Моментные функции решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со случайными коэффициентами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Обзор понятий, используемых в работе.

§1.1. Обобщенные функции. Определение. Основные свойства.

§1.2. 5-функция.

§1.3. Свертка обобщенных функций.

§1.4. Преобразование Фурье.

§1.5. Вариационная производная.

§1.6. Некоторые сведения из теории вероятностей.

§1.7. Уравнение гидродинамики.

Глава 2. Линейное уравнение переноса.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Нахождение решения задачи с вариационной производной.

2.2.1. Решение уравнения с вариационной производной первого порядка.v.

2.2.2. Решение уравнения второго порядка с вариационной производной.

§2.3. Математическое ожидание решения задачи (2.1)-(2.2).

2.3.1. Переход к детерминированной задаче.

2.3.2. Вывод формулы для математического ожидания решения задачи (2.1)-(2.2).

§2.4. Вторая моментная функция решения задачи (2.1 )-(2.2).

2.4.1. Нахождение решения вспомогательной задачи.

2.4.2. Вывод формулы для второй моментной функции решения задачи (2.1)-(2.2).

§2.5. Дисперсионная функция решения задачи (2.1)-(2.2.).

§2.6. Третья моментная функция решения задачи (2.1)-(2.2.).

2.6.1. Нахождение решения вспомогательной задачи.

2.6.2. Вывод формулы для третьей моментной функции решения задачи (2.1Н2.2).

§2.7. Частные случаи.

2.7.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1)-(2.2).

2.7.1.1. s - гауссовский случайный процесс.

2.7.1.2. 8 - пуассоновский случайный процесс.

2.7.1.3. е - равномерный случайный процесс.

2.7.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1)-(2.2). Случай гауссовского случайного процесса 8.

Глава 3. Линейное уравнение переноса в случае двумерного фазового пространства.

§3.1. Постановка задачи.

§3.2. Нахождение решения задачи с вариационной производной. 73 3.2.1. Линейное уравнение с вариационными производными первого порядка.

3.2.2. Линейное уравнение с вариационными производными второго порядка.

§3.3. Математическое ожидание решения задачи (3.1 )-(3.2).

3.3.1. Переход к детерминированной задаче.

3.3.2. Вывод формулы для математического ожидания решения задачи (3.1)-(3.2).

§3.4. Вторая моментная функция решения задачи (3.1)-(3.2).

3.4.1. Нахождение решения вспомогательной задачи.

3.4.2. Вывод формулы для второй моментной функции.

§3.5. Случай гауссовских случайных процессов 8i и 82.

3.5.1. Математическое ожидание.

3.5.2. Вторая моментная функция.

Глава 4. Моментной функции n-го порядка решения уравнения переноса для случая одномерного фазового пространства.

§4.1. Случай для характеристического функционала случайных процессов s и f

4.1.1. Переход к детерминированной задаче.

4.1.2. Нахождение n-ой моментной функции решения задачи (2.1)-(2.2).

§4.2. Случай для характеристического функционала случайных процессов 8, f и uo.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Уравнение для коэффициентов разложения.

Физические, экономические, химические, биологические процессы в большинстве случаев подвержены влиянию случайных факторов. Обычно изучают детерминированные математические модели таких процессов, заменяя случайные коэффициенты их математическими ожиданиями.

Ранее подобные задачи были отражены в работах Вл.Г.Задорожнего, Т.И.Смагиной, Вал.Г. Задорожнего, А.В.Фурсикова.

В списке использованных источников приведены работы, посвященные уравнениям с вариационными производными и методам нахождения моментных функций решений дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами [11, 14, 20, 21, 23, 25, 27, 29, 36, 46].

Для практики важно знать основные характеристики случайного процесса - математическое ожидание и дисперсионную функцию, а если возможно, то и старшие моментные функции. Это и определяет актуальность выбранной темы.

В диссертационном исследовании разработана новая методика нахождения моментных функций решения задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициенты которых являются случайными процессами. Получены новые результаты по решению дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными. Получены формулы для нахождения математического ожидания, дисперсионной функции и рекуррентные формулы для нахождения моментных функций более высокого порядка решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со случайными коэффициентами. Эти формулы не используют процедуру континуального интегрирования.

