Спектральный анализ вырожденных полугрупп операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

на правах рукописи

Чшиев Аслан Григорьевич

Спектральный анализ вырожденных полугрупп операторов

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

2 С ОпТ 2077

ВОРОНЕЖ - 2011

4857351

4857351

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико - математических наук, профессор Баскаков А. Г.

Официальные оппоненты: доктор физико - математических паук,

профессор Костин В. А.,

кандидат физико - математических наук, доцент Брук В. М.

Ведущая организация: Белгородский государственный национальный исследовательский университет

Защита состоится " 15 " ноября 2011 года в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете, 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 335.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан чг - октября 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.22

доктор физико - математических наук, профессор Ю. Е^Гликлих

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть X — комплексное банахово пространство и Епс1Х — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. Всюду в диссертации через Т обозначена полугруппой операторов действующих в X, т. е. сильно непрерывная операторнозначная функция

Т : К+ = (0, оо) -> ЕЫХ,

для которой Т(£ + з) = Т(£)Т(в) при всех t,s > 0. При исследовании столь общих полугрупп операторов традиционными являются требования:

1) ядро полугруппы операторов нулевое, т. е.

КегТ = {хеХ\ ТЦ)х = 0 для всех £ > 0} = {0};

2) образ полугруппы операторов 1тТ = и 7тТ(£) плотен в X.

{>0

Однако, в приложениях к дифференциальным уравнениям с необратимым оператором при производной возникают так называемые вырожденные полугруппы операторов, т. е. полугруппы операторов с ненулевым ядром, и как правило, неплотным образом полугруппы операторов.

Актуальность темы также обусловлена важностью развития подхода, основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов. Используя данный подход 1 возможно определить генераторы полугруппы операторов без каких - либо априорных предположений относительно характера поведения полугруппы операторов в окрестности нуля. В результате расширяется арсенал методов исследования полугрупп операторов, а также сам класс полугрупп операторов,

1Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов / А. Г. Баскаков // Матсм. заметки- 2008,- Т.8-4.- №2,- С. 175-192.

исследование которых возможно проводить с помощью резольвенты генератора.

Рассмотрим задачу Коши

ж(0) = х0 G X (3)

для однородного дифференциального уравнения

Fx(t) = Gx(t),t > 0, (4)

с парой линейных замкнутых операторов F, G, действующих в банаховом пространстве X, при условии, что KerF ф {0}. Исследование задачи Коши (3), (4) может вестись с помощью вырожденной полугруппы операторов, одним из генераторов которой может являться отношение

Л = F~lG = {{хих2) е D(G) х D{F) : Gxx = Fx2} с X x X,

так как задача (3), (4) эквивалентна задаче (3) для дифференциального включения

x(t) е Ax{t),t> 0.

Цель работы.

1. Описать условия не замыкаемости в классе операторов инфшштези-мального оператора Ад (и также ряда других генераторов) полугруппы операторов Т.

2. Описать условия замкнутости инфипитезималыюго оператора Лц (и также ряда других генераторов) полугруппы операторов Т.

3. Доказать аналог теоремы Герхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп операторов в гильбертовом пространстве.

4. Исследовать полугруппу операторов с неплотным образом 1тТ и сильно суммируемой особенностью в нуле, применяя подход, основанный на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов.

Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, теории линейных отношений, дифференциальных уравнений, методов функционального анализа, голоморфных функций.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфшштезимальный оператор А0 (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был не замыкаем в классе операторов.

2. Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфшштезимальный оператор Ло (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был замкнутым оператором.

3. Доказан аналог теоремы Гсрхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп операторов в гильбертовом пространстве.

4. Установлен ряд свойств полугруппы операторов с неплотным образом 1тТ и сильно суммируемой особенностью в нуле. Показано существование базового генератора и приведена формула резольвенты базового генератора полугруппы операторов данного класса.

Практическая н теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в

развитии теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений и дифференциальных включений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах 2010 и 2011, на 21-й Крымской осенней математической школе - симпозиуме (КРОМШ) г. Севастополь, 2010 г., п семинарах А. Г. Баскакова.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Работа [5] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 96 источников. Общий объем диссертации составляет 111 страниц.

Содержание работы

Во Введении приводятся предметные и библиографические сведения о предмете исследования, обсуждается тема работы, ее актуальность и цели. Дано общее описание основных методов исследования. Характеризуются полученные в диссертации результаты.

В Главе 1 приводится сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории векторных функций, теории линейных отношений и теории полугрупп операторов.

Нумерация приводимых ниже определений и теорем совпадает с нумерацией в диссертации.

Определение 1.12. Инфинитезималъным оператором полугруппы операторов Т называется оператор

A0:D(A0) СХ->Х, 6

T(t)x — x

D(Aq) = {x £ I: существует ^lim^---},

T(t)x — x

A0x = hm ——-.

t

Отмстим, что вырожденность полугруппы операторов Т резко отража-

ется на се свойствах. Например, в этом случае D(Aq) ф X, и как правило, сг(Ао) = С. Инфшштезнмальный оператор Aq может быть незамкнутым и даже не замыкаемым в классе операторов. Тогда Ао является линейным отношением.

В работе А. Г. Баскакова 1 понятие инфинитезималъного оператора обобщается до понятия генератора полугруппы операторов, который может быть как оператором, так и отношением. Дадим точные определения. Введем в рассмотрение следующие подпространства из X : Хх(Т) = {х е А: /о \\T(t)x\\dt < оо}; ХАТ) = {х е X: lim Tlt)x = х}; МТ) = {хе Хг(Т): Дт I /„' T(t)xdt = *}. И обозначим через LR{X) множество линейных отношений на X.

Определение 1.14. Строгим инфинитезимальпым оператором полугруппы операторов Т называется линейный оператор

Ао: D(Ao) С X-* X,

D(k0) = {х е D(A0): А0х е ХС(Т)}, А0х = А0х.

Пример полугруппы операторов, для которой Ао Ф Aq приведён в главе

4.

Таким образом, Ао С А0, т. с.

{(х.Аоо:),® е £>(А0)} С {{х,А0х),хе £>(Л0)}. 7

Определение 1.15. Старшим генератором полугруппы операторов Т называется А 6 ЬЩХ), состоящее из пар (х,у) £ X х X со свойствами:

1) х е 1тТ;

2) верны равенства: Т(Ь)х - Т(з)х = Т(т)уйт, 0 < 5 < t < оо. Генератором полугруппы операторов Т называется Л £ ЬЯ(Х), удовлетворяющее условиям:

1) А0 С Л С А;

2) отношение Л перестановочно 2 с операторами > 0. Генератор Л называется базовым, если его резольвентное множество р(А) содержит полуплоскость Сш = {А € <С : ЯеА > го}, для некоторого ыеж.

Отмстим, что б случае нулевой полугруппы операторов старший генератор имеет вид: А = {(0,ж) С X х X : х £ X}, инфшштсзимальный оператор Ло в данном случае определен только в нуле и Ло0 = 0.

Определение 1.16. Генератор Ас £ ЬЯ(Х) полугруппы операторов Т определяется равенством Ас = А П (ХС(Т) х X).

Пример полугруппы операторов, для которой Ас ф А приведён в главе

4.

Множество всех генераторов полугруппы операторов Т обозначим через Сеп(Т). Тогда А0, Л0,АС,А е С?еп(Г).

В Главе 2 получены условия не замыкаемости (в классе операторов) п условия замкнутости инфшштезималыюго оператора (н также ряда других генераторов) полугруппы операторов Т. Приведены соответствующие примеры полугрупп операторов.

