Построение крыловых профилей по заданным распределениям толщины и нагрузки тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Используемые аббревиатуры и обозначения

Введение

Глава 1. Построение изолированного крылового профиля по распределениям толщины и нагрузки в потоке идеальной несжимаемой жидкости

§ 1. О численно-аналитических методах построения крыловых профи

§ 2. Постановка задачи. Аналитическое решение

§ 3. Итерационный способ решения. Результаты и анализ числовых расчетов

Глава 2. Обобщение на случай учета сжимаемости и вязкости

§ 4. Обзор литературы

§ 5. Построение крылового профиля с учетом сжимаемости.

§ 6. Построение крылового профиля с учетом вязкости.

Глава 3. Построение гидродинамической решетки по распределениям толщины и нагрузки

§ 7. Обзор литературы по построению прямых однорядных решеток

§ 8. Постановка задачи в случае идеальной несжимаемой жидкости. Аналитическое решение

9. Итерационный способ решения. Результаты и анализ числовых расчетов

§ 10. Постановка задачи с учетом сжимаемости. Способ решения. Результаты и анализ числовых расчетов

Глава 4. Построение статически устойчивых крыловых профилей и профилей дельтапланов

§ 11. Продольная статическая устойчивость.

§ 12. Построение статически устойчивых крыловых профилей

§ 13. Построение статически устойчивых профилей дельтапланов

Среди плоских краевых задач выделяют прямые и обратные задачи. Как известно, при постановке прямых задач граница области задана заранее, и задача состоит в отыскании функции, удовлетворяющей определенному уравнению и некоторым граничным условиям. Например, при постановке прямой краевой задачи аэрогидродинамики задан контур профиля, задача состоит в определении распределения скорости (давления) по профилю и других аэродинамических характеристик. Таким образом, такая постановка задачи и соответствующие ей методы решения призваны определять свойства и характеристики (в нашем случае аэродинамические) заданной формы области (контура профиля) в условиях изучаемого явления. Однако на практике нередко возникает иная задача -— об определении формы крылового профиля по заданному на его поверхности распределению скорости (давления) потока. Такие задачи получили название обратные краевые задачи аэрогидродинамики (ОКЗА) (см. напр. [65], [27]). Отличительным свойством обратных краевых задач является их конструктивный характер, то есть речь в них идет о создании объекта (профиля) с наперед заданными свойствами.

Одной из особенностей ОКЗА является зависимость метода их решения от того, функцией какого параметра задается исходное распределение скорости. В работах Ф. Вейнига [97], JI.A. Симонова [54], [55] рассмотрено решение задачи, когда задан годограф скорости (распределение скорости v как функция аргумента вектора скорости 9). В. Манг-лером [92] дана полная постановка и указан метод решения задачи по v(s) (s — дуговая абсцисса контура искомого профиля). Другой метод решения этой же задачи разработал Г.Г. Тумашев [61], [63]. В работах M. Лайтхилла [91] распределение скорости задавалось как функция дуговой координаты 7 границы круга, внешность которого конформно эквивалентна области течения. Один из первых итерационных способов решения задачи по заданной хордовой диаграмме скорости v(x) (ж — декартова координата) разработан В.М. Шурыгиным [76].

В дальнейшем появились работы, в которых на основе решения ОКЗА осуществлялось практическое проектирование ламинарных профилей (Р. Эпплер [84], Ф. Вортманн [102]), лопаток турбомашин (Г.Ю. Степанов [57], [58], [59]), высоконесущих профилей (Р. Либек [89],

90]). Описание достижений в области ОКЗА содержится в монографиях Г.Ю. Степанова [59], Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина [65], A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского и А.В. Поташева [27].

Другой отличительной особенностью ОКЗА является тот факт, что произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи, то есть контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся. Кроме того, заданная скорость v^ набегающего потока может не совпадать с величиной скорости на бесконечности, определяемой в ходе решения задачи. Таким образом, эти задачи являются некорректными. Условия, обеспечивающие замкнутость контура (их так и называют — условия замкнутости) и согласование указанных величин скорости, называются условиями разрешимости.

По существу условия разрешимости содержатся в работах А. Бет-ца [78] и подробно выведены в статьях В. Манглера [92], М. Лайтхилла

91] и Г.Г. Тумашева [63]. К сожалению, эти условия не удается записать непосредственно через исходные данные в физической плоскости. В частности, в работе В. Манглера [92] условия разрешимости записываются через промежуточную функцию 5(7) = In\ds(j)/dj\, 7 £ [0,27г], и означают, что три первых коэффициента ряда Фурье для S(7) должны принимать фиксированные значения. В случае невыполнения условий разрешимости В. Манглер [92] предложил заменять значения соответствующих коэффициентов на нужные, модифицируя тем самым исходное распределение скорости v(s). Аналогичный подход использовал Б. Арлингер [77], допускающий коррекцию S(7), а следовательно, исходного распределения скорости, только на части контура, как правило, на нижней поверхности. Т. Стрэнд [94], развивая результаты Б. Арлинге-ра, разработал и численно реализовал способ удовлетворения условий разрешимости за счет варьирования конечного числа параметров, вводимых в г>(7) с тем, чтобы отклоняться от исходных данных. М. Лайт-хилл [91] и Р. Эпплер [85], [86], задавая функцию ^(7), зависящую от конечного числа параметров, значения части параметров определяли из условий разрешимости, а другие использовали для обеспечения нужного поведения распределения скорости и максимизации подъемной силы.

Основываясь на общей идее В.К. Иванова (см., напр., [29]) построения квазирешения некорректных задач, A.M. Елизаровым [20] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗА. В последующих работах A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, А.В. Поташева [21] — [26] разработан метод построения квазирешения ОКЗА. Суть его состоит в минимальной (в некотором смысле) коррекции исходного распределения скорости v(s) с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. При построении квазирешения модифицируется функция 5(7) (соответственно, и исходное распределение v(s)).

Исходя из вышесказанного следует, что задача удовлетворения условиям разрешимости сложна. Поэтому практический и теоретический интерес представляет ОКЗА, где предпринимается попытка обойти эти условия. Для этого задаются такие характеристики, которые изначально удовлетворяют условиям замкнутости. В настоящей работе изначально задан закон распределения толщины h(x) и нагрузки р(х) по искомому профилю. При таком подходе, когда задано распределение толщины, автоматически выполняется условие замкнутости и снимается проблема однолистности получаемого решения. Второе условие разрешимости — условие совпадения скоростей на бесконечности легко реализуется. Преимущество также еще и в том, что помимо аэрогидродинамических характеристик (распределение нагрузки) задаются и геометрические характеристики искомого профиля (распределение толщины). Достоинство постановки по сравнению, например, с задачей по v(x), заключается в том, что проектировщик может заранее задать необходимую ему относительную толщину профиля. Зная прочность и другие технические характеристики материала из которого изготавливают крыло, можно задать необходимую нагрузку.

Целью настоящей диссертации является решение задач аэродинамического проектирования крыловых профилей и прямых решеток профилей численно-аналитическим способом на основе теории ОКЗА по хордовым распределениям толщины и нагрузки; обобщение этих способов на случай дозвукового потока газа и на случай вязкости; разработка вычислительных алгоритмов и их численная реализация; проведение числовых расчетов и их анализ; исследование зависимости статической устойчивости от заданных распределений толщины и нагрузки; модификация распределений толщины и нагрузки с целью улучшения статической устойчивости; построение статически устойчивых крыловых профилей и профилей дельтапланов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих тринадцать параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

В данной работе разработан и реализован на персональном компьютере вычислительный алгоритм решения ОКЗА по хордовой диаграмме толщины и нагрузки для изолированного крылового профиля. Аналитическое решение основано на отыскании конформного отображения внешности единичного круга в плоскости £ на внешность искомого профиля в физической плоскости z. Получена замкнутая система интегро-дифференциальных уравнений. Итерационный способ решения состоит из внутреннего и внешнего процессов. Представлены результаты тестовых и проектировочного расчетов, иллюстрирующие эффективность и быстродействие предложенного аппарата. Этот способ обобщен на случай дозвукового потока газа и на случай вязкости потока. Применен простейший способ учета сжимаемости потока по формуле Кармана-Цзяна. Вязкость потока учитывается по методу Кочина-Лойцянского расчета безотрывного ТПС с применением уточняющих формул А.И. Каменецкого.

Решена ОКЗА для прямой решетки профилей. Закон распределения толщины вместе с распределением нагрузки позволяет удовлетворять прочностным характеристикам профиля. Способ решения основан на комплексном использовании метода, предложенного в [33], и способа из [12]. Приведены тестовые расчеты, показывающие сходимость итерационного процесса. Сравниваются результат построения изолированного профиля с профилем решетки с бесконечным шагом t. Показаны числовые расчеты построения решеток с одинаковыми распределениями толщины h(x) и нагрузки р(х) при переменных величинах шага t и угла 9\. Способ решения обобщен на случай дозвукового потока газа. Проведены тестовые и проектировочные расчеты при изменении числа

Маха.

Построен статически устойчивый изолированный крыловой профиль. Использован способ модификации распределений толщины и нагрузки с целью улучшения статической устойчивости и статического равновесия. Построен статически устойчивый профиль дельтаплана. Рассмотрены две задачи, когда центр массы пилота лежит на или ниже хорды профиля дельтаплана. На основе разработанных способов представлены результаты расчетов. Приведены зависимости перемещений и поворота пилота для сохранения статической устойчивости и равновесия в диапазоне изменения угла атаки.

1. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. — М.: Мир. — 1982. —583с.

2. Бокарева А.Я., Майкапар Г.И. Приближенное построение тонкого профиля по заданному давлению // Тр. ЦАГИ. — 1948. — № 663. —С. 31-38.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. — М.: Физико-математическая литература. — 1962. —608с.

4. Васильева Т. А. Решение обратной задачи аэрогидродинамики //В сб. Механика деформируемых сред. — Москва. — 1985. —С. 53-58.

5. Галявиева М.С. Построение крыловых профилей по хордовой диаграмме скорости с использованием квазирешений обратных краевых задач // Изв. вузов. Авиационная техника. — 1990. — № 4. —С. 56-59.

6. Галявиева М.С. Разработка и реализация итерационных способов построения крыловых профилей по хордовой диаграмме скорости.

7. Диссертация. — Казань. — 1991. —105с.

8. Гернет М.М. Курс теоретической механики. — М.: Высшая школа.1973. —464с.

9. Глебов Н.И. Построение крылового профиля по заданной хордовой диаграмме распределения скорости или давления // Сб. студ. на-учн. работ, физ.-мат. и хим. науки. — Казань: Казан, ун-т. — 1961. —С. 84-106.

10. Долганов С.А., Ильинский Н.Б., Поляков Д.В. Построение статически устойчивого крылового профиля // Тезисы докладов II Республиканской научной конференции Молодых ученых и специалистов. — Казань. — 1996. —С. 20.

11. Долганов С.А., Ильинский Н.Б., Поляков Д.В. Итерационный метод определения формы статически устойчивых крыловых профилей // Тезисы докладов Международной научно-технической конференции "Механика Машиностроения". — Набережные Челны. — 1997. —1. С. 5-6.

12. Долганов С. А., Ильинский Н. Б., Поляков Д. В. Построение крылового профиля по заданным распределениям толщины и нагрузки // Изв. вузов. Авиационная техника. — 1999. — № 1. —С. 25-28.

13. Долганов С.А. Построение профиля гидродинамической решетки по геометрическим и аэродинамическим характеристикам // Тезисы Девятого Всероссийского семинара по управлению и навигации летательных аппаратов. — Самара. — 1999. —С. 244-247.

14. Долганов С.А., Поташев А.В. Построение гидродинамической решетки профилей по заданным распределениям толщины и нагрузки // Материалы Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". — Казань. — 1999. —С. 286-292.

15. Долганов С.А., Поташев А.В. Построение гидродинамической решетки профилей по заданным распределения толщины и нагрузки // Изв. вузов. Авиационная техника, (принята в печать).

16. Дорфман JL А. Расчет безвихревого обтекания решеток профилей и построение решеток по заданному распределению скоростей на профилях // Прикладная, математика, и механика. — 1953. — Т. 16.5. —С. 599-612.

17. Елизаров A.M. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи // Изв. вузов. Матем. — 1984. — № 10. —С. 42-50.

18. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики // Изв. вузов. Матем. — 1984.10. —С. 50-59.

19. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Квазирешения обратной краевой задачи гидроаэродинамики // Докл. АН СССР. — 1985. — Т. 284. — № 2. —С. 319-322.

20. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. О задании распределения скорости при построении изолированного профиля методом квазирешений // Труды семинара по краевым задачам. — Казань: Казан, ун-т. — 1985. — Вып. 22. —С. 69-78.

21. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Построение крыловых профилей на основе теории обратных краевых задач методом квазирешений // Изв. вузов. Авиационная техника. — 1986. — № 3. —С. 18-22.

22. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Построение крыловых профилей методом квазирешений обратных краевых задач // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1988. — № 3.1. С. 5-13.

23. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. — М.: ВИНИТИ. — 1989. — Т. 23. —С. 3-115.

24. Елизаров A.M., Ильинский Н.Б., Поташев А.В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. — М.: Наука. — 1994. —440с.

25. Жуковский М.И. Расчет обтекания произвольной решетки профилей и построение решеток по задаваемому распределению скоростей // Сборник ЧКТИ. — 1954. — № 27. —С. 3-19.

26. Иванов В.К., Васин В.В., Таната В.П. Теория линейных некорректных задачи и ее приложения. — М.: Наука. — 1978. —206с.

27. Ильинский А.Н. Построение контура крылового профиля в вязком дозвуковом потоке. — Диссертация. — Казань. — 1991. —119с.

28. Ильинский Н.Б., Поташев А.В., Фокин Д.В. Построение крыловых профилей в дозвуковом потоке газа методом квазирешений обратных краевых задач // Уч. зап. ЦАГИ. — 1989. — Т. 30. — № 4. —С. 98-101.

29. Ильинский Н.Б., Поляков Д.В. Построение крылового профиля с заданными аэродинамическими и геометрическими характеристиками // Изв. вузов. Авиац. техника. —1994. — № 3. —С. 47-52.

30. Ильинский Н.Б., Исмагилова Г.Р., Поташев А.В. Обратные краевые задачи для гидродинамических решеток профилей // Препринт № 94—3. — Казань: Казан, ун-т. — 1994. —84с.

31. Киселев О.М. Построение крылового профиля по заданной хордовой диаграмме // Изв. вузов. Авиац. техника. — 1959. — № 2. —С. 20-24.

32. Клоков В.В. Об одном типе краевых задач в газовой динамике // Труды семинара по краевым задачам. — Казань: Казан, ун-т. — 1964. — Вып. I. —С. 36-44.

33. Колесников Г.А. и др. Аэродинамика летательных аппаратов. — М.: Машиностроение. — 1993. —544с.

34. Косторной С.Д., Литвиенко А.А. Обратная смешанная задача для профиля с заданным распределением скоростей на одной из его сторон и известным законом толщины // Изв. вузов. Авиац. техн. — 1978. — № 2. —С. 142-144.

35. Костычев Г.И. О построении решеток по заданному распределению скорости // Труды Казан, авиац. ин-та. — 1958. — № 33-34. — С. 7-18.

36. Костычев Г.И. О построении крылового профиля по хордовой диаграмме распределения скорости или давления // Труды Казан, авиац. ин-та. — 1958. — № 38. —С. 3-21.

37. Кочин Н.Е. Гидродинамическая теория решеток. — M.-JL: Изд-во технико-теор. литературы. — 1949. —103с.

38. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. 4.1. Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла. — М.: Высшая школа. — 1980. —495с.

39. Лебедев Л.Л. Обратная задача теории ламинарного пограничного слоя // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Казан, ун-т. — 1983. — Вып. 19. —С. 103-106.

40. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука. — 1987. —840с.

41. Общая теория аэродинамики больших скоростей // Сб. статей под редакцией У. Сирса. — М.: Воениздат. — 1962. — 667с.

42. Мину М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы: Пер. с франц. и предисловие А.И. Штерна. — М.: Наука. — 1990. —488с.

43. Нугманов З.Х., Павлов В.Г., Шарафеев М.Г. Проектирование профиля по заданному распределению давления // Гидрогазодинамика летательных аппаратов и их систем. — Куйбышев: КуАИ. — 1984. —С. 8-15.

44. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Павлов В.Г. Аэродинамическое проектирование с учетом условия безотрывности // Изв. вузов. Авиац. техника. — 1985. — № 3. —С. 47-50.

45. Нугманов З.Х., Овчинников В.А., Павлов В.Г., Романов В.М. Численные методы расчета обтекания профиля идеальным несжимаемым потоком. Казань: Казан, авиац. ин-т. — 1986. —64с.

46. Осташев В.Г. Дельтапланеризм. — Новосибирск: Наука. — 1983. —112с.

47. Павловец Г.А., Самознаев Н.Д. Численный метод построения контура крылового профиля по заданному распределению скоростей на его поверхности // Тр. ЦАГИ. — 1970. — № 1271. —16с.

48. Павловец Г.А. Методы расчета обтекания сечений крыла идеальным несжимаемым потоком // Тр. ЦАГИ. — 1971. — № 1344. —72с.

49. Панов Л.Я. Построяване на симметричен крилен профил по зада-дено разпределение скоростта по дължината на контураму // Год. Маш.-електротех. ин-т. — 1961. — 10. — № 3. —С. 51-64.

50. Салимов Р.Б. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме, близкой к диаграмме известного профиля // Уч. зап. Казан, ун-та. — 1957. — Т. 117. — № 9. —С. 55-59.

51. Симонов JI.A. Построение профилей по годографу скоростей // Приклад. мат. и мех. — 1940. — вып. 4. — № 4. —С. 97-116.

52. Симонов JI.A. Построение профилей по годографу скоростей // Прикл. мат. и мех. — 1941. — Т. 5. — № 2. —С. 193-222.

53. Слуцкий А.И. Применение метода источников к решению задачи обтекания симметричного профиля по заданному распределению давления // Тр. ЦАГИ. — 1948. — № 663. —С. 1-25.

54. Степанов Г.Ю. Гидродинамические исследования турбинных решеток, I, II // Обзорный бюллетень авиамоторостроения. — ЦИАМ. — 1949. — № 4. —28с. — № 5. —27с.

55. Степанов Г.Ю. Гидродинамическое исследование плоских турбинных решеток // Тр. ЦИАМ. — 1951. — № 202. —61с.

56. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. — М.: Физ-матгиз. — 1962. —512с.

57. Тумашев Г.Г. Нахождение формы профиля по заданному распределению скорости с учетом сжимаемости жидкости // Изв. Казан, физ.-мат. об-ва. — 1945. — Т. 13. — Сер. 2. — С. 127-132.

58. Тумашев Г.Г. Построение профилей по заданному распределению скоростей // Труды Казанского авиационного института. — Казань. — 1946. — № 17. —С. 19-22.

59. Тумашев Г.Г. Построение решетки по заданному распределению скорости // Уч. зап. Казан, ун-та. — 1949. — 109. — № 1. —С. 7387.

60. Тумашев Г.Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления // Уч. зап. Казан, ун-т. — 1952. — Т.112. — №3. —С. 3-41.

61. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи // Уч. зап. Казан, ун-т. — 1955. — Т. 115. — № 6 —167с.

62. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. — Казань: Казан, ун-т. — 1965. —333с.

63. Ушаков Б.А. Атлас аэродинамических характеристик профилей крыльев. — БНТ НКАП при ЦАГИ. — 1940. —340с.

64. Фокин Д.А. Построение крыловых профилей в дозвуковом потоке газа методом квазирешений обратных краевых задач. — Диссертация. — Казань. — 1990.

65. Хамзаев А.Д. Итерационный метод решения смешанной обратной задачи для крыла конечного размаха при заданных распределениях толщины и нагрузки. — Москва. — 1990. —14с. — Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 08.08.85. — № 5942-85.

66. Хамзаев А.Д. Численные методы исследования аэродинамических характеристик сложных пространственных конфигураций и оптимизации профилировок их несущих элементов. — Диссертация. — Москва. — 1991. —324с.

67. Чаплыгин С.А. О газовых струях // Полн. собр. соч. — JL: АН СССР. — 1933. — Т. 2. —С. 3-90.

68. Чугунов В.Д. Решение некоторых обратных и смешанных задач аэрогидромеханики. — Диссертация. — Казань. — 1953.

69. Шагаев А.А. Построение контура профиля по заданному распределению давлений в сжимаемом потоке газа // Тр. ЦАГИ. — 1978. — № 1925. —С. 29-40.

70. Шагаев А.А. Определение формы профиля по заданной хордовой диаграмме чисел Маха в трансзвуковом потоке // Уч. зап. ЦАГИ. — 1984. — Т. 15. — № 4. —С. 15-23.

71. Шкляев П.Н. Построение крыла по заданному распределению давления на его поверхности в виде хордовой диаграммы // Труды Казан, авиац. ин-та. — 1949. — № 23. —С. 73-88.

72. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука.— 1974. — 712с.

73. Шурыгин В.М. Определение контура профиля по заданному распределению давления // Тр. ЦАГИ. — 1948. — № 660. —20с.

74. Arlinger В. An exact method of two-dimentional airfoil design // Techn. Note SAAB. — Linkoping. Sweden. — 1970. — TN-67. —36p.

75. Betz A. Anderung der Profilform zur Erzielung einer vorgegebenen Anderrung der Druckverteilung // Z. Luftfahrtforschung. — 1934. — 11. — № 6. —S. 158-164.

