Аэродинамическое проектирование и оптимизация форм тонких лопастей решеток регулируемых осевых вентиляторов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

§1. Постановка обратной задачи для плоской прямой решетки тонких профилей.

§2. Метод решения обратной задачи.

§3. Примеры тестового расчета и особенности решения.

§4. Обратная задача для пространственной решетки и приближенный метод ее решения.

§5. Тестовые расчеты и сравнение с экспериментом.

Глава II. Оптимизация форм лопастей решетки регулируемого вентилятора.

§1. Метод решения оптимизационной задачи.

§2. Отрывное обтекание решетки тонких профилей.

§3. К определению потерь полного давления, обусловленных отрывом потока с передних кромок лопастей.

§4. Постановка задачи об аэродинамическом проектировании решетки регулируемого вентилятора при минимизации потерь давления.

§5. Пример решения оптимизационной задачи.

Вентиляция бытовых и промышленных помещений является неотъемлемой и важной частью их эксплуатации. По данным литературы, в СССР на вентиляцию расходовалось около 18% вырабатываемой в стране электроэнергии, в том числе, на проветривание шахт, рудников и подземных сооружений до 4%. Особенность «шахтной» вентиляции состоит в том, что потребная мощность вентиляционных установок на различных шахтах может отличаться на два порядка, а на одной и той же шахте, в процессе се разработки — в несколько раз. Указанные обстоятельства затрудняют стандартизацию их производства по типу бытовых и приводят к необходимости индивидуального их проектирования и изготовления.

Центром исследований, проектирования и монопольным изготовителем крупных вентиляторов для горной промышленности в СССР была Украина. Однако, в отсутствие конкуренции, необходимые исследования, направленные на совершенствование выпускаемой техники производились недостаточно, а разработкой перспективных направлений её развития соответствующие организации практически не занимались. Исследования в данном направлении и проектирование машин в основном выполнялись на базе эмпирических соотношений, периодически уточняемых натурными аэродинамическими экспериментами, проводимыми без средств автоматизации обработки данных. При этом, методы математического моделирования обтекания лопаток и целые направления в развитии данной техники не разрабатывались. В результате, эксплуатационный КПД отечественных вентиляторов находится в пределах 0.12-^0.38, т.е. народное хозяйство несет огромные потери из-за перерасхода электроэнергии [1, 2j.

Дополнительный перерасход электроэнергии до 42% возникает в результате отсутствия достаточной глубины регулирования режимов работы вентиляторов, связанных с сезонными и суточными изменениями в потребности воздуха. Кроме того, современные вентиляторы не обеспечивают эффективного реверсирования и форсирования вентиляционного режима в случае аварийной ситуации [2].

В этой связи, развитие эффективных методов аэродинамического проектирования высокоэкономичных решеток регулируемых вентиляторов приобретает первостепенное значение.

Для определения геометрических параметров решетки, которая бы удовлетворяла предъявляемым к вентилятору требованиям может быть сформулирована обратная задача ее обтекания. Решение же обратной задачи обтекания решетки, как правило, основано на решении прямой задачи, заключающейся в отыскании кинематических параметров потока жидкости через известную решетку. К настоящему времени теоретические методы решения прямой задачи гидродинамики решеток получили достаточно широкое развитие, которые подробно изложены, например, в книгах Н.Е.Кочина [3, 4|, Г.В.Викторова [5|, Г.Ю.Степанова [6], Г.С.Самойловича [7] и других. К настоящему времени, соответствующие теоретические модели прямой задачи аэродинамики решетки, как в отношении геометрии решеток, так и в отношении параметров набегающего потока, все более приближаются к реальным условиям. В то время как методы решения обратных задач, в силу их сложности, получили развитие лишь для простых моделей, а именно, для плоских решеток в потоке идеальной, несжимаемой жидкости [5, б, 8-11].

