Полугруппы с особенностями и абстрактные операторы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Писарева Светлана Вячеславовна

ПОЛУГРУППЫ С ОСОБЕННОСТЯМИ И АБСТРАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ БЕССЕЛЯ В ОБОБЩЕННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СТЕПАНОВА

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж — 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессорКостин Владимир Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Перов Анатолий Иванович;

кандидат физико-математических наук, доцент Седаев Александр Андреевич

Ведущая организация: Российский университет Дружбы народов

Защита состоится 14 марта 2006 года в 15 час. 40 мин. на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ВГУ, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " февраля 2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук,

профессор

Гликлих Ю. Е.

30£9

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Пусть метрические пространства с соот-

ветствующими метриками рр и рц. Согласно Адамару задача определения решения и е Л уравнения Аи = /, где / е^ задано, называется корректно поставленной на пространствах и), если выполняются условия:

а) для всякого / £ Р существует и €.11 - решение уравнения;

б) решение определяется однозначно;

в) задача устойчива на пространствах (Р, II), то есть для любого е > О можно указать такое 8 > 0, что из неравенства /^(/ь/г) < <5 следует ри(иии2) < £.

Однако устойчивость задачи зависит от выбранных топологий в V и^и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора А'1, существование которого обеспечивают условия а) и б).

В связи с этим возникает следующая проблема выбора топологий в пространствах данных задачи Р и решения

1. С одной стороны, желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А.

2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкий класс пространств начальных данных задачи / € при которых решение задачи и € II сохраняет "хорошие свойства".

В связи с этим, исследованию корректной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах посвящено большое количество работ и монографий. В этот раздел математики большой вклад внесли как зарубежные математики, такие как Ж. Адамар, Э. Хилле, Р. Филлипс, К. Иосида, П. Лаке, Ж. Лионе, так и отечественные математики С.Г. Крейн, М.Г. Крейн, М.З. Соломяк, Ю.Л.Далецкий, Ю.И. Любич, П.Е. Соболевский, А.Г. Баскаков и др.

Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии - это топологии нормированных пространств функций /(х), х € £1 С Я1: С (О.) -пространство непрерывных и ограниченных в Г2 функций с нормой

- пространство непрерывных и ограниченных вместе со своими производными до порядка 1(1 е -/V) функций

||/1к = вир|/(*)|;

= {/(*): /<*>(*) е С(П), или = ]Г

.....^""»игепяя I

библиотека I

ЛЬНАЯ

Lp(fi) - пространство интегрируемых со степенью р > 1 функций с нормой

\\f\W = [ f l/WW'i

Ja

Wp(П) - пространства Соболева с нормой

= {/(*) : /«(*) е LP(Q), \\f\\w. = ]Г = 1,2,...}.

fc=0

В зависимости от задачи используются также и соответствующие весовые пространства.

Наряду с этим при изучении почти-периодических функций на всей действительной оси В.В. Степановым были введены Sp -пространства с помощью нормы

[1 rt+i р

\f(s)fds , (р> 1,г>о).

1 Jt

В дальнейшем эти пространства были использованы X. Массера, X. Шеф-фером, М.Г. Крейном, Ю.Л. Далецким, Е.А. Барбашиным при изучении устойчивости решений абстрактного уравнения

^-A(t)u(t) = f(t),

где A(t) - линейный и ограниченный в некотором банаховом пространстве Е оператор при каждом t 6 R1.

Б.М. Левитан и В.В. Жиков применяют ¿^-пространства при изучении устойчивости решения уравнения

^-Au(t)=m, а)

в случае, когда А, вообще говоря, - неограниченный оператор в Е, в предположении, что разрешающие операторы tf(i,io), (t > ¿о) сильно непрерывны по t > io е й1 и удовлетворяют оценке

||tf(Mo)||<**e"(t-4(i><o)- (2)

В диссертации исследуется корректная разрешимость уравнения (1) в пространстве непрерывных и ограниченных на всей оси R1 функций, в случае, когда оператор А является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы U(t) при t > 0, имеющей в нуле суммируемую особенность

\\U(t)\\<e-^- <p(t), (3)

где ш > 0, - непрерывная при Ь > 0 функция такая, что

>

е~и<р(г)(И < оо. (4)

Г

J о

/о

Уравнения такого типа играют важную роль в теории уравнений с частными производными. Детальное исследование таких уравнений проведено С.Г. Крейном, П.Е. Соболевским и др.

Многочисленные примеры уравнений (1), где операторы являются генераторами полугрупп с особенностями, содержатся в докторской диссертации Ю.Т. Сильченко.

Дифференциальные операторы такого рода обычно определяются нелокальными краевыми условиями и имеют неплотную область определения.

Процесс решения поставленной задачи приводит к необходимости введения и исследования абстрактных интегралов дробного порядка Бесселя

(С°±(А)№) = щ/о и(*)з°-7(4 т «)*». (5)

При решении задачи используются впервые введенные в диссертации обобщенные пространства Степанова векторнозначных функций /(£) со значениями в банаховом пространстве Е, определяемые нормой

||/|и =впр[у [1к{8)\т±з)\\Чз «ёК1 I1 Л

(6)

где р > 1,1 > 0, к{я) > 0 - некоторая непрерывно дифференцируемая на (О, +оо) функция, суммируемая в нуле.

