Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
|
Боровикова, Марина Михайловна
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Воронеж
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Боровикова Марина Михайловна
МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ СО СЛУЧАЙНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Воронеж - 2008
003460119
Работа выполнена в Воронежском государственном университете
доктор физико-математических наук, профессор
Задорожний Владимир Григорьевич
доктор физико-математических наук, профессор
Фурсиков Андрей Владимирович;
доктор физико-математических наук, профессор
Каменский Михаил Игоревич"
Липецкий государственный технический университет
Защита состоится 17 февраля 200!) г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 Воронежского государственного университета по адресу: 394000, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.
Автореферат разослан декабря 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.038.22
д.ф.-м.н., профессор К).Е. Гликлих
Научный руководитель
Официальные оппоненты:
Ведущая организация
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Реальные процессы подвержены случайным возмущениям. Иногда такие воздействия являются достаточно малыми и при построении математических моделей ими можно пренебречь, поскольку они не меняют качественного поведения системы. Однако существуют и такие процессы, где случайное воздействие играет существенную роль. В любом случае важна оценка степени влияния случайных возмущающих факторов. С этой целью изучают статистические характеристики случайных процессов.
Статистические методы широко используются в статистической радиотехнике1, статистической гидромеханике2, экономике, экологии и биологии. В качестве математических моделей процессов, подверженных случайным воздействиям, используются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, или стохастические дифференциальные уравнения. Важнейшими характеристиками решений таких уравнений являются моментные функции. Зачастую ищут детерминированные уравнения для моментных функций. Обычно при этом получают бесконечные системы связанных уравнений3 4. Такие системы иногда удастся замкнуть и получить выражения для моментных функций. При малых случайных воздействиях используются методы малого параметра0. Дж. Адомиан6 предложил метод последовательных приближений для нахождения моментных функций. В.И. Тихонов7 получил явные формулы для математического ожидания и корреляционной функции решения скалярного линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка, коэффициент и внешнее воздействие которого являются гауссов-скими случайными процессами. Дж. Адомиан решил эту задачу, когда случайный возмущающий процесс является произвольным, а коэффициент в линейном однородном уравнении имеет нормальное распределение.
В работах В.Г. Задорожнего8 9 рассмотрен метод нахождения мо-
1 Тихонов D.H. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. - М. : Радио и связь, 1982. - 624 с.
-Мопин A.C. Статистическая гидромеханика / A.C. Моиин. A.M. Яглом. - М. : Наука, 1967. - Ч. 2.
- 720 с.
3Фурсиков A.B. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью / A.B. Фурсиков // Изв. РАН. Сер. матем. - 1992. - Т. 5С. - X' 6. - С. 1273 - 1315.
'Фурсиков A.B. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рсйнольдса / A.B. Фурсиков // ДАН СССР.
- 1991. - Т. 319. - № 1. - С. 83 - 87.
5 Bein цель А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин. - М. : Наука, 1979. - 424 с.
6Адомиаи Дж. Стохастические системы / Дж. Адомиан. - М. : Мир, 1087. - 376 с.
7Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций па простейшие параметрические системы / В.II. Тихонов // Автоматика и телемеханика. - 1958. - Т. 19. - Х> 8. - С. 717 - 723.
8Задорожпий В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности / В.Г. Задорожиий // Докл. РАН. - 1999. - Т. 364. - Л'« б. - С. 735 - 737.
аЗадорожиий В.Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. - М. - Ижевск : НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 316 с.
ментных функций в предположении, что случайные коэффициенты заданы характеристическим функционалом. Метод оказался более эффективным и удалось получить рекуррентные формулы для нахождения моментных функций любого порядка для скалярного линейного уравнения первого порядка. Этим методом получены выражения для моментных функций любого порядка для одномерного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами.
В работах В.Г. Задорожнего и Л.Н. Строевой10 находятся момент-ные функции решения линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка со случайными коэффициентами.
Все сказанное позволяет сделать вывод, что рассматриваемая тема нахождения моментных функций решений уравнения теплопроводности с двумя фазовыми переменными является актуальной.
Целью работы является исследование статистических характеристик решения задачи Коши для двумерного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого являются случайными процессами, получение оценок погрешности, возникающей при замене в дифференциальном уравнении случайных процессов их математическими ожиданиями.
Методика исследований. В диссертации используются методы теории дифференциальных уравнений, теории уравнений с вариационными производными, математического анализа, теории вероятностей.
Задача нахождения моментных функций решения сводится к вспомогательным детерминированным задачам, представляющим собой дифференциальные уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными. Методами гармонического анализа находятся решения вспомогательных детерминированных задач, которые позволяют получить выражения для моментных функций.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие:
1. Получена явная формула для решения начальной задачи для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными первого порядка.
2. Найдено решение задачи Коти для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.
3. Получены формулы для нахождения математического ожидания, вторых моментных функций, дисперсионной функции решения уравнения теплопроводности в общем случае и в случае независимости случайных коэффициентов от случайного внешнего воздействия.
103адорожпий В.Г. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, Л.Н. Строева // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36. - № 3. - С. 377 - 385.
4. Построены рекуррентные соотношения для вычисления последовательных моментных функции.
5. Получены выражения для математического ожидания, второй мо-ментной функции, дисперсионной функции решения для частных законов распределения случайных коэффициентов.
С. В случае нормального и равномерного распределения случайных коэффициентов оценена погрешность, обусловленная заменой случайных процессов, входящих в уравнение, их математическими ожиданиями.
7. Доказано, что формула для математического ожидания решения является обобщением известной формулы Пуассона для решения уравнения теплопроводности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные формулы для моментных функций могут применяться для расчетов конкретных диффузионных процессов. Оценка разности между решением детерминированной задачи и математическим ожиданием решения уравнения со случайными коэффициентами и выражение для дисперсионной функции могут быть использованы для обоснования возможности замены стохастической модели процесса детерминированной моделью.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались: на региональной межвузовской научно-практической конференции «Национальные проекты как фактор созидания в современной России» (Воронеж, 2006), на международной научно-практической конференции «Образование, наука, производство и управление» (Ст. Оскол, 2000), на региональной межвузовской научно-практической конференции «Из режима функционирования - в режим развития» (Воронеж, 2007), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинекие чтения - XVIII» (Воронеж, 2007), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (Москва, 2007), на Воронежской зимней математической школе С.Г. Крейна - 2008 (Воронеж, 2008), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинекие чтения - XIX» (Воронеж, 2008), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология» (Москва, 2008), на научном семинаре кафедры Нелинейных колебаний Воронежского государственного университета под руководством А.И. Перова (2005-2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 11 работах. В совместных публикациях ]1], [3], |0] соавтору принадлежит постановка задач. Работа [11] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК для кандидатских диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литсра-
туры, включающего 50 наименований. Общий объем работы 125 страниц.
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследования.
Первая глава носит вспомогательный характер и содержит обзор основных понятий, используемых в работе. Приведены определения и свойства преобразования Фурье, вариационной производной, случайного процесса и его характеристик. Рассмотрено решение начальной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
Нумерация приводимых ниже формул и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации.
Во второй главе рассмотрена задача Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
д д2 д2
—м(£, X, у) = £1 х, х, ?/)+£3(£)и(£, X, у)+/(ь, х, у),
У (2-1) и(г0,х,у) = д(х,у), (2.2)
где £ е = Т - время, х 6 К, у € Ж, е,: Т -»• М, ] = 1,2,3, /: Т хМ2 К - случайные процессы, д: М2 —> Е - независящий от £1(0, £г(£), £з(£) и /(¿, х, у) случайный процесс.
Предполагается, что £:(£) > 0, £2(Ь) > 0 при Ь € Т, реализации случайных процессов £а(£), £2{Ь), ^з(^) принадлежат пространству Ьоо(Т), реализации процесса /(£,х,у) принадлежат пространству ЬХ(Т х М2), случайные процессы £1(4), £2{Ь), /(£,х,у) заданы характеристическим (функционалом
Ф(щ,У2,У3,'ш) - м{к{уиу2,-Уз, ш)), (2.3)
где М - знак математического ожидания по функции распределения процессов £!(«), £2(£), £3(*), ¡{Ь,х,у) и
= ехр(г J [е^ь^) + £2(з)у2(з) + £3(з)ь3(з)]с1з+ (2.4)
+¿ / / ¡(з,тит2)у){з,тит2)(1т1с1т2(1з), JтJш2
«1 € Ьг(Т), е 1а(Т), ь3 € Ь^Т), ю € Ь^Т х К2).
В этой главе получены формулы для математического ожидания, вторых моментных функций и дисперсионной функции решения задачи (2.1), (2.2) в общем случае и в случае независимости случайного процесса /(£, х, у) от процессов г^), £г(£), £з(£), а также рекуррентные соотношения для нахождения моментных функций любого порядка.
В параграфе 2.2 второй главы получены явные формулы для решений начальных задач с частными и вариационными производными первого и третьего порядков.
В параграфе 2.3 задача (2.1), (2.2) сводится к вспомогательной детерминированной задаче, которая представляет собой дифференциальное уравнение с частными и вариационными производными, рассмотренное в параграфе 2.2. Из решения вспомогательной задачи получено выражение для математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2).