Для решения практических вопросов аэродинамического проектирования обычно применяется метод интерполяции полуэмпирических аэродинамических характеристик решеток. Так, например, для проектирования осевых вентиляторов такие характеристики представлены в монографиях И.В.Брусиловского [12-14], в которых проведено обобщение систематических экспериментальных исследований аэродинамики решеток.

Большое отличие моделей, для которых развиты методы решения обратных задач, от реальных условий и ограниченность экспериментальной информации об аэродинамических характеристиках решеток при различных сочетаниях множества исходных параметров не позволяют в достаточной степени решить проблему оптимизации при проектировании вентиляторов. Поэтому поиск новых подходов для аэродинамического проектирования решеток представляет собой актуальную задачу. Прежде всего, это касается развития и создания новых методов решения обратных задач обтекания решеток.

Проведем анализ существующих методов решения обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА).

Среди представленных в литературе подходов к решению ОКЗА наибольшее развитие и практическое применение получили методы основанные на использовании теории конформных отображений. Общим для данного подхода является определение формы крылового профиля решетки по заданному на его поверхности распределению скорости (или давления), обеспечивающему получение требуемых аэродинамических характеристик, и заданному значению скорости набегающего потока в бесконечности перед решеткой.

Для решения ОКЗА в указанном подходе был предложен ряд методов, отличающихся между собой параметризацией исходного распределения скорости вдоль контура профиля. Из таких методов, прежде всего, необходимо выделить метод построения профиля решетки по заданному на его поверхности годографу скорости v(9), где v ~ величина скорости, а в - ее аргумент. Суть данного метода заключается в определении комплексного потенциала в области годографа или просто потенциала скорости на контуре годографа при заданных скоростях перед и за решеткой Vie1®1, V^e^2. После этого, форма искомого профиля восстанавливается путем интегрирования полученного потенциала по контуру годографа. Так в монографии Г.Ю.Степанова [6] рассматривается пример построения методом годографа решетки пластин и решетки профилей, соответствующей годографу скорости в виде круга с особенностями в виде вихреисточника и вихрестока, расположенных на концах векторов ti, v2.

В практически важных случаях определить потенциал скорости непосредственно в области годографа не удается. Для этого применяют конформное отображение данной области на какую-либо односвязную каноническую область (единичный круг, полуплоскость или полосу). После чего комплексный потенциал легко вычисляется в новой области по известным особенностям.

В работе Симонова [15] плоскость годографа содержит вихревой источник и вихревой сток и имеет две точки на бесконечности, которые соответствуют двум критическим точкам на поверхности профиля. Для определения потенциала, производится отображение течения внутри круга на дополнительную плоскость. Преобразование между плоскостью круга и плоскостью годографа устанавливается численным путем. Такой способ позволяет аналитически проинтегрировать преобразование и определить профили в решетке, имеющие скругленные передние и клиновидные задние кромки.

Лайтхилл в работе [16] применил преобразование z = e2?rz/s дЛЯ отображения плоскости решетки в плоскость одного профиля. Он использовал плоскость годографа в которой профиль представляется единичным кругом. Путем выбора скорости на поверхности профиля в зависимости от положения точек на единичном круге определяются соответствующие точки на профиле.

Один из недостатков указанного подхода состоит в том. что в ряде случаев, полученные профили решетки могут оказаться физически нереальными — частично находящимися на втором листе плоскости течения. Поэтому для обеспечения однолистности течения необходимо производить специальный выбор или изменение заданной области годографа и параметров течения.

В настоящее время, наиболее активно развивается другой поход к решению ОКЗА, использующий параметризацию исходного распределения скорости v(s) - от дуговой абсциссы контура s. Основы данного направления в теории ОКЗА для обтекания изолированного профиля и решеток были заложены в работах Вейнига Ф. [17], Манглера В. [18], Тумагаева Г.Г. [19]. Дальнейшее распространение указанного подхода на гидродинамические решетки профилей получило в работах Степанова Г.Ю. [6], Гольдштейна А.В. [20], Тумашева Г.Г., Нужина М.Т. [10] и др. В нашей стране данное направление в ОКЗА традиционно активно развивается группой казанских математиков под руководством Ильинского Н.Б., Елизарова A.M. [11, 21, 22].