В данной работе рассматриваются следующие задачи:

1. Нахождение решений задач Коши для линейных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.

2. Сведение задачи Коши дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, коэффициенты которой являются случайными процессами, к детерминированным дифференциальным уравнениям. Нахождение решения детерминированных уравнений.

3. Получение формул для моментных функций первого, второго и третьего порядков и дисперсионной функции.

4. Нахождение моментных функций для случаев нормального распределения, равномерного распределения и пуассоновского распределения случайных процессов.

5. Получение рекуррентных формул для нахождения моментных функций высшего порядка.

При решении поставленных задач используются методы теории дифференциальных уравнений, методы функционального анализа, методы теории вероятностей.

Полученные формулы для нахождения моментных функций могут быть использованы в практических расчетах. Оценки погрешностей, получаемые при замене случайных коэффициентов их средними значениями позволяют оценить степень пригодности используемых детерминированных моделей. Разработанный метод нахождения моментных функций может быть применен и для других дифференциальных уравнений.

В первой главе представлен обзор понятий, используемых в работе. Даны определения обобщенной функции; свертки и преобразования Фурье указанных функций; вариационной (функциональной) производной; математического ожидания, дисперсионной функции, моментных функций порядка п и характеристического функционала случайных процессов. Рассмотрены свойства и частные случаи нахождения свертки, преобразования Фурье, вариационной производной.

Во второй главе рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами для случая одномерного фазового пространства. где t G Т = [f„, h] CR, £€R, >R, / :TxR—>R, w0:R—>R

- случайные процессы. Предполагается, что £ и / независимы с «о и заданы характеристическим функционалом

1) u(t0, х) = щ(х),

2) где e(v(-),w(-)) = exp(i J s(s)v(s)ds + i J J/(sb s2)w(si, s2)dsids2) (3) t t r и M - математическое ожидание по функции распределения случайных процессов е, /. s,si G Т, s2 G R, «;(■) G £i(T), «?(■) G £i(T x R), £i(T)

- пространство суммируемых на отрезке Т функций, a L\(T х R) - пространство суммируемых функций на множестве Т х R.

В данной главе найдены формулы для первой, второй, третьей момент-ных функций и дисперсионной функции. Рассмотрены случаи, когда s имеет нормальное, равномерное распределения и распределение Пуассона.

Найдено решение задачи Коши линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с вариационной производной. Рассмотрена задача у(*о,0) = уом0), (5) где t G Т = [£о, С R, v(-) G Li(T), а : Т —у С - непрерывная функция на отрезке Г, у0 : ЬХ(Т) С, Ь : Т х ^(Т) —► С - заданы, у : Т х Li(T) -»• С

- неизвестная функция.

Пусть X - банахово пространство функций, определенных на отрезке

Т.

Через x(s,/, •) Е X обозначим характеристическую функцию отрезка [s,t], то есть = если z G и равную нулю в противном случае [7, стр.12].

Теорема 1. Еслиу(-) G Li(T), yo(v(-)) ub(t,v(-)) имеют, вариационные производные по v(t), a(t) - непрерывная на отрезке Т функция, тогда решение задачи (4)-(5) находится по формуле y(t, О) = уоМ-) + Ох(*0, t, •)) + Jl b(s, О + a(-)x(s, t, -))ds. Рассмотрим следующую задачу = + (а) y(to,x, v(-)) = y0(x,v(-)), (7) где t eT = [to, t{\, x £ R, v(-) G L\(T), a : T —> С - непрерывная функция. b(t,x,v(-)), y0(x,v(-)) - заданы.

Введем обозначения.

Fx[f(x)] - преобразование Фурье функции / по переменной ж; i^-1 [#(£)] - обратное преобразование Фурье по переменной

Определим через Gst(ia(-)^)y(t,x,v(-)) - отображение, применяемое по переменной i>(-), следующим образом: ж, «(•)) = y(t, ж, г;(-) - га(-)£ х(«, •))■

Теорема 2. Если v(-) £ L\(T), yo(x,v(-)) и b(t,x,v(-)) имеют вариационные производные по v(t), a(t) - непрерывная на отрезке Т функция, тогда решение задачи (6)-(7) находится по формуле t J F[l[Fx[Gst(ia(^)b(s,x,v('))]]ds. to

В пункте 2.3.1. главы 2 изложена методика перехода к детерминированной задаче и найдено решение этой задачи. Введем в рассмотрение вспомогательное отображение U(t,x,v(-),w(-)) — M(u(t, x)e(v(-), w(•))).

