Полугрупповая координатизация решеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский Государственный У ниверситет

ПОЛУГРУППОВАЯ КООРДИНАТИЗАЦИЯ РЕШЕТОК

Специальность 01.01.06 Математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

ЗАПАТРИН Роман Романович

Санкт-Петербург 1999

Введение

Восходящая к античной математике проблема координатизации была в явном виде сформулирована Г.Биркгофом для геометрических решеток как проблема представления их "замкнутыми" подмножествами некоторой алгебраической системы, например, подпространствами или "плоскикми подмножествами" векторного или аффинного пространства [1]. Для булевых алгебр исчерпывающее решение этой проблемы было найдено М.Стоуном, установившим взаимно однозначное соответствие между булевыми алгебрами и вполне несвязными компактными Тг-пространствами [2].

Помимо своего чисто алгебраического контекста, проблема координатизации возникает еще и в логике и в теоретической физике. В рамках логики булевы алгебры являются стандартными моделями для классических исчислений высказываний. Вопросы, возникающие в теории неклассических логик, потребовали развития алгебраических методов анализа их моделей. В 1936 году появилась статья Г.Биркгофа и Дж. Фон Неймана "О логике квантовой механики" [3], в которой был проведен анализ наблюдаемых свойств квантовомеханических систем. Они указали, что простейшая проверка дистрибутивности для алгебры свойств основывается на перестановочности и повторяемости физических наблюдений, что, в свою очередь, противоречит квантовой механике, математическая структура которой описывает свойства квантовых систем как замкнутые подпространства гильбертова пространства. Отправляясь от эвристических соображений об аналогии с решеткой всех замкнутых подпространств, они предположили "ослабленную булевость" решетки свойств физической системы. Это свойство было названо ортомодулярностью (см. ниже Определение 7).

Проблема координатизации ортомодулярных решеток была решена Д.Фулисом [4,5]. Он установил взаимно однозначное соответствие между ортомодулярными решетками и решетками замкнутых проекторов бэро-вских полугрупп (бэровская полугруппа — это мультипликативная полугруппа кольца с единицей, каждый левый аннулятор которого порожден идемпотентом, такие кольца также называются бэровскими [6,7]).

Недавние исследования в области квантовой гравитации привели к рассмотрению более общих решеток свойств, которые могут не обладать и свойством ортомодулярности [8,9,10]. Проблеме координатизации некоторых классов решеток и посвящена настоящая диссертация. Изложение структурировано следующим образом.

В Главе 1 вводятся основные определения и понятия.

В Главе 2, применяя методы, разработанные Фулисом в [4], коорди-натизируются атомарно порожденные полные орторешетки: для любой такой решетки L строится полугруппа S(L) такая, что L изоморфно решетке левых аннуляторов полугруппы S(L). Согласно Фулису [4], полугруппа S(L) была построена из эндоморфизмов решетки L, что делало такую конструкцию неэффективной.

В Главе 3 построено представление полугруппы S(L) открыто-замкнутыми бинарными отношениями на множестве атомов решетки L. При таком представлении композиция двух эндоморфизмов из S(L) переходит в замыкание обычного произведения отношений на множестве атомов решетки L, а частичный порядок на S(L) переходит в теоретико-множественное включение отношений.

В Главе 4 координатизируется более общий класс решеток — так называемые САС (complete atomistic coatomistic) решетки, т.е. полные решетки L такие, что каждый их элемент может быть представлен как

сумма атомов, равно как и пересечение коатомов решетки Ь. В частности, все решетки, рассматриваемые в [8], попадают в класс САС. Используемые при этом вполне 0-простые рисовские полугруппы позволяют кооординатизировать и произвольные конечные решетки.

Результаты, представленные в Главах 2,3, опубликованны в [11], а результаты Главы 4 — в [12,13].

1 Основные понятия и определения

Для замкнутости изложения в этом разделе сведены основные понятия и определения, используемые в диссертации.

1.1 Частично упорядоченные множества и решетки.

Объектом исследования в настоящей работе являются различные классы решеток, для которых сформулированы теоремы представления. Одной из основных особенностей решеток является двоякое их толкование: их можно рассматривать с одной стороны, как множества с отношением ("релятив") либо как множество с заданными на нем операциями ("операционал"). Техническое содержание работы базируется на сочетании этих двух подходов.

Определение 1 Упорядоченным множеством называется множество, на котором определено бинарное отношение х < у, удовлетворяющее для всех х,у,г следующим условиям:

Р1 х < х (рефлексивность);

Р2 если х < у и у < х, то х = у (антисимметричность);

РЗ если х < у и у < г то х < г (транзитивность).

