Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двусвязных областей с использованием аппарата эллиптических функций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Волков Павел Александрович

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ АЭРОГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ДВУСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АППАРАТА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.02.05 Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-2005

Работа выполнена в Отделе краевых задач Научно-исследовательского института математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета им. В.И. УльяновагЛенина.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор, заслуженный деятель науки России и Татарстана Ильинский Николай Борисович

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор, заслуженный деятель науки Татарстана

Павлов Валентин Гаврилович

доктор физико-математических наук, ст. научн. сотрудник Филиппов Сергей Иванович

Ведущая организация: Самарский государственный

аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева , г. Самара.

Защита состоится 24 ноября 2005г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.11 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан "/V " октября 2005г.

Ученый секретарь диссертационного совета л

кандидат физ.-мат. наук, доцент /jj f A.A. Саченков

2006

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Методы обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) в ряде случаев являются более эффективными при проектировании крыловых профилей летательных аппаратов и судов на подводных крыльях, чем традиционные, которые заключаются в многократном решении прямой задачи и подборе крылового профиля с желаемыми характеристиками. Подходы, основанные на теории ОКЗА, позволяют заранее задавать желаемые аэродинамические характеристики проектируемого профиля. В настоящее время большое количество работ посвящено расширению класса решаемых ОКЗА: проектирование профилей при наличии в потоке особенностей, вблизи твердой или свободной поверхности, многокомпонентных крщловых профилей. Последние представляют особый интерес, так как введение таких устройств как закрылки и предкрылки позволяет увеличить подъемную силу крылового профиля и улучшить другие аэродинамические характеристики.

Целью настоящей диссертации является разработка численно-аналитических методов аэродинамического проектирования двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых как идеальной несжимаемой жидкостью, так и дозвуковым потоком вязкого газа; поиск двухэлементных профилей с максимальным аэродинамическим качеством; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация.

Научная новизна. В диссертации разработан метод решения задачи построения двухэлементного крылового профиля с использованием аппарата эллиптических функций по заданным на искомых контурах профиля распределениям скорости как функций дуговой абсциссы этих контуров. Для удовлетворения условий разрешимости задачи в качестве исходных использованы многопараметрические семейства распределений скорости. Описан метод проектирования профиля крыла экраноплана как частного случая вышеупомянутой задачи.

Проведено обобщение метода решения на случай одновременного учета вязкости по модели пограничного слоя и сжимаемости в приближении газа Чаплыгина. Благодаря выбору распределений скорости из класса гидродинамически целесообразных удалось устранить отрыв пограничного слоя на участках торможения потока, что способствовало улучшению аэродинамических характеристик отыскиваемого профиля.

Решена задача оптимизации двухэлементного крылового профиля, обладающего максимальным аэродинамич (ОДШЭДМйЬйда Ьбтекании

БИБЛИОТЕКА [ ■ *

дозвуковым потоком вязкого газа. Построена оптимальная форма контура профиля с закрылком.

Разработаны алгоритмы численной реализации решений задач.

Достоверность полученных результатов обеспечена обоснованностью применяемых математических моделей, хорошим совпадением результатов с известными и с результатами, являющимися частными случаями рассматриваемой задачи, а также проверкой вычислительным экспериментом.

Практическая ценность. Разработанные в диссертации методы, алгоритмы и достроенные профили могут быть использованы при проектировании крыльев самолетов дозвуковой авиации и крыльев летательных аппаратов, использующих влияние земли (экранопланов). Результаты диссертации могут войти в учебную программу спецкурса для студентов механико-математического факультета Казанского университета.

Апробация работы. Результаты диссертации по мере их получения были доложены на семинарах Отдела краевых задач (руководитель Н.Б. Ильинский); на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета (секция аэрогидромеханики) за 2002 2005гг.; Международной научно-технической конференции молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники" (ЦАГИ, Жуковский, 2002); VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002); Международной летней научной школе "Гидродинамика больших скоростей" (Чебоксары, 2002, 2004); Совместном российско-немецком семинаре НИИММ КГУ и IAG (Казань, 2003 г.); Второй научно-практической конференции молодых ученых и специалистов "Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности" ("ОКБ Сухого", Москва, 2004); XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004г.); Пятой Международной школе-семинаре "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2005).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 статьях и 5 тезисах; еще одна статья принята к опубликованию в Изв.РАН, МЖГ. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Содержание, структура и объем работы. Диссертационная работа состоят из введения, трех глав, содержащих одиннадцать параграфов, заключения, списка литературы и содержит 102 страницы, 5 таблиц, 37 рисунков. Библиографический список состоит из 58 наименований источ-

ников отечественных и зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведен обзор литературы по методам аэродинамического проектирования двухэлементных крыловых профилей. Кроме прямых и обратных подходов в проектированию уделено внимание методам аэродинамической оптимизации, позволяющим находить контур крылового профиля с наилучшими аэродинамическими характеристиками.

Вопрос об аэродинамическом расчете двухэлементного крылового профиля (профиля биплана) всегда привлекал внимание исследователей. Сложность теоретического проектирования таких профилей обусловлена двусвязностью области течения, а процесс решения связан с рядом специфических проблем таких, как способ параметризации исходных данных, выбор канонической области, выполнение условий разрешимости и т.д. Существуют прямые и обратные подходы к решению этой задачи.

Под прямым подходом понимают задачу нахождения аэродинамических характеристик заданного профиля (прямая задача). Такой подход применяли J.L. Kennedy, D.J. Marsden, J.G. Callaghan, T.D. Beatty, A.B. Волков, C.B. Ляпунов и другие.

Обратный подход основан на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА). Неизвестная форма крылового профиля отыскивается по заданному на его контуре распределению давления или скорости как функции дуговой абсциссы, декартовой координаты или полярного угла в канонической области, причем в зависимости от способа параметризации исходных данных методы решения ОКЗА различны.

История развития ОКЗА насчитывает более 70 лет. Первые постановки и решения таких задач были даны в 30-40 годах прошлого столетия в работах F. Weinig'a, C.Schmiden'a, A.Betz'a, W. Mangler'a, Л.А. Симонова, Г.Г. Тумашева, M.J. Lighthill'a. Обратные задачи для двусвязных областей появились позднее.

В работе P.M. Насырова на искомых профилях биплана задавалось распределение скорости в виде функции дуговой абсциссы искомого контура, области течения ставилась в соответствие внешность двух дуг единичной окружности во вспомогательной плоскости и решение сводилось к двум задачам Римана. В монографии Г.Г. Тумашева и М.Т. Нужина в качестве вспомогательной области выбирался прямоугольник, а функция Мичела-Жуковского восстанавливалась по формуле Вилля. В работе Г.Ю. Степанова решена задача построения решеток бипланов по методу

годографа скорости. В монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Поташева для выполнения условий разрешимости ОКЗА применен способ квазирешения некорректных задач математической физики, а сведение к односвязной области осуществлялось заменой закрылка системой вихрей. R.M. James предложил метод решения, основанный на интегральных соотношениях для функции Мичела-Жуковского в кольце, причем на искомых профилях биплана задавалось распределение скорости в виде функции полярного угла окружности в канонической области. В работе A. Gopalarathnam'a , M.S. Selig'a описан численный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей, использующий комбинацию прямого и обратного методов.

