О характеризуемости некоторых классов решеток тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

■ I и УП

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ, ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ПОЛИТИКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

, ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи ОМАРОВ Женис Аблыкапарович

УДК 512. 57

О ХАРАКТЕРИЗУЕМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕТОК

01 01. 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел.

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени канлилата физико-математических наук

ОМСК 1093

Работа выполнена в Новосибирском государственном универ и-тете и Казахском государственном национальном университете.

Н а у ч н ы II руководитель —

кандидат физпко-матемйтических наук, доцент ГОРБУНОВ В. А.

О ф и ц и а л ь н ы е о п п о центы —

доктор физико-математических наук,профессор ХИСАМИЕВ Н. Г.

доктор физико-математических наук МАРТЫНОВ Л. М.

Ведущее учреждение—

Карагаидинскнй государственный университет

Защита состоится 1993 г. в часов

на заседании специализированного совета К 064. 30. 02 при Омском государственном университете но адресу: (¡44077, Омск, пр. Мира. 55-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского

государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь смециали.ш рока иного сонета,

доктор фимико-математически.х наук РОМЛНЬКОВ В. А.

Подкласс К класса К алгебраически ч- систем конечной сигнатуры называется характеризуемым в классе К некоторым множеством М конечных систем из К, если К совпадает с классом всех систем из К, в каждую из некоторых не вложима ни одна система из М. Если такого множества М не существует, то говорят, что подкласс К не характеризуем в К.

Легко видеть, что любой характеризуемый подкласс класса К является универсально аксиоматизируемым в К. В связи с этим Мальцев А. И. [1] использовал понятие характеризуемое™ для установления признаков конечной и независимой аксиоматизируемости универсально аксиоматизируемых классов моделей. Буд-кин А. И., Горбунов В. А. [2] распространили подход Мальцева А. И. применительно к квазимногообразиям алгебраических систем. В работе Горбунова В. А. [3] характеризуемые классы используются для изучения покрываемости в решетках квазимногообразий.

С другой стороны, изучение свойств решеток в терминах вложи-мости или невложимости некоторых конечных решеток является классическим направлением в теории решеток (см. Гретцер Г. [5]). Одним их первых результатов такого рода являются теорема Деде-кинда [0], согласно которой решетка Ь модулярна тогда и только тогда, когда Ь не содержит подрешетки, изоморфной решетки N5 (см. рис. 1) и теорема Биркгофа [7], утверждающая, что решетка I. дистрибутивна тогда и только тогда, когда в Ь не вложима ни одна из решеток М ^ N5 (см. рис. 1 и 3). Другими словами, многообразия модулярных и дистрибутивных решеток являются характеризуемыми в классе всех решеток.

Известно много других примеров характеризуемых многообразий. Например, Левиг X. [8] доказал, что решетка удовлетворяет тождеству 1-модулярности

(Х,+Х2)(Х2 +х,) = х2+(х,+х ,)(х2 +х ,)(Х3+х ,) (1)

тогда и только тогда, когда в нее не вложима решетка и и , изображенная на рис. 3. Другое расширение модулярных решеток охарактеризовала Гедеонова Е. ['.Г}, именно, она- доказала, что решетка удовлетворяет тождеству р-'-мдулярвости

(х ,+х ,(х,+х 2)Их3 +х,(х2+х 31) = х,(х, +х,)+х:,(х|+х2). (2)

тогда и только тогда, когда в нее не вложима решетка Ц5 (см. рис. 3).

Недавно, Ежик Е. и Славик В- [10] описали все 1-характеризуе-мые многообразия решеток, т. е. многообразия, характеризующиеся одной решеткой.

Заметим, что вопрос о характеризуемое«! или не характеризуе-мости конкретных многообразий являются, как правило, достаточно сложным. Например, опираясь на результаты Йонссона Горбунов В. А. доказал, что минимальное недистрибутивное многообра-знеУ(М порожденное решеткой М, характеризуется решетками N5, М4 , М^ 3 , 3 (см. рис. 1). Вопрос же

Рис. 1

о характеризуемое™ другого минимального недистрибутивного многообразия до сих пор остается открытым, хотя известна

следующая глубокая теорема Йонссона-Ривала [11]: любая конечная немодулярная решетка, не принадлежащая многообразию 5 ) содержит подрешетку, изоморфную одной из решеток М^., Ь] , . . . , (см. рис. 3).

Цель настоящсйдиссертации — изучение многообразий решеток, определенных одним тождеством от трех переменных. Актуальность этой задачи отмечается в монографии Гретцера Г. [5] (см. проблему 1. 30). В диссертации доказывается существование неха-рактеризуемых многообразий решеток, а также характеризуе-мость некоторых их подклассов, интересных с теоретико-решеточной точки зрения.

Все основные результаты диссертации являются новыми и имеют

/

теоретическое значение. Они докладывались на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория решеток" Новосибирского государственно'-го университета и ИМ СО РАН, на семинаре 'по алгебре и математической логике ИМ АН Республики Казахстан.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитируемой литературы и работ автора по теме диссертации. Перейдем к более подробному изложению результатов.

