Линейные отношения, полугруппы линейных отношений и дифференциальные операторы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Загорский Александр Сергеевич

ЛИНЕЙНЫЕ ОТНОШЕНИЯ, ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТНОШЕНИЙ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Специальность 01.01,01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Воронеж-2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

доктор физико-математических наук, профессор Баскаков Анатолий Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор Перов Анатолий Иванович

доктор физико-математических наук, профессор Чернышов Карнелий Иссидорович

Ведущая организация: Липецкий технический

университет

Защита состоится _28 ноября 2006 г, в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл., 1, ауд 335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «_2_£_» октября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность Линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения1. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени имеется монография2, в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статье3, а в монографии* получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.

В большинстве известных монографий, в которых подробно излагается, либо существенно используется спектральная теория ли-

1 Баскаков А.Г. О генераторах полугрупп операторов Ц Докл. РАН. - 2006. - T.406, №6. -С.727-729.

* Cross R. Moltivalued linear Operators / Cross FL New York: M. Dekker, 1998.

'Баскаков А.Г. Слекгральвый анализ линейных отношений и вырожденные полугрулвы операторов / Баскаков А. Г., Черныш ов К .И. // Махем. сборник. - 2002. - Т.193, №11. . С .3-42.

4 Fa viol A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / FavinJ A., Yaggi A. - Hew York: M. Dekker. - 1998.

нейных операторов в банаховых пространствах, их авторы, как правило, предполагают, что эти пространства являются комплексными, либо указывают на возможность комплексификации вещественного банахова пространства. Тем не менее, при построении спектральной теории линейных операторов в вещественных банаховых пространствах иногда необходимо подробно отслеживать переход в комплек-сификацию пространства и обратный переход. Такие же вопросы возникают и при построении спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах. Оптимальным является построение функций операторов, проекторов Рисса, полугрупп операторов, не используя комплексификации вещественного пространства.

.Несколько неожиданным явилась возможность использования спектральной теории линейных отношений при изучении линейных дифференциальных уравнений вида

А?г

— =Лаг, i€ R+ = [0,oo), (1)

где А : D{A) С X —> X — линейный замкнутый оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве X и являющийся генератором (инфинитозимальньш производящим оператором) сильно непрерывной полугруппы операторов U : R+ —> End Х> где End X — банахова алгебра эндоморфизмов банахова пространства X.

Одним из центральных вопросов качественной теории таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также нахождение условий существования ограниченных решений. Изучение этих вопросов в терминах экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения (1) связывают с именем Перрона, В его статье5 асимптотические свойства решений однородных уравнений (в конечномерном пространстве X) соотносились

'Перрон О, Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen / Перрон О. //Math. Z. - 1930. -V.32, №3. - P.465-473.

(если использовать более современную терминологию) с определенными свойствами дифференциального оператора

рассматриваемого в банаховом пространстве непрерыв-

ных и ограниченных на функций и принимающих свои значения в X. Эта работа послужила основой для дальнейшего развития качественной теории дифференциальных уравнений (вообще говоря с переменными коэффициентами I ^ 0). Для случая ограниченных операторов А{1), 4 > 0 можно обратится к хорошо известным монографиям Массера, Шеффера® и Далецкого, Крейна7, которые характеризовали экспоненциальную дихотомию решений в терминах сюръективности оператора Ь и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющихся начальными условиями для ограниченных на К+ решений однородного дифференциального уравнения. В этих монографиях подчеркивалась крайняя важность развития соответствующей теории для дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.

Цель работы. Описать полугруппы линейных отношений с помощью полугрупп линейных ограниченных операторов. Исследовать спектральные свойства комплексификации линейного отношения, в частности получить необходимые и достаточные условия того, что проектор Рисса комплексификации линейного отношения является комплексификацией некоторого вещественного проектора (т.е проектора, действующего на вещественном банаховом пространстве) . Построить функциональное исчисление для вещественных линейных отношений, и используя его, вывести формулу для ^полугруппы вещественных операторов, генератором которой является заданный вещественный замкнутый оператор комплексификации которого является секториальным оператором; 2)проектора для ве-

вМассера ХЛ. Линейные дифференциальные уравнения в функциональные пространства / Массера Х.Л., Шеррер Х.Х. - М.: Мир - 1970.

тДалецкнй Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений л банаховой пространстве / Датгещшй ЮЛ., Крейн М.Г. - М.: Наука. - 1970.

щественного отношения, аналогичного проектору Рисса. Получить необходимые и достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши с начальным условием из подпространства Е, а также описать спектр оператора Се, порожденного этой задачей, и полугруппы отношений, генератором которой он является.

Методика исследования. Используются методы линейной алгебры, комплексного анализа, теории полугрупп линейных операторов.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и методы их обоснования могут быть использованы при решении широкого круга вопросов теории линейных операторов, а также при исследовании дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и некорректно поставленных задач Коши.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской зимней математической школе (ВЗМШ-2006), 16-ой Крымской осенней математической школе-симпозиуме (КРОМШ-2005), а также неоднократно на семинарах проф. Л.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете.