Особый интерес вызывают задачи проектирования крыловых профилей, обладающих оптимальными аэродинамическими характеристиками. В работе R.H. Libeck'a изложен метод построения высоконесущего крылового профиля; суть метода заключается в подборе распределения скорости с максимальной площадью эпюры вдоль верхней поверхности профиля. В работе A.I. Ormsbee и A.W. Chen'a этот метод был обобщен на случай двухэлементного профиля. В монографии A.M. Елизарова, Н.Б. Ильинского, A.B. Поташева показано, что полочные распределения являются экстремальными в задаче максимизации площади эпюры распределений скорости с заданными значениями формпараметра.

В первой главе в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости (ИНЖ) решена задача проектирования двухэлементного крылового профиля по заданным на искомых контурах профиля распределениям скорости как функций дуговой абсциссы этих контуров, зависящих от конечного числа параметров.

В §1 изложены математическая постановка задачи и её аналитическое решение. В качестве исходных данных задавались периметры Ik (к = 1,2) контуров, распределения скоростей в виде функций дуговых абсцисс искомых контуров Vk — Vk{sk) (фиг.1,6), величина скорости Voo набегающего потока, расход между профилями и разность потенциалов между точками разветвления потока. Углы в задних кромках считались равными нулю. Требовалось определить форму контуров двухэлементного профиля и его аэродинамические характеристики.

Суть решения заключалась в нахождении конформного отображения двухсвязной области течения Gz (фиг.1,а) на прямоугольник Gu (фиг.2). Вид комплексного потенциала w(u) брался из работы Л.И. Седова1. Неиз-

1 Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М ;J1.: Гостехиздат. 1950. - 444 с.

- я

.(и)

¿В, А/ М,

Фиг. 2.

вестная функция г = 2(11) отыскивалась из решения в области бц прямой краевой задачи для вспомогательной функции Мичела-Жуковского х(и) = с1ю/с1г) = 1п |^/г>оо| — где в - аргумент вектора скорости. Приведены формулы для определения аэродинамических характеристик полученного профиля.

В §2 определены условия разрешимости задачи: условия замкнутости искомых контуров профиля, условие однозначности оператора Шварца и условие совпадения скорости на бесконечности со значением, определяемым в процессе решения. Для их удовлетворения исходные распределения скоростей задавались зависящими от конечного числа параметров.

В §3 рассмотрен случай построения крылового профиля экранопла-на (фиг.З). Экранный эффект моделировался методом зеркального отражения профиля относительно экрана. Задача сведена к расчету обтекания двух симметрично расположенных профилей, периметры контуров которых одинаковы, а распределения скоростей удовлетворяют условию г;'(в) = — ь(1 — в).

В §4 приведены примеры расчетов профиля экраноплана и профилей

Фиг. 3.

Фиг. 4.

с закрылком. Тестовый расчет профиля экраноплана для отстояния h = 0.4 задней кромки профиля от экрана изображен на фиг.4 (сплошная кривая). На той же фигуре (пунктирная кривая) изображен профиль, полученный ранее другим методом2. Характеристики профиля таковы, что при хорде b = 0.48, максимальной толщине профиля с = 13% (в процентах от хорды) и угле атаки а — 9° коэффициент подъемной силы равен Су = 1.15.

На фиг.5 представлены результаты расчета профиля с закрылком. В качестве исходных задавались величина расхода д» = 0.03, разность потенциалов ipt = —0.6 между точками Аг и А\, параметрические распределения скорости Vk, к — 1,2 полочного типа (с участками постоянства скорости) из класса гидродинамически целесообразных распределений скорости (ГЦРС). Выполнение условий разрешимости достигалось варьиро-

1 Ильинский HB., Лотфуллин М.В, Маклаков ДВ., Поташев A.B. Определение формы крылового профиля, обтекаемого вблизи границы раздела сред, по заданной эпюре скоростей// Изв РАН. МЖГ,- 1992. - № 6. - С. 16-21.

v.i ит

а

li г

1 1

¡.II.

Фиг. 5.

-08 -0Л -0.4 42 X

№ профиля ек° ь с,% С,

1 12 0.19 21% 0.17

2 5 0.73 27% 1.24

ванием свободных параметров. Расчет одного двухэлементного профиля по 400 точкам на ЭВМ типа "Pentium III" занимал от 3 до 6 минут процессорного времени, сходимость процесса решения происходила достаточно быстро, точность расчета составляла Ю-4. Рассчитанные в ходе решения новые распределения скорости изображены сплошной и штриховой кривыми на фиг.5,а, соответствующие им профили - на фиг.5,6.

Во второй главе решение задачи построения двухэлементного крылового профиля обобщено на случай учета вязкости и сжимаемости потока. Применен подход, при котором вязкость учитывалась по модели пограничного слоя (ПС), сжимаемость - по модели газа Чаплыгина.

В §5 решена задача построения двухэлементного крылового профиля при дозвуковом обтекании. Заданы число Маха М^ набегающего потока, периметры искомых контуров профиля биплана, параметрические распределения приведенной скорости как функции дуговой абсциссы этих контуров, расход между профилями и разность потенциалов между точками разветвления потока. Требуется определить форму контуров двухэлементного профиля и его аэродинамические характеристики.

В решении задачи использована аппроксимация адиабатического ба-ротропного течения газа приближенной моделью газа Чаплыгина. Уравнения Чаплыгина

при K(S) = 1 преобразуются в условия Коши-Римана аналитичности функции комплексного потенциала w(x), х = S — iв, где

5 = In /Л

1 + у/1 + 4с2 А2

Искомые контуры определятся из соотношения

¿г — ехр (—с2ехр(х(,ш))йш.

Коэффициенты сопротивления и подъемной силы имеют вид

Схк = £ СркЛу, Сук = - £ Сркйх, ьк ьк

где Срк - коэффициент давления для адиабатического течения

... 2 Г/1-А^\«(*+1) ,

Условия разрешимости задачи, а именно, условия замкнутости искомых контуров профиля, условие однозначности оператора Шварца и условие на бесконечности, имеющее вид

ЯехМ = ь|2Лте [1 + {1 -Ь^}1/2]"11 ,

удовлетворялись подбором свободных параметров в исходных распределениях скорости.

