О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Горлов Владимир Александрович

О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

005010369

2 0ЕЗ 2ьі2

ВОРОНЕЖ- 2012

005010369

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный универ-

ситет

Защита состоится 21 февраля 2012г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 в Воронежском государственном университете по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 314.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан $ января 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.2

профессор Костин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич

доктор физико-математических наук профессор Родин Владимир Александрович

доктор ф.-м. наук, профессор

Актуальность темы. Исследование корректной разрешимости начальнокраевых задач для эволюционных уравнений является одной нз актуальных проблем в современной математике. В приложениях к различным проблемам естествознания важную роль играют математические модели с нестационарными граничными условиями. Сюда, в частности, относятся задачи, возникающие в явлениях тенломассопереноса.

Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адамаром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий паиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений.

Пусть Р и и - метрические пространства с соответствующими метриками рр и рц. Согласно Адамару, задача определения решения и £11 уравнения

Аи = /, (1)

где / £ ^ задано, называется корректно поставленной на паре метрических пространств (Р, II) , если выполняются условия:

1) для всякого / € Р существует и Е и решение уравнения (1);

2) решение определяется однозначно;

3) задача устойчива на пространствах (Р, [/), если для любого е >

О можно указать такое 5(е) > 0, что из неравенства /^(/ъ/г) < ¿(е) следует ри(щ, и2) < е.

Обычно топологии определяются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи Р и решений II:

а) с одной стороны, желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А. Например, в случае, когда А = А(А) - оператор зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора Л-1 (А) ( например, резольвенты Д(А, А) = (А — А/)-1) была не зависящей от параметра А;

б) с другой стороны, хотелось бы иметь наиболее широкие простран-

ства данной задачи Р, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "классе {У.

В диссертации рассматривается только тот случай, когда оператор А линейный, а пространства и банаховы. В этом случае для того чтобы линейная задача (1) была корректной в паре банаховых пространств (и,Р) необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор Л = А-1, действующий из ^ в II, причем область определения оператора О (Я) совпадает с^и оператор Я был ограниченным из Р в И.

Отметим, что абстрактная теория полугрупп операторов была построена с целью изучения корректной разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве.

При этом важным является вопрос о поведении полугруппы при £ —>

Решению проблем связанных с этим фактом посвящены многочисленные работы таких математиков как: А.Г. Баскаков - теория отношений; Федоров В.Е., Свиридюк Г.А. - задача Коши для дифферепциалыюго уравнения неразрешенного относительного производной Ьи' = Ащ Ю.Т. Сильченко - уравнения с неплотно определенным оператором А.

Отметим, что полугрупповое свойство обеспечивает экспоненциальный рост решения, а, следовательно, и полугруппы [/(4) при í —>■ оо, что позволяет к их исследованию применять преобразование Лапласа.

Однако существует обширный круг задач, в которых решение растет быстрее экспоненты. Для таких задач применение к исследованию преобразования невозможно. В тоже время к ним может быть применен другой метод - метод С.Г. Крейна.

Например, вопрос об устойчивости по начальным данным решения задачи:

0.

ди{Ь,х) д2и(Ь,х) 81 дх2

ди.

О 1*Е:

1*=о = ?(*);

0<:г<оо,0<£<оо;

(2)

(3)

а, следовательно, о ее корректной разрешимости сводится к указанию пространств функций, в которых оператор дробного интегрирования

является ограниченным.

Однако оператор заданный выражением (6) и определенный в классических пространствах ЬРгР(0, оо) и Ср[0, ос] со степенными весами р(Ь) = (1 + Ь)а не является ограниченным. И, следовательно, задача (2)-(5) в этих пространствах не является корректной.

С этой же точки зрения важны исследования и левого интеграла дробного интегрирования

В связи с этим возникла задача поиска класса функциональных пространств отличных от экспонеициалыю-весовых. И, в частности, включающих в себя функции растущие пли убывающие быстрее экспоненты.

В настоящей диссертации вводятся и изучаются весовые пространства естественным образом обобщающие и включающие классические пространства Lp, C,[_00i00], SpfO, оо), а также пространства Sp^, введенные В.А. Костиным, A.B. Костиным, в которых операторы (6) и (7) ограничены. Что позволит показать корректную разрешимость задачи (2)-(5) в этих пространствах.

При исследовании корректной разрешимости различных задач приходится изучать возникающие интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.

