Вложение решеток в решетки замкнутых подмножеств пространств замыкания тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Семенова Марина Владимировна

Вложение решеток в решетки замкнутых подмножеств пространств замыкания

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук ^ у

""•зивьБве

Новосибирск - 2007

003065686

Работа выполнена в Институте математики им С Л Соболева Сибирского отделения Российской академии наук

Научный консультант.

доктор физико-математических наук, профессор, академик РАН Ершов Юрий Леонидович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Максимова Лариса Львовна,

доктор физико-математических наук, профессор

Пинус Александр Георгиевич

доктор физико-математических наук, профессор

Репницкий Владимир Брониславович

Ведущая организация

Институт математики и механики УрО РАН

Защита состоится 18 октября 2007 г в 15 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 003 015 02 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН по адресу 630090 Новосибирск, пр Акад Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л. Соболева СО РАН

Автореферат разослан " § " 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003 015 02 кандидат физико-математических наук

А Н Ряскин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Оператор ср на множестве X называется оператором замыкания, если он обладает следующими свойствами

(1) <р{0) = 0,

(2) А С ip(A) С X для любого AC. X,

(3) <р2(А) = <р(А) для любого AC X,

(4) <р(А) С ip(B) для любых АСВСХ

Пространством замыкания называется пара (X, </?), где X — множество, а <р — оператор замыкания на X Если (р(А) = А, то множество А С X наывается замкнутым Множество L(X,<p) всех замкнутых подмножеств пространства (X, <р) образует полную решетку относительно включения, в которой выполняются равенства

г€1 г6.Г ге! ге/

для любого семейства замкнутых множеств Аг С X, г е I Решетка L(X, (р) называется решеткой замкнутых подмножеств

К примеру, для любой алгебраической системы А и для любого В С А пусть Sub(B) обозначает подсистему в А, порожденную множеством В Тогда (Л, Sub) является пространством замыкания, решетка замкнутых подмножеств которого совпадает с решеткой подсистем Sub Л Другой пример решетки замыкания можно указать, используя частично упорядоченные множества Пусть (Р, <) является строго частично упорядоченным множеством, то есть бинарное отношение <3 на множестве Р антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно Сопоставляя любому подмножеству в <! его транзитивное замыкание, мы таким образом определяем оператор замыкания на < Соответствующая этому оператору решетка замкнутых подмножеств 0(Р, <]) называется решеткой подпорядков

Конечно, два приведенных выше примера ни в коем случае не исчерпывают весь список пространств замыкания, которые служат объектом широкого круга исследований во многих областях алгебры, логики и, в частности, теории решеток, см [1, 18, 4, 21, 38, 33] Эти исследования связаны с изучением свойств решеток замкнутых подмножеств как конкретных пространств замыкания, так и абстрактных пространств замыкания в целом

Как отмечено выше, решетка замкнутых подмножеств произвольного пространства замыкания полна Верно и обратное (см , к примеру, книгу Г Гретдера [18]) любая полная решетка изоморфна решетке замкнутых подмножеств некоторого пространства замыкания, а любая алгебраическая решетка изоморфна решетке замкнутых подмножеств некоторого алгебраического (или конечно порожденного) пространства замыкания Более того, любая алгебраическая решетка изоморфна решетке замкнутых подмножеств пространства замыкания вполне конкретного вида например, согласно работе Г Биркгофа и О Фринка [14], каждая алгебраическая решетка изоморфна решетке подалгебр некоторой алгебры, а согласно работе Г Гретцера и Э Т Шмидта [19], каждая алгебраическая решетка также изоморфна решетке конгруенций некоторой алгебры Вопрос о том, изоморфна ли любая конечная решетка решетке конгруенций некоторой конечной алгебры конечной сигнатуры, является хорошо известной открытой проблемой Согласно работе П П Палфи и П Пудлаока [22], положительное решение этой проблемы равносильно тому, что каждая конечная решетка изоморфна интервалу в решетке подгрупп некоторой конечной группы

Процитированные результаты показывают, что для некоторых пространств замыкания класс их решеток замкнутых подмножеств достаточно сложно устроен, поскольку содержит в себе все полные решетки В общем случае, рассматривая некий конкретный класс С пространств замыкания, можно задаться вопросом о взаимосвязи класса С и класса С1(6) решеток замкнутых подмножеств пространств, принадлежащих С Другими словами, можно спросить, в какой степени сложность класса С определяет сложность класса С1(С). а также какие ограничения на пространства из С следует наложить, чтобы класс С1(6) их решеток замкнутых подмножеств обладал определенными решеточными свойствами В частности, для фиксированного класса С пространств замыкания можно поставить такие проблемы

(1) описать класс С1(С), а также класс С1(С) П Fin конечных решеток, принадлежащих С1(С),

(2) описать класс [конечных] решеток, вложимых в решетки, принадлежащие классу С1(С),

(3) являются ли эти классы аксиоматизируемыми [в классе конеч-

ных решеток]7 если это так, то можно ли аксиоматизировать

эти классы (квази)тождествами [в классе конечных решеток]7

Класс б пространств замыкания называется [конечно] решеточно универсальным, если любая [конечная] решетка вложима в решетку замкнутых подмножеств некоторого [конечного] пространства замыкания, принадлежащего С

Вопрос о возможности вложить решетки, лежащие в каком-то определенном классе, в решетки замкнутых подмножеств конкретных пространств замыкания имеет долгую историю В этом направлении было получено много замечательных результатов Среди первых, ставших к настоящему времени классическими, следует отметить результат Ф М Уитмена [41 ] 1946 года, утверждающий (в эквивалентной формулировке), что любую решетку можно вложить в решетку подгрупп некоторой группы Таким образом, класс групп решеточно универсален Вопрос о возможности вложить любую конечную решетку в решетку подгрупп конечной группы долго оставался без ответа и был решен положительно в 1980 году в известной работе П Пудлака и И Тумы [24] Более того, в работе [40] И Тума получил уточнение результата Уитмена, показав, что интервалы в решетках подгрупп исчерпывают все алгебраические решетки, другое доказательство этого результата И Тумы можно найти в работе В Б Репницкого [31]

В работах В Б Репницкого [5]-[7] и [25]-[30] было проведено глубокое исследование решеток, вложимых в решетки подалгебр различных конкретных классов алгебр Полученные им результаты нашли отражение в монографии J1 Н Шеврина и А Я Овсянникова [38, Глава VIII] В частности, В Б Решшцкий показал в [5], что класс полурешеток, класс коммутативных 2-нильполугрупп, а также класс коммутативных полугрупп без идемпотентов с сокращением и с однозначным извлечением корня являются решеточно универсальными, а в работе [6] им же была установлена решеточная универсальность многообразия групп, задаваемого тождеством хп = 1 для всякого п > 665 Кроме того, в работе [7] было показано, что всякое ненильпотентвное многообразие ассоциативных колец, всякое нетривиальное многообразие решеток, а также класс всех булевых алгебр решеточно универсальны

Другой решеточно универсальный класс пространств замыкания был обнаружен в работе Д Бредхина и Б Шайна [15] Они показали, что любая решетка вложима в подходящую решетку подпорядков

b

В работе К В Адаричевой, В А Горбунова и В И Туманова [11] исс иедуется вопрос о вложении решеток в решетки замкнутых подмножеств так называемых выпуклых геометрий, то есть пространств замыкания (X, ф), обладающих следующим свойством антизамены

а € ip{Y U {b})\ip(Y), афЬ влечет Ъ <£ <p(Y U {о})

для любых a, b € X и любого Y С X Отметим, что в [11, Теорема 2 8] указан один решеточно универсальный класс выпуклых геометрий конкретного вида

Понятие выпуклой геометрии является обобщением понятия выпуклости в векторных пространствах Пусть V — векторное простнранство над линейно упорядоченным телом F Множество U С V выпукло, если Хх + (1 — А)у € U для всех х, у 6 U и всех А € [0,1] С IF Сопоставляя каждому подмножеству X С V его выпуклую оболочку (то есть наименьшее выпуклое подмножество в V, содержащее X), мы таким образом определяем оператор замыкания на V, который, как нетрудно видеть, обладает свойством антизамены

Хорошо известно, что любая конечная выпуклая геометрия полудистрибутивна вверх, то есть удовлетворяет следующему квазитождеству

Va:yz xV у = xV z —>x\/y = xV (у Л z)

Таким образом, класс выпуклых геометрий не имеет ни единого шанса быть конечно решеточно универсальным Тем не менее, в работе [11, Теорема 111] среди прочего показано, что любая конечная полудистрибутивная вверх решетка вложима в решетку замкнутых подмножеств некоторой конечной выпуклой геометрии Таким образом класс выпуклых геометрий можно считать конечно решеточно универсальным в классе полудистрибутивных вверх решеток. В связи с этим результатом в работе [11] была предложена проблема 3, которая звучит так существует ли класс К конечных выпуклых геометрий конкретного типа, содержащий все конечные полудистрибутивные вверх решетки в качестве подрешеток своих решеток замкнутых подмножеств? Другими словами, существует ли класс U выпуклых геометрий конкретного типа такой, что любая полудистрибутивная вверх решетка вложима в некоторую решетку из ClfU)? Ответ на этот вопрос для конечных полурешеток следует из результата, полученного В Б Репницким [25] и позже К В Адаричевой [8] Они показали, что конечная решетка вложима в решетку подполурешеток некоторой конечной полурешетки

тогда и только тогда, когда она ограничена снизу Другой результат того же характера был доказан Б Сиваком в работе [39], где показано, что конечная решетка вложима в решетку подпорядков некоторого конечного частично упорядоченного множества тогда и только тогда, когда она ограничена снизу Здесь следует также упомянуть характериза-цию класса конечных ограниченных снизу решеток в терминах вложи-мости в решетки подполугрупп различных свободных полугрупп, которая была получена В Б Репницким в работе [25] Он показал, что конечная решетка ограничена снизу в том и только том случае, когда она вложима в решетку подполугрупп свободной [коммутативной] полугруппы, а также свободной [коммутативной] 2-нильполугруппы.

Заметим, что класс конечных ограниченных снизу решеток является собственным подклассом в классе конечных полудистрибутивных вверх решеток (см монографию Р Фриза, Я Ежека и Дж Б Нейшна [16])

Вопрос о существовании конкретного класса выпуклых геометрий, конечно решеточно универсального в классе полудистрибутивных вверх решеток, мотивировал изучение выпуклых геометрий, возникающих из понятия выпуклости в векторных пространствах и частично упорядоченных множествах Решетки замкнутых подмножеств соответствующих пространств замыкания, называемые также решетками выпуклых подмножеств, изучались несколькими авторами В работе Ф Верунга и автора [3] было показано, что любая решетка вложима в решетку выпуклых подмножеств некоторого векторного пространства над любым линейно упорядоченным телом Много интересных результатов о решетках выпуклых подмножеств векторных пространств (в частности, результаты об элементарных свойствах таких решеток) можно найти в работе Дж Бергмана [12], см также работу К В Адаричевой [9] Что же касается выпуклых геометрий, возникающих из понятия выпуклости в частично упорядоченных множествах, то в работе Ф Верунга и автора [34] было установлено, что такие геометрии не могут быть конечно решеточно универсальными даже в классе полудистрибутивных вверх решеток класс решеток, вложимых в решетки выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств, образует конечно базируемое подмногообразие в квазимногообразии полудистрибутивных вверх решеток Изучение решеток, вложимых в решетки выпуклых подмножеств для некоторых конкретных классов частично упорядоченных множеств, было проведено в работах [35, 36, 37], см также обзор недавних результатов в [49] Отметим также, что довольно сложное описание решеток,

изоморфных решеткам выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств, было получено в работе Г Биркгофа и М К Беннет [13] Хотелось бы отметить здесь также большое число работ, связанных с изучением решеток клонов над конечными и бесконечными множествами К примеру А А Булатов [2] показал, что любая конечная решетка вложим а в решетку клонов над множеством, имеющим, по крайней мере, четыре элемента, а М Пинскер [23] показал, что полные подрешет-ки решеток клонов исчерпывают весь класс алгебраических решеток Исчерпывающий обзор недавних результатов о решетках клонов можно найти в обзоре М Гольдштерна и М Пинскера [17]

Цель работы.