В §6 изложено решение задачи построения двухэлементного крылового профиля в потоке вязкой жидкости. Способ учета вязкости потока по модели ПС позволил свести поставленную задачу к задаче нахождения контуров полутел вытеснения в потоке ИНЖ по заданным вдоль границ полутел распределениям скорости. Форму искомых профилей получим, отступив внутрь полутела на толщину вытеснения 8*к. Последняя найдена из расчета ПС однопараметрическим методом Кочина-Лойцянского.

Неизвестные величины коэффициентов сопротивления Схк и подъемной силы Сук находятся по формулам

Схк = £ Сркйу + £ с/к<Ьс, Сук = - £ Срк(1х + £ с /к ¿у, Ьк Ьк Ьк Ьк

где с/к - местный коэффициент трения.

Для того, чтобы искомые контуры профилей биплана были замкнутыми, полутела вытеснения должны быть разомкнуты на величину

Д-г* = ехр (г0ок) ,

где во к - аргумент вектора скорости в задней кромке ¿-того профиля, 6дк = 5£(0) 4- +6*к (1к), 61(0), 5*к (1к) - значения толщин вытеснения в этих точках соответственно.

В §7 дано обобщение построенных решений, что позволило решить задачу для случая одновременного учета вязкости и сжимаемости потока.

В §8 приведены основные формулы для прямого расчета дозвукового турбулентного обтекания заданного крылового профиля биплана вязким газом. Описана модель турбулентности Спаларта-Аллмараса.

В §9 представлены примеры расчетов профиля с закрылком. Пример построения крылового профиля с закрылком, обтекаемого полностью турбулентным потоком с числами Де«, = 1.45 х 107 и Мх = 0.3, приведен на фиг.6. Исходные распределения приведенной скорости взяты из класса

№ профиля <*• 1 с.% Ош 4

1 12 02 11% 0.0019 0.21

2 3 0.78 10% 0.008« «.99

0.2 М 04 0.1 ,,11,

Фиг. 6.

гидродинамически целесообразных распределений, что обеспечило безотрывное обтекание профилей в рамках принятой схемы плавного обтекания, Выполнение условий разрешимости достигнуто за счет свободных параметров. Рассчитанные в ходе решения распределения скорости изображены сплошной и штриховой кривыми на фиг.6,а, соответствующие им профили - на фиг.6,б Задаваемые и определяемые характеристики полученного двухэлементного профиля приведены в таблице, где расчет коэффициента сопротивления Схи каждого из профилей осуществлен по формуле Сквайра-Юнга.

Для обоснования достоверности полученных результатов был проведен расчет обтекания найденного профиля с закрылком прямым методом. Дискретизация области течения (см. фиг.7, где размеры указаны в хордах) осуществлена структурированной мультиблочной сеткой с прямоугольными ячейками: дискретизация области на бесконечности выполнена в виде С-сетки, вложенной в О-сетку, а области, прилегающие к контурам, дискретизированы двумя С-сетками. Генерация сетки происходила

в автоматическом режиме.

ш

'.ЩШ:

Шшш «'!! ЧШШЁШ

Роо = 1-29 кг/м3, Роо = 101325 Па Тоо = 273° К, »00 = 100 м/с ^оо = 1.8-10-5кг/мс"

Фиг. 7.

Расчет проводился с использованием однопараметрической модели турбулентности Спаларта-Аллмараса.

Фиг. 8.

На фиг.8 изображены линии тока. На фиг.9 приведено сравнение графиков коэффициентов давления Срк полученных в результате решения прямой и обратной задач (значения Срк, найденные прямым методом, отмечены точками). Небольшое несоответствие графиков коэффициентов давления Ср\ на полочном участке закрылка объясняется влиянием следа за основным профилем на характеристики пограничного слоя закрылка.

Примеры учета вязкости и сжимаемости при построении крылового профиля с закрылком показаны на фиг. 10 и в табл.1.

а) основной профиль

б) закрылок

2.0 1.0 0.0 -1.0

У*

0.1 0.0 -0.1

4

1 4

02 04 Об 08 «77*2

^14

V—

1 ... I н

0.2 0.4 0.6 0.8 **

в) профиль с закрылком

0.2 0.4 0.6 0.8 X*

У

0.2 0.1

г*""*

4 Ч 3 1

. <5а

-0.8 -0.6 -0.4

Фиг. 10.

-0.2 X

Исходные распределения скорости во всех случаях были взяты одними и теми же (фиг. 10, сплошная кривая 1). Профиль с закрылком, построенный в рамках ИНЖ по этим распределениям, показал сплошной кривой 1 на фиг. 10. Для сравнения на этой же фигуре представлены результаты аналогичных расчетов по модели ПС для Яех — 105 (штриховая кривая

2), по модели газа Чаплыгина при М^ = 0.5 (штрихпунктирная кривая

3). Там же приведен пример учета совместного влияния сжимаемости и

вязкости на решение ОКЗА (штрихпуиктирная кривая 4).

Таблица 1.

И* фиг. Л» кр. мх Двое Хо г/о а° Ь с,% С* С„

1 0 с» -.14 .08 6 .73 27 - 1.23

Фиг.32,а 2 0 105 -.14 .08 7 .73 28 .0276 1.25

(проф.) 3 0.5 оо -.12 .07 4 .75 22 - 1.13

4 0.5 105 -.12 .07 4 .75 23 .0290 1.16

1 0 оо 0 0 12 .19 17 - .15

Фиг.32,6 2 0 105 0 0 13 .19 18 .0045 .16

(закр.) 3 0.5 оо 0 0 9 .19 14 - .15

4 0.5 105 0 0 10 .19 15 .0043 .16

Из сопоставления результатов видно, что при безотрывном обтекании профили, обтекаемые ИНЖ и жидкостью с большими числами Рейнольд-са (Двое = 105), практически совпадают (кривые 1, 2). Геометрические (углы атаки а*, хорды 6*) и аэродинамические (коэффициент Су подъемной силы) характеристики профилей различаются незначительно. Поэтому в качестве приближенного решения задачи обтекания двухэлементного профиля вязкой жидкостью можно использовать модель ИНЖ, а расчет коэффициента Сх проводить по формуле Сквайра-Юнга.

Учет сжимаемости оказал более сильное влияние на форму и характеристики профилей, чем учет вязкости. В результате произошло уменьшение углов атаки и увеличение хорд профилей биплана, что привело к тому, что профили стали тоньше, а коэффициент подъемной силы снизился на 8% по сравнению с Су для ИНЖ.

При одновременном учете вязкости и сжимаемости наблюдалась похожая картина, а именно, толщины, углы атаки и коэффициенты подъемной силы профилей биплана заметно снижались по сравнению со случаем ИНЖ.

В третьей главе диссертации решена задача построения двухэлементного крылового профиля, обладающего максимальным аэродинамическим качеством при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа. Использован обратный подход, заключающийся в оптимальном выборе исходного распределения скорости.

В §10 даны постановка и решение задачи. В качестве исходных данных задавались периметры контуров, распределения приведенных скоро-

стей в виде функций дуговых абсцисс контуров полутел вытеснения, величины Маха Мао и Рейнольдса Re^ течения на бесконечности, расход между контурами полутел вытеснения и разность потенциалов между точками разветвления потока. Углы в задних кромках считались равными нулю.

Решение обратной задачи сведено к нахождению контуров полутел вытеснения, обтекаемых потоком газа Чаплыгина. Расчет ПС осуществлен однопараметрическим методом Кочина-Лойцянского.

Решение задачи оптимизации состоит в оптимальном выборе исходных распределений приведенной скорости А* = \k(sk> dj), при которых функционал K(dj) = Cv(\).(sk, dj))/Cx(\k(sk, dj)) принимает максимальное значение с учетом условий разрешимости обратной задачи и дополнительных линейных ограничениях на свободные параметры:

Aid = ft, A2d < g2l

где матрицы Ai,A2 и векторы §\, дг € К" - заданы, Сх = Сх\ + СХ2 ~ коэффициент сопротивления двухэлементного профиля, Су — Суi -I- С„2 - коэффициент подъемной силы.

Исходные распределения приведенной скорости выбраны из класса ГЦРС, содержащими участок постоянной скорости (полку), так как полочные распределения являются экстремальными в задаче максимизации площади эпюры безотрывных распределений скорости с заданными значениями формпараметра.

При решении поставленной оптимизационной задачи применен комбинированный подход, сочетающий в себе метод штрафных функций и метод последовательного квадратичного программирования (Sequential Quadratic Programming). В качестве вспомогательного функционала выбран

<ВД=еД z-CJCx>

где Az - сумма квадратов невязок условий разрешимости обратной задачи. Для заданной величины штрафа е > О решается задача математического программирования

Ф(^) = eAz - Су/Сх —► min, Axd = g\, A2d < g2.

Расчет задачи выполнялся многократно для различных значений штрафа е. Величина е подбиралась так, чтобы уменьшение значений

функционала достигалось, в соответствии с поставленной задачей, за счет увеличения аэродинамического качества К = Су/Сх. Затем построенные контуры с максимальным К, которые как правило получаются разомкнутыми, замыкаются постепенным увеличением е. При этом следует избегать резких скачков е и как следствие - больших падений К. Сходимость описанного процесса подтверждена численно.

В §11 для чисел Ябоо = 1.45-107 и Мм = 0.3 приведен результат расчета профиля с закрылком, обладающего максимальным аэродинамическим качеством. В качестве исходных задавались параметрические распределения приведенной скорости полочного типа из класса ГЦРС (фиг.11,а,б). Из соображений безотрывности обтекания осуществлялся выбор длины полки и достраивалось распределение на участке торможения. Пограничный слой считался полностью турбулентным. На фиг.11,в изображен профиль биплана, соответствующий начальному приближению. Характеристики профиля указаны в табл.2 (строка 1). Свободные параметры оптимизационной задачи отмечены на фиг. 11,а,б.

х,/хт

А,

9 >

0.9

0J «,

■е -Л

0.1 --------- 1

О [ ------

•0.8 -06 -0.4 -0.2 х

Фиг. И.

Расчет одного двухэлементного профиля по 400 точкам на ЭВМ типа "Pentium IIP' занимал от 6 до 12 часов процессорного времени. Точность расчета составила Ю-4. Результаты расчета показаны на фиг.12. Рассчитанные в ходе решения распределения приведенной скорости изображены сплошной и штриховой кривыми на фиг.12,а, соответствующие им профили - на фиг.12,б. Задаваемые и определяемые характеристики полученного двухэлементного профиля приведены в табл.2 (строка 2).

Таблица 2.

№ Ь1 «1 си% Сх 1 Су1 Ъг а2 С2, % СЛ Су2 с* с» К

1 0.19 5 13 0.0014 0.13 0.78 -1 12 0.0078 0.59 0.0092 0.72 78

2 0.20 12 11 0.0019 0.21 0.78 з 10 0.0086 0.99 0.0105 1.20 113

Л./А.

0.2 04 06 ал 1,11,

у Гб~

и « V—— 5=

а) основной профиль

к/к. 1.0 0.0 -1.0

4) > -<и -0,4 -0.2 х

Фиг. 12.

б) закрылок

" ~ Л

\

* \_1_

V*« 1.0 0.0 -1.0

т к-

2 -л

0.2 0.4 0.6 0.8 ¡Ц//,

0.2 0.4 0.6 0.8 8,//,

У*

0.1 0.0

Л 1

0.2 0.4 0.6 0.8 X*

Фиг. 13.

0.2 0.4 0.6 0.8 х*

Для удобства начальное приближение и решение задачи оптимизации объединены на фиг. 13, где исходные распределения А^ и соответствующие

им профили изображены сплошной линией 1, а распределения А к и оптимальные профили, построенные в ходе решения, штриховой линией 2.

Из приведенных в табл.2 результатов следует, что в процессе оптимизации форма профилей, соответствующих исходным А^, меняется. Оптимальные в смысле аэродинамического качества К профили становятся тоньше. При этом увеличиваются расчетные углы атаки ак, а рост Су сопровождается увеличением величины Сх.

В заключении кратко подведены итоги выполненной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Метод решения задачи построения двухэлементного крылового профиля с использованием аппарата эллиптических функций в потоке идеальной несжимаемой жидкости по заданным на искомых контурах профиля распределениям скорости как функций дуговой абсциссы этих контуров.

2. Обобщение метода построения двухэлементного крылового профиля на случай одновременного учета вязкости по модели пограничного слоя и сжимаемости в приближении газа Чаплыгина.

3. Численно-аналитическое решение задачи оптимизации двухэлементного крылового профиля, обладающего оптимальными аэродинамическими характеристиками при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа.

4. Алгоритмы численной реализации решений задач, результаты числовых расчетов, их анализ, выводы.

Следует отметить финансовую помощь Российского фонда фундаментальных исследований (проекты №№99-01-00365, 01-01-04004, 02-01-00061, 05-01- 10642з), позволившую ускорить выполнение и написание диссертации.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Волков П. А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля / Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.Б. // Сб. тр. XI всерос. науч.-техн. семин. по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - Самара: Изд-во СГАУ. - 2003. - С. 234-237.

2. Волков П. А. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двухэлементного крылового профиля / Абзалилов Д. Ф., Волков П.А., Ильинский Н.Б. // Изв. РАН. МЖГ. - 2004. -X» 3.- С. 16-24.

3. Волков П.А. Учет вязкости в задаче построения двухэлементного крылового профиля // Вторая научно-практическая конференция молодых ученых и специалистов «Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности»: Статьи и материалы конференции. -М: Изд-во МАИ,- 2004. - С. 29-34.

4. Волков П.А. Учет вязкости и сжимаемости потока в задаче построения двухэлементного крылового профиля // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.27. Материалы XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. - Казань: Издательство Казанского математического общества.- 2004. - С. 78-82.

5. Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля / Абзалилов Д.Ф-, Волков П.А. // VIII Чета-евская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. - 2002. С. 227

6. Volkov P.A. The solution of an inverse boundary value problem for a two-element airfoil / Volkov P.A., Abzalilov D.F. //Гидродинамика больших скоростей: Тезисы докладов Международной летней научной школы. -Чебоксары: 2002. - С. 187-188.

7. Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля / Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. // Сб. тезисов II Международной научно-технической конференций молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники". -Жуковский: ЦАГИ.- 2002. - С. 8-9.

8. Volkov P.A. The development of two-element airfoil design method in a case of com-pressibility and viscosity influence // Гидродинамика больших скоростей: Тезисы докладов Второй международной летней научной школы. - Чебоксары: 2004. - С. 149-150.

т 8 8 95

9. Волков П.А. Задача аэродинамической оптим! 2006-4

НОГО крылового профиля В дозвуковом потоке вязкой! 1 1-1 с (\Л Ильинский Н.Б. // Модели и методы аэродинамики ' ^ ^ ' Международной школы-семинара. - М.:МЦНМО. - 5

10. Волков П. А. Построение и оптимизация двухэлементного крылового профиля в дозвуковом потоке вязкого газа / Волков П.А., Ильинский Н.Б. // Изв. РАН. МЖГ.(принята к опубликованию)

Ли./*? /Волков П.А./

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Издательского центра Казанского государственного университета им. В.И.Ульянова-Ленина

Тираж 100 экз. Заказ 10/38

420008, г. Казань, ул. Университетская, 17 тел. 292-65-60,231-53-59

Используемые аббревиатуры и обозначения.

Введение.

I. Проектирование двухэлементного крылового профиля в потоке идеальной несжимаемой жидкости

§1. Постановка задачи, её аналитическое решение.

§2. Условия разрешимости.

§3. Случай построения крылового профиля вблизи экрана.

§4. Числовые расчеты, анализ, выводы.

II. Учет сжимаемости и вязкости потока в задаче построения двухэлементного крылового профиля

§5. Построение двухэлементного крылового профиля при дозвуковом обтекании.

§6. Учет вязкости по модели пограничного слоя.

§7. Совместный учет вязкости и сжимаемости.

§8. Математическое моделирование дозвукового обтекания профиля биплана.

§9. Числовые расчеты, анализ, выводы.

III. Оптимизация двухэлементного крылового профиля в дозвуковом потоке вязкого газа

§10. Постановка задачи, метод решения.

§11. Числовые расчеты, анализ, выводы.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов аэродинамического проектирования и оптимизации двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых идеальной несжимаемой жидкостью или дозвуковым потоком вязкого газа. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

Вопрос об аэродинамическом расчете двухэлементного крылового профиля (профиля биплана) всегда привлекал внимание исследователей. Сложность проектирования таких профилей обусловлена двусвязностью области течения, а процесс решения связан с рядом специфических проблем таких, как способ параметризации исходных данных, выбор канонической области, выполнение условий разрешимости и т.д. Однако несмотря на эти трудности существует ряд работ, в которых рассмотрены как прямые, так и обратные подходы к решению этой задачи.

Под прямым подходом (см., напр., [50], [45], [17]) понимают задачу нахождения аэродинамических характеристик заданного профиля (прямая задача). Такой подход применяют и для решения задач модификации профилей, именно, исследователь подбирает форму профиля со свойствами, близкими к требуемым, путем многократного решения прямой задачи.

В [50] предложен метод решения прямой задачи обтекания многокомпонентного профиля идеальной несжимаемой жидкостью (ИНЖ), основанный на вихревой теории. Дан подробный вывод интегральных уравнений задачи. Особенностью метода является то, что удовлетворение условию

Жуковского-Чаплыгина осуществлено не в задней кромке, а в точке, отстоящей от кромки на 0.01 хорды по биссектрисе угла. Проведено сравнение с другими методами, отмечены преимущества.

В ряде случаев существенное значение приобретает учет влияния вязкости набегающего потока, позволяющий точнее определить аэродинамические характеристики профиля. Модели ИНЖ не достаточно для учета подобного влияния. При числах Рейнольдса порядка (105 — 106) теория пограничного слоя (ПС) (см., напр., [33], [42]) дает хорошие результаты, лишь незначительно усложнив решение задачи. В [45] описана итерационная процедура расчета аэродинамических характеристик многокомпонентного профиля в вязком несжимаемом потоке методами теории потенциала. При этом на каждом шаге итераций проводилось "подправление" геометрии профиля наращиванием на его контур толщины вытеснения.

В [17] рассмотрен метод расчета отрывного и безотрывного вязкого обтекания систем крыловых профилей при больших числах Рейнольдса и малых числах Маха набегающего потока. Метод основан на зональном подходе. Излагаются теоретические основы методов вязко-невязкого взаимодействия. Подробно описан квазиодновременный метод, позволяющий производить расчет не только безотрывного, но и развитого отрывного обтекания в рамках теории ПС. Расчет невязкой части течения производился панельным методом симметричных особенностей. Для расчета пограничного слоя как ламинарной его части, так и турбулентной использовались интегральные методы.

Несмотря на очевидные достоинства, прямой подход имеет свои недостатки. Так, например, для выбора подходящей формы контура профиля необходим значительный опыт в проектировании, а сам процесс требует значительных затрат вычислительных средств.

Обратный подход основан на теории обратных краевых задач аэрогидродинамики (ОКЗА) (см., напр., [40], [54], [24], [47], [9], [22]). Неизвестная форма крылового профиля отыскивается по заданному на его контуре распределению давления или скорости как функции дуговой абсциссы s, декартовой координаты х или полярного угла окружности 7 в канонической области, причем в зависимости от способа параметризации исходных данных методы решения ОКЗА различны. Особенностью ОКЗА является их конструктивный характер, так как в этих задачах требуется найти такую форму границы, при которой обтекание обладало бы нужными свойствами. Другой особенностью ОКЗА является тот факт, что эти задачи являются некорректными, то есть произвольным исходным данным соответствует, как правило, физически нереализуемое решение задачи. В итоге контур получаемого профиля может оказаться незамкнутым и самопересекающимся, а заданная скорость набегающего потока может не совпадать с величиной скорости, определяемой в ходе решения задачи.

Условия замкнутости искомого контура и условие совпадения заданного значения скорости со значением, определяемым в процессе решения, называются условиями разрешимости. Названные условия по-существу содержатся в работах А.Бетца [44] и подробно выведены в статьях В. Ман-глера [54], М. Лайтхилла [52] и Г. Г. Тумашева [39].

Один из способов удовлетворения условий разрешимости заключается в использовании в качестве исходных данных многопараметрических семейств распределений скорости. Так поступали, например, Дж. Ван Ин-ген [58], М. Лайтхилл [53], Г.Ю. Степанов [37].

Другой способ состоит в целенаправленной модификации исходного распределения скорости. В. Манглер [54] в случае невыполнения условий разрешимости подбирал значения трех первых коэффициентов ряда Фурье функции S(i) — In V(7), 7 G [0,27г], модифицировав тем самым исходное распределение скорости. Аналогичный подход использовал Б.Арлингер [43], допускавший изменение исходного распределения не на всем контуре, а на части его нижней поверхности. Однако в обоих работах остался открытым вопрос о минимальности изменений, вносимых в исходные данные.

Ответ на этот вопрос дает метод квазирешений, суть которого заключается в минимальном "подправлении" исходного распределения скорости с тем, чтобы удовлетворить условиям разрешимости. В [20] введено определение и доказана корректность квазирешения ОКЗ, в [21] метод квазирешения применен при решении основной ОКЗА, а в [24] этот метод обобщен на случай учета вязкости и сжимаемости.

В настоящее время методы, основанные на теории ОКЗА для аналитических функций, получили широкое распространение при решении задач построения крыловых профилей. Большое количество работ посвящено проектированию многокомпонентных крыловых профилей, и в частности профилей биплана.

В одном из первых исследований [35], в котором на искомых профилях биплана задавалось распределение скорости в виде функции дуговой абсциссы искомого контура, области течения ставилась в соответствие внешность двух дуг единичной окружности во вспомогательной плоскости. Задача Дирихле решалась путем сведения к двум задачам Римана. В [40] предложен несколько иной путь решения, а именно, в качестве вспомогательной области выбирался прямоугольник. Вид комплексного потенциала брался из монографии [36]. Функция Мичела-Жуковского восстанавливалась по формуле Вилля. Однако вопрос о способах выполнения условий разрешимости задачи в [35, 40] остался открытым.

В [37] решена задача построения решеток бипланов по методу годографа скорости. Комплексный потенциал искомого течения в физической плоскости находился как аналитическая функция комплексной скорости в заданной области годографа скорости. Замкнутость профилей обеспечивалась вариацией исходного годографа скорости и свободных параметров.

В [24] для выполнения условий разрешимости обратной краевой задачи аэрогидродинамики применен способ квазирешения некорректных задач математической физики. Однако учитывая, что этот способ разработан лишь для односвязных областей, один из профилей, в частности, закрылок, заменялся системой вихрей. В результате подобного предположения решение задачи удалось получить лишь в случае, когда размеры одного профиля малы по сравнению с размерами основного профиля.

В [49] предложен метод решения, основанный на интегральных соотношениях для функции Мичела-Жуковского в кольце. Существенным является то, что на искомых профилях биплана задано распределение скорости в виде функции полярного угла окружности 7 в канонической области. Решение задачи сведено к быстрому преобразованию Фурье. Выполнение условий разрешимости достигалось вариацией коэффициентов ряда Фурье.

Предложенный в работе [56] метод решения обратной задачи для системы к профилей может быть рассмотрен в каком-то смысле как обобщение метода, развитого Манглером [54] и Лайтхиллом [52] для случая изолированного профиля. Канонической областью выбрана внешность к окружностей. Аналогично [49] распределения скорости вдоль искомых контуров профилей заданы функциями полярного угла окружности. В качестве вспомогательной взята функция, предложенная В. Манглером [54]. Функция комплексной скорости в канонической области, а также вспомогательная функция записаны в виде степенного ряда. Решение задачи, заключающееся в нахождении конформного отображения канонической области на внешность искомых профилей, сведено к нахождению неизвестных коэффициентов разложения. Приведены условия разрешимости.

В [48] описан численный метод проектирования многоэлементных крыловых профилей. Для достижения заданной точности использован итерационный процесс, использующий комбинацию прямого и обратного методов и реализующий решение обратной задачи для каждого из профилей по отдельности с последующим пересчетом распределений скоростей для системы профилей путем решения прямой задачи. Вариацией свободных параметров исходных распределений скорости изолированных профилей удается добиться совпадения значений скорости многоэлементного профиля на отдельных сегментах со значениями, заданными пользователем.

Очень часто требуется найти форму профиля крыла с оптимальными аэродинамическими характеристиками (максимальной подъемной силой, минимальным сопротивлением,максимальным аэродинамическим качеством и т.п.). Один из подходов к оптимизации профилей основан на решении прямых краевых задач (см., напр., [55]). Суть подхода заключается в определении оптимального контура среди многопараметрического семейства контуров определенного типа (например, с ограничениями на толщину, кривизну) за счет подбора свободных параметров.

Вследствие того, что оптимальное решение ищется в заданном классе, искомые профили получаются замкнутыми, без точек самопересечения. Как правило, методы, основанные на этом подходе, используются для модификации форм уже существующих профилей.

Другой подход базируется на теории ОКЗ. Первый способ оптимизации формы профилей заключается в решении вариационных ОКЗА, в которых одно из граничных условий заменяется оптимизационным. Термин "вариационные обратные задачи" был введен JI.A. Аксентьевым [8]. Постановки и решения вариационных ОКЗА были даны в работах М.А. Лаврентьева [31], В.И. Зубова [30], A.M. Елизарова, Н. Б. Ильинского, А. В. Поташе-ва [24], Д.А. Фокина [46], и др. Из последних работ можно отметить работы Д. Ф. Абзалилова, Н. Б. Ильинского, Р. Ф. Марданова [6], А. М. Елизарова, А. Н. Ихсановой, Д. А. Фокина [25], В. Г. Леонтьева, А. В. Поташева [32].

Второй способ оптимизации методами ОКЗ состоит в оптимальном выборе исходного распределения скорости. В [51] приведен обзор работ и изложен метод построения высоконесущего крылового профиля, суть которого заключается в подборе распределения скорости с максимальной площадью эпюры вдоль верхней поверхности профиля. В качестве исходного было выбрано полочное распределение Стрэтфорда, обеспечивающее безотрыв-ность обтекания. Для обеспечения замкнутой формы профиля найденное распределение было модифицировано.

В работе [55] этот метод был обобщен на случай двухэлементного профиля. В отличие от [51] форма профиля биплана, соответствующая оптимальному распределению скорости, определяется итеративно путем вариации геометрии начального приближения - произвольного двухэлементного профиля. Процесс завершается при совпадении распределения скорости, найденного из решения прямой задачи, с оптимальным. В случае, если сходимость итеративного процесса неудовлетворительная, необходимо поменять начальное приближение.