В частности, с этой целью В.А. Костиным введены n-мерные пространства Степанова Sp i(Rn), в которых исследовались полугруппа Гаусса-Вейрштрасса и оператор Лапласа.

(6)

1 Г°°

СJi (s ~ 1)а 1f(s)ds> а > 0. (7)

В диссертации с целью изучения равномерной корректной разрешимости задачи Коши, используя подход С.М. Никольского и результаты, полученные В.А. Костиным для пространств 5Р,;(ЛП), вводятся и исследуются анизотропные пространства Степанова - множество локально интегрируемых на Е” функций, для которых имеет место норма

Цель работы. Основная цель диссертационной работы - исследование корректной разрешимости в новых функциональных классах с использованием методов исследования теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. С этой целью используется теория весовых пространств, теория сильно непрерывных полугрупп, метод С.Г. Крейна.

Методика исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы теории полугрупп,теории функций и функционального анализа, метод С.Г. Крейна, методы теории дифференци-альпых и интегральных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Введены весовые классы функций, содержащие классические пространства Степанова. Показана инвариантность относительно операции дробного интегрирования в этих пространствах.

2. Получена корректная разрешимость в весовых пространствах Степанова с надэкспопенциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами некоторых нестационарных задач для уравнения теплопроводности с исходными данными не преобразуемыми по Лапласу.

3. Определен оператор Лапласа в анизотропных пространствах Соболева-Степанова-Никольского и показано, что он является генератором Со-полугруппы Гаусса-Вейерштрасса в анизотропных пространствах Степанова.

4. Доказана теорема о сильной непрерывности полугруппы Гаусса-

<6ЕП

Вейерштрасса в анизотропных пространствах Степанова.

5. Получена корректная разрешимость в анизотропных пространствах Степанова.

Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Результаты, представленные в диссертации, могут найти применение при решении обширного круга задач, в частности, разнообразных моделей тепломассопереноса.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж, 2010 г.), Воронежской зимней математической школе - 2011 (Воронеж, 2011 г.), семинаре по глобальному и стохастическому анализу (ВГУ, 2010 г.), Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач "Понтрягпнскне чтения - XII"(Воронеж, 2011 г.), семинаре ВГУ по нелинейному анализу (рук. проф. Ю.И. Сапронов).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 8 работах.Из совместных публикаций [2], [7] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [7] соответствует списку ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 51 наименования. Общий объем диссертации — 94 стр.

Краткое содержание работы

Первая глава содержит необходимые сведения из теории полугрупп операторов и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

В §1.6 приводится понятие решения задачи Коши

понятие корректности постановки задачи Коши, а также, что решение корректно поставленной задачи Коши (8)-(9) задается

(8)

(9)

х(Ьо) =х0е О(А).

х{1) = и^)х0 (х0 е О (А))

(10)

где и{{) - сильно непрерывная полугруппа операторов.

В §1.6.2, §1.6.3 приведены сведения о равномерной корректности задачи Коши и понятие ослабленного решения задачи Коши.

Основные результаты содержатся главах 2 и 3.

Вторая глава посвящена исследованию корректной разрешимости нестационарных задач в функциональных пространствах с надэкспонен-циалыю растущими и подэкспоненциалыю убывающими весами некоторых нестационарных задач для уравнения теплопроводности с исходными данными не преобразуемыми по Лапласу.

В §2.1 вводятся классы весовых функций Ф+ и Ф-:

Определение 1 Через Ф+(0,оо) = Ф+ обозначим множество положительных, монотонно возрастающих и дифференцируемых функций р+{Ь), Ь е (0, оо), таких, что: а)р(О) = 1, б) р'{0) > 0 и для которых выполняется соотношение

р+(*)р+(в) < Р+(* + «)- (11)

Определение 2 Через Ф~ обозначим множество положительных, дифференцируемых и монотонно убывающих функций /о_ (¿), £ 6 (0, оо) таких, что: а)/9(0) = 1; б)р'(0) < 0;

в) для которых выполняется соотношение

Р-(г)р-{$) > />_(£ + в)(М > 0). (12)

Для этих классов получены оценки на интегралы дробного порядка Римана-Лиувилля

1(*+Р+) (*)1 = (< - ¡^аР+(*). (13)

1 Г°° 1

1{1~р~т = ЩI 1р-Ю1, (14)

где р+ и р- функции из классов Ф+ и Ф_ соответственно.

Заметим, что константы ^ ща и ^ в оценках (13) и (14) точные. Они достигаются, например, на функциях р+(Ь) = е“4 и р_(£) = е~шЬ.

