Сингулярная задача Римана - Гильберта и ее приложение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукопис.

БЕЗРОДНЫХ Сергей Игоревич

Сингулярная задача Римана — Гильберта и ее приложение

01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2006

Работа выполнена в Вычислительном центре им. Л.А. Дородницына Российской академии наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.И. ВЛАСОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Б.В. ПАЛЬЦЕВ, ■ кандидат физико-математических наук H.A. ЖУРА.

Ведущая организация:

Белгородский государственный университет.

Защита диссертации состоится " 2006 г. в часов

на заседании Диссертационного совета Д 002.f//.01 при Вычислительном цеитре им. A.A. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119991, Москва, ул. Вавилова д. 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН.

Автореферат разослан

сентября 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

С.П. ПОПОВ

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена исследованию задачи Римана — Гильберта ' с разрывными коэффициентами и условиями роста, получению нового, удобного для вычислений представления решения и применению этих результатов к актуальной прикладной проблеме.

Актуальность темы. Задача о восстановлении аналитической в области Ъ функции 3" = и+гу по заданному на границе дЪ соотношению между ее вещественной и мнимой частями

аи — Ъь = с, (1)

где а, Ь, с — заданные вещественнозначные функции, называемая задачей Римана — Гильберта, восходит к классическим работам этих авторов.

Теория этой задачи и других краевых задач для аналитических функций получила глубокое развитие в работах Ю.В. Сохоцкого, Племеля, Вольтерра, Гильберта, Карлемана, Нётера, Ф.Д. Гахова, Н.И.Мусхелишвили, Б.В.Хведелидзе, И.Н.Векуа, Н.П.Векуа, В.В.Боярского, А.В.Бицадзе и др.

Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения задачи Римана — Гильберта к актуальным прикладным проблемам в традиционных (гидро- и аэродинамика теория упругости) и современных областях, в том числе в обратных задачах термовязко-упругости, теории рассеяния и импедансной томографии, задачах электролиза, теории нейтронных звезд и др.

Задачи Римана — Гильберта, возникающие в связи с приложениями, как правило, приходится решать в сложных областях. Для их сведёния к задаче в канонической области, где решение выписывается явно, необходимо строить соответствующее конформное отображение. Его построение представляет собой самостоятельную трудную задачу. Даже в случае многоугольника, когда для отображения есть явное представление (в виде интеграла Кристоффеля — Шварца), возникает проблема отыскания неизвестных прообразов вершин, фигурирующих в этом интеграле.

Эта проблема значительно усложняется в типичной для приложений ситуации, когда прообразы вершин расположены крайне неравномерно и некоторые из них — очень близко друг к другу (что называют кроудин-гом). Проблема параметров в ситуации кроудинга является весьма актуальной и привлекает большое внимание исследователей; она нашла отражение, например, в работах R. Menikoff и С. Zemach (1980), L.N. Trefethen (1980,1993), B.C. Krikeles и R.L. Rubin (1988), L.N. Howel и L.N. Trefethen (1990), P. Henrici (1991), T.A. Driscoll (1996), L.N. Trefethen и T.A. Driscoll (1998,2005),

Отметим, что в приложениях (в механике, физике плазмы и др.) нередко возникает важный частный случай задачи (1) в сложной области, когда коэффициенты а, Ь и с кусочно-постоянны, а в точках их разрыва предписываются условия роста решения. Заметим, что условие (1) при постоянных a, b и с представляет собой уравнение прямой на плоскости ги — и + iv. Такое наблюдение подсказывает, что решение задачи Рима-на — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами может быть интерпретировано геометрически как конформное отображение исходной области на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник. Возможность такой интерпретации неявным образом была указана Риманом (1851). Отметим, что реализацией этой интерпретации в случае задачи Римана — Гильберта (с кусочно-постоянными коэффициентами) в полуплоскости было бы представление решения в виде интеграла Кри-стоффеля — Шварца.

Целью диссертационной работы является:

1) исследование разрешимости задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста в точках разрыва (сингулярной задачи Римана — Гильберта);

2) получение для функции Аппеля F\ (обобщения гипергеометрической функции Гаусса F) формулы, являющейся аналогом формулы Яко-би для F и дающей выражение для производной от произведения F\ на некоторые биномы в виде произведения (других) биномов и линейной функции;

3) вывод при помощи найденной формулы типа Якоби для функции нового представления в виде интеграла Кристоффеля—Шварца для решения задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами а, Ь и с, имеющими три точки разрыва;

4) решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в сложной области (внешности десятиугольника), возникающей при моделировании явления магнитного пересоединения в плазме;

5) построение конформного отображения указанной в п. 4 многоугольной области на каноническую, включающее решение проблемы параметр ров для интеграла Кристоффеля — Шварца и его обращение в аналитическом виде.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) на основе классических подходов Ф.Д. Гахова и Н.И. Мусхелишвили исследована разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно- гёльдеровыми коэффициентами; решение задачи выписано через интегралы типа Коши;

2) получена указанная в п. 2 целей работы формула типа Якоби для функции Аппеля

3) с помощью этой формулы решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, преобразовано к виду интеграла Кристоффеля — Шварца; такое представление дает геометрическую интерпретацию решения задачи как конформного отображение полуплоскости на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник и доставляет удобный аппарат для его вычисления;

4) решена сингулярная задача Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами во внешности десятиугольника, возникающая при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме; проведена численная реализация решения и представлена динамика картины магнитного поля вблизи токовой конфигурации в зависимости от параметров модели; найдены формулы для физически значимых характеристик поля;

5) построено необходимое для решения задачи, указанной в п. 4, конформное отображение исходной многоугольной области на полуплоскость; при этом решена проблема параметров для обратного отображения, представляемого интегралом Кристоффеля — Шварца, с использованием найденных асимптотик для неизвестных параметров этого интеграла; интеграл Кристоффеля — Шварца обращен в аналитическом виде.

Приемы, использованные в п. 5 для построения конформного отображения, допускают обобщение на широкий класс многоугольных областей.