Основные положения предлагаемого подхода состоят в следующем. С помощью конформного отображения w(Q некоторой канонической области G(; (как правило внешности круга) на область в плоскости комплексного потенциала Gw, соответствующую неизвестной области течения Gz, устанавливается связь между граничными точками Gz и G^. Далее в G( находится функция %(£) = h\{dw/Az) по известным граничным значениям действительной части и восстанавливается путем интегрирования отображение ^(С)

При определении функции w(Q и х{С) возникают значительные трудности вычислительного характера, поэтому получили развитие методы в которых w(() записывается в аналитическом виде или представляется рядом, а %(£) выражается через сингулярные интегралы. Отличаются эти методы друг от друга, в основном, выбором канонической области.

Однако интегральные представления функции z(£) не обеспечивают замкнутость искомых контуров профилей и соответствие параметров набегающего потока заданным значениям. Обусловлено это некоторым произволом в задании граничных условий. Поэтому при решении обратной краевой задачи возникают дополнительные условия разрешимости. Для удовлетворения этих условий в работе [11] применяется подход, базирующийся на способе квазирешения некорректных задач [22]. Суть его заключается в «модификации» исходного распределения скорости путем введения дополнительной аддитивной функции в условия разрешимости, которая обеспечивает их выполнение. Функция определяется из задачи минимизации соответствующего квадратичного функционала. При таком способе достигается минимальное искажение исходных условий, что позволяет построить физически реальный контур профиля, в том числе и для густых решеток. Тем не менее описанные квазирешения не гарантируют получения однолистности области течения (отсутствия самопересечений профиля). Это объясняется тем, что введение дополнительного нелинейного условия простоты контура профиля значительно усложняет задачу минимизации упомянутого выше функционала.

Большой обзор работ зарубежных авторов, посвященных методам решения обратных задач аэродинамики решеток, приведен в монографии Дж.Гостелоу [23]. В частности, рассмотрен еще один подход к решению обратных задач теории решеток, основанный на известном методе решения прямой задачи - методом особенностей или наложения потоков.

Первые решения обратной задачи аэродинамики таким методом были получены для изолированных профилей в работе Бетца А. [24] и решеток - Pistolesi Е. [25]. В методе особенностей Эккерета Дж. [26] эффекты интерференции от других профилей на течение вокруг типичного профиля приближенно описываются простой суперпозицией. Основными допущениями, принятыми в данной работе являются использование начальной аппроксимации для средней линии профиля как основы для распределения завихренности и предположение о том, что особенности лежат внутри профиля. Для представления конечной толщины профиля к этому добавляется непрерывное распределение источников с эквивалентным распределением стоков.

В работе Шольца Н. [27] был усовершенствован метод особенностей, который из-за трудностей получения решения в областях с большими кривизнами поверхностей ранее был полезным только при расчетах тонких профилей. Приближенное решение обратной задачи методом особенностей также представлено в работе [20]. Итерационный метод интер-ференций, разработанный для решения прямой задачи, был применен к решению обратной задачи для тонких профилей в работе Dicsendruck'a [28]. Решение было получено в виде интегралов от завихренности, которые оценивались численными методами. В качестве начального приближения принимался профиль со средней линией в виде дуги окружности.

В отечественной литературе решение обратной задачи обтекания многорядной лопаточной решетки на основе метода дискретных вихрей представлено в работах Руденко В.А., Беззубко И.А. [29, 30]. Для определения геометрических параметров профилей решетки был использован итерационный метод Ньютона. Однако конкретных примеров расчета в данных работах, к сожалению, не приводится, а предложенная схема алгоритма расчета не дает ответов на ряд вопросов, возникающих при ее практической реализации.