В §2.3 для таким образом определенных весов вводятся соответствующие классы функций, содержащие классические пространства Степанова.

Определение 3 Через обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций /(¡С) на [0,оо), для которых конечна норма

И/1км„ = 5иР[ Г , (15)

р р 4>0 Jo Р+(3) где Р+ е Ф+,ре [1, оо).

Определение 4 Через 5^и р обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций /(£) на [0, оо), для которых конечна норма

/00 1

е ' дг|/<3>|’’*,;' <16)

где Р- е е [1,00).

Для введенных таким образом пространств доказывается теорема: Теорема 1 Операторы дробного интегрирования /“ и /“ заданные выражениями

(П1№ = щ£(г-8)°-1Пз)<1а, (17)

1 г00

(/?/)(*) = ^т-г (а- ¿)а-1/(я)Лз (18)

Г(а)

являются линейными и ограниченными в пространствах р и 8~шр соответственно. ■

Эти результаты в дальнейшем используются при исследовании корректной разрешимости некоторой нестационарной задачи. При этом вводятся более общие классы пространств.

Определение 5 Через обозначим множество локально интегрируемых но Лебегу функций /(¿) на (0, оо), для которых конечна пор-

где р+ е Ф+,р е [1,оо),^(в) = т ^в).

Определение 6 Через Б~фр обозначим множество локально интегрируемых но Лебегу функций /(£) на (0, оо), для которых конечна норма

где/?_еФ ,р е [1,оо),^(в) = т Не).

И рассматривается задача о корректной разрешимости при £ > 0,х > О следующего уравнения:

где а(£) непрерывная при £ > 0 положительная функция, которая может стремится к нулю или бесконечности как при £ —> 0, так и при £ —> оо,х > 0.

Отметим, что подобная задача изучалась В.П. Глушко, но в ней на решение задачи накладывается условие гладкости данного решения при £ = 0.

В настоящей диссертации рассматривается задача, в которой условие гладкости решения не требуется.

Ставится задача о нахождении значения решения уравнения (19) на границы раздела сред х = 0, т.е. и(£, 0), при выполнении следующих условий

0 < х < оо, £ > 0, а(£) > 0.

Каким условиям должна удовлетворять функция q{t) , чтобы эта задача была равномерно корректна в смысле однозначной разрешимости и устойчивости по исходным данным.

На этот вопрос отвечают следующие теоремы:

(19)

и(0,х) = 0; Нт и{Ь,х) = 0;

(20)

(21)

(22)

Теорема 2 Если q(t) 6 S^, , то задача

d2u(t,x) du{t,x) . .

~а^~ = а^~дГ"' (23)

м(0,х) = 0; (24)

lim u(t, х) = 0; (25)

£—>•00

|^|х=о = q{t)-, (26)

О < х < оо, t > 0, a(t) > О равномерно корректна и ее решение представимо в виде

и(т, 0) = ~^= I (т - s)~t<p(s)ds, (27)

V7r Jo

где T(t) = /д $},Ф) = g(t(r)).

При этом справедлива оценка

,н|^ - Wlqlls^ (28)

Теорема 3 Если q(t) G S~^ , то задача

d2u(t,x) u^du(t,x) ^

~ т~дГ~’

и(0,х) = 0] (30)

lim u(t, х) = 0; (31)

Х-+00

^U=o = q(t); (32)

О < х < оо, t > 0, a(t) > О равномерно корректна и ее решение представимо в виде

1 Г00

и(т, 0) = —¡= I (s- T)~*ip(s)ds, (33)

\/7Г Jт

где r(i) = ¿¡¡],tp(r) = q(t{r)).

При этом справедлива оценка

Третья глава посвящена изучению равномерной корректной разрешимости задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова, введенных в данной главе с использованием подхода С.М. Никольского и результатов, полученных В.А. Костиным для пространств 5'Р!/(ЛП).

Определение 7 Через обозначим множество локально интегрируемых на Мга функций, для которых имеет место норма

и будем называть их анизотропные пространства Степанова.

Определение 8 Через ^ ¡(Мп) обозначим множество локально интегрируемых на К" функций / Є 5р ;(Мп), обладающих свойством непрерывности в целом:

и будем называть их анизотропные пространства Степанова класса 5р /-(Мп).