Работа [24] содержит математическое обоснование применения отмеченного способа оптимизации. В частности, доказано, что полочные распределения являются экстремальными в задаче максимизации площади эпюры распределений скорости с заданными значениями формпараметра. Доказано, что при фиксированном значении скорости в задней кромке профиля среди полочных распределений существует единственное, максимизирующее площадь эпюры. Для случая полностью турбулентного ПС указана оптимальная функция скорости. Решена задача максимизации подъемной силы для диапазона углов атаки.

Целью настоящей диссертации является развитие численно-аналитических методов аэродинамического проектирования двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых как идеальной несжимаемой жидкостью, так и дозвуковым потоком вязкого газа; поиск двухэлементных профилей с максимальным аэродинамическим качеством; составление на основе разработанных методов вычислительных алгоритмов и их программная реализация.

Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих одиннадцать параграфов, заключения и списка литературы.

Заключение

В диссертации развиты численно-аналитические методы аэродинамического проектирования и оптимизации двухэлементных крыловых профилей, обтекаемых идеальной несжимаемой жидкостью и дозвуковым потоком вязкого газа. При решении задач используются методы теории обратных краевых задач для аналитических функций.

Решена задача построения двухэлементного крылового профиля по заданным на искомых контурах профиля распределениям скорости или давления как функций дуговой абсциссы этих контуров, зависящих от конечного числа параметров. Записаны условия разрешимости задачи, для удовлетворения которых предложено варьировать введенные в исходные распределения скорости свободные параметры. Показано, что приближение основного профиля к закрылку по вертикали приводит к заметному увеличению скорости на диффузорном участке и в задней кромке основного профиля, что позволяет получать более высокие значения коэффициента подъемной силы для основного профиля и для системы профилей в целом.

Проведен тестовый расчет профиля экраноплана. Экранный эффект моделировался методом зеркального отражения профиля относительно экрана. Задача сведена к расчету обтекания двух симметрично расположенных профилей, периметры контуров которых одинаковы. Выполнено сравнение с результатами, полученными ранее другим методом.

Задача построения двухэлементного крылового профиля обобщена на случай учета вязкости и сжимаемости потока. Вязкость учитывалась по модели пограничного слоя, сжимаемость - по модели газа Чаплыгина. Исходные распределения приведенной скорости взяты из класса гидродинамически целесообразных распределений, что обеспечивает безотрывное обтекание профилей в рамках принятой схемы плавного обтекания. Приведен ряд расчетов, демонстрирующий влияние вязкости и сжимаемости на изменение аэродинамических и геометрических характеристик профиля с закрылком. Выполнено сравнение с результатами, полученными путем решения прямой задачи.

Изучено влияние числа Рейнольдса на положение точки перехода ламинарного течения в турбулентное. Показано, что с ростом числа Рейнольдса наблюдается тенденция к смещению точки перехода вверх по потоку по направлению к точке минимума давления.

Решена задача оптимизации формы двухэлементного крылового профиля, обладающего максимальным аэродинамическим качеством при обтекании дозвуковым потоком вязкого газа. Использован обратный подход, заключающийся в оптимальном выборе исходного распределения скорости. С целью приближения теоретических результатов решения к практическим, выполнен совместный учет вязкости и сжимаемости набегающего потока. Обеспечивается безотрывность обтекания. Приведен пример расчета оптимального профиля с закрылком.

Результаты приведенных численных расчетов представлены в диссертации в виде рисунков, графиков и таблиц.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля // VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. - 2002 - С. 227

Abzalilov D.F., Volkov P.A. The solution of an inverse boundary value problem for a two-element airfoil //Гидродинамика больших скоростей: Тезисы докладов Международной летней научной школы. - Чебоксары: 2002. - С. 187-188.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля // Сб. тезисов II Международной научно-технической конференций молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники". -Жуковский: ЦАГИ - 2002. - С. 8-9.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.В. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля // Сб. тр. XI всерос. науч.-техн. семин. по управлению движением и навигации летательных аппаратов. - Самара: Изд-во СГАУ. - 2003. - С. 234-237.

Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.В. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двухэлементного крылового профиля // Изв. РАН. МЖГ. - 2004. 3.- С. 16-24.

Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. В., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2000. - Т. 40, - № 1. - С. 82-90.

7. Аксентъев JI.А. Построение оператора Шварца методом симметрии// Труды семинара по краевым задачам. - 1966. - № 3. - С. 11-24.

8. Аксентъев Л.А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач // Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Казанск. ун-т.

- 1973. - Вып.10 - С. 11-24; 1974.- Вып.11 - С. 9-18.

9. Аксентъев Л. А., Ильинский Н Б., Нужин М.Т} Салимое Р.Б., Тума-^ шее Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций

1. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля VIII Четаевская международная конференция "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением": Тезисы докладов. Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 2002.- 227 2. АЬгаШо1) Б.Р., Уо1коь Р.А. ТЬе зо1и1;юп оГ ап туегзе Ьоипйагу уа1ие ргоЫет Гог а 1;\\го-е1етеш; а1гйл1 //Гидродинамика больших скоростей: Тезисы докладов Международной летней научной школы. Чебоксары: 2002. 187-188.

2. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля Сб. тезисов II Международной научно-технической конференций молодых ученых и специалистов "Современные проблемы аэрокосмической науки и техники". Жуковский: ЦАГИ.- 2002. 8-9.

3. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.Б. Решение обратной краевой задачи для двухэлементного крылового профиля Сб. тр. XI всерос. науч.-техн. семин. по управлению движением и навигации летательных аппаратов. Самара: Изд-во СГАУ. 2003. 234-237.

4. Абзалилов Д.Ф., Волков П.А., Ильинский Н.Б. Решение обратной краевой задачи аэрогидродинамики для двухэлементного крылового профиля Изв. РАН. МЖГ. 2004. 3.- 16-24.

5. Абзалилов Д. Ф., Ильинский Н. В., Марданов Р. Ф. Задача максимизации циркуляции скорости при обтекании гладкого контура с источниками и стоками Журнал вычислительной математики и математической физики. 2000. Т. 40, 1. 82-90. 95

6. Аксентъев Л.А. Об однолистной разрешимости обратных краевых задач Труды семинара по краевым задачам.- Казань: Казанск. ун-т. 1973. Вып.10 11-24; 1974- Вып.11 9-18.

7. Аксентъев Л.А., Ильинский Н Б., Нужин М.Т, Салимое Р.Б., Тумашее Г. Г. Теория обратных краевых задач для аналитических функций и ее приложения Итоги науки и техники. Матем. анализ, М.: ВИНИТИ, 1980. Т.18- 67-124.