Данная работа посвящена изучению решеток, вложимых в решетки замкнутых подмножеств пространств замыкания конкретного вида изучаются классы решеток, вложимых в решетки подпорядков и в решетки подполугрупп Получены результаты о характеризации указанных классов решеток для различных классов частичных порядков и полугрупп Полученные результаты позволяют, в частности, сделать заключение об аксиоматизируемости этих классов решеток на языке первого порядка

Основные результаты.

В работе получены следующие основные результаты.

1 Показано, что класс решеток, вложимых в решетки подпорядков частичных порядков высоты не более, чем п, образует конечно базируемое многообразие для любого п < со Указан конкретный базис тождеств для этого многообразия

2 Показано, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп п-нильпотентных полугрупп, образует конечно базируемое многообразие для любого 0 < п < со Указан конкретный базис тождеств для этого многообразия Этот результат дает синтаксическое решение проблемы 28 14 2 из монографии Л Н Шеврина и А Я Овсянникова [38]

3 Дано синтаксическое описание класса конечных решеток, вложимых в решетки подполурешеток [п-арных] деревьев Этот класс является собственным подклассом класса конечных ограниченных снизу решеток и аксиоматизируется тождествами в классе конечных решеток [для всякого положительного п < и)]

Основные методы.

В работе используются теоретико-решеточные методы В частности, широко применяется метод вложения решеток в производные решетки, основанный на использовании раскрашенных лесов, который был развит в работах Ф Верунга и автора [34, 35, 36, 3]

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер Ее результаты могут быть использованы для дальнейших исследований в области теории решеток, универсальной алгебры и дискретной математики, а также для чтения специальных курсов для студентов и аспирантов, специализирующихся в указанных областях

Научная новизна работы.

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми Апробация результатов работы.

Результаты работы были представлены автором в пленарных докладах на международной конференции "Arbeitstagung Allgemeine Algebra" в Потсдаме (2004) и Клагенфурте (2007), на международной конференции "Алгебра и анализ" в Казани (2004) и на международной конференции "Мальцевские чтения" в Новосибирске (2005) Кроме того, результаты работы были представлены в докладах автора на международных конференциях "Arbeitstagung Allgemeine Algebra" в Оломоуце (2002), Дрездене (2004), Бендлево (2006), Будапеште (2006), на Летней школе по общей алгебре и упорядоченным множествам в Тале (2002), на международной конференции SIDIM XX в Маягуэсе (2005), на Девятом азиатском логическом коллоквиуме в Новосибирске (2005), на международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения П Г Канторовича и 70-летию Л H Шеврина в Екатеринбурге

(2005), на международной конференции "Logic Colloquium" в Наймегене

(2006), на конференции по алгебре и геометрии в Телче (2006), на конференции "Treillis Marseillais" в Марселе (2007), а также на международной конференции "Order, Algebra, and Logics" в Нэшвилле (2007)

По теме диссертационной работы автором были сделаны доклады на общеинститутском семинаре Института математики им С Л Соболева СО РАН, а также на научных семинарах Новосибирского государственного университета, Уральского государственного университета, Института математики и механики УрО РАН, Карлова университета в Праге,

университета Кана, технического университета Дармштадта, технического университета Варшавы, университета Масарика в Брно, технического университета Вены В течение осеннего семестра 2006/2007 учебного года автором был прочитан курс лекций "Вложение решеток в решетки подполугрупп" на кафедре алгебры математико-физического факультета Карлова университета в Праге

Публикации.

Все основные результаты диссертации опубликованы в [42]—[49] Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех разделов, разбитых на параграфы, и списка литературы. Утверждения нумеруются тремя цифрами первая обозначает номер раздела, вторая — номер параграфа в разделе, а третья — номер утверждения в параграфе Нумерация выносных формул двойная первая цифра обозначает номер раздела, а вторая — номер формулы в разделе Список литературы содержит 68 наименований Объем диссертации составляет 125 страниц

Содержание работы

Первый раздел носит вспомогательный характер В параграфе 1 1 приведены все необходимые определения В параграфе 1 2 устанавливаются некоторые вспомогательные результаты, которые используются на протяжении всей диссертационной работы Параграф 1 3 содержит основное определение, определение раскрашенного леса, которое используется впоследствии при доказательстве всех основных результатов

Второй раздел посвящен изучению решеток подпорядков частично упорядоченных множеств Если {X, <) — строго частично упорядоченное множество, то, сопоставляя каждому подмножеству <1 его транзитивное замыкание, можно определить оператор замыкания на <1, который, как нетрудно проверить, удовлетворяет свойству антизамены Решетка 0(Х, о) замкнутых относительно этого оператора подмножеств в <1 называется решеткой подпорядков В параграфе 2 1 устанавливаются некоторые основные свойства решеток подпорядков Кроме того, в этом параграфе даны описания частично упорядоченных множеств, для которых соответствующие им решетки подпорядков коалгебраичны, полудистрибутивны вверх, ограничены снизу Напомним, что решеточный гомоморфизм Ь, К —> Ь называется ограниченным снизу, если для любого а € Ь множество {х € К | Н(х) > а} либо пусто, либо содержит

наименьший элемент Мы говорим также, что решетка Ь ограничена снизу, если любой гомоморфизм к К —> Ь, где К — конечно порожденная решетка, является ограниченным снизу, см. [16], а также работу К В Адаричевой и В А Горбунова [10]

Как упоминалось выше, Д Бредихин и Б Шайн [15] показали, что любая решетка вложима в решетку подпорядков подходящего частичного порядка В параграфе 2 2 приводится независимое доказательство этого результата, использующее технику раскрашенных лесов

Параграф 2 3 содержит доказательство одного из основных результатов диссертационной работы Для того, чтобы его процитировать, введем необходимые определения Зафиксируем конечное дерево (Т, <), обладающее тем свойством, что любой немаксимальный элемент имеет по крайней мере два верхних покрытия Пусть тт(Т, <) = {а} Построим решеточные термы Ит и Ут от переменных из множества | £ € Г} индукцией по высоте дерева (Г, <3) Если высота {Т, <) равна 1, то полагаем

Ут = \/ (ха А \/{хс | а -< с,с^Ь}),

а-<Ь

если же высота {Т, <) строго больше 1, то полагаем ит =ха А \/Щъ I а -ч Ь},

Ут= V (хал\/{ии\а-<с,с^Ь})Ч

а-<Ь,б€тахТ

V у {ха А (УТ6 V \/{Щс I а<с,сф Ъ}))

Если дерево (Т, <) обладает тем свойством, что любой немаксимальный элемент имеет по крайней мере два верхних покрытия, то следуя [43], мы говорим, что решетка Ь Т-дистрибутивна, если Ь удовлетворяет тождеству С/у = Ут, это тождество равносильно неравенству Ц~т < Ут

Согласно работе А Хуна [20], решетка Ь называется п-дистрибутивной, если она удовлетворяет тождеству

аЛ(\/Ч) = \/{а А \/®,)

г^п г^п зфг

В частности, свойство 1-дистрибутивности совпадает со свойством дистрибутивности Отметим, что п-дистрибутивность есть частный случай древесной дистрибутивности. Следует лишь рассмотреть дерево

T={a,b0, ,Ьп},

в котором а <Ьг для всех г < п

Конечное дерево (Т, <3) мы называем п-деревом, если | тахГ| = п4-1, и каждый элемент а € Т\ тах(Т, <) имеет по крайней мере два верхних покрытия Сформулируем первый основной результат диссертационной работы

Теорема 1. Произвольная решетка L влоокима в решетку подпоряд-ков некоторого частично упорядоченного множества высоты, не превосходящей п, 0 < п < и>, тогда и только тогда, когда L Т-дистрибу-тивна для любого п-дерева (Т, <)

Из доказательства теоремы 1 мы получаем такое утверждение

Следствие 2. Класс конечных решеток, вложимых в решетки подпо-рядков частично упорядоченных множеств высоты, не превосходящей п, образует псевдомногообразие для любого положительного п < и)

Кроме того, в качестве следствия мы также получаем уже упоминавшуюся теорему Б Сивака [39] о том, что конечная решетка ограничена снизу тогда и только тогда, когда она вложима в решетку подпорядков некоторого конечного частичного порядка

Третий раздел посвящен изучению решеток подполугрупп Напомним, что в работе В Б Репницкого [5], показано, что класс полурешеток, класс коммутативных 2-нильполугрупп, а также класс коммутативных полугрупп без идемпотентов с сокращением и с однозначным извлечением корня являются решеточно универсальными Доказательство этого результата в [5] существенным образом использует отмеченный выше результат Д Бредихина и Б Шайна о том, что любая решетка вложима в решетку подпорядков подходящего частичного порядка Более точно, в работе [5] автор показывает, что любая решетка подпорядков вложима в решетку подполугрупп Sub S для некоторой полугруппы S, принадлежащей соответствующему классу В связи с этим в монографии JI Н Шеврина и А Я Овсянникова [38] был поставлен вопрос (вопрос VIII 7) о существовании доказательства этого результата В Б Репницкого, которое не использовало бы решетки подпорядков

В параграфе 3 1 приводится доказательство следующей теоремы, доказанной В Б Репницким в [5], не использующее решетки подпорядков,

что дает положительный ответ на вопрос VIII 7 из [38} (более точно, на ту часть вопроса, что касается решеток подполурешеток)

Теорема 3. Любая решетка вложима в решетку подполурешеток подходящей полурешетки

В качестве следствия из доказательства теоремы 3 в параграфе 3 2 мы получаем уже упоминавшийся результат В. Б Репницкого из [25] о том, что конечная решетка ограничена снизу тогда и только тогда, когда она вложима в решетку подполурешеток подходящей конечной полурешетки Кроме того, в параграфе 3 2 изучаются также конечные решетки, вложимые в решетки подполурешеток полурешеток, диаграммы Хассе которых являются деревьями Следующее утверждение является одним из основных результатов диссертационной работы

Теорема 4. Класс конечных решеток, вложимых в решетки подполурешеток полурешеток, диаграммы Хассе которых являются деревьями, аксиоматизируется тождествами в классе конечных решеток и поэтому образует псевдомногообразие.