Если х<ужхфуж говорят, что" х строго меньше чем у" или "ж собственным образом содержится в у". Отношение х < у записывается и в виде у > х, и тогда оно читается как" у содержит ж" ( или "у включает ж"). Аналогично х < у записывают и как^> х. Введенные обозначения и терминология являются стандартными.

Приведем два типичные ситуации возникновения частично упорядоченных множеств.

Семейства подмножеств. ст{У) — некоторое семейство подмножеств некоторого множества V, включая само V и пустое подмножество 0, а х < у означает, что х является подмножеством в у.

Семейства отображений. Е состоит из функций /(ж), определенных на некотором множестве М с областью значений в произвольном частично упорядоченном множестве , и / < д означает, что

Ух£МЦх)<д(х) (1)

В частности, в дальнейшем будут рассмотрены эндоморфизмы частично упорядоченных множеств, которые сами частично упорядочены в соответствии с (1).

Определение 2 Наименьшим элементом подмножества X упорядоченного множества Р называется элемент а £ X такой, что а < х для всех х € X. Наибольшим элементом подмножества X называется элемент Ъ £ X такой, что Ь > х для всех х £ X.

Введенные понятия не следует смешивать с понятиями минимального и максимального элементов. Минимальный элемент подмножества X упорядоченного множества Р - это такой элемент а, что неравенство а > х невозможно ни для какого х £ X] максимальные элементы определяются двойственно. Понятно, что наименьший элемент обязательно будет минимальным, а наибольший элемент максимальным, но обратные утверждения уже не верны.

Верхней гранью подмножества X в упорядоченном множестве Р называется элемент а £ Р, содержащий все х £ X. Точная верхняя грань подмножества X - это такая его верхняя грань, которая содержится

в любой другой его верхней грани; она обозначается символом sup X. Согласно (Р2), если точная верхняя грань sup X существует, то она единственна. Понятия нижней грани подмножества X и точной нижней грани (которая обозначается символом inf X) определяются двойственно. Также согласно Р, если точная нижняя грань inf X существует, то она единственна.

Определение 3 Решеткой называется упорядоченное множество L, в котором любые два элемента имеют точную нижнюю грань, или "пересечение", обозначаемое х Л у, и точную верхнюю грань, или "объединениеобозначаемое х У у. Решетка L называется полной, если любое ее подмножество X имеет в L точные верхнюю и нижнюю грани.

Полагая X = L, мы видим, что любая непустая полная решетка содержит наименьший элемент О и наибольший элемент I.

Бинарные операции Л и V в решетках имеют важные алгебраические свойства, некоторые из которых аналогичны свойствам обычных умножения и сложения (■ и +).

Под дополнением элемента х в решетке с О и I понимают элемент у G L такой, что х /\у = О ж хЧ у = 1. Решетка L называется решеткой с дополнениями, если все ее элементы имеют дополнения.

Определение 4 Орторешеткой называется решетка с универсальными гранями и унарной операцией а —У а1 такой, что

• а Л а1 = О, а V а1 = I для всех а;

• {а1)1 = а;

(аЛЪ)-1 = а1 УЪ1-* (а V Ъ)х = Л Ъ1 '

Очевидно, любая орторешетка обладает дополнениями. Элемент а решетки Ь называется У-неразложимым, если его нельзя представить как точную верхнюю грань множества элементов Ь, не содержащего а. Двойственным образом вводится понятие А-неразложимого элемента.

Определение 5 Атомом решетки Ь с универсальными гранями называется ее минимальный отличный от 0 элемент. Двойственно, коатом — это максимальный отличный от I элемент Ь.

Определение 6 Решетка Ь называется атомарной, если для любого ее элемента а ф 0 существует атом V решетки Ь такой, что V < а, и атомарно порожденной, если любой ее элемент а ф 0 представим как точная верхняя грань атомов, содержащихся в а.

Двойственным образом вводятся понятия коатомарной и коато-марно порожденной решетки.

Следующий пример показывает, что понятия атомарности и атомарной порожденности не тождественны:

Здесь V = {1, 2} — множество атомов, Л = {3,4} — множество коатомов. Решетка Об является атомарной и коатомарной, но не является ни атомарно порожденной, ни коатомарно порожденной. Примером неатомарной (но полной) решетки может служить отрезок [0,1] вещественной оси с обычным отношением порядка. Введем еще одно важное в дальнейшем понятие.

Определение 7 Орторешетка Ь называется ортомодулярной решеткой, если в ней выполняется ортомодулярный закон — квазитождество

х < у => х V (хх А у) = у

Например, всякая модулярная орторешетка будет ортомодулярной решеткой. Полную ортомодулярную решетку образуют замкнутые подпространства гильбертова пространства Н. Эта решетка модулярна тогда и только тогда, когда Н конечномерно.