В работе Сарена В.Э. [31] предложены решения задач обтекания и коррекции формы профиля и решетки профилей с малой телесностью в потоке идеальной жидкости в рамках первого приближения теории возмущений течения около бесконечно тонких дужек. Задача построения требуемого профиля, обеспечивающего необходимые газодинамические свойства, например реализацию заданного распределения на нем скорости безотрывного обтекания, сформулирована как последовательность коррекций границы области течения по малой вариации граничных значений скорости потока.

Следует отметить, что на практике осуществить профилировку лопастей, соответствующую заданному распределению скорости на их поверхности, может оказаться достаточно сложным и не технологичным. При аэродинамическом проектировании геометрия профиля в большинстве случаев описывается известными параметрическими зависимостями [12, 32] с конечным числом параметров, которые исключают задание произвольного распределения скорости по контуру профилей. К тому же требования, предъявляемые к вентилятору, в инженерных расчетах, как правило, ограничены конечным числом некоторых интегральных характеристик, например, заданной производительностью.

Рассмотрим одно из таких требований, связанное с повышением КПД вентилятора - минимизацию потерь давления при обтекании решеток. В большой степени это требование для решеток тонких профилей (дужек) может быть выполнено при наложении условия безударного (плавного) входа потока в решетку [12, 13, 33]. Это условие, по существу, является условием отсутствия отрыва потока с передних острых кромок лопастей, что, в свою очередь, обеспечивает удовлетворительную точность расчета аэродинамических характеристик решеток на этих режимах с помощью хорошо разработанных методов решения задач безотрывного обтекания. Однако, как уже отмечалась, в процессе работы вентилятора, величина необходимого воздухообмена шахт и тоннелей может изменяться, даже в течение суток, в несколько раз. Отсутствие же или недостаточность глубины регулирования производительности вентилятора приводит к сущсственному снижению его эксплуатационного КПД. В этой связи, особое значение приобретает возможность изменения режимов вентилятора, а вместе с ней необходимость исследования течения воздуха через решетки вентилятора на возникающих нерасчетных режимах.

Подробный обзор существующих способов регулирования режимов работы вентиляторов рассмотрен в монографии Брусиловского И.В. [13]. Среди них, одним из наиболее эффективных представляется регулирование путем поворота лопаток рабочего колеса на ходу. Преимуществом данного способа является более широкий диапазон обеспечиваемых экономичных режимов и более быстрый переход от одного режима к другому, в том числе и реверсированию потока.

Изменение номинального режима работы вентилятора, приводит, очевидно, к нарушению условия безударного входа, т.е. к появлению на передних кромках профилей в идеальной жидкости скорости и разрежения, теоретически стремящихся к бесконечности (нарушение гипотезы Чаплыгина-Жуковского). Поскольку в реальных условиях такая ситуация невозможна, это приводит к образованию поверхностей тангенциального разрыва скорости на острых кромках профилей. В результате с обеих кромок профилей в поток будут сходить свободные вихревые пелены, т.е. сформируется отрывное обтекание решетки.

Исследованию отрывных течений, как одной из наиболее актуальных проблем аэрогидродинамики посвящено большое количество работ и обзоров, как теоретического - Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. [34, 35], Лой-цянский Л.Г. [36] и др., так и экспериментального характера - Чжен П. [37]. Однако проблема отрывного обтекания решеток турбомашин, особенно для случая тонких лопастей, несмотря на ее важность, представлена в литературе явно недостаточно. Кроме того, ситуация усугубляется нехваткой экспериментальных данных о поведении аэродинамических характеристик на нерасчетных углах установки для тонких лопаток турбомашин. В значительной степени, сложившееся положение может быть, по видимому, улучшено с помощью применения численных методов исследования. Это обусловлено, с одной стороны, прогрессом вычислительной техники, что позволяет решать все более сложные задачи. С другой стороны, численный эксперимент часто оказывается более эффективным в тех исследованиях, где физические измерения затруднительны или даже практически неосуществимы.