Теорема 2.6. Пусть функция М(д(х,у)) суммируема на И2, существует окрестность У(г) нуля радиуса г в Ь\(Т) х Ь\(Т) х Ь\(Т) такая, что при всех (г'ьг^г'з) € У(г) и при малых из € Ь\(Т х М2) в окрестности точки (г)1+г^2х(^о, ')> ^ •)> из~гх(^о, t, •)> из) существуют непрерывные по г)2, г>з вариационные производные
3 ■ -¿2 /, . ч „, , -2
Svj(t)
+ % х(*о, •). + ¿7/ и ')> ~ гх^о, •). И3 = 2, 3,
при Ь £ Т, в окрестности точки -I- г£2х(т, •), и2 + щг\{т,1 ,-),Уз — существуют непрерывные по у2, Уз вариационные производные
52
-ф{уг + г£2х(т, г, •), у2 + гт?2х(г,•), - ¿х("г, -),и>),
8у^1)6из(т,х,у) ] = 1,2, 3, при Ь £ Т, т £ Т, тогда
М(и(1,х,у)) = М(д(х,у))* (2.24)
^ТЛЖ2*^, г, •). »Ч2х(*о, *, •). 0,0)](х, у)-
является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (2.1), (2.2).
Теорема 2.7. Если случайный процесс у) не зависит от слу-
чайных процессов £\{Ь), £з(£), функция М(/^,х,у)) суммируема па
ТхШ2, в окрестности точки (г>1+г£2х(т,•),г>2+г'г?2х(т,-),Щ—1Х{Т^1 •)) характеристический функционал <£(г>1, г>2, ^з) случайных процессов гx(í), £з(0 имеет непрерывные по VI, у2, «з вариационные производные
<р{У1+г£,2х(т^г),ъ2 + гг]2х('г^,-),из-1х(т,*,-)),3 = 1,2,3,
при £ 6 Т, т € Т, и выполнены условия теоремы 2.6, то обобщенное математическое ожидание решения задачи (2.1). (2.2) имеет вид
М(и(Ь,х,у)) = М(д(х,у))* (2.27)
+ [ Р£[<р{%гХ{т, -),щ\{т, £, •), ~гх(г, и •))](!, у) * М(/(т, х, у))йт.
Отметим, что в случае независимости случайного процесса /(¿,х,у) от процессов е^Ь), £г(£), £з(£) Для нахождения математического ожидания М(и(1,х,у)) решения задачи (2.1), (2.2) достаточно знать математические ожидания М(д(х,у)), М(/(1,х,у)) и характеристический функционал 1,9(111,^2,^3) случайных процессов £1^), £2^),
В параграфе 2.4 получено ретение вспомогательной детерминированной задачи, позволяющее найти вторую моментную функцию решения задачи (2.1), (2.2).
Теорема 2.9. Пусть ух € Ь^Т), у2 е Ь\(Г), у3 6 Ьг(Т), ги е ЬХ(Т х М2), характеристический функционал Ф(у1,У2,уз,ги) имеет непрерывные по VI, VI, Уз вариационные производные
тДгт^^ьиз,и>), г /.ч/,-г«2,^з,ад),
53Ф(У1,У2,У3,Ш) • = 1 2 3 6Ь]{1)5ю{т,х,у)5ю{а,х,уУ ' '
при а е Т, г € Т, £ е Т, М(д(х,у)) и М(д(х,у)д(х,у)) суммируемы на К2 «Ё2х К2, соответственно, тогда обобщенная вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2) находится по формуле
М{и(1,х,у)и{з,х,у))= (2.34)
= М(д(х,у)д(х,у)) *' ^[^[^(г^о, в, •) + ¿£2х(*о. I, ■), м?х(*о, Й, •) + гу2х(к, I, ■), ~гх{к, •) - %х(к, Ъ 0,0)](£, у)](х> У)~ -г Г М{д{х,у)) * ^[^^[с Л в, •) + ¿£2,\(*о, ■),
Ло дю(т,х,у)
гг12х{т, я, •) + гт?2х(<о, £, •). •) - гх(*а, •), 0)](х, у)](£, т))](х, ¿Ут-
-г £М(д(х, у)Г*Рь1[Р*у[Р£■) + •),
Щ2х(1 о, 5, •) + гг]2х{т, г, •), -гх(£о, в, •) - г\(т, Ь, •), 0)р, у)](£, г/)](х, у)егт-
JtaJto b' J 5w(T,x,y)5w{ct,x,y)
ifl2x(a,s,-)+iT]2x{T,t,-), -¿X(a, s, •) - ix(r, t, •), 0)](£ r))p, y)](£, i])}{x, y)dadr.
Теорема 2.10. Если случайный процесс f(t,x, у) не зависит от случайных процессов £i(t), S2{t), E-i{t), M(f(t,x,y)) и M(f(t,x,y)f(s,x,y)) суммируемы uaT xlR2 и T x T x M2 x К2, соответственно, характеристический функционал <p{v\,v2,v-i) случайных процессов £i(t), £t{t), £s(t) имеет непрерывные по vi, V2, V3 вариационные производные
S
—r-ip(V1,V2,V3)J = 1,2,3, àVj(t)
при t £Т, и выполнены условия теоремы 2.9, то
M(u(t,x,y)u(s,x,y)) = (2.35)
= M(g(x, y)g(x, у)) *' F^^Mfxi'o, 0 + ¿£2х('о, t, ■), ir?x(to, s, •) + irfxito, t, ■), -x(U), s, •) - i\{to, t, •))] {x, y)](x, y)+ + Г M(g(x, y)) * F^[F-l{<p(ii2x(T, s, •) + ¿Ç2X(f0, t, •),
Jto
irfx(T,s,-) + iri2x{ta,t, •), —ix(T> s, •) - ix{Uh t, •))](£, y)](x, y)* M (/(r, x, y))dr+
+ f M (g(x, y))*F{vl [FT1 s, •) + г£2Х(т, t, ■), Щ2Х(к, s, •)+
Jto
+гл2х(т, t, •), ~ix(ti ь s, •) - гх(т, t, •))](£, y)]{x, y) * M (/(r, x, y))dr+ + f f + ^
Jt 0 Jto
-ix{<*, s, ■) ~ гх{т, t, •))](£, y)](x, y) *' M(f(r, x, y)f(a, x, y))dadr
является второй моментной функцией решения задачи (2.1), (2.2) в обобщенном смысле.
В параграфе 2.5 получена формула для дисперсионной функции решения задачи (2.1), (2.2) в общем случае.
Когда процесс f(t,x,y) не зависит от случайных процессов Е\(t), ^(t), справедлива следующая теорема.
Теорема 2.12. Пусть выполнены условия теоремы 2.10, тогда
D(u(t, x, у)) = [М(д(х, у)д(х, у)) *' F£[F£[<p(i?x{t0, s, •) + iÇ2X(i0, t, ■),
¿í?2x(¿o,v) + "/2x(ío,£,-),-x(¿o,s,-) -ix(t0,t, ■))]{£, y)}{x,y)+ (2.37)
S
M(g(x, y)) * ^[^/[^(¿^(т, s, •) + ¿e2x(ío, t, •), ¿r)2X(r, s, •)+
)
+ít]2x{U), t, ■), -гх(т, s, •) - ix{t0, t, -))](x, y)](x, у)*М{/{т, x, y))dr+ J ío
iffxih, s, ■) + ív2x(t, t, •), -ix(to, s, •) - íx(t, t, •))](£, y)](x, y)* *M(f(T,x,y))dT+
+ f f F^[FTl[^^(a,sr) + iex(T,tr),irfx(a,sr) + ir]2x(T,t,-),
Jto Jto ? '
-(M (g(x, y)) * FffMtfxito, t, •), iv2x(to, ¿, •). -»х(*о, i, ■))](*. í/))2" -2(M{g{x, y)) * F£[ip(it2x(to, t, •), »Vxftb •), -»'x(*o, t, •))](*, y)) x
x í (F^y(iex(r, t, •), ¿r?2X(r, í, •), -гХ(т, t,•))](*, y) * M(f(r, x, y)))dr-
-( / F£[<p{iS2x(T, t, •), ir¡2x(T> t, ■), -гх(т, t,.))](!, y) * M(/(r, y))dr)2
Jto
является обобщенной дисперсионной функцией решения задачи (2.1), (2.2).
Вариационным дифференцированием решения детерминированной задачи, рассмотренной в параграфе 2.3, найдены формулы для смешанных моментных функций M(u(t,x,y)sj(s)), j = 1,2,3.
В параграфе 2.7 получена рекуррентная последовательность детерминированных задач для нахождения моментных функций более высокого порядка.
В третьей главе рассмотрены частные случаи законов распределения случайных коэффициентов уравнения (2.1) в предположении, что случайные процессы £i(í), £2 (t), £3 (í) не зависят от случайного процесса f(t,x,y).
В параграфе 3.1 найдена формула для математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2) в случае равномерно распределенных случайных коэффициентов и оценена погрешность, возникающая при замене случайных процессов их средними значениями.
