Разработка методов расчета нестационарных аэродинамических сил, действующих на слабонагруженные лопатки венца и ступени турбомашины тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

5 МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

УДК 533.697.242.011

РЕЕНТ Константин Семенович

АЗРАБОТКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА СЛАБОНАГРУЖЕННЫЕ ЛОПАТКИ ВЕНЦА И СТУПЕНИ ТУРБОМАШИНЫ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- Москва -1997

Работа выполнена в ГНЦ РФ "Центральный Институт Авиационногс

Научный руководитель - доктор физ.-мат. наук А.А.Осипов.

Официальные оппоненты: В.Э.Сарен, д.ф.-м.н.

диссертационного совета К.063.91.07 при МФТИ в ауд. _

Адрес: 140160, г.Жуковский, ул. Гагарина, д.16

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью ; ждения, просим направлять по вышеуказанному адресу на имя уч< секретаря специализированного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФАПТ МФТИ Автореферат разослан: «_»_199 г.

торостроения ни П.И.Баранова"

А.В.Сетух, к.ф.-м.н.

Ведущая организация: Гос НИЦ ЦАГИ

Защита состоится «_»

199 г. в_часов на засед

Ученый секретарь специализированного совета к.ф.-м.н., доцент

Кнркннский А.И

Актуальность работы

В настоящее время основным способом определения устойчивости двигателя к флаттеру на рабочих режимах его работы является эксперимент. При таком подходе много сил, средств и времени занимает доводка двигателя. В этой связи возникает необходимость создания гораздо менее дорогостоящих методов прогнозирования флаттера с помощью математического моделирования нестационарных процессов в двигателе.

Не менее остра потребность в расчетных методах определения уровня нестационарных напряжений в элементах турбомашин при обтекании их изменяющимся во времени потоком газа. Основной причиной возникновения этих сил является неоднородность набегающего потока. Они появляются, например, при работе двигателя вблизи поверхности земли, при полете в турбулентной атмосфере, при порывах ветра или вследствие наличия вязких следов, сходящих с задних кромок лопаток, расположенных выше по потоку. Особенно большое значение при проектировании и доводке двигателя могут иметь расчетные методы определения уровня вибронапряжений на частоте следования лопаток, обусловленные последним из перечисленных выше типов неоднородности.

Высокая энерговооруженность современной авиации делает ее одним из наиболее мощных источников шума. Борьба с вредным воздействием шума на человека и окружающую среду, а также успешное решение проблемы акустической усталости конструкции невозможны без детального изучения процессов генерации и распространения звука. Решение этих задач важно также для поддержания конкурентоспособности отечественных пассажирских самолетов на международном рынке.

Цель работы

1. Разработка быстрых оценочных методов расчета нестационарных аэродинамических характеристик лопаточного венца, обусловленных колебаниями лопаток венпа или воздействием на него приходящих извне вихревых неоднородностей потока на дозвуковых, сверхзвуковых и трансзвуковых (по высоте лопатки) режимах обтекания.

2. Разработка метода расчета нестационарного дозвукового обтекания двух взаимновращающихся пространственных венцов.

Научная новизна

На основе метода, предложенного М. Намба, создан эффективш алгоритм и программа расчета трехмерных нестационарных сжим; мых течений на дозвуковом режиме обтекания кольцевого лопаточнс венца. При этом получен строгий вывод граничной интегральной ф< мулы.

Предложен новый метод выделения сингулярной части ядра ин трального уравнения. С его помощью разработан эффективный ал ритм расчета трехмерных нестационарных течений на сверх- и тра звуковых (по высоте лопатки) режимах обтекания кольцевого лопат< ного венца.

Разработан метод и программа расчета нестационарного аэродк мического взаимодействия двух кольцевых лопаточных венцов, враг ющихся друг относительно друга в дозвуковом потоке. Дано авали' ческое решение модельной пространственной задачи, иллюстрируюг механизм трехмерного следового воздействия первого венца на втор

Практическое значение работы

Разработаны программы, позволяющие проводить быстрые оца нестационарных нагрузок и акустических полей в одиночном венц ступени, состоящей из двух венцов, которые могут быть включена програмный комплекс для определения устойчивости двигателя к фл теру еще на этапе проектирования и доводки, а также для определе] уровня вибронапряжений и расчета тонального шума, генерируем компрессором или вентилятором двигателя.

