Представление решеток решетками подалгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

к/а од

2 4 НОР юс!

На правах рукописи

Репницкий Владимир Брониславович

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕТОК РЕШЕТКАМИ ПОДАЛГЕБР

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Екатеринбург 1997

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики Уральского государственного университета

Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Л.Н. Шеврия.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.B. Михалев; доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Мухин; доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Пинус.

Ведущая организация: Институт математики сибирского отделения РАН.

1997 г. в

Защита состоится часов на заседании диссертационногс^овета Д 002.07.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, Екатеринбург, С.Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

" ^^¿¿<1997 г.

Автореферат разослан

Ученый секретарь

диссертационного совета УУУ

кандидат физико-математических наук В.В.Кабанов

I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Каждой алгебре А сопоставляется решетка Sub А всех ее подалгебр (в необходимых случаях, как, например, в случае полугрупп, для того, чтобы в Sub А была определена операция пересечения, нужно подалгеброй считать также пустое множество). Решетки подалгебр являются важными представителями производных решеток, к числу которых относятся также решетки подмножеств, разбиений, конгруэпций, эквациональных теорий и т.д.

Изучение различных взаимосвязей между алгебрами и их решетками подалгебр составляет давнюю и обширную область исследований. Данная проблематика насчитывает несколько сот статей, а также отражена в ряде монографий и обзоров: книгах Г. Биркгоф [4], Г. Гретцер [6], JI.A. Скорняков [14], М. Судзуки [15], Л.Н. Ше-врин, А.Я. Овсянников [19], [43], Р. Шмидт [41], обзорах М.Н. Ар-шинов, Л.Е. Садовский [3], В.И. Игошин, A.B. Михалев, В.Н. Са-лий, Л.А. Скорняков [7], П.Г. Конторович, A.C. Пекелис, А.И. Старостин [8], A.A. Лашхи [9], У. Лэмп [37], A.B. Михалев, В.Н. Са-лий, Л.А. Скорняков [11], Л.Е. Садовский [12], Т.С. Фофанова [16], Л.Н. Шеврин, А.Я. Овсянников [42]. Отраженные в указанных источниках исследования охватывают широкий спектр алгебр: группы, полугруппы, кольца, решетки и т.д. Здесь естественным образом выделились следующие три основных аспекта (см. [19]): 1) описание строения алгебр, решетки подалгебр которых удовлетворяют тем или иным теоретико-решеточным условиям; 2) характериза-ция тех или иных важных подклассов в классе алгебр заданной сигнатуры на языке решеток подалгебр; 3) изучение отношения решеточной изоморфности между алгебрами; в частности, выяснение того, когда алгебра определяется своей решеткой подалгебр в заданном классе.

Примером естественного аспекта, не получившего пока должного развития в упомянутых исследованиях, служит вопрос о представлении решеток решетками подалгебр, Заметим, что в математической литературе понятие представления одного объекта другим используется в разных смыслах. Так, в известной теореме Биркгофа-Фринка [22] о представлении любой алгебраической решетки решеткой подалгебр некоторой алгебры это понятие означает изоморфизм соответствующих решеток. Мы говорим, что для заданного класса про-

изводных решеток Р решетка L представима решеткой из Р , если L вложима в подходящую решетку этого класса. В частности, для произвольного класса К алгебр L представила решеткой подалгебр алгебры из К, если она вкладывается в Sub А для некоторой алгебры А € К.

Среди ключевых результатов, касающихся представления решеток производными решетками, назовем прежде всего теорему Биркго-фа-Стоуна [20],[45], характеризующую дистрибутивные решетки как решетки, представимые решетками подмножеств, теорему Фринка [28] о представлении произвольной модулярной решетки с дополнениями решеткой подпространств подходящего проективного пространства, а также теорему Уитмена [48] о представлении любой решетки решеткой разбиений некоторого множества (или, что то же самое, подходящей решеткой эквивалентностей). Долгое время открытым оставался вопрос о том, не будет ли любая конечная решетка представима решеткой разбиений конечного множества? В работе [39] П. Пудлаком и И. Тумой на него дан положительный ответ.

Теорема Уитмена во многом предопределила ту заметную роль, которую решетки разбиений играют в вопросе представления решеток производными решетками и, в частности, решетками подалгебр. Отметим здесь в первую очередь результат Г. Биркгофа [21], устанавливающий вложимость решетки разбиений произвольного множества А в решетку подгрупп симметрической группы, действующей на А . Отсюда и из теоремы Уитмена следует, что всякая решетка представима решеткой подгрупп некоторой группы. Этот важный результат впервые в явном виде был анонсирован в работе [48], поэтому, как и утверждение о представлении решеток решетками разбиений, он также получил в литературе название теоремы Уитмена. Более простое прямое доказательство этой теоремы (не использующее решетки разбиений, а опирающееся на теоретико-групповую технику) было предложено недавно И. Тумой в [47]. Заметим к тому же, что из упомянутого выше результата П. Пудлака и И. Тумы вытекает существенное уточнение теоремы Уитмена для групп, а именно, утверждение о том, что любая конечная решетка представима решеткой подгрупп подходящей конечной группы. Вопрос о возможности вложения решетки в решетку подгрупп группы в качестве интервала изучался И. Тумой в [46].

В работе [21] Г. Биркгофа отмечается еще один полезный факт,

а именно, что любая конечная решетка разбиений дуально изоморфна решетке подалгебр конечной булевой алгебры. Отсюда аналогичным образом устанавливается представимость конечных решеток решетками подалгебр конечных булевых алгебр и, в частности, решетками подрешеток конечных дистрибутивных решеток. Это обстоятельство было подмечено Д. Хонгом в [30] и оказалось весьма полезным при решении им некоторых проблем из книги Г. Гретцера [6].

Поскольку решетка подгрупп группы является подрешеткой ее решетки подполугрупп, из соответствующей теоремы Уитмена автоматически получаем, что всякая решетка представила решеткой подполугрупп некоторой полугруппы (а именно, группы). Возникает вопрос о наличии других естественных классов полугрупп с тем же свойством. В связи с этим упомянем статью П. Джонса [33], в которой применение техники, связанной с решетками разбиений, позволило доказать, что каждая решетка представима решеткой подполугрупп подходящей комбинаторной полугруппы Брандта. Напомним, что полугруппа называется комбинаторной, если все ее подгруппы одноэлементны.

В связи с характеризацией класса решеток, представимых решетками подгрупп абелевых групп, Б. Йонссоном в [35] рассматривался специальный тип вложений решеток в решетки разбиений, называемый в литературе представлением типа 1. Свойство решетки иметь представление типа 1 равносильно тому, что она изоморфна некоторой подрешетке решетки разбиений, состоящей из перестановочных отношений. В упомянутой работе Б. Йонссона для произвольной решетки с дополнениями была установлена эквивалентность следующих свойств: иметь представление типа 1, быть арговой, вкладываться в решетку подгрупп абелевой группы.