Предполагается, что случайные процессы £i(t), £i{t), £-¿(t) независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами
. , sin Lai(s)v(s)ds , Г ,,,,, , ,
= f .1 exp(¿ / МШМ*№),3 = 1,2,3, (3.1)
jTaj{s)v(S)us jT
где v £ Li(T), aj e ¿oo(T), A/(£j) S ЬЖ(Т), AI(sj(t)) - математическое ожидание случайного процесса £j(t) (j = 1,2,3). Вводятся следующие обозначения
ЛДМ)= / aj{s)ds,Mj{tlht) = [ M(£j(s))ds,j
Jta Jta
1,2,
E{ta,t,x,y) = exp(-
4ЛЛ (*„,*) iM2(t0,t)'
(3.2)
D{t0,t) =
sll/«ln3(s)fls
; ft
■ exp( / M(£3(s))d,
Jta
S).
ftaa3(s)ds jta
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.7, случайные процессы £\(t), £2(t), £-i{t) независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами (3.1). Тогда
M(u(t,x, у)) = > > -г-,---77-—--- nr. I Allglx.y))* (3.3)
^^{2k+l)\(2m+l)\dxikdyim v "
E(tn,t,x,y)D(ti),t)
+
"47rVMi(io,i)A/2(fo,i) +
Af(T,t)A22m(T,t) cH(fc+m) "0 iTo ~o + ^K2"1 + 1)! dxUdy*™ E(T,t,x,y)D(T,t) ^
„¿OO OO ^ In j__n .-----(\
■M{J{r,x,y))*
является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (2.1), (2.2).
Теорема 3.2. Пусть случайные процессы £1(2), £2^), £з(0 распределены по равномерному закону распределения, выполнены условия теоремы 2.7, функции М(д(х,у)) и А/(/(£, х, у)) имеют частные производные любого порядка по переменным х иу, сугцествуют неотрицательные постоянные с\, д и неотрицательная на огпрезкеТ функция Сг(£), при которых выполняются неравенства
дЦк+„
dxikdyim
Qi{k+,
M(g{x,y))
<c1{2k + \)\{2rn + l)\qk+m,
<c2(t)(2k + iy.{2m+l)lqk+m, qA2j(t0,t) < l,j = l,2. 11
Тогда (3.3) определяет математическое ожидание регисния задачи (2.1), (2.2) и справедлива оценка
+
Г* С2(г)Д(г,0
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.2, М{и{1,х,\))) - математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2), определяемое формулой (3.3), функция и{Ь,х,у) является решением детерминированной задачи, полученной при замене в (2.1), (2.2) случайных процессов их средними значениями, тогда справедлива следующая оценка
\М(и&х,у))-и{г,х,у)\ < (3.10)
< С1 ехр( /*М(е3(з))дз)С1'" - 1)+ Jt0 ].а3(з)аз
и
1
+ Г с2(г) ехр( /" А1(е3(з))дз)(3^М*}/3 - 1 )дт+ ■¡ц ¿т Jr а3(з)аз
,СФМтМ( 1-Л1{г,Ш1-Ц(г,г)ч) -^
Г*
+
Заметим, что при = 0, ] = 1,2,3, процессы Е\(Ь), £2(Ь), £з(£) являются детерминированными и равными М{е\(1)), Л/М(ез(£)). Из (формулы (3.10) видно, если а$ стремятся к нулю, то математическое ожидание (3.3) решения задачи (2.1), (2.2) стремится к решению детерминированной задачи, полученной при замене случайных процессов их средними значениями.
В параграфе 3.2 рассмотрен случай нормального распределения случайных коэффициентов уравнения (2.1). Найдены математическое ожидание, вторые моментные и дисперсионная функции решения задачи (2.1), (2.2). Оценена разность между математическим ожиданием решения задачи со случайными коэффициентами и решением детерминированной задачи, в которой коэффициенты заменены математическими ожиданиями.
Теорема 3.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.7, случайные процессы £\(¿), £2((), £3{Ь) распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом
<р(ъ\,у2,у3) = ехр(г J [М^^ь^з) + М(£2{з))у2(з) + М{£3{з))у3(з)]дз-
I J [bl(suS2)Vl(Sl)Vl(s2) + Ь2(зи^2{81)У2{32)+ (3.11)
где V! е ¿1(Г), г»2 € МГ), г* е МП л/(^) е МП ^ е ¿оо(Т х Т), ^I(£j(t)) - математическое ожидание случайного процесса е]{1)> Ь]{з1,в2) = M(ej(s^)sj(s2)) — АДеДй^ЛДеДвг)) - ковариационная функция случайного процесса £](Ь) 0 = 1,2,3/ Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2) имеет вид
M(u(t, х, у)) = ££ У)>
k=a т=о
2^'+'")/с!т! dxikdyim
(3.12)
E(t0,t,x,y)N{t0,t) +
+
Jt„ r^ rri, 2l-k+"t^k\m\ dxikdyim
M{f(T,x,y))*
k=0 /71—0
E{T,t,x,y)N{T,t)
*--:ЦТ,
47ryA/i(T,i)A/2(r,i) «fc Bj(io,£) = 1ЩъЛзиз2)с1з1(1з2, Mj{t0,t) = /¿Affaisftds, j = 1,2,
E(t0,t,x,y) = exp(—
4Afi(io,i) 4A/2(i0,i)
JV(i0, i) = exp( f M(s3{s))ds + ^ f f h(s1,s2)dsids2). J t.n J tft J tn
(3.13)
/io
Теорема 3.8. Пусть случайные процессы £i(t), £2(t), £s(t) распределены no нормальному закону распределения, выполнены условия теоремы 2Л, функции М(д(х,у)) и M(f(t,x,y)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные С\, q и неотрицательная на отрезке Т функция C2(t), при которых выполняются неравенства
дЦк+п
дх^ду4"1
Qi(k+
M{g{x,y))
dxikdyim
M(f(t,x, у))
< Clk\m\qk+n
< c2{t)k\m\qk+n,
qBj{ta,t) < 2, j = 1,2.
Тогда (3.12) определяет математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2) и справедлива оценка
+41 ,— °'(г»"'г-'>.....^
Лп
'{0 (2-,751(т,£))(2-д52(г,£))
Теорема 3.9. Пусть выполнены условия теоремы 3.8, и(),,х,у) -решение детерминированной задачи, полученной при замене в (2.1), (2.2) случайных процессов их средними значениями, М(и(1,х,у)) - математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2), определяемое формулой (3.12), тогда справедлива следующая оценка
\М(и{1,х,у))-и(1,х,у)\< (3.20)
<с1ехр([ Л/(ез(в))Й5)(ехр(^ [ [ ЬзЦ, в^к^) - 1)+
1 Jt0 Jta
+ £ с2(т)ехр(У А/(£-3(в))ек)(ехр(^У J 63(в1, в^с^с^) - 1)йай(3<1т+
При bj = 0, ) = 1,2,3, процессы £].(<), £2(£), £з(£) являются детерминированными и равными Л/(£!(£)), М(ег(£)), М{е3{1)), соответственно. Если в (3.20) устремить ^ к нулю, то математическое ожидание (3.12) решения задачи (2.1), (2.2) будет стремиться к решению детерминированной задачи, полученной при замене случайных процессов математическими ожиданиями.
В диссертации приведены графики математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2), коэффициенты которой являются случайными процессами, и решения детерминированной задачи, полученной при замене в (2.1), (2.2) случайных процессов их средними значениями, которые демонстрируют этот результат. Графики выполнены в среде Мар1е.
В параграфе 3.3 вычислено математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2) в случае пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов.
В заключении перечислены основные результаты диссертации.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Задорожнему Владимиру Григорьевичу за постановку задачи, полезные рекомендации и постоянное внимание к работе.
Публикации по теме диссертации
1. Задорожний В.Г. О нахождении математического ожидания решения нелинейного уравнения переноса / В.Г. Задорожний, М.М. Кириллова /'/ Национальные проекты как фактор созидания в современной России: сб. науч. тр. региональной межвузовской научно-практической конференции.
- Воронеж, 2006. - С. 208 - 211.
2. Боровикова М.М. С) нахождении математического ожидания решения двумерного уравнения теплопроводности / М.М. Боровикова // Образование, наука, производство и управление: материалы международной научно-практической конференции. - Ст. Оскол, 2006. - С. 332 - 337.
3. Боровикова М.М. Моделирование диффузии вещества в плоской случайно-неоднородной среде / М.М. Боровикова, В.Г. Задорожний // Вестник Воронежского государственного университета. Сер. Системный анализ и информационные технологии. - 200С. - № 2. - С. 10 - 18.
4. Боровикова М.М. Математическое ожидание решения задачи Ко-ши двумерного уравнения диффузии со случайными коэффициентами / М.М. Боровикова // Из режима функционирования - в режим развития: сб. науч. тр. региональной межвузовской научно-практической конференции. - Воронеж, 2007. - С. 36 - 41.
5. Боровикова М.М. Математическое ожидание решения двумерного уравнения диффузии в случае гауссовского и равномерного законов распределения случайных коэффициентов / М.М. Боровикова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVIII". - Воронеж, 2007. - С. 44 -45.
0. Задорожний В.Г. Математическое ожидание решения двумерного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, М.М. Боровикова // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы": тез. докл. - М., 2007. - С. 343 -344.
7. Боровикова М.М. Математическое ожидание решения двумерного уравнения теплопроводности с равномерно распределенными случайными коэффициентами / М.М. Боровикова // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2008: тез. докл. - Воронеж, 2008. - С. 27 - 29.
8. Боровикова М.М. Вторая смешанная моментная функция решения двумерного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / М.М. Боровикова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения
- XIX". - Воронеж, 2008. - С. 54 - 55:
9. Боровикова М.М. Вторая моментная функция решения задачи Ко-ши для двумерного уравнения теплопроводности со случайными коэффи-
¿А
циснтами / М.М. Боровикова // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология": тез. докл. - М., 2008. - С. 101 - 102.