76. Callagan J., Beatty T. A theoretical method for the analysis and design of multielement airfoils // J.tof Aircraft. — 1972. — 9. — № 12. — P. 844-848.

77. Daripa P.K., Sirovich L. An inverse method for subcritical flows //J. Comput. Phys. — 1986. — 63. — № 2. —P. 311-328.

78. Daripa P.K. A fast approach to designing airfoil for given pressure distribution in compressible flows // AIAA Pap. — 1987. — № 872862. —7p.

79. Daripa P.K. An efficient method for inverse problems // 2nd Int. Conf. Inverse Des.Conc. and Optimiz. — Eng.Sci: ICIDES — II. Univ.Park. Pa. — 1987. —P. 469-486.

80. Dutt H., Sreekanth A. Design of airfoils for prescribed pressure distribution in viscous incompressible flows Jj Aeronaut. Quart. —1980. — 31. — № 1. —P. 42—55.

81. Eppler R. Laminarprofile fur Segelflugzeuge // Z. Flugwiss. — 1955. — 3. — № 10. —S. 345-353.

82. Eppler R. Die Berechnung von Tragflugelprofilen aus der Druckver-teilung // Ing. Arch. — 1955. — 23. — № 6. —S. 436-452.

83. Eppler R. Direkte Berechnung von Tragflugelprofilen aus der Druckverteilung // Ing. Arch. — 1957. — 25. — № 1. — S. 32-57.

84. Hirose N., Takanashi S., Kawai N. Transonic airfoil design procedure utilizing a Navier-Stokes analysis code // AIAA J. — 1987. — 25. — № 3. —P. 353-359.

85. Karman Th. Y. Compressibility effects in aerodynamics //J. Aeron. Sci. — 1941. — 8. — № 7.

86. Liebeck R.H. Optimization of airfoils for maximum lift // Doct. diss. Univ. 111. — 1968. —Юр. Dissert. Abstrs. — 1969. — 29. — № 7. — P. 2401-2402.

87. Liebeck R.H. Design of subsonic airfoil for high lift //J. Aircraft. — 1978. — 15. — № 9. —P. 547-561.

88. Ligthill M. J. A new method of two-dimensional aerodynamic design // Aeronaut. Res. Counc. Repts. and Mem. —1945. — № 2112. —53p.

89. Mangier W. Die Berechnung eines Tragflugelprofiles mit vorgeschriebener Druckverteilung // Jahrb. Dtsch. Luftfahrtforschung. — 1938.— 1. — S. 46-53.

90. Sato J. An exact two-dimensional incompressible potential rlow theory of aerofoil design with srecified velocity distributions. // Trans. Jap. Soc. Aeronaut, and Space Sci. — 1966. — 9. — № 4. —P. 11-18.

91. Strand T. Exact method of designing airfoil with given velocity distribution in incompressible flow //J. Aircraft. — 1973. — 10. — № 11. —P. 651-659.

92. Strand T. Design method for high lift airfoils with given velocity distribution in compressible sub critical inviscid flow / / Kgl. Norske Vid. Selsk. Proc. Theodorsen Collog. — 1976. —P. 114-133.

93. Van Ingen J.L. On the design of airfoil sections utilizing computer graphics // Ingenieur (Nederl). — 1969. — 81. — № 43. — L110-L118.

94. Weinig F. Widerstandsund Tragflugelrpofile mit vorgeschriebener Geschwindigkeitsverteilung an der Oberflache // Z. angew. Math, und Mech. — 1929. — 9. — № 6. —S. 507—509.

95. Weinig F. Die Stromung un die Schaufeln von Turbomachinen. — Leipzig. —1935. —141s.

96. Woods L.C. Two-dimensional aerofoil desigh in compressible flow // Aeronaut. Res. Couc. Repts and Mem. — 1949. — № 2731. —19p.

97. Woods L.C. Aierofoil desing in two-dimensional subsonic compressible flow // Aeronaut. Res. Counc. Repts and Mem. — 1952. — № 2845. —54p.

98. Woods L.C. Generalized aerofoil theory // Proc. Roy. Soc. London. — 1957. — 238. — № 1214. —P. 358-388.

99. Wortmann F.X. Ein Beitrag zum Entwurf von Laminarprofilen fur Segelflugzeuge und Hubschrauber // Z. Flugwiss. — 1955. — 3. — № 10. —S. 333-345.