Нестационарные аэродинамические характеристики плоских и пространственных решеток турбомашин в дозвуковом потоке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Рябченко, Валерий Павлович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1998
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Российская академия наук Сибирское отделение Ордена трудового красного знамени институт гидродинамики имени М.А. Лаврентьева
На правах рукописи
, УДК 533.6.011:532.5
РЯБЧЕНКО Валерий Павлович
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ И ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РЕШЕТОК ТУРБОМАШИН В ДОЗВУКОВОМ ПОТОКЕ. МЕТОДЫ РАСЧЕТА И СВОЙСТВА.
01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Новосибирск 1998
Работа выполнена в Ордена Трудового Красного Знамени Институте Гидродинамики имени М.А. Лаврентьева СО РАН.
Официальные оппоненты: доктор технических наук
диссертационного совета Д002.55.01 по присуждению ученой степени доктора наук при Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН (С30090, Новоенбирск-90, проспект академика М.А. Лаврентьева, 15).
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. Автореферат разослан
Т.С. Соломахова
доктор физико-математических
наук
В.М. Тешуков
доктор физико-математических наук
Л.Г. Гузевскпн
Ведущая организация: Центральный институт авиационного моторостроения им. П.И. Баранова (г. Москва)
Защита состоится .Х(.'...199$.г. в
.часов....мин. на заседании
(.<?." ..П.. 199$.
Ученый секретарь диссертационного совет" доктор физико-математических наук
А
С.А. Ждан
/
Общая характеристика работы.
Актуальность проблемы. Теоретический анализ нестационарных течений в особых турбомашинах необходим для понимания аэроупругих и аэроакустических явлений. Определение аэродинамических нагрузок на вибрирующие лопатки при различных условиях обтекания является одной из основных практических задач, тесно связанной с проблемой аэроупругости лопаток. От того, насколько полно изучены ■ характеристики решеток, зависит эффективность их использования, темпы развития перспективных направлений. Теоретические исследования призваны значительно сократить экспериментальную проработку, осуществить модельный анализ различного рода турбомашин. Полученные представления могут быть использованы при обработке экспериментальных данных и развитии более общих моделей.
Задачи нестационарного обтекания решеток представляют собой сложные краевые задачи в многосвязных областях. В ряде случаев можно предполагать лопатки тонкими, мало отклоняющимися от некоторых базовых поверхностей, не создающих возмущений в жидкости или газе. Это обстоятельство является одной из предпосылок линеаризации краевых задач во многих важных для практических приложений случаев. При этом значительно упрощается получение численных результатов (особенно в трехмерном случае), сохраняя при этом основные качественные особенности нестационарных аэродинамических явлений. Однако в ряде случаев лопатки решеток сильно нагружены и имеют достаточную толщину. Кроме того, реальный поток никогда не бывает двумерным и необходим расчет трехмерного течения. Это требует разработки методов, отличных от тех, которые использовались ранее при решении линеаризованных задач.
Прямые (разностные) методы (на основе уравнений Эйлера или Навье-Стокса) требуют большой работы по программированию и больших затрат машинного времени. Практическая реализация этих методов зачастую затруднена в связи со сложностью постановки соответствующей краевой задачи и обоснованием достоверности получаемых результатов. В связи с этим, актуальным становится создание эффективных численно-аналитических методов, в которых первоначальная краевая
задача аналитически преобразуется в более простую, к которой уже и применяется некая численная процедура. Эти методы, уступая прямым в широте охвата, при рассмотрении определенного класса задач, позволяют при минимальных затратах сил и времени получить надежные численные результаты, пригодные для качественного анализа и инженерного расчета.
Целью данной работы является теоретическое исследование свойств нестационарных аэродинамических реакций на лопатках турбома-шин, создание эффективных (с точки зрения их приложения к задачам аэроупругости) численных методов и программ решения задач обтекания плоских и пространственных решеток турбомашин нестационарным дозвуковым потоком идеального газа.
Достоверность результатов обеспечена тем, что они основаны на общих законах и уравнениях аэрогидромеханики, обусловлена согласием полученных результатов в предельных частных случаях с известными аналитическими, численными и экспериментальными результатами.
Новые научные результаты. Диссертационная работа посвящена развитию научного направления, основанного на применении численно- аналитических методов решения краевых задач аэродинамики решеток турбомашин. В работе осуществлен единый подход к решению плоских и пространственных задач стационарного и нестационарного безотрывного обтекания решеток потоками несжимаемой жидкости и идеального газа. Этот подход основан на применении метода интегральных уравнений. К новым научным результатам относятся:
1. Разработка метода решения линейной задачи нестационарного обтекания решетки произвольных профилей потоком несжимаемой жидкости. Получение соответствующего интегрального уравнения, имеющего единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условию Кутта-Жуковского.
2. Решение нелинейной задачи о колебаниях из состояния покоя профилей решетки с конечной амплитудой.
3. Разработка метода винтовых подковообразных вихрей решения стационарной и нестационарной задач обтекания пространственных решеток турбомашин потоком несжимаемой жидкости.
4. Построение интегрального представления для скорости дозвукового нестационарного трехмерного течения газа через ее значения на лопатках с использованием фундаментального решения, удовлетворяющего граничным условиям на ограничивающих поток поверхностях.
5. Эффективный способ суммирования двойных рядов в фундаментальном решении задачи о течении газа через решетку пластин между плоскостями с выделением сингулярной части.
6. Разработка метода подковообразных вихрей для расчета нестационарного дозвукового течения газа через решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями на основе полученного интегрального представления.
7. Решение задачи о собственных акустических колебаниях газа около плоской решетки тонких криволинейных профилей и кольцевой решетки пластин конечного размаха, установленных без выноса. Новый критерий возникновения акустического резонанса — равенство нулю групповой скорости акустических волн.
8. Создание комплекса программ расчета нестационарных аэродинамических реакций, действующих на лопатки решеток. Установление границ применимости рассмотренных в работе моделей обтекания решеток турбомашин.
9. Исследование свойств аэродинамических характеристик решеток и выявление особенностей их поведения в зависимости от основных параметров решетки и потока.
Практическая значимость работы заключается:
— в разработке методов, алгоритмов и программ расчета аэродинамических характеристик лопаток турбомашин при различных условиях обтекания;
— в проведении систематических расчетов с целью исследования свойств нестационарных аэродинамических реакций и границ применимости известных и предложенных в работе постановок задач;
— во внедрении отдельных результатов и пакетов программ в расчетную практику заинтересованных организаций (ПО ЛМЗ, ЦИАМ им. П.И. Баранова (имеются акты о внедрении)).
Таким образом, в реферируемой диссертации представлена разработка численно-аналитических методов, ориентированных на создание
математического аппарата для анализа плоских и пространственных задач теории решеток, а также практическое применение к исследованию свойств нестационарных аэродинамических характеристик. Численный анализ проведен на основе алгоритмов и программ, позволяг ющих получить объем информации, достаточный не только для иллюстрации отдельных моментов, но и для формулировки качественных, обобщающих выводов.
Апробация. Отдельные результаты докладывались на Всесоюзных конференциях по аэроупругости турбомашин (Киев, 1975, 1981; Новосибирск, 1983; Суздаль, 1985; Ужгород, 1987; Рига, 1989; Севастополь, 1991), на II (Lausanne, 1980) и VIII (Stockholm,-1997) Международных симпозиумах по нестационарной аэродинамике и аэроупругости, на Всесоюзном симпозиуме "Метод дискретных особенностей в задачах математической физики" (Харьков, 1985, 1987, 1989), на VI IMAEM Congress (Varna, 1987), на ЕАНЕ Conference (Prague, 1989), на X и XI Международных конференциях по компрессорной технике (Казань, 1995, 1998), на семинарах отделения 100 ЦИАМ, теоретического отдела и отдела прикладной гидродинамики ИГиЛ СО РАН им. М.А. Лаврентьева. По теме диссертации выпущено 14 научно-технических отчетов и опубликовано 45 печатных работ, основные из которых указаны в списке литературы.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из предисловия, введения, двух частей, которые разбиты на семь глав, заключения и списка литературы. Первая часть посвящена исследованию течений через плоские и пространственные решетки несжимаемой жидкости (главы 1-4), а вторая — дозвуковых потенциальных течений идеального газа (главы 5-7). Работа содержит 237 страниц машинописного текста, 58 рисунков и 161 наименование литературных источников.
Содержание диссертации.
Предисловие включает в себя краткую характеристику исследуемой проблемы и описание структуры работы.