Цель работы. Исследование корректной разрешимости абстрактных эволюционных уравнений с особенностью, рассматриваемых на Я1, для максимально широкого класса данных задачи и изучение свойств соответствующих решений.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории функций и функционального анализа, методы теории дифференциальных и интегральных уравнений.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные результаты являются новыми:

1. Введено и изучено двупараметрическое семейство начальных данных /(¿) в классе функциональных банаховых структур, для которых абстрактное линейное эволюционное уравнение ^ - Ли(*) = (г € Я1), где А -

генератор сильно непрерывной при t > 0 полугруппы, имеющей сумируемую особенность в нуле, имеет ограниченное на всей оси R1 решение. В диссертации эти пространства называются обобщенными пространствами Степанова и обозначаются S£k.

2. Изучены свойства пространств S*k и §*к. Получены теоремы об эквивалентных нормировках.

3. Введены и изучены абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя G±, реализующие отрицательные степени операторов (Л± где оператор А является генератором полугруппы, сильно непрерывной при t > 0 и удовлетворяющей в нуле оценке (3)-(4).

4. При указанных условиях на оператор А и функцию / 6 S^k в случае t £ R1 получено представление ограниченного на всей оси Д решения уравнения (1).

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации содержат новую методику определения пространств данных задачи, при которых начально-краевые задачи для эволюционных уравнений являются корректно-разрешимыми. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании нелинейных уравнений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на международной научной конференции "Образование, наука, производство и управление в 21 веке" (Старый Оскол, 2004г.), на седьмой Крымской международной математической школе "Метод функции Ляпунова" (Алушта, 2004г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - 16" (Воронеж, 2005г.), на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2003г. и 2004г.). Результаты обсуждались на научных семинарах кафедры математического моделирования, кафедры математических методов исследования операций, кафедры нелинейных колебаний Воронежского государственного университета, кафедры дифференциальных уравнений Российского университета Дружбы народов.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Из совместных работ [1]—[3] в диссертацию вошли только принадлежащие Писаревой C.B. результаты.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 43 наименования. Общий объем диссертации — 90 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность избранной темы, излагаются цели и задачи исследования, даётся общая характеристика работы.

В первой главе вводятся необходимые определения и обозначения, связанные с пространствами локально-интегрируемых по Бохнеру функций со значениями в банаховом пространстве и соответствующие сведения по теории абстрактных эволюционных уравнений. Приводятся классификация полугрупп и необходимые для дальнейшего исследования сведения из работ С.Г. Крейна, М.А. Красносельского, П.П. Забрейко, A.B. Зафиевского, Э.Хилле, Р. Филлипса и др.

Во второй главе с целью изучения корректной разрешимости начально-краевых задач для интегрально-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответствующих интегральных операторов имеют особенность, вводятся и изучаются классы пространств векторнозначных функций f(x)(х е R1) со значениями в банаховом пространстве Е, обобщающие известные пространства Степанова.

Пусть Е - банахово пространство. Через SpjAE№ > 1,1 >0) будем обозначать пространства векторнозначных функций f(x) со значениями в Е при каждом х G Д1, локально интегрируемых по Бохнеру, для которых конечны нормы

где k(s) > 0 - некоторая непрерывно дифференцируемая на (0, +оо) функция, суммируемая в нуле.

Доказана

Теорема 2.2.1. Если к'(х) > 0 на интервале (0, +оо), то нормы ||/||s* к эквивалентны норме Степанова

Замечено, что если функция fc(x) такова, что к'(х) < 0 на интервале (О, +оо) и существует е > 0 такое, что к1+£(х) <£ Li[0,1], то нормы ||/||s± t и il/Ils,!) вообще говоря, не эквивалентны.

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств

1. Если к'(х) < 0 на интервале (0,+оо), то нормы 11/11$*^ эквивалентны при различных I (поэтому в дальнейшем полагаем 1 = 1).

2. Если к'(х) < 0 на интервале (0,+сю) и к(х) 0 L2[0,1], то нормы ll/lls4" и Il/Ils- > вообще говоря, не эквивалентны.

Р>4 р. Л

3. Если fci(x) и &г(аО - функции, эквивалентные на (0,+оо), то нормы Il/Ils* и li/lls* эквивалентны.

4. Если fcj (ж), суммируемые в нуле функции и для всех х 6 (0,1), (I > 0) выполнено неравенство к'2(х) < fc^(x) < 0, то справедливо вложение

SpM с SPM'

5. Если р > г и выполняется неравенство

то верно вложение с S"*^ и справедливо неравенство

и/и«, * ^"ii/ik,-

6. Пусть 0<r1<p<r2nkp = k*b(t), кп = fc7l(i), fcr2 - fc72(i) соответствующие им веса. Тогда, если

л I 1 1 1 I

Д = \ ъ ъ ъ = 0,

1 р п г2 I

то справедливо мультипликативное неравенство

ll/lls± <II/IIV

r*r rllJtr1

' 11/11^

7. Множество ограниченных на Я1 функций неплотно вложено в вр к. Отметим одно важное отличие пространств от 8Р(Е). Оно заклю-

чается в том, что если ввести нормы

m^^snpl f k(s)\\f(n±s)rds »•*•" nez Jо

то эти нормы не эквивалентны 3*к(Е) - нормам.

В пространствах Степанова можно ввести эквивалентные нормировки, которые наряду с интервалом интегрирования (0,1) позволяют рассматривать и полуось (0, +оо).