1.2 Полярности и замыкания.

Опишем теперь важную конструкцию, которая позволяет из произвольного бинарного отношения на множестве получить операцию замыкания.

Пусть р — некоторое бинарное отношение между элементами двух множеств I ж J. Для любых подмножеств X С /, У С ,/ определим Хк С ,/ — правую поляру множества X следующим образом:

Хк = {у е 3 ] Ух € X хру}

Аналогичным образом определяется и левая поляра ЬУ любого подмножества У С «/:

ьу = {ж е 11 уу е г хру}

Упорядоченную тройку V = (/../, р) будем называть полярностью. Множество всех подмножеств /, инвариантных относительно операции X (Xя), всегда образует полную решетку, которая называется решеткой левых поляр. Обозначим ее Гх,:

Г^ = ТЬ(Г) = {ХС1\Х=Ь (Xй)} (2)

Аналогичным образом определяется и левая решетка^поляр Гд:

Гл = Г = {ХС1\Х = (ЬХ)Я}

Построенные решетки Гь и Гд антиизоморфны [1]. При этом любой элемент У £ Гд есть пересечение

у = ГНМЙI * & У} (3)

Рассмотрим один частный случай, который будет активно использован в дальнейшем изложении. Пусть множества I, J совпадают: / = ./, а отношение р симметрично. В этом случае, во-первых, понятие левой и правой поляр совпадут: ЯХ = Хь, и в полной решетке замкнутых множеств соответствие X И- Xя будет инволюцией, то есть для любых замкнутых множеств X, У

{Хя)я = X

{хку\я = ХяУУя

{ХУУ)Я = Xя А Уя

Если при этом отношение р будет антирефлексивным (то есть хрх не имеет места ни для какого х) или если рх влечет хру для всех у, то

ХЛХЯ = 0 ХМ Xя = I

1.3 Теорема Макларена о представлении полных решеток замкнутыми множествами

Как было упомянуто выше, решетка Ь называется атомарно порожденной, если любой ее элемент есть сумма атомов, и орторешеткой, если на ней задана унарная операция ортодополнения. На элементах ор-торешетки вводится отношение ортогональности элементов:

а 1 Ь & а < У (4)

являющееся

• симметричным а _]_ Ь Ъ _1_ а

• антирефлексивным У а а / а

Обозначим через V множество атомов орторешетки Ь. Поскольку V является подмножеством Ь, сузим отношение ортогональности Л_ (4) с Ь на V С Ь. Для множества V заданным на нем симметричным антирефлексивным отношением построим решетку левых поляр которая является орторешеткой в силу изложенного в разделе 1.2.

Имеет место следующая теорема представления, доказанная Макла-реном [14]:

Теорема Макларена. Орторешетки (Гь(У),-1-) и (Ь,') изоморфны.

Доказательство.См. [14]. Явный вид изоморфизма следующий. Строятся два отображения ^ : Ь Г^К) и О : Гь{У) —> Ь:

-Р(а) = {V £ < а} ; ^(0) = 0

<3(А) = Уь{г;|«бА} ; (7(0) = 0

для всех а € Ь, А £ Г£,(У).

1.4 Бэровские полугруппы.

Полугруппой называется непустое множество 5", на котором задана бинарная операция о, удовлетворяющая закону ассоциативности

ж о (у о г) = (ж о у) о г

Полугруппа Б инволютивна, если на ней задана операция * : Б —^ ,5' такая, что

ж** = ж (ж о у)* = ж* о у*

Непустое подмножество М полугруппы Б называется правым идеалом Б тогда и только тогда, когда ж £ М =Ф- (У у £ Б) х у £ М, левым идеалом, если ж £ М =>■ (\/у £ б') уж £ М, и (двусторонним) идеалом, если оно является одновременно левым и правым идеалом. Для всякого ж £ 5* и всякого М С- Б обозначим:

жМ = {ху ; у £ М} Мж = {уж ; у £ М}

Для каждого ж £ Б назовем множество хБ главным правым идеалом, порожденным элементом ж. Аналогичным образом определяется главный левый идеал. Обозначим через РН(б'), Рп(5) множества всех левых и, соответственно, правых идеалов полугруппы Б. Заметим, что оба они частично упорядочены по теоретико-множественному включению.