Публикации. Основные результаты диссертация опубликованы в работах [1] - [5]. Из совместной работы [1] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации - 86 страниц. Библиография содержит 55 наименований. Нумерация, приводимых в автореферате определений, предположений, теорем, лемм следствий и формул совпадает с нумерацией, принятой в диссертационной работе.

Содержание работы.

В первой главе, носящей вспомогательный характер, вводится понятие линейного отношения, определяются алгебраические опе-

рации над линейными отношениями, спектр, резольвента линейного отношения. Приводятся, используемые в диссертации теоремы о спектре линейных отношений. Вводится понятие полугруппы линейных отношений и изучаются полугруппы линейных отношений с изолированной точкой А = со расширенного спектра.

Теоерма 1.3. Полугруппа линейных отношений Т предстпавима в виде прямой суммы Т(Ь) = ф полугруппы 7о ограни-

ченных операторов и полугруппы Т«, отношений, обратных к ква-зинилпотентным операторам.

Во второй главе изучаются некоторые вопросы спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах.

Для каждого банахова пространства X используется традиционное определение его комплекснфнкации X = Сотр1(Х). Важную роль играет отображение 1: X —V X, определенное равенством

1(аг + ¿у) = х — ¿у, х, у € X, х + гу € X,

для которого выполнены свойства Л2 = Л и I-1 = 1. Оно является линейным оператором, если X рассматривается как вещественное пространство (то есть X рассматривается как X х Л"),

Определение 2.2. Подпространство Хо из комплексификации X пространства X называется симметричным, если выполнено условие 1(Хо) = Хо, или, что эквивалентно, для любого вектора х + гу из Хо подпространству Хо принадлежит вектор х — {у.

Лемма 2.2. Линейное подпространство Хо из X является ком-плексификацией некоторого подпространства Хо из X тогда и только тогда, -когда %о— симметричное подпространство из X.

Определение 2.3. Комплексификацией линейного отношения Л € ЬК(ХУ У) называется линейное отношение

А = {(ц + 1х2,ш + *У2) е X2 : (хъуО, (а^уг) € Л} 6 £Я(Х, У).

Оно будет также обозначаться через Сотр1[Л).

Отметим, что если А — линейный оператор, то и его комплекси-фикация также будет являться линейиым оператором.

Комплексификация вещественных линейных пространств рассматривается в рамках теории категорий, вводится в рассмотрение ковариантный функтор Compl : Linn —> Line из категории вещественных линейных пространств в категорию комплексных линейных пространств, причем линейные отношения выступают в качестве морфизмов.

Определение 2.4. Пусть А € LRC(X). Множество сг(А) назовем комплексным спектром отношения А, а множество а(А)— его расширенным комплексным спектром. Они обозначаются соответственно через ст(А,С) и <т(Д, С). Множества р(А, С) — С\ сг(Д С), р(А,С) = С \ а(А,С) называются комплексным резольвентным и расширенным комплексным резольвентным множествами отношения А.

Лемма 2.4. Для любого отношения A G LR(X) верны равенства:

1. D{А) = D(A) х D(A), 2. Ker А « Кет А х Кет А,

3. Im А — Im А х/т Л, 4. АО = АО х АО,

5. а{А) = ?(А) П R, 6. (г(Л) == <г(А) П R,

причел« А е £ЯС(Х), если Л е £ЯС(Х).

Лемма 2.5. Отношение А 6 Xffí(X) делается камплекси^икв-цией некоторого отношения A G LR(X) тогда и только тогда, когда оно перестановочно с отображением J, или, что эквивалентно, выполняется равенство

А — IAX

Лемма 2.8. Спектр <г(А) комплексификацци А отношения А симметричен, причем верни равенства

А - Al = J(A - AI) J, А € С, Л(Х, А) = Xfí(A, A)J, Л(А, A)J = ХЙ(А, А), А е р(А, С).

Определение 2.5. Отображение /¿с(-, А) : С х р(А, С) —у JEW X, где 72с(д,А, Л)— оператор из üfacf -AT, комплексификацией

которого является оператор из End Ж вида

i(/tR(Л, А) гШ(А, А)), Л € р(Л, С), ц £ С, if

будем называть комплексной резольвентой отношения А б

хярО.

Пусть А — открытое множество из €, содержащее <т(л, С) и обладающее свойством Л — Л. Пусть также 7 — замкнутый контур, и окружающий сг(А, С) в Д и являющийся образом непрерывно дифференцируемой функций <р : L —> С (допускается конечное число разрывов первого рода у ip')7 где L— некоторый промежуток яз М, либо совпадающий с отрезком вида [—©,©], © t Ш+, либо L — IR (тогда полагается В — со). Дополнительно предположим, что ip(i) — г), t € L. Символом -¿г (Л) обозначим алгебру голоморфных на Д комплексных функций / : Д —¥ С, обладающих свойством /(А) -- /(А), А € Д.

