+L)(log+log+L)(T2) lim Ra(x;f) = 0 п.в. на Т2.

а-* оо

4. Полученные в рамках второго направления (т.е., нахождения "классов равносходимости" при N > 3) результаты поставили вопрос о справедливости равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) при дополнительных условиях на функции f(x) и д(х) (в частности, в классах Lp, р > 1, при N > 3), и дополнительных ограничениях на вектор а.

Цель работы. Основной целью работы является изучение вопросов справедливости равносходимости п.в. разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций / £ LP(TN) и д € Lp(RN), р > 1, N > 3, д(х) = f(x) на Т^, в случае, когда "прямоугольные частичные суммы" ука-

22 И.Л. Блошанский. О сходимости и локализации кратных рядов и интегралов Фурье. Дисс. ... канд.

физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1978.

24 М. Бахбух, Е. М. Никишин. О сходимости двойных рядов Фурье от непрерывных функций // Сиб. матем. журн. 1973. Т. 14. №6. С. 1189-1199.

25И. Л. Блошанский, O.K. Иванова, Т.Ю. Рослова. Обобщенная локализация и равносходимость раз-

ложений в двойной тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье функций из £(log+ L)2 // Матем.

заметки. 1996. Т. 60. № 3. С. 437-441.

28 Т. Ю. Рослова. Обобщенная локализация и равносходимость в двойной ряд и интеграл Фурье. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. М.: МПУ, 1998.

18 И. Л. Блошанский. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. №2. С. 153-168.

занных разложений, т.е. 8п(х\ /) и За{х\д) соответственно, имеют "номера" тг б Zo/ и а е Жд', в которых некоторые компоненты являются элементами "лакунарных последовательностей".

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для размерности пространства Ы, N > 3, доказано существование (построены) двух непрерывных функций /(х) и д(х) (совпадающих на основном кубе Т^), обладающих следующими свойствами: кратный тригонометрический ряд Фурье (суммируемый по прямоугольникам) функции /(я) сходится в каждой точке Т^, в то время как кратный интеграл Фурье ("суммируемый по прямоугольникам") функции д(х) неограниченно расходится в каждой внутренней точке Т^.

2. Доказано, что в классах Ьр, р > 1, имеет место равносходимость почти всюду на Т2 разложений в двойной тригонометрический ряд Фурье и двойной интеграл Фурье (в случае суммирования по прямоугольникам), если целочисленные компоненты п^ вектора п = (пьпг), "номера" частичной суммы ряда, и вещественные компоненты aj вектора а = (а1,а2), "номера частичной суммы" интеграла, связаны соотношениями: | п^ — а,- |< д, 3 = 1,2, где д некоторая константа, не зависящая от пи а.

3. Для широкого класса измеримых множеств (положительной меры) {Е}, Е с Т^, N > 3, получен критерий справедливости (в терминах структуры и геометрии множества Е) равносходимости почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье в классах Ьр, р > 1, в случае, когда "прямоугольные частичные суммы" рассматриваемых разложений имеют соответствующие "номера" п = (щ,..., пЛ') и а = (аь ..., а^), в которых некоторые компоненты п^ и являются элементами лакунарных последовательностей.

4. Для кратного интеграла Фурье с "вещественной лакунарной последовательностью частичных сумм" в классах Ьр, р > 1, N > 2, найдены необходимые и достаточные условия (с точки зрения количества лакунарных компонент в "номере частичных сумм") сходимости почти всюду на Тл'.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций и функционального анализа.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения поведения "частичных сумм" кратных тригонометрических рядов и интегралов Фурье.

Апробация диссертации. Полученные в диссертации результаты докладывались автором на следующих научных семинарах:

МГУ, механико-математический факультет: семинар по теории функций действительного переменного под руководством академика РАН Б. С. Кашина, чл.-корр. РАН С. В. Конягина, д.ф.-м.н., профессора Б. И. Го-лубова, д.ф.-м.н., профессора М. И. Дьяченко (2014 г.); семинар "Тригонометрические и ортогональные ряды" под руководством д.ф.-м.н., профессора М. И. Дьяченко, д.ф.-м.н., профессора В. А. Скворцова, д.ф.-м.н., профессора Т. П. Лукашенко, д.ф.-м.н., профессора М. К. Потапова (2013 г.);

Российский государственный педагогический университет имени А.И.Герцена, математический факультет: городской семинар по конструктивной теории функций под руководством д.ф.-м.н., профессора М. А. Скопиной (2015 г.);

Московский государственный областной университет, физико-математический факультет: научно-исследовательский семинар кафедры математического анализа и геометрии под руководством д.ф.-м.н., профессора И. Л. Блошанского (неоднократно: 2011 - 2014 гг.).