В параграфе 3 2 указан также конкретный базис тождеств для этого псевдомногообразия Из выполнимости этих тождеств вытекает, в частности, что любая подрешетка решетки подполурешеток полурешетки, являющейся деревом, ограничена снизу, а само псевдомногообразие, о котором идет речь в теореме 4, образует собственный подкласс в классе конечных ограниченных снизу решеток Таким образом, не для всякой конечной полурешетки ее решетка подполурешеток вложима в решетку подполурешеток конечного дерева, пример такой полурешетки (относительно пересечения) приведен на рис

Кроме этого, в качестве следствия из доказательства теоремы 4 получен такой результат

Следствие 5. Класс конечных решеток, вложимых в решетки подпо-лурешеток полурешеток, диаграммы Хассе которых являются п-ар-ными деревьями, аксиоматизируется тождествами в классе конечных решеток и поэтому образует псевдомногообразие для любого положительного п < U)

Параграфы 3 3-3 4 посвящены доказательству следующего результата, который, как было отмечено выше, впервые был доказан В Б Реп-ницким в [25] с использованием решеток подпорядков. Доказательство этого результата, приведенное в параграфах 3 3-3 4, использует метод раскрашенных лесов и не использует решетки подпорядков, что дает положительный ответ на на ту часть вопроса VIII 7 из [38], что касается решеток подполугрупп полугрупп с сокращением и 2-нильполугрупп, соответственно

Теорема 6. Для произвольной решетки L выполняется следующее

(1) L вложима в решетку подполугупп подходящей коммутативной полугруппы без идемпотентов с сокращением и однозначным извлечением корня;

(2) L вложима в решетку подполугупп подходящей коммутативной 2-нилъполугруппы

Параграф 3 5 посвящен изучению решеток подполугрупп нильпо-тентных полугрупп В монографии JI Н Шеврина и А Я Овсянникова [38] была поставлена проблема 28 14 2, связаная с нахождением описания класса [конечных] решеток, вложимых в решетки подполугрупп п-нильпотентных полугрупп для фиксированного положительного п < ш Легко видеть, что класс таких решеток замкнут относительно подреше-ток и [конечных] прямых произведений для любого положительного п < üj В параграфе 3 5 показано, что этот класс является конечно базируемым [псевдо]многообразием для любого положительного п < со (то есть он также замкнут относительно гомоморфных образов), и указан конкретный базис тождеств для него Следующая теорема является одним из основных результатов диссертационной работы и уточняет теорему 1

Теорема 7. Для решетки L и для положительного п < ш следующие условия равносильны

(1) L вложима в решетку подполугрупп некоторой коммутативной (п + 1)-пильпотентной 2-нилъполугруппы,

(2) Ь вложима в решетку подполугрупп некоторой коммутативной (п + 1 )-нальпотентной полугруппы,

(3) Ь вложима в решетку подполугрупп некоторой (п+ 1)-нильпо-тентной полугруппы,

(4) Ь вложима в решетку подпорядков некоторого частичного порядка высоты, не более, чем п,

(5) Ь является Т-дистрибутивной для любого п-дерева Т

Основным средством при доказательтве теоремы 7 вновь является техника раскрашенных лесов В качестве сдедствия из этой теоремы мы получаем такое утверждение

Следствие 8. Выполняются следующие утверждения

(1) для любого положительного п < ш класс конечных решеток, вложимых в решетки подполугрупп п-нильпотентных полугрупп, аксиоматизируем конечным числом тождеств в классе конечных решеток, а поэтому является псевдомногообразием,

(2) конечная решетка вложима в решетку подполугрупп п-ниль-потентной полугруппы, для некоторого положительного п < и> тогда и только тогда, когда она ограничена снизу

Параграф 3 б посвящен изучению решеток подполугрупп свободных полугрупп Проблема 28 14 1, поставленная в монографии Л Н Шеври-на и А Я Овсянникова [38], связана с описанием решеток, вложимых в решетки подполугрупп таких полугрупп В частности, там спрашивается, совпадают ли классы решеток, вложимых в решетки подполугрупп свободных полугрупп, свободных коммутативных полугрупп, свободных 2-нильполугрупп, свободных коммутативных 2-нильполугрупп, свободных полурешеток Следующая теорема дает положительный ответ на этот вопрос. Отметим, что в работе В Б Репницкого [25] было доказано совпадение классов конечных решеток, вложимых в решетки подполугрупп всех перечисленных классов свободных полугрупп, с классом конечных ограниченных снизу решеток

Теорема 9. Для любой решетки Ь, для любого бесконечного кардинала к следующие условия равносильны

(1) Ь вложима в решетку подполугрупп свободной полугруппы ранга к,

(2) Ь вложима в решетку подполугрупп свободной коммутативной полугруппы ранга к;

1Ь

(3) L вложима в решетку подполугрупп свободной 2-нилъполугруп-пы ранга к,

(4) L вложима в решетку подполугрупп свободной коммутативной 2-нильполугруппы ранга, к,

(5) L вложима в решетку подполурешеток свободной полурешетки ранга к,

(6) L вложима в декартово произведение П{<л где Lç является конечной ограниченной снизу решеткой для любого £ < к

Основным средством при доказательтве теоремы 9 является техника раскрашенных лесов Из теоремы 9 немедленно вытекает, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп свободных полугрупп, не аксиоматизируем на языке первого порядка В качестве сдедствия мы получаем также и такое утверждение

Следствие 10. Решетка идеалов любой свободной решетки вложима в решетку подполугрупп некоторой свободной полугруппы В частности, решетки подполугрупп свободных полугрупп не удовлетворяют никакому нетривиальному решеточному тождеству.

Автор глубоко признателен Виктору Александровичу Горбунову за введение в проблематику теории решеток

Автор глубоко признателен Юрию Леонидовичу Ершову за внимание к работе и всестороннюю поддержку

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Г Биркгоф, "Теория решеток", Москва, Наука, 1984

[2] А А Булатов, Конечные подрешетки решеток клонов, Алгебра и логика 33 (1994), 514-549

[3] Ф Веруне, M В Семенова, Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств, Алгебра и логика 43 (2004), 261-290

[4] В А Горбунов, "Алгебраическая теория квазимногообразий", Новосибирск, Научная книга, 1999 Enghsh translation by Plénum, New York, 1998

[5] В Б Репницкий, О представлении решеток решетками подполугрупп, Изв ВУЗов Математика no 1 (1996), 60-70

[6] В Б Репницкий, Решеточная универсальность свободных бернсайдовых групп, Алгебра и логика 35 (1996), 587-611

[7] В Б Репницкий, О решеточно универсальных многообразиях алгебр, Изв ВУЗов Математика по 5 (1997), 53-59

[8] К V Adaricheva, Two embedding theorems for lower bounded lattices, Algebra Universalis 36 (1996), 425-430

|9] К V Adaricheva, Jom-semidistributive lattices of relatively convex sets, Contributions to General Algebra 14 (2003), 1-14

K V Adancheva, V A Gorbunov, On lower bounded lattices, Algebra Universalis 46 (2001), 203-213

K V Adancheva, V A Gorbunov, and V I Tumanov, Jom-semidistnbutive lattices and convex geometries, Adv Math 173 (2003), 1-49

G M Bergman, On lattices of convex sets in Kn, Algebra Universalis 53 (2005), 357-395

G Bvrkhoff, M K Bennett, The convexity lattice of a poset, Order 2 (1985), 223242

G Bvrkhoff, O Frmk, Representations of lattices by sets, Trans Amer Math Soc 64 (1948), 299-316

D Bredikhin, B Schein, Representation of ordered semigroups and lattices by binary relations, Colloq Math 39 (1978), 1-12

R Freese, J JeZek, and J B Nation, "Free Lattices", Mathematical Surveys and Monographs, 42, Amer Math Soc , Providence, 1995

M Goldstern, M Pmsker, A survey of clones on infinite sets, accepted m Algebra Universalis

G Gratzer, "General Lattice Theory Second edition", Birkhauser Verlag, Basel, 1998

G Gratzer, E T Schmidt, Characterizations of congruence lattices of abstract algebras, Acta Sei Math (Szeged) 24 (1963), 34-59

A P Huhn, Schwach distributive Verbände I, Acta Sei Math (Szeged) 33 (1972), 297-305

B Korte, L Lovasz, and R Schräder, "Greedoids", Springer Verlag, Berlin, 1991 P P Pdlfy, P Pudldk, Congruence lattices of finite algebras and intervals m subgroup lattices of finite groups, Algebra Universalis 11 (1980), 22-27 M Pmsker, Algebraic lattices are complete sublattices of the clone lattice over an infinite set, accepted m Fund Math

P Pudldk, J Twrna, Every finite lattice can be embedded in a finite partition lattice, Algebra Universalis 10 (1980), 74-95

V B Repnitskii, Oil finite lattices ernbeddable m subserrngroup lattices, Semigroup Forum 46 (1993), 388-397

V B Repnitskii, On subgroup lattices without non-trivial identities, Algebra Universalis 31 (1994), 379-389

V B Repnitskii, On the representation of lattices by subsemigroup lattices of bands, Semigroup Forum 51 (1995), 379-389

V B Repnitskii, On the representation of lattices by subgroup lattices, Algebra Universalis 37 (1997), 81-105

V B Repnitskii, Nilpotency of algebras and identities on subalgebra lattices, m "Semigroups with applications, including semigroup rings" (Eds S Kublanovsky, A Mikhalev, J Pomzovski), Walter de Gruyter, Berlin, 1998, pp 315-328

V B Repnitskii, Varieties of semigroups with non-tnvial identities on subsemigroup lattices, Algebra Universalis 46 (2001), 69-73

V B Repmtskii, A new proof of Tüma's theorem on intervals in subgroup lattices, Contributions to General Algebra 16 (2005), 213-230

V B Repnitskii, J Twrna, On intervals m subgroup lattices of locally finite groups, manuscript, 2006

[33] R Schmidt, "Subgroup Lattices of Groups", Expositions m Math 14, de Gruyter, 1994

[34] M Semenova, F Wehrung, Sublattices of lattices of order-convex sets, I The main representation theorem, J Algebra 277 (2004), 543-564

[35] M Semenova, F Wehrung, Sublattices of lattices of order-convex sets, II Posets of finite length, Internat J Algebra Comput 13 (2003), 543-564

[36] M Semenova, F Wehrung, Sublattices of lattices of order-convex sets, III The case of totally ordered sets, Internat J Algebra Comput 14 (2004), 357-387

[37] M V Semenova, A Zamojska-Dziemo, On lattices embeddable into lattices of order-convex sets Case of trees, accepted m Internat J Algebra Comput

[38] L N Shevnn, A Ja Ovsyannikov, "Semigroups and their subsemigroup lattices", Dordrecht, Kluwer Academic publishers, 1996

[39] B Svvdk, Representation of finite lattices by orders on finite sets, Math Slovaca 28 (1978), 203-215

[40] J Türna, Intervals m subgroup lattices of infinite groups, J Algebra 125 (1989), 367-399

[41] Ph M Whitman, Lattices, equivalence relations, and subgroups, Bull Amer Math Soc 52 (1946), 507-522

Работы автора по теме диссертации

[42] М В Семенова, Решетки подпорядков, Сиб Мат Ж 40, по 3 (1999), 673-682

[43] М В Семенова, О решетках, вложимых в решетки подпорядков, Алгебра и логика 44, по 4 (2005), 483-511

[44] М В Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп I Полурешетки, Алгебра и логика 45, по 2 (2006), 215-230