На защиту выносится

1. Метод расчета нестационарных нагрузок и акустических по при дозвуковом обтекании вращающегося кольцевого лопаточного в ца тонких слабонагруженных лопаток.

2. Метод интегральных уравнений для расчета нестационарных родинамических характеристик вращающегося кольцевого лопаточв венца на сверх- и трансзвуковых (по высоте лопатки) режимах обте ния.

3. Метод расчета нестационарных аэродинамических характерно двух кольцевых лопаточных венцов тонких слабонагруженных лопа

при их вращении друг относительно друга в дозвуковом потоке газа.

Результаты работы докладывались на VI Всесоюзном съезде йо теоретической и прикладной механике, на Харьковской Республиканской научно - технической конференции, на XI и XII Всесоюзных конференциях по аэроупругости турбомашин, на V Международной конференции по нестационарной аэродинамике и аэроупругости турбомашин и пропеллеров, а также на семинарах академика Г.Г. Черного и профессора А.Н. Крайко.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка использованной литературы. Объем диссертации 116 страниц, включая 77 страниц основного текста, 51 рисунок и списка литературы из 61 наименования.

В главе 1 рассматривается одиночный лопаточный венец, расположенный в бесконечном канале кольцевого сечения, вращающийся с постоянной угловой скоростью и обтекаемый дозвуковым потоком идеального газа как показано на рис. 1.

Невозмущенный поток - однородный, осевой. Лопатки венца представляют собой части винтовых поверхностей, совпадающих с поверхностями тока невозмущенного течения в относительном движении.

Апробация работы

Структура и объем диссертации

Содержание работы

Рассматриваются гармонические по времени колебания газа, возб; ждаемые малыми колебаниями лопаток или воздействием на них сл; бых вихревых, неоднородностей набегающего потока. Амплитуда кол баний описывается уравнениями газовой динамики, линеаризованные для малых возмущений, развивающихся на фоне основного стаппона] ного потока. Вне лопаточного венца формулируются условия отсу ствпя приходящих извне акустических возмущений, а на стенках кан ла и лопаток - условия непротекания.

В системе координат, вращающейся вместе с венцом, уравнение д; амплитуды колебаний давления представляет собой линейный дифф ренциальный оператор типа оператора Гельмгольца, для которого м тодом Фурье разделения переменных легко находится функция Грин Формула Грина доставляет связь между давлением в произвольной то ке пространства с перепадом давления на лопатке

„(«,г,в) = IJДр(х0,г0) dG(X-X0,r,ro,e-eo)dS^ (

s

где Др - амплитуда нагрузки, (х, г, в) - точка наблюдения, (х0, г0,0о) точка расположения источника, S - поверхность одной из лопаток, по нормаль к лопатке.

В работах М.Намба (M.Namba Three - dimensional analysis of bla force and sound generation for an annular cascade in distorted flows. Journal of Sound and Vibration, v. 50, N 4, 1977 p. 479 - 508.) последи формула выписывалась без вывода и содержала дополнительный ош бочный множитель. В связи с этим в первой главе приводится строг] вывод (1). Из уравнения движения для нормальной к лопатке коми ненты скорости и выражения для р получаем искомое сингулярное и тегральное уравнение вида

J J Др(хо, г0) К(х - х0, Г, r0) dx0dr0 = vn(x, г) (

s

относительно Ар, где vn - нормальная к лопатке компонента скорос!

оо оо

а К - ядро интегрального уравнения, имеющее вид К = ]С &

71= — ОО 1=0

Глазная трудность такого подхода применительно к потоку в цили дрическом канале состоит в том, что компоненты К1п, представляют

собой собственные решения для акустических и вихревых возмущении газа в цилиндрическом канале, выражаются сложным образом через функции Бесселя различных порядков. Чтобы просуммировать бесконечный ряд необходимо знать асимптотическое поведение К1п при больших п и /. Однако подобные асимптотики отсутствуют.

В работах М.Намба было предложено формально заменить радиальные собственные решения их галеркинскими аппроксимациями, используя в качестве галеркинского базиса функции Бесселя нулевого порядка. Как оказалось, полученные с помощью такой процедуры приближенные собственные решения имеют простые асимптотики, и следовательно суммирование бесконечного ряда можно легко осуществить, проведя стандартную процедуру регуляризации ряда. Однако корректность указанной замены казалась сомнительной, поскольку отличия приближенных функций от точных по норме в пространстве непрерывных функций становятся сколь угодно большими при сколь угодно большом увеличении их порядка. В первой главе диссертации показано, что не только функции Бесселя, но и вся функция Грина в целом оказывается приближением по Галеркину. Это утверждение гораздо более сильное, поскольку из него в частности следует, что для возмущений давления особого вида, а именно разложимых по конечному базису функций Бесселя нулевого порядка, ошибка от использования приближенной Галер-кинской функции в формуле (1) равна нулю.

Представлены результаты по сходимости метода и результаты расчета нестационарных нагрузок и акустической энергии, распространяющейся от венца вверх и вниз по потоку. Дается сравнение расчетов по данной программе с расчетами по двухмерной в каждом цилиндрическом сечении с целью выяснения эффектов трехмерности. Показано, что на некоторых режимах обтекания возможны сильные отличия в результатах, полученных по обеим программам. На рис. 2, где каждому цилиндрическому сечению отвечает свой коэффициент подъемной силы, разрывная кривая соответствует расчету по цилиндрической модели (двухмерный расчет в каждом цилиндрическом сечении г = const), а непрерывная - трехмерному. Параметры задачи следующие : число Маха набегающего осевого потока Ма = 0.25, число лопаток в венце N = 40, скорость вращения и = 2.47, осевая проекция хорды лопаток с„ = 0.055, радиус втулки h = 0.4, частота нестационарных колебаний А = 24.72. Все параметры обезразмерены по скорости набегающего

осевого потока и радиусу внешнего цилиндра. Число Струхаля, при: денное к двухмерным параметрам, т.е. к относительной скорости на гающего потока в соответствующем цилиндрическом сечении и дш хорды в этом же сечении равно в данном случае Si = Ас„ =1.36. .Ск кообразное изменение коэффициента подъемной силы, посчитанное цилиндрической модели, получается в том случае, когда одна из » соответствующей двухмерной задачи попадает в условия частоты сечки.

•У

го Л------

и

1.0

Во второй главе диссертации рассматривается обтекание врал щегося венца в тех же предположениях, что и в первой глазе, но св звуковым или "трансзвуковым" потоком (т.е. таким, что относит ная скорость газа монотонно растет от дозвуковой у корня лопатк сверхзвуковой у ее конца). Осевой поток по-прежнему считается дс ковым.

Наличие скачков давления на рассматриваемых режимах сущест но снижает эффективность алгоритма, использованного в первой г; Дело в том, что разрывное поведение точной функции Грина тр формируется в веер разрывов у галеркинской функции Грина. Т нефизичное поведение скачков давления отражает сложное* прост ственное искривление поверхности скачка в точном решении и м< рассматриваться как его аппроксимация. Сходимость численнол шения вблизи скачков оказывается достаточно медленной.

\ ✓

N ч 1

\ 1 ч

ч V ч ч \

оа с.6 с. в г4

рис 2.

На трансзвуковых режимах использование галеркинской функции Грина сталкивается с трудностями принципиального характера. Будучи по самому своему определению приближением в интегральном смысле, такая функция, теряя локальные характеристики точного решения, содержит одновременно особенность типа 6 - функции и особенность Коши на всей поверхности лопатки. Однако хорошо известно, что для формулировки условия Жуковского - Чаплыгина о плавном сходе с дозвуковой части задней кромки необходимо, чтобы ядро интегрального уравнения содержало только особенность Коши. Решение же интегрального уравнения, содержащего оба вида особенностей, строго говоря, получено быть не может. Поэтому М. Намба разработана специальная процедура, которая с помощью некоторых искусственных приемов позволяет получить приближенное решение, достаточно близкое к точному на большей части поверхности лопатки вне ближайших окрестностей передней и задней кромок, а в самих этих окрестностях решение по-существу доопределяется нужным образом.

В параграфе 1 второй главы диссертации предложен другой подход, позволяющий выделить сингулярную часть ядра с учетом локальных характеристик стационарного потока. Показано, что в уравнении для п-й окружной моды функции Грина можно пренебречь производными по радиусу при больших значениях |п|. Ряд Фурье, составленный из таких асимптотических слагаемых дает сингулярную часть. При этом на каждом радиусе (в каждом цилиндрическом сечении) он совпадает с сингулярной частью функции Грина соответствующей плоской задачи. В параграфе 2 представлены результаты расчетов и сходимости метода в зависимости от числа учитываемых гармоник в окружном и радиальном направлениях. Расчеты показали, что сходимость по радиальным модам неодинакова для различных окружных мод и тем хуже, чем выше порядок окружной моды.