'Отношение Л называется перестановочным с оператором В, если (Вх, Ву) € А для всех (х,у) е А.

Теорема 2.1. Пусть инфинитезималъный оператор Ао не замыкаем в классе операторов. Тогда 1тА$ П КегТ ф {0}.

Теорема 2.2. Пусть 1тА0 С Л', (Т) и 1тА0 П КегТ ф {0}. Тогда инфинитезималъный оператор Ад не замыкаем в классе операторов.

Следствие 2.1. Пусть 1тАо П КегТ = {0}. Тогда оператор Ао замыкаем.

Следствие 2.2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) строгий инфинитезималъный оператор Ао не замыкаем в классе операторов;

2) /тлА0 П КегТ ф {0}.

Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что для генератора А\ е Сеп(Т) вида Л : В{А1) С X -> X,

В{А1) = {хе О(А0) : А0х € Хг(Т)}, А\х = Аох

условие 1тА\ П КегТ ф {0} является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А\ был не замыкаем в классе операторов. Данный критерий справедлив для любого генератора А € Сеп(Т), удовлетворяющего условию А С Ах.

Следствие 2.4. Пусть оператор /1о не замыкаем. Тогда о-(А) = С, где <т(А) есть спектр отношения А.

Последнее утверждение будет справедливо, если оператор Ад заменить на любой генератор А Е Сеп(Т), удовлетворяющий условию 1тА С /гпД).

Теорема 2.3. Пусть 1тА$ С Хг(Т), и пусть инфинитезималъный оператор Ао замкнут. Тогда 1гпАо С Х^Т).

Следствие 2.5. Пусть ImАо С Xi(T), и пусть строгий инфинитези-мальный оператор Ао замкнут. Тогда /тАо С Х\ (Т).

Теорема 2.4. Пусть ImAo С Х\ (Т). Тогда инфинитезималъный оператор Ао замкнут.

Следствие 2.6. Пусть /тАо С Х\(Т). Тогда строгий инфинитезималъный оператор А0 замкнут.

Следует отметить, что при следующем дополнительном условии:

ШГ = Хх{Т) = X

в работе 3 Забрейко П.П. и Зафиевского А. В. имеются следующий критерий замыкаемости:

КегТ = {0}, и следующий критерий замкнутости:

ВД = X

пнфшштезималыюго оператора Aq. В статье 4 A.B. Зафиевского имеется следующее достаточное условие:

КегТ П ТтТ = {0}

замыкаемости пнфшштезималыюго оператора Aq. Также отметим, что для полугруппы операторов Т имеет место включение

ImAü С ImT.

3ЗабреГжо П.П., ЗафпевскиП A.B. О некоторых классах полугрупп / П. П. Забрсчжо, A.B. Зафиев-скнй // Докл. АН СССР.- 1069.- Т.189.- С. 934-937.

43афиевский A.B. О полугруппах с сингулярпостими в пуле, суммируемыми со степенным весом /A.B. ЗафисвскиЛ // Докл. АН СССР.- 1970,- Т.195.- С. 24-27.

Следствие 2.7. Пусть ХС(Т) = ХС(Т), и пусть для A G Gen(T) выполняется условие А С Aq. Тогда оператор А замкнут.

Теорема 2.5. Пусть Х^Т) ф X. Тогда а{А0) = С. В частности, если Х\{Т) ф X, то спектр любого А е Gen{T), удовлетворяющего условию А С Д), заполняет всю комплексную плоскость.

В Главе 3 пространство X является гильбертовым. Доказан аналог теоремы Герхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп операторов в гильбертовом пространстве. Приведён соответствующий пример вырожденной полугруппы операторов.

Определение 3.1 Пусть а(Т( 1)) ПТ = 0, где <т(Т(1)) - спектр оператора Т( 1), Т = {A G С : |А| = 1}. Тогда полугруппа операторов Т называется гиперболической или допускающей экспоненциальную дихотомию.

Через C(1R, X) обозначено пространство непрерывных функций, определенных на R со значениями в пространстве X. Через C¡,(R, X) обозначено пространство ограниченных непрерывных функций, определенных на R со значениями в пространстве X.

В 1978 году Л. Гсрхартом 5 для сжимающихся полугрупп операторов класса (Со)6 в гильбертовом пространстве, а в 1984 году Я. Прюссом 7 для полугруппы операторов класса (Со) была получена

Теорема 3.1. (Герхарт - Прюсс) Пусть X — гильбертово пространство

5Gcarhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hüben spare:; / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978,- V.23G.- P.385-394.

6Полугрупиа операторов T относится к классу (Со), если Г(0) -- /, и — х для любого

X 6 X. Если кроме того, ||Г(()|| < 1 для любого t > 0, то Т называется сжимающейся полугруппой операторов класса (Со).

7Pruss Л. On the spectrum of Co - semigroups / Л. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984,- V.284.-P.847-857.

и пусть Аа — инфинитезилшлъный оператор полугруппы Т класса (Со). Тогда условие

{д € С : \ц\ = 1} с р(Т( 1)) (3.1)

равносильно одновременнолгу выполнению следующих условий:

Ж С р(А0) и sup ||Я(гд, Д,)|| = М < оо. (3.2)

зе®

Отмстим, что для общего банахова пространства условие (3.2) необходимо, но не достаточно для выполнения условия (3.1).

Теорема 3.1 содержит необходимые и достаточные условия 8 на резольвенту генератора полугруппы операторов для того, чтобы полугруппа операторов Т класса (Со) была гиперболической. Каждое из условий теоремы 3.1 равносильно 7 существованию и единственности слабого решения х G Сь(Ш.,Х) задачи :г(0) = хо для дифференциального уравнения

x(t) = A0x(t) + f(t)JeCb(R,X). (3)

Функция х е C(R, X) называется слабым решением (mild solution) уравнения (3) с начальным условием х(0) = хо, если для каждого t > О выполняется равенство

роо

x(t)=T{t)x 0+ / T(t — s)f{s)ds.

J о

В главе 3 проводится обобщение теоремы 3.1 на более широкий класс полугрупп операторов, действующих в гильбертовом пространстве. В рассматриваемом случае полугруппа операторов Т может быть вырожденной

"Баскаков А.Г., Синтисв Ю. Н. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтисв // Дифференциальные уравнения- 2010.-Т.46,- №2.- С. 210-219. см. также теорема V.l.18 из монографии Engel K.J., Nagel R. One - Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel -New York: Springer Verlag.- 2000.

и удовлетворяет условию:

[ ||Т(г)||2<й < оо. ./о

В условии (3.2) инфшштезнмальпый оператор А0 заменяется на генератор Ас полугруппы операторов Т, так как генератор Ас является в этом случае базовым, а спектр ст(Ао) инфшштезималыюго оператора Ло может заполнять всю комплексную плоскость, в связи с чем его использование невозможно. Соответствующий результат содержит

Теорема 3.2. Щстъ X — гильбертово пространство и пусть полугруппа операторов Т, удовлетворяет условию

где ст(Т(1)) - спектр оператора Т{ 1), Т = {А е С : |А| = 1} и сг(Ас) -спектр генератора Ас € Оеп(Т).

Доказательство теоремы 3.2 основано на установлении эквивалентности каждого из условий (3.3) и (3.4) непрерывной обратимости дифференциального отношения £0 из декартового произведения £2(К,Х) х Х2(М, X), которое строится следующим образом. Функция х £ Ь2(Ш, X) принадлежит области определения /?(£о), если существует функция / € £2(М,Х) такая, что для почти всех £ > в из М верны равенства

(3-3)

ст(Ае) П г'Е = 0 и вир ||Д(г'А, Ас)|| = < оо.

