Операторы решеточного замыкания на множестве классов непериодических полугрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГБ ОД

I Ь СЕН 1995

На права* рукописи УДК 517.98

БОРИСОВ Анатолий Алексеевич

ОПЕРАТОРЫ РЕШЕТОЧНОГО ЗАиЖАШл НА . /.ЖЖТВЕ КЛАССОВ

1Ш1Т1юличнг:ких полугрупп

01.01.01 - математический анализ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

ЗхрггсоС-

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рос -сийского государственного педагогического университета имени А.И.Герцена.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор В.П.Одинец

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Г.Я.Ареткин, кандидат физико-математических наук, доцент Е.и, .¡.'.огиллнская.

Ведущая организация - Санкт-Петербургский государственный Электротехнический университет

Защита состоится "_"_1995г. в_часов

на ааседании Диссертационного Совета К 113.05.14 по защите дис оертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Россий -ском государственном педагогическом университете им.А.И.Герцена /191186, Санкт-Петербург, наб.р.Ь.ойки, 48, корпус 1,ауд.20<

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке университета.

Автореферат разослан "_" _1995г,

Ученый секретарь

Диссертационного Совета ^^— И.Б.Готская

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важт« направлений в развитии математического анализа является распространение результатов, полученных в условиях богатых структур, на структуры менее богатые. Существенное f/есто здесь занижают различные обобщения и расширения классических теорем о непод-

татя-вгтгг trnuifflv nno-na^rvrin-n* глпфъотгттглппшр ПРЧУЛЬТЯТН ппигтлпло—

_ _ t V

жат ¿.Шаудяру, A.ii.Тихонову и др. Известно, что в ■Ц'плнмкыь-ном анализе вопрос о разрешимости уравнений часто приобретает форму теорем о неподвижных точках операторов.

Отметим, что в засиыости от структуры X и свойств оператора f:X~*~X получаются те или иные результаты /или принципы/ о неподвижных точках. Для подавляющего большинства теорем о неподвютнх точках предполагается непрерывность оператора. Однако, если X ~ частично упорядоченное множество /ч.у.-мго-жество/, то в некоторых случаях требование непрерывности можно опустить. Выдели:«.,в частности, теорел-у Гиркгосл-Тарского,которая дает достаточное условие существования неподвижной точки изотон-ного оператора /т.е.оператора,сохраняющего отношение частичного порядка/ условно полно.: решетки. Указанная теорема наряду с принципе»/, ежголшяих отойратенкй и принципом Шаудера используется ддя решения палпнелных уравнений; она применяется также при исследовании опе~ торных уравнений в частично упорядоченных пространствах, причем позволяет обойтись без использования метрических или топологических свойств этих пространств.

Для нахождения неподвижных точек такого широкого класса операторов, каковы,-'/.и являются изотопные операторы, ещо Ш.Э.Пикяр

Э своей фундаментальной работе [l] указал на полезность метода последовательных приближений. Позднее этот метод был значительно развит в классической работе Л.В.Канторовича [2] .

Проблеме существования неподвижных точек и общих неподвижных точек изотопных операторов посвящены работы М.А.Красносельского и И.А.Бахтина.

Из сказанного ясно, что исследование изотонных операторов некоторых конкретных типов ч.у.-множеств и, в частности, нахождение неподвижных точек таких операторов играет важную роль в . математическом анализе. Более того, иногда и произвольные опера тори какого-либо тожества в себя могут служить основой для построения содержательной теории анализа. Так, например, А.А.Марковым в работе [з] на множестве коммутирующих операторов заданного множества в себя доказано существование вещественного Функционала с целым радом интересных свойств.

Среди изотошшх операторов выделим операторы замыкания. Эти операторы встречаются во многих разделах математики и их примеры весьма многочисленны. За последнее время операторы замыкания на решетке изучались С.Л.Эдельманом, а решетки операторов замыкания - В.Дэиком, Р.Сушко и С.Сурмой.

Предлагаемая диссертация посвящена исследованию некоторых

1. Picard £. Не moire sur £а ikeorie des eq/iaéio/zs aux derivëes partielles ei Îa melfiode des approximatic/is iec -CeiÙ'Jé.5 //y.JUaiA., (4) , 6 (1890), p.145-210.

2. KûLiilororick i.V. (ГАе melkod <?/succesiiire aproximitm ¡or ¡iinciional étudiions //Acta ЛШк ., 1939, ir .71 ,p.69-93.

3. парков A.A. Некоторые теоремы об абалевых множествах // ДАН СССР, т.1 (1), if 0 /05/, с.299-302.

4

операторов замыкания на ч.у.-множествах, элементами которых являются конкретные алгебраические объекты. Значительная часть полученных здесь результатов относится к нахоздению неподвижных точек изучаемых операторов.