Классы решеток, представимых решетками подмодулей всех /¿-модулей пад произвольным ассоциативным кольцом Я с единицей, исследовались в работах Г. Хатчинсона [31], [32], С. Геррманна, В. Погунтке [29], Г. Цедли [23]. Так, было доказано, что эти классы образуют квазимпогообразия (см. [29], [32], а также [24]); в частности, квазимногообразием будет и класс всех решеток, представимых решетками подгрупп абелевых групп. Основной проблемой здесь является задача классификации указанных классов в решетке квазимногообразий модулей. Эта проблема решалась в работах [23]

и [31].

Приведенные выше результаты, касающиеся представления решеток решетками подалгебр, убедительно свидетельствуют о содержательности данного аспекта, наличии здесь богатой проблематики и тесных взаимосвязей с рядом других аспектов теории решеток и универсальной алгебры. Это делает актуальным рассмотрение указанного аспекта как самостоятельной области исследований. Ниже мы формулируем рад проблем, которые определили исследования автора в этой области и подытожены в диссертации.

Основные постановки задач. Для произвольного класса алгебр К обозначим через Lat К класс всех решеток, представимых решетками подалгебр алгебр из К. Класс Lat К является производным объектом для класса К. Поэтому возникает общая проблема изучения взаимосвязей между свойствами классов К и Lat К.

В рамках этой проблемы рассмотрим сначала две, в известном смысле двойственные друг другу, проблемы:

ПРОБЛЕМА 1. Для заданного класса решеток Р охарактеризовать классы, алгебр К такие, для которых Р С Lat К и, как частный случай, Р = Lat К.

ПРОБЛЕМА 2. Для заданного класса алгебр К охарактеризовать соответствующий ему класс решеток Lat К; в частности, вычленить в Lat К интересные (с точки зрения общей теории решеток) подклассы.

В Проблеме 1 мы сразу можем выделить такой важный случай, когда класс Р, а значит и Lat К, совпадает с классом всех решеток. В этом случае класс алгебр К будем называть решеточно универсальным. Ясно, что свойство для класса К быть решеточно универсальным говорит в целом о сложности локального строения решеток подалгебр алгебр из К. Упомянутые выше теоремы Уитмена и Джонса о представлении решеток соответственно решетками подгрупп и решетками подполугрупп утверждают, в нашей терминологии, что класс всех групп и класс всех комбинаторных полугрупп Брандта решеточно универсальны. В связи с этим вызывает интерес вообще следующая

ПРОБЛЕМА 1.1. В заданном классе алгебр вычленить естественные решеточно универсальные подклассы.

Применительно к алгебрам той или иной фиксированной сигнатуры задача вычленения решеточно универсальных классов приобретает, как правило, дополнительную специфику. Так, в случае полугрупп представляется актуальным нахождение решеточно универсальных классов полугрупп, далеких по своим свойствам от групп, и, в первую очередь, комбинаторных. Пример одного из таких классов дает теорема Джонса. Среди других возможных претендентов на эту роль назовем, прежде всего, классы нильполугрупп и связок (т.е. полугрупп идемпотептое). С одной стороны, указанные классы являются в известном смысле полярными в классе комбинаторных полугрупп. С другой стороны, они занимают важное место в общей структурной теории полугрупп. Заметим, что формально определению комбинаторных полугрупп удовлетворяют и полугруппы, не содержащие идемпотентов (в них совсем нет подгрупп). Поэтому задача нахождения хотя бы одного естественного примера решеточно универсального класса полугрупп без идемпотентов (она поставлена JI.H. Шевриным) представляет, на наш взгляд, не меньший интерес.

Учитывая большой интерес к многообразиям, мы приходим к постановке следующей задачи:

ПРОБЛЕМА 1.2. В заданном классе алгебр описать все решеточно универсальные многообразия.

Требуемое описание может быть достигнуто разными способами: на языке тождеств, задающих многообразия, алгебр, их порождающих, и т. д. Поскольку, легко видеть, свойство для многообразия быть решеточно универсальным наследуется при переходе к над-многообразиям, одним из удобных языков такого описания может служить отыскание минимальных решеточно универсальных многообразий (если они есть) в соответствующей решетке многообразий.

Для многих известных классов алгебр К класс Lat К не совпадает с классом всех решеток. В связи с этим укажем ниже некоторые собственные классы Р решеток, рассмотрение которых в связи с Проблемой 1 представляет интерес (необходимые определения см. ниже в разделе II): 1) класс всех решеток, удовлетворяющих условию Уитмена; 2) класс всех свободных решеток; 3) класс всех конечных подрешеток свободных решеток, 4) класс всех конечных ограниченных снизу решеток. Из перечисленных особо выделим последний класс. Впервые он появился в работе Р.Маккензи [38] и

впоследствии с разных точек зрения изучался А.Дэем, Р.Фризом, Б.Йонссоном, Дж.Нейшнем (см. соотв. [25], [27], [36]) и другими. Этот класс является псевдомногообразием и, в частности, замкнут относительно перехода к подрешеткам. Весьма примечательно, что многие известные представители класса конечных полугрупп имеют, как выяснилось, ограниченную снизу решетку подполугрупп.

Переходя к конкретным постановкам задач, связанных с Проблемой 2, отметим, что здесь в первую очередь следует рассмотреть классы алгебр К, играющие заметную роль в соответствующей структурной теории. Таковыми, например, в случае групп являются классы разрешимых и нильпотентных групп, в случае полугрупп -упоминавшиеся выше классы нилыголугрупп и связок.

При рассмотрении Проблемы 2 для классов алгебр, являющихся многообразиями, естественным образом выделяется

ПРОБЛЕМА 2.1. Исследовать решетки, представимые решетками подалгебр свободных алгебр.

В самом деле, во-первых, для любого многообразия V алгебр, таких как группы, кольца и ряд других, если решетка L вложи-ма в решетку подалгебр какой-то алгебры из V, то L вложима в решетку подалгебр подходящей свободной алгебры из V. В этом смысле свободные алгебры оказываются универсальными объектами в своих многообразиях. Во-вторых, если данная алгебра А порождает многообразие V, то любая свободная алгебра из V может быть вложена в подходящую декартову степень А . Последнее обстоятельство весьма полезно и позволяет сводить некоторые задачи о вложении в решетки подалгебр к задаче о вложении в решетки подалгебр соответствующих свободных алгебр.

Для ряда известных классов алгебр, как например, класса полугрупп, вложимость решетки L в решетку подалгебр некоторой алгебры многообразия V не означает заведомо (и, как мы увидим далее, вообще говоря, не влечет) вложимость L в решетку подалгебр свободной алгебры из V. Это, впрочем, не умаляет наш интерес к обсуждаемому аспекту и для таких классов. Дело в том, что решетки, представимые решетками подалгебр свободных алгебр, играют заметную роль и в ряде других алгебраических исследований. В качестве примера упомянем здесь результат A.A. Булатова [5], устанавливающий представимость некоторыми решетками кло-

нов решеток, вложимых в решетку подполугрупп свободной полугруппы счетного ранга.