[45] М В Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп II Полугруппы с сокращением, Алгебра и логика 45, по 4 (2006), 436-446

[46] М В Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп III Ниль-потентные полугруппы, Сиб Мат Ж 48, no 1 (2007), 192-204

[47] М V Semenova, On lattices embeddable mto subsemigroup lattices IV Free semigroups, Semigroup Forum 74, no 2 (2007), 191-205

[48] M В Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп V Деревья, Сиб Мат Ж 48, по 4 (2007), 894-913

[49] М V Semenova, Closure lattices of closure spaces, Contributions to General Algebra 18 (2007)

Семенова Марина Владимировна

Вложение решеток в решетки замкнутых подмножеств пространств замыкания

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Подписано в печать 29 08 07 Формат 60x84 1/16

Уел печ л 1,1 Уч.-изд л 1,1 Тираж 100 экз Заказ №115

Отпечанатно в ООО «Омега Принт» 630090 Новосибирск, пр Лаврентьева 6

Введение

1. Основная конструкция

1.1. Основные определения

1.2. Вспомогательные результаты

1.3. Раскрашенные леса

2. Решетки подпорядков

2.1. Полудистрибутивность вверх и ограниченность снизу

2.2. Теорема Бредихипа-Шайна

2.3. Упорядоченные множества без бесконечных цепей

3. Решетки подполугрупп

3.1. Полурешетки: произвольный случай

3.2. Полурешетки: конечный случай

3.3. Полугруппы с сокращением

3.4. 2-Нилыюлугруппы

3.5. Нильпотентные полугруппы

3.6. Свободные полугруппы 109 Список литературы

Оператор ip на множестве X называется оператором замыкания, если он обладает следующими свойствами: i) р(0) = 0; ii) А С ip(A) С X для любого А СХ; iii) ср2(А) = <р(А) для любого AC X] iv) <р(А) С ip(B) для любых АСВСХ.

Пространством замыкания называется пара (X, р), где X — множество, a ip — оператор замыкания на X. Если <р(А) — А, то множество А С X наывается замкнутым. Множество L(X, ф) всех замкнутых подмножеств пространства (X, ф) образует полную решетку относительно включения, в которой выполняются равенства

Д4 = Р| Ац yAi^viUAi) iei iei iei ш для любого семейства замкнутых множеств А{ С X, i £ I. Решетка L(X, ф) называется решеткой замкнутых подмножеств.

К примеру, для любой алгебраической системы А и для любого множества В С. А пусть (В) обозначает подсистему в А, порожденную множеством В. Тогда (А, ( )) является пространством замыкания, для которого решетка замкнутых подмножеств совпадает с решеткой подсистем Sub Л. Другой пример решетки замыкания можно указать, используя частично упорядоченные множества. Пусть (Р, <з) — строго частично упорядоченное множество, то есть бинарное отношение < на множестве Р антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Сопоставляя каждому подмножеству в <1 его транзитивное замыкание, мы таким образом определяем оператор замыкания на <. Соответствующая этому оператору решетка замкнутых подмножеств 0(Р, <) называется решеткой подпорядков.

Конечно, два приведенных выше примера ни в коем случае не исчерпывают весь список пространств замыкания, которые служат объектом широкого круга исследований во многих областях алгебры, логики и, в частности, теории решеток, см. [4, 31, 10, 35, 56, 51]. Эти исследования связаны с изучением свойств решеток замкнутых подмножеств как конкретных пространств замыкания, так и абстрактных пространств замыкания в целом. з

Как отмечено выше, решетка замкнутых подмножеств произвольного пространства замыкания полна. Верно и обратное (см., к примеру, книгу Г. Гретцера [31]): любая полная решетка изоморфна решетке замкнутых подмножеств некоторого пространства замыкания, а любая алгебраическая решетка изоморфна решетке замкнутых подмножеств некоторого алгебраического (или конечно порожденного) пространства замыкания. Более того, любая алгебраическая решетка изоморфна решетке замкнутых подмножеств пространства замыкания вполне конкретного вида: например, согласно работе Г. Биркгофа и О. Фринка [23], каждая алгебраическая решетка изоморфна решетке подалгебр некоторой алгебры, а согласно работе Г. Гретцера и Э. Т. Шмидта [32], каждая алгебраическая решетка также изоморфна решетке конгруенций некоторой алгебры. Вопрос о том, изоморфна ли любая конечная решетка решетке конгруенций некоторой конечной алгебры конечной сигнатуры, является хорошо известной открытой проблемой. Согласно работе П. П. Палфи и П. Пудлака [40], положительное решение этой проблемы равносильно тому, что каждая конечная решетка изоморфна интервалу в решетке подгрупп некоторой конечной группы.

Процитированные результаты показывают, что для некоторых пространств замыкания класс их решеток замкнутых подмножеств достаточно сложно устроен, поскольку содержит в себе все полные решетки. В общем случае, рассматривая некий конкретный класс С пространств замыкания, можно задаться вопросом о взаимосвязи класса С и класса С1(С) решеток замкнутых подмножеств пространств, принадлежащих С. Другими словами, можно спросить, в какой степени сложность класса 6 определяет сложность класса С1(6), а также какие ограничения на пространства из S следует наложить, чтобы класс С1(С) их решеток замкнутых подмножеств обладал определенными решеточными свойствами. В частности, для фиксированного класса 6 пространств замыкания можно поставить такие проблемы: i) описать класс С1(6), а также класс С1(С) П Fin конечных решеток, принадлежащих С1(С); ii) описать класс [конечных] решеток, вложимых в решетки из класса С1(е); iii) являются ли эти классы аксиоматизируемыми [в классе конечных решеток]? если это так, то можно ли аксиоматизировать эти классы (квази)тождествами [в классе конечных решеток]?

Класс С пространств замыкания называется [конечно] решеточно универсальным, если любая [конечная] решетка вложима в решетку замкнутых подмножеств некоторого [конечного] пространства замыкания, принадлежащего С.

Вопрос о возможности вложить решетки, лежащие в каком-то определенном классе, в решетки замкнутых подмножеств конкретных пространств замыкаиия имеет долгую историю. В этом направлении было получено много замечательных результатов. Среди первых, ставших к настоящему времени классическими, следует отметить результат Ф. М. Уитмена [60] 1946 года, утверждающий (в эквивалентной формулировке), что любую решетку можно вложить в решетку подгрупп некоторой группы. Таким образом, класс групп решеточно универсален. Вопрос о возможности вложить любую конечную решетку в решетку подгрупп конечной группы долго оставался без ответа и был решен положительно в 1980 году в известной работе П. Пудлака и И. Тумы [42]. Более того, в работе [58] И. Тума получил уточнение результата Уитмена, показав, что интервалы в решетках подгрупп исчерпывают все алгебраические решетки; другое доказательство этого результата И. Тумы можно найти в работе В. Б. Репницкого [49]. Отметим также, что недавно В. Б. Реп-ницкий и И. Тума доказали в [50], что любая алгебраическая решетка с не более, чем счетным числом компактных элементов вложима как интервал в решетку подгрупп локально конечной группы.

В работах В. Б. Репницкого [11]-[14] и [43]—[48] было проведено глубокое исследование решеток, вложимых в решетки подалгебр различных конкретных классов алгебр. Некоторые из полученных им результатов нашли отражение в монографии Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [56, Глава VIII]. В частности, В. Б. Регшицкий показал в [11], что класс полурешеток, класс коммутативных 2-нильполугрупп, и класс коммутативных полугрупп без идемпотентов с сокращением и с однозначным извлечением корня являются решеточно универсальными, а в работе [12] для всякого п > 665 им же была установлена решеточная универсальность многообразия групп, задаваемого тождеством хп = 1. Кроме того, в работе [13] было показано, что всякое ненильпотентвное многообразие ассоциативных колец, всякое нетривиальное многообразие решеток, а также класс всех булевых алгебр решеточно универсальны.

Другой решеточно универсальный класс пространств замыкания был обнаружен в работе Д. Бредхина и Б. Шайна [24]. Они показали, что любая решетка вложима в подходящую решетку подпорядков.

В работе К. В. Адаричевой, В. А. Горбунова и В. И. Туманова [19] исследуется вопрос о вложении решеток в решетки замкнутых подмножеств так называемых выпуклых геометрий, то есть пространств замыкания (X, ф), обладающих следующим свойством антизамены: а&^(Уи{Ь})ЩУ), афЬ влечет и {а}) для любых а, Ь 6 X и любого У С X. Отметим, что в [19, Теорема 2.8] указан один решеточно универсальный класс выпуклых геометрий конкретного вида.

Понятие выпуклой геометрии является обобщением понятия выпуклости в векторных пространствах. Пусть V — векторное пространство над линейно упорядоченным телом Е. Множество 17 С V выпукло, если Хх + (1 - А) у £ и для всех х, у Е и и всех А 6 [0,1] С Р. Сопоставляя каждому подмножеству X С V его выпуклую оболочку (то есть наименьшее выпуклое подмножество в V, содержащее X), мы таким образом определяем оператор замыкания на V, который, как нетрудно видеть, обладает свойством антизамены.

Хорошо известно, что любая конечная выпуклая геометрия полудистрибутивна вверх, то есть удовлетворяет следующему квазитождеству

V хуг хУу — хУг —> хУ у = хУ (у Л г).

Таким образом, класс выпуклых геометрий не имеет ни единого шанса быть конечно решеточно универсальным. Тем не менее, в работе [19, Теорема 1.11] среди прочего показано, что любая конечная полудистрибутивная вверх решетка вложима в решетку замкнутых подмножеств некоторой конечной выпуклой геометрии. Поэтому класс выпуклых геометрий можно считать конечно решеточно универсальным в классе полудистрибутивных вверх решеток. В связи с этим результатом в работе [19] была предложена проблема 3, которая звучит так: существует ли класс И конечных выпуклых геометрий конкретного типа, содержащий все конечные полудистрибутивные вверх решетки в качестве подрешеток своих решеток замкнутых подмножеств?

Другими словами, существует ли класс и выпуклых геометрий конкретного типа такой, что любая полудистрибутивная вверх решетка вложи-ма в некоторую решетку из 01(11)? Ответ на этот вопрос для конечных полурешеток следует из результата, полученного В. Б. Репницким [43] и позже К. В. Адаричевой [16]. Они показали, что конечная решетка вложима в решетку подполурешеток некоторой конечной полурешетки тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Другой результат того же характера был доказан Б. Сиваком в работе [57], где показано, что конечная решетка вложима в решетку подпорядков некоторого конечного частично упорядоченного множества тогда и только тогда, когда она ограничена снизу. Здесь следует также упомянуть характеризацию класса конечных ограниченных снизу решеток в терминах вложимости в решетки подполугрупп различных свободных полугрупп, которая была получена В. Б. Репницким в работе [43]. Он показал, что конечная решетка ограничена снизу в том и только том случае, когда она вложима в решетку подполугрупп свободной [коммутативной] полугруппы, а также свободной [коммутативной] 2-нилыюлугруппы. Заметим, что понятие ограниченной снизу решетки было введено в работе Р. Н. Маккензи [37]. Известно, что класс конечных ограниченных снизу решеток является собственным подклассом в классе конечных полудистрибутивных вверх решеток (см. монографию Р. Фриза, Я. Ежека и Дж. Б. Нейшна [28], а также работу Б. Йонссона и Дж. Б. Нейшна [34]).