10. Боровикова М.М. Математическое ожидание и дисперсионная функция решения уравнения теплопроводности в случае равномерного закона распределения случайных коэффициентов / М.М. Боровикова // Вестник Воронежского государственного технического университета. -2008. - Т. 4. - № б. - С. 22 - 25.
11. Боровикова М.М. Дисперсионная функция решения стохастической задачи Коши для уравнения теплопроводности / М.М. Боровикова // Вестник Ижевского государственного технического университета. - 2008. -№ 4.- С. 195 - 198.
Работа |11| опубликована в издании, соответствующем списку ВАК
РФ.
Подписано в печать 24.12.08. Формат 60x84 Усл. псч. л. 0,93. Тираж 100 экз. Заказ 2479
Отпечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.
Введение
Глава 1. Основные понятия
§1.1. Преобразование Фурье и его свойства.
§1.2. Понятие вариационной производной.
§1.3. Случайный процесс и его характеристики.
§1.4. Детерминированное уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами.
Глава 2. Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
§2.1. Постановка задачи.
§2.2. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными
2.2.1. Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка
2.2.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.
2.2.3. Решение дифференциального уравнения третьего порядка
§2.3. Нахождение математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2).
2.3.1. Переход к детерминированной задаче.
2.3.2. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
2.3.3. Случай независимости случайного процесса от случайных процессов £].(£), £2^), ^з(^)
§2.4. Нахождение второй моментной функции
2.4.1. Переход к детерминированной задаче.
2.4.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2)
2.4.3. Случай независимых случайных процессов.
§2.5. Нахождение дисперсионной функции
2.5.1. Дисперсионная функция в общем случае.
2.5.2. Случай независимости процесса от
СО.езф.
§2.6. Вторая смешанная моментная функция.
§2.7. Моментные функции к-го порядка.
Глава 3. Частные случаи
§3.1. Случай равномерно распределенных случайных коэффициентов теплопроводности.
3.1.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
3.1.2. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями.
§3.2. Случай нормально распределенных случайных коэффициентов теплопроводности.
3.2.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
3.2.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2)
3.2.3. Вторая смешанная моментная функция решения задачи (2.1), (2.2).
3.2.4. Дисперсионная функция решения задачи (2.1), (2.2)
3.2.5. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями.
§3.3. Случай пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов теплопроводности
3.3.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)
При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта непредсказуемость вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Многие физические, химические, биологические и другие процессы, возникающие на практике, подвержены случайному воздействию. Математическими моделями таких процессов являются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, или стохастические дифференциальные уравнения. При этом решения таких уравнений также являются случайными процессами.
Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь. Тогда рассматривают детерминированные задачи, в которых случайные коэффициенты заменены своими средними значениями.
Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль.
По мере углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего [14].
Таким образом, оценка влияния случайных воздействий является актуальной задачей. С этой целью изучают статистические характеристики случайных процессов, являющихся решениями стохастических задач.
В настоящее время изучению схожих проблем посвящены работы За-дорожнего В.Г. [26, 27, 33], Кляцкина В.И. [36, 37], Фурсикова A.B. [51 -53], Смагиной Т.Н. [34], Строевой Л.Н. [30, 31, 46].
Целью данной работы является исследование статистических характеристик решения задачи Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого являются случайными процессами, а также получение оценок погрешности, возникающей при замене случайных процессов, входящих в дифференциальное уравнение, их математическими ожиданиями.
Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:
1. Сведение исходной задачи, коэффициенты которой являются случайными процессами, к вспомогательным детерминированным задачам.
2. Решение начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными.
3. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.
4. Решение вспомогательных детерминированных задач.
5. Вычисление моментных функций решения исходной задачи.
6. Оценка погрешности, обусловленной заменой в дифференциальном уравнении случайных коэффициентов их средними значениями.
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер и содержит обзор основных понятий, используемых в работе. Приведены определения и свойства преобразования Фурье, вариационной производной, случайного процесса и его характеристик. Рассмотрено решение начальной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.
Во второй главе рассмотрена задача Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами д д2 д2 х, у) = бгф—^и^, ж, у) ж, у) ж, ?/)+/(*, ж, у),
У (1) х,у) = д(х,у), (2) где г (Е [¿о, Ь] = т - время, х е К, у € М, £1: Т Ж, е2: Т Ж, £3: Т М, /:Тх12-^К- случайные процессы, д : К2 —> Ж. - независящий от £1(2), езМ и f(t?x)У) случайный процесс, и: Т х Ж2 —Ж - решение задачи (1), (2).
Предполагается, что £\(t) > О, £2(¿) > 0 при í 6 Т, реализации случайных процессов £2СО) ^з(^) принадлежат пространству Loo(T), реализации процесса f(t,x,y) принадлежат пространству L^iT X М2), случайные процессы si(t), £2{t), £3(¿), f(t,x,y) заданы характеристическим функционалом ф(уъ v2, v3, w) = M(h(vi, v2, w3j«;)), (3) где M - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов £i(t), £2{t), f(t,x,y) и h(v 1, v2, w) = exp(г J [ei(s)vi(s) + s2(sWs) + £3(s)u3(s)](¿s+ (4) f(s,TljT2)w(s1T1,T2)dT1dT2ds),
Jt J r2 vi 6 Li(T), f2 G Li(T), г;3 G ¿i(T), w G LX(T x R2).
В этой главе получены формулы для математического ожидания, второй моментной и дисперсионной функций решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости случайного процесса f(t,x,y) от процессов £i(t), £2(í), £з(£), а также рекуррентные соотношения для нахождения моментных функций любого порядка.
В параграфе 2.2 второй главы получены явные формулы для решений начальных задач с частными и вариационными производными первого и третьего порядков.
Рассмотрена начальная задача для линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными д S и {уъ V2, V3, t) = í)+ (5)
5 ó a2^5v2{t)U V2'V3' ^ + a^Sv3(t)U V2'
1,^2,^3, ¿o) = (>1,^2,^3), (6) где t G T,v 1 € Li(T), v2 G Li(T), <u3 G Ьг(Т), аг: T С, а2: Т С, а3: Т С - непрерывны на отрезке Т, ¿i(T) х LX{T) х Li(T) х Т -ь С - искомое отображение, Uq: L\{T) х L\(T) х Za(T) —С - задано.
Обозначим через х(а> Ь, -) функцию, определяемую по следующему правилу: х(а, 6, я) = sign(s — а) при я, принадлежащем отрезку с концами а и Ь, и 6, й) = 0 в противном случае.
Теорема 1. Пусть ух е Ьг(Т), у2 € Ьг(Т), у3 е Ьг{Т), аг: Т С, а,2'. Т —> С, аз: Т —> С - непрерывны на Т и в некоторой окрестности точки ')> ^ •)» ^з+азх(*0> •)) существуют непрерывные по У2, vз вариационные производные о^1 + ^')' + а2х(*о,•), ^з + «зХ^о, = 1, 2,3, туш t £Т, тогда и(^ь У2, и3,0 = + ахх^о, •), + «2X^0, •)> + азх(*о, •)) (7) имеет частную производную ди(у1,У2,пз,{)/&, причем д а^-^щЩ^ + агх^о, •), + а2х(*о, ■)> ^з + •))+ а1Х^0' ^ + 0> уз + азХ^о, •))■
Теорема 2. В условиях теоремы 1 отображение (7) является решением задачи (5), (6).
Найдено решение начальной задачи для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными д 8 и(VI, у2, = агМ ¿^¿у^ь ^з, (8)
2^ + и(VI, «2, ^3, ¿) + .В(VI, «2, «3, <), и(V!, У21 V?,, *0) = и0(уь У2, (9) где ¿ет,1) 1 е Ьг(Т), у2 е Ьг(Т), у3 (Е Ьг(Т), ац Т С, а2: Т ^ С, аз: Т —> С - непрерывные на отрезке Т функции, V: £х(Т) х Ь\{Т) X Ьх(Т) хТ-^С - искомое отображение, 170: ¿^(Т) X (Т) х ^(Т) € и Б: Ьг(Т) х £х(Т) х £х(Т) х Т С - заданы.
Теорема 3. Пусть выполняют,ся условия теоремы 1 и в некоторой окрестности точки (^х + ахх(з, •), у2 + •), г>з + азх^, •), в) существуют непрерывные по у\, у2, уз вариационные производные В(VI + 01х(в, •)» у2 + •)> + •)> 5)>.7 = 2> 3> при в Е Т, Ь € Т, тогда и(VI, у2, «з, £) = + •)> + а2х{1 о, ■)> ^з + азх(*о, •))+ [ В(у1 + а1х{8,Ъ-),У2 + а2х(8,Ъ-),Уз + азх(8,*,-),8)<18 (10)
Л0 является решением задачи (8), (9).
Рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными
9 г . б д2 , г, X, у) = X, 2/)- (11)
8 д2 , . 5 , \ т / \
Ъ6у2(г) Эу2 ' 173'^ 2'^ ^'г'3'
У2, Уз, ¿о, я, 2/) = ж, ?/), (12) где г <Е Т, ж € Ж, у е ж, VI € 1а(Т), ^2 £ ^(Т), е ¿хСП, г: Ьг(Т) X ЬХ(Т) X ^(Г) хТхЖЧС - искомое отображение, Ь: ^(Т) X £х(Т) X Ь\{Т) хТх1Ч€ и 1а(т) X Ьх(Т) X £х(Т) хМЧС - заданные функции.
