Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов и вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов

Бичегкуев, Маирбек Сулейманович

Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов и вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Бичегкуев, Маирбек Сулейманович АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Владикавказ МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов и вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов»

Автореферат диссертации на тему "Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов и вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов"

На правах рукописи

Бичегкуев Маирбек Сулейманович

СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ВЫРОЖДЕННЫЕ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ПОЛУГРУППЫ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Воронеж — 2011

4847395

Работа выполнена в Северо-Оеетинском государственном университете

им. К. Л. Хетагурова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Баскаков Анатолий Григорьевич,

доктор физико-математических наук,

профессор Мухамадиев Эргаш Мирзоевич,

доктор физико-математических наук, Пискарёв Сергей Игоревич

Ведущая организация: Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН

Защита состоится 7 июня 2011 г. в 15 часов 10 минут на заседании совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, ауд. 314

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан « 2б .» апреля 2011 года

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук,

профессор

Гликлих Ю. Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений разностных уравнений, разностных включений и дифференциальных уравнений с неограниченным операторным коэффициентом методами спектральной теории линейных операторов и линейных отношений.

Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время в значительной мере отражали известные монографии Ю.Л.Далецкого, М.Г.Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве" и Х.Массера, Х.Шеффера "Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства", авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными:

"Авторы отчетливо сознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л.Далецкий, М.Г.Крейп, стр.12)

"... мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения А (е уравнении вида х + Ах = К - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы конечно, огромный интерес особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (Х.Массера, Х.Шеффер, стр.11)

Существенный вклад в теорию дифференциальных уравнений с неограниченными операторами был сделан В.В.Жиковым. Полученные результаты были изложены затем в монографии Б.М.Левитана, В.В.Жикова.

В последние пятнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов и теорией разностных операторов как непрерывного аргумента, так и дискретного. Эта связь с разностными операторами прослеживается в двух направлениях.

Первое направление связано со следующим методом исследования. Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. Далее для исследования этого дифференциального оператора используется полугруппа разностных операторов, введённая Хоул-

эндом в 1974 году, действующих в том же функциональном пространстве. Важная роль этой полугруппы проявилась значительно позже в работах А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкина, С. Монтгомери-Смита, в которых было установлено, что соответствующий дифференциальному уравнению дифференциальный оператор является генератором (инфипитезимальным оператором) полугруппы разностных операторов Хоулэнда. При этом важно отметить, что для этой полугруппы операторов имеет место теорема об отображении спектра, которая была доказана одновременно в статьях А.Г. Баскакова, Ю.Д. Латушкина и С. Монтгомери-Смита, Ф. Рёбигера и Р. Шнау-бельта. Эта теорема позволяет свести изучение дифференциального оператора к изучению ограниченных разностных операторов, действующих в тех же функциональных пространствах.

Второе направление исследования дифференциальных операторов связано с использованием разностных операторов, действующих в подходящем банаховом пространстве односторонних или двусторонних последовательностей.

Теория разностных операторов и связанные с пей разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом играют важную роль в описании процессов и явлений, изучаемых во многих областях современной науки. Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так в работах О.Перрона и А.Пуанкаре изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.

Особое внимание к разностным операторам п уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности А.Б.Антоновича, А.Г.Баскакова, Р.Беллмана и К.Л.Кука, И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана, Г.В.Демиденко, П.П.Забрейко и Нгуен Ван Миня, В.Г.Курбатова, Х.Л.Массера и Х.Х.Шеффера, В.М.Тюрина, Д.Хенри.

Разностные операторы являются также объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях З.Нитецки, П.Халмоша, Ю.Д. Латушкина и A.M. Степина и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника, А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова, Н.К.Никольского, В.Д.Степанова и А.Л.Шилдса.

Спектральные свойства разностных операторов исследовались А.Б.Антоновичем, Э.М.Мухамадисвым и Б.Н.Садовским.

Условия обратимости разностных операторов находят широкое применение в теории дифференциальных операторов. Как правило, исследования обратимости дифференциального и связанного с ним разностного операторов приводятся в терминах экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на числовой прямой функций установлена О.Перроном. Дальнейшие исследования в этой области для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными коэффициентами проводились Х.Массера и Х.Шеффером. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. В монографии Ю.Л.Далецкого н М.Г.Крейна аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В.Жикова и А.Г.Баскакова.

Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С.Коффман и Х.Шеффер, делая унор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е.Слюсарчука доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д.Хенри. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве ограниченных двусторонних последовательностей векторов из банахова пространства.

Техника исследования дифференциальных операторов, основанная па использовании разностных операторов в пространствах последовательностей, и использование теории полугрупп операторов позволили за последние пятнадцать лет существенно развить теорию дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами. Именно такая техника исследования положена в основу получения основных результатов диссертации.

Часть результатов диссертации связана с исследованием разностных операторов, действующих в пространстве последовательностей векторов из банахова пространства. Для исследования таких операторов, ввиду их огра-

ничешюсти, применимы методы спектральной теории операторов и, более общо, спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов).

Использование спектральной теории линейных отношений для спектрального анализа разностных операторов систематически используется в главах 1-3 диссертации. При этом очень важным является построение проекторов Рисса по спектральной компоненте из спектра подходящего линейного отношения. Прямому использованию спектральной теории операторов для дифференциальных операторов мешает неограниченность спектральных компонент из спектра таких операторов.

Применение результатов, полученных для разностных операторов, к исследованию дифференциальных проходит по следующей схеме. Обратимость разностного оператора, построенного по дифференциальному оператору, влечёт круговую дихотомию спектра для полугруппы операторов, генератором которой является операторный коэффициент. Этот факт позволяет построить функцию Грина для обратного оператора к исследуемому дифференциальному оператору.

Ставшие классическими результаты из отмеченных монографий Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейпа и X. Массера, X. Шеффера относились к пространствам функций, инвариантных относительно сдвигов. Возникает естественная проблема изучения дифференциальных и разностных уравнений в весовых пространствах функций, определённых на бесконечном промежутке, и последовательностей векторов (односторонних и двусторонних). Такая проблема рассматривается во второй главе диссертации, в которой получен ряд основных результатов. Даётся полное описание спектра как разностных, так и дифференциальных операторов. Полученные результаты являются новыми даже для обыкновенных дифференциальных операторов. Важно отметить, что фактически отсутствуют ограничения на весовую функцию. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.

Отметим, что один из известных нам результатов, связанных с разрешимостью в пространстве растущих функций, получен в теореме 7.6.3 из монографии Д. Хенри, в которой при условии экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов получена разрешимость дифференциального уравнения в классе растущих функций. Какая-либо содержательная теория рассматриваемых операторов в весовых про-

странствах отсутствует.

Как отмечалось, в первой главе диссертации широко используется новая, недавно появившаяся техника исследования разностных операторов, основанная на применении спектральной теории линейных отношений.

В третьей главе диссертации осуществляется построение полугруппы операторов по векториальному линейному отношению, то есть фактически получены условия разрешимости дифференциальных включений. Построенная полугруппа операторов будет заведомо вырожденной, если линейное отношение не является оператором. Получена теорема об отображении спектра для такой полугруппы операторов. Кроме того, получены приложения к разрешимости дифференциальных уравнений с необратимым оператором при производной. Приводимые в этой главе результаты тесно связаны с результатами П.П.Забрейко, А.Ф.Зафневского, С.И. Пнскарёва, Ю.Т.Сильченко, П.Е.Соболевского, В.И.Фёдорова по исследованию полугрупп операторов с особенностями в нуле.

Более подробно (на языке формул) опишем два новых направления в исследовании геометрических свойств решений дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, связанными с применением разностных операторов.

Пусть 3 — один из бесконечных промежутков Ж+ = [0,оо), Ж = (—оо, оо). Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения

^ = А{1)х, г е 3, (1)

^ = АЦ)х + №, £ е 3, (2)

где А(Ь) : 0(А(Ь)) С X -> X, £ е 3, — семейство замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X. Одним из центральных вопросов геометрической теории (качественной теории) таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также исследование условий существования ограниченных решений. Асимптотические свойства решений уравнений (1), (2) соотносятся с соответствующими свойствами дифференциального оператора

рассматриваемого в подходящем функциональном пространстве Т(3,Х). Одним из наиболее важных пространств является банахово пространство

Cb(J, X) непрерывных н ограниченных на J функций со значениями в банаховом пространстве X. Построение оператора С осуществляется в условиях корректности задачи Коши

x(s) =х0€Х, (3)

для однородного дифференциального уравнения (1). Это влечёт существование семейства эволюционных операторов Ы : Aj —> LB(X), где Д./ = {(t, s) G J х J : s ^ t}, LB(X) — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, которое решает задачу Коши (1), (3).

Пусть Jr(J,Лг) — одно из функциональных пространств LP(J,X), р 6 [1, оо]; Cb(J,X). Построение оператора С : D(C) С J"(R,X) ,F(R,X) осуществляется следующим образом. Функция х £ .F(R, X) П Сь(М, X) относится к области определения D(C) оператора С, если существует функция / £ .F(R, X) такая, что для всех s ^ t из К верны равенства

x(t) = U{t, s)x(s) - £ U(t, T)f{r)dT. (4)

При этом полагается Сх = /. Оператор С также обозначается символом

C = -i + A(t).

Если J = R+ = [0, оо) и Е замкнутое подпространство из X, то оператор

СЕ : D(Ce) С Н^+Л)

определяется с помощью семейства эволюционных операторов И : Дц$+ —> LB{X). Пара функций (x,f) из J"(R+,X) относится к графику оператора Се, если х € Сй(Е+,Х), ж(0) £ Е и для всех 0 ^ s ^ t < оо верны равенства (4).

В банаховом пространстве функций ,F(R,X) (инвариантном относительно оператора сдвига) корректно определена полугруппа операторов Хоул-энда {Tu(t) : t > 0} вида

{Tu(t)x){s)=U{s,s-t)x{s-t), set, t^ 0, 16 7(1,1). (5)

Каждый из операторов Ty(t), I ^ 0, является разностным оператором взвешенного сдвига. Эта полугруппа операторов сильно непрерывна в любом из банаховых пространств №(Ж,Х), р е [1, оо), Со (К, X), а её генератором (инфинитезимальным оператором) является оператор Си, при этом оператор Си непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор I — Тц( 1). Соответствующие результаты получены в работах А.Г.Баскакова.

Другой подход в исследовании дифференциальных уравнений (1) и (2) основан на использовании разностных операторов и разностных отношений на соответствующих весовых пространствах последовательностей. В банаховом пространстве где р 6 [1,оо], оператору С : Т>{£) С

//(В^Х) —> 1Р(Ш., X) ставится в соответствие разностный оператор Т> : 1Р{1,Х) 1р(Ъ,Х), р е [1,оо], вида

(Рх)(п) = х(п) —Ы(п,п — 1)х(п — 1), пеЪ, х£ Р(Ъ,Х).

Одним из определяющих результатов является свойство одновременной обратимости оператора С и разностного оператора V.

Для изучения оператора Се в диссертации используется разностный оператор Т>е, определенный формулой

(Т>ех)(п) — х(п + 1) - Ы(п, п - 1)х(п), п ^ О,

с областью определения 0(Т>Е) = {х Е 1Р(!<+,Х) : ж(0) е Е}. В свою очередь для изучения оператора Т>е применяется спектральная теория линейных отношений. Таким образом, спектральная теория линейных отношений служит основой для исследования как разностных, так и дифференциальных операторов.

Цель работы. Целью диссертации является разработка метода исследования дифференциальных и разностных операторов, основанного на использовании спектральной теории линейных операторов и линейных отношений. Получение приложений к вопросам разрешимости линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами. На основе спектральной теории операторов взвешенного сдвига разработка нового метода исследования разностных и дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах последовательностей и функций. Описание спектра разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах. Изучение экспоненциальной дихотомии и спектра разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда. Изучение ослабленной задачи Коши для линейного дифференциального включения и получение формул для решений. Построение теории вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов. Доказательство теоремы об отображении спектра для базового генератора бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:

1. На основе спектральной теории линейных отношений разработан новый метод исследования разрешимости разностных включений.

2. Получены приложения к разностным уравнениям, а также к вопросам разрешимости линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами.

3. На основе спектральной теории операторов взвешенного сдвига создан новый метод исследований разностных и дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах последовательностей и функций.

4. Описан спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах двусторонних векторных последовательностей и векторных функций, определенных на вещественной прямой.

5. Найден спектр разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах односторонних векторных последовательностей и векторных функций на полуоси.

6. Получены необходимые и достаточные условия обратимости разностных и дифференциальных операторов весовых пространствах.

7. Изучена экспоненциальная дихотомия разностных операторов непрерывного и дискретного аргументов, связанных с полугруппой Хоулэнда.

8. Исследован спектр разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда.

9. Впервые рассмотрена ослабленная задача Коши для линейного дифференциального включения. Получена формула для ослабленных решений.

10. Построена теория вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов.

11. Доказана теорема об отображении спектра для базового генератора бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов.

Методы исследования. В работе используются спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, функциональное исчисление операторов, методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, теория полугрупп операторов, теория коммутативных банаховых алгебр.

Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем исследовании разрешимости разностных уравнений и включений; дифференциальных уравнений и включений; спектральных свойств разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах. При дальнейшем развитии теории вырожденных полугрупп операторов с использованием спектальной теории линейных отношений, выступаю-

щнх в качестве генератора полугруппы.

Многие из полученных в диссертации результатов могут быть включены в специальные курсы, читаемые студентам и аспирантам математических специальностей университетов.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения"(28 января — 4 февраля, Воронеж, 2000); Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г.Крейна (2006-2010); Международная научная конференция "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" (Владикавказ, 2006, 2008, 2010); 20-я Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ—2009).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 12 публикациях. Список работ приведен в автореферате. Все 12 работ опубликованы в журналах из списка ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 225 страницах и состоит из списка обозначений, введения н трех глав. Список литературы содержит 113 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении рассматривается связь между теорией разностных операторов, теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и теорией полугрупп в её историческом развитии. Это позволяет обосновать актуальность и цель настоящего исследования, показать теоретическую и практическую ценность диссертации, дать характеристику её структуры и содержания. В главе 1 получены условия разрешимости разностных уравнений и включений, а также рассматриваются приложения к вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений и включений с неограниченными операторными коэффициентами. Глава 2 посвящена описанию спектра разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах (односторонних, двусторонних) последовательностей и векторных функций, при минимальных ограничениях на весовую функцию, а также изучению экспоненциальной дихотомии разностных операторов, связанных с полугруппой Хоулэнда. В главе 3 рассматривается ослабленная задача Коши для линейного дифференциального включения и теория вырожденных бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов.

Глава 1. Об условиях разрешимости разностных уравнений и включений. Приложения к разрешимости дифференциальных уравнений

Глава состоит из 5 параграфов. В §1 приводятся основные сведения из спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов) и элементы спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов, необходимые для дальнейшего изложения.

В §2 рассматривается задача о разрешимости в банаховом пространстве 1Р(Z+,X),p 6 [1, оо], односторонних последовательностей х : 2+ = N и {0} —> X векторов из X разностного уравнения вида

х{п + \) = Вх{п) + ¡{п), ¡^1Р(Ъ+,Х), пе2+, (6)

решение х € Р{Ъ+,Х) которого удовлетворяет условию

40) е Е, (7)

где Е — замкнутое подпространство из X и оператор В принадлежит алгебре ЬВ(Х).

Основным результатом параграфа является

Теорема 2.1. Для того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение х 6 1Р(Ъ+,Х) для любой последовательности / е 1Р(%+,Х), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

1) о{В) П Т = 0; 2) Е = КсгР0,

где Ро — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству еы = {А € а(В) : |А| < 1}, т.е.

= У Д(А ,В)<1\,

где Т = {А е С : |А| = 1} и /?(•, В)— резольвента оператора В.

Теорема 2.2. Пусть а (В) ПТ = 0 и КегР0 = Е для проектора Рисса Ро, определенного в теореме 2.1. Тогда задача (6), (7) имеет единственное решение х е 1Р(Ъ+,Х) для любой последовательности / € 1Р(Ъ+,Х) (оператор Т непрерывно обратим) и оно представимо в виде

х(п) = С(п — тп — 1 )/(т), п е

т=О

где функция С : Ъ —> ЬВ{Х) имеет вид

ВкР0, к > О, -В*, к< О,

оператор В 6 ЬВ(Х) нулевой на подпространстве ЬпР0:1а на подпространстве ЪпРх однозначно определяется из равенств В В = В В = = / — /ц.

Далее в этом параграфе приводятся оценки решений разностного уравнения (6), удовлетворяющих условию (7).

В §3 рассматриваются вопросы разрешимости и представления решений разностного включения в пространствах 1Р(Ъ+,Х), р 6 [1,оо], вида

где / е 1Р(Ъ+,Х) и А принадлежит множеству Ы1С(Х) замкнутых линейных отношений на банаховом пространстве X, т.е. А = А С X х X.

По отношению А е ЬЯС{Х) на банаховом пространстве последовательностей 1Р(Ъ+,Х), р £ [1,оо], построим отношение А 6 ЬК{1Р{Ъ+,Х)) вида

А={(х,у)е1^+,Х)х1^+,Х): (х(к-1),у(к))еА, 1}. (9)

Полученное таким образом линейное отношение А назовем разностным отношением взвешенного сдвига.

Теорема 3.1. Для того чтобы разностное включение (8) имело единственное решение для любой последовательности / 6 1Р(Ъ+,Х), необходимо и достаточно, чтобы отношение А было непрерывно обратимо и г(А-1) < 1 для спектрального радиуса оператора А*1 Е ЬВ(Х) или, что эквивалентно, выполнено условие сг{А) С {А € С : |Л| > 1}.

Теорема 3.2. Если отношение А непрерывно обратимо и г(А~1) < 1, то отношение V = / — А непрерывно обратимо, и оператор Т>~1 определяется формулой

где А = {(х,у) е 1р{%+,Х) х 1Р(%+,Х) : (х(п),у(п)) е А, п € Х+},

(Бх)(п) = х(п + 1) — оператор сдвига.

Теорема 3.3. Спектр а (А) отношения А совпадает с одним из следующих подмножеств вида:

1) &(А) = С (это равенство имеет место тогда и только тогда, когда О Е а (А) и а (А) содержит хотя бы одно ненулевое число);

х(п) 6 Ах{п - 1) + / (/г), п е 2+\{0} = К,

(8)

V-1 = ^2А~п~13(п + 1)

2) а(А) = С \ 5(0, г), где 5(0, г) = {А € С : |А| < г}, г > 0 (это представление возможно тогда и только тогда, когда Л € LRC(X) непрерывно обратимо и г (Л-1) = г);

3) ег(„4) = 0 (т.е. Л-1 е LB{X)— квазинильпотснтный оператор). Теорема 3.4. Разностное включение (8) имеет хотя бы одно решение из

lp(Z+,X) для любой последовательности / G 1Р{Ъ+,Х), если спектр а(А) отношения А обладает свойством

а(А)П Т = 0. (10)

Следствие 3.3. Если выполнено условие (10), то любое решение х € 1Р(Ъ+,Х) разностного включения (8) удовлетворяет равенствам

оо

x(n) = k)f(k) + P-x(n), n £ Z+,

fc=0

где функция G : Z —> LB(X) определяется равенствами

GMVJAV-*- mS0' „ex,

/>.</, m<0, '

a P_ проектор Рисса, построенный no crini = {А 6 сг(.Д) : |А| < 1}.

