Применение задачи Гильберта к исследованию разрешимости некоторых классов обратных краевых задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СЕЛЕЗНЕВ Валерий Витальевич

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИЛЬБЕРТА К ИССЛЕДОВАНИЮ РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ОБРАТНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

КАЗАНЬ-2004

Работа выполнена на кафедре высшей математики Казанской государственной архитектурно-строительной академии.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор САЛИМОВ Р.Б. Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор ЕЛИЗАРОВ A.M. Официальные оппоненты:. доктор физико-математических наук,

профессор ОБНОСОВ Ю.В. доктор физико-математических наук, профессор ЯКИМОВ Н.Д.

Ведущая организация: Марийский государственный университет.

Защита состоится «17» июня 2004г. в 14 часов на заседании диссертационного Совета по математике К 212.081.07 в Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корпус 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного Совета доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Стимулом к возникновению теории обратных краевых задач (ОКЗ), основоположниками которой являются Г. Г. Тумашев и М.Т. Нужин, послужила необходимость решения задач в аэрогидромеханике и теории упругости, в которых требовалось построить объекты, обладающие заранее заданными свойствами. К настоящему времени теория ОКЗ составляет самостоятельное научное направление в математической физике, нашедшее широкие приложения в аэрогидромеханике, теории фильтрации, теории взрыва на выброс и др. (см., например, [1], [2]). Вместе с тем имеется ряд неизученных вопросов, в частности не исследованы ОКЗ с нестандартными краевыми условиями. В диссертационной работе рассмотрены ОКЗ с граничными условиями на годографе производной искомой аналитической функции, изучена видоизменная ОКЗ. Результаты исследования этих задач могут служить теоретической основой при решении прикладных задач аэрогидромеханики. Таким образом, исследование поставленных задач является актуальной проблемой.

Цель работы.

1. Построение решения краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для одно- и двусвязных областей.

2. Постановка ОКЗ с граничными условиями на годографе производной искомой аналитической функции для областей различной связности построение решения, выяснение вопросов разрешимости, получение достаточных условий однолистной разрешимости.

3. Изучение видоизмененной ОКЗ для одно- и двусвязных областей, являющейся обобщением ОКЗ в постановке М.Т. Нужина. Построение её решения путем сведения к краевой задаче Гильберта с разрывными коэффициентами, изучение его поведения вблизи особых точек границы. Исследование разрешимости ряда смешанных ОКЗ об обтекании профиля, основанное на решении краевой задачи Гильберта.

Методика исследования. Основные методы исследования связаны с теорией функции комплексного переменного, теорией краевых задач для аналитических функций и с теорией интегралов типа Коши.

Научная новизна. Рассмотрены обратные краевые задачи в новых постановках с использованием аппарата краевой задачи Гильберта.

Теоретическое и практическое значение. Результаты и методы диссертационнной работы могут применяться при решении прикладных задач механики и в геометрической теории функций.

Апробация работы. По мере получения результаты диссертации неоднократно докладывались на Городском семинаре по геометрической теории функций при Казанском государственном университете (руководитель - Аксентьев Л.А.), Итоговых научных конференциях в Казанском университете (1979, 1980, 1987, 1988 гг.),

конференции «Геометрическая теория функций и краевые задачи» (г. Казань, 2002 г.) на XXII межвузовской конференции (г. Самара, 2002 г.).

Публикации.. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа содержит 103 страницы. Список литературы насчитывает 77 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается обзор результатов по исследуемой теме, приводится краткое описание диссертации.

Первая глава посвящена решению краевой задачи Гильберта в классической постановке: требуется определить функцию F(z) = u(z) + iv(z), аналитическую и однозначную в конечносвязной области D, непрерывно продолжимую на границу L = dD, кроме, быть может, конечного числа заданных точек контура L, по краевому условию

а(0«(0-Ь('М0 = с(0, tzL. (1)

В §1 исследована задача (1) для односвязной области. Как известно, решение этой задачи методом сведения к краевой задаче Римана дано Н.И. Мусхелишвили [5]. Другой метод решения задачи (1) в случае непрерывных коэффициентов, заключающийся в отыскании регуляризирующего множителя, дан Ф.Д. Гаховым [4].

В §1 дано обобщение метода Ф.Д. Гахова на случай, когда заданные наХ вещественнозначные функции в условии (1) имеют разрывы

первого рода в точках tj, ..., tn и удовлетворяют условию Гельдера на

каждой из дуг ttfk+i, tmt/, k = \,m — 1. При этом считаем, что a2(t) + b2(i) & О

всюду на L.

Условие (1) можно представить в виде

(2)

где ветвь, непрерывная в интервалах

l>fc к = 0,т (50=0, Sm+y—2>г). Введем функцию <p{s) = v{s)~ ,

где P(s) — целочисленная функция, принимающая значен н а каждом из интервалов [$*, i*.,./] ($,=0). Эти значения определяем в соответствии с выбранным классом решения «задачи. Величину назовем

Re[e-'v(l)i-(/)] = c(/)|G(/)|"', t = e"

выбранным классом решения задачи. Величину аг = (р(2я) ~ ^(0))/гт назовем индексом задачи, отвечающим данному классу решений. Далее рассматриваются два случая:

1. Пусть аг — четное число. Условие (2) запишем в виде

где

(3)

В случае общее решение задачи (1) имеет вид

= ехр

КРИ*)]^^|е,(сг)—АТ + ЮО + £[С.*4 -С,*"4]}, 0 г —г м J

(4)

где произвольные комплексные постоянные

В случае се <,-2 исходная задача разрешима (единственным образом)

лишь привыполне

2 г Гсоб кет) т

* [втАс^ 2

С учетом этих услов ^ = еХр{Г(г)}1 Г'С°"]Г-¿/о- 5

я- ' г-г

где = + 0оМ = аг6(/-]) = ^

2 ] т-г л

г + 5

В случае ce~i-l общее решение задачи (1) имеет вид

В случае ае<-3 исходная задача будет разрешима лишь при выполнении -аг-1 дополнительных условий:

С учетом этих условий решение задачи имеет вид ~rc(r)cos(^(o»

F(z) = exp{r(z)}- I т i

(T-2J/2

|G(r)|

-exi

p{~ Л (*")}--da

T-Z

Основным результатом § 1 является

Теорема, 1.1 Краевая задача Гильберта (1) при ce7z-l безусловно разрешима. Общеерешение определяется формулами (4) или (5) и зависит от се+1 произвольных действительных постоянных. В случае а £-2 задача разрешима лишь при выполнении -ев-1 дополнительных условий.