Обозначим р(Е) пространства функций определяемых нормами

х

ll/l!s± = sup

tefl1

r+oo

/ p(s)k(e)mt±sWde J 0

где р > 1, к(х) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей на (0, +оо) функцией, суммируемой в нуле, р(х) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей и суммируемой на [0, +оо) функцией.

Теорема 2.3.1. Нормы ||/j|s±4 и Ц/Hs^ эквивалентны. В частности, если взять в качестве р(х) = е~шх, к(х) = ха~г мы получаем вес Лаггера, если взять р(х) = е~ах* - вес Эрмита.

Рассмотрим обобщенные пространства Степанова с экспоненциальным весом Вр^(Е), определяемые нормами

Г™ e-»>s°-1\\f(t±s)\\'>dsY , .Jo

где р > 1,0 < а < 1, ш > 0.

Нормы ||/||д±ои и нормы ll/lls^, где к{х) = ха~г, эквивалентны. Следовательно, нормы U/Ц^ , соответствующие различным ш, эквивалентны, и в дальнейшем будем считать ш = 1.

Частным случаем пространств, рассмотренных в работах В.П. Глушко, являются пространства Вра функций, заданных на всей оси R1 следующей нормой

Г Г+со '

ll/lk. = SUP / e_'T'|r|a_1||/(i - т)\\Чт . teR1 U-oo

Пространства Bp>a совпадают с пересечением пространств В~а и Вра, причем норма \\f\\Br,a эквивалентна норме

11/11^ = 111/1146.+ 11/11«.]-

Верна следующая

Теорема 2.3.2. Если последовательности чисел {А*} и {а таковы, что

V V _|afc| •|a;|_<оо

то суммы

п

sn(s) = J2 akelXk'

к~—п

В2<а - сходятся.

Заметим, что данная теорема является обобщением теоремы Б.М. Левитана для обычных пространств Степанова.

Отмечая также, что пространство C(R1) непрерывных и ограниченных на Л1 функций неплотно вложено в пространства в диссертации вводятся

il/|li?iU = sup teR?

классы Sp k с S*k, для которых S^k - нормы обладают свойством непрерывности, то есть для f(t) € Spk

||/(t + ft) + /(t)|U =0.

В диссертации доказывается, что пространства являются банаховыми и вложение C(R1) С S^ плотно.

В диссертации показана оптимальность пространств Sfk в функциональных решетках (структурах). Рассмотрим оператор

/■00

(K±f)(t)= K(x)f(t ± x)dx, J о

и функциональное пространство F^, определяемое нормой

И/!Ь* = 11/115* = sup Г K(x)\f(t±x)\dx = К * teR1 Jo

= sup(ü:±|/|)(i) = ||-к±|/|||оо-teR1

Очевидно неравенство

||*±/||оо< ||/||^. (8)

Теорема 2.6.1. Пусть F - функциональная банахова решетка функций /(t) на R1 с нормой || ■ ||.р. Для того чтобы выполнялось неравенство

\\K±f Woo < m||/||F,

где m от / не зависит, необходимо и достаточно, чтобы F было вложено в и

\\f\\Ft<™\\f\\F.

Таким образом, пространства являются максимально широкими пространствами, при которых выполняется (8).

Следовательно, если ядро оператора К(х) пред ставимо в виде К{х) — р(х)к(х), где р(х) G Li(0,+oo), А/(ж) > 0, то пространства F« совпадают с классическими пространствами Степанова Si. Если же к'(х) < 0, то F% являются пространствами Sfk.

Далее в диссертации изучаются свойства абстрактных интегралов Бесселя

(G£(A)f)(t) = Щ jf U(s)sa-lf(t Т a)dr,

с помощью которого выражается решение эволюционного уравнения (1) в случае, когда оператор А является производящим оператором сильно непрерывной полугруппы {/(£) при £ > О, удовлетворяющей оценке (3)-(4).

В диссертации доказано, что операторы С±(Л) определены на пространствах > 1).

Если а > О такое, что имеет место неравенство

< оо,

Jo

где ^ + ^ = 1 я ао - точная нижняя грань таких а, то операторы (?±(Л) ограничены на пространствах при ог > а0.

Если, кроме того, функция ч>(х) такая, что для всех 0 < £ < I < 1 имеет место неравенство

Г [\(т£М(1-

Jo

тЩйт < СМ®, (9)

то для всех а > щ операторы в%{А) ограниченно действуют в пространствах Справедлива

Теорема 2.6.3. Если оператор А является производящим оператором полугруппы и(€), удовлетворяющей условию (3)-(4), и функция ¡р({) удовлетворяет условию (9), то операторы 0%[А) образуют сильно непрерывную полугруппу по параметру а > ао в пространствах

В третьей главе исследуется корректная разрешимость уравнения

^ = +/(*), (Ю)

где /(£) - векторнозначная функция со значениями в Е при всех £ € Я1, оператор А является производящим оператором сильно непрерывной при £ > 0 полугруппы ?/(£) класса (1, Л)„, удовлетворяющей условию

\\ит<е~^-ф), (11)

где ш > 0, ¥?(£) - непрерывная при £ > 0 функция такая, что

Г

Jo

е-"М£)<й < М < оо. (12)

Решением уравнения (10) будем называть функцию ы(£), удовлетворяющую условиям:

1. и{Ь) е £>(Л) при всех ¿ей1;

2. Аи(<) непрерывна в Я1 ;

3. м(£) удовлетворяет исходному уравнению;

4. и(£) ограничена на Я1 .

