Моментные функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Сирота Екатерина Александровна

функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Воронеж - 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико - математических наук,

профессор Задорожний Владимир Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Репников Валентин Дмитриевич

Ведущая организация - Липецкий государственный технический

университет.

Защита состоится 14 марта 2006г. в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан /¿7 февраля 2006 г. Ученый секретарь

диссертационного совета К 212.038.05

кандидат физико — математических наук, доцент Михайлова Ирина Витальевна

доктор ф.-м. наук, профессор

Гликлих Ю.Е.

IAV6A

ms

Актуальность темы. Математическое моделирование реальных процессов обычно связывают с предположением о причинности процесса, т.е., что процесс зависит только от настоящего состояния. При этом обычно приходят к обыкновенным дифференциальным уравнениям или к дифференциальным уравнениям с частными производными. Однако появились модели, учитывающие поведение системы в предшествующие моменты времени, приводящие к дифференциальным уравнениям с запаздыванием. Теория таких уравнений достаточно развита. В ряде случаев такие дифференциальные уравнения удобно трактовать как интегро-дифференциальные уравнения или как дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.

В диссертации рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами. При этом изучаются статистические характеристики решений задач с начальными условиями. Изучению моментных функций решений дифференциальных уравнений посвящено обширное количество работ. Зачастую при этом пытаются получить дифференциальные уравнения для моментных функций. В этом случае обычно приходят к незамкнутой цепочке связанных дифференциальных уравнений, которую замыкают различными способами (Вишик М.И., Миллионщиков В.М, Фурсиков A.B., а также Донскер, Фуруцу и др.). Адомиан Дж. строит последовательные приближения для решения таким методом, при котором моментные функции более высокого порядка выражаются через моментные функции меньших порядков. В предположении что случайный процесс достаточно мал, применяют методы типа метода малого параметра или метод усреднения (Вентцель А.Д., Фрейлин М.И. и др.). Другой подход состоит в загаси дифференциальных уравнений в дифференциальной форме типа Ито или Стратоновича. Применению различных методов нахождения статистических характеристик случайных процессов в прикладных задачах посвящены многие монографии

см., например, авторов Боголюбов H.H., Ширков Д.В., Кляцкин В.И., Монин A.C., Яглом А.М., Татарский В.И. и др.

Задорожний В.Г. развил метод нахождения статистических характеристик решений путем построения вспомогательных детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными. Актуальной задачей является распространение методов исследования моментных функций решений на случай интегро-дифференциальных уравнений, которой и посвящена диссертационная работа.

Тема диссертации связана с направлением научных исследований кафедры нелинейных колебаний.

Цель работы. Целью работы является разработка методов нахождения моментных функций решений задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами и распространение таких методов на линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве.

Общая методика исследования. Общий подход исследования состоит в сведении исходной задачи со случайными коэффициентами к вспомогательной детерминированной задаче Коши для интегро-дифференциального уравнения с обычными и вариационными производными. Из решения такой вспомогательной задачи можно легко получать выражения дня моментных функций.

Научная новизна. В работе получены необходимые условия оптимальности управления для систем, описываемых детерминированными интегро-дифференциальными уравнениями. Получены условия существования решений задачи Коши для интегро-дифференциальных уравнений с обычной и вариационной производными. Разработана методика нахождения моментных функций решений задачи Коши для линейных интегро-дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами. Результаты обобщаются на случай линейных

дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с постоянным ограниченным оператором. Результаты являются новыми.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в работе результаты носят теоретический характер. Рассмотренные модельные примеры вложений инвестиций в производство расширяют множество математических моделей в экономике. Рассмотренная методика может быть применена для нахождения моментных функций в прикладных задачах. Некоторые результаты могут быть использованы в учебном процессе.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на международной конференции научно-технической конференции «Кибернетика и технологии XXI века». - Воронеж, 2004; Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения -XVI» - Воронеж, 2005.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11], список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах [1-3], [б], [9] научному руководителю принадлежит постановка задачи и обсуждение результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих восемь параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 118 страниц. Библиографический список содержит 66 наименование.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.