Рассмотрим функцию / £ ^(Д) такую, что интеграл

г

/ /(A)i2(A, A)dX абсолютно сходится, причем /(00) € М, если со е

J

7

Д: Тогда формула

8

f(A) = 5/{oo)J - ^ / (*)>¥>(*),

¿it J о

где правая часть не зависит от выбора функции \о с отмеченными выше свойствами, а 5 ~ 1 или S = 0 в зависимости от того находится А = со внутри 7 или вне его, определяет ограниченный оператор из алгебры End X который назовем функцией / от отношения А.

Теорема 2.3. Имеют место следующие равенства о"(/(А), С) = Д5?(А,С)), а(/(А}) = /(г(Д€))ПЕ.

Подход, основанный на использовании комплексной резольвенты линейного отношения А е LR(X) для построения функционального исчисления может быть использован и при построении полугрупп операторов по заданному линейному отношению на X.

Пусть А € LO(X)— секториальный оператор с углом в € (тг/2,7г). Тогда формула

со

T(t) = i у elTCOew(r sin(siii w)/ — sin(ü> + о

где uj— любое число из (тг/2, в) задает полугруппу ограниченных операторов, действующих на вещественном банаховом пространстве X, генератором которой является А.

. Теорема 2.6. Пусть расширенный комплексный спектр о {А, С) допускает представление вида сг(Л, С) = оо U oj, где сг0~ компакт из С, о\ — замкнутое множество из С uuqC\<t\ = 0. Тогда проектор Рисса Р € End X, построенный по спектральной компоненте ctq, является комплексификацией некоторого проектора из Р £ End X тогда и только тогда, когда Щ = <jq (то есть множество ctq симметрично в С относительно Ш.).

Если 0q — <го, то банахово пространство X допускает разложение вида (2.1) в прямую сумму инвариантных относительно А замкнутых подпространств Xq = /т jp, Хг — Кег Р. Для частей А)с = A\Xki к = 0,1 отношения А верны следующие свойства:

1. X — Хо Ф Xj, 1710 есть комплексификация X банахова пространства X есть прямая сумма комплексификаций Хо и Xi подпространств Хо и Х\ соответственно, причем Хо uXi— инвариантные относительно А пространства;

2. А = Ао® Ai, где Aq G End Хо~ комплексификация оператора Ао и Ai 6 LR(%1)— комплексификаций отношения Ai 6 LR{X\). Кроме того; А ~ A<¡® А\;

3. Л> € End Хо, а (Леи С) = ст(А>, С) = <г0;

4. АгО = A0t £>(Л) =Х0ф ^(Лх), а(АиС) = eF(Ai) = егь-

5. посЬростракства Хо и Xi являются силшетри-чмылш подпространствами из X.

Теорема 2,7. Пусть oq— симметричная спектральная компонента из расширенного комплексного спектра сг(Л, С) отношения А € LR{X). Тогда проектор Рисса Р € End X, построенный по

I

I r

(?0) определяется формулой P — — —- / Rc{itpl{i),ip(i),Ä)äi, где

2-rr J

<p : [Oj 1] —> С— любая непрерывно дифференцируемая функция с контуром 7 — !р([0,1]), окружаюгцим

Третья глава посвящена изучению спектральных свойств оператора Се с использованием разностного отношениях^ и полугруппы линейных отношений Те.

Пусть Е — замкнутое подпространство из X. Рассмотрим линейный оператор

СЕ - В(СЕ) С ЯВ^Х),

который определяется в любом рассматриваемом здесь банаховом пространстве ^(R^X) 6 {LP(BL+,X), р € [1,оо]; Cb{R+,X)} следующим образом. Непрерывная функция х 6 ^(йч-) X) > Для которой вектор ж(0) принадлежит ¿5, относится к области определения В(£е) оператора Се, если существует функция / £ > (1R+, X) такая, что верно равенство

t

x{t) = Ü(t)x{0) - j U{t~ т)/(т)с£г, t > 0. о

Далее полагается Cex = /• Если E = {0}, то оператор Со = Се определяется с помощью равенств

t

x(t) = - fu{t- r)f(r)dr, t > 0.

j

0

Изучение оператора Се существенно стимулируется использованием его спектральных свойств при исследовании факторизации интегрального оператора. Винера-Хопфа с рациональным ядром8, где d

L — — — + А, А € End С", изучался в гильбертовом простран-dt

стве С"). Исследование оператора Се важно также в связи

sGohberg I. Classes of Linear Operators. Vol. I / Gohberg L, Goldberg S. Kaaahiek M A. Bkkhaser Verlag. - Baaei-Bostaa-Berlm. - 1S90.

с тем, что ранее раздельно изучающиеся операторы Со и Сх можно рассматривать как принадлежащие одному (более общему) классу операторов.