В §3.3 доказывается теорема о сильной непрерывности полугруппы Гаусса-Вейерштрасса:

Теорема 4 Операторы W(t), заданные выражением

отображают пространства 5'/; [(ЯТ1) в себя и образуют сильно непрерывную сжимающую полугруппу в этих пространствах.

С целью показать, что оператор А, заданный дифференциальным выражением

(35)

lino + h^~ = °-

(t> 0)

II условием

W(0)p = ip

является генератором полугруппы класса Со вводится и исследуется новый класс функций W^Spj(Rn).

Определение 9 Через Spi(Rn) обозначим множество локально суммируемых в Rn функций и(х) вместе со всеми производными до порядка I включительно и для которых конечна норма

IMIinos.,-(«") = sup \\Tau\\w(i){Kn) = sup IWllTVK0(K-n a) (36)

и будем называть их анизотропные пространства Соболева-Степанова-Никольского.

После чего доказывается следующая теорема:

Теорема 5 Оператор Д, заданный дифференциальным выражением Аи(х) — д'ох^ п областью определения D(Д) = W2Spj(Rn) является генератором полугруппы Гаусса-Вейерштрасса в пространствах

SPj(Rn).

Из полученных результатов формулируется теорема о корректной разрешимости задачи Коши:

Теорема 6 Задача Коши

^М = Д Xu(t,x), (37)

и(0,х) = ср(х), (38)

равномерно корректна в пространствах Spj(Rn) и ее решение представимо в виде

u(t,x) = -—==— e~lJ^Lip(s)ds.

V ' (2V^i)n Л-

При этом справедлива оценка

||гх(£,гс)||^_(R„) < ||(р||5л1-(Нп). (39).

Публикации автора по теме диссертации

[1] Горлов В.А. Интегралы дробного порядка в Ьр^+(Ьрр_) / В.А. Горлов // Материалы Воронежской весенней математической школы: Современные методы в теории краевых задач "Поптрягпнские чтения - XII-Воронеж : ВГУ, 2011, с. 54.

[2] Горлов В.А. Пространства SpU\R) / В.А. Костин, В.А. Горлов // Математические модели и операторные уравнения. Сборник статей иод ред. В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Т. 6. Воронеж: ВорГУ, 2009, с. 59-62.

[3] Горлов В.А. Анизотропные пространства Степанова класса Spj(Rn) / В.А. Горлов // Семинар по глобальному и стохастическому анализу (сборник научных статей). - Воронеж : ВорГУ, 2010. - Вып. 5, с. 37-42.

[4] Горлов В.А. Итерационные пространства Степанова в R1 и полугруппа Гаусса-Вейерштрасса / В.А. Горлов // Воронежская зимняя математическая школа-2010. - Воронеж : ВорГУ, - 2010, с. 46.

[5] Горлов В.А. Пространства Spj(Rn) и их полнота / В.А. Горлов // Воронежская зимняя математическая школа-2011. - Воронеж : ВорГУ, -2011, с. 92-93.

[6] Горлов В.А. Корректность задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова класса Spj(Rn) / В.А. Горлов // Математические модели и операторные уравнения. Сборник статей под ред. В.А. Костина и Ю.И. Сапронова. Т. 7. Воронеж: ВорГУ, 2011, с. 28-30.

[7] Горлов В.А. О двойственности анизотропных пространств Степанова и Никольского / В.А. Костин, A.B. Костин, В.А. Горлов // Доклады Академии Наук. - М., 2010. - Т. 435, ном. 6. - С. 736-739.

[8] Горлов В.А. Корректная разрешимость некоторых нестационарных задач в £>-весовых пространствах Степанова с надэкспоненциалыю растущими и подэкспоненциально убывающими весами. Препринт №40 НИИМ ВГУ. Воронеж: изд-во ВорГУ. 2011. 13 с.

Работа [7] соответствует списку ВАК.

Подписано в печать 17.01.12. Формат 60*84 ,/|6. Уел. печ. л. О, Тираж 100 экз. Заказ 15.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

61 12-1/506

ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Горлов Владимир Александрович

О корректной разрешимости некоторых задач для эволюционных уравнений в обобщенных пространствах Степанова

01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и

оптимальное управление

На правах рукопис

Диссертация

на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Костин В.А.