Причиной этого является все более пикообразное по г поведение п

оо

- й окружной компоненты ядра Кп = ^ К^ интегрального уравнения

1=0

при больших |п|. Для аккуратного численного интегрирования произведения Ар Кп в (2) необходимо брать все более густую сетку, густота которой никак не связана с характерной длиной волны собственно решения Ар. Т.о. основным недостатком этого подхода является тот факт, что учет п-й окружной моды дается со все большими затратами

вычислений с ростом |п|.

В параграфе 3 второй главы диссертации предложен комбиниро: ный подход г вместо регулярной части ядра интегрального уравш берется галеркинская регулярная часть (как в первой главе), а ] сто сингулярной части - сингулярная часть, учитывающая локаль свойства стационарного потока. В этом случае, во - первых, не во кает проблем с корректной формулировкой условия Чаплыгина -ковского и во - вторых, учет п - й окружной компоненты не тре1 дополнительного мельчения сетки интегрирования.

В качестве иллюстрации возможностей комбинированного метод рис. 3 приведен расчет трансзвукового обтекания венца при следую исходных параметрах задачи : число Маха осевого потока М0 = количество лопаток в венце N = 40, скорость вращения венца и> осевая проекция хорды профиля лопаток св = 0.05, радиус втулки 0.6. Лопатки венца колеблются синфазно с частотой А = 2 и сдв: фазы колебаний друг относительно друга а = тг/4.

рис.3

На рисунке приведены эпюры распределения амплитуды колеб нагрузки вдоль хорды в различных сечениях по высоте лопатки. ] чении г =0.75 скорость относительного потока равна скорости з] При г > 0.75 наблюдаются скачки нагрузки на лопатке, обусловлен приходящими от соседних лопаток скачками давления. При г < эшоры давления - плавные кривые, соответствующие дозвуковом теканто.

В третьей главе рассматривается обтекание однородным пот

идеального газа двух кольцевых лопаточных венцов, вращающихся друг относительно друга в дозвуковом потоке. Лопатки обоих венцов представляют собой части винтовых поверхностей, направленных в невозмущенном положении вдоль линий тока невозмущенного потока. Пусть далее лопатки одного венца или обоих сразу слегка возмущены, например имеют небольшой изгиб или повернуты под небольшим стационарным углом атаки. Обтекание венцов в этом случае уже не может оставаться стационарным, т.к. возмущения стационарные в системе координат, связанной с одним из венцов, становятся нестационарными в системе координат, связанной с другим венцом. На установившемся режиме, не зависящем от начального состояния системы, рассматриваемое течение будет периодическим по времени с периодом Tj = 2ж/N^W в системе координат связанной с первым венцом и Тг = 27t/N{W - со вторым. Здесь N\ и JV2 - число лопаток соответственно в первом и втором венцах, W - скорость вращения одного венца относительного другого. С учетом указанной периодичности, а также с учетом инвариантности течения по отношению к одновременному сдвигу по времени на величину 2n/NiW и по углу на величину 2n/Ni (в системе координат, связанной со вторым венцом этими величинами будут соответственно —2n/NiW и 27r/iV2), в задаче все параметры течения раскладываются по гармоникам. Как и в работе Бутенко К.К. и Осипова A.A. (Аэродинамическое взаимодействие двух плоских решеток тонких слабонагруженных профилей при их относительном движении в дозвуковом потоке газа.// Изв. АН СССР, МЖГ, 1987, N 3, с. 168-175.), в главе 3 выводится бесконечная система сингулярных интегральных уравнений относительно гармонических компонент нагрузки на одной лопатке каждого венца Дp„j (v - номер венца, j - номер гармоники).

JJ Дp„j(xl,r',,)Kvj(xv,rv;xl,rl)+

■ s„

+ JJAPi>n(x'p,r'^Qtn-jixv,r„;i-,r'^dx'bdr'b = vuSj0

n=_0° s.

где V = 1,2; 0 = 3 — и; ] = 0,±1,±2... . Здесь Первый интеграл описывает влияние V - того венца самого на себя, второй - воздействие,

оказываемое на него со стороны другого, и - того венца, S„ - поверх ность лопатки v - того венца, v„ - известная нормальная компонент« скорости, 6,ч> -. символ Кронеккера.