Обозначим через FXy[f)(^r¡) преобразование Фурье по переменным (ж,у), через обратное преобразование Фурье по переменным
77), знак * обозначает свертку функций по переменным (х,у).
В формулировке следующей теоремы отображение го и его производные вычисляются в точках (г;х + •)> Щ + •), уз ~~
•), х, у), а отображение 6 и его производные вычисляются в точках («1 + «£2х(т, •), + ')> уз ~ ■), г, ж, г/).
Теорема 4. Пусть существует окрестность У{г) нуля радиуса г в Ь\(Г) х Ь\(Т) х Ьх(Т) такая, что при всех (г?1,г?2,г?з) Е У(г) в окрестности точки (и! + г£2х{к, 0^2 + гг}2х&о, •), г>з - гх(£0, ■)» 3/) су^е-ствуютп непрерывные по г>2, ^з вариационные производные
-),у2 + гг^х^о, -),у3 - у), 3 = 2,3, при £ Е Т, в окрестности точки (у\ + -),г>2 + Щ2х{Т: ')»^з — х(т, •), г, ж, у) существуют непрерывные по У\, у2, г>з вариационные производные Ч2х(т, ■), У2 + гт;2х(г, ■), *>3 - гХ{т, •), г, ж, ?/), = 1, 2,3, Е Т, т Е Т, и функции у] (С, ч) I, КХЫК, ч) 1, к, I?) |, . 8Ъ . 5Ъ . . 5Ъ . . Г 5Ъ ч. . г 5Ъ .
4)" 1 х"Л1)Оу(Ц^ "" 1 ^¿„аф^' "" при Ь Е Т, г Е Т ограничены суммируемыми на М2 функциями. Тогда решение задачи (11), (12) находится по формуле г(уъу2,у3,г,х,у) = ^[^[¿оК + •)> (13) [' РьЫЧъ + ХЫ-гЛ-), о
У2 + "72х(т, г, •), у3 - гх(т, •), г, х, 2/)]К, г})](х, у) (¿т.
В параграфе 2.3 второй главы задача (1), (2) сводится к вспомогательной детерминированной задаче, которая представляет собой дифференциальное уравнение с частными и вариационными производными, рассмотренное в параграфе 2.2.
Для этого вводится вспомогательное отображение
У(щ, «2, «з, ги, ж, у) = М(и(г, х, у)к(уь ^з, ш)), (14) где* е Т, Ж е Ж, 2/ е К, уг е ^(т), е 1а(т), е Ыт), т е ^(ТхМ2), М - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов £1^), £2СО, £зС0 и /(£,ж,2/)> и(1,х,у) - решение задачи (1), (2), 11(у1,У2,Уз,и)) определяется формулой (4).
Умножив уравнение (1) и начальное условие (2) на /г(г>1, у2, Щ, м) и усреднив по функции распределения процессов £].(£), £2СО: £з(^), терминах функционала У(г>1, г>2, ^з,ж, у) получим детерминированную задачу
5 6 д2
У(г71, V), ж, г/) = «2, из, ж, 2/)- (15) 5 д2 , . (5 ч гбу2^) ду2 ^ х' ^ ~ х'
-г-т-тг-т^ъ ^2, ^з, дю(г,х,у)
У (уъ vi, уз, и¿о, ж, ?/) = М(д(ж, 2/)Ж^ъ у2, уз, ги). (16)
Причем, если известно У(г>1, г>з> ^ 2/)> т0 математическое ожидание х,у)) решения задачи (1), (2) вычисляется по формуле
М(«(*, ж, у)) = У(0, 0, 0, 0, *, ж, 2/). (17)
Определение 1. Пусть У(^1,и2,г;з,ги,£, ж, 2/) является решением задачи (15), (16) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда У (О, О, О, О, х, у) называется математическим ожиданием решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).
Так как М(и(Ь,х,у)) = У(0,0, О, О, х, у), то важно найти решение задачи (15), (16) в малой окрестности точки (0,0,0,0) переменных К, ги).
Теорема 5. Пусть функция М(д(х,у)) суммируема на М2; при малых и> 6= Ь^ТхК2) выполнены условия теоремы 4, е окрестности точки {vl-^-i{,2x{to,t,'),V2 + irl2x(to,t,■),v3-ix(tQ,t, существуют непрерывные по VI, и<2, г>з вариационные производные
-Щ^'ФЫ + + М72Х(*оЛ 0^3 = 1,2,3, при Ь Е Т, в окрестности точки (г>1 + «£2х(т, ■), г?2 + ^2х(т, •), г>з — ?х(т, -),ш) существуют непрерывные по У\, У2, вариационные производные
52 с МГ /-t, -),У2+гт]2х(г, •), ^з-гх(г, •), «>), = 1> 2> 3' дVj{t)OW{T, х: у) при £ е Т. т еТ, тогда
У (у 1, ^з, ги, ж, у) = М(д(х, у))* (18)
Г»/.Л,.
Р?ЛФ(У 1 + t, •), + «Л^о, 0)^3- ■), 2/) з - ■)>«>)](£, 77)](ж, г/)</т
Г4 5 является обобщенным решением задачи (15), (16).
Из решения вспомогательной задачи (15), (16) получено выражение для математического ожидания решения задачи (1), (2). Теорема 6. При выполнении условий теоремы 5
М(и(г,х,у)) = М(д(х,у))* (19)
С 5 является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1), (»)■
Когда случайные процессы €\{Ь), £2(2), £зОО не зависят от случайного процесса /(£, ж,у) и заданы характеристическим функционалом ь у2, уз) = М(ехр(г / [^(«^(в) + £2(5)^2(5) + £3(5)^3(5)]^)), (20)
Зт справедлива следующая теорема.
Теорема 7. Если случайный процесс х,у) не зависит от случайных процессов £].(£), £2^); £з(^); функция М(/(£, х, у)) суммируема на ТхМ?, в окрестности точки (г?1+г£2х(т, •)> ^з+^хО") ^ •)> ^з-«х(т) ")) характеристический функционал <р(у1,у2,Уз) случайных процессов £].(£), £2(^)7 £зОО имеет непрерывные по У\, у2, вариационные производные г£2х(т, Ъ + 1Г12х{т, 0^3- = 1, 2, 3, гфм £ £ Т, т Е Т, и выполнены условия теоремы 5, то обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид
М{и{г,х,у)) = М(д{х,у))* (21) [ •), гг]2х(т, 4, ■), -*х(т, •))](*, 2/) * М(/(г, ж, о ¿0
Отметим, что в случае независимости случайного процесса f(t,x^y) от процессов £х(£), £2(^), £з00 для нахождения математического ожидания М(и(Ь, ж, у)) решения задачи (1), (2) достаточно знать математическое ожидание М(д(х,у)) случайного процесса д(х,у), математическое ожидание М(/(£, ж, г/)) случайного процесса /(¿,ж,у) и характеристический функционал <р(у\,у2,уз) случайных процессов £х(£), £2^), £з(^)
12
Параграф 2.4 посвящен нахождению второй моментной функции решения задачи (1), (2).
Вводится отображение
Z(v 1, v2, v3, w, t, s, x, X, у, у) = M(u(i, ж, Ж, U2, V3, w)), (22) где i 6 T, s G T, ж 6 R, у G К, ж G №, £ G R, 6 £i(T), v2 G Li(T), ^з G Li(T), w G Li(T x R2), M - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов е\(t), £2 СО? £3(t), f{t,x,y), h(vi,V2,v3,w) имеет вид (4).
Отметим, что Z(yi,V2,vs,w,t,s,x,x,y,y) симметрично по переменным (t,x,y) и {s,x,y).
Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на u(s:x,y)h(vi,v2,v3,w) и усреднив по функции распределения процессов £i(i), £2(t), £3(^)5 f(t,%,y)> получим следующую детерминированную задачу относительно функционала Z(v\, V2> w, t, s, ж, ж, у, у) д
Z(vi, v2, v3, w, t, s, x, x, у, y) = (23) S d2 Ä дх2 V2' V3j W' X' Xj У'
Z{vi, v2, v3, w, t, s, x, ж, y, y)ду2'
-i-—7-cz{yъ у3, v), в, ж, ж, у, у)
-г, -Уз, ш, в, ж, у),
2{VI, у2, Уз, ги, ¿о, 5, ж, ж, у, у) = М(д(х, у)и(з, ж, -и2, ^з, И)- (24)
Причем,
М ж, ж, £)) = 0, 0, 0, 5, ж, ж, 2/, т/). (25)
Найдено решение вспомогательной задачи (23), (24), позволяющее получить формулы для второй моментной функции решения задачи (1), (2).
Обозначим через ^су [/](£> ?7) преобразование Фурье по переменным (х,у), через ^^ [/](£) 2/) обратное преобразование Фурье по переменным (£,77), через * свертку по переменным (х,у).