Результаты, относящиеся к числу решений или условий разрешимости, совпадают с соответствующими. результатами, полученными Н.И.Мусхелишвили [5, с. 304-306].

В этом же параграфе исследована задача (1) для полуплоскости. В §2 рассмотрена краевая задача Гильберта с разрывными

коэффициентами, когда область D имеет форму кольца 9<|Z|<1. Итак, в краевом условии (1) заданные на L действительные функции a(t), b(t), c(t) имеют разрывы первого рода в точках

- окружность |z| = 1,Li — окружность |г| = 9). Примем, что точки / =1и< = дне являются точками разрыва коэффициентов условия (1). Предполагая, что а2(/) + Ъ2 (/) Ф 0 всюду на L, условие (1) запишем в виде

Р J |С(0Г

(6)

Введем функцию <p{t) = v{t)~ p{t)x, где fi(t) принимает целые значения на каждой из дуг j = ОД (fiifi =0), значения Р^

подберем в соответствии с выбранным классом решения задачи.

Очевидно, что <p{tJfi -0)-p(f/0 +0) = се;;г, j=0,1. Число се~се0 + се1 назовем, индексом задачи, отвечающим данному классу решений. Рассмотрены четыре возможности: 1) ссо и се\ - четные числа, 2) се^ и се\ - нечетные числа, 3) сео -четное, се\ — нечетное числа, 4) се0 — нечетное, сг\ — четное числа. Приведем ход рассуждений в первом случае. Введем функцию

КО = ?>(') +

KZ{t-p)-arg(t-zi) + ßi{t)m, tcL,

где Д(0=0 при teL0, Д(/)=1 при fei,, п - целое число, z = р - заданная точка, z, =«'" (?<г <1, 0ia<x) — точка, положение которой определим,

выполнив условие однозначности ]V(0 -г = 0.

i ''

Затем с помощью формулы. Билля [3] определим однозначную и аналитическую в области D функцию Г(г), граничные значения мнимой части которой равны К/). При z—H из D функция Г(г) принимает значение Г* (/) = Г0 (/) + iyr(t). Условие (6) можно представить в виде

Re

,-г'щ.

t"'2F{t)

(t-zM-p)*

c(0\t\K'ß cosjß^^e-^ = c,(0 =-U--

\G(t)\co&{ß{t)*)\t-Zi\t-p\T

При аг > 2 общее решение задачи определяется формулой

S(ci,z) + «C0+£

Нк V

(z-py z-z,

(7)

Это решение зависит от аг

где ¿.»с.Ю-с.Ю-Ке^-^-Ке-^-

ЪХЦ-рУ /-г, _

произвольных действительных постоянных С^,?'= . В

случае эг = 2 нужно в формуле (7) положить равными нулю все Мк. Решение будет зависеть от двух произвольных постоянных С0,у' при а>ОиС0,у" при а = 0.

В случае аг = 0 существенным оказывается положение точки zi = ге'а. Так, при а>0 исходная задача будет иметь единственное решение.

где ci =ci(r) = с, (0-/л\ Re. Значения постоянных ,С0,С, определяются

при выполнении условий однозначности. Функция iCB + iC{g(z) дает общее решение задачи об определении функции, аналитической в D, кроме простого полюса в точке z=p, граничные значения действительной части которой равны нулю [4, с. 404—405].

В случае а — 0 исходная задача, вообще говоря, неразрешима. При <e£s-2 введем в рассмотрение функцию

У(0 = i>(i) + yargf-jji + lj arg(f-р) + arg(< - z,) + Д (i )m.

Удовлетворив условие однозначности, найдем число a = argz, и определим функцию Г(г), а условие (6) представим в форме

Отсюда видно, что для разрешимости рассматриваемой задачи необходимо выполнение условия

При выполнении этого условия получим

Функция, стоящая в правой части равенства, должна обращаться в нуль в точке г = г, и иметь в точке Z = р нуль порядка не ниже - у -1. Это приводит к появлению условий разрешимости.

Аналогичным образом рассмотрены три другие предположения относительно индекса задачи

Итогом §2 является

Теорема 2.1. Краевая задача Гильберта (1) для двусвязной области при <В > 2 безусловно разрешима. Общее решение зависит от се произвольных действительных постоянных. При ¡£ = О задача либо имеет единственное решение, либо в случае, когда ав,,аг2— четные числа и а = 0, неразрешима (имеет решение лишь при выполнении дополнительного условия). При эе £ -1 исходная задача разрешима лишь при выполнении -35 действительных условий.

Вторая глава посвящена исследованию ОКЗ с граничными условиями на годографе производной искомой функции. Эти задачи являются некоторым обобщением прикладных задач по годографу скорости.

В §3 рассмотрена внутренняя ОКЗ в следующей постановке: требуется найти в плоскости _ конечную область И,, ограниченную неизвестным замкнутым контуром а также функцию аналитическую в когда известен годограф I. производной граничных значений ув'(г) в плоскости , на котором задается действительная часть функции

(8)

где г=Р(и) — функция, обратная к функции у/'(г) и аналитическая в £>„,

причем удовлетворяет условию Гельдера на простая кривая

Ляпунова.

После конформного отображения функцией и = а>(£) единичного круга в плоскости установим соответствие точек и

окружности т = е'г. Пусть ЦГ^^")]} = . Тогда условие (8) позволяет с помощью интеграла Шварца получить функцию а в силу соотношения

<к=—сЫ получим

Затем полученное решение задачи исследуется в зависимости от положения точки относительно годографа Отметим случай, когда

угловая точка контура с внутренним по отношению к

Кеи-[Р(1)] = ^ teLu

и = 0 — угловая точка контура £. с внутренним по отношению к углом апг (о<о52) И 2 = г0 — образ точки и — О при отображении годографа функцией 2 = /"Хи) на искомый контур Ьг с внутренним по отношению к Ьг углом эе?Г. Справедлива

Лемма 3.1. Для того, чтобы контур Ьг был ограничен (се>0) и выполнялось необходимое условие простоты контура Ьг, достаточно, чтобы на ¿, вблизи точки 1 = имело место фЦпрерс-тО'вфениепричем

\<,ц<,21а + \,где р,(/)еЯ.