ВОРОНЕЖ — 2012

Оглавление

Введение ..............................................................4

1 Полугруппы операторов и корректная разрешимость. 21

1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства....................21

1.2 Оператор-функции..............................................27

1.3 Полугруппы класса С0..........................................28

1.4 Производящий оператор полугруппы класса Со..............30

1.5 Аналитические полугруппы....................................32

1.6 Уравнения первого порядка.........................34

1.6.1 Задача Коши ..........................................35

1.6.2 Равномерно корректная задача Коши ..............38

1.6.3 Ослабленная задача Коши............................41

1.6.4 Возмущенное уравнение ..............................43

2 Корректная разрешимость некоторых нестационарных задач в функциональных пространствах с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами. 45

2.1 Надэкспоненциально растущие и подэкспоненциально убывающие классы весовых функций........................51

2.2 Интегралы дробного порядка и весовые функции..........54

2.3 Операторы дробного интегрирования в пространствах Степанова с надэкспоненциально растущими и подэкспоненциально убывающими весами ......... 55

2.4 Корректная разрешимость некоторых

нестационарных задач...................... 59

3 Корректная разрешимость задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова. 65

3.1 Анизотропные пространства Степанова .......... 65

3.1.1 Эквивалентные нормировки

в пространствах .................. 67

3.1.2 Двойственность пространств у и Ьр(кп)...... 71

3.2 Анизотропные пространства Степанова

класса 5р-г(Мп)......................... 74

3.3 Корректность задачи Коши в анизотропных пространствах Степанова................... 77

Список литературы......................... 87

Введение

Понятие корректной постановки задач математической физики было введено Ж. Адам аром в связи с желанием выяснить, какие типы граничных условий наиболее естественны для различных типов дифференциальных уравнений.

Пусть ^ и 11 - метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри- Согласно Адамару, задача определения решения и £ 17 уравнения

Ап = /, (1)

где / € ^ задано, называется корректно поставленной на паре метрических пространств (Р,17) , если выполняются условия:

1) для всякого / е ^ существует и е 17 решение уравнения (1);

2) решение определяется однозначно;

3) задача устойчива на пространствах (-Р, £/)> если для любого е > О можно указать такое £(б) > 0, что из неравенства ь/2) < следует ри(щ,и2) < е.

Задачи, не удовлетворяющие перечисленным требованиям, называются некорректно поставленными.

Следует отметить, что определение некорректно поставленной задачи относится к данной паре метрических пространств 17), так как в других метриках та же задача может быть корректно поставленной. Вообще говоря, подходящим выбором метрики можно формально добиться непрерывности оператора А-1, существование которого обеспечивают условия 1) и 2). Так, в случае линейного взаимнооднозначного соответствия оператора А и нормированных пространств 17 и ^ устойчивость

будет иметь место, если пространство F наделить нормой

ll/llF = ||A-1/|| = IHk (2)

и тогда

II /4"1 fil

Р_1||= sup iL-/l = l. feFjï о IIЛ If

Однако обычно топологии определяются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решений U:

а) с одной стороны, желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А. Например, в случае, когда А = А(А) - оператор зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора Л_1(А) ( например, резольвенты R(X,A) = [А — А/)"1) была не зависящей от параметра А;

б) с другой стороны, хотелось бы иметь наиболее широкие пространства данной задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "классе U.

Вообще, как замечено в [см. 37, с. 16], если F класс исходных данных выбран "естественно"для рассматриваемой задачи, то условия 1) и 2) характеризуют ее математическую определенность. Условие 3) связывается с физической детерминированностью задачи, а также с возможностью применения численных методов ее решения по приближенным исходным данным.

В диссертации рассматривается только тот случай, когда оператор А линейный, а пространства U и F банаховы. В этом случае, как известно, (см. [29], с.507) справедлива следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы линейная задача (1) была корректной в паре банаховых пространств (£/, F) необходимо и достаточно, чтобы существовал оператор R = А-1, действующий из F в U, причем область определения оператора D(R) совпадает с F и оператор R был ограниченным из F в U.

Следует отметить, что абстрактная теория полугрупп операторов была построена с целью изучения корректной разрешимости задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве

= (3)

и(0) = щ, (4)

где А линейный оператор, имеющий всюду плотную в Е область определения D(A).

В соответствии с определением 1.6.1.1 гл. 1 решение этой задачи и ее корректной разрешимости, определенной в гл. 1, на D(Á) определено семейство операторов U(t), (t > 0) (см. [21], с. 39), ставящий в соответствие элементу х0 G D(Á) значение решения x(t) задачи Коши (3)-(4) и обладающее свойствами

U{t1 + t2) = U{tl)U(t2). (5)

Оказывается, что если задача (3)-(4) корректна, то ее решение задается формулой

x(t) = U(t)xo (х0 е D(A)),

где U (t) - сильно непрерывная при t > 0 полугруппа.