Вопрос о существовании конкретного класса выпуклых геометрий, конечно решеточно универсального в классе полудистрибутивных вверх решеток, мотивировал изучение выпуклых геометрий, возникающих из понятия выпуклости в векторных пространствах и в частично упорядоченных множествах. Решетки замкнутых подмножеств этих пространств замыкания, называемые также решетками выпуклых подмножеств, изучались несколькими авторами. В работе Ф. Верунга и автора [9] было показано, что любая решетка вложима в решетку выпуклых подмножеств некоторого векторного пространства над любым линейно упорядоченным телом. Много интересных результатов о решетках выпуклых подмножеств векторных пространств (в частности, результаты об элементарных свойствах таких решеток) можно найти в работе Дж. Бергмана [21], см. также работу К. В. Адаричевой [17]. Что же касается выпуклых геометрий, возникающих из понятия выпуклости в частично упорядоченных множествах, то в работе Ф. Верунга и автора [52] было установлено, что такие геометрии не могут быть конечно решеточно универсальными даже в классе полудистрибутивных вверх решеток, поскольку класс решеток, вложимых в решетки выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств, образует конечно базируемое подмногообразие в квазимногообразии полудистрибутивных вверх решеток. Изучение решеток, вложимых в решетки выпуклых подмножеств для некоторых конкретных классов частично упорядоченных множеств, было проведено в работах [53, 54, 55], см. также обзор недавних результатов в [08]. Отметим также, что довольно сложное описание решеток, изоморфных решеткам выпуклых подмножеств частично упорядоченных множеств, было получено в работе Г. Биркгофа и М. К. Беннет [22].

Хотелось бы отметить здесь также большое число работ, связанных с изучением решеток, вложимых в решетки клонов над конечными и бесконечными множествами. К примеру А. А. Булатов [6] показал, что любая конечная решетка вложима в решетку клопов над множеством, имеющим, по крайней мере, четыре элемента (см. также его работы [5, 7, 8]), а М. Пинскер [41] показал, что полные подрешетки решеток клонов исчерпывают весь класс алгебраических решеток. Исчерпывающий обзор недавних результатов о решетках клонов можно найти в обзоре М. Гольдштерна и М. Пинскера [30]. Упомянем также работы К. В. Ада-ричевой [1, 2, 3], посвященные изучению решеток подполурешеток полурешеток, а также работы К. Чеонг и П. Джоунса [25] и Л. Либкина и М. Гурвича [36], посвященные изучению решеток выпуклых подполурешеток полурешеток.

Данная работа посвящена изучению решеток, вложимых в решетки замкнутых подмножеств пространств замыкания конкретного вида: изучаются классы решеток, вложимых в решетки подпорядков и в решетки подполугрупп. Получены результаты о характеризации указанных классов решеток для различных классов частичных порядков и полугрупп. Полученные результаты позволяют, в частности, сделать заключение о возможности аксиоматизировать эти классы решеток на языке первого порядка. В работе получены следующие основные результаты: 1. Показано, что класс решеток, вложимых в решетки подпорядков частично упорядоченных множеств высоты не более, чем п, образует конечно базируемое многообразие для любого п < и. Указан конкретный базис тождеств для этого многообразия.

2. Дано синтаксическое описание класса конечных решеток, вложимых в решетки подполурешеток [п-арных] деревьев. Этот класс является собственным подклассом класса конечных ограниченных снизу решеток и аксиоматизируется тождествами в классе конечных решеток [для всякого положительного п < ш].

3. Показано, что класс решеток, вложимых в решетки подполугрупп п-нильпотентиых полугрупп, образует конечно базируемое многообразие для любого 0 < п < и>. Указан конкретный базис тождеств для этого многообразия. Этот результат дает синтаксическое решение проблемы 28.14.2 из монографии Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [56].

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и опубликованы в [61]—[68].

В работе используются теоретико-решеточные методы. В частности, широко применяется метод вложения решеток в производные решетки, основанный на использовании раскрашенных лесов, который был развит в работах Ф. Верунга и автора [52, 53, 54, 9].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Утверждения нумеруются тремя цифрами: первая обозначает номер главы, вторая — номер параграфа в главе, а третья — номер утверждения в параграфе. Нумерация выносных формул двойная: первая цифра обозначает номер главы, а вторая — номер формулы в главе. Список литературы содержит 68 наименований. Объем диссертации составляет 125 страниц.

(ii) Пусть решетка L является /<Г-дистрибутивной для любого п-дерева

{К, <), Используя стандартную нроцедуру, вложим сначала L в решетку

Fil Z/, двойственную решетке фильтров. Поскольку это вложение со храняет все тождества L, решетка Fil^ L также /iT-дистрибутивна для

любого п-дерева {К, <); таким образом, Fil^L п-дистрибутивна и удов летворяет тождеству (Dn). Применяя предложение 2.3.10 к множеству

S = J(Fil^ L), получаем, что решетка Fil^ L не содержит (п+1)-элемент ных D-последовательностей. Так как решетка Fil L непрерывна вниз,

согласно предложению 1.2.6(i), она имеет слабое свойство J(Fil Ь)-мини малыюсти, откуда следует, что решетка Fil^ L слабо D-нетерова относи тельно J(Fil L). Поэтому без ограничения обш,ности мы можем считать,

что L слабо D-нетерова относительно J{L) и не содержит (п+1)-элемент ных D-последовательностей. Поэтому ht(r(L,E), <,) ^ п. по лесу {Т, <, ) , является (п + 1)-нильпотснтной, то есть

для любых Fo, . . ., Fn е §г- Без ограпичения общности можем считать,

что Fi^T для всех г ^ п. Мы также можем предполагать, что Fo U.,. U

FnQ В для некоторой окрашенной ветви {В, <) леса (Г, <, ) , поскольку

иначе равенство Fo о .. . о F^ = Г следует из определения операции о. Для любого i ^ п пусть М{г) = jFj П т а х ( 5 , <}. Поскольку решетка

L слабо D-нетерова относительно J(L), любая окрашенная ветвь леса

(Г, <,) конечна, поэтому М(г) ^ 0 для всех i ^ п. Из доказательства

теоремы 2.3.13(iii) следует, что |max(J5, <) | < п для любой окрашенной

ветви {В, <) в (Т, <, ) . Поскольку М(г) С Б для всех Г < п, найдутся г,

j ^п,гф j такие, что M(i)nM{j) 7^ 0; пусть р G M(i)nM(j). Согласно

определению, найдутся элементы д, G Fj и qj 6 Fj такие, что qi, qj 6 |р . Отсюда делаем вывод, что qi и qj сравнимы, поэтому FioFj = Т, то есть

(iii) Любая конечная ограниченная снизу решетка L является D-нете ровой относительно J(L). Более того, для любого п ^ | J(b)l решетка L

является ЛГ-дистрибутивной для любого п-дерева {К, <). Таким образом,

(ii). ' П

Из теоремы 3.5.6(ii) мы получаем следующую характеризацию класса

решеток, вложимых в решетки подполугрупп нильпотептных полугрупп. Теорема 3.5.7. Для I < п < и и для произвольной решетки L следую щие условия равносильны:

(i) L вложима в решетку подполугрупп некоторой коммутатив ной {п + 1)-н'ильпотентног1 2-Н'ильполугруппы;

(ii) L вложима в решетку подполугрупп некоторой коммутатив ной (тг + 1)-нальпотентной полугруппы;

(iii) L вложима в решетку подполугрупп некоторой (п + 1)-нильпо тептной полугруппы;

(iv) L вложима в решетку подпорядков некоторого частичного упо рядоченного множества высоты не более, чем п;

(v) L является Т-дистрибутивной для любого п-дерева Т.

Доказательство. Очевидпо, (i) влечет (ii), а (ii) влечет (iii). По теореме

3.5.3 утверждение (iii) влечет утверждепие (v). Утверждение (v) влечет

утверждепие (i) по теореме 3.5.6(ii). Равносильпость утверждений (iv) и

(v) следует из теоремы 2.3.15. П

Пусть Кп обозначает рсласс п-нильпотентных полугрупп для любого

1 < п < W. Из теоремы 3.5.7 и теоремы 3.5.6(iii) мы получаем такое

утверждепие:

Следствие 3.5.8. Для любого 1 < п <LJ верно следующее:

{[) класс SSub(!Nfn) является конечно базируемым многообразием. (ii) класс S Sub(!N'n)nFin конечных решеток из S 8иЬ(К„) совпада ет с классом S Sub(!NrnnFin), и поэтому является псевдомного образием. Доказательство. Утверждепие (i) следует из теоремы 3.5.7. Согласно

теореме 3.5.3 и предложепию 2.3.10, любая копечная подрешетка решет ки подполугрупп п-нильпотептпой полугруппы па содержит D-циклов,

а поэтому является ограничеппой снизу по следствию 1.2.4. Таким обра зом, по теореме 3.5.6(iii) опа вложима в решетку подполугрупп пекоторой

конечной п-пильпотептной полугруппы, что доказывает (ii). П

Замечание. В проблеме 28.14.2 из монографии Л. Н. Шеврипа и А. Я.

Овсяппикова [56] спрашивалось об описании класса S Sub(3\fn), а также

об описании класса конечных решеток, принадлежащих S Sub(Nn). Тео рема 3.5.7 и следствие 3.5.8 дают синтаксическое решение этой п])облемы. Отметим также еш,е одно пепосредствеппое следствие теоремы 3.5.7. Следствие 3.5.9. Конечная решетка ограничена снизу тогда и только

тогда, когда она влоокима в решетку подполугрупп некоторой конечной

[коммутативной нильпотентной] 2-нильполугруппы. Замечание. Теорема 3.5.6(iii), а также следствие 3.5.9 были доказапы

В. Б. Репницким в работе [43]. В параграфе 3.6 мы дадим уточнение

этого результата. Отметим также, что независимое доказательство след ствия 2.3.18 может быть получено из теоремы 3.5.6. 3.6. Свободные полугруппы. Основной целью данного параграфа является описапие решеток, вложи мых в решетки подполугрупп свободных полугрупп. В теореме 3.6.12 мы

даем описание таких решеток как решеток, аппроксимируемых копечны ми ограничеш1ыми снизу решетками. В качестве следствия мы получаем

результат В. Б. Реппицкого [43] об описании копечных решеток, вложи мых в решетки подполугрупп свободных полугрупп (следствие 3.6.16). Отметим, что теорема 3.6.12 дает решение проблемы 28.14.1 из моногра фии Л. Н. Шеврина и А. Я. Овсянникова [56]. Результаты, представлен ные в этом параграфе, опубликованы в работе [66]. Если не оговорено противное, все полугруппы, рассматриваемые в

этом параграфе, являются мультипликативными; для упрош;епин обо значений, вместо (5, •) мы будем писать просто 5. Пусть С обозпачает

бесконечную циклическую нолугруппу. Для произвольного множества

X введем следуюш,ие обозначения:

F[X) обозначает свободную полугруппу, порожденную Х\

FC{X) обозначает свободную коммутативную полугруппу,

порожденную X;

FS{X) обозначает свободную полурепгетку, порождспную Х\

FN{X) обозначает свободную 2-11ильполугрунну, порожденную X;