Нумерация приводимых ниже определений и утверждений совпадает с нумерацией в диссертации.

Первая глава посвящена получению необходимых условий оптимальности управления для непрерывных систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями. В пункте 1.1 параграфа 1.1

формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи Коши для иятегро-дифференциального уравнения

Ъ

х= ¡К(1^)х(*)Ж + /«,х) (1)

а

х(а) = ха. (2)

Здесь г е К, х: Я -> К.

Результат приводится в теореме 1.1 этого параграфа.

В пункте 1.2 формулируется и доказывается теорема о непрерывной зависимости решения задачи Коши (1-2) от начальных данных. Результат приводится в теореме 1.2.

В пункте 1.3 рассматривается следующая задача оптимального управления с интегро-дифференциальными ограничениями:

найти кусочно - непрерывную на отрезке [^о^] Функцию и(г), которая доставляет максимум функционалу '1 'о

причем должны выполняться следующие условия

Л '1

% = \К(г,*)х{з)сЬ + /(их,и), (2)

'О

Л

'л

*('о) = *0, (3)

1 - заданные числа, х: ^ ^ ^ Я. Для задачи (1-3) вводится сопряженная задача

л * 'о

(6)

(¡Фп

Получены следующие необходимые условия оптимальности:

Теорема. Пусть и(/),х(?) - оптимальное управление и оптимальная траектория в задаче (1) — (3), причем существуют производные

множестве [¿о,^]*^,^]- Тогда, если существует решение X задачи (6), (7), то выполняется условие

где х,и,Л)= х, м)+Я(/)/(/, х, и) - функция Гамильтона-Понтрягина.

В параграфе 1.2 изучается задача оптимального управления с линейными интегро-дифференциальными ограничениями и квадратичным критерием качества, являющаяся математической моделью процесса инвестиций в развитие производства. Полученные необходимые условия оптимальности применяются для нахождения оптимального управления и оптимальной траектории. Рассмотрен метод приближенного нахождения решения задачи в случае невырожденного ядра интегрального оператора.

Во второй главе рассматривается методика нахождения моментных функций решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. В параграфе 2.1 проводится качественное исследование поведения решений интегро-дифференциального уравнения в зависимости от коэффициентов уравнения.

В параграфе 2.2 получены формулы для нахождения моментных функций решений интегро-дифференциального уравнения со случайными коэффициентами, заданными характеристическим функционалом.

Рассматривается следующее интегро-дифференциальное уравнение со случайными коэффициентами

ЩЦ,х,и) д/(1,х,и) &(1,х,и) «*Р0(*('1)) д1 ' дх ' ди ' <&(Г,)

ди ' Л^)

и функция К - непрерывна на

ди

= 0,

(8)

л _

<1

(1)

*('о) = *о

(2)

Здесь х0,е2 являются случайными величинами, - случайным

процессом, причем случайная величина х0 не зависит от е2 и ег. Каждой реализации случайных величин х0,е2 и случайного процесса ег отвечает некоторое решение задачи (1), (2) х(Г). Таким образом, х(/) является случайным процессом.

Для решения задачи (1-2) строится вспомогательная детерминированная задача. Вводится следующее вспомогательное отображение

и2, нз) = Л/ х(Оехр «2 + »^ I V Т

где М- математическое ожидание по функции распределения е2, £3 •

Случайная величина е2 и случайный процесс е^) заданы характеристическим функционалом

у/(и2,и3) = М

ехр г

е2 и2 + (,у)и3 &

Из исходной задачи для вспомогательного отображения у\(, «2 > йз) получена следующая детерминированная задача

-д1 , (6)

10

у((0,и2,и3) = у0{и2,и31 (7)

Отметим, что если мы найдем у{1, и2, и^), то легко найдем и математическое ожидание

М*(0 = Яг,0,0).