Содержащиеся в диссертации результаты докладывались автором на следующих конференциях: на VII международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2012 г.); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2013 г.); на Четвёртой Международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 90-летию со дня рождения чл.-корр. РАН Л. Д. Кудрявцева (Москва, РУДН, 2013 г.); на международной конференции "Kangro-100. Methods of Analysis and Algebra International conference dedicated to the centennial of Professor Gunnar Kangro" (Tartu, Estonia, 2013 г.); на 17-ой международной Саратовской зимней математической школе, посвященной 150-летию со дня рождения В. А. Стеклова "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2014 г.); на XXV Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" (Воронеж, 2014 г.); на на VIII международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения" (Ростов-на-Дону, 2014 г.).

Тематика работы поддержана грантом РФФИ № 14-01-00417.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 12 ра-

ботах (три из перечня ВАК), список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах Блошанскому И.Л. принадлежат постановка задачи и методика исследования. Детальное доказательство проведено Графовым Д. А. самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 147 страниц, список литературы содержит 36 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор результатов, связанных с вопросами сходимости рядов Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм", а также вопросами справедливости равносходимости п.в. разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье при суммировании как по прямоугольникам, так и по квадратам, и приводятся формулировки результатов, полученных в диссертации.

Глава I настоящей работы посвящена исследованию вопроса о равносходимости на Т^ разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций / е ДрСГ*) и д е ¿„(К*), р > 1, N > 2, д(х) = /(х) на Т^, в случае, когда "частичные суммы" указанных разложений, т.е. 5„(х; /) и 1а(х-, д) соответственно, имеют "номера" га € и а е в которых некоторые компоненты являются элементами "лакунарных последовательностей".

В § 1.1 главы I мы рассматриваем поведение разностей Ла(х; /, д) = /) — Ja{x\g) (3), (4) при N > 2, когда компоненты п^ вектора п 6 и компоненты а^ вектора а е Кд' связаны более широким соотношением, чем (5), а именно:

\а}-п}\<в, j = l,...,N, (6)

где д — некоторая константа, не зависящая от п и а.

Также в данном параграфе мы исследуем вопрос об эквивалентном поведении разностей Яа(х; /,д) - ¿'„(х; /) - За(х\ д) и

Д5п+т(а;;/) = 5п+т(а:;/)-5п(х;/), п, т 6 %%. (7)

На первый взгляд, обе эти разности должны "вести себя в предельном случае" (т.е. в случае, когда а->ооип->-оо, а параметр т ограничен) одинаково (т.к. имеют одно и то же количество "особенностей"), но это оказалось не так.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.1. Для любого а = (аь аг), а е удовлетворяющего условию (6), и для любых функций д(х) и /(х) таких, что д е Ьр(й2), / € Ьр(Т2), р > 1, и д{х) = f(x) при х е Т2,

lim Raua2(x; f, д) = 0 почти всюду на Т2;

öi.aj—>оо

более того,

sup (z;/, g) I

»l,O!>0

< c(p)||g|Up(R2))

LP(T>)

где константа C(p) не зависит от функций fug.

Результат теоремы показывает, что в двумерном случае в классах Lv,p> 1, равносходимость п.в. разложений в тригонометрический ряд и интеграл Фурье имеет место,при условии, что компоненты rij и aj векторов п и а связаны соотношением (6).

Эквивалентным теореме I.I является следующий результат.

Теорема I.I'. Для любой ограниченной последовательности {m(n)}, m(n) е Z2, п G Zq, и для любой функции f е Lp(Т2), р > 1,

lim RSn+mtn)(x; f) = 0 почти всюду на Т2.27

п—>оо

Результат, сформулированный в виде теоремы I.Iозначает, что для последовательности частичных сумм двойных рядов Фурье функций из Lp, р > 1, имеет место свойство "почти фундаментальности" .