Поскольку обтекание дозвуковое, используется такой же метод выде ления особенности как и в первой главе.

При численном решении выписанной системы ограничимся конеч ным числом уравнений, так что индекс j изменяется в диапазоне j = man ® Сумма ПО ГХ береТСЯ ДЛЯ П — ~jmaxi ••■) Jmax-

С целью проверки точности численного решения были проведены ме тодические расчеты по исследованию сходимости в зависимости от чв ела учитываемых гармоник (числа jmax)• Проведена серия сравнени результатов расчетов по данной программе с результатами по цилш дрической модели. На рис. 4 представлено поведение коэффициент подъемной силы Civ, (v = 1,2) по времени на одном периоде для тре сечений по размаху лопатки : у втулки (г = Л), в среднем сечени (г = гср) и на конце лопатки (г = 1). Три верхних графика соотве: ствуют первому венцу, три нижних - второму. Параметры задачи сл( дующие : Ма = 0.5, iSTj = 20, N2 = 18, ui = 0, и2 = 0.1, Ci = с2 = 0.31 h = 0.5, величина осевого зазора между венцами 6 = 0.0157, jmax = 3.

рис. А

У втулки наблюдаются сильные отличия в расчетах, связанные с трехмерными эффектами (штриховая линия здесь совпадает с осью абсцисс и поэтому не видна). В общем случае роль последних быстро растет с увеличением осевого зазора между венцами из-за быстрого увеличения роли следового воздействия первого венца на второй по сравнению с потенциальным взаимовлиянием венцов друг на друга. Как показывает специальный анализ, следовое воздействие связано главным образом с изменением циркуляции по размаху лопатки, а следовательно имеет трехмерную природу. Потенциальное взаимодействие экспоненциально быстро затухает при раздвижении венцов, а его величина достаточно удовлетворительно описывается с помощью цилиндрической модели. Т.о. при увеличении осевого зазора между венцами следовое воздействие начинает доминировать над потенциальным экспоненциально быстро, т.к. вихревые следы, сходящие с задних кромок лопаток впе-редистоящего венца, распространяются без затухания.

В заключении сформулированы следующие основные выводы :

1. Даны вывод интегрального уравнения и обоснование подхода, предложенного М. Намба.

2. Разработаны алгоритм и программа, позволяющие рассчитывать нестационарные нагрузки и акустические поля при дозвуковом обтекании вращающегося кольцевого лопаточного венца тонких слабонагру-женных лопаток. Программа применима для для расчета нестационарных характеристик, возбуждаемых колеблющимися с малой амплитудой лопатками или приходящими слабыми вихревыми неоднородностя-ми набегающего потока.

3. Метод позволяет получать быстрые оценки нестационарных нагрузок на лопатках звуковой ступени компрессора и создаваемых ею акустических полей. Время расчета типичного варианта с числом Струхаля порядка 1 составляет около 1 мин на РС-386.

4. Исследование эффектов трехмерности показало, что на некоторых режимах обтекания учет трехмерности нестационарного течения может оказаться существенным и давать значительные поправки к расчетам по цилиндрической модели.

5. Предложен новый метод выделения сингулярной части ядра интегрального уравнения, который в отличие от использованной в других работах процедуры галеркинского типа правильно отражает особенности решения в до- и сверхзвуковой частях потока.

6. Разработанные на основе указанного метода алгоритм и про грамма для ЭВМ позволяют расчитывать нестационарные нагрузки ] акустические поля на дозвуковых, сверхзвуковых, а также смешанны: (трансзвуковых по высоте лопатки) режимах обтекания, когда вслед ствие изменения параметров течения по высоте лопатки относительна скорость потока у втулки — дозвуковая, а у конца лопатки - сверхзву ковая. .

7. Разработан метод и программа расчета нестационарных аэрс динамических нагрузок, возникающих при взаимодействии двух вра щающихся друг относительно друга кольцевых лопаточных венцов н дозвуковом режиме. Время расчета типичного варианта с числом Ctpj халя порядка 1 около 20 мин на РС-386.

8. Проведенные расчеты и теоретический анализ показывают, чт при нестационарном аэродинамическом взаимодействии двух лопатой ных венцов могут возникать сильные трехмерные эффекты. Так с ув< личением осевого зазора нагрузки на втором венце выходят на нек< торое асимптотическое значение, в то время как по цилиндрическс модели затухают экспоненциально быстро.