Отметим, что при этом вопрос о поведении полугруппы при t 0 остается открытым.

Решению проблем связанных с этим фактом посвящены многочисленные работы таких математиков как:

А.Г. Баскаков - теория отношений [4];

Федоров В.Е., Свиридюк Г.А. - задача Коши для дифференциального уравнения неразрешенного относительного производной Ьи' = Аи. [35, 36, 38, 39];

Ю.Т. Сильченко - уравнения с неплотно определенным оператором А.

Однако свойства (5) обеспечивают экспоненциальный рост решения, а, следовательно, и полугруппы £/(£) при £ —оо, что позволяет к их исследованию применять преобразование Лапласа.

Обобщение задачи (3)-(4) является задача Коши

-Л± = Аи(г\ (¿еД+) (6)

ик{0) = 1рк, А; = 0,1,..., п — 1. (7)

Эта задача называется корректной, если

а) существует плотное подпространство В С Е такое, что задача (6)-(7) имеет единственное решение для ср№ е I);

б) когда {(р^ : А: = 0,1,...,п — 1} является последовательностью начальных данных, стремящихся к нулю, то соответствующие решения

стремятся к нулю для каждого Ь £ равномерно по £ в граничных интервалах.

Оказывается, что при п > 3 задача Коши (6)-(7) корректна тогда и только тогда когда оператор А - ограничен (см. [8], с. 185).

В связи с этим в работах П.А. Киричука [12] рассматривается корректная разрешимость задачи (6)-(7), когда в определение решения входит и условие экспоненциальной ограниченности. При этом аналогом полугруппы в соответствующей теории является операторнозначная функция

типа Миттага-Леффлера.

Однако, если расширить понятие решения, то задача Коши может иметь помимо полугруппового и другие решения. Например, уравнение теплопроводности

= (8)

удовлетворяющее условию

и{0, ж) = ф). (х е R) (9)

(/9(а:)-равномерно непрерывная и ограниченная на R функция, помимо полугруппового решения

роо

= 7Г7=7 / e~^~(p(s)ds = U{t)<p(s)

¿y TTt J-oo

имеет и другое решение этой задачи, которое имеет вид

00 9¡u

X

v{t,x)^u(t)x) + Yjg\t)—v

где g{t) =

При этом важно отметить, что v(t7x) растет не медленнее, чем ех2 при х —> ±оодля фиксированного t > 0.

То есть в этом случае мы имеем неединственное решение задачи Коши. Таким образом, метод полугрупп сужает классы исследуемых решений.

Другие классы некорректной постановки имеют место в случае нестационарных задач.

Например, уравнение (8) при любых бесконечно дифференцируемых функциях g(t), h(t) при t > 0, х > 0 имеет решения представимые в виде (см. [31], с. 24)

оо 2 п

2 п!

71=0

00 и(п) 2п ( \ ^ t u{t, X) — X

О (2п + 1)!"

п—О 4 '

Заметим, что первое решение удовлетворяет граничному условию первого рода

и(р,г)=д(г)

а второе - граничному условию второго рода

ди^, х)

дх = h®-

В силу произвольности функций g(t) и h(t) следует, что решение уравнения (8) при t —> оо могут расти как угодно быстро и, в частности, быстрее экспоненты.

Именно такой характер роста решения уравнения еще в 19 веке интересовал Вейерштрасса (см. [24], с. 70). Он ставил своей ученице C.B. Ковалевской следующую задачу:

Рассматривается дифференциальное уравнение с частными производными

дер д2р dt дх2

имеет частный интеграл

(р = (tit)-" F (и), и = ~ Л)>

где Л, V обозначают произвольные постоянные, a F (и) должно удовлетворять дифференциальному уравнению

F"(u) + \iivF\u) + iivF{u) = 0.

LJ

При Ц = 1,V = ^ можно взять

Каково общее решение этого уравнения?