Теоретическая и практическая ценность. 'Полученные в диссертации результаты представляют интерес для специалистов в области математической физики и ее приложений. Они могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах Вычислительного центра им. А.А.Дородницына РАН (рук. — А.А.Абрамов, Б.В.Пальцев, Ю.Д.Шмыглевский), Института прикладной математики им. М.В.Келдыша (рук. — А.В.Забродин), Государственного астрономического института им. П.К.Штернберга при МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. — Б.В.Сомов), Белгородского госуниверситета (рук. — А.П.Солдатов), а также на международной конференции "International Conference on Functional Analysis and its Applications Dedicated to the 110й1 Anniversary of Stephan Banach" (Украина, Львов, 2002), на международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования", посвященной 80-летию Л.Д.Кудрявцева (Москва, 2003), на Крымской осенней математической школе-симпозиуме (Украина, Севастополь, 2004, 2005), на международной конференции "Computational Methods and Function Theory" (Finland, Joensuu, 2005), на международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания" (Обнинск, 2006), на международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006) и

на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ; их список приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 164 страницы, включая 18 рисунков и одну таблицу. Список литературы содержит 131 наименование.

Обзор содержания диссертации

Во введении к диссертации отмечена актуальность тематики, указаны цели работы и кратко изложено ее содержание. Кроме того, приведен список обозначений, дано определение одного специального класса одно-связных областей, а также изложены некоторые сведения о сходимости конформного отображения последовательности областей.

Первая глава посвящена сингулярной задаче Римана — Гильберта в полуплоскости. Основными результатами главы являются: 1) установленная разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и полученное представление ее решения через интегралы типа Коши; 2) найденная формула типа Якоби для функции Аппеля и выведенное на ее основе представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для решения сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва.

Параграф 1 главы I содержит вводный материал о задаче Римана — Гильберта в односвязной области и методах ее решения. Отмечено, что в настоящей работе используется подход, основанный на использовании конформного отображения для перехода к аналогичной задаче Римана — Гильберта в канонической области с последующим сведением к задаче сопряжения, решение которой строится через интегралы типа Коши.

В связи с этим даны краткие сведения об отображении прямолинейных многоугольников при помощи интеграла Кристоффеля — Шварца и круговых многоугольников на основе уравнения Шварца, а также о приближенных методах конформного отображения типа метода Теодорсона — Гаррика и вариационных методах.

В параграфе 2 главы I изложены используемые в дальнейшем сведения из теории гипергеометрической функции Гаусса F(a,b;c',z) и ее обобщения — функции Аппеля F\(ai,a2,b\c\ 21,2:2). Отмечено, что функция F (a, b; с\ z) представима в виде следующего ряда, называемого гипергеометрическим:

F(a, Ь, с, z) - ^ -Щ^Г^ - M < 1. («)* - Г(о) ' (2) и для нее справедливо интегральное представление Эйлера

*- т&т) / (3)

о

Приведены также формулы аналитического продолжения гипергеомет-ричсской функции в окрестности особых точек z = 1 и z = оо. В формулах (2) и (3) фигурирует Гамма-функция T(s); в формуле (3) предполагается, что Re с > Re 6 > 0.

Кроме того, в §2 получен ряд соотношений между ассоциированными гипергеометрическими функциями. Примером такого соотношения является следующее:

(с — 1) F(a, 6 — 1; с — 1; г) + (1 + а - с) F{a,b\c;z)+

+ a (z- 1) F(a + 1, b; с; z) = 0.

Эти соотношения затем использовались в §4 при выводе формулы типа Якоби для функции Fi.

В §2 приведен также ряд для функции Аппеля Fi(ai,a2,b\c\zuz-i), являющийся обобщением ряда (2) на случай двух комплексных перемен-

ных 2i и Z2, а также следующее интегральное представление:

1

- Fi К а2; Ь- с; ъ) = г, f - ¿Г6'1

Г(с - 6) Г(Ь) 7 (1 - 21 t) (1 - Z2 i) <4 ' w

обобщающее представление Эйлера (3).

Параграф 3 главы I посвящен сингулярной задаче Римана — Гильберта в полуплоскости

H+:={C:ImC>0}, С = 1 + «7,

с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста решения в точках разрыва коэффициентов (предполагается, что коэффициенты задачи могут иметь разрыв и в бесконечно удаленной точке, а общее число точек разрыва конечно).

Заметим, что краевое условие (1) задачи Римана — Гильберта можно переписать в виде Re (h3^) = с, где h := a+ib, 3" = u+iv. В дальнейшем будем использовать краевое условие в этой форме, называя функции h и с коэффициентами рассматриваемой краевой задачи.

Перейдем к формулировке задачи Римана — Гильберта в Н+, приведенной в §3 главы I. Пусть заданные на К = ЭИ+ комплексная Л(£) и вещественная с(£) функции являются кусочно-гёльдеровыми с разрывами первого рода в точках к = О,К, (здесь £0 •'= сю), причем отлична от нуля. На каждом из участков непрерывности выберем произвольным образом ветвь аргумента функции Л(£) и обозначим через <5* деленные на 7Г скачки функции arg h(£) в точках разрыва:

4:=axgfcfe + 0)-argM6-0); , = (5)

1Г

а для бесконечно удаленной точки полагаем

. arg h (+оо) - arg h (-od) . . d0 := -. (о;

7Г

Через atk и Xk обозначим соответственно дробные и целые части величин

4: _

£**:={&}, **"[&], к = 0,К: (7)

Введем также обозначение для скачков функции д(£) := с(£)/Л(£)

„ <=(& + 0) с (6-0) . ^

Пусть, кроме того, п0, П\,...,пк € Z+ — заданные неотрицательные целые числа.

Отдельно рассмотрим два случая:

I) когда соотношения тг^ =0, ajt = 0, о> ^ 0 одновременно не выполняются ни при каком к = 0, Ä", т.е.

^ = п* = 0, . а* = 0, (9)

II) когда указанные соотношения одновременно выполняются хотя бы для одного к, т.е.

Зк = 0,К: Пк = 0, а* = 0, (10)

I) В предположении (9) сформулируем рассматриваемую в дальнейшем задачу Римана — Гильберта: найти аналитическую в полуплоскости Н+ и непрерывную в Н+ \ {&} функцию У"1"(С), т.е.

У+бИ+:=Л(Г)пС,р+\Й}), (11)

удовлетворяющую на вещественной оси краевому условию

Re [Л(е> Э>+(0] = с(0, i е к \ (6Ь (12)

а в точках ^ — условиям роста:

по = (0[(c~tr"n'3' если

[ 0(1), если Пк — 0;

(13)

7+(0 = 0(с+п'), С-"°о. (14)

Сформулированную задачу (11)—(14) естественно называть сингулярной задачей Римана — Гильберта

И) Предположим, что для одной или нескольких точек которые обозначим одновременно выполняются равенства

= "^=0, о^О, (15)

т.е. имеет место случай II. Тогда в каждой конечной точке требование (13), которое при а^ = п^ = 0 означало бы 1Р+(0 = 0(1), С заменяется на следующее:

з>+(с) = <э[1п(с-е0], С Си. (16)

а если условие (15) выполняется в точке С^ = Со> то соотношение (14), которое при = пка — 0 означало бы У+(С) = 0(1), С —► оо, заменяется на следующее:

У+(С) = 0(1пС), 'С-»'оо. (17)

Назовем каноническим решением задачи Римана — Гильберта функцию ЭС+(С), которая удовлетворяет однородному краевому условию (12), нигде в Н+ \ {£*} не обращается нуль, а в конечных точках к = 1, К, подчиняется условиям роста (13).