Во введении дан краткий очерк развития представлений, постановок и методов решения задач обтекания плоских и пространственных
решеток нестационарным потоком несжимаемой жидкости или идеального газа.
Глава 1 посвящена исследованию линейной задачи обтекания вибрирующей решетки произвольных (с точкой возврата в задней кромке) профилей с учетом вихревых следов за ними. Предполагается, что гармонические колебания профилен происходят синхронно, без деформации их контуров с произвольной формой д = (¡1 + и произвольным постоянным сдвигом фазы // (0 < < 2тг). Кроме того, заданы скорость на бесконечности перед решеткой и точки схода потока, совпадающие с задними кромками профилей. Как следует из линеаризованного уравнення Гельмгольца для завихренности, вихревые следы должны располагаться вдоль критических линий тока стационарного течения. Для решения интегрального уравнения, эквивалентного рассматриваемой задаче, проведено обобщение метода, предложенного в [1] для решения этой задачи в квазпсташюнарной постановке. Единственное решение интегрального уравнення выделяется с помощью постулата Кутта-Жуковского, который сводится к утверждению: скачок скорости жидкости г в задней кромке профиля В равен интенсивности сходящего с нее вихря
Здесь ш — частота колебаний, Ьо — контур исходного (п = 0) профиля решетки, дуговая координата а которого отсчнтывается от задней кромки В, г'о(0) — величина касательной к Ьо скорости стационарного потока в этой точке, ] — мнимая единица, связанная только с временными процессами (// ф —1).
Интегральное уравнение, имеющее единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условию (1), имеет вид:
,2
(1)
ф) - / <>Н {/?„(*, а) - ^[/?„(+0, а) + /?„(-(), а) - } ,1а
где
1 Л'-1
яд*, (Г) = 77 £ ^'""[Л-ф, а)-зш /е-*тК„(8,
п —п I
оо
, , sin 0(s)sll Л' — COS #(.!>) sin Y" .
IiJs, <т) =--t—T-T-r-é-1-+ sin O s ,
v ' ch A - eos Y" v '
X = ^[:r(S)-£(a)], = Я = JVft.
Здесь N — число профилей в основном периоде решетки шага h, 0(s) — угол наклона касательной контура Lq к осп Oz, ортогональной к фронту решетки (ось Oí/). Функция II^s), входящая в правую часть уравнения (2), это действительная (по г) часть выражения
Hs) = с^Щ-. Е1 е^ I m{oth\zn + 1)¿C-
" ® Lo
"¿¿I? / - 9(*)ejn"}sh-*l-Zn -
Lo
Zn = X + iYn, ±0 — предельные значения дуговой координаты s при подходе к точке В сверху (+) и снизу (-).
Метод численного решения интегрального уравнения (2) основан на замене контура Lo вписанным многоугольником [1], на сторонах которого искомая функция v(s), стационарная скорость t>o(s) и форма колебаний д, считаются постоянными. В этом случае интегралы вдоль сторон многоугольника вычисляются аналитически.
Выполнение уравнения (2) в некоторой системе контрольных точек приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений искомой функции в этих точках.
Формулы для расчета сил и момента, действующих на профили решетки, приведены к виду, содержащему только функции vq и v, что удобно при реализации алгоритма на ЭВМ.
Расчет нестационарных аэродинамических характеристик ряда решеток телесных профилей, иллюстрирующий влияние вихревого следа и толщины профилей, проводился для случая изгибно-крутильных колебаний профилей. Кроме того, проведен учет малой технологической неравномерности в установке профилей решетки. Результаты расчета показали, что для редких (густота г < 1) решеток влияние телесности профилей (при относительной толщине до 20%) на силы и момент несущественно, и.теория тонкого профиля дает надежные результаты; для решеток большой густоты влияние телесности становится значительным и его необходимо учитывать. Телесность профиля влияет
на характер зависимости аэродинамического демпфирования от сдвига фазы между колебаниями соседних профилен. Отмечено, что при вращательных колебаниях влияние телесности максим;шьно при // = 7г/2 и Зтг/2.
Сравнение с результатами, полученными автором на основе гипотезы "стационарности" показало, что использование последней возможно лишь в области малых чисел Струхаля. Влияние телесности на суммарные нестационарные аэродинамические характеристики при расчетах на основе этой гипотезы проявляется сильнее, чем по нестационарной теории, то есть вклад существенно нестационарных факторов (вихревого следа и производной по времени в интеграле Коши-Лагранжа) уменьшает эффекты телесности профилей.
Неравномерность в установке профилей в решетке, особенно по углу выноса, может привести к значительному отклонению аэродинамических реакций от соответствующих значений для решетки с идентично установленными лопастями.
В главе 2 рассматривается задача обтекания решетки заданным на бесконечности перед ней неравномерным потоком. Она возникает в связи с приближенным учетом (при большом осевом зазоре) гидродинамического взаимодействия решеток, если неравномерность потока считается обусловленной системой вихревых следов за впереди стоящей решеткой. Кроме того, источником неравномерности могут быть стойки, пилоны и другие конструктивные детали, загромождающие проточную часть турбомашнны. Предполагается, что профили решеток имеют малые, но конечные толщину и кривизну средней линии и обтекаются под м;шы.\ш (но не бесконечно) углами атаки, а их задние кромки являются точками возврата. Пространственные периоды неравномерности и решетки могут быть произвольными. Заданная неравномерность считается малой по сравнению с основным равномерным потоком нх на бесконечности перед решеткой. За профилями решетки учитываются нестационарные вихревые следы, сходящие с них вследствие изменения во времени циркуляции скорости по их контурам. Они моделируются линиями контактного разрыва, которые в рамках рассматриваемой здесь линейной постановки задачи должны располагаться вдоль критических линий тока стационарного обтека-
ння решетки однородным потоком со скоростью v^.
В силу сделанных предположений относительная скорость жидкости представляется в виде
vr(z, t) = v0(z) + J{z, t) + v{z, t), Iz^l << vx,
где z — x + iy, — возмущенная скорость жидкости при по-
тенциальном обтекании решетки равномерным потоком со скоростью J(zi t) — скорость, вызванная заданной неравномерностью. Из-за малости возмущений, вносимых в поток, искомая скорость v потенциальна всюду вне профилей решетки и вихревых следов за ними.
В силу потенциальности течения комплексная скорость v(z-, t) является аналитической функцией переменной г всюду вне профилей решетки и вихревых следов и удовлетворяет условиям периодичности по времени t ив направлении фронта решетки
v{z, t) = v{z, t + Н/г,) = + iL. i),
где L = Nh = NqH — общий период для неравномерности и решетки, h — шаг решетки, и — скорость се движения, .V и Nv — целые числа (предполагается, что такие всегда существуют; для реальных турбомашин в качестве L можно взять длину окружности соответствующего цилиндрического сечения); затухания возмущенной скорости на бесконечном удалении пород решеткой; ограниченности всюду в плоскости течения вне профилен решетки и вихревых следов; непротекания жидкости на профилях; Кутта-Жуковского в острых выходных кромках профилей; непрерывности нормальной составляющей скорости и давления на линиях вихревых следов.
Функция J, определяющая неравномерность набегающего потока, является периодической вдоль фронта решетки функцией с периодом Я и представима рядом
- 00 - • / ч
J{z, <) = £ JP(x)eju,pi^ui\ и = 2тг/Я
г= 1
Показано, что в рамках ограничений, принятых в данной главе, неравномерность не может быть задана произвольно, а должна состоять из двух частей, одна из которых определяет потенциальное возмущение потока, а другая задает часть вектора скорости неравномерности, не меняющуюся в направлении основного потока.
Комплексная скорость жидкости d соответствии с условием перио личности ищется в виде ряда Фурье
со
0 = £
Р=1
для определения коэффициентов которого выведено интегральное уравнение
V(s) ~ j vps(cr)Rp(s, a)da = IIp(s), ¿0
Здесь ядро Rp{s, а) совпадает с Rß{s, а) в главе 1, если в нем Н заменить на L, а ц на рф(1р = hoj)
np(s) = Г' e;np0[ / JP„H[cth^(^0(s) - СоИ - inh) + 1 }da+
l L «=o L/0 L
OO
+ijwpu( / Jp»^) J e-j"puT{cthj(z0(s) - Со(Г) - inÄ) + 1] dT
la 0 ^
где Jpi, и Jps — нормальная и касательные составляющие вектора Jp. Аналогично тому, как это сделано в главе 1, получено интегральное уравнение, однозначно разрешимое в классе функций, удовлетворяющих условию Кутта-Жуковского в задних кромках профилей. В данном случае это условие для каждого р формулируется точно также, как и в главе 1.