Пусть и Ж - некоторые классы полугрупп, причем-с % . Подкласс всех полугрупп из , кадцая из которых решеточно изоморфна некоторой полугруппе из > назовем ре-

шет-очкш«, замуканием класса IIЛ^ ь ■ • CcJi.Oi.JU, "¡".'О

мы рассматриваем только абстрактные массы полугрупп. Решеточное замыкание класса полугрупп <ШС в классе всех полугрупп обозначим через ШС • Если класс состоит из коммутативных полугрупп, то его решеточное замыкание в классе всех комкута-тивных полугрупп обозначим через ШСс .

Уведем следу^-цие обозначения: Ж - мно жество всех классов неперкодкческих полугрупп; - г/но-кество всех классов коммутативных полугрупп без лдемпотентов. Известно, что для любого выполняется . Поэтому определим, оператор Ь '-ледувдим образом: = для любого . Ь будет оператором замыкания на ч.у.-множестве $ . Аналогично, поскольку для любого . то опрпдатгм опорчтор С : по правилу: » Ж. Л* будет операторе?/ замыкания на ч.у.-множестве ¿3 . Операторы Л и назовем операторами решеточного замыкания.

Работи Р.В.Петропавловской, Л.ГГ.Шеврина, В.А.Баранского, Л./.Свсянникопа н др. позволяют привести ряд достаточно глубоких результатов для операторов С и Ь . Так, например, могут бить на.гдены значения оператора С на классах, все полугруппы которых с сокра-цением и удовлетворяют некоторым дополнительным условиям, а также на классах, все полугруппы которых разло-

5

яшш в свободное произведение. Для олератора 1,с можно указать значения на классах, состоящих из коммутативных архимедовых полугрупп без идемпотентов.

Однако, несмотря на имеющиеся результаты для операторов /, и 1ус , их значения на многих важных классах полугрупп остаются неизвестными. Отмеченное обстоятельство делает актуальной задачу дальнейшего изучения этих операторов.

Цель работы. Исследование значений оператора /6 на классах полугрупп следующих типов: 1/ масс полугрупп без вдеыпотентов, разложимых в полурешетку полугрупп, в которых ни один элемент не является собственным делителем самого себя; 2/ класс полугрупп без идемпотентов, разложимых в полурешетку полугрупп, в которых ни один элемент не является ни левой, ни правой единицей для другого элемента; 3/ класс коммутативных галоидных полугрупп без идемпотентов, все ординальные компо -ненты которых наследственно ординально неразложимы; 4/ класс полугрупп с сокращением, не являющихся группами.

Исследование значений оператора на классах коммутатив них галовдних полугрупп без идемпотентов.

Научная новизна . Бее результаты диссертации являются новыми.

Практическая и теоретическая це н о с т ь. Работа носит теоретический характер, а ее результа ты могут быть использованы в дальнейших исследованиях операто ров решеточного замыкания Л к Ьс .

Апробация работы. Основные результаты диссех тации докладывались на Международной конференции "Полугруппы: теория и приложения, включая полугрупповые кольца" /С.-Петербург, инш. Гул5г./, на научных конференциях "Гсрценовские чт(

6

ния*'/С.-Петербург, 1991-1994г.г./.

П у б л и к а ц и к. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРШМЕ ДИССЕРТАЦИИ

йяФиксируем для дачьнийадлго ояйдумьие оОозна чшан;

(X, - класс всех полугрупп без идемпотентов, б которых ни один элемент не является собственным делителем самого себя;

- класс всех полугрупп без идемпотентов, в которых ни один элемент не является ни левой, ни правой единицей для другого элемента;

X - масс всех полугрупп с сокращением, не являющихся группами;

масс всех полурешеток;

- значение оператора на классе, состоящем с

точностью до изоморфизма из одной непериодической полугруппы

5 ;

^ - наименьшая полурешеточная конгруэнция на произвольной полугруппе.

Если

Я - некоторый класс полугрупп, то через обоз-

начается произведение в смысле А.И.Мальцева класса & на класо

т.

Глава I /§§ 1-2/ посвящена изучению значений оператора ^ на классах полугрупп

, а также на

подклассах из '¡Р , состоящих с точностью до изоморфизма из одной коммутативной полугруппы без идемпотентов.

В § 1 доказана Основная лемма, которая получает в диссерта-

7

о

ции целый ряд применений; с ее помощью доказаны основные результаты §§ 2, 3, 5.

Главный результат § 2 - теорема 2.1 - показывает, что каждый из классов полугрупп является неподвижной точкой оператора , а всякая полугруппа из класса полурешеточно проектируема. Здесь же теорема 2.2 утверждает, что всякая коммутативная полугруппа без идем-потентов полурешеточно проектируема, а все ^ - классы лю -бой полугруппы из , где - произвольная коммутативная полугруппа без идемпотентов, являются £ - архимедовыми полугруппами.

Глава Я /§§ 3-4/ относится к исследованию операторов С и 1ис на некоторых классах коммутативных полутрупп без вдегл-потентов.