Рассмотрим приложения теорем 3.1 и 3.4 к разрешимости разностного уравнения вида

Bx(n) = Cz(n - 1) + g{n), g € l"(Z+, X), n e N, (11)

где С, В : X -> У — операторы из банахова пространства LB(X, Y) линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в банаховом пространстве Y, причем оператор В имеет ненулевое ядро КегВ.

Разрешимость разностного уравнения (11) сводится к задаче о разрешимости разностного включения

у{п) еЛ»(п-1)+/(п), neN, (12)

где отношение Ат = СВ~1.

Теорема 3.5. Для того, чтобы включение (12) имело единственное решение для любой последовательности / е lp(Z+,X), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

1) А'1 = ВС~1 6 LB(Y), что эквивалентно одновременному выполнению условий: 1ш С = Y, Кег С С Кег В;

2) г{ВС~х) < 1.

Следствие 3.4. Если оператор С непрерывно обратим, г(ВС~1) < 1 и выполнены условия теоремы 3.5, то решение х уравнения (11) определяется формулой

оо

х(п) = 5^(ВС-1)*+1Сг1/(п + к + 1), пе

к=0

В §4 изучается задача о существовании и единственности решений в 1Р(Ъ, X), р 6 [1, оо], разностного включения вида

х(п)еАх(п-1) + /(п),пе1,, (13)

где / £ 1Р{Ъ,Х) и Л 6 ЬНС(Х). При этом иод решением этого включения понимается последовательностью 6 1Р(Ъ,Х), для которой верны включения (13).

Теорема 4.1. Для того чтобы разностное включение (13) имело единственное решение х € 1Р{Ъ,Х), 1 ^ р ^ оо, для любой последовательности / из 1Р(Ъ,Х), необходимо и достаточно, чтобы спектр <т(А) отношения А обладал свойством (10).

Теорема 4.2. Если для отношения А 6 ЬНС(Х) выполнено условие (10), то любое решение разностного включения (13) прсдставимо формулой

х(п) = ^ С(п — т)/(ш),

тег

где функция С? : Ъ —> ЬВ(Х), определена соотношениями

С{к)-\-А1 к К-1,

(здесь Р0 — проектор Рисса, построенный по <Т;л4, Ру = / — Р$ — дополнительный проектор, оператор А\ 6 ЬВ{Х) однозначно определяется из следующих условий: А = 0 на 1тРо, А1Р1 = Р\А\ = Р\).

Теорема 4.3. Для того, чтобы разностное уравнение вида (11) имело единственное решение х £ 1Р(2,,Х) для любой последовательности д 6 1Р(Ъ,Х), необходимо и достаточно, чтобы а (В, С) Г\ Т = 0, гдеа(В,С) — спектр упорядоченной пары.

В §5 рассмотрены приложения полученных результатов нз §4 к задаче разрешимости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Пусть А : В (А) С X —)• X - инфинитезимальный оператор сильно непрерывной полугруппы операторов Т : [0, оо) —> ЬВ(Х) класса Со (по терминологии Хиллс - Филлипса). В банаховом пространстве ЬР(Ш+,Х), ре [1, оо], рассмотрим дифференциальное уравнение

¿(г) = Ах(г) + т, I > 0, / 6 ЩЖ+, X). (14)

Обобщенным решением этого уравнения будем называть непрерывную функцию х : Ж+ —» X, принадлежащую ЬР(Ш+,Х), для которой имеет место равенство

х(г) = т(г)х(о) + Jт{t- т)/(т)<1т, г > о. (15)

Пусть Е — замкнутое подпространство из X. Будем искать обобщенное решение уравнения (14), удовлетворяющее условию

х(0) е Е. (16)

Исследование задачи (14), (16) проводится, привлекая дифференциальный оператор С = СЕ = | - А : Б(С) С £Р(М+,Х) ЩШ+,Х), область определения И (С) которого задается следующим образом. Функцию х £ 1/(Ш+,Х) П С&(Е+,Х) отнесём к £>(£), если существует функция / е ЬР(Ж+,Х) такая, что выполняется равенство (15). Положим Сх = /.

Наряду с оператором С рассмотрим разностный оператор

Р = : £>(£>) с 1Р(1+,Х) /Р(2+,Х), (£>х)(п) = х{п + 1) - Т(1)х(п),

с областью определения 0(Т>) = {х е Р(2+,Х) : х(0) £ Е}.

Теорема 5.1. Следующие условия эквивалентны:

1) £ : £(£) С ЬР{Ш+,Х) -» 1Р(Ш+,Х), р е [1, оо], — непрерывно обра-

тимый оператор;

2) V : Б{Т>) с 1Р{Ъ+,Х) ->• Р{Ъ+,Х) - непрерывно обратимый опера-

тор;

3) <т(Т(1)) П Т = 0, КегРо = Е, где Ро — проектор Рисе а для оператора

Т( 1), построенный по спектральной компоненте ег¡щ = {Л € сг(Т(1)) :

|Л| < 1}.

Если выполнено одно из этих условий, то обратный к С оператор имеет вид

(£-1/)(0 = /С(1-3)№с18, /еЩж+,х),

где функция G : R —> LB(X) определена соотношениями Г(т) = I Т(Т)Р°' Т>°'

l-f(r), т < О, Р\ — I — Pq.

Оператор Т(т), т < 0, однозначно определяется равенствами

Т(r)Pix = О, х б /тР0; (Т(т))Г(-т) = Т(-т)(Т (т)) = Рьт < О,

и функция G допускает оценку ||G(r)|| ^ Ме~1Т,т ^ О, для некоторых М > 1, 7 > О.

Теорема 5.2. Яусть Е = {0}, и £ = £{0¡ = —^ + А — дифференциальный оператор, отвечающий этому подпространству, тогда следующие условия эквивалентны:

1) С = £{о} : D(C) с LP(R+,X) LP(R+,X) - непрерывно обратимый

оператор;

2) V : D{V) с lp{%+,X) ZP(Z+,X) (D(V) определяется по Е = {0}) —

непрерывно обратимый оператор;

3) r(T( 1)) < 1.

Есля выполнено условие 3), то обратный к С. оператор определяется формулой

(£-V)(í) = JT(t- r)f(r)dr, f 6 1р(Ш+, X), t > 0. (17) о

При выполнении условия <т(Т(1)) Л Т = 0 интегральный оператор, определенный формулой (17), является левым обратным для оператора С. Теорема 5.3. Следующие условия эквивалентны:

1) С : D(C) С LP{R+,X) —> L^R+jX) — непрерывно обратимый опера-

тор;

2) Т> : D(T)) С 1Р{Ъ+,Х) —> lp(h+,X) — непрерывно обратимый опера-

тор;

3) Т(1) — непрерывно обратимый оператор и r(T(I)-1) < 1. Если выполнено условие 3), то

(C-'W) = -¡T{t - r)/(r)dr, / б Lp(R+,X), i > 0. t

Если выполнено условие cr(T( 1)) Л T = 0, то оператор является правым обратным к С и, в частности, С сюръективен.

Глава 2. Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах

Глава 2 состоит из 4 параграфов. В §1 описывается спектр оператора

К: Ра(%,Х) -»• 1ра(1., X), (Кх)(п)=Вх(п-1), п&Х,х&Ра(Х,Х),

где оператор В € ЬВ(Х) и = 1ра(Ъ,Х), р £ [1, со], — банахово пространство двусторонних последовательностей х : Ъ —X векторов из X, суммируемых с весом а : Ъ —> (0,оо) с нормой ||а:|| = ||ж||р,а =

^а(п)^) ^ ' Р ^ [1, оо), и ограниченных относительно а с нормой

М = Моо,о = 8ирВД1, р = 00.

пег к '

Всюду считается, что весовая функция а : 1, (0, оо) удовлетворяет условию

, . а(п — 1) . .

ае(а) = вир . . < оо. (18)

пег а(п)

Основные результаты получены с использованием величин

(а(к)

ъщ>—-г-—-) , (19)

kez а(к + п)/

xiat(a)= lim finf-^-V', (20)

n-+oo \kez a(k + n)J

построенных по весу а : Ъ —> (0, оо).

Суть основного подхода к исследованию рассматриваемых разностных и дифференциальных операторов состоит в использовании преобразования подобия исследуемого оператора в оператор, действующий в "невесовом" пространстве. С помощью него устанавливается один из основных результатов данного параграфа.

Теорема 1.1. Спектр сг(К) оператора/С представим в виде

а(К) = Tcr(ß)[8eint(a), se0ut(a)] =

= {jXs : 7GT, [ffimt(«)i £Eout(a)l}•

Далее рассматривается приложение сформулированного результата к исследованию спектра дифференциальных операторов, действующих в весовых функциональных пространствах. Дифференциальные операторы будут определяться с помощью семейства эволюционных операторов.

Определение 1.3. Под семейством эволюционных операторов на банаховом пространстве X понимается сильно непрерывная операторнозначная функция U : Д = {{t,s) е R х 1 : LB(X) со свойствами: 1)

U{t,t) = I, t G Ж; 2) U(t, s)U(s, т) = U{t,r) для всех г ^ s ^ t из R; 3) существуют постоянные M > 1, 7 G К, такие, что \\U(t, s)|| < M ехр7(t — s) для всех (t, s) G A.

Функцию a : M —> (0,oo) назовём допустимым весом, если скалярное семейство

U~a : Д LB(R) « R, = (t,s) G Д,

является семейством эволюционных операторов.

Для допустимого веса 5 : К —» (0, оо) символом L~(M,X), где р G [1,00], обозначим банахово пространство измеримых (но Бохнеру) функций х : К —> X, для которых конечна величина

, ми.».,

\\x(t)\\

F = F ôf.oo =vrai sup ' , p = 00. (21)

ieR a(t)

Через Сь,аг(®1 X) обозначим подпространство непрерывных функций из L-'ÇS.jX), для которых конечна величина (21). Наконец, через S~(R, X) = S~, p G [l,oo), обозначим (весовое пространство Степанова) банахово пространство измеримых функций х : R —> X, для которых конечна величина

(m p \ * /(wb) ■

Далее символом = ^(R, X) будет обозначаться одно нз перечисленных функциональных пространств. Если а = 1, то соответствующие "невесовые" пространства будут обозначаться через IJ}(R, X), C|,(R,X), Sp(R,X) п, вместо Js(R,X), использовать обозначение .F(R, X).

Пусть U : А LB(X) — семейство эволюционных операторов. Определим оператор Сц : D(Cu) С J~s —> = X) следующим образом. Пару функций (х, f) £ Tâ отнесем к графику оператора Сц, если для

всех (t,s) G А имеют место равенства

x(t) = U(t, s)x(s) - JU{t,T)f(r) dr, s^t.

Таким образом, x & D(Cu) и Сцх = /• Это определение корректно, т. е. функция / единственная для данной функции х G Ts-

Пусть Т : Ж+ = [0, оо) —> LB(X) — сильно непрерывная полугруппа операторов класса Со (по терминологии Хилле - Филлипса) и А — её инфините-знмальный оператор. Тогда семейство U{t,s) = T(t — s), (t,s) G А, является семейством эволюционных операторов. Определяемый этим семейством оператор Си : D(£u) С Ts(M.,X) Ts(R,X) обозначим через £ = —■£ + А. Далее через а обозначим сужение веса а : R (0, оо) на Z и, наряду с оператором £ : D(£) С Ts(R,X) —>■ Tq(R,X), рассмотрим разностный оператор Т> = I — tCj : Ta(Z, X) -> Ta(Z, X), где оператор К-т имеет вид

(1Стх)(п) = Т(1)х(п - 1), n G Z, х е Ta{Z, X).

Здесь банахово пространство последовательностей Ta{Z,X) совпадает с пространством lp(Z,X), р G [1,оо] и называется ассоциированным с пространством .Fa;(M,X).

Теорема 1.2. Если £CjIlt(a) > 0, то

а{£) = {A G С : ехрА G la(T{l))\eeint{a), seÜUt(a)]},

и ссли seint(a) = 0, 8eout(a!) > 0, то

а(£) = {A G С : Не А ^ х9(Т)1пээ01й(й)},

где Хд(Т) = lim Спектр а(£) оператора С пуст, если aeout(a) = 0.

£—> оо

В §2 изучаются спектральные свойства операторов

IC+: l>,+ ra,+ = m+,X), (K+x)(n) = { *x(n ~ 1}' It J;

V+ = I- /С+, (:D+x){n) = x(n) - (!C+x)(n), n G Z+, x G lva{Z+,X),

где оператор В 6 LB(X), символ I обозначает тождественный оператор в любом из рассматриваемых банаховых пространств и lpa{Z+, X), р G [1, оо], — банахово пространство односторонних последовательностей х: Z+ —> X векторов из X, суммируемых с весом a : Z+ -> (0,оо) с нормой ||я|| =

IMIp.n = о (^a(nj^) )P> P e [l'°°)> 11 ограниченных относительно а с нормой ||х||ооа = sup < оо, р = оо. Будем считать, что вес а : Z+ —>■

п>0 [ 1

(О, оо) удовлетворяет условию supn^j < оо.

Основные результаты получены с использованном величины

[ (у(п) \ т х{а) = lim sup , ' . . (22)

т-юа \п>0 а{п + т) J

Одним из основных результатов параграфа является Теорема 2.1. Спектры <т(/С+), <?(Т>+) операторов /С+, Т>+ имеют следующие представления

а(/С+) = {А G С : |Л| < и{а)г(В)}, <т( 23+) = {Л е С : |А - х(а)г(Я)},

где r(ß) — спектральный радиус оператора В. В частности, оператор К,+ квазппильпотептсн тогда и только тогда, когда выполнено условие x(a)r(B) = 0.

Теперь рассмотрим приложения приведённых результатов к исследованию дифференциальных операторов в весовых функциональных пространствах.

Функцию а: R+ —> (0,оо) назовем допустимым весом, если (скалярное) семейство

Z4: Д+ ЬВ(Ж), U3(t,s) = ^, (t,s) е А+,

a(t)

является семейством эволюционных операторов.

Для любой непрерывной функции а: Е+ —> (0, оо) символом L~(R+,X) обозначим банахово пространство измеримых (по Бохнеру) функций х: R+ —> X, для которых конечна величина

i' 00 \ р

/ ) dr) INU,s = vraisup

> Р — с*-1-

Символом С^д;(К+,Х) обозначим банахово пространство непрерывных функций х: М+ —> X, ограниченных относительно а (подпространства Ь~?(М+,Х)), а 5~(К+,Х), 1 ^ р < оо, — банахово пространство (весовое пространство Степанова) измеримых функций, для которых конечна

величина

Далее символом .Fs(R+,X) будет обозначаться одно из этих пространств, т.е. J~(Z+,X) Е Щ(Е+,Х),(75,б(М+,Х),5£(М+,Х). Если а = 1, то соответствующие пространства будут обозначаться через LP{R+,X), Cb{R+,X), SP{R+,X) и, вместо 7"а(М+,Х), будет использоваться символ Jr(K+,X).

По семейству эволюционных операторов И: Д+ —> LB(X) определим линейный оператор Сц: D{Cu) С .Fa:(Z+,X) —> J~s{Z+,X) следующим образом. Непрерывную функцию х е X) отнесем к области определения D{Cu) оператора Сц, если существует функция / 6 J-"s(Z+,X) такая, что функция х представима в виде

x(t) = - JU(t,T)f(r)dT.

При этом полагается Сих = /•

Пусть Т: Ж+ —> LB(X) — сильно непрерывная полугруппа операторов класса Со и А — её инфинитезимальный оператор. Тогда семейство U{t,s) = T(t — s), (t,s) e Д+ является семейством эволюционных операторов и оно порождает определяемый выше оператор £ц, который для такого U будет далее обозначаться через С или через -| + Ли называться дифференциальным оператором (с неограниченным операторным коэффициентом), определяемым начальным условием х(0) = 0.

Теорема 2.2. Пусть а: М+ —> (0,оо) — допустимый вес. Тогда спектр <т(С) оператора

£ = ~ + А: D(C) C.F5(Z+,X)^S(Z+)X)

допускает представление о(£) = {A G С : Re А ^ ln(>i(a)r(T(l)))}, если x(a)r(T( 1)) > 0,и <т(£) = 0, если н(о)г{Т(1)) = 0, где х{5) из (22).

В §3 получены необходимые и достаточные условия обратимости оператора

Т>Е : D{Ve) С -> lpa<+, (VEx)(n) = x{n + 1) - Bx(n), neZ+,x€ 1раЛ,

ре [1,оо).

с областью определения D(DE) = {ie ■ z(0) £ E, e /+},

где E — замкнутое подпространство нз X, оператор В e LB(X) и 1раЛ = lp(h+,X), р € [1, оо], — банахово пространство односторонних последовательностей векторов пз X, определенное в §2.

Весовая функция а : Z+ —> (0, оо) удовлетворяет условию

4-/ ч а(п) , .

as (a) = sup . ' < 00. 23

п&+а(п +1) V '

Введём следующие величины

(\ V™

sup \ 1 ' (24) kez+ а{к + п) J

œ+ (а) = lim ( inf "(fc) У , (25)

n-юо \k£Z+ а{к + n)J '

построенных по весу а.

Основные результаты этого параграфа, связаны с исследованием разностного оператора Т>е-

Теорема 3.1. Пусть ж^ (а) > 0 и Е инвариантное подпространство относительно оператора В e LB(X). Для того, чтобы оператор Т>е был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

œîut(û)MS)) П Т = 0; ImP0Ut = Е,

где Pout — проектор, построенный по спектральному множеству crout = {Л € <т(В) : |Л|эйщ(а) > 1}. При выполнении этих условий обратный оператор Vg1 G LB(lva +) к Т>е определяется формулой

(2#î/)(n) = J2 G(n - m - l)y(m), neZ+, y G lpn,+ ,

m=0

где двусторонняя последовательность G : Ъ —> LB(X) определена формулой

G(k) = lBkPint'

\-BkP0 ,lt, k^-l,

где В 6 LB(X) был определён в теореме 2.2 главы 1 (в данном случае Д| = Pint, Pout = Pi)-

Теорема 3.2. Пусть a^lt(a) = 0 и Е — ненулевое инвариантное подпространство относительно оператора В, тогда оператор Т>е не является непрерывно обратимым.

Теорема 3.3. Пусть эзщ(а) = 0 и Е = {0}. Тогда оператор Т>щ непрерывно обратим в том и только в том случае, когда авоШ(а)г(В) < 1.