Доказаны следующие теоремы, позволяющие в явном виде получить решение вспомогательной детерминированной задачи (результат приводится в теореме 1 этого параграфа), а также моментную функцию первого порядка.

Введем обозначения

t ty feft)ds A(t)= ¡а(т) ]b{t)ef dtdr; '0 <0

I. \ .Ôy(u2,u3)

âu3(t) Теорема 2. Пусть

1. К (t, s) представимо в виде К (t, s) = a(t)b(s);

2. (t), a(t), b(t) заданные кусочно-непрерывные функции на отрезке |/q,

3. S= î J,

U t fatfds

\r

'a U

a(T)b(f)dTdt * 0,

'O'O

тогда обобщенное математическое ожидание Мх{г) задачи (1), (2) может быть найдено в виде

МШ=М(хо)е*О

-U-1/o

¡el{s)di

M(xq)A(I)

iB-l

iu0 В 1 yr{u2,u3)*e t signu2

«2=0, «3=0

+ 2

-fel(s)ds f \sl{s)ds + ja{r)e dT* ]6(i)/° x

x J„ 'o fS-l

'o

<p(T,u2,u 3)*e г signu2

и2=0,иъ=0 +

+2M{e3(T))}iTdt}+

t T

js^(s)ds ~je^(s)ds

je 0 M{e3{r))dT.

Аналогичным образом с помощью вспомогательного отображения в работе получена и моментная функция второго порядка (результат приводится в теореме 4 этого же параграфа).

В пункте 2.7 второго параграфа посчитано математическое ожидание случайного процесса задачи (1)-(2) в случае, когда случайная величина ¿2 распределена нормально и в случае, когда случайная величина е2

описывается распределением Лапласа. Построенные графики подтверждают ожидаемый результат, т.е. при уменьшении дисперсии график математического ожидания приближается к графику решения детерминированной задачи.

В параграфе 2.3 разрабатывается метод нахождения моментных функций решений системы интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами.

Параграф 2.4 второй главы посвящен нахождению моментных функций высшего порядка.

В третьей главе, рассмотренная ранее, методика нахождения статистических характеристик решений интегро-дифференциальных уравнений обобщается на линейные уравнения в банаховом пространстве. В параграфе 3.1 рассматриваются дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, содержащие вариационную производную.

Пусть У- банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, Л:У->Г. Отрезок ¡¿0,г0 + Т\ будем обозначать просто Т. У(Т) -банахово пространство функций с нормой ЦуЦу, и(г,0)сУ(Т) -

окрестность нуля радиуса г.

Рассмотрим задачу Копта для линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве

где у:У(Т)хТ ^У, аеС, " вариационная производная, Пусть

Х^О' 5)" характеристическая функция отрезка, с концами Теорема 1.1. Пусть выполняются условия:

1) к(г)=/1(П

2)ИеЛ<сг, Леа(А\

3) при (у(-), Г, .г)еи(г, 0)хТхТ существует непрерывная вариационная производная 5 у0 (у()+а , /, •))/5 у(«).

Тогда задача (1.1) на м(г,0)хГ имеет решение

(2)

Рассматривается задача Копти для линейного неоднородного уравнения

%=Ау+аЩ)у+ЫуЛ М^УоШ (4)

где А - линейный ограниченный оператор, а - число, 6:Г(Г)хй->У задано, _у0:Р(Г)->У задано.

Теорема 1.2. Если К(!Г)=£|(Т), А - линейный ограниченный оператор А: У Г и Ь :У(Т)х Я —»■ Г непрерывно, то любое решение задачи (1.4) представимо в виде

*0

Теорема 13. Пусть выполняются условия

1) У{Т)=Ц(Т);

2) А - линейный ограниченный оператор;

3)существует непрерывная по 5 вариационная производная

8Щ)+аХ(*,и\*)18\>{г);

непрерывно по 8 ; 5) существует бу^+ах^и-))^^). Тогда (5) является решением задачи (4).