В § 3 доказано, что класс всех коммутативных сепаративных полугрупп без идемпотентов и произвольный класс, состоящий из коммутативных сепаративных наследственно ординально неразложимых полугрупп без идемпотентов,-будут неподвижными точками оператора /теорема 3.1/. В атом же параграфе попутно установлено, что и класс всех некоммутативных сепаративных полугрупп без идемпотентов есть также неподвижная точка оператора

С .

В начале § 4 показано, .что класс всех коммутативных галоидных полугрупп без идемпотентов - неподвижная точка оператора

/теорема 4.1/. Затем с помощью специально введенной тео-ретико-лаяугруппавой конструкции да но полное описание оператора на классах коммутативных галоидных полутруп, без идемпотентов /теорема 4.2/. Далее в § 4 полностью изучен оператор на классах коммутативных галоидных полугрупп без вдемпо-

8

тентов, все ординальные компоненты которых являмтся наследственно ординально неразложимыми полугруппами /теорема 4.3/. В частности, .класс всех таких коммутативных головдных полугрупп без идемпотентов - неподвижная точка оператора

Глава Ш /§§ 5-7/ посвящена исследованию оператора Л на некоторых подклассах класса .

В § 5 дается характеристика полугрупп из с по -

»•л—» « »пП т»т» V т* л ЛТГТ^ППТПШЛФТГ • Чтгош "Ш

J I р О " •■>• V.. -У . . .. А ^ » . V -^ J А.

верждении (а) теоремы 5.1 доказано, что каждая полугруппа из £ (X) разложима в полурешетку полугрупп с сокращением.Утверждение (б) этой теоремы показывает, что всякая полу -группа с сокращением полурешеточно проектируема. Последнее позволяет охарактеризовать полугруппы из с помощью наименьше!* лалурешеточлой конгруэнции. Из теоремы 5.1 следует, что подкласс из оС , состоящий из всех его полурешеточно неразложимых полугрупп, есть неподвижная точка оператора /теорема 5.2/.

В § 6 доказано, что значение оператора ^ на классе всех 2-порожденных полугрупп с сокращением, не являющихся группами, содержит кроме самого этого класса с точностью до изоморфизма еще одну бесконечную циклическую полугруппу с присоеди -непннм нулем /теорема 6.1/. Отсюда вытекает, что класс всех 2--порожденных полугрупп с сокращением и без идемпотентов будет неподвижной точкой оператора Ь /следствие 6.1/.

Для формулировки основного результата § 7 - теорема 7.1 -- введем следующие обозначения:

(% - класс всех архимедовых полугрупп с- сокращением, не являющихся группами;

(X^ - класс всех простых полугрупп с сокращением, не ям я-

ющихся группами;

[)1 - класс.всех полугрупп с сокращением и без идеыпотен-3

тов.

Заметим, что все полугруппы из классов Oit и ОСг не со -держат идемпотентов. Простота полугруппы здесь понимается в смысле отсутствия в ней двусторонних идеалов, отличных от самой себя. Теорема 7.1 утвервдает, что классы полугрупп СС{ , ülx , и класс а^Р для любого t (16 i являются непод-

вижными точками оператора /С

РАБОТЫ АВТОРА ПО №Е ДИССЕРТАЦИИ

1. Борисов A.A. Структурная замкнутость класса всех комму -тативных сепаративных полугрупп без идемпотентов // Рукопись представлена редколлегией Сиб.мат.журн. Деп. в ВИНИТИ 18.06.1984г. № 4021-84, - 19 с.

2. Борисов A.A. Структурная замкнутость класса всех коммутативных сепаративных полугрупп без идемпотентов // Сиб.мат. журн., 1985, т.26, №3, с.217.

3. Борисов A.A. О решеточных изоморфизмах коммутативных го -лоидных полугрупп без идемпотентов // Разбиения и гомоморф -ные отображения полугрупп. ЕГПУ им.А.И.Герцена. С.-Петербург, 1992, с.3-14.

4. Борисов A.A. Замечания о решеточных изоморфизмах сепаративных полугрупп // Разбиения и гомоморфные отображения полугрупп. РГПУ им.А.И.Герцена. С.-Петербург, 1992, с.15-17.

5. Борисов A.A. Полурешеточная проектируемость полугрупп с сокращением // Co-C€o<£Utum. са Semi^rcupS, Szegect t 15-19 JUtffutf , 1994, р.8.

6. Борисов A.A. Решеточное замыкание класса всех 2-лорозден-

10

них полугрупп с сокращением, не являющихся группами // Международная конференция "Полугруппы: теория и приложения,включая полугрупповые кольца" в честь Е.С.Ляпина. С.-Петербург, июнь 1995г. Тезисы докладов, с.88-89.

7. Борисов A.A. Об операторе решеточного замыкания на множестве классов непериодических полугрупп // Рос.гос.пед.ун-т га.:.А.".Герцотп. CHS. : 1УУ5, :i4 с. Деп. в ЬИНИЧИ, * ШНа-ньИ.

а