Давление в жидкости в рамках рассматриваемой модели полностью определяется потенциальной частью течения и вычисляется с помощью интеграла Коши-Лагранжа.
Программа расчета амплитуд гармоник возмущенной скорости, давления, сил и момента, а также распределения по времени этих величин на профилях решетки, тестировалась сравнением с численными данными Уайтхеда и результатами экспериментов, проведенных в ЦИАМ Рабиновичем и Сарсном.
Анализ результатов расчета показал, что общий уровень возбуждающей силы на профиле, вызванной неравномерностью, довольно хорошо описывается предложенной линейной теорией. В поведении же отдельных гармоник наблюдается уже значительное расхождение с данными эксперимента, т.е. это может означать, что рамки применимости
этой линейной теории для определения суммарных значений возбуждающей силы значительно шире, чем ее отдельных гармоник.
В главе 3 построено решение нелинейной задачи обтекания решетки, составленной из произвольно движущихся из состояния покоя профилей. Предполагается, что скорость жидкости на бесконечности перед решеткой vrj0 = const, а контуры профилей решетки в каждый момент времени t гладкие в смысле Ляпунова всюду, за исключением задних кромок, которые являются точками возврата.
Считается, что сход потока происходит лишь с этих точек, а вихревые следы, возникающие за профилями решетки при t > 0, схематизируются линиями контактного разрыва. Движение жидкости вне профилей и вихревых следов — потенциально.
Как и ранее, потенциал скорости (р является гармонической функцией и должны быть выполнены те же граничные условия, но, в отличие от предыдущего, граничные условия на вихревых следах за профилями должны выполняться на линиях, которые заранее неизвестны и определяются в процессе решения задачи. Условие непротекання на профилях решетки (в отличие от линейной теории) должно быть удовлетворено на поверхности движущегося профиля.
Потенциал скорости течения жидкости ищется в виде
где va — vT — ivу — комплексная скорость жидкости, которая является аналитической функцией в рассматриваемой области.
Так как число лопастей N в колесе турбомашины конечно, то течение жидкости периодично в направлении фронта решетки с периодом Nh (h — шаг решетки)
Тогда, используя условие в бесконечности перед решеткой и обобщенную формулу Коши для периодических функций, в момент времени Ь имеем:
о
Vo(z) = va(z + iNh).
7(«ть ПЩг, СК *).
+ j 7(£Гь ЦЛ(Г\
с„ где
тС^ь — интенсивность вихрей в точке следа с дуговой координатой <71. Завихренность 7, отбрасываемая в след, в силу условий на контактном разрыве, определяется формулой
7(£Гь = -
1 аг„
¿7(0-1, о
0-1
(¿(Г
а ее положение в поле течения определяется решением следующей задачи Коши:
<3-2
— = Уа(г, г(7, 0) = го(7).
Здесь и(<Т], <) — модуль скорости жидкости в точке сгх вихревого следа, л = 2(7, ¿) — комплексная координата точки следа, рассматриваемая как функция завихренности 7 и времени I. Решение этой задачи Коши при некотором фиксированном значении величины 7 дает траекторию движения этого выделенного вихря.
Если задан закон движения профилей Сп = Сп(«> О {п — 0, 1,N — 1), задача сводится к системе N нелинейных интегральных уравнений для определения относительных скоростей г>„ на профилях решетки N-1
гФ) - Е / »„(а, о-, =
п=о/
где
(е'^г 7г -,1
^ / г д(п
= 2v00 со5(в, - ах) - Иер"' [Щ - £ (/
сп
Здесь Га„(£) = Гп + Г', Г„ = / £)ег,
Г^Ле/^С, (/, п = 0, 1,..., N-1).
Для однозначного решения полученной системы необходимо добавить N условий Кутта-Жуковского в острых задних кромках профилей. В данном случае они имеют вид
то есть скачок скорости жидкости в задней кромке профиля в каждый момент времени равен интенсивности сходящего с нее вихря.
Метод последовательной линеаризации позволил свести задачу на каждом шаге по времени к решению системы линейных интегральных уравнений. Аналогично тому, как это сделано в главах 1 и 2, получена система интегральных уравнений, имеющая единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условиям Кутта-Жуковского в задних кромках профилей.
Далее описана численная реализация разработанного алгоритма, проведено сопоставление с линейной теорией, обсуждены нелинейные эффекты, связанные с конечностью амплитуды колебаний профилей и сложной формой вихревых следов за ними.
Проведены расчеты аэродинамических характеристик решеток профилей, совершающих поступательные колебания и вращательные колебания относительно передних кромок со сдвигом фазы 0 и 7г. Отмечается, что в данном случае линии вихревых следов за профилями решетки существенно отличаются от критических линий тока стационарного течения, как предполагается при линейной постановке задачи. Однако это мало сказывается на величинах суммарных аэродинамических характеристик, то есть для них линейная теория дает надежные результаты в реальном диапазоне изменения параметров решетки для амплитуд колебаний порядка толщины профилей.
Глава 4 диссертации посвящена разработке численного метода решения задачи обтекания пространственной кольцевой решетки тонких лопастей потоком несжимаемой жидкости.
Рассматривается неравномерный стационарный поток идеальной несжимаемой жидкости со скоростью £/„, г5, 0(в абсолютной системе координат г5, в8) через один ряд из N лопастей, которые вращаются с постоянной угловой скоростью О в коаксиальном цилиндрическом канале бесконечном в осевом направлении. Предполагает-
ся, что лопасти могут совершать синхронные установившиеся гармо нические колебания малой амплитуды с частотой и> и сдвигом фазы ц (уг = 2тгсг/ЛГ, (7 = 0, 1 1).
Вводятся декартова Оху: и цилиндрическая Охгв системы координат, связанные с вращающейся решеткой и осью Ох, направленной по оси вращения. Скорость набегающего потока относительно лопастей
€{х, у, г, {) = 0и,(х, г, 9 — Ш) + Охх, х = (х, у, г).
Предполагая, что нестационарные возмущения от колебаний лопастей малы по сравнению с основным потоком, можно записать для скорости течения
г>(х, 0 = б(х, 1)+Ч<р{х, ¿),
где <р(х, Ь) — потенциал возмущенного течения.
Пусть лопасти Е„ (п = 0, 1,...,АГ — 1) в среднем положении тонкие поверхности произвольной конфигурации (например, срединные поверхности лопастей реальных турбомашин). Вихревые следы, возникающие за лопастями из-за изменения циркуляции скорости жидкости во времени и по высоте лопасти моделируются поверхностями контактного разрыва \Уп, расположенными вдоль винтовых поверхностей с переменным по высоте шагом, определяемым направлением касательного вектора в задней кромке лопасти.
Потенциал скорости <р — гармоническая функция вне и \¥п, удовлетворяющая условию непротекания лопастей £„ и цилиндров г = г/ (/ = 1, 2), кинематическому и динамическому условиям на поверхностях И7„, затуханию возмущении на бесконечности перед решеткой, условию Кутта-Жуковского в задних кромках лопастей.
Показано, что задача обтекания вращающейся кольцевой решетки неравномерным потоком сводится к решению ряда задач обтекания однородным потоком решетки, лопасти которой колеблются по заданному гармоническому закону с частотой и сдвигом фазы между колебаниями соседних лопастей, определяемых видом входной неравномерности. Таким образом, основной является задача о колебаниях лопастей решетки в равномерном потоке.
Для численного решения задачи используется метод, заключающийся в следующем. Лопасти решетки и вихревые следы за ними моде-
лируются вихревыми поверхностями. Затем осуществляется переход от непрерывного распределения вихрей к дискретному по следующему правилу. Поверхность лопасти разбивается на N1 полос по высоте лопасти (по г), каждая полоса на N2 частей в направлении от передней кромки к задней, то есть поверхность лопасти приближается системой четырехугольников, каждый из которых моделируется подковообразным вихрем (П-вихрем). П-вихрь состоит из отрезка присоединенного вихря, направленного от втулки к периферии, и системы свободных вихрей. В нее входят свободные вихри с осями, параллельными осям присоединенных, возникающие в соответствии с теоремой Кельвина из-за изменения интенсивности присоединенных вихрей во времени. В рамках линейной постановки задачи эти вихри движутся вдоль поверхностей £п и 1УП со скоростью стационарного потока. В систему свободных вихрей входят также два полубесконечных вихревых шнура, отходящих от концов присоединенного вихря по поверхностям и У/п. Их интенсивность в момент схода свободного вихря должна быть равна (по абсолютной величине) интенснвности присоединенного вихря в этот момент времени.