Пусть LRC(X) — множество линейных замкнутых отношений на банаховом пространстве X, то есть множество замкнутых линейных подпространств из X х X. Отображение Т : М+ —> LRC(X), удовлетворяющее условиям: 1) Т(0) = I — тождественный оператор из End X С LRC(X) (при отождествлении операторов с их графиками); 2) T(ti + i2) = T(ti)T(t2), t\yt2 G R+, называется полугруппой линейных отношений на банаховом пространстве X.

Оператору Св сопоставим линейное отношение Кв на банаховом пространстве последовательностей 1Р — /^(2+, X), р G [1, оо], определив его равенствами

дня некоторого хо € £ }-

Непосредственно из определений оператора Се и отношения Т>е — / — Ке следует, что их ядра имеют вид

КегСЕ = {®€ : a;(t) = U(t)x0, t G R+,

для некоторого xo € E}, КетТ>в = {x € lp{2>+,X) : x(n) — U{n)x0, n G Z+, для некоторого xq G E}, p € [1, oo],

где G {ЬР{К+,Х), p G [l,oo]; Сь(&+, X)}.

Лемма 3.3. Подпространства КегСв и КегТ>в изоморфны и их размерности совпадают.

Лемма 3.4. Отношение Т>е сюръективно, если сюръективен оператор Се-

Лемма 3.5. Оператор Се сюръективен, если сюръективно отношение Т>е.

Теорема 3.1. Отношение Т>е G LRC(lp(Z+, X)) непрерывно обратимо тогда и только тогда, когда выполнены условия

<г(^(1)))ПТ=0,

и Irn Pout ~ E. При выполнении условия a(U(1))) ПТ = 0 оператор Х?^1 имеет вид

Ju

со

(Щ1у)(п) = Y, G(n " mMm)> у£ iP{z+,x),

m—0

где функция G : %+ End X имеет вид

\{0}

u допускает оценки вида ||C?(fc)Jj sC Cqk, где С > 0, q e (0,1). В этой формуле оператор U(k)P(mt для к е Z_ \ {0} есть прл^ал сумма 0 е £'/гй(/т Pin£) и обратного к сужению оператора V(—k) на подпространство Im Pout.

Теорема 3.2. Следующие условия эквивалентны:

1. £е — непрерывно обратимый оператор;

2. Xs£ — непрерывно обратимое отношение;

3. <г(17(1)) ПТ = 0, Im Pmt = Е.

Если выполнено одно из этих условий, то обратный к Се оператор определяется формулой

оо

G{i-s)f{s)ds, fer^X),

о

г € К- \ {0}.

Оператор т < О однозначно определен равенствами

Ui^P^x = 0, х € = im PiTli,

= (г)^) - Р^и г < О

и функция G допускает оценку вида

для некоторых С ^ 1, 7 > 0.

Теорема 3.5. Спектр ст(ЛГ^) отношения К-е € ЬКС{1Г) допускает одно из следующих представлений:

1) <г(КЕ) - С;

2) сг(А— {А € С : |А| ^ г((/(1))}. Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда Е — {0};

3) о{Ке) — {А 6 С : |А| ^ г(С/(1))~1}. Это равенство имеет место тогда и только тогда} когда 1/(1) — непрерывно обратимый оператор;

4) а(КЕ) = С\Т(г1,г2), где У(гьг2) = {А € С : 0 ^ гг < ¡А| < гэ}, 0 ^ Г1 < Г2 — некоторые числа.

Теорема 3.6. Спектр <?{Се) оператора Се допускает одно из следующих представлений:

1)<т{СЕ) = С;

2) <?(Се) = {А е С : ЛеА < 1пг((/(1))}. Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда Е — {0}. При этом, если г([/(1)) — 0, то сг(Се) = 0;

3) а (Се) — {А € С : Не\ ^ 1пг(Е/(1))-1}. Это равенство имеет место тогда и только тогда, когда С/(1) — непрерывно обратимый оператор;

4) <г(Се) ~ С \ {А € С : а! < КеА < а^} для некоторых чисел О ^ ах < сс2 «з М.

Оператору Се поставим в соответствие полугруппу Те : М+ ЬЯС(^(К+,Х)) отношений на функциональном пространстве Т — ^(И^Х) вида

Ш) = { (.,») 6 * ж ^: ф) = { -«>.. ;> <4]

>де хо : [0, Е - некоторая функция из подпространства (2)

= хвТ}}.

При этом отметим, что если Т — Сь = А"), то полугруппа

Те определяется равенствами (2), где хо : [0,?] —» Е — некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условию = х(0).

Определение 3.2. Полугруппа отношений Т : ЬКС(Х)

(X — банахово пространство) называется гиперболической в точке а € Е или а—гиперболической, если существует разложение

пространства X в прямую сумму X — Xq ф Х\ замкнутых инвариантных относительно отношений T(t), t > О подпространств Х0 .и Х\ такое, что соответствующее разложение отношений полугруппы T(t) = To(i) © Ti(¿), t > 0 обладает свойствами:

1) T0{t) = T{t))X0 £ End Х0,

2) Ti(i)"1 = (T(t)j^!)-1 G End Xu

3)r(T0(l))<ea, r(7i(l)-1) < ea.