1

2

F(u) = f( A)e"i. 9

Тогда из частного интеграла

/(А)

J Vх4) 1 I У-ь-*!2, •

ш = ——-е 41 4 уД

получается общий интеграл

•У-оо лЛ

Однако, если при бесконечно больших значениях Л/(Л) становится в

\ 2

большей степени бесконечным, чем функция е при сколь угодно малой постоянной, то предыдущее выражение не имеет смысла. Можно ли в этом случае получить более пригодное выражение, применяя общую функцию Г (и), удовлетворяющую построенному дифференциальному уравнению при других значениях постоянных /х, и? Или же произвольная функция необходимо связана с ограничением, что при Л = ±оо обязательно

1оё|/(Л)1

Л2

В рассмотренном выше примере задача не корректна поскольку нет обратного оператора.

В тоже время существуют примеры корректности задачи Коши, в которых существование обратного оператора не гарантирует корректность задачи (см. Пример 1 гл.2).

Рассматривается задача о прогреве полу бесконечной области, находящейся в начальный момент при нулевой температуре ди(Ь,х) д2и{Ь,х)

дЬ дх2

0<:г<оо, 0 < £ < оо; (14)

ди, . ч

= </(*); (15)

Нт х) ■= 0; (16)

х-^-оо

и(0, х) = 0. (17)

Требуется определить температуру поверхности 0).

Как известно, (см. [3], с. 18) решение этой задачи записывается через правый интеграл дробного порядка а = \ Римана-Лиувилля

„((.О)* Г (18)

V71 ¿0 \ft-S

Таким образом, вопрос об устойчивости по начальным данным решения задачи (14)-(17), а, следовательно, о ее корректной разрешимости сводится к указанию пространств функций, в которых оператор дробного интегрирования (18) является ограниченным.

Отметим, что изучению и приложениям таких операторов посвящены многочисленные исследования.

С этой же точки зрения важны исследования и левого интеграла дробного интегрирования

1 С°°

(1-№) = -у- (з-^-^Шз^х). (19)

1 (а) Л

Интересные приложения этого интеграла указаны Л.Н. Ляховым при исследовании интегрального преобразования Родона(см. [27]).

И здесь важно отметить, что операторы заданные выражениями (18) и (19) и определенные в классических пространствах Ьр>р(0, ос) и Ср[0, оо] со степенными весами р{Ь) = (1+£)°; не являются ограниченными (см.[34] с. 94). И, следовательно, задача (14)-(17) в этих пространствах не является корректной.

В [34] указаны только пространства с экспоненциальными весами, в которых приведенные операторы ограничены.

Возникла задача поиска класса функциональных пространств отличных от экспоненциально-весовых. И, в частности, включающих в себя функции растущие или убывающие быстрее экспоненты.

Так в [17] операторы (18) рассмотрены в так называемых пространствах с нормой

гф(г+1)

11/1к, = 8Щ>[/ Ш\Щ>{р>0), (20)

где функция ф(Ь) такая, что: 1) ^(0) = 0,

2) ф'Ц) > 0,

3) ф"^) < 0.

Однако некоторая неестественность введения веса в (20) приводит к неоправданным техническим трудностям и громоздкость вычислений не позволяет

удовлетворительно решить поставленную задачу.

В настоящей диссертации вводятся и изучаются весовые пространства естественным образом обобщающие и включающие классические пространства 1/р, С^^^о], 5Р[0, оо), в которых операторы (18) и (19) ограничены. Что позволяет показать корректную разрешимость задачи (14)-(17) в этих пространствах.

Как известно, исследование многих математических моделей в теории тепломассопереноса часто сводится к решению нестационарных задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа.

Например (см. [3]), при х ^ 0, £ ^ 0 ищется ограниченное решение уравнения

ди(^,х) д2и(1,х) дЬ дх2

удовлетворяющее начально-краевым условиям

= 0,

(21) (22)

u(i,0) = g(t).

(23)

При этом важным является вопрос о вычислении производной характеризующий поток на границе раздела сред.

Задачам такого рода посвящены многочисленные исследования Ю.И. Бабенко [3], A.B. Лыкова, В.П. Маслова, В.Г. Данилова, К.А. Волосо-ва. Для некоторых частных случаев в монографии А.Д. Полянина, A.B. Вязьмина, А.И. Журова, Д.А. Казенина (см.[31]) выписываются точные их решения в случае, когда А некоторый дифференциальный оператор. В [3] для решения подобных задач используется метод дробного интегро-дифференцирования. Здесь соответствующее решение ищется в виде рядов по дробным производным и интегралам граничной функции g(t).

Однако эти исследования дают ответ на вопрос существования и представления решений, но не рассматривают в рамках корректной разрешимости задач по Адамару вопросов их устойчивости по начальным данным, которые являются основными, например, при численной реализации

соответствующих алгоритмов.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из 51 наименования.