Теорема 8. Пусть уг € Ьг(Т), у2 е ЬХ(Т), уъ Е Ьг(Т), V) £ Ьг(Т х К2), характеристический функционал имеет непрерывные по VI, г>з вариационные производные
6 62 Щ^Ф^г, «з, Ч
5у^(1)8уо(т,х,у)5и)(а,х,уУ ' ' ' при М(д(х,у)) и М(д(х,у)д(х,у)) суммируемы на
М2 и М2 х соответственно, тогда, г(VI, У2, Уз, V), ¿, 5, ж, ж, у, у) = (26) М(д(х, у)д(х, у)) *' ^^ + ■) + ¿£2х(*о, •). г^Х^О: •) + гг]2х(^ t, •), ^з - ■) - •)> «>)](£, уЖх> У)~
-г £ г,)) * + •) + ■)>
2 + ^ О + •)>
- •) - ¿Х(*0, •)> 3/)](£
-г £ у))*-^1^!^1!^^ + 5, •) + г<£2х(т, •),
2 + гт)2х(^ в, •) + гг]2х(т, t, •), ^3 - ¿х(*0, ■) - г'х(т, •), и')](ж, #)] (£, г/)с2т
- Г Г т"7-^ , . + ХК •)+
2х(т, + м?2х(а, 5, •) + щ2х(т, г, •), з - «Х(«, 0 - гх(т, •), «;)](£, 77)](х, £)](£, т])}(х, у)дадт является симметричным, по переменным (¿, х,у) и (з,х,у) решением задачи (23), (24) в обобщенном смысле.
Определение 2. Пусть Z(v\, v2, w, i, s, x, x, у, у) является симметричным no переменным (t,x,y) и (s,x,y) решением задачи (23), (24) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда Z(О, О, О, О, t, s, ж, у, у) называется втюрой моментной функцией решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).
Теорема 9. Пусть выполняются условия теоремы 8. Тогда обобщенная вторая моментная функция решения задачи (1), (2) находится по формуле
M(u{t,x,y)u{s,x,y)) = (27) M(g(x, y)g(x, у)) *' 0 + ■). ir}2x(tО, S, ■) + ir)2x(to, t, •), -ix(to, S, •) - ix(to: t, •), 0)](ж, y)](x, y)--i f M(g(x, y)) * ^ W^ftl^^ 8, •) + t, •), itfxi^s,') + г?/2х(*оЛ •)> -«x(t, S, •) - ¿x(io, i, ■)> °)](ж' 2/)](l> y)dr~ -i j* M(g(x, ') + /e2x(r, t, •),
5, •) + iri2x(T, t, •), -ix(to, S, •) - ix(r, t, •), 0)](ж, $](£, т/)](ж, y)dr
- f ГW^W^t-?—u r - v^2^ •) + ¿e2x(r,■),
Ло Ло 5w{T,x,y)6w{a,x,y) ifj2x(oi,s} •) + irt2x(r,t,-), гх(а, s, •) - ¿x(r,i, •), 0)](f, т})] (ж, у)] (С, ??)](a;, y)dft(ir.
В случае, когда процесс f(t,x,y) не зависит от случайных процессов
2(t), доказана следующая теорема.
Теорема 10. Если случайный процесс f(t, ж, у) не зависит от случайных процессов exit), е2(i); £%(t), функции M(f'(t,x,y)) и
М(/(£, ж, ж, з/)) суммируемы наТ хМ.2 и Т х Г х I2 х К2, соответственно, характеристический функционал у?(г>1, Уз) случайных процессов £\{€), £2^), £з{ъ) имеет непрерывные по у\, уз вариационные производные при Ь Е т, и выполнены условия теоремы 8, то
М(и&х,у)и(з,х,у)) = (28) М(д(х, у)д(х, у)) *' •) + г^о, •), гт}2х(^о, •) + М72Х(*0, ■), -х(*о, О - ?:х(*о, •))]2/)+ Г М(^(ж, 2/)) * ^[^[^хСт, •) + ■). о
-¿х(т> •) - гх^о, Ъ -))](ж, у)](х, Й*М(/(г, ж, ¿о г»)2х(т, г, •), -гх(<0>«, 0 - «хО,-)Ж®> 3»](®> у) * м(1(т,х, у))^т+ I' Г+¿ех(г,г,-),
JtQ J ¿0
И?х(а, в, •) + {т]2х(т,г, •),
•) - гх(т,£, •))](£,$] (ж, у) *' M(f(т}x,y)f(a,x,y))dadт является второй моментной функцией решения задачи (1), (2) в обобщенном смысле.
В параграфе 2.5 главы 2 получены выражения для дисперсионной функции решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости процесса /(£, ж,у) от процессов £г(£), £2^), £з(^)
Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 8, тогда обобщенная дисперсионная функция решения задачи (1), (2) имеет вид ж, у)) = М(и2& х, у)) - (М(«(*, ж, у)))2 = (29) [М(д(х, у)д(х, у)) *' Ff^F^m^xito, в, •) + ■). wpxfo, s, ■) + ir}2x(t0, t, •), -ix(tQ, s, ■) - ¿xfah t, •), 0)](ж, у)](я;, y)~ -г j* M(g(x, у)) * ^Ыт, s, •) + i£2x(f0, ■), ifpxfas,-) +ir)2x{to,tr), -«х(т, 5, .) - ¿х(*0, ■)> °)КЖ> 2/)](IJ о, S, ■) + irfx(T, t, •), s, •) - ■)> у)Ш, v)](x, y)dr
- JC £ 0+гЛ(т'^ г/)) * i, ■), ^2x(*o, i, •), -¿х(*о, •)> 0)](®, y))2+ ' x £ ~'X(T' °)](e'ч)](г'y)dT+
Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 10, тогда
D(u(t, х, у)) — (30) 1М(д(х,у)д(х,У)) *' ■) + i£2xfo,t, •),
2х(*о, «5, •) + irfxfa, t, •), -x(to, S, •) - ix(to, t: ■))](£, y)](x,y)+ Г M(g(x, у)) * ^[^[^(¿^(r, s, •) + '¿ex(to, t, •), J to 4 ifFxfas, ■) + ir)2x(to,t, •)> -¿xO", s, ") ~ «x(*(h "))](ж> 2/)](®> £)*M(/(г? s,
J to
-гх(а, б, •))](£, у)](х, т/)*'М(/(т, ж, у)/(а, ж, у))в,а(1т\\3=^=х,у=у
-(М(д{х, у)) * ^[^х^о, •)» •), ■))](*. 2/))2
-2(М(р(®,у)) * •)> -«х(*оЛ •))](*» У))* х [ (р&[<р№2х(т>■)»•)> —'))](*> 2/) * ми(71 ®>2/)))<*г
•//о является обобщенной дисперсионной функцией решения задачи (1), (2).
Вариационным дифференцированием решения детерминированной задачи (15), (16), рассмотренной в параграфе 2.3, найдены формулы для смешанных моментных функций М{и(1,х,у)е^(з))) ^ — 1, 2, 3.
Теорема 13. Пусть случайные процессы е2(¿), не зависят от процесса f(t,x,y), характеристический функционал ^(^1,^2,^3) процессов £2^), £зОО имеет непрерывные по у2, из вариационные производные до второго порядка включительно, М(д(х,у)) суммируемо на М2, М(/(£,ж,?/)) суммируемо наТ х Ж2. Тогда
М(и^,х,у)ф)) = (31) -гМ(д(х, у)) * О, "?2х(*о, •)> "«Х^о, -))10,
М(/(т, ж, у))йт, 3 = 1,2,3, является второй смешанной моментной функцией М(и(£, ж,y)£j(s)), ^ = 1,2, 3; ^в смысле обобщенных функций) решения задачи (1), (2).
В параграфе 2.7 получена рекуррентная последовательность детерминированных задач для нахождения моментных функций любого порядка.
Введем отображения р(уi, V2, w, z) = ехр(г J [£l(s)^l(s) + e2(s)v2(s) + £3(s)v3(s)]ds+ s' ть T2)w(s, Ti, r2) + u(s, n, r2)z(s, n, T2)]dT1dT2ds)
Jt jr2 и
Q(vi,V2,í73,W,2:) = M(p(vi,V2,V3,W,z)), где vi E Li(T), v2 e Ьг(Т), v3 G ¿i(T), w G Zq(T x M2), г G Li(T x R2),
M - знак математического ожидания по функции распределения процессов i(í)> W, £3(*), f{t,x,y), u(t,x,y).
Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на p(vi,v2,V2iW, z) и переходя к средним значениям, получим д 5Q = , <5 д2 SQ , <У д2 5Q dt5z(t,x,y) Svi(t) дх2 5z(t,x,y) Sv2(t) ду2 Sz(t,x,y)
5 5Q 5Q
-^ ^-= гМ(д{х, у)р{иь г;2, Ш, г?)). (33)
Получили детерминированную задачу относительно <3(г>1, г>2, причем коэффициенты уравнения (32) не зависят от статистических характеристик процессов £1(4), е2(£), е3(£), /&,х,у), д(х,у).
Если известно <5(г;1, и2, г>3, -ш, .г), то легко находятся моментные функции решения задачи (1), (2) и даже корреляционные функции процессов е2(*), езМ, f(t,x,y), и(^х,у). Например,
М{и(г,Х,у)) - ---к=0,«2=0,г;з=0,и»=0,г=1Ь
М{и^х,у)ф)) = - км)Л=оЛ=о,»=о^о= 1,2,3.
Решение задачи (32), (33) ищется в виде степенного ряда
Я - Яо{^1,У2,У3,ш)-\ гк [ Г ¿2 / • • • / <Э*(иь 173' ги» 51> ■ • ■ > ■ • ■ , хк, Уъ • • • , Ук) X с=1
Ъ шМ«2, ж2,2/2) •■ ■ ¿(«Ь • • • ¿в^Хг . йхк<1у1. (IУк, где интегралы по переменным 51,.,вк вычисляются по промежутку Т, по переменным ., Хк - по М и по переменным у\,., у к - по К, отображения Як симметричны по тройкам переменных (я/, жг-, у{), г = 1, 2,., к.