Для вычисления скоростей, индуцируемых П-вихрем в произвольной точке потока, используется формула Био-Савара. С помощью рассмотренной вихревой системы не удастся удовлетворить условию непро-текання на поверхностях, ограничивающих поток, цилиндров. Для его приближенного выполнения вводится дополнительно вихревая система, являющаяся отражением относительно цилиндров вихревой системы лопастей и вихревых следов в каждом сечении вдоль осп решетки.
Условие непротекания поверхности исходной лопасти (п = 0) позволяет получить систему алгебраических уравнений для определения интенснвностей присоединенных вихрей. В случае неравномерного набегающего потока такая система получается для каждой гармоники.
Формулы для расчета сил и момента, действующих на лопасть решетки, получены исходя из теоремы Жуковского "в малом" для циркуляционного течения. Определены также силы, действующие в сечениях лопасти по высоте, а также на всю кольцевую решетку.
В ряде случаев полезны упрощенные варианты алгоритма, когда удается разработать программы расчета, требующие меньших затрат
ресурсов ЭВМ. В первом варианте используется линейная теория, в которой лопасть заменяется ее проекцией на правильную винтовую поверхность, параметры которой определяются осевой скоростью и угловой скоростью вращения решетки.
В этом случае можно считать, что присоединенный вихрь расположен вдоль оси г, а свободные вихревые шнуры представляют собой полубесконечные вихревые линии х = ив/О.. Тогда интегралы, входящие в формулы для определения индуцированных скоростей от присоединенного вихря вычисляются аналитически, а для оставшихся несобственных интегралов удается разработать экономичный численный алгоритм, который позволяет значительно уменьшить машинное время, требуемое для вычисления матрицы решаемой алгебраической системы.
Во втором случае рассматривается стационарная задача обтекания кольцевой решетки с втулочным отношением, близким к единице. Течение жидкости в такой решетке слабо меняется по высоте канала и можно считать, что свободных вихрей не образуется, а присоединенные можно продолжить через границы области течения до бесконечности и оси вращения решетки. Тогда лопасти решетки заменяются Г-образнымн вихрями, а учет ограничивающих поток цилиндров осуществляется введением дополнительного потенциала.
Результаты численного решения прямой задачи обтекания ряда пространственных кольцевых решеток, различающихся как геометрией лопастей, так и условиями их обтекания, сравниваются с теоретическими и экспериментальными данными других авторов.
1. Решетка в стационарном потоке.
Расчеты проводились по описанным выше упрощенным алгоритмам, результаты сопоставлялись между собой и сравнивались с полученными по плоской теории.
Сравнение с результатами, полученными по плоской теории для среднего радиуса кольцевого канала, показало значительное отличие результатов при средних и больших густотах, при малых их значениях отличие результатов невелико, но несколько меньше по величине, чем по плоской теории, что объясняется влиянием конечности удлинения лопастей и вихревых следов за лопастями, которые в стационарном
пространственном потоке образуются из-за переменности циркуляции скорости жидкости по высоте лопасти. Кроме того, при вращении лопастей решетки жидкость, заключенная в кольцевом канале, также совершает вращательное движение, которое можно приближенно моделировать осевым вихрем. Так как энергия, затраченная на образование этого движения, является потерянной, то происходит снижение аэродинамической силы и момента. В связи с тем, что движение, управляемое осевым вихрем, в полной мере образуется лишь при достаточно больших густотах, при г ~ 1 его эффект незначителен. Отмечается, что с увеличением удлинения лопастей характер изменения коэффициентов погонной аэродинамической силы приближается к закону изменения угла атаки по высоте лопасти. Расчеты суммарной силы по обоим алгоритмам хорошо согласуются в области малых удлинений и слабо зависят от удлинения лопасти. Из-за наличия ограничивающих поток цилиндров и отсутствия зазора между ними и концами лопастей нет перетекания жидкости через боковые кромки лопастей. Поэтому, в отличие от крыльев конечного размаха, при малых А нет резкого уменьшения аэродинамических коэффициентов.
Результаты расчетов при изгибно-крутнльных колебаниях лопастей показали, что с увеличением угла выноса решетки эффекты простран-ственности течения проявляются в большей степени. Сравнение с результатами плоской теории дало максимальное отличие при колебаниях в противофазе и его уменьшение с ростом числа Струхаля. При исследованиях по изучению работы лопаточного венца в неравномерном потоке форма контура лопасти была произвольной (близкой к реальной), хотя предполагалось, что срединная поверхность лопасти представляет собой винтовую поверхность с переменным по высоте лопасти шагом. Были проведены сравнительные вычисления нестационарных гидродинамических сил и моментов для двух винтов, рекомендованных Международной конференцией опытовых бассейнов. Для этих винтов имеются численные результаты исследователей из разных стран, а также экспериментальные данные по упору и крутящему моменту винта, работающего в неравномерном потоке за корпусом судна. Причем выделена область допустимых значений, предназначенная для тестирования вновь создаваемых программ расчета.
Проведенный численный эксперимент показал удовлетворительное совпадение полученных результатов по амплитуде и фазе коэффициентов силы и момента с аналогичными данными других авторов в допустимой области значений. С увеличением номера гармоник наблюдается некоторое увеличения различия по фазе.
В §10 рассмотрена задача о малых колебаниях лопастей, когда на бесконечности жидкость покоится. Постановка задачи, в основном, совпадает с рассмотренной ранее. Отличие в том, что теперь лопасти решетки являются срединными поверхностями реальных лопастей, описываемых их математической моделью. В данном случае решение задачи ищется в классе бесциркуляционных течений и, следовательно, вихревая пелена за лопастями не образуется.
Для решения задачи применяется метод дискретных вихрей, но в качестве основного дискретного элемента выбирается замкнутая трапецевидная вихревая рамка, на сторонах которой циркуляции равны и постоянны по величине, а их сумма равна нулю. Для учета ограничивающих поток поверхностей (не обязательно цилиндров) было предложено два способа. В первом выделенные части этих поверхностей покрывались, как и лопасть, вихревыми рамками и решалась совместная задача по определению их интенсивностей. Во втором был организован процесс последовательных приближений, на каждом шаге которого определялись дополнительные потенциалы, необходимые для подавления возмущений в граничных условиях от потенциалов предыдущего шага.
Приведены примеры тестовых расчетов и отмечено, что разработанный алгоритм и программа расчета использовались в комплексе программ для расчета собственных частот и форм колебаний лопастей [14]. В частности, исследования были проведены для модели гидротурбины ПЛ 587 В, разработанной на ПО ЛМЗ (г. Санкт-Петербург). Отмечено удовлетворительное совпадение результатов расчета с экспериментальными данными, полученными на ПО ЛМЗ.
В главе 5 рассмотрена задача обтекания дозвуковым потенциальным потоком идеального газа с осевой скоростью кольцевой решетки тонких лопаток, вращающихся с постоянной угловой скоростью О. в бесконечном канале между двумя соосными цилиндрами С] и
В предположении малости возмущений, вносимых в поток решеткой, выведено уравнение для потенциала скорости, которое удобно использовать в системе координат, вращающейся вместе с решеткой. Отмечается, что в этом случае лопатки должны мало отличаться от винтовых поверхностей, определяемых значениями и П.
Решения краевых задач для полученного уравнения можно построить с помощью интегральных представлений искомых функций внутри области течения газа через их значения на границе. Эти представления содержат фундаментальное решения исследуемого дифференциального уравнения. Поэтому сначала найдено фундаментальное решение С(х, у) уравнения для потенциала ¡р, обладающее обобщенной периодичностью по угловой координате в и удовлетворяющее условию непротекания на цилиндрах С\ и С2. Эта функция представлена двойным рядом по радиальным собственным функциям кольцевого канала, являющихся линейными комбинациями функций Бесселя первого и второго рода. Отмечается, что при некоторых значениях параметров фундаментальное решение не затухает вдали от решетки. Значения частоты и, при которых это происходит, можно интерпретировать как собственные частоты колебаний газа в кольцевом канале с условием обобщенной периодичности.
С помощью функции у), которая по второму аргументу удовлетворяет сопряженному уравнению, получено интегральное представление для скорости течения газа через ее значения и потенциала ¡р на поверхностях лопаток и вихревых следов за ними. Рассмотрен частный случай бесконечно тонких лопаток. Показано, что при числе Маха М = 0 и С(х, у) 1/(4л"|£ — у\) полученное представление дает формулу Био-Савара, широко используемую в теории крыла и решеток.