Численное исследование отрывного обтекания решеток турбомашин конечной длины, с учетом их конечной толщины представляет собой задачу, решение которой связано с большими трудностями как принципиального, так и технического характера. Наиболее точным расчетно-теоре-тическим подходом является решение полных уравнений Навье-Стокса и Эйлера. Однако полученные решения на основе такого подхода [38] требуют мощных вычислительных ресурсов, и не находят пока широкого применения в инженерной практике. Поэтому не потеряло актуальности развитие расчетных схем на основе упрощенных моделей отрывных течений, учитывающих их характерные физические особенности. Так большой прогресс в исследовании отрывного обтекания плоских решеток и изолированных профилей достигнут с использованием модели вязко-невязкого взаимодействия, в котором силы вязкости проявляются главным образом в тонком пограничном слое возле тела, а всюду во внешности предполагается потенциальное течение идеальной жидкости. Однако для случая тонких профилей с передними острыми кромками такое приближение не дает достоверных результатов по расчету их аэродинамических характеристик. Обусловлено это, очевидно, неизбежным возникновением отрыва от передней кромки при углах атаки даже незначительно отличающихся от режима безударного обтекания.

Существенной особенностью отрывного обтекания тонких профилей (дужек) является фиксированное положение точек отрыва потока - на кромках профилей. Таким образом, наиболее, пожалуй, естественной, является схематизация отрывных течений с помощью метода дискретных вихрей в рамках идеальной несжимаемой среды. Данный подход к описанию отрывного обтекания тонких несущих поверхностей, в нашей стране, подробно представлен в работах группы авторов под руководством С.М.Белоцерковского [33, 39]. Проведенные расчеты обтекания тонких профилей рабочего колеса осевого вентилятора по модели нестационарного отрывного обтекания, на основе сравнения с экспериментальными данными, показали, что учет отрыва с передних кромок вносит существенный вклад в суммарные потери давления потока воздуха в вентиляторе и имеет определяющее значение в формировании аэродинамических нагрузок на лопастях ротора.

С математической точки зрения задача определения оптимальной геометрии решетки, обладающей, максимальным аэродинамическим качеством, или, как в нашем случае, минимальными потерями давления, с учетом отрыва потока с передних кромок, при условии выполнения условий безударного входа в решетку и обеспечения заданной циркуляции вокруг профилей на расчетном режиме, представляет собой задачу на условный экстремум некоторой функции при наличии ограничений типа равенств или неравенств. Данный тип задач наиболее часто встречается в практике и поэтому, естественно, вызывает большой интерес у исследователей. В качестве уже ставшей «классической» следует упомянуть работу М.А.Лаврентьева [40], в которой доказано, что среди гладких дуг заданной длины и ограничением кривизны наибольшая циркуляция скорости (а значит и подъемная сила) при безотрывном обтекании потоком идеальной несжимаемой жидкости достигается на дуге окружности.

Широкий класс задач оптимизации аэродинамических форм профилей, которые получили названия «вариационные обратные краевые задачи», рассмотрен в работах казанских авторов Н.Б.Ильинского, А.М.Елизарова, А.В.Поташева, Д.А.Фокина [21, 41]. Среди них особо следует выделить постановки и решения ВОКЗА по максимизации подъемной силы профиля в идеальной несжимаемой жидкости с учетом ограничения на максимальное значение скорости на контуре, максимизации аэродинамического качества профиля в вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса, вариационные задачи на гидродинамически-целесообразных распределениях скорости, обеспечивающих безотрывное обтекание профиля на основе известных полуэмпирических критериев отрыва погранслоя [36]. Определение искомой формы профиля осуществляется с помощью специального класса конформных отображений единичного круга, описываемых некоторым управлением, с учетом соответствующих краевых условий. При этом на управляющую функцию накладываются дополнительные условия разрешимости краевых задач.

Однако, построенные решения, в рамках принятых моделей течения, как и в случае ОКЗА, также не обеспечивают выполнения условий однолистности, т.е. их физической реализуемости. Для учета этих условий, авторами формулируются дополнительные требования, которые в силу их громоздкости были реализованы главным образом, в численном виде. Для решения, получаемых в результате дискретизации, задач нелинейного программирования используется релаксационный метод нелинейной оптимизации. Данный подход был применен авторами также в задаче максимизации критического числа Маха для несущих крыловых профилей в рамках модели газа Чаплыгина.