(3-4)

При этом, считается (x,f) € Cq. Так как (О,/) G £0 для функции / из L2(K,X) со значениями в КегТ, то в случае когда полугруппа операторов Т является вырожденной, имеем линейное отношение Со- Заметим, что задача о непрерывной обратимости отношения Со равносильна задаче о разрешимости и единственности решения следующего дифференциального включения:

x{t) е Acx(í) + f{t), t > s, x(s) =x0E D{Ac),

для генератора Ac e Gen(T) и функции / € ¿2(E, X), удовлетворяющей условию (х, —/) € Cq.

В свою очередь, непрерывная обратимость дифференциального отношения £о эквивалентна обратимости разностного оператора

DQ-.l2{Z,X)->l2{Z,X),

(D0x){n) = х(п) -Т(1)х(п -1),п е Z.

В Главе 4 дано определение полугруппы операторов Сильченко класса А(<р). С применением подхода, основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов, установлен ряд свойств данного класса полугрупп операторов. В частности, показано существование базового генератора и приведена формула резольвенты базового генератора полугруппы операторов Снльченко класса А(ф). Дадим точное определение. Пусть V - некоторое линейное подпространство из X, не плотное в нём. Полугруппой операторов Сильченко класса А(ф) называется оиераторнозначиая функция Т: (0, еж) —> EndX со следующими свойствами:

1) T{t + s) = T(t)T(s) для всех t,s> 0;

2) ImT(t) С V для всех t > 0;

3) = х для каждого х 6 "D;

Нт(0Н < <ß(t) для каждого t > 0, где tp — некоторая суммируемая на [0,1] функция.

Так как для полугруппы операторов Спльченко класса А{ф) выполнено условие Х\ (Т) = X, то теоремы 2.1 и 2.2, а также теоремы 2.3 и 2.4 объединяются в критерий не замыкаемости и критерий замкнутости ин-фшштезимальиого оператора Aq соответственно. Кроме того, следствие 2.2 сохраняется, а следствия 2.5 и 2.6 объединяются в критерий замкнутости строгого нпфшштезималыюго оператора А0. Также для полугруппы операторов Сильчснко класса A(ip) верны следующие теоремы.

Теорема 4.2. Пусть V — замкнутое подпространство в X. Тогда ин-финитезимальный оператор Ао замкнут.

Теорема 4.4. Спектр полугруппы операторов Т заполняет всю комплексную плоскость.

Теорема 4.5. Полугруппа операторов Т обладает базовым генератором, причём функция

R : С„. EndX, w > w{T) R{X)x = - f e~MT(t)xdt, xeX,

Jo

является резольвентой некоторого базового генератора Л € Gen(T). Кроме того, генератор Ас Е Gen(T) является базовым, Сш(р) С р{Ас) и резольвента R(А, Ас) генератора Ас шкет представление

г оо

Я(А, К)х = - / e~MT(t)xdt, X е X, А е Сш.

J о

В главе 4 приведены два примера полугрупп операторов данного класса. В примере 3 описаны следующие генераторы Ао, Aq, Ас, А.

Публикации автора по теме диссертации

1. Чшиев А.Г. О генераторах полугруппы операторов Сильченко / А.Г Чшиев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов,- Воронеж:ВГУ.- 2010.- С. 157-158

2. Чшиев А.Г. Теорема Герхарта - Прюсса для некоторого класса вырожденных полугрупп операторов / А.Г. Чшнев // Международная конференция КРОМШ — 2010. Сборник тезисов.- Симферополь.- 2010.-С. 53

3. Чшиев А.Г. О свойствах некоторых полугрупп Сильченко класса А(</з) / А.Г. Чшиев // Вестник ПММ,- Воронсж:ВГУ.- 2010 г.- С. 269-294

4. Чшнев А.Г. Условия не замыкаемости и условия замкнутости инфи-нитезиыальных операторов одного класса полугрупп операторов / А.Г. Чшнев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейпа. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ.- 2011.- С. 357-358

5. Чшнев А.Г. Об условиях замкнутости п условиях замыкаемости ин-фииитезимальных операторов некоторых классов полугрупп операторов / А. Г. Чшнев // Известия вузов. Математика.- 2011.- №8.- С. 77-85.

6. Чшиев А.Г. Теорема Герхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп / А. Г. Чшнев — Воронежский государственный университет, 2011,- Препринт № 39, 34 С.

Работа [5] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.

I

Подписано в печать 07.10.11. Формат 60 <84 1№. Усл. печ. л. 0.93.

Тираж 100 экз. Заказ 1229.

Отпечатано с готового оригинал-маке га в тнпофафии Издательско-полиграфического Петра Воронежское государственного университета.

394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

/ .

Список обозначений

Введение

1 Некоторые сведения из теории векторных функций, теории линейных отношений и теории полугрупп операторов

§1.1 Основные понятия и используемые результаты из теории векторных функций.

§1.2 Основные понятия из теории линейных отношений.'

§1.3 Основные понятия и используемые результаты из теории полугрупп операторов.

2 Свойство замыкаемости и свойство замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов

§2.1 Условия замыкаемости и условия замкнутости генераторов вырожденной полугруппы операторов.

§2.2 Примеры

3 Теорема Герхарта - Прюсса для вырожденной полугруппы операторов

§3.1 Экспоненциальная дихотомия для вырожденной полугруппы операторов

§3.2 Теорема Герхарта - Прюсса.

§3.3 Пример.

4 Свойства полугруппы операторов Сильченко класса А{^р)

§4.1 Определение и свойства полугруппы операторов Сильченко класса А(ф).

§4.2 Примеры

Список обозначений

N - множество натуральных чисел; Ъ - множество целых чисел; К - множество вещественных чисел;

М+ = (0, оо) - множество положительных вещественных чисел; С - множество комплексных чисел;

X - комплексное банахово (или гильбертово) пространство; ЕпйХ - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X;

КегВ - ядро оператора В\ тВ - образ оператора В;

Б(В) - область определения оператора В;

В - замыкание оператора В\ ж|| - норма вектора х\ р(В) - резольвентное множество оператора В; Д(А, В) - резольвента оператора В; сг(В) = С \ р(В) - спектр оператора В; г (В) - спектральный радиус оператора В; I - тождественный оператор; Т - полугруппа операторов;

IV(Т) - тип полугруппы операторов Г;

Де А - действительная часть комплексного числа Л;

Сш = {Л Є С : Пе\ > го};

Т = {АєС:|А| = 1}~ единичная окружность; г - мнимая единица; 0 — пустое множество.

Пусть X — комплексное банахово пространство и ЕпсІХ — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X. В диссертации под полугруппой операторов понимается сильно непрерывная оператор-нозначная функция

Т : М+ = (0, оо) ЕпАХ, для которой

Т(£ + в) = Т(і)Т(в) при всех і, в > 0.

При исследовании столь общих полугрупп операторов традиционными являются следующие требования:

1) ядро полугруппы операторов нулевое, т. е.

КегТ ={іЄІ: Т(Ь)х = 0 для всех £ > 0} = {0};

2) образ полугруппы операторов ІтТ = У ІтТ (і) плотен в X. г>о

Однако, в приложениях к дифференциальным уравнениям с необратимым оператором при производной возникают так называемые вырожденные полугруппы операторов, т. е. полугруппы операторов, для которых КегТ ф {0}, и как правило, ІтТ ^ X. Именно исследованию вырожденных полугрупп операторов посвящена данная диссертация.