Для заданного класса алгебр К обозначим через Latji„ К класс конечных решеток из Lat К. В рамках рассматриваемой проблемы возникает также

ПРОБЛЕМА 2.2. Для заданного класса алгебр К охарактеризовать класс решеток Latfjn К.

В частности, здесь интересно выяснить, будет ли класс решеток, представимых решетками подалгебр конечных алгебр из К совпадать со всем классом Lat/,„ К. Легко привести примеры "хороших" классов К, для которых это так. К ним, как мы уже знаем, относятся классы, состоящие соответственно из всех групп, булевых алгебр, дистрибутивных решеток. Более денными, однако, являются здесь примеры противоположного толка. Некоторые из них указаны в диссертации.

Классы алгебр Ki и К2 назовем решеточно эквивалентными, если Lat Ki = Lat К2 . Легко понять, что если два класса алгебр решеточно эквивалентны, то соответствующие им классы решеток подалгебр квазиэквационально эквивалентны и даже имеют одинаковую универсальную теорию. Важные примеры пар решеточно эквивалентных классов дают классы алгебр, являющиеся решеточно универсальными. Вместе с тем, нетрудно привести и другие естественные примеры пар классов с указанным свойством. Отношение решеточной эквивалентности на классах всех Д-модулей, рассматриваемых над произвольным ассоциативным кольцом R с единицей, изучалось в работах Г. Хатчинсона [31] и Г. Цедли [23], упоминавшихся нами ранее. Таким образом, закономерна постановка следующей общей проблемы.

ПРОБЛЕМА 3. Исследовать отношение решеточной эквивалентности на классах алгебр.

В связи с последней проблемой определим на классах алгебр еще одпо отношение - отношение конечной решеточной эквивалентности. Говорим, что классы Kj и Кг алгебр конечно решеточно эквивалентны, если Latfin Ki = Latjin K2 . Ясно, что из решеточной эквивалентности двух классов следует их конечная решеточная эквивалентность. Обратная импликация, вообще говоря, неверна. Возникает следующий вопрос: какие из известных классов алгебр

конечно решетпочно эквивалентны? С одной стороны, ответ на этот вопрос представляет самостоятельный интерес. С другой стороны, в ряде случаев оказывается, что установив для классов алгебр Ki и Кг равенство Lai/,-n Ki = LatКг, можно сравнительно легко затем перейти к более сильному равенству Lat Ki = Lat Кг, т.е. получить тем самым решеточную эквивалентность этих классов.

Некоторые задачи о вложении в решетки подалгебр приводят к рассмотрению эквациональных свойств этих решеток. В самом деле, для доказательства того, например, что какой-то класс алгебр К не является решеточно универсальным, достаточно указать хотя бы одно нетривиальное тождество, выполняющееся на решетках подалгебр алгебр из К. Это обстоятельство объясняет наш интерес в диссертации к вопросам, связанным с рассмотрением тождеств на решетках подалгебр.

Цель работы—развитие направления, посвященного вопросам представления решеток решетками подалгебр. При этом мы решаем Проблемы 1, 2 и 3 (см. также конкретизации первых двух— Проблемы 1.1, 1.2, 2.1 и 2.2) для целого ряда классов алгебр К и для распространенных в литературе классов Р решеток. В роли К выступают различные важные классы полугрупп, групп, колец, решеток и т.д., в роли Р - класс всех решеток, а также упоминавшиеся выше (после формулировки Проблемы 1.2) классы решеток 1 И).

Общая методика исследований. В работе активно используются методы и факты общей теории решеток, а также структурных теорий и теорий многообразий групп, полугрупп и колец. Наряду с ними автором разработаны новые эффективные средства исследования решеток подалгебр. Так например, в случае полугрупп весьма плодотворным оказался впервые примененный здесь метод интерпретаций решеток подпорядков частичных порядков решетками подполугрупп. Рассматривая решетки подгрупп относительно свободных групп, мы развиваем некоторые идеи Б.Йонссона из работы [34] (см. здесь также [6], глава IV, §4), в которой приводится более простое по сравнению с оригинальным доказательство теоремы Уитмена о представлении решеток решетками разбиений. Новым здесь является использование понятия функции расстояния на множестве свободных порождающих этих групп. Вообще, при исследовании ре-

шеток подалгебр относительно свободных алгебр заметную роль в работе играют полугруппы эндоморфизмов этих алгебр, важной особенностью которых является определенное богатство их строения.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Некоторые из полученных результатов дают ответы на вопросы, отмечавшиеся в литературе, либо обобщают те или иные известные факты. Формирование в диссертации соответствующей проблематики позволяет, кроме решенных задач, вычленить и целый ряд задач для дальнейшего исследования. Результаты работы и ее методы могут быть применены в научных исследованиях, при чтении специальных алгебраических курсов; некоторые из них отражены в монографии [43] (английский перевод мопографии [19], с дополнениями).

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на XIX Всесоюзной алгебраической конференции (Львов, 1987), на VI Всесоюзной школе по теории многообразий алгебраических систем (Магнитогорск, 1990), на второй и третьей суслинских конференциях (Саратов, 1991; 1994), на Летней школе по общей алгебре и упорядоченным множествам (Херланы, 1992), на международных конференциях по алгебре (Барнаул, 1991; Красноярск, 1993; Сегед, 1993, 1996; Нашвилл, 1996), на международных конференциях по теории полугрупп (Луино, 1992; Йор к, 1993; Порту, 1994; Сегед, 1994; С.-Петербург, 1995; Прага, 1996); на конференциях в Луино и С.Петербурге были сделаны пленарные доклады. Автор выступал с докладами о результатах диссертации на заседаниях семинаров в Москве (1986, 1995, алгебраический семинар МГУ), Новосибирске (1995, семинар "Алгебра и логика"), Екатеринбурге (1985 - 1996, семинар "Алгебраические системы"; 1995, семинар отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН).

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [49] - [71]. Из указанных две работы являются совместными; основные идеи и методы в них принадлежат автору, а реализовывались в нераздельном сотрудничестве.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 224

страницах и состоит из введения и трех глав. Библиография содержит 94 наименования.

II. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе 1 мы изучаем решеточно универсальные классы алгебр. Первые три результата в ней касаются группового случая. Центральной здесь является Теорема 1, в которой приводится простое достаточное условие для того, чтобы многообразие групп было решеточно универсальным.