Далее в §3 рассмотрена внешняя ОКЗ в следующей постановке: требуется найти в плоскости г бесконечную область И,, ограниченную замкнутым неизвестным контуром а также функцию аналитическую в Ож,

производная которой в окрестности бесконечно удаленной точки имеет представление

„ Ч 1 1

W(z) = fli + д., - + а., — +.... z z

(9)

Будем считать заданными годограф I,.условие (8), а также величины а1 и а.], отличные от нуля. Получено решение задачи:

здесь ~ аналитическая и однозначная функция, определяемая в ходе

решения задачи.

В конце параграфа рассмотрена ситуация, когда вместо условия (8) задается условие краевой задачи Гильберта в предположении, что её индекс больше нуля. Указана возможность в случае, когда точка u = Q лежит в области D,, использовать произвольные постоянные для выполнения условия разрешимости задачи.

В §4 для двусвязной области рассмотрена внутренняя задача в следующей постановке: требуется найти в плоскости z конечную двусвязную область Dt, ограниченную неизвестными контурами и L2x (L2l— замкнут и охватывает а также функцию w(z) аналитическую в D,, если задаются: 1) двусвязная область D,, ограниченная линиями £,, и ij, и не содержащая бесконечноудаленную точку; 2) действительная часть функции на

границе области Dn

ЯеиШ/)] = <р2(!),Яе^О)] = ?,(/) + Л,/ е

где г = F(м) — функция, обратная к функции и аналитическая в £>., А — действительная постоянная, значение которой будет определено ниже. При этом ?>,"(0. А>г"(0 удовлетворяют условию Гельдера; — простые кривые

Ляпунова.

Отобразив комфорно функцией и = а>(£) кольцо 9 <|£"|<1} в

плоскости £ = г е* на область Д. (контуру Ц, отвечает окружность | = д),

получим для функции = н,{/'|Х£')]} видоизмененную задачу Дирихле. Чтобы искомая функция была однозначной в области требуется

выполнение условия однозначности, которое удовлетворим за счет выбора

постоянной А. Затем с помощью формулы Билля определим й{0 и найдем функцию, конформно отображающую на искомую область

Если точка и = О не принадлежит замкнутой области О,,то, в отличие от соответствующего случая односвязной области, здесь для замкнутости контуров требуется выполнение условия

Если точка принадлежит области то, помимо выполнения

последнего условия; необходимо потребовать, чтобы функция в точке, соответствующей точке и = 0, обращалась в нуль. Случай, когда точка и=0 находодится на границе области может быть рассмотрен аналогично тому, как это сделано в §3.

Далее в §4 рассмотрена внешняя задача: требуется найти в плоскости г бесконечную область ограниченную замкнутыми контурами И а также функцию Цг), аналитическую в В,, производная которой имеет в окрестности бесконечно удаленной точки представление (9). Здесь при г-юо м/(г)-»а, ~ию. Будем считать, что-.,-- а-\ф причем

2«гКеа., = н-/^), где Ак = jw'(z)dz — приращение функции и{г) при обходе

контура В остальном постановка аналогична постановке

внутренней задачи. Получено решение задачи и указаны условия разрешимости в зависимости от положения точки и=0.

В §5 рассмотрена ОКЗ в следующей постановке: требуется найти бесконечносвязную область йг в плоскости г, границей которой служит совокупность конгруэнтных замкнутых контуров ¿^ (л = 0,±1,...) постоянного заданного шага а также функцию аналитическую в если в

плоскости и задана замкнутая кривая Ь, — годограф производной граничных значений на котором задается действительная часть функции

• 4^(01 = $К0> t&Lж. Пусть при этом:

1. функция >^(2) является однозначной в ;

3. ^(г)->■ я1, Яе[2ехр/(у-Д)]-»±оо, а4 *0,оо;

4. 9>'(0 удовлетворяет условию Гельдера;

Решение задачи определяется формулой

2т <о(£)-а 1 ю(0

В конце §5 рассмотрена ОКЗ для бесконечносвязной области, границей которой служит совокупность конгруэнтных замкнутых контуров составляющих прямую двухрядную решетку постоянного

шага ре'

В §6 получен ряд достаточных условий однолистной разрешимости ОКЗ с граничными условиями на годографе производной искомой аналитической функции. Для внутренней ОКЗ для односвязной области доказаны

Теорема 6.2. Функция г(£) будет однолистной в Е( в случае, когда точка и = 0 не принадлежит области Д,, если

2.1- г(0 = \-~rz— выпуклая в Е( функция; /

2.2. \р(Ух)-р(Г11[$А\у^гг\ при любых Г\ " Гг. 0</1<со,

Теорема 6.3. В случае, когда точка и = 0 принадлежит области И,, функция будет однолистной в Е(, если одновременно выполняются

3.2. Функция g<l(0= отображает Е( на область <1^;

Теорема 6.4. В случае, когда точка и = 0 принадлежит области И,, функция если

4.1. выполняются условия 3.1 и 3.2 теоремы 6.3;

В случае внешней задачи для односвязной области введем функцию »'«) (£ = ^ ), конформно отображающую круг < 1 на область £>,. Обозначим (у) = (е'г)], Л = -—у. Справедлива

Теорема 6.5. Внешняя ОКЗ для односвязной области однолистно разрешима в случае, когда точка и = 0 не принадлежит облаВтипри одновременном выполнении условий:

5.1. ]—— функция, отображающая область Е~ = >1} на

область

5.2. \PM)-Pj ir i )¡ < Кj |r, - y i f для любых у„уг, Kj> О, 0<aSl, j = 1,2 где P\ (У) = P'o (У)003 Y ~ a-\ (cos y +A cos 2f), P2 (y) - q/^ (y) sin y - a., (sin у + A sin 2y) ;

5.3. M(a)jK?+K¡

At

5.4. \9\{y)e-" +t0\J-~^M(a)jKl+K¡, где €0

В конце §6 получены условия однолистности ОКЗ для бесконечносвязной области, когда границей области служит совокупность конгруэнтных замкнутых контуров.

В третьей главе в §7 и §8 рассматривается видоизмененная ОКЗ для односвязной и двусвязной областей. В §9 изучаются вопросы разрешимости некоторых смешанных ОКЗ об обтекании профиля. В §7 ставится следующая задача.