Замечание 1. Под эквивалентностью теорем I.I и I.I' мы подразумеваем, что из справедливости теоремы I.I следует справедливость теоремы I.I', а из результата теоремы I.I' (плюс результат теоремы А) следует результат теоремы I.I.

Естественно, встает вопрос о поведении разностей RSn+m(x; /) и Ra{x', f) при N > 3. Как оказалось, начиная с трехмерного случая, указанные разности не эквивалентны. Точнее, справедливы следующие результаты. Для разности RSn+m(x; /) имеет место

Теорема I.II. Для любой ограниченной последовательности {m(n)}, m(n) 6 Z2, п = (п\,П2) Е Z2, для любых лакунарных последовательностей {пnf^ G Zj, Aj = 1,2,..., j = 3,...,N, и для любой функции

27 Заметим, что эта оценка справедлива и для расходящихся п.в. двойных рядов Фурье.

/ e LP(TN), р > 1, N > 3, почти всюду на TN

lim RS , , « , \ ад (а„)(х: /) = 0.

В свою очередь, для разности Ra(:г; /) справедлив следующий результат, который уточняет отрицательный результат И. Л. Блошанского18.

Теорема I.III. Существует функция / G CÇT1*), N > 3, такая, что для любых N — 2 возрастающих последовательностей {а^}, G Kg, а^ оо при i/j -> оо, j = 3,..., JV,

lim („3) (vN)(x: /)| = +oo всюду внутри TN.

Результат теоремы I.III, с точки зрения вопросов равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье (которые мы исследуем в настоящей работе), показывает, что как только мы оставляем две компоненты вектора п (а значит и вектора а) "свободными" (т.е., в частности, не являющимися элементами никаких лакунарных последовательностей), то класс С(ТЛГ), N > 3, уже не есть "класс равносходимости п.в." указанных разложений.

В § 1.2 главы I нами исследуется вопрос о справедливости равносходимости рассматриваемых разложений в случае, когда не более одной компоненты в векторе а остается "свободной".

Для формулировки результатов введем следующие понятия и обозначения.

Пусть {пМ}, пМ G ZJ, к = 1,2,..., - произвольная лакунарная последовательность, и пусть q - некоторая постоянная.

Определение 1. Последовательность {qW}, аG Kg, к = 1, 2,..., будем называть вещественной лакунарной последовательностью, если = nW) к— 1,2,... (здесь [£] — целая часть £ 6 R1), и обобщенной вещественной лакунарной последовательностью, если

|aw-nw|<ft к = 1,2,________(8)

Пусть M — множество чисел {1,...,ДГ} и k G М. Обозначим через Jk = {ji,-,jk}, ja < ji при s < l, и (в случае к < N) M \ Jk = {mi,... ,mjv_fc}, ms < mi при s < l, — непустые подмножества множества M. Пусть v — v(Jk) = (v^,..., fjj S Z§, js G Jk, s = l,...,k. Символом nM = rS^ [Jk] = (щ,..., пдг) G Zq' обозначим /V-мерный вектор, y которого

18 И. Л. Блошанский. О равносходимости разложений в кратный тригонометрический ряд Фурье и интеграл

Фурье // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 2. С. 153-168.

компоненты nj с номерами j = js, s = 1,..., к, являются элементами некоторых (однократных бесконечно больших) последовательностей натуральных чисел (при j G Jk : nj — п^ и п^' —>■ оо при i/j —>• оо). В частности, символом nW = п«[Л] G (где Л = Л(Л) = (Ajl(..., Xjk) G Zg, js G Л, s = 1,..., k) будем обозначать iV-мерный вектор, у которого компоненты щ, j G Jk, являются элементами некоторых (однократных) лакунарных последовательностей, а символом = = (а1:...,а#) G Rq обозначим iV-мерный вектор, у которого компоненты aj, j G Jk, являются элементами некоторых (однократных) обобщенных вещественных лакунарных последовательностей. При этом последовательности частичных сумм Snw[j^(x-, f) и Ja(\)^(x-,g) будем называть соответственно " J^-лакунарными последовательностями прямоугольных частичных сумм" ряда Фурье и интеграла Фурье.