ТЕОРЕМА 1. Пусть V - нетривиальное многообразие групп и Fy{X) - свободная в V группа с бесконечным множеством X свободных порождающих. Пусть при этом выполнено следующее условие:

для любых различных x,y,zi,...,z„ G X , где. п > 1 , в Sub Fy(X) имеет место равенство

(xy,zi,...,2„) Л {x,zi, ...,г„) - (zi,...,rn).

Тогда V решеточно универсально. Более того, любая решетка L представима решеткой подгрупп свободной группы многообразия V ранга maa^N,,, |L|} .

В Следствии 1.1 из этой теоремы отмечается, что групповое многообразие V решеточно универсально, если его свободная группа Fy(X) бесконечного ранга удовлетворяет условию: для любых различных x,y,z\,zn £ X, где п > 1 , элементы x,xy,zi,...,zn свободно порождают подгруппу в Fy(X). Так как это условие имеет место в абсолютно свободной группе счетного ранга, получаем теорему Уитмена, устанавливающую решеточную универсальность многообразия всех групп. Используя Следствие 1.1, мы находим далее широкий класс периодических решеточно универсальных многообразий групп.

Обозначим через В(а,к) свободную группу ранга а многообразия, заданного тождеством хк = 1 ; здесь а - произвольный кардинал и к - положительное целое число. В(а, к) называется свободной бернсайдовой группой экспоненты к .

ТЕОРЕМА 2. Для всякого целого нечетного к > 665 многообразие групп, задаваемое тождеством хк = 1 , является реше-точно универсальным. Более того, любая решетка Ь представи-ма решеткой подгрупп свободной бернсайдовой группы В(а, к) , где а = тах{80, |£|} .

Эта теорема применяется нами для доказательства следующего утверждения.

ТЕОРЕМА 3. Каждая счетная решетка представима решеткой подгрупп свободной бернсайдовой группы В{2, к) , где к нечетно и к > 665 .

Напомним, что бесконечность 2-порожденных периодических свободных групп, о которых идет речь в этой теореме, впервые была доказана П.С.Новиковым и С.И. Адяном (см. [2]). Теорема 3 привносит дополнительную существенную информацию о конечно порожденных свободных бернсайдовых группах достаточно большой нечетной экспоненты и показывает, что решетки их подгрупп устроены сколь угодно сложно.

Теорема, формулируемая ниже, устанавливает решеточную универсальность некоторых известных классов комбинаторных полугрупп и полугрупп без идемпотентов.

ТЕОРЕМА 4. Следующие классы полугрупп решеточно универсальны:

1) класс всех коммутативных нильполугрупп индекса два;

2) класс всех полурешеток;

3) класс всех коммутативных полугрупп без иделтотентов с сокращением и однозначным извлечением корня.

Важно отметить, что в ходе доказательства этой теоремы впервые была выявлена тесная взаимосвязь между решетками подполугрупп и решетками подпорядков частичных порядков на множествах. Поскольку последние решетки играют ключевую роль и в ряде других результатов автора, приводимых далее, дадим их строгое определение.

Для произвольного множества А с заданным на нем отношением частичного порядка с обозначим через БиЬогН А множество всех частичных порядков на А, содержащихся в а. Множество БиЬогд А образует решетку относительно операций Л и V , определяемых условиями (7\ Л <72 = <71 Л (72 И С7] V СТ2 = (°\ ^ <72 )' > гДе

£ - символ транзитивного замыкания. Эту решетку мы называем решеткой подпорядков частичного порядка на А.

В.Шайном в [40] была доказана следующая теорема (мы ее здесь даем в используемой нами терминологии и в чуть более слабой формулировке): любая решетка представила подходящей решеткой подпорядков. Наша задача сводилась к интерпретации решетки подпорядков частичного порядка соответствующими решетками подполугрупп. Таким образом, роль решеток подпорядков в аспекте вложения в решетки подполугрупп оказалась (благодаря теореме Шайна) адекватной той роли, которую решетки разбиений (благодаря теореме Уитмена) играют в аналогичном аспекте для решеток подгрупп.

Теорема 4 позволяет нам далее охарактеризовать все решеточно универсальные многообразия полугрупп с точностью до соответствующих групповых периодических многообразий.

ТЕОРЕМА 5. Многообразие полугрупп V решеточно универсально тогда и только тогда, когда V удовлетворяет одному из условий:

1) V содержит полугруппу, не являющуюся нилъпотентным расширением прямоугольной связки групп;

2) V - периодическое многообразие и любая решетка представила решеткой подгрупп некоторой группы из V .

Отсюда мы получаем (Следствие 3.1), что в решетке многообразий полугрупп класс всех полурешеток и класс всех коммутативных нильполугрупп индекса два исчерпывают список минимальных негрупповых решеточно универсальных многообразий. Интересно отметить, что Теорема 4 существенно применяется нами не только в доказательстве Теоремы 5 (что можно было предвидеть), но и в доказательстве следующего утверждения, устанавливающего решеточную универсальность ряда важных классов алгебр, причем не только полугрупповой сигнатуры. При этом мы интерпретируем решетки подполугрупп, рассматриваемые в Теореме 4, решетками подалгебр для случая колец, булевых алгебр и решеток.

Теорема 6. Следующие классы алгебр решеточно универсальны:

1) класс всех абелевых групп без кручения, рассматриваемых как полугруппы;

2) класс всех коммутативных линейно упорядочиваемых полу-

групп без идемпотентов;

3) класс всех коммутативных областей целостности фиксированной характеристики р (р - простое число или нуль);

4) любое ненилъпотентное многообразие ассоциативных колец;

5) класс всех булевых алгебр;

6) любое нетривиальное многообразие решеток.

Глава 2 диссертации посвящена задаче характеризации решеточных классов Ьа1 К и Ьа1 /¿„К для ряда классов полугрупп и групп К. В случае полугрупп решение этой задачи оказалось в значительной степени зависящим от того, какие решетки представи-мы решетками подпорядков частичных порядков на конечных множествах. Следуя работе Б.Сивака [44], обозначим класс всех таких решеток через Ш. В указанной работе было получено описание класса И!.. Из этого описания и из результатов работы А.Дэя [25] может быть получено, что класс решеток совпадает также с

классом П;В конечных ограниченных снизу решеток, упомяпутым нами в разделе I. Напомним, что решетка Ь называется ограниченной снизу (см. [38]), если существует гомоморфизм а свободной решетки на Ь такой, что для любого х 6 Ь множество а~х(х) содержит наименьший элемент. В Предложении 5.5 мы в явном виде отмечаем, что РИ = ИЛЗ, приводя независимое доказательство этого равенства. При этом мы даем еще одно полезное, на наш взгляд, описание конечных ограниченных снизу решеток на языке так называемых слабо монотонных нумераций множества неразложимых в объединение элементов решетки. Оно близко к описанию класса И|В, найденному Б.Йонссоном в [36] (последнее легко получается из нашего описания). Однако, как нам представляется, характеризация конечных ограниченных снизу решеток на языке слабо монотонных нумераций дает гораздо более наглядный алгоритм для распознавания того, принадлежит ли данная решетка классу РЬВ (а значит и классу Ш) или нет.