Задача 1. Пусть D, — односвязная область в плоскости z = x + iy, ограниченная кривой Lt, состоящей из двух жордановых кривых ti,, L2t. Точки z = A и z-B являются, соответственно, началом и концом кривой L\ при положительном обходе контура L,, 1г —длина контура L\,s -дуговая абсцисса точки контура L,. Пусть w=w(z) конформно отображает область DT на однолистную область Dw, расположенную внутри кривой Lw в плоскости Y/ — q>+i<p, причем £¡, И L2W — образы соответственно L\ и Обозначим через ^(w) = In [vf-1 (w)] функцию, аналитическую в Dw, т. к. в силу конформности отображения w'(z) * О. Требуется найти замкнутый к о н т ур и аналитическую функцию W = w(z), если задана кривая Жордана йя (образ L\), а на части L] заданы значения функции w = x^z) в виде

w = <p{s) + iv(s), OSííSÍj, (10)

когда последние значения определяют жорданову кривую I*, образующую вместе замкнутый контур без точек самопересечения, причем на

выполняется краевое условие задачи Гильберта:

^)Re*(«M(«)Ini;r(«) = c(K). (11)

Рассматриваемая задача является естественным обобщением известных краевых задач механики сплошной среды. В случае, когда £',(¿1) отсутствует, т.е. является замкнутым контуром, поставленная задача переходит в

известную ОКЗ в постановке М.Т. Нужина [6].

Согласно (10) дуговая абсцисса точки и контура Ц, равна

а(5)= /Д^ГЧуХОГ*.

о

Тогда на выполняется краевое условие

(12)

Таким образом, приходим к краевой задаче Гильберта (11), (12) для аналитической в области Д, функции £(*•') = Ьпм',. Определив последнюю, найдем функцию г-ы отображающую конформно область

Ц, на Л,. Граничные значения этой функции задают комплексные координаты точек искомого контура I,. Доказана

Теорема 7.1. Решение видоизмененной краевой задачи при индексе се>-1 существует и зависит от се + 1 произвольных действительных постоянных, при се <-1 решение этой задачи существует лишь при выполнении — се-1 условий разрешимости.

Далее в §7 рассмотрена внешняя обратная краевая задача 2, когда искомая область бесконечна и 2 = со является её внутренней точкой. В остальном постановка задачи такая же, что и для задачи 1.

Пусть — точка области Ц,, соответствующая точке г = °о при

отображении функцией \^ = у/{г) (*с(а>) = м>0), — точка, отвечающая- и>0 при комформном отображении области на круг |£"|<1 функцией н> = а)(0

(со(Са)= ^о)- Тогда ^ в точке С = Сч имеет полюс второго порядка, а

производная = в последней точке имеет нуль второго порядка.

Функция н^МО^-Л^Д-О

Следовательно,

не обращается в нуль и аналитична в круге

Учитывая, что

1, получим

= Яе 1т = 1тХ((е,П+201(у),

в1 = аг^(е'гСледовательно, краевые условия (11), (12)

где примут вид

«0011е(*)-) 1П1 (/) = с(у) + 2Ь(у)0,(у), ув <У<УЛ,

с(/)» 7л <Г<2л, 0¿у<ув.

Последние условия вновь приводят к краевой задаче Гильберта с кусочно-непрерывными коэффициентами. Приводятся формулы, определяющие функцию хАО в зависимости от четности индекса задачи. Граничные

значения 2{е'г) функции

задают координаты искомого контура Он будет замкнутым (т. е. функция однозначна), если выполняется следующее условие:

Установлена

Теорема 7.2. Решение видоизмененной внешней обратной краевой задачи при аг> 1 существует и зависит от се-1 произвольных действительных постоянных, при се<,0 решение задачи существует лишь при выполнении ~(е + 1 условий разрешимости.

В §8 рассмотрена видоизмененная ОКЗ для двусвязной области в следующей постановке.

Область £>, ограничена замкнутыми контурами и Ь^ (контур охватывает каждый из которых состоит из двух жордановых кривых Ь\г и I] , (к = 0,1). Точка Ак - начало, точка Вк - конец кривой ¿^ при обходе 1„,

(к=0,1) в положительном направлении, при котором область Dl остается слева. Пусть >у = и^2) — функция, аналитическая в области О,, которая отображает конформно область на конечную двусвязную область Д,, ограниченную замкнутыми кривыми и ¿,„. Обозначим через Ск, и 1?кш образы соответственно ¿'м и = 0,1) при указанном отображении. Пусть г = \>>~[(у/) функция, обратная к = и>(г). Функция- ЛГ(^) = 1п-и/,(н>)] является аналитической в области Д,, т.к. и',(г) * 0:

Требуется найти контур £, =£0ли и аналитическую функцию = w(z), если заданы жордановы кривые 1)к „ (к = 0,1), на которых выполняется краевое условие

ф)Кох(и)-Ь(и)1тх(и) = ф). (13)

На контуре = 0,1) заданы значения функции * = м>{г) в виде

* = +(*)> (А=0,1), (14)

где .у — дуговая абсцисса точки контура , отсчитываемая от точки Ак в положительном направлении,

Считаем, что равенство (14) определяет жорданову кривую образующую вместе с ¿¡¡>я замкнутый без точек самопересечения контур I, „ (¿ = 0,1). Последнее равенство позволяет получить выражение дуговой

абсциссы точки и контура

Ф) = '¡^^Чу'^)]1* , (¿=о, 1)

Так как ^Д^'Ч")]] = на контуре (к =0,1) выполняется краевое

условие

11е;Ки) = 111[<7т (15)

Таким образом, приходим к краевой задаче Гильберта с условиями (13), (15) для аналитической в области Dw функции ;f(w) = lnn''J. Определив

последнюю, найдем функцию z = w',(w)= je~xMdw+C, отображающую конформно область D, на D,. Доказана

Теорема 8.1. Видоизмененная обратная краевая задача для двусвязной области при индексе ce~¿.2 разрешима, и общее решение содержит се произвольныхдействительныхпостоянных.

В §9 рассматривается ряд задач об обтекании потоком невесомой несжимаемой жидкости неизвестного профиля, расположенного над криволинейным дном, которые по своей постановке относятся к смешанным ОКЗ теории аналитических функций для двусвязной области.