11

В параграфе 3.2 рассматривается дифференциальное уравнение в банаховом пространстве со случайными коэффициентами. Получены формулы для нахождения моментных функций решений задачи Коши.

Пусть X - банахово пространство с нормой и X* - сопряженное

пространство, причем (х, и) - значение оеХ* на элементе х е X. Рассматривается задача Коши

^Ах+^)х+т *Ы=*0> (!)

где х-.Я-ьХ, - случайный процесс, случайный

процесс, А:Х->Х - линейный ограниченный оператор, х^- случайный элемент. Требуется найти моментные функции решения задачи (1). Пусть У(Т) - банахово пространство функций и(Т) - банахово

пространство отображений и:Т^>Х*, причем и(у())= [и. (^)у(^)^ 5 -значение

Т

функционала и е У* (Т) на элементе у(-) и р(и(-))= и(яУ}с1я - значение

функционала (х е и*(Т) на элементе и(-), где интегралы понимаются в смысле Лебега.

В дальнейшем используются более короткие обозначения у = « = «(•)

Вспомогательная детерминированная задача для задачи (1) относительно функционала

\fziy, уч, «)= Мехр

имеет вид

(х(4 <»(*)}+{/(4 «(*)}]<**

I т

д 31? _ л 5 у -1 д2у/ 8 ц/ 8еЛ$у 8^)8^) 8и(г)'

а начальное условие равносильно условиям

Г=*0,б>=0

8кбоЬ)

Решение задачи (2)-(3) ищется в виде оо -к

у/(у, а,и)«у0<у,и)+ У г— |г...щ ,...ХкЦ^)...0)(*кУ ^ ...Л^, к=1 К

где ^(у,«,^,...^)©^]...«»^) симметричны по переменным ,$2.и у/к\у,и,з^,...зк) при фиксированных V,являются к- линейными отображениями из произведения и(Т)х и(Т)х... ж и{Т) (к сомножителей) в Д.

Для цгк,к = 1,2,... получена следующая задача &¥]г\У> м> ......') ( \ (

1 Л,АЛ-—

ыо

* = 1,2,.... (4)

у/к^,и,10,...,10)о}1...сок = лф0,а^)...(х0,ш*)]^,и\ к = 1,2,... (5)

Определение. Если существует единственное симметричное относительно решение .....Зд.)®^)...®^) задачи (2.4),

(2.5) и определено выражение

ГР-г 3Р+г ^ о, 8к)18у{т1\..8^р)5и{ах).. .ди{<тг\

р,г<,0, ¿ = 1,2.....

то это выражение называется смешанной моментной функцией порядка к + р+г решения задачи (1).

Таким образом, если известны решения детерминированных задач (4), (5), то нахождение моментных функций решения задачи (1) не представляет особого труда.

Теорема 2.1. Пусть при 1 <к<т выполняются условия:

а) У(Т)=Ьр^\\<р<аа,А- линейный ограниченный оператор, А:Х->Х;

б) существуют в направлении 1|(Г) непрерывные вариационные производные

8

гк+1

*

В) АМ\

и и)/8и(?)\ непрерывны;

Тогда решения ц/к задач (4), (5) при 1 <к<тп определяются следующими рекурретными формулами

V + г^о, ч)+... г1х{Г0, ) и)+ г>(1 щ^^ч^+г1 х{*, ^ И, 52,..*ку2.. .фк о^+... +

г1/ IеЛ^к *)+ г1 *(г,*к\и,...фк\ +

1*0 51

4 щ 1

2гп 4

■0 ¡^-¿Ж^-Ьг^*-*

и, s2,~; -a>k_i,a>ij,<ok)ds+...+

(6)

Автор глубоко признателен профессору В.Г. Задорожнему за постоянное внимание и советы.

Список публикаций по теме диссертации

1. Задорожний В.Г. Об оптимальном управлении процессом инвестиций / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Труды молодых ученых ВГУ. -Воронеж, 2002. - Вып.2. - С.17-24.