Теоремы 7 и 8, формулируемые ниже, существенно используют в своем доказательстве Предложение 5.5.

ТЕОРЕМА 7. Следующие классы полугрупп конечно решеточно эквивалентны:

1) класс всех свободных полугрупп;

1') класс всех свободных коммутативных полугрупп;

1") одноэлементный класс, состоящий из бесконечной циклической полугруппы;

2) класс всех свободных коммутативных нильполугрупп индекса два;

2') класс всех конечно порожденных свободных коммутативных нильполугрупп индекса два;

2") класс всех конечных нильпотентных полугрупп;

3) класс всех свободных полурешеток;

3') класс всех конечно порожденных свободных полурешеток;

3") класс всех конечных полурешеток.

Более того, для любого указанного выше класса полугрупп К класс Latjin К состоит в точности из всех конечных ограниченных снизу решеток, т.е. Latjin К = FLB.

Заметим, что совпадение класса FLB с классом решеток, вло-жимых в решетки подполугрупп конечных полурешеток, было также независимо получено К.В.Адаричовой [1]. Из Теоремы 7 с учетом Теоремы 4 вытекает, что если К - класс всех полурешеток или класс всех коммутативных нильполугрупп индекса два, то Latji„ К не совпадает с классом решеток, представимых решетками подполугрупп конечных полугрупп из К.

Введем следующие обозначения:

F - свободная полугруппа счетного ранга;

FC - свободная коммутативная полугруппа счетного ранга;

FCN - свободная коммутативная нильполугруппа индекса два счетного ранга;

FSL - свободная полурешетка счетного ранга;

N - множество натуральных чисел, упорядоченное обычным образом.

ТЕОРЕМА 8. Следующие решетки вложимы одна в другую:

1) Sub F; 2) Sub FC; 3) Sub FCN; 4) Sub FSL; 5) Subord N.

В частности, попарно решеточно эквивалентны одноэлементные классы полугрупп: {F\, {FC}, {FCN}, {FSL}.

Этот результат нельзя было предвидеть заранее. Неожиданным здесь является то, что, как оказалось, локальное строение решетки подполугрупп относительно свободной полугруппы S не зависит от "высоты расположения" в решетке многообразий полугрупп соответ-. ствующего полугруппе 5 многообразия.

В Следствиях 6.1 и 6.2 мы отмечаем, что решетки Sub F, Sub FC, Sub FCN, Sub FSL имеют одинаковую универсальную теорию, а также, что свободная решетка счетного ранга представи-ма любой из указанных решеток подполугрупп.

В силу Теоремы 4 любая решетка представима решеткой подполугрупп некоторой связки, а именно полурешетки. С другой стороны, как вытекает из Теоремы 7, решетки, представимые решетками подполугрупп конечных полурешеток, образуют собственный подкласс в классе всех конечных решеток, а именно, класс FLB, Поэтому возникает следующий вопрос: представима ли любая конечная решетка решеткой подполугрупп подходящей конечной связки? Так как каждая связка есть полурешегка прямоугольных связок, естественно сначала ответить на вопрос о том, какие решетки предста-вимы решетками подполугрупп (конечных) прямоугольных связок. Последний вопрос интересен сам по себе, поскольку в классе полугрупп прямоугольные связки, как и полурешетки, играют заметную роль в структурной теории. В Теореме 9 мы приводим необходимые и достаточные условия для того, чтобы (конечная) решетка была вложима в решетку подполугрупп (конечной) прямоугольной связки. Как устанавливается в Теореме 10, эти же условия оказываются необходимыми и достаточными для того, чтобы конечная простая решетка вкладывалась в решетку подполугрупп конечной связки. В частности, мы даем отрицательный ответ на первый из сформулированных выше вопросов, отмечая в этой теореме, что решетка разбиений произвольного множества А, где \А\ > 3, не представима решеткой подполугрупп никакой конечной связки.

В Теореме 2 был указан широкий класс решеточно универсальных многообразий групп, задаваемых тождествами xk — 1. где к нечетно и к > 665. Эти многообразия неразрешимы, так как неразрешимы их свободные группы В(&0, к). Неизвестно, будет ли всякое неразрешимое многообразие групп решеточно универсальным. Тем не менее, для таких многообразий групп К удается доказать, что класс Lat К содержит все решетки с условием Уитмена и, в частности, все свободные решетки (см. Теорему 11).

Говорят, что решетка удовлетворяет условию Уитмена, если для любых ее элементов а, Ь, с, d неравенство a A b < с V d влечет а Л 6 < с или а Л 6 < d, или а < с V d , или b<cWd.

ТЕОРЕМА 11. Пусть V - неразрешимое многообразие групп.

Тогда любая решетка L, удовлетворяющая условию Уитмена, пред-ставима решеткой подгрупп свободной группы Fy(X) этого многообразия ранга тая{i^Oi

В Следствии 8.1 из этой теоремы мы отмечаем, что если G -произвольная неразрешимая группа, L - произвольная решетка с условием Уитмена и а — тах{)$о, |Z|}, то L представила решеткой подгрупп прямой степени G" группы G. Теорема, формулируемая ниже, является важным уточнением этого следствия для случая, когда G конечна.

ТЕОРЕМА 12. Пусть G - конечная неразрешимая группа. Тогда для любой конечной подрешетки L свободной решетки существует натуральное число п такое, что L представима решеткой подгрупп группы Gn.

Данное утверждение на языке вложений решеток в решетки подалгебр подтверждает следующее общее наблюдение: сложность строения решетки Sub А11 подалгебр n-й прямой степени алгебры А , как правило, растет с ростом показателя п и не зависит от того, насколько простым было строение исходной решетки Sub А .

Перейдем к изложению основных результатов третьей главы диссертации. Они касаются эквациональных свойств решеток подалгебр и условно могут быть разбиты на две группы. В первую попадают те из них, которые используют в своем доказательстве результаты и технику предыдущих двух глав. Вторая группа результатов (о тождествах на решетках подалгебр нильпотентных алгебр), наоборот, будет использована нами для прояснения вопроса, связанного с представлением решеток решетками подалгебр.

В начале 60-х годов Л.Н.Шевриным ([17] и [18]) и М.Эго [26] были независимо описаны полугруппы с дистрибутивной решеткой подполугрупп и полугруппы с модулярной решеткой подполугрупп. Уже тогда возникла мысль о возможности распространения этих результатов на случай других решеточных тождеств. Во всех известных случаях соответствующие полугруппы оказывались периодическими. Это обстоятельство побудило Л.Н.Шеврина ([13], Проблема 2.74) поставить следующий вопрос: удовлетворяет ли решетка подполугрупп бесконечной циклической полугруппы какому-либо нетривиальному тождеству? Попытки ответить на этот вопрос сталкивались со значительными трудностями, поскольку стандартные

методы доказательства отсутствия нетривиальных тождеств в конкретной решетке не могли быть применены в данном случае. В частности, никакая решетка разбиений и даже никакая простая решетка порядка большего двух, не вложима в решетку подполугрупп бесконечной циклической полугруппы.