Первые существенные результаты по теории полугрупп операторов сильно непрерывных на (0, оо) были получены и систематически изложены в классической монографии [51]. Проведённые там исследования относились к нескольким классам полугрупп операторов [51, пункт 10.6], которые классифицировались согласно способу сходимости операторов полугруппы к тождественному оператору I (при t —» 0+) и выполнению одного из условий: 1

Т(т)х\\с1т < оо для любого х €Е X, (7)0 о 1

T(r)||dT<oo. (J)i о

Следующие условия обеспечивали некоторую форму сходимости операторов полугруппы к тождественному оператору I : lim C(j])x = х для любого х Е X, [CA т)->0+ lim XR(X)x = х для любого х £ X, (А)

Л—>оо где

С : (0, оо) -> EndX: п

C{rj)x = - [ T{r)xdr, х Е X]

V J о

R : Cw -> EndX, w > w(T), oo

R(X)x = - J e-XrT(r)xdr, X ex, (1) где

Cw = {Л e С : ReX > w}.

Число w(T) называется типом полугруппы операторов Т и имеет вид

W(T)=Ит даш < i—> ОО t

Полугруппа операторов Г, для которой выполняется одна из следующих пар условий: (J)o, (Ci); (/)i, (Ci); (/)о, (^4); (/)i, (А) соответственно относятся к полугруппам операторов класса (О, С{), (1, Cq), (О, А), (1, А). Полугруппы операторов классов (О, С\) и (1, С\) образуют класс (Ci) ((Ci) — полугруппы), а полугруппы операторов класса (О, Л) и (1, А) относятся к классу (А). При этом, для полугруппы операторов класса (А) интеграл в формуле (1) сам по себе лишён смысла, поэтому условию (А) придаётся следующий смысл [51]:

А)' Найдётся такое w\ > w(T), что для любого Л, удовлетворяющего условию ReX > w\ существует оператор R{Л) € EndX, обладающий свойствами:

ОО a) R(X)x = - f e-XTT(r)xdr для х € /тТ; b) sup р(А°)||<оо;

Re\>uii c) — lim XR(X)x = х для любого х 6 X.

Л—>оо

При этом, предполагается, что ImT = X.

Наконец, наиболее общий класс образуют полугруппы операторов класса (Е) [51, определение 18.4.1]. Полугруппа операторов Т относится к классу (Е), если условие (/)о выполнено на некотором плотном в X подпространстве Xq и линейные операторы R(X),ReX > w(T), определенные на Xq формулой (1), ограничены на Хо (и следовательно, допускают [49, с. 124] единственное ограниченное расширение на все пространство

Активное исследование суммируемых в окрестности нуля полугрупп операторов проводилось в Воронежской математической школе. Отмстим статьи Баскакова А.Г. [10], [11], [12], Забрейко П.П. и Зафиевского A.B. [24], [25], [26], Сильченко Ю.Т. [43], [45] и Соболевского П.Е. [48]. Кроме того, отметим статьи Мельниковой И.В., Гладченко A.B. [37], Свиридюка Г.А. [41], Фёдорова В.Е. [50] и монографию Фавини А., Яги А. [72].

В указанных статьях, при исследовании в них полугрупп операторов, существенную роль играл инфинитезимальный оператор полугруппы операторов Т :

А0 : D(Aq) СІ^Х,

T(t)x — х

D(A0) = {x Є X : существует ^lim ---}, v T(t)x - x Anx - lim -, i-» 0+ t либо замыкание Aq оператора Aq. Оператор Aq, тогда, когда он существует, называется [51, с. 316] инфинитезималъным производящим оператором или инфинитезималъным генератором полугруппы операторов Т.

Согласно [51, с. 335], если

Т(0) = I и lim^T(t)x — х для каждого х Є X, (2) то полугруппа операторов относится к классу (Со). Для полугруппы операторов класса (Со) оператор Aq имеет непустое резольвентное множество р{Ао) С С, а резольвента R(Л, Ао) инфинитезимального оператора Ао удовлетворяет известному условию Хилле - Филиппса - Иосиды - Феллера -Миядеры [51], [70]. Однако, если полугруппа операторов не принадлежит классу (Со), то область определения D(Aq) инфинитезимального оператора А0 не плотна в X, и как правило, спектр сг(Ао) оператора Aq заполняет всю комплексную плоскость С. Кроме того, инфинитезимальный оператор Ло может быть не замкнутым и даже не замыкаемым в классе операторов. Тогда замыкание Ло оператора Ло является линейным отношением, т.е. многозначным линейным оператором. Функция заданная формулой (1), не обязательно является резольвентой оператора Ло, и более того, она может не быть резольвентой никакого линейного оператора. В результате возникают сложности в использовании инфинитезимального оператора для исследования полугруппы операторов. В статье [12] для исследования полугрупп операторов в качестве их генераторов используются линейные отношения. В частности, вводится определение и приводятся примеры генераторов полугруппы операторов, изучаются их общие свойства. При этом, осуществляется пересмотр большинства результатов из [51], касающихся упомянутых выше классов полугрупп операторов (кроме полугрупп операторов класса (Со)). Таким образом, актуальность темы исследования диссертации также обусловлена важностью развития подхода, основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов.

Согласно [12], введём ряд определений. Через ЬЯ(Х) обозначим множество линейных отношений на пространстве X. Введем в рассмотрение следующее подпространство

Хс{Т) = {хеХ: Нт Т(г)х = х}.

Строгим инфипитезималъным оператором полугруппы операторов Т называется линейный оператор

А0: Г>(А0) СХ-+Х, 10

Я(А0) = {х Е £>(Д0: А,® Е ХС(Г)}, Аож = Аох.

Таким образом, имеет место включение Ао С Ао. Старшим генератором, полугруппы операторов Т называется отношение А £ ЬВ,(Х), состоящее из пар (х: у) Е X х X со свойствами:

1) хЕ ТшТ;

2) верны равенства:

Т{Ь)х - Т(з)ж = £ Т{т)ус1т, 0 < в <t < оо.

Генератором полугруппы операторов Т называется отношение Л из ЬЯ(Х), удовлетворяющее условиям:

1) А0 С Л С А;

2) Л перестановочно 1 с операторами Т(£),£ > 0.

Генератор Л полугруппы операторов Т называется базовым, если резольвентное множество р(Л) генератора Л содержит полуплоскость {А Е С : Не А > ги} для некоторого ш Е М. Множество генераторов полугруппы операторов Т обозначено через (2еп(Т).

Важность базового генератора обусловлена возможностью использования его резольвенты при исследовании полугруппы операторов. Отметим также, что при таком определении генератора полугруппы операторов отсутствуют какие - либо априорные предположения относительно характера поведения полугруппы операторов в окрестности нуля.

1 Отношение Л 6 ЬН(Х) перестановочно с оператором В е ЕпйХ, если (Вх, Ву) б Л для всех (ж, у) е Л.

В работе используется генератор Ас Е ЬЛ(Х) полугруппы операторов Т, который определяется равенством Ас = АП (ХС(Т) х X), т. е. генератор Ас есть сужение старшего генератора А на подпространство ХС{Т) х X. Рассмотрим задачу Коши гс(0) =х0еХ (3) для однородного дифференциального уравнения

Рх{€) = > 0, (4) с парой линейных замкнутых операторов, действующих в банаховом пространстве X, при условии, что КегЕ ф {0}. Исследование задачи Коши (3), (4) может вестись с помощью вырожденных полугрупп операторов. При этом, одним из генераторов полугруппы операторов может являться отношение

А = = {{хъх2) е £>(<3) х : вх 1 = Гх2] С X х X, так как задача (3), (4) эквивалентна задаче (3) для дифференциального включения £ > 0.