Существенное развитие методов оптимизации крыловых профилей при их аэродинамическом проектировании внесли работы С.М.Аульченко и А.Ф.Латыпова [42]. Путем создания нового метода представления свободных границ авторы получили решение прямой задачи оптимизации крыловых профилей в дозвуковом потоке, которая была ими сведена к задаче нелинейного программирования при произвольных начальных условиях. Большой практический интерес представляет и полученное авторами решение так называемой задачи многоточечной оптимизации при проектировании профилей для нескольких фиксированных режимов обтекания.

Подводя итог приведенному обзору постановок и методов решений ОКЗА, а также методов, связанных с оптимизацией крыловых профилей, можно сделать заключение о том, что с помощью этих методов ряд требований, предъявляемых к вентиляционным установкам при их проектировании, в инженерной практике выполнить затруднительно. Восполнению этого пробела по некоторым вопросам и посвящена настоящая диссертационная работа.

Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения, заключения и списка цитируемой литературы.

Основные результаты, полученные в данной работе, могут быть сфор мулированы следующим образом

1. Разработан новый метод решения задачи об аэродинамическом про ектировании решеток профилей, обтекаемой потоком идеальной не сжимаемой жидкости, ориентированный на принятую в инженер ной практике профилировку профилей конечным числом варьируе мых параметров. Метод основан на формулировке условий, вытека ющих из предъявляемых к решетке требований, в виде конечного числа алгебраических соотношений для интегральных аэродинами ческих характеристик. Соответствующая обратная задача аэроди намики решеток сведена к решению конечной системы нелинейных алгебраических уравнений, коэффициенты которой определяются с помощью решения прямой задачи обтекания.2. В рамках гипотезы цилиндрических сечений этот метод обобщен на случай аэродинамического проектирования решеток тонких ло пастей осевого вентилятора. К числу требований относительно аэ родинамических характеристик проектируемой решетки созданный метод позволяет включить технические требования, не связанные с аэродинамикой. В качестве такого требования было поставлено условие отсутствия на лопастях моментов центробежных сил при их повороте для регулирования режимов работы.3. Разработан метод оптимизации форм лопастей решеток вентилято ра при их аэродинамическом проектировании, основанный на при менении метода линеаризации решения экстремальных задач, явля ющегося модификацией метода проекции градиента.4. Проведен расчет отрывного обтекания решеток и путем сравнения с экспериментальными данными показана возможность теоретиче ской оценки потерь полного давления, обусловленных отрывом по тока с передних кромок тонких профилей.5. Разработан метод решения задачи об аэродинамическом проекти ровании решеток тонких лопастей при минимизации потерь полно го давления при работе вентилятора на нескольких режимах. При этом, в линейном приближении потери давления, обусловленные от рывом потока с передних кромок, определяются с помощью решения задачи о безотрывном обтекании.6. Методом, разработанным в диссертационной работе, проведена се рия расчетов геометрических параметров тонких сдвоенных лопа ток рабочих колес ряда аэродинамических схем регулируемых осе вых шахтных и тоннельных вентиляторов, проектируемых в ИГД СО РАН, в том числе для Новосибирского метрополитена.

1. Н.П.Косарев Научно-технические основы разработки конструкций и оптимизация эксплуатации вентиляторов главного проветривания метрополитенов: Автореф. дисс. д-ра тех. наук. Свердловск, 1989, 21 С.

2. А.М.Красюк Исследование и разработка тоннельных вентиляторных агрегатов: Автореферат дис. д-ра тех.наук. Новосибирск, 2000.

3. Н.Е.Кочин Гидродинамическая теория решеток // М.: Гостехиз-дат, 1949, 103 С.

4. Н.Е.Кочин, И.А.Кибель, Н.В.Розе Теоретическая гидромеханика // М.: Физматгиз, 1963, 4.1, 583 С.