Подставив разложение для <3(г>1, ъ2, ^з, %) в уравнение (32) и приравняв степени по переменной г, получим д у2, у3, 'IV, г, з2,., вк, ж, ж2,., хк, у,у2,., Ук) = (34) • 8 д2 Л ,
2, .3, «2,• • • , Ж, Ж2, . . . , ЖЛ, у, у2, . . . , З/й)
1^2, IV, t,S2,., X, Ж2, . ■ ■ , Хк, У,У2,-., Ук)~
5у2^) ду2
-К илЯкЫ, г)2, У3, и), г, 32,., вк, Х,Х2,., Хк, у,у2,., Ук)~ £ х у)^*"1^1' ги' '''' ^ • • •'2/2, • • •, 2Ль)> при Л; = 1,2,.
Вычислив вариационную производную (А; — 1) -го порядка по £ от равенства (33) в точке (VI, г>2, г>3, т, 0, ¿0, • • •, ¿о, ж, ж2,., ж*, у,у2,., Ук), находим
Як{у ь г>2, «з, ги^о,., ¿о, ж, ж2,., жЛ, у,у2,., у к) = М(#(ж, 2/)р(ж2> 2/2) •• • 2Ль)Ж*>1, ^з, -ш), (35)
Л; = 1,2,.
Таким образом, получена рекуррентная последовательность детерминированных задач (34), (35) для нахождения коэффициентов Як
Определение 3. Пусть Qk(vь v2, v3, ад, si,., ., а*, уи ., является симметричным по переменным (Si,Xf,yiг = 1,2, решением в смысле обобщенных функций (в классическом смысле) задачи (34), (35). Тогда Qk(0,0,0,0,si,. ,sk,xb . ,xk,yi, ■. ,Ук) называется моментной функцией k-го порядка решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).
В третьей главе рассмотрены частные случаи законов распределения случайных коэффициентов уравнения (1) в предположении, что случайные процессы е\ (t), £-2(t), не зависят от случайного процесса f(t,x,y).
В параграфе 3.1 получена формула для математического ожидания решения задачи (1), (2) в случае равномерно распределенных случайных коэффициентов и оценена погрешность, возникающая при замене случайных процессов их средними значениями.
Предполагается, что случайные процессы £i(¿), £2(t), £з(Х) независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами . sin L aj(s)v(s)ds , í lf/ , NW , , , , ч ¡X¿Hs)L = 1.2,3, (36) где v G Li(T), a,j G Loo(T), M(ej) G L^T), M(sj{t)) - математическое ожидание случайного процесса £j(t) (j = 1, 2, 3).
Вводятся следующие обозначения
Aj{t0,t)= í aj(s)ds,Mj(to,t) = í M(£j(s))dsJ = 1,2, J to j to
37) 4
D(to,t)= ;tto "V exp(/ M(£3(s))ds). sllIt0aÁs)ds f¿a3(s)ds ±KJt0
Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 1, случайные процессы £\(Ь), £2^); £з(-0 независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами (36). Тогда
М(«(4, *.»)) = Е Е + + У))* (38)
•4 00 00 А{к{т,1)А*п{т,€) д4^
А А{ {т, (г, £) / 2212 Го1 шо Л 1Я 4А;Я 4тМ(^ Т'*
Л0 ^^ + 1)К2™ + х)! дх*кду*т
Е(т,г,х,у)Р(т, ¿) ^ *--=ат
4тт л/М\ (т, М2 (г, £) является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1), (2).
Теорема 15. Пусть случайные процессы £2СО, распределены по равномерному за,кону распределения, выполнены условия теорем,ы 7; функции М(д(х, у)) и М(/(£, а;, у)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные с\, д и неотрицательная на отрезке Т функция при которых выполняются неравенства
4(к+т) дх[кду4 дЦк+т)
М(д{х,у)) с\{2к + 1)!(2т + 1)!д^+т,
М(№,х,у))
Сй(*)(2А; + 1)!(2т+1)!д к+т дх4кду4т' яЛ^о^) < 1,7 = 1,2.
Тогда (38) определяет, математическое ожидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка /"с2(т)р(т,у 10 (1-дА1(т,т-дА1{т,Ь))аТ
Заменив в задаче (1), (2) случайные процессы е^), £2^), ез(£), /^,х,у),д(х,у) их средними значениями, получим детерминированную задачу д д2 д2 х, у) = х, у) + ж, </)+
М(е3ММ*, ж, у) + М(/(г, ж, у)), (40) М(д{х,у)). (41)
Ее решение, с учетом обозначений (37), имеет вид ехр( Г/ М(е3(в)Ш -(«,.,„) = М{д(х,у)) * (42) Г м{Пт, х,у))* Е{т, ¿г.
Ло 47Гу/М1(г,*)М2(т,*)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 15, функция и(Ь,х,у) - решение детерминированной задачи (40), (41)> М(и№,х,у)) ~ математическое ожидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (38), тогда справедлива следующая оценка
М(и&х,у))-и{Ь,х,у)\ < (43) С1 ехр( / М{ъ(8))Ь)( - 1)+
-АЦЪ,ад -1)+ Г с2(т)ехр( Г - 1)ат+
Jt0 ¿т }т а3(в)йв ( <а(т) Л(г, " ЦЧг.
Заметим, что при а, = 0, ^ — 1,2,3, процессы являются детерминированными и равными М(е1(£)), М(е3(£)). Из формулы (43) видно, если а^ стремятся к нулю, то математическое ожидание (38) решения задачи (1), (2) стремится к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов математическими ожиданиями.
В параграфе 3.2 рассмотрен случай нормального распределения случайных коэффициентов уравнения (1). Найдены математическое ожидание, вторые моментные и дисперсионная функции решения задачи (1), (2). Оценена разность между математическим ожиданием решения задачи со случайными коэффициентами и решением детерминированной задачи, в которой коэффициенты заменены их средними значениями.
Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 1, случайные процессы £\{Ь), £2^); распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом
61(51, «2)^1(51)^1(52) + 62(^1, 32>2($1)^2(52)+ (44) где «1 е ЬХ(Т), и2 е и (Г), «з € ЬХ{Т), М(е5) е ^ е
Ьоо(Т X Т), - математическое ожидание случайного процесса з^)> ^(<51, ^2) = М(£у(з1)£у(з2)) — M(£j(sl))M(£j(<S2)) - ковариационная функция случайного процесса £¿(1) (з = 1,2,3,). Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид
М(и(^ х, у)) = ^212 дх^тМУ)> (45) к=о 771 = 0 ' ' и / 2(к+т)к\т\ дх4кду4тЩПг,Х'У))* с0 ¿=о тп=0 "
-. -.ат.
4-7г-у/М\ (г, €) М2 (т, £) где Bj(to, ¿) = ЬДвх, «2)^1^2, *) = //0 ^ = 1, 2, Щр'- (4б)
ТУ^о,£) = ехр( [ + | [ ( &з(*ъ £2)^1^2).
Теорема 18. Пусть выполнены условия теоремы 10, случайные процессы £1(1), е2(£), £з(^) распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44)- Тогда
М(и{1,х,у)и(з,х,у)) = (47)
4тг)2^(¿о, *)М2(*0,в)М2(*0> в)
МяОММ®»?/))*' оо оо
А;=0 т=0 у °° В^^о 5)В2г(^о х X) 1 2^)к\т\ дх4кду^Е^0' *> к (4тг)2л/М\(¿п, *Ш2(*п, ¿ШЛг, вШ2(т, 5) v ^ (47г)2у/М1(^о, *)М2(*0| 4)М1(г, в)М2(г, в)
2(к+т) к\т!ъ\ дх4кду4
А—О т=0 оо оо х №л, Й« е Е ¿(^м(/(г
А;=0 ш=0 ' ' и к (4тг) VMlfa), з)ММп, з)М1Ст, €)Мо{т, г)
Чо (4тг)2^(¿о, в)М2(*о, в)М1(г, ¿)М2(т, ¿) 53 53 1 Ык+тп) Ъ\т Р>*4каМтМ(3&у))) Х г=0 т=0
А;=0 гп=0 ^ ' У [* Гх к к (4тг)2л/М1(г, г)М2(т, *)М1(а, в)М2(а, в)
2(Ь+Ш)к\т\ Зх^Зу4'" к=о т=О у к=0 т=О у
М(/(г, ж, 2/)/(а, ж, у))(1а(1т является обобщенной второй момептной функцией решения задачи (1), (*)■
Теорема 19. Пусть вы/полнены условия теоремы 13, случайные процессы е1е2(£), распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44)- Тогда вторая смешанная моментная функция решения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций) имеет вид
М(и(1,х,у)ф)) = ,,-У',^. =(М(£1(,))Д(г„,«,*,»)+ (48) к=0 т=0 ' ' у Жт ^ д2 ' ' ' 'дх
2 {к+тп)к\т\ дх4кду4 Е Е
0 т=О где / 61(7-,
Л)
Теорема 20. Пусть выполнены условия теоремы 12, случайные процессы £2(£); распределены по нормальному закону распределения. Тогда г=Ю т=0 ' у
Ло (4тг)*)М2(*о, Ъ)М\{т, ¿)М2(т, *)
А;=0 то—О оо оо
0 ТО=0 ^ Г ГЩт^Ща^)х
Л, Ло (4тг)2у/Мг(т, *) М2 (т, *) Мх (а, *) М2 (от, *) к=0 771=0 00 оо пк ^ (а, Я
Х> > Л, о и л Е(а^,х,у))*
А,-=0 ш=0
М(/(г, ж, 2/)/(аг, ж, у))<1сх(1т
00 оо ¿=0 то=0 ^
47Гу/М1(т,$М2(т,$ Т) 7 даРду*™ {П ' >У)) г° &=0 т=0 у является дисперсионной функцией решения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций).