Теорема 3.1.1.Пусть А - производящий оператор полугруппы [/(£) класса (1 ,А)и, удовлетворяющей условию (11), и(<) решение задачи (10), /(£) -непрерывная вектор-функция со значениями в'£)(Л) при < € Л1, А/(£) непрерывна и /(<) £ Тогда справедливо представление

t

U{t - s)/(s)ds. (13)

Теорема 3.1.2.Если Л - производящий оператор полугруппы U(t) класса (1,Á)u, выполнены условия теоремы 3.1.1 и функция /(^удовлетворяет условию Гельдера

яир 1!Ж=/М = М<ее \ti-hl*

с некоторым 6 € (0,1), таким, что /0А 1р{т)т6~1йт —+ 0 при h —► 0, то функция u(t), представимая (13), является решением задачи (10).

Пусть А - линейный замкнутый оператор с плотной в Е областью определения D{A), имееющий резольвенту, определенную в полуплоскости Re А > —и>, где ш > 0, причем справедливо неравенство

||Л(А,Л)|| <M{l + \Im\\)-0

при некотором /3 £ (0,1). В соответствии с работами С.Г. Крейна, при этом условии оператор А является производящим оператором бесконечно дифференцируемой при t > 0 полугруппы U(i), для которой справедлива оценка

11^11 <Ске~«Ч^. (14)

В этих условиях, если для уравнения (10) существует ослабленное решение, удовлетворяющее начальному условию

«(0) = 0, (15)

то оно представимо в виде

u(f)= í U(t-s)f(s)ds.

Jo

Таким образом, из оценки (14) следует неравенство

IK0II < a fe-^-'\t-s)l'Hí(s)\\ds, Jo

используя которое, доказываются следующие теоремы.

Теорема 3.2.1. Если /? > \ и функция k(t) такая, что е~и ■ ■ k^i(t) G Li\o, оо), и / е Sp k(j> > 1), то решение задачи (10), (15) ограничено при í > 0 и справедлива оценка

IK0IU < Mi^MM^.

Теорема 3.2.2. Если < j¡ и / принадлежит пространству Степанова Sp, то решение задачи (10), (15) принадлежит пространству S^k и справедливо неравенство

INIs+ь < M{w,p,p)\\f\\s,.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Костин ВА О суммируемости тригонометрических рядов в обобщенных пространствах Степанова / В А. Костин, C.B. Писарева // Образование, наука, производство и управление в 21 веке : материалы международ, науч. конф., 20-22 окт. 2004 г. - Ст.Оскол, 2004. - Ч. 1. - С. 295-297.

2. Костин В.А. О суммируемости тригонометрических рядов в обобщенных пространствах Степанова / В.А. Костин, C.B. Писарева // Труды математического факультета. — Воронеж : Воронеж, гос. ун-т , 2004. — Вып. 8.

— С. 75-79.—(Новая серия).

3. Костин A.B. Абстрактные интегралы Бесселя дробного порядка/ A.B. Костин, В.А. Костин, C.B. Писарева // Современные методы теории краевых задач • материалы Воронеж, весен, мат. школы "Понтрягинские чтения - 16", 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005. - С. 87-88.

4. Писарева C.B. Некоторые свойства обобщенных пространств Степанова / C.B. Писарева // Математические модели и операторные уравнения.

— Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2005. — Т. 3. — С. 65-72.

5. Писарева C.B. Эволюционные уравнения с особенностями в обобщенных пространствах Степанова / C.B. Писарева // Математические модели и операторные уравнения. — Воронеж : Воронеж, гос. ун-т, 2005. — Т. 3. — С. 73-77.

6. Писарева C.B. Полугруппы с особенностями / C.B. Писарева // Труды молодых ученых Воронежского государственного университета. — Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2005. — Вып. 1. - С. 32-35.

7. Писарева C.B. Обобщенные пространства Степанова и эволюционные уравнения с особенностями / C.B. Писарева // Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. — От. Оскол, 2005.

- С. 3-19.

8. Писарева C.B. Абстрактные интегралы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова / C.B. Писарева // Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. — Ст. Оскол, 2005.

- С. 20-32.

Заказ № 18 от 24.01.06 г. Тир. 100 экз. Лаборатория оперативной полиграфии ВГУ

(Ш6А

im

5 §

Введение

Глава I. Полугруппы с особенностями

§1.1 Вектор-функции и некоторые их свойства

§ 1.2 Оператор-функции и полугруппы

§ 1.3 Задача Коши для дифференциальных уравнений 32 первого порядка

Глава II. Обобщенные пространства Степанова 38 и абстрактные операторы Бесселя

§ 2.1 Пространства Степанова

§ 2.2 Обобщенные пространства Степанова

§ 2.3 Эквивалентные нормировки в обобщенных 52 пространствах Степанова

§ 2.4 Полунормы Вейля

§ 2.5 Пространства S*^

§ 2.6 Об оптимальности пространств S*k в функциональных решетках (структурах)

§ 2.7 Абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя

Глава III. Приложение к эволюционным уравнениям

§ 3.1 Эволюционные уравнения с особенностями на действительной оси

§ 3.2 Задача Коши для дифференциального уравнения с 83 особенностью

Пусть F и U - метрические пространства с соответствующими метриками рр и ри. Согласно Адамару [1] задача определения решения и Е U уравнения

Аи = /, (1) где / 6 F задано, называется корректно поставленной на пространствах (F, U), если выполняются условия: а) для всякого / Е F существует и EU - решение уравнения (1); б) решение определяется однозначно; в) задача устойчива на пространствах (F, £/), то есть для любого е > 0 можно указать такое 5 > 0, что из неравенства pfUu /2) < следует ри(щ,и2) < £■