В §3 показано, что каноническое решение Х+ имеет вид

к

=П к еМ+(с)> (18) ¿=1

где через М(£) обозначен модифицированный интеграл типа Коши:

ГУ

свойства которого (в том числе асимптотики при £ —> к = О, К) также исследованы в §3.

С учетом поведения на бесконечности из формулы (18), вытекает следующая асимптотика функции ЭС+(С):

ЗВД^ОЧС-4*--"), с-» 00. (20)

Фигурирующее здесь целое число ус, определяемое по формуле

к

к := п0 - н0 -1- ^ + п*)> (21)

к=1

называем индексом задачи.

Разрешимость однородной задачи Римана — Гильберта устанавливает следующая

Теорема 1. Если индекс х, определяемый по формуле (21), неотрицателен, то решение Ф+ € 9£+ однородной задачи Римана — Гильберта

11е [/>(£) Ф+(0] = О, ееМШ}, (22)

с условиями роста

Ф+(С)=0[(С-£*Г-П1. С-»6, ' к^ТГк,

ф+(0 = о(С*°+п°), С-»оо,

где Пк — произвольные неотрицательные целые числа, имеет следующий вид:

Ф+(С)=П (С(еГ; (24) к=1

здесь функция М+ (С) дается равенством (19), Рх(0 — произвольный многочлен степени я с вещественными коэффициентами, а числа а/• и щ определяются из (7).

(11) При я < 0 однородная задача Римана — Гильберта (22), (23) в классе !Н+ не имеет решений, кроме тривиального Ф+(£) = 0.

Разрешимость неоднородной задачи Римана — Гильберта устанавливает следующая

Теорема 2. I) Пусть выполняется условие (9). Тогда справедливы утверждения:

(1) Если индекс я, определяемый по формуле (21), неотрицателен, то решение 3>+ £ !К+ задачи Римана — Гильберта (12)-(Ц) имеет вид

У+(С) = эс+ю

где РХ(С) — произвольный полином степени я с вещественными коэффициентами, Х+(С) — каноническое решение задачи, определяемое

Р»(0 +

5(0

сЦ) Л

т и 5(0Л(0Х+(Ь) (г - С).

(25)

равенством

к

Х+(С) = П (С - ем+«>, (26)

*=1

а М+(С) и <5(С) даются формулами (19) и

5(0 := (С - Х)2Ы2} (С2 + 1)[х/2]; (27)

здесь А е Ж \ {&}.

(Н) Если х = — 1, то единственным решением е "К+ рассматриваемой задачи является функция

Ф+т = Г c^dt

т Л h(t) X+(t) (t

т Л л(о x+(i) (t - о'

.Если х < — 1 и выполняются условия tkc(t) dt

(28)

/

укм*)х+(*)=0, (29)

то единственное решение задачи из !К+ дается формулой (28). Если же х < — 1 и условия (29) не выполнены, то эта задача в классе !К+ не имеет решений.

II) Пусть выполняется условие (10). Тогда в конечных точках где одновременно выполняются соотношения (15), условие (13) в постановке задачи следует заменить на (16), а представления (25) при х > 0 и (28) при х < 0 для решения СР+ € СК+ сохраняются. Если же (15) имеет место для = оо, то условие (Ц) следует заменить на (17), представление (28) при х < 0 сохраняется, а функцию ¿>(0 в представлении (25) при х > 0 для решения следует определять равенством

5(0:=(С-л)2{х/2}(С2 + 1)1х/2,(С-А); А, А€К\{6}, А^Л. (30)

В параграфе 4 главы I рассмотрен частный случай изученной в §3 задачи Римана — Гильберта, когда ее коэффициенты кусочно-постоянны, т.е.

Л(0=А*, £6 (&,&+!); с(0=ск, С € (&; бна). (31) В первой части §4 даны представления решения через интегралы типа Коши и установлена разрешимость данной задачи. Эти результаты сформулированы в теореме 3, которая, по существу, является уточнением теоремы 2 для рассматриваемого частного случая.

Вторая часть параграфа 4 посвящена преобразованию решения сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, к виду интеграла Кристоффеля — Шварца.

Каноническое решение Х+(£) для рассматриваемой в этом параграфе задачи Римана — Гильберта имеет вид

Х+(С) = е<е' (С - бГ1"11 (С - (32)

где ©2 := 7г/2 — а^ /12, а общее решение Ф+(С) однородной задачи (т.е. при сеО) дается формулой

Ф+(С) = е,е> (С - б)01"11 (С - СгГ""2 Рх (С), Се и+; (33)

здесь Р*(С) — произвольный многочлен степени х с вещественными коэффициентами.

Частное решение неоднородной задачи Римана — Гильберта

может быть представлено в виде

ад «¿ад. ад=ад ¡те. (34) к=0

где 3^(0 даются равенством

^(с) - Скш 1к х+т - о (3о)

здесь £0 := (~оо, 6). £1 •'= (Сь Сг), ■= (Сг, +оо), А0 = А2 6 А1 6 К\[Сь Сг]- Подчеркнем, что фигурирующие в (35) интегралы могут быть выражены через функцию Аппеля /-1, определяемую из (4).

Преобразование общего решения У+(С) = Ф+(С)+^+(С) неоднородной задачи Римана — Гильберта к виду интеграла Кристоффеля — Шварца , осуществлено путем дифференцирования и нахождения первообразной. Такое преобразования отдельно проведено для решения Ф+(С) однородной задачи и (что является значительно более трудным вопросом) для частного решения N+(£) неоднородной задачи.