Заметим, что искомое математическое ожидание выражается через U(t,x,v(-),w(-)), а именно M(u(t,x)) = U(t, х, 0,0). Оказывается для U можно получить детерминированную задачу.

Умножим обе части уравнений (1)-(2) на e(v(-),w(-)), которое задано формулой (3), и вычислим математическое ожидание от найденных выражений.

Таким образом, получена задача относительно неизвестного отображения U(t,x,v(-),w(-)) du(t,x,v(-)M')) = . 6 dU(t,x,v(-)M-)) Mv(-)M')) /ОЛ dt Sv(t) Sx Sw(t,x) ' { J

U(to,x, v(-),«;(.)) = M(u0(x))<p(v(-),w(-)). (9)

В дальнейших рассуждениях для более короткой записи формул будем использовать обозначения v, w вместо v(-), и w(-), соответственно.

Теорема 3. Пусть v 6 Li(T), w G Li(T x R) и существуют вариационные производные

6cp(v,w) S2(p(v,w) 6v(t) '6v(t)6w(t,xY тогда обобщенное решения задачи (8)-(9) находится по формуле

U(t,x, v, w) = MM*)) * VPmKM^ «0] - ijFf'mG^O^^Ws, где знак * обозначает свертку по переменной х.

Определение 1. Обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1)-(2) называется U(t,x, 0,0), где U(t,x,v,w) - обобщенное решение задачи (8)-(9) и обозначается M(u(t,x)).

Теорема А.Пусть выполняются условия теоремы 3., тогда обобщенное математическое оэюидание решения задачи (1)-(2) находится по формуле

Mu(t, х) = Мщ(х) * ^[С^ШО, 0)] - г £

Теорема 5. Если в задаче (1)-(2) случайные процессы £ и f независимы и характеристический функционал <р£(v) случайного процесса £ имеет вариационную производную по и, тогда математическое оэюидание Mu(t,x) решения задачи (1)-(2), в обобщенном смысле, находится по формуле

Mu(t, х) = Мщ(х) * ff ЧСмКЫО)] + J' F^IGJ^W)] * Mf(s, x)ds.

10)

Отметим, что для нахождения математического ожидания решения задачи (1)-(2) по формуле (10) достаточно знать характеристический функционал процесса е и математические ожидания Мщ(Ь,х), Mf(t,x).

В пункте 2.4.1. главы 2 найдено решение вспомогатаельной задачи и получена формула для нахождения второй моментной функции решения задачи (1)-(2). Введем в рассмотрение следующие обозначения [7, стр. 100].

Fx' - преобразование Фурье по переменной х'\

F^1 - обратное преобразование Фурье по переменной - свертка по переменной ж; - свертка по переменной х';

Х* - свертка по переменным ги/

Рассмотрим отображение Z(t, s,x,x',v,w) = M(u(t,x)u(s,x')e(v,w)), где e(v,w) имеет вид (3). Нужно отметить, что оно является симметричным по переменным (t,x) и (.s, х1). Относительно отображения Z(t, s, х, х', v, w) получена задача dZ(t, s,x,x',v,w) . S dZ(t, s,x,x',v,w) .6U(s,x',v,w) . . dt = ~гбЩ Ъх ' 6w(t,x) ' ( }

Z(t$, s, x, x', v, w) = M(uq(x)u(s, x')e(v, w)). (12)

Здесь U(t,x,v,w) - обобщенное решение задачи (8)-(9).

Определение 2. Обобщенной второй моментной функцией решения задачи (1)-(2) называется Z(t, s, х, х\ 0,0), где Z(t, s, х, x'rv, w) - обобщенное симметричное по (t,x) и (s, х') решение задачи (11)-(12) и обозначается M(u(t, x)u(s, х')).