Автору удалось получить отрицательный ответ на сформулированный Л.Н.Шевриным вопрос (Следствие 9.1). Более того, совместно с С.И.Кацманом были полностью описаны коммутативные полугруппы с нетривиальными тождествами на решетках подполугрупп (см. Теорему 13, эквивалентность условий 1) - 3)). Первоначальное доказательство эквивалентности данных условий выглядело довольно сложным и использовало специально разработанную в этих целях технику. Применение же Теоремы 7, устанавливающей, в частности, вложимость любой конечной ограниченной снизу решетки в решетки подполугрупп свободной коммутативной нильнолугруппы индекса два и, соответственно, свободной полурешетки, позволило существенно упростить это доказательство, а также добавить к названным условиям еще одно, эквивалентное им.

Введем следующие обозначения:

М - многообразие всех модулярных решеток;

D„ - многообразие решеток, удовлетворяющих тождеству

хА{чи </,) = v?=1(* л (v,•*•!/,•));

Р о Q - мальцевское произведение классов Р и Q алгебраических систем;

FCNk - свободная коммутативпая нильполугруппа индекса два ранга к;

FSLk - свободная полурешетка ранга к .

Напомним, что делителями алгебры называются гомоморфные образы ее подалгебр.

ТЕОРЕМА 13. Для ■коммутативной полугруппы S следующие условия эквивалентны:

1) Sub S удовлетворяет нетривиальному тождеству;

2) SubS(=Dno(М о D„) для подходящего п £ N ;

3) полугруппы FCNk и FSLне являются делителями S для подходящего к 6 N ;

4) существует конечная ограниченная снизу решетка, не вложи-мая в Sub S .

Следуя [19], для заданного многообразия алгебр V обозначим через Sub V класс решеток, изоморфных решеткам вида Sub А, где А £ V. Для ряда распространенных классов К алгебр естественно возникает проблема классификации в К многообразий V по эквационалъным свойствам соответствующих им решеточных классов Sub V. В случае, когда К - класс всех решеток, эта проблема имеет простое решение, вытекающее из основного результата работы Д.Хонга [30]. В ней было показано, что для любого нетривиального многообразия решеток V класс Sub V порождает все многообразие решеток. Заметим, что это же утверждение прямо следует из нашей Теоремы 6, устанавливающей для каждого такого многообразия V его решеточную универсальность.

Если в роли К выступают другие известные классы алгебр, такие, например, как класс всех групп, полугрупп или колец, решение данной проблемы представляется уже достаточно сложным. Здесь в первую очередь важно получить ответ на следующий вопрос: для каких многообразий алгебр V решетки из Sub V удовлетворяют нетривиальному тождеству? Теоремы 14-17 в значительной степени проясняют этот вопрос как раз для только что указанных классов алгебр.

ТЕОРЕМА 14. Всякое многообразие групп V такое, что решетки из Sub V удовлетворяют нетривиальному тождеству, разрешимо.

ТЕОРЕМА 15. Для многообразия полугрупп V следующие условия эквивалентны:

1) для любой полугруппы S £ V решетка Sub S удовлетворяет какому-либо нетривиальному тождеству;

2) решетки из Sub V удовлетворяют одному и тому же нетривиальному тождеству;

3) V - периодическое многообразие и состоит из нильпотент-ных расширений вполне простых полугрупп, причем группы из V разрешимы и на решетках их подгрупп выполняется нетривиальное тождество.

Заметим, что в этой теореме эквивалентность близких по сути условий 1) и 2) далеко не очевидна, и неизвестно, будет ли она иметь место для алгебр произвольной сигнатуры. Вместе с тем, она легко усматривается, например, в случае групп и колец, поскольку для

них тождества, выполняющиеся в решетках подалгебр, наследуются решетками подалгебр гомоморфных образов.

Из Теоремы 15 вытекает описание многообразий коммутативных полугрупп с требуемым условием: в решетке многообразий полугрупп каждое из них является объединением группового и нилъпо-тентного многообразий (Следствие 10.1).

Принимая во внимапие Теорему 14, обратимся теперь к разрешимым многообразиям групп. Общеизвестно, что решетки подгрупп абелевых групп модулярны и даже удовлетворяют тождеству арго-вости. Из теоремы, формулируемой ниже, будет следовать, что решетки подгрупп нильпотеятпых групп ограниченной сверху ступени нильпотентности также удовлетворяют нетривиальному тождеству. При этом для каждого п = 1,2, ... мы строим решеточное тождество вида ггп < и„, выполнение которого на решетках подгрупп всех групп какого-либо многообразия равносильно п-нильпотентности последнего. Приводимые нами тождества оказываются универсальными в том смысле, что они обслуживают похожим образом свойство нильпотентности многообразий и для некоторых других классических алгебр, таких как алгебры Ли и ассоциативные алгебры над фиксированным ассоциативно-коммутативным кольцом с единицей, а также полугруппы с выделенным нулем. В двух последних случаях следует говорить о (п + 1)-нильпотентности соответствующего многообразия.

Определим над алфавитом X = {хь ук | к — 0,1,2,...} последовательности решеточных слов {и„ | п = 0,1,2,...} и {ип | п = 1,2,...} по правилу:

Щ = Хо,

«г. = (ил-1У1/„-1)Дг„ при п > 1; для произвольного п > 1 положим

Щ = Уо V ... V Уп-и шк = Л (ц-! Чхк Уук V... V г/„_1» V Хк-1,

где 1 < к < п — 1, и

= (шп_! А (хс„_1 Vxn))V

Рассмотрим теперь последовательность решеточных тождеств ип £ 1'п , п — 1,2, ... . Заметим, что первое из пих равносильно

тождеству модулярности и начиная со второго каждое тождество указанной последовательности есть следствие предыдущего.

ТЕОРЕМА 16. Пусть V - некоторое многообразие групп, алгебр Ли, ассоциативных алгебр или полугрупп с выделенным нулем. Для произвольного п > 1 многообразие V удовлетворяет тождеству

[ai, ... ,£„+i] = 1 е случае групп

и тождеству

х\ ... ¿rn+i = 0 б остальных случаях

тогда и только тогда, когда решетки из Sub V удовлетворяют тождеству un<vn.