Техническим средством, позволившим осуществить указанное преобразование функции >Г+(С), является найденная в п. 4.3 формула типа Якоби для функции Аппеля (4); эта формула имеет следующий вид:

± 1 (ги - (Ш - *)» Я. (1, «; 6; с; w, *)] =

= wc~a~2 (w - 1)'-с (w - z)"'1 [ЭС(ш - z) + Û tu], где величины X и Q даются равенствами

X := (l + a-c)F(o, 6; с; z), Q := a(Ç — 1)F(a + 1, i>; c; z). (37)

Справедлива следующая Теорема 4. Решение СР+(£) рассмотренной в теореме 2 сингулярной задачи Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами Л(£) и с(0 представимо в случае трех точек разрыва £о = оо, и в виде интеграла Кристоффеля — Шварца

0>+(О = е'ва /С (t - (t - Ç2)°*-n*-lR(t) dt + wQ] (38)

Ло

где R(t) — много'член с вещественными коэффициентами

В диссертации получен явный вид многочлена R(t), а также указаны константы Со и w0. Выражения для этих величин не приводятся в силу их громозкости.

Вторая глава посвящена решению сингулярной задачи Римана — Гильберта во внешности десятиугольника с кусочно-постоянными коэффициентами и заданным на бесконечности условием роста; такая задача возникает при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме.

В параграфе 1 главы II изложены основные положения (двумерной) модели пересоединения магнитного поля во внешности токовой конфигурации, состоящей из токового слоя и присоединенных к нему четырех ударных МГД-волн; токовый слой и ударные волны, считающиеся бесконечно тонкими, изображаются в виде симметричной системы прямолинейных разрезов на комплексной плоскости. Десятиугольная область, в которой рассматривается магнитное поле, является внешностью этой системы разрезов. Используемая в диссертации модель предложена в работе С.А.Марковского и Б.В.Сомова (1988); она является обобщением моделей, предложенных в работах С.И. Сыроватского (1971) и Робертса и Приста (1975).

В параграфе 2 главы II описанно сведение изложенной в §1 математической модели к задаче Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами в указанной десятиугольной области и условием линейного роста решения на бесконечности.

Эта задача Римана—Гильберта, в свою очередь, сведена к аналогичной задаче в четверти исходной области (в первом квадранте 01 с разрезом Гх), обозначаемой через (7, относительно функции 3"(г). Область С определяется тремя параметрами Я, г и а и задается соотношением: б^аЛГьгде

Ох := {г : 1т г > 0, Ие г > 0}, ^ {г : г = Я-Иге™, ¿£[0,1]}.

Далее в §2 дан подход к решению задачи. Функцию ¡У предлагается искать в виде суперпозиции 3~(г) = 3й" о Ф(г) конформного отображения а = Ф(г) области С на верхнюю полуплоскость Н+ и решения 3й" (С) соответствующей задачи Римана — Гильберта в И+. При этом указаны основные трудности, возникающие при построении конформного отоб-

41

ражения (связанные с решением проблемы параметров для интеграла Кристоффеля — Шварца и его обращением), а также изложен способ их преодоления. Нахождению конформного отображения Ф(г) посвящены §§3-6; функция СР+(£) строится в §7.

В параграфе 3 главы II выписано представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для конформного отображения г = Ф-1(С) ' верхней полуплоскости на (пятиугольную) область С. Отображение Ф-1 подчинено нормировке

Ф_1(оо) = оо, Ф-1(0) = О, Ф_1(1) = Д + ге'™, (39)

а указанный интеграл имеет вид

Ф"1(С)=ЭС / V1'2 (* - А)-° (* - 1) (< - т)*-1 <Й. (40) ./о

Представление (40) содержит неизвестные параметры: величины А и г — прообразы двух вершин многоугольника С, а также предынтегральный множитель X.

В §3 сформирована система нелинейных уравнений относительно прообразов А и г:

/2(А,г)/Д(А, т) = р, 1з (А, г) = 0; (41)

здесь р = г/Я — относительная длина разреза Гх. Левые части уравнений (41) записаны в терминах интегралов гипергеометрического типа /^(А, г), определяемых по формуле

[ 1/(*)|л,

Jлí

где Лх = (О, А), Л2 = (А, 1), Л3 = (А,г), а /(«) — подынтегральная функция в (40).

Далее в §3 изложен подход к решению этой системы, основанный на сочетании метода продолжения по параметру и метода Ньютона. После вычисления А и г множитель X находится по формуле X = Я/^Х, т).

Для эффективного решения системы нелинейных уравнений (41) требуется с высокой степенью точности вычислять интегралы /у(А, г), а также иметь хорошее начальное приближение для искомых величин А и г.

В параграфе 4 главы II изложен аналитический метод вычисления интегралов гипергеометрического типа 7), фигурирующих в системе уравнений для Лиг. Этот метод дает представление для таких интегралов в виде экспоненциально сходящихся рядов, коэффициенты которых выписаны явно через гипергеометрические функции. В качестве примера приведем одно из полученных представлений для интеграла /г(А, г):

где величины даются формулами

Заметим, что из нормировки (39) и принципа соответствия границ при конформном отображении для Лиг вытекают неравенства 0 < А < 1 и 1 < г, откуда следует, что параметр е\ лежит в интервале (0,1). Таким образом, ряд (42) сходится при всех допустимых значениях Лит. Для вычисления гипергеометрических функций, фигурирующих в (42), в различных диапазонах изменения параметра сг используется ряд (2) или формулы аналитического продолжения функции Р(а,Ь;с;г).

Параграф 5 главы II посвящен нахождению асимптотик для величин А и г в зависимости от геометрических параметров р = г ¡К и а многоугольника (7 и построению на основе этих асимптотик начальных приближений для Лиг.

Основным аппаратом, применяемым для получения результатов §5, является теория конформного отображения сингулярно деформируемых областей1 ("теория деформирования"); в §5 приведены используемые в диссертации положения этой теории.

1 В.И. Власов О вариации отображающей функции при деформировании области // Докл. АН СССР. — 1984. — Т. 275, №6. — С. 1299-1302.

В.И. Власов Краевые задачи в областях с криволинейной границей. — М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1987. - 272 с.

(42)

В этом параграфе найдены асимптотики для Лиг при р -+ 0:

т^+сЮр + с^ + О^), (44)

при р —► 00

А = 1-2«) с® [1 + СА(1)р-1 + ©(р-^1-2«») , г = СЯ+СЯр-1 + 0(р-2), р^оо,

(45)

и следующие асимптотики: А = 0(1), г - 1 = 0(a), a —► 0. Для коэффициентов Сд1, Crj) и Ст \ фигурирующих в соотношениях (44) и (45), получены явные формулы.

На основе этих асимптотик предложены начальные приближения для А и г, используемые при решении указанной выше системы нелинейных уравнений. Результаты параграфа 5 сформулированы в виде предложений 2-4.