В качестве примера использования полученных результатов рассмотрено колеблющееся крыло конечного размаха вблизи экрана в несжимаемой жидкости. В этой задаче известно фундаментальное решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее условию непротекания на плоскости экрана. Интегральное представление для скорости в этом случае позволяет установить, что нормальная скорость на крыле складывается из скоростей от вихрей, заменяющих крыло и вихревую пелену, и от вихрей, отраженных относительно плоскости экрана. Таким образом,
полученное представление приводит к известному алгоритму решения задачи о движении крыла вблизи экрана.
В главе 6 на основе представлений, развитых в главе 5, предложен метод подковообразных вихрей для расчета дозвукового течения газа через решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями Л1 и Я2.
Предполагается, что лопатки Е„ в решетке колеблются по заданному гармоническому закону с малой амплитудой, частотой ш и сдвигом фазы (1 между колебаниями соседних лопаток. Набегающий поток газа в бесконечности перед решеткой имеет скорость 1\х. Возмущенное течение газа вне решетки лопаток и вихревых следов, сходящих с лопаток из-за переменности циркуляции по времени и высоте лопатки, является потенциальным. Вихревые следы И;п моделируются поверхностями разрыва касательных скоростей, являющихся продолжением пластин от задних кромок до бесконечности.
Амплитуда потенциала ¡р возмущенных скоростей — решение уравнения, полученного в результате линеаризации задачи на однородном потоке, удовлетворяющее условию непротекания лопаток и плоскостей П\ и Пч, кинематическому и динамическому условиям на поверхностях \УП, условиям излучения и Кутта-Жуковского в задних кромках лопаток.
Согласно методике, описанной в главе 5, сначала найдено фундаментальное решение й(х, у) уравнения для у, обладающее обобщенной периодичностью в направлении оси решетки г и удовлетворяющее условию непротекания на плоскостях П\ и П?. Эта функция представлена двойным рядом, который в силу свойств фундаментального решения перестает сходиться, когда точки х и у совпадают. Получено другое выражение для функции С, в котором указанная особенность выделена в явном виде, а возникающие при этом ряды быстро сходятся При ЛЮбЫХ III у.
С помощью функции С получено интегральное представление для скорости течения газа через значения интенсивности вихревого слоя 7 = и х [и] на поверхностях £п и 1¥„. Оно имеет вид
у{х) = -!^ хУ.С + Ц!)^
+
5
| {2./М%] - (1 - М2)*;2М}£/£ С/5,
где
5 = Е11 + 1УП, 0 = (0,0,1), +
г = (х, 2/, z)% у= (£, ?/, С),
= / (7 х ¿7) • ¿г, — линия Ь(Мо) проведена на поверхности 5 от £(Л/0)
передней кромки лопатки до точки А/о, в которой определяется скачок потенциала, М = «оо/^оо — число Маха, к = ~ ■ у^р, I — высота лопатки, ось у направлена по высоте лопатки. При М = 0 и С = 1/(47г|£ — у\) это представление превращается в формулу Био-Савара.
Вектор 7 на лопатке и вихревой пелене имеет две компоненты 7Х ц 7у, причем на лопатке = 7^+ + 7У_. Здесь 7У+ — интенсивность присоединенного вихря, а 7г и 7у_ — интенсивности свободных вихрей с осями по хну. В соответствии с теоремой Кельвина интенсивности свободных вихрей выражаются через интенсивности присоединенных и искомой является только интенсивность присоединенного вихря.
Полученное интегральное представление позволяет построить численный алгоритм, аналогичный методу П-вихрей в теории крыла конечного размаха в несжимаемой жидкости. Для этого предполагается, что в области, занятой газом, имеется одна вихревая нить Ь, лежащая в плоскости 2=0. Ее интенсивность Г считается постоянной вдоль Ь. В этом случае 7(х) = Тдх/дз (й — дуговая координата линии Ь). В рассматриваемой задаче .5' либо у, либо х. Лопатки решетки и вихревые следы за ними заменяются вихревыми поверхностями и осуществляется переход от непрерывного распределения вихрей к дискретному. Для этого поверхность лопатки разбивается на М\ полос по у, каждая полоса на N2 частей по х, а каждый полученный прямоугольник моделируется П-вихрем, который состоит из отрезка присоединенного вихря, направленного по оси у и системы свободных вихрей, определенных выше. Получены формулы для определения индуцированных скоростей от такого П-вихря.
В результате удовлетворения граничного условия непротекания лопаток решетки получена система алгебраических уравнений для нахождения интенсивностей присоединенных вихрей Г,- (г = 1,..., М\; М\ = АГ1 х N2) ■ После решения этой системы перепад давления на лопатке
определяется с помощью теоремы Жуковского "в малом" и по обычным формулам находятся коэффициенты нестационарных сил и момента, действующие на лопатки решетки.
Приведены результаты расчетов по предложенному методу нестационарных аэродинамических характеристик решеток при различных значениях определяющих параметров. Сравнение с расчетами по плоской теории дозвукового обтекания решеток пластин показало удовлетворительное соответствие результатов за исключением больших густот и чисел Струхаля порядка единицы.
Изменение коэффициента погонной аэродинамической силы вдоль размаха лопаток при различных удлинениях (Л = 1, 3, 5 и оо) для сжимаемой (Л/ = 0,7) и несжимаемой (М — 0) жидкостей происходит примерно одинаково в обоих случаях. Значенне Л = оо соответствует расчету по гипотезе плоских поперечных сечений, когда аэродинамические характеристики зависят от закона колебаний пластины только в рассматриваемом сеченнн. Подтвержден вывод Д.Н. Горелова, исследовавшего данную задачу другим методом, о том, что с уменьшением удлинения пластины происходит выравнивание распределения аэродинамической нагрузки вдоль размаха пластины. В среднем сечении кривые при разных Л пересекаются в одной точке как при М — 0, так и М = 0,7, то есть результаты расчетов совпадают с данными, получаемыми по плоской теории.
Глава 7, последняя, посвящена исследованию собственных акустических колебаний около решеток, являющихся основной особенностью нестационарных течений газа.
Рассматривается решетка тонких криволинейных профилен, колеблющихся в покоящемся газе с малой амплитудой, одинаковой формой и постоянным сдвигом фазы Течение газа — бесцнркуляцнонное, безотрывное и потенциальное всюду вне профилей. При сделанных предположениях амплитудная функция потенциала возмущенного течения газа Ф(х, у) будет однозначной функцией, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца
Ф« + Фуу + кЧ = 0
и следующим граничным условиям: непротекания профилей решетки: конечности энергии в областях около острых кромок профилей; излуче-
ния; обобщенной периодичности. Здесь к =- иЬ/а^ Число Струхаля, и! — частота колебаний, Ь — хорда профиля.
С помощью аппарата, развитого в главе 5, построено фундаментальное решение уравнения Гельмголыда, обладающее свойс твом обобщенной периодичности
2га п=-оо /(2ТП+/.)2 _ ¡.2 Интегральное представление для вектора возмущенной скорости газа и(£) = - I(7 х У^С + [<р]Ск2р)с1о,
£о
в котором 7 = ¿/ х [гЗ] имеет одну проекцию на ось Ог, позволяет с помощью условия непротекания получить интегральное уравнение относительно интенсивности вихревого слоя у
г5С? дс
/{7(а)[—со50(5)-— 8тб(8)] +
¿0
+Л-2С сов(б(я) - в{(т)) 17(<п)й<Г1 ¿<7 = /(в) .
о '
Здесь в(з) — угол между нормалью в точке профиля с дуговой координатой а, отсчитываемой от передней кромки, и хордой профиля. К этому уравнению следует добавить условие отсутствия циркуляции
I у{а)йа = 0.
¿0
Определив 7(5), по теореме Жуковского "в малом" для бесциркуляционного течения находим перепад давления на профиле, интегрируя который по известным формулам, находим силу и момент, действующие на профиль решетки. Их можно выразить через коэффициенты присоединенных масс и демпфирования.
Проведенные расчеты показали, что коэффициенты присоединенных масс являются возрастающими функциями числа Струхаля, которые при определенных значениях к имеют особенности. В окрестности этих значений к происходит резкое возрастание функции с последующим резким падением и изменением знака. Эти особенности связаны с возможностью газа совершать собственные колебания в решетчатой области.
В § 2 рассмотрена невращающаяся кольцевая решетка радиальных пластин без выноса, обтекаемая потоком газа под нулевым углом атаки. Число лопаток предполагается четным (./V = 2в).