Справедлив следующий результат

Теорема I.IV. Для любого с М, N >3, и для любых функций д(х) и f(x) таких, что д G LP(RN), / € LP(TN), р> 1, д{х) = f(x) при х G Тл', если числа aj G Mj и rij G Zg, j G M \ Jn-i, удовлетворяют условию (6), то

^ lim /, g) = 0 почти всюду на Т^;

более того,

sup \Raw[jNAx-J,g)\

xj>o,jejN_1, 3j>0,j£M\JN_l

< ОДЫ^СК»),

Ьр(Г")

где константа С(р) не зависит от функций fug.

Следствие (теоремы I.IV). Для любого JN_X С М, N >3, и для любой функции g G LP(RN), р > 1,

lim

Ja(A)[i;w_1](x;g) = g(x) для почти всех x G ТЛ.

Результат теоремы 1.1У (для N > 3) оказался в каком-то смысле эквивалентен результату теоремы 1.1 (для N = 2), т.е. лакунарность N—1 компоненты в ЛГ-мерном векторе а разности Иа{х\ f, д) (теорема 1.1У) "заменяет" одну свободную компоненту в двумерном векторе («1,0:2) разности ДвьС)2(ж; /, д) (теорема 1.1). В таком случае по-прежнему стоит вопрос о справедливости

равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) при N > 3 либо в более "узких классах" , чем С(ТЛ'), либо в классах Lp, р > 1, при дополнительных условиях на функции f(x) и д(х), но уже в случае, когда две или более компонент вектора а являются одномерными лакунарными последовательностями.

В § 1.3 главы I нами получено некоторое продвижение в первом направлении данного вопроса. Обозначим

ЯШ"(Т3) = |/ G С(Т3) : u*(S,f)= sup \f(xux2,x3)-f(xi,y2,y3)\=0(u(6))\,

(Ч-И^-К^З-уз)*«'*. )

здесь u(5) = o(w0(S)) при S +0 (очевидно, что ЯШ(Т3) С Я"*(Т3)).

Теорема I.V. Для J\ = {1} и для любой функции f iE Ны'(Т3) при условии, что otj £ и rij £ Z], j е М \ Ji, удовлетворяют (6),

lim i?Qw[ji(a;; f) — 0 почти всюду на Т3;

Aj—PoOfjEJj, atj—юо, J'£M\ Ji

более того, существует число р — p(f) £ Rj6 такое, что

sup |Яа<А)ш(з;;/)| oWf^JeRJ

<C(p)[^(l,f) + \\f\\Lp{Ti)], р> 1,

где константа С(р) не зависит от функции f(x).

И, наконец, в § 1.4 главы I нами доказана теорема (которая обобщает отрицательный результат Т. Ю. Рословой26), о том, что в двумерном случае равносходимость п.в. (рассматриваемых разложений) будет отсутствовать в классе Ф(£), где Ф: [0, оо) -> [0, оо) — любая неубывающая функция, удовлетворяющая условию Ф(и) = о(и log+ log+ и), и —у оо.

Теорема I.VI. Для любой функции Ф(и) = o(tdog+lcg+u) при и —оо, и для любых возрастающих последовательностей {aj"J'}, а^ е Rg, а^ -> оо при Vj —> оо, j = 1,2, существует функция / 6 Ф(Ь)(Т2) такая, что

lim и)(а;;/)| = +оо всюду внутри Т2 28

УОО °l ta2

28 Т. Ю. Рослова. Обобщенная локализация и равносходимость в двойной ряд и интеграл Фурье. Дисс.

... канд. физ.-мат. наук. М.: МПУ, 1998.

28 В частности, каждая последовательность {о^"1'} может быть лакунарно:! последовательностью.

В главе II нами получено некоторое продвижение во втором направлении исследования равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье - поиске дополнительных условий на функции /(х) и д(х) из классов 1/р, р > 1, для справедливости равносходимости исследуемых разложений. И в качестве таких достаточных условий мы рассматриваем равенство нулю функции }{х) на множествах определенного вида.