Теоремы 14 и 16 сводят вопрос о полном описании многообразий групп с нетривиальными тождествами на решетках подгрупп к аналогичному вопросу для разрешимых ненильпотентных многообразий групп. Совсем недавно автору удалось достичь определенного продвижения в этом вопросе, а именно, было найдено нетривиальное тождество, выполняющееся на решетках подгрупп всех метабелевых групп. Чтобы не перегружать диссертацию, мы решили не включать в нее этот результат.

Из Теоремы 16 вытекает, что нильпотентные многообразия перечисленных в ней алгебр не могут быть решеточно универсальными. Отсюда и из Теоремы 6 мы получаем, что в случае многообразий V ассоциативных колец нильпотентность равносильна наличию нетривиальных тождеств на решетках подколец колец из V.

ТЕОРЕМА 17. Для многообразия ассоциативных колец V следующие условия эквивалентны:

1) решетки из Sub V удовлетворяют нетривиальному тождеству;

2) решетки из Sub V удовлетворяют тождеству ип < vn для подходящего п > 1;

3) многообразие V не решеточно универсально;

4) многообразие V нильпотентно.

В Следствии 10.2 из этой теоремы мы отмечаем, что в классе ассоциативных колец минимальные решеточно универсальные многообразия в точности совпадают с минимальными ненильпотент-ными многообразиями. Список последних известен (он был найден

И.В.Львовым в работе [10]) и исчерпывается многообразиями ассоциативных колец вида \рх = хр — 0, ху — ух) или ¡рх = 0, хр = х], где р г простое число.

Автор выражает глубокую благодарность своему учителю Льву Наумовичу Шеврину за внимание, проявленное к работе, и постоянную поддержку, без которых появление данной диссертации было бы вряд ли возможным.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Адаричева К.В. О решетках, вложимых в конечные решетки подполурешеток//Тез.докл. по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре. Междуп. конф. по алгебре, Барнаул, авг. 1991 г.-Новосибирск, 1991.-С.4.

[2] Адян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах.-М.: Наука, 1975.-335 с. .

[3] Аршипов М.Н., Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структур-пые свойства групп и полугрупп//Успехи матем. наук.-1972.-Т.27, N 6.-С.139-180.

[4] Биркгоф Г. Теория решеток.-М.: Наука, 1984.-568 с.

[5] Булатов A.A. Тождества в решетках замкнутых классов//Дискретная математика.-1992.-Т.4.-С.140-148.

[6] Гретцер Г. Общая теория решеток.-М.: Мир, 1982.-456 с.

[7] Игоншн В.И., Михалев A.B., Салий В.Н., Скорняков Л.А. Конкретные решетки//Упорядоченные множества и решетки. Братислава: Univerzita Komenskeho,-1988.-С. 241-321.

[8] Конторович П.Г., Пекелис A.C., Старостин А.И. Структурные вопросы теории групп//Матем. зап. Урал, ун-та. Свердловск.-1961.-Т.З, N 1.-С. 3-50.

[9] Лашхи A.A. Решетки с модулярным тождеством и алгебры Ли//Итоги науки и техники. Соврем, проблемы мат-ки.-1985.-Т.26.-С.213-257.

[10] Львов И.В. О многообразиях ассоциативных колец//Алгебра и логика. -1973.-Т.12, N 6.-С.667-688.

[11] Михалев A.B., Салий В.Н., Скорняков Л.А. Конкретные ре-шетки//Упорядоченные множества и решетки. Братислава: Univerzita Komenskeho.-1985.-C.181-244.

[12] Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структурные вопросы теории групп//Успехи матем. наук.-1968.-Т.23, N3.-C.123-158.

[13] Свердловская тетрадь (Нерешенные задачи теории полугрупп). 2-е изд. Свердловск, 1979.-41 с.

[14] Скорняков Л.А. Дедекиндовы структуры с дополнениями и регулярные кольца.-М.: Физматгиз, 1961.-198 с.

[15] Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М.: ИЛ, 1960.-158 с.

[16] Фофанова Т.С. Общая теория решеток// Упорядоченные множества и решетки. Братислава: Univerzita Komen- ského.-1985.-C.79-152; 1988.-С.149-214.

[17] Шеврин Л.Н. Полугруппы с некоторыми типами структур подполугрупп//Докл. АН СССР.-1961.-Т.138, N 4.-С.796-798.

[18] Шеврин Л.Н. Полугруппы с дедекиндовой структурой подпо-лугрупп//Докл. АН СССР.-1963.-Т.148, N 2.-С.292-295.

[19] Шеврин Л.Н., Овсянников А.Я. Полугруппы и их подполу-групповые решетки. Свердловск: Изд-воУрал. ун-та; Часть 1, 1990.238 е.; Часть 2, 1991.-246 с.

[20] Birkhoff G. On the combination of subalgebras// Proc. Cambridge Philos. Soc.-1933.-Vol.29.-P.441-464.

[21] Birkhoff G. On the structure of abstract algebras// Proc. Cambridge Philos. Soc.-1935.-VoI.31 .-P.433-454.

[22] Birkhoff G., Frink O. Representations of lattices by sets//Trans. Amer. Math. Soc.-1948.-Vol.64.-P.299-316.

[23] Czédli G. Horn sentences in submodule lattices// Acta Sci. Math.-1987.-Vol.51.-P.17-33.

[24] Czédli G. Mal'cev conditions for Horn sentences with congruence permutability//Acta Math. Hungar.-1984.-Yol.44.-P.115-124.

[25] Day A. Characterizations of finite lattices that are bounded-ho-momorphic images or sublattices of free lattices//Canad. J. Math.-1979.-Vol.31.-P.69-78.

[26] Ego M. Structure des demi-groupes dont le treillis des sous-demi-groupes satisfait a certaines conditions// Bull. Soc. Math. France.-1963.-Vol.91 .-P. 137-201.

[27] Freese R., Nation J.B. Covers in free lattices//Trans. Amer. Math. Soc.-1985. -Vol.288.-P.l-42.

[28] Prink O. Complemented modular lattices and projective spaces of infinite dimension//Trans. Amer. Math. Soc. -1946.-Vol.60.-P.452-467.

[29] Herrmann C., Poguntke W. Axiomatic classes of lattices of normal subgroups//Preprint, 12, Technisclie Hochschnle Darmstadt, 1972.

[30] Hong D. On sublattice lattice varieties// Algebra Universalis.-I990.-Vol.27.-P.411-412.

[31] Hutchinson G. On classes of lattices representable by modules// Proc. Univ. Houston Lattice Theory Conf.-Houston, 1973.-P.69-94.

[32] Hutchinson G. On the representation of lattices by modules// Trans. Amer. Math. Soc.-1975.-Vol.209.-P.311-351. :

[33] Jones P. Semimodular invers semigroups// J. London Math. Soc.-1978.-Vol.17.-P.446-456.

[34] Jónsson B. On the representation of lattices// Math. Scand.-1953.-Vol.l.-P. 193-206.

[35] Jónsson B. Modular lattices and Desargue's theorem// Math. Scand.-1954.-Vol.2.-P.295-314.