Функция Ф, связана с потенциалом ¡р соотношением ¡р = ехр(]кМ2х/(\ — М2)) Ф, удовлетворяет уравнению
(1 - М2)Ф„ + Фгг + -Фг + ~Фв9 + * м..2Ф = 0.
Г 7* 1 — М2
Решение задачи о собственных колебаниях для этого уравнения ищется методом склеивания. Искомая функция в областях перед и за решеткой имеет вид:
•V -1 оо ос
= Г Е £ а„тК{Ктг/г2)*
р=0 1/——оот=1
хехр[П„та: + ]р(9 - 2тгр/ЛГ)], (а; < 0),
Л1' —1 ОО ОО
Е Е ¿»МКтг/г2)х
1»=-СО 171=1
хехр[П„т(г - 2) + Мв - 2тгр/Л% (х > 2),
Здесь 7?„ — ортонор.мированные радиальные функции кольцевого канала с условиями Неймана, Хит — собственные значения,
П2
s—1 оо ✓ 7/7. Я" 2/Ж \
Ф,т = ехрО'?и/|) Е Е cos "Г--:---) Е
h — втулочное отношение, Л — удлинение лопатки.
Функция Ф\т в областях между лопатками определяются как решения задачи с однородными условиями непротокания на лопатках
s~' 00 г ттг 2рк\
;,=<)т=О v s s '711=1
XIi»r.„,„(x - 2)] + с„техр(-0,ш,.т) j.
Коэффициенты a„m, i/„m, bnm и cnin определяются из условия непрерывности искомой функции и ее производной по i в плоскостях х = 0 и х = 2. В результате получается однородная бесконечная систем' линейных алгебраических уравнений. Из условия существования нетривиального решения этой системы находятся значения параметра fc, определяющие собственные частоты колебаний газа в рассматриваемой области.
В § 3 описаны два способа приближенного определения собственных частот колебании газа в кольцевых решетках. В первом способе рассматривается кольцевой канал в котором нет лопаток, а потенциал течения газа в нем обладает обобщенной периодичностью по углу
0. Условие, при котором волны распространяются только в окружном направлении, служит для приближенного определения собственных частот. Это — условие резонанса собственных колебаний газа в кольцевом канале с возмущениями, вызванными цепочкой из -V диполей на окружности г = г', х = 0 и смещенных в окружном направлении на 27гт/ЛГ (т = 0, 1,..., N — 1).
Так как межлопаточные каналы являются резонаторами, то можно ожидать, что некоторые собственные частоты кольцевой решетки будут близки к собственным частотам этих каналов. В этом содержание второго способа, примененного к невращающейся кольцевой решетке с четным числом лопаток.
Приведены примеры расчетов собственных частот колебаний газа в кольцевой решетке методом склеивания и указанными приближенными способами. Отмечено, что приближенные способы не дают возможности определить все собственные частоты и точность их определения, в ряде случаев, недостаточна.
В § 4 для приближенного определения собственных частот в кольцевом канале используется представление о том, что акустический резонанс в решетчатых областях означает прекращение оттока энергии на бесконечность при определенных частотах, а это приводит к равенству нулю групповой скорости распространения акустических волн.
Рассмотрены обобщенно-периодические решения линейной задачи нестационарного потенциального течения газа для трех моделей кольцевого канала:
1. плоского канала, соответствующего развертке на плоскость его цилиндрического сечения;
2. пространственного канала между двумя плоскостями, являющимися поверхностями заделки лопаток;
3. коаксиального цилиндрического канала, ограничивающего вращающуюся с постоянной угловой скоростью решетку.
На границах канала во втором и третьем случае выполняется усло-
вне непротекания. Условие равенства нулю групповой скорости позво лило определить собственные частоты кольцевого канала во всех трех случаях. Для двух первых моделей они совпадали с полученными ранее из других соображений, а для третьей соответствуют обращению в бесконечность фундаментального решения краевой задачи в области между цилиндрами.
В заключении диссертации кратко сформулированы полученные основные результаты:
1. Разработан численный метод решения линейной задачи нестационарного обтекання решетки произвольных профилей. Получено соответствующее интегральное уравнение, имеющее единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условию Кутта-Жу-ковского. Этот метод применен для решения задачи обтекания слабо нагруженной решетки телесных профилей неравномерным потоком.
2. Решена нелинейная задача о колебаниях из состояния покоя профилей решетки с конечной амплитудой.
3. Разработан метод винтовых подковообразных вихрей решения стационарной и нестационарной задач обтекания пространственных кольцевых решеток турбомашин потоком несжимаемой жидкости. С его помощью проведены также расчеты течений с заданным неравномерным потоком на входе в решетку.
4. Построено интегральное представление для скорости потенциального дозвукового нестационарного трехмерного течения газа через ее значения на лопатках с использованием фундаментального решения, удовлетворяющего граничным условиям на ограничивающих поток поверхностях. При этом рассмотрены линейные модели течения газа через кольцевую решетку и решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями. В случае обтекания решетки безграничным потоком несжимаемой жидкости это представление совпадает с известной формулой Био-Савара.
5. Предложен эффективный способ суммирования двойных рядов в фундаментальном решении задачи о течении газа через решетку пластин между двумя плоскостями. При этом выделена сингулярная часть этого решения, аналогичная выражению, получаемому при использовании метода отражения для решения задачи Неймана в полосе.
6. На основе полученного интегрального представления разработан метод подковообразных вихрей для расчета нестационарного дозвукового течения газа через решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями. При этом уравнение для потенциала удовлетворяется точно и сохраняются преимущества классического метода для безграничных потоков несжимаемой жидкости.
7. Решены задачи о собственных акустических колебаниях газа около плоской решетки тонких криволинейных профилей и кольцевой решетки пластин конечного размаха, установленных без выноса. Для решения первой задачи использовался метод интегральных уравнений, причем интегральное уравнение выведено с помощью разработанных интегральных представлений. Во втором случае дано обобщение метода склеивания для решения трехмерных задач теории решеток. Дан новый способ приближенного определения собственных частот в решетчатых областях для моделей кольцевого канала с условием обобщенной периодичности из условия равенства нулю групповой скорости акустических волн.
8. Проведен комплекс исследований свойств нестационарных аэродинамических характеристик в зависимости от основных параметров решеток и потока. Выявлен ряд особенностей этих зависимостей, к которым, в частности, относятся:
а) для редких (т < 1) решеток влияние телесности (Д ^ 0,2) на силы и момент невелико, и теория тонкого профиля дает надежные результаты; для решеток большой густоты это влияние становится значительным и его необходимо учитывать. При этом наиболее существенно телесность профиля влияет на характер зависимости аэродинамического демпфирования от сдвига фазы между колебаниями соседних профилей;
б) при решении задачи в нелинейной постановке линии вихревых следов за профилями решетки существенно отличаются от критических линий тока стационарного течения, как предполагается при линейной постановке задачи. Однако это мало сказывается на величинах суммарных аэродинамических характеристик, то есть для них линейная теория дает надежные результаты в реальном диапазоне изменения параметров решетки для амплитуд колебаний порядка толщины про-
филей А < 0,1Ъ.
в) влияние пространственности течения на аэродинамические характеристики (в рамках модели несжимаемой жидкости) в большей степени проявляется для густых решеток с большим углом выноса;
г) учет сжимаемости газа при обтекании решеток качественно меняет зависимости нестационарных аэродинамических характеристик от определяющих параметров. При некоторых сочетаниях этих параметров может возникнуть явление акустического резонанса. Для приближенного определения собственных частот колебаний газа в решетчатых областях используется условие равенства нулю групповой скорости акустических волн.
Основные результаты диссертации изложены в работах:
1. Рябченко В.П., Сарен В.Э. К расчету аэродинамических характеристик решеток профилей произвольной формы // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1972, - №2, - С.105-112.
2. Рябченко В.П. Нелинейная задача о нестационарном обтекании решетки профплей // Ученые записки ЦАГИ, - 1973, - т.4, - №6, - С.8-16.
3. Рябченко В.П. Нестационарные аэродинамические характеристики решеток произвольных профилей, вибрирующих в потенциальном потоке несжимаемой жидкости // Изв. АН СССР, Сер. МЖГ, - 1974, -№1, - С.15-20.
4. Рябченко В.П. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик решеток профилей произвольной формы // Проблемы прочности, - 1976, - №3, - С.29-32.
5. Рябченко В.П. Расчет пространственного обтекания лопаточного венца осевой турбомашины потенциальным потоком несжимаемой жидкости // ПМТФ, - 1979, - №2, - С.119-127.