FCN{X) обозпачает свободную коммутативную 2-11ильполугруппу,

порожденную X. Чтобы различать буквы некоторого алфавита и слова над тем же

алфавитом, слова мы всегда будем обозначать жирными латинскими

буквами. Конкатенацию любых двух слов а и b над алфавитом А мы

обозначаем аЬ. Для любого слова а = a i . . . а „ , где О < п < ш я ах, ...,

а„_1 е А, мы полагаем е(а) = а„ и |а| = п. Единственное слово, для

которого п = О, называется пустым; это слово мы обозпачаем е. Следующая лемма характеризует неразложимые элементы в решетках

подполугрупп свободных полугрупп. Лемма 3.6.1. Пусть X является множ:еством и пусть S — любая

полугруппа из мноокества

{F{X), FC{X), FSiX), FN{X), FCN{X)). Нетразлоокилте элалепты в решетке Sub S это в точности все однопо роэюденные подполугруппы в S. Доказательство. Пусть s 6 5. Если S = FS{X), то (s) = {s}. Если S =

FN{X) или 5 = FCN{X), то (s) = {О, s}. В любом случае (s), очевидно. является неразложимым элементом в Sub 5. Если S = F{X) или S —

FC{X), то подполугруппа {s" | 1 < п < w} является единственным ниж ним покрытием подполугруппы (s) в решетке Sub 5. П

Следуюш,ее предложение показывает, что решетки подполугрупп сво бодных полугрупп являются D-петеровыми

Предложение 3.6.2. Пусть X является множеством и пусть S —

любая полугруппа из множества

{F{X), FC{X), FSiX), FN{X), FCN{X)}. Решетка SubS является D-нетеровой. Доказательство. Мы рассмотрим случай, когда S = F{Xy, во всех дру гих случаях доказательство аналогично, но проще. Покажем, что решет ка Sub S является D-нетеровой относительно множества

Е = {{Х1... х„) I О < п < ш, XI,..., Жп G X}. Согласно лемме 3.6.1, каждый элемент в решетке Sub 5 есть сумма эле ментов из множества Е = J(Sub5') . Пусть XI, ..., Хп €: X и пусть Р = {xi... Хп). Предположим, что С

является петривиальным покрытием для Р в ренюткс Sub 5. Предполо жим также, что С нельзя утончить до покрытия, лежащего в Ms(P). Индукцией по п мы построим последовательность

... < е„+1 < е„ < . . . < ei < е

нетривиальных покрытий Р, обладающих свойствами:

(i) е^ с Е;

(ii) Gi\{R} ^ Q{F) для любого элемента R € Gf,

для всякого о < г < о/. Так как С G е(Р), имеем F С \/ Q, во Р ^ R рдя любого Л 6 С

Выберем A{G) С {ai , . . . ,am} минимальным со свойством Xi...Xn G

(Л(С)). Тогда покрытие Ci = {(а) | а 6 Л(б)} обладает свойствами (i)-

(ii) из списка свойств для 6„. Предположим, что мы уже построили

покрытие Cj, обладающее свойствами (i)-(iii). Поскольку Cj <1С С и не

существует минимального покрытия, которое утончало бы С, покрытие

Sj не минимально. Поэтому существует нетривиальное покрытие С для

Р такое, что С < Cj и б^ g G'. Так как С € е(Р), существуют 1 < fc < w

и слова Ъх, . . . , bfc € и С такие, что

Выберем Л(е') С {bi,.. . , Ц } минимальным со свойством Х1...х„ G

(Л(С')). Тогда покрытие Cj+l = {(а) | а € -(4.(6')} С Е утончает покрытие

С', то есть оно утончает также и С,. Очевидно, Sj+i обладает свойствами

(i)-(ii) из списка свойств для 6„. Поскольку Sj+i < Cj, для любого Ь G Л(С') существует а(Ь) G F(X)

такое, что (а(Ь)} G Cj и Ъ е (а(Ь)). Поэтому для любого Ь 6 Л (С)

существует п(Ь) > О такое, что Ъ = а(Ь)"^''^ Предположим, что п{Ъ) = 1

для всех Ъ G А{&). Тогда для любого Ъ G Л(С') имеем Ь = а(Ь), откуда

получаем Cj^ -i С Cj. Так как СД{Л} ^ С(Р) для всех R G Cj, мы делаем

вывод, что Cj+i = Cj. Это равенство, а также условие Cj+i < С <

Cj влекут равенство С = Cj, что противоречит выбору покрытия

Поэтому существует Ь G Л(С') такое, что п(Ь) > 1, то есть |Ь| > |а(Ь)|. Отметим, что О? = {(а(Ь)) | Ъ G А{е')} С вг. Имеем

Р С \/ен1 = (Л (С)) С ({а(Ь) I Ъ G Л (С)}) = V ^ '

откуда следует, что 01 является покрытием для Р. Тогда свойство (ii)

из списка свойств для покрытий {С„ | О < п < w} влечет О? = Cj. Это

замечание в совокупности с замечанием, сделанным выше, влечет

Таким образом, покрытие Cj+i удовлетворяет всем свойствам (i)-(iii)

Для любого О <i <ш верно

Отсюда и из свойтва (ii) следует, что

для любого о < i < ш. Поскольку

для всех О < г < W, мы получаем противоречие. Это противоречие

означает, что наше предположение о том, что покрытие С нельзя утон чить до минимального, было неверным. Непосредственно проверяется, что

^i;((a)) С {(b) I b 7^ е, b - собственное нодслово в а}

для любого а G F{X). Поскольку множество, стоящее снрава, конечно,

множество Ж^{{а)) также конечно. Таким образом, решетка Sub 5 имеет

свойство Е-минимальности. Наконец, согласно лемме 1.2.1, для любых а, b € F(^X) имеем (а) D(b)

в решетке Sub5 тогда и только тогда, когда (Ь) G Ms((a)), откуда

получаем, что Ъ ^ ^ е и Ъ является собственным подсловом в а. Поэтому

условие (a)D(b) влечет неравенство |Ь| < |а|. Согласно этому замеча нию, в решетке Sub 5 нет бесконечных D-последователыюстей, состав ленных из элементов Е, откуда и следует требуемое заключение. П

Предложение 3.6.3 является переформулировкой следствия 2.3.18. Предложение 3.6.3. Пусть решетка L является D-нетеровой отно сительно мнооюества S С J(L). Тогда L вложима в прямое произведе ние YliQ^jLi, где Ц является конечной подпрямо неразложимой ограни ченной снизу решеткой для любого i £ I. Если S конечно, то I такоке

конечно. Если X) бесконечно, то I можно выбрать так, что \1\ = |Е|. В частности, L €

Простым следствием нредложения 3.6.3 является

Предложение 3.6.4. Для любого мно-лсества X и для любой полугруп пы S из мноокества

), FC{X), FSiX), FNiX), FCN{X)},

решетка Sub 5 влоокима в прямое произведение \[^^jLi, где Li являет ся конечной подпрямо неразлож:имой ограниченной снизу решеткой для

любого i £ I. Более того, \1\ ^ \Х\+ и \1\ = \Х\, если X бесконечно. Доказательство. Положим Е = {(s) | s € 5}. Тогда |Е| = \S\ = \Х\,

если порождающее множество X бесконечно. Заключение следует из

предложения 3.6.2 и нредложения 3.6.3. П

Теперь мы можем приступить к описанию решеток, вложимых в ре шетки подполугрупп свободных полугрупп. Следующее предложение бы ло доказано в реботе В. Б. Репницкого [43]. Предложение 3.6.5. Для любого О < п < со решетка подпорядков 0(п)

вломсума в решетку подполугрупп Sub

Следующее предложение рассматривает ])ешетки подполугрупп абсо лютно свободных полугрупп. Как обычно, для произвольного множества

X мы полагаем, что F{X) состоит из непустых слов над алфавитом X,

а конкатенация слов является нолугрупповой операцией. Предложение 3.6.6, Для любого мношсества I и для любой последова тельности (nj I Г G /) поло:нсителъпых целых чисел существует мно жество X такое, что решетка Yl^^j O(nj) вложима в SubF(X). Если

I конечно, то X можно выбрать одноэлементным. Если I счетно, то

X можно выбрать двухэлементным. Если I несчетно, то X можно

выбрать так, чтобы \Х\ — \1\. Доказательство. Пусть L — flie/^C^O ^ Д^^ любого i G. I пусть щ

обозначает капопическую проекцию из L на О(пг). Полагаем

Кроме того, полагаем а(г, к, I) — x{i, к)... x{i, I) G F{X) для любого г G /

и любых О < к ^ I ^ Пг. Определим отображение ^р: L —* SnbF{X)

следующим образом:

^р:Р^ (а(г, к,1) \i е I, О < к ^ 1 ^щ, {к-1,1) € щ{Р))

Очевидно, отображение ^р сохраняет порядок. В серии утверждений

покажем, что ^р является вложением. Утверждение 1. Отображение (р сохраняет объединения. Доказательство утверждения. Пусть слово b принадлежит ^р{Р\1 Q). того, для любого j ^ п существуют г^1у[.^<к^1^щ такие, что

hj = а(г, к, 1)я{к- 1, /) G щ{Р V Q). Зафиксируем j ^ п. Поскольку 7ri(P V Q) является транзитивным замы канием 1Гг{Р) и TTiiQ), найдутся mi, ..., mg ^ щ такие, что к - I =

mi < ... < TUs — I а {mt-i,mt) G щ{Р) U щ{Я) для всех t ^ s. Имеем

a{i,k,l) = а(г, mi-t-l,m2).. .а{{,тз-1+1,тз) и по определению .^F имеем

также а(г, mi+ 1,т2), . . . , a{i,ms-i + l,ms) G ^F(-P)U^F(Q)) ТО есть bj =

а(г,к,I) е (F{P)^^F{Q)- Так как это выполняется для любого j ^ п, мы

Поскольку ^F сохраняет порядок, выполняется и обратное включение,

то есть ^f сохраняет объединения. П

Утверисдение 2, Отображ:ение ^р сохраняет пересечения. Более того, для любого j < п и любого j ' < m существуют i(j), i'{j') 6 /

и О < k{j) < l{j) < nj(j), a также О < s(/) < i(j') ^ rrii'tj') такие, что

этом случае имеем

7rj(i)(P) n 7г^ (1)((5) = 7г^ (1)(Р n Q). Таким образом b = а(г(1), к(1), /(1)) G

Предположим, что n + m > 2. Тогда либо п > 1, либо m > 1. Рассмот рим случай п > 1, Либо bi является начальным сегментом ai, либо ai

является начальным сегментом bi. В первом случае без ограничения

общности мы можем полагать, что ai = b i . . . b^ для некоторого г ^ т. Поэтому г(1) = Г'(1) = ... = г'(г) и имеют место неравенства

Так как (i(/ - l),t(j")) = (s(j') - l,t{j')) G n^^^iQ) для всех ; ' ^ r,

мы делаем вывод, что (fc(l) - 1,/(1)) G 7rj(i)(Q). Отсюда следует, что

G 7г,(1)(Рпд) и ai е ^F(Pn(5). Поэтому

b — aia2 ... а„ =

Поскольку ^р сохраняет порядок, выполняется и обратное включение. Случай, когда ai является начальным сегментом bi, симметричен

рассмотренному. Случай, когда m > 1, может быть разобран точно так

же. Таким образом, ^р сохраняет пересечения. D

Утверж:дение 3. Отображение ^р взаимно одпоз-начно. Доказательство утверждения. Действительно, пусть Р •^QB L. Тогда