Важно отметить, что устойчивость задачи (1) зависит от выбранных топологий в U и F и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добиться непрерывности оператора Л-1, существования которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответствия А и нормированных пространств U и F (см. [21]), устойчивость будет иметь место, если пространство F наделить нормой = WA-'fh = Ну, и тогда

1И-Ц = sup = ,

0 II/IIf

Однако, обычно топологии навязываются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах данных задачи F и решения U:

1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зави-сили от оператора А. Например, в случае когда А = Л(А) - оператор, зависящий от некоторого параметра А, важно, чтобы область определения обратного оператора А-1 (Л) (например, резольвенты R(X,A) = (А — А/)-1) была независящей от Л.

2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства данных задачи F, при которых решение задачи остается в некотором "достаточно хорошем "пространстве U.

Наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций f(x), х С Rn

Lp(Q) = {/(*) : \\f\\Lp = [ [ | f(x)\>dx]L,, p > 1};

Jn

C(Q) -пространство непрерывных и ограниченных в CI функций с нормой с = sup \f(x)\]

C^(fi) - пространство непрерывных, вместе со своими прозводными до порядка I, функций

С«(П) = {f(x) : fW(x) Е С(П), Щеп) = £ Wf{k)Wc,l = 1,2,.}; k=0

Wp(Q,) - пространства C.Jl. Соболева

И?(П) = {/(*): / W(«) 6 ll/llw} = E \\fm\K'1 = 1.2. -}• a;=0

В зависимости от задачи, наряду с этим используются также и весовые пространства

LPtP[Q) = {f(x) : p(x)f(x) е LP(Q), \\f\\Lp<p = [ [ p(x)\f(x)\4x]K P > 1},

Jn

CP(Q) = {f(x) : p(x)f(x) £ C(Q), \\f\\Cp = sup \p(x)f(x)\.

Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения и(х) = f(x),x G [0,г), f(x) е С([0,т)) (2)

0) = 0. (3)

Требуется найти функцию и(х) G С^([0,г)) - удовлетворяющую (2)-(3). Таким образом, в этом случае F = С([0, r)),U = C^QO, г)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид и(х)= Г f(s)ds, (4)

Jo и если 0 < т < оо, то из (2) и (4) следует

IN* = ||U lie + Не < (1 + т)||/||а = (1 + r)H/||F.

Таким образом, задача (2)-(3) корректна по Адамару в пространствах (С, С^), если г < оо.

Однако при т = оо это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах, в которых задача (2)-(3) корректна. В связи с этим рассматриваются, например, весовые пространства Ср{0) с весом р(х) = е~ах, (а > 0).

Для этих пространств имеем Г ease~a3\f{s)\ds < sup \e~asf (s)\ Г easds = Jo se[0,oo) Jo pCLX 1 pax f\\c<—\\f\\Cl a - ~ a " " "

Отсюда получаем оценку ц < " " р а

И, следовательно, для пространств U = : и £ СД[0, оо)),и €

Ср([0, оо))}, F = {f{x) : f(x) е СДр, оо))} задача корректна при т = оо.

При исследовании корректной разрешимости различных задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие здесь интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют, и являются в некотором смысле "оптимальны-ми"(см. §2.6).

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости нений в банаховых пространствах, где ядра соответсвующих интегральных операторов имеют особенность, во второй главе диссертации вводятся и изучаются новые классы пространств векторнознач-ных функций f(x)(x £ R1) со значениями в банаховом пространстве Е, обобщающие известные Spj пространства Степанова [9,22], норма в которых имеет вид

При различных I эти нормы эквивалентны.

Однако желание расширения классов функциональных пространств с нормами, инвариантными относительно сдвига, и рассмотрения в этих пространствах корректной разрешимости соответствующих задач привело к некоторым обобщениям пространств Степанова и их изучению.

Пусть Е - банахово пространство. Через Splk(E) (р > 1,1 > 0) будем обозначать пространства векторнозначных функций f(x), со значениями в Е при каждом х £ R1, локально интегрируемых по Бохнеру, и для которых конечны нормы начально-краевых задач для интегрально-дифференциальных уравр в)

ИЛЬ- = sup у / fc(t-s)ll/(s)UP<k ' teR1 J Jt-i sup teR1

7)

Jo едилг-^г^Г, где k(s) > 0 - некоторая непрерывно дифференцируемая на (0, оо) функция, суммируемая в нуле. Отметим, что случай k(s) = sa1 (О < а < 1) рассматривался в [16].

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств sp,iAe

1. Если к (х) > 0 на интервале (0, +оо), то нормы ||/||5± эквивалентны норме Степанова ||/||sP)/, и? вообще говоря, не эквивалентны ей, если к'(х) < 0.

2. Если к'(х) < 0 на интервале (0, +оо), то нормы ||/||s±jjt эквивалентны при различных I (поэтому в дальнейшем полагаем / = 1).

3. Если к'(х) < 0 на интервале (0,+оо), то нормы ||/|(s+fc и с- , вообще говоря, не эквивалентны. р,к

4. Если ki(x) и к2(х) функции, эквивалентные на (0, +оо), тогда нормы ||/||5±fc и ||jf||s±fe эквивалентны.