В параграфе б главы II изложен метод обращения интеграла Кристоффеля — Шварца, позволяющий получить искомое отображение Ф(г) в виде набора экспоненциально сходящихся степнных разложений с явно выписанными коэффициентами; множества сходимости разложений покрывают в совокупности всю область G. Метод основан на теории деформирования. Изложена его общая схема, а также приведен пример формул для коэффициентов разложения вблизи одной из вершин (аналогичные формулы для коэффициентов всех разложений не приводятся в силу их громозкости). Этим параграфом завершается построение конформного отображения Ф(г) области G на верхнюю полуплоскость Н+.

В параграфе 7 главы II сформулирована и решена задача Римана — Гильберта в Н+ для функции € С(Н+\{оо}) с краевым условием

Re [ A(i) 3>+(0 ] = c(i), R \ {A, r, oo}

и условием роста

y+(C) = -2i7XVC + 0(1), С - oo.

Коэффициенты /г(£) и с(£) даются равенствами

Г с-™'2, С е (-оо, А), Г 0, £ е (-оо, А),

НО = \ -»е1™, £ е (А, г), с(0 = < -/3, С е (А, г),

I е'*, {€(т,+ оо); ( О, С € (г, +оо);

(46)

величины А, т и 9С — параметры интеграла (40), а 7 и (3 — вещественные числа, являющиеся параметрами модели.

В начале §7 для нахождения применены результаты главы I, с помощью которых для функции 3я" получено представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца

(«-й-

А

Р = Т Г(1 - «)г(а + 1) +2а(г - А) + А.

Затем дана геометрическая интерпретация решения задачи Римана — Гильберта как конформного отображения полуплоскости Н+ на некоторую бесконечную четырехугольную область Исследована зависимость этой области (являющейся областью годографа магнитного поля) от параметров модели.

Далее для функции У+ получены представления в виде степенных разложений (с явно выписанными коэффициентами), дающие удобный аппарат для вычисления 3я". В §7 изложены также все этапы алгоритма вычисления решения 3" исходной задачи Римана — Гильберта вбв виде суперпозиции З'(г) = 3я" о Ф(г), а в завершение этого параграфа получены формулы для физически значимых характеристик магнитного поля: найдены выражения для полного тока и скорости пересоединения.

Параграф 8 главы II посвящен численной реализации полученного решения. Продемонстрировано, что построенный метод решения рассматриваемой задачи Римана — Гильберта в многоугольнике является эффективным. В частности, для параметров А, т, X отображения (40) была достигнута относительная точность не хуже Ю-11.

Список публикаций по теме диссертации

1. Безродных С.И. О задаче Римана — Гильберта с условиями роста // Spectral and Evalution Problems: Proceedings of the XV Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 15. P. 112-118. — Simferopol: Black Sea Brunch of Moscow State University, 2005.

2. Безродных С.И. Соотношение типа Якоби для обобщенной гипергеометрической функции // Международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 14-18 мая 2006 г. Тезисы докладов. С. 18-19.

3. Безродных С.И. Задача Римана — Гильберта в областях сложной формы и ее приложение // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам. Суздаль, 1015 июля 2006 г. Тезисы докладов. С. 23.

4. Безродных С.И., Власов В.И. Задача Римана — Гильберта в сложной области для модели магнитного пересоединения в плазме // Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2002. №3. Т. 42. С. 277-312.

5. Безродных С.И., Власов В.И. Сингулярная задача Римана — Гильберта в сложных областях // Spectral and Evalution Problems: Proceedings of the XV Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 16. P. 112-118. — Simferopol: Black Sea Brunch of Moscow State University, 2006.

6. Безродных С.И., Власов В.И. Сингулярная задача Римана — Гильберта на многоугольниках и ее приложение // Международная конференция "Тихонов и современная математика". Москва, 19-25 июня 2006 г. Тезисы докладов. С. 41.

7. Bezrodnykh S.I. The singular Riemann — Hilbert problem with discontinuous coefficients and application // International Conference "Computational Methods and Function Theory." Joensuu, Finland, June 13-17, 2005. Book of Abstracts P. 16.

8. Vlasov V.l., Bezrodnykh S.I. An analytic-numerical method for the ■ Riemann — Hilbert problem in a polygon // International Conference on Functional Analysis and its Applications dedicated to the 110th anniversary of Stephan Banach, Lviv, Ukraine, May 28-31, 2002. — Lviv, Lviv National University, 2002. P. 210.

Заказ №417. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО «Петроруш». г. Москва, ул. Палиха-2а, тел. 250-92-06 www.postator.ru

Введение

0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена исследованию задачи Римана — Гильберта с разрывными коэффициентами и условиями роста, получению нового, удобного для вычислений представления решения и применению этих результатов к актуальной прикладной проблеме.

Актуальность темы. Задача о восстановлении аналитической в области 23 функции vT = и + w по заданному на границе дЪ соотношению между ее вещественной и мнимой частями au — bv = с, (0.1) где а, Ь, с — заданные вещественнозначные функции, называемая задачей Римана — Гильберта, восходит к классическим работам этих авторов [111], [94].

Теория этой задачи и других краевых задач для аналитических функций получила глубокое развитие в работах Ю.В. Сохоцкого [67], Племеля [107], Вольтерра [123], Гильберта [94], [95], Карлемана [85], Нётера [103], Ф.Д. Гахова [32]-[34], Н.И. Мусхелишвили [54], [55], Б.В. Хведелидзе [73], И.Н.Векуа [17]-[20], Н.П. Векуа [21], Б.В. Боярского [14]-[16], A.B. Бицадзе [11]-[13] и др. Об истории исследований в этой области см. также [34], [35], [40], [55], [73].

Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время [56]-[58], [63]-[65], [125], [128] и др. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения задачи Римана — Гильберта к актуальным прикладным проблемам в традиционных (гидро- и аэродинамика [45], [53], [98], [130], теория упругости [53], [75]) и современных областях, в том числе в обратных задачах термовязкоупругости [129], теории рассеяния [116] и импе-дансной томографии [97], [110], задачах электролиза [126], теории нейтронных звезд [127] и др.