Теорема 6. Пусть v 6 L\(T), w £ L\(T x R) и существуют вариационные производные

6<p(v,w) 6<p(v,w) 62ip(v,w) 6v(t) Sw(t, x)' x)6w(s, ж')' Sv(t)6w(t, x)Sw(s, ж')' тогда вторая моментная функция, в обобщенном смысле, решения задачи (1)-(2) имеет вид

M(u(t,x)u(s,x')) = М(щ(х)щ(х')) \х' ^[^[GbtiQGtM'MOM

- ^(0,0) to

1 <ММ)

Кроме того, получена формула для второй моментной функции решения задачи (1)-(2), когда случайный процесс £, заданный характеристическим функционалом <p£(v), независим со случайным процессом / [формула (2.30)].

В §2.5. главы 2 получены формулы для дисперсионной функции решения задачи (1)-(2). Рассмотрим случай независимых случайных процессов ей/.

Теорема 7. Пусть выполняются условия теоремы 6., кроме того, случайный процесс £, заданный характеристическим функционалом <ps(v), независим с /. Тогда дисперсионная функция, в обобщенном смысле, решения задачи (1)-(2) имеет вид

Du(t, х) = (МиЦх) - М2щ(х)) * +2 Мщ{х) * jly{\GtM)F[\Fx[GTt{i)ipMMf{r, ж)]]] jlj*Ftl[Fx[GTt(2QipM{Mf\T,x) - M2f{r,x))]]drdT.

В пункте 2.6.1. главы 2 найдено решение вспомогатаельной детерминированной задачи, с помощью которого нахождится третья моментная функция решения задачи (1)-(2), относительно отображения

R(t, t2, h, х, х2, х3, v, w) = M(u(t, x)u(t2, x2)u(t3, x3)e(v, w)), где e(i>, w) определено формулой (3).

Следует отметить, что отображение R(t, t2l h, х, х2, v, w) симметрично по переменным (t, х), (t2,x2) и (£з,жз)dR(t,t2,tz,x,x2,x$,v,w) . 6 dR(t,t2,t%,x,x2,xs,v,w) dt ~ ~%6v{t) ~дх

6Z(t2,t3,x2,xs,v, w) 6w(t,x) '

R(to,t2,13, x, x2, ж3, V, ly) = M(u0{x)u(t2, a?3)e(v,«;)), где s, ж, ж', v, w) - обобщенное решение задачи (11)-(12).

13) и

Определение 3. Обобщенной третьей моментной функцией решения задачи (1)-(2) называется R(t,t2,tz,x,x2, 0,0), где R(t,t2,h,x,x2,x3,v,w) - обобщенное решение задачи (13)-(Ц) и обозначается M(u(t, x)u(t2, X2)u{tz, х%)).

Введем новые обозначения.

FX2 - преобразование Фурье по переменной

Fxз - преобразование Фурье по переменной

- обратное преобразование Фурье по переменной

Ff3l - обратное преобразование Фурье по переменной £з;

- свертка по переменной ж;

1 - свертка по переменной х^;

- свертка по переменной

1,2

- свертка по переменным х ж

1,3

- свертка по переменным х и

2 3

- свертка по переменным жг и а;з;

1,2,3

- свертка по переменным х, х^ и

Теорема 8. Пусть v Е L\(T), w Е Ь\{Т х R) и существуют вариационные производные

6(fi(v,w) 6(p(v,w) 62(p(v,W) 62(p(v,W) 62ip(y,w)

6v(t) ' 6w(t, x) ' 6w(t, x)6w(t2, X2) ' 6w(t, x)6w(t%, £3) ' 6w(t2, X2)6w(t3, Ж3) '

63(f(v,w) 64<p(v,w)

6w(t, x)Sw(t2, X2)6w(t%, X3) ' Sv(t)6w(t, x)6w(t2, X2)6w(t^, £3) ' тогда третья моментная функция, в обобщенном смысле, решения задачи (1)-(2) имеет вид

M(u(t,x)u(t2,x2)u(l;3,x3)) = = М(щ (х)щ(х2)щ(х3)У0)]]]— -m(u0(x)u0(x2))1^f1lFf^ to to '

-Мщ{х) i j jF^2\F^[FX2[FXz[Gt0t{0GS2h(b)GS3t3(b) to t о

6W(S2,X2)CW(S3,X2)

-Мщ(х2) I J J Ff^F^lF^1 [Fx[Fxa [Gtoti(&)Gst {0Gs3t3(6) to to

0) ]]]]]dcda 6w(s,x)6w(ss,X^)

-Мщ(х3) I J/ir^^^fi^H^^^J^teJG^CO^te) , ^f f0) JM*** io to to , jy{0,0l ,-M]}dsds2ds3. ow(s, X)OW(S 2, £2)010(53, Жз)

Рассмотрен случай когда случайные процессы ей/ независимы [теорема 2.13.].