5. Г.В.Викторов Гидродинамическая теория решеток // М.: Высшая школа, 1969, 368 С.

6. Г.Ю.Степанов Гидродинамика решеток турбомашин // М.: Физматгиз, 1962, 512 С.7J Г.С.Самойлович Расчет гидродинамических решеток // ПММ, 1950, Т. 14, вып.2, С. 121-138.

7. Л.И.Седов Плоские задачи гидродинамики и аэрогидродинамики // М.:Наука, 1980, 448 С. 32.

8. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат Методы теории функций комплексного переменного // М.: Наука, 1965, 716 С.

9. Г.Г.Тумашев, М.Т.Нужин Обратные краевые задачи и их приложения // Казань: Казан.ун-т, 1965, 333 С.

10. Н.Б.Ильинский, Г.Р.Исмагилова, А.В.Поташев Обратные краевые задачи для гидродинамических решеток // Казань, 1994 (Препр./ РАН НИИММ; № 94-3).

11. И.В.Брусиловский Аэродинамические схемы и характеристики осевых вентиляторов ЦАГИ // М.: Недра, 1978, 198 С.

12. И.В.Брусиловский Аэродинамика осевых вентиляторов. // М.: Машиностроение, 1984, 240 С.

13. Л.А.Симонов Построение профилей по годографу скорости // ПММ 4, Ш, 1940; №2, 1941.

14. Lighthill M.J. A mathematical method of cascades design // ARC R&M, 2104, 1945.

15. Weinig F. Die Stromung und die Schaufelri von Turbomachinen // Leipzig, 1935, 141 S.

16. Mangier W. Die Berechnung eines Tragflugelprofiles mit vorgeschriebenen Druckverteilung // Jahrb. Deutsch. Luftahrtforschung, 1938, Bdl, S.46-59.

17. Г.Г.Тумашев Построение решетки по данному распределению скорости // Уч. записки Казан, гос. ун-та 109, №1, 1949.

18. Goldstein A.W., Jerison М. Isolated and cascade airfoils with prescribed velocity distribution // NACA Rep.869, 1947.

19. А.М.Елизаров, Н.Б.Ильинский, А.В.Поташев Обратные краевые задачи аэрогидродинамики // М.: Наука, 1994, 440 С.

20. А.М.Елизаров, Н.Б.Ильинский Метод квазирешений в обратной краевой гидроаэродинамики // Докл. АН СССР, 1985, Т.284, № 2, С.319-322.

21. Гостелоу Дж. Аэродинамика решеток турбомашин // М.: Мир, 1987, 389 С.

22. Betz A. Untersuchung einer Joukowskychen Tragfliiche // ZFM6, 1915, S.173-179.

23. Pistolesi E. On the calculation of the infinite cascade of thin aerofoils // L'Aeritechnica, V 17, 1937.

24. Ackeret J. The design of closely spaced blade grids // British M.A.P. R.T.P Trans. 2007, 1942.

25. Scholz N. Ein Berechnungsverfahren zum Entwurf von Schaufelgitterprofilen // VDI Forschungsheft 442, 1954, S.25-48.

26. В.А.Руденко, И.А.Беззубко Решение обратной задачи аэродинамического расчета рабочих колес осевых вентиляторов с многорядными лопаточными решетками // Стационарное оборудование шахт. Донецк: ВНИИГМ им.М.М.Федорова. 1987, С.151-156.

27. И.А.Беззубко Принципы проектирования рабочих колес автоматически регулируемых шахтных осевых вентиляторов: Автореферат дис. канд.тех.наук. Донецк, 1995.

28. В.Э.Сарен Задачи обтекания и коррекции тонких профилей в несжимаемом потоке // МЖГ, №1, 1992, С.130-137.

29. Б.А.Ушаков, П.П.Красильщиков, А.К.Волков, А.Н.Грже-горжевский Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев // Изд. БИТ НКАП, 1940.

30. С.М.Белоцерковский, М.И.Ништ Отрывное и безотрывное обтекание крыльев идеальной жидкостью // М.: Наука, 1978, 352 С.