2. Задорожний В.Г. Об одной математической модели развития производства в условиях нестабильности / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Региональный межвузовский сборник статей по итогам научно-практической конференции. - Воронеж: «Истоки», 2003. — С. 133-136.

3. Задорожний В.Г. О математическом ожидании решения уравнения развития экономики / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Региональный межвузовский сборник статей по итогам научно-практической конференции. - Воронеж, 2004. - С. 136-139

4. Сирота Е.А. Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Вестник факультета ПММ. - 2003. - Вып. 4. - С.185-199

■ Т/ * *

р - о Щ 4 3

5. Сирота Е.А. Об оптимальном управлении в задаче с интегро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Сборник трудов студентов и аспирантов. - Воронеж, 2003. - Вып. 3. - С. 116-125

6. Задорожний В.Г. О математическом ожидании решения интехро-дифференциального уравнения / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Вестник факультета ПММ. - 2005. - Вып. 5. - С. 96-108

7. Сирота Е.А. О дифференциальном уравнении в банаховом пространстве с вариационной производной / Е.А. Сирота // Современные методы теории краевых задач : материалы Воронеж, весенней математ. шк. «Понтрягинские чтения - XVI» - Воронеж, 2005. -С. 147

8. Сирота Е.А. Модели и решения задачи оптимального управления с интегро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Материалы 5-й международной научно-технической конференции «Кибернетика и технологии XXI века». - Воронеж, 2004. - С. 1-13

9. Задорожний В.Г. Моментные функции решения интегро-дифференциального уравнения со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Вестник Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. - 2005. - Вып.1. - С. 163-170

10. Сирота Е.А. Интегро-дифференциальное уравнение развития экономики с накоплением / Е.А. Сирота // Региональный межвузовский сборник статей по итогам научно-практической конференции. - Воронеж, 2005. - С.201-205

11.Сирота Е.А. О математическом ожидании решения интегро-дифференциального уравнения) Е.А. Сирота // Труды молодых ученых ВГУ. - Воронеж, 2006. - (В печати)

Заказ № . 2006г. Тираж МО экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

Введение

I. Глава 1. Задача оптимального управления с интегро-дифференциальными ограничениями

1. Задача оптимального управления с интегро-дифференциальными ограничениями

1.1. Теорема существования и единственности решения задачи

Коши для интегро-дифференциального уравнения

1.2. Теорема о непрерывной зависимости решения интегро-дифференциального уравнения от начальных данных

1.3. Необходимые условия оптимальности

1.4. Формальное применение метода динамического программирования Р.Беллмана

2. Нахождение оптимального управления в задаче о вложении инвестиций

2.1. Нахождение оптимального управления и оптимальной траектории

2.2. Задача с постоянными параметрами

2.3. Примеры

2.4. Задача с невырожденным ядром

2.5. Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями

II. Глава 2. Моментные функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами 48 1. Детерминированное интегро-дифференциальное уравнение

1.1. Постановка задачи

1.2. Решение задачи

1.3. Исследование решения задачи

2. Моментные функции I и II порядка решения интегро-дифференциального уравнения со случайными коэффициентами

2.1. Постановка задачи

2.2. Решение детерминированной задачи

2.3. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания

2.4. Решение вспомогательной задачи для нахождения математического ожидания

2.5. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения моментной функции второго порядка

2.6. Решение детерминированной задачи для нахождения моментной функции второго порядка

2.7. Частные случаи

3. Система интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами

3.1. Постановка задачи

3.2. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания

3.3. Решение вспомогательной задачи для нахождения математического ожидания

3.4. Пример

4. Нахождение моментных функций высшего порядка

4.1. Вспомогательная задача с параметром

4.2. Нахождение моментных функций высшего порядка

Глава 3. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве 97 I. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную

1.1. Линейное однородное уравнение

1.2. Линейное неоднородное уравнение

2. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве со случайными коэффициентами