В первой главе диссертации изложены результаты изучения тождества ¡-модулярности: •

(х 1+х 2)(х2+х3) = х ](х2 +х3 )+х2+х 3(х ]+Х 2), (3)

впервые рассмотренное Икбалуннисым [12], и тождества-в-моду-лярности:

(х ,+х2)(х2+х 3)(х3 +х,) = X! (х^ +х3)+х2(х, +х3)+х3{х ,+х2). (4)

получающиеся из тождества ¡-модулярности его симметризацией (см. Негру Н. С, [13]).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Тождество (3) эквивалентно коньюнкции тождеств (1) и (4).

Основным результатом § 1 является:

ТЕОРЕМА 1. 2. Многообразие я-модулярных решеток не характеризуемо в классе всех решеток.

Попутно доказывается, что класс в-модулярных решеток ширины 3 и конечной длины характеризуется в классе всех решеток ширины 3 и конечной длины решетками , и Ьк,, изображенными на рис. 3 и 4.

В § 2 аналогичное утверждение доказывается для ¡-модулярных решеток. '

ТЕОРЕМА 1.7. Многообразие ¡-модулярных решеток не характеризуемо в классе всех решеток.

Как следствие получается, что теорема Игошина В. И. [14] о характеризуемое!!! этого многообразия является ошибочной.

Используя решетки В пп>^<113 работы Р. Маккензи [ 16] (см. рис. 2) в § 3 доказывается следующая

ТЕОРЕМА 1.11. Многообразие ¡-модулярных решеток содержат континуум нехарактернзуемых подмногообразий.

В связи с существованием нехарактернзуемых многообразий решеток Смирнов Д. М. поставил вопрос о существовании нехарактернзуемых многообразии решеток, пересечение которых характери-

зуемо. В § 4 этот вопрос решен положительно 120-21]. Для этой цели рассмотрены тождества (1), (2), (3) и новое тождество (5) из работы Негру Н. С. [13]

(х( +х2 (х, +х, )+х,(х, +х2))(х,+х )+'ц (х, +х +х, (х, +

х, )+Х2 (х ,+х3 )) = X, (X, +х, )*х2 Гх( *х/)+х,(х, +хр

ТЕОРЕМА 1. 12. Пусть V 1 , V, , , ^ -многообразия, определенные соответственно тождествами (1), (2), (4), (5). Тогда, многообразия М, = У,Г\Уг +"УДII М2= V, Л\'2 Пу, нехарактернзуемы, а их пересечение М , ПМг характеризуемо.

Говорят, что решетка полудистрнбутивна вверх, если она удовлетворяет квазитождеству

: х+у = х+г -> х+у = х+уг,

и полудистрибутивна вниз, если она удовлетворяет двойственному квазнтождеству

50д: ху = хг -> ху = х(у+г)

Решетка, удовлетворяющая этим обеим квазитождествам, называется полудистрибутивной. Квазитождества полуднстрнбутивнос-ти были рассмотрены впервые Йонссоном В. [15], доказавшем полудистрибутивность свободных решеток. Горбунов В. Л. [4] дока м \, что любая решетка квазимногообразпн полудистрнбутивна вверх, но вообще говоря, не полудистрнбутивна вши. В настоящее время полудистрнбутивные (вверх и вниз) решетки наряду с модулярными решетками являются наиболее важнымн м активно исследуемыми кланами решеток. Заметим также, что любая решетка являющаяся одновременно модулярной и полудне трибу Iниной вверх, дистрибутивна.

Дэвий А., Погунтке В.,,Ривал И. [17] доказали, что класс полудистрибутивных решеток конечной длины характеризуется в классе всех решеток конечной длины конечными решетками М ,, I. Ь ,.

, , Ь ^изображенные на рис. 3. Они пока »али также, ч го к \асс решеток конечной длины, удовлетворяющих .'■¡О*. характерна ется

в

в классе всех решеток конечной длины решетками М Ь Ь ^ , Щ Ь4 , Ц . Используя это и предыдущие результаты диссертации, нетрудно показать, что квазимногообразия полудистрибутивных Ч вверх решеток, удовлетворяющих тождеству ¡-модулярности, не. характеризуемо. Тем не менее имеет место следующее утверждение:

ТЕОРЕМА 2. 6. Класс решеток конечной длины, удовлетворяющих тождеству ¡-модулярности и квазитождеству , характеризуется в классе всех решеток конечной длины решетками М , Ь2 -Ь5 , 17 , Ц3 , 1|5 -Ь,, (см. рис. 3 и 4).

В § 6 аналогичное утверждение доказывается для полудистрибутивных вниз решеток.

ТЕОРЕМА 2. 8. Класс решеток конечной длины, удовлетворяющих тождесту ¡-модулярности к квазитождеству 50д, характеризуется в классе всех решеток конечной длины решетками М 3 , Ц , Ь з , 1.4 , , Ц , Ц, , Ц, (см. рис. 3).

СЛЕДСТВИЕ 2. 9. Класс полудистрибутивных ¡-модулярных решеток конечной длины характеризуется в классе всех решеток конечной длины решетками М Ь | -I. $ , Ь 7 , Ь и ,Ц<; (см. рис. 3).

В § 7 доказываются некоторые свойства и — характеризуемых многообразий решеток, т. е. многообразия, характеризующихся п решетками, где п — натуральное число.

В 5

В„

Рис. 2 7

Рис. 3

Рис. 4 8

Автор искренне благодарит Горбунова В. А. за его постоянное внимание к работе и плодотворное обсуждение полученных результатов, а также выражает признательность за ценные советы и -замечания Смирнову Д. М.

I

I

ЛИТЕРАТУРА

1. Мальцев А. И. Универсально-аксиоматизируемые подклассы локально-конечных классов моделей // Сиб. мат. журнал-Т. 8.-N« 5. -с. 1005-1014.

2. Будкин А. И., Горбунов В. А. К теории квазимногообразий алгебраических систем //Алгебра и логика.-Т. 14.-№ 2.-1975.-с. 123142.

3. Горбунов В. А. Покрытия в решетках квазимногообразий и независимая аксиоматизируемость // Алгебра н логика. -Т. 16.-№ 5.-1977.-с. 507-548.

4. Горбунов В. А. О решетках квазимногообразий // Алгебра и логика.-Т. 15.-№ 4.-1976.-е. 436-457.

5. Гретцер Г. Общая теория решеток // М.: Мир.-1982.

6. Dedekind R. Uber die von drei Moduln erzeugte Dualgruppe //Math. Ann. -Vol. 53. - 1900. -p. 371 - 403. ,

7. Birkhoff G, On the structure of abstrakt algebras // Proc. Cambridge Philos. Soc. - 1935. - Vol. 31. - p. 433 - 454.

8. Lowig H. F. On the importance of the relation [(A,B)(A,C)]< <[(B,C)(C,A)(A,B)] between three elements of a structure // Ann. of Math. - Vol. 44. - № 2. - 1943. - p. 573 - 579.

9. Gedeonova E., Jordan - Holder theorems for linies // Acta Fac. rerum natur. Univ. Comen Math., Mimor. Cislo. - 1971. - p. 23 - 24.

10. Jezek J, Slavik V., Some examples of primitive lattices // Acta Univ. Carolinac. - Vol. 14. - № 2. - 1973. - p. 3 - 8.

11. Jonsson B, Rival I., Lattice Vanities covering the Smallest nonmodu-lar lattice Variety // Pacific J. Math. - Vol. 82. - 1979 - p. 463 - 478.

12. Jqbalunnisa., On types of lattices // Fund. Math. - Vol. 59 - № 1. -1966. - p. 97 - 102.

13. Негру H. С. Об алгебраических свойствах структуры классов Поста и их многозначных обобщений // Исследование по неклассическим логикам И формальным системам, М.: - 1983. - с. 300 - 315.

14. Игошин В. А; Характеризуемые многообразия решеток // Упорядоченные множества и решетки. - Саратов, 1977. - с. 22-30.

15. Jonsson В., Sublatticesof a tree lattices // Canad. J. Math. - 13.-1961

- p. 256 - 264.

16. Mckenzie R. Equationai bases for lattices theories // Math. Scand.

- 27. - 1970. - p. 24-38.

17. Г)<1Уеу В. А., РодигПке \У., Шуа1 I., А сНауас1еп7.аПоп о! кенп-(Нх(м-ЬиПуИу // А1г]. ишуегя. - Уо1. 5. - 1975. - р. 72-75.

Список работ автора по теме диссертации

18. Омаров Ж. А. О многообразии решеток определенным тождеством Икбалуннисы II Труды 19-ой всесоюзной конференции по алгебрею - Львов, 19876 - с. 207 - 208.

19. Омаров Ж. А. О многообразии решеток определенным тождеством Икбалуннисы II Алгебра и логика. - 1988. - Т. 27, 3. - с. 305-315

20 Омаров Ж. Л. О пересечение нехарактеризуемых многообразий решеток // Международная конференция памяти Л. И. Мальцева: Тезисы докладов по теор. мод. и алг. сист. - Новосибирск, 1989. - с. 105.

21. Омаров Ж. А. О пересечение нехарактеризуемых многообразий решеток // Алгебра и логика. - 1990. - Т. 29, № 3. - с. 339 - 344.

22. Омаров Ж. А. Конечно характеризуемые классы решеток // Международная конференция памяти М. И. Каргополова: Теш-сы докладов.- Красноярск, 1993.

23. Горбунов В. А., Нуракунов А. М., Омаров Ж. Л. О числе (^характеризуемых многообразий решеток //Труды 10-ой всесоюзной конференции по мат. логике. Алматы. I 990. с. 46

Ротапринт КазГНУ Зака»21 Тираж 11)0 ж:).