Пусть на искомом непроницаемом профиле Г,{г) с контуром длины t задано распределение скорости в виде функции дуговой абсциссы отсчитываемой в направлении, при котором область течения остается слева:

неотрицательная однозначная функция, удовлетворяющая условию Гельдера и обращающаяся в нуль не более чем в двух точках. Как обычно, для циркуляции скорости Г будем

иметь потенциал

скорости в точке М - точке разветвления потока. В части задач установившийся поток ограничен снизу криволинейным гладким дном и свободной поверхностью. Дно состоит из луча C'A, лежащего на вещественной оси, и криволинейной дуги АВ. Обозначим через <рА и фв соответственно потенциалы скорости в точках А и В, V0 — постоянное значение скорости на свободных поверхностях.

Задача 1. Область течения ограничена только снизу линией С'ABC, значение скорости V„ на ВС неизвестно. Определить форму профиля и свободной поверхности при одном из следующих вариантов задания параметров и дуги АВ: а) значения <PAj<Pb известны, дуга АВ лежит на

заданной простой кривой уходящей в бесконечность; б) значение

задано, длина АВ равна i ,<рА неизвестно.

Задача 2. Область течения ограничена снизу линией С'ABC, значение PJ, неизвестно, а сверху находится прямолинейная твердая стенка, параллельная вещественной оси (или свободная поверхность). Определить форму профиля и свободных поверхностей при выполнении одного из предположений а) или б). Задача 3. Область течения ограничена снизу гладким дном ABCD (АВ и

CD - дуги, лежащие на оси, ВС - кривая длины i ), а сверху - свободной

поверхностью, величина К, неизвестна. Определить форму профиля и

свободной поверхности, если фд задано.

Далее показано, что все три задачи сводятся к краевой задаче Гильберта с кусочно-непрерывными коэффициентами с индексом се = -1. Единственное условие разрешимости (теорема 2,1) можно удовлетворить подбором постоянной У0, что позволяет получить единственное решение задачи.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получено решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для двусвязной области.

2. Проведено исследование ОКЗ по годографу производной искомой аналитической функции для областей различной связности. Получен ряд достаточных условий однолистной разрешимости этих задач.

3. Для одно и двусвязных областей решена видоизмененная ОКЗ, обобщающая известную ОКЗ в постановке М. Т. Нужина. Исследовано поведение полученного решения в окрестностях особенных точек.

4. Рассмотрен ряд задач об обтекании потоком несжимаемой невесомой жидкости неизвестного профиля.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному руководителю Салимову Расиху Бахтигареевичу и научному консультанту Елизарову Александру Михайловичу за постоянное внимание к работе и ценные предложения, способствовавшие продвижению работы.

Список опубликованных работ по теме диссертации

/. Елизаров А. М., Селезнев В. В. О разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач // Изв. вузов. Математика. - 1981. - № 11. - С. 3-10.

2. Салимое Р. Б., Селезнев В. В. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан.ун-та, 1979.-Вып. 16.- С. 159-162.

3. Салимое Р. Б., Селезнев В. В. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для кольца // Тр. семин. по краевыми задачам. -Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. -Вып. 17. - С. 140-157.

4. Салимое Р. Б, Селезнев В. В., Славутин М. Л. Обратные краевые задачи с граничными условиями на годографе производной // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. - Вып. 24. - С. 198 -212.

5. Селезнев В. В., Славутин М. Л. Однолистная разрешимость обратных краевых задач с граничными условиями на годографе производной // Тр. семин. по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1988. - Вып. 25. - С. 220-229.

6. Салимое Р. Б., Селезнев В. В. Видоизмененная обратная краевая задача // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан. Матем. об-ва,2002.-Т. 13.-С. 136-141.

7. Селезнев В. В. Видоизмененная обратная краевая задача для двусвязной области // Тр. XXII межвуз. конференции. - Самара. - Ч. 3. - С. 109-112.

8. Селезнев В. В. Краевая задача Гильберта и ее применение к решению некоторых обратных краевых задач // Тр. Матем. центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. - Т.21. - С. 53-60.

Литература

1. АксентьевЛ. А., Ильинский Н.Б., Нужин М. Т., Салимое Р.Б. ТумашевГ.Г. Теория обратных краевых задач и её приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1980. - Т. 18.- С. 69-126.

2. Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ-М.: ВИНИТИ, 1987. - Т. 25. - С. 3-121.

3. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд. -М.: Наука, 1970. -304 с.

4. Гахов Ф. Д. Краевые задачи, 3-е изд. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

5. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Наука, 1962.-599 с.

6. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения // 2-е изд. - Казань. - 1965. - 333 с.

Корректура автора

Подписано в печать \\.05.04 Формат 60 84/16

Заказ 329. Печать RISO Усл.-печ.л. 1.0

Тираж 100 экз. Бумага тип. № 1

Печатно-множительный отдел КазГАСА. 420043, Казань, Зеленая, 1.

Введение.

Глава 1. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами

§1. Случай односвязной области.

§2. Случай двусвязной области.

Глава 2. Обратные краевые задачи с граничными условиями на годографе производной

§3. Задачи для односвязных областей.

§4. Задачи для двусвязных областей.

§5. Бесконечносвязная область.

§6. Достаточные условия однолистной разрешимости.

Глава 3. Видоизмененная обратная краевая задача

§7. Случай односвязной области.

§8. Случай двусвязной области.

§9. О разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач об обтекании профиля.

Диссертация посвящена применению краевой задачи Гильберта к решению некоторых классов обратных краевых задач (ОКЗ) теории аналитических функций.

Под обратной краевой задачей, как и в [6], понимается задача отыскания контура области и функции или системы функций, принадлежащих в искомой области заданному классу, которые являются решением некоторого дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, причем на контуре краевых условий задается на одно больше, чем требуется для решения прямой краевой задачи для данного класса функций. Таким образом, в отличие от прямых краевых задач, когда задаются дифференциальные уравнения, область существования их решения и одно краевое условие, в обратных краевых задачах задаются дифференциальные уравнения и два краевых условия, а отыскивается область, на границе которой решение уравнения удовлетворяет этим краевым условиям. К описанному классу относятся и обратные краевые задачи теории аналитических функций, когда отыскивается функция комплексного переменного, аналитическая в искомой области, по заданным граничным условиям. В этом случае вещественная и мнимая части искомой функции удовлетворяют в области уравнению Лапласа.

Как известно стимулом к возникновению теории ОКЗ послужила необходимость решения задач в аэрогидромеханике и теории упругости, в которых требовалось построить объекты, обладающие заранее заданными свойствами [42], [43], [66]. В настоящее время в результате более чем полувекового развития ОКЗ образуют обширный раздел теории аналитических функций, который был создан и развит преимущественно трудами казанских математиков и механиков (см., например, обзор [6]). Исторически сложилось так, что первые ОКЗ, имевшие приложения в механике, ставились по дуговому параметру s [66]. В односвязном случае задача состоит в отыскании области Dz и аналитической в Dz функции w(z) по ее граничным значениям w(s) = u(s) + iv(s), 0 <s<£, где s - дуговая абсцисса неизвестного граничного контура Lz области Dz и I — его длина. В зависимости от того, принадлежит бесконечно удаленная точка области Dz или нет, ОКЗ делятся на внешние и внутренние. Во внешних задачах существенным оказалось задано или нет положение точки w0, являющейся образом в плоскости w бесконечно удаленной точки в плоскости z. ОКЗ с заданной величиной w0 впервые рассмотрел М.Т. Нужин [43]. Внешняя ОКЗ в случае, когда w0 заранее не задается, рассмотрена Ф.Д. Гаховым [13]. Им же была доказана разрешимость уравнения, из которого определяется w0.

В связи с требованием физической реализуемости построенных объектов в механике большую роль в теории ОКЗ играют достаточные условия однолистности решений. В этом направлении получено большое число результатов, которые подробно отражены в обзорах [3], [4].

Естественным обобщением ОКЗ является смешанная обратная краевая задача о нахождении области, часть границы которой известна, и функции или системы функций, удовлетворяющей в этой области дифференциальному уравнению или системе дифференциальных уравнений, по некоторым граничным условиям. Одна из первых формулировок смешанной ОКЗ для гармонической функции приведена в работе Демченко [74], однако решение им не получено.

М.Т. Нужину [67] принадлежит следующая постановка смешанной ОКЗ: на известном участке границы области Dz заданы значения действительной или мнимой части искомой функции w(z), на неизвестном — значения всей функции: требуется определить неизвестные части контура и аналитическую функцию. Решение этой задачи сталкивается с большими проблемами, так как по граничным условиям область Z)w, вообще говоря, не определяется, и в общем виде до сих пор не построено.

В.Н. Монахов [40] поставил и исследовал следующую смешанную ОКЗ: на известном участке L\ границы Lz = L\ + L) области Dz задается соотношение Ф(<р, у/) = 0 между <р и у/ — действительной и мнимой частями аналитической функции w = <p + y/; на искомой части L] границы задаются значения w = F(t), ,т2], где т - один из параметров r = |z|, х = Re z, 9= arg z> s — дуговая абсцисса. Такое задание граничных условий позволяет определить область Da, что дает возможность применения метода сопоставления плоскостей. Разрешимость задачи исследовалась методом полигональной конечномерной аппроксимацииа.

М.И. Хайкин [68], [69] рассмотрел смешанную ОКЗ в случае, когда известен образ Da искомой области Dz с границей Lz = L\ +L); на неизвестном участке L\ заданной длины имеется граничное условие \dwjdz\ = f(s), s s [0, £], a известная дуга L\ задается одним из следующих способов: L\ задана полностью, концы ее фиксированы; L\ задана с точностью до подобия относительно некоторой точки хорды, соединяющей ее концы; L\ лежит на заданной кривой, уходящей в бесконечность, фиксируется только начало L\.

Доказательство разрешимости этой задачи проведено методом интегральных уравнений с использованием метода сопоставления плоскостей и граничного условия задачи. Исходная задача редуцируется к прямой смешанной краевой задаче, откуда и вытекает интегральное уравнение задачи. При определенных условиях методом Лере-Шаудера [34] доказана теорема существования решения. Доказаны также теоремы существования решений задач об обтекании безграничным потоком невесомой жидкости профиля, часть границы которого задается, а также фильтрационных задач построения подземного контура, когда часть его известна.

Смешанные задачи аэрогидромеханики исследовали JI.JI. Лебедев, Р.Б. Салимов, A.M. Елизаров, D.H. Wilkinson, T.D. Beatty, J.C. Narcamore и др. Так, в работах [33], [55], [76], [77] рассмотрены решения задач, когда часть крылового профиля предполагается известной, а другая отыскивается по заданному распределению скорости или давления. В частности Л.Л. Лебедев дал решение смешанной ОКЗ о нахождении формы профиля, обтекаемого потенциальным потоком жидкости, в предположении, что заданные участки представляют собой прямолинейные отрезки.

Следует также отметить краевые задачи теории фильтрации [27], [44]. Целый ряд задач теории фильтрации жидкости с неизвестными границами при различных предположениях о форме области фильтрации изучен в работах Н.Б. Салимова [50] —[54]. Отметим в этой связи задачу построения контура при наклонном водоупоре [50], задачу построения контура по распределению скорости фильтрации v(s) и v(x), когда область подстилается криволинейным водоупором [51], [54]; смешанные фильтрационные задачи, когда часть искомого контура задается [52], [53].

Близкими по математической постановке к фильтрационным задачам являются смешанные задачи теории удара, исследованные B.C. Рогожиным [47], [49].

Некоторые смешанные задачи газовой динамики и теории упругости, математическая постановка которых эквивалентна постановке задачи В.Н. Монахова, исследованы в [35] - [40].

Однозначная разрешимость как прикладных смешанных ОКЗ, так и задач в чисто математической постановке рассматривалась Г.Г. Тумашевым, М.Т. Нужиным, Р.Б. Салимовым, Н.Б. Салимовым, Н.Б. Ильинским, B.C. Рогожиным, И.Л. Гуревичем, A.M. Елизаровым и другими исследователями. Обзор литературы, посвященной этим вопросам, можно найти в монографиях [24], [40], [67], а также в обзорных статьях [6], [23].