существует i G I такой, что щ{Р) ^ iTiiQ) в решетке О(пг). Поэтому

найдутся О < к ^ I ^ щ такие, что (к -1,1) G щ{Р) \ T^i{Q)- Поэтому

а(г, /с, I) е ^р{Р)- Предположим, что а(г, к, I) G ^ F ( Q ) - Тогда существуют

тпх, ...,ms ^щ такие, что к-1 = mi < ... < Шд — I, (щ-г,ruj) Е ni{Q)

для всех j ^ S и, кроме того, a{i,k,l) = a{i,mi + I,m2).. .a{i,ms-i +

1, mg). В этом случае {к — 1,1) S 7^i{Q), противоречие. Поэтому а(г, к, I) ^

и ^р взаимно однозначно. П

Для завершения доказательства предложения 3.6.6 отметим, что

если множество / бесконечно. Более того, если / счетно, то X также

счетно; так как полугруппа F{u!) вложима в полугруппу F(2), порожда ющее множество можно выбрать двухэлементным. Если же / конечно, то

L является конечной ограниченной снизу решеткой, поэтому по следст вию 2.3.17 она вложима в решетку 0(п) для некоторого О < п < w. Требуемое заключение следует из предложения 3.6.5. П

Рассмотрим теперь свободные полурешетки. Для любого множества X

мы полагаем, что FS{X) состоит из непустых конечных помножеств в X,

а операция теоретико-множественного объединения является нолугруп повой операцией. Предложение 3,6,7. Для любого множества I и для любой последова тельности (Пг I г £ /) положительных целых чисел существует мно жество X такое, что решетка jfltG/ ^('^i) вложилга в SubF5(X). Если

I конечно, то X можно выбрать конечным. Если I бесконечно, то X

можно выбрать так, чтобы \Х\ - \1\. Доказательство. Пусть L = riig/^C^i)' Согласно следствию 3.2,3 для

любого i £ I найдется конечное множество Xi такое, что O(nj) вложима

В Sub FS{Xi). Тогда L вложима в прямое произведение П^е/ ^^^ FS{Xi). Без ограничения общности мы можем полагать, что Xi П Xj — 0 при

г ф j . Полагаем X = [J^^j Xi. Нетрудно проверить, что отображение

ip: {Si \ г е I) h-^ {yj Aj \ п< (J, Aj e[JSi для всех j < n}

устанавливает вложение Пге/ Sub FS{Xi) в Sub FS{X). D

Рассмотрим свободные 2-нильполугруппы. Для произвольного мно жества X мы полагаем, что FN[X) состоит из слов без квадратов над

алфавитом X, включая пустое слово е. Полугрупповая же операция в

FN{X) определена по правилу:

{аЬ, если а, b ^^ е и аЬ € FN{X);

е, иначе. Предложение 3.6.8. Для любого множества I и для любой последова тельности (пг I г е /) полоокительпых целых чисел существует мно otcecmeo X такое, что решетка f]jg/ 0{щ) влоэюима в Sub FN{X). Ес ли I конечно, то X моэюно выбрать конечным. Если I бесконечно, то

X MOOK.no выбрать так, чтобы \Х\ = |/|. Доказательство. Пусть L — Пге/^("г) ^ Д^^ любого i G / пусть

обозначает каноническую проекцию из L па O(nj). Полагаем

Точно так же, как в доказательстве предложения 3.6.6, мы полагаем

а(г,к,I) = x{i,к)...x{i,I) € FN{X) для любого i £ I к для любых О <

к ^1 ^щ. Определим отображение ^pN '• L -> Sub FN{X) по правилу:

Далее доказательство повторяет доказательство предложепия 3.6.6. П

Рассмотрим свободные коммутативные 2-нильполугруппы. Для любо го множества X мы полагаем, что FCN{X) состоит из всех конечных

помножеств в X, включая пустое множество 0. Полугрупповая же опе рация в FCN{X) определена по правилу:

_\АиВ, если Л, Л 7^0 и ЛП Л = 0;

0, иначе. Предложение 3.6,9. Для любого множества I и для любой последова тельности (Пг I г G /) полоокительных целых чисел существует мно жество X такое, что решетка Пг^/О(пг) вложима в Sub FCiV(X). Если I конечно, то X мож:но выбрать конечным. Если I бесконечно,

то X мож:но выбрать так, чтобы \Х\ = |/|. Доказательство. Пусть L = Yliel ^("г) ^ ДЛя любого г G / пусть тг,

обозначает каноническую проекцию из L на O(nj). Полагаем

Полагаем также A{i,k,l) = {x{i,k),...,x{i,l)} € FCN{X) для любого

i е I и любых О < к ^ I ^ щ. Определим отображение (FCN'- L -*

S\x\iFCN{X) по правилу:

Р •-> {А{г,к,1) \ге1,0<к^1^щ,{к-1,1)е щ{Р))

Далее доказательство повторяет доказательство предложения 3.6.7. П

Наконец, докажем аналог предложения 3.6.6 для свободных коммута тивных полугрупп. Предложение 3.0.10. Для любого множества I и для любой последо вательности {щ \ i & I) поло'лсительных целых чисел существует мно жество X такое, что решетка Пге/ ^ ( " 0 ^•^ожума в Sub FC{X). Если

I конечно, то X мож7ю выбрать одноэлементным. Если I бесконечно,

то X мож:но выбрать так, чтобы \Х\ = |/|. Доказательство. Согласгю предложнеию 3.6.9, сущуствует множество

X такое, что решетка Пге/ ^ ( " 0 вложима в решетку SubFCN{X). Со гласно [56, лемма 28.7], решетка SubFCN{X) вложима в SubFC(X). В случае, когда множество / конечно, решетка Yliel ^("i) вложима в

решетку Sub С согласно предложению 3.6.6, откуда и следует требуемое

заключение. П

Обобщим предыдуш;ие результаты о вложении следую1цим образом:

Li конечна и ограничена снизу. Тогда существует множество X такое,

что L вло'лсама в решетку подполугрупп Sub S для любой полугруппы

S из множества

, FN{X), FCN{X)}. Если I конечно, то X можно выбрать конечным. Если I бесконечно,

то X можно выбрать так, что \Х\ — \1\. Доказательство. Поскольку любой частичный порядок можно продол жить до линейного, согласно следствию 2.3.17, для любого г € / найдется

0<щ <ш такое, что решетка Lj вложима в решетку нодпорядков 0{щ),

поэтому L вложима в Y[i^iO{ni). Требуемое утверждение следует из

предложений 3.6.6-3.6.10. D

Замечание. Отметим, что доказательство предложения 3.6.11 возмож но провести без использования решеток подпорядков. Однако, в этом

случае доказательство окажется значительно более техгшчсским. Ис пользование решеток подпорядков существенно сокращает его. В качестве следствия из предложений 3.6.4 и 3.6.11 мы получаем та кую характеризационную теорему:

Теорема 3.6.12. Для любой решетки L и для любого бесконечного кар динала к следующие условия равносильны:

(i) L влоокима в SubF(K;);

(ii) L вло'лсима в SubFC(fi;);

(iii) L вложима в SubFN{K);

(iv) L вло'лсима в Sub FCN(к);

(v) L вложима в SubF5(«);

i < к решетка Li конечна и ограничена снизу. Другими словами, имеют место равенства

% = S Sub(J) - S Sub(3-e) = S Sub(5>;) =

= S Sub(3^eK) = S Sub(J8) - SP(£!Bfin),

где J" обозначает класс всех свободных полугрупп, УС обозначает класс

всех свободных коммутативных полугрупп, !K)Sf обозначает класс всех

свободных 2-нилъполугрупп, yCN обозначает класс всех свободпых ком мутативных 2-нильполугрупп, а JS обозначает класс всех свободных

нолуреп1еток. Замечание. В проблеме 28.14.1 из монографии Л. Н. Шеврина и А. Я.

Овсянникова [56] спрашивается об описании решеток, принадлежащих

одному из классов SSub(y), 8 8иЬ(7е), SSub(?7^), SSub(je>f) или

SSub(5'S). В частности, в этой проблеме ставится вопрос о совпадении

всех этих классов. Теорема 3.6.12 дает положительный ответ па этот

вопрос. Гипотеза о совпадении всех перечисленных классов решеток

возникла после описапия конечных решеток, принадлежащих этим клас сам, в работе В. Б. Репницкого [43], согласно которому, конечные решет ки, лежащие в одном из перечисленных классов, это в точности все

конечные ограниченные снизу решетки. Следствие 3.G.13, Для любой решетки L и для любого \ < п < UJ

следующие условия равносильны:

(i) L влоокима в SubF(n);

(ii) L влооюима в SubF(a;);

(iii) L e sp,,(/:Bfin);

(iv) L влоокима в 0(w). Доказательство. Поскольку полугруппы F(n) и F{u)) вложимы друг в

друга, утверждения (i) и (ii) равносильны. По теореме 3.6.12 утвержде ния (ii) и (iii) равносильны. Наконец, согласно следствию 2.3.17, утвер ждения (iii) и (iv) равносильны. П

Замечание. Отметим, что следствие 3.6.13 непосредственно следует из

результатов В. Б. Репницкого, полученных в работе [43], хотя и не было

сформулировано там в явном виде. Следствие 3.6.14. Класс % не является аксиоматизируемым. Доказательство. Так как X = SP(£/!Bfin) по теореме 3.6.12, достаточно

ноказать, что последпий класс не является аксиоматизируемым. Рассмотрим множество X — {ai, bi \ О < i < и}, где {aj | О < г < ш} П

{Ьг I О < г < w} = 0. Пусть S обозначает пилурешетку, по]южден11ую

множеством X и определяющими соотношениями щ < щ+х V bi, О <

i < UJ, и пусть L обозначает ])ешетку, полученную из 5" добавлением

внешнего нуля, то есть L — SU {0}, О ^ 5 и

а <Ь в L тогда и только тогда, когда а = О или а < b в S. Тогда нетрудно проверить, что конгруенция e{O,ai) является наимень шей нетривиальной конгруенцией на L, поэтому решетка L подпрямо

неразложима. Поскольку L бесконечна, имеем L ^ SP(£/3fin). Для любого О < п < О) рассмотрим также полурешетку 5^, порожден ную множеством Х„ = {aj \i ^ п} U {bi\i < п} п определяющими соот ношениями ui < Oj+i Vtj, i < n, и пусть Ln обозначает решетку, получен ную из Sn добавлением внешнего нуля. Для любого О < п < w решетка

Ln конечна и ограничена снизу по следствию 1.2.4, поскольку она не

содержит D-циклов. Поэтому Ln € SP(£>23fin)- Более того, Ь^ является

подрешеткой в решетке Ln+i для всех О < п < ш, а L является прямым

пределом решеток Ln, О < п < ш. Таким образом, класс SP(£.Sfin) не замкнут относительно прямых

пределов и поэтому пе является квазимногообразием. Поскольку класс

SP(£/!Bf;n), очевидно, замкнут относительно нод];ешсток и прямых про изведений, по теореме Мальцева он пе может быть замкнут относительно

ульт])а11роизведений, то есть он не может быть аксиоматизируемым. П

Следствие 3.6.15. Для любого кардинала к существует мно'мсество

X такое, что \Х\ — к+ и решетка ldFL{K,) влозкгша в решетку подпо лугрупп Sub 5 для любой полугруппы S, принадлежащей множеству

{F{X), FC{X), FS{X), FN{X),FCN{X)}. В частности, Sub S не удовлапворяет никакому нетривиальному реше точному тоукдесшву. Доказательство. Согласно результату М. Е. Адамса и В. Дзебяка [15]

(см. также следствие 2.3.19), для любого к найдется множество X такое,

что \Х\ = «4- и решетка IdFL(K) вложима в Пгех-^ь ^Д^ решетка Li

конечна и ограничена снизу для любого i £ X. Требуемое заключение

следует из теоремы 3.6.12. D

Следствие 3.6.16. DCnFin = £2fin. Доказательство. Если решетка L лежит в классе XnFin, то по теореме

3.6.12 L вложима в прямое произведение копечных ограниченных снизу

решеток. Так как решетка L сама является конечной, согласно [10, след ствие 5.5.8], отсюда вытекает, что L также ограничена снизу. Обратно,

если решетка L конечна и ограничена снизу, то она принадлежит классу

X П Fin согласно теореме 3.6.12. D

Замечание. Отметим, что следствие 3.6.15 дает уточнение результата

М. Е. Адамса и В. Дзебяка [15] о том, что решетка идеалов свободной

решетки аппроксимируется конечными ограниченными снизу решетка ми. Кроме того, последнее утверждение следствия 3.6.15, а также след ствие 3.6.16 были установлены вперыве в работе В. Б. Реппицкого [43].