Теорема 3.4. Пусть аещ(а) > 0 и Е — X. Тогда оператор Т>х непрерывно обратим в том и только в том случае, когда В — непрерывно обратим и < ае^(а). В частности, еслиге^(а) = ае^а) = 1, то второе условие означает, что а (В) лежит вне единичной окружности Т.

Далее приведём приложения теоремы 3.1 к исследованию условий обратимости дифференциальных операторов, действующих в весовых функциональных пространствах.

Пусть U : Д+ —> LB(X) — семейство эволюционных операторов и Е — замкнутое линейное подпространство в X. Определим оператор

СЕ = СЕ,a : D{CE) С -F5(K+,X) -> JaO^.X)

следующим образом. Пару функций (x,f) € ^(R+j-X") х ^(М+,Х), где х — непрерывная функция, отнесем к графику оператора Се, если х(0) £ Е и t

x{t) = U(t, s)x{s) - £ U(t, r)/(r)dr, 0 < s < t < oo.

Таким образом, x 6 D(Ce) и Cex = /.

Пусть T : R+ -» LB(X) — сильно непрерывная полугруппа операторов класса Со и А — её иифинитезимальный генератор. Тогда семейство U(t, s) = T(t — s), (t, s) б Д+, является семейством эволюционных операторов. Определяемый этим семейством оператор Се '■ D(Ce) С —> обозначим Се = + Далее через а обозначим сужение веса a : R+ —» (0,оо) на Z+. Символом Fa(Ъ+,Х) будем обозначать пространство lpa{Z+,X) , если = L|(R+,X), р е [1,оо), и J7a{Z+,X) = i~(Z+)X), если J-5(R+,X) = Lf( R+,X) или rs{R+,X) = Cb,s{R+,X).

В следующей теореме используются приводимые в теореме 3.1 условия для оператора В = Т( 1) и для проектора Р0ut, построенного по спектральному множеству (Tout-

Теорема 3.7. Пусть ас^ (а) > 0. Тогда оператор Се непрерывно обратим тогда и только тогда, когда выполнены условия:

([ае+(a), ae+t(a)]<7(T(l))) П Т = 0; ImPout = Е,

где Pout — проектор, построенный по спектральному множеству crout = {Л £ (J(В) : |A|œ^t(a) > 1}. При выполнении этих условий обратный оператор С]} к Се определяется формулой

(¿в/)(*) = JG(t — s)f(s)ds, / G Js(K+,X), о

где функция G : R+ х R+ —» LB(X) задана равенствами

\т(т), т < О,

Операторы Т(т), т < 0, однозначно определяются равенствами Т(-т)Т(т) = Т(т)Т(—т) = Pout = I - Ры.

В §4 изучается линейный разностный оператор

{Vx ){t) = x(t) - B(t)x(t -h), te R, x G .F(K>

где h — некоторое ненулевое число из R и В : R -> LB(X) — функция из пространства C(,(R, LB(X)). Получены необходимые и достаточные условия его непрерывной обратимости в рассматриваемых функциональных пространствах.

Символом ,F(R,X) обозначается одно из следующих функциональных пространств: LP(R,X), Cb(R,X), СЬм{R,X), C0(R,X).

Символом J-^Z, X) обозначается одно из следующих банаховых пространств последовательностей: lp(Z,X), 1 < р ^ оо, co(Z,X).

Введем в рассмотрение последовательность операторнозначных функций

Bk(t)JmB(t-h)...B(t-(k-m, kzi, ieRi {I, k = 0,

из пространства C&(R, LB(X)). Даётся определение экспоненциальной дихотомии этой последовательности.

Теорема 4.3. Пусть В G C(,.„(R, LB(X)). Для обратимости оператора V = I—JC : Jr(R,X) —> J"(R,X), необходимо и достаточно, чтобы семейство (26) функций Bk(t), к > 0, t G R, обладало свойством экспоненциальной дихотомии. При этом задающая дихотомию проскторпозначная функция Р : R —> LB(X) равномерно непрерывна в равномерной операторной топологии (т. е. Р е Cb,u{R,LB(X))). Обратный оператор V'1 G LB(F(R,X))

определяется формулой

(D-1x)(t) = J2Dk(tMt-kh), te R, IE F(R,X),

ke z

где Dk(t) = P{t)Bk{t), к ^ 1, t G M; M)(f) = P(f), i G M, и операторы Dk(t), к < —1, isl, быля заданы в условии 4) определения 4.1.

Теорема 4.4. Пусть оператор В G LB(X). Для непрерывной обратимости оператора V : .F(K,X), (£>х)(£) = x(t) - Bx(t - /i), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие о(В) П Т = 0. При этом обратный оператор Т>~1 задастся формулой

00 —1 (ZrVXi) = J2 BhPimx{t -kh)+ - kh),

k=0 k=—oo

где Pint — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству fTjnt = {A G а(В) : |А| < 1} и Pout = I — -Pint — дополнительный к Pjnt проектор. Оператор Вк G LB(X), к ^ —1, однозначно определяется из равенств: В~к{Вк) = (Вк)В~к = Pout, к ^ -1.

Теорема 4.5. Спектр оператора Х>04 G ЬВ{Т(Ъ,X)), (1\,;2')(п) = %;>Bx(n — l),n е Z, х G (.F(Z, X)) совпадает с множеством

Ta(B)[seiat(a), геои((а)]^7Лз : 7 G Т,А G [seint(a),aeout(a)]|. (27)

Глава 3. Бесконечно дифференцируемые вырожденные полугруппы операторов

Глава состоит из 3 параграфов. В §1 будем рассматривать введённое С.Г. Крейном понятие ослабленного решения, адаптированное к дифференциальным включениям с линейным отношением Л € LRC{X) вида

x(t) G Ar(f). (28)

О О

Функция X G C(R+\D(A)) П Сх(М+;Х), М+ = (0,оо), удовлетворяв

щая включению (41), т.е. (x(t),x(t)) G Л, при всех t G R+, называется его ослабленным решением.

Под ослабленной задачей Коши для дифференциального включения (28) понимают задачу нахождения ослабленного решения, удовлетворяющего начальному условию

х(0) = х0. (29)

(Отмстим, что элемент может не принадлежать области определения отношения Л.)

Теорема 1.1. Пусть отношение Л 6 LRC(X) удовлетворяет условиям:

1) С„ = {А G С : ReA ^ а} С р(Л) для некоторого а е К;

2) lim ММ = 0;

' ReA—юо RcA

3) существует монотонно возрастающая функция ip : [а, оо) —> R+ такая, что lim <p(t) = оо, lim 1п||Л|(?;"4)11 = 0, для всех А е £%) = {А 6 С„ :

<-+00 |Л|—юо 11

ReA </з(1тА)}.

Тогда ослабленное решение х : R+ —>■ X задачи Коши линейного дифференциального включения (28), (29) единственно и представпмо в виде

n+ioo

X(t) =

(í) = —í eMR(\,A)x{0)d\, 2тг г J

где интеграл понимается в смысле главного значения.

В §2 под полугруппой операторов понимается сильно непрерывная опе-

раторнозначная функция Т : К+ —> LB(X), удовлетворяющая условию T(t + s) = T(t)T(s), t,s > 0. При этом отметим, что отсутствуют такие традиционные дополнительные ограничения, как 1) ядро полугруппы Т

удовлетворяет условию KerT = П KerT(í) = {0}; 2) образ полугруппы

оо

Im Г = U Im T(t) плотен в X.

í> о

Для столь общих полугрупп операторов естественным образом вводится понятие инфшштезимального оператора A: D(A) С X —> X полугруппы Т с областью определения

D(A) = !xeX: Б lim Т®х ~ х\

Í-S-0+ t )

и полагается

T(t)x — х .. Ах = lim —-, х е DIA).

г-ю+ t

Однако отсутствие указанных ограничений на Т может ослабить традиционные свойства инфшштезимального оператора. Например, его область определения D{Ä) может быть не плотна в X п, более того, его резольвентное множество р(А) может быть пустым. Это приводит к большим затруднениям, связанным с использованием оператора А для исследования полугруппы Т.

В данной работе мы придерживаемся подхода А.Г.Баскакова к определению нифииитезималыюго оператора полугруппы (он получает новое название: генератор полугруппы), который для столь общих полугрупп может оказаться линейным отношением (многозначным линейным оператором) на X, т.е. линейным подпространством из декартова произведения X х X двух экземпляров банахова пространства X.

Определение 2.1. Множество А нар векторов (х,у) 6 X х X, где

___ о

х 6 1т Т, для которых при всех 0 < 5 ^ £ из К , верны равенства Т{г)х - Т(в)я = У Т(т)у<1т,

называется старшим генератором полугруппы операторов Т : —> ЬВ(Х).

Определение 2.2. Строгим инфинитезимальным производящим опе-

ратором полугруппы Т : ЬВ{Х) называется оператор А0 : £>(А0) С

X -> X, £>(А0) = {хеБ(А) : ЛжеХс(Т)} и А0:г = Ах, где ХС(Т) = {х е X : Нт Т{1)х = х}. Очевидно, что Ао С А.

Определение 2.3. Любое отношение А е Ы1(Х), удовлетворяющее условиям: 1) Ао С А С А; 2) А перестановочно с операторами Т(£), £ > О,

называется генератором полугруппы Т : М+ —» ЬВ{Х). Генератор А полугруппы Т называется базовым, если резольвентное множество р{А) отношения А содержит полуплоскость Сш = {А € С : Г1е А > ы} для некоторого ш{Т) = Нт(1п||Т(«)||/«).

¿—кх>

Множество всех генераторов полугруппы Т обозначим символом Сепег(Т).

Для разрешимости и построения решений (в том или ином смысле) дифференциального включения

х(£) б Аг(£), £ > 0, (30)

(в "классическом" варианте уравнения х = Ах с линейным оператором А : -О(Л) С X —» X) с начальным условием

ж(0) = х0еХ. (31)

используется теория (столь общих) полугрупп операторов.

Определение 2.4. Полугруппа операторов Т : Ё+ -> ЬВ(Х) называется разрешающей для дифференциального включения (или ассоциированной с дифференциальным включением) (30), если любое решение х : М+ —» X представляется в виде х(1) = Т(Ь)хо, £ > 0, для некоторого хо £ X.

Замыкание в X множества начальных условий вида (31), для которых существует решение задачи (30), (31), назовем фазовым пространством дифференциального включения (30) и обозначим через Ф(-4).

Определение 2.5. Пусть Т : К+ ЬВ(Х) - разрешающая полугруппа для дифференциального включения (30). Любая функция х : Е+ —> X вида х(Ь) = Т(Ь)хо, £ > 0, где хо 6 Ф(Д), называется слабым решением включения (30.).

В дальнейшем для отношения Л € ЬЯС(Х) считается выполненным Предположение 2.1. Отношение Л € ЬЯС(Х) удовлетворяет двум условиям:

1) С„ = {А 6 С : Р1е А > а} С р(Л) для некоторого а 6 К;

2) существуют числа тп €Е М, М > 0, 0 6 (0,1] такие, что

||Я(А,ЛП <(М(1 + |1тА|))-"т VА е Са.

В дальнейшем через ф будем обозначать функцию ф{т) = с( 1 + \т\)®, г£1,/1е (0,1], н по функции ф будем рассматривать область 11(ф), ограниченную кривой Г(ф). Опн определяются равенствами

Ц(ф) = {А 6 С : КеХ^а- ф(1т А)}, Г(^) = {-ф(у) + а + гу: уе М}.

Теорема 2.2. Пусть для отношения А выполнено предположение 2.1. Тогда равенство

Т(г) = —— [ еХ1Ш\,А)<1\, Ь> 0, (32)

2т ]

Г(ф)

определяет бесконечно дифференцируемую полугруппу операторов

Т : —> ЬВ(Х), причём имеют место следующие свойства:

1) отношение А перестановочно с Т(£), £>0, АоСА п АП(1тТх1тТ)сА и, в частности, А - базовый генератор полугруппы Т, если 1т Т = X;

2) ТМ(Ь)х = Т{Ь)у, к > 0, х е 0{Ак), у - любой вектор из Акх;

3) Ф(Л) = £>(Л).

Теорема 2.3 (об отображении спектра). Для отношения А £ LRC(X), удовлетворяющего условиям предположения 2.1, и полугруппы операторов

Т : R+ —> LB(X), определённых формулой (32), имеет место равенство

a(T(t))\{0} = {eAi: Л е о(А)}.

Если а (А) ф 0, то полугруппа Т ненулевая.

Предположение 2.2. Существуют число m £ N и последовательность

(А„) из Са, для которой lim |An| = оо, sup ||(А„Д(А„, Д))т|| = L < оо. п-^00 1

Теорема 2.4. Пусть для отношения А выполнены предположения 2.1

и 2.2. Тогда полугруппа Т : R+ —» LB(X), определенная формулой (32) (помимо свойств из теоремы 2.2), обладает следующими свойствами:

1) подпространства X, Xq, Хж являются инвариантными для операторов T(t), t > 0;

2) сужение Т'х, : Ж+ —>• LB(Xa0) полугруппы Т па Xqo = Arn0 есть нулевая полугруппа;

3) для сужения То : М+ —> ЬВ(Хо) полугруппыТ на Хо верны равенства

= Х0 = ЩА™у = .

4) оператор Ао - базовый генератор полугруппы То;

5) Ф(Д) = D(Af) = ЩЩ = ад = Хо;

6) Т = Т0©Too, если векторы из Аш0 разделяют функционалы из (Д*)т0. Следствие 2.3. Для любого х £ Хо = D(Am) имеет место равенство

х= lim (—XnR(Xn, A))mx.

п—юо

Определение 2.6. Функцию ф : R —> R отнесем к классу Ф, если она удовлетворяет следующим условиям: (i) ф положительна, непрерывно дифференцируема и не убывает с возрастанием |т|; (ii) ф(т) —> оо при |т| —>

оо

оо; (iii) ф'(т) ограничена; (iv) f dr < оо при любом t > 0.

—оо

Такой класс функций введён в монографии Е.Хилле и Р.Филлипса. Предположение 2.3. Отношение А £ LRC(X) удовлетворяет следующим двум условиям: 1) CQ С р(А) для некоторого a £ R; 2) существуют m е N, М >0,ф е Ф такие, что ||Л(А,Л)т|| «С М{ф{1шХ))~т,Х £ CQ.

Теорема 2.6. Пусть для отношения А выполнено предположение 2.3. Тогда формула (32), в которой контур Г(ф) заменяется контуром Т(ф), ф £ Ф, определяет бесконечно дифференцируемую полугруппу операторов

Т : R+ -> LB(X), причем верны свойства 1) - 3) из теоремы 2.2.

Теорема 2.7. Для отношения A G LRC(X), удовлетворяющего усло-

виям предположения 2.3, и полугруппы операторов Т : R+ -» LB(X), определённой равенством (32), где ф заменяется ф, имеет место равенство

a{T(t)) \ {0} = {eAi: Леа(Л)}.

Если сг(А) Ф 0, то полугруппа Т ненулевая.

В §3 получены достаточные условия на отношение А £ LRC(X), при которых оно является базовым генератором некоторой бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов. При этом обобщаются соответствующие результаты из монографии Е.Хилле, Р.Филлипса, а также некоторые результаты работ Ю.Т.Сильченко, П.Е.Соболевского. Рассматривается класс линейных отношений из LRC(X), имеющих резольвенту, поведение которой регулируется функциями из класса Ф (см. определение 2.6).

Теорема 3.1. Пусть отношение A G LRC(X) удовлетворяет следующим условиям:

1) р{А) D С+ = {А <Е С : ЯеА ^ 0};

2) существуют функция ф е Ф и число М > 0 такие, что ||Д(гт, -4)|] ^

3) резольвента отношения А удовлетворяет в С+ оценке ||Я(А, Л)|| < М\(1 + |A|)Q, А е С+ для некоторого a ^ -1 и Mi > 0.

Тогда отношение А является базовым генератором бесконечно дифференци-

руемой полугруппы операторов Т : —> LB(X), определяемой формулой

а+гоо

T(t) = -~ [ extR(X,A)dX, t >0, (33)

im J

a—i'oo

где a > — ао, ao = inf^y. При этом сходимость интеграла в (33) понимается в смысле главного значения. Кроме того, справедлива оценка ||Г(г)|| < M2eat, t > 0, где М2 > 0.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в рецензируемых научных журналах, включённых в реестр ВАК МОиН РФ

1. Бичегкусв М.С. Интегральные операторы, порожденные оператором взвешенного сдвига / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. — 1996. — Т.59.- № 3. - С.452-454.

2. Бичегкуев М.С. Об одном интегральном уравнении на полуоси / М.С. Бичегкусв //Вестник СОГУ.- 1999,- № 1,- С. 3-4.

3. Бичегкусв М.С. Интегральные операторы взвешенной свертки / М.С. Бичегкуев // Влад.матем. жури.- 2002.- Т.4.- № 2,- С. 17-22.

4. Бичегкуев М.С. Взвешенная производная и дифференциальные уравнения / М.С. Бичегкуев // Влад.матем. журн.— 2003.— Т. 5,— № 4.— С. 32-42.

5. Бичегкуев М.С. Об ослабленной задаче Коши для линейного дифференциального включения / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки.—2006.— Т. 79,- № 4.- С. 483-487.

6. Бичегкуев М.С. Условия разрешимости разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв.РАН. Сер. матем,- 2008.- Т.72 - № 4,- С. 25-36.

7. Бичегкуев М.С. Об ограниченных решениях разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв.вузов. Математика — 2008 — № 8 — С. 16-24.

8. Бичегкусв М. С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкусв // Матем. заметки.— 2009.— Т.86.— № 5.- С. 673-680.

9. Бичегкуев М. С. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах/ М.С. Бичегкуев // Функц. анализ и его прил..- 2010.- Т.44,— № 1- С.80-83.

10. Бичегкуев М.С. К теории бесконечно дифференцируемых полугруппп операторов / М.С. Бичегкуев // Алгебра и анализ,— 2010.— Т. 22.— № 2,- С. 1-13.

11. Бичегкусв М.С. Об условиях разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // Сиб. матем. журн.- 2010.- Т. 51.- № 4.- С. 751-768.

12. Бичегкуев М.С. О некоторых классах бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов / М.С. Бичегкуев // Диффереиц.уравнения,— 2010.- Т. 46,- № 2,- С. 220-234.

Подписано в печать 12.01.11. Формат 60*84 Усл. печ. л. 1, Тираж 100 экз. Заказ 18.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Бичегкуев, Маирбек Сулейманович

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ОБ УСЛОВИЯХ РАЗРЕШИМОСТИ

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ И ВКЛЮЧЕНИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ К РАЗРЕШИМОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.

§1. Некоторые понятия из теории линейных отношений

§2. Условия разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства. Оценки решений.

§3. Условия разрешимости разностных включений.

§4. Ограниченные решения разностных включений.