Если полугруппа T является гиперболической в точке а — 0, то будем называть ее гиперболической.

Теорема 3.7, Полугруппа отношений Те К+ —> Лг)) является а—ги п ар бол и не с ко и тогда и

только тогда, когда выполнено одно из следующих условий:

1) ае р(СЕ);

2) е* £ р{ТЕ( 1)),-

3) £ р{КЕ).

Теорема 3.8. Пусть полугруппа Те является гиперболической. Тогда вы,полнено условие

<j(U(1))) Г) 1 = 0,

и и,м,сет место разложение

Т(Ш+,Х) = F(R+,Xmt)®F(R+,X0Ut)

и относительно этого разложения полугруппа Те представилш в виде

T(t) = T-(t)®T+(t), t ^ О, где T- : К+ -Л End JF(M+, Xint) — полугруппа операторов вида

отношения 7+(t), t ^ 0 непрерывно обратимы и полугруппа операторов {7+(i)_1, t > 0} определяется равенствам,а

(T+(t)-1x)(s) = U{-t)x{s + i), sR+, жеЛ^ДоиО-

При этом, верны оценки

max{||71(£)|[, irr+tÉ)"1!!} ^ С70е"Л t ^ О

для некоторых Со То > 0.

Публикации по теме диссертации.

[1| Загорский A.C. О некоторых свойствах линейных отношений на конечномерных линейных пространствах / А.С.Загорский,

B.В.Хатько // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. - 2002, №2. - С.59-62.

[2] Загорский A.C. О полугруппах линейных отношений / А.С.Загорский. // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. - 2004, №2. -

C.158-161.

[3] Загорский A.C. О некоторых спектральных свойствах линейных отношений на вещественных банаховых пространствах / А.С.Загорский // Труды 16-ой Крымской осенней математической школы (КРОМШ). - 2005 - Т.16. - СЛ28-134.

[4] Загорский A.C. К спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах / А.С.Загорский // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. - 2006, №1. - С.152-159.

[5j Загорский A.C. О дифференциальном операторе, порожденном задачей Коши с начальным условием из подпространства / А.С.Загорский // Препринт НИИ математики ВГУ - 2006, №19.

Подписано в печать 25.10.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 843.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Некоторые сведения из теории линейных отношений.

§1 Основные определения из теории линейных отношений.

§2 Инвариантность и R-инвариантность.

§3 Свойство стабилизации степеней линейного отношения.

§4 Об одном классе полугрупп линейных отношений.

Глава 2. Комплексификация линейного отношения.

§ 1 О функциональном исчислении для линейных отношений на вещественных банаховых пространствах.

§2 О полугруппах операторов и спектральной теореме.

Глава 3. Исследование дифференциального оператора, порожденного задачей Коши с начальным условием из подпространства.

При развитии спектральной теории линейных операторов и ее приложений, часто возникают проблемы, связанные с необходимостью введения в рассмотрение линейных отношений (многозначных линейных операторов) и развития спектральной теории линейных отношений. Так, например, если линейный оператор, действующий в банаховом пространстве, имеет неплотную область определения, то не существует сопряженного оператора, а естественным образом возникает сопряженное линейное отношение. Последовательность линейных замкнутых операторов, сходящаяся относительно расстояния, использующего понятие раствора подпространств, может в пределе иметь линейное отношение, не являющееся графиком линейного оператора. При изучении вырожденных полугрупп операторов, возникающих при рассмотрении некорректных задач математической физики, в качестве генератора полугруппы естественным образом стали использоваться линейные отношения [12]. Изучение некоторых классов дифференциальных операторов приводит к необходимости рассмотрения полугрупп линейных отношений. Таким образом, дальнейшее развитие теории линейных отношений является весьма актуальной задачей.

К настоящему времени имеется монография [39], в которой систематически излагается теория линейных отношений и в которой имеется достаточно полная библиография проведенных до 1998г. исследований и в том числе по спектральной теории линейных отношений (глава 6). Более поздние исследования по спектральной теории линейных отношений содержатся в статье [9], а в монографии [41] получены ее приложения к вырожденным дифференциальным уравнениям.

В большинстве известных монографий (см. например [14], [16], [25], [31], [34], [401, [41], [39]), в которых подробно излагается, либо существенно используется спектральная теория линейных операторов в банаховых пространствах, их авторы, как правило, предполагают, что эти пространства являются комплексными, либо указывают на возможность комплексификации вещественного банахова пространства. Тем не менее, при построении спектральной теории линейных операторов в вещественных банаховых пространствах иногда необходимо подробно отслеживать переход в комплексифи-кацию пространства и обратный переход. Такие же вопросы возникают и при построении спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах. Оптимальным является построение функций операторов, проекторов Рисса, полугрупп операторов, не используя комплексификации вещественного пространства.