Ряд важных задач приводит к необходимости рассмотрения уравнений с неплотно заданными операторными коэффициентами, порождающими полугруппы операторов с особенностями в нуле. Часть диссертации содержит некоторый анализ полугрупп операторов с неплотным образом и сильно суммируемой особенностью в нуле. При этом применяется подход, основанный на использовании линейных отношений.

Перейдём к более подробному и аккуратному изложению содержания диссертации, состоящей из четырёх глав.

В Главе 1 приведена сводка широко используемых в диссертации понятий и результатов из теории векторных функций, теории линейных отношений и теории полугрупп операторов.

Введём в рассмотрение следующие подпространства из X :

Хг(T) = {iel: f \\T(t)x\\dt < оо},

J о

Xi{T) = {х е Хх(Т): lim - Г T{t)xdt = х}.

->0+ Г] Jо

В Главе 2 получены условия не замыкаемости (в классе операторов) и условия замкнутости некоторых генераторов полугруппы операторов Т.

Теорема 2.1. Пусть инфинитезимальный оператор Aq не замыкаем в классе операторов. Тогда 1тА0 П KerT ^ {0}.

Теорема 2.2. Пусть 1тА0 С Хг{Т) и ImA0 П КегТ ф {0}. Тогда инфинитезимальный оператор Ао не замыкаем в классе операторов.

Следствие 2.1. Пусть ImAo П КегТ = {0}. Тогда оператор А0 замыкаем.

Следствие 2.2. Следующие утверждения эквивалентны:

1) строгий инфинитезимальный оператор А0 не замыкаем в классе операторов;

2) ТтА^ П КегТ ф {0}.

Из теорем 2.1 и 2.2 следует, что для генератора А\ 6 GeniT) вида

Ах : D{A{) С. X X,

D(Ai) = {хе D(A0) : А0х е Хг(Т)},

А\х = А$х условие 1тА\ П КегТ ф {0} является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А\ был не замыкаем в классе операторов. Данный критерий справедлив для любого генератора А є Сеп(Т), удовлетворяющего условию А С А\.

В виду равенства множеств [12]

Щ = ЩЩ = 7тТ = ХС{Т) = Хі(Т), п Є М, получаем

Следствие 2.3. Пусть У есть одно из следующих подпространств

Шг: Щ, ЩЩ, ~Щт), Щт) из X, и пусть для оператора А выполняются условия: А Є Сеп(Т) и А С Ао. Если оператор А не замыкаем, то У П КегТ ф {0}.

Следствие 2.4. Пусть инфинитезимальный оператор не замыкаем. Тогда сг(А) = С.

Последнее утверждение будет справедливо, если оператор Ао заменить на любой генератор А Є С?еп(Т), удовлетворяющий условию 1тА С 1тА0. В частности, утверждение верно для генераторов Ао и А\.

Теорема 2.3. Пусть 1тА0 С Х\(Т), и пусть инфинитезимальный оператор замкнут. Тогда 1т Ао С Хі(Т).

Следствие 2.5. Пусть /тАо С Х\(Т), и пусть строгий инфинитезимальный оператор Ао замкнут. Тогда /тАо С Х\(Т).

Теорема 2.4. Пусть /тАо С Х\(Т). Тогда инфинитезимальный оператор Ао замкнут.

Следствие 2.6. Пусть ImAo с Х\(Т). Тогда строгий инфинитези-мальный оператор Aq замкнут.

Следует отметить, что при при следующем дополнительном условии:

7mT = Xi(r) в работе Забрейко П.П. и Зафиевского А. В. [24] имеются следующий критерий замыкаемости:

КегТ = {0}, и следующий критерий замкнутости:

Хг{Т) = X инфинитезимального оператора Aq. В статье A.B. Зафиевского [25] имеется следующее достаточное условие:

КегТ П ImT - {0} замыкаемости инфинитезимального оператора Aq. Также отметим, что для полугруппы операторов Т имеет место включение

ImAo С ImT.

Следствие 2.7. Пусть ХС(Т) = ХС(Т), и пусть для А е Gen(T) выполняется условие AQ Aq. Тогда оператор А замкнут.

Теорема 2.5. Пусть Х^Т) ф X. Тогда а(А0) = С. Следовательно, если Х\(Т) ф X, то сг(А) = С, для любого генератора А Е Gen(T), удовлетворяющего условию А С А0.

В главе 2 приведены два примера полугрупп операторов, соответствующих теоремам 2.2 и 2.4.

В диссертации через X), 1 < р < оо, обозначено пространство измеримых по Бохнеру и суммируемых со степенью р функций х : № —> X, для которых

Через l2{Z,X) обозначено пространство двусторонних последовательностей х : Z —> X, для которых

Через Ь1([0,1], X) обозначено пространство измеримых по Бохнеру и суммируемых функций х : [0,1] —> X, для которых

Через С([0,1], X) обозначено пространство непрерывных функций, определенных на [0,1] со значениями в пространстве X.

Через Сь(К, X) обозначено пространство ограниченных непрерывных функций, определенных на К. со значениями в пространстве X.

В 1978 году J1. Герхартом [73] и в 1984 году Я. Прюссом [88] была получена

Теорема 3.1. (Герхарт - Прюсс) Пусть X — гильбертово пространство и пусть Aq — инфинитезимальный оператор полугруппы операторов Т класса (Со)- Тогда условие

Оі Є С : М = 1} С р{Т{ 1))

3.1) равносильно одновременному выполнению следующих условий: же p(Aq) и sup \\R{iq, А0)|| = М < оо.

3.2) дєіа

Отметим, что для общего банахова пространства условие (3.2) необходимо, но не достаточно для выполнения условия (3.1).

JI. Герхарт доказал теорему для сжимающихся 2 полугрупп операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Прюсс распространил результат Герхарта на полугруппы операторов класса (Со). При этом Прюсс существенно упростил и улучшил само доказательство. За основу доказательства Прюсс взял тесную связь между спектром cr(T(t)) операторов полугруппы и периодическими решениями неоднородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве x(t)=Aox(t) + f(t),te[0,l], (5) с краевыми условиями х(0) = ж(1). (6)

А именно, имеет место

Теорема. [88] Пусть X — банахово пространство и пусть Aq — ин-финитезимальный оператор полугруппы операторов Т класса (Со). Условие 1 Е р(Т( 1)) имеет место тогда и только тогда, когда для функции f Е С([0,1],Х) уравнение (5) имеет единственное слабое периодическое решение, удовлетворяющее краевым условиям (6).

Для / Е 1/1([0,1],Х) функция х Е С([0,1],-Х") называется [88] слабым решением (mild solution) уравнения (5) с начальным условием ж(0) = ЖО) если для каждого t G [0,1] выполняется равенство x{t) = T(t)x0 + [ T(t- s)f(s)ds. Jo

2Полугруш1а операторов T класса (Со) называется сжимающейся, если ||T(i)|| < 1 для любого t > 0.

Функция х для каждого t 6 [0,1] удовлетворяет дифференциальному уравнению (5) с начальным условием ж(0) = Хо в том и только в том случае, когда является непрерывно - дифференцируемой, и в этом случае функция х называется [88] точным решением (strict solution).