В §2.1 главы II мы описываем класс "самых простых" множеств, на которых справедлива равносходимость п.в. (рассматриваемых разложений) в классах Ьр,р > 1, N > 3, в случае, когда "частичные суммы" указанных разложений, т.е. 5„(а;; /) и имеют "номера" п € и а е в

которых некоторые компоненты являются элементами "лакунарных последовательностей ".

Введем следующие обозначения.

Разложим пространство Е'"' на сумму двух подпространств и К[М \ Л], где Е[Л] = {х = (хи..., хА') е : ху = 0 при з е М \ Л}. Обозначим также Т[Л] = {х е : -тг < х, < 7Г при ] е Л}. Очевидно, что

= К", а Т[Лг] = Т*.

Пусть П, с ТЛ', ЛГ > 2, — произвольное (непустое) открытое множество, и пусть П[7г] = Ргш{Щ ~ ортогональная проекция множества П на плоскость М[72], С М.

Положим

\У[Ц = ЭД X Т[М \ 72], Зг С М 29. (9)

Множества \V\Jq\ будем называть "УУ-мерными брусками". Далее, для любого Л, 0 < А < ЛГ - 2, рассмотрим следующие множества: множество

Ш = = = У (10)

ЛСАЛЛ

и множество

= = П (И)

7асЛЛЛ

В § 2.1 доказана следующая теорема.

29 При этом любой вектор г = (гь..., г^ы) € А х В , где А С ЩЛ]> а В С К[М \Л]| мы отождествляем с вектором х — (х,.....хн) € Г^'7 по формуле

{г, при я е Л,

при seM\Jk.

Теорема II.I. Для любого Jk с М, 1 < к < N - 2, N > 3, и для любой функции f € LP(TN), р> 1, f(x) = 0 на W,

^ Jim ^ /) = 0 для почти всех х е W0.

Qj-fOO,

Результат теоремы показывает, что для кратных рядов и интегралов Фурье с " Jfc-лакунарными последовательностями частичных сумм" равносходимость п.в. (рассматриваемых разложений) в классах Lp, р > 1, при N > 3 будет справедлива на множестве W° = WQ(Jk) вида (И) при условии равенства нулю функции f(x) на множестве W = W(Jk) вида (10).

Естественно, встает вопрос о том, можно ли в теореме II.I добиться равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) на всем множестве W(Jk).

Если при N > 3 величина k = N — 2, то справедливо следующее

Следствие (теоремы II.I). При N > 3 для любого J^-2 С М и для любой функции f € Lp(TN), р > 1, f(x) — 0 на W,

lim /?a(A)ii7i,_ i(x; /) = 0 для почти всех x 6 W.

Aj-+oo, 1 J

о, - tsc j£M\JN_2

Если же при N > 4 величина к меньше N — 2, то усилить теорему II.I, установив равносходимость на всем W(Jk), нельзя, что показывает следующий результат.

Теорема II.II. Пусть N>4uJkCM,l<k<N — 3, тогда существуют множество W = W(Jk) вида (10) и функция / g ¿(»(Т^) такие, что

f(x) = 0 mW и для любых к вещественных последовательностей {а / \ *

j 6 Jk, atj -> оо при Vj —> оо, справедлива оценка

Jim j |Лам|Л](а;; /)| = +оо почти всюду на TN \ W°.

В § 2.2 главы II нами доказан результат, который показывает, что теорема II.I не может быть усилена в плане отказа от равенства нулю функции д(х) вне TN.

Теорема II.III. Существует функция д(х), д е С(М3), д(х) = 0 при х е Т3, такая, что для любой последовательности {a^3'}, а^ € Rg, а^ —> оо при —»■ оо,

lim \R iv3)(x-, 0,.9)| = +00 всюду внутри Т3.

В качестве следствия теоремы II.III имеем:

Следствие (теоремы II.III). Для любого N > 3 существуют функции д(х) и f(x), д S C(RW), / е C(TW), д(х) = f{x) при х Е Тл', такие, что для любых N - 2 последовательностей {а^'}, а^ G Rj, -4- оо при fj оо, j = 3,..., JV,

1. lim Sn(x;f) = f(x) в каждой точке Т

■Л'

П—VOO

2. lim |J м ,„N)(х; g)| = +ос всюду внутри TN.