Несколько неожиданным явилась возможность использования спектральной теории линейных отношений при изучении линейных дифференциальных уравнений вида где А : D(A) С I -> I - линейный замкнутый оператор, действующий в комплексном банаховом пространстве X и являющийся генератором (инфинитезималы-гым производящим оператором) сильно непрерывной полугруппы операторов U : R+ —> End X. где End X — банахова алгебра эндоморфизмов банахова пространства

Одним из центральных вопросов качественной теории таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также нахождение условий существования ограниченных решений. Изучение этих вопросов в терминах экспоненциальной дихотомии решений однородного уравнения (1) связывают с именем Перрона. В его статье [53] асимптотические свойства решений однородных уравнений (в конечномерном пространстве X) соотносились (если использовать более современную терминологию) с определенными свойствами дифференциального оператора г d л рассматриваемого в банаховом пространстве Сг,(К+,Х) непрерывных и ограниченных на М+ функций и принимающих свои значения

1) = Ах + f(t)

X. в X. Эта работа послужила основой для дальнейшего развития качественной теории дифференциальных уравнений (вообще говоря с переменными коэффициентами A(t), t ^ 0). Для случая ограниченных операторов A(t), t ^ 0 можно обратится к хорошо известным монографиям Массера, Шеффера [28] и Далецкого, Крейна [15], которые характеризовали экспоненциальную дихотомию решений в терминах сюръективности оператора L и условия замкнутости и дополняемости подпространства векторов из X, являющихся начальными условиями для ограниченных на R+ решений однородного дифференциального уравнения. В этих монографиях подчеркивалась крайняя важность развития соответствующей теории для дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.

В последнее время резко возрос интерес к изучению качественных свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами. В монографии [38] подведены итоги исследований до 1999 года и в ней содержится очень подробный обзор полученных результатов. При этом стал систематически применятся операторный подход, основанный на использовании оператора L в подходящих функциональных протсранствах. Одним из наиболее используемых методов исследования оператора L стал метод, основанный на применении разностных операторов.

Пусть Е — замкнутое подпространство из X. Рассмотрим линейный оператор

СЕ : D{Ce) С Г(Ж+,Х) F{R+,X), который определяется в любом рассматриваемом здесь банаховом пространстве е {ЬР(Ш+,Х), р е [1,оо]; Cb(R+,X)} следующим образом. Непрерывная функция х G для которой вектор ж(0) принадлежит Е, относится к области определения D(jCe) оператора если существует функция / б X) такая, что верно равенство t x{t) = U{t)x{0) - J U(t - T)f{r)dr, t 2 0. о

Далее полагается Сех = /. Если Е — {0}, то оператор Cq — Се определяется с помощью равенств i x{t) = - J U(t- r)/(r)dr, t 2 0. о

Изучение оператора Се существенно стимулируется использованием его спектральных свойств при исследовании факторизации интегрального оператора. Винера-Хопфа с рациональным ядром [42], где L —---А. А Е End, С"', изучался в гильбертовом пространdt стве С'д). Исследование оператора Се важно также в связи с тем, что ранее раздельно изучающиеся операторы £0 и £>х можно рассматривать как принадлежащие одному (более общему) классу операторов.

Пусть LRC(X) — множество линейных замкнутых отношений на банаховом пространстве X, то есть множество замкнутых линейных подпространств из X х X. Отображение Т : М+ —» LRC(X), удовлетворяющее условиям: 1) Т(0) = I — тождественный оператор из End X С LRC(X) (при отождествлении операторов с их графиками); 2) T(ti -Иг) = T(£i)T(£2), £i,£2 G М+, называется полугруппой линейных отношений на банаховом пространстве X.

Оператору Се поставим в соответствие полугруппу 7g : Е+ —» ЬЯС(Т{Ж+, X)) отношений на функциональном пространстве Т — F(R+,X) вида г /Л Г( гп ( \ f U{t)x{s-t), s^t, { G Т Х * •' ^ = 1 U(s)xо(в), о < s < t, где Xq : [0, £] —> Е - некоторая функция из подпространства (2) хеТ} }.

При этом отметим, что если Т — Сь = C&(R+,X), то полугруппа Те определяется равенствами (2), где хо : [0,£] —> Е — некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая условию xo(t) — ж(0).

Кроме того, оператору Се сопоставим линейное отношение JCe на банаховом пространстве последовательностей lp = lp(Z+,X), р £

1, оо], определив его равенствами г/ \ , ; / \ ( U(l)x(n - 1), п > 1, KE = {(x,y)ei1,y.ip-.y(n) = ){^" n = Q; для некоторого xq Е Е }.

Отметим, что разностные операторы использовались в работе В.М. Тюрина [32].