Отметим, в частности, ряд статей A.M. Елизарова [16] - [22]. Им доказаны теоремы разрешимости обобщенной смешанной ОКЗ М.И. Хайкина по параметрам х и г, получено достаточное условие однолистности решения внешней задачи по параметру х, теоремы разрешимости для смешанной ОКЗ Демченко по параметру s, х, г, 0 = arg z.

Целью настоящей работы является исследование некоторых ОКЗ и смешанных ОКЗ для областей различной связности, выяснение вопросов разрешимости, получение общего решения, изучение его поведения вблизи особых точек границы, выяснение условий однолистности и их зависимости от геометрии известной части границы искомой области.

Основными методами исследования являются методы геометрической теории функций комплексного переменного, методы теории краевых задач, теории интегралов типа Коши.

Диссертация состоит из введения и трех глав, разделенных на девять параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по параграфам.

1. Авхадиев Ф. Г. Радиусы выпуклости и почти выпуклости некоторых интегральных представлений // Матем. заметки — 1970. — Т. 7 - Вып. 5. — С. 581-592.

2. Авхадиев Ф. Г. О методе локального гомеоморфного продолжения в теории достаточных условий однолистности // Тр. семин. по краевым задачам.- Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1983. — Вып. 20. — С. 3-10.

3. Авхадиев Ф. Г., Аксентъев JI. А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // УМН. — 1975. — Т. 30. — Вып. 4.-С. 4-60.

4. Авхадиев Ф. Г., Аксентъев JI. А., Елизаров А. М. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. -М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 25. - С. 3-121.

5. Аксентъев JI. А. Точные оценки для гармонических в круге функций // Изв. вузов. Математика. 1968. - № 3. - С. 3-8.

6. Аксентъев JI. А., Ильинский Н. Б., Нужин М.Т., Салимое Р. Б., Тумашев Г. Г. Теория обратных краевых задач и её приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. ВИНИТИ, 1980. - Т. 18. — С. 69-126.

7. Аксентъев Л. А., Решетников Ю. А. Об однолистности разрешимости обратной краевой задачи гидромеханики // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1971. - Вып. 8. - С. 12-21.

8. Ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций, 2-е изд. — М.: Наука, 1970.- 304 с.

9. Банцури Р. Д. О задаче Римана-Гильберта для двусвязных областей // Сообщения АН Груз ССР. 1975. - Т. 80. - № 3 - С. 549-552.

10. Биркгоф Г, Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир, 1964.-466 с.И. Боярский Б. В. Об особом случае задачи Римана-Гильберта // ДАН СССР. 1964. - Т. 119. - № з. - С. 411-414.

11. Веку а И. Н. Обобщенные аналитические функции. — М.: Физматгиз, 1959.-512 с.

12. Гахов Ф. Д. Об обратных краевых задачах // Уч. записки Казан, ун-та.- Казань, 1953. Т. 113. - № 10. - С. 9-20.

13. Гахов Ф.Д. Краевые задачи, 3-е изд. М.: Наука, 1977. - 640 с.

14. Гахов Ф. Д., Хасабов Э. Г. О краевой задаче Гильберта для многосвязной области // Изд. вузов. Математика. — 1958. — Т. 2. № 1. — С. 1221.

15. Елизаров А. М. Об обратной смешанной краевой задаче Демченко // Казань. 1977 г. - 17 с. Рукопись депонирована в ВИНИТИ 10. 01. 78, № 164 -78.

16. Елизаров А. М. Об устойчивости решений обратных смешанных задач на примере задач теории фильтрации // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1977. - № 2.- С.54-63.

17. Елизаров А. М. Доказательство разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач для регулярной функции // Изв. вузов. Математика. — 1979.-№ 10.-С. 94-98.

18. Елизаров А. М. Вопросы разрешимости смешанных обратных краевых задач для аналитических функций // Автореф. дис., . канд. ф.-м. наук. — Казань. Казан, ун-т, 1980. 14 с.

19. Елизаров А. М. О смешанной обратной краевой задаче обтекания профиля // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. -Вып. 17.-С. 56-62.

20. Елизаров А. М. Об одном классе смешанных обратных краевых задач // Изв. вузов. Математика. 1981. - № 6. С. 28-34.

21. Елизаров А. М О смешанных обратных краевых задачах в двусвязных областях // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1982. -Вып. 18.-С. 53-60.

22. Елизаров А. М., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидромеханики // Итоги науки и техники. Серия Механика жидкости и газа. -М.: ВИНИТИ, 1989. -Т. 23. С. 3-115.

23. Елизаров A. M., Ильинский Н. Б., Поташев А. В. Обратные краевые задачи аэрогидромеханики. М.: Наука, 1994. - 440 с.

24. Елизаров А. М, Селезнев В. В. О разрешимости некоторых смешанных обратных краевых задач //Изв. вузов. Математика. 1981. - №11. - С. 3-10.

25. Зверович Э. И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровых классах на римановых поверхностях // УМН. — 1971. T.XXXVI. -Вып. 1.-С. 113-179.

26. Ильинский Н. Z>. Построение контура основания гидротехнического сооружения по распределению напора // Труды по теории фильтрации. — Казань. Уч. зап. КГУ, 1958. - Т. 118. - Кн. 2. - С. 134-157.

27. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ, 2-е изд. — М.: Наука, 1977.-742 с.

28. КвеселаваД. А. Задача Римана-Гильберта для многосвязной области // Сообщения АН Груз. ССР- 1945.-№ 8.-С. 581-590.

29. Комяк ИИ., Усс А./Т Особый случай задачи Гильберта // Изв. АН БССР. Серия физ. мат. Наук, 1975 - № 6 - С. 22-29.

30. Крейн С. Г., Петунин Ю. И Шкалы банаховых пространств // УМН. -1966. Т. XXI. - № 2. - С. 89-168.

31. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного, 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1973. — 736 с.

32. Лебедев Л. Л. Одна обратная смешанная задача // Казань. Уч. зап. КГУ. - 1957. - Т. 117. - № 9. - С. 100-103.

33. Лере Ж., Шаудер Ю. Топология и функциональные уравнения // УМН. 1946. - Т.1. - № 3. - С. 71-95.

34. Монахов Б. Н. О теоремах единственности в задачах гидродинамики со свободными границами // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964. - Вып. 1.-С. 81-87.

35. Монахов В. Н. Об одном классе краевых задач со свободными границами для эллиптических систем // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964. - Вып. 1. - С. 93-95.