Введение диссертация по математике, на тему "Спектральная теория разностных и дифференциальных операторов и вырожденные бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов"

Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время в значительной мере отражали монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [26], Х.Массера, X. Шеффера [44], авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными. Существенный вклад в теорию таких уравнений был сделан В.В. Жиковым в статье [29]. Затем результаты этой статьи были изложены в монографии Б.М. Левитана, В.В. Жикова [43].

В последние пятнадцать лет была установлена глубокая связь между теорией дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, теорией полугрупп операторов и теорией разностных операторов как непрерывного аргумента, так и дискретного. Связь с разностными операторами прослеживается в двух направлениях.

Первое направление связано со следующим методом исследования. Рассматриваемому дифференциальному уравнению сопоставляется линейный дифференциальный оператор, действующий в подходящем функциональном пространстве. В 1974 году Хоулэндом [82] была введена в рассмотрение полугруппа разностных операторов, действующих в том же функциональном пространстве. Её важная роль проявилась значительно позже в работах А.Г. Баскакова [16]—[17], Ю.Д. Латушкина, С. Монтгомери - Смита [84], в которых было установлено, что соответствующий дифференциальному уравнению дифференциальный оператор является генератором (инфинитезимальным оператором) полугруппы разностных операторов Хоулэнда. При этом важно отметить, что для этой полугруппы операторов имеет место теорема об отображении спектра, которая была доказана одновременно в статьях А.Г. Баскакова [9], [12], Ю.Д. Латушкина, С. Монтгомери - Смита [84], Ф. Рёбигера, Р. Шнаубельта [90]. Эта теорема позволяет свести изучение дифференциального оператора к изучению ограниченных разностных операторов, действующих в тех же функциональных пространствах.

Техника исследования дифференциальных операторов, основанная на использовании разностных операторов в пространствах последовательностей, и использование теории полугрупп операторов позволили за последние пятнадцать лет существенно развить теорию дифференциальных операторов с неограниченными коэффициентами. Именно такая техника исследования положена в основу получения основных результатов диссертации.

Теория разностных операторов и связанные с ней разностные уравнения с дискретным и непрерывным аргументом играют важную роль в описании процессов и явлений, изучаемых во многих областях современной науки (биологии, экономике, химии, физике, теории автоматического регулирования и др.)

Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия. Так в работах О.Перрона [87] и А. Пуанкаре [88] изучались вопросы поведения на бесконечности некоторых типов разностных операторов, связанных с операторами взвешенного сдвига.

Особое внимание к разностным операторам и уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений. Подобные исследования различных классов уравнений осуществлялись в работах многих авторов, в частности А.Б.Антоневича [3],[4],[70], А.Г.Баскакова [10]-[13], [15], Р.Беллмана и К.Л.Кука [18], И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдмана [25], П.П.Забрейко и Нгуен Ван Миня [31], В.Г.Курбатова [39], [40], [83] Х.Л.Массера и Х.Х.Шеффера [44], В.М.Тюрина [63], Д.Хенри [68].

Разностные операторы являются также объектом исследования в спектральной теории динамических систем, что отражено в монографиях З.Нитецки [52], П.Халмоша [67], Ю.Д. Латушкина и А.М. Стёпина [42] и многих других. Связь разностных операторов с задачами теории функций рассматривались в работах Ю.Ф.Коробейника [37], А.А.Миролюбова и М.А.Солдатова [48],[49], Н.К.Никольского [50], В.Д.Степанова [56],[57] и А.Л.Шилдса [93],[94].

Спектральные свойства разностных операторов исследовались А.Б.Антоневичем [3], Э.М.Мухамадиевым [47], Э.М.Мухамадиевым и Б.Н.Садовским [49].

Связь экспоненциальной дихотомии с разрешимостью неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве непрерывных ограниченных на числовой прямой функций установлена О.Перроном [87]. Дальнейшие исследования в этой области для уравнений в банаховых пространствах с ограниченными коэффициентами проводились Х.Массером и Х.Шеффером [44]. Однако, даже для обыкновенного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами достаточно долго не удавалось доказать эквивалентность его обратимости и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства. В монографии Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна [26] аналог этого утверждения получен при некоторых дополнительных условиях. Этот результат, для случая неограниченных операторных коэффициентов, получен в работах В.В.Жикова [29] и А.Г.Баскакова [12].

Экспоненциальную дихотомию для разностных уравнений в банаховом пространстве рассматривали С.Коффман и Х.Шеффер [74], делая упор на связь дихотомии и допустимости. В работе В.Е.Слюсарчука [57] доказана эквивалентность обратимости разностного оператора с ограниченными операторными коэффициентами, содержащего взвешенный сдвиг, и экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов. Аналогичный результат для случая ограниченных коэффициентов, определяющих (возможно) неограниченную операторнозначную функцию, получен в монографии Д.Хенри [68]. В обеих работах операторы рассматривались в пространстве ограниченных двусторонних последовательностей векторов из банахова пространства.

Основные результаты диссертации связаны с исследованием разностных операторов, действующих в пространстве последовательностей векторов из банахова пространства. Для исследования таких операторов, ввиду их ограниченности, применимы методы спектральной теории операторов и, более общо, спектральной теории линейных отношений (многозначных линейных операторов).

Ставшие классическими результаты из отмеченных монографий Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна [26] и X. Массера, X. Шеффера [44] относились к пространствам функций, инвариантных относительно сдвигов. Возникает естественная проблема изучения дифференциальных и разностных уравнений в весовых пространствах функций, определённых на бесконечном промежутке, и последовательностей векторов (односторонних и двусторонних). Такая проблема рассматривается во второй главе диссертации, в которой получен ряд основных результатов. Даётся полное описание спектра как разностных, так и дифференциальных операторов. Полученные результаты являются новыми даже для обыкновенных дифференциальных операторов. Валено отметить, что фактически отсутствуют ограничения на весовую функцию. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.

Отметим, что один из известных нам результатов, связанных с разрешимостью в пространстве растущих функций, получен в теореме 7.6.3 из монографии Д. Хенри [68], в которой при условии экспоненциальной дихотомии соответствующего семейства эволюционных операторов получена разрешимость дифференциального уравнения в классе растущих функций. Какая-либо содержательная теория рассматриваемых операторов в весовых пространствах отсутствует.

Пусть J — один из бесконечных промежутков = [0,оо), К. — (—со, оо). Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения = А{г)х, г € з, (1) + /(*), (2) где : С X —> X, £ е <7, — семейство замкнутых операторов, действующих в комплексном банаховом пространстве X. Одним из центральных вопросов геометрической теории (качественной теории) таких уравнений является исследование асимптотического поведения решений, а также исследование условий существования ограниченных решений. Асимптотические свойства решений уравнений (1), (2) соотносятся с соответствующими свойствами дифференциального оператора рассматриваемого в подходящем функциональном пространстве X). Одним из наиболее важных пространств является банахово пространство Сь(^Х) непрерывных и ограниченных на 7 функций со значениями в банаховом пространстве X. Построение оператора С осуществляется в условиях корректности задачи Коши х(в) = хо £ X, (3) для однородного дифференциального уравнения (1). Это влечёт существование семейства эволюционных операторов Ы : AJ —» ЬВ(Х), где AJ = {(£, й) Е / х 7 : 5 < ЬВ(Х) — банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X, которое решает задачу Коши

1)- (з).

Построение оператора С : £>(£) С —> X) осуществляется следующим образом. Функция х е ^"(К, X) П (7ь(М, X) относится к области определения £>(£) оператора С, если существует функция / € ^(Е, X) такая, что для всех 5 ^ I из М верны равенства х(г) = Щ, 8)х{8) - £ т)/(т)йт. (4)

При этом полагается Сх = /. Оператор С также обозначается символом - -ж+т

Если J = = [0, оо) и Е — замкнутое подпространство из X, то оператор

СЕ : 0{СЕ) С X) X) определяется с помощью семейства эволюционных операторов 14 : Дц>+ —> ЬВ(Х). Пара функций (ж,/) из относится к графику оператора

Се, если х Є ж(0) Є Е и для всех 0 ^ з < £ < оо верны равенства (3).

В банаховом пространстве функций ^(Е, X) (инвариантном относительно оператора сдвига) корректно определена полугруппа операторов Хоулэнда {Ти{Ь) : І ^ 0} вида

Тн(£)ж)(в) веМ^^О, же^КД). (5)

Каждый из операторов £ ^ 0, является разностным оператором взвешенного сдвига.

Эта полугруппа операторов сильно непрерывна в любом из банаховых пространств Ц>(Ж., X), р Є [1,оо), Со(М, X), а её генератором (инфинитезимальным оператором) является оператор Сц, при этом оператор Си непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор I — Тц{ 1)- Соответствующие результаты получены в статьях [12], [84].

Другой подход в исследовании дифференциальных уравнений (1) и (2) основан на использовании разностных операторов и разностных отношений на соответствующих весовых пространствах последовательностей. Для 1 = Ж. в банаховом пространстве 1Р(%,Х), где р Є [1,оо], оператору С : Т>{С) С

X) —> X) ставится в соответствие разностный оператор

V : X) X), р Є [1, оо], вида рх)(п) = х{п)-Ы{п,п- 1 )х(п - 1), п Є Ъ, х € 1Р(%,Х).

Для изучения оператора Се в диссертации используется разностный оператор Т>е, определенный формулой

Vex) (п) = х(п + 1) — U(n, п — 1)ж(п), те ^ 0, с областью определения D(T>e) — {x Є lp(Z+,X) : a;(0) € E}. В свою очередь для изучения оператора Т>е применяется спектральная теория линейных отношений. Таким образом, спектральная теория линейных отношений служит основой для исследования как разностных, так и дифференциальных операторов.

Перейдем к изложению основных результатов диссертации.

В первой главе диссертации получены условия разрешимости разностных уравнений и включений, а также рассмотрены приложения к вопросу о разрешимости дифференциальных уравнений и включений с неограниченными операторными коэффициентами.

В §1 главы 1 приводятся основные определения и факты из теории линейных отношений (многозначных линейных операторов), которые в основном касаются спектральной теории и необходимы для дальнейшего изложения. Кроме того, этот параграф содержит элементы спектральной теории упорядоченных пар линейных операторов.

В §2 главы 1 в банаховом пространстве lp(Z+,X),p є [1, оо], односторонних последовательностей х : Z+ = N U {0} —> X векторов из X рассматривается задача о разрешимости разностного уравнения в пространстве Ip(7j+,X) вида х(п + 1) = Вх(п) + /(те), / Є lp(Z+, X), пе Z+, (6) решение х Є lp(Z+,X) которого удовлетворяет условию я(0) Є Е, (7) где Е — замкнутое подпространство из X и оператор В принадлежит алгебре LB(X).

4 Задача (6)-(7) сводится к разрешимости уравнения Тх = /, / £ 1Р(Ъ+,Х), а значит, к обратимости линейного оператора

Т : £>(Т) С X) -> X), (:Тх){п) = + 1) - Вж(т1), с областью определения

Б{Т) = {х <= 1р(%+,Х) : х(0) е Е}. Разностный оператор —Т представим в виде

-Т = В - 5, где В € ЬВ{1Р(^Е+,Х)), определен равенствами (Вх)(п) — Вх(п), х 6 = £>(Г) С е [1, оо], оператор сдвига, определен равенствами (Бх)(п) = ж(п +1), п €

Для исследования обратимости оператора Т существенно привлекаются результаты из теории упорядоченных пар линейных операторов (в нашем случае упорядоченной пары (В,5)).

При доказательстве основного результата §2 используются приводимые далее леммы 2.1 и 2.3. В лемме 2.1 символом Т обозначается единичная окружность на комплексной плоскости С.

Лемма 2.1. Спектр сг(В, 5) упорядоченной пары (В, 5) инвариантен относительно поворота вокруг нуля в поле комплексных чисел С. Если 1 ^ ст(В, 5), т.е. если оператор —Т = В — Б обратим, то а (В, 5)П Т = 0' и имеют место равенства

Пу "'Х-ТГ^М = (в - т^Г1 = € т,

У(71)Д(А; 5)У(7) = (Б - тАЗГ1 = Я(7А; Я, 5), Л б 5), где 7 є tt, — семейство изометрических обратимых операторов, имеющих вид

V(j)x)(n) = 7nx(n), п Є Z+, 7 є Т, х Є lp{Z+, X). (8)

В условиях следующей леммы используются операторы из LB(IP(Z+,X)) вида

У(фп)х)(к) = фп{к)х{к),к Є Z+, п Є N, а; Є ¿P(Z+,X), (9) где

Ii, к ^n,

Фп{к) ={ 2 - n<k^2n,

О, А; > 2п.

Лемма 2.3. Резольвента R{-;B:S) : p{B,S) упорядоченной пары (В, S) обладает свойством lim sup||F(Vg#(A;tf,S) - Я(А; ß, S)F(V>n)|| = О, аєіі: где Ä" — любой компакт из р(В, S).

Основным результатом параграфа является

Теорема 2.1. Для того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение х Є 1Р(1*+,Х) для любой последовательности / є lp(Z+,X), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия:

1) <т(В) ПТ = 0; 2) Е = КегРо, где Pq — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству 0Ы = {Л Є <т{В) : |Л| < 1}, т.е.

Ро = ~ / (10) т где В)— резольвента оператора В.

Следствие 2.1. Пусть Е = {0}. Для того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение для любой последовательности / є X), необходимо и достаточно, чтобы г (В) <1.

Следствие 2.2. Пусть Е — X. Для того, чтобы задача (6), (7) имела единственное решение для любой последовательности / є X), необходимо и достаточно, чтобы оператор В был непрерывно обратим и г(В~1) < 1 (что эквивалентно условию о {В) П {Л Є С : |Л| ^ 1} = 0).

Теорема 2.2. Пусть (т{В) П Т = 0 и КегРо = Е для проектора Рисса Р0, определенного формулой (10). Тогда задача (6), (7) имеет единственное решение х £ 1Р(Ъ+,Х) для любой последовательности / Є 1Р(Ъ+,Х) (оператор Т непрерывно обратим) и оно представимо в виде оо х(п) = (-Т-1/)(п) = ]ГС(п-т,- 1 )/(ш), Ті Є Z+, m=0 где функция G : Z —> LB(X) имеет вид

G{k) = / * > О, -B\ k < 0, оператор В £ LB(X) нулевой на подпространстве ImPo, а на подпространстве ImPi однозначно определяется из равенств В В = В В =

Pi.

Естественным образом возникает вопрос об оценках решений разностного уравнения (6), удовлетворяющих условию (7).

Для получения оценок норм операторов G(k), k £ Z, используется числовая характеристика а(г; В) = sup ||Д(Л, В) ||, rint < г < rout,

А|=г где rjnt = тах{|Л| : Л G сгм}, ront = min{|A| : Л £ crout}

При г £ (rjnt, 1) для а(1; В) будет использоваться обозначение а(В).

Лемма 2.4. Имеет место оценка I для любых г Е (Гшь, 1), Р е (1,гои1), р € [1, оо].

Теорема 2.3. Пусть сг(В) П Т = 0. Тогда, верны оценки

С(0)|| = ||Ро||<а(В), ПОДПЕЙ,

ЦСЭД11 = И^ЛП < 2а(В) (г - —1 " , к < 0, где а(В) ^ 1;

Р1 = 0, <3(&) = 0, к < 0, если а(В) < 1; для любого р € [1, оо].

В §3 главы 1 рассматриваются вопросы разрешимости и представления решений разностного включения в пространстве 1+ вида х(п) <Е Ах{п - 1) + /(п), п 6 ^+\{0} = М, (11) где отношение А е 1/ЯС(Х) и последовательность / е Х),рЕ [1, оо].

По отношению А е ЬЯС{Х) построим отношение Л е ЬН(1Р(Ъ+,Х)) на банаховом пространстве последовательностей 1Р(Ъ+,Х), р е [1, оо]. Оно состоит из упорядоченных пар (х,у) Е 1Р(Х+,Х) х 1р(Ъ+,Х), для которых выполнены следующие соотношения х(к-1),у(к)) 6 1, 1, и, значит, АО Э {(уо>05.) : Уо Е X}. Полученное таким образом линейное отношение А назовем разностным отношением взвешенного сдвига.

В следующих леммах рассматриваются свойства линейного отношения Aclp{Z+,X)xlp{Z+,X).

Лемма 3.1. Если отношение А Е LR(X), то отношение А также замкнуто, т.е. А & LRC(lp+).

Наряду с отношением А рассматривается отношение Т> — I — А Е LRC(lp(Z+,X)); оно будет играть важную роль в проводимых здесь исследованиях. Его замкнутость вытекает из леммы 3.1.

Лемма 3.2. Спектр ст(А) отношения взвешенного сдвига A Е LRC{lp{Z+,X)) инвариантен относительно поворота вокруг нуля в поле комплексных чисел С. Если 1 ^ о-(А), то и (А) П Т = 0 и имеют место равенства

Vir^Vb) = 1Ы - A)~l = 7Д(7, .4), 7 е т,

V{rl)R{\ A)Vir() = 7й(7а, А), X е р(А), 7 е т, где V(j), 7 е т, — семейство изометрических обратимых операторов из (8) Из определения отношений А и V следует, что разностное включение (11) может быть записано в виде е Vx, (12) т. е. последовательность х Е lp(h+,X) есть решение включения (11) тогда и только тогда, когда выполнено (12).

Лемма 3.3. Резольвента R(-,A) : р{А) —> LB(lp(Z+, X)) отношения взвешенного сдвига А Е LRC(lp(h+, X)) обладает свойством lim sup \\V{iPn)R(\, А) - R{Л, А)У(фп) || = О, п~>0° хек где К— любой компакт из р(А) и операторы У(трп) определены формулой (9).

Теорема 3.1. Для того чтобы разностное включение (11) имело единственное решение для любой последовательности f Е lp(Z+,X), необходимо и достаточно, чтобы отношение А было непрерывно обратимо и г(А~1) < 1 для спектрального радиуса оператора А~1 € ЬВ(Х) или, что эквивалентно, выполнено условие а(А) С {Л е С : |А| > 1} т. е. спектр отношения А лежит вне круга В (0,I) = {А € С : |А| ^ 1}).

Теорема 3.2. Если отношение А непрерывно обратимо и г(А~г) < 1, то отношение Т> непрерывно обратимо, и оператор Т>~1 определяется формулой оо п=0 где А = {(х, у) е 1р(%+,Х) х 1Р(Ъ+,Х) : (х(п),у(п)) е А, п е 2+}.' Следствие 3.1. Если Т> — непрерывно обратимое отношение, то

Л Е сг(Л) : |Л| < 1} = 0.

Теорема 3.3. Спектр сг(А) отношения А совпадает с одним из следующих подмножеств вида:

1) а (А) = С (это равенство имеет место тогда и только тогда, когда О е (У(А) и сг(А) содержит хотя бы одно ненулевое число);

2) а(А) = С \ В(0,г), где В(0,г) = {Л е С : |А| < г}, г > О (это представление возможно тогда и только тогда, когда А е ЬКС(Х) непрерывно обратимо и г (А"1) = г);

3) сг (А) = 0 (т.е. Л-1 е ЬВ(Х)— квазинильпотентный оператор). Следствие 3.2. Имеет место равенство для непрерывно обратимого отношения А.