Зафиксируем какой-либо идеал К полугруппы ¿Г. Если М С то определим левый Л'-аннулятор подмножества М следующим образом:

ЬК(М) = {у е Б \\/те М ут е К}

и, соответственно, правый /^-аннулятор:

В.К(М) = {у е 5 | Ут € М ту <Е К}

В случае, если М = {ж} будем записывать 1/ц(х) вместо Ьк({х}), и, соответственно, Дк(ж) вместо Д^({ж}). Очевидно, любой левый К-аннулятор есть левый идеал Б, а любой правый А'-аннулятор будет правым идеалом.

Важно отметить, что п. "лютт единственность соответствующих идемпотентов не постулируется в этом определении. Мы не будем требовать е = /, шя будем допускать возможность существования д, /г таких, что при е / /г соответствующие идеалы будут равны: еБ = Sf = Следующее свойство идемпотентов е, / будет использовано в дальнейшем:

у е еЗ У = еу У^Б} у = у/

1.5 Фокус, фокальные идеалы и эндоморфизмы.

Предположим теперь, что < в, К > - бэровская полугруппа, и пусть х Е К. Тогда существуют идемпотенты е, / такие, что Кк{х) = еБ и Рк{х) = Из того факта, что К есть идеал, немедленно следует, что 3 = ев = 5"/. Таким образом, е есть левая, а / есть правая единица 3. Отсюда немедленно следует, что е = f есть (двусторонняя) единица

полугруппы Б, будем обозначать ее в дальнейшем через 1. Заметим при этом, что

1х е К & х1 е к о- х е к

Тогда, если Кк{ 1) — дБ и Ьк(1) = Бк, то К — дБ = Бк. Но тогда д = к будет единицей в К. Обозначая ее через к, имеем

к = к2 К = кБ = Бк

Тогда для любого х £ Б мы имеем

хк 6 К =>■ хк = кхк кх £ К =Ф- кх = кхк

и поэтому для любого х £ Б всегда кх = хк. Итак, было показано, что К есть главный идеал, порожденный центральным (т.е., коммутирующим с любым элементом £) идемпотентом. В силу вышеизложенного, мы всегда будем рассматривать бэровские полугруппы как пары < Б, к >, где к будет некоторым центральным идемпотентом Б, обладающим следующим свойством: для любого х £ Б существуют идемпотенты е, / такие, что Як(х) = еБ и Ьк(х) = Б/, где использованы следующие сокращенные обозначения: Як(х) = Якз(х) и Ьи(х) = Ьзк{%)-

идеал кБ С. Б - фокальным, если для любого х £ Б существуют идемпотенты е, / такие, что

=

ад = ¿7 1;

Общее понятие гомоморфизма имеет для решеток четыре различные (хотя и связанные) интерпретации и каждая из них находит важные приложения.

Определение 8 Определение. Отображение 0 : Ь —» М решетки Ь в решетку М называется изотопным, если из х < у следует, что 0(ж) < 0(у); и У-гомоморфизмом, если

9(ж V у) = 0(ж) V 0(у) для всех ж, у £ Ь (6)

А -гомоморфизмом, если выполняется двойственное равенство

0(ж Л у) = 0(ж) Л 0(у) для всехх,у € Ь (7)

гомоморфизмом (или "решеточным гомоморфизмом"), если выполняются оба равенства (6-7).

Как всегда, гомоморфизм 0 называется

1. изоморфизмом, если он является взаимо однозначным соответствием

2. наложением, или эпиморфизмом, когда оно отображает Ь на М;

3. вложением, или мономорфизмом, в случае взаимной однозначности I и 0(£)

4. эндоморфизмом, если Ь = М

Конечно, понятия V- и Л-гомоморфизма имеет смысл рассматривать в более общем смысле для \/-полурешеток и А-полурешеток соответственно, а изотонные отображения — вообще для всех упорядоченных множеств. Следующие два утверждения очевидны.

• Любой \/-гомоморфизм для \^-полурешеток является изотонным, как и любой Д-гомоморфизм для Д-полурешеток.

• Любое изотонное взаимо однозначное соотвнтствие, обращение которого изотонно, является решеточным изоморфизмом.

Таким образом, для взаимо однозначных соответствий нет необходимости делать вышеуказанные различия.

Каждое (из вышеприведенных) семейство гомоморфизмов образует полугруппу относительно композиции соответствующих отображений. В настоящей работе будут исследованы эндоморфизмы решеток.

Помимо эндоморфизмов, нас еще будут интересовать антитонные отбраженил 9, инвертирующие частичный порядок:

ж < У 0(х) > 6{у)

2 Координатизация полных атомарно порожденных решеток с ортодополнениями

2.1 Решетка аннуляторов.

Пусть (5, *, О) - инволютивная полугруппа с нулем. В