6. Рябченко В.П. Аэродинамические силы, действующие на лопасти пространственной кольцевой решетки при нестационарном обтекании // ПМТФ, - 1979, - №4, - С.89-97.
7. Рябченко В.П. Численный метод расчета гидродинамических реакций на винт в насадке //IV нац. конгресс по теор. и прикладной механике. Варна, - 1981. - кн.4. - 6 С.
8. Рябчснко В.П. Квазидвумерное приближение в задаче стационарного дозвукового обтекания пространственной кольцевой решетки // ПМТФ, - 1982, - №2, - С.74-80.
9. Рябченко В.П. Расчет нестационарных аэродинамических характеристик кольцевой решетки лопастей произвольной формы // Аэроупругость лопаток турбомашин. (Тр. ЦИАМ), - 1987, - №1221, -С.4-14.
10. Рябченко В.П. О собственных частотах колебаний газа, обтекающего пространственную кольцевую решетку тонких лопаток // Аэроупругость лопаток турбомашин. (Тр. ЦИАМ), - 1987, - №1221, -С.52-64.
11. Рябченко В.П., Юдин В.А. Определение гидродинамических реакций решетки профилей, движущихся в неравномерном потоке // Аэроупругость лопаток турбомашин. (Тр. ЦЙАМ), - 1989, - №1266, -С.28-42.
12. Рябченко В.П. Расчет присоединенных масс кольцевой решетки лопастей произвольной конфигурации методом дискретных вихрей // Аэроупругость лопаток турбомашин. (Тр. ЦИАМ), - 1991, - №1293, -1991, С.79-86.
13. Рябченко В.П. Нестационарные аэродинамические характеристики пространственной решетки пластин в дозвуковом потоке газа // ПМТФ, 1995. - т.36., №2. - С.45-55.
14. Курзин В.Б., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачева JI.A. Собственные колебания решеток лопастей однородной решетки гидротурбин в жидкости // ПМТФ. - 1997. - Т.38. - №2. - С.80-90.
15. Курзин В.Б., Коробейников С.Н., Рябченко В.П., Ткачева JI.A. Собственные колебания решеток гидротурбин, имеющих малую геометрическую неоднородность // ПМТФ. - 1997. - Т.38. - №6. - С.66-78.
16. Ryabchenko V.P., Gerchev G. A discrete vortex method for calculation of ship propeller unsteady hydrodynamic characteristics // IV IMAEM Congress. - Varna, 1987. - v.5. - №159. - 4P.
17.Ryabchenko V.P., Tkacheva L.A. Nonstationary hydrodynamics and hydro- elastic characteristics of blade of axial hydroturbines // EAHE Conf. CHSSR. - Prague, 1989. - P.422-427.
18. Kurzin V.B., Korobeinikov S.N., Ryabchenko V.P., Tkacheva L.A.
Three dimensional coupled model for aeroelastic analysis of turbomachine blade oscillations. Its application to a hydroturbine rotor // 8th International Symposium on unsteady Aerodynamics and Aeroelastisity of Turbomachines. Sept., 1997. Stockholm, Sweden. - P.303-315.
ф
//. с>з.дв жж-ш
•а
Сибирское отделение Российской Академии наук Институт гидродинамики имени М.А. Лаврентьева
Нестационарные аэродинамические характеристики шюсхих и пространственных решеток турбомашин в дозвуковом потоке. Методы расчета и свойства.
01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы.
На правах рукописи
РЯБЧЕНКО Валерий Павлович
Диссертация
на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Новосибирск 1998 г.
Содержание.
Предисловие............................................................................................................................................................4
Введение......................................................................................................................................................................9
Часть I. Решетка лопастей в потоке несжимаемой жидкое-
П О
ТИ...........................................................................................................................................оо
Глава 1. Нестационарное обтекание решеток из произвольных профилей....................................................................................................................................................33
§ 1. Постановка задачи. Вихревые следы за профилями
решетки........................................................................................................................................................................33
§ 2.Интегральное уравнение для скоростей на профилях
решетки......................................................................................................................................................................38
§ 3.Условие Кутта-Жуковского. Приведение интегральных уравнений к виду, имеющему единственное решение.. 45
§ 4. Метод численного решения интегральных уравнений в случае телесных профилей....................................................................................49
§ 5.Суммарные аэродинамические характеристики................55
§ 6. Анализ результатов расчета. Эффекты телесности
профилей................................................................................ ( 57
Глава 2.Решетка профилей в неравномерном потоке....................64
§ 1.Постановка задачи............................................................................................................64
§ 2.Задание неравномерности набегающего потока................66
§ 3.Вывод интегрального уравнения................................................................68
§ 4.Формулы для давления, силы и момента......................................70
§ 5.Примеры расчета..................................................................................................................71
Глава 3. Нелинейная задача о нестационарном обтекании
решетки произвольных профилей................................................................................77
§ 1.Интегральные уравнения задачи и условие Кутта-
Жуковского......................................................................................................................................................77
§ 2.Формулы для расчета нестационарных аэродинамических сил и момента....................................................................81
§ 3.Метод последовательной линеаризации по времени.. 83 § 4.Алгоритм решения задачи для случая поступательных и вращательных колебаний профилей....................................................87
§ 5.Примеры расчетов. Сопоставление с линейной теорией...............................................................................................................................................93
Глава 4.Пространственная кольцевая решетка тонких лопастей в идеальной несжимаемой жидкости................................................98
§ 1.Постановка задачи................................................................................98
§ 2.Метод решения........................................................................................................................100
§ 3.Численный метод................................................................................................................102
§ 4. Гидродинамические характеристики................................................106
§ 5-Упрощенные варианты алгоритма..........................................................107
§ 6.Граничные условия на лопасти решетки......................................111
§ 7.Некоторые особенности алгоритма........................................................114
§ 8.Кольцевая решетка с большим втулочным отношением (h —)■ 1) в стационарном потоке........................................................................117
§ 9.Аэродинамические характеристики кольцевых решеток тонких лопастей..................................................................................................................120
§ 10. Бесциркуляционное обтекание кольцевой решетки тонких лопастей................................................................................................................................147
Часть II.Дозвуковое течение газа через лопаточный венец... 155
Глава 5.Кольцевая решетка тонких лопаток................................................155
4
§ 1.У равнение для потенциала скорости..................................................155
§ 2.Фундаментальное решение уравнения для потенциала скорости....................................................................................................................................................157
§ 3.Интегральное представление для вектора скорости
течения газа...........................................................................................161
Глава 6. Решетка пластин конечного размаха между двумя плоскостями............................................................................................................................................171
§ 1.Постановка задачи............................................................................................................172
§ 2.Фундаментальное решение..................................................................................174
§ 3.Интегральное представление для скорости течения
газа..................................................................................................................................................................................178
§ 4.Метод подковообразных вихрей....................................................................181
§ 5.Аэродинамические характеристики......................................................184
§ 6.Обсуждение результатов расчета..............................................................185
Глава 7. Собственные колебания газа около решеток....................188
§ 1.Решетка колеблющихся тонких криволинейных профилей. Определение собственных частот с помощью интегрального уравнения................................................................................................................................188
§ 2. Кольцевая решетка пластин без выноса. Метод
склеивания для определения собственных частот................................197
§ 3. Приближенные способы определения собственных
частот в решетчатых областях..........................................................................................202
§ 4. Определение собственных частот в решетках из условия равенства нулю групповой скорости....................................................208
Заключение.................................................................................................................................................216
Литература............................................,..............................................................220
Предисловие.
Теоретический анализ нестационарных течений в осевых турбома-шинах необходим для понимания аэроупругих и аэроакустических явлений. Определение аэродинамических нагрузок на вибрирующие лопатки при различных условиях обтекания является одной из основных практических задач, тесно связанной с проблемой аэроупругости лопаток. От того, насколько полно изучены характеристика решеток, зависит эффективность их использования, темпы развития перспективных направлений. Теоретические исследования призваны значительно сократить экспериментальную проработку, осуществить модельный анализ различного рода турбомашин. Полученные представления могут быть использованы при обработке экспериментальных данных и развитии более общих моделей.
Задачи нестационарного обтекания решеток представляют собой сложные краевые задачи в многосвязных областях. В ряде случаев можно предполагать лопатка тонкими, мало отклоняющимися от некоторых базовых поверхностей, не создающих возмущений в жидкости или газе. Это обстоятельство является одной из предпосылок линеаризации краевых задач во многих важных для практических приложений случаев. При этом значительно упрощается получение численных результатов (особенно в трехмерном случае), сохраняя при этом основные качественные особенности нестационарных аэродинамических явлений. Однако в ряде случаев лопатки решеток сильно нагружены и имеют достаточную толщину. Кроме того, реальный поток никогда не бывает двумерным и необходим расчет трехмерного течения. Это требует разработки методов, отличных от тех, которые
использовались ранее при решении линеаризованных задач.