Приводимые в диссертации исследования показывают, что изучение оператора Се во многом сводится к изучению соответствующих свойств (обратимость, инъективность, сюръективность и т.д.) для отношения Т>е = I — Ке и операторов / — (it), t > 0. Таким образом, использование спектральной теории линейных отношений при исследовании дифференциального оператора является весьма актуальной задачей.

Важно отметить, что полугруппы отношений возникают также при рассмотрении задачи x(to) = ж(0) G X, где to > 0, для дифференциального уравнения вида (1). Для нахождения решения такой задачи, по сути дела, приходится привлекать полугруппу T{t) = ([/(Z:))""1, t ^ 0, являющуюся, в случае если Ker U(t) ^ {0} для некоторого t > 0, полугруппой отношений.

Основными целями работы являются:

1) построение спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах;

2) изучение полугрупп операторов на вещественных банаховых пространствах;

3) изучение полугрупп линейных отношений с компактным спектром;

4) исследование дифференциальных операторов методами теории полугрупп и с использованием разностных отношений;

5) исследование условий обратимости дифференциальных операторов;

6) исследование структур гиперболических полугрупп линейных отношений.

В работе используются методы спектральной теории линейных операторов и линейных отношений, методы комплексного анализа, теории полугрупп операторов дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

В качестве основных результатов можно выделить следующие:

1) исследована структура полугруппы линейных отношений с компактным спектром;

2) получены формулы для функций от линейных отношений на вещественных банаховых пространствах;

3) получены формула для полугруппы вещественных операторов, генератором которой является заданный вещественный оператор комплексификация которого является секториальным оператором и формула вещественного проектора (для вещественного отношения), аналогичного проектору Рисса;

4) установлена связь между свойствами дифференциальных операторов и разностных линейных отношений;

5) получены необходимые и достаточные условия обратимости дифференциальных операторов;

6) исследована структура гиперболических полугрупп линейных отношений взвешенного сдвига.

Работа имеет теоретический характер.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1) Воронежская зимняя математическая школа Крейна (ВЗМШ-2006);

2) 16-ая Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2005), а также неоднократно на семинарах проф. А.Г. Баскакова в Воронежском государственном университете.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [18] - [22]. Из совместной работы [18] в диссертацию включены только результаты, принадлежащие лично автору.

Перейдем к обзору результатов диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы.

1. Баскаков А.Г. Спектральные свойства дифференциального оператора с неограниченным оператором / А.Г. Баскаков // Дифф. уравнения. - 1991. - Т.27, №1. - С.2162- 2164.

2. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 1995. - Т.343, №3. - С.295-298.

3. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функцион. анализ и его прил. 1996. - Т.ЗО, №3. - С.1-11.

4. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. зам. -1996. Т.59, №6. - С.811-820.

5. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов, I / А.Г. Баскаков // Дифференц. уравнения. 1997. - Т.ЗЗ, №10. -С.1299-1306.

6. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сб. 1999. - Т.190, №3. -С.3-28.

7. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов, II /А.Г. Баскаков // Дифференц. уравнения. 2001. - Т.37, №1. -С.3-11.

8. Баскаков А. Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами/ А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сибирский математический журнал 2001 - Т.42, №6 - С.1231-1243.

9. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем. сборник. 2002. - Т.193, №11. - С.3-42.

10. Баскаков А.Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 2006. - Т.406, №6. - С.727-729.

11. Бирман М.Ш. Функциональный анализ (под редакцией Крей-на С.Г.) / М.Ш. Бирман и др. М: Наука. - 1972.

12. Бурбаки Н. Спектральная теория. / Н. Бурбаки М.: Мир. -1972.

13. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн М.: Наука. - 1970.

14. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория. T.I. / Н. Данфорд, Дж.-Т. Шварц - М.: ИЛ. - 1962.

15. Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения / В.В. Жиков // Изв. АННССР. сер. матем. 1976. - Т.40. С.1380-1408.

16. Загорский А.С. О некоторых свойствах линейных отношений на конечномерных линейных пространствах / А.С. Загорский А.С., В.В. Хатько В.В. // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2002, №2. - С.59-62.

17. Загорский А.С. О полугруппах линейных отношений / А.С. Загорский // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2004, №2. - С.158-161.

18. Загорский А.С. О некоторых спектральных свойствах линейных отношений на вещественных банаховых пространствах / А.С. Загорский // Труды 16-ой Крымской осенней математической школы (КРОМШ). 2005 - Т.16. - С.128-134.

19. Загорский А.С. К спектральной теории линейных отношений на вещественных банаховых пространствах / А.С. Загорский // Вестник ВГУ, серия физ.-мат. 2006, №1. - С.152-159.

20. Загорский А.С. О дифференциальном операторе, порожденном задачей Коши с начальным условием из подпространства / А.С. Загорский // Препринт НИИ математики ВГУ 2006, №19.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като -Т.М: Мир. 1972.

22. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г, Крейн, Е.М. Семенов, Ю.И. Петунии М: Наука. - 1978.