Условие равномерной ограниченности резольвенты инфинитезималь-ного оператора было предложено Герхартом для случая сжимающейся полугруппы операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Прюсс распространил данный результат на полугруппы операторов класса (Со) в гильбертовом пространстве. Поэтому логично называть теоремы об описании спектра a(T(t)) операторов полугруппы, в которых используется условие равномерной ограниченности резольвенты инфинитезимального оператора теоремами Герхарта - Прюсса.

Полугруппа операторов Т класса (Со) называется гиперболической или допускающей экспоненциальную дихотомию, если выполняется условие т(Т(1)) П Т = 0, где Т = {АеС:|А| = 1}. Теорема 3.1 содержит необходимые и достаточные условия на резольвенту инфинитезимального оператора для того, чтобы полугруппа операторов Т класса (Со) была гиперболической [13], [70], [88]. Каждое из условий теоремы 3.1 равносильно [88] существованию и единственности слабого решения х 6 Сь(М, X) задачи сс(0) = xq для дифференциального уравнения x{t) = A0x{t) + f(t)Je СЬ(М,Х).

В статье [13] теорема 3.1 доказана путем установления равносильности каждого из условий (3.1) и (3.2) обратимости дифференциального оператора

Ь0 : £>(Ь0) С Ь2{Ж,Х) Ь2(М,Х), который определяется следующим образом. Функция х 6 Ь2(Ш, X) принадлежит области определения оператора Ь0, если существует функция / 6 Ь2(Ж,Х), удовлетворяющая для почти всех в < Ь из К. равенству х(г) = т(г - 8)х{в) -1 т(* - т)/(т)^т.

Полагается Ь$х = /. В свою очередь, обратимость оператора эквивалентна обратимости разностного оператора

В0:12{%,Х) ->12(Х,Х),

О0х)(п) = х(п) - Т(1)х(п - 1),п €

В Главе 3 проводится обобщение теоремы 3.1 на более широкий класс полугрупп операторов действующих в гильбертовом пространстве. В рассматриваемом случае полугруппа операторов Т может быть вырожденной и удовлетворяет условию

Г||Т(*)1!2^<оо. (7) о

В условии (3.2) инфинитезимальный оператор Ао заменяется на генератор Ас полугруппы операторов Т, так как генератор Ас является в этом случае базовым, а спектр сг(А0) инфинитезимального оператора Ао может заполнять всю комплексную плоскость, в связи с чем его использование невозможно. Соответствующий результат содержит

Теорема 3.2. Пусть X — гильбертово пространство и пусть полугруппа операторов Т удовлетворяет условию f1 \\T(t)\\2dt < оо. J о

Тогда условие: а{Т{ 1))ПТ = 0 (3.3) эквивалентно одновременному выполнению условий а(Ас) П Ш = 0 и sup||#(a,Ac)|| = Мх < оо, (3.4) aer где а(Т( 1)) — спектр оператора Т(1), Т = {Л G С : |Л| = 1} и <т(Ас) — спектр генератора Ас € Gen(T).

Доказательство теоремы 3.2 основано на установлении эквивалентности каждого из условий (3.3) и (3.4) непрерывной обратимости дифференциального отношения Со из декартового произведения L2(M., X) х L2(IR. X), которое строится следующим образом. Функция х е L2(IR, X) принадлежит области определения D(Cq) отношения Со, если существует функция / £ L2(R, X), удовлетворяющая для почти всех t > s из Ж. равенству x(t) = T(t - s)x(s) -I T(t - T)f(r)dr. (3.5)

J s

При этом, считается (ж, /) Е Со- Так как условие (0, /) Е Со верно для функции / 6 L2(R, X) со значениями в КегТ, то в случае когда полугруппа операторов Т является вырожденной, имеем линейное отношение Со- Заметим, что задача о непрерывной обратимости отношения Со равносильна задаче о разрешимости и единственности решения следующего дифференциального включения: x(t) е A cx(t) + f(t), t> s, x(s) =x0 E В (Ac), для генератора Ас £ Gen(T) и функции / е L2(M, X), удовлетворяющей условию (х, —/) 6 £о- В свою очередь, непрерывная обратимость дифференциального отношения Со эквивалентна обратимости разностного оператора

DQ:l2(Z,X) ->12{Z,X),

D0x)(n) = х{п) - Т(1)х(п - 1 ),n G Z.

В главе 3 приведён пример полугруппы операторов, соответствующей теореме 3.2.

10. Т. Сильченко в своей диссертации [44] привёл примеры, которые привели к необходимости введения нового класса полугрупп операторов. Изучил их свойства, построил дробные степени соответствующих производящих операторов, доказал леммы, в которых устанавливаются свойства дробных степеней, доказал теорему о возмущении полугруппы операторов. В Главе 4 дано определение полугруппы операторов Сильченко класса А((р). С применением подхода, основанного на использовании линейных отношений в качестве генераторов полугруппы операторов, установлен ряд свойств данного класса полугрупп операторов. В частности, показано существование базового генератора и приведена формула резольвенты базового генератора полугруппы операторов Сильченко класса А(ф). Дадим точное определение. Пусть Т> - некоторое линейное подпространство из X, не плотное в нём. Полугруппой операторов Сильченко класса А{ф) называется операторнозначная функция Т: (0, оо) —> EndX со следующими свойствами:

1) T{t + s) = T{t)T{s) для всех t,s> 0;

2) ImT(t) С V для всех t > 0;

3) ^Ііт Т(ї)х = х для каждого х Є Т>\

4) ||Т(£)|| < ір{ї) для каждого і > 0, где — некоторая суммируемая на [0,1] функция.

Так как для полугруппы операторов Сильченко класса А{ф) выполнено условие Х\(Т) = X, то теоремы 2.1 и 2.2, а также теоремы 2.3 и 2.4 объединяются в критерий не замыкаемости и критерий замкнутости ипфи-нитезимального оператора Ад соответственно. Кроме того, следствие 2.2 сохраняется, а следствия 2.5 и 2.6 объединяются в критерий замкнутости строгого инфинитезимального оператора Ац. Также для полугруппы операторов Сильченко класса А(<р) верны следующие теоремы.

Теорема 4.2. Пусть Т> — замкнутое подпространство в X. Тогда инфинитезимальный оператор Ао замкнут.

Теорема 4.4. Спектр <т(Д)) инфинитезимального оператора Ао полугруппы операторов Т заполняет всю комплексную плоскость.

Теорема 4.5. Полугруппа операторов Т обладает базовым генератором, причём функция является резольвентой некоторого базового генератора Л Є Єеп(Т). Кроме того, генератор Ас Є Сеп(Т) является базовым, СС р{Ас) и резольвента Я(Х, Ас) генератора Ас имеет представление

Я: Сш Еп(1Х,ш>У)(Т)

Теорема 4.6. Пусть ограниченная функция ср : [0,1] —[0, оо) такова, что ||Т(£)|| < (р(Ь) для 0 < t < 1. Тогда: 1) Ас = А; 2) генератор Ас замкнут; 3) старший генератор А является базовым.

В главе 4 приведены два примера полугрупп операторов данного класса. В примере 3 описаны генераторы Ао, Ао, Ас, А.

Результаты диссертации опубликованы в [54], [56], [57] и докладывались на Воронежских зимних математических школах 2010 [52] и 2011 [55], на 21 - й Крымской осенней математической школе - симпозиуме (КРОМШ) 2010 г. [53] и семинарах А. Г. Баскакова. Работа [56] опубликована в издании, входящем в список ВАК РФ.

Ниже перечислены основные результаты диссертации:

1. Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфинитезимальный оператор Ао (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был не замыкаем в классе операторов.

2. Получены необходимые условия и достаточные условия для того, чтобы инфинитезимальный оператор Ао (и также ряд других генераторов) полугруппы операторов Т был замкнутым оператором.