5 третьей главе рассмотрена задача Коши для линейного дифференциального уравнения первого порядка в частных производных со случайными коэффициентами для случая двумерного фазового пространства. eH^ = ei(t)ft^ + ej(t)ft!(^J!)+/(t)!Eiy)> (15) u(to,x,y) = щ(х,у), (16) где t £ = Т С R, (ж, у) G R2, £i, £2 - случайные процессы, : Т х R2 —>■ R - случайный процесс, щ : R2 —s► R - случайный процесс независимый с £i, £2, /• Предполагается, что случайные процессы е2 и / заданы характеристическим функционалом

ФЫ-), v2(-), w(-)) = Me(vi(-), «2(0» Ч))> где

Ы')> Ы-), «КО) = ехР(* / + e2(t)v2(t))dt+ т i J J J f{t,x,y)w(t,x,y)dydxdt), (17) t r r и M - математическое ожидание по функции распределения процессов

1, £2, /. «!(•), «2(0 е Xi(T), Ц-) G НТ х R2). Li(T), Lx{T х R2) -пространства суммируемых функций на отрезке Т и множестве Т х R2, соответственно.

Получены формулы для нахождения первых двух моментных функций решения задачи (15)-(16) и рассмотрены частные случаи для этих функций, когда случайные процессы е\ и е2 имеют нормальное распределение.

Для более короткой записи формул будем использовать обозначения vi, V2, w вместо Vi(-), v2(-), w(-).

Рассмотрим вспомогательную задачу относительно введенного отображения, симметричного по переменным (t,x,y) и (s,x',y'),

Z(t, s, х, у, х', уvh v2, w) = M(u(t, x, y)u(s, y')e(vh v2, w)), где i(vi,v2,w) имеет вид (17). dZ(t,s,x,y,x',y\vuv2,w) 6 dZ(t,s,x,y,x\y',vhv2,w) dt 8v\ (t) dx 6 dZ(t,s,x,y,x',y',vhv2,w) .6U(s,x',y',vhv2,w)

18 v2{t) dy 1 8w(t, x, y) '

Z(to,s,x,y,x',y',vuv2,w) = M(u0(x,y)u(s,x',y')e(vhv2,w)). (19)

Определение 4. Обобщенной второй моментной функцией решения задачи (15)-(16) называется Z(t, s, х, у, ху', 0,0,0), где Z(t, s, х, у, ж', у', i>i, г»2, и;) - обобщенное симметричное по (t, х, у), (s, ж', у') решение задачи (18)-(19), ж обозначается M(u(t,x,y)u(s,x',у')).

Введем новые обозначения

Fxy - преобразование Фурье по переменным х, у;

Fx>yi - преобразование Фурье по переменным х', у';

- обратные преобразования Фурье, по переменным (С,??) и (£',?/), соответственно.

- знак свертки по переменным х и у. - свертка по переменным (ж',у').

- свертка по переменным (ж, у) и (V, у').

Через Qsti^rj) определим отображение, применяемое по переменным у\ и г>2, следующим образом:

Qst(b Г))ф(уъ i>2, гу) = - Zx(s, t, •), v2 - rjx(s, t, -),w).

Теорема 9. Пусть v\(t),V2(t) € L\(T), w(t,x,y) G L\(T x R2) и существуют вариационные производные

6l[>(yi,V2, w) 8ф(У\,У2, w) 62ф(У1,У2,П)) 6vj(t) ' 8w(t,x,y) ' 8w(s, x', y')8w(t, x, y)'

63ф{уъу2,п)) ■ = 1 2

8vj{t)8w(t,x,y)6w(s,x',y'y ' ' тогда вторая моментная функция, в обобщенном смысле, решения задачи (15)-(16) имеет вид

M(u(t,x,y)u(s,x',y')) = М(т(х', у')щ(х, у)) 5 ^[^ЮмК. vJQtosti', »/Ж0,0, о)]]гМщ(х, у) * / F^[F^\FxW[Qt^ v)Q<rs(t\ v')^ ]]dat0

-iMu0(x',y') *' j F^[F^[Fxy[Qhs(^ ri)Q«&°\}}}drt0 ow{t,x,y)

В пункте 3.5.1. получена формула для нахождения математического ожидания решения задачи (15)-(16), когда случайные процессы £\ и е2 распределены по нормальному закону. Доказано, что если ковариационная матрица этих процессов A(s,t) стремится к нулю, то в пределе получаются детерминированные функции, причем Msj(t) = Sj(t), j = 1,2.

В четвертой главе получена формула для моментной функции порядка п решения задачи (1)-(2). Воспользуемся результатами, полученными во второй главе. Введем вспомогательное отображение я, а?2,хп, v, гу) = M(u(t, a;)w(f2, жг)—xn)e(v, w)).

Здесь e(v, w) имеет вид (3).

Нужно отметить, что Dn симметрично по переменным (t,x), (t2,^2),., (tn,xn). Рассмотрим задачу tn, Ж, ., f, to) <9* ~~ dx x2, .,xn,v,w) — ^--

6w(t, ж) n

D„(t0, /2,*»», X,x2,.y xn, V, w) = M(u0(x) П «(*,-, Xj)e(v, w)). (21) i—i

Задача (20)-(21) является детерминированной.

Определение 5. Обобщенной моментной функцией п-го порядка решения задачи (1)-(2) называется Dn(t,t2) .,tn, х, х2,хп,

0,0), где

Dn(t, ., tn, х, х2,хт v, w) - обобщенное симметричное по (t, х), жг), ц г = 2,n, (n Е N) решение задачи (20)-(21) и обозначается М{ П u(ti,xi)). i= 1

Введем обозначения

FXj - преобразование Фурье по переменной ху F^.1 - обратное преобразование Фурье по переменной - свертка по переменной ху jl J2 . , .

- свертка по двум переменным xjt и xj2, ф j2] *j - свертка по всем переменным Xk, кроме ху ji,h ~ свертка по всем переменным кроме х^ и Xj2;

1 ,п

- свертка по всем переменным ху kJJuj2 = hn; п € N.

Теорема 10. Пусть v G L\(T), w 6 L\(T x R) и существуют вариационные производные

6(f(v,w) 6kcp(v,w) k<n 6n+1(p(v,w)

6v(t) ' 6w(ti,Xl).6w(tk,Xhy ~ ' Sv(t)6w(ti,Xi).Sw(tn,Xn)'>

20) тогда обобщенная моментная функция порядка п решения задачи (1)-(2) находится по формуле

3=1 j=i tj

H-(-i)1 £ М(щ(х 1).uo{xj-1)uo(xj+1).uo(xn)) *J J ЩЛ-К1^ t0

Gtoh(6)• ■■Gtotj.1(^j-i)Gtotj+1 fe+i)■ • -Gtotn(£n)GSjtj(&) « ' • • -]сЦ+ owysj, Xj) iiJ2=1 tjj

J1J2 to

V(o, 0) . -f

-h(-г)" 7 -. 7 i^:1 [-. I^"1 [i^x [---(6) • • to to

0) -].]<£§!.

6w(shx1).Sw(sn,xn)-где n,j, jb j2 e N.

В заключении приведен краткий обзор основных результатов диссертации и сделаны выводы из проделанной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в работе, являются новыми. Решения дифференциальных уравнений с частной и вариационной производными позволили найти выражения для моментных функций решений дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами.

Эти результаты устанавливают связь континуального интеграла с уравнениями в вариационных производных. Разработанная методика перехода от задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со случайными коэффициентами к детерминированной задаче может быть применена и к другим дифференциальным уравнениям, коэффициенты которых являются случайными процессами. Полученные формулы для нахождения первых трех моментных функций, дисперсионной функции и рекуррентной формулы для моментной функции порядка п могут быть использованы в практических расчетах.

Полученные формулы являются обобщением известных результатов для детерминированных уравнений, поскольку при стремлении к нулю ковариационной матрицы (3.28) в пределе получаются известные формулы для решений детерминированных уравнений.

Эти результаты являются перспективными и могут быть использованы для нахождения моментных функций решений и других дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами, являющихся моделями различных процессов. Полученные результаты позволяют находить мо-ментные функции высокого порядка решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка для случая п-мерного фазового пространства.

1. Адомиан Дж. Стохастические системы. М., Мир, 1987. - 376 с.

2. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию квантовых полей. М., Наука, 1976. 479 с.

3. Боровков А.А. Теория вероятностей. М., Наука, 1986. 431 с.

4. Вишик М.И. Аналитические решения уравнения Хопфа, соответствующего квазилинейным параболическим уравнениям или системе Навье-Стокса// Задачи механики и математической физики. М., Наука, 1976. С.69-97.

5. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Трансляционно-однородные статистические решения и индивидуальные решения с бесконечной энергией системы уравнений Навье-Стокса// Сиб. мат. ж., т. 19, N5 С. 1005-1031.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, изд. 3-е, Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", 1976.-528с. с илл.

7. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.; Наука, 1976. 280 с.

8. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М., Наука, 1982. 304 с.

9. Гельфанд И.М., Яглом A.M. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике// УМН, 1956, т. 11, N1 (67). С. 77-114.

10. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.; Наука, 1977. 568с.

11. Далецкий Ю.Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов// ДАН СССР, т.166, N5. 1035-1038.

12. Далецкий Ю.Л. Эллиптические операторы в функциональных производных и связанные с ними диффузионные уравнения// ДАН СССР, 1966, т.171, N1. С. 21-24.

13. Далецкий Ю.Л. О некоторых задачах, связанных с интегрированием в функциональных пространствах и дифференциальными уравнениями в функциональных производных// Труды симпоз.по механике сплошных сред, Тбилиси, 1973. С. 78-88.

14. Далецкий Ю.Л., Кухарчук И.М. Уравнения первого порядка с функциональными производными// УМЖ, 1965, N6. С. 114-117.

15. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М., Наука, 1983. 383 с.

16. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М., ИЛ, 1956. 605 с.

17. Задорожний В.Г. Вполне интегрируемые уравнения с вариационными производными// Wissenschfftliche Haupttagung. Hauptfortrage, Vortragauszuge. Martin-Luther Uniwersitat, Halle, 1974. pp. 172-173.

18. Задорожний В.Г. Вполне интегрируемые уравнения с вариационными производными// Дифференциальные уравнения, N11, 1975. -С.2027-2039.

19. Задорожний В.Г. Решение некоторых уравнений с вариационными производными. Препринт 87.34, Киев, Институт математики АН УССР, 1987. 52 с.

20. Задорожний В.Г. Вычисление моментов решения линейной неоднородной стохастической системы дифференциальных уравнений// Математическая физика, Киев, 1988, N9, (43). С.9-13.

21. Задорожний В.Г. О разложение характеристического функционала линейной стохастической системы в степенной ряд// УМЖ, 1989, т.41,, N9. С. 1207-1214.

22. Задорожний В.Г. О дифференциальных уравнениях второго порядка в вариационных производных// Дифференциальные уравнения. 1989, т.25, N10. С. 1679-1683.

23. Задорожний В.Г. О задаче Коши, соответствующей линейной системе дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами// Дифференциальные уравнения. 1990, т.26, N3. С. 545-546.

24. Задорожний В.Г. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную// Сиб. мат. ж., 1992, т.33. N2. С.80-93.

25. Задорожний В.Г. Моментные функции решений стохастических дифференциальных уравнений. Препринт, Воронеж, ВГУ, 1992. 30с.

26. Задорожний В.Г. О линейном дифференциальном уравнении первого порядка с обычной и вариационной производными// Матем. заметки РАН, 1993, т.53, вып. 4. С. 36-44.

27. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности// Доклады Академии Наук, 1999, т. 364, N6. С. 735-737.

28. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными. Воронеж, 2000. 368 с.

29. Задорожний В.Г., Смагина Т.Н. Отыскание моментных функций решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка// Вестник ф-та ПММ, Воронеж, ВГУ, 1998. С. 52-56.

30. Задорожний В.Г., Строева J1.H. О математическом ожидании решения линейного стохастического дифференциального уравнения первого порядка с частными производными // Вестник факультета прикладной математики и механики: вып. 1. Воронеж: ВГУ, 1998.- С.56-63.

31. Задорожний В.Г., Строева JI.H. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами // Дифференциальные уравнения, 2000, т.36, N 3, С.377-385

32. Иосипчук М Д. Решение одного уравнения с функциональной производной/ / В1сник JIbBiBCK. полиехн. шст-та, 1970, N44. С. 106-108.

33. Иосипчук МД. Решение уравнения гармонического осциллятора в гармонических производных// Вкник Льв1вск. полп:ехн. шст-та, 1988, N22. С. 47-48.

34. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М., Наука, 1980. 333 с.

35. Ковальчик И.М. Задача Коши для одного уравнения в функциональных производных// Докл. АН УССР, 1966, N 3. С. 284-286.

36. Ковальчик И.М. О приближенном решение некоторых уравнений с функциональными производными// В1сник Льв1вск. пол1техн. шст-та, 1967, N18. С. 13-23.

37. Ковальчик И.М. Линейные уравнения с функциональными производными// ДАН СССР, 1970, т. 194, N4. С. 763-766.

38. Ковальчик И.М. Представление решений некоторых уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Винера// ДАН УССР, 1976. сер. А, N12. С. 1078-1082.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. С.405-406.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, 1984. 832 с.

41. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. М., Наука, 1967. 510 с.

42. Мельничак Н.П. Неоднородные линейные уравнения с функциональными производными// Матем. физика, Респ. Межвед. сб. 1977, N119. 146-149.

43. Перов А.И. О многомерном линейном дифференциальном уравнении второго порядка// ДАН СССР, 1964, т. 159, N4. 755-758.

44. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики: Пер. с англ.- М.: Мир, 1982.-488с. с ил.

45. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука. 1982. - 182 с.

46. Самборский С.Н. О существовании решений нелинейных уравнений в вариационных производных// Труды Моск-го ин-та хим. машиностроения, 1974, вып. 53. С. 57-59.

47. Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. -М.: Наука, 1975. 232 с.

48. Соболев С.Л. Me'thode nouvelle a' re'soudre le proble'me de Cauchy pour les e'quations lene'aires hyperboliques normales, Матем. сб., 1 (43), (1936), 39-72.

49. Строева Л.Н. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка в частныхпроизводных со случайными коэффициентами // В сб. Труды молодых ученых. Воронеж, ВорГУ, 2000, вып.2 С.27-36.

50. Сявавко М.С. О теореме Коши-Ковалевской для уравнений с функциональными производными// ДАН УССР, 1968, А, N1. С. 32-35.

51. Сявавко М.С., Мельничак И.П. Об одном классе уравнений с функциональными производными// УМЖ, 1974, т.26, N6. С.836-841.

52. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М., Наука, 1979. 286 с.

53. Тихонов В.И. Стохастическая радиотехника. М., Сов. радио, 1966. 678 с.

54. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы// Автоматика и телемеханика, 1958, т. 19, N8. С. 717-723.

55. Феллер М.И. Бесконечномерные эллиптические уравнения и операторы типа П.Леви// УМН, 1986, т.41, N4(250). С.97-140.

56. Фурсиков А.В. О проблеме замыкания цепочки моментных уравнений в случае больших чисел Рейнольдса/ / Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. Новосибирск, Ин-т математики СО АН СССР, 1990. С. 231-250.

57. Фурсиков А.В. Проблема замыкания цепочек моментных урав120нений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса// ДАН СССР, 1991, т.319. N1. С.83-87.

58. Фурсиков А.В. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со лучайной правой частью// Изв. АН СССР, Сер.математическая, 1992, т.56, N6. С.1273-1315.

59. Шерстнев А.Н. О решении уравнений в функциональных производных// Изв. Вузов. Математика, 1961, N6. С. 155-158.

60. Шварц J1. The'orie des distributions, v.I-II, Париж, 1950-1951.

61. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс// Под ред. О.А.Олейник, В.П.Паламодова, Б.П.Панеяха.- 2-е перераб. изд.- М.: Изд-во МГУ, 1984 208 с.

62. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс//М.:Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960. 388 с.

63. Dalezki J.L. Integration in function spaces and differential equations with functional derivatives// Studia Math. 1970, v.38. p.333-340.

64. Hopf E. Statistical hydromechanics and functional calculus// J.Rat. Mech.Anal. 1952, v.87. N1. p. 19-43.