2.1. Переход к детерминированным уравнениям

2.2. Решение детерминированных задач 105 IV. Список литературы

Обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения с частными производными возникают при математическом моделировании реальных процессов, которые связывают с понятием причинности, т.е. что процесс зависит только от настоящего состояния. Однако существуют модели, учитывающие поведение системы в предшествующие моменты. При этом обычно приходят к дифференциальным уравнениям с запаздыванием, которые трактуют как интегро-дифференциальные уравнения или как дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Процессы, подверженные влиянию случайных факторов, моделируют уравнениями, со случайными коэффициентами, при этом наибольший интерес представляют моментные функции решений таких уравнений.

Диссертационная работа посвящена изучению моментных функций интегро-дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами. Существует ряд монографий, например Боголюбова Н.Н., Ширкова Д.В., Кляцкина В.И., Монина А.С., Татарского В.И. и др., которые посвящены методам нахождения статистических характеристик случайных процессов в прикладных задачах.

Метод нахождения моментных функций решений задач с начальными условиями, основанный на построении вспомогательной детерминированной задачи, разработан Задорожним В.Г. Вспомогательная детерминированная задача представляет собой задачу Коши для дифференциального уравнения с обычными и вариационными производными. Распространение метода исследования моментных функций решений на случай интегро-дифференциальных уравнений является актуальной задачей, которой и посвящена диссертационная работа.

Диссертационная работа включает три главы. Первая глава посвящена получению необходимых условий оптимальности для непрерывных систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями. Формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи

Коши для интегро - дифференциального уравнения, а также теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных. В качестве примера изучается задача оптимального управления с линейными интегро-дифференциальными ограничениями и квадратичным критерием качества, являющаяся математической моделью процесса инвестиций в развитие производства. Рассмотрен метод приближенного нахождения решения в случае невырожденного ядра интегрального оператора.

Во второй главе предлагается методика для нахождения моментных функций решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Полученная методика обобщается на случай системы интегро-дифференциальных уравнений. Получены формулы для нахождения моментных функций высшего порядка.

В третьей главе методика нахождения статистических характеристик решений интегро-дифференциальных уравнений обобщается на линейные уравнения в банаховом пространстве.

1. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. - М. : Высш. шк., 1989.-447 с.

2. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа /A.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 542 с.

3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. М.: Прогресс, 1975. - 605 с.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1965. - 327 с.

5. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2000. - 368 с.

6. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976. - 280 с.

7. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1968. - 720 с.

8. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин и др.. -М.: Наука, 1969.-402 с.

9. Ахмедова Д.Д. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу / Д.Д. Ахмедова, А.Ф. Терпугов // Изв. вузов. Физика. 2001. - № I. - С. 25-29.

10. Ахмедова Д.Д. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании / Д.Д. Ахмедова, О.А. Змеев // Изв. Вузов. Физика. 2001. -№ 6. С. 3-7.

11. Ахмедова Д.Д. Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу / Д.Д. Ахмедова, О.А. Змеев, А.Ф. Терпугов // Вестн. Томск, гос. ун-та. Томск, 2002. - № 275. - С. 271-275.

12. Panjer Н.Н. Insurance Risk Models / Н.Н. Panjer, G.E. Willmot // Society of Actuaries. 1992. - P. 1-442.

13. Маталыцкий M.A. Анализ вероятностной модели обработки однотипных рисков в страховой компании в нестационарном режиме / М.А. Маталыц-кий, Т.В. Романюк // Вестн. ГрГУ. Сер. 2. 2002. - № 1. - С. 17-24.

14. Змеев О.А. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом банковского процента / О.А. Змеев. // Изв. вузов. Физика. -2001.-№ 1.-С. 19-24.

15. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) / О.А. Змеев // Изв. вузов. Физика. 2003. - № 3. - С. 83-87.

16. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования со случайными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) / О.А. Змеев // Изв. вузов. Физика. 2003. - № 3. - С. 88-93.

17. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Волтерра. М.: Наука, 1982. - 304 с.

18. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. М. : Наука, 1967.-510 с.

19. Боголюбов Н.Н. Введение в теорию квантовых полей / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. М.: Наука, 1976. - 479 с.

20. Монин А.С. Статистическая гидромеханика / А.С. Монин, A.M. Яглом -М.: Наука, 1965. -Ч. 1.-639 с.

21. Монин А.С. Статистическая гидромеханика / А.С. Монин, A.M. Яглом -М.: Наука, 1967. Ч. 2. - 720 с.

22. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах / В.И. Кляцкин. М. : Наука, 1980. - 333 с.

23. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И. Татарский. М.: Наука, 1979. - 286 с.

24. Тихонов В.И. Стохастическая радиотехника / В.И. Тихонов. М. : Сов. радио, 1966. - 678 с.

25. Вишик М.И. Аналитические решения уравнения Хопфа, соответствующего квазилинейным параболическим уравнениям или системе Навье-Стокса / М.И. Вишик // Задачи механики и математической физики. М., 1976. -С. 69-97

26. Вишик М.И. Трансляционно-однородные статистические решения с бесконечной энергией системы уравнений Навье-Стокса / М.И. Вишик, А.В. Фурсиков // Сиб. мат. журн. 1978. - Т. 19. - № 5 - С. 1005-1031.

27. Гельфанд И.М. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике / И.М. Гельфанд, A.M. Яглом // Успехи мат. наук. 1956. - Т. 11, № 1 (67). - С. 77-114.

28. Далецкий Ю.Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов / Ю.Л. Далецкий // Докл. АН СССР. Т. 166, № 5. - С. 1035-1038.

29. Далецкий Ю.Л. Эллиптические операторы в функциональных производных и связанные с ними диффузионные уравнения / Ю.Л. Далецкий // Докл. АН СССР.- 1966.-Т. 171,№ 1.-С.21-24.

30. Далецкий Ю.Л. О некоторых задачах, связанных с интегрированием в функциональных пространствах и дифференциальными уравнениями в функциональных производных / Ю.Л. Далецкий // Труды симпозиума по механике сплошных сред. Тбилиси, 1973. - С. 78-88.

31. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1970. - 534 с.

32. Ковальчик И.М. Задача Коши для одного уравнения в функциональных производных / И.М. Ковальчик // Докл. АН УССР. 1966. - № 3. - С. 284286.

33. Ковальчик И.М. О приближенном решении некоторых уравнений с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Вюник Льв1вск. по-лггехн. iH-та. 1967. - № 18. - С. 13-23.

34. Ковальчик И.М. Функциональные производные и одно вариационно-дифференциальное уравнение в пространстве многих переменных / И.М. Ковальчик // BicHHK Льв1вск. полггехн. iH-та. — 1967. № 16. - С. 3-12.

35. Ковальчик И.М. Линейные уравнения с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 194, № 4. - С. 763-766.

36. Ковальчик И.М. Об одном классе линейных уравнений с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Укр. мат. журн. 1975. - Т. 27. - № З.-С. 373-378.

37. Ковальчик И.М. О линейных уравнениях с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Укр. мат. журн. 1977. - Т. 29. - № 1. - С. 99105.

38. Ковальчик И.М. Представление решений некоторых уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Винера / И.М. Ковальчик II Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. - № 12. - С. 1078-1082.

39. Ковальчик И.М. О некоторых свойствах линейных однородных уравнений с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1979. - С. 28-31.

40. Ковальчик И.М. Об одном классе линейных уравнений с функциональными производными высшего порядка / И.М. Ковальчик, И.П. Медынский // Докл. АН УССР. Сер. А. 1978. - № 12. - С. 1083-1086.

41. Мельничак Н.П. Неоднородные линейные уравнения с функциональными производными / Н.П. Мельничак // Математическая физика : респ. межвед. сб.- 1977.-№ 119.-С. 146-149.