Теорема 3.4. Разностное включение (II) имеет хотя бы одно решение из 1Р(Ъ+, X) для любой последовательности / € 1Р(%+, X), если спектр сг(А) отношения А обладает свойством т(А) ПТ = 0. (13)

Следствие 3.3. Если выполнено условие (13), то любое решение X G lp(1í+,X) разностного включения (11) имеет вид со х(п) = G(n - k)f(k) + P-X(n), n G Z+l k=Q где функция G : Z —» LB(X) определяется равенствами N f A™P-y, m^O, G(m)y={ У EX,

-A^P+y, m< 0, a P- — проектор Рисса , построенный по спектральному множеству <ты = {Л G <т{Л) : |Л| < 1}.

Рассмотрим приложения теорем 3.1 и 3.4 к разрешимости разностного уравнения вида

Bx(n) = Сх{п - 1) + g{n\ g G lp{Z+, X), n G N, (14) где C,B : X —> Y — операторы из банахова пространства LB(X,Y) линейных ограниченных операторов, определенных на X со значениями в банаховом пространстве У, причем оператор 5 имеет ненулевое ядро КегВ.

Разрешимость разностного уравнения (14) сводится к задаче о разрешимости разностного включения y{n) G Ary(n - 1) + f(n), n G N, (15) где отношение Ar = CB~X.

Теорема 3.5. Для того, чтобы включение (15) имело единственное решение для любой последовательности f G ¿P(Z+, X), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

1) Аг 1 = ВС 1 £ ЬВ(У), что эквивалентно одновременному выполнению условий: 1т С = У, Кег С С Кег В;

2) г(ВС~1) < 1.

Следствие 3.4. Если оператор С непрерывно обратим, г{ВС~х) < 1 и выполнены условия теоремы 3.5, то решение х уравнения (14) определяется формулой оо х(п) = ^{БС~1)к+1С~1!{п + к + 1), пЕ ь=о

В §4 главы 1 изучается задача о существовании и единственности решений в 1Р(Ъ,Х), р € [1, оо], разностного включения вида х{п) Е Ах(п - 1) + /(п), пей, (16) где / е 1Р(%1, X) — заданная последовательность. При этом под решением этого включения понимается последовательность х & 1Р(Ъ,Х), для которой верны включения (16).

Отметим, что до сих пор разностные включения вида (16) не изучались.

Как и §3 построим линейное отношение Л £ Ы1(1Р(Ъ, X)) на пространстве последовательностей 1Р(Ъ, X), 1 ^ р ^ оо, используя заданное отношение А Е Ы1(Х) на X. Оно состоит из пар (ж, у) Е 1Р(Ъ, X) х X) таких, что х{к-1),у(к)) Е А, кЕЪ.

Полученное таким образом отношение Л назовем отношением взвешенного сдвига.

В последующих леммах рассматриваются некоторые свойства линейного отношения Л.

Лемма 4.1. Если А — замкнутое линейное отношение, то отношение Л также замкнуто.

Лемма 4.2. Спектр <т(Д) отношения взвешенного сдвига Л Е Ы1С(1РСЕ, X)) инвариантен относительно поворота вокруг нуля в поле комплексных чисел С. Если 1 а (Л), то а (А) П Т = 0 и имеют место равенства

Vfr-'M^AWij) = 7Д(7А, Л), 7 е Т, л € Р(А), где изометрии V(7), 7 Т, определены равенствами (8).

Следствие 4.1. Если сг(Д) (условие обратимости отношения Т> = J — то спектр сг(Л) отношения А представим в виде

Cr(A) = CTint U (J0ut) где Oint = {X Е (j{A) : |А| < 1}, <7out = {A G 0"(Д) : |А| > 1} непересекающиеся замкнутые множества.

Лемма 4.3. Резольвента В(-,А) : р(А) —> LB(X) отношения взвешенного сдвига А & LRC(lp(Z,X)) обладает свойством lim sup \\V(i/jn)R(\, А) - Д(А, А)У(фп) || = О для любого компактного множества К из р(А).

Теорема 4.1. Для того чтобы разностное включение (16) имело единственное решение X 6 P(Z, X), 1 ^ р < оо, для любой последовательности f из lp(Z,X), необходимо и достаточно, чтобы спектр <j{Ä) отношения А обладал свойством (13).

Теорема 4.2. Если для отношения А Е LRC(X) выполнено условие (13), то любое решение разностного включения (16) представимо формулой х{п) = ~ m)f{m)-> n eZ, meZ где функция G : Z —> LB(X), определена соотношениями здесь Ро — проектор Рисса, построенный ПО <У-ть, Р\ — I — Ро — дополнительный проектор, оператор А\ е ЬВ(Х) однозначно определяется из следующих условий: А = 0 на 1тР0, А\Р\ = Р\А\ = Р{).

Теперь рассмотрим приложение теорем 4.1 и 4.2 к изучению решений из 1Р(Ъ,Х) разностного уравнения вида

Вх(л) = Сх{п - 1) + д(п), пеЕ, (17) где д € 1Р(Ъ,Х) и В, С : X —> У — линейные ограниченные операторы, действующие из X в банахово пространство У, причем оператор В имеет ненулевое ядро, а также при изучении линейных дифференциальных включений [103] и специального класса интегральных операторов. Задача о существовании решений из 1Р(Ъ,Х) уравнения (17) сведена к задаче о существовании подходящего разностного включения вида (16).

Теорема 4.3. Для того, чтобы разностное уравнение (17) имело единственное решение х е X) для любой последовательности д Е X), необходимо и достаточно, чтобы сг(В, С) П Т = 0, где сг(В, С) — спектр упорядоченной пары.

В §5 главы 1 рассмотрены приложения полученных результатов из §4 к задаче разрешимости дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Пусть А : В (А) С X —» X - инфинитезимальный оператор сильно непрерывной полугруппы операторов Т : [0, оо) —» ЬВ(Х) класса Со [69]. В банаховом пространстве ^(Ш+^Х), р 6 [1,оо], рассмотрим дифференциальное уравнение

4) = Ах(г) + /(4), г > 0, / е X). (18)

Обобщенным решением этого уравнения будем называть непрерывную функцию х : М+ —> X, принадлежащую X), для которой имеет место равенство х(і) = Т(і)х(0) + fт(t- т)/(т)<*т, і > 0. (19) о

Пусть Е — замкнутое подпространство из X. Будем искать обобщенное решение уравнения (18), удовлетворяющее условию х(0) Є Е. (20)

Исследование задачи (18), (20) естественно проводить, привлекая дифференциальный оператор

С = СЕ = ^ - А : П(£) с І/(М+, X) ЩШ+, X), аъ область определения Е(С) которого задается следующим образом. Функцию х Є І7(Е+,Х) П Сь(Ш+,Х) отнесем к £)(£), если существует функция / Є X) такая, что для этих функций выполняется равенство (19). Нетрудно видеть, что такая функция / единственна. Положим Сх = /.

Наряду с оператором С рассмотрим разностный оператор

V = lЪ'. £>(£>) С 1Р{%+,Х) 1Р(Ъ+,Х) вида рх)(ть) = х(п + 1) - Т(1)х(п), х Є Ір(X), п Є Z+, с областью определения

П(р) = {ж Є 1Р{Ъ+,Х) : ж(0) Є Е}.

Лемма 5.1. Оператор V инъективен тогда и только тогда, когда инъективен оператор С.

Лемма 5.2. Если один из операторов С, Т> сюръективен, то сюръективен и второй.

Теорема 5.1. Следующие условия эквивалентны:

1) С : £>(£) С Ц>(М+,Х) —» р Є [1, сю], — непрерывно обратимый оператор;

2) V : £>(£>) С 1Р(1+,Х) X) — непрерывно обратимый оператор;

3) £г(Г(1))ПТ = 0, КегРо = Е, где Р0 — проектор Рисса для оператора Т( 1), построенный по спектральной компоненте (Уть — {Л Є <т(Т(1)) : |А| < 1}.

Если выполнено одно из этих условий, то обратный к С оператор имеет вид оо

C~lf)(t) = J G(t- s)f(s)ds, / Є ЩЕ+,Х), о где

G(r) = І Т(Г)Д» г > о,

-Т(т), т<0, Р1 = І-Р0.

Оператор Т(т), т < 0, однозначно определяется равенствами

Т(т)Ріх = 0, х Є ІтР0,

Т(т))Т(-т) = Т(-т)(Т(т)) = Рьт< 0, и функция (Грина) G допускает оценку для некоторых М > 1, 7 > 0.

Теорема 5.2. Пусть Е = {0}, и С = £щ = + А — дифференциальный оператор, отвечающий этому подпространству, тогда следующие условия эквивалентны: 1) С = С{0} : D{C) С LP(W X) —► D>(R+, X) — непрерывно обратимый оператор;

2) V : D(V) С lp(Z+, X) X) (Х>(£>) определяется по E = {0})непрерывно обратимый оператор;

3) r(T(l)) < 1.

Если выполнено условие 3), то обратимый к С оператор определяется формулой t

C~lf)it) = J T(t-r)f{r)dr, / Є t > 0. (21)" о

При выполнении условия а(Т(1)) П Т — 0 интегральный оператор, определенный формулой (21), является левым обратным для оператора С.

Теорема 5.3. Следующие условия эквивалентны:

1) С : D(C) С ЬР(Ш+,Х) Z;J(R+,X) — непрерывно обратимый оператор;

2) V : D(X>) с lp{Z+,X) -> lp(Z+,X) — непрерывно обратимый оператор;

3) Т(1) — непрерывно обратимый оператор и r(T(I)"-1) < 1. Если выполнено условие 3), то оо

С-1/)® = - J T(t — r)f(r)dr} f Є t ^ 0. t

Если выполнено условие cr(T( 1)) П T = 0, то оператор Сг1 является правым обратным к С и, в частности, С сюръективен.

Теорема 5.4. Если оператор С обратим в одном из пространств 1/(Ш+,Х), р Є [1, оо), то он обратим во всех остальных.

Приступая к изложению результатов главы 2, отметим, что она посвящена спектральной теории разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах.

В §1 главы 2 описывается спектр оператора

С : lp{Z,X) Fa(Z,X), (/Cx)(n) = Bx{n - 1), neZ,xe lp(Z,X), где оператор В 6 ЬВ(Х) и 1^,(1,,X), р £ [1,оо], — банахово пространство двусторонних последовательностей х : Z —> X векторов из X, суммируемых с весом а : Z —> (0, оо) с нормой 1 р\ р

-II = INI- = (£ ) ) . i.etl.oo), и ограниченных относительно а с нормой и м и п ll^fa)

F = F оо,о = sup—p- оо, n€z а (те) если a = 1, то пространство ¿£(Z, X) обозначается через Z,X)).

Всюду считается, что весовая функция а : Z —» (0, оо) удовлетворяет условию ч а; (те — 1) ае(а) = sup 4 , ' < оо. (22) пе z а(те)

Основные результаты получены с использованием величин a(fc) seout(a) = lim sup , (23) aeint(a) = lim (inf ^ Л " , (24) n-»oo yfcez a(k + те) / построенных по весу a : Z —> (О, оо).

В приводимых далее леммах 1.1 — 1.3 изучим вопрос о существовании и конечности величин (23) и (34).

Лемма 1.1. Предел в (23) существует и конечен.

Лемма 1.2. Если выполнено условие a(k + 1) sup--г-г— < оо, jfcez а{к) то предел в (24) существует и aSjnt(oi) > 0.

Лемма 1.3. Равенство ае^о:) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда выполнено условие a(k + 1)

SUP Лпл = ke z+ ot{k)

Рассмотрим разностный оператор /С, принадлежащий (в силу условия (22)) алгебре LB(J,P), и подобный оператору /С оператор /Сш G LB{lp) вида

Кшх)(к) = (U-lKUax)(k) = ш(к)Вх(к - 1), к Е Z, х Е 1Р, где си (к) = , к Е Z, — ограниченная (в силу условия (22)) последовательность, a Ua : 1Р(Ъ,Х) —» Ъ,Х) — оператор, определенный формулой

Uax)(k) = а(к)х(к), к Е Z, же lp(Z,X). Определение 1.1. Отображение

Ы : Ad = {(n, m,) G Z х Z : m ^ n} LB(X) называется (дискретным;) семейством эволюционных операторов, если выполнены следующие три условия:

1) Ы(п, n) = J, n Е Z; 2) W(n, k)U(k, m) = ZV(n, m) для всех m ^ k ^ п из Z; 3) sup ||W(n, n - 1)|| < oo. neZ

Если U(n) = B, n G Z, то семейство операторов вида

U(n)U(n-l).U(m+l), m <п

U{n, m) = m = n m <n, /, m = n, является семейством эволюционных операторов, построенных по операторам U(n), n G Z.

Определение 1.2. Будем говорить, что семейство эволюционных операторов U : Ad LB(X) допускает экспоненциальную дихотомию, если существуют постоянные - М ^ 1, q Е (0,1) и ограниченная проекторнозначная функция Р : Z —» LB{X) со свойствами:

1) и(п,т)Р(т) = P(n)U(n,m) для всех ш < п из Z;

2) ||U(n, т)Р(т) || ^ Mqn~m, т^п, т,пЕ%;

3) при п > т из Z сужение Ыщт : Х\т) Х\п) оператора Ы(п,т) на образ Х'(т) = Im Q(m) дополнительного проектора Q(m) — I — Р(т) к проектору Р(т) является изоморфизмом подпространств X' (т) и Х'(п); определим оператор U(m,n) Е LB{X) как оператор, совпадающий с на Х'{п) и являющийся нулевым на подпространстве Х(п) = Im Р(п);

4) ||W(m,n)|| ^ Mqn~m, п > т, т,п Е Z.

Пару Р, Q : Z —» LB(X) назовем расщепляющей парой для семейства U.

Теорема 1.1. Спектр сг(/С) оператора 1С представим в виде a(JC) = Ta(B){ee-mt(a),teont(a)} =

7Л5 : 7 G Т, Л G cr(P),s G [aeillt(Q;),aeout(a)]}.

Определение 1.3. Под семейством эволюционных операторов на банаховом пространстве X понимается сильно непрерывная операторнозначная функция U : А = {(t, s) Е М х К. : s < £} —> LB{X) со свойствами: 1) U{t,t) = I, t Е М; 2) U(t,s)U(syr) — U(t,r) для всех г ^ s ^ i из 1; 3) существуют постоянные М ^ 1, 7 G 3R, такие, что ||i/(i, 5)|| < Mexp7(i — 5) для всех (t,s) Е А. Отметим, что условие 3) эквивалентно условию sup ||£/(i, s)|| < 00.

Определение 1.4. Функцию а : Ш. (0, оо) назовем допустимым весом, если скалярное семейство

Ыъ : А LB(R) « Е, Ua(t, s) = (t, s) G A, является семейством эволюционных операторов.

Для допустимого веса а : M —» (0, оо) символом L~(R,X), где р G [1,оо], обозначим банахово пространство измеримых (по Бохнеру) функций х : M —» X, для которых конечна величина р * р

Н = INhp = I / ( ) dt 1 , ре [X,оо), х(М 5(f) ж|| = \\х\\а,оо = Vrai sup р = оо. (25) ieR Ol{t)

Через Сй,се(К,Х) обозначим подпространство непрерывных функций из L-'ÇR, X), для которых конечна величина (25). Наконец, через S~(R, X) = р G [1,оо), обозначим (весовое пространство Степанова) банахово пространство измеримых функций х : M —> X, для которых конечна величина ш 1 р

Я / ll'f.li III i я|| = IN\<& = sup I

Далее символом = .7-й (М, X) будет обозначаться одно из перечисленных функциональных пространств. Если а = 1, то соответствующие "невесовые" пространства будут обозначаться через 17(М, X), Сь(Ш,Х), ¿>Р(М,Х) и, вместо использовать обозначение ^(М, X).

Пусть Ы : А —» ЬВ{Х) — семейство эволюционных операторов. Определим оператор Си ' 0(Сц) С Та —> Ра. = следующим образом. Пару функций (ж, /) С х Та отнесем к графику оператора Си, если для всех (¿,5) Е А имеют место равенства ь Щ, 5)ж(з) - J Щ, г)/(г) <1т, в <

Таким образом, х € И (Си) и Сцх = /. Это определение корректно, т. е. функция / единственная для данной функции ж £ .7-5. Для невесовых пространств такое определение использовалось в работах [12], [29]. Результаты этих статей существенно используются здесь для исследования дифференциальных операторов в весовых пространствах.

Пусть Т : М+ = [0, сю) —■> ЬВ(Х) — сильно непрерывная полугруппа операторов класса Со (см. [69]) и А — ее инфинитезимальный оператор. Тогда семейство в) = Т(£ — 5), (■£,«) Е А, является семейством эволюционных операторов. Определяемый этим семейством оператор Си : В(Си) с —> X) обозначим через С = —^ 4- А. Далее через а обозначим сужение веса а : К. —> (0, оо) на Ъ и, наряду с оператором С : £>(£) С ^"«(М, X) —> X), рассмотрим разностный оператор

V = I — Юг X) —> X), где оператор /Ст имеет вид

Югх)(п) = Т(1)х(п - 1), п Е Ъ, х Е

Здесь банахово пространство последовательностей ^(Ж, X) совпадает с пространством Ъ,Х), если ^(М, X) — X), р Е [1,оо), и

Г*{Ъ,Х) = если Та(Ш,Х) = Ь£(Ш,Х), = р Е [1,оо), или == X). В этом случае пространство называется ассоциированным с пространством

Теорема 1.2. Если ае^а;) > 0, то а(С) = {А Е С : ехрА Е Т<т(Т(1))[8еЬЙ(а),8еоил(а)]}, я если аешЬ(о!) = 0, геоиь(а) > 0, то ст(С) = {А Е С : Пе\ < ^(Т) 1пзе0^(о;)}, где Xq(T) = lim Спектр er (С) оператора С пуст, если aeollt(a) = 0.

00 z

Следствие 1.1. Оператор С : D(C) С Fs(ß,X) JF5(R,X) непрерывно обратим тогда и только тогда, когда непрерывно обратим разностный оператор Т> — I — К,т- Fafäi X) —» X).