Основные результаты автора опубликованы в работах :

1. Реент К.С. Расчет нестационарных аэродинамических нагрузс при дозвуковом обтекании потоком идеального газа вращакиц гося кольцевого венца лопаток, совершающих малые колебан* или подверженных воздействию слабых неоднородностей пот ка. // Аэроупругость лопаток турбомашин. Труды ЦИАМ 1127, 1985.

2. Осипов A.A., Реент К.С. Расчет нестационарных нагрузок акустических полей при дозвуковом обтекании вращающего« кольцевого венца тонких слабонагруженных лопаток, соверш ющих колебания малой амплитуды или подверженных возде ствию слабых неоднородностей потока. // Аэроупругость лоп ток турбомашин. - Труды ЦИАМ N 1166, 1985.

3. Богод А.Б., Бутенко К.К.,..., Реент К.С.....Математическ

моделирование стационарных и нестационарных до-, транссверхзвукового обтекания плоских решеток и венцов турбом шин и некоторые подходы к профилированию их лопаток. Тезисы докладов Республиканской научно - технической ко

ференции "Математические модели процессов и конструкций энергетических турбомашин в системе их автоматизированного проетирования". Харьков, 1985.

4. Бутенко К.К., Гнесин В.И., Ершов C.B., Осипов A.A., Реент К.С., Соколовский Г.А. Решение задач нестационарного обтекания лопаточных венцов и ступеней турбомашин с использованием численных и аналитических методов. // VI Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986.

5. Реент К.С. Расчет акустических полей, возбуждаемых при дозвуковом обтекании вращающегося кольцевого венца тонких слабонагруженных лопаток, подверженных воздействию слабых неоднородностей потока. // Шум реактивных двигателей. Труды ЦИАМ N 1226, 1987.

6. Осипов A.A., Реент К.С. Расчет нестационарного трансзвукового обтекания вращающегося кольцевого венца тонких слабо-нагруженных лопаток. // XI Всесоюзная конференция по аэроупругости турбомашин. Киев, 1987.

7. Реент К.С. Решение трехмерных задач нестационарного обтекания слабонагруженных венцов и ступеней турбомашины. Тезисы докладов Республиканской научно - технической конференции. // Математическое моделирование процессов и конструкций энергетических и транспортных турбинных установок в системах их автоматизированного проектирования. Харьков, 1988.

8. Осипов A.A., Реент К.С. Метод интегральных уравнений для расчета нестационарных аэродинамических характеристик вращающегося кольцевого лопаточного венца. // Журнал ВМ и МФ, том 28, N 9, 1988.

9. Осипов A.A., Реент К.С. Расчет нестационарного трансзвукового обтекания вращающегося кольцевого венца тонких слабонагруженных лопаток. // Аэроупругость лопаток турбомашин. Труды ЦИАМ, N 1266, 1989.

10. Реент К.С. Расчет аэродинамического взаимодействия кольцевых лопаточных венцов тонких слабонагруженных лопаток вращающихся друг относительно друга в дозвуковом потоке газа. // XII Всесоюзная конференция по аэроупругости турбомашин. Рига, 1989.

И. K.K. Butenko, A.A. Osipov, K.S. Reyent. Two- and three-

dimensional problems of unsteady aerodynamics of low loade* turbomachinery blade rows and stages. // Proceedings of th Fifth International Symposium on Unsteady Aerodynamics an< Aerolasticity of Turbomacliines and Propellers. Beijing, China 1989.

12. Реент К.С. Нестационарное аэродинамическое взаимодействи двух кольцевых лопаточных венцов тонких слабонагруженны: лопаток при их вращении друг относительно друга в дозвуковог потоке. // Механика жидкости и газа. 1991. С. 165-174.

13. Осипов А.А., Реент К.С. Решетка тонких слабонагруженны профилей, вибрирующих в дозвуковом отрывном потоке. / МЖГ. 1995. N 1. С. 181-190.

14. A.Osipov, K.Reyent. Some Concept Studies on Thermo-Flui Engineering Problems in Air Breathing Engines. // The Thir Japanese-Russian Joint Research Meeting. 1995. CIAM. Moscow.

15. Реент К.С. Новый подход к использованию метода особенносте для математического моделирования нестационарных аэродинг мических характеристик вращающегося лопаточного венца. / ЖВММФ.