[36] Jónsson B., Nation J.B. A report on sublattices of a free lattices// Coll. Math. Soc., Janos Bolyai.-1977.-Vol.l7.-P.233-257.

[37] Lampe W. A. A perspective on algebraic representations of lattices// Algebra Universalis.-1994.-Vol.31.-P.337-364.

[38] McKenzie R. Equational bases and non-modular lattice varieties// Trans. Amer. Math. Soc.-1972.-Vol.174.-P.l-43.

[39] Pudlák P., Túma J. Every finite lattice can be embedded in the lattice of all equivalences over a finite set//Alg. Univ.-1980.-Vol.10.-P.74-95.

[40] Schein B.M. A representation theorem for lattices// Algebra Uni-versalis.-1972.-Vol.2.-P.177-178.

[41] Schmidt R. Subgroup lattices of groups.-Berlin; New York: de Gruyter, 1994.-572 p.

[42] Shevrin L.N., Ovsyannikov A.J. Semigroups and their subsemigroup lattices//Semigroup Forum.-1983.-Vol.27.-P.l-154.

[43] Shevrin L.N., Ovsyannikov A.J. Semigroups and their subsemigroup lattices.-Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996.-392 p.

[44] Sivak B. Representations of finite lattices by orders on finite sets// Math. Slovaca.-1978.-Vol.28.-P.203-214.

[45] Stone M.H. The theory of representations for Boolean algebras// Trans. Amer. Math. Soc.-1936.-Vol.40.-P.37-lll.

[46] Túma J. Intervals in subgroup lattice of infinite groups//Journal of Algebra.-1989.-VoL125.-P.367-399.

[47] Tuma J. A new proof of Whitman's embedding theorem//Journal of Algebra.-1995.-Vol. 173.-P.459-462.

[48] Whitman Ph.M. Lattices, equivalence relations, and subgroups// Bull. Amer. Math. Soc.-1946.-Vol.52.-P.507-522.

Работы автора по теме диссертации

[49] Репницкий В.Б., Кацман С.И. Коммутативные полугруппы, решетка подполугрупп которых удовлетворяет нетривиальному тождеству/ / Тез.сообщ. 19 Всесоюз. алгебр, конф., Львов, сент. 1987 г.-Львов, 1987.- Ч.2.-С.242-243.

[50] Репницкий В.Б., Кацман С.И. Коммутативные полугруппы, решетка подполугрупп которых удовлетворяет нетривиальному тождеству// Матем. сборник.-1988.-Т.137, N4.-C.462-482.

[51] Репницкий В.Б. О решетках подполугрупп коммутативных полугрупп//Тез.сообщ. 6 Всесоюз. школа по теории многообразий алгебр, систем, Магнитогорск, июнь 1990 г.-Магнитогорск, 1990.-С.29-30.

[52] Репницкий В.Б. О решетках подполугрупп свободных полу-групп//Тез. докл. по логике и универсальным алгебрам, прикладной алгебре. Межд. конф. по алгебре, Барнаул, авг. 1991 г.- Новосибирск, 1991.-С.115.

[53] Репницкий В.Б. О решетках подпорядков частичных поряд-ков//Тез. докл. Вторые матем. чтения памяти М.Я.Суслина, Саратов, сент. 1991 г.-Саратов, 1991.-С.43.

[54] Repnitskil Y.B. On representations of lattices by subalgebra lattices// Abstract of talks. 16th Algeb. Conf.: Lattices, ordered sets and universal algebra, Szeged, Aug. 1993 y.- Szeged, 1993.-P.31.

[55] Repnitskil V.B. On representations of lattices by subgroup lattices// Тез. докл. Третья межд. конф. по алгебре, Красноярск, авг. 1993 г.-Красноярск, 1993.-С.431.

[56] Repnitskil V.B. On finite lattices which are embeddable in subse-migroup lattices// Semigroup Forum.-1993.-Vol.46.-P.388-397.

[57] Repnitskil V.B. On subsemigroup lattices without non-trivial identities// Algebra Universalis.-1994.-Vol.31.-P.256-265.

[58] Repnitskil V.B. On representation of lattices by subsemigroup lattices of bands//Abstracts. Conference on subsemigroups, automata and languages, Porto, June 1994 y.-Porto, 1994.- P.99 - 100.

[59] Repnitskil V.B. On representation of lattices by sub,semigroup lattices of bands//Тез.докл. Научные матем. чтения памяти М.Я.Су-слина, Саратов, июль 1994 г.-Саратов, 1994.-С.53.

[60] Repnitskil V.B. On embeddings in lattices of subalgebras// Abstracts. Colloquium on semigroups, Szeged, Aug. 1994 y.- Szeged, 1994.-P.33.

[61] Repnitskil V.B. Lattice-universal classes of semigroups, groups and rings//Abstract,s. International conference "Semigroups and their applications, including semigroup rings" in honour of E.S.Ljapin, St.-Petersburg, June 1995 y.-St.Petersburg, 1995.-P.54.

[62] Repnitskil V.B. On the representation of lattices by subsemigroup lattices of bands//Semigroup Forum.-1995.-Vol.51.-P.379-389.

[63] Репницкий В.Б. Решетки подпорядков частичных порядков и ограниченные снизу решетки//Урал. ун-т. Екатеринбург, 1995, Деп. в ВИНИТИ N 3220-В95 от 05.12.95.-30 с.

[64] РепницкиЙ В.Б. О представлении решеток решетками подполугрупп// Изв.вузов. Математика.-1996.-К 1.-С.60-70.

[65] Repnitskil V.B. On the representation of lattices by subalgebra lattices// Abstracts. International conference on modem algebra and its applications, Nashville, May 1996 y.-Nashville, 1996.-P.59.

[66] Repnitskil V.B. On identities holding in subsemigroup and subgroup lattices//Abstracts. Conference "Semigroups and their applications", Prague, July 1996 y.-Prague, 1996.-P.32-33.

[67] Repnitskil V.B. On varieties of groups with nontrivial identities on subgroup lattices//Abstracts. Conference on universal algebra and lattice theory, Szeged, July 1996 y.-Szeged, 1996.-P.65.

[68] РепницкиЙ В.Б. Решеточная универсальность свободных берн-сайдовых групп//Алгебра и логика.-1996.-Т.35.-№.-С.о87-6П.

[69] Repnitskil V.B. On the representation of lattices by subgroup lattices// Algebra Universalis.-1997.-Vol.37.-P.81-105.

[70] Репницкий В.Б. Многообразия алгебр с нетривиальными тождествами на решетках подалгебр//Докла,ды PAH.-1997.-T.356.-N4.-С. 45,2-454.

[71] Репницкий В.Б, О решеточно универсальных многообразиях алгебр//Изв. вузов. Математика.-1997.-N5.-С.53-59.