Следствие 1.2. Спектр a(Cq) оператора дифференцирования о = ~ : ¿>(4)) С ^(Е,Х) ^S(R,X), где D(Co) — {ж Є ^(М, X) : ж — абсолютно непрерывная функция с х Е

X)}, совпадает с множеством

Л Є С : ехрЛ € T[aeint(a), aeout(a)]}, если аеіПt(a) > 0 и a(jCo) = {Л Є С : ReX < lnasout(aO}> если 99mt(a;) = 0. Спектр оператора Co пуст, если eeont(a) — 0. В §2 главы 2 изучаются спектральные свойства операторов c(n — 1), n ^ 1, 0, п = 0, = /- /С+, (£>+ж)(п) = ж(п) - (/С+ж)(тг), п Е я; е Й+,Х), где оператор 5 €Е ЬВ(Х), символ / обозначает тождественный оператор в любом из рассматриваемых банаховых пространств и р€ [1, оо], банахово пространство односторонних последовательностей х: —X векторов из X, суммируемых с весом а : —> (0, оо) с нормой х\\ — 0 и ограниченных относительно а с нормой

07(77- ] жII00,а = sup " ; ч" < СЮ, р= ОО, если о = 1, то пространство Z^(Z+,X) обозначается через lp(Z+,X)). Всюду считается, что вес а : Z+ —> (0, оо) удовлетворяет условию а(П — 1) sup 4 . , < оо. (26) Основные результаты получены с использованием величины к(а) = lim (sup m . (27) т-+оо ск (та + "г) /

Отметим, что из условия (26) следует конечность величины х(а) и предел в (27) существует ( см. ниже следствие 2.2.1).

Рассмотрим разностные операторы /С+ и Т>+ = I — /С+, действующие в весовых пространствах последовательностей ^ + = lp(h+,X), р G [1,оо]. Каждое из банаховых пространств р € [1, оо], изометрически изоморфно соответствующему "невесовому" пространству 1+ = ¿P(Z+,X), р € [1,оо], а изоморфизм пространств осуществляет оператор

Ua: 1+ —> (Uax)(n) = «(те^те), n G Z+, ж G

Рассмотрим подобные операторам /С+ и Т>+ операторы U~lfC+Ua, U~l/D+Ua — I — U~lJC+Ua из алгебры LBifil). Они определяются равенствами v Г w(n)Bx(n-l), (Ua }С+иах){п) = < О, те — О, тт~^т) TT / ~ - 1), те ^ 1, ж(0), те = О, где к; (те) = ? те ^ 1, ги(0) = 1, — ограниченная последовательность согласно условию (26). Учитывая, что эти операторы определяются с помощью последовательности w, далее они обозначаются соответственно через JCW)+ и T>W)+. Таким образом, задача о вычислении спектра операторов /С+ и V+ сводится к описанию спектра операторов }СЩ+ и V>Wj+ соответственно, действующих в невесовых пространствах = lp(Z+,X), р Е [1, оо]. Однако теперь эти операторы не являются операторами с "постоянными" коэффициентами.

Лемма 2.1. Спектральный радиус r(JCWt+) оператора JCWj+ Е LB{J?+) совпадает с числом x(a)r(B).

Следствие 2.1. Для любой функции a: Z+ —> (0, сю), удовлетворяющей условию (26), существует lim ( sup ; ) .

Vn^O a^n+m> J

Одним из основных результатов параграфа является

Теорема 2.1. Спектры <т(/С+), сг(Х>+) операторов JC+, Т>+ имеют следующие представления a(JC+) = {А € С : |А| < x(a)r(B)}, a(V+) = {А € С : |А - 1| < x(a)r(B)}, где г (В) — спектральный радиус оператора В. В частности, оператор /С+ квазинильпотентен тогда и только тогда, когда выполнено условие к(сх)г(В) = 0.

Следствие 2.2. Оператор Т>+ непрерывно обратим тогда и только тогда, когда выполнено условие x{a)r(B) < 1.

• Теперь рассмотрим приложения приведенных результатов к исследованию дифференциальных операторов в весовых функциональных пространствах. При этом будут рассматриваться операторы, которые задаются с помощью некоторого семейства эволюционных операторов.

Функцию a: М+ —* (0, сю) назовем допустимым весом, если (скалярное) семейство

Uöl : А+ Uä(t, s) = a(s)/a(t), (t, s) e Д+, является семейством эволюционных операторов.

Для любой непрерывной функции а: Е+ —> (0,оо) символом £~(Е+,Х) обозначим банахово пространство измеримых (по Бохнеру) функций х: Е+ —» X, для которых конечна величина а (г)

М1 = МР,а=( / ( ) dr) ,р=[ 1,оо), x(t) II I loo,s = vrai sup " , p = оо. (28) о cx\t)

Символом Сь,й(М+,Х) обозначим банахово пространство непрерывных функций х: Е+ —> X, для которых конечна величина (28). Наконец, 5~(Е+,Х), 1 ^ р < со, — банахово пространство (весовое пространство Степанова) измеримых функций, для которых конечна величина t+i \ р

I ту*) 'ре[1,оо)'

Далее символом ^5(М+,Х) будет обозначаться одно из этих пространств, т.е. FS(Z+,X) G {Lg(E+, X), СЙДЕ+, X), X).

Если а = 1, то соответствующие пространства будут обозначаться через LP(R+,X), С6(Е+,Х), 5р(Е+,Х) и, вместо ^Й(Е+,Х), будет использоваться символ J^(E+,X).

По семейству эволюционных операторов Ы: Д| —> LB{X) определим линейный оператор Си'- D(Cu) С ^s(Z+,X) —» .Fs(Z+,X) следующим образом. Непрерывную функцию х G ^s(Z+,X) отнесем к области определения D(Cu) оператора Си, если существует функция / G JFg(Z+, X) такая, что функция х представима в виде t x(t) = -J U(t,r)f(r)dr. о

При этом полагается Сих = /.

Пусть Т: —» ЬВ(Х) — сильно непрерывная полугруппа операторов класса Со (см. [69]) и А — ее инфинитезимальный оператор. Тогда семейство = Т{Ь — з), (£,з) € Д+ является семейством эволюционных операторов и оно порождает определяемый выше оператор Си, который для такого Ы будет далее обозначаться через С или через —^ + А и называться дифференциальным оператором (с неограниченным операторным коэффициентом), определяемым начальным условием ж(0) =

Теорема 2.2. Пусть а: М+ —> (0, со) — допустимый вес. Тогда спектр о-(С) оператора допускает представление сг(С) = {А Е С : ЯеХ < 1п(х(5?)г(Т(1)))}, если х(а)г(Т( 1)) > 0,я сг(С) = 0, если к(а)г(Т( 1)) = 0, где величина х(й) определена формулой (27).

Следствие 2.3. Спектр оператора дифференцирования определяемого начальным условием х(0) = 0, совпадает с множеством {А Є С : ИеА < 1пх(5?)}. Здесь = {х: Ш+ X - абсолютно непрерывная функция с производной х' Є X)}.

В §3 главы 2 получены необходимые и достаточные условия обратимости оператора

С = -- + А: В{С) С Га№+,Х) й

VE : БІРЕ) С 1раЛ ->

Т>Ех)(п) = х(п + 1) - Вх(гь), ті Є х Є 1ра с областью определения где Е — замкнутое подпространство из X, оператор В £ LB(X) и /£(Z+,X), р Е [1, оо], — банахово пространство односторонних последовательностей векторов из X, определенное в §2.

Весовая функция а : Z+ —> (0, оо) удовлетворяет условию

4-/ \ а(п) ае (см = sup —7--г < оо. neIl+ Oi{n + 1)

Отметим, что оператор Т>е ограничен на D(T>e), если выполнено условие sup 4 ; < оо. (30) ке z+ <*(&)

Основные результаты получены с использованием величин 1/п out(«)= lim ( SUP /t^ \ I > (31) n->0° \fc<EZ+ «(fc + n) J ae+ (a) = lim ( inf Л ^ , (32) intv J n->oo \kez+ a(k + n) J ' v ; построенных по весу a.

Из приводимых далее лемм 3.1 - 3.3 будет следовать существование пределов в (31) и (32).

Лемма 3.1. Предел в (31) существует и конечен.

Лемма 3.2. Если выполнено условие (30), то предел в (32) существует иге?пЬ{а) >0.

Лемма 3.3. Равенство as;'Ilt (о;) = 0 имеет место тогда и только тогда, когда выполнено условие a(k +1) sup . . = 00. к&z+ a{k)

Основные результаты этого параграфа, связаны с исследованием разностного оператора Т>е

Теорема 3.1. Пусть as^t (о;) > 0 и Е — инвариантное подпространство относительно оператора В е LB(X). Для того, чтобы оператор Т>е был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: аз+(a),ae+t(a)]<7(B)) ПТ = 0; (33)

ImPout = Е, (34) где Pout — проектор, построенный по спектральному множеству crout = {Л 6 о-(В) : |A|^lt > 1}. При выполнении этих условий обратный оператор V^1 е LB(l^+) к Т>е определяется формулой оо

V^y)(n) = ]Г G(n - ш - 1 )y(m), nez+, у е lpa>+, m=0 где двусторонняя последовательность G : Z —> ЬВ(Х) определена формулой

G(k) = '

-BkPout, где оператор В G ЬВ(Х) был определен в теореме 2.2 (в данном случае Ро = Pint? Pout — Pi)

Следствие 3.1. Если ае^(а) = эе01и((а) ~ (3 > 0 (такой вес a называется сбалансированным), то оператор Т>е непрерывно обратим тогда и только тогда, когда выполнены условия: 1) {/ЗА : A G a(P)} П Т = 0; 2) ImPout = Е. В частности, если a — сильно сбалансированный вес (т.е. ae+t(o;) = 9SoUt(a:) = 1), то условие 1) означает, что сг(В) П Т = 0.

Теорема 3.2. Пусть ае^(о;) = 0 и Е — ненулевое инвариантное подпространство относительно оператора В, тогда оператор Т>е не является непрерывно обратимым.

Теорема 3.3. Пусть sejt(a) = 0 и Е = {0}. Тогда оператор Т>щ непрерывно обратим в том и только в том случае, когда 3^ut(a)r(B) < 1.

Следствие 3.2. Если Е = {0} и ае+иЬ(а;) = 0, то оператор Т>щ непрерывно обратим.

Теорема 3.4. Пусть аэ^(о') > О и Е = X. Тогда оператор Т>х непрерывно обратим в том и только в том случае, когда В — непрерывно обратим и г(В~1) < ае^(а). В частности, если а — сильно сбалансированный вес, то второе условие означает, что сг(В) лежит вне единичной окружности Т.

Далее приведём приложения теоремы 3.1 к исследованию условий обратимости дифференциальных операторов, действующих в весовых функциональных пространствах. Дифференциальные операторы будут определяться с помощью семейства эволюционных операторов (см. определение 1.3).

Пусть Ы : А+ —> ЬВ{Х) — семейство эволюционных операторов и Е — замкнутое линейное подпространство в X. Определим оператор следующим образом. Пару функций (х, /) Є х ^О^-и X), где х непрерывная функция, отнесем к графику оператора Се, если х(0) Є Е

Таким образом, х Є D(Ce) и Сех — /.

Пусть Т : Е+ —» LB(X) — сильно непрерывная полугруппа операторов класса Со и А — ее инфинитезимальный генератор (см. [69]). Тогда семейство U(t, s) = T(t—s), (і, s) Є А+, является семейством эволюционных операторов. Определяемый этим семейством оператор Се '• D{Ce) С •Fa(M+, X) —» X) обозначим Се = — Далее через а обозначим сужение веса a : —» (0, оо) на Z+. Символом X будем обозначать пространство /£(Z+,X) , если JTs(]R+,X) = L~(M+,X), р Є [1, оо), и = Z~(Z+,X), если ^5(Е+,Х) = или ^S(R+,X) =

Сь

В следующей теореме используются условия (33) для оператора В —

СЕ = СЕ,a D{CE) С X) X) и

Т(1) и (34) для проектора Pout, построенного по спектральному множеству <7out'

Теорема 3.7. Пусть ae£t(a) > 0. Тогда оператор Се непрерывно обратим тогда и только тогда, когда выполнены условия:

Ь(а), ае+ 4(а)МГ(1))) П Т = 0;

ImPout = Е, где Pout — проектор, построенный по спектральному множеству crout = {Л Є <j(B) : |А|зз^(а) >1}. При выполнении этих условий обратный оператор С%1 к Се определяется формулой оо J G(t-s)f(s)ds, /є^5(М+,Х), о где функция G : М+ х R+ —> LB(X) задана равенствами

0(r) J-nr)P,u Т>0, r6R т(г), т < 0,

Операторы Т(т), г < 0, однозначно определяются равенствами Т(—т)Т(т) = Т(т)Т(—т) = Pout = / - Рші.

Теорема 3.8. Пусть ae£t(a) = 0 и £ ненулевое инвариантное подпространство относительно оператора В. Тогда оператор Се не является непрерывно обратимым.

Теорема 3.9. Пусть ae^t(o;) = 0 и Е — {0}. Для того, чтобы оператор был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы а&і(а)г(Г(1)) < 1.

Следствие 3.3. Пусть as^ut(ai) = 0 и Е = {0}. Тогда оператор Се непрерывно обратим.

Теорема 3.10. Пусть > 0 и Е — X. Для того, чтобы оператор

Сх был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы Т{ 1) был непрерывно обратим и г(Т1( 1)) < эз^(а:). В частности, если а — сильно сбалансированный вес, то сг(Т(1)) лежит вне единичной окружности.

В §4 главы 2 изучается линейный разностный оператор х)(^) = х(г)-В{г)х{г-Ь), teR1 хеР{Ш,Х), (35) где к — некоторое ненулевое число из К и В : Е —> ЬВ(Х) — функция из пространства Сь(Ш.,ЬВ(Х)). Получены (теоремы 2.4.3 и 2.4.4) необходимые и достаточные условия его непрерывной обратимости в рассматриваемых функциональных пространствах.

Символом ^-"(М, X) обозначается одно из следующих функциональных пространств: Ц>(Ш,Х), С6(Е,Х), См(Ш,Х), С0(Ш,Х).

Символом X) обозначается одно из следующих банаховых пространств: /P(Z, X), 1 ^ р < оо, со(2, X).

В следующей теореме используется пара банаховых пространств (^(ШтХ),^^^)}, которая совпадает с одной из следующих пар: (ЬР,1Р), р €~[1, со], (Сь, Vх), (Со, со). В этом случае будем говорить, что они образуют ассоциированную пару.

Особое внимание уделяется описанию спектра разностного оператора

С0х)(г) = Вх{г -1), (36) действующего в банаховом пространстве функции где оператор В € ЬВ(Х).

Весовая функция (вес) а: : Е —> (О, со) считается непрерывной и удовлетворяющей условию

Бир = 8е(а) < оо. (37)

Не ограничивая общности, будем считать а?(0) = 1. Рассмотрим оператор /С Є ЬВ(^(Ш, X)) вида lCx)(t) = B(t)x(t -h), t Є Ж, x Є К, X), (38) где В - операторнозначная функция, принадлежащая СЦЖ, ЬВ(Х)). Следовательно, изучаемый оператор (35) представим в виде V = I — /С. Поэтому обратимость оператора V эквивалентна условию 1 $ а (1С), где о(К) — спектр оператора /С. Отметим, что оператор Tu(h), определенный формулой

Tu(h)x)(s)=U(s,s-h)x(s-h), s Є Ж, h ^ 0, х Є (F)( Ш,Х), представим в виде (38) с B(s) = U(s,s — h), s Є Ж.

Лемма 4.1. Спектр о (1С) оператора 1С инвариантен относительно поворота вокруг пуля в поле комплексных чисел . Если оператор Т> непрерывно обратим, т. е. 1 $ сг(/С), то о~(Т>) П Т = 0.

Введем в рассмотрение последовательность операторнозначных функций jB(t)B(t-H).B(t-(k-m, k>i, teRi (39) {I, k = о, из пространства С&(Ж, LB(X)).

Определение 4.1. Будем говорить, что семейство функций Bk, к ^ О, обладает свойством (дискретной) экспоненциальной дихотомии, если существует проекторнозначная функция Р Є Сь(Ш, LB(X)) и постоянные М > 0, 7 Є (0,1), такие, что выполнены следующие условия:

1) Bk(t)P(t - kh) = P(t)Bk(t), t Є Ж, к > 0;

2) sup ||jP(t)£*(t)|| < М-ук, к > 0; teR

3) каждый из операторов B(t), t Є Ж, осуществляет изоморфизм образа lmQ(t — h) проектора Q(t — h) на lmQ(t), где Q(t) = I —

Pit) — дополнительный проектор к Pit) (следовательно, Bk(t),k ^ 1, осуществляет изоморфизм ImQ(t — kh) и ImQ(t));

4) \\Dk(t)\\ ^ M7-1, к < -1, t Є Ж, где = 0 для любого х Є

ImP(i — (к — l)h) и оператор Дь(£) совпадает на подпространстве ImQ(t — (к — 1 )h) с обратным к сужению оператора B^k(t) на Im<5(i — kh) (т. е. Dk(t) = (B-k(t)\lmQ(t - kh))~l на ImQ{t - kh)).

Теорема 4.3. Пусть В є С&ДМ, LB{X)). Для обратимости оператора V = I—fC : X) —»JF(R, X), необходимо и достаточно, чтобы семейство (39) функций В kit), к > 0, t Є R, обладало свойством экспоненциальной дихотомии. При этом задающая дихотомию проекторнозначная функция Р : R —> LBiX) равномерно непрерывна в равномерной операторной топологии (т. е. Р G Сь,и(Ш,ЬВ(Х))). Обратный оператор Т>~1 є LS(jF(R, X)) определяется формулой

V~lx)it) = Y2Dk(tMt - kh), t є R, x Є keZ где Dk{t) = P(t)Bk(t), k ^ 1, t Є R; D0(t) = P(t), t Є R, и операторы Dk{t), k ^ — 1, t Є R, были заданы в условии 4) определения 4.1.

Теорема 4.4. Пусть оператор В Є LB{X). Для непрерывной обратимости оператора V : .F(R, X) -> ^(R, X), (Dx)(t) = x(t) - Bx(t - /і), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие а(В)П Т = 0.

Пря этом обратный оператор Т>~1 задается формулой оо —1

Г^Х*) = ]Г BkPinbx(t — kh) + - ЛЛ), г=0 fe=—оо где Pint — проектор Рисса, построенный по спектральному множеству crhltj = {Л Є сг(В) : |А| < 1} и P0ut = I — Pint — дополнительный к Pjnt проектор. Оператор Вк Є LB(X), к ^ -1, однозначно определяется из равенств: В~к(Вк) = {Вк)В~к = Pollfc, к < -1.

Определение 4.2 [77], [81]. Оператор С G LB(X) называется вкладываемым в полугруппу операторов, если существует полугруппа операторов {T{t) : t ^ 0} класса Со (по терминологии Хилле - Филлипса [69]), такая, что С = Т( 1).

Отметим (см. [77], [81]), что оператор С вкладывается в полугруппу операторов, если точки 0 и оо находятся в одной компоненте связности резольвентного множества. В этом случае существует ограниченный логарифм от оператора С и тогда С = exp(lnC).

Предположим, что оператор В вкладывается в полугруппу операторов (T(i) : t ^ 0} класса Cq и, следовательно, В = Т( 1).

Рассмотрим семейство операторов U(t,s), s ^ t, s,t G R, вида U(t,s) = exp(a(s) — a(t))T(t — s). В виду непрерывности функции a : R —» R, это семейство сильно непрерывно, а условие (4.5) гарантирует выполнение свойства sup ||W(i,s)|| < se(a:) sup ||T(r)|| < oo.