31. Л.В.Гогиш, Г.Ю.Степанов Турбулентные отрывные течения // М.: Наука, 1979, 368 С.

32. Л.В.Гогиш, Г.Ю.Степанов Отрывные и кавитационные течения // М.: Наука, 1990, 384 С.

33. Л.Г.Лойцянский Механика жидкости и газа // М.: Наука, 1987, 840 С.

34. П.Чжен Отрывные течения // М.: Мир, Т.2, 1973, 280 С.

35. Rai М.М. A Conservative Treatment of Zonal Boundaries of Euler Equation Calculations // J/ of Computational Physics, Vol. 62, N5 2, 1986, p.p. 472-503.

36. С.М.Белоцерковский, В.Н.Котовский, М.И.Ништ, Р.М.Федоров Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел // М.: Наука, 1988, 232 С.

37. М.А.Лаврентьев Об одной экстремальной задаче в теории крыла экраноплана // Тр. ЦАГИ, 1934, Вып. 155, 41 С.

38. С.М.Аульченко Проектирование и оптимизация крыловых профилей в дозвуковом потоке: Автореферат дис. д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2001.

39. Е.А.Батяев, В.Б.Курзин, О.В.Чернышева Обратная задача аэродинамики двойной решетки осевого вентилятора // Теплофизика и аэромеханика. 1998, Т.5, №2, С.167-174.

40. Н.Н.Петров, Н.А.Попов, Е.А.Батяев, В.А.Новиков Теория и проектирование реверсивных осевых вентиляторов с поворотными на ходу лопатками рабочего колеса // Физико-техническое проблемы разработки полезных ископаемых, 1999. № 5, С.79-92.

41. Е.А.Батяев Аэродинамическое проектирование регулируемых сдвоенных решеток осевых вентиляторов // Теплофизика и аэромеханика. 2000, Т.7, №2, С.209-215.

42. Е.А.Батяев, В.Б.Курзин Аэродинамическое проектирование решеток тонких лопастей методом решения обратных задач // Труды матем. центра им.Н.И.Лобачевского, Т.7, Краевые задачи аэрогидромеханики и их приложения, Казань, 2000, С.280-282.

43. Е.А.Батяев, В.Б.Курзин Аэродинамическое проектирование и оптимизация решеток тонких лопастей методом решения обратных задач // Аннотоции докладов VIII Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, Пермь, 2001, С.82.

44. Ф.Д.Гахов Краевые задачи // М.: Физматлит, 1963, 640 С.

45. С.М.Белоцерковский, И.К.Лифанов Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике //М.:Наука, 1985, 253 С.

46. Д.Н.Горелов Методы решения плоских краевых задач теории крыла // Новосибирск: СО РАН, 2000, 214 С.

47. Ф.П.Васильев Численные методы решения экстремальных задач // М.:Наука, 1988, 550 С.

48. И.А.Беззубко Расчет центробежных сил и моментов, действующих на рабочие лопатки осевых вентиляторов // Прогрессивное оборудование шахтных стационарных установок Сб.науч.тр ВНИ-ИГМ им.М.М.Федорова, Донецк, 1989.

49. В.Г.Лаврик, С.Р.Ногих Взаимодействие геомеханических и газодинамических процессов при интенсивной отработке пологих газоносных пластов // Уголь, 1999, № 2, С. 12-14.

50. Э.Полак Численные методы оптимизации //М.:Мир, 1974, 376 С.

51. Некрасов А.И. Теория крыла в нестационарном потоке // M.JI: АН СССР, 1947, 258 С.

52. Курзин В.Б. Расчет нестационарного обтекания решетки тонких профилей дозвуковым потоком газа методом интегральных уравнений // ПМТФ, 1964, №2, С.112-119.

53. Довжик С. А. Исследования по аэродинамике осевого дозвукового компрессора // Тр. ЦАГИ, вып.1099, М. :Изд. ЦАГИ, 1968, 279 С.