Теорема 21. Пусть случайные процессы £\{Ь), ^з(^) распределены по нормальному закону распределения, выполнены, условия теоремы 7, функции М(д{х, г/)) г/ ж, ?/)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные с\, д и неотрицательная на отрезке Т функция С2(Ь), при которых выполняются неравенства д4(к+т) дх4кду4т к+тп)
М(д{х,у)) акШд**™, С2^)к\т\д
1т.1 пк+т дх4кду4т' дВ;{1 0>*)< 2,^ = 1,2.
Тогда (45) определяет математическое ожидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка
4 Г<*Ш(т,г)
Теорема 22. Пусть вы,полнены условия теоремы 21, и(Ь,х:у) - решение детерминированной задачи (40), (41)> М(и(Ь,х,у)) - математическое ожидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (45), тогда справедлива следующая оценка
М{и&х,у))-и&х,у)\ < (51)
С1вхр(/ М(ез(5))^)(ехр(^ I I Ьз(з1,з{)(1з1(182) - 1)+ о ¿п
C2(т)ex.p(J M(£5(s))ds)(exp{^J ^ 51)^1^2) — 1)йа(1(3(1т+
При Ъ^ = 0, з = 1,2,3, процессы £2^), являются детерминированными и равными М^^)), М(е2^)), М(£%(6)), соответственно.
Если в (51) устремить bj к нулю, то математическое ожидание (45) решения задачи (1), (2) будет стремиться к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов их средними значениями.
В параграфе 3.3 вычислено математическое ожидание решения задачи (1), (2) в случае пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов.
Пусть случайные процессы е\(t), s2(t), £з(t) заданы характеристическими функционалами rh roo rt-L pej(v) =exp(i/j / (/ p(qj)e¡xp(iqj v(s)lj(s - r1)ds)dqj - l)dn), (52) j to J —OO J T\ j = 1,2,3, где p(qj) - плотность распределения случайной величины qj, функция lj(t) описывает форму импульса и является детерминированной (.lj(t) = 0 при t < 0), Vj - параметр (j = 1, 2, 3).
Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 1, случайные процессы £\{t), £2{t), £3(t) независимы и распределены по пуассоновскому закону распределения с характеристическими функционалами (52). Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид
M{u(t,x,y))= (53) ехР(^з Ц1 M(exp(g3 lL{nM ~ ri)ds))dri) exp(^i(íi - ¿0)) exp(z/2(íi - t0)) exp(z/3(íi - t0))
M{g(x:y))* pt р(ц / M(exp(—£ gi / h{s - n)ds))dn)x
Jto J max{ri,io} exp(z/2i M(exp(-7y2g2 Í h(s - ri)ds))dri)](a;, y)+
Jt0 ^max{ri,io} [* 6XP^3 ^ /max{n,r} ~ T^ds^dn)
Jto exp(i/i(íi - ¿0)) exp(z/2(ii - t0)) exp(z/3(ii - t0)) xF^[exp(i/i [ M(exp(-^2gi Í h(s - n)ds))dn)x io J maxfri ,r} М(ехр(-Л2 /" /2(5-п)сг5))сгг1)](а;,2/)* п ./тах/п ,т)
-Ь1 х ехт ; тах{т1,т} м(/(т,х,у))(1т.
В заключении перечислены основные результаты диссертации.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выделим основные новые результаты, полученные в диссертации:
1. Получена явная формула для решения начальной задачи для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными первого порядка.
2. Найдено решение задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.
3. Получены формулы для нахождения математического ожидания, вторых моментных функций, дисперсионной функции решения уравнения теплопроводности в общем случае и в случае независимости случайных коэффициентов от случайного внешнего воздействия.
4. Построены рекуррентные соотношения для вычисления последовательных моментных функций.
5. Получены выражения для математического ожидания, второй мо-ментной функции, дисперсионной функции решения для частных законов распределения случайных коэффициентов.
6. В случае нормального и равномерного распределения случайных коэффициентов оценена погрешность, обусловленная заменой случайных процессов, входящих в уравнение, их математическими ожиданиями.
7. Доказано, что формула для математического ожидания решения является обобщением известной формулы Пуассона для решения уравнения теплопроводности.
1. Адомиан Дж. Стохастические системы / Дж. Адомиан. М. : Мир, 1987. - 376 с.
2. Бахвалов Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. М. : Наука, 1984. - 352 с.
3. Боровикова М.М. Дисперсионная функция решения стохастической задачи Коши для уравнения теплопроводности /М.М. Боровикова // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2008. -№ 4. - С. 195 - 198.
4. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М. : Наука, 1979. - 224 с.
5. Вентцель А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин. -М. : Наука, 1979. 424 с.
6. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, JI.A. Овчаров. М. : Высш. шк., 2000. - 383 с.
7. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М. : Наука, 1979. - 320 с.
8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров, В.В. Жаринов. М. : Физматлит, 2003. - 400 с.
9. Волков И.К. Случайные процессы / И.К. Волков, С.М. Зуев, Г.М.
10. Цветкова. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 448 с.
11. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959. - 470 с.
12. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гих-ман, A.B. Скороход. М. : Наука, 1977. - 568 с.
13. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения / И.И. Гихман, A.B. Скороход. Киев : Наук, думка, 1982. -612 с.
14. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М. : ИЛ, 1962. - 896 с.
15. Задорожний В.Г. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную / В.Г. Задорожний // Сиб. матем. журнал. 1992. - Т. 33. - № 2. - С. 80 - 93.
16. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. Воронеж : ВГУ, 2000. - 368 с.
17. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. М. - Ижевск : НИЦ "Гегулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 316 с.
18. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши для уравнения переноса с диффузией и случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Докл. РАН. 2001. - Т. 377. - № 5. - С. 588 - 590.
19. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности / В.Г. Задорожний // Докл. РАН. 1999. - Т. 364. - № 6. - С. 735 - 737.
20. Задорожний В.Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т. 7. - № 2. - С. 351 -371.
21. Задорожний В.Г. О линейном дифференциальном уравнении первого порядка с обычной и вариационной производными / В.Г. Задорожний // Матем. заметки РАН. 1993. - Т. 53. - Вып. 4. - С. 36 - 44.
22. Задорожний В.Г. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, Л.Н. Строева // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36. - № 3. - С. 377 - 385.
23. Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. - Т. 66. - № 4. - С. 119 - 136.
24. Задорожний В.Г. Отыскание моментных функций решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка / В.Г. Задорожний, Т.И. Смагина // Вестник факультета прикладной математики и механики. 1998. - С. 52 - 56.
25. Каменский М.И. О принципе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с запаздыванием / М.И. Каменский // Докл. РАН. 1994. - Т. 337. - № 3. - С. 304 - 306.
26. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайнонеоднородных средах / В.И. Кляцкин. М. : Наука, 1980. - 336 с.
27. Кляцкин В.И. Когерентные явления в стохастических динамических системах / В.И. Кляцкин, Д. Гурарий // Успехи физических наук. -1999. Вып. 2. - С. 171 - 208.
28. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М. : Наука, 1976. - 544 с.
29. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1970. - 720 с.
30. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Д.Ф. Кузнецов. СПб. : Изд-во Политехи, ун-та, 2006. - 762 с.
31. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. М. : Наука, 1983. - 424с.
32. Монин A.C. Статистическая гидромеханика / A.C. Монин, A.M. Яглом. М. : Наука, 1965. - Ч. 1. - 640 с.
33. Монин A.C. Статистическая гидромеханика / A.C. Монин, A.M. Яглом. М. : Наука, 1967. - Ч. 2. - 720 с.
34. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль. М. : Мир, ООО "Изд-во ACT", 2003.- 408 с.
35. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций / A.A. Свешников. М. : Наука, 1968. - 464 с.
36. Строева JI.H. Линейная задача переноса со случайными коэффициентами / JI.H. Строева // Вестник факультета прикладной математики и механики. 2003. - Вып. 4. - С. 124 - 135.
37. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И. Татарский. М. : Наука, 1967. - 548 с.
38. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики /А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М. : Наука, 1977. - 736 с.
39. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы / В.И. Тихонов // Автоматика и телемеханика. 1958. -Т. 19. - № 8. - С. 717 - 723.
40. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. М. : Радио и связь, 1982. - 624 с.
41. Фурсиков A.B. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью / A.B. Фурсиков // Изв. РАН. Сер. матем. -1992. Т. 56. - № 6. - С. 1273 - 1315.
42. Фурсиков A.B. О проблеме замыкания цепочки моментных уравнений в случае больших чисел Рейнольдса / A.B. Фурсиков // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. 1990. - С. 231 - 250.
43. Фурсиков A.B. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса / A.B. Фурсиков // ДАН СССР. 1991. - Т. 319. - № 1. - С. 83 - 87.
44. Шапиро В.Е. Динамические системы при случайных воздействиях / В.Е. Шапиро, В.М. Логинов. Новосибирск : Наука, 1983. - 160 с.
45. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Наука, 1965. - 328 с.
46. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. - 436 с.