OsSi-ssa 0<т<1

Лемма 4.2. Пусть оператор В € LB(X) вкладывается в полугруппу операторов {T(t) : t ^ 0}. Тогда оператор /Со — XI : ^(М, X) —> ^(IR, X), A G С, вида

С0 - XI)х)(t) = Bx(t - 1) - Xx{t), te R, x G JFa(R, X), непрерывно обратим тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор

Vx>d G ЬВ{Т{Ъ, X)), (VX)dx)(n) = V(n - 1) - As(n),

QLI ТЬ) neZ, где :F(Z, X) — ассоциированное с ^(R, X) пространство последовательностей.

Из результатов параграфа 1 вытекает следующая

Теорема 4.5. Спектр оператора Т>о,й € ЬВ(Т{Ъ, X)),

Ръ4х){п) = а(уі ^Вх(п - 1), п Є Ж, ж Є (Т(Ъ, X)) совпадает с множеством

То-(В) [8ЄіпЬ (а), ае0Ш; (а)] = |7Лз : 7 Є Т, Л Є (т{В), 5 Є [ (а) 5 ЗЗоиЬ

40)

Теперь непосредственно из леммы 4.2 и теоремы 4.5 следует

Теорема 4.6. Пусть оператор В Є ЬВ(Х) вкладывается в некоторую полугруппу операторов. Тогда спектр а (1С о) оператора /Со, определенного равенством (36), совпадает с множеством (40).

Следствие 4.1. Для того, чтобы оператор V = I —/Со был непрерывно обратим, необходимо и достаточно, чтобы 1 ^ Та(В)[двші(а), эз011ь(а)].

Теорема 4.7. Пусть 0 — изолированная точка спектра ст (В) оператора В и множество а(В) \ {0} содержится в некоторой односвязной области из С. Тогда спектр а (Ко) оператора /Со совпадает с множеством, определенным равенством (40).

Следствие 4.2. Если X — конечномерное пространство, то множество сг(/Со) совпадает с множеством, определенным равенством (40).

В §1 главы 3 будем рассматривать введенное С.Г. Крейном понятие ослабленного решения [38], адаптированное к дифференциальным включениям с линейным отношением Л Є Ы1С(Х) вида удовлетворяющая включению (41), т.е. (а;(£),ж(£)) € Л, при всех ± б М+, называется его ослабленным решением.

Под ослабленной задачей Коши для дифференциального включения (41) понимают задачу нахождения ослабленного решения, удовлетворяющего х(і) Є Лх(і).

41)

Определение 1.1. Функция х Є С(ЕЬ;£>(Л)) П С^М+їХ), о начальному условию х(0) = х0. (42)

Отметим, что элемент Жо может не принадлежать области определения отношения Л.)

Напомним, что классическим решением или просто решением дифференциального включения (41) называется функция х Е С(М+;£?(Л)) П (^(М-нХ), удовлетворяющая этому включению, т.е. (.т(£), ¿(¿)) € Л, при всех £ € а если она удовлетворяет еще начальному условию (42) при Ь = 0, то х называется решением задачи Коши (41), (42).

Связь между ослабленной и обычной задачами Коши устанавливает приводимое ниже предложение 1.1, которое показывает, что ослабленные решения сводятся к изучению решений задачи Коши со специальными свойствами. Имеет место

Лемма 1.1. Если функция х Е С (М+ ] И (Л)) ПС1 (М.+; X) удовлетворяет включению (41) при t > 0 и существует Ьт^х^), то она является решением включения (41).

Предложение 1.1. Пусть Л Е Ы1С(Х) и Х0 Е р(Л). Если х — ослабленное решение задачи Коши, то = Я(Хо,Л)х^) — решение задачи Коши с начальным условием 2:1(0) = Е(Хо, А)хо.

Лемма 1.2. Если X Е р(Л), то для любого ослабленного решения х : Е+ —> X дифференциального включения (41) справедливо равенство ь е~мх(т)(1т = ЩХ,Л)(е-Х1х(г) - х(0)), г ^ 0. о ъ 1

Лемма 1.3. Если для отношения Л Е LRC{X) выполнены условия [lü, 00) С р(Л) для некоторого w G I; lim УЕМ = 0>

А—>оо А то ослабленное решение задачи (41)—(42) единственно.

Теорема 1.1. Пусть отношение А £ LRC(X) удовлетворяет условиям:

1) Ca = {Л е С : ReA > а} С р(Л) для некоторого a G R;

2) lim l£Mi = 0;

J ReA >00 ReA

3) существует положительная монотонно возрастающая функция ср : о а, оо) —> такая, что . 1п||Д(А, Л) || п lim (pit) = оо, lim —-—rv;—— = О, i->co rv J |А|-юо |Л| для всех А € U(if) = {А <£ Са : ReA ^ ^>(ImA)}.

Тогда ослабленное решение х : Ш+ —> X задачи Коши линейного дифференциального включения (41), (42) единственно и представимо в виде а+гоо x(t) = [ extR(А, Д)ж(0)сгА,

2m J а—гоо где интеграл понимается в смысле главного значения.

В §2 главы 3 под полугруппой операторов понимается сильно о непрерывная операторнозначная функция Т : LB(X), удовлетворяющая условию

T(t + s) = T(t)T(s) для всех t, s > 0.

При этом отметим, что отсутствуют такие традиционные дополнительные ограничения, как

1) ядро полугруппы Т удовлетворяет условию KerT = Р| KeiT(t) = {0}; 0

2) образ полугруппы ImT1 = У ImT(i) плотен в X. 0

Для столь общих полугрупп операторов естественным образом вводится понятие инфинитезимального оператора А : D(A) С X —> X полугруппы Т [69] с областью определения

D{A) = 1хеХ: 3Дт \ и полагается

T(t)x — х

Ах = lim —^-, х € Di А). t-+o+ t

Однако отсутствие указанных ограничений на Т может ослабить традиционные свойства инфинитезимального оператора. Например, его область определения D(A) может быть не плотна в X и, более того, его резольвентное множество р(А) может быть пустым (см. [6],[14],[55],[56]). Это приводит к большим затруднениям, связанным с использованием оператора А для исследования полугруппы Т.

В данной работе мы придерживаемся другого подхода [6],[14] к определению инфинитезимального оператора полугруппы (он получает новое название: генератор полугруппы), который для столь общих полугрупп может оказаться линейным отношением (многозначным линейным оператором) на X, т.е. линейным подпространством из декартова произведения X х X двух экземпляров банахова пространства X.

Определение 2.1. Множество А пар векторов (х, у) Е X х X, где о х Е ImT, для которых при всех 0 < s ^ t из верны равенства

T(t)x — T(s)x = J T(r)ydr, s о называется старшим генератором полугруппы операторов Т : —» LB(X).

Определение 2.2. Строгим инфинитезималъным производящим о оператором полугруппы Т : R+ —> LB(X) называется оператор А0 : £>(А0) С X X, D{А0) = : ЛжеХс(Т)} и А0х = Ах, где ХС(Т) — {х G X : ^lim T(t)x = х}. Очевидно, что А0 С А.

Определение 2.3 [6], [14]. Любое отношение А Е LR(X), удовлетворяющее условиям: 1) Ао С А С А; 2) А перестановочно с операторами T(t), t > 0, называется генератором полугруппы о

Т : Ж+ —> LB(X). Генератор А полугруппы Т называется базовым, если резольвентное множество р(Л) отношения Л содержит полуплоскость Сш = {Л G С : Re А > ш} для некоторого и) ^ ш(Т) = lim (In \\T(t)\\/t).

Множество всех генераторов полугруппы Т обозначим символом Gener(T). Значит, Ао,Л,А G Gener(T). Отметим, что в определении генераторов полугруппы отсутствуют какие-либо априорные предположения относительно характера поведения полугруппы при t —> 0+.

Для разрешимости и построения решений (в том или ином смысле) дифференциального включения x(t) G Ax(t), t > О, (43) в "классическом" варианте уравнения х = Лх с линейным оператором Л : D(A) С X —> X) с начальным условием ж(0) = х0еХ. ' (44) используется теория (столь общих) полугрупп операторов. о

Определение 2.4. Полугруппа операторов Т : Ш+ ЬВ{Х) называется разрешающей для дифференциального включения (или ассоциированной с дифференциальным включением) (43), если любое решение х : Ш+ —> X представляется в виде x(t) = T(t)xо, t > 0, для некоторого #0 е X.

Замыкание в X множества начальных условий вида (44), для которых существует решение задачи (43), (44), назовем фазовым пространством дифференциального включения (43) и обозначим через Ф(.А). о

Определение 2.5. Пусть Т : Ж+ —> LB(X) - разрешающая полугруппа для дифференциального включения (43). Любая функция х : R+ —» X вида x(t) = T(t)xо, t > 0, где xq G Ф(Д), называется слабым решением включения (43.).

Очевидно, что x(t) G Ф(Д) для всех t > 0.

В дальнейшем для отношения Л G LRC(X) считается выполненным

Предположение 2.1. Отношение А 6 LRC(X) удовлетворяет двум условиям:

1) Са = {A G С : Re Л ^ а} С р(А) для некоторого абК;

2) существуют числа m G N, М > 0, ¡3 G (0,1] такие, что

Д(А,Д)т|| ^ (М( 1 + llmAl))"^ VA G С*.

Лемма 2.1. Область и(ф) = {AgC: ReA>a-^(ImA)}, (45) где ф(т) — С(1 -f С — М-1, ограниченная кривой

Т(ф) = {A G С : Re А = а — ^(1тА)} - {-^(г/) + а + iy : у G К}, (46) лежит в резольвентном множестве р(Л) отношения А, причем в области U(ф) она допускает оценку вида

Д(А,Л)|| ^ Oi(l+ |А|)2т3, A G и(ф), Ci > 0.

В дальнейшем через ф будем обозначать функцию ф(т) = с(1 + т G Ж, ¡3 G (0,1], и по функции ф будем рассматривать область и(ф), ограниченную кривой Т(ф). Они определяются равенствами (45), (46) и обладают указанными в лемме 2.1 свойствами.

Теорема 2.2. Пусть для отношения А выполнено предположение 2.1. Тогда равенство

T(í) = -^ / extR(X, A) d\, t> 0, (47) r(V) определяет бесконечно дифференцируемую полугруппу операторов о

Т : Ш+ —> LB(X), причем имеют место следующие свойства:

1) отношение А перестановочно с операторами T(t), í >0, Aq С А и АП (Im Т х luí Г) С А и, в частности, А - базовый генератор полугруппы Т, если ImT = X;

2) T^k\t)x = T(t)y, к E N, t > 0, x E D(Ak), у - любой вектор из Akx;

3) Ф(А) = ЭД).

Следствие 2.1. Справедливо соотношение Ker Т D ДО. Следствие 2.2. Подпространство ImP инвариантно относительно оператора Ао и отношений А, А.

Теорема 2.3 (об отображении спектра). Для отношения А Е LRC(X), удовлетворяющего условиям предположения 2.1, и полугруппы операторов о

Т : R+ —» ЬВ(Х), определенных формулой (47), имеет место равенство a(T(t)) \ {0} = {eXf : А Е <т(Д)}.

Если а (А) ф 0, то полугруппа Т ненулевая.

Предположение 2.2. Существуют число m, Е N и последовательность (Ап) из Са, для которой lim |AJ = оо, sup ||(Ani?(Am Д))т|| — L < оо. Введем в рассмотрение подпространства

Х = {хеХ: 3 lim (~XnR(Xn, A))mx}, Х0 = D(Am), Х^ = Am 0. n—> оо

Из результатов работы [16, теоремы 4.2, 4.3] следует

Теорема 2.4. Подпространство X С. X замкнуто и допускает разложение в прямую сумму X = Х$ © Х^ замкнутых инвариантных относительно А подпространств Xq, Xqq, и соответствующее разложение (сужение А = А\Х отношения А на X) А = Ао Ф Аоо, Aq = A\Xq, Аоо = Д|Хоо обладает свойствами: о:(Д30) = {оо}, (A^)m = 0, До : D(Aq) С Xq —> Xq - линейный оператор со спектром <7(До) = <т(Д) = <т(Д) и с плотной в Хо областью определения D(Ao) оператора До.

Для выполнения равенства X = X необходимо и достаточно, чтобы векторы из подпространства Дт0 разделяли функционалы из подпространства (Д*)т0 сопряженного к X банахова пространства X*. В частности, X = X, если выполнено одно из следующих условий: 1) X - рефлексивное банахово пространство;

2) Д(Ао, Л) G ЬВ(Х) - слабо компактный оператор при некотором Ао G

3) dim Am0 = dim(.4*)m0 < оо. Лемма 2.2. Если у > а л х Е D(A2), то y+ild y(t,x) = - lim — / ел*д(а, ш->оо 27гг J ry—ioj

- непрерывная функция при t ^ 0, у (О, х) = х и оо д(л, «д)ж = J e'xty(t, ж) di, re а > 7-о

Теорема 2.5. Пусть для отношения А выполнены предположения 2.1 о и 2.2. Тогда полугруппа Т : R+ —» LB(X), определенная формулой (47) (.помимо свойств из теоремы 2.2), обладает следующими свойствами:

1) подпространства X, Xq, Х^ являются инвариантными для операторов T(t), t > 0; о

2) сужение Too : К+ —> LB(Xco) полугруппы Т на = Дт0 есть нулевая полугруппа; о

3) для сужения То : —> LB(Xо) полугруппы Т на Xq верны равенства lmT0 = Х0 = D(A$) = ImT:

4) оператор Ао - базовый генератор полугруппы То;

5) Ф(Д) = ЩА^) = = ДА) = Х0;

6) Т = ТоФТоо, если векторы из Ат0 разделяют функционалы из (А*)т0. Следствие 2.3. Для любого х Е Xq = D(Arn) имеет место равенство х— lim (—ani?(an, A))mx. n—>oo

Определение 2.6 [69]. Функцию ф : М —> Ш отнесем к классу Ф, если она удовлетворяет следующим условиям: i) ф положительна, непрерывно дифференцируема и не убывает с возрастанием |г|; и) ф(т) —> оо при |г| —> оо; iii) ф'{т) ограничена; оо iv) f dr < оо при любом t > 0. оо

Условие (iv) выполнено, в частности, тогда, когда lim = оо. т|—юо ''

Такой класс функций введён в монографии [69, определение 12.7.1]. Предположение 2.3. Отношение А G LRC(X) удовлетворяет следующим двум условиям:

1) Са С р(А) для некоторого а Gl;

2) существуют га £ N, М > 0, i/i G Ф такие, что

Д(А, Л)т\\ < М(ф(1т\))~т, \ € Са.

Теорема 2.6. Пусть для отношения А выполнено предположение 2.3. Тогда формула (47), в которой контур Т(ф) заменяется контуром Г (ф), определяет бесконечно дифференцируемую полугруппу операторов о

Т : М.+ —> LB(X), причем верны свойства 1) - 3) из теоремы 2.2.

Теорема 2.7. Для отношения А £ LRC(X), удовлетворяющего о условиям предположения 2.3, и полугруппы операторов Т : Ж+ —> LB(X), определенной равенством (47), где ф заменяется ф, имеет место равенство

T(t)) \ {0} - {еЛ<: А е «(А)}.

Если сг(А) ф 0, то полугруппа Т ненулевая.

Полученные результаты находят применение в исследовании задачи Коши

Fx(t) = Gx(t), t е К+, (48) ж(0) = (49) где F : D(F) С X Y, G : D(G) С X —> У - два линейных замкнутых оператора, причем области их определения удовлетворяют одному из следующих условий:

1) D(F) = X, D(G) ф X;

2) D(F) ф X, D(G) = X;

3) D(F) = X, D(G) = X.

Определение 2.7. Решением задачи (48), (49) называется дифференцируемая функция х : М+ —> X такая, что x(t) Е D для любого t Е Е+, если £>(F) = X, x(t) ED = D(F), i G R+, если D(G) = X и, кроме того, ж(О) = Жо и ^¿(i) = Gx(t) для любого t > 0.

Замыкание множества векторов Жо Е X, для которых существует решение задачи (48), (49), назовем фазовым пространством уравнения (48) и обозначим через Ф(С?, F).

Теорема 2.8. Если для отношения А = Ai выполнены условия предположения 2.1, то для Ai имеют место утверждения теорем 2.2 и 2.3.

Предположение 2.4. Существует число а Е К такое, что det Q(s)/<p(s) £ Ca для всех s Е Мп и sup |detQ(s)Ms) - AHlPoWU < M(l + \lmX\)~p для всех А Е Са и некоторых М > 0, (3 Е (0,1].

Теорема 2.9. Пусть выполнены условия предположения 2.4. Тогда отношение Ai является базовым генератором бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов вида

T(t)x(s) = (exp tj P0(s)x(s), ser, t > 0.

В §3 главы 3 получены достаточные условия на отношение А Е LRC(X), при которых оно является базовым генератором некоторой бесконечно дифференцируемой полугруппы операторов. При этом обобщаются соответствующие результаты из [69, гл. XII], а также некоторые результаты работ [55-56], [60]. Рассматривается класс линейных отношений из LRC{X), имеющих резольвенту, поведение которой регулируется функциями из класса Ф (см. определение 2.6).

Лемма 3.1. Пусть А € LRC(X) с резольвентным множеством р(Л), содержащим полуплоскость СШо = {А € С : ReА > ojq}, и для некоторого а > 0 выполняется оценка:

Р(А,Л)К(1-ЧА|Г, А G Сш,

Если 7 > Сс-'о и х £ D{A№+2), где [а] — целая часть числа а, то

J+iüJ y(t, х) = - lim I eXtR(А, А)х d\ и->оо 2m J

J—iuJ представляет собой непрерывную функцию при t ^ 0, у (0, х) = х и оо

R(\A)x = J e~Xty(t,x) dt, Re А > 7. о

Лемма 3.2. Если резольвентное множество р(А) отношения А Е LRC{X) содержит последовательность чисел (Ап) таких, что lim ||Я(АП,Л)|| =0, п—> оо то £>(Дт) = £>(Д) для тп ^ 2.

Теорема 3.1. Пусть отношение А £ LRC(X) удовлетворяет следующим условиям:

1) р(Д) Э С+ = {А G С : ReA ^ 0};

2) существуют функция -ф из класса Ф и постоянная М > 0 такие, что Д(гг,Л)К^,тбМ;

3) резольвента отношения А удовлетворяет в С+ оценке

Я(А,Д)|| ^M^l + IAI)0, АеС+ для некоторого -1 и М\ > 0. Тогда отношение А является базовым генератором бесконечно о дифференцируемой полугруппы операторов Т : М+ —> ЫЗ{Х), определяемой формулой а+г оо

ТОО = [ емН{\, А) ¿А, Ь > О, (50)

2тхг ] а—г оо где а > —ао, «о = ^у. При этом сходимость интеграла в (50) понимается в смысле главного значения. Кроме того, справедлива оценка

Г(*)|| < М2еа\ I > О, где М2 > 0.