3. Доказан аналог теоремы Герхарта - Прюсса для вырожденных полугрупп операторов в гильбертовом пространстве.

4. Установлен ряд свойств полугруппы операторов Сильченко класса А(<р). В частности, показано существование базового генератора и приведена формула резольвенты базового генератора полугруппы операторов Сильченко класса А{ф).

1. Баскаков А.Г. Гармонический анализ линейных операторов / А.Г. Баксаков,- Воронеж. ВГУ, 1987.-165 с.

2. Баскаков А.Г. Лекции по алгебре./ А.Г. Баскаков //- Воронеж: Воронежский государственный университет, 2004. 306 с.

3. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки.- 1996.- Т.59.- №6,- С. 811-820.

4. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А. Г. Баскаков // Дифференциальные уравнения.- 1997.- Т.ЗЗ.- №10,- С. 1299-1306.

5. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб.- 1999.- Т. 190,- №3.- С. 3-28.

6. Баскаков А.Г. Об обратимости и фредгольмовости разностных операторов / А.Г. Баскаков // Мат. заметки,- 2000,- Т.67.- №6.- С. 816-827.

7. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов /А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления.-Москва.- 2004.- Т.9.- С. 3-151.

8. Баскаков А.Г. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные свойства / А.Г. Баскаков, И.А. Криштал //Изв. РАН. Серия матем.- 2005.- Т. 69.- №3.- С. 3-54.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Серия матем.- 2009,- Т.73,- №2,- С. 3-68.

10. Баскаков А.Г., Чернышов К. И. Линейные отношения, дифференциальные включения и вырожденные полугруппы / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Функц. анализ и его прил.- 2002.- Т.36,- №4,- С. 65-70.

11. Баскаков А.Г., Чернышов К. И. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы / А. Г. Баскаков, К. И. Чернышов // Матем. сборник- 2002,- Т.193,- №11,- С. 3-42.

12. Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугрупп операторов / А. Г. Баскаков // Матем. заметки- 2008.- Т.84,- №2,- С. 175-192.

13. Баскаков А.Г., Синтяев Ю. Н. Разностные операторы в исследовании дифференциальных операторов; оценки решений / А. Г. Баскаков, Ю. Н. Синтяев // Дифференциальные уравнения- 2010.- Т.46.- №2.- С. 210219.

14. Баскаков А.Г., Воробьёв А. А., Романова М. Ю. Гиперболические полугруппы операторов и уравнение Ляпунова / А. Г. Баскаков, А. А. Воробьёв, M. Ю. Романова // Матемаические заметки- 2011.- Т.89.- №2.-С. 190-203.

15. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А. Г. Баскаков // Фупкц. анализ и его прил,- 1996.- Т.ЗО.- №3.- С. 1-11.

16. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн,- 2001.- Т.42,- №6.- С. 1231-1243.

17. Бурбаки Н. Спектральная теория / Н. Бурбаки М.: Мир, 1972 - С. 183.

18. Васильев В. В. Полугруппы операторов, косинус оператор — функции и линейные дифференциальные уравнения / В. В. Васильев, С.Г. Крейн, С.И. Пискарев // Итоги науки и техн. Сер. Мат. Анал. М.: ВИНИТИ,- 1990.- Т.28.- С. 87-202.

19. Далецкий Ю. JI., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю. JI. Далецкий, М. Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.

20. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц,- М.: ИЛ, 1962,- Т.1.- 895 с.

21. Демиденко Г.В., Успенский C.B. Уравнения и системы не разрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, C.B. Успенский -Новосибирск: Научная книга, 1978.

22. Егоров H.Е., Пятков С.Г., Попов C.B. Неклассические дифференциально — операторные уравнения / Н.Е. Егоров, С.Г. Пятков, C.B. Попов -Новосибирск: Наука, 2000.

23. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Серия матем,- 1976.- Т. 40.-№6.- С. 1380-1408.

24. Забрейко П.П., Зафиевский A.B. О некоторых классах полугрупп / П. П. Забрейко, A.B. Зафиевский // Докл. АН СССР.- 1969,- Т. 189,- С. 934-937.

25. Зафиевский A.B. О полугруппах с сингулярностями в нуле, суммируемыми со степенным весом /A.B. Зафиевский // Докл. АН СССР.- 1970.-Т.195.- С. 24-27.

26. Зафиевский A.B. Новые классы полугрупп /A.B. Зафиевский // Вестник Яросл. ун-та.- 1974,- Т.8.- С. 53-77.

27. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.- М.: Мир, 1967.- 624 с.

28. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.- М.: Мир, 1972,- 740 С.

29. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин,- М.: Наука, 1976.543 с.

30. Костин В. А. Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных косинус функциях / В. А. Костин // Докл. АН СССР.- 1989.- Т.307.-№4,- С. 796-799.

31. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн,- М.: Мир, 1967.- 464 с.

32. Крейн С.Г. Функциональный анализ / С.Г. Крейн.- М.: Наука, 1972.

33. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев М.: Наука, 1989.- 735.

34. Люстерник Л.А. Элементы функционального анализа / Л.А. Люстер-ник, В.И. Соболев,- М.: Наука, 1965,- 520 с.

35. Масссра Х.Л. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Массера, Х.Х. Шеффер М.: Мир, 1970.456 с.

36. Мельникова И. В., Ануфриева У.А. Особенности и регуляризация задач Копій с дифференциальными операторами / И. В. Мельникова, У. А. Ануфриева // Современная математика. Фундаментальные наприавления.- 2006.- Т. 14.- М,- С. 3-155.

37. Мельникова И. В., Гладченко A.B. Корректность задачи Коши для включений в банаховых пространствах / И. В. Мельникова, А. В. Гладченко // Докл. РАН,- 1998,- Т.361,- №6.- С. 736-739.

38. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк,- М.: Наука, 1969,- 527 с.

39. Рицнер В. С. Теория линейных отношений / В. С. Рицнер // Деп. в. ВИНИТИ.- 1982,- №846-82.

40. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин.- М.:Мир,

41. Свиридюк Г. А. К общей теории полугрупп / Г. А. Свиридюк // Успехи матем. наук.- 1994,- Т.49.- №4,- С. 47-74.

42. Свиридюк Г. А., Фёдоров В.А. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева / Г. А. Свиридюк, В.А. Фёдоров // Сиб. матем. журнал.- 1995,- Т.36.- №5,- С. 1130-1145.

43. Сильченко Ю. Т. Полугруппы с неплотно заданным производящим оператором / Ю. Т. Сильченко // Известия высших учебных заведений. Математика.- 2005,- №7,- С. 57-62.

44. Сильченко Ю. Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданным операторными коэффициентами и связанные с ними краевые задачи:дис. док. физ.- мат. наук / Ю. Т. Сильченко.- Воронеж, 1999.-187с.

45. Сильченко Ю. Т. Об одном классе полугрупп / Ю. Т. Сильченко // Функциональный анализ и его приложения.- 1999 Т.ЗЗ.- №4.- С. 90-93.

46. Сильченко Ю. Т. Об одном исследовании связанной системы дифференциальных уравнений / Ю. Т. Сильченко // Дифференцильиые уравнения.- 2005,- Т.41.- №6.- С. 844-850.

47. Сильченко Ю. Т., Соболевский П.Е. . / Ю. Т. Сильченко, П.Е. Соболевский // Сиб. Матем. журнал.- 1986.- Т.27.- №4.- С. 94-104.