Замечание 2. Несложно видеть, что результат теоремы 1.Ш непосредственно следует из данного следствия.

В главе III диссертации в терминах свойства В^ нами доказан критерий справедливости равносходимости п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с "^-лакунарными последовательностями частичных сумм" в классах Ьр, р > 1, на произвольных подмножествах Т'у положительной меры (удовлетворяющих некоторым ограничениям на границу множества).

Также в данной главе доказана теорема, которая показывает, что найденная геометрия множеств, на которых справедлива равносходимость п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с " .Д-лакунарными последовательностями частичных сумм" в классах Ьр, р > 1, перестаёт "работать" в классе Ф(Ь), где Ф: [0, оо) —> [0, оо)— любая неубывающая функция, удовлетворяющая условию Ф{и) = о{иlog+ log+ и), и —> оо.

И. Л. Блошанским и О. В. Лифанцевой30 было введено следующее понятие.

Определение 2. Пусть 21 с ^ с М, 1 < к < N - 2, N > 3.

1. Будем говорить, что множество 21 обладает свойством В^', если найдется множество У/ = И^Л) вида (10) такое, что \ 21) = О, причем свойство В^1' есть свойство В^'^Ж0), если IV = Л).

2. Свойство В5,Л)(1У°) множества 21 будем называть максимальным свойством В^' множества Ш, если для любого множества \У° = \У°(Зк) вида (11) такого, что > 0, множество 21 не обладает свойством В^ТУ0).

30 И. Л. Блошанский, О. В. Лифанцева. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье, прямоугольные частичные суммы которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Докл. РАН. 2008. Т. 423. № 4. С. 439-442.

Далее, пусть измеримое множество 21 С Т^, 0 < /¿21 < (2тг)^, N > 3, удовлетворяет следующим условиям на границу:

м(ЯЗ\тШ)=0; (12)

ß2Frpr(j2}{int<8} = О, J2 С Af \ Л, (13)

здесь S = Т^ \ 2t, Jk С Af, 1 < к < N - 2, ц2 — мера на плоскости (intP — множество внутренних точек, Р — замыкание и FrP — граница множества

ру

Теорема III.I. Пусть 21 — произвольное измеримое множество, 21 С Т*, JV > 3, 0 < /х21 < (271-)^, и пусть Jk с М, 1 < к < N - 2.

1. существует множество W° = W°(Jk) вида (11) такое, что множество 21 обладает свойством B^^W0), то для любой функции / 6 LP(TN), р> 1, f{x) = 0 на 21,

lim Ramtj^ix\ f) — 0 почти всюду r,a W0.

Oj-юо ,j£M\Jk

Пусть дополнительно множество 21 удовлетворяет условиям (12), (13), тогда

2. Ясли свойство B^W0)

множества 2t является максимальным свойством то существует функция fi е LooiT^) такая, что f^x) = О на 2t и для любых к последовательностей вещественных чисел {аj S Jk, а^ —»■ оо при i/j —>■ оо, справедлива оценка

lim l-RaMtAlO^ /i)l = +00 почти всюду на TN \ IV0.

3. В частности, если множество 21 вообще не обладает свойством В^7*', то существует функция /2 G LÄ.(T'V) такая, что f2{x) = 0 на 2t и для любых к последовательностей вещественных чисел {аj € Jk, а^ —> оо при г/j —>■ оо, справедлива оценка

^ _Ит ^ \RaM[jk)ix\ /2)1 = +00 почти всюду на TN.

Результат теоремы III.1 показывает, что для любого k, 1 < к < N — 2, справедливость или несправедливость равносходимости п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье (в случае "лакунарной последовательности частичных сумм") в классах Lp, р > 1, на множестве 21 С TjV определяется

структурой и геометрией множества 21, которые, в свою очередь, описываются свойством В^, где величина к — это число "лакунарных компонент" вектора а = (аь ..., aN) е ("номера" Ra(x\ /)).

Заметим, что если мы уменьшим число "свободных" компонент в векторе а = (сведя их количество до единицы, а остальные компоненты естественно оставив лакунарными), то, как следует из теоремы I.IV, для справедливости на множестве 21 равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) в классах Lp, р > 1, от множества 21 уже не требуется никаких ограничений (в плане структурно-геометрических характеристик), кроме измеримости.