Задачи Римана — Гильберта, возникающие в связи с приложениями, как правило, приходится решать в сложных областях. Для их сведения к задаче в канонической области, где решение выписывается явно, необходимо строить соответствующее конформное отображение. Его построение представляет собой самостоятельную трудную задачу. Даже в случае многоугольника, когда для отображения есть явное представление (в виде интеграла Кристоффеля

Шварца), возникает проблема отыскания неизвестных прообразов вершин, фигурирующих в этом интеграле [48], [93], [120]. Эта проблема значительно усложняется в типичной для приложений ситуации, когда прообразы вершин расположены крайне неравномерно и некоторые из них — очень близко друг к другу (что называют кроудингом) [93], [100], [119], [131]. Проблема параметров в ситуации кроудинга является весьма актуальной и привлекает большое внимание исследователей [88], [93], [96], [100], [102], [118], [119], [120], [131].

Отметим, что в приложениях (в механике [71], физике плазмы [27], [51], [69] и др.) нередко возникает важный частный случай задачи (0.1) в сложной области, когда коэффициенты а, Ь и с кусочно-постоянны, а в точках их разрыва предписываются условия роста решения. Заметим, что условие (0.1) при постоянных а, Ъ и с представляет собой уравнение прямой на плоскости w = и + iv. Такое наблюдение подсказывает, что решение задачи Римана

Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами может быть интерпретировано геометрически как конформное отображение исходной области на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник. Возможность такой интерпретации была указана Риманом [111] (даже для более общей ситуации). Отметим, что реализацией этой интерпретации в случае задачи Римана — Гильберта (с кусочно-постоянными коэффициентами) в полуплоскости было бы представление решения в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.

Целью диссертационной работы является:

1) исследование разрешимости задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста в точках разрыва (сингулярной задачи Римана — Гильберта);

2) получение для функции Аппеля Р\ (обобщения гипергеометрической функции Гаусса Р) формулы, являющейся аналогом формулы Якоби для F и дающей выражение для производной от произведения ^ на некоторые биномы в виде произведения (других) биномов и линейной функции;

3) вывод при помощи найденной формулы типа Якоби для функции ^ нового представления в виде интеграла Кристоффеля—Шварца для решения задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами а, 6 и с, имеющими три точки разрыва;

4) решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в сложной области (внешности десятиугольника), возникающей при моделировании явления магнитного пересоединения в плазме;

5) построение конформного отображения указанной в п. 4 многоугольной области на каноническую, включающее решение проблемы параметров для интеграла Кристоффеля — Шварца и его обращение в аналитическом виде.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) на основе классических подходов [34], [55] исследована разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами; решение задачи выписано через интегралы типа Коши;

2) получена указанная в п. 2 целей работы формула типа Якоби для функции Аппеля

3) с помощью этой формулы решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, преобразовано к виду интеграла Кристоффеля — Шварца; такое представление дает геометрическую интерпретацию решения задачи как конформного отображения полуплоскости на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник и доставляет удобный аппарат для его вычисления;

4) решена сингулярная задача Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами во внешности десятиугольника, возникающая при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме; проведена численная реализация решения и представлена динамика картины магнитного поля в зависимости от параметров модели; найдены формулы для физически значимых характеристик поля;

5) построено необходимое для решения задачи, указанной в п. 4, конформное отображение исходной многоугольной области на полуплоскость; при этом решена проблема параметров для обратного отображения, представляемого интегралом Кристоффеля — Шварца, с использованием найденных асимптотик для неизвестных параметров этого интеграла; интеграл Кристоффеля — Шварца обращен в аналитическом виде.

Приемы, использованные в п. 5 для построения конформного отображения, допускают обобщение на широкий класс многоугольных областей.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ [4]-[9], [77], [122].

Структура работы. Диссертация разбита на главы, параграфы, пункты и подпункты. Первая цифра номера пункта совпадает с номером параграфа, а вторая обозначает номер пункта в параграфе. В каждой главе принята своя нумерация теорем и предложений. Нумерация формул — двойная: первая цифра означает номер параграфа, вторая — порядковый номер формулы в параграфе. При ссылке на формулу из другой главы к номеру формулы добавляется номер главы. При ссылке на подпункт к его номеру добавляется номер параграфа и пункта.

0.2. Обзор содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Глава I посвящена сингулярной задаче Римана — Гильберта в полуплоскости. Основными результатами главы являются: 1) установленная разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и полученное представление решения такой задачи через интегралы типа Коши; 2) найденная формула типа Якоби для функции Аппе-ля и выведенное на ее основе представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для решения сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва.

§1 главы I содержит вводный материал о задаче Римана — Гильберта в односвязной области и методах ее решения. Отмечено, что в настоящей работе используется подход, основанный на использовании конформного отображения для перехода к аналогичной задаче Римана — Гильберта в канонической области с последующим сведением к задаче сопряжения, решение которой строится через интегралы типа Коши. В связи с этим даны краткие сведения об отображении прямолинейных многоугольников при помощи интеграла Кристоффеля — Шварца и круговых многоугольников на основе уравнения Шварца, а также о приближенных методах конформного отображения, в том числе о методе Теодорсона — Гаррика и вариационных методах.

В §2 главы I приведены используемые в дальнейшем положения теории гипергеометрической функции Гаусса и ее обобщения — функции Аппеля Получен ряд соотношений между ассоциированными гипергеометрическими функциями; эти соотношения затем использованы в

§4 при выводе формулы типа Якоби для функции Р\.

§3 главы I посвящен сингулярной задаче Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста решения в точках разрыва коэффициентов (предполагается, что коэффициенты задачи могут иметь разрыв и в бесконечно удаленной точке, а общее число точек разрыва конечно).

В пункте 3.1 дана постановка сингулярной задачи Римана — Гильберта и осуществлено ее сведение к задаче сопряжения. В пункте 3.2 исследованы свойства модифицированного интеграла типа Коши, который затем в пункте 3.3 используется для построения канонического и общего решения однородной задачи Римана — Гильберта. Введена формула для индекса х, учитывающая показатели роста из постановки задачи. В пунктах 3.4 и 3.5 построено в терминах интеграла типа Коши частное решение неоднородной задачи; для случая, когда х < — 1, выписаны условия разрешимости задачи. Основные результаты параграфа 3 сформулированы в виде теорем 1 и 2.

В §4 главы I рассмотрен частный случай изученной в

§3 задачи Римана — Гильберта, когда ее коэффициенты кусочно-постоянны. В пунктах 4.1 и

4.2 даны представления решения через интегралы типа Коши; разрешимость задачи установлена в теореме 3.

Пункт 4.3 посвящен преобразованию решения сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, к виду интеграла Кристоффеля — Шварца; такой интеграл представляет собой первообразную от произведения биномов и полинома с вещественными коэффициентами. Техническим средством, позволяющим осуществить указанное преобразование является найденная в этом пункте формула типа Якоби для функции Аппеля Р\.