8. Ахиезер Н.И. Элементы теории эллиптических функций. М.: Наука. 1970. 304 с.

9. Базара М., Шетпти К. Нелинейное программирование: теория и алгоритмы. М.: Мир. 1982. 583 с.

10. Бартеньев О.В. Фортран для профессионалов. Математическая библиотека 1М5Ь. Ч. 2. М.: Диалог-МИФИ. 2001. 320 с.

11. Волков П.А. Учет вязкости и сжимаемости потока в задаче построения двухэлементного крылового профиля Труды Математического 96

12. Материалы XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Казань: Издательство Казанского математического общества.- 2004. 7882.

13. Волков П.А., Ильинский Н.Б. Задача аэродинамической оптимизации двухэлементного крылового профиля в дозвуковом потоке вязкого газа Модели и методы аэродинамики. Материалы Пятой Международной школы-семинара. М.гМЦНМО. 2005. 30-31.

14. Волков А.В., Ляпунов СВ. Метод расчета вязкого отрывного обтекания систем крыловых профилей Ученые записки ЦАГИ. 1998. Т. XXIX. 3-4. 7-29.

15. Галяутдинов М.И., Маклаков Д.В. Проектирование крыловых про- филей, обтекаемых вблизи твердого экрана Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1994. 3. 3-7.

16. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука. 1968. 648 с.

17. Елизаров А.М. О квазирешениях внешней обратной краевой задачи Изв. вузов. Математика. 1984.- 10. 42-50.

18. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б. Метод квазирешений в обратной краевой задаче гидроаэродинамики Изв. вузов. Математика. 1984. 10. 50-59.

19. Елизаров А. М., Ильинский Н. В., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1989. Т.23- 3-115.

20. Елизаров А. М., Ильинский А. Н., Ильинский Н. В., Поташев А. В., Фокин Д. А. Аэрогидродинамически целесообразные распределения 97

21. Елизаров А. М., Ильинский П. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидродинамики. М.: Наука. 1994. 440 с.

22. Елизаров А. М., Ихсанова А. Н., Фокин Д. А. Вариационная обрат ная краевая задача для дозвукового течения газа Вторая научнопрактическая конференция молодых ученых и специалистов «Исследования и перспективные разработки в авиационной промышленности»: Статьи и материалы конференции. М: Изд-во МАИ, 2004. 52-57.

23. Иванов Н.Г., Николаев М.А., Тельное Д. Численное моделирование трехмерного течения и теплообмена в трансзвуковой турбинной решетке на основе модели турбулентности Спаларта-Аллмараса Проблемы газодин. и теплообмена в энергет. устан. М.: Изд-во МЭИ. 2003. Т. 2 70-73.

24. Ильинский А. И., Ильинский Н. Б., Маклаков Д. В., Поташев А. В. Метод аэродинамического проектирования крылового профиля экраноплана Известия ВУЗов. Авиационная техника. 1995. 2. 54-62.

25. Ильинский А.Н., Ильинский Н.Б., Поляков Д.В., Поташев А.В., Степанов Г.Ю. Уточнение критерия отрыва турбулентного пограничного слоя с использованием эмперических данных Препринт 98-

27. Ильинский Н.Б., Лотфуллин М.В., Маклаков Д.В., Поташев А.В. Определение формы крылового профиля, обтекаемого вблизи грани- 98

28. Зубов В. И. К вопросу об оптимальном профиле крыла в потоке идеальной несжимаемой жидкости Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. 1. 241-245.

29. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

30. Марданов Р.Ф. О одном подходе к проектированию профиля крыла вблизи экрана Известия ВУЗов. Авиационная техника. 2003. №2.

31. Насыров Р.М. Определение формы биплана по заданному распределению скорости по поверхности профилей, его составляющих Ученые записки казанского ун-та. 1953. Т. 113. Кн. 10. 31-41.

32. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М.;Л.: Гостехиздат. 1950. 444 с.

33. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. -М.: Физматгиз. 1962. 512 с. 99

34. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по заданному распределению скорости или давления Уч. зап. казан, ун-та. 1952. Т.112. 3. 3-41.

35. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. Казань: Изд-во Казан, ун-та. 1965. 333 с.

36. Чаплыгин А. О газовых струях Поли. собр. соч. Л.: АН СССР. 1933. Т.2. -С. 3-90.

37. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с. 43. АгНпдег В. Ап ехасЪ теЪпос! оГ {луо-сИтепзюпа! акГоП йезщп ТесЬп. 5ААВ, Ыпкортё, Зейеп. ОсЪ. 1970. ТЫ-67. 36 р. 44. Ве1х А. Апс1егип§ с!ег РгоШГогт гиг Ег21е1ип§ етег уог§е§еЬепеп Апс1еггип§ с1ег БгискуегЪеПип 2. ЬиМапгШгзсЬищ;. 1934. Вс1. 11. 6. 3. 158-164. 45. СаНадНап З.С, ВеаНу Т.Б. А Шеоге1пса1 теЪЬос! Гог ЪЬе апа1уз1з апс! аезщп оГ тиШе1етепЪ акЫЬз

38. Аксгай.- 1972. V. 9. 12. Р. 844-848. 46. ЕНЖГОУ А. М., Рокгп В. А. Уаг1аМопа1 Ыуегзе Воипйагу Уа1ие РгоЫетз оГ АегоЬус1гос1упат1СЗ БоЫасгу РЬуз1сз. 2001. V. 46. 4. Р. 280-285. Т г а п з к Ы Ггош БоЫаау Акайети Каик. V. 377. 6. 2001. Р. 758-763.)

39. Ерркг К. А1гГоП Без1§п апс! БаЪа. ВегНп: Зрг1п§ег-Уег1а§, 1990. 512 р. 100

40. Затез К.М. ТЬе ЪЬеогу ап(1 <1ез1§;п оГ Ьдго-акГоП НШп§ зузйетз СотриЪег МеШосЬз т АррНес! МесЬап1сз апс! Еп§теепп§. 1977. 10. Р. 13-43.

41. Мапдкг IV. В1е ВегесппиЬ§ е1пез Тга§Йи§е1ргоБ1ез тН уог§езсЬг1еЬейег БгискуегеПип ЛаЬгЬ. ОеизсЬ. ЬийГаЬгогзсЬип. 1938. Вс1. 1. 5. 46-53.

42. ОгтзЪее АЛ., СНеп А. IV. МиШр1е е1етеп1; а1гой1з орт12ес1 Гог т а х т и т Ни соеЙЗаепЪ 3. оГ Агсгай. 1972. V. 10. -N0 12.- Р. 1620-1624 (рус. перевод: Ракетная техника и космонавтика 1972. Т. 10. -№12. 84-90). 101