Теорема 3.2. Пусть дополнительно к условиям 1-2 теоремы 3.1 выполнены условия:

3) 8ир||ЛД(А,А)|| < оо; вир ||Д(А,А)|| < оо; а>0 кел>0

4) векторы из подпространства АО разделяют векторы из подпространства Д*0.

Тогда X = О (А) ф КегТ, Хо = О (А) — инвариантное подпространство о из X для операторов Т(£), t > 0, и сужения Т0 : Е+ —> ЫЗ(Х), То(£) = о

Т(£)Х0, t > 0, полугруппы Т : М+ —> ЬВ{Х), определенной формулой (50), на Хо является полугруппой класса (А)^ (по терминологии из [69; §10.6]). Следствие 3.1. Если выполнены условия теоремы 3.2 и \тф{т)\~1(1т < оо, М>1 то существует ^Нп\Т(£)х для любого х 6 Е(А) и ^Нт Т{Ь)х о = хо для любого хо € 0(Ао).

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Бичегкуев, Маирбек Сулейманович, Владикавказ

1. Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я. Азизов , Н.С. Иохвидов. — М.: Наука, 1986.

2. Акилов Г.П. Основы математического анализа / Г.П. Акилов , В.Н. Дятлов. — Новосибирск.: Наука, 1980.

3. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения. Операторный подход / А.Б. Антоневич. — Минск, 1988.

4. Антоневич A.B., Лебедев A.B. Функциональные и функционально-операторные уравнения. С* алгебраический подход / A.B. Антоневич , А.В.Лебедев // Труды Санкт-Петербургского матем. общества. — 1998.- Т.6. - С. 34-140.

5. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Ф. Аткинсон — М. : Мир, 1968.

6. Баскаков А. Г. О генераторах полугрупп операторов / А.Г. Баскаков // Докл. РАН. 2006. - Т.406.— № 6. - С. 727-729.

7. Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченными операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений / А.Г. Баскаков // Изв. РАН. Сер. матем. 2009.- Т.73.- № 2.- С.3-68.

8. Баскаков А. Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектральном анализе линейных операторов / А.Г. Баскаков // Современная математика. Фундаментальные направления.— Москва 2004.— Т.9.— С. 3-151.

9. Баскаков А.Г. О корректности линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Матем. сборник,— 1999.— Т.190.— № 3,- С.3-28.

10. Баскаков А.Г. Линейные дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами и полугруппы разностных операторов / А.Г. Баскаков // Матем.заметки. — 1996.— Т. 59.- № 6.- С. 811-820.

11. Баскаков А.Г. Об обратимости линейных разностных операторов с постоянными коэффициентами / А.Г. Баскаков // Изв. вузов. Математика.- 2001.— № 5.- С. 3-11.

12. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов / А.Г. Баскаков // Функц. анализ и его прилож.— 1996 — Т. 30 — № 3 — С. 1—11.

13. Баскаков А.Г. Спектральный анализ линейных дифференциальных операторов и полугруппы разностных операторов. I / А.Г. Баскаков // Дифференц.уравнения — 1997 — Т. 33.— № 10 — С. 1299—1306.

14. Баскаков А.Г. Линейные отношения как генераторы полугруппы операторов / А.Г. Баскаков // Матем. заметки.— 2008.— Т.84.— № 2.— С. 175-192.

15. Баскаков А.Г. Спектральный анализ оператора взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициентами / А.Г. Баскаков, А.И. Пастухов // Сиб. матем. журн.- 2001.- Т. 42.- № 6.- С. 1231— 1243.

16. Баскаков А. Г. Спектральная теория линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Матем.сборник — 2002 — Т. 193 — № 11.— С. 3-42.

17. Баскаков А.Г. Линейные отношения, дифференциальные включения и> вырожденные полугруппы / А.Г. Баскаков, К.И. Чернышов // Функц. анализ и его прил,- 2002.— Т.36.— № 4.— С. 65-70.

18. Беллман Р. Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К.Л. Кук.- М.:Мир — 1967.

19. Булгаков А.Я. Обоснование гарантированной точности выделения инвариантных подпространств несамосопряженных матриц / А.Я. Булгаков // Тр. Ин-та математики СО АН СССР.- Т. 15.- С. 12-92.

20. Бурбаки Я.Теория множеств / Н. Бурбаки. — М.: Мир.— 1971.

21. Гальперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными / С.А. Гальперн // Докл. АН СССР.— 1958.— Т. 119.- № 4.- С. 640-643.

22. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры / С.К. Годунов.— Новосибирск: Научная книга.— 1997.

23. Годунов С.К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры / С.К. Годунов.— Новосибирск: Научная книга.— 2002.

24. Годунов С.К. Оценки для главной и жесткой компонент на основе интегрального критерия качества дихотомии / С.К. Годунов, Ю.Д. Нечепуренко // Выч. матем. и матем. физика.— 2000.— Т. 40.— № 1.— С. 35-42.

25. Гохберг И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А.Фельдман.— М.: Наука.— 1971.

26. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.— М.: Наука.— 1970.

27. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н Данфорд, Дж. Шварц.- ИЛ, М 1962.

28. Демиденко Г.В. Уравнения и системы, неразрешенные относительно старшей производной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. — Новосибирск: Научная книга.— 1998.

29. Жиков В.В. "Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения" / В.В. Жиков // Изв. АН СССР. Сер. матем.— 1976.— Т. 40.- № 6.- С. 1380-1408.

30. Забрейко П.П. О некоторых классах полугрупп / П.П. Забрейко, A.B. Зафиевский //Докл. АН СССР.- 1969.- Т. 189,- С. 934-937.

31. Забрейко П.П. Группа характеристических операторов и еч, применение в теории линейных обыкновенных дифференциальных операторов / П.П. Забрейко, Нгуен Ван Минь //Доклады Академии Наук.— Серия Математика.- 1992.- Т. 324.— № 1.— С. 24-28.

32. Зафиевский A.B. Новые классы полугрупп / A.B. Зафиевский //Вестн. Яросл. ун-та.- 1974.— Т. 8.- С. 53-77.

33. Зафиевский A.B. О полугруппах с сингулярностями в нуле, суммируемыми со степенным весом / A.B. Зафиевский // Докл. АН СССР,- 1970.- Т. 195.- С. 24-27.

34. Иосида К. Функциональный анализ / К. Иосида.— М.: Мир.— 1967.

35. Като Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като.— М.:Мир — 1972.

36. Князев П.Н. Спектр сдвига с операторными весами / П.Н. Князев //Докл. АН БССР.- Т. 33.- № 7,- 1989.- С. 587-590

37. Коробейник Ю.Ф. Операторы сдвига на числовых семействах / Ю.Ф. Коробейник.— Ростов на Дону:изд-во РГУ.— 1983.

38. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве / С.Г. Крейн.— М.: Наука.— 1967.

39. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные операторы / В.Г. Курбатов.— Воронеж: Изд-во Воронежск. ун-та.— 1990.

40. Курбатов В.Г. Об алгебрах разностных и интегральных операторов / В.Г. Курбатов //Функц. анализ и его прил.— 1990 — Т. 24 — № 2 — С. 9899.

41. Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа / С.С. Кутателадзе.— Новосибирск:Изд-во института математики.— 2001.

42. Латушкин Ю.Д. Операторы взвешенного сдвига и линейные расширения динамических систем / Ю.Д. Латушкин, A.M. Стёпин // Успехи матем. наук — 1991,— Т. 46 — № 2,— С. 85-143.

43. Левитан Б. М. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения / Б.М. Левитан, В.В. Жиков.— М.: Изд-во МГУ.— 1978.

44. Массера X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства / X. Массера, Х.М. Шеффер.— М.: Мир.- 1970.

45. Мельникова И.В. Абстрактная задача Коши. Полугрупповые методы, методы абстрактных распределений и методы регуляризации / И.В. Мельникова // Итоги науки и техн. Соврем, матем. и ее прим. Темат. обзоры. Дифференц. уравнения.— 1999.— Т. 5.— С. 16—113.

46. Миролюбов A.A. Линейные однородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов, М.А. Солдатов.— М.:Наука.— 1981.

47. Миролюбов A.A. Линейные неоднородные разностные уравнения / A.A. Миролюбов, М.А. Солдатов. М.:Наука.— 1986.

48. Мухамадиев Э.М. Исследование по теории периодических и ограниченных решений дифференциальных уравнений / Э.М. Мухамадиев.— Автореферат дисс. па соискание учёной степени докт. физ.-мат. наук Ленинград.— 1979.

49. Мухамадиев Э.М. Об оценке спектрального радиуса одного оператора, связанного с уравнениями нейтрального типа / Э.М. Мухамадиев, Б.Н. Садовский // Матем. заметки.— 1973 — Т. 13 — № 1 — С. 61-78.

50. Никольский Н.К. Инвариантные пространства в теории операторов и теории функций / Н.К. Никольский // Итоги науки и техники: Математический анализ.- М.:ВИНИТИ — 1974.— Т. 12.— С. 199-412.

51. Никольский Н.К. Лекции об операторе сдвига / Н.К. Никольский.— М.:Наука.— 1980.

52. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику / 3. Нитецки.— М.:Мир.— 1975.

53. Пискарёв С.И. Аппроксимация дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / С.И. Пискарёв.— Автореферат дисс. на соискание учёной степени докт. физ.-мат. наук Москва.— 2005.

54. Сильчеико Ю.Т. Об одном классе полугрупп / Ю.Т. Сильченко //Функц. анализ и его приложения — 1999 — Т. 33 — № 4.— С. 90-93.

55. Сильченко Ю.Т. Полугруппы с неплотно заданным производящим оператором / Ю.Т. Сильченко // Изв. вузов. Математика.— 2005.— № 7.- С. 57-62.

56. Степанов В. Д. Об операторах в пространствах L2(-Rn) перестановочных со сдвигами / В.Д. Степанов // Сиб. матем. журн.— 1974.— Т. 15.— № 3.- С. 693-699.

57. Слюсарчук В.Е. Об Экспоненциальной дихотомии решений дискретных систем / В.Е. Слюсарчук // Укр. матем. журн.— 1983.— Т. 35.- № 1.— С. 109-115.

58. Соболев С.Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской / C.JI. Соболев // Докл. АН СССР.— 1952.- Т. 82.- № 2.- С. 205-208.

59. Соболевский П.Е. Об одном классе роста a / П.Е. Соболевский //Докл. АН СССР.- 1971.- Т. 196.- № 3.- С. 535-537.

60. Стёпин A.M. Спектры динамических систем / A.M. Стёпин //Междунар. Конгр. математиков в Ницце.— 1970. Докл. советских математиков — М.:Наука — 1972.— С. 307-312.

61. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье / Е. Титчмарш.— М.:Гостехиздат.— 1948.

62. Тюрин В.М. Об обратимости линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах / В.М. Тюрин //Сиб.матем.журн.— 1991.- Т. 32.- № 3.- С. 160-165.

63. Фёдоров В. И. Ослабленные решения линейного уравнения соболевского типа и полугруппы операторов / В.И. Фёдоров // Изв. РАН. Сер. матем.- 2003 Т. 67.- № 4.- С. 171-188.

64. Фёдоров В.И. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов / В.И. Фёдоров // Алгебра и анализ.— 2000.— Т. 12.— № 3.- С. 173-200.

65. Фёдоров В.И. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.И. Фёдоров //Матем.сборник.- 2004.- Т. 195.- № 8.- С. 131-160.

66. Халмош П.Р. Гильбертово пространство в задачах / П.Р. Халмош.— М.:Мир 1970.

67. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенри.— М.: Мир.— 1985.

68. Хилле Е. Функциональный анализ и полугруппы / Е. Хилле, Р. Филлипс,— М.: ИЛ.— 1962.

69. Antonevich A., Levedev A. Functional differential equations: I. C*-theory, Longman Scientifical&Technical. / A. Antonevich, A. Levedev.— 1994.

70. Arens R. Operational calculus of linear relations / R/ Arens //Pacific J. Math.- 1961. V. 11 P. 9-23.

71. Baskakov A.G. Spectral analisis of operators with the two-point Bohr spectrum / A.G. Baskakov, I.A. Krishtal // J. Math. Anal. Appl.— 2005— V. 208.- P. 420-439.

72. Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differencial equations / C. Chicone, Yu. Latushkin.— Math. Surveys Monpgr., 70, Amer. Math. Soc., Provindence, RL— 1999.

73. Coffman S.V. Dichotomies for linear difference equations / S.V. Coffman, J.J. Shaffer //Math. Ann.- 1967.- V. 172,- P. 139-166.

74. Cross R. Multivalued linear operators / R. Cross.— New York: M. Dekker.— 1998.

75. Da Prato G. Semigruppi di crescenza n/ G. Da Prato //Ann. Scuola norm, super. Pisa. Sei. fis. e mat.— 1966,— V. 20.— № 3.- P. 753-782.

76. Eisner T. Embedding operators into strongly continuons semigroups / T. Eisner // Arch. Math. (Basel).- 2009.- V. 92.- P. 451-460.

77. Engel K J. One - parameter semigroups for linear evolution equations / K.J. Engel, R. Nagel — New York: Springer - Verlage (Grad. Texis in Math).— 2000.- V. 194.

78. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi — New York: M. Dekker.— 1998.

79. Gohberg I. Classes of Linear Operators. V.l. / I. Gohberg, S. Goldberg, M.A. Kaashoek.— Basel—Boston—Berlin: Birkhäuser Verlag.— 1990.

80. Haase M. The Functional Calculus for Sectorial Operators. Operator Theory/ M/ Haase 2006.

81. Howland J.S. Stationary scattering theory for time-dependent Hamiltonians / J.S. Howland // Math. Ann.- 1974.- V. 207.- P. 315-335.

82. Kurbatov V. G. Functional Differential Operators and Equations/ V.G. Kurbatov.— Kluwer Academic, Dordrecht.— 1999.

83. Latushkin.Y. Evolutionary semigroups and Lyapunov theorems in Banach spaces/ Y. Latushkin, J. Montgomery-Smith // Funct. Anal.— 1995.— V. 127.- P. 173-197.

84. Neumann J. von. Uber adjungierte Funtionaloperatoren/ J. von. Neumann I I Ann. of Math.— 1932,— 1932.— V. 33. № 2,— P. 294-310.

85. Parrot S. Weighted translation operators/ S. Parrot // Dissert. Abstr.— 1965.- V. 26.- № 5.- P. 2781.

86. Perron O. Uber die Poincaresche lineare Differenzgleichung / O. Perron // J. reine angvar. Math.— 1975.— V. 37.— № 2.— P. 295.

87. Poincare H. Sur les equations lineaires aux différentielles ordinaries et aux difference fines / H. Poincare // Amer. J. Math.— 1885.— № 7 — P. 203-258.

88. Rau R.T. Hyperbolic Evolution Semigroups on Vector Valued Function Spaces / R.T. Rau // Semigroup Forum.— 1994 V. 48.- P. 107-118.

89. Rabiger F. The spectral mapping theorem for evolution semigroups on spaces of vector-valued functions / F. Rabiger, R. Schnaubelt // Semigroup. Forum.- 1996.- V. 52.- № 1.- P. 225-239.

90. Rhoades B.E. The fine spectra of some weighted mean operators in B(lp) / B.E. Rhoades //Integral Equat. Operator Theory — 1989,— V: 12 — P. 8298.

91. Rhoades B.E. The spectra of weighted mean operators on b^o / B.E. Rhoades // J. Austral. Math. Soc. (Series A).- 1992,- V. 52,- P. 242-250.

92. Shields A.L. Weighted shift operators and analytic function theory/ A.L. Shields // Mathematical Surveys — 1974 — № 13. Providence, P. 51-128.

93. Shields A.L. Some problems in operator theory/ A.L. Shields // Lect.Notes Math.- 1978.- № 693.- P. 157-164.

94. Taylor A.E. Introduction to Functional Analysis/ A.E. Taylor.— John Wiley, New York 1958.

95. Thomas J. Untersuchungen liber das Eigenwertproblem+ x9{x)y = / dx = fa = 0J. Thomas // Math. Nachr.- 1951,- № 6.- P. 229-261.

96. Бичегкуев М.С. Интегральные операторы, порожденные оператором взвешенного сдвига / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки. — 1996. — Т.59.— № 3. С.452-454. ,

97. Бичегкуев М.С. Об одном интегральном уравнении на полуоси / М.С. Бичегкуев //Вестник СОГУ.— 1999.— № 1.— С. 3-4.

98. Бичегкуев М.С. Взвешенная производная и дифференциальные уравнения / М.С. Бичегкуев // Влад.матем. журн.— 2003.— Т. 5.— № 4.— С. 32-42.

99. Бичегкуев М.С. Метрические пространства: теория,задачи, решения / М.С. Бичегкуев.— Москва — Ижевск/— НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика".— 2005.

100. Бичегкуев М.С. Об ослабленной задаче Коши для линейного дифференциального включения / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки.— 2006.- Т. 79.- № 4.- С. 483-487.

101. Бичегкуев М.С. Условия разрешимости разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв.РАН. Сер. матем.- 2008.- Т.72 № 4.- С. 25-36.

102. Бичегкуев М.С. Об ограниченных решениях разностных включений / М.С. Бичегкуев // Изв.вузов. Математика.— 2008.— № 8 — С. 16-24.

103. Бичегкуев М.С. Об однозначной разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // ВЗМШ им. С.Г. Крейна. Тезисы докладов.— Воронеж: ВГУ.— 2008.— С. 24—25.

104. Бичегкуев М. С. Линейные разностные и дифференциальные операторы с неограниченными операторными коэффициентами в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // Матем. заметки.— 2009.— Т.86 — X* 5,- С. 673-680.

105. Бичегкуев М. С. О спектре разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах/ М.С. Бичегкуев // Функц. анализ и его прил. 2010.- Т.44.— № 1.- С.80-83.

106. Бичегкуев М.С. К теории бесконечно дифференцируемых полугруппп операторов / М.С. Бичегкуев // Алгебра и анализ.— 2010.— Т. 22.— № 2.- С. 1-13.

107. Бичегкуев М.С. Об условиях разрешимости разностных уравнений с начальным условием из подпространства / М.С. Бичегкуев // Сиб. матем. журн.- 2010.- Т. 51.- № 4.- С. 751-768.

108. Бичегкуев М.С. Об обратимости разностных операторов в весовых пространствах / М.С. Бичегкуев // ВЗМШ им. С.Г. Крейна. Тезисы докладов.— Воронеж:ВГУ.— 2010.— С. 26—27.

109. Бичегкуев М.С. О некоторых классах бесконечно дифференцируемых полугрупп операторов / М.С. Бичегкуев // Дифференц.уравнения.— 2010,- Т. 46.- № 2.- С. 220-234.

110. Бичегкуев М.С. Обратимость дифференциального оператора с неограниченным операторным коэффициентом / М.С. Бичегкуев // ВЗМШ им. С.Г. Крейна. Тезисы докладов.— Воронеж:ВГУ.— 2010.— С. 13.