5. Если к\(х), к2(х) суммируемые на (0,/](/ > 0) функции и для всех х £ (0,1) выполнено неравенство к'2(х) < к'^х) < 0, тогда справедливо вложение S*k2 С S^ki.

6. Если р < г и выполняется неравенство

Jo 1 г-р ds = М < оо,

Ж8). то верно вложение S^kr С S^kp и справедливо неравенство

IVp мН

7. Если для пространств Spo>ko l и S*^ выполнено равенство

1 0 1-в - = - +-,

Р Ро Pi то верно мультипликативное неравенство

10 imii < IUils± lWJ\\s± t

P 0.*0>' Pi,If I,I где ад = кУтr"(t), а г =

Р1

8. Множество ограниченных на R1 функций не плотно вложено

Отметим одно важное отличие S^k{E) пространств от SP(E) Оно заключается в том, что если ввести нормы s± р,к,п sup nez

Гедид

J о n±s)\\pds то эти нормы не эквивалентны S^k{E) нормам.

В пространствах Степанова S^k можно ввести эквивалентные нормировки,которые наряду с интервалом интегрирования (О, I) позволяют рассматривать и полуось (0,+оо).

Обозначим Spkp(E) пространства функций определяемых нормами ll/lk+ =sup tzR1 г+оо 1 р j p(s-t)k(s-t)\\f(s)\\4s = sup teR1 ll/lk"- = SUP sup teR1 r+OO p(8)k(s)\\f(t + 8Wds .Jo f p(t e)fc(t в)||/{в)|]»>Л,

J —00 p+co p(8)k(s)\\f(t - sWda Jo

8)

9) гДер > 1; k(x) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей на (О, +оо) функцией, суммируемой в нуле; р(х) > 0 является непрерывной монотонно-убывающей и сумируемой на [0, +оо) функцией. Нормы ll/Hs^ и ||/||5±fc эквивалентны.

В частности, если взять в качестве р(х) = к(х) = ха~1 мы 2 получаем вес Лаггера, если взять р(х) = е~их - вес Эрмита.

Рассмотрим обобщенные пространства Степанова с экспоненциальным весом Враи(Е) , определяемые нормами п± = sup teR1 r+co

Jo e-uasp-l\\f{t±s)\\*d8

10) где p < 1,0 < a < 1, w > 0.

Нормы ||/||я± и нормы ||/||с± (k(s) = sa1) эквивалентны, еле

PiOiiUJ Рук довательно, нормы ||/||£±аш, соответствующие различным ш, эквивалентны, и в дальнейшем будем считать ш = 1.

Частным случаем пространств, рассмотренных в [5], являются пространства Вр>а функций, заданных на всей оси R1 следующей нормой вР,а = sup teR1 оо е"~'г'|т|а-1||/(£ — T)\\pdr оо

И)

Пространства BPja совпадают с пересечением пространств Вр а и В+а, причем норма ||/||вр>а эквивалентна норме ия,а = tii/ik,+н/ikj

Верна следующая теорема, обобщающую теорему 5.3.2 [22]. Теорема. Если последовательности чисел {А*;} и {ак} таковы,что

М ■ ы

00 00 > -L-:ij——-< оо, то суммы п

Sn(s) = ^ аке iXkS к=—п в2,а ~ сходятся.

В связи с желанием обобщения теории почти - периодических функций Вей ля на почти - периодические функции, связанные с нормами Spk, можно ввести функционалы где kQ(l) = fgk(s)ds.

При этом, как и для SPti - норм (см.[22], стр.221), справедливо утверждение, что если функция f(t) б Spi k, то предел (12) существует.

Отмечая также, что пространство C{Rl) непрерывных й ограниченных на R1 функций неплотно вложено в пространства Spk (см. лемму 2.2.8), в диссертации вводятся классы S^k С для которых Spk - нормы обладают свойством непрерывности, то есть для f(t) G Ё*, limJf(t + h) + f(t)\\sf =0. В диссертации доказывается, что пространства являются бана

РуК ховыми и вложение C{Rl) С - плотно.

Другим объектом, который вводится и изучается в диссертации, являются абстрактные интегралы дробного порядка Бесселя.

Исследование многих задач для дифференциальных уравнений вида

J - Au(t)=т, (is) где А - линейный и, вообще говоря, неограниченный в некотором банаховом пространстве Е оператор, приводит к необходимости введения и исследования абстрактных интегралов дробного порядка Бесселя

1 Г00

Gimm = щ1 ^ м*в1/(* т s)dS, (и) где U(t) полугруппа линейных и ограниченных в Е операторов.

В диссертации исследуется абстрактный интеграл Бесселя (14) в том случае, когда U(t) сильно непрерывная полугруппа при t > О, удовлетворяющая в нуле оценке

U(t)|| < e-VW, (15) где oj > 0 и ip(t) - непрерывно дифференцируемая при t > 0 функция.

Как известно ([27], с.254), в скалярном случае интегралы дробного порядка Бесселя при t е R1 имеют вид

G?/)(<) = щ f e°~'(t - s)°-if(s)ds = 1 f°° гГТ / е~'*а1/(*" (16)

1 W ./о 1

G~m) = щ I et~S{s" = rr/o + (17)

Эти операторы определены на функциях из обобщенных пространств Степанова где k(s) = sa-1,0 < а < 1, и изучались в этих пространствах.