48. Соболевский П. Е. О полугруппах роста а / А. Е. Соболевский // ДАН СССР,- 1971.- Т. 196.- №3,- С. 535-537.

49. Треногии В. А. Функциональный анализ / В. А. Треногин.- М.: Физ-матлит, 2002.- 488 с.

50. Фёдоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В. Е. Фёдоров // Алгебра и анализ.- 2000.- Т. 12,- №3,- С. 173-200.

51. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлипс,- М.: ИЛ, 1962.

52. Чшиев А.Г. О генераторах полугруппы операторов Сильченко / А.Г Чшиев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ.- 2010.- С. 157-158

53. Чшиев А.Г. Теорема Герхарда Прюсса для некоторого класса вырожденный полугрупп операторов / А.Г. Чшиев // Международная конференция КРОМШ — 2010. Сборник тезисов - Симферополь - 2010 - С. 53

54. Чшиев А.Г. О свойствах некоторых полугрупп Сильченко класса А(ф) / А.Г. Чшиев // Вестник ПММ.- Воронеж:ВГУ.- 2010 г.- С. 269-294

55. Чшиев А.Г. Условия не замыкаемости и условия замкнутости ин-финитезимальных операторов одного класса полугрупп операторов / А.Г. Чшиев // Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна. Тезисы докладов.- Воронеж:ВГУ.- 2011- С. 357-358

56. Чшиев А.Г. Об условиях замкнутости и условиях замыкаемости ипфи-нитезимальных операторов некоторых классов полугрупп операторов / А. Г. Чшиев // Известия вузов. Математика.- 2011.- №8.- С. 77-85.

57. Чшиев А.Г. Теорема Герхарда Прюсса для вырожденных полугрупп / А. Г. Чшиев — Воронежский государственный университет, 2011.- Препринт № 39, 34 С.

58. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ / Б.В. Шабат М.: Наука, 1969.- 576 с.

59. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде.- М.:Мир, 1969,- 1070 с.

60. Arendt W. Vector — valued Laplace transforms and Cauchy problems / W. Arendt, C. Batty, M. Heeber, F. Newbrander — Monographs in Mathemaics.- Basel : Birkhauser Verlag, 2001,- 523 P.

61. Arendt W. Appoximation of degenerate semigroups / W. Arendt//Taiwanese J. Math.- V. 5.- №2.- 2001,- P. 279 — 295.

62. Arens R. Operational calcules of linear relations / R. Arens // Pacific J. Math.- 1961. VII,- P.9-23

63. Baskakov A., Obuhovskii V., Zecca P. On solutions of differential inclusions in homogeneous spaces of functions / A. Baskakov, V. Obuhovskii, P. Zecca //J. Math. Anal. Appl.- 2006. V.324.- P. 1310-1323.

64. Baskakov A. Spectral analysis of operators with the two-point Bohr spectrum / A. Baskakov, I. Krishtal //J. Math. Anal. Appl.- 2005,- V38.-P.420-439.

65. Carrol R.W. Singular and Degenerate Cauchy Problems / R.W. Carrol, R.E. Showalter New York : Academic Press,1976,- 333P.

66. Chicone C. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl. Math.- 1995. V168.- P.95-106

67. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc.- 1999.- 361 p.

68. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross New York: M. Dekker.-1998.

69. Da Prato G., Sinestrari E. Differential operators with nondense domain / G. Da Prato, E. Sinestrari // Annali délia Scvova normale Superiore- 1987.-V.14 P.283-344.

70. Engel K.J., Nagel R. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel -New York: Springer Verlag.- 2000.

71. Engel K.J. One Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations / K.J. Engel, R. Nagel // Semigroup Forum.- 2001.- V.63.- №2,- P.278-280.

72. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi New York: M. Dekker.- 1998.

73. Gearhart L. Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert spaces / L. Gearhart // Trans. Amer. Math. Soc.- 1978.- V.236.- P.385-394.

74. Gohberg I. Classes of linear operators / I. Gohberg, S. Goldberg, M. Kaashoek // Birhauser, vol. I, Oper. Theory Adv. Appl., 49, Basel, Boston, Berlin, 1990.

75. Goldberg S. Unbounded linear operators. Theory and applications / S. Goldberg //McGraw-Hill, New York-Toronto, 1966.

76. Goldstein J.A. Semigroups of Operators and Applications / J.A. Goldstein // Oxford University Press.- 1985.

77. Kamenskii M., Obuhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces / M. Kamenskii, V. Obuhovskii, P. Zecca // de Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl.- 2001. V.7

78. Latushkin Yu. Evolution semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, S. Montogomery-Smith //J. Funkt. Anal.- 1995-V.127.- №1,- P. 173-197.

79. Latushkin Yu. Exponential Dichotomy and Mild Solutions of Nonautonomous Equations in Banach Spaces / Y. Latushkin, T. Randolph, R. Schnaubelt // Journal of Dynamics and Differential Equations.- 1998.-V.10.- №3,- P.489-510.

80. Latushkin Yu. Fredholm properties of evolution semigroups / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov // Illinois J. Math.- 2004,- v.48.- №3.-P.999-1020.

81. Latushkin Yu. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Yu. Latushkin, Yu. Tomilov //J. Differential Equations.-2005,- V.208.- №2.- P.388-429.

82. Latushkin Yu., Montgomery — Smith S. Evolutionary semigroups and Lyapunov theorems in Banach Spaces / Yu. Latushkin, S. Montgomery — Smith // J. Funct. Anal.- 1995.- V.127.- №1.- P.173-197.

83. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A. L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dyn. Syst.-2003.- V.9.- №2,- P.383-397.

84. Mel'nikova I.V. Wellposedness of the Cauchy problem in a Banach space: regular and degenerate case / I.V. Mel'nikova, M.A. Al'shansky //J. Math. Sei.- 1997.- V.87 №1.- P.3732-3780.

85. Naito T., Nguen Van Minh. Evolution semigroups and spectal criteria for almost periodic evolution equations / T. Naito, Nguen Van Minh // J. Differential Equations.- 1999.- V.152.- №2,- P.358-376.

86. Nagel R. Semigroup methods for nonautonomous Cauchy problems / R. Nagel //Lecture Notes in Pure and Appl. Math.- V.168.- Dekker.- New York.- 1995,- P.301-316.

87. Pazy A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Differential Equations / A. Pazy // Appl. Math. Sei., New York: Springer Verleg.- 1983-V.44

88. Pruss J. On the spectrum of Co semigroups / J. Pruss // Trans. Amer. Math. Soc.- 1984,- V.284.- P.847-857.

89. Räbiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Räbiger, R. Schnaubelt // Semigroup Forum.- 1996.- V.52.- №1,- P.225-239.

90. Räbiger F. A spectral characterization of exponentially dichotomic and hyperbolic evolution families / F. Räbiger, R. Schnaubelt // Tübinger Berichte zur Funktionalanalysis.- 1994.- V.3.- №1.- R222-234.

91. Rau R.T. Hyperbolic evolution semigroups on vector valued function spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum.- 1994,- V.48.- №1.- R107-118.

92. Van Minh N. Exponential stability, exponential expansiveness, and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, F. Räbiger, R. Schnaubelt // Integral Equations and Operator Theory. -1998.- V.32 №3,- P.332-353.

93. Van Minh N. Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line / N. Van Minh, N. Th. Huy //J. Math. Anal. Appl.- 2001.-V.261- m.- P.28-44.

94. Yakubov S., Yakubov Ya. Differential — Operator equations / S. Yakubov, Ya Yakubov Berlin, New York: V 103 in the Chapman/Hall/CRC.- 1999.