1. К. В. Адаричева, Полудистрибутивные и коалгебраические решетки подполу-решетик, Алгебра и лигика 27 (1988), 025-640.

2. К. В. Адаричева, Строение конечных решеток подполурешеток, Алгебра и логика 30 (1991), 385-404.

3. К. В. Адаричева, Строение решеток конгруенций конечных подполурешеток, Алгебра и логика 35 (1996), 3-30.

4. Г. Биркгоф, 'Теория решеток", Москва, Наука, 1984.

5. А. А. Булатов, Подрешетки решеток клонов функций на трехэлементном множестве. II, Алгебра и логика 38 (1999), 269-295.

6. А. А. Булатов, Конечные подрешетки в решетке клонов, Алгебра и логика 33 (1994), 514-549.

7. А, А. Булатов, Тождества в решетках замкнутых классов, Дискретная математика 4 (1992), 140-148.

8. А. А. Булатов, Подрешетки решеток клопов функций па трехэлементном множестве. I, Алгебра и логика 38 (1999), 3-23.

9. Ф. Верупг, М, В. Семенова, Подрешетки решеток выпуклых подмножеств векторных пространств, Алгебра и логика 43 (2004), 261-290.

10. В. А. Горбунов, "Алгебраическая теория квазимногообразий", Новосибирск, Научная книга, 1999. English translation by Plenum, New York, 1998.

11. В. Б. Репницкий, О представлении решеток решетками подполугрупп, Изв. ВУЗов. Математика no. 1 (1996), 60-70.

12. В. Б. Репницкий, Решеточная универсальность свободных бернсайдовых групп, Алгебра и логика 35 (1996), 587-611.

13. В. Б. Репницкий, О решеточно универсальных многообразиях алгебр, Изв. ВУЗов. Математика по. 5 (1997), 53-59.

14. В. Б. Репницкий, Решетки подпорядков частичных порядков и ограниченные снизу решетки, деп. в ВИНИТИ no. 3220-В95 от 05.12.1995, 30 стр.

15. М. Е. Adams, W. Dziobiak, Q-universal quasivarieties of algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994), 1053-1059.

16. К. V. Adaricheva, Two embedding theorems for lower bounded lattices, Algebra Universalis 36 (1996), 425-430.

17. К. V. Adaricheva, Join-semidistributive lattices of relatively convex sets, Contributions to General Algebra 14 (2003), 1-14.

18. К. V. Adaricheva, V. A. Gorbunov, On lower bounded lattices, Algebra Universalis 46 (2001), 203-213.

19. К, V. Adaricheva, V. A. Gurbunuv, and V. I. Tumanuu, Join-semidistributive lattices and convex geometries, Adv. Math. 173 (2003), 1-49.

20. К, V. Adaricheva, J, B. Nation, Reflections on lower bounded lattices, Algebra Universalis 53 (2005), 307-330.

21. G. M. Bergman, On lattices of convex sets in Rn, Algebra Universalis 53 (2005), 357-395.

22. G. Birkhoff, M. K. Bennett, The convexity lattice of a poset, Order 2 (1985), 223-242.

23. G. Birkhoff, 0. Prink, Representations of lattices by sets, Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), 299-316.12.11 D. Bredikhin, B. Schein, Representation of ordered semigroups anil lattices by binary relations, Colloq. Math. 39 (1978), 1-12.

24. K. II. Gheong, P. R. Jones, The lattice of convex subsernlattices of a sernilattice, Semigroup Forum 67 (2003), 111-124.

25. P. Crawley, R. P. Dilworth, "Algebraic Theory of Lattices", Prentice-Hall, New Jersey, 1973.

26. A. Day, Characterizations of finite lattices that are bounded-homomorphic images or sublattices of free lattices, Cañad. J. Math. 31 (1979), 69-78.

27. R. Freese, J. Jeiek, and J. B. Nation, "Free Lattices", Mathematical Surveys and Monographs, 42, Amer. Math. Soc., Providence, 1995.

28. G. Gierz, K. II. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. W. Mislove, and D. S. Scott, "Continuous Lattices and Domains", Encyclopedia of Mathematics and its Applications 93, Cambridge University Press, 2003.

29. M. Goldstern, M. Pinsker, A survey of clones on infinite sets, accepted in Algebra Universalis.

30. G. Grätzer, "General Lattice Theory. Second edition", Birkhäuser Verlag, Basel, 1998.

31. G. Grätzer, E. T. Schmidt, Characterizations of congruence lattices of abstract algebras, Acta Sei. Math. (Szeged) 24 (1963), 34-59.

32. A. P. Huhn, Schwach distributive Verbände. I, Acta Sei. Math. (Szeged) 33 (1972), 297-305.

33. B. Jónsson, J. B. Nation, A report on sublattices of a free lattice, Colloq. Math. Soc. János Bolyai 17 (1977), 233-257.

34. B. Korte, L. Loudsz, and R. Schräder, "Greedoids", Springer Verlag, Berlin, 1991.

35. L. Libkin, V. Gurvich, Trees as semilattices, Discrete Math. 145 (1995), 321-327.

36. R. N. McKenzie, Equational bases and non-modular lattice varieties, Trans. Amer. Math. Soc. 174 (1972), 1-43.

37. J. B. Nation, Some varieties of semidistributive lattices, in "Universal Algebra and Lattice Theory, Proc. Conf. Charleston/S.C. 1984", Lecture Notes in Mathematics 1149, 198-223 (1985).

38. J. B. Nation, An approach to lattice varieties of finite height, Algebra Universalis 27 (1990), 521-543.

39. P. P. Pdlfy, P. Pudlák, Congruence lattices of finite algebras and intervals in subgroup lattices of finite groups, Algebra Universalis 11 (1980), 22-27.

40. M. Pinsker, Algebraic lattices are complete sublattices of the clone lattice over an infinite set, accepted in Fund. Math.

41. P. Pudlák, J. Tima, Every finite lattice can be embedded in a finite partition lattice, Algebra Universalis 10 (1980), 74-95.

42. V. B. Repnitskii, On finite lattices embeddable in subsemigroup lattices, Semigroup Forum 40 (1993), 388-397.

43. V. B. Repnitskii, On subgroup lattices without non-trivial identities, Algebra Universalis 31 (1994), 379-389.

44. V. B. Repnitskii, On the representation of lattices by subsemigroup lattices of bands, Semigroup Forum 51 (1995), 379-389.

45. V. 1!. Repnitskil, On the representation of lattices by subgroup lattices, Algebra Universalis 37 (1997), 81-105.

46. V. B. Repnitskii, Nilpotency of algebras and identities on subalgebra lattices, in "Semigroups with applications, including semigroup rings" (Eds. S. Kublanovsky, A. Mikhalev, J. Ponizovski), Walter de Gruyter, Berlin, 1998, pp. 315-328.

47. V. B. Repnitskii, Varieties of semigroups with non-trivial identities on subsemigroup lattices, Algebra Universalis 40 (2001), 69-73.

48. V. B. Repnitskil, A new proof of Tuma's theorem on intervals in subgroup lattices, Contributions to General Algebra 16 (2005), 213-230.

49. V. B. Repnitskil, J. Tuma, On intervals in subgroup lattices of locally finite groups, manuscript, 2006.

50. R. Schmidt, "Subgroup Lattices of Groups", Expositions in Math. 14, de Gruyter, 1994.

51. M. Semenova, F. Wehrung, Sublattices of lattices of order-convex sets, I. The main representation theorem, J. Algebra 277 (2004), 543-564.

52. M. Semenova, F. Wehrung, Sublattices of lattices of order-convex sets, II. Posets of finite length, Internat. J. Algebra Comput. 13 (2003), 543-564.

53. M. Semenova, F. Wehrung, Sublattices of lattices of order-convex sets, III. The case of totally ordered sets, Internat. J. Algebra Comput. 14 (2004), 357-387.

54. M. V. Semenova, A. Zamojska-Dzienio, On lattices embeddable into lattices of order-convex sets. Case of trees, accepted in Internat. J. Algebra Comput.

55. L. N. Shevrin, A, Ja. Ovsyannikov, "Semigroups and Their Subsemigroup Lattices", Dordrccht, Kluwer Academic publishers, 1996.

56. B. Sivdk, Representation of finite lattices by orders on finite sets, Math. Slovaca 28 (1978), 203-215.

57. J. Tima, Intervals in subgroup lattices of infinite groups, J. Algebra 125 (1989), 367-399.

58. F. Wehrung, Sublattices of complete lattices with continuity conditions, Algebra Universalis 53 (2005), 149-173.

59. Ph. M. Whitman, Lattices, equivalence relations, and subgroups, Bull. Arner. Math. Soc. 52 (1946), 507-522.Работы автора по теме диссертации

60. М. В. Семенова, Решетки подпорядков, Сиб. Мат. ж. 40, по. 3 (1999), 673-682.

61. М. В. Семенова, О решетках, вложимых в решетки подпорядков, Алгебра и логика 44, по. 4 (2005), 483-511.

62. М. В. Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп. I. Полурешетки, Алгебра и логика 45, по. 2 (2006), 215-230.

63. М. В. Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп. II. Полугруппы с сокращением, Алгебра и логика 45, по. 4 (2006), 436-446.

64. М. В. Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп. III. Ниль-потентные полугруппы, Сиб. Мат. Ж. 48, no. 1 (2007), 192-204.

65. М. V. Semenova, On lattices embeddable into subsemigroup lattices. IV. Free semigroups, Semigroup Forum 74, no. 2 (2007), 191-205.

66. M. В. Семенова, О решетках, вложимых в решетки подполугрупп. V. Деревья, Сиб. Мат. Ж. 48, по. 4 (2007), 894-913.

67. М. V. Semenova, Closure lattices of closure spaces, Contributions to General Algebra 18 (2007).