Так как для операторов G± имеют место формулы дифференцирования вида ± j^Gl = Gl~n, ДеА > п, где I - единичный оператор, то операторы G± реализуют отрицательные дробные степени дифференциальных операторов

Операторы бесселевского дробного интегрирования, в отличие, например, от дробных интегралов Римана-Лиувилля, рассматриваемых на действительной оси или полуоси, обладают многими интересными и важными свойствами при решении ряда вопросов, на* пример, при построении соболевских классов дифференцируемых функций дробной гладкости.

Так в автоматическом регулировании (см. [13], с.56) оператор Бесселя представляет собой так называемое "инерционное звено", когда в моделируемом процессе скорость "выхода"продукта ^ пропорциональна разности "входа" x{t) и "выхода" у it). В этом случае

В демографии известно интегральное уравнение воспроизводства населения (см. [25]) где функция u(t) означает плотность рождений во время t, v(x) - функция дожития, равная вероятности дожития до возраста х, ц>(х) - функция плодовитости, т.е. плотность повозрастного распределения рождений у женщин.

Основным результатом третьей главы диссертации является приложение результатов, полученных во второй главе, к исследованию корректной разрешимости уравнения где f(t)~ векторнозначная функция со значениями в Е при всех t <Е R\ А- линейный оператор с плотной в банаховом пространстве Е областью определения D(A), являющийся производящим оператором сильно непрерывной при t > 0 полугруппы U(t) класса (1, Л)и, удовлетворяющей условию где ш > 0, tp(t) - непрерывная при t > 0 функция такая, что y(t) = (Gx)(t).

18)

U{t)\\<e-»l-4>(t),

19)

Решением уравнения (18) будем называть функцию u(t), удовлетворяющую условиям:

1. u(t) е D(A) при всех t б R1;

2. —сjp-,Au(t) непрерывны в R

3. u(t) удовлетворяет исходному уравнению;

4. u(t) ограничена на R1.

Верна следующая

Теорема. Пусть А - производящий оператор полугруппы U(t) класса (1 ,А)и, удовлетворяющей условиям (19)-(20), u(t) решение уравнения (18) и f(t) - непрерывная вектор-функция со значениями в D{A) при t Е R1, Af(t) непрерывна и f(t) G тогда справедливо представление u(t)= ( U(t — s)f(s)ds. (21)

J —со

Следующая теорема дает условия существования решения уравнения (18).

Теорема. Если А - производящий оператор полугруппы U(t) класса (1 ,А)и, выполнены условия предыдущей теоремы и f(t) удовлетворяет условию Гельдера sup -j--—Гё- < ОО ti-ta|<l 1*1 " 2I с некоторым S € (0,1), таким, что jJ1 ф(т)т5~1<1т —> 0 при h —> 0, то функция u(t), представимая (21), является решением уравнения (18).

Пусть А - линейный замкнутый оператор с плотной в Е областью определения D(A), имееющий резольвенту, определенную в полуплоскости ReX > —ш, где ш > 0, причем справедливо неравенство

R{\, А)|| < М(1 + \Im\\)~P при некотором /3 G (0,1). В соответствии с [19], при этом условии оператор А является производящим оператором бесконечно дифференцируемой при t > 0 полугруппы U(t), для которой справедлива оценка ll^ll < (22)

В этих условиях, если для уравнения (18) существует ослабленное решение, удовлетворяющее начальному условию и(0) = 0, (23) то оно представимо в виде u(t)= [ U(t — s)f(s)ds.

Jo

Таким образом, из оценки (22) следует неравенство

Щ\<Сг fe-^it-sy-HmWds, Jo используя которое, доказываются следующие теоремы.

0-1 )р

Теорема. Если f3 > \ и функция k(t) такая, что e~ut ■ t^p-v ■ А;13?^) £ Ь\[о, оо), и / £ Spk(p > 1), то решение задачи (18), (23) ограничено при t > 0 и справедлива оценка u(t)\\E<M(u,/3,p)\\f\\s;y

Теорема. Если < ~ и / принадлежит пространству Степанова Sp, то решение задачи (18), (23) принадлежит пространству Spk и справедливо неравенство u\U <M(u,p,P)\\f\\Sp.

1. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар- М.:Наука, 1978.-951с.

2. Барбашин, Е.А. Введение в теорию устойчивости / Е.А. Барбашин М.гНаука, 1967. -223с.

3. Баскаков, А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г.Баскаков // Доклады РАН, 2006. Т. 406, № 6.

4. Бесов, О.В. Интегральные представления функций и теоремы вложения / О.В. Бесов, В.П. Ильин, С.М. Никольский .- 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1996 479с.

5. Глушко, В.П. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом / В.П. Глушко И Сиб.мат.журн., 1960. -Т. 1, № 3. С.343-382.

6. Далецкий, Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г.Крейн. М.: Наука, 1970 .- 534 с.

7. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы/ Г.Б. Двайт; пер. с англ. Н.В.Леви; под ред. К.А.Семендяева.— Изд. 4-е .—М.: Наука, 1973 .— 228с.

8. Демидович, Б.П. Лекции по математической теории устойчивости/ Б.П. Демидович.— М.: Наука, 1967 .— 472с.

9. Жиков, В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения/ В.В. Жиков, Б.М Левитан .- Издательство МГУ, 1978. -204с.

10. Забрейко, П.П. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский .- М.: Наука, 1966 .- 499 с.

11. Забрейко, П.П. Об одном классе полугрупп / П.П. Забрейко, А.В.Зафиевский // Докл. АН СССР, 1969.- Б.м. Т. 189, N 5 С.934-937.