23. Крейн С.Г. Функциональный анализ. Справочная математическая библиотека / под ред. С.Г.Крейна. М.: Наука. - 1972.

24. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе Новосибирск: изд-во ин-та математики. - 2001.

25. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Сте-пин // Успехи матем. наук. 1991. - Т.46. №2. - С.85-143.

26. Maccepa X.JI. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / Х.Л. Maccepa, Х.Х. Шеффер- М.: Мир 1970.

27. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. / 3. Пресдорф М: Мир. - 1979.

28. Робертсон А. Топологические векторные пространства / А. Робертсон, В. Робертсон М: Мир. - 1967.

29. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин М: Мир. - 1975.

30. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин // Сиб. Матем. журн. 1991. - Т.32, №3. - С.160-165.

31. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри М: Мир, 1985.

32. Хилле Э. Функциональный анализ и полугруппы / Э. Хилле, Р. Филлинс М.: ИЛ. - 1962.

33. Azizov T.Ya. Contractive relations in Pontryagin spaces, preprint. / T.Ya. Azizov, A. Dijksma.

34. Bart H. Wiener-Horf factorization, inverse Fourier transform and exponential dichotomies operators / H. Bart, I. Gohberg, M.A. Kaashoek //J. Funct. Anal. 1986. - V.68. - P. 1-42.

35. Bart H. Invertibility and dichotomy of differential operators on a half-line / H. Bart, I. Gohberg, M.A. Kaashoek // J. Dun. Biff. Eq.- 1993. V.5. - P.1-36.

36. Chicone C. Evolution Semigroups in Dynamical System and Differebtial Equations / C. Chicone, Y. Latushkin Amer. Math. Soc. - 1999.

37. Cross R. Moltivalued Linear Operators / R. Cross New York: M. Dekker, 1998.

38. Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter semigroups for linear evolution equations. K.-J. Engel, R. Nagel New-York: Springer-Verlag. - 2000.

39. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yaggi New York: M. Dekker. - 1998.

40. Gohberg I. Classes of Linear Operators. Vol. I / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek Birkhaser Verlag. - Basel-Boston-Berlin. - 1990.

41. Goldberg S. Unbounded Linear Operators. Theory and Applications / S. Goldberg New York: McGraw-Hill. - 1966.

42. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / J.S. Howland //Math. Ann. 1974. - V.207. - P.315-335

43. Latushkin Y. Fredholm differential operators with unbounded coefficients / Y. Latushkin, Y. Tomilov // J. Differential Equations.- 2002. V.208. - P.388-429.

44. Latushkin Y. Fredholm Properties of Evolution Semigroups / Y. Latushkin, Y. Tomilov // Illinois J. Math. 2004. V.48. - №3. -P.999-1020.

45. Latushkin Y. Evolutionary semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces / Y. Latushkin, Montgomery-Smith. // J. Funct. Anal. 1995. - V.127. - P.173-197.

46. Latushkin Y. Exponential dichotomy and mild sulutions of nonautonomous equations in Banach spaces / Y. Latuskin, T. Randolph, R. Schnaubelt // J. Dunam. Diff. Eqns. 1998. V.10.- P.489-510.

47. Megan M. Discrete admissibility and exponential dichotomy for evolution families / M. Megan, A.L. Sasu, B. Sasu // Discrete Contin. Dynam. Systems. 2003. - V.9. - P.383-397.

48. Minh N.V. Characterization of Dichotomies of Evolution Equations on the Half-Line / N.V. Minh, N.T. Huy // J.Math. Anal, and Appl. 2001. - V.261. - P.28-43.

49. Nagel R. Semigroup methods for non-autonomous Cauchy problems in Evolution Equations / R. Nagel // Lect. Notes Pure Appl. Math. 1995. - V.168. - P.301-316.

50. Minh N.V. Exponential stability, exponential expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line / N.V. Minh, F. Rabiqer, R. Schnaubrlt // 1998. V.32. - P.332-353.

51. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen / 0. Perron //Math. Z. 1930. - V.32, №3. - P.465-473.

52. Rau R. Hyperbolic evolutionarysemigroups on vector-valued function spaces / R. Rau // Semigroup Forom. 1994. - V.48. -P.107-118.

53. Rabiqer F. The spectrls mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiqer, R. Schnaubert // Semigroup Forum. 1996. - V.52. - P.225-239.

54. Ritsner V.S. Theory of linear relations (Russian). / Ritsner V.S. VINITI - 1982 - №846-82.

55. Ritsner V.S. On the spectral theory of linear relations in a Pontryagin spaces. / Ritsner V.S., Senderov V.A. Soviet Math. (Iz. VUZ) - 28(1984) - №8 - P.34-37.

56. Sasu B. Exponential dichotomy and admissibility on the half-line / B. Sasu, A.L. Sasu // J. Math. Anal. Appl. 2006. V.316. - P.397-408.

57. Taylor A.E. Introduction to Functional Analysis / A.E. Taylor -New York: John Wiley. 1958.