36. Монахов ВН. О теоремах существования в задачах гидродинамики со свободными границами // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1964. - Вып. 2. - С. 142-152.

37. Монахов В. Н. Об однозначной разрешимости плоских задач газовой динамики со свободными границами // ДАН СССР. — 1965. — Т. 164. — № 5. — С. 982-984.

38. Монахов В. Н. О краевых задачах со свободными границами для эллиптических систем уравнений // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во. Казан, ун-та, 1964. Вып. 1. - С. 88-92.

39. Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптического систем уравнений. — Новосибирск: Наука, 1977. — 424 с.

40. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1962.-599 с.

41. Нужин М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их приложениях в теории упругости. — Дисс. . канд. ф.-м. наук. Казань, 1947. — 44с.

42. Нужин М. Т. О некоторых обратных краевых задачах и их применении к определению формы сечения скручиваемых стержней // Уч. зап. Казан. Ун-та.- 1949.-Т. 109.-№ 1.-С. 97-120.

43. Нужин М. Т., Ильинский Н. Б. Методы построения: подземного контура гидротехнических сооружений // Обратные задачи теории фильтрации. Казань.: Изд-во Казан, ун-та, 1963. — 139 с.

44. Обносов Ю.В. к решению линейной задачи Гильберта в одном особом случае // Изв. вузов. Математика, 1979, -№ 9 - С. 29-40

45. Решетников Ю. А. Достаточные условия однолистности регулярных функций в круговом кольце // Изв. вузов. — Математика. 1982 г. - N 2. - С. 73-75.

46. Рогожин В. С. Обратная задача теории удара // Уч. зап. Казанского университета. 1957. - Т. 117. - Кн. 2. - С. 36-37.

47. Рогожин В. С. Достаточные условия однолистности решения обратных краевых задач // ПММ. 1958. - Т. 22. - № 6. - С. 804-807.

48. Рогожин В. С. Нахождение формы тела по заданному импульсному давлению при ударе // ПММ. 1959. — Т. 23. — № 3. - С. 589-591.

49. Салимое Н. Б. Обратная задача напорной фильтрации при наклонном водоупоре // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1966. Вып. 3.-С. 146-158.

50. Салимое Н. Б. Обратная задача напорной фильтрации в области с криволинейном водоупором // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во. Казан.ун-та, 1968.-Вып. 5.-С. 187-196.

51. Салимое Н. Б. О некоторых задачах фильтрации жидкости с неизвестными границами // Изв. вузов. Математика — 1969. № 2. - С. 88-98.

52. Салимое Н. Б. Некоторые задачи фильтрации жидкости с неизвестными границами. — Автореф. дисс . канд. ф.-м. наук. — Казань, 1969.

53. Салимое Н. Б. О разрешимости двух обратных краевых задач теории фильтрации // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1972. Вып. 9. - С. 208-215.

54. Салимое Р. Б. О решении краевых задач аэрогидро -механики // Тр. КАИ. Казань. - 1962. - Вып. 71. - С. 42-49.

55. Салимое Р. Б., Селезнев В. В. К решению краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1979. - Вып. 16. - С. 159-162.

56. Салимое Р. В., Селезнев В. В. Решение краевой задачи Гильберта с разрывными коэффициентами для кольца // Тр. семин. по краевыми задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1980. Вып. 17. - С. 140-157.

57. Салимое Р. Б., Селезнев В. В., Славутин М. Л. Обратные краевые задачи с граничными условиями на годографе производной // Тр. семин. по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1987. - Вып. 24. - С. 198 -212.

58. Селезнев В. В., Славутин М. Л. Однолистная разрешимость обратных краевых задач с граничными условиями на годографе производной // Тр. семин. по краевым задачам. — Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1988. Вып. 25. -С. 220-229.

59. Салимое Р. Б., Селезнев В. В. Видоизмененная обратная краевая задача // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. Матем. об-ва, 2002. - Т. 13. - С. 136-141.

60. Селезнев В. В. Видоизмененная обратная краевая задача для двусвязной области // Тр. XXII межвуз. конференции. Самара. - Ч. 3. - С. 109-112.

61. Селезнев В.В. Краевая задача Гильберта и ее применение к решению некоторых обратных краевых задач // Тр. Матем- центра им. Н.И. Лобачевского. — Казань: Изд-во Казан, матем. об-ва, 2003. — Т.21. С. 53-60.

62. Симонов Л. А. Построение профилей по годографу скорости // ПММ.- 1940. Т. 4. - Вып. 2. - С. 97-116.

63. Симонов Л. А. Построение профилей по годографу скорости // ПММ.- 1941. Т. 5. - Вып. 2. - С. 193-222.

64. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. М.: Наука, 1962.-512 с.

65. Тумашев Г. Г. Определение формы границ потока жидкости по известному распределению скорости или давления. — Дисс. . канд. ф.-м. наук. -Казань, 1945.-70 с.

66. Тумашев Г. Г., Нужин М. Т. Обратные краевые задачи и их приложения // 2-е изд. Казань. - 1965. - 333 с.

67. Хайкин М. И. Теоремы существования для одного класса обратных смешанных краевых задач теории аналитических функций // Тр. КАИ. -Казань. 1961. - Вып. 64. - С. 3-24.

68. Хайкин М. И. О разрешимости обратной смешанной краевой задачи // Тр. КАИ. Казань. - 1962. - Вып. 68. - С. 11-20.

69. Черепанов Г. П. Задача Римана-Гильберта для внешности разрезов вдоль прямой и вдоль окружности // ДАН СССР. 1964. - Т. 156. - № 2. - С. 274-277.

70. Шабалин П. Л. Исследование общего решения обратной краевой задачи для аналитических функций. — Автореф. дисс. . канд. ф.-м. наук. -Казань, 1976.

71. Demthenko В. Sur un probleme inversan probleme Dirichlet // C. R. — 1929.-V.89.

72. Kaplan W. Close-to-contex sclicht functions // Michigan Math J. 1952 -J. I. —№ 2.— P. 169-185.

73. Narramore J. C., Beatty T. D. An inverse method for the design of multielement hight-left sistems // AIAA Pap. 1975. - № 879. - 7 P.

74. Narramore J. C., Beatty T. D. Inverse method for the dedsign of multielement hight-left sistems // J. Aircraft. 1976. - № 13. - P. 393-398.