Основной результат параграфа 4, т.е. представление решения задачи Римана — Гильберта в виде интеграла Кристоффеля — Шварца, сформулирован в виде теоремы 4.

Глава II посвящена решению сингулярной задачи Римана — Гильберта во внешности десятиугольника с кусочно-постоянными коэффициентами и заданным на бесконечности условием роста; такая задача возникает при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме.

В §1 главы II изложены основные положения модели пересоединения магнитного поля во внешности токовой конфигурации, состоящей из токового слоя и присоединенных к нему четырех ударных МГД-волн; токовый слой и ударные волны, считающиеся бесконечно тонкими, изображаются в виде симметричной системы прямолинейных разрезов на комплексной плоскости, см. рис. 1 на стр. 80. Десятиугольная область, в которой рассматривается магнитное поле, является внешностью этой системы разрезов.

В §2 главы II описанно сведение изложенной в

§1 математической модели к задаче Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами в указанной десятиугольной области и условием линейного роста решения на бесконечности.

В пункте 2.3, основываясь на соображениях симметрии, исходная задача Римана — Гильберта сведена к аналогичной задаче в четверти исходной области (квадранте с разрезом), обозначаемой через (7 (см. рис. 2 на стр. 84), относительно аналитической в С? функции Э-(г).

В пункте 2.4 дан подход к решению задачи. Функцию 2г предлагается искать в виде суперпозиции = о Ф(^) конформного отображения £ = Ф(.г) области (3 на верхнюю полуплоскость Н+ и решения У+{() соответствующей задачи Римана — Гильберта в Ш+ (см. рис. 2 на стр. 84). При этом указаны основные трудности, возникающие при построении конформного отображения, а также изложен способ их преодоления. Нахождению конформного отображения Ф посвящены

§§3-6; функция строится в

§7.

В §3 главы II выписано представление в виде интеграла Кристоффеля — Шварца для конформного отображения г = Ф-1(С) верхней полуплоскости на (пятиугольную) область (7. Указанный интеграл содержит неизвестные параметры: величины Ли т — прообразы двух вершин многоугольника (7, а также предынтегральный множитель X.

В пункте 3.3 сформирована система нелинейных уравнений для прообразов Л и г. В правых частях этих уравнений фигурируют известные геометрические параметры области (7, а их левые части выписаны в терминах интегралов гипергеометрического типа, в которых фигурируют неизвестные Л и г. В пункте 3.4 изложен подход к решению этой системы, основанный на сочетании метода продолжения по параметру и метода Ныотона. После вычисления Лиг множитель X находится по явной формуле.

Для эффективного решения указанной системы нелинейных уравнений требуется с высокой степенью точности вычислять фигурирующие в системе интегралы, а также иметь хорошее начальное приближение для искомых величин Лиг.

В §4 главы II изложен аналитический метод вычисления интегралов гипергеометрического типа, фигурирующих в системе уравнений для Лиг. Метод дает представление для таких интегралов в виде экспоненциально сходящихся рядов, коэффициенты которых выписаны явно через гипергеометрические функции.

§5 главы II посвящен нахождению асимптотик для величин Л и г в зависимости от геометрических параметров многоугольника С? и построению на основе этих асимптотик начальных приближений для Лиг; предлагаемый подход описан в пунктах 5.1 и 5.2.

Основным аппаратом, применяемым для получения результатов

§5, является разработанная в [23], [24] теория конформного отображения сингулярно деформируемых областей; используемые в диссертации положения этой теории приведены в пункте 5.3.

Геометрическими параметрами области (3, в зависимости от которых исследуется поведение прообразов Лит, являются относительная длина р = г/Я наклонного разреза и а — показатель угла наклона этого разреза, см. рис 2 на стр. 84.

В пункте 5.4 найдены асимптотики для Ли т при р 0, в пункте 5.5 — соответствующие асимптотики при р оо, а в пункте 5.6 — при а -> 0. В пункте 5.7 указаны начальные приближения для Лит, используемые при их нахождении из системы нелинейных уравнений. Результаты параграфа 5 сформулированы в виде предложений 2-4.

В §б главы II изложен метод обращения интеграла Кристоффеля — Шварца, позволяющий получить искомое отображение Ф(г) в виде набора экспоненциально сходящихся степнньк разложений с явно выписанными коэффициентами; множества сходимости разложений (см. рис. 3 на стр. 87) покрывают в совокупности всю область (7. Метод основан на теории [23], [24]. В пунктах 6.1-6.3 изложена общая схема метода и приведены формулы для коэффициентов разложения. В этом параграфе завершается построение конформного отображения Ф(г) области С на верхнюю полуплоскость Н+.

В §7 главы II сформулирована и решена задача Римана — Гильберта в Н+ для функции У+(С)- Заметим, что коэффициенты этой задачи кусочно-постоянны и имеют три точки разрыва, а для функции Т+(С) ставится условие роста на бесконечности.

В пунктах 7.1-7.3 с помощью результатов главы I получено представление для функции в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.

В пункте 7.4 дана геометрическая интерпретация решения задачи Римана — Гильберта как конформного отображения полуплоскости Н+ на некоторую бесконечную четырехугольную область 1У. Исследована зависимость этой области (называемой областью годографа магнитного поля) от параметров модели.

В пункте 7.5 получены представления для функции У+ в виде степенных разложений с явно выписанными коэффициентами, доставляющие удобный аппарат для вычисления

В пункте 7.6 изложен полный алгоритм вычисления решения 3 исходной задачи Римана — Гильберта вСв виде суперпозиции = о Ф(^).

В пункте 7.7 получены формулы для физически значимых характеристик магнитного поля: полного тока и скорости пересоединения.

§8 главы II посвящен численной реализации полученного решения. Продемонстрировано, что построенный метод решения рассматриваемой задачи Римана — Гильберта в многоугольнике является эффективным. В частности, для параметров Л, т, X интеграла Кристоффеля — Шварца была достигнута относительная точность не хуже Ю-11.

0.3. Основные обозначения и некоторые определения.

Io. Числа. Буквами z, ( и w обозначаются комплексные переменные; z = х + iy, С = £ + ir], w = и + iv, где i — мнимая единица. Вещественная и мнимая части числа а обозначаются, как обычно, через Rea и Ima; а — число, комплексно сопряженное с а.

2°. Множества. Все рассматриваемые в работе области плоские. Если Ъ — область, то дЪ — ее граница, а Ъ = Ъ U дЪ — замыкание области Ъ; точки границы дЪ обозначаем z', если Ъ расположена на комплексной плоскости z.