Наконец, в § 3.3 главы III нами доказана теорема, которая показывает, что равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл Фурье в классе Ф(£), где Ф: [0, оо) —> [0, оо)— любая неубывающая функция, удовлетворяющая условию Ф(и) = о(иlog+ log+ и), и —у оо, на множествах W°(Jk) вида (11) при условии, что f(x) = 0 на множестве W(Jk) вида (10), справедлива не будет. Точнее справедлива следующая теорема.

Теорема III.II. Пусть N > 3 и Jk с М, 1 < к < N - 2, тогда существуют множество W(Jk) вида (10) и функция / S Ф(Ь)(ТЛ'), Ф(и) = о(и log"1" log+ и) при и —^ оо, такие, что f(x) =0 на W(Jk), и для любых к возрастающих вещественных последовательностей {аj £ Jk, а^ —> оо при Vj —»■ оо, справедлива оценка

lim /)1 = почти всюду на TN.

Выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Блошанскому Игорю Леонидовичу за постановку задач, обсуждение и постоянное внимание к работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

[1] Графов Д.А., Блошанский И.Л. Равносходимость разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье в случае "лакунарной последовательности частичных сумм" // Докл. РАН. 2013. Т. 450. № 3. С. 260-263.

[2] Графов Д.А., Блошанский И.Л. Равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторой подпоследовательности // Analysis Math. 2014. Т. 40. № 3. С. 175-196.

[3] Графов Д.А. О равносходимости разложений в тройной тригонометрический ряд и интеграл Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывности // Вестн. Моск. Ун-та, Сер.1 Мат., Мех. 2015. № 1. С. 25-33.

[4] Grafov D.A., Bloshanskii I.L. Equiconvergence of expansions in multiple trigonometric Fourier series and Fourier integral with "Jk-lacunary sequences of rectangular partial sums" // Acta et Commentationes Universitatis Tartuensis de Mathematica. June 2014. V. 18. №1. P. 69-80.

[5] Графов Д.А., Блошанский И.Л. Вопросы равносходимости разложений в тройной ряд и интеграл Фурье // XX Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". VII международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. 2012. С. 9-10.

[6] Графов Д.А., Блошанский И.Л. "Почти" фундаментальность для последовательности частичных сумм кратных рядов Фурье функций из Lp,p> 1 // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2013. С. 28-30.

[7] Графо в Д.А. Равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с "лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы конференции Воронежской зимней математической школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр ВГУ. 2013. С. 64-65.

[8] Графов Д.А., Блошанский И.Л. О равносходимости разложений в тройной тригонометрический ряд и интеграл Фурье // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования. Тезисы докладов четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Л. Д. Кудрявцева. - Москва: Изд-во РУДН, 2013. С. 78-79.

[9] Grafov D.A., Bloshanskii I.L. "Almost" Cauchy property for the sequence of partial sums of Fourier series of functions in Lp,p > 1 // Kangro-100, Methods of Analysis and Algebra International Conference dedicated to the Centennial of Professor Gunnar Kangro. Tartu, Estonia: Estonian Mathematical Society. 2013. P. 63-64.

[10] Графов Д.А., Блошанский И.Л. Критерий равносходимости разложений в кратный'ряд и интеграл Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные проблемы теории функций и их приложения: материалы 17-ой международной Саратовской зимней школы, посвященной 150-летию В.А. Стеклова. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2014. С. 40-42.

[11] Графов Д.А. О сходимости и локализации кратных интегралов Фурье С "Ji¡- лакунарной последовательностью частичных сумм" // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XXV". Воронеж: Издательско-полиграфический центр "Научная книга". 2014. С. 48-49.

[12] Графов Д.А., Блошанский И.Л. Критерий слабой обобщенной локализации для кратных интегралов Фурье с "Jk-лакунарной последовательностью частичных сумм" /,/ XXII Международная конференция "Математика. Экономика. Образование". VIII международный симпозиум "Ряды Фурье и их приложения". Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ. 2014. С. 10-11.

Отпечатано в отделе оперативной печати Геологического ф-та МГУ Тираж <(¡0 экз. Заказ №23