42. Новиков Е.А. Решение некоторых уравнений с вариационными производными / Е.А. Новиков // Успехи мат. наук. 1961. - Т. 16, № 2 (98). - С. 135-141.

43. Самборский С.Н. О существовании решений нелинейных уравнений в вариационных производных / С.Н. Самборский // Труды Московского института химического машиностроения. М., 1974. - Вып. 53. - С. 57-59.

44. Сявавко М.С. О теореме Коши-Ковалевской для уравнений с функциональными производными / М.С. Сявавко // Докл. АН УССР. Сер. А.1968.-№ 1.-С. 32-35.

45. Сявавко М.С. Функциональный аналог уравнения Бесселя / М.С. Сявавко // Вестн. Львов, политех, ин-та. 1967. - № 18. - С. 24-28.

46. Сявавко М.С. Об аналитических решениях некоторых уравнений в функциональном пространстве / М.С. Сявавко // Вестн. Львов, политех, ин-та.1969.-№31.-С. 96-100.

47. Сявавко М.С. Об одном классе уравнений с функциональными производными / М.С. Сявавко, И.П. Мельничак // Укр. мат. журн. 1974. - Т. 26, № 6.-С. 836-841.

48. Феллер М.И. Бесконечномерные эллиптические уравнения и операторы типа П. Леви / М.И. Феллер // Успехи мат. наук. 1986. - Т. 41, № 4 (250). -С. 97-140.

49. Филиппов В.М. К вариационным принципам для гипоэллиптических уравнений / В.М. Филиппов // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, № 2. - С. 302-305.

50. Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов / В.М. Филиппов. М.: Изд-во Ун-та дружбы народов, 1985. - 206 с.

51. Филиппов В.М. О Квазиклассических решениях обратной задачи вариационного исчисления / В.М. Филиппов // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, № 1.-С. 53-56.

52. Филиппов В.М. О существовании решения обратной задачи вариационного исчисления для нелинейных непотенциальных операторов / В.М. Филиппов //Численные методы в задачах математической физики. М., 1985. -С. 147-155.

53. Филиппов В.М. К вариационному методу для ультрапараболических уравнений / В.М. Филиппов // Анализ информационно-вычислительных систем.-М., 1986.-С. 107-111.

54. Филиппов В.М. О классах операторов в вариационном методе решения нелинейных уравнений / В.М. Филиппов // Анализ информационно-вычислительных систем. М., 1986. - С. 98-106.

55. Филиппов В.М. О полуограниченных решениях обратных задач вариационного исчисления / В.М. Филиппов // Диф. уравнения. 1987. - Т. 23, № 9.-С. 1599-1607.

56. Фурсиков А.В. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса / А.В. Фурсиков // Мат. сборник. 1982. - Т. 118 (160), №3 (7). - С. 323-349.

57. Задорожний В.Г. Об одной математической модели развития производства в условиях нестабильности / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Региональный межвузовский сборник статей по итогам научно-практической конференции. Воронеж, 2003. - С. 133-135.

58. Задорожний В.Г. Об оптимальном управлении процессом инвестиций / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Труды молодых ученых Воронежского государственного университета. Воронеж, 2002. - Вып. 2. - С. 17-24.

59. Сирота Е.А. Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Вестн. факультета прикладной математики и механики / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. -Вып. 4.-С. 185-199.

60. Сирота Е.А. Модели и решения задачи оптимального управления с интег-ро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Кибернетика и технологии XXI века : материалы 5-й международ, науч.-техн. конф. Воронеж, 2004. - С. 1-13.

61. Сирота Е.А. Интегро-дифференциальное уравнение развития экономики с накоплением / Е.А. Сирота // Региональный межвузовский сборник статей по итогам научно-практической конференции. Воронеж, 2005. - С. 201205.

62. Сирота Е.А. Об оптимальном управлении в задаче с интегро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Сборник трудов студентов и аспирантов / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. - Вып. 3. - С. 116-125.О