Первая глава содержит необходимые сведения из теории полугрупп операторов и дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с использованием результатов, изложенных в [11],[21],[22],[23].

В §1.6 приводится понятие решения задачи Коши

(24)

x(to) = D(A) 13

понятие корректности постановки задачи Коши, а также, что решение корректно поставленной задачи Коши (24)-(25) задается

x(t) = U{t)x0(x0 е D{A)), (26)

где U(t) - сильно непрерывная полугруппа операторов.

В §1.6.2 рассматривается понятие равномерной корректной задачи Коши, приводится теорема ХФИФМ о необходимом и достаточном условии равномерной корректности задачи Коши с замкнутым оператором А и выполняется оценка

\\Rn(K А)\\ < (ДвЛМ^)п(ДеЛ >ш)(п = 1,2,...),

где М не зависит от п.

Также в этом параграфе представлена теорема о равномерной корректности задачи

^ = Ax + f(t), (27)

ж(0) = (28)

и о представлении решения этой задачи

х(t) = U(t)x0 + í U(t- s)f(s)ds. (29)

Jo

В §1.6.3 изучается понятие ослабленного решения уравнения

dx

— = Ах. dt

Так как для многих приложений приходится расширять понятия решения задачи Коши.

Основные результаты содержатся главах 2 и 3. Вторая глава посвящена исследованию корректной разрешимости нестационарных задач в функциональных пространствах с надэкспонен-циально растущими и подэкспоненциально убывающими весами.

В §2.1 вводятся классы весовых функций Ф+ и Ф , которые определяются как:

Через Ф+(0, оо) = Ф+ обозначается множество положительных, монотонно возрастающих и дифференцируемых функций p+(t),t G (0, оо), таких, что:

а)/?(0) = 1,

б) р'{0) > 0

и для которых выполняется соотношение

p+(t)p+(s)<p+(t + s). (30)

Через Ф™ обозначается множество положительных, дифференцируемых и монотонно убывающих функций p~(t), t 6 (0, оо) таких, что

а)р(0) = 1;

б)//(0) < 0;

в) для которых выполняется соотношение

p-(t)p-(s)>p-{t + s){t,s> 0). (31)

А также получены оценки на интегралы дробного порядка Римана-Лиувилля

(h№) = -Ц At - sr-'f^ds, (32)

1 ка) J о

1 Г°°

= (s-tr^ftfds, (33)

где f(s) функции из классов Ф+ и Ф .

В §2.3 для таким образом определенных весов вводятся соответствующие классы функций, содержащие классические пространства Степанова:

Через обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на [0, ос), для которых конечна норма

ll/lk+.P = SUP[ Î e^-^lf (s) fds}K (34)

i>0 Jo p+{s)

где p+ G Ф+,p G [1, oo).

Через S~u обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на [0, оо), для которых конечна норма

ЛОО 1

||/||s_ = sup[yi ^-)—\f(s)rds]ï, (35)

где р- G Ф~,р G [1, оо).

Для введенных таким образом пространств доказывается теорема об ограниченности в этих пространствах операторов дробного интегрирования, заданных выражениями

= At-sr-1f(s)ds, (36)

1 \а) J о

1 f°°

= (s - t)a-1f(s)ds (37)

1 И Jt

В §2.4 эти результаты используются при исследовании корректной разрешимости некоторой нестационарной задачи. При этом вводятся более общие классы пространств:

Через Sp^ обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций fit) на (0, оо), для которых конечна норма

Il fil Г [ГЧ"+1) УМ)

/U -sup / ——-—-/(s)^ р,

где р+ G Ф+,р G [1, оо), ip(s) = r_1(s).

Через S~ф обозначается множество локально интегрируемых по Лебегу функций f(t) на (0, оо), для которых конечна норма

лГЧ/я-1) (ti'(s)) 1

ii/iu- =sup[/ -vtt^I

щер-ЕФ ,р е [l,oo),^(s) = т \s).

И рассматривается задача о корректной разрешимости при t > 0, х > О следующего уравнения:

d2u{t, х) du(t,x)

= (38)

где a(i) непрерывная при t > 0 положительная функция, которая может стремится к нулю или бесконечности как при t —» 0, так и при t оо, х > 0.

Отметим, что подобная задача изучалась В.П. Глушко, но в ней на решение задачи накладывается условие гладкости данного решения при t = 0.

В настоящей диссер