12. Иосида, К. Функциональный анализ: Учебник / К. Иосида; пер. с англ. В.М. Волосова .- М.: Изд-во "Мир", 1967 624с.

13. Колемаев, В.А. Математическая экономика: Учеб. для студ. вузов, обуч. по экон. специальностям/ В.А. Колемаев.- М.: Изд. об-ние "ЮНИТИ", 1998 .- 240с.

14. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа: Учебное пособие для студ. мат. специальностей ун-тов / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин .- 2-е изд., перераб. и доп. -М.:Наука, 1968 .- 496с.

15. Костин, А.В. О пространствах инвариантных относительно дробного интегрирования / А.В. Костин // Сб. тр. молодых ученых мат. фак. Воронеж, гос. ун-та. Б.м., 2001— С. 102-108.

16. Костин, А.В. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя: Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук/ А.В.Костин.- Воронеж: Б.и., 2002 19с.

17. Костин, А.В. Обобщенные пространства Степанова и эволюционные уравнения/ А.В. Костин// Диф.уравнения, 2003. -Т.39,№3-С.421-422.

18. Костин, В.А. Неравенства для норм производных в пространствах Lp / В.А. Костин // Мат. заметки .- Б.м., 1969 .- Т.6, №4 .-С. 463-473.

19. Крейн, С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн .- М.: Изд-во"Наука". Глав. ред. физмат, лит-ры, 1967 .- 464с.

20. Крейн, С.Г. Функциональный анализ / Н.Я. Виленкин, Е.А.Горин, А.Г. Костюченко и др.; Под ред. Крейна С.Г. М.: Наука, 1964 424 с.

21. Лаврентьев, М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений./ М.М. Лаврентьев Новосибирский гос. университет. Новосибирск, 1973. 72 с.

22. Левитан, Б.М. Почти- периодические функции / Б.М. Левитан .М.: Гос. изд-во техн.-теорет. лит., 1953 .- 396 с.

23. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа/ Л.А.Люстерник, В.И. Соболев.- М.: Наука, 1965 519с.

24. Масера, X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства/ X. Масера, Х.Шеффер М.:Мир, 1970.-456 с.

25. Нахушев, A.M. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев Москва: Высшая школа, 1995. - 302с.

26. Перов, А.И. Вариационные методы в теории нелинейных колебаний / А.И. Перов — Воронеж: изд.ВГУ, 1981. 196с.

27. Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И.Маричев. Минск: Наука и техника, 1987 .- 687с.

28. Сильченко, Ю.Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданными операторными коэффициентами и связанные с ними краевые задачи Диссертация на соискание доктора физ.-мат. наук. / Ю.Т. Сильченко. Минск, 1999. - На правах рукописи

29. Соболев, С .Л. О почти-периодичности решений волнового уравнения./ С.Л. Соболев // Докл. АН СССР 1945 .- Б.м.-T.XLVIII, N 8 .- С. 570-573

30. Соболевский, П.Е. О полугруппах роста а / П.Е. Соболевский // Докл. АН СССР 1971 Б.м. Т. 196, N 5 С. 535-537

31. Соболевский, П.Е. Полугруппы линейных ограниченных операторов/ П.Е. Соболевский, Ю.Т. Сильченко// Математика сьогодш 93: Науково-метод.зб1рник. Б.М. - 1991. - Вып.8. -С.34-63

32. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения/B.Феллер М.: «Мир», 1967, т.2 - 752 с.

33. Хилле, Э. Функциональный анализ и полугруппы/ Э. Хилле, Р.Филлипс М.: Издательство иностранной литературы, 1962 -829с.

34. Скубачевский, A.JI. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения / А.Л.Скубачевский, Р.В. Шамин // Математические заметки. — 1999.-Т. 66, № 1 -С. 145-153.

35. Шамин, Р.В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве / Р.В. Шамин// Математический сборник. 2003. - Т. 194. - Вып. 9.-С. 1411-1426.

36. Костин, В.А. О суммируемости тригонометрических рядов в обобщенных пространствах Степанова / В.А. Костин, С.В.Писарева// Труды математического факультета .- Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2004 .- Вып. 8 .- С. 75-79.

37. Костин, А.В. Абстрактные интегралы Бесселя дробного порядка/ А.В. Костин, В.А. Костин, С.В. Писарева // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронеж, весен, мат. школы «Понтрягинские чтения 16», 3-9 мая 2005 г. - Воронеж, 2005 -С.87-88.

38. Писарева, С.В. Некоторые свойства обобщенных пространств Степанова/ С.В. Писарева// Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2005. -Т.З. - С.65-72.

39. Писарева, С.В. Эволюционные уравнения с особенностями в обобщенных пространствах Степанова/ С.В. Писарева// Математические модели и операторные уравнения. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2005. - Т.З. - С.73-77.

40. Писарева, С.В. Полугруппы с особенностями/ С.В. Писарева // Труды молодых ученых Воронежского государственного унверситета. Воронеж: Воронеж, гос. ун-т, 2005. - Вып. 1. -С.32-35.

41. Писарева, С.В. Обобщенные пространства Степанова и эволюционные уравнения с особенностями/ С.В. Писарева // Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. Ст.Оскол, 2005. - С.3-19.

42. Писарева, С.В. Абстрактные интегралы Бесселя в обобщенных пространствах Степанова / С.В. Писарева// Межвузовский сборник трудов семинара по фундаментальному и прикладному анализу. Ст.Оскол, 2005. - С.20-32.