R — множество вещественных чисел;

N — множество натуральных чисел;

Z+ — множество неотрицательных целых чисел;

С — комплексная плоскость;

С = С U {оо} — расширенная комплексная плоскость;

Н+ = {z : Im z > 0} — верхняя полуплоскость;

U = : < 1} — единичный круг.

3°. Функции. Запись / : Ъ —у V означает, что функция / осуществляет конформное отображение области Ъ на область G; (р о f — суперпозиция функций / и (р\ ip~l — функция, обратная к (р. Выражение а \=Ь означает, что а по определению равно Ъ.

4°. Асимптотические символы. Пусть функции /(О и д(() определены на некотором множестве М изменения переменной С, а £ — его предельная точка. Запись

С) = о (Ж)). означает существование такой постоянной С и окрестности U точки что 1/(01 <С\д(С)\ при всех С G МП U. Запись

0 = 0* (р(0), С->£, означает существование отличного от нуля предела шм[т/9(о]=сфо, а запись /(0 = о(д(0), С £> — чт0 этот предел равен нулю.

5°. Замечание о виде краевого условия Римана — Гильберта. Очевидно, что условие (0.1) задачи Римана — Гильберта можно переписать в виде

Re [h(z')?{z')} = c(z'), (0.2) где h(z') := a(z') + ib(z'). В дальнейшем краевое условие этой задачи будем записывать в форме (0.2), называя функции h(z') и c(z') коэффициентами задачи.

0.4. Области класса (Л) и сходимость конформного отображения последовательности областей.

Io. Области класса (Л). Излагаемый в данном подпункте материал взят из монографий [37], [52], [68].

Область D принадлежит классу (Л), если она односвязна и функция ¿í : U D, конформно отображающая единичный круг U := {\z\ < 1} на область D, непрерывна в замыкании круга U в смысле метрики римано-вой сферы.

Отображение ц задает в D топологию, порождаемую естественной топологией в U. Говоря о точке границы области, будем подразумевать граничный элемент (простой конец в смысле Каратеодори [83]); одна точка границы дИ может изображать несколько и даже бесконечное множество граничных элементов. Установлено [82], что между точками окружности и граничными элементами из дИ существует соответствие, являющееся взаимно однозначным и непрерывным в смысле указанной топологии. В связи со сказанным дуга 7 границы области В € (Л) понимается как образ р(5) некоторой дуги 6 окружности ¿Ш. Интервал и^7 границы дО есть дуга 7 без концевых точек, и^7 = р(тЬ5). Дугу называем невырожденной, если она состоит более, чем из одной точки. Отметим, что граница области И £ (Л) состоит из элементов только первого рода.

2°. Сходимость отображающих функций последовательности областей. Излагаемый в данном подпункте материал взят из монографий [37], [52].

Пусть {(?п}пек ~~ последовательность односвязных областей (Зп, содержащих точку го■ Обозначим через % — <рп(0 функцию, отображающую единичный круг И на область йп с нормировкой ц>п(0) = г0, ^(0) > 0, а через £ = Фп(г) — обратную функцию. Вопрос о сходимости последовательности отображений срп в наиболее общей форме исследовался в работах Каратеодори [81] и ряда других исследователей [78], [86], [87], [92], [101], [112]. Основной результат формулируется следующим образом.

Пусть каждая из областей последовательности {С?п}пек содержит круг V := {г : ¡г — < р}, р > 0; тогда ядром этой последовательности называют наибольшую область (3, содержащую круг 2) и обладающую тем свойством, что любая ее замкнутая часть принадлежит всем (2П, начиная с некоторой. Говорят, что последовательность {С?п} сходится к своему ядру (3, если область С является ядром для любой подпоследовательности {СПк}.

Теорема Каратеодори [81] гласит: для того чтобы последовательность отображений сходилась в круге V к (р, необходимо и достаточно, чтобы последовательность областей {(?п} сходилась к области С? как к своему ядру; при этом сходимость равномерна внутри и, а последовательность обратных отображений {Фп} сходится равномерно внутри й к отображению Ф.

Из этой теоремы следует, что для сходимости (рп —> (р и Фп -> Ф не только не требуется какой-либо регулярности деформирования, но не требуется даже близости границ областей С и Сп (о геометрическом смысле сходимости {С?п} к С? как своему ядру см. [52]). В этой теории был изучен также вопрос о сходимости срп в замыкании круга и и о сходимости обратных отображений Фп, см. [92], [101], [112]. Перечисленные результаты переносятся на случай семейства областей (это, в частности, было отмечено в [28]).

Глава I

Сингулярная задача Римана — Гильберта

§1. Предварительные сведения

1.1. Задача Римана — Гильберта в односвязной области. Io. Постановка задачи и некоторые ее приложения. Задачу о построении аналитической функции по заданному соотношению между ее вещественной и мнимой частями на границе области называют задачей Римана — Гильберта. Впервые эта задача в весьма общем виде была поставлена Риманом

Для случая, когда указанное соотношение является линейным, такая задача была рассмотрена в работах Гильберта [94], [95] и ряда других исследователей [17], [32], [54], [62],[103], [106], [108], [123]. Она формулируется следующим образом.

Пусть область Ъ ограничена простым гладким замкнутым контуром Г; требуется найти аналитическую в Ъ и непрерывную в Ъ функцию = и(х,у) + iv(x,y), удовлетворяющую на контуре Г краевому условию

Re [h{z') J(/)] = c(z'), z'eT, (1.3) где h(z') и c(z') — соответственно комплексная и вещественная функции, заданные на Г, причем h(z') не обращается в нуль.

Развернутая теория задачи (1.3) изложена в монографиях [34], [55] и курсах [49], [61]; эта теория и ее дальнейшее развитие отражено в монографиях [И], [12], [13], [19], [20], [53], [63], [64], [128] и моногочисленных статьях.

Задача Римана — Гильберта и ее обобщения [34], [55], [63], [64], [89], [125],

128] находят многообразные применения, в том числе в теории псевдоаналитических функций, теории уравнений смешанного типа и эллиптических уравнений и систем [И], [12], [13], [19], [20], [49], [63], [64], в задачах теории упругости [71] и гидро-и аэродинамики [И], [18], [49], [53], [59], [76], [98], [121],

129], [130], задачах распространения волн и соответствующих обратных задачах [41], [50], [62], [70], [72], [116], а также в задачах электролиза [126], в теории нейтронных звезд [127], в обратных задачах импедансной томографии [97], [110] и мн. др.