Прямые (разностные) методы (на основе уравнений Эйлера или Навье-Стокса) требуют большой работы по программированию и больших затрат машинного времени. Практическая реализация этих методов зачастую затруднена в связи со сложностью постановки соответствующей краевой задачи и обоснованием достоверности получаемых результатов. В связи с этим, актуальным становится создание эффективных численно-аналитических методов, в которых первоначальная краевая задача аналитически преобразуется в более простую, к которой уже и применяется некая численная процедура. Эти методы, уступая прямым в широте охвата, при рассмотрении определенного класса задач, позволяют при минимальных затратах сил и времени получить наг дежные численные результаты, пригодные длякачественного анализа и инженерного расчета.
В данной работе изложено направление исследований, которое сложилось в работах автора по созданию и развитию численных методов решения задач обтекания плоских и пространственных решеток тур-бомашин нестационарным дозвуковым потоком идеального газа. Цель этих работ состоит в решении ряда новых задач и разработке эффективных (с точки зрения их приложения к задачам аэроупругости) алгоритмов расчета и изучении свойств нестационарных аэродинамических реакций на яопатхах турбомашин.
Работа выполнялась в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.
По теме диссертации выпущено 14 отчетов по хоздоговорам и имеются акты о внедрении программ расчета в ПО ЛМЗ (г. Санкт-
Петербург) и ЦЙАМ им. П.й. Баранова (г. Москва).
Краткий очерк развития представлений, постановок и методов решения задач обтекания плоских и пространственных решеток нестационарным потоком несжимаемой жидкости или идеального газа содержится во Введении.
Диссертация состоит из двух частей, которые разбиты на семь глав. Первая часть посвящена исследованию течений через плоские и пространственные решетки несжимаемой жидкости (главы 1-4), а вторая — дозвуковых потенциальных течений идеального газа (главы 5-7).
Глава 1 посвящена исследованию некоторых вопросов построения численного алгоритма решения линейной задачи обтекания вибрирующей решетки телесных профилей. Способ получения интегральных уравнений, имеющих единственное решение в классе функций, удовлетворяющих условию Кутта-Жуковского в задних кромках профилей, используется и при решении задач, излагаемых во второй и третьей главах.
Глава 2 содержит решение задачи обтекания решетки телесных профилей заданным неравномерным потоком. Определены возможные виды неравномерности набегающего потока, допускаемые используемой моделью течения. Проведено сопоставление с экспериментом.
В главе 3 построено решение нелинейной задачи обтекания решетки, составленной из произвольно движущихся профилей. Излагается метод решения нелинейной системы интегральных уравнений, к которой сводится рассматриваемая задача. Обсуждаются нелинейные эффекты, связанные с конечностью амплитуды колебаний профилей и сложной формой вихревых следов за ними.
Численный метод решения задачи обтекания пространственной кольцевой решетки тонких лопастей потоком несжимаемой жидкости является предметом рассмотрения главы 4. Метод, основанный на вихревой теории несущей поверхности, применен к расчету гидродинамических характеристик лопастей как при бесциркуляционном обтекании, так и при течениях с циркуляцией. Проведен анализ влияния простран-ственности течения на аэродинамические характеристики лопастей, колеблющихся в равномерном потоке или обтекаемых заданным неравномерным потоком.
В главе 5 дается вывод интегрального представления для вектора скорости потенциального течения газа через вращающуюся кольцевую решетку, аналогичное формуле Био-Савара для несжимаемой жидкости. Для рассматриваемого случая построено фундаментальное решение уравнения для потенциала скорости. Отмечается возможность построения приближенных решений при некоторых предельных значениях определяющих параметров.
В главе б на основе представлений, развитых в предыдущей главе, предложен метод подковообразных вихрей для расчета дозвукового течения газа через решетку пластин конечного размаха между двумя плоскостями. Проведено численное исследование нестационарных аэродинамических сил и моментов в таких решетках, влияния на них удлинения лопаток, числа Маха и других параметре®.
Последняя, глава 7 посвящена исследованию собственных акустических колебаний около плоской решетки тонких криволинейных профилей и кольцевой решетки пластин конечного размаха, установленных без выноса. Для решения задач использовался метод интеграль-
ных уравнений (в плоском случае) и метод склеивания (в трехмерном). Проведено сопоставление полученных результатов с собственными частотами, определенными приближенными методами. Предложен новый критерий возникновения акустического резонанса — отсутствие переноса энергии, и как следствие, равенство нулю групповой скорости акустических волн. С его помощью найдены собственные частоты для следующих моделей:
1} плоская решетка пластин; 2) пространственная решетка пластин; 3) кольцевая решетка винтовых поверхностей.
Далее следует заключение, в котором сформулированы основные наг учные результаты работы и список литературы, посвященный данной области исследования.
Введение.
Здесь дан краткий очерк развитая представлений, постановок и методов решения задач обтекания плоских и пространственных решеток нестационарным потоком несжимаемой жидкости или идеального газа. Проблема достаточно подробно исследовалась в монографиях [4, 30, 32, 52, 78-79, 87-90], сборниках докладов [54, 56, 107] на всесоюзных и международных конференциях, посвященных проблемам аэроупругости турбомашин и, в частности, аэродинамике решеток в нестационарном потоке. В этих изданиях содержатся не только результаты исследований авторов, но и детальные обзоры работ [14], выполненных как в нашей стране, так и за рубежом. Ниже обсуждается лишь та часть работ, которая относится к теоретическому исследованию течений несжимаемой жидкости или идеального газа через плоские и пространственные решетки лопаток турбомашин.
Расчет безотрывного обтекания решеток является первым этапом в исследовании нестационарного обтекания лопаточных венцов осевых турбомашин. Дальнейшему упрощению задачи служит гипотеза цилиндрических сечений, согласно которой поверхностями тока течения через кольцевую решетку являются цилиндры, на которых течение рассматривается независимо. При решении задач аэроупругости [100, 102], результаты, полученные на основе таких представлений, лишь приближенно позволяют учесть реальный характер течения через лопаточный венец.
Теория решеток в нестационарном потоке традиционно развивается
к»
в Институте гидродинамики СО РАН, главным образом в рамках модели идеальней жидкости. Обзор полученных результатов содержится
в [19]. Работа в этой области аэромеханики проводилась в тесном контакте с отраслевыми КБ и НИИ. Простота моделей позволила описать рад особенностей течения, во многих случаях глубже понять механизм взаимодействия решеток с жидкостью или газом, а также провести экспериментальную проверку полученных результатов.
1.Решетка вибрирующих профилей. С помощью этих простых моделей была выявлена существенная роль ряда факторов. В простейшем случае течения идеальной несжимаемой жидкости через прямую решетку колеблющихся профилей было показано, что :
1) параметр сдвига фазы р сильно влияет на величину аэродинамического демпфирования (Систо, [148]);
2) с ростом стационарной гидродинамической нагрузки на профили увеличивается их нестационарное гидродинамическое взаимодействие, которое может привести к существенному снижению критической скорости флаттера решеток при малых числах Струхаля (Зенген [149], Атасси и Акай [108], Мусатов [53], Сарен [80-83]);
3) толщина профилей оказывает заметное влияние на нестационарные аэродинамические характеристики лишь для достаточно густых решеток (Рябченко [64]).
В работе М.Намба [139] предпринята попытка одновременного учета сжимаемости и ненулевой средней циркуляции при анализе возникновения флаттера. Использовался способ линеаризации, приводящей к линейным стационарной и нестационарной краевым задачам для уравнений с постоянными коэффициентами. Аналитически получены решения для решеток пластин, установленных под небольшим, но не бесконечно малым углом атаки. Указывается, что предлагаемая модель
может быть использована лишь в очень узком диапазоне условий (приведенная частота мала (порядка среднего угла атаки), поступательные колебания пластин). Отмечается возможность отрицательного демпфирования в исследуемой ситуации из-за наличия ненулевого среднего угла атаки.
Решение задачи безотрывного нестационарного обтекания решеток профилей безвихревым потоком несжимаемой жидкости сводится к нахождению аналитической во внешности решетки и следов за профилями периодической функции, удовлетворяющей условиям непротекания на профилях и в бесконечно удаленной точке. При синфазных колебаниях профилей или исследовании стационарного потока, задача, по-сущест�
