Гидродинамическое взаимодейстивие решеток профилей тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Российская академия наук Сибирское отделение Ордена трудового красного знамени институт гидродинамики имени М.А. Лаврентьева

РГ5 ОД

I 2 ¡71 А? 1998 На правах рукописи

УДК 533.6.011:532.5

ЮДИН Владимир Алексеевич

ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕШЕТОК ПРОФИЛЕЙ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1998

Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте гидродинамики имени М.А. Лаврентьева СО РАН.

Официальные оппоненты: доктор технических наук

Д.Н. Горелов доктор технических наук В.Н. Котовский

доктор физико-математических наук

В.Ю. Ляпидевский

Ведущая организация: Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова (г. Москва)

Защита состоится "I 7 " @ 199^-Г. в'^_часов??_мин. на заседании специализированного совета Д002.55.01 по присуждению ученой степени доктора наук при Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (630090, Новосибирск-90, проспект академика М.А. Лаврентьева,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Автореферат разослан " У "

-Ш_Ш^г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физико-математических наук о7Уг£>^ С.А. Ждан

В реферируемой диссертации изложены результаты, полученные автором при создании и развитии качественной теории гидродинамического взаимодействия решеток турбомашин и выявлении особенностей возникающих при таком взаимодействии сил на лопатках.

Общая характеристика работы.

Актуальность проблемы. В гидродинамике решеток задача об их взаимодействии является наиболее трудной. В современных турбомашинах взаимодействуют целые каскады взаимно движущихся решеток (статоров и роторов). Определение гидродинамических реакций на лопатках, возникающих при таком взаимодействии, является составной частью проблемы аэроупругости лопаток, которая стала определяющей в турбостроении в связи с ужесточением требований по габаритам, весу и мощности турбомашин (турбин, компрессоров, вентиляторов, насосов).

Интенсивные научные исследования по аэроупругости турбомашин и нестационарной гидродинамике решеток начались в 50-х годах и приобрели к настоящему времени значительный размах, привлекая все большее внимание специалистов. Следует отметить, что успех исследований в аэроупругости лопаток в значительной мере определяется развитием гидродинамики решеток, вследствие большей сложности соответствующих гидродинамических задач по сравнению с задачами теории колебаний и прочности лопаточных венцов.

Цель данной работы состоит в разработке качественной теории гидродинамического взаимодействия решеток, создании эффективных алгоритмов и программ расчета возбуждающих сил, а также в изучении свойств этих сил в зависимости от основных параметров решеток и потока.

Новые научные результаты получены в диссертационной работе в процессе решения задач гидродинамического взаимодействия решеток профилей в потоке несжимаемой жидкости. К этим результатам относятся:

1. Решение задачи о гидродинамическом взаимодействии двух взаимно движущихся решеток профилей в потоке идеальной несжимаемой жидкости, учитывающее как потенциальное, так и вихревое возмущение потока, вызванное сходом закромочных вихревых следов;

2. Аналитическое решение задачи о гидродинамическом взаимодействии решетки кругов и решетки пластин;

3. Доказательство эквивалентности задачи обтекания взаимно враща-

ющихся круговых решеток, задаче обтекания взаимно движущихся прямых решеток;

4. Построение модели гидродинамического взаимодействия решеток при больших осевых зазорах, учитывающей эволюцию вихревых следов;

5. Нахождение общего вида'неравномерности, набегающей на слабона-груженную решетку, допускаемой уравнениями движения жидкости;

6. Построение общего решения линейной задачи обтекания двух решеток вибрирующих профилей для случая отрицательного осевого зазора между ними;

7. Создание комплекса программ расчета возбуждающих сил на профилях решеток. Установление рамок применимости каждой из рассматриваемых моделей гидродинамического взаимодействия решеток;

8 Исследование свойств возбуждающих сил и выявление особенностей их поведения в зависимости от основных параметров решеток и потока.

Достоверность результатов обеспечена тем, что предположения, в рамках которых решаются задачи, согласуются с известными теоретическими и экспериментальными результатами. Выводы о применимости рассмотренных моделей основаны на сравнении результатов расчета с данными экспериментов. Особенности в поведении возбуждающих сил, выявленные при расчете, либо подтверждены экспериментально, либо имеют четкое физическое объяснение.

Практическое использование полученных в диссертации результатов обусловлено тем, что построенные на ней алгоритмы доведены до программ, позволяющих проводить систематические расчеты и исследовать свойства нестационарных гидродинамических реакций. По теме диссертации автором выполнено двенадцать хоздоговорных работ, программы расчета возбуждающих сил внедрены и используются в практике аэроупругих расчетов в ПО ЛМЗ и в ЦИАМ им. П.И. Баранова (имеются акты о внедрении).

Таким образом, в реферируемой диссертации разработана эффективная теория гидродинамического взаимодействия решеток турбомашин, которая по мнению автора представляет собой новое перспективное направление в гидродинамике решеток в нестационарном потоке.

Апробация. Основные результаты, включенные в диссертацию, докладывались на V, VII, VIII-XIV Всесоюзных совещаниях по проблеме аэроупругости лопаток турбомашин, на II, VII, VIII Международных симпозиумах по нестационарной аэродинамике и аэроупругости, на II и III конгрессах по проблемам шума и вибраций, на Всесоюзном семинаре " Аэроупругость и нестационарные процессы в турбомашинах", на семинарах отделения 100 ЦЙАМ, кафедры двигателей ВВИА им. Н.Е. Жуковского, отдела прикладной гидродинамики ИГ СО РАН им. М.А. Лаврентьева. По теме диссертации выпущено 12 научно-технических отчетов и опубликовано 28 печатных работ, из которых основные указаны в списке литературы [1-19].

Объем и структура работы. Диссертация включает 259 страниц машинописного текста, в том числе 80 рисунков и библиографию из 114 наименований. Содержание работы оформлено в виде предисловия, 5 глав и заключения, где последовательно изложены: обзор теоретических работ по гидродинамическому взаимодействию решеток (§1); построение модели обтекания решеток в рамках которой будут решаться задачи (§ 2); решение задачи о гидродинамическом взаимодействии двух взаимно движущихся решеток профилей, учитывающей как потенциальное, так и вихревое возмущения потока (Глава II, §§ 3-9); решение задачи обтекания решетки неравномерным потоком, вызванным закромочными вихревыми следами с учетом их эволюции (Глава III, §§ 10-14); решение линейной задачи обтекания двух вибрирующих решеток (Глава IV, §§ 15-18); исследование свойств и особенностей возбуждающих сил на профилях в зависимости от основных параметров решеток и потока (Глава V, §§ 19-26); основные выводы работы (Заключение).

Содержание диссертации.

Предисловие включает краткую характеристику исследуемой проблемы и описание структуры работы.

Глава 1 состоит из двух параграфов. В § 1 содержится обзор развития результатов и методов решения задачи о гидродинамическом взаимодействии решеток турбомашин. Указаны основные сложности, которые приходится преодолевать при создании алгоритмов расчета. К таковым относятся: 1) большая нестационарность течения, особенно при малых осевых зазорах между решетками, в силу чего нестационарные возмущения, вообще говоря, нельзя считать малыми, и обычная линеаризация по

времени является слишком грубым приближением; 2) сложная геометрия области течения из-за большой кривизны лопаток в окрестности входных и выходных кромок, многосвязности области (в реальных турбомашинах число лопаток только в одном венце может быть до 100 и более), малого осевого зазора между решетками и взаимного движения решеток. В силу

решетка I решетка П

Рис. 1

указанных сложностей на сегодняшний день, даже с использованием самых

мощных ЭВМ, не удается создать эффективного алгоритма расчета возбуждающих сил, пригодного для серийных расчетов на основе численного моделирования полных уравнений движения жидкости (Эйлера или Навье-Стокса). Отмечается, что проблема еще и в малой изученности физических особенностей рассматриваемого течения, что затрудняет махематическую формулировку задачи и анализ результатов расчета.

В § 2 дается построение модели гидродинамического взаимодействия решеток, в рамках которой будут решаться полуаналитическими методами задачи в последующих главах 2, 3, 4. В качестве упрощенной модели рассматриваются две решетки профилей, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью в равномерном набегающем потоке идеальной несжимаемой жидкости. В рамках этой модели гидродинамическое взаимодействие решеток обусловлено, во-первых, потенциальным возмущением, распространяющимся как вниз, так и вверх по потоку, и вызванным торможением и разгоном потока в окрестности профилей и, во-вторых, вихревыми возмущениями, вызванными сходом с профилей вихревых следов, распространяющихся только вниз по потоку.

В соответствии с вышесказанным, скорость жидкости представляется в виде суммы двух слагаемых

? = /+*/, (1)

где J определяет поле скорости от вихревых следов за решеткой 1, а V — потенциальное возмущение потока решетками 1 и 2 (рис. 1). В общем случае, как вихревая ф 0), так и потенциальная ь(гоШ — 0) со-

ставляющие скорости являются неизвестными функциями и связаны друг с другом уравнениями движения жидкости и условиями непротекания на профилях решеток. Дальнейшее упрощение модели связывается с рассмотрением только тех случаев, в которых функция 3 является либо известной (заданной исходя из дополнительных упрощающих предположений о характере течения), либо ее удается приближенно определить независимо от функции V.

В главе 2 (§§ 3-9) задача о гидродинамическом взаимодействии двух взаимно движущихся решеток рассматривается в рамках линейного приближения без учета изменения формы вихревых следов за решеткой при их взаимодействии с профилями решетки 2. Т.е. в представлении (1) функция J является заданной и определяет поле скорости за первой решеткой, порожденное вихревыми следами, вызванными сходом пограничных слоев с ее профилей при условии отсутствия решетки 2. Кроме того, в этой главе пре-

небрегается нестационарными вихревыми следами, сходящими с профилей решеток вследствие изменения циркуляции на них. Ясно, что рамки применимости рассматриваемой модели ограничиваются теми случаями, для которых возмущение скорости жидкости, вызванное вихревыми следами и изменением взаимного расположения решеток мало по сравнению со скоростью основного потока. Это соответствует двухрядным решеткам, составленным из относительно тонких и слабо изогнутых профилей, обтекаемых под малыми углами атаки. С точки зрения приложений этой модели к расчету реальных решеток, этим условиям удовлетворяют практически все используемые компрессорные ступени осевых турбомащин. Что касается

Рис. 2

применения этой модели к расчету турбинных ступеней, составленных из толг гых и сильно изогнутых профилей, то результаты сравнения расчетных и экспериментальных данных, проведенного в главе 5, позволяют надеяться, что интегральные гидродинамические характеристики профилей решеток (сила и момент) определяются, в основном, суммарным воздействием следов на профили решеток и слабо зависят от изменения формы

этих следов при встрече их с профилями нижестоящей по потоку решетки, которое не учитывается в данной модели. Структура потока за одиночной решеткой, вызванная сходом с ее профилей закромочных следов, изучена достаточно полно (многочисленные экспериментальные данные и их анализ приведены в монографиях Г.Ю. Степанова и Г.С. Самойловича) и может быть описана в виде универсальной зависимости скорости жидкости от геометрических параметров решетки и от ее коэффициента профильных потерь (пр.

\z) 2 ] I _ C.p-fti-соза 2 , n

( 1 h(it) C0S h(?t) >г t к

h(£k) = 1.52^-^1 cos a ■ y/ft, к = 0, ±1, ±2,..., (2)

V2 — V2 ■ e~'a — комплексная скорость жидкости на бесконечности за решеткой, D\k,D<ik — область течения за решеткой в следе и вне следа (рис. 2а).

Могут быть использованы и другие способы задания вихревых следов, например в виде пар бесконечно тонких вихревых слоев (рис.26). Для тел, близких к цилиндрам, расстояние между слоями и величину интенсивности слоев можно определить из теории Кармана для вихревого следа за одиночным цилиндром.

В рамках указанных предположений искомая комплексная скорость жидкости v{z,t) является аналитической функцией по z для любого момента времени t и удовлетворяет следующим граничным условиям:

1. Непротекания жидкости на профилях решеток

lmi[v{z,t)eia^} = l ° , . . rf, , Lrlk (3)

" v > 1 I -ucosa2(cr) - Imi[J{z)e%a^">\ ,z € L2k K '

{(i — 1,2 — номер решетки, к = ±1,±2,... — номер профиля в ре-щетке);

2. Постоянства скорости жидкости на бесконечности перед решетками

lim v{z,t) = V_00 (4)

X—►— оо 4 ' '

3. Периодичности потока в направлении оси у

v(z,t) = v(z+ iL,t), (5)

Ь — N\ ■ — Щ ■ /12, Л'2 — числа профилей в решетках.

4. Равенства нулю скорости в гладких выходных кромках, либо условию Жуковского-Чаплыгина о конечности скорости в острых выходных кромках профилей.

Для нахождения функции б автору удалось обобщить метод приближенного решения задачи, разработанный В.Э. Сареном для случая чисто потенциального (7 = 0) взаимодействия решеток на случай потенциально-вихревого взаимодействия (,/ ф 0). Относительная скорость жидкости на профилях решеток представляется в виде ряда

0 = Ё £ (6) п=0 г=0

Для определения коэффициентов этого ряда получена система рекуррентных соотношений, которая позволяет выразить каждый член 11^пт(а) разложения (6) через предыдущие, то есть

Крг[импг{а)] = П^и иЫ1Г1,и2щГ1, щ < п) (7)

где оператор имеет вид

1 ¿"Л") г

4 - Щв) £

К^Ща)} = |17(сг) + ^ / Ща) £ е>™*> х (8)

¿.в.

Если интегральный оператор (8) удается обратить аналитически, то рекуррентные формулы (7) позволяют вычислить все коэффициенты разложения (6). Так, в § 7 построено асимптотическое решение задачи гидродинамического взаимодействия редкой решетки кругов и густой решетки пластин. В общем случае двух взаимно движущихся решеток профилей произвольной формы интегральное уравнение решается численными методами, описанными в § 8. При этом для случая решетки, составленной из бесконечно тонких профилей-дужек численно решается мнимая часть уравнения (7) методом дискретных вихрей, а в случае решетки телесных профилей — действительная часть уравнения (7) методом вписанного многоугольника, разработанного в лаборатории гидроаэроупругости ИГиЛ В.П. Рябченко

и В.Э. Сареном. Суммарные гидродинамические характеристики, в силу квазистационарной постановки задачи, вычисляются с использованием интеграла Бернулли по найденным коэффициентам II

В § 9 подробно описан алгоритм и программа расчета суммарных гидродинамических характеристик профилей решеток. Расчет реализован на компьютере серии 1ВМ-386 на языке фортран. Время счета одного варианта при типичных параметрах решеток и точности расчета ~ 10~3 составляет от одной до десяти минут. Последнее обстоятельство делает алгоритм пригодным для проведения серийных расчетов по исследованию аэродинамических характеристик в зависимости от параметров двухрядной решетки, а также для расчетов многоступенчатых осевых турбома-шин.

Один из параграфов главы (§ 6) посвящен гидродинамическому взаимодействию взаимно вращающихся круговых решеток (плоской модели гидродинамического взаимодействия лопаточных венцов радиальных тур-бомашин). С помощью конформного преобразования области течения на внешность прямых плоских решеток показана математическая эквивалентность задачи обтекания круговых решеток задаче обтекания прямых плоских решеток с некоторыми неоднородными условиями на ее профилях. Эта неоднородность связала с неинерциальностью вращающейся системы координат в плоскости круговых решеток. Выведены формулы для нахождения давления и сил на профилях круговых решеток. Благодаря результатам этого параграфа расчет гидродинамических характеристик взаимно вращающихся круговых решеток сводится к использованию уже созданной программы расчета (§ 9) характеристик взаимно движущихся прямых решеток.

В главе 3 (§§ 10-14) рассматривается задача обтекания-решетки профилей неравномерным потоком. К такой задаче сводится гидродинамическое взаимодействие двух взаимно движущихся решеток профилей при достаточно большом осевом зазоре между ними. В этом случае обратным влиянием второй решетки на первую можно пренебречь, а прямое влияние первой решетки на вторую свести к влиянию неравномерности, возникающей за ее профилями (рис. 3). Кроме того, источником неравномерности могут быть решетки стоек, пилонов или других конструктивных деталей, загромождающих проточную часть турбомашины.

Всюду в этой главе неравномерность набегающего потока считается малой по сравнению с основным равномерным потоком на бесконечности перед решеткой. За профилями решетки учитываются нестационарные

вихревые следы, сходящие вследствие изменения циркуляции скорости на них. Эти следы моделируются линиями разрыва касательной составляющей скорости, а выходные кромки профилей, с которых они сходят, считаются острыми (точками возврата). Как показано в § 11, эти линии в рассматриваемой здесь линейной постановке задачи должны располагаться вдоль линий тока стационарного обтекания решетки равномерным потоком на бесконечности. Возмущение, вносимое решеткой в основной поток считается состоящим, в общем случае, как из потенциальной €Г(г, так и из вихревой ./(г, ¿) составляющих.

Рис. 3..

В соответствии с указанными выше предположениями скорость жидкости представляется в виде трех слагаемых

= ^ + + (9)

(также как ив (1), только выделена скорость Уц^г) потенциального обтекания равномерным на бесконечности потоком У_оо, которая считается известной).

В отличие от задачи, рассмотренной в главе 2, здесь функция J, определяющая вихревое возмущение потока уже является неизвестной и задается только на бесконечности перед решеткой в виде периодической вдоль фронта решетки функции с периодом Н:

_ ОО . , V

J{z, t) = J{x,y + ut) = Е Jp(x)e^+Ut), ut = 2тг/Н, j ф i (10)

р= i

Комплексная скорость v(z,t), определяющая потенциальное возмущение потока, будет тогда аналитической по 2 функцией всюду вне профилей решетки и нестационарных вихревых следов за ними и удовлетворять условиям:

1. Непротекания жидкости на профилях решетки

Irm{[v{zk{a), t) + J(xk(a),yk{a) + ui)]eia^} = 0

Zk(a) = Xk(cr) + iyn{a) — точка к-то профиля (к = 0,±1,±2 ...)

2. Затухания возмущенной скорости на бесконечности перед решеткой

lim v(z,t) = 0.

X—*—ОО v '

3. Периодичности в направлении фронта решетки

v(z, t) = v(z + iL,t),L = N ■ h — N0 ■ Н

4. Жуковского-Чаплыгина о конечности скорости в острых выходных кромках профилей.

5. Равенства нулю скачка нормальной составляющей скорости (кинематическое условие) и скачка давления (динамическое условие) на следах.

В § 11 комплексная скорость жидкости и в соответствии с (10) представляется рядом Фурье по времени

ОО

= (п)

Р=1

для определения коэффициентов которого выводится интегральное уравнение

(а) - / Кр(а, я)«рт(я)/1я = -О

(12)

где урт(сг) — касательная составляющая скорости ур(г(а)). Уравнение (12) представляет собой уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром и имеет единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условиям 1)—5), при известной (уже найденной) функции 3.

Способам нахождения вихревой составляющей скорости 3 посвящены § 10 и § 13. В рамках ограничений, рассматриваемых в этой главе, функция 7, оказывается, может быть найдена независимо от V с использованием уравнения Гельмгольца сохранения завихренности $7 = ^ — ^ в частице и уравнения неразрывности, которые в линейном приближении с использованием условий потенциальности векторов ^ и V дают систему уравнений

Уравнения (13) означают, что в рассматриваемом приближении завихренность набегающего потока распространяется без изменения вдоль линий тока и со скоростью стационарного течения и позволяют, в принципе, найти ее во всей области течения 5 по известной информации о ней на бесконечности перед решеткой (т.е. заданной функции £)). Для восстановления функции ¿) по найденной завихренности П(г, используется далее формула Био-Савера

В § 10 для случая слабонагруженной решетки, профили которой достаточно тонкие, слабо изогнутые и обтекаются под малыми углами атаки, задача линеаризуется на постоянном решении (полагается Уо(г) ~ У_оо). В этом случае показывается, что вихревая составляющая неравномерности не претерпевает изменения при прохождении через решетку (так называемая постановка задачи "решетка в порыве") и выводится общий вид неравномерности набегающего из бесконечности потока, допускаемый уравнениями движения жидкости. Давление в жидкости для такой решетки полностью определяется потенциальной частью течения и для его определения

(13)

используется интеграл Коши-Лагранжа. § 12 посвящен созданию алгоритма и программы расчета суммарных возбуждающих сил на профилях сла-бонагруженной решетки. Здесь подробно излагается последовательность проведения расчетов и указываются основные характеристики программы расчета. Также как и в главе 2, программа расчета реализована на языке фортран и время счета на персональном компьютере 1ВМ-386 составляет не более 2-=-3 мин. Для проверки правильности работы программы результаты расчета сравниваются с расчетами Уайтхеда и с экспериментами, проведенными в ЦИАМ Рабиновичем и Сареном (см.[14]).

В § 13 рассматривается сильнонагруженная решетка, профили которой могут быть толстыми, сильно изогнутыми и обтекаться под большими углами атаки. В этом случае скорость Vо(2) уже не будет близка к Ноо и для функции 3 строится алгоритм ее приближенного определения.

Рис.4.

Х=Х„

Для коэффициентов разложения Зт в ряд Фурье искомой функции 7

получена в этом алгоритме приближенная формула

Пгоо ,, N-1

•М2) = ~¿rr // exPÜrLJi(to + т/и)) Е ехР(-jrmip) х ¿Li JJ т=0

7Г

Xcth—(z~£ — imh)dí;dT], (15)

Lí

где firoo — коэффициент ряда Фурье разложения

У + ut) = Пгос ехр(- jruii (t + у/и)),

í7o(£,7/) и tü(^v)— I рп^у СООТВеТСТВеННО ОрДИНаТа ТОЧКИ Пересечете-?

ния линии тока Vó, проходящей через точку (£, t]), с осью х = гу и время, в течение которого жидкая частица, двигаясь со скоростью Vq переместится из точки (xq,t]q) в точку (£,??), a So = S П {х > xq, х < Жоо} — область течения ("обрезанная" слева и справа линиями х = xq, х — £оо), учитываемая при расчете двумерного интеграла (14) (см. рис. 4). При расчете интеграла (15) учитывается, что в окрестности входной кромки профиля Vq(.s) ~ s и значение интеграла J может быть очень большим.

Поэтому завихренность Ü определяется вне некоторой полоски De шириной с, примыкающей к профилю (см. рис. 4). Показано, что при расчете интеграла (15) всегда можно выбрать е, обеспечивающую заданную точность (погрешность расчета имеет величину ~ е-1пе). В § 14 описывается алгоритм для численного расчета неравномерности J в случае сильнона-груженной решетки и проводится исследование сходимости этого алгоритма по параметрам аго^оо и числу ячеек расчетной области S(¡. Показано, что "установление" (три совпадающих знака после запятой) наступает уже при числе ячеек ~10000. Отмечается, что в большинстве работ для расчета двумерных течений в решетчатой области число ячеек на один-два порядка больше. Такая экономия является следствием учета в алгоритме линейности задачи — существенно используется тот факт, что значение завихренности сохраняется вдоль струйки тока стационарного течения. Так как эти струйки тока можно вычислить заранее, то по существу решается одномерная задача для каждой такой струйки.

Формулы для расчета давления и суммарных сил на профилях решетки получаются для сильно нагруженной решетки исходя из уравнений Эйлера движения идеальной несжимаемой жидкости, записанных в форме Ламба.

В заключении главы 3 проведены тестовые расчеты по двум рассмотренным здесь моделям обтекания. Показано, что эволюция вихревых сле-

дов существенно сказывается на поведении отдельных гармоник

Рис. 5.

возбуждающих сил. Что же касается скачка силы на периоде, характеризующего уровень нестационарного возбуждения решетки, то он определяется, в основном, интегральными характеристиками набегающей неравномерности (в случае неравномерности, порожденной закромочными следами — шириной и глубиной провала скорости в них) и слабо зависит от ее эволюции при прохождении через решетку.

Глава 4 (§§ 15-18) посвящена гидродинамическому взаимодействию вложенных друг в друга решеток (случай равных шагов и отрицательного осевого зазора). Такие решетки с успехом применяются, например, в шахтных вентиляторах, рабочие колеса которых изготовляют из сдвоенных лопаток (рис. 5).

Взаимное поступательное движение вложенных решеток теперь уже невозможно, и источником возникновения нестационарных сил и моментов являются теперь колебания ее профилей. Поток жидкости на бесконечности перед решетками по-прежнему считается постоянным, а за профилями учитываются нестационарные вихревые следы, моделируемые линиями контактного разрыва скорости. В данной постановке задачи стационарные закромочные следы не учитываются (.7 = 0). Для двойных решеток их учет и неактуален, т.к. геометрия решеток обычно такова, что закромочные следы от решетки 1, "проходят", не задевая профилей решетки 2. Амплитуда колебаний профилей решеток считается малой. В линейной постановке задачи (также, как и для задачи об обтекании одиночной решетки колеблющихся профилей) оказывается достаточно рассмотреть случай, когда все профили двойной решетки колеблются синхронно, с постоянным сдвигом фазы между соседними двойными профилями и с одинаковой для всех профилей каждой из решеток формой. Общий случай колебаний двойной решетки, когда каждый из ее профилей колеблется по своему закону, сводится к рассмотренному с помощью введения так называемых аэродинамических коэффициентов влияния (АКБ).

Комплексная координата точки на профиле ji-ой решетки (ц = 1,2) задается, в соответствии с вышесказанным, в виде

z£(s) = zft(s) + inh + А ■ /(s) exp (j(wf + кф))

где Zq(s) — комплексная координата точки s исходного (к = 0) контура Lp о ¿¿-ой решетки в его среднем положении, h — шаг двойной решетки, А,ш — соответственно, амплитуда и частота колебаний профилей, д1 = + 92 ~ (у1+*9у) 'ехР ÜV'n) — формы колебаний исходных профилей решеток 1 и 2, фц — сдвиг фаз между ними, ф = 2ттn/N, п = 0,..., N — 1 сдвиг фаз между колебаниями соседних двойных профилей (принимает одно из значений набора п — 0,..., N — 1).

Комплексная скорость жидкости представляется в виде

П: - Ü(t) + V(z)e>ut (16)

где Vq — комплексная скорость стационарного течения через двойную ре-

шетку, все профили которой находятся в среднем положении, a F — нестационарный добавок скорости, вызванный малыми колебаниями профилей. В силу потенциальности течения, комплексная скорость жидкости Vj; является аналитической функцией по г всюду вне колеблющихся профилей двойной решетки и вихревых следов за ними и должна удовлетворять условиям:

1. На бесконечности перед решеткой

lim Vo = V'-oo, Um V = О

X—» — oo x^—oo

2. Периодичности в направлении фронта решеток

V 0 + ikh) = V0(z), V(z + ikh) =

3. Непротекания жидкости на профилях

Vbr*(C,t) =

где v£(s,t) = Vo(s) + v/J(s)eJ^ut+i^ — касательная составляющая относительной скорости жидкости, а

VWC, 0 = Vh(C, 0 - jcjAris)^^

комплексная относительная скорость жидкости на fc-ом профиле ц-ой решетки,

a»k(s,t)=ali(s) + 9li(s)e^W-

угол между касательной к колеблющемуся контуру Lllik и осью ОХ, Qfi(s) — угол между касательной к неподвижному контуру L^g и осью ОХ (рис. 5).

4. Жуковского-Чаплыгина в острых выходных кромках профилей решеток.

5. Непрерывности давления (динамическое условие) и нормальной составляющей скорости жидкости (кинематическое условие) при переходе через вихревые следы.

В § 15 показывается, что в рассматриваемом здесь линейном приближении вихревые следы можно (с точностью до квадратов амплитуды колебаний) считать расположенными вдоль линий тока стационарного течения

Тц(л), сходящих с выходных кромок профилей. Для величины интенсивности этих следов получается при этом явное выражение

/ ехр • с**, Т{т) = ) (17)

Параграф 16 посвящен выводу системы интегральных уравнений для определения функций ьЦ(з) и ^(й):

Е § ь£(8)Ц»(о,в) = пЪ(а)

' и'(а)-£ § ь»{з)фР*(ф,<г,а) = А ■ П(тМ ^

/<=1 £„0

р= 1,2

Соотношения (18) представляют собой систему двух интегральных уравнений Фредгольма второго рода, однозначно разрешимую в классе функций, удовлетворяющих условиям 1)-5). •

В § 17 выводятся формулы для расчета сил и моментов на профилях решеток, исходя из интеграла Коши-Лагранжа. Полученные выражения содержат явно решения Уд и ^ системы (18) и удобны для составления алгоритма расчета. Кроме того, в этом параграфе получены формулы для расчета АКВ двойной решетки по коэффициентам нестационарных аэродинамических сил и момента, вычисленных для набора сдвигов фаз Iр = 2пп/М, п = 0,..., N — 1 при двух значениях сдвига фаз ^12 (например, при гр12 = 0 и ф\2 = 7г).

В § 20 строится алгоритм и программа расчета нестационарных возбуждающих сил на профилях решеток и АКВ. Программа расчета реализована на языке Фортран и время расчета одного варианта на 1ВМ-386, так же как и в предыдущих двух главах, составляет не более 2-^3 мин. Для проверки правильности расчета проведены сравнения с расчетами В.П. Рябченко по программе расчета колеблющейся одиночной решетки.

Программы расчета силовых и моментных характеристик двух гидродинамически взаимодействующих решеток, составленные по описанным в главах 2-4 алгоритмам, позволяют исследовать влияние на характеристики различных геометрических параметров решеток и режимов работы ступени турбомашины. При этом любая из решеток может рассматриваться

как решетка телесных профилей или как решетка профилей — дужек при любом соотношении чисел лопаток в соответствующих кольцевых решетках и любом осевом зазоре между решетками. Расчет гидродинамических реакций может проводиться как по модели чисто потенциального взаимодействия решеток, так и по модели, учитывающей вихревые следы за профилями решетки, расположенной выше по потоку. При этом учет вихревых следов может быть осуществлен как без учета их эволюции при прохождении через решетку, расположенную ниже по потоку, так и с учетом эволюции.

и

0.2

О

й5 7 1.Н

Рис.6.

В главе 5 (§§ 19-26) исследование возбуждающих сил в решетках начинается с вопроса об оценке потенциального и вихревого взаимодействия решеток и определения рамок применимости рассмотренных здесь моделей путем сравнения расчетов с экспериментальными данными. Исследованию этих вопросов посвящен § 19 настоящей главы, основной результат которого состоит в том, что основным параметром, определяеющим долю потенциального и вихревого взаимодействия решеток является осевой

зазор между ними. В качестве обобщенного параметра, характеризующего уровень возбуждающих сил, вызванных гидродинамическим взаимодействием соседних решеток, рассматривается величина относительного отклонения нестационарной реакции на профиле Cßf} от ее среднего значения С°р(р = Х,Г,М,р = 1,2)

max Cuv(t) — min Cuv(t) . telö.T) te[o,TJ и / г о г, / em\

= —--, Ii = 2-Kh2/u, T2 = 2-Khxju (19)

На рис. 6, для примера, представлена зависимость коэффициента Л21 от осевого зазора между решетками. Расчет проводился при параметрах N\ = 9, N-2 — 10 и исходных профилях, изображенных на рис. 6. Пунктиром на графике нанесены кривые, соответствующие расчету по модели потенциального взаимодействия, а сплошными линиями — по модели, учитывающей потенциальное и вихревое взаимодействие (по формуле (2)). Кружочками и крестиками на графиках обозначены данные эксперимента [20], полученные для различных значений скорости вращения вала п = 1800 об/мин и п = 1400 об/мин соответственно.

Сравнение с экспериментальными данными позволяет выделить три области значений осевого зазора Д:

0 < Д < Ах — область малых зазоров, в этой области преобладает потенциальное взаимодействие решеток. При расчете может быть использована модель чисто потенциального взаимодействия; Д1 < Д < Д2 — область средних осевых зазоров, в этой области и потенциальное и вихревое взаимодействие решеток существенны, при расчете предпочтительнее модель гидродинамического взаимодействия решеток, учитывающая оба указанных фактора. Д2 < Д — область больших осевых зазоров, гидродинамические реакции определяются в основном вихревыми следами, сходящими с профилей вышестоящей по потоку решетки. Влияние этих следов на суммарные гидродинамические характеристики профилей решетки (силу и момент) определяются, в основном, через интегральные характеристики этих следов (ширину следов и глубину провала скорости в них). При расчете можно пренебречь обратным влиянием второй решетки на первую и использовать модель обтекания одиночной решетки неравномерным потоком. Для исследования отдельных гармоник сил и момента необходимо при этом учитывать эволюцию неравномерности при прохождении ее через решетку.

Величины Д1 и Дг зависят от геометрических параметров рассматриваемых решеток и потока. Для типичных дозвуковых компрессорных ре-

шеток, по имеющимся результатам расчета Д1 « 0.15/11, Дг ~ 0.4/11. Соответствующие оценки для турбинных решеток дают значения Д1 и 0.15/^,

Рис.7.

Параграфы 20-22 посвящены подробному изучению свойств возбуждающих сил в каждой из указанных подобластей изменения осевого зазора.

В области малых осевых зазоров одной из особенностей механизма потенциального взаимодействия является то, что с уменьшением осевого зазора меняются средние за период вращения гидродинамические характеристики решеток. В качестве параметра, характеризующего это изменение,

введена величина

А°Р(А)=С°р(сГ(^р(00)' " = Р = Х,Г,М (20)

На рис. 7 в качестве примера представлены средние зависимости величины А°р от Д для компрессорной ступени. Как показывают расчеты, резкое изменение величины А°р начинается с зазоров ~ 10% от шага решетки 1 и достигает 5-10%. Примеры расчета показывают тем самым, что для определения средних за период значений гидродинамических характеристик модели обтекания одиночных решеток (дающих значения С°р(оо)) вовсе недостаточно, и требуется решать задачу нестационарного обтекания решеток с последующим осреднением характеристик по времени.

Другой особенностью механизма потенциального взаимодействия является рост относительного вклада высоких гармоник возбуждающих сил с уменьшением осевого зазора. Для малых значений осевого зазора взаимное влияние решеток может приводить к изменению номера максимальной гармоники, как это имеет место в расчетах. Это обстоятельство необходимо иметь ввиду при анализе переменных сил, вызывающих резонансные колебания лопаток, возбуждаемые соседним венцом.

Третьей особенностью потенциального взаимодействия решеток является существенное влияние как вниз, так и вверх по потоку, причем, последнее в сравниваемых случаях значительнее первого вследствие большей неравномерности потока в окрестности входных кромок профилей.

Одной из особенностей гидродинамического взаимодействия решеток в области средних осевых зазоров является отмеченная в некоторых экспериментах немонотонная зависимость уровня возбуждающих сил от зазора между решетками. Как отмечают сами авторы экспериментальных работ, это свойство может быть связано с характером взаимного расположения в пространстве потенциальной и вихревой неравномерностей течения. Для исследования этой особенности проводился расчет потенциального течения Р()(г) за одиночной решеткой, который показал, что область максимальной неравномерности потенциального потока ("потенциальный след") располагается вдоль линий АВ, нормальных к фронту решетки (рис. 8). В § 21 это свойство потенциального течения подтверждено также и аналитическим выводом. В свою очередь завихренность потока переносится частицами жидкости и закромочные вихревые следы за решеткой располагаются приближенно вдоль линий тока АЕ и СБ основного течения (рис. 8). Ясно, что в рассматриваемой модели наложения потенциального и вихрево-

го течений окрестности точки "О" пересечения линий СБ и АВ является окрестностью максимального возмущения потока. Если расстояние х*/к точки "О" от фронта решетки таково, что потенциальное и вихревое возмущения течения оказываются величинами одного порядка, то возможна повышенная гидродинамическая реакция на лопатках решетки 2, расположенной с зазором х*/к. Определяющими условиями здесь являются достаточно большой угол а выхода потока и значительная аэродинамическая нагруженность решетки 1. На рис. 8 в качестве численного эксперимента представлен расчет гидродинамического взаимодействия двух таких решеток (г; = Т2 = 1.12, и/У-да = 3.6, („р = 0.21). Как видно из графиков, при монотонном убывании с ростом осевого зазора уровня переменной силы, рассчитанной по модели чисто потенциального (пунктирная линия) и чисто вихревого (штриховая линия) взаимодействий, суммарный учет этих механизмов приводит к появлению локальных экстремумов в уровне переменных сил, действующих на решетку 2. В § 21 отмечено также, что все эксперименты, в которых отмечалось указанное свойство переменных сил, выполнены при параметрах решеток, соответствующих возникновению локальных максимумов по предложенной выше схеме.

В § 22 для области больших осевых зазоров исследуется вопрос о вли-

0

0.3 о. 6

Рис.8.

янии эволюции вихревых следов на гидродинамические характеристики решеток. На рис. 9 показан, для примера, расчет эволюции следов при прохождении через компрессорную решетку. Представленные результаты

Рис.9.

подтверждают сделанный в § 19 на основе сравнения с экспериментами вывод о том, что влияние следов на суммарные гидродинамические характеристики сказываются, в основном, через их интегральные характеристики. Эволюция следов приводит к существенному перераспределению

отдельных гармоник нестационарных сил, относительно мало сказываясь на изменении уровня возбуждающих сил (величины \2р,Р = X, У,М).

Вопрос о самой эволюции следов при прохождении их через решетку изучен еще слабо как теоретически, так и экспериментально. Проведенные автором расчеты позволяют надеяться, что вихревые следы, претерпевая существенные локальные изменения при пересечении их последующей решеткой тем не менее сохраняют основные свои интегральные характеристики (ширину и глубину провала скорости в них). Другой вывод, который сделан на основе сравнения с численными решениями полных уравнений Навье-Стокса [21], состоит в том, что несмотря на очевидную грубость, описанная в главе 3 модель учета эволюции следов пригодна для описания качественной картины течения.

Рис.10.

В § 23 исследуется влияние телесности профилей на уровень гидродинамического взаимодействия решеток. Показана существенная зависимость нестационарных сил от толщины профилей, места расположения максимальной толщины на профиле и от формы выходных кромок профилей.

При этом средние за период вращения нагрузки на профилях определяются. в основном, заданием средних линий профилей решеток и слабо зависят от формы профилей, "натянутых" на эти средние линии.

В § 24 показано, что отношение чисел профилей в решетках Л^/Л^ оказывает существенное влияние на уровень возбуждающих сил в решетках в широком диапазоне осевых зазоров между ними (рис. 10). Особенно большие градиенты нестационарных сил наблюдаются при этом в окрестности значений N[/N2 = 1,1/2,2. Выяснено, что причиной этому является различие в поведении отдельных гармоник нестационарной силы от сдвига фазы между возмущениями на соседних профилях в каждой решетке (синфазные гармоники сил просто складываются, поэтому при Л^/Л^ = 1, когда все гармоники синфазны, наблюдаются максимальные градиенты в уровне возбуждающих сил). Замена отношения Л^/Л^ приближенным (например, 19/20~1/1), как иногда принято в расчетах, вообще говоря, недопустима, так как может привести к большим погрешностям в определении уровня возбуждающих сил.

Отношение чисел профилей Л^/Лг является, наряду с осевым зазором, существенным управляющим параметром для изменения (понижения) уровня возбуждающих нестационарных сил в решетках. Актуальность такого изменения связана, в частности, с проблемой виброакустической активности турбомашин. Обычно снижение уровня возбуждающих сил приводит к уменьшению уровня шума при работе турбомашины.

В § 25 изучаются свойства возбуждающих сил на профилях двойной решетки колеблющихся профилей, расположенных с отрицательным осевым зазором. Из-за отсутствия экономичных и надежно работающих программ расчета вопросы взаимного расположения основной и вспомогательной лопаток и их относительных размеров с целью оптимизации гидродинамических характеристик к настоящему времени в должной мере не изучены. В качестве примера применения программы расчета, разработанной в главе 4, проведен такой комплекс расчетов для модельной двойной решетки. Показано, в частности, существенное влияние на уровень возбуждающих сил сдвига фазы между колебаниями основного и вспомогательного профилей двойной решетки.

Заключает главу § 26, в котором приведены примеры практического использования программ расчета. Первый пример касается вопроса об изменении аэродинамических характеристик лопатки в зависимости от ее сечения по размаху. В рамках рассматриваемых плоских моделей такое изменение учитывается путем последовательного расчета плоских решеток,

получающихся при развертке цилиндрических сечении ступени на различных радиусах.

6НА РК НА РК НА РК НА РК НА РК НА РК НА РК НА РК НА СА

<204 О

-ам

0.3 а<5

о

Второй пример касается учета уровня возбуждающих сил, возникающих при работе многоступенчатого компрессора. Представлены расчеты (рис. 11) средней нагрузки и относительного уровня возбуждающих сил вось.шступенчатого компрессора КНД ГТ-100. Возбуждающая сила для данной решетки определялась при этом как сумма возбуждающих сил, вызванных поочередно гидродинамическим взаимодействием с двумя соседними решетками, расположенными соответственно выше и ниже по потоку

\ \ \

\ \ \ N N \ ^—

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю 11 42 13 Н 15 16 1? 18

Puc.ll.

(работа выполнялась по заказу ПО JIM3 с целью оптимизации параметров решетки).

Третий пример связан с поведением переменных нагрузок, действующих на ротор со стороны двух статоров, расположенных, соответственно, выше и ниже по потоку. Расчет (по предлагаемым здесь программам) и эксперимент проводились в ЦИАМ под руководством В.Э. Сарена и Н.М. Савина. Выявлено, что влияние взаимного расположения статоров на уровень возбуждающих сил ротора может быть существенным, особенно при малых значениях отношения их чисел лопаток.

В заключении диссертации кратко сформулированы полученные в ней основные результаты:

1. Получено решение задачи о гидродинамическом взаимодействии двух взаимно движущихся решеток профилей в потоке идеальной несжимаемой жидкости, учитывающее как потенциальное, так и вихревое возмущение потока, вызванное сходом закромочных вихревых следов. Показана эквивалентность задачи обтекания взаимно вращающихся круговых решеток профилей задаче обтекания взаимно движущихся прямых решеток с некоторыми неоднородными условиями на ее профилях. Для случая редкой решетки кругов и густой решетки пластин задача решена аналитически.

2. В случае большого осевого зазора между решетками задача об их гидродинамическом взаимодействии сведена к обтеканию одиночной решетки заданным на бесконечности перед ней неравномерным потоком.

Для слабонагруженной решетки найден общий вид неравномерности, допускаемый уравнениями движения жидкости. В случае сильнона-груженной решетки получено решение задачи, учитывающее эволюцию неравномерности, при прохождении ее через решетку.

3. Для случая отрицательного осевого зазора между решетами построено общее решение линейной задачи обтекания двух решеток вибрирующих профилей произвольной формы.

4. Проведен момплекс исследований свойств возбуждающих сил в зависимости от основных параметров решеток и потока. Выявлен ряд особенностей гидродинамических реакций на профилях решеток, к которым, в частности, относятся:

a) Определяющее влияние потенциального взаимодействия решеток в области малых осевых зазоров. Существенная зависимость осредненных по периоду сил и моментов, а также рост влияния высоких гармоник сил при уменьшении осевого зазора.

b) Необходимость учета как потенциального , так и вихревого взаимодействия решеток в области средних осевых зазоров. Совместный учет обоих факторов может приводить к немонотонной зависимости уровня возбуждающих сил от зазора.

c) Преимущественное влияние вихревого взаимодействия в области больших осевых зазоров. При этом влияние эволюции вихревых следов мало сказывается на величине размаха нестационарной силы на периоде.

с1) Наличие больших градиентов уровня возбуждающих сил в окрестности отношений чисел лопаток Л^/Л^ = 1,1/2,2 (например, замена отношения N¡/N2 = 19/20 приближенным N¡/N2 = 20/20 может приводить к большим погрешностям в расчете).

е) Существенное влияние сдвига фазы между колебаниями основного и вспомогательного профилей двойной решетки на уровень возбуждающих сил на профилях решеток.

5. Разработанные программы расчета находят применение в практике отечественного авиадвигателестроения (ЦИАМ им. П.И. Баранова) и турбостроения (ПОЛМЗ, г. С.-Петербург) при исследовании различных процессов аэроупругости лопаток турбомашин, в частности:

a) Выбор геометрических параметров многоступенчатого компрессора с целью снижения уровня возбуждающих сил, вызванных взаимодействием его роторов и статоров.

b) Влияние относительного расположения двух статоров на уровень возбуждающих сил находящегося между ними ротора.

Список литературы

1. Сарен В.Э., Юдин В.А. "Исследование гидродинамического взаимодействия решеток профилей в квазистационарной постановке задачи" Пятое Всесоюзное совещание по проблеме аэроупругости турбомашин. Тезисы докладов, Рига, 1975.

2. Сарен В.Э., Юдин В.А. "Возбуждающие силы при гидродинамиче-ком взаимодействии решеток тонких профилей в потенциальном потоке". Проблемы прочности. 1977, N9, 104 - 110.

3. Сарен В.Э., Юдин В.А. "Гидродинамические силы при взаимодействии решеток профилей в потенциальном потоке". Технический отчет ЦИАМ, N8696, 1978, 1 - 73.

4. Saren V.E., Yudin V.A. Calculation of hydrodynamic interaction of the arbitrary profile cascades in the flow of ideal liqid. Symposium IUTAM, Aeroelastisity in Turbomachines, Lausanne, 1980.

5. Юдин В.А. "Влияние формы профилей на уровень гидродинамического взаимодействия решеток в потенциальном потоке". Труды ЦИАМ, N953, 1981, 40 - 52.

6. Юдин В.А. "Решетка пластин в системе вихревых следов" Сб. "Динамика сплошной среды", 1975, вып. XXI, 178 - 187.

7. Юдин В.А. "Расчет гидродинамического взаимодействия решеток профилей с учетом закромочных следов". Тр. ЦИАМ, N953, 1981, 52 - 67.

8. Юдин В.А. "Нестационарные аэродинамические реакции на профилях двух взаимо-движущихся решеток". В кн. Аэроупругость турбома-шин. Тр. ЦИАМ, N1064, 1983, 62 - 71.

9. Сарен В.Э., Юдин В.А. "Влияние осевого зазора на возбуждающие силы в решетках профилей". В сб. Аэроупругость турбомашин, Новосибирск, 1984, 33 - 42.

10. Юдин В.А. "Расчет потенциального взаимодействия решеток профилей в идеальной несжимаемой жидкости". В кн. Аэроупругость лопаток турбомашин. Аннотация программ и примеры расчета. Тр. ЦИАМ, N1127, 1985, 241 - 245.

11. Юдин В.А. "Расчет взаимодействия решеток с учетом закромочных следов в идеальной несжимаемой жидости". В кн. Аэроупругость турбомашин. Аннотации программ и примеры расчета. Тр. ЦИАМ, N1127, 1985, 245 - 248.

12. Юдин В.А. "Гидродинамическое взаимодействие круговых решеток" . Сб. Динамика сплошной среды. Новосибирск, Институт гидродинамики СО РАН, вып. 88, 1988, 148 - 155.

13. Юдин В.А. "Решетка профилей в неравномерном потоке". Теоретическая и прикладная гидродинамика, ч.1, Киевский университет, Киев, 1988, 21 - 28.

14. Рябченко В.П., Юдин В.А. "Определение гидродинамических реакций решетки профилей, движущихся в неравномерном потоке". В кн.

Аэроупругость лопаток турбомашин. Тр. ЦИАМ, N1266, 1989, 68 - 88.

15. Юдин В.А. "Изменение неравномерности потока при прохождении через решетку профилей". В кн. Аэроупругость лопаток турбомашин. Тр. ЦИАМ, N1293, 1981, 24 - 35.

16. Kur/in V.B., Yudin V.A. Flow through cascades of thick blades by periodically vortex incompressible liquid flow. International conference EAHE, PRAGUE, 1989. pp. 399 - 405.

17. Юдин В.А. "Решетка профилей в нестационарном завихренном потоке". ПМТФ, т.35, N4, 1994, 85 - 91.

18. Yudin Y.A., Chernysheva O.V. Calculaion of hydrodynamic interaction between the profiles of double cascade oscillating in a fluid flow. 2 Intern. Conference EAHE, 1994.

19. Yudin V.A., Chernysheva O.V. Calculation of Unsteady Forces Acting on the profiles of double cascade oscillating in fluid flow. Book of Abstract, 8th ISUAAT, Stoockholm, 1997, pp. 25 - 26.

20. Adachi Т., Fukusado K., Takahashi N., Nakamoto Y. Study on the interference between moving and stationary blade rows in axial flow blower. Bull, of the JSME, 1974, v. 17, N109, 904 - 911.

21. Karen L., Gundy - Burlet and Rai M.M. Two - Dimensional computations of multi - stage compressor flows using a zonal approach. - N. Y., 1989. - (PAPER/AIAA; N89 - 2452).